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RACIOCÍNIO LÓGICO

Didatismo e Conhecimento 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

1 NOÇÕES DE LÓGICA.

A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofi a. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, fi lósofo grego (384 – 322 a.C.) em sua obra “Órganon”, distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815 – 1864), em seu livro “A Análise Matemática da Lógica”, estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o “Raciocínio Lógico” em suas provas.

Existem muitas defi nições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é sufi ciente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores defi nem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa defi nição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma defi nição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua ideia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele.

“Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas.” (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.

Dica: A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática. Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário. Concomitantemente com a revisão mencionada, devem estudar todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-los.

Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores terão difi culdade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos. Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”. Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão.

Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos. Uma base sólida de matemática será sufi ciente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que estudarão.

Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes. Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina “Raciocínio Lógico”. Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra.

Raciocínio Lógico Matemático

Os estudos matemáticos ligados aos fundamentos lógicos contribuem no desenvolvimento cognitivo dos estudantes, induzindo a organização do pensamento e das ideias, na formação de conceitos básicos, assimilação de regras matemáticas, construção de fórmulas e expressões aritméticas e algébricas. É de extrema importância que em matemática utilize-se atividades envolvendo lógica, no intuito de despertar o raciocínio, fazendo com que se utilize do potencial na busca por soluções dos problemas matemáticos desenvolvidos e baseados nos co nceitos lógicos.

A lógica está presente em diversos ramos da matemática, como a probabilidade, os problemas de contagem, as progressões aritméticas e geométricas, as sequências numéricas, equações, funções, análise de gráfi cos entre outros. Os fundamentos lógicos contribuem na resolução ordenada de equações, na percepção do valor da razão de uma sequência, na elucidação de problemas aritméticos e algébricos e na fi xação de conteúdos complexos.

A utilização das atividades lógicas contribui na formação de indivíduos capazes de criar ferramentas e mecanismos responsáveis pela obtenção de resultados em Matemática. O sucesso na Matemática está diretamente conectado à curiosidade, pesquisa, deduções, experimentos, visão detalhada, senso crítico e organizacional e todas essas características estão ligadas ao desenvolvimento lógico.


raciocínio lógico

Raciocínio Lógico Dedutivo

A dedução é uma inferência que parte do universal para o mais particular. Assim considera-se que um raciocínio lógico é dedutivo quando, de uma ou mais premissas, se conclui uma proposição que é conclusão lógica da(s) premissa(s). A dedução é um raciocínio de tipo mediato, sendo o silogismo uma das suas formas clássicas. Iniciaremos com a compreensão das sequências lógicas, onde devemos deduzir, ou até induzir, qual a lei de formação das figuras, letras, símbolos ou números, a partir da observação dos termos dados.

Humor Lógico

Orientações Espacial e Temporal

Orientação espacial e temporal verifica a capacidade de abstração no espaço e no tempo. Costuma ser cobrado em questões sobre a disposições de dominós, dados, baralhos, amontoados de cubos com símbolos especificados em suas faces, montagem de figuras com subfiguras, figuras fractais, dentre outras. Inclui também as famosas sequências de figuras nas quais se pede a próxima. Serve para verificar a capacidade do candidato em resolver problemas com base em estímulos visuais.

Raciocínio Verbal

O raciocínio é o conjunto de atividades mentais que consiste na associação de ideias de acordo com determinadas regras. No caso do raciocínio verbal, trata-se da capacidade de raciocinar com conteúdos verbais, estabelecendo entre eles princípios de classificação, ordenação, relação e significados. Ao contrário daquilo que se possa pensar, o raciocínio verbal é uma capacidade intelectual que tende a ser pouco desenvolvida pela maioria das pessoas. No nível escolar, por exemplo, disciplinas como as línguas centram-se em objetivos como a ortografia ou a gramática, mas não estimulam/incentivam à aprendizagem dos métodos de expressão necessários para que os alunos possam fazer um uso mais completo da linguagem.

Por outro lado, o auge dos computadores e das consolas de jogos de vídeo faz com que as crianças costumem jogar de forma individual, isto é, sozinhas (ou com outras crianças que não se encontrem fisicamente com elas), pelo que não é feito um uso intensivo da linguagem. Uma terceira causa que se pode aqui mencionar para explicar o fraco raciocínio verbal é o fato de jantar em frente à televisão. Desta forma, perde-se o diálogo no seio da família e a arte de conversar.

Entre os exercícios recomendados pelos especialistas para desenvolver o raciocínio verbal, encontram-se as analogias verbais, os exercícios para completar orações, a ordem de frases e os jogos onde se devem excluir certos conceitos de um grupo. Outras propostas implicam que sigam/respeitem certas instruções, corrijam a palavra inadequada (o intruso) de uma frase ou procurem/descubram antônimos e sinônimos de uma mesma palavra.


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1.1 ESTRUTURAS LÓGICAS E DIAGRAMAS LÓGICOS.

Estruturas Lógicas – Verdade ou Mentira

Na lógica, uma estrutura (ou estrutura de inte rpretação) é um objeto que dá signifi cado semântico ou interpretação aos símbolos defi nidos pela assinatura de uma linguagem. Uma estrutura possui diferentes confi gurações, seja em lógicas de primeira ordem, seja em linguagens lógicas poli-sortidas ou de ordem superior. As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por proposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afi rmações que expressam um pensamento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo.

Exemplo 1: João anda de bicicleta. Exemplo 2: Maria não gosta de banana. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afi rmação/proposição.

A base das Estruturas Lógicas é saber o que é Verdade ou Mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposições sempre tem que dar verdadeiro. Há alguns princípios básicos:

Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil).

Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os conectivos lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja:

(~) “não”: negação(Λ) “e”: conjunção(V) “ou”: disjunção(→) “se...então”: condicional(↔) “se e somente se”: bicondicional

Temos as seguintes proposições:

O Pão é barato. O Queijo não é bom.A letra p representa a primeira proposição e a letra q, a segunda. Assim, temos:p: O Pão é barato. q: O Queijo não é bom.

Negação (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afi rmação que está sendo dada. Veja os exemplos:

~p (não p): O Pão não é barato. (É a negação lógica de p)~q (não q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de q)Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação vira falsa.Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira verdadeira.


raciocínio lógico

Regrinha para o conectivo de negação (~):

P ~PV FF V

Conjunção (símbolo Λ): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (p e q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será falso. Ex.: p Λ q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom). Λ = “e”. Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ):

P Q PΛQV V VV F FF V FF F F

Disjunção (símbolo V): Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. Ex: p v q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou”. Regrinha para o conectivo de disjunção (V):

P Q PVQV V VV F VF V VF F F

Condicional (símbolo →): Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. Ex: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então”. Regrinha para o conectivo condicional (→):

P Q P→QV V VV F FF V VF F V

Bicondicional (símbolo ↔): O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para “Q”. Exemplo: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se”. Regrinha para o conectivo bicondicional (↔):

P Q P↔QV V VV F FF V FF F V


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QUESTÕES

01. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:

(A) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.(B) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.(C) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.(D) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.(E) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

02. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue- se, portanto, que:

(A) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas.(B) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas.(C) Anamara, Angélica e Andrea são médicas.(D) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica.(E) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.

03. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:

(A) piano, piano, piano.(B) violino, piano, piano.(C) violino, piano, violino.(D) violino, violino, piano.(E) piano, piano, violino.

(CESPE – TRE-RJ – Técnico Judiciário)

Texto para as questões de 04 a 07.

O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R:

P: O vereador Vitor não participou do esquema;Q: O Prefeito Pérsio sabia do esquema;R: O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o Prefeito Pérsio não sabia do esquema.P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o Prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos.P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas.

04. Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema”.

( ) Certo ( ) Errado


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05. Parte superior do formulárioConsiderando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P2 pode ser

corretamente representada por R ∨ Q.


06. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”.


07. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema.


08. (CESPE - TRE-ES - Técnico) Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.


(CESPE - TRT-ES – Técnico Judiciário) Proposição

Texto para as questões 09 e 10.

Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições simples são aquelas que não contêm nenhuma outra proposição como parte delas. As proposições compostas são construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, parênteses e colchetes para que se evitem ambiguidades. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, etc. Uma proposição composta da forma A ∨ B, chamada disjunção, deve ser lida como “A ou B” e tem o valor lógico F, se A e B são F, e V, nos demais casos. Uma proposição composta da forma A

∨

B, chamada conjunção, deve ser lida como “A e B” e tem valor lógico V, se A e B são V, e F, nos demais casos. Além disso, A, que simboliza a negação da proposição A, é V, se A for F, e F, se A for V. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V.

I- Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidadeII- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio.III- Jorge não foi ao centro da cidade.

09. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.


10. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.



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Respostas

01. Resposta “C”.

Proposição EquivalenteP → Q ~Q → ~PP → Q ~P ∨ QP → Q P é suficiente para QP → Q Q é necessário para P

A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro. (~P) (∨ ) (Q)

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. (~P) (→) (Q)

Sintetizando: Basta negar a primeira, manter a segunda e trocar o “ou” pelo “se então”. “A menina tem olhos azuis (M) ou o menino é loiro (L)”.

Está assim: M v LFica assim: ~M → L

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.


Anamara médica → Angélica médica. (verdadeira → verdadeira)Anamara arquiteta → Angélica médica ∨ Andrea médica. (falsa → verdadeira ∨ verdadeira)Andrea arquiteta → Angélica arquiteta. (falsa → falsa)Andrea médica → Anamara médica. (verdadeira → verdadeira)

Como na questão não existe uma proposição simples, temos que escolher entre as existentes, uma proposição composta e supor se é verdadeira ou falsa. Nesta questão analise as proposições à medida que aparecem na questão, daí a primeira proposição sobre a pessoa assume o valor de verdade, as seguintes serão, em regra, falsas. Embora nada impeça que uma pessoa tenha mais de uma profissão, o que não deve ser levado em consideração. Importante lembrar que todas as proposições devem ter valor lógico verdadeiro. Para encontrar a resposta temos que testar algumas hipóteses até encontrar a que preencha todos os requisitos da regra.

- Se Anamara é médica, então Angélica é médica. (verdadeiro) 1. V V2. F F3. F V

- Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. (verdadeiro)1. F V V - Para ser falso Todos devem ser falsos.2. V F V - A segunda sentença deu falso e a VF apareceu, então descarta essa hipótese.3. V V F - Aqui também ocorreu o mesmo problema da 2º hipótese, também devemos descartá-la.

- Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. (verdadeiro)1. F F2.3.


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- Se Andrea é médica, então Anamara é médica. (verdadeiro)1. V V2. 3.

03. Resposta “B”.

Ana pianista → Beatriz violinista. (F → F)Ana violinista → Beatriz pianista. (V → V)Ana pianista → Denise violinista. (F → F)Ana violinista → Denise pianista. (V → V)Beatriz violinista → Denise pianista. (F → V)

Proposições Simples quando aparecem na questão, suponhamos que sejam verdadeiras (V). Como na questão não há proposições simples, escolhemos outra proposição composta e supomos que seja verdadeira ou falsa.

1º Passo: qual regra eu tenho que saber? Condicional (Se... então).2º Passo: Fazer o teste com as hipóteses possíveis até encontrar a resposta.

Hipótese 1

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)V V - Como já sabemos, se a (verdade) aparecer primeiro, a (falso) não poderá.

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)F F - Já sabemos que Ana é pianista e Bia é violinista, então falso nelas.

- Se Ana é pianista, Denise é violinista. (verdade)V V

- Se Ana é violinista, então Denise é pianista. (verdade)F F

- Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. (verdade)V F - Apareceu a temida V F, logo a nossa proposição será falsa. Então descarte essa hipótese.

Hipótese 2

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)F V

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)V F - A VF apareceu, então já podemos descartá-la, pois a nossa proposição será falsa.

04. Resposta “Certo”.

É só aplicar a tabela verdade do “ou” (v). V v F será verdadeiro, sendo falso apenas quando as duas forem falsas.


raciocínio lógico

A tabela verdade do “ou”. Vejam:

p q p ∨ qV V F V F VF V VF F F

No 2º caso, os dois não podem ser verdade ao mesmo tempo.

Disjunção exclusiva (Ou... ou)Representado pelo v, ou ainda ou.Pode aparecer assim também: p v q, mas não ambos.

Regra: Só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e outra falsa.

Hipótese 1:

P1: F → V = V (Não poderá aparecer VF).P2: V F = V (Apenas um tem que ser verdadeiro).P3: F → F = V

Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito não sabia.Chefe do gabinete foi o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema.V V = verdade, pois sabemos que para ser falso, todos devem ser falsos.

Hipótese 2:P1: F → F = VP2: F V = VP3: F →V = V

Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito sabia.Chefe de gabinete não era o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema.F V = verdade.05. Resposta “Errado”.Não se trata de uma Disjunção, trata-se de uma Disjunção Exclusiva, cujo símbolo é . Também chamado de “Ou Exclusivo”. É o

famoso “um ou outro mas não ambos”. Só vai assumir valor verdade, quando somente uma das proposições forem verdadeiras, pois quando as duas forem verdadeiras a proposição será falsa. Da mesma forma se as duas forem falsas, a proposição toda será falsa.


raciocínio lógico

Tabela verdade do “Ou Exclusivo”.

p q p ∨ qV V F V F VF V VF F F

Com a frase em P2 “mas não ambos” deixa claro que as duas premissas não podem ser verdadeiras, logo não é uma Disjunção, mas sim uma Disjunção Exclusiva, onde apenas uma das premissas pode ser verdadeira para que P2 seja verdadeira.

06. Resposta “Certo”.Duas premissas são logicamente equivalentes quando elas possuem a mesma tabela verdade:

P R ¬P ¬R P → R ¬R → P ¬P ∨ RV V F F V V VV F F V F F FF V V F V V VF F V V V V V

Possuem a mesma tabela verdade, logo são equivalentes.

Representando simbolicamente as equivalências, temos o seguinte:

(P → R) = (¬P ∨ R) = (¬R → ¬P)

As proposições dadas na questão:P = O vereador Vitor não participou do esquema.R = O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Premissa dada na questão: P3 = Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe do gabinete não foi o mentor do esquema. Em linguagem simbólica, a premissa P3 fica assim: (P → ¬R).

A questão quer saber se (P → ¬R) é logicamente equivalente a proposição: “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”, que pode ser representada da seguinte forma: (¬P ∨ ¬R). Vemos que P3 tem a seguinte equivalente lógica: (P → ¬R) = (¬P ∨ ¬R). Negamos a primeira sentença, mudamos o conectivo “→” para “∨”, e depois mantemos a segunda sentença do mesmo jeito. Assim sendo, a questão está correta. As duas sentenças são “logicamente equivalentes”.

07. Resposta “Errado”.A questão quer saber se o argumento “o Prefeito Pérsio não sabia do esquema” é um argumento válido. Quando o argumento é

válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão obrigatoriamente verdadeira ou quando as premissas forem falsas e a conclusão falsa. Quando o argumento não é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa. Pra resolver essas questões de validade de argumento é melhor começar de forma contrária ao comando da questão. Como a questão quer saber se o argumento é válido, vamos partir do princípio (hipótese) que é inválido. Fica assim:

P1: P → ~Q verdadeP2: R (ou exclusivo) Q verdadeP3: P → ~R verdadeConclusão: O prefeito Pérsio não sabia do esquema. falso


raciocínio lógico

Se é falso que o Prefeito Pérsio não sabia, significa dizer que ele sabia do esquema. Então, pode-se deduzir que as proposições ~Q e Q são, respectivamente, falsa e verdadeira. Na segunda premissa: Se Q é verdadeira, R será obrigatoriamente falsa, pois na disjunção exclusiva só vai ser verdade quando apenas um dos argumentos for verdadeiro. E se R é falso, significa dizer que ~R é verdadeiro. Fazendo as substituições:

P1: P → ~Q VerdadeF → F V

Por que P é falso? Na condicional só vai ser falso se a primeira for verdadeira e a segunda for falsa. Como “sabemos” que a premissa toda é verdadeira e que ~Q é falso, P só pode assumir valor F.

P2: R (ou exclusivo) Q VerdadeF (ou exclusivo) V V

Lembrando que na disjunção exclusiva, só vai ser verdade quando uma das proposições forem verdadeiras. Como sei que Q é verdadeiro, R só pode ser falso.

P3: P → ~R VerdadeF → V V

Se deduz que R é falso, logo ~R é verdadeiro. Consideramos inicialmente o argumento sendo não válido (premissas verdadeiras e conclusão falsa). Significa dizer que a questão está errada. Não é correto inferir que o Prefeito Pérsio não sabia do esquema. Foi comprovado que ele sabia do esquema.


Princípio da Não Contradição = Uma preposição será V ou F não podendo assumir os 2 valores simultaneamente. Representação: ¬(P

∨ ¬P). Exemplo: Não (“a terra é redonda” e “a terra não é redonda”).

Princípio do Terceiro Excluído = Uma preposição será V ou F, não podendo assumir um 3o valor lógico. Representação: P ∨ ¬P. Exemplo: Ou este homem é José ou não é José.

Uma proposição só poderá ser julgada verdadeira ou falsa, nunca poderá ser as duas coisas ao mesmo tempo.

09. Resposta “Errado”.Da proposição III “Jorge não foi ao centro da cidade” que é verdadeira e a questão diz “Manuel declarou o imposto de renda na

data correta e Jorge foi ao centro da cidade” a segunda parte é falsa como o conectivo é “e” as duas teriam que ser verdadeiras (o que não acontece). Vamos analisar cada proposição de cada premissa, tendo em mente que as premissas tem valor lógico (V), daí tiramos um importante dado, sabemos que a premissa III é (V), portanto vamos atribuir o valor lógico (V) a proposição “e” e o valor lógico (F) a proposição “B”, agora vamos separar:

A: Tânia estava no escritório (V)B: Jorge foi ao centro da cidade (F)

Diante das análises iniciais temos que a premissa A v B, tem valor lógico (V), mas que a proposição “B” tem valor lógico (F), ou seja, A v (valor lógico F), para que essa premissa tenha o valor lógico (V), “A” tem que ter um valor lógico (V).

C: Manuel declarou o imposto de renda na data correta (V)D: Carla não pagou o condomínio (V)

O enunciado fala para considerar todas as premissas com valor lógico (V), logo, a premissa C

∨

D para ter valor lógico (V), ambas proposições devem ter valor lógico (V).

E: Jorge não foi ao centro da cidade (V)

Diante das explicações, C

∨

B = (V)

∨

(F) = (F).


raciocínio lógico

10. Resposta “Certo”.Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V. Logo o que contraria essa verdade é falso.I- V + F = VII- V + V = VIII- V

Portanto se no item II diz que Carla não pagou o condomínio é verdadeiro, então o fato dela ter pago o condomínio é falso, pois está contradizendo o dito no item II. Os valores lógicos da segunda proposição não são deduzíveis, mas sim informados no enunciado.

II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio V e V. Portanto, se Carla não pagou o condomínio é Verdadeiro. Carla pagou o condomínio é Falso. Enunciado correto.

Diagramas Lógicos

Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.b) Dirigem somente carros 33 motoristas.c) Dirigem somente motos 8 motoristas.


raciocínio lógico

No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela:

Jornais LeitoresA 300B 250C 200

A e B 70A e C 65B e C 105

A, B e C 40Nenhum 150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais.Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagrama de Euler

Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é defi nida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode defi nir um universo de discurso, isto é, ele pode defi nir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.

Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a signifi cância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo.

Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”.

Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.

Diagramas de Venn

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar grafi camente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∉ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem

continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa,

simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser defi nida indicando se alguma região em específi co é vazia ou não-vazia”. Pode-se escrever uma defi nição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número fi nito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.

Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específi co são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um


raciocínio lógico

conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):

- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição).- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição).- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição).- Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora). Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B

para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:

Diferença de A para B: A\B

Diferença de B para A: B\A


raciocínio lógico

Intersecção de dois conjuntos: AB

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB)

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: A B

Diferença Simétrica de dois conjuntos: A B

Complementar de A em U: AC = U \ A

Complementar de B em U: BC = U \ B


raciocínio lógico

Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.

União de três conjuntos: A B C

Intersecção de três conjuntos: A B C

A \ (B C)

(B C) \ A

Proposições Categóricas


raciocínio lógico

- Todo A é B- Nenhum A é B- Algum A é B e- Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

- Todo A é B = Todo A não é não B.- Algum A é B = Algum A não é não B.- Nenhum A é B = Nenhum A não é não B.- Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B.- Nenhum A é não B = Nenhum A não é B.- Nenhum A é B = Todo A é não B.- Todo A é B = Nenhum A é não B.- A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa).- A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-versa).

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

A

B

A = B

1 2

Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira.Algum A não é B. É falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

BA


raciocínio lógico

Todo A é B. É falsa.Algum A é B. É falsa.Algum A não é B. É verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

Nenhum A é B. É falsa.Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4) – é indeterminada.

4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

BA3

Todo A é B. É falsa.Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2 – é indeterminada).Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e 2 – é indeterminada).

QUESTÕES

01. Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B(B) Algum A não é B(C) Todo A é B(D) Nenhum A é B


raciocínio lógico

02. (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

(A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

03. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

(A) instrumentos de sopro ou de corda?(B) somente um dos dois tipos de instrumento?(C) instrumentos diferentes dos dois citados?

04. (TTN - ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:(A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G;(D) algum G é A;(E) nenhum G é A;

05. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

06. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre:

- 20 alunos praticam vôlei e basquete.- 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete.- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei.- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que praticam só vôlei.- 17 alunos praticam futebol e vôlei.- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:(A) 93(B) 110(C) 103(D) 99(E) 114

07. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

(A) 220(B) 240(C) 280(D) 300(E) 340


raciocínio lógico

08. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

(A) 1.430(B) 1.450(C) 1.500(D) 1.520(E) 1.600

09. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O?

(A) 50(B) 52(C) 59(D) 63(E) 65

10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% leem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que leem ambos os jornais.

(A) 40%(B) 45%(C) 50%(D) 60%(E) 65%

Respostas

01.

(A)

(B)

(C)

(D)


raciocínio lógico


A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

03. Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.

Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio.Passo 2: a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180

Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

100 18060

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do problema: 100 + 60 + 180 = 340b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160

04. Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas:- Alguns A são R- Nenhum G é R

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.


raciocínio lógico

Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.

Teste das alternativas:Teste da alternativa “A” (algum A não é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira

para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa.

Teste da alternativa “B” (algum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “D” não é correta. Passemos para a próxima.

Teste da alternativa “C” (Nenhum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “E” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

05. Resposta “E”.

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44


raciocínio lógico

06. Resposta “D”.

n(FeB) = 45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV) = 15n(FeV) = 17 com n(FeBeV) = 15 → n(FeV - B) = 2n(F) = n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) + n(FeBeV) 60 = n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F) = 13

n(sóF) = n(sóV) = 13n(B) = n(só B) + n(BeV) + n(BeF-V) → n(só B) = 65 - 20 – 30 = 15n(nem F nem B nem V) = n(nem F nem V) - n(solo B) = 21- 15 = 6Total = n(B) + n(só F) + n(só V) + n(Fe V - B) + n(nemF nemB nemV) = 65 + 13 + 13 + 2 + 6 = 99.


80 20 130

A B

110+

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam de ler os dois.Leem somente A: 100 – 20 = 80Leem somente B: 150 – 20 = 130Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas.

08. Resposta “D”.

1200 320 480

A B

Somente B: 800 – 320 = 480Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520.


RACIOCÍNIO LÓGICO


A B

26 14 21 59+

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21.Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas.

10. Resposta “A”.- Jornal A → 0,8 – x- Jornal B → 0,6 – x- Intersecção → x

Então fi ca:

(0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1- x + 1,4 = 1- x = - 0,4x = 0,4.

Resposta “40% dos alunos leem ambos os jornais”.

1.2 VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES.

Valores Lógicos

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das ideias de George Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas interrelações. As ideias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica matemática (ou lógica simbólica) trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:

- Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa. - Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui Valor Lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui Valor Lógico F (falso). Os Valores Lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas (0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras (1 ou V). As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ...

De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, “O dia está bonito”; “3 + 5”; “x é um número real”; “x + 2 = 7”; etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico defi nido (verdadeiro ou falso). Exemplifi camos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.

p: “a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º” (V)q: “3 + 5 = 2” (F)r: “7 + 5 = 12” (V)s: “a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2).180º” (V)t: “O Sol é um planeta” (F)w: “Um pentágono é um polígono de dez lados”. (F)


raciocínio lógico

O Modificador Negação

Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p. (Lê-se “não p”). Exemplo:

p: Três pontos determinam um único plano (V)~p: Três pontos não determinam um único plano (F)

Obs: duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.

Operações Lógicas

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos Ʌ, V, e, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p Ʌ q, p V q, p → q, p ↔ q. Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.

Conjunção: p ∧ q (lê-se “p e q”).Disjunção: p ∧ q (lê-se “p ou q”).

Existem dois tipos de Disjunção Logica: a Inclusiva e a Exclusiva.

Inclusiva: significa “e/ou” onde pelo menos uma das sentenças tem que ser verdadeira ou as duas têm que ser verdadeiras. Por exemplo:

Comerei algo hoje ou passarei fome.Não comerei algo hoje.Logo, passarei fome.

Exclusiva: significa que uma das sentenças tem que ser verdadeira e a outra tem que ser falsa, ou seja, ambas as sentenças não podem ser verdadeiras ou falsas. Por exemplo:

Comerei algo hoje ou passarei fome.Comerei algo hoje.Logo, não passarei fome.

Condicional: p → q (lê-se “se p então q”).Bi-condicional: p ↔ q (“p se e somente se q”).

Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de Tabela Verdade. Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

p q p Ʌ q p V q p → q p ↔ q1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:- a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. - a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. - a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. - a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.


raciocínio lógico

Exemplo: Dadas as proposições simples:p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0).q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1).

Temos:p Ʌ q tem valor lógico F (ou 0).p V q tem valor lógico V (ou 1).p → q tem valor lógico V (ou 1).p ↔ q tem valor lógico F (ou 0).

Assim, a proposição composta “Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8” é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase. As proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), estão associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado. Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores. Seria demais imaginar que a proposição p ∧ q esteja associada a um circuito série e a proposição p ∧ q a um circuito em paralelo? Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que ajudaram a mudar o mundo.

QUESTÕES

01. (FCC – TRT-GO – Técnico Judiciário) Em lógica de programação, denomina-se _______ de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q” cujo valor lógico é a falsidade (F), quando os valores lógicos das proposições p e q são ambos falsos ou ambos verdadeiros, e o valor lógico é a verdade (V), nos demais casos. Preenche corretamente a lacuna acima:

(A) disjunção inclusiva (B) proposição bicondicional (C) negação (D) disjunção exclusiva (E) proposição bidirecional

02. (CESGRANRIO - MPE-RO - Analista Programador) Sejam A, B e C variáveis numéricas contendo os valores 2, 4 e 5, respectivamente, S uma variável contendo o literal “POSITIVO” e T uma variável lógica contendo o valor falso. Assinale a expressão lógica cujo resultado possui valor lógico verdadeiro.

(A) A + B < C ou S = “FALSO”. (B) A × B > C e S = “VERDADEIRO”. (C) RESTO (B, A) > C e não T. (D) A > B e não T ou S = “POSITIVO”. (E) (A2 > B ou T) e S = “POSITIVO”.

03. (CESPE - INSS - Direito)

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição “Se P então Q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. P ∧ Q, lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F: nos demais casos, será V. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance.A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências.A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão contempladas na tabela a seguir, em que cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V (verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha ter tomado a atitude representada na coluna, ou com F (falso), caso contrário.


raciocínio lógico

A1 A2 A3 A4

Roberta F

Rejane

Renata V

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

Se P for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e Q for a proposição “Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição P→Q tem valor lógico V.


04. (CESPE - TRE-ES - Técnico)

Considere que P e Q sejam duas proposições que podem compor novas proposições por meio dos conectivos lógicos ~, ∧, ∧ e →, os quais significam “não”, “e”, “ou”, e “se... então”, respectivamente. Considere, ainda, que a negação de P, ~P (lê-se: não P) será verdadeira quando P for falsa, e será falsa quando P for verdadeira; a conjunção de P e Q, P∧Q (lê-se: P e Q) somente será verdadeira quando ambas, P e Q, forem verdadeiras; a disjunção de P e Q, P ∧Q (lê-se: P ou Q) somente será falsa quando P e Q forem falsas; e a condicional de P e Q, P→Q (lê-se: se P, então Q) somente será falsa quando P for verdadeira e Q falsa. Considere, por fim, que a tabela verdade de uma proposição expresse todos os valores lógicos possíveis para tal proposição, em função dos valores lógicos das proposições que a compõem. Com base nesse conjunto de informações, julgue os itens seguintes.

A proposição ~(~P ∧ P) é verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição P.


05. (CESPE - TRT-RJ – Técnico Judiciário)

Considere as seguintes informações da Secretaria de Recursos Humanos do TRT/RJ, adaptadas do sítio www.trtrio.gov.br.

Secretaria de Recursos Humanos - Registro Funcional

I Atualização de currículo - As solicitações de atualização de currículo, instruídas com a documentação comprobatória - cópias dos diplomas ou dos certificados de conclusão, devidamente autenticadas - serão encaminhadas à Divisão de Administração de Pessoal para registro, via Protocolo Geral.

II Alteração de endereço - Em caso de mudança, o servidor deverá comunicar, o quanto antes, seu novo endereço à Divisão de Administração de Pessoal, a fim de manter sempre atualizados seus dados pessoais.

III Identidade funcional - As carteiras de identidade funcional (inclusive segundas vias) deverão ser solicitadas diretamente à Divisão de Administração de Pessoal por meio de formulário próprio e mediante entrega de uma foto 3 × 4 atualizada. As novas carteiras estarão disponíveis, para retirada pelo próprio interessado, no prazo de dez dias úteis contados do recebimento do requerimento, naquela divisão.

Terão direito à carteira funcional todos os magistrados e servidores ativos desta regional, ocupantes de cargos efetivos, bem como os inativos e ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4. Ao se desligarem, por exoneração ou dispensa, os servidores deverão entregar à Divisão de Administração de Pessoal suas carteiras funcionais e, ao se aposentarem, terão suas carteiras funcionais substituídas, para fazer constar a situação de servidor inativo.


raciocínio lógico

Para resolução da questão, considere que todas as proposições contidas no texto II tenham valor lógico V. Com base nos textos I e II, assinale a opção correspondente à proposição que tem valor lógico V.

(A) Os magistrados têm direito à carteira funcional, mas os servidores inativos não têm.(B) Em caso de mudança, o servidor deverá atualizar o novo endereço no prazo de 10 dias úteis.(C) Somente os certificados de conclusão de cursos dos servidores precisam ser autenticados.(D) A identidade funcional é solicitada na Divisão de Administração de Pessoal ou no Protocolo Geral.(E) Nem o servidor ativo nem o servidor que se aposentar precisam substituir suas carteiras funcionais.

06. (CESPE – DETRAN-ES – Analista de Sistemas) Com relação à programação, algoritmos e estrutura de dados, julgue o item seguinte. Por meio do operador lógico de disjunção (OU), verificam-se os valores de entrada, de maneira que, caso ambos os valores sejam falsos, o resultado será verdadeiro e, caso apenas um dos valores seja falso, o resultado será falso.


07. (CESPE – Banco do Brasil – Escriturário) Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas; são frequentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto. A proposição simbolizada por A→B lida como “se A, então B”, “A é condição suficiente para B”, ou “B é condição necessária para A”, tem valor lógico F quando A é V e B é F; nos demais casos, seu valor lógico é V. A proposição A∧B lida como “A e B” tem valor lógico V quando A e B forem V e valor lógico F, nos demais casos. A proposição A, a negação de A, tem valores lógicos contrários aos de A.

Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam, então os bancos ganham muito dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam” é também V.


08. (CESPE – Banco do Brasil – Escriturário) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras - V - ou falsas - F -, mas não como ambas, simultaneamente. As proposições são frequentemente representadas por letras maiúsculas e, a partir de proposições simples, novas proposições podem ser construídas utilizando-se símbolos especiais. Uma expressão da forma A → B, que é lida como “se A, então B”, é F se A for V e se B for F e, nos demais casos, será sempre V. Uma expressão da forma A ∧ B, que é lida como “A e B”, é V se A e B forem V e, nos demais casos, será sempre F. Uma expressão da forma A ∧ B, que é lida como “A ou B”, é F se A e B forem F e, nos demais casos, será sempre V. Uma expressão da forma ¬A, a negação de A, é V se A for F e é F se A for V.

Julgue os itens que seguem, a respeito de lógica sentencial e de primeira ordem, tendo como referência as definições apresentadas no texto. Se a proposição “Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA” tiver valor lógico V, a proposição “Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, então os correntistas têm melhores serviços lá do que aqui” será F.


09. (CESPE - INSS - Analista) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição “Se P então Q”, denotada por P→Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. P ∧Q, lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F: nos demais casos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item a seguir. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição (A) ∧ ((C) tem valor lógico F.



raciocínio lógico

10. (CESPE – TRT – Técnico Judiciário) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira - V -, ou falsa - F -, mas não V e F simultaneamente. Proposições simples são simbolizadas por letras maiúsculas A, B, C etc., chamadas letras proposicionais. São proposições compostas expressões da forma A ∧ B, que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V; A ∧ B, que é lida como “A e B” e tem valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F; ¬A, que é a negação de A e tem valores lógicos contrários aos de A.

Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição composta que tem sempre valor lógico F.

(A) [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∧ B](B) (A ∧ B) ∧ [(¬A) ∧ (¬B)](C) [A ∧ (¬B)] ∧ (A ∧ B)(D) [A ∧ (¬B)] ∧ A(E) A ∧ [(¬B) ∧ A]

Respostas

01. Resposta “D”.“Parte inferior do formulárioSe...então...” (Condicional), “Ou...Ou...” (Disjunção Exclusiva) e “...se e somente se...” (Bicondicional) em proposições

equivalentes que usam apenas os conectivos “e” (Conjunção) e “ou” (Disjunção). Disjunção é o conectivo “ou”, certo? Eele pode ser inclusivo ou exclusivo. Inclusivo, como o nome já diz, vem de inclusão, ou seja, pode ser tanto p como q ao mesmo tempo. Exclusivo vem de exclusão, que eles não pode ser verdadeiros ao mesmo tempo, algum precisa “cair fora”. Ou p ou q. Disjunção Exclusiva, a resposta da questão.

02. Resposta “D”.(AParte inferior do formulário(A() A + B < C ou S = “FALSO”2 + 4 < 5 ou S → F ou F → F

(B) A × B > C e S = “VERDADEIRO”2 x 4 > 5 e S → 8 > 5 e S F e F → F

(C) RESTO (B, A) > C e não TResto (4,2) > 5 e V → 0 > 5 e V → F e V → F

d) A > B e não T ou S = “POSITIVO”2 > 4 e V ou V → F e V ou V, então F e V = F ou V → V

e) (A2 > B ou T) e S = “POSITIVO”(4 > 4 ou F) e V → (F ou F) e V → F

03. Resposta “Certo”.Não foi Rejane quem alterou o texto, foi Roberta, a expressão será, nestas condições, F então V... o que torna a assertiva verdadeira

uma vez que se então só será falso na construção V então F. Como estamos diante de uma condicional, o fato da proposição P ser Falsa, já deixa a proposição se P então Q verdadeira, já que a condicional só é falsa se P for V e Q for F. Sendo assim, como não foi Rejane que alterou o texto, temos que P é Falsa, e a condicional, independentemente do valor de Q, será verdadeira.

04. Resposta “Certo”

Tabela VerdadeP ~P ~P ∧ P ~(~P ∧ P)V F F VF V F V


raciocínio lógico

Quando temos:A e ~A = F (o valor lógico sempre será falso. Eu vou para praia “e” eu não vou para a praia).A ou ~A = V ( o valor lógico sempre será verdadeiro. O cavalo é branco “ou” o cavalo não é branco).

Sendo a proposição P e ~P sempre falsa, conforme demonstrado acima, a negação então será sempre verdadeira.

05. Resposta”D”.A opção A pode ser simbolicamente representada como P∧¬Q, onde P é V e Q é V. Pela lei da conjunção, V∧¬V=F. A opção

B é F, pois o texto diz que “em caso de mudança, o servidor deverá comunicar, o quanto antes, seu novo endereço à Divisão de Administração de Pessoal”. A opção C é F, pois o texto diz que “cópias dos diplomas ou dos certificados de conclusão, devidamente autenticadas devem ser encaminhadas à Divisão de Administração de Pessoal”. A opção D pode ser simbolicamente representada por R ∧S, onde R é V e S é F. Pela lei da disjunção, V ∧ F = V. A opção E pode ser simbolicamente representada como ¬T∧¬U, onde T é F e U é V. Pela lei da conjunção, V ∧ F = F.

06. Resposta “Errado”.Existem dois casos de disjunção: inclusiva e exclusiva.

- Inclusiva (ou soma lógica) - só é falsa quando ambos os valores forem falsos:F + F = FF + V = VV + F = VV + V = F

- Exclusiva (só é verdadeira quando ambos os valores forem semelhantes):F + F = VF + V = FV + F = FV + V = V

A questão especificou a disjunção como “ou”. Portanto, está errada.

07. Resposta “Certo”.P: “as operações de crédito no país aumentam”.Q: “os bancos ganham muito dinheiro”.P então Q. Tal estrutura lógica equivale a ~Q então ~P.

“Se as operações de crédito no país aumentam, então os bancos ganham muito dinheiro”. Equivale a A → B;“Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam”. Equivale a ~B → ~A;Logo, como A → B equivale a ~B → ~A a afirmativa é correta.

08. Resposta “Errado”.A proposição do tipo P então Q tem valor lógico V (verdadeiro) quando as duas condições são verdadeiras, as duas condições são

falsas e a primeira condição é falsa e a segunda é verdadeira. Sabendo que a primeira condição é falsa (já que a questão afirma que “algum banco lucra mais nos Brasil do que nos EUA”), concluímos que a segunda pode ser falsa ou verdadeira que a proposição terá valor lógico V(verdadeiro). Logo, não podemos afirmar que a segunda proposição será F.

Negação:Todo A é B = Algum A não é B.Algum A é B = Todo A não é B.Algum A é B = Nenhum A é B.Nenhum A é B = Algum A é B.

Equivalência:Todo A é B = Nenhum A não é B.Nenhum A é B = Todo A não é B.Todo A é B = A condicionado a (→) B.


raciocínio lógico

1- Verdadeiro - Algum banco lucra mais no Brasil do que nos EUA.2- Falso - Todo banco não lucra mais no Brasil do que nos EUA.3- Equivalente à segunda - Se todos os bancos não lucram mais no Brasil do que nos EUA, então... (quer dizer que nos EUA

lucram mais).

A primeira parte é falsa, a segunda parte não importa, pois falso condicionado a qualquer coisa sempre será verdadeiro. Equivalente à terceira - Se todos os bancos lucram mais no EUA do que no Brasil, então... Não importa o resto, continua sendo falso condicionado a qualquer coisa, sendo verdadeiro, portanto.

09. Resposta “Errado”.

F ou V = V.A: F; ~A: VC: F; ~C: V~A v ~C = V ∧ V = V

A banca misturou constitucional com raciocínio-lógico, então teríamos que julgar.Proposição A – falsa.Proposição B – verdadeira.Proposição C – falsa.

Na disjunção para ser falsa, ambas as proposições têm que ser falsas.A ou B - F ou F = Falso¬A ou ¬ B = V ou V = Verdade

10. Resposta “A”.A opção A de fato não poderá ser V, pois, para que isto ocorresse teríamos que atribuir o valor V para A e para ¬B na primeira

parte da conjunção, o que tornaria a segunda parte F. A opção B pode ser V, basta que A ou B sejam V. A opção C pode ser V, basta que A e B sejam V. A opção D pode ser V, basta que A seja V. A opção E pode ser V, basta que A seja V.

Tabela Verdade

A B ~A ~B

V V F V

V F F F

F V V V

F F V F

(A) [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∧ B]Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria

falso, Ex: (A) [(V ∧ (F)] ∧ [(F) ∧ V] = falso.Linha (II) - Considerando A verdade e B falso. A primeira parte da AND (E) seria verdade, a segunda seria falsa, consequentemente

o resultado seria falso, Ex: (A) [(V ∧ (V)] ∧ [(F) ∧ F] = falso.Linha (III) - Considerando A falso e B verdade. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria

falso, Ex: (A) [(F ∧ (F)] ∧ [(V) ∧ V] = falso.Linha (IV) - Considerando A falso e B falso. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria falso,

Ex: (A) [(F ∧ (F)] ∧ [(V) ∧ V] = falso.


raciocínio lógico

(B) (A ∧ B) ∧ [(¬A) ∧ (¬B)]Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A primeira parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (B) [(V ∧ V) ∧ [(F) ∧ F] = verdade.

(C) [A ∧ (¬B)] ∧ (A ∧ B)Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (C) [(V ∧ (F)] ∧ (V ∧ V) = verdade.

(D) [A ∧ (¬B)] ∧ ALinha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (D) [V ∧ (F)] ∧ V = verdade.

(E) A ∧ [(¬B) ∧ A] Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (E) V ∧ [(F) ∧ V] = verdade.

Proposições ou Sentenças

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r: 7 > 3s: 8 + 2 ≠ 10

Tipos de Proposições

Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em:

- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil.

- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo: “O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.


raciocínio lógico

Proposições Afirmativas e Negativas

No caso de negativa podemos ter:

“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.

“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

- Todo S é P (universal afirmativa – A)

P

S ou

P=S

- Nenhum S é P (universal negativa – E)

S P

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

SP

ou

P

Sou

P=S

ou

S

P

- Algum S não é P (particular negativa – O)

S

P

ou

S

Pou

S P


raciocínio lógico

Princípios

- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. - Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não

podendo ter outro valor.a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira.b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando

novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” ∧

corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)- Disjunções: a

∧

b (lê-se: a ou b) - Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒q)

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

Exemplos

1. 94:)( =+xxp

A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5−=x

2. 3:)( <xxqDessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como

2−=x , e outros são falsos, como .7+=x


raciocínio lógico

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que )(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-se

p ~p

V F

F V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.

A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do

Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.


raciocínio lógico

Exemplos

(1) p: eu sou estudioso(2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos

São proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2 + 5 = 3 . 4

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas:- Roma- O cão do menino- 7+1- As pessoas estudam- Quem é?- Que pena!

Tabela Verdade

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF


raciocínio lógico

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos

p: o sol é verde;q: um hexágono tem nove diagonais;r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F


raciocínio lógico

Questões

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:a) P ˅ ~qb) p → qc) ~p ^ ~qd) p ↔ ~qe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine:a) a contrapositivab) a recíproca

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s).b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V (r).c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r).

05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas:

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol.b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões:I- Alguns baianos são louros.II- Alguns professores são baianos.III- Alguns louros são professores.IV- Existem professores louros.

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.

a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira.b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa.c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.

a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais.b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.


raciocínio lógico

09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo.

I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus

fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar de ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R).c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P.e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Respostas:

01. a) “Está frio ou não está chovendo”.b) “Se está frio então está chovendo”.c) “Não está frio e não está chovendo”.d) “Está frio se e somente se não está chovendo”.e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”.

02. a) ~(p ˅ q);b) p → qc) ~(p ˅ ~q)d) ~p ^ ~qe) q ↔ ~p


raciocínio lógico

03.a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”.b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F;

Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = Fb) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p)

= V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = Vc) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos

assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

05. a) R – {2}b) [-2,2[

06.a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07.a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos:(¬ P) v (¬ Q)(¬ V) v (¬ V)(F) v (F)Falsa

b) Item ERRADO. A condicional regra que:R → (¬ T)F (¬ V)F (F)Verdadeira

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional:(P ^ R) → (¬ Q)(V ^ F) → (¬ V) F FVerdadeira


raciocínio lógico

08.a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-verdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar

que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:

P Q ¬P P v Q Q → ¬PV V F V F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S):

P Q S (P v Q) → S P → S v Q → SV F F F VF V F F V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre

ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.

10. Resposta “E”.A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma

melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha.e) Elas deram as seguintes informações:


Faça uma tabela:

Cor dos cabelos Loura Morena Ruiva

Afirmação Não vou à França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos à

França

País Alemanha França EspanhaNome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete.Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não

vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.


RACIOCÍNIO LÓGICO

1.3 CONECTIVOS.

Para compôr novas proposições, defi nidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. Os conectivos mais usados são: “e”(˄), “ou”(˅), “se... então”(→) e “se e somente se”(↔).

Exemplos- Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país.- Professor Fábio é esperto ou está doente.- Se eu comprar um carro, então venderei meu carro antigo.- Um número é primo se e somente se for divisível apenas por 1 e por si mesmo.

Operação Conectivo Estrutura Lógica ExemplosNegação ¬ Não p A bicicleta não é azul.

Conjunção ^ p e q Thiago é médico e João é Engenheiro.Disjunção Inclusiva v p ou q Thiago é médico ou João é Engenheiro.

Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é Médico ou João é Engenheiro.

Condicional → Se p então q Se Thiago é Médico então João é Engenheiro.Bicondicional ↔ p se e somente se q Thiago é médico se e somente se João é Médico.

Conectivo “e” (˄)

Sejam os argumentos:p: -3 é um número inteiro.q: a cobra é um réptil.Com os argumentos acima, podemos compôr uma sentença fechada, que expressa os dois argumentos: “-3 é um número inteiro e

a cobra é um réptil”. A sentença pode ser representada como p ˄ q, podemos receber um valor lógico, verdadeiro ou falso.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p ˄ q será chamada de conjunção. Observe que uma conjunção p ˄ q só é verdadeira quando p e q são verdadeiras. Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p ˄ qV V VV F FF V FF F F

Atenção: Os conectivos são usados para interligar duas ou mais sentenças. E toda sentença interligada por conectivos terá um valor lógico, isto é, será verdadeira ou falsa. Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros.

Conectivo “ou” (V)

O conectivo “ou” pode ter dois signifi cados:

1. “ou” inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente)2. “ou” exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa)


raciocínio lógico

Atenção: Estudaremos o “ou” inclusivo, pois o elemento em questão pode possuir duas ou mais características, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais qualidades ou características. Sejam:

p: 3 é um número inteiro.q: o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.

A partir de p e q, podemos compor:

p V q: 3 é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.Se p e q são duas proposições, a proposição p V q será chamada adjunção ou disjunção.

Observe que uma adjunção p V q é verdadeira quando uma das proposições formadoras, p ou q, é verdadeira. Para a adjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p V qV V VV F VF V VF F F

Atenção: O conectivo V, “ou”, é utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando na união desses argumentos. O valor resultante da união de dois ou mais argumentos somente será falso quando todos os argumentos ou proposições forem falsos.

Conectivo “Se... então” (→)

Sejam as proposições abaixo:p: 5.4 = 20q: 3 é um número primo.

A partir de p e q, podemos compor:p→q: se 5.4 = 20, então 3 é um número primo.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia”.

1. Podem ocorrer as situações:2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia).

Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa. Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p→qV V VV F FF F VF V V


raciocínio lógico

Existem outras maneiras de ler: p→q: “p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária pra p”. Sejam:p: 18 é divisível por 6.q: 18 é divisível por 2.

Podemos compor:p→q: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que se pode ler:- “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é divisível por 2” ou, ainda,- “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é divisível por 6”.

Atenção: Dizemos que “p implica q” (p→q) quando estamos considerando uma relação entre duas proposições, compostas ou não, diferentemente do símbolo →, que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa proposição.

Conectivo “Se e somente se” (↔)

Sejam:p: 16 / 3 = 8q: 2 é um número primo.

A partir de p e q, podemos compor:p↔q: 16 / 3 = 8 se e somente se 2 é um número primo.Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é

condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”.

Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol”. Podem ocorrer as situações:1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)

Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras. Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p↔qV V VV F FF V FF F V

Devemos lembrar que p↔q é o mesmo que (p→q) ˄ (q→p). Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo” é o mesmo que dizer: “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”.

Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (p→q) quando estamos considerando uma relação entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo ↔ , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa nova proposição. Exemplos:

1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas:a) p1 : 2 + 5 = 7 ou 2 + 5 = 6 Temos que p ˅ q, com p(V), q(F); portanto, p1 (V)b) p2 : se 2 + 4 = 8 se 2 + 4 = 8, então 2 = 6 = 9 Temos que p→q com p(F), q(F); portanto, p2 (V)


raciocínio lógico

2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: “se x² - 14x + 48 = 0, então x – 2 = 4”. Como x² - 14x + 48 = 0 ↔ x = 6 ou x = 8 e x – 2 = 4 ↔ x = 6, tem-se:

a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V.b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F.c) (FV) não se verifica.d) (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6 e 8, temos o valor lógico V.

3. Sejam as proposições:p: Joana é graciosa.q: Fátima é tímida.Dar as sentenças verbais para: p→~qSe Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.~(~p ∨ q)É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida.

Atenção: O conectivo ↔ é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são equivalentes. Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N”, não é o mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”.

Questões

01. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,(A) mesmo que se esforce, você não vencerá.(B) seu esforço é condição necessária para vencer.(C) se você não se esforçar então não irá vencer.(D) você vencerá só se se esforçar.(E) seu esforço é condição suficiente para vencer.

02. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição “Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado?

03. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance; A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências; A3: buscou evitar situações procrastinatórias. Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do

Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso contrario.

A1 A2 A3

Roberta F

Rejane

Renata V


raciocínio lógico

Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição pq tem valor lógico V. Certo ou errado?

04. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”?

(A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo.

05. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “ ∨”, “ ∨ ”, “¬” e “→” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que:P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”;Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”;R= “ele sempre leva um guarda-chuva”;S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.

(A) P→ (Q ∨ R)(B) (P → Q) ∨ R(C) (P ∨ Q) ∨ (R ∨ S)(D) P ∨ (Q ∨ (R ∨ S))

Respostas

01. Resposta “E”.Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada por duas proposições simples

(você se esforçar) (irá vencer), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma:

Se p então q, ou seja:→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.

Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas.


raciocínio lógico

p q p→qV V VV F FF V VF F V

Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas).

Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”, cuja tabela verdade se verifica a seguir:

p ~p

V F

F V

O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e viceversa, se a proposição p é falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através da tabela verdade:

p q ~p ~q p→q ~q→~p

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício:

Se você se esforçar então irá vencer→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente.→ irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente.→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→ irá vencer é a proposição

q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→.

Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Ou seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas:

Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforçar é a condição suficiente para que você vença, ou seja, basta

que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto.b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra.c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova.


raciocínio lógico

Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Observe que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não quer dizer afirmar a outra.

d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você vencer, o que não é verdade.e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença.

02. Resposta “Errado”.

Analisando as proposições:A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsaB: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é verdadeira;C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” - é falsa.Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo → (implica), a proposição

composta terá valor lógico F.


Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de acordo com os dados do enunciado:

A1 A2 A3

Roberta F V F

Rejane V F F

Renata F F V

Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e, pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V.

04. Resposta “A”.

Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o conectivo “e”, para se ter uma verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição.

- Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradição. - Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há contradição. - Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a alternativa “A” satisfaz ao

enunciado.


A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo ∨ é o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P ∨ Q.

Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R ∨ S. Reunindo então as duas partes da proposição original, obtém-se (P ∨ Q) ∨ (R ∨ S).


RACIOCÍNIO LÓGICO

1.4 TABELAS-VERDADE.

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples. A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das proposições.

Proposição Composta do Tipo P(p, q)

p q P(p, q)

V V ?

V F ?

F V ?

F F ?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r)


raciocínio lógico

p q r P(p, q, r)

V V V ?

V V F ?

V F V ?

V F F ?

F V V ?

F V F ?

F F V ?

F F F ?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r, s): a tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.

Proposição Composta do Tipo P(p1, p2, p3,…, pn): a tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.

O Conectivo “não” e a negação

O conectivo “não” e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:

p ~pV FF V

Exemplo:

a)p = 7 é ímpar. ~p = 7 não é ímpar.

p ~pV F

b)q = 24 é múltiplo de 5. ~q = 24 não é múltiplo de 5.

q ~qF V

Observação: A negação de “Roma é a capital da Itália” é “Roma não é a capital da Itália” ou “Não é verdade que Roma é a capital da Itália”. Note que:

- A negação de “Todos os brasileiros são carecas” é “Nem todos os brasileiros são carecas” ou “Pelo menos um brasileiro não é careca”.

- A negação de “Nenhum homem é careca” é “Algum homem é careca” ou “Pelo menos um homem é careca”.


raciocínio lógico

Número de linhas da Tabela Verdade

Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, segundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

PVF

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:

P QV VV FF VF F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim:

P Q R

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q∨R, ou (Q

∨

R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade. Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R].

- “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F). Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:


raciocínio lógico

P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los.

O Conectivo e “e” a conjunção

O conectivo “e” e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p ˄ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ˄ qV V VV F FF V FF F F

Exemplo:

a)p = 2 é par.q = o céu é rosa.p ˄ q = 2 é par e o céu é rosa.

p q p˄ qV F F

b)p = 9 < 6.q = 3 é par.p ˄ q: 9 < 6 e 3 é par.

p q p ˄ qF F F

c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.p ˄ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil.

p q p ˄ qV V V


raciocínio lógico

O Conectivo “ou” e a disjunção

O conectivo “ou” e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p v q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Exemplo:

a)p = 2 é par. q = o céu é rosa. p ν q = 2 é par ou o céu é rosa.

p q p ∨ qV F V

b)p = 9 < 6. q = 3 é par. p ν q: = 9 < 6 ou 3 é par.

p q p ∨ qF F F

c)p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil.

p q p ∨ q

V V V

d)p = O número 9 é par. q = O dobro de 50 é 100.p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100.

p q p ∨ q

F V V


raciocínio lógico

O Conectivo “se… então…” e a condicional

A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemplo:

a)p: 7 + 2 = 9.q: 9 – 7 = 2.p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2.

p q p → qV V V

b)p = 7 + 5 < 4. q = 2 é um número primo.p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.

p q p → q

F V V

c)p = 24 é múltiplo de 3. q = 3 é par.p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.

p q p → q

V F F

d)p = 25 é múltiplo de 2.q = 12 < 3.p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.


raciocínio lógico

O Conectivo “se e somente se” e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos. O símbolo p ↔ q representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo:

a)p = 24 é múltiplo de 3. q = 6 é ímpar. p ↔ q = 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.

p q p ↔ q

V F F

b)p = 25 é quadrado perfeito.q = 8 > 3. p ↔ q = 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3.

p q p ↔ q

V V V

c)p = 27 é par.q = 6 é primo.p ↔ q = 27 é par se, e somente se, 6 é primo.

p q p ↔ q

F F V

Tabela-Verdade de uma Proposição Composta

Exemplo: veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q), onde p e q são duas proposições simples quaisquer. Resolução: uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:


raciocínio lógico

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)

V V

V F

F V

F F

Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.

a) Valores lógicos de p ν q

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V V VV F VF V VF F F

b) Valores lógicos de ~p

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)

V V V F

V F V F

F V V V

F F F V

c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p)


V V V F F

V F V F F

F V V V V

F F F V V

d) Valores lógicos de p ∨ q

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V V V F F VV F V F F FF V V V V FF F F V V F


raciocínio lógico

e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p ∨ q)


V V V F F V V

V F V F F F V

F V V V V F F

F F F V V F F

QUESTÕES

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:

(A) p v ~q(B) p → q c) ~p ∨ ~q(C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q ∨ ~p)

02. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

(A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.(B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.(C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.(D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.(E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.

(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

03. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível.(A) É falso que não está frio ou que está chovendo.(B) Se as ações caem aumenta o desemprego.(C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis.(D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica.(E) Jorge estuda física mas não estuda química.

(Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”)

04. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine:(A) a contrapositiva (B) a recíproca

05.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs).(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r).(C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).


raciocínio lógico

06. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições:(A) (p v q) Λ ~p(B) p Λ (p → q) Λ (p →~q)(C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q(D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q))(E) ~p → (p v ~(p v ~q))

07. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas.

(A)

(B)

08. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade:(A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r(B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∨ s)(C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r(D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumentados.

Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados.

09. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:(A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0(B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0

10. Dê a negação das seguintes proposições:(A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever.(B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente.(C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser par é ser igual a 2.

Respostas

01.(A) “Não está frio e não está chovendo”.(B) “Está frio se e somente se não está chovendo”.(C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”.


raciocínio lógico

02.(A) ~(p v q)(B) p → q(C) ~(p v ~q)(D) ~p ∨ ~q(E) q ↔ ~p

03.(A) “Não está frio ou está chovendo”.(B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”.(C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabeloslouros”.(D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica” cuja negação é “É um bom matemático e não

sabe lógica”.(E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”.

04.(A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”.(B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”.

05.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2), determine V(p → r Λ s).Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos:V(p) = V(q) = V, logo,V(p → r Λ s) = F

(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r).Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V.

(C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos permite concluir que V(p) =

V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V. Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V.

06. (A) (p∨q) ∨ ~p ↔ (p ∨~p) ∨ (q ∨~p) ↔ F ∨ (q ∨~p) ↔ (q ∨~p)

(B) p ∨ (p→q) ∨ (p→~p) ↔ p ∨ (~p∨q) ∨ (~p∨~q)↔ p ∨ ((~p ∨ (q ∨~q)) ↔ p ∨ (~p ∨ F) ↔ p ∨ ~p ↔ F

(C) p ∨ (p∨q) → (p ∨q) ∨ q ↔ p→q

(D) ~(p→q) ∨ ((~p ∨q)) ↔ (p ∨~q) ∨ ((~p ∨q) ∨ (~p ∨~q))(p ∨~q) ∨ ((~p ∨ (q∨~q)) ↔ (p ∨~q) ∨ (~p ∨V) ↔ (p ∨~q) ∨ ~p(p ∨~p) ∨ ~q ↔ F ∨ ~q ↔ F

(E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p ∨q)) ↔(p∨~p) ∨ (p∨q) ↔ V ∨ (p∨q) ↔ p∨q

07.(A) (p ∨q) ∨ ((p ∨q) ∨ q) ∨ p ↔ ((p ∨q) ∨ p ↔ q ∨p

(B) ((p∨q) ∨ r)) ∨ ((q ∨r) ∨ q)) ↔((p∨q) ∨ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∨ (r∨q)↔ (p∨q) ∨ (r∨q) ↔ q ∨ (p ∨r)


RACIOCÍNIO LÓGICO

08. (A) Válido (B) Válido(C) Sofi sma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.(D) Considere p: O défi cit público não diminui; q: A infl ação cai; r: Os impostos são aumentados.Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido)

09.(A) R- {2} (B) [-2, 2[

10.(A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”.(B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”.(C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é par”.

2 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO.

Um argumento é “uma série concatenada de afi rmações com o fi m de estabelecer uma proposição defi nida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1,...,pn que tem como consequência outra proposição q. Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Podemos representar por:

p1p2p3...pn∴ q

Exemplos:

01. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.Passei no concurso________________________∴ Irei trabalhar

02. Se ele me ama então casa comigo.Ele me ama.__________________________∴ Ele casa comigo.


raciocínio lógico

03. Todos os brasileiros são humanos.Todos os paulistas são brasileiros.__________________________∴ Todos os paulistas são humanos.

04. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.__________________________∴ Todos os jogadores receberão o bicho.

Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo:

Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água. Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________Conclusão: ∴ Todos os sabões são substâncias solúveis em água.

Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão. Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão.

Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas. O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo:

Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.Premissa: Lontras são peixes.Conclusão: Logo, focas vivem no oceano.

Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo A denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão.

Regras de Implicação

Premissas Conclusão Inferência

A B A à B

Falsas Falsa Verdadeira

Falsas Verdadeira Verdadeira

Verdadeiras Falsa Falsa

Verdadeiras Verdadeira Verdadeira

- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).- Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3).- Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4).

Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.


raciocínio lógico

Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação. Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo por meio do processo chamado “inferência”. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Consequentemente...” ou “isso implica que...”.

Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular. A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”.1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um começo.3. Premissa: Começar envolve um evento.4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento.5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.6. Conclusão: O universo teve uma causa.

A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.

Validade de um Argumento

Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo:

Todos os apartamentos são pequenos. (V)Todos os apartamentos são residências. (V)__________________________________∴ Algumas residências são pequenas. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)Todos os pássaros são peixes. (F)__________________________________∴ Todos os pássaros têm asas. (V)


raciocínio lógico

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)Todos os cães são peixes. (F)__________________________________∴ Todos os cães têm asas. (F)

Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo:

Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.__________________________∴ Todas as princesas são bonitas.

Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos os A são B.Todos os C são A.________________∴ Todos os C são B.

Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é consequência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

Argumentos Dedutivos e Indutivos

O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo:

Todo ser humano tem mãe.Todos os homens são humanos.__________________________∴ Todos os homens têm mãe.

O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para retificar as conclusões. Exemplo:

O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.______________________________∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons.

Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

Argumentos Dedutivos Válidos

Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.


raciocínio lógico

Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens. Exemplo:

Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.José foi aprovado no concurso.___________________________∴ José será demitido do serviço.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

Se p, então q,

..q

p∴

ou p → q

qp

∴

Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus tollens). Obs.: ( )qp → é equivalente a ( )pq ¬→¬ . Esta equivalência é chamada de contra positiva. Exemplo:

“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”;

Então vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo:

Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação.Não há inflação.______________________________∴ Não aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Se p, então q,

..

pNãoqNão

∴

ou

p → q

pq¬∴¬

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo:

João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.Eis o dilema de João:

Ou João passa ou não passa no concurso.Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho._________________________∴ Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos colegas de trabalho.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

p ou q.

Se p então r

soursentãopSe

∴.

ou

p ∨ q

p→ r

srsq

∨∴→


raciocínio lógico

Argumentos Dedutivos Não Válidos

Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia a dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação).

Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica. Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não válido, chamaremos os argumentos não válidos de falácias. A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência. O primeiro caso de argumento dedutivo não válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do consequente”. Exemplo:

Se ele me ama então ele casa comigo.Ele casa comigo._______________________∴ Ele me ama.

Podemos escrever esse argumento como:

Se p, então q,

pq

∴ ou

p→ q

pq

∴

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Outra falácia que corre com frequência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”. Exemplo:

Se João parar de fumar ele engordará.João não parou de fumar.________________________∴ João não engordará.

Observe que temos a forma:

Se p, então q,

..

qNãopNão

∴

ou

p → q

qp¬∴¬

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo:

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todos os gatos são mortais. (V)___________________________∴ Todos os gatos são mamíferos. (V)


raciocínio lógico

Este argumento tem a forma:

Todos os A são B.Todos os C são B._____________________∴ Todos os C são A.

Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todas as cobras são mortais. (V)__________________________∴ Todas as cobras são mamíferas. (F)

Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3, ...Pn é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: (P1 ∧ P2 ∧ P3 ...Pn) e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia).

Tautologia: Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma tautologia. Ex: P (p,q) = ( p ∧ q) ↔ (p V q) . Numa tautologia, o valor lógico da proposição composta P (p,q,s) = {(p ∧ q) V (p V s) V [p ∧ (q ∧ s)]} →

p será sempre verdadeiro.

Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.

Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”. Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.

Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”. Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein. Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”. Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando. Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

QUESTÕES

01. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.


raciocínio lógico

02. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:

a) 25b) 87c) 112d) 121e) 169

03. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

04. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

05. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

06. (FUNIVERSA - 2012 - PC-DF - Perito Criminal) Parte superior do formulárioCinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual

fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras:

Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou.Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00.Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa.


raciocínio lógico

Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a

(A) Antônio. (B) Basílio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo.

07. (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Parte superior do formulárioCaso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar

em Passárgada. Assim,(A) não viajo e caso.(B) viajo e caso.(C) não vou morar em Passárgada e não viajo.(D) compro uma bicicleta e não viajo.(E) compro uma bicicleta e viajo.

08. (FCC - 2012 - TST - Técnico Judiciário) Parte superior do formulárioA declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma

faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente,

(A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde. (B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês. (C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. (D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês.(E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

09. (CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Analista de Sistemas) Parte superior do formulárioSe hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou

natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje

(A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço.(B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira.(C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas.(E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço.

10. (VUNESP - 2011 - TJM-SP) Parte superior do formulárioSe afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou

sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que(A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.

Respostas

01.(P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.(P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.


raciocínio lógico

Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e.

Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

Francisco não fala francêsChing não fala chinês

Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol.

Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês.

Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano.

Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão.

Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações:

Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanholDébora não fala dinamarquêsIara não fala italianoAna fala alemão.

A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema.02. Resposta “B”.O número que não é primo é denominado número composto. O número 4 é um número composto. Todo número composto pode

ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p é um número primo.

Observe os seguintes números:1 2 22 (4)1 3 3² (9)1 5 5² (25)1 7 7² (49)1 11 11² (121)


raciocínio lógico

Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

03. Resposta “B”.O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). A validade

de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir:

Todo cavalo tem 4 patas (P1)Todo animal de 4 patas tem asas (P2)Logo: Todo cavalo tem asas (C)

Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe:

Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2)Artur gosta de Lógica (P3)

Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo:


raciocínio lógico

p q p V qV V FV F VF V VF F F

Sendo as proposições:p: Lógica é fácilq: Artur não gosta de Lógicap v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)

Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então.

Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que: Geografia não é difícil - é o antecedente do se então. Lógica é difícil - é o consequente do se então.

Chamando:r: Geografia é difícil~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil)p: Lógica é fácil(não p) ~p: Lógica é difícil~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a

negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil.

De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que:Artur gosta de LógicaLógica é fácilGeografia é difícil

Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira:a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro

e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem

forem verdadeiras.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F)d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F)e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem

falsas.

04. Alternativa “A”.Com os dados fazemos a tabela:

Camisa azul Camisa Branca Camisa Preta

“eu sou culpa-do”

“sim, ele (de camiza azul) é o

culpado”

“Eu roubei o colar da rainha; o culpado

sou eu”


raciocínio lógico

Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo.

II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente.

III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo.

O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A).

05. Resposta “C”.Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do conectivo “se então” também representado por “→”. Vamos a um

exemplo:Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo

então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja:

→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente.→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente.→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q.→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.

Vamos às informações do problema:1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição

duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”.

3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D.

4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E).

Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa).

Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jardim).Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça).Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do

castelo).

Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.


raciocínio lógico

06. Resposta “D”. Como todas as informações dadas são verdadeiras, então podemos concluir que:1 - Basílio pagou;2 - Carlos pagou;3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos, estavam os R$ 50,00 pagos

por Eduardo, então...4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00.

O único que escapa das afirmações é o Danton.

Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E.

Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E.Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E.Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Restam A, D, e E.Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam D, e E.Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta somente D (Dalton) a

pagar.

07. Resposta “B”.1°: separar a informação que a questão forneceu: “não vou morar em passárgada”.2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira.3°: destacando-se as informações seguintes:- caso ou compro uma bicicleta.- viajo ou não caso.- vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta.

Logo:- vou morar em pasárgada (F)- não compro uma bicicleta (V)- caso (V)- compro uma bicicleta (F)- viajo (V)- não caso (F)

Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta.

Outra forma:

c = casarb = comprar bicicletav = viajarp = morar em Passárgada

Temos as verdades:c ou bv ou ~cp ou ~b

Transformando em implicações:~c → b = ~b → c~v → ~c = c → v~p → ~b


raciocínio lógico

Assim:~p → ~b~b → cc → v

Por transitividade:~p → c~p → v

Não morar em passárgada implica casar. Não morar em passárgada implica viajar.


A declaração dizia:“Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Porém, o diretor percebeu

que havia se enganado, portanto, basta que um funcionário não tenha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessariamente, um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.

Proposição composta no conectivo “e” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa.

1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde.2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.

Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente, ou seja, pode ser na primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso.

Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou”, pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro.

Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conectivo que é o “e”, que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas.

A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.

Essa fica assim ~(p ^ q). A negação dela ~pv~q

~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”)

A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem...

No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00.


Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.

V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos:S V Q → PF V PN


raciocínio lógico

Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos:

PF V PN → JeJe → ~Ja~Ja → ~C

Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa.

~Ja → ~C

Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa. ~Ja → ~C

Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira.

Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.

Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

Representação lógica de todas as proposições:

S V Q → PF V PN(f) (f) (f) (f) F F

PF V PN → Je F FJe → ~Ja F F

~Ja → ~C F F

Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva, Pedro não teve aula de futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema.


Dê nome:A = AFINO as cordas;I = INSTRUMENTO soa bem;T = TOCO bem;S = SONHO acordado.

Montando as proposições:1° - A → I2° - I → T3° - ~T V S (ou exclusivo)


RACIOCÍNIO LÓGICO

Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso “ou isso ou aquilo, escolha UM”).

~T = VT = FI → T(F)

Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o F passa para trás. Assim: I = FNovamente: A → I(F)

O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afi nadas.

Outra forma: partimos da premissa afi rmativa ou de conclusão; última frase: Não sonho acordado será VERDADEAdmita todas as frases como VERDADEFicando assim de baixo para cima

Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = VSe o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = VSe afi no as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = V

A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F. Na disjunção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. Extraindo as conclusões temos que:

Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade.Se afi no as corda deu falso, então não afi no as cordas.Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não soa bem.Joga nas alternativas:(A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dormindo, só temos como verdade que não sonho acordado, pode ser

que você nem sonhe).(B) o instrumento afi nado não soa bem deu que: Não afi no as cordas.(C) Verdadeira: as cordas não foram afi nadas.(D) mesmo afi nado (Falso deu que não afi no as cordas) o instrumento não soa bem.(E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco muito bem e não sonho acordado.

3 SEQUÊNCIAS E SÉRIES.

O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.

Sequências Lógicas

As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, fi guras, etc. Existem várias formas de se estabelecer uma sequência, o importante é que existam pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para defi nir sua lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos.


raciocínio lógico

Sequência de Números

Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número.

Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número.

Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão.

Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores.

1 1 2 3 5 8 13

Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais.

2 3 5 7 11 13 17

Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais.

1 4 9 16 25 36 49

Sequência de Letras

As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta.

A C F J O U

Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

B1 2F H4 8L N16 32R T64

Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posições.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T


raciocínio lógico

Sequência de Pessoas

Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição.

Sequência de Figuras

Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir.

Sequência de Fibonacci

O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais.

Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci.


raciocínio lógico

Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da sequência de Fibonacci.

O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro.

Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: (1).

Como: b = y – a (2). Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. Resolvendo a equação:

em que não convém.

Logo:

Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:

Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a é chamado retângulo áureo como o caso da fachada do Partenon.


raciocínio lógico

As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos:

Exemplo 1

A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4.6 x 4 = 2424 x 4 = 9696 x 4 = 384384 x 4 = 1536

Exemplo 2

A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade.13 – 10 = 317 – 13 = 422 – 17 = 528 – 22 = 635 – 28 = 7

Exemplo 3


raciocínio lógico

Multiplicar os números sempre por 3.1 x 3 = 33 x 3 = 99 x 3 = 2727 x 3 = 8181 x 3 = 243243 x 3 = 729729 x 3 = 2187

Exemplo 4

A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades.24 – 22 = 228 – 24 = 434 – 28 = 642 – 34 = 852 – 42 = 1064 – 52 = 1278 – 64 = 14

QUESTÕES

01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte:


raciocínio lógico

A carta que está oculta é:

(A) (B) (C)

(D) (E)

02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério.

Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser:(A) 69 (B) 67 (C) 65 (D) 63 (E) 61

03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ...(A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770

04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a ausência de um deles que pode ser:

(A) 76(B) 10 (C) 20 (D) 78


raciocínio lógico

05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados conforme indicado abaixo:

1° 2° 3°

.............

Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? (A) 20 palitos (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos

06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é:

(A)

1 3 62 4 5

(B)4

5 1 2 36

(C)5

6 4 1 23

(D)2

3 6 14 5

(E)3

2 1 6 54


raciocínio lógico

07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo.

Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na:(A) 36ª figura(B) 48ª figura(C) 72ª figura(D) 80ª figura(E) 96ª figura

08. Analise a sequência a seguir:

Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número?(A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200

10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número?(A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21


raciocínio lógico

11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério.

LACRAÇÃO → calAMOSTRA → somaLAVRAR → ?

Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é:(A) alar(B) rala(C) ralar(D) larva(E) arval

12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão.

Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

(A) (B) (C)

(D) (E)

13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação.

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a:(A) 40(B) 42(C) 44(D) 46(E) 48


raciocínio lógico

14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado critério.

Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

(A) P(B) O(C) N(D) M(E) L

15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados.

1234567891011121314151617181920...

O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é:(A) 9(B) 8(C) 6(D) 3(E) 1

16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão.

Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:

(A) (B)

(C) (D)

(E)


raciocínio lógico

17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros triângulos obedecem a um mesmo critério.

Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é:(A) 32(B) 36(C) 38(D) 42(E) 46

18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é:

(A) 36,(B) 40,(C) 42,(D) 44,(E) 48

19. Observando a sequência (1, , , , , ...) o próximo numero será:

(A)

(B)

(C)

(D)

20. Considere a sequência abaixo: BBB BXB XXBXBX XBX XBXBBB BXB BXX

O padrão que completa a sequência é:

(A) (B) (C)XXX XXB XXXXXX XBX XXXXXX BXX XXB

(D) (E) XXX XXXXBX XBXXXX BXX


raciocínio lógico

21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série é:

(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o “B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li:

(A) FAZ AS DUAS;(B) DIA DO LOBO;(C) RIO ME QUER;(D) VIM DA LOJA;(E) VOU DE AZUL.

23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por:(A) 326187;(B) 876132;(C) 286731;(D) 827361;(E) 218763.

24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo seguinte número:(A) 53452;(B) 23455;(C) 34552;(D) 43525;(E) 53542.

25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado.

Número dado

Quantidade de números de 2 algarismos em comum

48.765 1

86.547 0

87.465 2

48.675 1

O número procurado é:(A) 87456(B) 68745(C) 56874(D) 58746(E) 46875


raciocínio lógico

26. Considere que os símbolos ♦ e ♣ que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.

36 ♦ 4 ♣ 5 = 14

48 ♦ 6 ♣ 9 = 17

54 ♦ 9 ♣ 7 = ?

Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número:(A) 16(B) 15(C) 14(D) 13(E) 12

27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é:

(A) J(B) L(C) M(D) N(E) O

28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.

Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do animal é:

(A) 37(B) 39(C) 45(D) 49(E) 51

Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.

29. CASA: LATA: LOBO: ?(A) SOCO(B) TOCO(C) TOMO(D) VOLO(E) VOTO


raciocínio lógico

30. ABCA: DEFD: HIJH: ?(A) IJLI(B) JLMJ(C) LMNL(D) FGHF(E) EFGE

31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 123,...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número:

(A) Menor que 200.(B) Compreendido entre 200 e 400.(C) Compreendido entre 500 e 700.(D) Compreendido entre 700 e 1.000.(E) Maior que 1.000.

Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação.

32. Ardoroso → rodo Dinamizar → mina Maratona → ?(A) mana(B) toma(C) tona(D) tora(E) rato

33. Arborizado → azarAsteróide → diasArticular → ?(A) luar(B) arar(C) lira(D) luta(E) rara

34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, __, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __...

35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço?

36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas?

37. Quantos quadrados existem na figura abaixo?


raciocínio lógico

38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.

39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo?

40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais.

41. Observe as multiplicações a seguir:12.345.679 × 18 = 222.222.22212.345.679 × 27 = 333.333.333... ...12.345.679 × 54 = 666.666.666

Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto?

42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de frente para a estrada asfaltada.


raciocínio lógico

43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados.

44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?

45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.

46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência abaixo?

47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos.


raciocínio lógico

48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas.

49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados.

50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos.

Respostas

01. Resposta: “A”. A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor da 3ª carta e, além disso, o

naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser a da opção (A).

02. Resposta “D”.Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se:

Na figura 1: 01 ponto de cada lado 02 pontos no total. Na figura 2: 02 pontos de cada lado 04 pontos no total. Na figura 3: 03 pontos de cada lado 06 pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado 08 pontos no total. Na figura n: n pontos de cada lado 2.n pontos no total.

Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado 30 pontos no total.

Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se:Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo 04 pontos no total. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo 06 pontos no total. Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo 08 pontos no total. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo 10 pontos no total.Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo 2.(n+1) pontos no total.

Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo 32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não foi considerado, temos

para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos.


raciocínio lógico

03. Resposta “B”.Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 970 e 940 é 30, entre 940 e

900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60.

04. Resposta “D”Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 28 é 6, entre 42 e 34 é 8,

entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14.

05. Resposta “D”. Observe a tabela:

Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ªNº de Palitos 4 7 10 13 16 19 22

Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7ª figura.

06. Resposta “A”.Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do lado oposto ao 6, somando

10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado.

07. Resposta “B”. Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 16 : 3 . 16 = 48. Portanto,

na 48ª figura existirão 16 círculos.

08. Resposta “B”.A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A figura de número 277

ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com n N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”.

09. Resposta “D”. A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que inicia cada número. “Dois,

Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só pode iniciar também com “D”: Duzentos.

10. Resposta “C”.Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o número Trinta e um, pois ele

inicia com a letra “T”.

11. Resposta “E”.Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem invertida. Da mesma forma,

na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, obtém-se ARVAL.

12. Resposta “C”. Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já há cabeças com círculo e

com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda.


raciocínio lógico

13. Resposta “A”. Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na parte superior, tem-se que:

do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. Logo, X + Y = 10 + 30 = 40.

14. Resposta “A”.

A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”.

15. Resposta “B”. A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém todos os algarismos dos

números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8, que aparece no número 128.

16. Resposta “D”.Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo e a 3ª figura possui 1

“orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª.

17. Resposta “B”. No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual à diferença entre o

número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 5 21 13 8.A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6.Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo:? ÷ 3 = 19 - 7? ÷ 3 = 12? = 12 x 3 = 36.

18. Resposta “E”.Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 108, obteve-se os seguintes 9,

15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 = 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48.

19. Resposta “B”. Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência:

Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto

1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12

4 x 5 = 20

5 x 6 = 30

20. Resposta “D”. O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos:

BBB BXB XXB XBX XBX XBXBBB BXB BXX7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X


raciocínio lógico

Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é:

XXXXBXXXX1B e 8X

21. Resposta “D”. Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a alternativa “D”, pois como a

questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. 2 + 3 = 5

22. Resposta “E”. A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra que ocupa a quarta posição,

além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de modo que:

VxzaB: B na verdade é V;OpqrS: S na verdade é O;UvxzA: A na verdade é U;DefgH: H na verdade é D;EfghI: I na verdade é E;AbcdE: E na verdade é A;ZabcD: D na verdade é Z;UvxaA: A na verdade é U;LmnoP: P na verdade é L;

23. Resposta “B”. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma sequência numérica. É perguntado

qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta.

24. Resposta “A”. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma sequência numérica. Foi perguntado

qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta.


Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado.

26. Resposta “D”. O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-se: 36 ÷ 4 + 5 = 9 + 5 = 14.

Na 2ª linha, tem-se: 48 ÷ 6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 54 ÷ 9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13.


raciocínio lógico

27. Resposta “A”. As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a sequência que acompanha os

números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J.

28. Resposta “D”. Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte ordem: PERU, MARÁ,

TATU e URSO, obtém-se na tabela:

P E R U

M A R A

T A T U

U R S O

O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49.

29. Resposta “B”. Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de letras deverão ser as mesmas

da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO.

30. Resposta “C”. Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª letra da sequência. Na 2ª

sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL.

31. Resposta “E”. Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu a multiplicação do termo

anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da sequência é um número maior que 1.000.

32. Resposta “D”. Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra “rodo”. Da mesma forma,

da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra “mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, criando-se a palavra “tora”.

33. Resposta “A”. Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem invertida. Já as letras “a” e

“r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e “s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”.

34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...


raciocínio lógico

35.

Dia Subida Descida1º 2m 1m2º 3m 2m3º 4m 3m4º 5m 4m5º 6m 5m6º 7m 6m7º 8m 7m8º 9m 8m9º 10m ----

Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço.

36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. Portanto, são necessários 20 algarismos.

37.

= 16

= 09

= 04

=01

Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados.

38.


raciocínio lógico

39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88.

40.

41.12.345.679 × (2×9) = 222.222.22212.345.679 × (3×9) = 333.333.333... ...12.345.679 × (4×9) = 666.666.666Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81

42.

43.

44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas.

45.

46. Observe que:

3 6 18 72 360 2160 15120 x2 x3 x4 x5 x6 x7

Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960


RACIOCÍNIO LÓGICO

47.

48.

49.

50.

4 CORRELAÇÃO DE ELEMENTOS.

01. Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:

(A) cinza, verde e azul (B) azul, cinza e verde (C) azul, verde e cinza(D) cinza, azul e verde(E) verde, azul e cinza


raciocínio lógico

02. Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio.

Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.

Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”. Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente,

(A) rainha, bruxa, princesa, fada.(B) rainha, princesa, governanta, fada.(C) fada, bruxa, governanta, princesa.(D) rainha, princesa, bruxa, fada.(E) fada, bruxa, rainha, princesa.

03. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:


O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:(A) A loura é Sara e vai à Espanha.(B) A ruiva é Sara e vai à França.(C) A ruiva é Bete e vai à Espanha.(D) A morena é Bete e vai à Espanha.(E) A loura é Elza e vai à Alemanha.

04. Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que:- nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;- marido e esposa não jogam entre si.

Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente:

(A) Celina e Alberto (B) Ana e Carlos (C) Júlia e Gustavo(D) Ana e Alberto(E) Celina e Gustavo

05. Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas namoradas, sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir a um grupo de dança. Um deles é carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se, também, que um é médico, outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As namoradas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta. As namoradas de Caio e de Dario são, respectivamente:


raciocínio lógico

(A) Teresa e Samanta(B) Samanta e Teresa(C) Lúcia e Samanta(D) Lúcia e Teresa(E) Teresa e Lúcia

06. (ESAF - Fiscal do Trabalho) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo,

(A) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.(B) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.(C) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.(D) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.(E) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

07. (ESAF - AFC-SFC) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:

(A) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo.(B) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo.(C) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo.(D) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis.(E) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis.

08. (ESAF - MPU - Analista) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente,

(A) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís.(B) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula.(C) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga.(D) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara.(E) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.

09. (ESAF - MRE - Assistente de Chancelaria) Quatro meninas que formam uma fila estão usando blusas de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto. A menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina que está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul. A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta. As cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente:

(A) amarelo e verde.(B) azul e verde.(C) preto e azul.(D) verde e preto.(E) preto e amarelo.

10. (ESAF - MPU - Administrativa) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,


raciocínio lógico

(A) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.(B) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.(C) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.(D) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.(E) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

11. (ESAF - MPU - Analista) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para,

(A) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa.(B) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô.(C) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.(D) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.(E) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.

Respostas

01. Resposta “D”.Temos as seguintes pessoas: Artur, Bernardo e César.Temos os seguintes carros: Brasília, Parati e Santana.As cores dos carros são: cinza, verde, e azul.

São feitas as seguintes afirmações verdadeiras:1. O carro de Artur é cinza;2. O carro de César é o Santana;3. O carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília.

A questão pede a associação entre cada carro e a sua cor. Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das pessoas com os modelos de carros, e outro quadro relacionando os nomes das pessoas com as cores dos carros e colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta.

Artur Bernardo CésarBrasíliaParati

Santana

Artur Bernardo CésarCinzaVerdeAzul

Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna. Sempre é assim! Pois se tivermos, por exemplo, dois X na 1ª coluna do 1º quadro, isto significa que Artur tem dois carros. E se não tivermos X nessa coluna, significa que Artur não tem carro. Ambas essas situações não interessam as questões do tipo associação. Portanto, sempre que colocarmos um X em uma célula de um quadro, automaticamente devemos colocar N nas outras células da mesma linha e mesma coluna.


raciocínio lógico

1º passo: O carro de Artur é cinza. Marcamos um X na célula correspondente a Artur e cinza. Automaticamente, marcamos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.

2º passo: O carro de César é o Santana. Marcamos um X na célula correspondente a César e Santana. Automaticamente, marcamos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.

3º passo: O carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília! Marcamos um N na célula correspondente a Bernardo e verde, e outro N na célula correspondente a Bernardo e Brasília.

4º passo: Cada linha e coluna devem conter uma célula marcada com X. Assim, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras células.

Depois, marcamos N para completar as linhas (ou colunas). Conclusão: Artur tem uma Brasília cinza. Bernardo tem uma Parati azul. César tem um Santana verde.

Artur Bernardo CésarBrasília X N NParati N X N

Santana N N X

Artur Bernardo CésarCinza X N NVerde N N XAzul N X N

02. Resposta “D”. Temos as seguintes pessoas: Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla. Temos os seguintes papéis da peça de teatro: Fada, Bruxa,

Rainha, Princesa e Governanta. São feitas as seguintes afirmações:Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. (palpites errados) Daí, é

verdade que: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia não é a Bruxa, e Carla não é a Princesa.Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. (palpites errados) Daí, é verdade que: Fátima não é a Princesa e

Fátima não é a Bruxa.Disse Gina: “Acho que Sílvia é a Governanta ou a Rainha”. (palpites errados) Daí, é verdade que: Silvia não é a Governanta e

Sílvia não é a Rainha.Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. (palpite errado) Daí, é verdade que: Sílvia não é a Princesa.Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. (palpites errados) Daí, é verdade que: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é

a Bruxa.

A questão pede a associação entre os nomes das pessoas e os respectivos papéis de teatro. Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das pessoas com os respectivos papéis de teatro.

Fátima Beatriz Gina Sílvia CarlaFadaBruxaRainha

PrincesaGovernanta

Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta. No quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna. Se tivermos, por exemplo, dois X na 1ª coluna, significa que Fátima tem dois papéis. E se não tivermos X nessa coluna, significa que Fátima não tem um papel de teatro.

1º passo: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia não é a Bruxa, e Carla não é a Princesa! Marcamos um N na célula correspondente a Fátima e Governanta, outro N na célula correspondente a Beatriz e Fada, outro N na célula correspondente a Sílvia e Bruxa, e finalmente um N na célula correspondente a Carla e Princesa.


raciocínio lógico

2º passo: Fátima não é a Princesa e Fátima não é a Bruxa! Marcamos um N na célula correspondente a Fátima e Princesa, e outro N na célula correspondente a Fátima e Bruxa.

3º passo: Silvia não é a Governanta e Silvia não é a Rainha! Marcamos um N na célula correspondente a Silvia e Governanta, e outro N na célula correspondente a Silvia e Rainha.

4º passo: Silvia não é a Princesa! Marcamos um N na célula correspondente a Silvia e Princesa. 5º passo: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é a Bruxa! Marcamos um N na célula correspondente a Carla e Bruxa, e outro N na

célula correspondente a Beatriz e Bruxa.6º passo: Cada linha e coluna devem conter uma célula marcada com X. Assim, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna)

que tem N em todas as outras células.

Depois, marcamos N para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X. Novamente, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras células. Novamente, marcamos N para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X. Novamente, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras células. Conclusão: Fátima é a Rainha. Beatriz é a Princesa. Gina é a Bruxa. Sílvia é a Fada. Carla é a Governanta.

Fátima Beatriz Gina Sílvia CarlaFada N N N X N

Bruxa N N X N NRainha X N N N N

Princesa N X N N NGovernanta N N N N X

03. Resposta “E”.Temos as seguintes amigas: Bete, Elza e Sara. Características de cor de cada uma delas: loura, morena e ruiva. Elas viajaram para

os seguintes países: Alemanha, França e Espanha. São feitas as seguintes afirmações verdadeiras:1. A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.2. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.3. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das amigas com as tonalidades de cada uma, e outro quadro relacionando os destinos de viagem com as tonalidades. Não há necessidade de fazer um quadro relacionando os nomes das amigas com os destinos de viagem, porque não há relação entre estes dois últimos nas afirmações verdadeiras citadas acima. Mas pode fazer mais este quadro se vocês desejarem.

Bete Elza SaraLoura

MorenaRuiva

Alemanha França EspanhaLoura

MorenaRuiva

Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta. Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna.

1º passo: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”! Marcamos um N na célula correspondente a loura e França, e outro N na célula correspondente a loura e Espanha. Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 1ª linha do 2º quadro, e consequentemente marcamos N para completar a 1ª coluna do 2º quadro.


raciocínio lógico

2º passo: A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”! Marcamos um N na célula correspondente à morena e Elza, e outro N na célula correspondente a morena e Sara. Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 2ª linha do 1º quadro, e consequentemente marcamos N para completar a 1ª coluna do 1º quadro.

3º passo: A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”! Marcamos um N na célula correspondente à ruiva e França, e outro N na célula correspondente a Elza e França (na verdade não fizemos esse quadro, então guarde este resultado). Observe que podemos obter mais uma informação da afirmação acima: A ruiva não é Elza! Assim, marcamos um N na célula correspondente a ruiva e Elza. Daí, já podemos marcar um X nas células vazias das linhas e colunas.

Vamos completar com N as células das linhas e colunas que já tem X. Conclusão: Do 1º quadro temos: Bete é morena. Elza é loura. Sara é ruiva. Do 2º quadro temos: A loura vai à Alemanha. A morena vai à França. A ruiva vai à Espanha. Assim, temos: Bete é morena e vai à França. Elza é loura e vai à Alemanha. Sara é ruiva e vai à Espanha.

Bete Elza SaraLoura N X N

Morena X N NRuiva N N X

Alemanha França EspanhaLoura X N N

Morena N X NRuiva N N X

04. Resposta “A”.Temos as seguintes mulheres: Celina, Ana, Júlia e Helena. Temos os seguintes homens: Alberto, Carlos, Gustavo e Tiago. Eles

combinam que:- nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;- marido e esposa não jogam entre si.

Temos as seguintes partidas:

Mulheres Homens1ª Partida Celina X Alberto2ª Partida Ana X Marido de Júlia3ª Partida Esposa de Alberto X Marido de Ana4ª Partida Celina X Carlos5ª Partida Esposa de Gustavo X Alberto

Primeiramente, vamos verificar qual o nome de mulher que mais aparece nas partidas acima. Celina e Ana aparecem mais vezes. Então, vamos analisar quem pode ser o marido de Celina. Análise para obter o nome do marido de Celina:

1º passo: Da 1ª partida temos que Alberto não pode ser marido de Celina. Alberto - Carlos - Gustavo - Tiago.2º passo: Da 4ª partida temos que Carlos não pode ser marido de Celina. Carlos - Gustavo - Tiago.3º passo: Como a Celina jogou a 4ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ela não pode jogar a partida seguinte (5ª). Daí,

Celina não é esposa de Gustavo. Gustavo - Tiago.

Concluímos que: Tiago é o marido de Celina. Deste resultado, a alternativa correta é A ou E.

Agora, vamos verificar qual o nome do homem que mais aparece nas partidas acima. Alberto é o que mais aparece. Então, vamos analisar quem pode ser a esposa de Alberto (Poderíamos ter feito esta análise, antes da análise do marido de Celina). Análise para obter o nome da esposa de Alberto:


raciocínio lógico

1º passo: Como o Alberto jogou a 1ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ele não pode jogar a partida seguinte (2ª). Daí, Alberto não é marido de Júlia. Ana - Júlia - Helena.

2º passo: Como a esposa de Alberto jogou a 3ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ela não pode jogar a partida anterior (2ª). Daí, a esposa de Alberto não é Ana. Ana - Helena.

Concluímos que: Helena é a esposa de Alberto. Portanto, a resposta é a alternativa A.

05. Resposta “D”.Temos os seguintes amigos: Beto, Caio e Dario. As namoradas são: Teresa, Samanta e Lúcia. As regiões dos três são: carioca,

nordestino e catarinense. As profissões dos três são: médico, engenheiro e professor. As afirmações trazidas no enunciado são:- Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo.- O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca.- O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à sua direita.- Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta.

É importante que façamos um desenho das seis posições que os casais ocupam. E consideraremos que todos estão olhando na direção da seta mostrada abaixo.

1ª Partida 2ª Partida 3ª Partida 4ª Partida 5ª Partida 6ª Partida

1º passo: Pela 3ª afirmação supracitada, e considerando o sentido da seta que nós definimos, o catarinense só pode estar na 1ª posição, para que assim a namorada do professor fique a sua direita.

2º passo: Da 1ª afirmação, homens e mulheres devem sentar alternados. Como na 1ª posição está o catarinense, a partir dele vamos alternando homens e mulheres. E como nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, então o professor só pode estar na 5ª posição.

3º passo: Da 2ª afirmação, o médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, logo ele sentou-se na 3ª posição.4º passo: Ainda da 2ª afirmação, o médico está mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca. Logo, o carioca

não é médico e só pode estar na 5ª posição, assim Dário, como não é médico e nem carioca, estará na 1ª posição, e Lúcia pode está na 2ª posição ou na 4ª posição.

5º passo: Da 4ª afirmação, Beto está sentado entre Teresa e Samanta, sendo que a primeira está à sua esquerda e a segunda à sua direita. Como Beto é homem, então ele pode está na 3ª ou 5ª posição. Beto não pode estar na 3ª posição, porque sendo assim Lúcia não poderia estar nem na 2ª e nem na 4ª posição, contrariando o 4º passo. Então Beto só pode estar na 5ª posição. Daí, Caio só pode ser o médico.

6º passo: Já temos condições de colocar as mulheres em seus lugares. Teresa está à esquerda de Beto, e Samanta à direita de Beto, sobrando a 2ª posição para Lúcia.

1ª PartidaHomem

2ª PartidaMulher

3ª PartidaHomem

4ª PartidaMulher

5ª PartidaHomem

6ª PartidaMulher

DárioCatarinense

LúciaNamorada do

professor

CaioMédico Teresa

BetoCarioca

Professor Samanta

Conclusão: Já temos condições de saber quem são as namoradas de cada um dos amigos, com base na afirmação: nenhum deles sentou-se ao lado da namorada.

Beto namora com Lúcia.Caio namora com Samanta.Dário namora com Teresa.


raciocínio lógico

06. Resposta “C”.Numeremos as informações:(1) - Os vestidos têm cores azul, preto e branco.(2) - Os sapatos têm cores azul, preto e branco.(3) - Ana usa sapatos e vestidos da mesma cor.(4) - Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos.(5) - Marisa está com sapatos azuis.

Conclusões:(6) - como nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos (4), e Marisa já tem sapatos azuis, então os sapatos de Júlia são

pretos.(7) - Sobram então os sapatos brancos para Ana.(8) - De (3) conclui-se que o vestido de Ana também é branco. (mesma cor dos sapatos).(9) - Como somente Ana tem sapatos e vestido da mesma cor, o vestido de Marisa é preto e o de Júlia é Azul.

Façamos uma tabela para facilitar a visualização. O número na célula corresponde ao número da informação ou da conclusão.

Amigas Ana Júlia MarisaVestido Branco (8) Azul (9) Preto (9)Sapatos Brancos (7) Pretos (6) Azuis (5)

07. Resposta “C”.Informações:(1) alunas: Márcia, Berenice e Priscila.(2) cursos: Medicina, Biologia, Psicologia.(3) cidades: Belo Horizonte, Florianópolis, São Paulo.(4) Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte.(5) Priscila cursou Psicologia.(6) Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina.(7) Como Berenice não fez seu curso em São Paulo e não fez Medicina (6), sobram para ela: Florianópolis e Biologia.(8) Agora é só completar o quadro com a cidade e o curso que faltam.

Personagens Márcia Berenice PriscilaCurso Medicina (8) Biologia (7) Psicologia (5)Cidade B. Horizonte(4) Florianópolis (7) São Paulo (8)

08. Resposta “E”.Informações:(1) Personagens: Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil.(2) Filhas e nome dos barcos: Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.(3) Nenhum pode dar ao barco o nome de sua filha.(4) Ao barco de Décio foi dado o nome Laís.(5) Ao barco de Éder foi dado o nome de Mara.(6) Éder também queria usar o nome Laís. (7) Gil convenceu ao pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco.(8) Ao barco de Caio coube o nome de Nair.(9) Ao barco do pai de Nair coube nome de Olga.

Barcos Laís Mara Paula Olga NairDonos Décio (4) Éder (5) Felipe (10) Gil (7) Caio (8)Filhas Mara (12) Paula (13) Olga (7) Nair (9) Laís (11)


raciocínio lógico

Conclusões:(10) O dono do barco denominado Paula é Felipe, pois falta apenas ele na lista dos donos.(11) A filha de Éder não é Laís (6), pois ele queria usar este nome. Como a filha de Décio também não é Laís, sobra a Laís para

filha de Caio.(12) Faltam então as filhas Mara e Paula. Como Mara não pode ser filha de Éder, ela é filha de Décio.(13) Em consequência, a filha de Décio é Paula.

Ordenando as filhas para Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil, teremos respectivamente: Laís, Mara, Paula, Olga e Nair.

09. Resposta “C”.Cores das blusas: amarelo, verde, azul e preto.Informações:(1) A menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor do que a que está imediatamente depois da

menina de blusa azul.(2) A menina que está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul.(3) A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta.Conclusões:(4) de acordo com a informação (1) tem pelo menos uma menina antes e uma depois da menina de blusa azul. Portanto a menina

de blusa azul ocupa a segunda ou a terceira posição.

Coloquemos então a de blusa azul na terceira posição.

Posição 4ª 3ª 2ª 1ªCor blusa Verde (5) Azul

(5) pela informação (2) a menina de blusa verde está depois da de blusa azul.

Temos aí uma contradição, pois a menina que está antes da menina de blusa azul é menor do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. Isto não é válido pois a menina de blusa verde é a menor de todas. Assim, a menina de blusa azul não pode estar na 3ª posição. Portanto ela está na 2ª posição. O problema já está resolvido, pois a única opção onde a menina de blusa azul aparece na 2ª posição é a letra “C”. Vamos continuar o raciocínio para localizar as demais meninas.

Posição 4ª 3ª 2ª 1ªCor blusa Verde (6) Amarela (7) Azul Preta (7)

(6) A menina de blusa verde deve ocupar a 4ª posição, pois ela está depois da de blusa azul e a imediatamente antes da de blusa azul é menor do que a que está depois da de blusa azul.

(7) Como a menina de blusa amarela está depois da de blusa preta, a de blusa preta ocupa a 1ª posição e a de blusa amarela ocupa da 3ª posição. Isto confirma a resposta: letra “C”.

10. Resposta “A”.Personagens: Oliveira, Paulo, Norton e Vasconcelos.Origens: Minas, São Paulo, Rio de Janeiro e Bahia.


raciocínio lógico

Informações:(1) Oliveira é mineiro.(2) Paulo está assentado à direita de Oliveira.(3) Norton está assentado à direita do Paulista.(4) Vasconcelos não é carioca.(5) Vasconcelos está à frente de Paulo.

Conclusões: Posicionemos inicialmente o Oliveira. Pela informação (2) pode-se posicionar também o Paulo e pela informação (5) pode-se posicionar Vasconcelos.

(6) Sobra então a posição à frente de Oliveira para Norton.(7) Pela informação (3) e a posição de Norton, conclui-se que Paulo é Paulista.(8) Como Vasconcelos não é carioca, somente Norton pode ser carioca.(9) Sobra então Vasconcelos que só pode ser baiano.

De acordo com as opões, a resposta é letra “A”.

11. Resposta “B”.Personagens: Ana, Bia, Clô, Déa e Ema.Informação: Cada uma votou em quem votou na sua vizinha à esquerda.

Conclusões:(1) Ana votou em quem votou em Bia.(2) Bia votou em quem votou em Clô.(3) Clô votou em quem votou em Déa.(4) Déa votou em quem votou em Ema.(5) Ema votou em quem votou em Ana.(6) Da conclusão (1) Ana não pode ter votado em Bia e nem nela mesmo.Portanto, Ana só pode ter votado em Clô, ou Déa ou Ema. Como Bia não pode ter votado nela mesmo, a opção “C” está eliminada.Testemos a opção “A”. Ana teria votado em Ema (de acordo com a opção). Nesse caso Ema teria votado em Bia que está à

esquerda de Ana. Mas pela opção, Ema teria votado em Déa. Portanto, a opção “A” não é válida.Testemos a opção “B”. Ana teria votado em Déa (de acordo com a opção). Nesse caso Déa teria votado em Bia que está à esquerda

de Ana. Isto concorda com a ordem dada na opção “B”. Bia teria votado em Ema (de acordo com a opção). O que está correto, pois Déa votou em quem votou na sua vizinha da esquerda. Ema teria votado em Clô (de acordo com a opção). O que é correto, pois Clô teria votado em Ana (única que falta a ser votada) e que está à esquerda de Ema. Portanto a opção “B” está correta. Vejamos as outras opções, para completar o raciocínio e ver se há ou não erro nas mesmas.

Opção “D”. Ana teria votado em Déa (de acordo com a opção). Mas Déa teria votado em Ema que não está à esquerda de Bia. Isto contraria a condição de que Ana tenha votado em quem votou na sua vizinha da esquerda. Portando a opção “D” não é válida.

Opção “E”. Ana teria votado em Clô (de acordo com a opção). Pelas condições Clô deveria ter votado em Bia. Mas não é o que consta da opção. Portando a opção “E” também não é válida.


RACIOCÍNIO LÓGICO

5 RACIOCÍNIO ANALÍTICO.

Análise Combinatória Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos

de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

- Princípio fundamental da contagem- Fatorial- Arranjos simples- Permutação simples- Combinação- Permutação com elementos repetidos

Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n

Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk

Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem.

Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.

ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento. ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos

elementos.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A são iguais, pois indicam a mesma reta.

Conclusão: Os agrupamentos...

1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos.

ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam.

2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos.

ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente defi nida por:

Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Note que esta defi nição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coefi ciente binomial.

Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos.


raciocínio lógico

Cálculos do número de arranjos simples:

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

n → possibilidades na escolha do 1º elemento.n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um deles já foi usado.n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois deles já foi usado....n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois l-1 deles já foi usado.

No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1) (é o produto de k fatores)

Multiplicando e dividindo por (n – k)!

Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!

Podemos também escrever

Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Cálculo do número de permutação simples:

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:

Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n!

Portanto: Pn = n!

Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.

Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd

Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas:

Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.


raciocínio lógico

abc abd acd bcd

acb

bac

bca

cab

cba

Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

abc abd acd bcd

acb adb adc bdc

bac bad cad cbd

bca bda cda cdb

cab dab dac dbc

cba dba dca dcb

(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos

Logo: C4,3 . P3 = A4,3

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:

a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.

Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou

n,kn,k

k

AC =

P

Lembrando que:

Também pode ser escrito assim:

Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk


raciocínio lógico

Permutações com elementos repetidos

Considerando:

α elementos iguais a a,β elementos iguais a b,γ elementos iguais a c, …,λ elementos iguais a l,

Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.

Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k

QUESTÕES

01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?

02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem realizados é:

(A)182(B) 91(C)169(D)196(E)160

03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é:

(A) 78.125(B) 7.200(C) 15.000(D) 6.420(E) 50

04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e Ã como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a

(A) 720(B) 1.680(C) 2.420(D) 3.360(E) 4.320


raciocínio lógico

05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é

(A) PROVA.(B) VAPOR.(C) RAPOV.(D) ROVAP.(E) RAOPV.

06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é:

(A) 66(B) 72(C) 90(D) 120(E) 124

07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?

(A) 80(B) 96(C) 240(D) 640(E) 1.280

08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados?

(A) 06(B) 10(C) 12(D) 15(E) 20

09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é

(A) 10(B) 15(C) 20(D) 25(E) 30

10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule:a) quantos são no total;b) quantos não possuem o algarismo 2;c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;d) quantos têm os algarismos distintos;e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.


raciocínio lógico

Resoluções

01.

02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182.

03.

Algarismos

Letras

As três letras poderão ser escolhidasde 5 . 5 . 5 =125 maneiras.Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 = 120 maneiras.O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 . 120 = 15.000.

04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi

II) O número de cartões esperados por João era

Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680

05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos:P4 = 24 que começam por AP4 = 24 que começam por OP4 = 24 que começam por P

A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV.

06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é

07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240


raciocínio lógico

08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e outros 3.II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os

3 restantes.III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é

IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é

V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6

09.

10. a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464

Probabilidade

Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço

amostra por n(S).Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento

por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:


raciocínio lógico

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - P(A).

Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

União de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

A

BS


raciocínio lógico

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Eventos Mutuamente Exclusivos

A

BS

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso

temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Eventos Exaustivos

Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1


raciocínio lógico

Probabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).

Veja:

Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?


raciocínio lógico

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes

o evento A.- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e

n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k

QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

(A) (B) (C) (D) (E)

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

(A) (B) (C) (D) (E)

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%


raciocínio lógico

06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:

(A) 42%(B) 45%(C) 46%(D) 48%(E) 50%

08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:

(A) 0,5(B) 5/7(C) 0,6(D) 7/15(E) 0,7

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

(A) (B) (C) (D) (E)

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

(A) 1 (B) (C) (D) (E)

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.

Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =

04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:


raciocínio lógico

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em quea1 = 10an = 500r = 10Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(A B) = 41/500

Por fim, p(A.B) =

06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas.Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos;

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) =

07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos:(A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

Assim, temos:P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30P (A B) = 0,28 + 0,18P (A B) = 0,46P (A B) = 46%


raciocínio lógico

08. Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.

09. Representando por a probabilidade pedida, temos: =

=

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:

I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.

II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.

A probabilidade de isso ocorrer é:

ANOTAÇÕES

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5 raciocinio logico

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