raciocinio logico ibge

8/13/2019 Raciocinio Logico Ibge

1/52

APOSTILA PARA CONCURSOS

RACIOC NIO L GICO-MATEM TICO

Encontre o material de estudo para seu concurso preferido emwww.videocursosemdvd.com.br

Contedo:

01. Noes de Lgica; Estruturas lgicas e diagramas lgicos02. Lgica de argumentao

03. Probabilidades04. Arranjos, permutaes e combinaes05. Geometria bsica


2/52

NOES DE LGICA

Proposio

Denomina-se proposio a toda sentena, expressa em palavras ou smbolos, que exprima um uzo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lgicos possveis: verdadeiro ou falso.

Somente s sentenas declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentena , respectivamente, confirmada ou negada. De fato, no se pode atribuir um valor de verdadeiro ou falso s demais formas de sentenas como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas tambm expressem juzos.

So exemplos de proposies as seguintes sentenas declarativas:

O nmero 6 par.

O nmero 15 no primo.

Todos os homens so mortais.

Nenhum porco espinho sabe ler.

Alguns canrios no sabem cantar.

Se voc estudar bastante, ento aprender tudo.

Eu falo ingls e espanhol.

Mriam quer um sapatinho novo ou uma boneca.

No so proposies:

Qual o seu nome?

Preste ateno ao sinal.

Caramba!

Proposio Simples

Uma proposio dita proposio simples ou proposio atmica quando no contmqualquer outra proposio como sua componente. Isso significa que no possvel encontrar como

parte de uma proposio simples alguma outra proposio diferente dela. No se pode subdividi-la empartes menores tais que alguma delas seja uma nova proposio.

Exemplo:

A sentena Cntia irm de Maurcio uma proposio simples, pois no possvelidentificar como parte dela qualquer outra proposio diferente. Se tentarmos separ-la em duas ou mais partes m enores nenhuma delas ser uma proposio nova.

Proposio Composta

Uma proposio que contenha qualquer outra como sua parte componente dita proposio

composta ou proposio molecular. Isso quer dizer que uma proposio composta quando sepode extrair como parte dela, uma nova proposio.

Conectivos Lgicos

Existem alguns termos e expresses que esto freqentemente presentes nas proposiescompostas, tais como no, e, ou, se ... ento e se e somente se aos quais denominamos conectivos lgicos. Os conectivos lgicos agem sobre as proposies a que esto ligados de modo a criar novas proposies.

Exemplo:

A sentena Se x no maior que y, ento x igual a y ou x menor que y uma proposiocomposta na qual se pode observar alguns conectivos lgicos (no, se ... ento e ou) que esto

agindo sobre as proposies simples x maior que y, x igual a y e x menor que y.Uma propriedade fundamental das proposies compostas que usam conectivos lgicos que

o seu valor lgico (verdadeiro ou falso) fica completamente determinado pelo valor lgico de cada


3/52

proposio componente e pela forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lgicos utilizados,conforme estudaremos mais adiante.

As proposies compostas podem receber denominaes especiais, conforme o conectivolgico usado para ligar as proposies componentes.

Conjuno: A e B

Denominamos conjuno a proposio composta formada por duas proposies quaisquer queestejam ligadas pelo conectivo e.

A conjuno A e B pode ser representada simbolicamente como:

A BExemplo:

Dadas as proposies simples:

A: Alberto fala espanhol.

B: Alberto universitrio.

Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, aconjuno A B corresponder interseo do conjunto A com o conjunto B. A B.

A B

A B

Uma conjuno verdadeira somente quando as duas proposies que a compem forem verdadeiras, Ou seja, a conjuno A B verdadeira somente quando A verdadeira e B verdadeira tambm. Por isso dizemos que a conjuno exige a simultaneidade de condies.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjuno A e B para cada um dos valores que A e B podem assumir.

AVVFF

BVFVF

A BVFFF

Disjuno: A ou B

Denominamos disjuno a proposio composta formada por duas proposies quaisquer queestejam ligadas pelo conectivo ou.

A dis juno A ou B pode s er representada simbolicamente como:

A B

Exemplo:


4/52


A: Alberto fala espanhol.

B: Alberto universitrio.

A dis juno A ou B pode s er escrita como:

A B: Alberto fala espanhol ou universitrio.

Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a disjuno A B corresponder unio do conjunto A com o conjunto B.

A B

Uma disjuno falsa somente quando as duas proposies que a compem forem falsas. Ou seja, a disjuno A ou B falsa somente quando A falsa e B falsa tambm. Mas se A forverdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, ento a disjunoser verdadeira. Por isso dizemos que, ao contrrio da conjuno, a disjuno no necessita dasimultaneidade de condies para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suas proposioes componentes seja verdadeira.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da dis juno A ouB para cada um dos valores que A e B podem assumir.

AVVFF

BVFVF

A BVVVF

Condicional: Se A ento B

Denominamos condicional a proposio composta formada por duas proposies quaisquer

que estejam l igadas pelo conectivo Se ... ento ou por uma de suas formas equivalentes.A proposio condicional Se A, ento B pode ser representada simbolicamente como:

AB

Exemplo:


A: Jos alagoano.

B: Jos brasileiro.

A condicional Se A, ento B pode ser escrita como:

A B: Se Jos alagoano, ento Jos brasileiro.


5/52

Na proposio condicional Se A, ento B a proposio A, que anunciada pelo uso daconjuno se, denominada condio ou antecedente enquanto a proposio B, apontada peloadvrbio ento denominada concluso ou conseqente.

As s eguintes expresses podem ser empregadas como equivalentes de Se A, ento B:

Se A, B.

B, se A.

Todo A B.A implica B.

A somente se B.

A suficiente para B.

B necessrio para A.

Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a disjuno A B corresponder unio do conjunto A com o conjunto B.

A B

B

A

Uma condicional Se A ento B falsa somente quando a condio A verdadeira e aconcluso B falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposio condicional, a nica situao que no pode ocorrer uma condio verdadeira implicar uma conclusofalsa.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposio condicional Se A ento B para cada um dos valores que A e B podem assumir.

AVVFF

BVFVF

ABVFVV

Bicondicional: A se e somente se B

Denominamos bicondicional a proposio composta formada por duas proposies quaisquerque estejam ligadas pelo conectivo se e somente se.

A proposio bicondicional A se e somente se B pode ser representada simbolicamentecomo:

A B

Exemplo:


A: Adalberto meu tio.


6/52

B: Adalberto irmo de um de meus pais.

A proposio bicondicional A se e somente se B pode ser escrita como:

A B: Adalberto m eu tio se e somente se Adalberto i rmo de um de meus pais.

Como o prprio nome e smbolo sugerem, uma proposio bicondicional A se e somente seB equivale proposio composta se A ento B.

Podem-se empregar tambm como equivalentes de A se e s omente se B as seguintesexpresses:

A se e s se B.

Todo A B e todo B A.

Todo A B e reciprocamente.

Se A ento B e reciprocamente.

A somente se B e B somente se A.

A necess rio e suficiente para B.

A suficiente para B e B suficiente para A.

B necessrio para A e A necessrio para B.

Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a proposio bicondicional A se e somente se B corresponder igualdade dos conjuntos A e B.

A=B

A proposio bicondicional A se e somente se B verdadeira somente quando A e B tm omesmo valor lgico (ambas so verdadeiras ou ambas so falsas), sendo falsa quando A e B tmvalores lgicos contrrios.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposiobicondicional A se e somente se B para cada um dos valores que A e B podem assumir.

AVVFF

BVFVF

A BVFFV

Negao: No A

Dada uma proposio qualquer A denominamos negao de A proposio composta que seobtm a partir da proposio A acrescida do conectivo lgico no ou de outro equivalente.

A negao no A pode ser representada simbolicamente como:

~A


7/52

Podem-se empregar, tambm, como equivalentes de no A as seguintes expresses:

No verdade que A.

falso que A.

Se a propos io A for representada como conjunto atravs de um diagrama, a negao no A corresponder ao conjunto complementar de A.

A

A

Uma proposio A e sua negao no A tero sempre valores lgicos opostos.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negao no Apara cada um dos valores que A pode assumir.

AVF

~AFV

Tautologia

Uma proposio composta formada pelas proposies A, B, C, ... uma tautologia se ela forsempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies A, B, C, ... que a compem.

Exemplo:

A proposio Se (A e B) ento (A ou B) uma tautologia, pois sempre verdadeira,independentemente dos valores lgicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade

abaixo:AVVFF

BVFVF

AeB VFFF

A ou B VVVF

(A e B) (A ou B)VVVV

Contradio

Uma proposio composta formada pelas proposies A, B, C, ... uma contradio se elafor sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies A, B, C, ... que a compem.

Exemplo:

A proposio Ase e somente se no A uma contradio, pois sempre falsa, independentementedos valores lgicos de A e de no A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:


8/52

AVF

~AFV

A ~AFF

O exemplo acima mostra que uma proposio qualquer e sua negao nunca podero sersimultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.

Como uma tautologia sempre verdadeira e uma contradio sempre falsa, tem -se que:

a negao de uma tautologia sempre uma contradio

enquanto

a negao de uma contradio sempre uma tautologia

Proposies Logicamente Equivalentes

Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentesquando so compostas pelas mesmas proposies s imples e suas tabelas -verdade soidnticas. Uma conseqncia prtica da equivalncia lgica que ao trocar uma dada proposio porqualquer outra que lhe seja equivalente, es tamos apenas mudando a maneira de diz-la.

A equivalncia lgica entre duas proposies, A e B, pode ser representada simbolicamentecomo:

A

Da definio de equivalncia lgica pode-se demonstrar as seguintes equivalncias:

Leis associativas:1. (A B) C A C)2. (A B) C A C)

Leis distributivas:

3. A C) B) C)4. A (B C) B) C)

Lei da dupla negao:

5. ~(~A) A

Equivalncias da Condicional

6. A B B

7. A B ~A

Negao de Proposies Compostas

Um problema de grande importncia para a lgica o da identificao de proposies equivalentes negao de uma proposio dada. Negar uma proposio simples uma tarefa que no oferece grandes obstculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramosidentificar a negao de uma proposio composta.

Como vimos anteriormente, a negao de uma proposio deve Ter sempre valor lgico oposto

ao da proposio dada. Deste modo, sempre que uma proposio A for verdadeira, a sua negaono A deve ser falsa e sempre que A for falsa, no A deve ser verdadeira.


9/52

Em outras palavras, a negao de uma proposio deve ser contraditria com a proposiodada.

A tabela abaixo mostra as equivalncias mais comuns para as negaes de algumasproposies compostas:

Proposio

AeB

A ou B

Se A ento B

A se e

somente se B

Todo A B

Algum A B

Negao direta

No (A e B)

No (A ou B)

No (se A ento B)

No (A se e

somente se B)

No (todo A B)

No (algum A B)

Equivalente da Negao

No A ou no B

No A e no B

A e no B

[(A e no B) ou

(B e no A)]

Algum A no B

Nenhum A B

Argumento

Denomina-se argumento a relao que associa um conjunto de proposies P 1, P2, ... Pn,chamadas premissas do argumento, a uma proposio C a qual chamamos de concluso doargumento.

No lugar dos termos premissa e concluso podem ser usados os correspondentes hiptesee tese, respectivamente.

Os argumentos que tm somente duas premissas so denominados silogismos.

Assim, so exemplos de si logismos os seguintes argumentos:

I. P1: Todos os artistas so apaixonados.P2: Todos os apaixonados gosta de flores.

C: Todos os artistas gostam de flores.

II. P1: Todos os apaixonados gosta de flores.

P2: Mriam gosta de flores.

C: Mriam uma apaixonada.

Argumento Vlido

Dizemos que um argumento vlido ou ainda que ele legtimo ou bem construdo quando a sua concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas. Posto de outraforma: quando um argumento vlido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusodo argumento. Isto significa que jamais poderemos chegar a uma concluso falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for vlido.

importante observar que ao discutir a validade de um argumento irrelevante o valor deverdade de cada uma das premissas. Em Lgica, o estudo dos argumentos no leva em conta a verdade ou falsidade das proposies que compem os argumentos, mas to-somente a validadedestes.

Exemplo:

O silogismo:

Todos os pardais adoram jogar xadrez.Nenhum enxadrista gosta de peras.Portanto, nenhum pardal gosta de peras.


10/52

est perfeitamente bem construdo (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento vlido,muito embora a verdade das premissas seja questionvel.

Op X

P

Op = Conjunto dos que gostam de peras

X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez

P = Conjunto dos pardais

Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode pertencerao conjunto Op (os que gostam de peras).

Argumento InvlidoDizemos que um argumento invlido, tambm denominado ilegtimo, mal construdo ou

falacioso, quando a verdade das premisssas no suficiente para garantir a verdade da concluso.

Exemplo:

O silogismo:

Todos ps alunos do curso passaram.Maria no aluna do curso.Portanto, Maria no passou.

um argumento invlido, falacioso, mal construdo, pois as premissas no garantem (no obrigam) averdade da concluso (veja o diagrama abaixo). Maria pode Ter passado mesmo sem ser aluna do curso, pois a primeira premissa no afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.

Aqui, Maria no do curso, mas passou.P

C

m

Aqui, Maria no passou.

m

P = Conjunto das pessoas que passaram.

C = Conjunto dos alunos do curso.

Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situaes possveis para um argumento:


11/52

Quando um argumento ...

Vlido

(bem construdo)

Invlido

(mal construdo)

E as premissas...

so todas verdadeiras

no so todas verdadeiras

so todas verdadeiras

no so todas verdadeiras

Ento a concluso ser:

Necessariamente Verdadeira

ou Verdadeira ou Falsa



EXERC CIOS

1. Represente com diagramas de conjuntos:a) algum A B;b) algum A no B;c) todo A B; d) se A, ento B;e) nenhum A B.

2. Considere as sentenas abaixo:I.3+1=4e2+3=5II.6>2e7 3 III. 6 < 0 ou 3 = 4

Assinale a nica alternativa correta:a) todas as proposies so falsas;b) somente III falsa;c) somente II falsa;d) I e II so falsas;e) I falsa ou II falsa.

5. Ass inale a nica sentena falsa.a) Se 2 par, ento 3 mpar.b) Se 5 inteiro, ento 3 menor que 5.c) Se 8 mpar, ento 7 maior que 3.d) Se 13 par, ento 2 mpar.e) Se 10 par, ento 6 maior que 20.

6. A negao de "todos os homens so bons motoristas :a) todas as mulheres so boas motoristas;b) algumas mulheres so boas motoristas;c) nenhum homem bom motorista;


12/52

d) todos os homens so maus motoristas;e) ao menos um homem mau motorista.

7. Assinale a assertiva incorreta.a) A negao de "2 par e 3 mpar" "2 no par ou 3 no mpar".b) A negao de "5 primo ou 7 par" "5 no primo e 7 no par".c) A negao de 2 5 2 5.d) A negao de "exis te um nmero primo par" "qualquer nmero primo no par".

e) A negao de "nenhum nmero inteiro" "algum nmero inteiro".

8. D uma negao para cada uma das proposies abaixo. a) O tempo ser frio e chuvoso.b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.c) Maria no morena ou Regina baixa.d) Se o tempo est chuvoso ento est frio.e) Todos os corvos so negros.f) Nenhum tringulo retngulo.g) Alguns sapos so bonitos.h) Algumas vidas no so importantes.

9. Assinale a alternativa que contm um argumento vlido.a)Alguns atletas jogam xadrez.

Todos os intelectuais jogam xadrez. Concluso: Alguns atletas so intelectuais.

b) Todos os estudantes gostam de Lgica.Nenhum artista um estudante.Concluso: Ningum que goste de Lgica um artista.

Se estudasse tudo, eu passaria.Eu no passei.Concluso: Eu no estudei tudo.

Se estudasse tudo, eu passaria.Eu no estudei tudo.Concluso: Eu no passei.

c)

d)

10. Considere as premissas:P1. Os bebs so ilgicos.P2. Pessoas ilgicas s o desprezadas.P3. Quem sabe amestrar um crocodilo no desprezado.

Assinale a nica alternativa que uma conseqncia lgica das trs premissas apresentadas.a) Bebs no sabem amestrar crocodilos.b) Pessoas desprezadas so ilgicas.c) Pessoas desprezadas no sabem amestrar crocodilos. d) Pessoas ilgicas no sabem amestrar crocodilos.

e) Bebs so desprezados.

Considere as informaes do texto abaixo para responder s questes 11 e 12:

Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so, respectivamente, Arantes, Braga e Castro, mas no necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que no Ana, mais velha que Carla e a de sobrenome Castro a mais velha das trs.

11. Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so, respectivamente:a) Arantes, Braga e Castro;b) Arantes, Castro e Braga;c) Castro, Arantes e Braga;d) Castro, Braga e Arantes;e) Braga, Arantes e Castro.

12. Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos:


13/52

a) Ana, Beatriz e Carla;b) Carla, Ana e Beatriz;c) Beatriz, Carla e Ana; d) Ana, Carla e Beatriz;e) Carla, Beatriz e Ana.

13. Trs rivais, Ana, Bia e Cludia, trocam acusaes:A Bia mente - diz Ana.

A Cludia mente - Bia diz.Ana e Bia mentem - diz Cludia.

Com base nestas trs afirmaes, pode-se concluir que:a) apenas Ana mente;b) apenas Cludia mente;c) apenas Bia mente;d) Ana e Cludia mentem;e) Ana e Bia m entem.

Considere a situao descrita abaixo para resolver as questes de nmeros 14, 15 e 16.

Ao ver o estrago na sala, mame pergunta zangada:Quem quebrou o vaso da vov?No fui eu - disse Andr.Foi o Carlinhos - disse Bruna.No fui eu no, foi a Duda - falou Carlinhos.A Bruna es t mentindo! - falou Duda.

14. Sabendo que somente uma das crianas mentiu, pode-se concluir que:a) Andr mentiu e foi ele quem quebrou o vaso; b) Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso;c) Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso;d) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso;e) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso.

15. Sabendo que somente uma das crianas disse a verdade, pode-se concluir que:a) Andr falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso; b) Bruna falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso; c) Duda falou a verdade e Andr quebrou o vaso;d) Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso;e) Duda falou a verdade e foi e la quem quebrou o vaso.

16. Sabendo que somente duas crianas mentiram, podese concluir que:a) Carlinhos mentiu e Andr no quebrou o vaso;b) Andr mentiu e foi ele quem quebrou o vaso; c) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso;d) quem quebrou o vaso foi Bruna ou Andr;

e) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso.

17. Vov Marina procura saber quem comeu o bolo que havia guardado para o lanche da tarde.Julinho diz: 1) No fui eu. 2) Eu nem sabia que havia um bolo. 3) Foi o Maurcio.Maurcio diz: 4) No fui eu. 5) O Julinho mente quando diz que fui eu. 6) Foi o tio Rogrio. Rogrio diz: 7) No fui eu. 8) Eu estava l em baixo consertando a minha bicicleta. 9) Foi o Zezinho. Zezinho diz: 10) No fui eu. 11) Eu nem estava com fome. 12) No foi o Luiz Antnio. Luiz Antnio diz: 13) No fui eu. 14) Eu estava com o Rogrio na praia. 15) Foi o Maurcio.

Vov Marina, que no boba, percebe que cada um deles mentiu sobre uma nica das afirmaes quefez e encontrou o comilo. Quem comeu o bolo?a) Julinho.b) Maurcio.c) Rogrio.d) Zezinho.e) Luiz Antnio.


14/52

18. Resolvi presentear a cada um dos meus colegas com uma pasta para papis. Ento entreguei a de cor branca ao Jonofon, a cinza ao Mrcio Lima, e a preta ao Roberto Vasconcelos e disse: "Nenhum de vocs recebeu a sua prpria pasta. Para auxili-los dou-lhes ainda trs informaes, mas s uma delas correta:A do Jonofon no a preta;A do Mrcio no a branca;A do Roberto a cinza.

Depois de alguns segundos de silncio, quase que simultaneamente, todos disseram as cores corretas de suas prprias pastas. Riram-se e trocaram suas pastas.

As cores das pastas de Jonofon, Mrcio e Roberto so, respectivamente:a) cinza, branca e preta;b) preta, branca e cinza;c) branca, preta e cinza;d) cinza, preta e branca;e) preta, cinza e branca.

19. Num pas h apenas dois tipos de habitantes: os verds, que sempre dizem a verdade e os falcs,que sempre mentem. Um professor de Lgica, recm chegado a este pas, informado por um nativo que glup e plug, na lngua local, significam sim e no mas o professor no sabe se o nativo que o

informou verd ou falc. Ento ele se aproxima de trs outros nativos que estavam conversando juntos e faz a cada um deles duas perguntas:

1 Os outros dois so verds?2 Os outros dois so falcs?

A primeira pergunta respondida com glup pelos trs mas segunda pergunta os dois primeirosresponderam glup e o terceiro respondeu plug.

Assim, o professor pode concluir que:a) todos so verds;b) todos so falcs;c) somente um dos trs ltimos falc e glup significa no;

d) somente um dos trs ltimos verd e glup significa sim;e) h dois verds e glup significa sim.

20. Mame Nrian quer saber de Nathalie, Sophia e Bruna quem terminou de almoar primeiro. Umadelas diz: Eu terminei primeiro. A Bruna terminou depois de mim. Uma outra fala em seguida: Eu queterminei primeiro. A Nathalie foi a s egunda. Cada uma das meninas mentiu sobre uma nica dasdeclaraes que fez e nenhuma delas falou de si mesma duas vezes. Ento certo que: a) a primeira a falar foi Nathalie, que terminou primeiro o seu almoo.b) quem terminou primeiro foi Sophia, que foi a segunda a falar. c) Bruna foi a primeira a falar e a ltima a terminar o almoo.d) Sophia no falou e foi a primeira a terminar o almoo. e) Bruna no falou e foi a ltima a terminar o almoo.

21. Quatro carros esto parados ao longo do meio fio, um atrs do outro: Um fusca atrs de outro fusca.Um carro branco na frente de um carro prata.Um uno na frente de um fusca.Um carro prata atrs de um carro preto.Um carro prata na frente de um carro preto.Um uno atrs de um fusca.

Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrs) temos ento:a) uno branco, fusca preto, fusca prata e uno prata;b) uno preto, fusca prata, fusca preto e uno branco; c) uno branco, fusca prata, fusca preto e uno prata;d) uno prata, fusca preto, fusca branco e uno preto; e) uno branco, fusca prata, uno preto e fusca prata.

22. Nathalie pede a suas trs irms que sentem-se no sof da sala para tirar uma foto. Do ponto devista da fotgrafa, tem-se que: a de vestido vermelho senta-se esquerda da de blusa branca, mas


15/52

no necessariamente a seu lado; Bruna senta-se direita de Mriam; Sophia senta-se esquerda daque veste um conjuntinho azul e esta, esquerda da que est de blusa branca.

Na foto, que ficou linda, podemos ver:a) Mriam vestindo uma blusa branca;b) Sophia de conjuntinho azul;c) Bruna de vestido vermelho;d) Mriam sentada entre Sophia e Bruna;

e) Sophia direita das outras duas.

23. Ramirez aprontou uma baita confuso: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Jlio, Mrcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um s egundo e com apapeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Mrcio est com a papeleta de aulas do professor Jlio. Portanto:a) quem est com a papeleta de aulas do Roberto o Mrcio; b) quem est com a caixa de giz do Mrcio o Jlio;c) quem est com a papeleta de aulas do Mrcio o Roberto;d) quem est com a caixa de giz do Jlio o Roberto;e) o que ficou com a caixa de giz do Jlio est com a papeleta de aulas do Mrcio.

GABARITO

1. Item a:

A B

Item b:

A B

Para os itens c e d:

B

A


16/52

Para o item e:

A B

2. d8.

3. b4. e5. e6. e7. ca) O tempo no ser frio ou no ser chuvoso.b) Ela no estudou muito e no teve sorte na prova.c) Maria m orena e Regina no baixa.d) O tempo est chuvoso e no est frio.e) Algum corvo no negro.f) Algum corvo no negro.g) Nenhum sapo bonito.h) Todas as vidas s o importantes.

10. a15. c20. d

11. d16. a21. c

12. e17. d22.d

13. d18. b23. a

9. c14. b19. c


17/52

LGICA DE ARGUMENTAO

1. Introduo

Desde suas origens na Grcia Antiga, especialmente de Aristteles (384-322 a.C.) em diante, algica tornou-se um dos campos mais frteis do pensamento humano, particularmente da filosofia. Em sua longa histria e nas mltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seu objetivo: fornecer subsdios para a produo de um bom raciocnio.

Por raciocnio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode ser analisado sob muitos ngulos: o psiclogo poder estudar o papel das emoes sobre um determinado raciocnio; o socilogo considerar as influncias do meio; o criminlogo levarem conta as circunstncias que o favoreceram na prtica de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas possibilidades, o raciocnio estudado de modo muito especial no mbito da lgica. Para ela, pouco importam os contextos psicolgico, econmico, poltico, religioso, ideolgico, jurdico ou dequalquer outra esfera que constituam o ambiente do raciocnio.

Ao lgico, no interessa se o raciocnio teve esta ou aquela motivao, se respeita ou no amoral social, se teve influncias das emoes ou no, se est de acordo com uma doutrina religiosa ouno, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sbria. Ele considera a sua forma. Ao considerara forma, ele investiga a coerncia do raciocnio, as relaes entre as premissas e a concluso, emsuma, sua obedincia a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc.

Apenas a ttulo de ilustrao, seguem-se algumas definies e outras referncias lgica:

A arte que dirige o prprio ato da razo, ou seja, nos permite chegar com ordem, facilmente e semerro, ao prprio ato da razoo raciocnio (Jacques Maritain).

A lgica o estudo dos mtodos e princpios usados para distinguir o raciocnio correto do incorreto (Irving Copi).

A lgica investiga o pensamento no como ele , m as como deve ser (Edmundo D. Nascimento).

A princpio, a lgica no tem compromissos. No entanto, sua histria demonstra o poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propsito determinado, como o fizeram os sofistas, a escolstica, o pensamento cientfico ocidental e, mais recentemente, a informtica (Bastos; Keller).

1.1. Lgica formal e Lgica materialDesde Aristteles, seu primeiro grande organizador, os estudos da lgica orientaram -se em

duas direes principais: a da lgica formal, tambm chamada de lgica menor e a da lgica material,tambm conhecida como lgica maior.

A lgica formal preocupa-se com a correo formal do pensamento. Para esse campo deestudos da lgica, o contedo ou a matria do raciocnio tem uma importncia relativa. A preocupao sempre ser com a sua forma. A forma respeitada quando se preenchem as exigncias de coernciainterna, mesmo que as concluses possam ser absurdas do ponto de vista material (contedo). Nem sempre um raciocnio formalmente correto corresponde quilo que chamamos de realidade dos fatos. No entanto, o erro no est no seu aspecto formal e, sim, na sua matria. Por exemplo, partindo daspremissas que

(1) todos os brasileiros so europeus

e que

(2) Pedro brasileiro,

formalmente, chegar-se- concluso lgica que

(3) Pedro europeu.

Materialmente, este um raciocnio falso porque a experincia nos diz que a premissa falsa. No entanto, formalmente, um raciocnio vlido, porque a concluso adequada s premissas. nesse sentido que se costuma dizer que o computador falho, j que, na maioria dos casos, processa formalmente informaes nele previamente inseridas, mas no tem a capacidade de verificar o valoremprico de tais informaes.

J, a lgica material preocupa-se com a aplicao das operaes do pensamento realidade,

de acordo com a natureza ou matria do objeto em questo. Nesse caso, interessa que o raciocnio no s seja formalmente correto, mas que tambm respeite a matria, ou seja, que o seu contedocorresponda natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondncia entre pensamento e realidade.


18/52

Assim sendo, do ponto de vista lgico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdadeformal e a verdade material. A verdade formal diz respeito, somente e to-somente, forma dodiscurso; j a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relaes com a matria ouo contedo do prprio discurso. Se houver coerncia, no primeiro caso, e coerncia e correspondncia, no segundo, tem-se a verdade.

Em seu conjunto, a lgica investiga as regras adequadas produo de um raciocnio vlido,por meio do qual visa-se consecuo da verdade, seja ela formal ou material. Relacionando a lgica

com a prtica, pode-se dizer que importante que se obtenha no somente uma verdade formal, mas, tambm, uma verdade que corresponda experincia. Que seja, portanto, materialmente vlida. A conexo entre os princpios formais da lgica e o contedo de seus raciocnios pode ser denominada de lgica informal. Trata-se de uma lgica aplicada ao plano existencial, vida quotidiana.

1.2. Raciocnio e Argumentao

Trs so as principais operaes do intelecto humano: a simples apreenso, os juzos e oraciocnio.

A simples apreenso consiste na captao direta (atravs dos sentidos, da intuio racional,da imaginao etc) de uma realidade sobre a qual forma -se uma idia ou conceito (p. ex., de um objetomaterial, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominao (as palavras ou termos, p. ex.: mesa, trs e arcanjo).

O juzo ato pelo qual os conceitos ou idias so ligadas ou separadas da ndo origem emisso de um julgamento (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposies orais ouescritas. Por exemplo: H trs arcanjos sobre a mesa da sala

O raciocnio, por fim, consiste no arranjo intelectual dos juzos ou proposies, ordenandoadequadamente os contedos da conscincia. No raciocnio, parte-se de premissas para se chegar aconcluses que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem -se conhecimentos novos edefende-se ou aprofunda-se o que j se conhece. Para tanto, a cada passo, preciso preencher os requisitos da coerncia e do rigor. Por exemplo: Se os trs arcanjos esto sobre a mesa da sala, noesto sobre a mesa da varanda

Quando os raciocnios so organizados com tcnica e arte e expostos de forma tal a convencera platia, o lei tor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentao. Assim, a atividade argumentativa

envolve o interesse da persuaso. Argumentar o ncleo principal da retrica, considerada a arte de convencer mediante o discurso.

Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem, de acordo com as circunstncias da vida e as decises pessoais (subjetividade), um argumento conseguir atingir mais facilmente a meta da persuaso caso as idias propostas se assentem em boas razes, capazes demexer com as convices daquele a quem se tenta convencer. Muitas vezes, julga -se que esto sendousadas como bom argumento opinies que, na verdade, no passam de preconceitos pessoais, de modismos, de egosmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argumentar, associada desateno ou ignorncia de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuaso.

Pode-se, ento, falar de dois tipos de argumentao: boa ou m, consistente/slida ouinconsistente/frgil, lgica ou ilgica, coerente ou incoerente, vlida ou no-vlida, fraca ou forte etc.

De qualquer modo, argumentar no implica, necessariamente, manter-se num plano distante da existncia humana, desprezando sentimentos e motivaes pessoais. Pode-se argumentar bem sem,necessariamente, descartar as emoes, como no caso de convencer o aluno a se esforar nos estudos diante da perspectiva de frias mais tranqilas. Enfim, argumentar corretamente (sem armarciladas para o interlocutor) apresentar boas razes para o debate, sustentar adequadamente um dilogo, promovendo a dinamizao do pensamento. Tudo isso pressupe um clima democrtico.

1.3. Inferncia Lgica

Cabe lgica a tarefa de indicar os caminhos para um raciocnio vlido, visando verdade.Contudo, s faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asseres nas quais se declara algo, emitindo-se um juzo de realidade. Existem, ento, dois tipos de frases: as assertivas e as no assertivas, que tambm podem ser chamadas de proposies ou juzos.

Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: a raiz quadrada de 9 3 ou o solbrilha noite. J, nas frases no assertivas, no entram em jogo o falso e o verdadeiro, e, por isso, elas no tm valor de verdade. o caso das interrogaes ou das frases que expressam estados


19/52

emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou ordens. A frase toque a bola, por exemplo,no falsa nem verdadeira, por no se tratar de uma assero (juzo).

As frases declaratrias ou assertivas podem ser combinadas de modo a levarem a conclusesconseqentes, constituindo raciocnios vlidos. Veja-se o exemplo:

(1) No h crime sem uma lei que o defina;

(2) no h uma lei que defina matar ETs como crime;

(3) logo, no crime matar ETs.Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocutor, vo sendo criadas as condies

lgicas adequadas concluso do raciocnio. Esse processo, que muitas vezes permite que a concluso seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposies do raciocnio, chama -se inferncia. O ponto de partida de um raciocnio (as premissas) deve levar a concluses bvias.

1.4. Termo e Conceito

Para que a validade de um raciocnio seja preservada, fundamental que se respeite umaexigncia bsica: as palavras empregadas na sua construo no podem sofrer modificaes de significado. Observe-se o exemplo:

Os jaguares s o quadrpedes;

Meu carro um Jaguar

logo, meu carro um quadrpede.

O termo jaguar sofreu uma alterao de significado ao longo do raciocnio, por isso, no tem validade.

Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamentos aos outros, empregamos palavrastais como animal, lei, mulher rica, crime, cadeira, furto etc. Do ponto de vista da lgica, tais palavras so classificadas como termos, que so palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo,o termo o signo lingstico, falado ou escrito, referido a um conceito, que o ato mental correspondente ao s igno.

Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo mulher rica, tende -se a pensar noconjunto das mulheres s quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota caracterstica

comum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a intencionalidade presente no ato mental. Como resultado, a expresso mulher rica pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros esto acima da mdia ou aquela cuja trajetria existencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilbrio.

Para que no s e obstrua a coerncia do raciocnio, preciso que fique bem claro, em funodo contexto ou de uma manifestao de quem emite o juzo, o significado dos termos empregados no discurso.

1.5. Princpios lgicos

Existem alguns princpios tidos como conditio sine qua non para que a coerncia do raciocnio,em absoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos como princpios que se referem tanto realidadedas coisas (plano ontolgico), quanto ao pensamento (plano lgico), ou seja, se as coisas em geraldevem respeitar tais princpios, assim tambm o pensamento deve respeit-los. So eles:

a) Princpio da identidade, pelo qual se delimita a realidade de um ser. Trata-se de conceituarlogicamente qual a identidade de algo a que se est fazendo referncia. Uma vez conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocnio. Por exemplo, se estou falando de um homem chamado Pedro, no posso estar me referindo a Antnio.

b) Princpio da no-contradio. Se algo aquilo que , no pode ser outra coisa, sob o mesmoaspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro Joo est doente agora, no est so, aindaque, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto Joo, ele seja brasileiro, doente ou so;

c) Princpio da excluso do terceiro termo. Entre o falso e o verdadeiro no h meio termo, ou falso ou verdadeiro. Ou est chovendo ou no est, no possvel um terceiro termo: est meio

chovendo ou coisa parecida.A lgica clssica e a lgica matemtica aceitam os trs princpios como suas pedras angulares,

no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolveram sistemas lgicos sem o princpio do terceiro excludo, admitindo valor lgico no somente ao falso e ao verdadeiro, comotambm ao indeterminado.


20/52

2. Argumentao e Tipos de Raciocnio

Conforme vimos, a argumentao o modo como exposto um raciocnio, na tentativa de convencer algum de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tipos de raciocnio. s vezes, so empregados raciocnios aceitveis do ponto de vista lgico, j, em outrasocasies, pode-se apelar para raciocnios fracos ou invlidos sob o mesmo ponto de vista. bastante comum que raciocnios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado,

explorando a incapacidade momentnea ou persistente de quem est sendo persuadido de avaliar o valor lgico do raciocnio empregado na argumentao.

Um bom raciocnio, capaz de resistir a crticas, precisa ser dotado de duas caractersticas fundamentais: ter premissas aceitveis e ser desenvolvido conforme as normas apropriadas.

Dos raciocnios mais empregados na argumentao, merecem ser citados a analogia, ainduo e a deduo. Dos trs, o primeiro o menos preciso, ainda que um meio bastante poderoso de convencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos discursos jurdico e religioso; o segundo amplamente empregado pela cincia e, tambm, pelo senso comum e, por fim, a deduo tida por alguns como o nico raciocnio autenticamente lgico, por isso,o verdadeiro objeto da lgica formal.

A maior ou menor valorizao de um ou de outro tipo de raciocnio depender do objeto a quese aplica, do modo como desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da natureza

e do alcance do conhecimento.

s vezes, um determinado tipo de raciocnio no adequadamente empregado. Vejam -se osseguintes exemplos: o mdico alemo Ludwig Bchner (1824-1899) apresentou como argumentocontra a existncia da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecaes do corpo humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus no existe pois esteve l em cima e no o encontrou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocnio indutivo, basead o naobservao emprica, no o mais adequado para os objetos em questo, j que a alma e Deus so de ordem metafsica, no fsica.

2.1. Raciocnio analgico

Se raciocinar passar do desconhecido ao conhecido, partir do que se sabe em direoquilo que no se sabe, a analogia (an = segundo, de acordo + lgon = razo) um dos caminhosmais comuns para que isso acontea. No raciocnio analgico, compara-se uma situao j conhecidacom uma situao desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informaes previamente obtidas quando da vivncia direta ou indireta da situao-referncia.

Normalmente, aquilo que familiar usado como ponto de apoio na formao doconhecimento, por isso, a analogia um dos meios mais comuns de inferncia. Se, por um lado, fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, tambm tem servido de inspirao para muitos gnios das cincias e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitao universal). No entanto, tambm uma forma de raciocnio em que se cometem muitos erros. Tal acontece porque difcil estabelecer-lhe regras rgidas. A distncia entre a genialidade e a falha grosseira muito pequena. Nocaso dos raciocnios analgicos, no se trata propriamente de consider-los vlidos ou no-vlidos,mas de verificar se s o fracos ou fortes. Segundo Copi, deles somente se exige que tenham alguma

probabilidade (Introduo lgica, p. 314).

A fora de uma analogia depende, basicamente, de trs aspectos:

a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes;

b) o nmero de elementos semelhantes entre uma situao e outra deve s er significativo;

c) no devem existir divergncias marcantes na comparao.


21/52

No raciocnio analgico, comparam-se duas situaes, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as concluses adequadas. Na i lustrao, tal como a carroa, o car ro a motor um meio detransporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom senso e de boa tcnica para desempenhar adequadamente seu papel.

Aplicao das regras acima a exemplos:

a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, no imaginrios ou insignificantes.tc "a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, no imaginrios ou insignificantes."

Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, ter bomgosto ao comprar as roupas de sua filha.

Analogia fraca - Joo usa terno, sapato de cromo e perfume francs e um bom advogado;Antnio usa terno, sapato de cromo e perfume francs; logo, deve ser um bom advogado.

b) O nmero de aspectos semelhantes entre uma situao e outra deve ser significativo.tc "b) O nmero de aspectos semelhantes entre uma situao e outra deve ser significativo."

Analogia forte - A Terra um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem gua; emMarte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e gua; na Terra existe vida, logo, tal como naTerra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida.

Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gnio inventor; eudormirei durante 3 1/2 horas por noite e, por isso, tambm serei um gnio inventor.

c) No devem existir divergncias marcantes na comparao.tc "c) No devem existir divergncias marcantes na comparao.."

Analogia forte - A pescaria em rios no proveitosa por ocasio de tormentas e tempestades;a pescaria marinha no est tendo sucesso porque troveja muito.

Analogia fraca - Os operrios suos que recebem o salrio mnimo vivem bem ; a maioria dosoperrios brasileiros, tal como os operrios suos, tambm recebe um salrio mnimo; logo, a maioria dos operrios brasileiros tambm vive bem, como os suos.

Pode-se notar que, no caso da analogia, no basta considerar a forma de raciocnio, muitoimportante que se avalie o seu contedo. Por isso, esse tipo de raciocnio no admitido pela lgicaformal. Se as premissas forem verdadeiras, a concluso no o ser necessariamente, mas possivelmente, isto caso cumpram-se as exigncias acima.

Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocnio analgico, no existem

regras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma concluso necessariamente vlida. O esquema bsico do raciocnio analgico :

A N, L, Y, X;


22/52

B, tal com o A, N, L, Y, X;

A , tambm, Z

logo, B, tal como A, tambm Z.

Se, do ponto de vista da lgica formal, o raciocnio analgico precrio, ele muito importantena formulao de hipteses cientficas e de teses jurdicas ou filosficas. Contudo, as hipteses cientficas oriundas de um raciocnio analgico necessitam de uma avaliao posterior, mediante procedimentos indutivos ou dedutivos.

Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, fsico e professor de cincia da computao daUniversidade de Michigan, lanou a hiptese (1995) de se verificar, no campo da computao, uma situao semelhante que ocorre no da gentica. Assim como na natureza espcies diferentes podem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento gentico - um indivduo mais adaptado ao ambiente-, na informtica, tambm o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa mais adequado para resolver um determinado problema. Se quisermos obter uma rosa mais bonita eperfumada, teremos que cruzar duas espcies: uma com forte perfume e outra que seja bela dizHolland. Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um programa que d conta de umaparte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as vrias solues possveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por vrias geraes - sempre selecionando o melhor programa - at obter o descendente que mais se adapta questo. , portanto, semelhante ao processo de seleo natural, em que s sobrevivem os mais aptos. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1 cad., p. 12).

Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averiguao indutiva das concluses extradas desse tipo de raciocnio para, s depois, serem confirmadas ou no.

2.2. Raciocnio Indutivo - do particular ao geral

Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variao do raciocnio indutivo, esse ltimo tem uma base mais ampla de sustentao. A induo consiste em partir de uma srie decasos particulares e chegar a uma concluso de cunho geral. Nele, est pressuposta a possibilidade da coleta de dados ou da observao de muitos fatos e, na maioria dos casos, tambm da verificao experimental. Como dificilmente so investigados todos os casos possveis, acaba-se aplicando oprincpio das probabilidades.

Assim sendo, as verdades do raciocnio indutivo dependem das probabilidades sugeridas pelonmero de casos observados e pelas evidncias fornecidas por estes. A enumerao de casos deve ser realizada com rigor e a conexo entre estes deve ser feita com critrios rigorosos para que sejam indicadores da validade das generalizaes contidas nas concluses.

O esquema principal do raciocnio indutivo o seguinte:

B A e X;

C A e tambm X;

D A e tambm X;

E A e tambm X;

logo, todos os A so X

No raciocnio indutivo, da observao de muitos casos particulares, chega-se a uma concluso de cunho geral.

Aplicando o modelo:

A jararaca uma cobra e no voa;

A caninana uma cobra e tambm no voa;

A urutu uma cobra e tambm no voa;

A cascavel uma cobra e tambm no voa;

logo, as cobras no voam.

Contudo,

Ao sair de casa, Joo viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o brao. Maria viu o mesmo gato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio tambm viu o mesmo gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar.


23/52

Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vis ta do valor lgico, dois tipos de induo: ainduo fraca e a induo forte. forte quando no h boas probabilidades de que um caso particulardiscorde da generalizao obtida das premissas: a concluso nenhuma cobra voa tem grande probalidade de ser vlida. J, no caso do gato preto, no parece haver sustentabilidade da concluso,por se tratar de mera coincidncia, tratando-se de uma induo fraca. Alm disso, h casos em que uma simples anlise das premissas suficiente para detectar a sua fraqueza.

Vejam-se os exemplos das concluses que pretendem ser aplicadas ao comportamento da

totalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comportamento de alguns de seus componentes:

1. Adriana mulher e dirige mal;

Ana Maria mulher e dirige mal;

Mnica mulher e dirige mal;

Carla mulher e dirige mal;

logo, todas as mulheres dirigem mal.

2. Antnio Carlos poltico e corrupto;

Fernando poltico e corrupto;

Paulo poltico e corrupto;

Estevo poltico e corrupto;

logo, todos os polticos so corruptos.

A avaliao da suficincia ou no dos elementos no tarefa simples, havendo muitosexemplos na histria do conhecimento indicadores dos riscos das concluses por induo. Basta que um caso contrarie os exemplos at ento colhidos para que caia por terra uma verdade por elasustentada. Um exemplo famoso o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrlia, onde foram encontrados cisnes pretos, acreditava-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os at ento observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de sculos caiu porterra.

2.2.1. Procedimentos indutivosApesar das muitas crticas de que passvel o raciocnio indutivo, este um dos recursos mais

empregados pelas cincias para tirar as suas concluses. H dois procedimentos principais de desenvolvimento e aplicao desse tipo de raciocnio: o da induo por enumerao incompletasuficiente e o da induo por enumerao completa.

a. Induo por enumerao incompleta suficiente

Nesse procedimento, os elementos enumerados so tidos como suficientes para serem tiradas determinadas concluses. o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de no poderem serconferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados so representativos do todo e suficientes para a generalizao (todas as cobras...)

b. Induo por enumerao completa

Costuma-se tambm classificar como indutivo o raciocnio baseado na enumerao completa.Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocorre quando:

b.a. todos os casos so verificados e contabilizados;

b.b. todas as partes de um conjunto so enumeradas.

Exemplos correspondentes s duas formas de induo por enumerao completa:

b.a. todas as ocorrncias de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada uma caracterstica prpria desse estado de morbidez: fortes dores de cabea; obteve-se, por conseguinte, aconcluso segura de que a dor de cabea um dos sintomas da dengue.

b.b. contam-se ou conferem-se todos as peas do jogo de xadrez: ao final da contagem, constata-seque so 32 peas.

Nesses raciocnios, tem-se uma concluso segura, podendo-se classific-los como formas deinduo forte, mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientfica.


24/52

O raciocnio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. s vezes, percebe-se o seu uso pela maneira como o contedo (a matria) fica exposta ou ordenada. Observem-se os exemplos:

- No parece haver grandes esperanas em se erradicar a corrupo do cenrio poltico brasileiro. Depois da srie de protestos realizados pela populao, depois das provas apresentadas nas CPIs, depois do vexame sofrido por alguns polticos denunciados pela imprensa, depois do escrnio popularem festividades como o carnaval e depois de tanta insistncia de muitos sobre necessidade de moralizar o nosso pas, a corrupo parece recrudescer, apresenta novos tentculos, se disfara demodos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nao.

- Sentia-me totalmente tranqilo quanto ao meu amigo, pois, at ento, os seus atos sempre foram pautados pelo respeito s leis e dignidade de seus pares. Assim, enq uanto alguns insinuavam a suaculpa, eu continuava s eguro de sua inocncia.

Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos est sendo empregando o mtodo indutivo porque o argumento principal est sustentado pela observao de muitos casos ou fatos particularesque, por sua vez, fundamentam a concluso. No primeiro caso, a constatao de que diversastentativas de erradicar a corrupo mostraram-se infrutferas conduzem concluso da impossibilidade de sua superao, enquanto que, no segundo exemplo, da observao do comportamento do amigo infere-se sua inocncia.

Analogia, induo e probabilidade

Nos raciocnios analgico e indutivo, apesar de boas chances do contrrio, h sempre apossibilidade do erro. Isso ocorre porque se est lidando com probabilidades e estas no sosinnimas de certezas.

H trs tipos principais de probabilidades: a matemtica, a moral e a natural.

a) A probabilidade matemtica aquela na qual, partindo-se dos casos numerados, possvel calcular, sob forma de frao, a possibilidade de algo ocorrerna frao, o denominador representa oscasos possveis e o numerador o nmero de casos favorveis. Por exemplo, no caso de um sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara de 50% e a de dar coroa tambm de 50%.

b) A probabilidade moral a relativa a fatos humanos destitudos de carter matemtico. o caso dapossibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reao alegre ou triste etc. Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, provvel que Pedro no tenha cometido ocrime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, provvel que ela o receba bem, mas...

c) A probabilidade natural a relativa a fenmenos naturais dos quais nem todas as possibilidades so conhecidas. A previs o meteorolgica um exemplo particular de probalidade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevisibilidade relativa e da descrio apenas parcial de alguns eventos naturais.

Por lidarem com probabilidades, a induo e a analogia so passveis de concluses inexatas. Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas concluses. Elas expressam muito bem a necessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, contudo, tambm revelam as limitaes humanas no que diz respeito construo do conhecimento.

2.3. Raciocnio dedutivo - do geral ao particular

O raciocnio dedutivo, conforme a convico de muitos estudiosos da lgica, aquele no qualso superadas as deficincias da analogia e da induo.

No raciocnio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular. Asinferncias ocorrem a partir do progressivo avano de uma premissa de cunho geral, para se chegar a uma concluso to ou menos ampla que a premissa. O silogismo o melhor exemplo desse tipo deraciocnio:

Premissa maior: Todos os homens so mamferos. universal

Premissa menor: Pedro homem.

Concluso: Logo, Pedro mamfero. Particular

No raciocnio dedutivo, de uma premissa de cunho geral podem-se tirar concluses de cunho particular.Aristteles refere-se deduo como a inferncia na qual, colocadas certas coisas, outra

diferente se lhe segue necessariamente, somente pelo fato de terem s ido postas. Uma vez posto quetodos os homens so mamferos e que Pedro homem, h de se inferir, necessariamente, que Pedro


25/52

um mamfero. De certo modo, a concluso j est presente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir a concluso.

2.3.1. Construo do Silogismo

A estrutura bsica do silogismo (sn/com + lgos/razo) consiste na determinao de umapremissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo mdio) e de uma concluso, inferida a partir da premissa menor. Em outras palavras, o si logismo sai de uma premissa maior, progrideatravs da premissa menor e infere, necessariamente, uma concluso adequada.

Eis um exemplo de s ilogismo:

Todos os atos que ferem a lei so punveis

A concusso um ato que fere a lei

Logo, a concusso punvel

Premissa Maior

Premissa Menor

Concluso

O silogismo estrutura-se por premissas. No mbito da lgica, as premissas so chamadas deproposies que, por sua vez, so a expresso oral ou grfica de frases assertivas ou juzos. O termo

uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo so necessariamente trs: maior, mdio e menor. O termo maior aquele cuja extenso maior(normalmente, o predicado da concluso); o termo mdio o que serve de intermedirio ou deconexo entre os outros dois termos (no figura na concluso) e o termo menor o de menor extenso (normalmente, o sujeito da concluso). No exemplo acima, punvel o termo maior, ato que fere a lei o termo mdio e concusso o menor.

2.3.1.1. As Regras do Silogismo

Oito so as regras que fazem do silogismo um raciocnio perfeitamente lgico. As quatro primeiras dizem respeito s relaes entre os termos e as demais dizem respeito s relaes entre as premissas. So elas:

2.3.1.1.1. Regras dos Termos

1) Qualquer silogismo possui somente trs termos: maior, mdio e menor.

Exemplo de formulao correta:

Termo Maior: Todos os gatos so m amferos.

Termo Mdio: Mimi um gato.

Termo Menor: Mimi um mamfero.

Exemplo de formulao incorreta:

Termo Maior: Toda gata(1) quadrpede.

Termo Mdio: Maria uma gata(2).Termo Menor: Maria quadrpede.

O termo gata tem dois significados, portanto, h quatro termos ao invs de trs.

2) Os termos da concluso nunca podem ser mais extensos que os termos das premissas.


Termo Maior: Todas as onas so ferozes.

Termo Mdio: Nikita uma ona.

Termo Menor: Nikita feroz.

Exemplo de formulao incorreta:Termo Maior: Antnio e Jos s o poetas.

Termo Mdio: Antnio e Jos so surfistas.

Termo Menor: Todos os surfistas so poetas.


26/52

Antonio e Jos um termo menos extenso que todos os surfistas.

3) O predicado do termo mdio no pode entrar na concluso.


Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.

Termo Mdio: Pedro homem.

Termo Menor: Pedro pode infringir a lei.


Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.


Termo Menor: Pedro ou homem (?) ou pode infringir a lei.

A ocorrncia do termo mdio homem na concluso inoportuna.

4) O termo mdio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extenso universal.


Termo Maior: Todos os homens so dotados de habilidades.


Termo Menor: Pedro dotado de habilidades.


Termo Maior: Alguns homens so sbios.

Termo Mdio: Ora os ignorantes so homens

Termo Menor: Logo, os ignorantes so sbios

O predicado homens do termo mdio no universal, mas particular.

2.3.1.1.2. Regras das Premissas

5) De duas premissas negativas, nada se conclui.


Premissa Maior: Nenhum gato mamfero

Premissa Menor: Lulu no um gato.

Concluso: (?).

6) De duas premissas afirmativas, no se tira uma concluso negativa.


Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados.

Premissa Menor: Ajudar ao prximo um bem moral.

Concluso: Ajudar ao prximo no (?) deve ser desejado.

7) A concluso segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca sempre a de carternegativo.


Premissa Maior: As aves so animais que voam.

Premissa Menor: Alguns animais no so aves.

Concluso: Alguns animais no voam.


Premissa Maior: As aves so animais que voam.


27/52

Premissa Menor: Alguns animais no so aves.

Concluso: Alguns animais voam.

8) De duas premissas particulares nada se conclui.


Premissa Maior: Mimi um gato.

Premissa Menor: Um gato foi covarde.

Concluso: (?)


28/52

PROBABILIDADES

1Introduo

Chama-se experimento aleatrio quele cujo resultado imprevisvel, porm pertencenecessariamente a um conjunto de resultados possveis denominado espao amostral.Qualquer subconjunto desse espao amostral denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lanamento de um dado, o nosso espao amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espao amostral U:

A: sair nmero maior do que 4: A = {5, 6}

B: sair um nmero primo e par: B = {2}

C: sair um nmero mpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espao amostral tambm denominado espao de prova.

Trataremos aqui dos espaos amostrais equiprovveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lanamento do dado acima, supe-se que sendo o dado perfeito, as chances

de sair qualquer nmero de 1 a 6 so iguais. Temos ento um espao equiprovvel. Em oposio aos fenmenos aleatrios, existem os fenmenos determinsticos, que so

aqueles cujos resul tados so previsveis , ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possveis de ocorrncia de um fenmeno aleatrio, sendo a medida numrica da ocorrncia de cada uma dessas possibilidades, denominadaProbabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada,teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que ser muito mais freqente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando da, podermos afirmar que o evento "sairbola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

2Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espao amostral finito e equiprovvel e A um determinado evento ou seja, umsubconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrncia do evento A ser calculada pela frmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:

n(A) = nmero de elementos de A e n(U) = nmero de elementos do espao de prova U.

Vamos utilizar a frmula simples acima, para resolver os seguintes exerccios introdutrios:

1.1 - Considere o lanamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o nmero 3:

Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada serigual a p(A) = 1/6.

b) sair um nmero par: agora o evento A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada ser p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um mltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada ser p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um nmero menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.


29/52

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lanamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8

Observe que neste caso, o espao amostral U constitudo pelos pares ordenados (i,j), onde i = nmero no dado 1 e j = nmero no dado 2.

evidente que teremos 36 pares ordenados possveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmoocorrendo com j.

As s omas iguais a 8, ocorrero nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma iguala 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada ser igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12

Neste caso, a nica possibilidade o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada ser igual a p(A) = 1/36.

1.3Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com

reposio, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha

p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela

p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem.Esta forma conveniente, pois permite a estimativa do nmero de ocorrncias para um nmero elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sair bola azul, 50% dos casos sair bola vermelhae 20% dos casos sair bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuio do nmero de ocorrncias se aproximar dos percentuais indicados.

3Propriedades

P1: A probabilidade do evento impossvel nula.

Com efeito, sendo o evento impossvel o conjunto vazio (), teremos:

p() = n()/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna s existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossvel, neste caso) nula.

P2: A probabilidade do evento certo igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna s existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer um nmero real situado no intervalo real [0, 1].Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.


30/52

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabem os que A U A' = U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n( A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, muito importante pois facilita a soluo de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, mais fcil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fcil determinar a probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B)p(A B)

Observe que se A B= (ou seja, a interseo entre os conjuntos A e B o conjunto vazio), ento p(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, j sabemos da Teoria dos Conjuntos que

n(A U B) = n(A) + n(B)n(A B)

Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definio de probabilidade, conclumos rapidamente a veracidade da frmula acima.

Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas so assinantes doornal J, 4000 so assinantes de P, 1200 so assinantes de ambos e 800 no lem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

SOLU O:Precisamos calcular o nmero de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espao amostral.

Teremos:n(U) = N(J U P) + N. de pessoas que no lem jornais.

n(U) = n(J) + N(P)N(J P) + 800

n(U) = 5000 + 40001200 + 800

n(U) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada ser igual a:

p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.

Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretao do resultado a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, aprobabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de no s er).

4Probabilidade condicional

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrncia de um evento A, sabendo-sede antemo que ocorreu um certo evento B. Pela definio de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A dever ser calculada, dividindo-se o nmero de elementos deelementos de A que tambm pertencem a B, pelo nmero de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que j ocorreu B, denominada Probabilidade condicional e indicada por

p(A/B)probabi lidade de ocorrer A sabendo-se que j ocorreu Bda, o nome de probabilidadecondicional.

Teremos ento:


31/52

p(A/B) = n(A B)/ n(B)

onde A B = interseo dos conjuntos A e B.

Esta frmula importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:

Ora, a expresso acima, pode ser escrita sem nenhum prejuzo da elegncia, nem do rigor, como:

p(A/B) = [n(A B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]

p(A/B) = p(A B) . 1/p(B)

Vem, ento: P(A/B) = p(A B)/p(B), de onde conclumos finalmente:

p(A B) = p(A/B).p(B)

Esta frmula denominada Lei das Probabilidades Compostas.

Esta importante frmula, permite calcular a probabilidade da ocorrncia simultnea dos eventos A e B, sabendo-se que j ocorreu o evento B.

Se a ocorrncia do evento B, no mudar a probabilidade da ocorrncia do evento A, ento p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos so ditos independentes, e a frmula acima fica:

p(A B) = p(A) . p(B)

Podemos ento afirmar, que a probabilidade de ocorrncia simultnea de eventos independentes, igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

Exemplo:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.

Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposio da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).

Soluo:p(V B) = p(V) . p(B/V)

p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).

Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:

p(B/V) = 2/6 = 1/3

Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:

P(V B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposio da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.

Soluo:

Com a reposio da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poder ser calculada como:

P(V B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%

Observe atentamente a diferena entre as solues dos i tens (a) e (b) acima, para um entendimentoperfeito daquilo que procuramos transmitir.

Vimos que num espao amostral U, finito e equiprovvel, a probabilidade de ocorrncia de um evento A dada por:

p (A) n(A)n(U )

onde n(A) = n. de elementos de A e n(U) = n. de elementos de U.


32/52

Sabe-s e que p(A) um nmero real que pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, a probabilidade de um evento impossvel (conjunto vazio) e p(A) = 1, a probabilidade de um evento certo (conjunto universo).

J sabemos tambm que definido um evento A, podemos considerar o seu eventocomplementar

A = {x x A}.

Alm disto, vimos que p(A) = 1 p(A).Vejamos um exemplo de aplicao imediata das frmulas acima:

Ao sortear ao acaso um dos nmeros naturais menores que 100, qual a probabilidade do nmerosorteado ser menor do que 30?

Ora, neste caso, o nosso espao amostral : U = {0,1,2,3, ... , 99}.

O evento A igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}.

O evento complementar de A igual a: A= {30,31,32, ... , 99}.

Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A) = 70.

Portanto:

p(A) = 30/100 = 0,30 = 30%

p(A) = 70/100 = 0,70 = 70%

Vemos que p(A) + p(A) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que a probabilidade de um evento somada probabilidade do seu evento complementar, igual unidade.

Vimos tambm que, sendo A e B dois eventos do espao amostral U, podemos escrever:

p(A B) = p(A) + p(B)p(A B)

Vejamos um exemplo de aplicao da frmula supra:

No lanamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um nmero mpar ou mais de 4pontos na face de cima.

Ora, neste caso, teremos:Espao amostral: U = {1,2,3,4,5,6} \ n(U) = 6

Evento A: A = {1,3,5} \ n(A) = 3

Evento B: B = {5,6} \ n(B) = 2

Evento interseo: A B = {5} \ n(A B) = 1

Ento, vem: p(A B) = 3/6 + 2/6 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.

NOTA: Se A B = f , ento dizemos que A e B so eventos mutuamente exclusivos, e, neste caso,p(A B) = p(A) + p(B), j que p() = 0 [evento impossvel].

Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima:Suponha que no lanamento de um dado, deseja-se saber qual a probabilidade de se obter um nmero par ou um nmero menor do que 2.

Temos os seguintes eventos:

A = {2,4,6} n(A) = 3

B = {1} n(B) = 1

A B = n(A B) = 0

Portanto, p(A B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%

Vimos tambm que a probabilidade de ocorrncia simultnea de dois eventos A e B dada por:

p(A B) = p(A) . p(B/A) ou p(A B) = p(B) . p(A/B)onde:

p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o evento B.


33/52

p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o evento A.

Se a ocorrncia do evento B no modifica a chance de ocorrer o evento A, diremos que os eventos A e B so INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a frmula resume-se a:p(A B) = p(A).p(B)

O exemplo ilustrativo a seguir, ajudar a entender a afirmao supra:

Qual a probabilidade de em dois lanamentos de um dado, se obter nmero par no primeiro e nmero mpar no segundo?

Ora, os eventos so obviamente independentes, pois a ocorrncia de um no afeta o outro. Logo, teremos:p(A B) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.

Vejamos agora, um exemplo de eventos dependentes:

Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola pretae trs bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola dasegunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?

Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam:

Ou a bola transferida verde ou a bola transferida preta.

Ora, teremos: (observe atentamente a simbologia utilizada, comparando com o que foi dito anteriormente).

1 possibilidade: a bola transferida verde:

Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 = 2/3

(4 bolas verdes em 6).

Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2 caixa, supondo-se que a bola transferida decor VERDE, ser igual a:

P(V/V) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,

portanto, 4 bolas verdes em 5).Pela regra da probabilidade condicional, vem:

P(V V) = p(V) . p(V/V) = 2/3 . 4/5 = 8/15

2 possibilidade: a bola transferida preta:

Probabilidade de que a bola transferida seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3

(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6).

Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida de cor PRETA,ser igual a:

P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola preta

transferida = 5 bolas).Da, vem:

p(V P) = p(P) . p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5.

Finalmente vem:

P[(V V) (V P)] = p(V V) + p(V P) = 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que a resposta doproblema.

Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%

Portanto, a probabilidade de que saia uma bola verde de 73,33%.

Uma interpretao vlida para o problema acima que se o experimento descrito for repetido 100

vezes, em aproximadamente 73 vezes ser obtido bola verde. Se o experimento for repetido 1000vezes, em aproximadamente 733 vezes ser obtido bola verde; e se o experimento for repetido um milho de vezes?

Resposta: obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam?


34/52

Agora, resolva este:

Uma caixa contm trs bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e trs bolas brancas. Considerando-se que uma bola transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha :

a) 18/75

b) 19/45c) 19/48

d) 18/45

e) 19/75

Resposta: C

Obs: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000 experimentos, seriam obtidos aproximadamente 3958 bolas brancas. Em 100 experimentos? Claro que teramos aproximadamente 39 bolas brancas.

EXERC CIOS RESOLVIDOS DE PROBABILIDADES

1Uma urna possui trs bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem sercolocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul sejaigual a 2/3?

SOLU O:

Seja x o nmero de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espao amostral possuir, neste caso, 3 + 5 + x = x + 8 bolas.

Pela definio de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada ao acaso seja da cor azul ser dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a2/3.

Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; da, vem, resolvendo a equao do 1 grau:

3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.

Resp: 16 bolas azuis.

2Considere uma urna que contm uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola retirada ao acaso dessa urna, a sua cor observada e a bola devolvida urna. Em seguida, retira -senovamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam da mesma cor vale 1/2?

SOLU O:

O espao amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas.

Vamos considerar as trs situaes distintas possveis:A. as bolas retiradas so ambas da cor preta.

Como existe reposio da bola retirada, os eventos so independentes. Logo, a probabilidade que saia uma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P) ser dada por: p(P P) = p(P).p(P) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)2

B. as bolas retiradas so ambas da cor branca.

Usando o mesmo raciocnio anterior e considerando-se que os eventos so independentes (pois ocorre a reposio da bola retirada), teremos:

P(B B) = p(B) . p(B) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)2

C. as bolas retiradas so ambas da cor azul.Analogamente, vem:p(A A) = p(A) . p(A) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2

Estes trs eventos so INDEPENDENTESpois com a reposio da bola retiradaa ocorrncia deum deles, no modifica as chances de ocorrncia do outro. Logo, a probabilidade da unio desses trs eventos, ser igual a soma das probabilidades individuais. Da, pelos dados do problema, vem que:


35/52

[1/(x+5)2] + [16/(x+5)2] + [x2/(x+5)2 ]=

Vamos resolver esta equao do 2 grau:(1+16+x2)/(x+5)2 = 1 /2

2(17+x2) = 1. ( x+5)2

34 + 2x2 = x2 + 10x + 25

x210x + 9 = 0, de onde conclumos x=1 ou x=9.

Resp: x=1 ou x=9.

Nota: as questes 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST1995segunda fase,subdivididas em dois tens (a) e (b) da questo de nmero 08.

3Uma mquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso dois parafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?

SOLU O:

Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do nmero de elementos do espao amostral U no pode ser feita diretamente. Teremos que recorrer Anlise Combinatria, para facilitar

a s oluo.Para determinar o nmero de elementos do nosso espao amostral U, teremos que calcular quantos grupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um tpico problema de Combinaes simples, j visto em Anlise Combinatria. Teremos ento:

n(U) = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59

Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados so perfeitos, vem que:

60 parafusos5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos.

Teremos ento que o nmero de possibilidades desse evento ser dado por:

n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27

Logo, a probabilidade de ocorrencia do evento E ser igual a:

p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983%

Resp: aproximadamente 84%.

A interpretao deste resultado que se o experimento for repetido 100 vezes, obteremosaproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.

Agora res olva as seguintes questes:

Q1) Uma mquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.

Resp: aproximadamente 0,05%

Q2) Em relao questo anterior, determine a probabilidade de numa retirada de 3 parafusos ao acaso, saiam pelo menos dois parafusos defeituosos.

Resp: aproximadamente 2,30%

Observao: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.

Q3) FEI-SPUma urna contm 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposio. Qual a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?

Resp: 5/34 ou aproximadamente 14,7%

Q4) FMU-SPUma urna contm 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela so retiradas duas bolas, umaaps a outra, sem reposio; a primeira bola retirada de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha?

Resp: 5/8 ou 62,5%


36/52

ARRANJOS, PERMUTAES E COMBINAES

ANLISE COMBINATRIA

1Introduo

Foi a necessidade de calcular o nmero de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Anlise Combinatria, parte da Matemtica que estuda os mtodos de contagem. Esses estudos foram iniciados j no sculo XVI, pelo matemtico italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

A Anlise Combinatria visa desenvolver mtodos que permitam contar - de uma forma indireta- o nmero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condies.

2 - Fatorial

Seja n um nmero inteiro no negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo smbolo n!)como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n > 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) 4! = 4.3.2.1 = 24

c) observe que 6! = 6.5.4!

d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

e) 10! = 10.9.8.7.6.5!

f ) 10! = 10.9.8!

3 - Princpio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente,ento o nmero total T de maneiras de ocorrer o acontecimento dado por: T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veculos do Brasil sero codificadas usando-se 3 letras doalfabeto e 4 algarismos. Qual o nmero mximo de veculos que poder ser licenciado?

Soluo:

Usando o raciocnio anterior, imaginemos uma placa genrica do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numrico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1 posio, temos 26 alternativas, e como pode haver repetio, para a 2, e 3 tambm teremos 26 alternativas. Com relao aos algarismos, conclumos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos ento afirmar que o nmero total de veculos que podem ser licenciados ser igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no pas existissem 175.760.001 veculos, o sistema de cdigos de emplacamento teria que sermodificado, j que no existiriam nmeros suficientes para codificar todos os veculos. Perceberam?

4 - Permutaes simples

4.1 - Permutaes simples de n elementos distintos so os agrupamentos formados com todos os n elementosequediferemunsdosoutrospelaordemdeseuselementos.


37/52

Exemplo: com os elementos A,B,C so possveis as seguintes permutaes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

4.2 - O nmero total de permutaes simples de n elementos distintos dado por n!, isto

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) Calcule o nmero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem terou no significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possveis anagramas da palavra REI so:REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

5 - Permutaes com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o nmero total de permutaes que podemos formar dado por:

(

pna ,b ,c ,...)n!

a!b!c!...

Exemplo:

Determine o nmero de anagramas da palavra MATEM TICA.(no considere o acento)

Soluo:

Temos 10 elementos, com repetio. Observe que a letra M est repetida duas vezes, a letra A trs , a letra T, duas vezes. Na frmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o nmero procurado,podemos escrever:

k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Resposta: 151200 anagramas.

6 - Arranjos s imples

6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamentode k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocao dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

6.2 - Representando o nmero total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k ,teremos a seguinte frmula:


38/52

pn , k n!(n k )!

Obs : fcil perceber que An,n = n! = Pn .(Verifique)

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre marcado por uma seqncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer(no mximo) para conseguir abri-lo?

Soluo:

As s eqncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 epara a terceira, 8. Podemos aplicar a frmula de arranjos, mas pelo princpio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

7 - Combinaes s imples

7.1 - Denominamos combinaes simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinaes so diferentes quando possuem elementos distintos, no importando a ordem em que os elementos so colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:

a) combinaes de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.

b) combinaes de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.c) combinaes de taxa 4: abcd.

7.2 - Representando por Cn,k o nmero total de combinaes de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a s eguinte frmula:

n!C

k!(n k )!

kn

Nota: o nmero acima tambm conhecido como Nmero binomial e indicado por:

(n ) k n!k!(n k )!

Exemplo:

Uma prova consta de 15 que

raciocinio logico ibge

Documents