apostila de matemÁtica financeira com hp-12 - pÓs - cc

MATEMTICA FINANCEIRA COM HP-12C Prof. Esio de Siqueira

CAPTULO I CONCEITOS GERAIS DE JUROS 1. JUROS - Pagamento pelo uso do capital emprestado; Custo do capital de terceiros colocados nossa disposio; Remunerao do capital investido; Aluguel do dinheiro. A noo de juros decorre do fato de que as pessoas preferem usufruir os seus bens no presente e no no futuro. Havendo uma preferncia temporal para consumir as pessoas querem uma recompensa que nada mais do que juros. 2. TAXAS DE JUROS A taxa de juros o coeficiente que determina o valor do juro, ou seja a remunerao do fator capital, utilizado durante certo perodo de tempo. As taxas de juros se referem a uma unidade de tempo ( dia, ms, bimestre, semestre, ano, etc.) e podem ser: percentual e unitria. Taxa Percentual: "Centos" do capital ou seja, o valor dos juros para cada centsima parte do capital. O capital de R$ 1000 aplicado a 20% a.a rende de juros o final desse perodo: Juro = 20 x 1000 = 100 = R$ 200,00

Taxa Unitria: Representa o rendimento de cada unidade de capital em curto perodo de tempo. Juro = 1000 x 0,20 = R$ 200,00

TAXA PERCENTUAL 2% 9% 10% 15% 180% 2300% Ou seja:

TRANSFORMAO 2/100 9/100 10/100 15/100 180/100 2300/100 ou 0,02 a.m. ou 0,10 a.t. 1

TAXA UNITRIA 0,02 0,09 0,10 0,15 1,80 23,0

2% a.m. 10% a.t.


180% a.a

ou

1,80 a.a

Os matemticos financeiros modernos trabalham, sempre, com a forma unitria, por simplificar as frmulas e conseqentemente os clculos. 3. DIAGRAMA FLUXO DE CAIXA Fluxo de Caixa representa entradas e sadas de capital ao longo do tempo. Chamamos a representao grfica do Fluxo de Caixa de Diagrama de Fluxo de Caixa: Ex.: Entrada de caixa ( + )

0Sada de caixa ( - )

1

2

3

n

A linha horizontal representa o tempo, o ponto Zero,o momento inicial, os demais pontos representam os perodos de tempo (datas). O vetores apontados para cima indicam entradas de capital (recebimentos) e os vetores apontados para baixo indicam sadas ou aplicaes de dinheiro. 4. TIPOS DE JUROSN=1 N>1 N JS JC < JS

JUROS SIMPLES - os juros de cada perodo so calculados sempre em funo do capital inicial. JUROS COMPOSTOS - os juros de cada perodo so calculados sobre o capital mais os juros auferidos no perodo anterior, caracterizando assim uma Progresso Geomtrica (PG). Ex.: Um aplicador investiu R$ 100 taxa de 10% a.a. Qual ser o saldo devedor no final dos prximos quatro anos. Final do Esc Perodo1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 0 1 2 3 4

Saldo100,00 110,00 120,00 130,00

Capitalizao Simples Juros/Ano Sal.Final0,1 x 100 = 10 0,1 x 100 = 10 0,1 x 100 = 10 0,1 x 100 = 10 100,00 110,00 120,00 130,00 140,00

Saldo100,00 110,00 121,00 133,10

Capitalizao Composta Juros/Ano0,1 x 100 = 10 0,1 x 110 = 11 0,1 x 121 = 12,10 0,1 x 133,10 = 13,31

Sal.Final100,00 110,00 121,00 133,10 146,41

Obs.: SAL FINAL = Representa o saldo no final de cada ano.

2


COMPARAO GRFICAJuros composto

150 140 130 120 Juros 110 100 0Juros simples

1

2

3

4 ----------- n

Juros Simples - caractersticas: a) Somente o capital inicial rende juros; b) O dinheiro cresce linearmente ao longo do tempo; c) O dinheiro cresce em progresso aritmtica; d) Os juros so proporcionais. Juros Compostos - caractersticas: a) O dinheiro cresce mais rapidamente do que os juros simples; b) O dinheiro cresce exponencialmente ao longo do tempo; c) Os juros no so proporcionais.

5.

SIMBOLOGIA A simbologia um srio complicador no estudo da matemtica financeira isto porque no existem smbolos padronizados como por exemplo na matemtica pura, na fsica, na qumica, etc. Cada autor procura personalizar seus livros com uma simbologia prpria. Assim os smbolos mudam de livro para livro, de escola para escola de professor para professor. Assim fica difcil para quem est iniciando os estudos em matemtica financeira entender diferentes smbolos para um mesmo conceito. Por exemplo comum encontrar nos livros o smbolo para o capital: "P", "C", "Co", "VP", ou "PV"; para o montante: "S", "M","VF" ou "PV"; para a taxa: "i", "t", "h" ou uma letra grega como por exemplo " "; para o tempo: "n", "t", etc Neste trabalho adotaremos a simbologia das calculadoras financeiras que compatvel com as Planilhas Eletrnicas. Dessa forma utilizaremos:FINANC CIENT

PV

P

Principal; valor presente, valor aplicado, investimento inicial, etc. 3


FV i N INT PMT CFj CF0 NJ NPV IRR

S i n J R FCJ FC0 NJ VPL TIR

Montante, valor futuro, valor de resgate, etc. Taxa de juros. Nmero de perodos Calcula os Juros Simples (HP-12C) Prestaes, pagamentos ou recebimentos peridicos, etc. Fluxo de Caixa de ordem j Fluxo de Caixa Inicial Nmero de Fluxos repetido Valor Presente lquido Taxa Interna de retorno

Ao longo do estudo utilizaremos outros smbolos complementares utilizados nos livros mais atualizados.

CAPTULO II CAPITALIZAO SIMPLES

4


1. JUROS SIMPLES : A capitalizao simples aquela em que a taxa de juros, no final de cada um dos perodos de capitalizao, incide somente sobre o principal. O valor dos juros calculado a partir da seguinte expresso: J = PV. i. n Frmulas derivadas:PV = i.n J i= PV. n J n= PV. i J

J = PV. i . n

5


Exemplos 1. Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado taxa de 2,25% a .m., no regime de juros simples, durante um semestre. Qual o valor dos juros acumulados neste perodo: PV = 200.000 Soluo: i = 2,25% a .m. n = 6 meses

J = 200.000 x 0,0225 x 6 = 27.000,00HP-12C 200.000 e 0,0225 x 6 x

2. Uma pessoa tomou um emprstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% a.m. durante 10 meses. Ao final do perodo, calculou em R$ 300.000 o total dos juros incorridos na operao. Determinar o valor do emprstimo. J = 300.000 Soluo: PV = i = 6% a .m. n = 10 meses

300.000 = 300.000 = 500.000,00 0,06 x 10 0,60

HP-12C

300.000 e 0,06 e 10 X

3. Um capital de R$ 1.200,00 foi aplicado num fundo de investimento por 12 meses, produzindo um juro de R$ 720,00. Determinar a taxa de juro : PV = 1200 Soluo: n = 12 m 720 i= 1.200 x 12HP-12C

j

= 720,00

= 5% a .m

720 E 1200 E 12 X 100 x

OBS: Multiplicamos por 100 por estarmos lidando com taxas unitrias.

6


4. Um capital de R$ 4.800 foi aplicado taxa de 3,5% a.m., produzindo juros de R$ 730,80. Calcular por quanto tempo ficou aplicado o capital: PV = 4.800 Soluo: i n= 4.800 x 0,035HP-12C 730,80 E 4.800 E 0,035 X

= 3,5% a.m. 730,80 = 4,35

j

= 730,80

Resposta: 4 meses e ... Com uma regra resolvemos: 1 Ms est para 30 dias assim como 0,35 est para quantos dias? 1 30 0,35 x ou seja 30 x 0,35 = 10,5 Resposta: 4 meses e 10 dias 2. MONTANTE SIMPLES: O montante representa o capital mais o rendimento (juros) e pode ser assim representado: FV = PV + J FV = PV + PV. i . n FV = PV(1 + in) (2) Frmulas DerivadasPV = (1 + in) FV = PV(1 + in) FV - 1 PV n FV - 1 PV i FV

i=

n= ___7


Exemplos 1. Uma pessoa aplica R$ 8.500,00 a uma taxa de juros linear de 7% a .m. pelo perodo de 4 meses. Qual o montante? PV = 8.500 Soluo i = 7% a.m. n = 4 meses

FV = 8.500 (1 + 0,07 x 4 ) = 10.880,00HP-12C 8.500 E 1 E 0,07 E 4 X + X

2. Uma operao a juros simples rendeu R$ 9.300. Sabendo-se que a taxa de juros de 6% a .m. e o tempo 48 dias determinar o valor do principal. FV = 9.300 Soluo i = 6% a.m. PV = n = 48 dias (48/30)

9.300 1 + 0,06 x 48 30

= 8.485,40

HP-12C

9.300 E I E 0,06 E 48 x 30

+

3. Calcular a taxa de juros mensal em uma operao de juros simples resultado de aplicao de R$ 12.000, durante 90 dias, que proporcionou um resgate de R$ 13.260 no seu rendimento: PV = 12.000 FV = 13.260 n = 90 dias ( 3 meses)

Soluo

i =

13.260 - 1 12.000 = 3,5% a.m. 38


HP-12C

13.260 E 12.000 1 - 3 100 X

4. Qual o tempo necessrio para que um capital de R$ 18.800 aplicado a uma taxa de juros simples de 4,5% a .m proporcione um resgate de R$ 24.510,50. PV = 18.800 Soluo 24.510,50 - 1 FV = 24.510,50 i = = 6,75 .m. 4,5% a n = 18.800 0,045

HP-12C

24.510,50 E 18.800

1

-

0,045

Resposta correta: 6 meses e 22 dias. 3. UTILIZAO DA HP-12C NO CLCULO DOS JUROS SIMPLES: Para o clculo dos juros simples a HP-12C tem utilizao limitada, pois s calcula os juros e o montante. Alm do mais a introduo do perodo tem que ser em dias e a taxa expressa em termos anuais: Rotina: a) limpar os registradores financeiros f FIN b) Introduzir o perodo em dias "n" c) Introduzir a taxa de juros anual "i" d) Introduzir o principal CHS PV e) Pressionar f INT para obteno dos juros calculados na base de um ano de 360 dias. f) Pressionar (+) para obter o montante. Exemplos 1. Uma pessoa aplicou R$ 350.000 a uma taxa de juros simples de 5% a .m, pelo perodo de 6 meses.

9


DIGITE f fin 350000 CHS PV 60 i 180 n F INT + R

MOSTRADOR 0,00 350.000,00 60,00 180,00 105.000,00 455.000,00 103.561,64

SIGNIFICADO Limpa a memria financeira Entra com o valor presente Entra com a taxa anual Entra com tempo em dias Calcula os juros simples Calcula o montante Valor dos juros Ano Civil

2. Um emprstimo de R$ 8.000,00, foi concedido por uma empresa a um funcionrio que se prontificou a pagar no final de quatro meses, taxa de juros simples de 3% ao ms. Calcular os juros pagos pelo funcionrio e montante utilizado para liquidao dos do dbito. DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO f fin 0,00 Limpa a memria financeira 8.000,00 CHS PV 8.000,00 Entra com o valor presente 3 E 12 X i 36,00 Entra com a taxa anual 4 E 30 X n 120,00 Entra com tempo em dias F INT 960,00 Calcula os juros simples + 8.960,00 Calcula o montante R 946.85 Valor dos juros Ano Civil 4. EXERCCIOS PROPOSTOS DE JUROS SIMPLES

1. Qual a taxa de juros simples que aplicada a um capital de R$ 300.000,00 gera um montante de R$ 354.000,00 em seis meses? Resposta: 3% a m. 2. Qual o juro simples total pago pelo emprstimo de R$ 100.000,00 durante 30 dias as taxas variveis de 1,5% a m. (durante 12 dias); 1,8% a m. (durante 8 dias) e 2,3% am. (durante 10 dias) ? Resposta: R$ 1.846,67 3. O montante de um capital de R$ 66.000,00 ao final de 7 meses determinado adicionando-se R$ 55.440,00 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada. Resposta: 12% a m. 144% a a.

10


4. Um eletrodomstico vendido em quatro pagamentos mensais e iguais. O primeiro pagamento efetuado no ato da compra, e os demais so vendidos em 30, 60 e 90 dias. Sendo de 5% ao ms a taxa linear de juros, pede-se calcular at que valor interessa adquirir o bem vista; (valor percentual). Resposta: 93,28% 5. Um investidor com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicaes no mercado financeiro. Para tanto aplica 60% do capital numa alternativa de investimento que paga 25,2% a a. pelo prazo de 60 dias. A outra parte investida numa conta de capitalizao por 30 dias sendo remunerada pela taxa linear de 2,5% ao ms. O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge R$ 19.520,00. Pede-se calcular o valor de todo capital investido; Resposta: R$ 554.545,45 6. Um ttulo com renda final negociado no mercado financeiro est pagando 27.6% ao ano de juros simples. A alquota do imposto de renda de 20% e incide sobre o valor nominal dos rendimentos, sendo pago no momento da aplicao. Determinar a taxa anual lquida(aps o IR) de rentabilidade do investidor; Resposta: 20,92% a. a. 7. Uma aplicao de R$ 150.000,00 efetuada pelo prazo de 3 meses taxa de juros simples de 36% a.a.Que outra quantia deve ser aplicada por dois meses taxa linear de 24% a.a. para se obter o mesmo rendimento financeiro? Resposta: R$ 337.500,00 8. O valor de resgate de um ttulo 140% maior que o valor da aplicao. Sendo de 30% a.a. a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da aplicao; Resposta: 56 meses 9. Se o valor atual de um ttulo igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo de aplicao for de 10 meses. Qual a taxa de juros simples mensal considerada; Resposta: 2,5% a.m.

11


10. Um capital aplicado por 8 meses formou um montante de R$ 8.140,00 e em seguida (no final do oitavo ms) aplicado por mais 15 meses gerando um novo montante de R$ 10.450. Qual o valor aplicado? Resposta: 7.069,95. 11. Dois teros de um capital(2/3) foram investidos a 9,8% ao ano e o restante a 11% ao ano. No fim de trs anos a diferena entre os juros auferidos de RS 180,00. Qual o valor do capital investido? Resposta: 2.093,02.

12


CAPITULO III CAPITALIZAO COMPOSTA 1. JUROS COMPOSTOS: aquela que no final de cada perodo os juros so incorporados ao capital para renderem juros no perodo seguinte, ou seja a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados no perodo anterior. Ex.: 100 a 10% ao perodo PERODO 0 1 2 3 4 SALDO INICIAL 100,00 110,00 121,00 133,10 JUROS 10,00 11,00 12,10 13,31 SALDO FINAL 100,00 110,00 121,00 133,10 146,41

Como pode ser observado o crescimento dos juros deixa de ser linear e passa a ser exponencial. Nos juros compostos no existe a proporcionalidade dos juros simples o que inviabiliza os clculos efetuados atravs de regra de trs. 2 - MONTANTE COMPOSTO Se formos capitalizar o principal em cada perodo pelo fator de capitalizao (1+ i), chegaremos a frmula do montante composto : FV1 (1 +i) 0 PV FV1 = PV (1+i) FV2 = FV1 (1+i) = PV(1+i)(1+i) = PV (1+i)13

FV2 (1+i) 2

FV3 (1+i) ... 3

FVn n

1


FV3 = FV2 (1+i) = PV(1+i)(1+i) = PV (1+i) ............................................................................ FV n = FV n - 1 (1+i) = PV(1+i)n-1 . (1+i) = Considerando FV n = FV temos que: FV = PV (1 + i)n PV(1+i) n

Frmulas Derivadas:FV PV= (1+i ) n FV = PV(1+i) n i= FV - 1 Ln PV FV PV n= Ln (1+ i)n

3 FUNES FINANCEIRAS UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS

ntempo

i

PV valor presente

PMT

FV valor futuro

taxa de juros

pagamentos peridicos14


Ao contrrio dos juros simples o software dos juros compostos mais dinmico, utilizando as cinco funes, bastando somente compatibilizar tempo e taxa, o seja, ambos tm que ter a mesma unidade de tempo. Para clculo dos juros compostos basta ter trs variveis definidas e uma quarta para definir. Em alguns que veremos mais na frente lidamos com quatro variveis definidas e uma quinta a definir. Vejamos agora como se calcula os juros compostos com a 12C: Ex. 1 Uma pessoa aplicou R$ 12.000 a taxa de juros compostos de 3% ao ms durante quatro meses. Calcular o montante e os juros: DIGITE f fin 12.000,00 CHS PV 3 i 4 n FV RCL PV + MOSTRADOR SIGNIFICADO 0,00 Limpa a memria financeira -12.000,00 Entra com o valor do principal 3,00 4,00 13.506,11 1.506,11 Entra com a taxa mensal Entra com tempo em meses Calcula o montante Calcula os juros compostos (FV PV)

Observe que os dados deste problema foram os mesmos para o clculo dos juros simples. Compare os resultados. Ex. 2 Uma pessoa aplicou certa quantia em um fundo de renda fixa taxa de 2% ao ms, durante 6 meses, e obteve um resgate de R$ 48.000. Calcular o valor aplicado. DIGITE f fin 48.000 CHS FV 2 i 6 n PV MOSTRADOR SIGNIFICADO 0,00 Limpa a memria financeira -48.000,00 Entra com o valor futuro 2,00 Entra com a taxa mensal 6,00 Entra com tempo em meses 42.622,63 Calcula o investimento inicial

Ex. 3 uma empresa investiu R$ 230.000 durante trs meses em um

15


fundo de investimento e obteve um montante de R$ 242.644,90. Calcular a taxa de juros compostos envolvida na operao.

DIGITE f fin 230.000 CHS PV 242.644,90 FV 3 n i

MOSTRADOR 0,00 230.000,00 242.644,90 3,00 1,80

SIGNIFICADO Limpa a memria financeira Entra com o valor presente Entra com o valor de resgate Entra com tempo em meses Calcula a taxa de juros

importante observar que a ordem de entrada dos dados no influencia no resultado. Entretanto, devemos obedecer a conveno do fluxo de caixa: entrada e sada de capital. Porquanto deve-se entrar com o PV e o FV com sinais trocados, caso contrrio a calculadora no executar o clculo e apresentar no visor a mensagem de erro: ERROR 5 ( falha na conveno de caixa). Ex. 4 Uma empresa aplicou R$ 560.000 em um Banco taxa de juros compostos de 1,5% ao ms e obteve um resgate de R$ 601.485,32. Calcular o tempo da operao. DIGITE f fin 560.000 CHS PV 601.485,32 FV 1,5 i n MOSTRADOR 0,00 -560.000,00 601.485,32 1,50 5,00 SIGNIFICADO Limpa a memria financeira Entra com o valor presente Entra com o valor de resgate Entra com a taxa mensal Calcula o tempo

Este resultado no corresponde realidade, ou seja, no est correto, pois se pressionarmos a funo FV, novamente, vamos verificar que o montante se altera e o mostrador da calculadora vai acusar um valor de R$ 603.279,04, o que demonstra que o resultado cinco, obtido no clculo, est arredondado para mais. A calculadora vai sempre apresentar um clculo alterado quando o fator tempo for fracionrio. Esta uma das poucas deficincia de nossa calculadora16


HP-12C. Neste caso aconselhamos o seguinte: a) Calcular o tempo pelo mtodo cientfico, ou seja atravs de logaritmos. b) Ou transformar a taxa na menor unidade de tempo, no caso, em dia, pelo mtodo exponencial e calcular a quantidade de dias para transformar em outra unidade de tempo. O mtodo cientfico (algbrico) o mais exato, portanto vamos resolver nosso problema atravs de logaritmos: considerando a frmula do montante: FV = PV ( 1 + i )n temos que FV/PV = (1 + i)n Utilizando-se a propriedade matemtica dos logaritmos de que o logartmo de uma potncia igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base, temos: Ln (FV/PV) = n.Ln (1 + i) onde n = Ln (FV/PV) / Ln (1 + i ) portanto: n = Ln(601.485,32 / 560.000) / Ln (1 + 0,015) = 4,8 . Da temos um resultado de 4 meses e 24 dias ( os dias so calculados multiplicandose a frao do ms 0,80 pela quantidade de dias do ms, considerando ano comercial, ou seja 30 dias). Ex. 5 Uma fundao aplicou R$1.500.000 em um certificado de depsito bancrio CDB, a uma taxa pr-fixada de 1,4% ao ms, pelo prazo de 38 dias. Calcular: a) Valor do resgate bruto b) Imposto de renda c) Resgate lquido DIGITE f fin 1.500.000 CHS PV 1,4 i 38 E 30 n FV RCL PV + 20 % MOSTRADOR 0,00 -1.500.000,00 1,40 1,27 1.526.649,48 26.649,48 5.329,90 21.319,5917

SIGNIFICADO Limpa a memria financeira Entra com o valor presente Entra com a taxa Entra com tempo Calcula o resgate bruto Calcula o rendimento bruto Calcula o imposto de rendaCalcula o valor do rendimento


lquido

RCL PV CHS +

1.521.319,59 Calcula valor do resgate lquido

Outros exemplos comparando-se o clculo algbrico como financeiro 1. Qual o montante de uma aplicao no total de R$ 175.000, pelo perodo de 3 meses a uma taxa de 2% a .m, no regime de juros compostos: PV = 175.000 Soluo i = 2% a .m. n = 3 meses

FV = 175.000 (1 + 0,02) = 185.711,40HP-12C ?X 175000 E 1,02 E 3 Yx

X

f. FIN limpa o visor 175000 ROTINA FINANCEIRA principal HP -12C CHS PV 3n introduz o perodo 2i introduz a taxa FV 185.711,40 valor do montante

EXCEL

= VF (2%; 3; 0; -175.000; 0) 185.711,40

2. Qual a taxa de juros mensal que aplicada durante 120 dias , em um capital R$ 88.000 rende R$ 95.366,14? PV = 88.000 Soluo4

FV = 95.366,14

n = 120 dias ( 4 meses)

i=

95.366,14 88000,00

- 1 = 2,03% a .m.

HP-12C : 95.366,14 E 88000 4 1/X Yx 1 - 100 X HP-12C ROTINA FINANCEIRA

f. FIN 95.366,14 CHS FV 18 88000 PV n i 2,03


EXCEL = TAXA (4; 0; -88.000; 95.366; 4; 0)

3. Qual o prazo de aplicao necessria para um capital de R$ 750.000, a uma taxa de juros compostos de 1,8% a. m produzir o montante de R$ 839.662,38. PV = 750.000 Soluon= Ln (1 + 0,018) Ou seja 6 meses e 10 diasHP-12C: 839.662,38 E 750.000 g ln 1,018 g ln

FV = 839.662,38Ln 839.662,30 750.000,00 =

i = 1,8% a .m

0, 112927 = 6,33 0,01784

HP-12C:

ROTINA FINANCEIRA

f. FIN limpa registradores financeiros 839.662,38 CHS FV introduz o montante 750.000 PV introduz o principal 1,8 i introduz a taxa n 7 tempo

OBS.: Se pressionarmos a tecla FV para ver qual o montante produzido em n=7 vamos verificar que o perodo no correto, pois conforme vemos no clculo algbrico a resposta correta 6 meses e 10 dias. A HP-12C sempre arredonda para maior. No clculo do perodo aconselhamos a soluo pelo mtodo algbrico (atravs de19


logaritmos) ou utilizando a taxa equivalente diria (estudado no terceiro captulo desta apostila). 4. Um aplicador investiu R$ 200.000, pelo perodo de 8 meses taxa de juros compostos de 28% a .a. Calcular o montante da operao. PV = 200.000 SoluoFV = 200.000 ( 1 + 0,28 ) 8 / = 235.778,02HP-12C 200.000 E 1,28 E 8 E 12 Yx X

n=8

i = 28% a . a

HP-12C ROTINA FINANCEIRA f. FIN limpa registradores financeiros 200.000 CHS PV introduz o principal 28 i introduz a taxa 8E12 n introduz o perodo FV 235.778,02 OBS.: Caso a mquina estivesse sem o anncio "c" no "display" o resultado teria um valor maior uma vez que quando o perodo for fracionrio a calculadora interpola linearmente e efetua o clculo da parte fracionria no regime de juros simples. Experimente tirar o anncio "c" da calculadora pressionando as teclas (STO e EEX) e pressione FV. O resultado do montante passa a ser R$ 237.333,33. Chamamos a ateno para que o anncio "c" fique sempre aceso no visor da calculadora. Para recoloc-lo basta repetir a operao STO EEX. 4 - FRMULA PARA DEMONSTRAR OS JUROS COMPOSTOS J = FV PV J = PV( 1+i ) n - PVJ = PV [ ( 1+i ) n - 1] n - 1]

20


5. JUROS COMPOSTOS COMPARADOS AOS JUROS SIMPLES SIMPLES Faamos a comparao de uma aplicao de R$ 20.000,00 taxa de 2% a .m.

5 dias 15 dias Perododias 25 Em 30=1ms dias/ms 3 meses 4 meses 5 meses

20.066,67 20.200,00 Montante Simples 20.333,33 FV 20.400,00 ) = PV(1+in 21.200,00 21.600,00 22.000,00

20.066,11 20.199,01 Montante Composto 20.332,78 FV = PV ( 1+ i )n 20.400,00 21.224,16 21.648,64 22.081,62

Da comprovamos que quando "n" for menor que 1 perodo ( perodo da taxa) os juros simples so maiores que os juros compostos. Quando "n" for igual a 1 os juros compostos so iguais aos juros simples e quando "n" for maior do que 1 os juros compostos so maiores do que os juros simples.

21


6- EXERCCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS PROBLEMA 1 Um empresrio efetuou um pagamento a um Banco de R$ 400.000, referente ao valor de um emprstimo contrado h dois anos. A taxa de juros foi de 4,5% ao ms. Calcular o valor do emprstimo. TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR FIN 0,00 Limpa Registradores. 400.000 400.000,00 Valor Futuro. 24 24,00 Prazo (meses). 4,5 4,5 Taxa Mensal. -139.081,39 Valor Emprestado. NOTAS 1. A calculadora HP - 12C foi concebida segundo o conceito de fluxo de caixa; assim sendo, s entradas de caixa est associado o sinal (+) e s sadas de caixa o sinal ( - ). Portanto, essa resposta, com sinal negativo, apenas indica que R$ 139.081,39 uma sada de caixa e R$ 400.000,00 uma entrada de caixa (problema enfocado do ponto de vista do banco. 2. Ao invs de CLEAR pode-se usar tambm CLEAR . 3. importante lembrar que a funo REG apaga os registradores. PROBLEMA 2 Uma determinada loja financia um bem de consumo durvel no valor de R$ 1.600, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 5.251,21 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR FIN 16000 52512.15 27 0,00 16.000,00 52.512,15 27,00 4,50 Limpa registradores. Valor do Financiamento Valor futuro Prazo do Financiamento (em meses) Taxa mensal

22


PROBLEMA 3 Qual o prazo necessrio para que um emprstimo de R$ 88.000 possa ser quitado em um nico pagamento de R$ 150.000 sabendo-se que a taxa de 32,25% ao ano. TECLAS VISOR SIGNIFICADO 0,00 Limpa registradores -88.000,00 Valor do Emprstimo 110.624,65 Valor do Resgate 32,25 Taxa anual 2,00 Prazo anos OBS: Esta resposta no corresponde realidade, uma vez que o prazo correto 1,9 que corresponde a um ano, dez meses e 26 dias . Para tanto necessrio aplicar o logaritmo: VISOR SIGNIFICADO TECLA RCL FV 150.00,00 Recupera o valor de resgate RCL PV CHS 88.000,00 Recupera valor do emprstimo e troca sinal 1,704545 Razo entre FV e PV g LN 0,533298 Logaritmo da razo RCL i 100 1 + 1,3225 Recupera a taxa e transforma em fator g LN 0,279524 Calcula o logartmo do fator 1,907882 Prazo fracionado em anoAplicar a regra de trs: 1/12 = 0,9/x .x=10 meses 1/30 = 0,89/xx=27 dias Resp. 1ano. 10 meses e 27 dias

CLEAR FIN 88.000 150.000 32,25

OBS: Quando se trata de prazo deve-se utilizar os recursos do logaritmo, pois a calculadora arredonda a resposta, o que pode acarretar distores significativas no clculo. PROBLEMA 4 Qual o montante correspondente a uma aplicao de R$ 200.000, pelo prazo de 16 meses, a uma taxa de 1,8% ao ms. TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR FIN 0,00 Limpa registradores 200.000 200.000,00 Valor da Aplicao 16 n 16,00 Prazo (em meses) 1,8 3,39 Taxa mensal -266.069,10 Valor do Montante FV

23


PROBLEMA 5 Um ttulo dever ser resgatado por R$ 250.000 no seu vencimento, o que ocorrer dentro de sete meses. Sabendo-se que o rendimento desse ttulo de 48% ao ano, determinar o seu valor presente. TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR FIN 0,00 Limpa registradores 250.000 CHS -250.000,00 Valor de resgate 48 48,0 Taxa anual 7 12 n 0,5833 Prazo (em frao de ano) 198.893,54 Valor presente Obs: O indicador C deve estar aceso no lado direito do visor, caso contrrio a calculadora far interpolao linear (quando o tempo for menor do que o prazo da taxa) e o clculo ser alterado para maior. Utilize a funo STO EEX para posicionar o C. PROBLEMA 6 Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao ms. TECLAS VISOR SIGNIFICADO 1.02 1,02 Forma o fator 12 1 0,27 Taxa anual (forma unitria) 100 26,82 Taxa anual ( percentual) PROBLEMA 7 Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. TECLAS VISOR SIGNIFICADO 1.60103 1,60103 Forma o fator 12 1,04 Fator mensal 1 100 4,00 Taxa Mensal ( percentual) Essas questes ( 6 e 7 ) sero melhor compreendidas aps o estudo do captulo destinado a taxas de juros ( IV )

24


7 EXERCCIOS PROPOSTOS DE JUROS COMPOSTOS: 1. Admita que uma empresa ir necessitar de R$ 330.000 em 11 meses e R$ 470.000,00 em 14 meses. Quanto dever ela depositar hoje numa alternativa de investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 80% a.a.Resposta: R$ 429.281,49

2. Uma taxa efetiva de juros quadrimestrais utilizada em um investimento gerando um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do capital aplicado. Determinar essa taxa de juros. posta: 24,3656% a.q. :. 92,3538% a.a. 3. Uma pessoa deve a outra a importncia de R$ 1.200,00. Para a liquidao da dvida prope as seguintes condies de pagamento: R$ 350,00 ao final de 2 meses; R$ 400,00 ao final de 4 meses; R$ 170,00 ao final de sete meses e o restante ao final de um ano. Sendo de 9% am a taxa de juros cobrada no emprstimo pede-se calcular o ltimo pagamento. Resposta: R$ 1.487,95. 4. Um investidor depositou num banco um valor a juros compostos. Sabendo-se que aps 6 meses tinha um saldo de R$ 2.859,80 e, passados mais cinco meses, o saldo passou a R$ 3.096,02, calcule quanto foi aplicado.Resposta: R$ 2.600,00

5. Uma determinada mercadoria foi adquirida em quatro pagamentos bimestrais de R$ 140.000,00. Alternativamente, esta mesma mercadoria poderia ser adquirida pagando-se 20% de seu valor de entrada e o restante ao final de um semestre. Sendo de 72% a.a. a taxa nominal de juros com capitalizao mensal a ser considerada nesta operao pede-se calcular o valor da prestao vencvel ao final do semestre.Resposta: R$ 478.920,20

25


6. Quanto um investidor pagaria hoje por um ttulo de valor nominal de R$ 900.000,00 com vencimento para daqui a um semestre. Sabese que esse investidor est disposto a realizar a aplicao somente se auferir uma rentabilidade efetiva de 120% a.a.Resposta: R$ 606.779,88

7. Uma loja est oferecendo uma mercadoria no valor de R$ 90.000,00 com desconto de 12% para pagamento a vista. Outra opo de compra pagar os noventa mil aps 60 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo mensal de venda a prazo. Resposta: 6,6% a.m. 8. Uma pessoa adquiriu um equipamento por R$ 2.000,00 a vista, mais duas prestaes iguais de R$ 2.000,00 cada uma. Estas prestaes foram pagas um e dois meses aps a compra. Suponha a taxa de juros de 5% a.m. O equipamento ficou em estoque e no sofreu depreciao. Calcule o preo de venda do equipamento seis meses aps sua aquisio para que no haja lucro nem prejuzo nessa transao.Resposta: R$ 7.663,77

9. Uma Fundao aplicou R$ 100.000,00, sendo uma parte no Banco A taxa de 4% a.m. e a outra parte no Banco B a taxa de 6% a.m. O prazo de aplicao foi mesmo, ou seja 10 meses. Se aps esse tempo os montantes forem iguais nos dois bancos, quais os capitais aplicados e qual o valor de cada montante? Resposta: PV(A) 54.747,70 PV(B) 45.252,30 FV(A) 81.039,91 FV(B) 81.039,97 10. O BANFCAP empresta a uma empresa determinada quantia que dever ser liquidada no final do nono ms pelo valor de R$ 1.304.773,18. Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contratao, uma vez que a empresa deseja limitar esse pagamento final em R$ 1.200.000,00, sabendo-se que o Banco opera no regime de juros compostos, taxa de 3% a.m.Resposta: R$ 80.299,91

26


CAPTULO IV TAXAS DE JUROS 1. JUROS PROPORCIONAIS: So as taxas de juros simples cujo crescimento linear ou seja cresce em linha reta. ( progresso aritmtica) Ex.: 60% a.a. corresponde a 5% a.m. Clculo: 60/12 = 5 0,5% a.m. corresponde a 6% a.a. Clculo: 0,5 x 12 = 6 As taxas de juros simples so, como vimos, proporcionais e tambm equivalentes pois uma ou mais taxas aplicadas em um mesmo capital, por um mesmo perodo de tempo rendem um mesmo montante. EXERCCIOS: A) Calcular a taxa anual equivalente a 2% a.d. Resp. 720% a.a. B) Calcular a taxa diria equivalente a 9% a.b. Resp. 0,15 % a.d. C) Calcular a taxa diria equivalente a 6% a.m. Resp. 0,2% a.d. D) Calcular a taxa para 58 dias equivalente a 10% a.m. Resp. 19,33% em 58dias E) Calcular a taxa para 90 dias equivalente 8% a.s. Resp.4% a.t. F) Calcular a taxa anual equivalente a 0,0041% a.d. Resp. 1,476% a.a.

27


G) Calcular a taxa mensal equivalente a 28% em 196 dias Resp. 4,28% a.m. OBS.: Nos juros simples a taxa equivalente tambm proporcional. 2 . TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS) TAXAS EQUIVALENTES Duas ou mais taxas so equivalentes no regime de juros compostos quando aplicadas em um mesmo capital no mesmo perodo rendem o mesmo montante. Como vemos a definio idntica a equivalncia de taxas na capitalizao simples, entretanto bom lembrar que nos juros compostos o comportamento da taxa exponencial no cabendo portanto a prtica de dividir e multiplicar taxas. 60% a.a. corresponde a 3,994411% a.m. Extrair a raiz 12 do fator 1,60 diminuir 1 e multiplicar por 100. Vejamos com a HP-12C: 60 enter 100 divide 1 + 12 1/x Yx 1 - 100 x 0,5% a.m. corresponde a 6,17% a.a. Eleve o fator 1,005 a potncia 12 diminuir 1 e multiplicar por 100. Vejamos com a HP-12C: 0,5 enter 100 divide 1+ 12 Yx 1 - 100x

q/t

iq = ( 1 + it ) - 1iq = taxa que quero it = taxa que tenho q = tempo que quero t = tempo que tenho Exerccios Calcular as taxas equivalentes: a) 3% a.m. equivalente a taxa anual 28

Resp. 42,58% a.a.


b) 50% a.a. equivalente ao bimestre Resp. 6,99% a.b. c) 0,5% a.m. equivalente ao semestre Resp. 3,04% a.s. d) 0,0048% a.d. equivalente ao ano Resp. 1,74% a.a. e) 15% ao semestre equivalente ao ano Resp. 32,25% a.a. f) 4% a. t. equivalente ao quadrimestre Resp. 5,37% a. q. g) 10% a. s. equivalente em 211 dias - Resp. 11,83% em 211 dias h) 1% em 12 dias equivalente em 180 dias - Resp. 16,10% a. s. i) 8% a. q. equivalente em 28 dias Resp. 1,81% em 28 dias j) 50% em 400 dias equivalente ao ano Resp. 44,04% a.a. k) 70% em 700 dias equivalente em 3 dias - Resp. 0,2277% em 3 dias l) 20% ao ano equivalente ao dia Resp. 0,05% a. d. m) 0,067 em 4 dias equivalente ao semestre - Resp. 3,06% ao semestre n) 21,75% ao ano equivalente ao ms Resp. 1,65% a.m. o) 30% ao equivalente ao semestre Resp. 14,02% a.s. p) 1,5% em 45 dias equivalente ao ms Resp. 1% a.m. q) 8% ao dia equivalente em 15 dias - Resp. 217,22% em 15 dias r) 60% ao ano equivalente ao trimestre Resp. 12,47% a.t. s) 115.000% a.a. equivalente ao ms - Resp. 79,92% a.m. t) 80% a.m. equivalente ao ano Resp. 115.583,14% a.a. u) 0,88% ao ms equivalente ao ano Resp. 11,09% a.a. v) 1,08% ao ms equivalente ao trimestre - Resp. 3,28% a.t. w) 29% ao ano equivalente ao ms Resp. 2,14% a.m. x) 6% ao ano equivalente ao ms Resp. 0,49% a.m. y) 8% ao ms equivalente ao ano Resp. 151,82% a.a. z) 0.0058 ao dia equivalente em dois anos - Resp. 4,26% em 2 anos CURIOSIDADE As taxas acima retratam as diversas fases da realidade da economia brasileira e mundial. As mais baixas representam pocas de inflao baixa como a que estamos vivendo na poca do Real e as mais altas representam a poca da inflao galopante como aquelas registradas no governo de Sarney. Outras, entretanto, no espelham a realidade mas servem para mostrar como as taxas se comportam em termos de tamanho.

29


3. TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS: Quando o perodo da taxa diferente dos perodos de capitalizao. Ex. 6% a.a. capitalizado mensalmente 2,8% ao ms capitalizado diariamente Clculo da taxa Efetiva a partir da taxa nominal: j = taxa nominal k = perodos de capitalizao i = taxa efetiva

i = ( 1 + j/k)k

- 1

obs. lembre-se o resultado tem que ser multiplicado por 100 6% ao ano capitalizado mensalmente ( Poupana) i = ( 1 + 0,06/12) - 1 = 6,17% a.a. 2,8% a.m. capitalizado diariamente i = ( 1 + 0,028/30) - 1 = 2,83% a.m. Caso queiramos encontrar uma taxa Nominal a partir da taxa efetiva utilizamos a frmula abaixo, que a transformao algbrica da frmula da taxa efetiva:1/k

j = k. [( 1 + i )

- 1]

Lembrem-se : A taxa efetiva aquela cujo perodo de capitalizao coincide com o perodo da taxa. Como exemplo podemos citar todas as taxas dos exerccios anteriores onde no se fala em perodos de capitalizao.

4. CLCULO DO MONTANTE COMPOSTO COM TAXA NOMINAL Podemos calcular o montante composto utilizando a seguinte frmula: FV = PV(1 + j/k)k.n =30


Ex. Um emprstimo de R$ 7.000,00 foi concedido para pagamento em s vez no final de um ano e meio, taxa negociada foi de 60% ao ano com capitalizao mensal. Calcular o valor no ato da liquidao: Soluo algbrica: FV = 7.000.(1+0,60/12)12 x 1,5 = 16.846,33 { 7000 E 0,60 E 1 + 12 E 18 : Yx X } DIGITE f fin 7000CHS PV 60 E 12 i 12 E 1,5 X n FV 16 R MOSTRADOR 0,00 7.000,00 5,00 18,00 16.846,33 455.000,00 103.561,64 SIGNIFICADO Limpa a memria financeira Entra com o valor presente Entra com a taxa mensal Perodos de capitalizao Calcula Calcula o montante Valor dos juros Ano Civil

5 EXERCCIOS DE EQUIVALNCIA ENVOLVENDO TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS a) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a: 1) 2) 3) 4) 5) 24% a.a. com capitalizao mensal 28% a.a. com capitalizao trimestral 21% a.a. com capitalizao quadrimestral 40% a.a. com capitalizao semestral 30% a.a. com capitalizao anual

b) Calcular a taxa Nominal a partir da taxa Efetiva: 6) 7) 8) 9) 90% a.a. equivalente a taxa Nominal c/ cap. Mensal 60% a.a. equivalente a taxa nominal c/cap. Trimestral 30% a.s. equivalente a taxa Nominal c/cap. Bimestral 3% a.m. equivalente a taxa Nominal c/cap. Diria

31


c) Calcular ainda: 10) 60% a.a. c/cap. Mensal equiv. Taxa anual c. cap. trimestral 11) 40% a.a. c/cap. Trimestral equiv. Taxa anual com cap. Quadrimestral 12) 30% a.s. c/cap. Bimestral equiv. Taxa trimestral com cap. Mensal 13) 38% a.a. c/cap. Quadrimestral equivalente a taxa efetiva mensal 14) 58% a.a. c/cap. Mensal equivalente a taxa efetiva anual. 15) 8% a.m. c/cap. Quinzenal equiv. A taxa trimestral c/cap. Mensal 16) Qual a taxa de juros simples equivalente taxa de 48% a.a. com capitalizao trimestral durante o prazo de 2 anos 17) Taxa anual efetiva equivalente a 12% a.a. c/cap. Mensal 18) Taxa efetiva semestral equiv. A 6% a.a. com cap. Trimestral 19) 28% a.a. equivalente aos seguintes perodos: 20) Mensal 21) Bimestral 22) Trimestral 23) Quadrimestral 24) Semestral 25) 8 meses 26) 15 dias 27) 1.000 dias 28) 1 dia 29) 98 dias 30) 211 dias

32


6 - COMO PROGRAMAR TAXAS EQUIVALENTES NA HP-12-C

f P/R f PRGM

entra no mdulo de programao da calculadora limpa a memria de programao

1 RCL i recupera a taxa de juros 2 100 1 + divide a taxa por 100 e soma 1 3 RCL n Yx 4 1 100 X f P/R recupera o tempo e eleva subtrai 1 e multiplica por 100

sai do mdulo de programao da calculadora EXECUTANDO O PROGRAMA

Taxa que tem

iR/S

Tempo que quer dividido pelo tempo que tem (q/t)

n

33


7. TAXAS E NDICES VARIVEIS/ INFLAO: Operaes financeiras que envolvem taxas de juros diferentes como por exemplo a poupana que todo ms apresenta uma taxa de juros varivel em funo da inflao. Tambm variam ms a ms os diversos ndices de preo como INPC, INCC, IGP-DI, IGP-M alm de parmetros fiscais como UFIR e outros. Frmula para o clculo das taxas variveis acumuladas:n

iac =

t=1

(1 + it ) - 1

leia-se : produtrio das taxas variveis

Ex.: Em determinada poca a poupana apresentou as seguintes taxas de juros mensal: Janeiro: 1,08 fevereiro: 1,21 maro: 1,34. Calcular a taxa acumulada do primeiro trimestre: I ac = ( 1+ 0,0108) ( 1+ 0,0121) ( 1+ 0,0134) - 1 = 3,67 % Caso queiramos calcular o montante com taxas variveis utilizamos a seguinte frmula:

n FV = PV ( 1+ i t) t=1 Ex. Um investidor aplicou em fundo de poupana R$ 10.000,00 s taxas de 1,03%, 2,01%, 1,8% e 1,667% nos quatro meses da aplicao. Qual o montante resgatado no final do quadrimestre ? Resp. Aplicando-se a frmula: FV = 10.000 . ( 1 + 0,0103) . ( 1 + 0,0201) . ( 1 + 0,018) . ( 1+ 0,01667) = FV = 10.666,4734


- TAXA REAL ( r ) ( - TAXA APARENTE (i) 1 + i ) r = ---------- - 1 (taxa real) - TAXA DE INFLAO 1 + I ) ( (I) Podemos afirmar que : ( 1 + i ) = ( 1 + r ) . ( 1 + I )

Por deduo podemos calcular a taxa aparente ( ganho aparente ) i= (1+r)(1+I)-1 A taxa real considera os efeitos inflacionrios do perodo considerado. Para obt-la se faz necessrio expurgar a perda ou ganho inflacionrio decorrente do processo da alta geral dos preos. A taxa real representa a taxa de juros acima da inflao paga ou ganha em uma operao. Ela pode ser positiva ou negativa dependendo se a taxa de inflao excedeu ou no a taxa efetiva. Exerccios 1) Uma aplicao rende juros reais de 6% aa capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros efetivas anual ganha pela aplicao e qual a taxa de rendimento anual real se a taxa de inflao foi de 4,8%. Dados: 12 6 0,06 i= i = 1 + -----1 + 0,04 -1= 12 12 i = 1,005 x 1,048 - 1 = 11,26%. aa 11,26% a.a.12

Significa dizer que a taxa aparente da operao :

35


2) Durante um trimestre a inflao apresentou as seguintes taxas: 3% ; 1,95% e 1,98%. Sabendo-se que no mesmo perodo uma aplicao apresentou taxa de 4%, calcular o ganho ou prejuzo real em termos percentuais e a taxa mdia da inflao. Dados: i = 4% a t. Soluo: I1 = 3,00 (1 + i ) I2 = 1,95 I3 = 1,98 r = ------------------------- =n

I3 = 1,98

t =1

(1 + it )

onde

( 1 + 0,04 ) r = ----------------------------------------------- = - 2,88% (1 + 0,03) (1 + 0,0195) ( 1 + 0,0198)

Significa dizer que a aplicao apresentou uma taxa real negativa ou seja, houve um prejuzo real de 2,88% no trimestre. Taxa mdia de inflao simplesmente a descapitalizao da taxa trimestral de inflao para a taxa mensal que corresponde a mdia geomtrica: Im= [ (1

+ 0,03) (1 + 0,0195) ( 1 + 0,0198)] 1/3 1 = 2,3% ao ms

36


CAPTULO V DESCONTO 1. CONCEITO DE DESCONTO : a diferena entre o valor nominal do ttulo e o valor no ato do resgate antecipado (valor descontado). D = FV - PV D PV 0 FV

A operao de desconto muito utilizada quando a empresa necessita negociar com um banco o pagamento antecipado de um ttulo, para obter capital de giro. Em geral os ttulos que sofrem descontos a curto prazo so as Nota Promissrias, Duplicatas, cheques pr-datados, etc. A primeira o ttulo de crdito tal que seu emitente se obriga a pagar, na data do vencimento o valor nominal. A Segunda, Duplicata, so ttulos vinculados a operaes de venda de bens ou servios que casos os ttulos so negociados com os bancos em troca do valor descontado ( valor lquido = valor nominal desconto). Os cheques pr-datados hoje esto sendo largamente descontados em FACTORING ou Banco. As operaes de desconto, tanto para juros simples quanto para juros compostos, podem ser assim classificadas: POR DENTRO (Racional): Trata-se do desconto matemtico onde os juros incidem sobre o valor presente ( valor lquido). POR FORA(Comercial ou Bancrio): Trata-se de um desconto irracional, pois a taxa de desconto incide sobre o valor futuro(Valor37


Nominal do ttulo), acarretando assim em pagamento antecipado dos juros o que gera uma taxa efetiva maior do que a taxa da negociao(taxa de desconto) . Os Bancos e Factorings, aplicam o desconto bancrio simples. 2 - DESCONTO RACIONAL - POR DENTRO Dr PV 0 n FV

O desconto simples "por dentro" o juro simples do valor lquido. Dr = PV . i . n ou

A diferena entre o valor nominal e valor atual : Dr = FV - PV FV - FV FV . i . n Dr = ----------------Dr = ( 1 + in ) (1 + in)

3 - DESCONTO COMERCIAL - POR FORA O desconto comercial "por fora" o juros simples do valor nominal a uma taxa chamada de taxa de desconto, durante um prazo de antecipao do resgate. Dc = FV . d . n Dc FV PV 0 n

O valor descontado ( valor lquido) PV = FV - Dc .: PV = FV - FVin PV = FV (1 - dn )38


4 - DESCONTO BANCRIO - POR FORA Podemos dizer que o desconto bancrio igual ao desconto comercial acrescido dos acessrios financeiros cobrados pelo banco ( IOF, Comisses, taxas, etc. ): Db = Dc + FV . h Db = FV . i . n + FV . h Db = FV ( d . n + h)

Onde "h" representa a percentagem das despesas ( acessrios financeiros ) OBS: As taxas podem ser dirias ou determinadas para o perodo do desconto. O valor descontado ( valor lquido ) pode ser assim deduzido: PV = FV - DB PV = FV - FV ( i . n . + h ) h) PV = FV ( 1 - in -

No DESCONTO POR DENTRO os juros incidem sobre o valor lquido do ttulo enquanto que no DESCONTO POR FORA os juros incidem sobre o valor nominal do ttulo. Mesmo sem levar em conta as taxas cobradas pelo banco o DESCONTO POR FORA apresenta um valor lquido menor, pois os juros so cobrados antecipadamente acarretando uma taxa efetiva maior que a taxa de desconto. Exemplos Temos os seguintes elementos: FV = 100 ( valor do ttulo) d = 10% ( taxa de desconto ) i = taxa efetiva ? n = 2 meses ( perodo do desconto ) *h = 1,5% no perodo ( total dos acessrios financeiros) *Somente para o Desconto Bancrio.39


5 EXERCCIOS DE APLICAO a - Clculo do Desconto Racional FV.i.n 100x 0,1x 2 Dr = -------------- = ------------------ = (1 +i i ) (1 + 0,1x2) 20 --------- = 16,67 1,2

- Clculo do Valor Lquido: FV - Dr = 100 - 16,67 = 83,33 - Taxa Efetiva (por se tratar de desconto racional igual a da negociao : FV 100 ------------------------ - 1 PV 83,33 I = -------------- = ----------------- = 10% ao ms n 2 obs. nesse caso a taxa efetiva a mesma da taxa de desconto b- clculo do desconto comercial - Clculo do Desconto : - Valor Lquido: - Taxa Efetiva: FV 100 ------------------------ - 1 PV 80 = -------------- = ----------------- = 12,5% ao ms n 2 Dc = FV . d . n = 100 x 0,1 x 2 = 20 PV = 100 - 20 = 80

d

d = taxa de desconto = taxa da negociao

40


i = taxa efetiva ( taxa definitiva que representa o real custo da operao) obs. A taxa efetiva (i) nesse caso maior do que a taxa da negociao (d) e - desconto bancrio - Clculo do Desconto: DB = FV ( d . n . + h ) = 100 ( 0,1 x 2 + 0,015 ) = 21,50 - Clculo do Valor Lquido: - Clculo da Taxa Efetiva: PV = 100 - 21,50 = 78,50

FV 100 ------------------------ - 1 PV 78,50 d = -------------- = ----------------- = 13,50% ao ms n 2 obs. Como no caso anterior a taxa efetiva maior do que a taxa da negociao e maior do que a taxa efetiva do DC por conta das despesas financeiras. Observe que: Dr < Dc < Db. Considerando "i " como taxa efetiva e "d " como taxa de desconto, podemos atravs da equivalncia entre Desconto Racional e Desconto Comercial determinar frmulas mais prticas para clculo das taxas, independentemente de se conhecer os valores da operao: 6 OUTRA FOMA DE CALCULAR A TAXA EFETIVA Dr = Dc

Considerando "d" como taxa de desconto:

41


FV.i.n ------------- = FV.d.n (i +in) i d = ------------(i +in) d i = ----------------(1 dn)

e

Considerando a taxa de desconto de 10% a. .m, conforme exemplo anterior. Ex. 0,1 0,1 I = ---------------- = -------------- = 12,5% a.m (taxa efetiva) (1 0,1 x 2) 0,8

7 EXERCCIOS COM BASE NAS OPERAES BANCRIAS Um Banco comercial realiza suas operaes de de desconto de ttulos a juros simples, com uma taxa de desconto por fora de 3,3% ao ms e cobra uma taxa de despesas financeiras na ordem de 0,693% ao semestre. Uma empresa descontou um ttulo de R$ 88.000,00 com vencimento para 68 dias. Determinar: a) Desconto Comercial; b) Despesas Financeiras; c) Desconto Bancrio; d) Valor Lquido creditado na conta do cliente; e) A taxa efetiva do perodo; f) Taxa mensal de juros simples; g) Taxa efetiva mensal de juros compostos; h) Taxa efetiva anual de juros compostos. i) Taxa de juros compostos anual com cap.diria(taxa nominal)42


Soluo: a) Dc = FV.i.n = 88.000 x 0,033 x 68/30 = 6.582,40 b) DF = FV.h.n = 88.000 x 0,00693 x 68/180 = 230,38 c) Db = Dc +DF = 6.582,40 + 230,38 = 6.812,78 d) VL = PV = FV Db = 88.000 - 6.812,78 = 81.187,22 e) Iep = FV/PV 1 = 88.000/81.187,22 1 = 8,39% ao.perodo(68 dias) f) Ijsm = iep x 30 /n = 8,39 x 30/68 = 3,7% a.m. g) Ijca = (1 + iep)360/d 1 = 1,0839360/68 1 = 53,20% ao ano h) J = m[ (1 + i )1/n 1] = 360[(1+0,5320) 1/360 - 1] = 42,68% ao ano com cap. anual Determinao de taxa de juros compostos com o software financeiro da HP-12C: 88.000 0 81.187,22 f CLEAR FIN 88.000 CHS FV 81.187,22 PV 68 ENTER 360 n i 53,2% ao ano Limpa registradores financeiros Introduz o valor do ttulo Introduz o valor lquido Introduz o tempo Taxa Efetiva anual n = 68

FORMA PRTICA DE RESOVER E ARMAZENAR OS DADOS DO PROBLEMA

TECLA88.000 FV ENTER 0,033 x 68 x 30: STO 1 RCL FV x 0,00693 x 68 x 180 STO 2

VISOR

SIGNIFICADO

88.000 Armazena o vr. do ttulo em FV e entra 6.582,40 Calcula o Dc e armazena em R1 230,38 Calcula Desp. Financ e armazena em R2

43


+ STO 3 RCL FV X> 0 NPV < 0 i = ia i > ia i < ia

CFj / (1 + i )j - Cfo J=1

Ex.: Considerando uma taxa de 6,2% a.m. qual o melhor retorno para uma aplicao de R$ 500.000:

a) Receber 700.000 no fim de 6 meses75


b) Receber 2 parcelas trimestrais de R$ 330.000 c) Receber 3 parcelas bimestrais de R$ 210.000 d) Receber 6 parcelas mensais de R$ 100.000

Utilizando-se as funes de fluxo de caixa da HP - 12C: Ite ma) b) c) d)

CF0500.000 500.000 500.000 500.000

CF1100.000

CF2210.000 100.000

CF3330.000 100.000

CF4210.000 100.000

CF5100.000

CF6700.000 330.000 210.000 100.000

NPV-12.077,39 5.532,57 -2337,08 -11.342.41

Como utilizou-se as funes da HP -12C: a) TECLA F Reg 500000CHS g CFo 0 g CFj 5 g Nj 700000 g CFj 6,2 i f NPV VISOR 0,00 - 500.000,00 0,00 5,00 700.000,00 6,20 -12.077,39 SIGNIFICADO Limpa os registradores Fluxo de caixa inicial Introduz 1. grupo de FLX CX Vezes que o fluxo se repete Introduz 2. grupo Introduz a taxa de juros Acha valor Presente lquido

b)

76


TECLA F Reg500000CHS g CFo

VISOR SIGNIFICADO 0,00 Limpa os registradores- 500.000,00 Fluxo de caixa inicial

0 g CFj 2 g Nj 330000 g CFj 0 g CFj 2 g Nj 330000 g CFj f NPV c)) TECLA F Reg 500000CHS g CFo 0 g CFj 210000 g CFj O g CFj 210000 g CFj 0 g CFj 210000 g CFj f NPV d) TECLA F Reg 500000 CHS g CFo 100000 g CFj 6 g Nj F NPV

0,00 2,00 330.000,00 0,00 2,00 330.000,00 5.532,57

Introduz o 1. Grupo de FLX CX Vezes que o fluxo se repete Introduz o 2. grupo Introduz o 3. grupo Vezes que o fluxo se repete Introduz o 4. grupo Acha o Valor Presente Lquido SIGNIFICADO Limpa os registradores Fluxo de caixa inicial Introduz 1. grupo de FLX CX Introduz o 2. grupo Introduz o 3. grupo Introduz o 4. grupo Introduz o 5. grupo Introduz o 6. grupo Acha Valor Presente Lquido SIGNIFICADO Limpa os registradores Fluxo de caixa inicial Introduz 1. grupo de FLX CX Vezes que o fluxo se repete Acha Valor Presente Lquido

VISOR 0,00 - 500.000,00 0,00 210.000,00 0,00 210.000,00 0,00 210.000,00 2.237,08 VISOR 0,00 - 500.000,00 100.000,00 6,00 -11.342,41

7 - EXERCCIOS RESOLVIDOS SOBRE TAXA INTERNA DE RETORNO E VALOR PRESENTE LQUIDO PROBLEMA 1 Determine a taxa interna de retorno correspondente a um emprstimo de R$ 100.000 a ser liquidado em trs pagamentos

77


mensais de R$ 30.000, R$ 50.000, e R$ 40.000. o fluxo de caixa correspondente a essa operao, tomando-se como referncia o doador de cursos, representado como segue: TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR 0,00 Limpa Registradores 100000 -100.000,00 Valor do Emprstimo 30000 30.000,00 Valor do 1 Pagamento 50000 g 50.000,00 Valor do 2 Pagamento 40000 40.000,00 Valor do 3 Pagamento 9,26 Taxa Interna de Retorno Mensal Em que significa Fluxo de Caixa do Momento Zero (Fluxo de Caixa Inicial ) e , Fluxo de Caixa de Ordem j (sendo j = 1,2,3,...). PROBLEMA 2 Um equipamento no valor de R$ 70 milhes integralmente financiado, para pagamento em sete parcelas mensais, sendo as trs primeiras de R$ 10 milhes, as duas seguintes seguintes de R$ 15 milhes, a 6 de R$ 20 milhes e a 7 de R$ 30 milhes. Determinar a taxa interna de retorno dessa operao. TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR 0,00 Limpa registradores 70 -70,00 Valor do financiamento 10 10,00 Valor dos fluxos do 1 grupo 3 3,00 N de vezes que este valor se repete 15 15,00 Valor dos Fluxos do 2 grupo 2 2,00 N de Vezes que este valor se repete 20 20,00 Valor do fluxo do 3 grupo 30 30,00 Valor do fluxo do 4 grupo 10,40 Taxa interna de retorno mensal PROBLEMA 3 Um construtor adquire uma motoniveladora pelo sistema de crdito para pagamento em seis prestaes mensais de R$ 73.570. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 245.000 e que a primeira prestao ser paga no final do 5 ms (quatro meses de carncia ), determinar a taxa de juros cobrada pela loja.

78


TECLAS CLEAR 245000 0 4 Nj 73570 6

VISOR 0,00 245.000,00 0,00 4,00 -73.570,00 6,00 8,30

SIGNIFICADO Limpa registradores Valor financiado Valor dos fluxos do 1 grupo N ocorrncias iguais Valor dos fluxos do 2 grupo N ocorrcias iguais Taxa mensal de juros .

PROBLEMA 4 Um banco credita R$ 180.530 na conta de um cliente, referente ao desconto de trs duplicatas de valores R$ 52.600, R$ 63.400 e R$ 93.570 com prazos de 42, 57 e 85 dias, respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada nessa operao, calculada de acordo com o regime de capitalizao composta. Neste caso h necessidade de trabalhar com fluxos de caixa dirios. Como o banco somente ter o primeiro recebimento no 42 dia aps a operao, isto significa que durante 41 dias o banco nada receber e, portanto, teremos de considerar 41 fluxos iguais a zero, entre o vencimento da 1 e da 2 duplicatas teremos mais 14 fluxos iguais a zero e assim por diante. A soluo desse problema obtido como segue: TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR 0,00 Limpa registradores 180530 -180.530,00 Valor lquido do desconto 0 0,00 Vr. fluxos do primeiro grupo 41 41,00 N de ocorrncias iguais 52600 52.600,00 Valor dos fluxos do 2 grupo 0 0,00 Valor dos fluxos do 3 grupo 14 14,00 N de ocorrncias iguais 63400 63.400,00 Valor do flluxo do 4 grupo 0 0,00 Valor dos Fluxos do 5 grupo 27 27,00 N de ocorrncias iguais 93570 93570,00 Valor do fluxo do 6 grupo 0,23 Taxa diria de Juros (em %) 100 1 1,00 1 + a taxa diria de juros 30 1 0,07 Taxa mensal (forma decimal) 100 7,09 Taxa mensal de Juros (em %)

79


PROBLEMA 5 Um emprstimo de R$ 22.000 ser liquidado em trs prestaes mensais e sucessivas de R$ 12.000, R$ 5.000 e R$ 8.000. Considerando-se uma taxa de juros de 7% ao ms, calcular o valor presente lquido. TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR 0,00 Limpa registradores 22000 -22.000,00 Valor do emprstimo 12000 12.000,00 Valor do primeiro pagamento 5000 5.000,00 Valor do 2 pagamento 8000 8.000,00 Valor do 3 pagamento 7 7,00 Taxa mensal de juros f NPV 112,53 Valor presente lquido PROBLEMA 6 Uma mquina industrial financiada em 18 prestaes mensais, iguais e sucessivas de R$ 325.000,00 e mais trs prestaes semestrais (prestao-reforo ou prestao-balo) de R$ 775.000,00, R$ 875.000,00 e R$ 975.000,00. Calcular o valor financiado, sabendose que a taxa cobrada pela financeira foi de 8,7% ao ms (j incluso o Imposto sobre de Operaes de Crdito IOC). TECLAS VISOR SIGNIFICADO CLEAR 0,00 Limpa registradores 0 g CFj 0,00 Fluxo inicial 325000 g 325.000,00 Vr. fluxo do primeiro grupo 5 5,00 N de ocorrncias iguais 1100000 1.100.000,00 Valor do fluxo do 2 grupo 325000 325.000,00 Valor do fluxo do 3 grupo 5 5,00 N de fluxos iguais 1200000 1.200.000,00 Valor do fluxo do 4 grupo 325000 325.000,00 Valor dos fluxos do 5 grupo 5 5,00 N de ocorrncias iguais 1300000 1.300.000,00 Valor do fluxo do 6 grupo) 8.7 8,70 Taxa mensal 3.911.995,93 Valor financiado f

80


CAPTULO VIII EMPRSTIMOS E AMORTIZAES 1 - SISTEMA FRANCS DE AMORTIZAO - SFA (Conhecido tambm como Sistema da Tabela Price ou Tabela Price) Consiste em um Plano de Amortizao de uma divida em prestaes peridicas, iguais e sucessivas dentro do conceito de termos vencidos, que o valor de cada prestao, ou pagamento composto por duas parcelas distintas: Uma de juros e outra de capital ( chamada amortizao). Vejamos como se calcula: a) Calcula-se as prestaes com base na mesma frmula usada para srie de pagamento com termos vencidos ( ou postecipados), isto : PMT = PV an|i ou com os passos da HP-12C

PV, n, i

PMT

b) A parcela de juros obtida multiplicando-se a taxa de juros ( diria, mensal, trimestral, semestral, anual ...) pelo saldo devedor existente no perodo imediatamente anterior.

i . Pv t - 1

ou com os passos da HP -12C

1 f AMORT

81


c) A parcela de amortizao determinada pela diferena entre o valor da prestao e o valor da parcela de juros:

PMT - J

ou com os passos da HP -12C X >< Y

d) O saldo devedor determinado pela diferena entre o saldo devedor imediatamente anterior e a parcela de amortizao:

PVt - 1 - AMORTIZAO ou com os passos da HP 12-C RCL PV2 - EXERCCIO PRTICO COM HP 12 C Considerando os seguintes parmetros: Dados: PV = 1000 n = 10 i = 10% Calcular:DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO

f fin 1000 CHS PV 10 i 10 n PMT 1 f amort x>< Y )

QUARTO PASSO

Calcula-se o Saldo devedor ( RCL PV )

EXERCCIOS: 4 - COMO CALCULAR OS DADOS DE UMA LINHA DE ORDEM "t": Calcular os juros a amortizao e o saldo devedor da stima parcela ( t=7):DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO

f fin 1000 CHS PV 10 i 10 n PMT

0,00 -1.000,00 3,00 10,00 162,75

Limpa a memria financeira Entra com o valor do principal Entra com a taxa de juros Entra com tempo Calcula a prestao que constante84


6 f amort 1 f amort X>

apostila de matemÁtica financeira com hp-12 - pÓs - cc

Documents