apostila de matemática - mit-mat. inteligente-ricardinho.pdf

7/23/2019 apostila de matemática - mit-mat. inteligente-ricardinho.pdf

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MATEMÁTICA BÁSICA UFSC www.cursomit.com.br

Curso de Matemática BásicaCurso de Matemática BásicaCurso de Matemática BásicaCurso de Matemática Básica

UFSCUFSCUFSCUFSC ---- UDESCUDESCUDESCUDESC ---- ACAFEACAFEACAFEACAFE

Início: 16 de marçoInício: 16 de marçoInício: 16 de marçoInício: 16 de março

1 – Conteúdo Programático do Curso

Aritmética Básica Conjuntos Numéricos Potenciação e Radiciação Técnicas Algébricas (Produtos Notáveis e Fatoração !"uaç#es do $%&rau !"uaç#es do '% &rau !"uaç#es !seciais Ra)ão e ProorçãoRegra de Tr*s +imles e Comosta Porcentagem,uros

2– Duração do Curso

$' aulas (- semanas ou . sábados

3 - Horário

+egunda Feira/ $./.0 1s $2/30 ou

Terça Feira/ $4/'0 1s $5/20 ou

6uinta Feira/ 5/'0 1s $0/20 ou

+ábado/ $./.0 1s $7/.0

4– Investimento

' arcelas de R8$00900 (material incluso:

M!"M#!IC $#%IC"&"'C(CI)% – *+%C 2,,2 2,13

,1. ( ;F+C < 0' Pedro investiu R8 $:300900 em aç#es: A=s

algum temo9 vendeu essas aç#es or R8 ':$00900:>etermine o ercentual de aumento obtido em seu caitalinicial:

,2. ( ;F+C < 0' ?ar"ue a(s roosição(#es @!R>A>!RA(+9em relação aos conjuntos numéricos N9 9 69 R e C:

0$: A soma de tr*s nmeros Dmares consecutivos é 159: Emaior dos tr*s é 55:

0': +e x e y são nmeros racionais9 então x y e x . y também são racionais:

02: >ado um nmero comleGo "ual"uer x H a bi 9 eGistesemre um nmero comleGo y tal "ue x y é real:

04: +e x é um nmero negativo9 então G não eGiste:$-: A Iorma trigonométrica do nmero comleGo

. 3 + .i é -

+

-

Jseni

-

Jcos :

,3. ( ;F+C < 0' Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+9sendo "ue x e y reresentam nmeros reais arbitrários:

0$:2

x

2cosx x + H

x

cosx1 +

0':34x

x

+

H4

1 3

x

02:2

23 + H 3 2 + 1

04: G' < 7G $' H (G 2:(G .

$-. (x + y)2 = x

2 + 2xy + y

2

,4. ( ;F+C < 0. Assinale no cartão resosta a soma dosnmeros associados 1(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: >i)er "ue a multilicação de dois nmeros negativostem como resultado um nmero ositivo é umaaIirmação sem justiIicativa e "ue nada tem a ver com"uest#es ráticas:

0': E conjunto dos nmeros racionais é suIiciente aramedir (com eGatidão todo e "ual"uer comrimento:

02: +eja G um nmero inteiro diIerente de )ero: A eGist*nciado inverso multilicativo de G s= é garantida noconjunto dos nmeros reais e no conjunto dosnmeros comleGos: ( já "ue R ⊂ C:

04: +e no ltimo aniversário de ,oão9 a soma de sua idadecom a de seu ai e a de seu avK era 50 anos9 e no diade seu nascimento esta soma era 73 anos9 então ,oãoestá com 3 anos:

$-: Es nmeros como 2 e π ( e outros irracionais s=

estão relacionados a coisas abstratas e LdistantesM danossa realidade:




,/. ( ;F+C < 0. Assinale no cartãoresosta a soma dosnmeros associados 1(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: +e uma loja vende um artigo 1 vista or R8 329009 ouor R8 '0900 de entrada e mais ' agamentosmensais de R8 '09009 então a loja está cobrando maisdo "ue $0O ao m*s sobre o saldo "ue tem a receber:

0': +e numa área urbana o nmero de essoas atingidasor certa doença (não controlada aumenta 30O acada m*s9 então a Iunção n(t H N.

t

'

.

Iornece o nmero (aroGimado de essoas

aIetadas ela doença9 t meses a=s o instante em "ueavia N essoas doentes nessa área:

02: +e o roduto P é vendido or R8 '0900 ela loja A e orR8 20900 ela loja B9 então odese di)er "ue na loja Bo roduto P está com o reço $00O acima do reçoraticado ela loja A9 e "ue a loja A está raticando

um reço $00O menor do "ue o raticado ela loja B:04: Admita "ue a Iunção n(t H N : 't Iorneça o nmeroaroGimado de essoas atingidas or uma eidemia(não controlada onde t é o nmero de mesesdecorridos a artir do momento em "ue N essoassão acometidas ela doença: !ntão é correto aIirmar"ue9 num aglomerado urbano com $0:000 abitantes9não ocorrendo aumento oulacional9 4 meses a=seGistirem 30 essoas doentes é rovável "ue toda aoulação estará doente9 caso nada seja Ieito aradebelar o mal:

,0. ( ;F+C < 02 Assinale no cartãoresosta a soma dosnmeros associados 1(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: ;m investidor tem seu dineiro alicado a 'O ao m*s:>eseja comrar um bem no valor de R8 $00:0009009"ue ode ser ago a vista ou em tr*s arcelas de R8.2:0009009 sendo a rimeira de entrada e as outras em.0 e -0 dias: !le sairá lucrando se Ii)er a comraarcelada:

0': Ebter 7 acertos numa rova de $' "uest#es é umdesemeno inIerior a obter - acertos numa rova de$0 "uest#es9 orém suerior a obter 3 acertos numarova de 5 "uest#es:

02: >ulicandose o lado de um triQngulo e"ilátero9 suaárea Iica também dulicada:

04: +e ' imressoras trabalando $0 oras or dia levam 3dias ara Ia)er determinado trabalo9 então .imressoras (com a mesma eIici*ncia das anteriorestrabalando 4 oras or dia levarão - dias ara Ia)er omesmo trabalo:

,. ( ;F+C < 02 +uona "ue em uma determinada esécie deanimais os indivDduos tenam seus rimeiros Iilotes aos 4meses9 e "ue a artir de então ara cada adulto daoulação nasçam9 em média9 . Iilotes a cada . meses: +eno inDcio de janeiro nascerem os rimeiros $' Iilotes de 2indivDduos com os "uais se esteja iniciando uma criação9"ual será o nmero rovável de indivDduos "ue a oulaçãoatingirá no inDcio de outubro9 não avendo mortesS

,. ( ;F+C < 03 6ual"uer "ue seja o nmero real x 9 ele

obedece 1 relação n ≤ x < n + 19 sendo n um

nmero inteiro: >i)se "ue n é a arte inteira de x e é

denotada or E(x) = n: A artir dessa deIinição de E 9

calcular Y na eGressão/

( ) )(

( )

'!4

7!

'..sen!$'73log!G''55!G2

+

°−+

=

,. ( ;F+C < 03 Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: 20O'O

40O=

0': (.0O' H 0905:

02: As romoç#es do tio Uleve 3 e ague 2U9 ou seja9levandose um conjunto de 3 unidades9 agase oreço de 29 acenam com um desconto sobre cadaconjunto vendido de '3O:

04: ;ma edra semireciosa de '0 gramas caiu e se artiuem dois edaços de 2g e $-g: +abendose "ue ovalor9 em uma certa unidade monetária9 desta edra éigual ao "uadrado de sua massa eGressa em gramas9a erda é de .'O em relação ao valor da edraoriginal:

$-: ;m "uadro cujo reço de custo era R8 $:'00900 Ioivendido or R8 $:.40900: Neste caso9 o lucro obtidona venda9 sobre o reço de custo9 Ioi de $4O:

1,. ( ;F+C < 0- Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: +e uma essoa A ode Ia)er uma eça em 9 dias de

trabalo e outra essoa B trabala com velocidade50% maior do "ue A9 então B Ia) a mesma eça em 6 dias de trabalo:

0': ;ma emresa disuna de 144 brindes ara distribuirigualmente entre sua e"uie de vendedores9 mascomo no dia da distribuição Ialtaram 12 vendedores9 aemresa distribuiu os 144 brindes igualmente entre osresentes9 cabendo a cada vendedor um brinde amais: Vogo9 estavam resentes 36 vendedores no diada distribuição:

02: +e redu)indo o reço x em 20% se obtém y 9 então ydeve soIrer um acréscimo de 20% ara se obternovamente x :

04: A soma de dois nmeros naturais é 29: !ntão o valor

mDnimo da soma de seus "uadrados é 533:$-: 125 é divisor de 15

22:

11. ( ;F+C07 Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: No onto de Knibus da Praça X assa um Knibus ara aVina @ermela de 15 em 15 minutos e um Knibusara a Vina Amarela de 25 em 25 minutos: +e os doisKnibus assaram juntos 1s 10 oras9 na rimeira ve)em "ue voltarem a assar juntos elo onto serão 10 oras e 40 minutos:

0': ;m carinteiro tem um bloco de madeira9 na Iorma deum araleleDedo retQngulo9 com as dimens#es

112cm9 0cm e 4cm: +e o carinteiro deve cortaresse bloco em cubos id*nticos9 com a maior arestaossDvel e sem "ue aja sobra de material9 então amedida da aresta dos maiores cubos "ue ele odeobter é 16cm:




02: A medida do menor Qngulo Iormado elos onteiros deum rel=gio 1s 9!10 min é 150" :

04: E rorietário de uma i))aria calcula uma i))acircular de 20 centDmetros de diQmetro or essoa:Para uma Iesta com 36 essoas seriam necessárias 16 i))as circulares de 30 centDmetros de diQmetro:

$-: Aumento sucessivo de 10% e '0O no reço de umdeterminado roduto é e"uivalente a um nicoaumento de 30%:

12. ( ;F+C07 Pedro9 Vui)9 André e ,oão ossuem9 juntos9 90 C>s: +e tirarmos a metade dos C>s de Pedro9 dobrarmos onmero de C>s de Vui)9 tirarmos 2 C>s de André eaumentarmos em 2 o nmero de C>s de ,oão9 eles Iicarãocom a mesma "uantidade de C>s: >etermine o nmeroinicial de C>s de André:

13. ( ;F+C < 04 Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: >ividindose23

2 or32

2 obtémse $:

0': Es astrKnomos usam o termo anolu) ara reresentara distQncia ercorrida ela lu) em um ano: +e a

velocidade da lu) é de .90 × $03 WmXs e um

ano tem aroGimadamente .9' × $07 segundos9 então

a distQncia em "uilKmetros da estrela Pr=GimaCentauri9 "ue está aroGimadamente a 2 anoslu) de

distQncia da Terra9 é .942 × $0$.

:02: Para Pitágoras e seus discDulos um nmero é erIeito

se a soma dos divisores desse nmero9 com eGceçãodele mesmo9 é igual ao r=rio nmero: Portanto9segundo o critério dos itag=ricos9 o nmero '4 nãoé erIeito:

04: ;ma grande)a G (GY0 varia de Iorma inversamente

roorcional ao "uadrado da grande)a Z (ZY0: +eara G H $- temos Z H .9 então ara G H 2 temos Z H$':

$-: Numa adaria9 o "uilo do ão salgado custa 'X. doreço do "uilo do ão doce: +e ara comrar 2 "uilosde ão salgado e - "uilos de ão doce voc* vai gastarR8 '-9009 então o "uilo do ão salgado custa R8 -900:

.': Ana tem ao todo $3 notas9 sendo essas notas de $real9 3 reais e $0 reais9 totali)ando $00 reais: +e Anatem elo menos uma nota de cada tio9 então Anaossui 3 notas de $ real:

-2: +e Vucas esa 70 Wg e senta a $9$ m do centro deaoio de uma gangorra9 então +oIia9 "ue esa 33 Wg9deverá sentar a $92 m do centro ara "ue a gangorraIi"ue em e"uilDbrio:


0$: Na imlantação do novo lano diretor de uma cidade9um cidadão teve arte de seu terreno de es"uinadesaroriado ela reIeitura ara alargamento dasduas avenidas laterais: >o terreno9 em Iorma de"uadrado9 Ioi erdida uma IaiGa de 3 m de largura aosul e uma IaiGa de 4 m de largura a leste: +e a área doterreno Iicou redu)ida 1 metade9 então a medida doerDmetro do terreno antes da desaroriação era de4 m:

0': +e na lanta de um ediIDcio em construção9 cuja escala é1#509 a área de uma sala retangular é de 0 cm

29

então a área real da sala rojetada é de 40 m2:

02: +e um coro com eso de 40N é abandonado em umlano inclinado9 cujo Qngulo de elevação é de .0[9sendo desre)Dvel o atrito entre o coro e o lano9então a intensidade da reação normal de aoio é de20N

04: +e x 9 y 9 $ e são os menores valores numéricosinteiros ara "ue a e"uação "uDmica x Au(E\. +y \2P'E7 & $Au2(P'E7. + \'E Ii"ue balanceada9então x + y + $ + = 20:

1/. ( ;F+C < 05 Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: ,oão e Pedro são dois meninos "ue recolem latinasde cerveja e reIrigerante ara ajudar no orçamentoIamiliar: !n"uanto ,oão trabala 4 oras or dia9Pedro trabala 5 oras or dia: Ao Iinal do diarecolem 10 latinas: +e a divisão das latinas IorIeita roorcionalmente 1s oras trabaladas9 então,oão Iica com 100 latinas e Pedro Iica com 0

latinas:0': ;m retQngulo tem 10 cm de comrimento e x cm de

largura: A e"uação "ue corresonde 1 área A emIunção do erDmetro P do retQngulo9 em centDmetros"uadrados9 é A = 5' 100:

02: E lano de sade A9 "ue cobra * 14000 demensalidade e * 5000 or consulta9 é maiseconKmico ara o cliente do "ue o lano B9 "uecobra * 20000 de mensalidade e * 4400 orconsulta9 indeendentemente do nmero deconsultas:

04: ;ma circunIer*ncia é dividida em 1, arcos iguais de 2cm de comrimento cada um: E diQmetro dessacircunIer*ncia é de 102 cm9 considerando a

aroGimação de duas casas decimais e π H .9$2:


0$: As telas dos televisores costumam ser medidas emolegadas: 6uando se di) "ue um televisor tem '5olegadas9 isto signiIica "ue a diagonal da tela mede'5 olegadas9 isto é9 aroGimadamente ,366 cm:!ntão9 um televisor cuja diagonal da tela meça 304cm terá $' olegadas:

0': +e9 inicialmente9 um rel=gio marcava eGatamente 15!9então9 a=s o onteiro menor (das oras ercorrerum Qngulo de 142-9 o rel=gio estará marcando

19!44min:02: +e um bolo de cocolate9 em Iorma de cilindro9 tem or

base um cDrculo de 20 cm de diQmetro9 mede cm dealtura e custa * 15009 então um outro bolo Ieito damesma massa e tendo a mesma Iorma cilDndrica9 s="ue medindo 40 cm de diQmetro e 16 cm de altura9custará * 3000:

04: A Iigura a seguir reresenta uma trila com as '4 eçasdo jogo de domin=: No jogo de domin= uma trila éuma lina Iormada or eças "ue se LcasamM/ nasligaç#es9 as duas artes semre devem ter o mesmonmero de ontos: +e a trila reresentada na Iiguracomeça com o nmero tr*s9 então ela tambémtermina com o nmero tr*s:




1. ( ;F+C < '0$0 Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: Eutro roblema curioso do livro de ?alba Taan é ocamado Problema de >ioIante9 ou !itáIio de>ioIante: ;ma das vers#es sobre a vida domatemático grego >ioIante9 grande estudioso de]lgebra9 aarece no arágraIo a seguir/Ei/ tm nca 7i8ant maa:i!a ;cntm<a >m ati8?ci aitm@tic a <;a n/ina a /ai;a;. 7/ cnc;! <a//a a /xta <at ; /a :i;a na

:nt; m ;;@cim na a;/cCncia m /@tim m/Di;a 8i /ca; nm ca/amnt /t@i. 7cammai/ cinc an/ ;<i/ ;/ ! na/c m 8i!. a/ /t

8i! ;/DaFa; n ntant bmama; a<na/ tin!aatinDi; a mta; ;a i;a; ; <ai m. Gat an/ain;a mitiDan; a <H<ia ; cm /t; ;a ciCncia ;/nm/ <a/// 7i8ant ant/ ; c!Da a tm ;/a xi/tCncia.I Com base na interretação dessa versão9odese aIirmar "ue >ioIante casouse aos 21 anos:

0': 6uando se aumenta a medida do lado de um cubo9 o

seu volume aumenta na mesma roorção "ue suaárea total:02: Passadas 1, oras das , oras da manã9 de

determinado dia9 o rel=gio indicará meianoite:04: E centro de gravidade do retQngulo9 cujos vértices num

sistema de coordenadas cartesianas são os ontos/

A(4919 B(49 39 > (59 3 e 7(5919 é o onto

1

2

1 :

$-: Considere a roorção/ '

)

.

Z

2

G== : +e 2x + 4$ = 329

então G Z ) H $4:.': !m J !mm caca:a9 de ?alba Taan9

seudKnimo do roIessor ,lio César de ?ello e

+ou)a9 o leitor não somente arende ?atemáticacomo também belos eGemlos de ensinamentosmorais9 aresentados ao longo das ist=rias "uecom#em o livro: ;m dos roblemas mais conecidosé o da divisão dos 35 camelos "ue deveriam serreartidos or tr*s erdeiros9 do seguinte modo/ omais velo deveria receber a metade da erança^ osegundo deveria receber um terço da erança e oterceiro9 o mais moço9 deveria receber um nono daerança: Feita a artila9 de acordo com asdeterminaç#es do testador9 acima reIeridas9 aindaaveria a sobra de um camelo mais $7X$4 decamelo:

-2: Considere a oeração Ψ "ue alicada a um ar ( x 9 y

nos dá a rai) "uadrada da soma de x com y 9 ou seja9 y xΨ H y x + : +e G H .a $ e Z H a $3

e alicarmos a oeração Ψ 9 obteremos a' + 4:

1. ( ;F+C < '0$0 Assinale a(s roosição(#es CERR!TA(+:

0$: ;m rodutor coleu certa "uantidade de maçãs ecolocouas em um cesto com caacidade máGima de60 unidades: +e9 ao contálas em gruos de dois9 tr*s9"uatro e cinco9 teve restos 19 29 3 e 49resectivamente9 então avia 4, maçãs no cesto:

0': !m uma lataIorma submarina de etr=leo constatouse uma avaria no tubo de erIuração em local onde aressão é de 2 atmosIeras: E acesso ao local da avariaé Ieito or uma escada: +e a ressão aumenta 0025 atmosIeras or degrau "ue se desce9 então9 ara

cegarmos ao local da avaria9 a artir do nDvel do mardevemos descer 50 degraus:

02: E erro ercentual de um marcador de gasolina de umautom=vel "ue marcava .X2 de tan"ue e9 a=sabastecer com 10 litros atingiu sua caacidademáGima de 50 litros9 é de 625%.

04: Podem ser cortados eGatamente 10 cDrculos de raioigual a 20 cm de uma caa de comensado de 15, m de comrimento or 00 m de largura:(Considere/ π = 314

$-: ;m estudante obteve9 em determinada discilina9 as

seguintes notas/ 35^ 55^ ,0^ 50^ 60 e 45: !ntão a

sua sétima e ltima nota deve ser maior ou igual a 359

ara "ue sua média aritmética simles Iinal seja maior

ou igual a 50:

.': +e voc* dis#e de * 143009 então o valor máGimo "ue

sua desesa ode alcançar em um restaurante "ue

cobra 10% sobre a desesa é de * 13300:

-2: Com a crise econKmica mundial9 um roduto soIreu

duas desvalori)aç#es sucessivas9 de 30% e 20%:Portanto9 a taGa total de desvalori)ação Ioi de 50%:

1. ( ;F+C < '0$$ Assinale a(s roosição(#es C)''"!%.:

No caDtulo _9 denominado Contas9 do Romance Ki;a/

Lca/9 do escritor brasileiro &raciliano Ramos9 considerado

or muitos como a maior obra deste autor9 temos/

0$: LFabiano recebia na artila a "uarta arte dos

be)erros e a terça dos cabritos: ?as como não tina

roça e aenas limitava a semear na va)ante uns

unados de Ieijão e milo9 comia da Ieira9 desIa)iase

dos animais9 não cegava a Ierrar um be)erro ou

assinar a orela de um cabrito:M +uona "ue Fabiano

tena vendido a sua arte dos be)erros com 4% de

rejuD)o e a sua arte dos cabritos com 3% de rejuD)o:

+e o rejuD)o total de Fabiano Ioi de / 400*000

("uatrocentos mil réis9 então o valor total da criação

de be)erros e cabritos era de / 40#000*000 ("uarenta

contos de réis9 ou seja9 "uarenta mil#es de réis:

0': Fabiano recordase do dia em "ue Iora vender um

orco na cidade e o Iiscal da reIeitura eGigira o

agamento do imosto sobre a venda: Fabiano

desconversou e disse "ue não iria mais vender o

animal: Foi a outra rua negociar e9 ego em Ilagrante9

decidiu nunca mais criar orcos: +e o reço de venda

do orco na éoca Iosse de / 53*000 (cin"uenta e

tr*s mil réis e o imosto de 20% sobre o valor davenda9 então Fabiano deveria agar 1 reIeitura

/ 3*600 (tr*s mil e seiscentos réis:

02: Assim como das outras ve)es9 Fabiano ediu 1 sina

@it=ria ara "ue ela Ii)esse as contas: Como de

costume9 os nmeros do atrão diIeriam dos de sina

@it=ria: Fabiano reclamou e obteve do atrão a

eGlicação abitual de "ue a diIerença era roveniente

dos juros: ,uros e ra)os9 alavras diIDceis "ue os

omens sabidos usavam "uando "ueriam lograr os

outros: +e Fabiano tomasse emrestado do atrão /

00*000 (oitocentos mil réis 1 taGa de 5% ao m*s9

durante 6 meses9 então os juros simles rodu)idos

or este emréstimo seriam de / 20*000 (vinte mil

réis:

04: >esde a década de .09 em "ue Ioi ublicado o romance

Ki;a/ Lca/9 até os dias de oje9 a moeda nacional do

Brasil mudou de nome várias ve)es9 rincialmente




nos erDodos de altos Dndices de inIlação: Na maioriadas novas denominaç#es monetárias Ioram cortadostr*s dDgitos de )ero9 isto é9 a nova moeda vale semre1000 ve)es a antiga: +uona "ue certo aDs tro"uede moeda cada ve) "ue a inIlação acumulada atinja aciIra de ,00%: +e a inIlação desse aDs Ior de 20% aom*s9 então em um ano esse aDs terá uma novamoeda: (Considere/ D2 = 0301 D 3 = 04,,

2,. Assinale @ ara as alternativas verdadeiras ou F ara asalternativas Ialsas:

a ( ( ;F+C < '0$$ Es vários =rgãos de deIesa doconsumidor9 assim como o nmetro9 t*m denunciadoirregularidades como9 or eGemlo9 o eso real doroduto ser inIerior ao indicado na embalagem: +e adiIerença entre o eso real e o eso anunciado naembalagem de uma determinada marca de Ieijão é de1360 D or cada "uilograma e o reço do MD ao

consumidor é de * 3259 então o gano indevido ortonelada é de * 44200:

b ( ( ;F+C < '0$' E nmero A = 10150 1 é um mltilode 4:

21. ( ;F+C < '0$' Assinale a(s roosição(#es C)''"!%.:

0$: As nicas ossibilidades ara o algarismo das unidadesdo nmero natural 3

n9 ara "ual"uer nmero natural

n9 são 1 3 , 9:0': +e a b e c são nmeros rimos diIerentes entre si9

então L = ab + ac + bc é semre umnmero Dmar:

02: +e uma garraIa de reIrigerante custa R8 30 e oreIrigerante custa R8 320 a mais do "ue aembalagem9 então a embalagem custa R8 060:

04: E valor numérico de A = − − +5 2 1 1

6 3 2 3

é )ero:

22. ( ;F+C < '0$. Na segundaIeira9 um comerciante decidevender um roduto com um desconto de $0O: Na seGtaIeira9 como não obteve muito sucesso9 decide acrescentarum novo desconto de '0O sobre o valor obtido a=s orimeiro desconto: Calcule o desconto total no reçooriginal do roduto:

23. ( ;F+C < '0$. Assinale a(s roosição(#es C)''"!%.:

0$: +abemos "ue alicando um caital C o a=s n meses auma taGa i9 obtemos o valor a ser resgatado C f

através

da seguinte e"uação ( )n0I i$CC += : >essa Iorma9 uma

essoa "ue alica um caital de R8$0 000900 a umataGa de $O ao m*s durante tr*s meses deve resgatarum valor igual a R8 $0 .0.90$:

0': +e a e b são nmeros reais ositivos9 então 2a b

b a+ ≥

02: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 2 3 10

1 1! 2 2! 3 3! ... 10 10! 10!⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

04: E conjunto solução da ine"uação( )

54

2 311 0

4 x x

− ⋅ − <

é

o intervalo 1 1,

2 2

−

$-: 2 5 2 6< +

.': !ntre os nmeros $ e $ 000 000 (incluindo $ e $ 0000009 eGistem $ 000 nmeros naturais "uadradoserIeitos:

-2: 0,999... 0, 444... 55

1 0, 424242... 141

+=

+

24. ( ;F+C < '0$. Assinale a(s roosição(#es C)''"!%.:

0$: ,onas ossui um carro bicombustDvel "ue Iunciona comgasolina e álcool ou com a mistura dos dois: !m certoosto de abastecimento9 em virtude do reço9 colocou23 litros de combustDvel9 entre gasolina e álcool: +e a"uantia de álcool colocada Ioi eGatamente 2X3 da degasolina9 então o total de gasolina nesseabastecimento Ioi de '0 litros:

0': No ano de '0$29 o Brasil irá sediar a Coa do ?undo deFutebol: !m $5309 nosso aDs já Ioi sede da Coa e naocasião obtivemos o '

o lugar: +abendo "ue as ediç#es

desse cameonato ocorrem de "uatro em "uatro

anos9 então9 contando as ediç#es desde $530 até a"ue acontecerá em '0$29 incluDndo essas9 temse umtotal de $- Coas do ?undo de Futebol:

02: E Iisiologista Iranc*s ,ean Poise`ille9 no Iinal da décadade $4.09 descobriu a I=rmula matemática "ue associao volume @ de lD"uido "ue assa or um vaso ouartéria de raio r a uma ressão constante/

Com isso9 odese estimar o "uanto se deve eGandiruma veia ou artéria ara "ue o IluGo sanguDneo volte 1normalidade: Portanto9 uma artéria "ue Ioiarcialmente obstruDda9 tendo seu raio redu)ido 1metade9 tem também o volume do IluGo sanguDneo

redu)ido 1 metade:04: Com base nos dados do gráIico abaiGo9 odese concluir

"ue9 do ano de '000 ara o ano de '0$09 orendimento real médio dos domicDlios da RegiãoCentroEeste aumentou mais "ue ''O:

4 r kV ⋅⋅⋅⋅====




'"%)5*67) " C)M"8!#'I)%

9*"%!7) ,1 – :$'I!); 4,

O20G

G

$00

-00

$300=→=

9*"%!7) ,2 – :$'I!); 23

,1< Correto

Podemos indicar tr*s nmeros Dmares consecutivos or/ G < '9 G9 G ':G < ' G G ' H $35

.G H $35 → G H 3.: Portanto9 o maior dos tr*s nmero é G ' ou seja 3. ' H 33

,2< Correto

A oeração de adição9 subtração e multilicação é Iecada do camo

dos racionais9 ou seja9 se somarmos9 subtrairmos ou multilicarmos doisnmeros racionais resultará9 semre9 em outro nmero racional:>mnti# Nmeros racionais são nmeros G da Iorma aXb9 com a9 bnmeros inteiros e b diIerente de )ero:

,4< Correto

+eja G H a bi e Z H a < bi (conjugado de G: Ebserve o resultado doroduto G:Z:G: Z H (a bi:(a < biG: Z H a' < b'i' como i' H < $ temos/G:Z H a' b' Vogo9 G:Z é um nmero real

,< +a=so

No camo dos nmeros comleGos G 9 com G negativo9 eGiste:

10< Correto

Forma algébrica/ ) H a bi Forma trigonométrica/ ) H ) : (cos θ

i:sen θ

onde ) H 22 ba + e tg θ Ha

b

No comleGo ) H . 3 + .i temos/( )

=→==

=→+=

-

J

.

.

..

.tg

-)'

.'

..)

Portanto9 ) H . 3 + .i na Iorma trigonométrica Iica assim/ ) H

-

+ -

J

seni-

J

cos:

9*"%!7) ,3 – :$'I!); 10

,1< +a=so

Ebserve "ue2

2

x

cosx x + H'

'

' G

Gcos

G

G+ H

'

'

G

Gcos

G

$+

,2< +a=so

Partindo do segundo membro da igualdade temos/

4

1

3

x H

$'

2G. +

,4< +a=so

Para eliminar a rai) do denominador multilicamos numerador e

denominador or '

2

23 + :

'

' H'

''. + H $'

'.+

,< +a=so

(G 2:(G . H G' .G 2G $'(G 2:(G . H G

' 7G $'

Vogo9 G' < 7G $' (G 2:(G .>mnti# ;ma e"uação da Iorma aG' bG c H 0 ode ser escrita or(G < G$:(G < G' H 09 onde G$ e G' são raD)es da e"uação: No caso anterior9as raD)es da e"uação G' < 7G $' H 0 são os nmeros . e 29 então G' < 7G $' H (G < .:(G < 2:Eutros !Gemlos/

G' < 3G - H 0 ↔ (G < ':(G < . H 0^ G' < 5G < $0 H 0 ↔ (G < $0:(G $H 0

10< Correto

(G Z' H (G Z:(G Z(G Z' H G' GZ GZ Z' → (G Z' H G' 'GZ Z'

9*"%!7) ,4 – :$'I!); ,

,1< +a=so

@amos rovar ela roriedade distributiva "ue ($G($ H $($ ($H ($ ($ 0H ($ ($ (' 'H ($ ($ ($ ' ';sando a roriedade distributiva/H ($ ($ ' ' Colocando ($ em evid*nciaH ($ $ '

H ($ 'H $

,2< +a=so

Considere um "uadrado de lado $: +ua diagonal irá medir ' "ue é um

nmero irracional: Eutro eGemlo9 ainda9 é uma circunIer*ncia de raio

093 "ue terá seu comrimento π9 "ue também é um nmero irracional:

,4< +a=so

A eGist*ncia também se dá9 or eGemlo9 no conjunto dos nmerosracionais:

,< Correto

\oje/ , P A H 50 6uando ,oão Nasceu (á G anos/, < G P < G A < G H 73

, P A < .G H 7350 < .G H 73

.G H $3 → G H 3

10< +a=so

vide item 0'

9*"%!7) ,/ – :$'I!); 13

,1< Correto

Preço 1 vista/ R8 32900 @alor da entrada/ R8 '0900 +aldodevedor/ R8 .2900+e a loja cobrar $0O a:m sobre o saldo devedor cobraria R8 .920 o "ueresultaria R8 .7920 e não R820900: Vogo9 a taGa cobrada ela lojaé maior do "ue $0O a:m:




,2< Correto

Adatando a I=rmula do ?ontante do juro comosto na situação dadatemos/? H C($ i

t 9 onde ? H n(t e C H N

N(t H N($ 093t

N(t H N($93t → N(t H N: t

'.

,4< +a=so

>enotando os reços das lojas or A e B temos/A $00O A H B no entanto/ B < $00OB A

,< Correto

n(t H N : 't Para t H 49 temos/

n(4 H 30 : '4 n(4 H 30 : '3- → n(4 H $':400 essoas $' 400 Y $0 000

9*"%!7) ,0 – :$'I!); ,2

,1< +a=so

Comra Parcelada @alor inicial/ $00 000$f: Parcela 'f: Parcela$00 000 < .2000 H -- 000 -7 .'0 < .2 000 H.. .'0-- 000 'O:-- 000 H -7 .'0 .. .'0 'O:...'0 H ..54-920Perceba "ue na comra arcelada o investidor terá "ue adicionar R8$.9-0 ara comletar a ltima arcela "ue é de R8 .2 000900

,2< Correto

33O09335

3-0O09-

$0

-34O0934

$'

7≅≅==≅≅

Ebter 7 acertos numa rova de $' "uest#es é um desemeno inIerior aobter - acertos numa rova de $0 "uest#es9 orém suerior a obter 3acertos numa rova de 5 "uest#es:

,4< +a=so

A área de um triQngulo e"uilátero de lado l é dada or A H2

.'

l:

Ebserve "ue á área é diretamente roorcional ao "uadrado do lado: +edulicarmos o lado9 a área irá "uadrulicar: @eja/

TriQngulo e"uilátero $ de lado l / A$ H2

.'l

TriQngulo e"uilátero ' de lado ' l / A$ H ( ).

2

.' ''

ll

=

,< +a=so

Podemos resolver alicando uma regra de tr*s comosta: @eja/

$0

4:

'

.

G

3= →

3

-

G

3= → G H

-

'3H

29$7:: dias

9*"%!7) , – :$'I!);

nicialmente temos 2 Iilotes "ue já estão se rerodu)indo a cada .meses (janeiro9 julo9 outubro e outros $' "ue irão se rerodu)ir a=s 4meses (setembro,aneiro/ 2 $' H $-A=s . meses/ Abril/ 2 $' $' H '4

A=s . meses/ ,ulo/ 2 $' $' $' H 20A=s ' e . meses/ +etembro/ 2 $' $' $' .- H 7-

Eutubro/ 2 $' $' $' .- $' H 44Total de Iilotes/ 44

9*"%!7) , – :$'I!); /

nicialmente devemos restar a atenção na deIinição dada: 6ual"uer

"ue seja o nmero real x 9 ele obedece 1 relação n ≤ x < n + 19 sendo n

um nmero inteiro: >i)se "ue n é a arte inteira de x e é

denotada or E(x) = n:

A artir dessa deIinição de E 9 odemos estabelecer "ue/

) $79::::$7(!'55! == : Ebserve "ue $4'55$7.'2'55'45 <<→<<

( ) ( ) .9:.!$'7log! 3 == : Ebserve "ue log3$'3 log3 $'7 log3 -'3 → .

log3 $'7 2

( ) ( ) $'70sen!'..sen! −=°=° :Ebserve "ue sen '70[ sen '..[sen$40[→

$sen '..[ 0

047390(!4

7! ==

( ) 1...41,12 == E E : Ebserve "ue ''$2'$ <<→<<

Vogo/( ) ( ) )(

( )75

3214

28

7 E

233sen E 127 log E 2299 E 4 Y 5

==

+

−−+

+

°−+=

$0

$(

!

x7xxx

9*"%!7) , – :$'I!); 1,

,1< +a=so

20'

40

$00

'

$00

40

===

2%

80% : Ebserve "ue 20 H 2000O

,2< Correto

( ) ( ) 0590'

.90

'

$0

.'

$00

.0'O.0 ====

,4< +a=so

Temos um LbrindeM de um roduto dentre cinco9 ou seja/

O'0'903

$== :

,< Correto

@alor inicial da edra/ '0' H 200 u:m:A=s a "uebra/ $-' 2' H '7' u:m: Perda/ 200 < '7' H $'4 u:m:200 $00O$'4 G

O.'G

G

$00

$'4

200=→=

10< +a=so$'00 $00O$.40 G G H $$3ONeste caso9 o lucro obtido na venda sobre o reço de custo9 Ioi de 15%:

9*"%!7) 1, – :$'I!); 1

,1< Correto

Regra de tr*s simles e inversa:

A H velocidade G B H velocidade $93G (G 30OGtemo de A H 5 dias temo de B H t dias

G

$93G

t

5= → t H - dias




,2< Correto

(

>

144?@

144?>@

( $'$:(G("$22 −+=

+ubstituindo ( em ( vem/ $22 H (" $ : (G < $'

$22 H ( )$'G:$G

$22−+

→ G' < $'G < $7'4 H 0 → G$ H 24 ou G' H < .-

(não serve

No dia da distribuição/ G < $' H 24 < $' H .-

,4< +a=so

ndicando genericamente o valor de um roduto or G temos/

>esvalori)ação

G < '0OGG < 09'G094G → valor a=s a desvalori)açãoAcréscimo094G '0O(094G094G 09'(094G094G 09$-G

095-G → valor a=s o acréscimoVogo valor inicial < valor Iinal H G < 095-G H 0902G9 o "ue reresenta 2O dedesvalori)ação:

Vembrese/ Aumentar em '0O o valor de G e"uivale a Ia)er $9'G ediminuir em '0O do valor de G e"uivale a Ia)er 094G: Vogo/$9': 094: G H 095-G ("ue reresenta um desconto de 2O em relação aovalor inicial

,< +a=so

G Z H '5 → Z H '5 < G@amos denotar a soma dos "uadrados desses nmeros ela Iunção I/I(G9 Z H G

' Z

'

I(G H G' ('5 < G'

I(G H G' 42$ < 34G G

' → I(G H 'G

' < 34G 42$

E gráIico dessa Iunção é uma arábola com concavidade ara cima9 logoassume valor mDnimo9 "ue é dado ela ordenada do vértice da arábola:

Z@ Ha2

∆− → Z@ H

a2

hac2'

b −− → Z@ H

':2

h42$:':2'

34( −−− → Z@ H 2'093

10< Correto

Vembrar "ue/ (a:bn H an : bn e am / an H am < n

Para "ue $'3 seja divisor de $3''

o resto da divisão de $3''

or $'3 deveser eGato:

( ) $53:

''.

.3

''3:

''.

.3

''3:.

$'3

''$3

===

9*"%!7) 11 – :$'I!); 1,

,1< +a=so

E item se reIere ao cálculo do mDnimo mltilo comum (?:?:C73 minutos H $$3 → $0 $$3 H $$$3

,2< Correto

E item se reIere ao cálculo do máGimodivisor comum (?:>:CVogo o ?:>:C entre $$'9 40 e 24 é ' 2 H

$-

,4< +a=so

E menor Qngulo Iormado é/2:.0[ Z

Ponteiro &rande PonteiroPe"ueno-0 minutos .0[$0 minutos G[

G H 3[Como G Z H .0[ → Z H '3[:Portanto9 o Qngulorocurado é $23[

,< Correto

Podemos resolver através de uma regra de tr*s comosta/Pessoas ]rea Nmero de Pi))as

$ $00π $.- ''3π G

π

π=

''3

$00:

$

.-

$

G → G H $-

10< +a=so

ndicando genericamente o valor de um roduto or G9 temos/Primeiro aumento +egundo aumento

G $0OG $9$G '0O($9$GG 09$G $9$G 09'($9$G$9$G → valor a=s o rimeiro aumento $9$G 09''G

$9.'G → valor o segundoaumento

Vogo valor Iinal < valor inicial H $9.'G < G H 09.'G9 o "ue reresenta .'Ode aumento:; 'tic# $9$: $9' H $9.':

9*"%!7) 12 – :$'I!); 22

P <'

PH W 'V H W A < ' H W , ' H W

'

PH W V H

'

W A H W ' , H W < '

P H 'W

P V A , H 50 → 'W '

W W ' W < ' H 50 → W H '0

Vogo9 a "uantidade inicial de C>s de André é/ A H W ' → A H '0 ' → A H ''

9*"%!7) 13 – :$'I!);

,1< +a=so

'45'4'

5'.''

'.'=

−==

,2< Correto

2 : .9':$07 H $'94 : $07




.:$03 H 7

$0:$'94

G → .492 : $0

$' H G → G H .942 : $0

$.

,4< +a=so

>ivisores de '4/ $9 '9 29 79 $29 '4:

+oma dos >ivisores (eGceto o '4/ $ ' 2 7 $2 H '4: Vogo9 onmero '4 é erIeito:

,< +a=so

'Z

WG = onde W é uma constante

Primeira situação/ Para G H $- temse Z H .

'Z

WG = →

'.

W$- = → W H $22

+egunda situação/ Para G H 2 temse Z H S

'Z

WG =

→ '

Z

$222 =

→ Z H -

10< +a=so

>enotando o reço do ão salgado or G e o reço do ão doce or Z9temos/

G H Z.

'

2G -Z H '-

2: '-Z-Z.

'=+ → Z H . → G H '

32< Correto

>enotando or LuM a "uantidade de notas de $ real9 or LcM a"uantidade de notas de 3 reais e or LdM a "uantidade de notas de de)$0 reais9 temos/

=++

=++

$00d$0c3u$3dcu com u9 c9 d ∈ N

+ubtraindo a e"uação ' da e"uação $ vem/2c 5d H 43

2

d543c

−=

: Atribuindo valores ara d9 temos as seguintes

ossibilidades/ara d H $ temos c H $5 ( imossDvel já "ue u c d H $3ara d H ' temos c H $-973 (imossDvel já "ue c ∈ N/ara d H 5 temos c H $como u c d H $39 então u H 3

04< Correto

70 : $9$ H 33 : d→77 H 33 d → d H $929*"%!7) 14 – :$'I!); ,

,1< Correto

]rea do Terreno inicial/ G: G → ]rea doTerreno inicial/ G' ]rea do Terreno restante/ (G < 2:(G < .]rea do Terreno restante/ G' < 7G $'+egundo o item9 temos/ Oa ; tn

/tant H'

inicialterrenodo]rea

G' < 7G $' H'

G '→ 'G' < $2G '2 H G' → G'

< $2G '2 H 0 G$ H $' e G' H ' ( serve

E erDmetro do "uadrado inicial é/ 2G H 24

,2< +a=so

A

40

30

$'

=

→ A H '00 000cm'

$m' < $0 000cm' G < '00 000 cm' G H '0m'

,4< +a=so

A Iorça normal ode ser calculada ela comonente PZ da Iigura abaiGo

cos .0[ HP

PZ →

40

PZ

'

.=

PZ H 20 . N

,< Correto

x Au(E\. + y \2P'E7 & $Au2(P'E7. + \'EE item trata da resolução do seguinte sistema linear/

Au → G H 2)

P → 'Z H -) P → Z H .)

E → .G 7Z H '$) ` → .(2) 7(.) H '$) ` → ` H $')

\ → .G 2Z H '`Para ) H $ (menor inteiro ara a situação temos/G H 2^ Z H .^ ` H $'Vogo9 G Z ) ` H '0

9*"%!7) 1/ – :$'I!); 1,

,1< +a=so

W3

P

2

,==

, H 2W P H 3W, P H $40 → 2W 3W H $40 → W H '0 → , H 40 latinas e P H $00

latinas

,2< Correto

P H $0 G $0 G A H $0: GP H '0 'G A H $0:

−

'

'0P

G H'

'0P −

A H 3P < $00

,4< +a=sondicando or LCM a "uantidade de consultas temos/Plano A/ $20 30:C e Plano B/ '00 22C@alor (Plano A @alor(Plano B ara "ual"uer valor de C$20 30C '00 22C → -C -0 → C $0Ebserve "ue s= é mais vantajoso o uso do lano A se a "uantidade deconsultas mensais Ior inIerior a $0:

,< Correto

E comrimento total da circunIer*ncia é $7: ' H .2cmC H 'πR.2cm H 'R: .9$2 como 'R H >(diQmetro

.2 H >:.9$2 → > H $094'cm

9*"%!7) 10 – :$'I!); 11

,1< Correto

249.0

--97.

G

'5= → G H $'

,2< Correto




Ponteiro &rande Ponteiro Pe"ueno-0 minutos .0[G minutos $2'[G H '42 minutos → G H 2oras 22 minutos+omando G ao orário anterior ($39 temos $522min:

,4< +a=so

Bolo $/ @CVN>RE H πR': Bolo '/ @CVN>RE H πR

':

@$ H π$0': 4 @' H π'0': $-@$ H 400πcm. @' H -200πcm.

400π $3900-200π GG H $'0: Vogo9 o reço do segundo bolo é de

R8$'0900

,< Correto

E nmero .9 como os demais9 aarece oito ve)es numa trila comleta:Como o M.M começa a trila9 devemos ter mais sete L.M durante o jogo:No miolo da trila9 or causa do LareamentoM ele aarecerá um

nmero ar de ve)es9 restanto assim um deles no Iinal:

9*"%!7) 1 – :$'I!); 4

,1< Correto>enotando G como a idade de >ioIante temos/

G2'

G3

7

G

$'

G

-

G=+++++

Resolvendo a e"uação de rimeiro grau vem "ue G H 42

Até o casamento/ '$7$2$'

42

-

42

$'

G

-

G=+=+=+

,2< +a=so

Vembrar "ue um cubo de aresta LaM tem área total +T H -a'

e volume@ H a. Perceba "ue a área total é diretamente roorcional ao"uadrado da aresta9 en"uanto o volume é diretamente roorcional aocubo da aresta:

,4< +a=so$47 7 H $52 oras "ue e"uivale a 4 dias ' oras: Eu seja9 o rel=gioestará marcando ' oras:

,< +a=so

A "uestão trata do onto médio das diagonais do retQngulo: Por setratar de um retQngulo9 o onto médio da diagonal AC coincide com oonto médio da diagonal B>: Calculando as coordenadas do ontomédio da diagonal AC temse/

G? H'

$

'

32

'

CGAG =+−

=+ Z? H $

'

'

'

.($

'

CZAZ −=−

=−+

=+

Vogo9 as coordenadas do centro de gravidade são/ ('

$9 $

10< Correto

W===2

z

3

y

4

x G H 2W^ Z H .W^ ) H 'W

Pelo enunciado temos/ 'G 2) H .' → '(2W 2('W H .' → $-W H .' → W H 'Como temos "ue G H 2W^ Z H .W^ ) H 'W9 vem "ue/ G H 4^ Z H - e ) H 2:!ntão G Z ) H $4

32< Correto

ndicando a sobra or LsM temos/

$4

$7

$s$4

.3

s

.3$4s-.0353$4s.3$4

$4s70'$0.$3

.3s5

.3

.

.3

'

.3

+=→=

=→=+→=+++

=+++

04< +a=so

y x Ψ H ZG + sendo $.aG += e $3aZ +=

y x Ψ H $3a$a. +++

y x Ψ H $-a2 +

y x Ψ H 2a(2 + → y x Ψ H ' 2a +

9*"%!7) 1 – :$'I!); 2,

,1< +a=so

@eja "ue dividindo 27 or 3 temos resto ' e não resto 2 como aIirma oitem

,2< +a=soConsiderando G o nmero de degraus devemos ter/ 090'3G H ' → G H

40090'3

'=

Portanto9 devese descer 40 degraus:

,4< Correto

Ebserve o raciocDnio/.

$-0G30$0G

2

.=→=+ 9 ou seja::::

.

2: de erro:

G.

2

$00O.

$-0

↔

↔

→ G H -9'3O

,< +a=so

@eja "ue o retQgulo ossui área $37cm G 40cm H $'3-0 cm ' e "ue $0cDrculos ossuem área $0: π'0' H $'3-0 cm': !mbora as áreas doretQngulo e dos $0 cDrculos serem iguais os $0 cDrculos irão ocuar umaárea maior do "ue a área do retQngulo ois não á uma justaosição9 o"ue torna imossDvel cortar eGatamente $0 cDrculos como aIirma o item:

10< Correto

37

G293-7393.93≥

+++++ → .$93 G k .3 → G k .93

32< +a=so

G $0OG H $2. → G 09$G H $2. → $9$G H $2. → G H $2.X$9$ H $.0

04< +a=so

ndicando genericamente o valor de um roduto or G temos/Podemos Ia)er/ 097: 094 G H 093-G "ue indica 22O de desvalori)ação:

9*"%!7) 1 – :$'I!); ,

,1< Correto

>enotando o nmero de Be)erros or B e de cabritos or C9 temos/




000800020CB0008200CB(0$900008200C0$90B0$90

0008200.

C:

$00

.

2

B:

$00

2

0008200.

CO:.

2

BO:2

=+→=+→=+

=+

=+

,2<+a=so

'0Ode 3.8000 H 09':3.8000 H $08-00

,4< +a=so

, H C:i:t, H 400 000 : 0903 : -, H '20 8000

,< Correto

+eja C o valor inicial de um roduto: A=s o aumento de 700O9 temos/

C 700OC → C

$00

700:C → C 7C → 4C

6uanto temo demoraria ara LCLvirar L4CMS:Cálculo/? H C($ it 4C H C($ 09't 4 H $9't log 4 H log $9't log '. H t:(log $9'.:log ' H t (log$' < log $0.:09.0$ H t(log '' : . < log $00950. H t('log' log . < log $00950. H t(':09.0$ 09277 < $0950. H t: 09075

t ≅ $$92. meses

9*"%!7) 2,

a. +a=so

$.9-0g H 090$.-Wg!m $Wg o gano indevido é de 090$.-Wg9 então em $000 Wg ($tonenalada averá um gano indevido de $.9- Wg

G$000Wg

090$.-Wg$Wg

↔

↔

G H $.9-Wg

G$.9-Wg

R8.9'3$Wg

↔

↔

G H 229'0

!m uma tonelada o gano será R8229'0A. Correto

$0$n semre terminará em $: Vogo9 somando ou subtraindo umaunidade deste resultado resultará um nmero ar:

@eja "ue $0$30 < $ H ($0$'3 $:($0$'3 < $ (diIerença de dois"uadrados

Par : Par'W : 'W

2W' → mltilo de 2

9*"%!7) 21 – :$'I!); 11

,1< Correto

==

==

==

===

'$477

.'7.

.

7'5-

.5'

.

'2.3

..$

.

-3-$4

.4$2

.$0

.

M

M

,2< Correto

@amos lembrar "ue o nico nmero natural ar e rimo é ': Es demaisnmeros rimos são Dmares: Convém lembrar ainda9 "ue amultilicação de dois nmero Dmares resultará num outro nmeroDmar9 e "ue a multilicação de um ar or um Dmar resultará um

nmero ar:

$f Possibilidade a H '(ar b9 c → Dmares+ H ab ac bc+ H P: P: :+ H P P + H ?PAR

'f Possibilidade a 9b9 c → Dmares+ H ab ac bc+ H : : :+ H + H ?PAR

,4< +a=so

Preço da embalagem/ G Preço do lD"uido/ Z

09.0ZG.9'0Z

.940ZG=⇒

+=

=+

,< Correto

3

1

2

1

3

2

6

5A +−−=

: +e A H 09 vem "ue/3

2

6

5

3

1

2

1−=−

!levando ambos membros ao "uadrado9 temos/

@!R>A>!RE.

-

-

3

.

-

-

3

.

-

-

3

-

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'

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3

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.$:

'$':

'$

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.

'

-

3'

.

$

'

$

−=−

−=−+

−=−+

−=+−

−=−

9*"%!7) 22 – :$'I!); 2

nicialmente lembrese "ue/Aumentar G em $0O signiIica Ia)er $9$:GAumentar G em '0O signiIica Ia)er $9 ':G>iminuir G em '0O signiIica Ia)er 094:G>iminuir G em $0O signiIica Ia)er 095:G

E eGercDcios ro#e ' descontos sucessivos9 um de $0O e outro de '0O:@alor inicial/ G095:094:G H 097'G@alor Iinal/ 097'GVogo9 o desconto acumulado é de '4O:

9*"%!7) 23 – :$'I!); 4

,1< Correto

CI H C0:($ in → CI H $0000($ 090$. → CI H $0000:$90$. → CI H$0.0.90$




,2< Correto

( ) VERDADE02

ba

:vem0,a.bComo0ab

2ab2b2a02

a

b

b

a 2

a

b

b

a

≥−

>≥−+

→≥−+→≥+

,4< Correto

($$:$ $

1

1

($$:$: ('':' '

1 2

1 2

1 2

($$:$: ('':': (..: . .

1 2 31 2 3

1 2 3

1 2 3

Perceba até a"ui "ue/($

$:$: ('

':': (.

.: . H ($:':.

2 9 ou seja/ ($

$:$: ('

':': (.

.: . H (.

2

>e Iorma análoga odemos rovar "ue/

( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 2 3 10

1 1! 2 2! 3 3! ... 10 10! 10!⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

,< Correto

( )5

42 31

1 04

x x

− ⋅ − <

+ H 1 1,

2 2

−

10< +a=so

( ) ( )

( )

( ) ( )Falso5-$00

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'$0

/vem"uadrado9 ao membros dois os !levando -2$0

-2$0'0

--22'0

'--':'

''2:3

/vem"uadrado9 ao membros dois os !levando '

-''

3'

-'3'

<

<

<

+<

++<

++<

+<

+<

32< Correto

000$000:::::::::::::::::$-52$

naturaisnmeros$000$000::::::::::::2.'$'''''→

04< +a=so

>D)ima Peri=dica +imles é um nmero Iracionário cujo numerador é o

algarismo "ue reresenta a arte eri=dica e o denominador é um

nmero Iormado or tantos noves "uantos Iorem os algarismos do

erDodo:

!Gemlos/ 0777:::H

5

7 b 09...::::H

.

$

5

.= c 092.2.2.::: H

55

2.

Vogo/

47

55

33

473

5

33

141

3

21

99

421

9

4

9

9

..0,424242..1

0,444....0,999....==

+

+

=

+

+

=+

+

9*"%!7) 24 – :$'I!); ,

,1< +a=so

25G455

9G45

5

4GG

5

4GA

45AG

=→=→=+⇒=

=+

,2< +a=so

($5309 $5329 $5349 :::::::::::9 '0$2 P:A de ra)ão 2an H a$ (n < $:r'0$2 H $530 (n < $:2-2 H 2n < 2n H $7

,4< +a=so

@$ H W:r2 Redu)indo o raio ela metade9 temos/

@' H W:

2

'

r

→ @' H W:

$-

r2

→ @' H$-

$@$

,< Berdadeiro

.$.- < '32$ H 353

G353

$00O'32$

↔

↔

G ≅ '.92O



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PORCENTAGEM

Atividades

01) Calcular as seguintes porcentagens:

a) 25% de 80

b) 4% de 50

c) 120% de 200

d) 0,15% de 400

e) 20% de 30%

f) (5%)2

g) %49

02) Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para asafirmações falsas.

a) ( ) Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foramaprovados. A porcentagem de reprovação foi de70%

b) ( ) Ao vestibular de uma universidade, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099concluíram todas as provas. O percentual deabstenção foi de 8%

c) ( ) Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço deum determinado produto é equivalente a um únicoaumento de 30% .

d) ( ) A base de um retângulo foi aumentada de25% e sua altura foi diminuída de x%. O valor dex, sabendo que a área do retângulo não sealterou é 25.

e) ( ) Se um entre 320 habitantes de uma cidade éengenheiro, então a porcentagem de engenheirosnessa cidade é dada por 0,3125%.

03) ( ENEM 2010 ) Um professor dividiu a lousa da salade aula em quatro partes iguais. Em seguida,preencheu 75% dela com conceitos e explicações,conforme a figura seguinte.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa porcompleto e, adotando um procedimento semelhanteao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa, vez,utilizando 40% do espaço dela.

Uma representação possível para essa segundasituação é

a)

b)

c)

d)

e)




04) ( UFRGS – 2010 ) Alguns especialistas recomendamque para um acesso confortável aos bebedouros porparte de crianças e usuários de cadeiras de rodas, aborda desses equipamentos esteja a uma altura de

76,2cm do piso, como indicado na figura abaixo.

Um bebedouro que tenha sido instalado a uma alturade 91,4cm do piso à borda excedeu a alturarecomendada. Dentre os percentuais abaixo, o quemais se aproxima do excesso em relação à alturarecomendada é:

a) 5%b) 10%c) 15%d) 20%e) 25%

05) ( UFSC – 2013 ) Na segunda-feira, um comerciantedecide vender um produto com um desconto de 10%.Na sexta-feira, como não obteve muito sucesso,decide acrescentar um novo desconto de 20% sobre ovalor obtido após o primeiro desconto. Calcule odesconto total no preço original do produto.

06) ( UEL – 2011 ) Analise a tabela a seguir:

Com base na tabela, é correto afirmar que, de 2007para 2008, o aumento no número de transferênciasde jogadores brasileiros foi de, aproximadamente:

a) 2% para a Europa Ocidental.b) 5% para a Europa Oriental.c) 10% para a América Central.d) 14% para o Oriente Médio.e) 46 % para a América do Sul.

07) ( UFPR – 2013 ) Numa pesquisa com 500 pessoas,50% dos homens entrevistados responderam “sim” auma determinada pergunta, enquanto 60% dasmulheres responderam “sim” à mesma pergunta.Sabendo que, na entrevista, houve 280 respostas“sim” a essa pergunta, quantas mulheres a mais quehomens foram entrevistadas?

a) 40.b) 70.c) 100.d) 120.e) 160.




08) ( UDESC – 2013 ) Um motorista costuma percorrer umtrajeto rodoviário com 600 quilômetros, dirigindosempre a uma velocidade média de 100 km/h ,estando ele de acordo com a sinalização de trânsito

ao longo de toda a rodovia. Ao saber que trafegarnesta velocidade pode causar maior desgaste aoveículo e não gerar o melhor desempenho decombustível, este motorista passou a reduzir em 20%a velocidade média do veículo. Consequentemente, otempo gasto para percorrer o mesmo trajeto aumentouem:

a) 40%b) 20%c) 4%d) 25%e) 1,5%

09) ( ENEM 2012 ) Um laboratório realiza exames em queé possível observar a taxa de glicose de uma pessoa.Os resultados são analisados de acordo com o quadroa seguir.

Um paciente fez um exame de glicose nesselaboratório e comprovou que estava comhiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL.Seu médico prescreveu um tratamento em duasetapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir suataxa em 30% e na segunda etapa em 10%.

Ao calcular sua taxa de glicose após as duasreduções, o paciente verificou que estava na categoriade

a) hipoglicemia.b) normal.c) pré-diabetes.d) diabetes melito.e) hiperglicemia.

10) ( UFPR – 2011 ) O gráfico ao lado representa avelocidade de um veículo durante um passeio de trêshoras, iniciado às 13h00. De acordo com o gráfico, opercentual de tempo nesse passeio em que o veículo

esteve a uma velocidade igual ou superior a 50quilômetros por hora foi de:

a) 20%.b) 25%.c) 30%.d) 45%.e) 50%.

11) ( ACAFE – 2011 ) Um lojista costuma vender suasmercadorias com uma margem de lucro de 150%sobre as mercadorias, ou seja, o preço de venda é ode custo acrescido de 150%. Se em uma promoçãoda loja ele deseja vender tudo com uma margem delucro de 25%, qual o desconto que ele deverá darsobre o preço de venda para atender sua pretensão?

a) 50%

b) 125%c) 40%d) 60%




12) ( ACAFE – 2012 ) O preço de uma marmita fornecidapor um restaurante teve três aumentos durante oúltimo ano: o primeiro de 12,5%, o segundo de 10% eo último também de 10%. Sabendo que após estes

aumentos essa mercadoria passou a ser vendida porR$ 10,89, é correto afirmar que o aumento do valordessa marmita, no último ano, foi de:

a) R$ 2,89.b) R$ 8,00.c) R$ 3,53d) R$ 2,67.

13) ( UFPR – 2011 ) O gráfico de setores ao lado ilustracomo a massa de um homem de 80 kg estádistribuída entre músculos, gordura, ossos e outros. Oângulo de cada setor está mostrado em graus. Combase nesse gráfico, responda às perguntas:

a) Quantos quilogramas de músculos esse homempossui?

b) Juntos, gordura e ossos representam quepercentual da massa desse homem?

14) ( UEL – 2011 )As quadras de tênis para jogos desimples e de duplas são retangulares e de mesmocomprimento, mas a largura da quadra de duplas é34% maior do que a largura da quadra de simples .

Considerando que a área da quadra de duplas é 66,64m2 maior, a área da quadra de simples é:

a) 89,00 m2 b) 106,64 m2 c) 168,00 m2 d) 196,00 m2 e) 226,58 m2

15) ( ENEM 2010 ) Em 2006, a produção mundial deetanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileirade etanol correspondeu a 43% da produção mundial,ao passo que a produção dos Estados Unidos daAmérica, usando milho, foi de 45%.Considerando que, em 2009, a produção mundial deetanol seja a mesma de 2006 e que os EstadosUnidos produzirão somente a metade de suaprodução de 2006, para que o total produzido peloBrasil e pelos Estados Unidos continuecorrespondendo a 88% da produção mundial, o Brasildeve aumentar sua produção em, aproximadamente,

a) 22,5%.b) 50,0%.c) 52,3%.

d) 65,5%.e) 77,5%.




16) ( UFRGS ) O Estádio Nacional de Pequim, construídopara a realização dos Jogos Olímpicos de 2008, teveum custo de 500 milhões de dólares, o que representa1,25% do investimento total feito pelo país anfitrião

para as Olimpíadas de 2008. Portanto, o investimentototal da China foi, em dólares, de

a) 4.106 b) 4.107 c) 4.108 d) 4.109 e) 4.1010

17) ( ACAFE 2011.2 ) Confaz reajusta preços – “A partir dodia 16 de abril o consumidor vai pagar mais caro pelocombustível. O Conselho Nacional de PolíticaFazendária, o Confaz, reajustou a planilha de preços.(...) O valor previsto para a gasolina é de R$ 2,86. Jápara o álcool é de R$ 1,98; o diesel R$ 2,23. A maioralteração no valor foi no querosene para avião (QVA)que passa de R$ 2,03 para R$ 2,42 o litro.”

Em relação ao enunciado, analise as afirmações aseguir.

l. Os R$ 0,39 a mais cobrados pelo litro do QVArepresentam um aumento superior a 20% em relaçãoao preço anterior desse combustível.ll. 1m3 de diesel custará R$ 250,00 a mais que 1m3 de álcool.lll. 20 litros de gasolina custarão 13% a mais que 20litros de álcool.

Assinale a alternativa correta.

a) I e II estão corretasb) I e III estão corretas.c) Apenas a II está correta.d) Apenas a III está correta.

18) Determine a soma dos números associados àsproposições VERDADEIRAS:

01. Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2

deparede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais uma parte de uma segundalata. A parte que se gasta da segunda lata, é 44.

02. Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algumtempo, vendeu essas ações por R$ 2.100,00. Oaumento obtido em seu capital inicial é de 40%.

04. Um recipiente está com 40 litros de uma misturade 10% de “A”, e 90% de “B”. Se acrescentarmos20 litros de “A”, a porcentagem de “A” na novamistura é de 40%

08. Numa mistura de 80kg de areia e cimento, 20% é

cimento. Se acrescentarmos mais 20kg decimento, a sua porcentagem na nova mistura seráde 36%

16. O preço de uma certa mercadoria, comprada comcartão de crédito, é calculado dividindo o preço àvista por R$ 0,80. Logo, pode-se afirmar que ovalor da mercadoria comprada com cartão decrédito, em relação ao preço à vista, apresentaum acréscimo de 25%.

32. Um reservatório, com 40 litros de capacidade, jácontém 30 litros de uma mistura gasolina/álcoolcom 18% de álcool. Deseja-se completar o

tanque com uma nova mistura gasolina/álcool demodo que a mistura resultante tenha 20% deálcool. A porcentagem de álcool nessa novamistura deve ser de 26%

19) ( UEL – 2011 ) Em uma turma de alunos, constatou-seque 30% dos homens e 10% das mulheres estudaramem colégios particulares. Constatou-se também que18% dos alunos dessa turma estudaram em colégiosparticulares. Qual a percentagem de homens dessaturma?

a) 12%b) 20%c) 35%d) 40%e) 64%




20) ( UFRGS – 2011 ) A renda per capita de um país é arazão entre seu PIB (Produto Interno Bruto) e suapopulação. A população chinesa, em 2009,representava 19,7% da população mundial. Nesse

ano, o PIB chinês foi de 4,9 trilhões de dólares e arenda per capita chinesa foi de 3.620 dólares. Combase nesses dados, é correto afirmar que, dentre osnúmeros abaixo, o mais próximo da populaçãomundial, em 2009, é

a) 5,6. 109 b) 6,8. 109 c) 7,2. 109 d) 5,6. 1012 e) 6,8. 1012

21) ( UDESC ) Seu Antônio, um sujeito organizado eatento a promoções, decidiu pesquisar os preços depassagens aéreas, após ler a seguinte manchete:

“As medidas tomadas para aumentar a concorrênciano setor aéreo já tiveram efeito.

Os preços das passagens nacionais e internacionaisbaixaram. Esses preços podem ficar ainda menoresse o consumidor se organizar.”(O Globo , 12/05/2009)

Seu Antônio descobriu que certa empresa aéreaestava operando o trajeto Florianópolis –São Paulocom um desconto de 40% durante o mês denovembro, e que esta empresa oferecia ainda umdesconto adicional de 10%, às segundas-feiras. Eleentão decidiu viajar em uma segunda-feira de

novembro para economizar R$ 138,00, aproveitandoesta promoção. O valor desta passagem, em reais,cobrado por esta empresa antes da promoção, eraigual a:

a) 255,55b) 215,62c) 276,00d) 313,63e) 300,00

22) ( ENEM – 2010 ) Um grupo de pacientes com HepatiteC foi submetido a um tratamento tradicional em que40% desses pacientes foram completamente curados.Os pacientes que não obtiveram cura foram

distribuídos em dois grupos de mesma quantidade esubmetidos a dois tratamentos inovadores. Noprimeiro tratamento inovador, 35% dos pacientesforam curados e, no segundo, 45%. Em relação aospacientes submetidos inicialmente, os tratamentosinovadores proporcionaram cura de:

a) 16%.b) 24%.c) 32%.d) 48%.e) 64%

23) ( UDESC – 2013 ) No dia 14 de junho de 2012 o jornalA NOTÍCIA (ano 89, edição 25.986, pp. 4 e 5) noticiouque pescadores de São Francisco do Sul pescaram 5

toneladas de tainhas na praia do Forte. Ospescadores relembraram que a última grandepescaria, nesta praia, foi no ano de 2004, masnaquela vez foram “apenas” 2 mil peixes. Sabe-se quenesta pesca foram pescados 3.270 peixes, que cadaquilograma foi negociado a R$ 5,00, e que o dono dobarco fica com um terço do valor bruto das vendas.Supondo que as tainhas pescadas em 2004 tivessemo mesmo peso médio e o mesmo preço de venda, queem 2012, então é correto afirmar que:

a) o valor arrecadado na pesca de 2012 foi 40% maiorque o de 2004.

b) o dono do barco recebeu R$ 8.000,00 em 2012.c) em 2004 foram pescados 1270 quilogramas a

menos que em 2012.d) o número de tainhas pescadas em 2004 foi

aproximadamente 39% menor que em 2012.e) em 2012 os pescadores arrecadaram em torno de

R$ 8.000,00 a mais que em 2004.




24) No período de 2003 a 2007, o real valorizou 60% emrelação ao dólar. Podemos dizer que, nesse período,a desvalorização do dólar em relação ao real foi de:

a) 60%b) 52,5%c) 48%d) 37,5%e) 32,5%

25) ( FUVEST )Numa certa população, 18% das pessoassão gordas. 30% os homens são gordos, e 10% dasmulheres, são gordas. Então, a porcentagem demulheres que há nessa população, vale:

a) 54%b) 40%c) 45%d) 55%e) 60%

JUROS

NOÇÕES DE MATEMÁTICAFINANCEIRAJUROS

JURO (J)

É a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital (C)empregado num determinado tempo (t).Para se determinar o valor do juro é aplicado uma taxapercentual referida a um intervalo de tempo denominadataxa de juro (i).Quando soma-se o valor do capital empregado com o juroobtido tem-se uma nova quantia denominada montante.

Então: M = C + J

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Regime de capitalização é um processo de formação do juro. Há dois tipos: Juro Simples e o Juro Composto

1. Juro Simples

Aplicado apenas sobre o capital inicial, ou seja, o juroformado no fim de cada período a que se refere a taxa nãoé incorporado ao capital para, também, render juro noperíodo seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não

são capitalizados. A aplicação dos juros simples é muitolimitada e tem apenas algum sentido em um contexto nãoinflacionário e num curtíssimo prazo.

FÓRMULA DO JUROS SIMPLES

J = C. i . t

Onde J é o juro obtido, i é a taxa de juro e t é o tempoempregado. Taxa e tempo devem estar na mesmaunidade.

Convenção:: 1mês = 30 dias e 1ano = 360 dias

2. Juro Composto

Chamamos de regime de juros compostos aquele emque o juro gerado pela aplicação será a ela incorporadoem cada período, passando assim a participar da geraçãode juro no período seguinte. Assim, teremos juro geradosobre o montante do período anterior, ou seja, jurotambém rende juro.

Fórmula do Juro Composto

Sendo M, o montante, C, o capital investido, i, a taxa de

juro e t, o tempo, temos:

t i C M )1.( +=




Exercícios Resolvidos

01) Calcule os juros simples referentes a um capitalde R$ 2.000,00 investido durante 75 dias, à taxade juros de 6% a.m. (ao mês).

Resolução:

meses5,230dias75

=

=== 5,2.100

6.2000.. t i C J 300,00

02) ( VUNESP ) Uma instituição bancária oferece umrendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numacerta modalidade de aplicação financeira. Um clientedesse banco deposita 1000 reais nessa aplicação. Aofinal de n anos, o capital que esse cliente terá emreais, relativo a esse depósito, será:

a) 1000 + 0,15n b) 1000 . 0,15nc) 1000 . 0,15n d) 1000 + 1,15n e) 1000 . 1,15n

Resolução:

M = C(1 + i)t M = 1000(1 + 15%)n M = 1000(1 + 0,15)n M = 1000. 1,15 n

Resposta: e

03) Uma pessoa toma R$ 10.000,00 emprestados, a jurosde 36% a.m, pelo prazo de 2 meses, comcapitalização composta. Quanto pagará de juros poresse empréstimo?

Resolução:

)8496,1.(10000)36,1.(10000

)36,01.(10000)1.(

2

2

=

=+=+= t

iC M

M = 18496,00

M = C + J ⇒ J = M - C = 18496 – 10000 = 8496

Resposta: Pagará R$ 8496,00 de juros.

Atividades

01) Um capital de R$ 5000,00 é aplicado a juros simples.Encontre os juros quando:

a) i = 4% a.m e t = 8 meses

b) i = 3% a.m e t = 45 dias

02) Qual a taxa anual (a.a.), em %, a qual deve serempregado um capital de R$ 35.000,00 durante 1 anoe 3 meses, a juros simples, para produzir ummontante de R$ 45.500,00?




03) ( ACAFE ) Hoje, o preço de um certo modelo deautomóvel importado é estimado em R$200.000,00.Supondo que valorize 10% ao ano, expresse a funçãoque representa o preço P, em reais, do automóvel, em

função do tempo t, em anos.

a) P = 200.000. 0,1 . tb) P = 200.000. (0,1)t c) P = 200.000. (1,1)t d) P = 200.000 + (1,1)t e) P = 200.000 + (0,1)t

04) ( ENEM 2012 ) Arthur deseja comprar um terreno deCléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades depagamento:• Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00.• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de

R$ 30.000,00, e mais uma prestação deR$ 26.000,00 para dali a 6 meses.

• Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada deR$ 20.000,00, mais uma prestação deR$ 20.000,00, para dali a 6 meses e outra deR$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data dacompra.

• Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada deR$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data dacompra, pagando R$ 39.000,00.

• Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor deR$ 60.000,00.

Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia senão seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ouaté um valor menor) em um investimento, com

rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando osvalores à medida que as prestações da opçãoescolhida fossem vencendo.Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro edas condições apresentadas, Arthur concluiu que eramais vantajoso financeiramente escolher a opção

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

05) Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para asafirmações falsas.

a) ( ) A taxa anual a qual deve ser colocado o

capital de R$9.540,00 durante 24 dias, para querenda juros de R$31,80 é de 5% ao ano.

b) ( ) Em certo trimestre as cadernetas de poupançarenderam 2% de correção monetária. João deixouR$ 1000,00 depositados durante três meses. Nofim do trimestre ele possuía R$1020,00

c) ( ) ( UFSC – 2013 ) Sabemos que aplicando umcapital C o após n meses a uma taxa i, obtemos ovalor a ser resgatado C f

através da seguinteequação (((( )))) n f iC C ++++==== 1

0. Dessa forma, uma pessoa

que aplica um capital de R$10 000,00 a uma taxade 1% ao mês durante três meses deve resgatar umvalor igual a R$ 10 303,01.




06) ( UDESC ) Se uma taxa de juros aplicada sobre osdepósitos feitos em cadernetas de poupança é igual a0,5% ao mês, a seqüência correspondente aosmontantes mensais de um depósito feito nessa

modalidade de poupança é:a) uma progressão aritmética de razão 1,005.b) uma progressão geométrica de razão 1,05.c) uma progressão aritmética de razão 0,5.d) uma progressão geométrica de razão 1,005.e) Não é progressão geométrica, nem aritmética.

07) ( UFSM ) Com a venda dos materiais recicláveis, umaescola recolheu R$ 3.000,00. Esse dinheiro foiaplicado a juros compostos, com rendimento de 1%ao mês. Então, ao final de um ano, o montante(emR$) disponível para a escola é de:

a) 3000 (1,01)12 b) 3000 [1 + (1,01)12]c) 3000 (1,1)12 d) 3000 (1,12)12

e) 3000 (1,12)

08) ( ENEM 2011 ) Uma pessoa aplicou certa quantia em

ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total doinvestimento e, no segundo mês, recuperou 20% doque havia perdido. Depois desses dois meses,resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pelaaplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicouem ações corresponde ao valor de

a) R$ 4 222,22.b) R$ 4 523,80.c) R$ 5 000,00.d) R$ 13 300,00.e) R$ 17 100,00.

09) ( ENEM 2011 ) Um jovem investidor precisa escolherqual investimento lhe trará maior retorno financeiro emuma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa orendimento e o imposto a ser pago em dois

investimentos: poupança e CDB (certificado dedepósito bancário). As informações obtidas estãoresumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um mês, aaplicação mais vantajosa é

a) a poupança, pois totalizará um montante deR$ 502,80.

b) a poupança, pois totalizará um montante deR$ 500,56.

c) o CDB, pois totalizará um montante deR$ 504,38.

d) o CDB, pois totalizará um montante deR$ 504,21.

e) o CDB, pois totalizará um montante deR$ 500,87.




10) ( ENEM 2011 ) Considere que uma pessoa decidainvestir uma determinada quantia e que sejamapresentadas três possibilidades de investimento, comrentabilidades líquidas garantidas pelo período de um

ano, conforme descritas:Investimento A: 3% ao mêsInvestimento B: 36% ao anoInvestimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidemsobre o valor do período anterior. O quadro fornecealgumas aproximações para a análise dasrentabilidades

Para escolher o investimento com maior rentabilidade:anual, essa pessoa deverá

a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ouC, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a36%.

b) escolher os investimentos A ou C, pois suasrentabilidades anuais são iguais a 39%.

c) escolher o investimento A, pois a suarentabilidade anual é maior que as rentabilidadesanuais dos investimentos B e C.

d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade

de 36% é maior que as rentabilidades de 3% doinvestimento A e de 18% do investimento C.e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade

de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de36% ao ano dos investimentos A e B.

11) ( UFPR ) Luiz Carlos investiu R$ 10.000,00 nomercado financeiro da seguinte forma: parte no fundode ações, parte no fundo de renda fixa e parte napoupança. Após um ano ele recebeu R$ 1.018,00 em

juros simples dos três investimentos. Nesse períodode um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundode renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu8%.Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo deações apenas metade do que ele investiu napoupança, os juros que ele obteve em cada um dosinvestimentos foram:

a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundode renda fixa e R$ 288,00 na poupança.

b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundode renda fixa e R$ 258,00 na poupança.

c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundode renda fixa e R$ 288,00 na poupança.

d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundode renda fixa e R$ 278,00 na poupança.

e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundode renda fixa e R$ 318,00 na poupança.

12) Uma pessoa comprou um televisor por R$ 600,00,sem entrada, e pagou em duas prestações. A primeiraprestação foi um pagamento de R$ 300,00, mais os

juros sobre a dívida total, que era da ordem deR$ 600,00. A segunda prestação foi composta pelosR$ 300,00 restantes mais os juros sobre essesR$ 300,00. Sabendo que a taxa de juros foi a mesmaem ambas as prestações, e o total pago resultou emR$ 618,00, a taxa mensal de juros aplicada foi de:

a) 2,5% ao mêsb) 3% ao mêsc) 1,5% ao mêsd) 2% ao mêse) 18% ao mês




13) ( UFSC – 2011 ) Assinale a(s) proposição(ões)CORRETA(S).

No capítulo X, denominado Contas, do Romance

Vidas Secas , do escritor brasileiro Graciliano Ramos,considerado por muitos como a maior obra desteautor, temos:

01. “Fabiano recebia na partilha a quarta parte dosbezerros e a terça dos cabritos. Mas como não tinharoça e apenas limitava a semear na vazante unspunhados de feijão e milho, comia da feira, desfazia-se dos animais, não chegava a ferrar um bezerro ouassinar a orelha de um cabrito.” Suponha queFabiano tenha vendido a sua parte dos bezerros com4% de prejuízo e a sua parte dos cabritos com 3% deprejuízo. Se o prejuízo total de Fabiano foi de Rs400$000 (quatrocentos mil réis), então o valor total dacriação de bezerros e cabritos era deRs 40:000$000 (quarenta contos de réis, ou seja,quarenta milhões de réis).

02. Fabiano recorda-se do dia em que fora vender umporco na cidade e o fiscal da prefeitura exigira opagamento do imposto sobre a venda. Fabianodesconversou e disse que não iria mais vender oanimal. Foi a outra rua negociar e, pego em flagrante,decidiu nunca mais criar porcos. Se o preço de vendado porco na época fosse de Rs 53$000 (cinquenta etrês mil réis) e o imposto de 20% sobre o valor davenda, então Fabiano deveria pagar à prefeituraRs 3$600 (três mil e seiscentos réis).

04. Assim como das outras vezes, Fabiano pediu à sinhaVitória para que ela fizesse as contas. Como decostume, os números do patrão diferiam dos de sinhaVitória. Fabiano reclamou e obteve do patrão aexplicação habitual de que a diferença eraproveniente dos juros. Juros e prazos, palavrasdifíceis que os homens sabidos usavam quandoqueriam lograr os outros. Se Fabiano tomasseemprestado do patrão Rs 800$000 (oitocentos milréis) à taxa de 5% ao mês, durante 6 meses, então os

juros simples produzidos por este empréstimo seriamde Rs 20$000 (vinte mil réis).

08. Desde a década de 30, em que foi publicado o

romance Vidas Secas , até os dias de hoje, a moedanacional do Brasil mudou de nome várias vezes,principalmente nos períodos de altos índices deinflação. Na maioria das novas denominaçõesmonetárias foram cortados três dígitos de zero, isto é,a nova moeda vale sempre 1000 vezes a antiga.Suponha que certo país troque de moeda cada vezque a inflação acumulada atinja a cifra de 700% . Se ainflação desse país for de 20% ao mês, então em umano esse país terá uma nova moeda.(Considere: log2 = 0,301 e log 3 = 0,477 )

14) A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montanteao final dos cinco anos.

15) Certo capital é aplicado em regime de juros simples, àuma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo estecapital estará triplicado?

16) Um capital de $200000,00 é aplicado a juroscompostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4

anos. Usar: log 1,10= 0,041 e log 1,46= 0,164

LEMBRAR: logB (A) = x ↔ A = Bx

17) Uma certa quantia de dinheiro foi aplicada durante trêsmeses a uma taxa mensal de 10%. Qual foi a quantiaaplicada, sabendo que ao final desse período o valorera de R$13310,00?




18) Qual é a taxa porcentual mensal de juro composto quetriplica o capital em três meses?

Usar: 31/3

= 1,44

19) Um corretor de imóveis oferece um terreno porR$ 100.000,00 à vista. A compra também pode serrealizada por meio do pagamento de duas parcelasiguais de x reais; a primeira parcela deve ser paga noato da compra e a segunda um ano depois.Determine o valor de x, sabendo que é cobrada umataxa de juros de 20% ao ano sobre o saldo devedor.

20) Um mutuário comprou um apartamento por R$100.000,00 financiado por um banco com taxa de

juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo noprimeiro mês, ele perde o emprego e não conseguepagar nenhuma prestação. Qual será o valor domontante (tudo que ele deve) ao final de 10 anos?Usar: log 1,15= 0,060 e log 4,04= 0,606

GABARITO – PORCENTAGEM I

1) a) 20 b) 2 c) 240 d)0,6 e) 0,06 f) 0,0025 g) 70%2) a) V b) V c) F d) F e) V3) c 4) d 5) 28 6) e 7) c 8) d 9) d10) e 11) a 12) a 13) a) 30g b) 37,5%14) d 15) c 16) e 17) c 18) 6319) d 20) b 21) e 22) b 23) d24) d 25) b

GABARITO – JUROS

1) a) R$ 1600,00 b) R$ 225,002) 24% 3) c 4) d5) a) V b) V c) V6) d 7) a 8) c 9) d 10) c 11) a12) a 13) 09 14) R$ 12000,00 15) 20 anos16) M= 292.000,00 17) R$ 10000,00 18) 44%19) R$ 54.545,45 20) M= 404.000,00



AULA 01

GEOMETRIA PLANA01) Determine o valor de x na figura abaixo:

x s

r s // 25º

130º

02) Na figura ABCD é quadrado e o triângulo CDE é

eqüilátero. Calcule o valor de x.

03) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então:

a) y = 3xb) y = 2xc) x + y = 180°d) x = ye) 3x = 2y

04) ( UDESC– 2011.2 ) Na figura 1 tem-se que _____

BC é

congruente a _____

AG ; _____

DE é congruente a _____

EF e _____

AB é paralelo a _____

CG .

Se o ângulo Ê mede 50°e os ângulos FDE e BCG sãocongruentes, então o ângulo Â mede:

a) 115°b) 65°c) 130°d) 95°

e) 125°

05) ( OBM-2006 ). Três quadrados são colados pelos seusvértices entre si e a dois bastões verticais, comomostra a figura.

30° 126°

75° x

Qual a medida do ângulo x ?

06) (Fuvest-SP) Na figura abaixo, tem-se que AD = AE,CD = CF e BA = BC. Se o ângulo EDF mede 80°,então o ângulo ABC mede:

a) 20°b) 30°c) 50°d) 60°e) 90°

7) (VUNESP-SP) Considere o triângulo ABC da figuraabaixo. Se a bissetriz interna do ângulo B forma com abissetriz externa do ângulo C um ângulo de 50°,determine a medida do ângulo interno A.

a) 70°b) 80°c) 90°d) 100°

e) 120°

08) Na figura, os segmentos AB e CD são paralelosθ = 2α, BD = 12cm e AB = 7cm. Determine, em cm, ocomprimento do segmento CD.

θ

α

A B

C D

GABARITO AULA 011) 75° 2) 15° 3) a 4) a 5) 39 6) a7) d 8) 19



AULA 02

ESTUDO DOS POLÍGONOS eÂNGULOS NUMACIRCUNFERÊNCIA

01) O número de diagonais de um hexágono, é:

a) 9b) 10c) 11d) 12e) 13

02) O polígono que tem o número de lados igual ao

número de diagonais é o:

a) hexágonob) pentágonoc) triângulod) heptágonoe) não existe

03) ( PUC -PR ) A soma dos ângulos internos de umhexágono regular é:

a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º

04) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:

a) 230°b) 130°c) 144°d) 28°e) 150°

05) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplodo externo?

a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógonod) Heptágono e) Hexágono

06) ( PUC-SP ) O ângulo interno de um polígono de 170diagonais é:

a) 80°b) 170°c) 162°d) 135°e) 81°

07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dosângulos internos mede 1.440°tem exatamente:

a) 15 diagonaisb) 20 diagonais

c) 25 diagonaisd) 30 diagonaise) 35 diagonais

08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cujarazão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entreo número de lados é 1/3.

09) ( PUC-SP ) Qual é o polígono regular em que onúmero de diagonais é o dobro do número de lados?

a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógonod) Heptágono e) Hexágono

10) (FAAP-SP 97) A medida mais próxima de cadaângulo externo do heptágono regular da moeda de R$0,25 é:

a) 60°b) 45°c) 36°d) 83°e) 51°

11) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígonoregular medem 20°. Então o número de diagonaisdesse polígono é:

12) A soma das medidas dos ângulos internos de umpolígono regular é 2160º. O número de diagonaisdesse polígono que não passam pelo centro é:

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

13) Qual o número de diagonais de um polígono convexo,

em que a soma das medidas dos ângulos internos é oquíntuplo da soma das medidas dos ângulosexternos?

14) (Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígonoconvexo medem 130°cada um e os demais ângulosmedem 128° cada um. O número de lados dopolígono é:

a) 6b) 7c) 13d) 16e) 17

15) ( ITA-SP ) De dois polígonos convexos, um tem amais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, asoma total dos números de vértices e de diagonaisdos dois polígonos é igual a

a) 63b) 65c) 66d) 70e) 77

16) ( ITA-SP ) Considere as afirmações sobre polígonosconvexos:

I – Existe apenas um polígono cujo número dediagonais coincide com o número de lados.II – Não existe polígono cujo número de diagonaisseja o quádruplo do número de lados.



III – Se a razão entre o número de diagonais e o delados de um polígono é um número natural, entãoo número de lados do polígono é ímpar.

a) todas as afirmações são verdadeirasb) apenas I e III são verdadeirasc) apenas I é verdadeirad) apenas III é verdadeirae) apenas II e III são verdadeiras

17) Um polígono regular possui a partir de cada um deseus vértices tantas diagonais quantas são asdiagonais de um hexágono. Cada ângulo internodesse polígono mede, em graus:

18) ( ITA-2005 ) Seja n o número de lados de um polígonoconvexo. Se a soma de n – 1 ângulos(internos) dopolígono é 2004°. Determine o número n de lados dopolígono.

19) (Mackenzie-SP) A medida em graus do ângulo internode um polígono regular é um número inteiro. Sendo no número de lados desse polígono, então, n podeassumir

a) 60 valores distintos.b) 50 valores distintos.c) 40 valores distintos.d) 30 valores distintos.e) 22 valores distintos.

GABARITO AULA 02

1) a 2) b 3) e 4) c 5) c 6) c 7) e8) quadrado e dodecágono 9) d 10) e 11) 135 12) d13) 54 14) b 15) b 16) b 17) 150° 18) 14 19) e

AULA 03

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSTRIÂNGULO RETÂNGULO

01) Na figura abaixo AB é paralelo a CD. Sabe-se que:

AB = 15AE = 9AC = 6Determine o valor do segmento CD

02) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.Nessas condições, determine o valor de x + y.

A y D 18 B

15

C

E

10

x 10

03) ( FUVEST ) A sombra de um poste vertical, projetadapelo sol sobre um chão plano mede 12m. Nessemesmo instante, a sombra de um bastão vertical de1m de altura mede 0,6m. A altura do poste é:

04) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z

05) ( UFSC ) Uma escada com 10m de comprimento foiapoiada em uma parede que é perpendicular ao solo.Sabendo-se que o pé da escada está afastada 6m dabase da parede, determine a altura em metros,alcançada pela escada.



06) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm,7cm e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulosemelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm.

a) 8cm, 14cm e 16cmb) 6cm, 14cm e 18cmc) 3cm, 7cm e 9cmd) 10cm, 13cm e 15cme) 5cm, 14cm e 19cm

07) Considere a figura abaixo.

Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscritono triângulo ABC. A medida do lado do losango é x.Determine o valor de 10x

08) Um quadrado está inscrito num triângulo acutângulo, etem um lado apoiado sobre a base do triângulo. Olado do quadrado é igual aos 3/5 da altura do triângulorelativa a base. Calcule o perímetro do quadrado,sabendo que a base do triângulo é igual a 12cm.

a) 20cmb) 19,2cmc) 21,4cmd) 18cme) 10 cm

09) ( UFPR – 2011 ) Um telhado inclinado reto foiconstruído sobre três suportes verticais de aço,colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figuraao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem,respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. Aaltura do suporte em B é, então, de:

a) 4,2 metros.b) 4,5 metros.c) 5 metros.d) 5,2 metros.e) 5,5 metros.

10) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base ABmede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm.MNPQ é um retângulo cujos vértices M e Npertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q aolado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é:

A B

C

M N

Q P

a) 4b) 8c) 12d) 14

e) 16

11) ( ITA ) Considere a circunferência inscrita numtriângulo isósceles com base 6cm e altura de 4cm.Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralelaà base do triângulo. O segmento de t compreendidoentre os lados do triângulo mede:

12) Na figura abaixo as circunferências de centros A e Btêm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distânciaentre os centros é 25cm. A reta t é uma tangenteinterior às circunferências nos pontos C e D. Calcule,em centímetros, a medida do segmento CD.

t

A B

C

D

13) ( FUVEST ) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 ealtura 4. O perímetro desse trapézio é:

a) 13b) 14

c) 15d) 16e) 17

14) ( MACK-SP ) Num triângulo retângulo, um cateto é odobro do outro. Então a razão entre o maior e o menordos segmentos determinados pela altura sobre ahipotenusa é:

a) 2b) 3c) 4d) 3/2

e) 5

15) (Fuvest-SP 2000) No quadrilátero ABCD da figuraabaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o

ângulo E B A)

mede 60° e os ângulos D B E )

e



DC B)

são retos. Sabe-se ainda que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD .

16) As dimensões de um retângulo são AB = 4m eBC = 2m. O valor da distância AH do vértice Aperpendicular à diagonal BD, em metros, é:

a) 4 5 b) 2 5 c)2 5

5

d)4 5

5 e) n.d.a.

17) O triângulo ABC da figura é eqüilátero. AM = MB = 5e CD = 6. Calcule o valor de AE.

18) ( FGV-SP ) Sendo x o raio do círculo inscrito numsetor circular de 90°e raio r, então

a) x = r 2

b) x = 2r 2 c) x = 2r/5d) x = r/3

e) x = r( 2 - 1)

19) A medida da bissetriz em relação à hipotenusa de umtriângulo retângulo cujos catetos medem 6cm e 8cm éigual a:

20) ( UEM-07 ) Na figura a seguir, ABCD é umparalelogramo, M é ponto médio do lado AB, N éponto médio do lado BC, e P é ponto médio do ladoCD. Sabendo-se que a medida de BC é 7 cm, amedida da diagonal AC é 10 cm e a medida dadiagonal BD é 8 cm, então o perímetro do triânguloMNP é

a) 20 cmb) 19cmc) 16cmd) 25cme) 18cm

GABARITO AULA 031) 05 2) 29 3) 20m 4) x = 4 y = 2,25 z = 3,755) 08 6) b 7) 48 8) b 9) d 10) b

11) 1,5 cm 12) 20 13) d 14) c 15) 7

16) d 17)

11

18 18) e 19)

7

224 cm

20) c



AULA 04

POLÍGONOS REGULARES01) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:

a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo

b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo

c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo

02) ( UFRGS – 2010 ) O perímetro do triângulo equiláterocircunscrito a um círculo de raio 3 é:

38

615

36

320

318

e)

d)

c)

b)

a)

03) Calcular o perímetro de um quadrado inscrito

numa circunferência de raio 3 2 cm.

04) ( ACAFE ) Dois triângulos eqüiláteros têm áreas

medindo, respectivamente , 381 cm2 e 39 cm2.

A razão entre suas alturas é :

a) 3 b) 2

c) 22

d) 3e) 6

05) ( UDESC-08 ) Suponha que os quatro vértices de umquadrado estão situados sobre uma circunferência, Arazão entre o comprimento dessa circunferência e operímetro desse quadrado é dada por:

22)

4)

2)

2

2)

4

2)

π

π

π

π

π

e

d

c

b

a

06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco deárvore, para que dele se possam fazer postesquadrados, cujas arestas das bases meçam 20cm, é:

a) 10cmb) 40cm

c) 30cm

d) 20 2 cme) 80 cm

07) ( UFPA ) O raio de uma circunferência onde seinscreve um triângulo eqüilátero de 3 cm de lado é:

3e)

1d

332 c

4

3 b

2

3 a)

)

)

)

08) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos dascircunferências circunscrita e inscrita a um quadradoé:

a) 2

b) 3

c) 2 2

d) 2 3

e)2

3



09) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular (em cm2)

inscrito numa circunferência de raio 2 é igual a:

a) 3 3

b) 3 2

c) 2 3

a) 2 2

10) ( UFSC – 2006 ) Considere um hexágono eqüiângulo(ângulos internos iguais) no qual quatro lados conse-cutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm ,conforme figura abaixo. Calcule o perímetro dohexágono.

GABARITO AULA 04

1) a) 10 3 b) 10 c) 10 2 2) a3) 244) d5) a6) d7) e8) a9) a10) 99

AULA 05

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS01) A área do triângulo ABC, conforme a figura, é:

120°

AB

C

4

3

a) 3

b) 2 3 c) 3

d) 4 3 e) 6

02) ( UDESC-2005 ) A área, em m2

, do quadrado ABCD,da figura a seguir, é:

a) 100.b) 144.c) 169.d) 128.e) 112.

03) ( ACAFE-05 ) A base de um triângulo mede 72cm esua altura, em cm, é h. Se a base for aumentada em48cm e a altura em 32cm, obtém-se um novotriângulo, cuja área é o triplo da área do primeiro. Ovalor da altura h, em cm, é:

a) 20b) 64c) 80d) 40e) 12

04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está divididoem três retângulos, A, B e C, dispostos conforme afigura abaixo, de modo que a área de B é a metade dade A e um terço da de C.

A

B C

E D

C

B A

F

20

13

15

23



Com base nessas informações, é correto afirmar:01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2.02. A área de A é 1/6 da área de C.04. A área de A é 24m2.

08. Um dos lados de A mede 2m.16. Um dos lados de C mede 8m.

05) ( UFSC ) O número de ladrilhos de 20cm por 30cm,cada um, necessários para ladrilhar um banheiro de5,94m2 de área é:

06) ( ACAFE-07 ) Um terreno na forma retangular estásendo preparado para o cultivo da cana-de-açúcar. Aárea de plantio deverá ocupar 4/5 da área do terreno.Sabendo que o terreno tem 190m de perímetro, e arazão entre as medidas dos lados é 0,9, então, aregião ocupada pela plantação, em m2, vale:

a) 1710b) 2000c) 1900d) 1800e) 2250

07) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 20cm,BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadriláteroMBNP é um losango de área 8cm2

A

B C

M

N

P

A medida, em graus, do ângulo BNP é:

a) 15b) 30c) 45d) 60e) 75

08) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S éaumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%.A área do novo retângulo formado é:

a) 1,04 Sb) 1,02 Sc) Sd) 0,98 Se) 0,96 S

09) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é umretângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB emquatro partes iguais. A razão entre a área do triânguloCEF e a área do retângulo é:

A B

C

E F G

D

a) 1/6b) 1/7c) 1/8d) 1/9e) 1/10

10) ( UFSC ) Queremos revestir uma parede usandoazulejo de 20cm x 20cm. Já dispondo de 342 peçasdesse azulejo, qual a quantidade de peças a seremcompradas?

11) ( UFSC ) Um retângulo está inscrito num círculo de 5cm de raio, e o perímetro do retângulo é de 28 cm.Calcular, em centímetros quadrados, a área doretângulo.

12) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BCmedindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscritonesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com xcm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, paraque a área do retângulo seja máxima?

13) ( UFSC ) Calcule em metros quadrados, a árealimitada pela figura plana.

2m

2m

3m

2,5m

4m



14) ( UEL-PR ) Um terreno possui a forma de um trapézioisósceles ABCD, conforme a figura a seguir.

A base maior DC tem 64 metros; a base menor ABtem 28 metros e a altura do trapézio é igual a 49metros. O dono do terreno deseja dividi-lo em doispolígonos de áreas equivalentes e com mesmoperímetro. Para efetuar esta divisão deverá traçar umsegmento de reta PQ . O ponto P deverá estar nabase maior DC a uma distância de 24 metros do

vértice C e o ponto Q sobre a base menor AB. Nestascondições, a distância do ponto Q ao vértice B deveráser igual a:

a) 18 metros. b) 20 metros. c) 22 metros.d) 24 metros. e) 28 metros.

15) Determine a área de um dodecágono regular inscritonuma circunferência de raio igual a 3cm.

16) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o pontomédio do lado AD; N está sobre o lado BC e2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláterosABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.

17) ( UEL-07 ) Um retângulo é inscrito no triânguloeqüilátero de lado a , de modo que a base doretângulo está contida na base do triângulo, comoilustra a figura abaixo.

Se a altura do retângulo é a/3 , então a área doretângulo em função do lado do triângulo é dada por:

3

)332()

18

)329()

18

)329()

27

)329(

)

27

)329()

2

2

2

2

2

−=

+=

−=

+=

−=

a Ae

a Ad

a Ac

a Ab

a Aa

GABARITO AULA 051) c2) b

3) d4) 135) 996) d7) b8) e9) c10) 7311) 4812) 0313) 1814) c15) 27cm2 16) 2017) a



AULA 06

ÁREA DO CÍRCULO E SUASPARTES

01) ( UEL-PR ) Oito amigos compram uma pizza gigantecircular com 40cm de diâmetro e pretendem dividi-laem oito pedaços iguais. A área da superfície de cadapedaço de pizza, em centímetros quadrados, é:

a) 50π b) 60π c) 75π d) 100π e) 120π

02) ( FGV-SP ) Um círculo de área 16π está inscrito emum quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:

a) 32b) 28c) 24d) 20e) 16

03) ( ACAFE ) Calcule a área do círculo inscrito no

hexágono regular, cujo lado mede 6 3 m.

a) 9 π m2

b) 18π m2

c) 18 3 π m2

d) 81π m2

e) 81 3 π m2

04) ( FUVEST ) Na figura seguinte, estão representadosum quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e umacircunferência de raio 2. Então, a área da regiãohachurada é:

1π2e)2πd)

2πc)2πb)2

2

π

a)

++

+++

05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de16 π cm2. Sabendo-se que a diferença entre os doisraios é 2cm, determine o valor numérico do produtodesses raios.

06) ( UFSM-09 ) O plantio de hortas vem melhorando aalimentação dos estudantes e aprimorando oaprendizado. Desenvolvido pelo fundo nacional dedesenvolvimento da educação (FNDE), em parceriacom a organização das nações unidas para agriculturae alimentação (FAO), o projeto “Educando com aHorta Escolar” tem levado os alunos do EnsinoFundamental a aprender, na prática, as disciplinascurriculares, ajudando a criar nas crianças consciênciaambiental e melhoria nos hábitos alimentares.Em uma escola participante do projeto, os alunosconstruirão um canteiro em forma de círculo, com 2mde raio, para plantar verduras. Sabendo que cadaplanta ocupará 20cm x 20cm de área, então o númeromáximo de plantas que caberão desse canteiro é,aproximadamente, igual a

a) 16b) 31

c) 157d) 314e) 1570

07) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1,a área do setor assinalado é:

9

8π e)

9

5π d)

18

5π

c)

18

7π b)

9

7π a)



08) ( ACAFE ) Na figura abaixo, o triângulo equilátero écircunscrito ao círculo de raio 2m. Então, a área, emm2, da região hachurada é:

320e)

π)34(3d)

38c)

π38b)

π)34(6a)

−

−

−

09) ( FCMSC-SP ) Um lago circular de 20m de diâmetro écircundado por um passeio, a partir das margens dolago, de 2m de largura. A área do passeio representaa seguinte porcentagem da área do lago:

a) 10%b) 20%c) 15%d) 32%e) 44%

10) ( PUC ) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas“grandes”de forma circular, por R$ 15,00. Paraatender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecera seus clientes pizzas “médias”, também na formacircular. Qual deverá ser o preço da pizza média, seos preços das pizzas “grande” e “média” sãoproporcionais às suas áreas?Dados: raio da pizza “grande”: 35cm

raio da pizza “média”: 28cm

11) A área da coroa limitada pelas circunferências inscritae circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado6cm é igual a:

A

B C

O

12) ( CESGRANRIO ) Na figura, os três círculos sãoconcêntricos e as áreas das regiões hachuradas sãoiguais. Se o raio do menor círculo é 5m e do maior é13m, então o raio do círculo intermediário é:

13) Calcule a área da região hachurada, sabendo-se que oquadrado tem área 16cm2.

14) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso numcercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, comlado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de40m que está fixada num dos cantos do quadrado.Considerando π = 3,14, calcule a área, em metrosquadrados, da região do cercado que o cavalo nãoconseguirá alcançar, porque está amarrado.

a) 1244b) 1256c) 1422

d) 1424e) 1444

15) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, suaárea cresce:

a) 14%b) 14,4%c) 40%d) 44%e) 144%

16) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r eC2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centrode C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitadopela circunferência C1, é igual a 4 centímetrosquadrados, calcule em cm2, a área do círculo limitadopela circunferência C2.

17) ( MACK-SP ) Um jardineiro, trabalhando sempre nomesmo ritmo, demora 3 horas para carpir um canteirocircular de 3 metros de raio. Se o raio fosse igual a6m, ele demoraria:

a) 8 horasb) 9 horas

c) 6 horasd) 12 horase) 15 horas



18) ( UFSC ) A figura abaixo representa um campo debeisebol.

Sabe-se que:

1) AB = AC = 99 m;

2) AD = 3 m;

3) HI =6

DF ;

4) o arremessador fica no círculo localizado no centrodo quadrado.Se a área hachurada mede 1458π m2, então amedida, em METROS, do raio do círculo onde fica oarremessador é:

19) ( UDESC ) Se o raio de um círculo aumenta em 10%,então seu perímetro e a sua área aumentarãorespectivamente:

a) 10% e 10%b) 10% e 21%

c) 21% e 21%d) 10% e 0%e) 0% e 10%

20) ( FUVEST-2005 ) Na figura, ABCD é um quadrado delado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências deraio 1.

Logo, a área da região hachurada é:

a) 1 –4

3

6+

π

b) 1 –2

3

3+

π

c) 1 –4

3

6−

π

d) 1 +2

3

3−

π

e) 1 – 4

3

3 −

π

GABARITO AULA 06

1. a2. a3. d4. b5. 156. d7. b8. d9. e10. R$ 9,6011. 9π cm2 12. 12

13. 2

33

4cm−

π

14. a15. d16. 1617. d18. 0519. b20. c



TRIGONOMETRIA NOSTRIÂNGULOS

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULORETÂNGULO

01) Duas pessoas, A e B , avistam um objeto voador nãoidentificado O , na situação indicada na figura abaixo.A distância OH é, aproximadamente:

a) 100mb) 260mc) 360md) 460me) 600m

02) Lua entrará na fase quarto minguante às 16:13 deamanhã

Quando a Lua está no quarto minguante, ocasião naqual, vista da Terra, exatamente metade dela apareceiluminada pelo Sol, o triângulo TLS, indicado na figura,é retângulo em L.

Sabendo-se que, na situação descrita, a medida do

ângulo LST é 0,15°, e adotando sen 0,15°= 0,0025, écorreto dizer que a distância Terra-Sol é igual àdistância Terra-Lua multiplicada por

a) 200b) 250c) 300d) 350e) 400

03) Na cidade de Pisa, Itália, está localizada a Torre dePisa, um dos monumentos mais famosos do mundo.Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulode 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima datorre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m decomprimento. A que distância se encontra o pontomais alto da torre em relação ao solo?(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)

04) ( UEL – 2011 ) Um indivíduo em férias na praiaobserva, a partir da posição P1, um barco ancorado nohorizonte norte na posição B. Nesta posição P1, oângulo de visão do barco, em relação à praia, é de

90°, como mostrado na figura ao lado. Ele correaproximadamente 1000 metros na direção oeste eobserva novamente o barco a partir da posição P2.Neste novo ponto de observação P2, o ângulo devisão do barco, em relação à praia, é de 45°. Qual adistância P2B aproximadamente?

a) 1000 metrosb) 1014 metrosc) 1414 metrosd) 1714 metrose) 2414 metros

05) ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x

30° 60°

A

B

CD

AD = x DC= x - 38 BD = y

06) ( UFPR – 2013 ) Um recipiente, no formato dehemisfério, contém um líquido que tem profundidademáxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetrodo recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, emrelação à horizontal, em que ele pode ser inclinado atéque o líquido alcance a borda, antes de começar aderramar?

a) 75o.b) 60o.c) 45o.d) 30o.e) 15o

07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea eparalela à costa. Num certo momento, um coqueirosituado na praia é visto do barco segundo um ângulo

de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, ocoqueiro fica posicionado na linha perpendicular àtrajetória do barco. Qual é a distância do barco àcosta?(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)



08) Determine o valor de x e y na figura abaixo:

09) ( Unicamp-SP ) Uma pessoa de 1,65 m de alturaobserva o topo de um edifício conforme o esquemaabaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemossomar 1,65m a:

a) b cos α b) a cos α c) a sen α d) b tg α e) b sen α

10) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Na figura abaixo, em que o

ponto B localiza-se a leste de A, a distância___

AB = 5km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, anorte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. Apartir destes dados, assinale o que for correto.

01.___

AC = 10km

02.___

AD = 2,5 km

04.____

BC = 5 3 km

08. O ângulo D A B ˆ mede 60° 16. A velocidade média do barco é

de 15km/h

11) ( CEFET-PR ) Se na figura abaixo AB = 9 cm, osegmento DF mede, em cm:

a) 5b) 4c) 8d) 7e) 6

12) ( UFSC – 2012 ) A afirmação seguinte estáCORRETA? Um viajante sobe uma trilha com 30º deinclinação constante a partir da base de uma árvore,

conforme a Figura . Após subir 25 m em linha reta eestando em pé, o viajante verifica que seus olhosestão no mesmo nível do topo da árvore. Se a alturado viajante é 1,80 m e seus olhos estão a 10 cm dotopo de sua cabeça, a árvore mede 14,30 m .

13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triânguloABC indicado pela figura abaixo:

14) ( FUVEST ) Dois pontos, A e B, estão situados namargem de um rio e distantes 40 m um do outro. Umponto C, na outra margem do rio, está situado de talmodo que o ângulo CAB mede 75o e o ângulo ACBmede 75o. Determine a largura do rio

15) ( FURG-08 ) Um navegador vê do canal da barra do

Rio Grande o topo do prédio da plataforma P-53, sobum ângulo de 300. Aproximando-se 52m em direção àplataforma, o novo ângulo de visão é de 600.Considerando que o navegador e a base da

plataforma estão nivelados e que 3 ≅ 1, 7 ,podemos concluir que a altura da plataforma é de,aproximadamente

a) 55mb) 50mc) 26md) 45me) 40m

16) ( UDESC-08 ) O segmento AB é tangente àcircunferência de centro C no ponto P, conformemostra a Figura 1:

Sabendo que P é o ponto médio do segmento AB, que

a medida do ângulo C B é 30°e que a medida dosegmento AB é 6 3 cm, o raio da circunferência é:



a) 2.

b) 3 3 c) 6

d) 3 2 e) 3

17) ( UEL-PR ) Um engenheiro fez um projeto paraaconstrução de um prédio (andar térreo e mais 6andares), no qual a diferença de altura entre o piso deum andar e o piso do andar imediatamente superior éde 3,5m. Durante a construção, foi necessária autilização de rampas para transporte de material dochão do andar térreo até os andares superiores. Umarampa lisa de 21m de comprimento, fazendo ângulode 30o com o plano horizontal, foi utilizada. Umapessoa que subir essa rampa inteira transportarámaterial, no máximo, até o piso do:

a) 2o andar.b) 3 o andar.c) 4 o andar.d) 5 o andar.e) 6 o andar.

18) ( UDESC – 09.1 ) Sobre um plano inclinado deverá serconstruída uma escadaria.Sabendo que cada degrau da escada deverá ter umaaltura de 20 cm e que a base do plano inclinado mede

280 3 cm, conforme mostra a Figura, então aescada deverá ter:

a) 10 degraus. b) 28 degraus. c) 14 degraus.d) 54 degraus. e) 16 degraus.

19) Na figura abaixo, o valor de cos x é:

20) ( UFRN ) Um observador, no ponto O da figura aseguir, vê um prédio segundo um ângulo de 75o. Seesse observador está situado a uma distância de 12mdo prédio e a 12m de altura do plano horizontal quepassa pelo pé do prédio, então a altura do prédio, emmetros, é:

21 e)

2)26(d)

2

3 c)

3b)

)34(3 a)

+

+

GABARITO

1) c 2) e 3) 51m 4) c5) 57 6) d 7) 180 m

8) x = 100 3 y = 100 9) e 10) 3111) e 12) NÃO 13) C = 60o B = 45o A = 75o

14) 2015) d 16) e 17) b 18) c 19)

3

22

20) a



AULA 02

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULOQUALQUER

01) ( UFSM – 2010 ) Entre os pontos A e C, localizadosna margem de um lago, será estendido um cabo comboias sinalizadoras que demarcará a parte permitidapara o passeio de pedalinhos. Para a compra domaterial a ser utilizado, é necessário determinar adistância entre esses pontos. A medição direta dadistância entre Ae C não pode ser realizada, pois ficasobre a superfície do lago. Assim, marcou-se umponto B intermediário, de modo que as distânciasentre Ae B e entre B e C pudessem ser feitas sobreterra firme. Sabendo que a distância entre Ae B é 100

metros, que a distância entre B e C é 60 metros e queo ângulo com vértice em B determinado por A, B e C é120 graus, a distância entre A e C, em metros, é

a) 120.b) 140.c) 150.d) 155.e) 160.

02) Um navio, navegando em linha reta, passasucessivamente pelos pontos A, B e C. Ocomandante, quando o navio está em A, observa o

farol L e mede o ângulo L A C = 30°. Após navegar 4

milhas até B, verifica o ângulo L B C = 75°. Quantasmilhas separam o farol do ponto B?

a) 2 2 b) 3 c) 2 3 d) 3 2 e) 4 2

03) ( FUVEST ) ABC é um triângulo equilátero de lado 4;AM = MC = 2, AP = 3 e PB = 1. O perímetro dotriângulo APM é:

a) 5 + 7

b) 5 + 10

c) 5 + 19

d) 5 + 5613−

e) 5 + 5613+

04) ( UFRGS – 2010 ) As medidas dos lados de umtriângulo são proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de

seus ângulos internos são, portanto:

8

7,

2

1,

2

1e)

4

1,

2

1,

2

1d)

8

7,

4

1,

4

1c)

8

1

,4

1

,4

1

b)

2

1,

8

1,

8

1a)

05) ( PUC-SP ) Dois lados consecutivos de um

paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um

ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonalmenor, em centímetros, mede:

a) 4 b) 11 c) 3 d) 13 e) 4 2

06) Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = 6cm.Calcule o comprimento da mediana relativa ao ladoBC.

07) ( FUVEST-2004 ) Em uma semi-circunferência decentro C e raio R, inscreve-se um triângulo equiláteroABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo ACBintercepta a semi-circunferência. O comprimento dacorda AD é:

08) ( MACK-2003 ) Na figura, o raio da circunferência decentro B é o dobro do raio da circunferência de centroA. Se x é a medida do ângulo ACB, então:

A B

C

a) 0 < x ≤ 30°b) 45°< x ≤ 60°c) 30°< x ≤ 45°d) 60°< x ≤ 90°e) x > 90°

GABARITO

1) b 2) a 3) a 4)c 5) d

6) 2 7 25) c 7) R 32 − 8 ) d



PROGRESSÕES 3 www.ricardinhomatematica.com.br

ProgressõesExercícios Resolvidos

01) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. O vigésimo termo da progressão aritmética(x, x +10, x

2 , ...) com x < 0 é 186 .

02. A soma dos n primeiros números naturais ímparesé n

2 + 1.

04. O termo1024

1 encontra-se na décima segunda

posição na progressão geométrica 2 , 1, 2

1, ... .

08. Sabendo que a sucessão (x, y, 10 ) é uma PA crescente e a sucessão (x, y, 18 ) é uma PG crescente, então xy = 12 .

16. O valor de x na igualdade

12...9

x

3

x x =+++ , na qual o primeiro

membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é10 .

Resolução

01.Correto

(x, x +10, x 2 ) → P.A.a2 – a1 = a3 –− a2 x + 10 – x = x2 – (x + 10) → 10 = x2 – x – 10 → 0 = x2 – x – 20

x1 = 5 (não serve, pois x < 0) ou x2 = – 4Se x = – 4, temos: (– 4, 6, 16, ......)Cálculo de a20

an = a1 + (n – 1).ra20 = - 4 + 19.10 → a20 = 186

02. Falso

(1, 3, 5, .............., an )an = a1 + (n – 1).ran = 1 + (n – 1).2 → an = 2n – 1

( )2

.1

n

naanS += → ( )2

.121n

nnS −+= → Sn = n2

04. Correto

an = a1.qn – 1

1024

1= 2.

1

2

1

−

n

2048

1=

1

2

1

−

n

→ 11

2

1

=1

2

1

−

n

→ n = 12

08. Correto

(x, y, 10) → PA e (x, y, 18) → PG

−=

−=−

102

10..

y x

y x y AP

12.

.26,102

)(30261

)102(182

18

102

18

=

==−=

==

−=

=

−

=

y x Então

xe ytemos y xComo

servenão you y

y y

y y

y

y x

y

16. Falso

q =3

13 =

x

x

8

3

11

121

1 =→

−

=→−

= x

x

q

a

S




02) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Uma avenida em linha reta possui 20 placas desinalização igualmente espaçadas. A distânciaentre a sétima e a décima placa é 1.200 metros.A distância entre a primeira e a última placa é

7.600 metros.02. Se três números inteiros positivos não-nulosformam uma progressão aritmética, e a somadeles é igual a 36 , então o valor máximo que omaior desses números pode ter é 24 .

04. Uma cliente levará 12 meses para saldar umadívida de R$ 6.400,00 com uma loja de móveis,pagando R$ 500,00 no primeiro mês, R$ 550,00 no segundo mês, R$ 600,00 no terceiro mês eassim por diante.

08. Se o preço de uma cesta básica é, hoje, R$ 98,00 eesse valor diminui 2% a cada mês que passa emrelação ao valor do mês anterior, então daqui anove meses o preço da cesta básica será de

10

100.(0,98) reais.16. No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local

onde o corpo de Jacques Saunière é encontrado,alguns números estão escritos no chão. Estesnúmeros fazem parte da Seqüência de Fibonacci,que é uma seqüência infinita de números em quecada termo, a partir do terceiro, é igual à somados dois termos que imediatamente o antecedem.Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência deFibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... é o número 79 .

Resolução

01. Correto

Como as 20 placas estão igualmente espaçadas se trata determos consecutivos de uma P.A. (a1, a2, a3,............a20)

Distância entre a sétima e a décima placa:

a10 – a7 = 1200a1 + 9r – (a1 + 6r) = 12003r = 1200 → r = 400Distância entre a primeira e a última placa:a20 – a1 = ?a1 + 19r – a1 = ?19r = ?19.400 = 7600

02. Falso

Podemos representar 3 termos em P.A. por: x – r, x, x + r.

x – r + x + x + r = 36

3x = 36 → x = 12

Então os 3 termos são: (12 – r, 12, 12 + r). Todos números inteirose positivos. Logo 12 – r > 0 o que sugere que r podeassumir valor máximo 11, o que torna 12 + r = 23 e não 24 comosugere o item.

04. Falso

500 + 550 + 600 + .........................+ a12 = ?

1050

50.11500

).1(

12

12

1

=

+=

−+=

a

a

r naan ( )

( )

9300

2

12.1050500

2.

12

12

1

=

+=

+=

S

S

naaS nn

Ou seja, a pessoa levará menos de 12 meses para quitar a dívida

08. Correto

Uma desvalorização de 2% ao mês gera uma P.G. de razão 0,98.Veja:

a1 = 98a2 = 98 . 0,981 a3 = 98 . 0,982 Daqui 9 meses teremos o décimo termo da P.G.an = a1 . q

n – 1

a10 = a1 . q9

a10 = 98 . 0,989 (98 = 0,98.100)a10 = 100. 0,98 . 0,989

→ a10 = 100. 0,9810

16. Falso1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...A sequência tem a seguinte lei de formação: an = an – 1 + an – 2 paran > 2Logo, temos a seguinte sequência até o a10 → (1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89)





01. Em uma esfera E 1 de raio 1 R inscreve-se um cubo

C 1. Neste cubo inscreve-se uma esfera E 2 ; nestaesfera inscreve-se um cubo C 2 e assim

sucessivamente. Os raios das esferas assimconstruídas formam uma progressão geométrica

infinita cujo primeiro termo é 1 R . A soma dos

termos desta progressão geométrica é

( )1 RS 3 3

2= + .

02. Considere uma progressão aritmética de k termospositivos, cujo primeiro termo a é igual à razão. Oproduto dos k termos desta progressão é onúmero P = ak . k !

04. Considere uma progressão aritmética (a 1, a 2 , a 3 ,a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 ). Com os termos destaprogressão construímos a

matriz1 2 3

4 5 6

7 8 9

a a a A= a a a

a a a

. A matriz A construída

desta forma é inversível.08. Dada uma progressão geométrica (a 1, a 2 , a 3 ,...,a k )

com k termos estritamente maiores do que zero, asequência (b 1, b 2 , b 3 ,...,b k ) dada por bn = log an para todo n, 1≤ n ≤ k, é uma progressão

aritmética.

Resolução

01. Correto

CUBO 1 de aresta “a” e esfera 1 de raio R1

SITUAÇÃO 1: ESFERA DE RAIO R1 INSCRITA NO CUBO

3

2

2

3

2

11

Ra

a D R =→==

SITUAÇÃO 2: CUBO INSCRITO NA ESFERA DE RAIO R2

32

3

2

2

12

1

2

R R

R

a R =→==

PG formada pelos Raios.

(R1, R2, ......)

( )3321

3

31

11

1

3

3

3

1

11

,.....31,1

+=

−

=

−

=⇒==

=

R R

q

aS

q

Ra R

R

02. Correto

(a1, a2, a3, ........., ak) P.A com k termos.

Se a1 = r = a, temos: (a, 2a, 3a,...........ka)Então P = a. 2a. 3a. ........ kaP = (a.a.a.......a).(1.2.3......k)

(k vezes)P = a

k . k!

04. Falso

Lembre-se que uma matriz só inversível se o determinante fordiferente de zero.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a a a

A= a a a

a a a

→

+++

+++=

r ar ar a

r ar ar a

aaa

A

666

333

321

321

321

Fazendo L2 – L1 e L3 = L1, vem:

=

r r r

r r r

aaa

A

666

333

321

Perceba que L3 = 2L2. Portanto, det A = 0. Logo, A não éinversível.

08. Correto

Considerando a P.G. (1, 10, 100, 1000, ....)Aplicando oslogaritmos decimais desses termos, vem: (0, 1, 2, 3, ....) que éuma P.A.

De modo genérico, temos:

(a 1, a 2 , a 3 ,...,a k ) (b 1, b 2 , b 3 ,...,b k )P.G de razão q P.A de razão r

logn n

b a=

a2 = a1 . q b1 = log a1 a3 = a1. q

2 b2 = log a2 = log (a1 . q) = log a1 + log q = b1 + ra4 = a1.q

3 b3 = log a3 = log (a1 . q2) = log a1 + log q2 = b1 +2r

: :ak = a1 . q

k – 1 bk = log ak = log (a1 . qk – 1) = log a1 + log

qk-1 = b1 +(k – 1)r




04) ( UFSC – 04 ) Sejam (a n ) uma progressão geométricae (b n ) uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 darazão da progressão geométrica (a n ). Sabendo que a 1 = b 1 = 2 e que a 2 = b 7 calcule a soma b 1 + b 2 + ... + b 7.

Resolução

(b1, b2, b3, ......, bn) → P.A. (a1, a2, a3, ……an) → P.G.a1 = b1 = 2 e b7 = a2

b1 + 6r = a1.q (r =

10

3 .q)

2 + 6.

10

3q = 2.q → 2 +

5

9q

= 2q → q = 10

Como r =

10

3.q, tem-se que r = 3 ,logo: P.A.(2, 5, 8, .....)

Pede-se: b1 + b2 + b3 + ........+ bn (soma dos termos da P.A)

Cálculo de b7 Cálculo da soma dos termos

bn = b1 + (n – 1).r nn

bb

nS .

2

)1

( +

=

b7 = b1 + 6r 7.

2

)202(

7

+

=S

b7 = 2 + 6.3 → b7 = 20S7 = 77


01. O valor de x na equação 3 + 5 + 7 + ....+ x = 440,sabendo que as parcelas do primeiro membroformam uma progressão aritmética, é 41.

02. Segundo o Larousse Cultural , Hórus é o deus-falcão do Egito Antigo, com muitas atribuições elocais de culto. Na ideologia antiga, Hórus foiconfundido com o céu ou assimilado ao Sol (discosolar ladeado por duas grandes asas). No papirode Rhind ficou registrado que a sequência dasfrações dos olhos do deus Hórus era (1/2. 1/4,1/8, 1/16, 1/32, 1/64). O valor numérico da somados termos desta sequência é 1.

04. O primeiro termo da progressão geométrica emque a3 = 15 e a6 = 5/9 é 135 .

08. As sequências (4, 7, 10, ...) e (5, 10, 15, ...) sãoduas progressões aritméticas com 50 termoscada uma. A quantidade de termos quepertencem a ambas as sequências é 15 .

Resolução

01. Correto

an = a1 + (n – 1).r ( )2

.1

n

naanS +=

x = 3 + (n – 1).2 ( )

2440

1-x.

2

)(3 x+=

x = 3 + 2n – 2 1760 = 3x – 3 + x2 – x

n x

=−

2

1 x2 + 2x – 1763 = 0

x1 = 41 ou x2 = - 43 (não serve)Portanto: x = 41

Observação: Seria mais conveniente, neste caso, testar aresposta.

02. Falso

64

63

2

1

164

1

2

1

12

1

12

1

2

1

1

)1(

6

2

1

6

611

=

−

−

=

−

−

=→−

−=

=

=S

q

qaS

n

a n

n

04. Correto

a6 = a3 . q3 a3 = a1 . q

2

=9

5 15.q3 15 = a1 . (3

1 )2

=27

1q

3

15 = a1. 9

1

q =3

1 a1 = 135




08. Falso

(4, 7, 10, ...) - P.A (1)(5, 10, 15, ...) – P.A (2)(10, 25, 40, ...) – P.A de termos comuns

Como as P.A(s) 1 e 2 possuem 50 termos, temos as seguintes

sequências definidas pela fórmula do termo geralan = a1 + (n – 1).r(4, 7, 10, .. 151) – P.A (1) (5, 10, 15, ...250 ) – P.A (2)

Logo, a P.A com termos comuns terá o maior termo sendo 145, ouseja, a sequência fica assim: (10, 25, 40, .........145) – P.A determos comuns

an = a1 + (n – 1).r145 = 10 + (n – 1).15n = 10



MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS 3 www.ricardinhomatematica.com.br

MATRIZ INVERSA

INVERSÃO DE MATRIZES

1. Definição

Considere A e B duas matrizes quadradas de ordem n.

Se A.B = B.A = In , dizemos que B é a matriz inversa de A e

indicaremos por1

A−

n

11I.AAA.A ==

−−

OBSERVA!ES"

• #ma matriz s$ possui inversa se o seu determinante

%or di%erente de zero, sendo assim, a matriz éc&amada de invers've(.

• Se o determinante da matriz %or i)ua( a zero, a matrizn*o admite inversa, sendo assim, c&amada desin)u(ar.

• Se a matriz A é invers've( ent*o e(a é quadrada.

• Se a matriz A é invers've(, ent*o a sua inversa é +nica.

2. Obtenção da Matriz Inversa

A inversa da matriz A =

-

1 é a matriz

1A

−=

dc

/a

Impondo que"n

1IA.A =

−, vem"

-

1.

dc

/a=

10

01

=

++

++

10

01

d-/c-a

d/ca

=+

=+

0c-a

1cae

=+

=+

1d-/

0d/

Reso(vendo os sitemas, vem"

a = , / = 1, c = -, d =

Assim sendo" A = ⇒ 1

A−

=

-2

12

O/serve que"

-

1.

-2

12=

10

01

OBSERVA3O"

O processo para se o/ter a inversa de uma matriz porvezes pode se tornar tra/a(&oso, pois de um modo )era(

podemos recair na reso(u4*o de n sistemas de n equa45es

e n inc$)nitas. Se)ue a/ai6o, um processo que simp(i%ica

esse c7(cu(o.

Teorema

A matriz inversa1

A−

de uma matriz A é dada por"

A.detA

1A 1

=−

com det A ≠ 0

A representa a matriz ad8unta.

9atriz Ad8unta é a matriz transposta da matriz dosco%atores de A.

Consequ:ncias"

• Sendo" A =

dc

/a⇒

1A

−=

−

−

detA

a

detA

cdetA

/

detA

d

• Cada e(emento i8/ da matriz inversa de A, pode ser

ca(cu(ado ap(icando a re(a4*o a/ai6o"

8ii8 .CdetA

1/ =

onde 8iC é o co%ator do e(emento 8ia

3. Determinante da Matriz Inversa

Sendo" An = Bn → det A = det B

Acompan&e, a)ora, o desenvo(vimento a/ai6o"

( ) ( )

( ) 1Adet;A<.det

"vemBinet,deteoremaoAp(icando

IdetA.Adet

IA.A

1

n

1

n

1

=

=

=

−

−

−

Ent*o"detA

1detA 1

=−

4. Propriedades

Sendo A e B duas matrizes de ordem n invers'veis, va(emas se)uintes propriedades"

( )( )

( ) ( )

1tt1

111

11

AA<

.ABA.B<

AA1<

−−

−−−

−−

=

=

=



www.ricardinhomatematica.com.br 4 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS

Exercícios

01 etermine a inversa da matriz A =

0

-1

02 Assina(e V para as verdadeiras e > para as >a(sas"

a< ; < ; #>SC SC < Sendo

=

35

12 A e

=

95

31 B ,

ent*o o produto entre a matriz inversa de A e a

matriz transposta de B é a matriz

=

−

−

7 1

6 0.B A t 1 .

/< ; < ; #>SC SC < adas as matrizes

−−

−

=

12

02

21

Ae

−=

103

051 B

, ent*o a matriz = A.B n*o

admite inversa.

03 ada a matriz A =

− −

− −

−

1 4 3

2 1 1

8 0 2

. etermine o

determinante da matriz inversa de A.

04 A matriz

16

61, na qua( 6 é um n+mero rea(, é

invers've( se, e somente se"

a< 6 = 0

/< 6 = 1c< 6 = 21

d< 6 ≠ ± 1

e< 6 ≠

0! ; #E? @R < Se A é uma matriz quadrada 6 de

determinante 10. Se B = .A e C = . B21

, onde B2 1

é

a matriz inversa de B, ent*o o determinante de C é"

a< 0

/< 20

3−

c< 3

20−

d< 40

9

e< 9

40




0" ; #>SC SC < Assina(e a;s< proposi4*o;5es<

#O$$%TA&'.

01. Se = ;i8< é uma matriz quadrada de ordem

dada por i8 = i D 8 para i 8 e i8 = i D 1 para i F 8,ent*o é uma matriz invers've(.

0. Se A e B s*o matrizes tais que A.B é a matriz nu(a,

ent*o A é a matriz nu(a ou B é a matriz nu(a.0G. Se8am as matrizes 9 e @, respectivamente, de

ordens - 6 H e H 6 -. Se R = 9.@, ent*o a matriz

R tem - e(ementos.

0. C&amamos Jtra4o de ?K e anotamos tr;?< a somados e(ementos da dia)ona( principa( de uma matriz

quadrada ?L ent*o tr;?< = tr;?t<.

0( A inversa da matriz A =

25

13 é"

−

−

−

−

−

−

−

−

25

13 e)

35

02 d)

31

52 c)

25

13 b)

35

12 a)

0) O maior e(emento da inversa da matriz A =

51

42

é"

a<

/< -M

c< 1M-d< 1Me< 1M

0* Considere a matriz A =

+ 21

3

x

x. Sa/endo que

det A2 1

= 0,-, ent*o 6 "

a< 0/<

c< d< Ge< 1




10 ; #.>. VIOSA < Se8am as matrizes A =

1

e 9 =

−

−

N1

16, onde 6 e N s*o n+meros reais e

9 é a matriz inversa de A. Ent*o o produto 6.N é"

a< M/< M

c< 1M

d< MGe< 1MG

11 Os va(ores de para que a matriz A =

31

31

101

k

k

n*o admita inversa s*o"

12 ; #ESC SC < Se8am A = ;a i8< e i8 B = ;/ i8< matrizes

quadradas de ordem de ta( %orma que" a i8 = i D 8

/i8 = 8 e os e(ementos de cada co(una, de cima para/ai6o, %ormam uma pro)ress*o )eométrica de raz*o.

Ana(ise as proposi45es a/ai6o"

; < A = At

; < Os e(ementos de cada uma das (in&as da matriz B

est*o em pro)ress*o aritmética.

; < Os e(ementos de cada uma das (in&as e de cadauma das co(unas da matriz AB est*o em pro)ress*oaritmética.; < E6iste a matriz inversa da matriz C = A P B.

O n+mero de proposi4*o;5es< verdadeira;s< é"

a< 0/< c< 1

d<

e< G

13 ; I>SC SC < A respeito da matriz

A =

−−

−

−

542

452

221

, ana(ise as proposi45es e assina(e

no cart*o resposta a soma da;s< CORREQA;S<.

01. A matriz é simétrica

0. A matriz é sin)u(ar

0G. A inversa da matriz é

12

12-

22-9

0

0

0. O determinante da matriz A é 1. A matriz A é uma matriz quadrada de ordem 6

. A transposta de A é

5-42

45-2-

22-1-




14 ; I>SC SC < O dia)rama a/ai6o representa as re(a45esde amizade entre Ana ;1<, Beatriz ;<, Car(a ;<

e iana ;G<.

Se dois c'rcu(os est*o (i)ados por um se)mento dereta, isso si)ni%ica que e6iste uma re(a4*o de amizadeentre as duas pessoas. Caso contr7rio, n*o e6iste

re(a4*o de amizade. @or e6emp(o" Ana é amida de

iana, mas Ana n*o é ami)a de Car(a. Considera2setam/ém que uma pessoa n*o mantém re(a4*o de

amizade consi)o mesma.

ese8a2se e6pressar essas re(a45es através de umamatriz 9 = ;mi8<G6G ta( que"

mi8 = 1, se i é ami)a de 8mi8 = 0, se i n*o é ami)a de 8

Em re(a4*o matriz 9, assina(e no cart*o resposta on+mero correspondente proposi4*o correta ou soma das proposi45es corretas

01. 9 é uma matriz simétrica

0. 9 é invers've(.0G. det;9<=0.0. O tra4o de 9 é i)ua( a .1. 9 é a matriz identidade.

1! ; #>@E? < @ode2se uti(izar matrizes e suas inversas

para codi%icar uma mensa)em. #ma proposta paraaquisi4*o de um determinado equipamento, ser7

enviada pe(a Internet. @or se)uran4a, esse va(or

ser7 transmitido pe(a matriz A 6 B =

4144

105112 . A

mensa)em rece/ida dever7 ser codi%icada através

da re(a4*o A2 1

6 ;A 6 B< = B em que B é a matriz

ori)ina( da mensa)em. Com /ase no te6to e emseus con&ecimentos, considerando que a matriz

codi%icadora da mensa)ens é A =

21

53 e que o

va(or da proposta é dado pe(a soma dos e(ementos

da matriz ori)ina(, é correto a%irmar que essa

quantia, em mi( reais, é i)ua( a

a< 11./< G.

c< GH.d< 1.

e< 1-.




1" ; #ESC SC < Se8a X o con8unto %ormado por todas

matrizes dia)onais de ordem T . Ana(ise asproposi45es"

I. A mu(tip(ica4*o de matrizes pertencentes a X

satis%az a propriedade comutativa.II. Qodas as matrizes pertencentes ao con8unto X

possuem inversa.

III. A matriz identidade de ordem T pertence aocon8unto X .

IV. Se A e B s*o dois e(ementos pertencentes a X ,

ent*o A+B tam/ém pertence a X .

Assina(e a a(ternativa +orreta.

a< Somente a a%irmativa II é verdadeira./< Somente as a%irmativas I, III e IV s*o verdadeiras.c< Somente as a%irmativas I e IV s*o verdadeiras.

d< Somente a a%irmativa III é verdadeira.

e< Qodas as a%irmativas s*o verdadeiras.

1( ; #>@R @R < ados os n+meros reais a, / e c

di%erentes de zero e a matriz quadrada de ordem

9 =

c0

baconsidere as se)uintes a%irmativas a

respeito de 9"

1. A matriz 9 é invert've(.

. enotando a matriz transposta de 9 por 9Q,

teremos det;9.9Q < U 0 .

. uando a = 1 e c = P 1 , tem2se 9 = I , sendo I a

matriz identidade de ordem .

Assina(e a a(ternativa correta.

a< Somente a a%irmativa é verdadeira./< Somente a a%irmativa é verdadeira.

c< Somente as a%irmativas 1 e s*o verdadeiras.

d< Somente as a%irmativas e s*o verdadeiras.

e< As a%irmativas 1, e s*o verdadeiras.

1) ; #ESC SC < C(assi%ique cada proposi4*o e assina(e

;V< para verdadeiras ou ;>< para %a(sa.

; < Se A = ;ai8< é uma matriz de ordem 6 ta( que

ai8 = i 8, ent*o o e(emento que ocupa a posi4*o

da se)unda (in&a e primeira co(una da matriztransposta de A é .

; < O determinante da matriz inversa de B =

−13

21 é7

1 .

; < Se C =

−− 21

24e =

−

10

11ent*o

;C.<t =

−

−

24

15.

Assina(e a a(ternativa que contém a sequ:ncia+orreta, de cima para /ai6o.

a< V > >

/< > V V

c< > > >

d< V V >

e< V > V




1* ; #>SC SC < Considere as matrizes"

A =

−

0 z1

01 y

1 x0, B =

−

x1

0 y

11 e C =

−

z2

36

27 onde

x , y e z variam no con8unto dos n+meros reais.

Assina(e a;s< proposi4*o;5es< #O$$%TA&'.

01. @ara z = 0 e6iste uma matriz X , cu8a soma dos

e(ementos é 7 , ta( que C . X =

20

69-

64

.

0. A matriz A admite inversa se e somente se

yz ≠ − 1.

0G. A matriz transposta de B é Bt =

−

10 x

1 y1.

0I. Se A.B = C , ent*o x + y + z = 5.

20 ; #ESC SC < Wa matriz A

9a

8a

7a

6a

5a

4a

3a

2a

1a

os

e(ementos a1, a, a, ......aI, a, %ormam, nessa ordem,

uma pro)ress*o aritmética cu8a soma de todos ostermos é i)ua( a 1I. X7 a soma dos e(ementos de A,

que est*o situados acima da dia)ona( principa(, é

i)ua( a 2. essa %orma, conc(ui2se que A é uma

matriz que"

a< possui inversa.

/< é trian)u(ar in%erior.

c< é trian)u(ar superior.

d< n*o possui inversa.

e< possui apenas e(ementos ne)ativos situados

acima da dia)ona( principa(.

,A-A$ITO .

1

−101

51

210

2 a< V /< V

3 1M 4 d ! d " 0( a ) / * e 10 a 11 1 e 12 /

13 1 14 0 1! c 1" / 1( e 1) a1* 0 20 d



ANÁLISE COMBINATÓRIA

AGRUPAMENTOS – PARTE 101) Quantas comissões constituídas por 4 pessoas

podem ser formadas com 10 alunos de uma classe?

02) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziampalpites sobre os países que se classificariam nos trêsprimeiros lugares Se, em cada tampinha, os trêspaíses são distintos, quantas tampinhas diferentespoderiam existir?

03) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam asafirmações:

I. O número total deles é 720.II. O número dos que terminam com a letra A é25.III. O número dos que começam com EN é 24.

Então apenas:

a) a afirmação I é verdadeira.b) a afirmação II é verdadeira.c) a afirmação III é verdadeira.d) as afirmações I e II são verdadeiras.e) as afirmações I e III são verdadeiras.

04) ( Eng. de Alimentos -Barretos ) Tem-se 12 livros,todos diferentes, sendo 5 de matemática, 4 de física e3 de química. De quantos modos podemos dispô-lossobre uma prateleira, devendo os livros de cadaassunto permanecer juntos?

a) 103.680b) 17.280c) 150d) 12e) 6

05) ( UEL-07 ) Na formação de uma ComissãoParlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica umcerto número de membros, de acordo com o tamanho

de sua representação no Congresso Nacional. Faltamapenas dois partidos para indicar seus membros. Opartido A tem 40 deputados e deve indicar 3membros, enquanto o partido B tem 15 deputados edeve indicar 1 membro. Assinale a alternativa queapresenta o número de possibilidades diferentes paraa composição dos membros desses dois partidosnessa CPI.

a) 55b) (40 – 3).(15 – 1)

c)15.

!3!.37

!40

d) 40.39.38.15

e) 40! . 37 ! . 15 !

06) ( UDESC-08 ) Se Cm,p simboliza a combinação de m elementos tomados p a p , portanto, log (C10,3) é:

a) 3 + log 2 + 2log 3

b) 1 + log 2 + 3log 3c) 2 + log 2 + log 3d) 1 + 2log 2 + log 3e) 3 + log 2 + log 3

07) Os presentes a determinada reunião, ao final damesma, cumprimentam-se mutuamente, com apertode mão. Os cumprimentos foram em número de 66. Onúmero de pessoas presentes à reunião é:

08) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é osegmento de reta que une dois vértices nãoconsecutivos do polígono. Se um polígono convexotem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18

09) ( UFRN ) Se o número de combinações de n + 2elementos 4 a 4 está, para o número de combinaçõesde n elementos 2 a 2, na razão de 14 para 3, então nvale:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

10) Considere um conjunto de 9 pontos dos quais somente5 estão alinhados. O número de circunferênciaspossíveis que podemos traçar, unindo três quaisquer

desses pontos, é:

11) ( ACAFE –SC ) Um professor de matemática elaborou4 questões de geometria plana, 6 de geometriaespacial e 5 de análise combinatória para montar umaprova de recuperação, com 10 questões. O número deprovas diferentes que ele pode montar com 3questões de geometria plana, 5 de geometria espaciale 2 de análise combinatória é:

a) 240b) 144c) 120d) 288

e) 60

12) ( ACAFE-07 ) Uma confeitaria produz 6 tiposdiferentes de bombons de frutas. O número deembalagens diferentes que ela pode formar, sabendoque em cada embalagem deve conter 4 tiposdiferentes de bombons, é:

a) 10b) 30c) 120d) 45e) 15



13) ( ACAFE – 2011 ) João Apostador passou em frente auma lotérica e resolveu fazer uma “fezinha”. Entretodas as loterias disponíveis, escolheu a Mega Sena efez uma aposta simples. Porém, ao assinalar os

números cometeu um equívoco, assinalando 7números no cartão.Sabendo que os jogos da Mega Sena são compostosde 6 números, e cada aposta com 6 números custaR$ 2,00, o custo do cartão preenchido por JoãoApostador foi de:

a) R$ 12,00, pois é possível formar 6 combinações.b) R$ 4,00, pois como ele assinalou um número a

mais, é possível formar apenas duas combinações.c) R$ 42,00, pois como ele assinalou 7 números, é

possível fazer 21 jogos diferentes.d) R$ 14,00, pois é possível formar 7 combinações

14) ( ACAFE – 2011 ) Considerando ainda o caso daquestão anterior, João Apostador conferiu o resultadodo sorteio no seu cartão e verificou que haviaacertado 4 números (quadra), tendo assinalado 7 nocartão da Mega Sena. O prêmio pago pela quadranaquele dia foi R$ 64,32. Sendo assim, nossoganhador recebeu:

a) R$ 64,32, pois ele acertou apenas 4 números.b) R$ 192,96, pois com aquele cartão ele acertou 3

quadras.c) R$ 128,63, pois com aquele cartão ele acertou 2

quadras.d) R$ 221,60, pois com aquele cartão ele acertou 5

quadras.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

AGRUPAMENTOS – PARTE 201) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos

distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos,obtém-se uma corda. O número total de cordas assimformadas é:

02) ( UFSC ) Se x e y são números naturais maiores que 1,

tais que

=

=

152

2

y

x

C

y A então

x

yé igual a:

03) ( UFSC – 08 ) Assinale a(s) proposição(ões)

CORRETA(S).

01. Para acessar um site da internet, o internauta deverealizar duas operações: digitar uma senhacomposta por quatro algarismos distintos e, se asenha digitada for aceita, digitar uma segundasenha, composta por duas letras distintas,escolhidas num alfabeto de 26 letras. O númeromáximo de tentativas necessárias para acessar osite é 5960 .

02.O número de maneirasdiferentes de colorir osquatro estadosidentificados no mapaao lado usando ascores verde, vermelho,amarelo e azul, demodo que cada estadotenha uma cor diferentee que Santa Catarinasó possa ser pintadade verde ou vermelho,é 24 .

04. Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI)será formada por cinco parlamentares indicadospelos três partidos A, B e C , de acordo com o

tamanho de sua representação no CongressoNacional. O partido A tem 10 parlamentares e deveindicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e opartido C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podemser formadas é 5040 .

04) ( UFSC – 98 ) Possuo 6 camisas ( uma é vermelha ) e5 calças ( uma é preta ). O número de grupos de 4camisas e 3 calças que poderei formar, se em cadagrupo quero que apareça a camisa vermelha e a calçapreta, é:

05) ( UFSC – 00 ) Determine a soma dos númerosassociados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. Simplificando35

46

A

A obtemos 6.



02. Podemos formar 720 anagramas com ou semsignificado com as letras da palavra ESCOLA.

04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. Onúmero de grupos que podemos formar, tendo 2

professores e 3 alunos, é 30.08. Se 010CA

2-xx

3x =− , então x é igual a 7.

16. O termo independente de x no desenvolvimento(3x – 2)

4 é 16.

06) ( UFSC – 01 ) Num camping existem 2 barracasdisponíveis. O número de modos como se pode alojar6 turistas, ficando 3 em cada uma, é:

07) ( UFSC – 02 ) Marque a(s) proposição(ões)CORRETA(S).

01. A equação x,2 A =2

x A = 12 não possui solução.

02. Com a palavra CAJU podemos formar 24

anagramas. 04. Seja A um subconjunto do plano com 20 pontos.Se não existirem três pontos colineares em A,então existem 1140 triângulos (distintos) cujosvértices são pontos de A.

08. O 4o termo é o termo médio do desenvolvimento

do binômio8

m

5b

10

m

+

.

08) ( UFSC – 03 ) Assinale no cartão-resposta a soma dosnúmeros associados à(s) proposição(ões)CORRETA(S).

01. A solução da equação(x + 3)! + (x + 2)! = 8 • (x + 1)! é 0 (zero).02. A solução da equação Ax , 3 = 4 • Ax , 2 é 6.04. Um time de futebol de salão é formado por 5

jogadores. Dispondo de 8 jogadores, podemosformar 64 times de futebol de salão.

08. O número de anagramas que podemos formarcom as letras da palavra BRASIL, que começamcom B e terminam com L, é 24.

16. No desenvolvimento do binômio (2x – 1)6, o

termo independente de x é 1.

09) ( UFSC ) A quantidade de somas de duas parcelasdistintas que podemos obter com os divisores naturaisdo número 18.

10) ( ITA-SP ) O número de soluções inteiras e nãonegativas da equação x + y + z + w = 5 é:

11) (UEPG/08) Sejam duas retas paralelas r e s. Sobre rmarcam-se m pontos distintos e sobre s marcam-se3m pontos distintos. Considerando todos os triângulosdistintos que têm vértices sobre esses pontos,assinale o que for correto.

01. Se o número de triângulos com base sobre s é 5vezes o número de triângulos com base sobre r,então m = 2.

02. Se m = 2, o número total de triângulos é 36.

04. Se m = 3, o número de triângulos com base sobre ré 27.

08. Se m = 3, o número de triângulos com base sobre sé 36.

12) ( UDESC-07 ) Suponha que um campeonato com 16equipes seja disputado em turno único, isto é,quaisquer duas equipes jogam entre si apenas umavez; o número total de jogos do campeonato é:

a) 120b) 240c) 160d) 360e) 16

13) ( UFSC ) Quantos anagramas da palavra “PALCO”podemos formar de maneira que as letras “A” e “L”apareçam sempre juntas?

14) ( UEL – 2011 ) Um grupo de 6 alunos decide escrevertodos os anagramas da palavra PERGUNTA. Estatarefa será feita em vários turnos de trabalho. Emcada turno 3 alunos escrevem e os outros descansam.Para serem justos, decidiram escrever o mesmonúmero de anagramas em cada turno. Qual deve sero número mínimo de anagramas, escrito por turno, demodo que não se repitam grupos de trabalho?

a) 23b) 720c) 2016d) 5040e) 35000

15) ( UDESC – 2011.1 ) Um tanque de um pesque-paguecontém apenas 15 peixes, sendo 40% destes carpas.Um usuário do pesque-pague lança uma rede no

tanque e pesca 10 peixes. O número de formasdistintas possíveis para que o usuário pesqueexatamente 4 carpas é:

a) 151200

b) 720

c) 210

d) 185

e) 1260



PROBABILIDDE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE01) ( UEL – 2011 ) No lançamento de disco, a abertura da

gaiola é de aproximadamente 36º, como se podeobservar na figura 14.

Durante o lançamento, acidentalmente, o discoescapa da mão do atleta. Supondo, para simplificar,que o movimento do braço do atleta ocorre num planohorizontal, então a probabilidade de o disco sair dagaiola é de:

a) 1/10b) 1/8c) 1/6d) 1/4

e) 1/2

02) ( UEL-08 ) Um dado não viciado foi lançado duasvezes e em cada uma delas o resultado foi anotado.Qual é a probabilidade da soma dos númerosanotados ser maior ou igual a 7?

a) 7/6b) 1/4c) 2/3d) 7/16e) 7/12

03) ( UFPEL-07 ) A boa e velha Loteria Federal e a que da

ao apostador as maiores chances de ganhar, mas pornao pagar grandes fortunas nao esta entre as loteriasque mais recebe apostas. As mais populares saoMega-Sena, Quina, Loto-facil e Lotomania. Na Loto-facil, o apostador marca 15 dos 25 números queconstam na cartela e tem uma em 3.268.760 chances,de acertar. Super Interessante 229 .agosto 2006[adapt.]. Se fosse criada uma nova loteria, em que oapostador marcasse 10 dos 16 números disponíveisnuma cartela, a chance de acertar uma aposta passariaa ser de uma em

a) 1600b) 6006c) 8008d) 8060e) 6800

04) ( ACAFE – 2011. 2) Segundo estudos realizados emum centro de pesquisas geológicas, a probabilidadede um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%.

Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos àcidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% dechances de ocorrer danos à cidade. Se o terremotoocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de82%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrerno mar e não haver danos à cidade?

a) 57,4%b) 12,6%c) 42%d) 28%

05) ( FUVEST ) Considerando-se um polígono regular de

n lados, n ≥ 4, e tomando-se ao acaso uma dasdiagonais do polígono, a probabilidade de que elapasse pelo centro é:

a) 0, se n é par

b)

2

1 , se n é ímpar

c) 1 se n é par

d)

n

1 se n é ímpar

e)

3

1

−n

se n é par

06) Escolhendo ao acaso, entre 3 homens e 2 mulheres, 3pessoas para formar uma comissão, qual é aprobabilidade de essa comissão ser formada por 2homens e 1 mulher?

07) ( UFRGS – 2011) O resultado de uma partida defutebol foi 3x2. A probabilidade de que o timevencedor tenha marcado os dois primeiros gols é

a) 15%b) 20% c) 30% d) 40%

e) 45%

08) ( UFRGS – 2010 ) Uma urna contém bolas numeradasde 1 até 15. Retirando-se da urna 3 bolas, semreposição, a probabilidade de a soma dos númerosque aparecem nessas bolas ser par é

a) 1/13b) 6/13c) 281/65d) 31/65e) 33/65

09) ( UFPR – 2010 ) Em uma população de aves, a

probabilidade de um animal estar doente é 1/25.Quando uma ave está doente, a probabilidade de serdevorada por predadores é 1/4, e, quando não estádoente, a probabilidade de ser devorada porpredadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma



ave dessa população, escolhida aleatoriamente, serdevorada por predadores é de:

a) 1,0%.

b) 2,4%.c) 4,0%.d) 3,4%.e) 2,5%

10) Qual é a probabilidade de, escolhendo ao acaso 2vértices de um cubo, obtermos exatamente os vérticespertencentes a uma mesma aresta?

11) Em um grupo de 100 pessoas, 60 são leitoras do jornalA, 50 são leitoras do jornal B e 30 são leitoras deambos os jornais. Escolhendo-se uma pessoa aoacaso, a probabilidade de essa pessoa ser leitora do jornal A ou do jornal B é:

12) Em um grupo de 100 pessoas, 60 são sócias do clubeA, 50 são sócias do clube B, e 10 não são sócias nemde A nem de B. Escolhida uma dessas pessoas aoacaso, qual é a probabilidade de ela ser sócia dosdois clubes?

13) Uma prova apresenta 5 teste com 4 alternativas emcada um. Somente uma das alternativas é correta.Qual é a probabilidade de que um aluno, queresponde ao acaso (chutando) aos 5 testes, venha aacertar exatamente 3 deles?

14) Sabendo que a probabilidade de que um animaladquira certa efermidade, no decurso de cada mês, é

igual a 30%,qual a probabilidade de que esse animalsomente venha a contrair a doença do 3º mês?

GABARITO – ANÁLISE COMBINATÓRIA – PARTE 1

1) 210 2) 12144 3) e 4) a 5) c 6) d7) 12 8) d 9) a 10) 74 11) a 12) e 13) d14) b

GABARITO – ANÁLISE COMBINATÓRIA – PARTE 2

1) 28 2) 02 3) 04 4) 60 5) 27 6) 207) 06 8) 27 9) 15 10) 56 11) 07 12) a

13) 48 14) c 15) e

GABARITO – PROBABILIDADE

1) a2) e3) c4) d5) e6) 60%7) c

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