apostila de algebra linear ii´ - joinville.udesc.br · o tamanho de uma matriz e descrita em...

UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUALDE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIENCIAS TECNOLOGICAS - CCTDEPARTAMENTO DE MATEMATICA - DMAT

APOSTILA DE ALGEBRA LINEAR II

JONES CORSO

Joinville - SC - 2014

Sumario

1 MATRIZES 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Operacoes com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Adicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Multiplicacao por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.5 Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.6 Potencia de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.7 Traco de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.8 Expressoes polinomiais envolvendo matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Matriz na forma escada reduzida por linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Operacoes elementares linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Posto de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Calculo da inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Calculo da inversa por escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1 Calculo do determinante por triangulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.2 Calculo do determinante por difrentes metodos . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Primeira lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8.1 Algumas respostas e sugestoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Apendice - Calculo da inversa por adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 SISTEMA DE EQUACOES LINEARES 25

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25iii

2.2 Sistemas e matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Solucao de um sistema por matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Segunda lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


2.5 Apendice - Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 ESPACOS VETORIAIS 41

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Interseccao de dois Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Combinacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5 Dependencia e Independencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6 Subespacos Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7 Soma de Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8 Base e Dimensao de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8.2 Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8.3 Dimensao da Soma de Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.8.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.9 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.10 A Inversa da Matriz de Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11 Terceira lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


4 TRANSFORMACOES LINEARES 83

4.1 Propriedades das Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2 Transformacoes Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.1 Transformacao linear associada a uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.2 Matriz de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Composicao de transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4 A Inversa de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.5 Quarta lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5.1 Algumas respostas e sugestoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113iv

5 OPERADORES LINEARES 117

5.1 Transformacoes especiais no plano e no espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1.1 Transformacoes no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1.2 Transformacoes no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Propriedades dos operadores inversıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3 Operadores autoadjuntos e ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.4 Quinta lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


6 AUTOVALORES E AUTOVETORES 139

6.1 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.1 Polinomio Caracterıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2 Matrizes Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.3 Diagonalizacao de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3.1 Matriz Diagonalizadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4 Calculando potencias de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.5 Sexta lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157


7 PRODUTO INTERNO 165

7.1 Normas, Distancias e Angulos em Espacos com Produto Interno . . . . . . . . . . . 169

7.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2.1 Conjunto Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2.2 Base ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.2.3 Base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.2.4 Coordenadas em relacao a Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.2.5 Coordenadas em relacao a Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.3 Complementos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.4 Projecoes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.5 Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.5.1 Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.6 Fatoracao QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.6.1 Aplicacao da fatoracao QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.7 Solucao de Mınimos Quadrados de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 181v

7.8 Setima lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8 APLICACOES 189

8.1 Aplicacoes da Algebra Linear na Engenharia Cartografica . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.2 Aplicacoes de espacos vetoriais na computacao grafica . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.3 Aplicacoes de autovalores e autovetores na engenharia civil . . . . . . . . . . . . . . 195

8.3.1 O Problema de autovalor na avaliacao de modelos estruturais de edificacoes . 195

vi

Capıtulo 1

MATRIZES

1.1 Introducao

Exemplo 1 A seguinte colecao retangular de tres linhas e sete colunas descreve o numero de horas

que um estudante se dedicou a tres materias durante uma determinada semana:

segunda terca quarta quinta sexta sabado domingo

Matematica 2 3 2 4 1 4 2

Biologia 0 3 1 4 3 2 2

Fısica 4 1 3 1 0 0 2

Se nos suprimirmos os tıtulos, ficaremos com a seguinte colecao retangular de numeros com tres

linhas e sete colunas, denominada matriz:

A =

2 3 2 4 1 4 2

0 3 1 4 3 2 2

4 1 3 1 0 0 2

Uma matriz e um agrupamento retangular de numeros. Os numeros neste agrupamento sao chama-

dos entradas da matriz.

O tamanho de uma matriz e descrita em termos do numero de linhas (fileiras horizontais) e de

colunas (fileiras verticais) que contem.

Quando discutimos matrizes, e usual chamar as quantidades numericas de escalares.

Exemplo 2

Definicao 1.1 Chama-se matriz de ordem m× n a uma tabela de m · n elementos dispostos em m

2 1.2. Tipos de Matrizes

linhas e n colunas:

A =

a11 a12 ........ a1n

a21 a22 ........ a2n...

...

am1 am2 ........ amn

Notacao: Costumamos denotar as matrizes por letras latinas maiusculas:A, B, C, ...... Notacao

mais compacta [ai j]m×n ou [ai j] quando nao e dado enfase ao tamanho da matriz.

A entrada que ocorre na i-esima linha e j-esima coluna de uma matriz A e denotada por ai j.

1.2 Tipos de Matrizes

Matriz coluna

E a matriz de ordem m×1.

Exemplo 3 A = [1]1×1 , B =

1

2

3

4

4×1

, C =

1

2

3...

999

1000

1000×1

Matriz linha

E a matriz de ordem 1×n.

Exemplo 4 A = [1]1×1 , D =[−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −10

]1×8

Matriz Nula

E a matriz A =[ai j]

m×n onde ai j = 0, para 1≤ i≤ m e 1≤ j ≤ n.

Exemplo 5

M =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

, N = [0]

Observacao 1 Denotaremos frequentemente a matriz nula por 0.

1.2. Tipos de Matrizes 3

Matriz quadrada

E a matriz de ordem n×n, ou seja, n linhas e n colunas.

A =

a11 · · · a1n

... . . . ...

an1 · · · ann

Os elementos da forma aii constituem a diagonal principal

Os elementos ai j em que i+ j = n+1 constituem a diagonal secundaria.

Exemplo 6

A = [0]1×1 , B =

3 −2

1 −7

Matriz diagonal

Matriz diagonal e a matriz quadrada A =[ai j]

onde ai j = 0 para i = j :

A =

a11 0 · · · 0 0

0 . . . · · · · · · 0...

... . . . · · · ...

0... · · · . . . 0

0 0 · · · 0 ann

Notacao: diag(A) = {a11, · · · ,ann}

Exemplo 7

A = [0]1×1 , B =

3 0

0 −11

Matriz identidade ou unitaria

Temos a diagonal principal com elementos iguais a um e todos os outros elementos iguais a zero,

ou seja, ai j = 1 para i = j e ai j = 0 para i = j.

Tambem podemos dizer que e a matriz diagonal I onde diag(I) = {1, · · · ,1}.

Notacao: In representa a matriz identidade de ordem n.

Observacao 2 Como 1 e o elemento neutro da multiplicacao entre numeros, a matriz identidade e o

elemento neutro da multiplicacao de matrizes. E usual indicar [I].

4 1.2. Tipos de Matrizes

Exemplo 8

I2 =

1 0

0 1

, I100 =

1 0 · · · · · · 0

0 1 0 · · · 0...

... . . . · · · ...

0 0 · · · . . . 0

0 0 · · · 0 1

Matriz transposta

Dada uma matriz A =[ai j]

m×n , podemos obter uma outra matriz AT =[bi j]

n×m , cujas linhas sao

as colunas de A, isto e, bi j = a ji. AT e denominada a transposta de A.

A =

a11 a12 ........ a1n

a21 a22 ........ a2n...

...

am1 am2 ........ amn

m×n

⇒ AT =

a11 a21 ........ am1

a12 a22 ........ am2...

...

a1n a2n ........ amn

n×m

Exemplo 9

A =

1 2 3 4

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

⇒ AT =

1 11 21 31

2 12 22 32

3 13 23 33

4 14 24 34

Exemplo 10

D =[−1 −2 −3 −4 −5

]1×5⇒ DT =

−1

−2

−3

−4

−5

5×1

Matriz simetrica

Uma matriz quadrada S =[ai j]

e simetrica se ST = S, isto e, se ai j = a ji. Assim, os elementos

simetricamente opostos a diagonal principal sao iguais.

Exemplo 11

S =

1 5 9

5 3 8

9 8 7

, N =

0 1

1 0

1.3. Operacoes com matrizes 5

Matriz anti-simetrica

Uma matriz quadrada A =[ai j]

e anti-simetrica se AT =−A, isto e, se ai j =−a ji. Assim,

i) os elementos da diagonal principal sao todos nulos:

ii) os elementos simetricamente dispostos em relacao a diagonal principal sao opostos.

Exemplo 12

A =

0 3 4

−3 0 −6

−4 6 0

Matriz triangular superior

A matriz quadrada A =[ai j]

que tem os elementos ai j = 0 para i > j e chamada matriz triangular

superior.

Exemplo 13

A =

5 4 7 9

0 3 −8 4

0 0 −2 3

0 0 0 6

, B =

0 1

0 0

, I10000

Matriz triangular inferior

A matriz quadrada A =[ai j]

que tem os elementos ai j = 0 para i < j e chamada matriz triangular

inferior.

Exemplo 14

B =

5 0 0 0

4 3 0 0

7 4 −2 0

9 1 2 6

, C =

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 2

1.3 Operacoes com matrizes

1.3.1 Adicao

Dados A =[ai j]

m×n e B =[bi j]

m×n definimos A+B por,

A+B =[ai j +bi j

]m×n

6 1.3. Operacoes com matrizes

Propriedades 1.1

1. A+B = B+A

2. A+(B+C) = (A+B)+C

3. A+0 = A

1.3.2 Multiplicacao por escalar

Seja A =[ai j]

m×n e k um numero real definimos kA por

kA =[kai j]

m×n

Exemplo 15

−2

2 10

1 −3

=

−4 −20

−2 6

Propriedades 1.2

1. k(A+B) = kA+ kB

2. (k1 + k2)A = k1A+ k2A

3. 0A = 0

4. k1(k2A) = (k1k2)A

1.3.3 Multiplicacao de Matrizes

Sejam A =[ai j]

m×n e B =[bi j]

n×p , definimos A ·B por AB =[ci j]

m×p , onde

ci j =n

∑k=1

aikbk j = ai1b1 j + .....+ainbn j

Observe que o numero de colunas de A deve ser igual ao numero de linhas de B.

Exemplo 162 1

4 2

5 3

3×2

1 −1

0 4

2×2

=

2 ·1+1 ·0 2 · (−1)+1 ·4

4 ·1+2 ·0 4 · (−1)+2 ·4

5 ·1+3 ·0 5 · (−1)+3 ·4

=

2 2

4 4

5 7

1.3. Operacoes com matrizes 7

Se os tamanhos das matrizes sao tais que as operacoes indicadas podem ser efetuadas, entao:

Propriedades 1.3 Multiplicacao de matrizes

1. AI = IA = A

2. A(B+C) = AB+AC

3. (A+B)C = AC+BC

4. (AB)C = A(BC)

5. 0A = A0 = 0

Observacao 3 Note que, em geral AB = BA.

Propriedades 1.4 Matriz transposta

1. (A+B)T = AT +BT

2. (λA)T = λAT , onde λ e um numerto real

3. (AT )T = A

4. (AB)T = BT AT

Exemplo 17 Mostre que se A e uma matriz quadrada entao A+AT e simetrica e A−AT e anti-

simetrica.

1.3.4 Matriz inversa

Dada uma matriz quadrada A =[ai j], se existir uma matriz B que satisfaca AB = BA = I diz-se que

B e a inversa de A e denota-se B por A−1,ou seja, A−1A = AA−1 = I.

Exemplo 18

A =

11 3

7 2

, A−1 =

2 −3

−7 11

.Dizemos que uma matriz A e inversıvel (nao singular) se existe a matriz inversa A−1, caso contrario

dizemos que a matriz A e nao inversıvel (singular).

Propriedades 1.5

8 1.3. Operacoes com matrizes

1. A e nao singular se o determinante de A e diferente de zero. A e singular se determinante de A

e igual a zero.

2. Se A admite inversa (detA = 0) esta e unica.

3. Se A e nao singular, sua inversa A−1 tambem e, isto e, se detA = 0 entao detA−1 = 0. A matriz

inversa de A−1 e A.

4. A matriz identidade I e nao singular (pois det I = 1) e I−1 = I.

5. Se a matriz A e nao singular, sua transposta AT tambem e. A matriz inversa de AT e (A−1)T ,

isto e , (AT )−1 = (A−1)T , dai concluimos que se detA = 0 entao detAT = 0.

6. Se as matrizes A e B sao nao singulares e de mesma ordem, o produto AB e uma matriz nao

singular. Vale a relacao (AB)−1 = B−1A−1.

Exemplo 19 A =

2 3

2 2

=⇒ det

2 3

2 2

= −2⇒ A e nao singular

Exemplo 20 B =

1 10

1 10

⇒ det

1 10

1 10

= 0⇒ B e singular

1.3.5 Matriz ortogonal

Uma matriz M, quadrada, cuja inversa conicide com sua transposta e denominada matriz ortogonal.

Portanto M e ortogonal se M−1 = MT , ou seja,

MMT = MT M = I

Exemplo 21

M =

12

√3

2√3

2−12

,1.3.6 Potencia de uma matriz

Seja A =[ai j]

uma matriz quadrada de ordem n. Definimos as potencias de A por:

1. Define-se A0 = I

2. a matriz Ak = A ·A · ..... ·A︸︷︷︸k vezes

e chamada k-esima potencia de A para k ≥ 1.

1.4. Matriz na forma escada reduzida por linhas 9

3. Se A for invertıvel, define-se A−k = (A−1)k, k ∈ N

Exemplo 22

A =

1 2

4 3

, A2 =

9 8

16 17

, A3 =

41 42

84 83

1.3.7 Traco de uma matriz

Seja A =[ai j]

uma matriz quadrada de ordem n. O traco de A, que denotamos por tr(A), e a soma

dos elementos da diagonal principal, isto e,

tr(A) = a11 +a22 + · · ·+ann =n

∑i=1

aii

1.3.8 Expressoes polinomiais envolvendo matrizes

Se A e uma matriz quadrada, digamos m×m, e se

p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn (1.1)

e um polinomio qualquer, entao definimos

P(A) = a0I +a1A+ · · ·+anAn

onde I e a matriz m×m que resulta quando x e substituıdo por A em (1.1) e a0 e substituıdo por a0I.

Exemplo 23 Seja P(x) = 3x2−2x+5 e A =

1 2

0 −3

, determine P(A).

1.4 Matriz na forma escada reduzida por linhas

Definicao 1.2 Uma matriz m×n e linha reduzida a forma escada, ou escalonada, se:

a) O primeiro elemento nao nulo de uma linha nao nula e 1. Chamamos este numero de lider ou

pivo.

b) Cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de alguma linha tem todos os seus

outros elementos iguais a zero, isto e, o lıder da linha inferior ocorre mais a direita da linha superior.

c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas (isto e, daquelas que possuem pelo

menos um elemento nao nulo).

10 1.4. Matriz na forma escada reduzida por linhas

d) Se as linhas 1, ..., p sao as linhas nao nulas, e se o primeiro elemento nao nulo da linha ı

ocorre na coluna k1, entao k1 < k2 < ..... < kn. Cada coluna que contem um lıder tem zeros nas

demais entradas.

Exemplo 24

1 0 0 0

0 1 −1 0

0 0 1 0

nao e forma escada. Nao vale b).

Exemplo 25

0 2 1

1 0 −3

1 0 0

nao e forma escada. Nao vale a) e b).

Exemplo 26

0 1 −3 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 −1 2

nao e forma escada. Nao vale c).

Exemplo 27

0 1 −3 0 1

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

e forma escada.

1.4.1 Operacoes elementares linha

Sao tres as operacoes elementares sobre as linhas de uma matriz.

1. Permuta da i− esima e j− esima linha (Li↔ L j).

Exemplo 28 1 0

4 −1

−3 4

L2↔ L3

1 0

−3 4

4 −1

2. Multiplicacao da i− esima linha por um escalar nao nulo k (Li→ kLi).

Exemplo 29 1 0

4 −1

−3 4

L2 −→−3L2

1 0

−12 3

−3 4

1.4. Matriz na forma escada reduzida por linhas 11

3. Substituicao da i− esima linha pela i− esima linha mais k vezes a j− esima linha (Li −→

Li + kL j)

Exemplo 30 1 0

4 −1

−3 4

L3 −→ L3 +2L1

1 0

4 −1

−1 4

.Observacao 4 Se A e B sao matrizes m× n, dizemos que B e linha equivalente a A, se B for obtida

de A atraves de um numero finito de operacoes elementares sobre as linhas de A. Notacao A∼ B.

Exemplo 31

1 0

4 −1

−3 4

e linha equivalente a

1 0

0 1

0 0

pois,

1 0

4 −1

−3 4

L2→ L2−4L1

1 0

0 −1

−3 4

L3→ L3 +3L1

1 0

0 −1

0 4

L2→−L2

1 0

0 1

0 4

L3→ L3−4L2

1 0

0 1

0 0

Teorema 1.1 Toda matriz A de ordem m×n e linha equivalente a uma unica matriz linha-reduzida a

forma escada.

Exemplo 32 Dada a matriz

A =

2 1 3

4 5 6

3 1 −2

obtenha uma unica matriz B na forma escada linha equivalente a matriz A.

2 1 3

4 5 6

3 1 −2

L1→12

L1

1 1

232

4 5 6

3 1 −2

L2→ L2−4L1

1 1

232

0 3 0

3 1 −2

L3→ L3−3L1

1 1

232

0 3 0

0 −12 −13

2

L2→13

L2

12 1.5. Posto de uma matriz

1 1

232

0 1 0

0 −12 −13

2

L3→ L3 +12

L2

1 1

232

0 1 0

0 0 −132

L3→−2

13L3

1 1

232

0 1 0

0 0 1

L1→ L1−12

L2

1 0 3

2

0 1 0

0 0 1

L1→ L1−32

L3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Exemplo 33 Dada as matrizes, obtenha uma matriz na forma escada equivalente a cada matriz dada.

a)

1 0 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

−1 0 0 −1

b)

1 0 1 0

0 1 0 1

0 1 0 1

0 1 1 1

c)

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

d)

1 3 −2 0 2 0 0

2 6 −5 −2 4 −3 −1

0 0 5 10 0 15 5

2 6 0 8 4 18 6

1.5 Posto de uma matriz

Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida a forma escada, linha equivalente a matriz

A. O posto de A, denotado por p, e o numero de linhas nao nulas de B e a nulidade de A e n− p, onde

n e o numero de colunas de A e p e o posto de A.

Exemplo 34 Encontrar o posto e a nulidade da matriz: A =

1 2 1 0

−1 0 3 5

1 −2 1 1

A matriz A e linha equivalente a matriz B =

1 0 0 −7

8

0 1 0 −14

0 0 1 118

portanto o posto de A e 3 (o

numero de linhas nao nulas da matriz B) e a nulidade e n− p = 4−3 = 1 (n e o numero de colunas

da matriz A e p e o posto de A)

1.6. Calculo da inversa 13

Exemplo 35 Encontrar o posto e a nulidade da matriz: A =

1 0 14

9

0 1 14

0 0 0

0 0 0

Posto A = 2 e nulidade de A e 3−2 = 1.

Exemplo 36 Encontrar o posto e a nulidade da matriz:

A =

2 1 10

0 1 14

1 2 0

1 3 0

⇒ B =

2 1 10

0 1 14

0 0 −438

0 0 0

Posto de A = 3 e nulidade de A e 0.

1.6 Calculo da inversa

1.6.1 Calculo da inversa por escalonamento

Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A, nao singular, atraves de operacoes elementares

entre as linhas da matriz fazemos o seguinte:

a) Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traco vertical tracejado.

b) Transforma-se por meio de operacoes elementares a matriz A na matriz I, aplicando simultane-

amente a matriz I colocada ao lado da matriz A as mesmas operacoes elementares aplicadas a matriz

A.

Exemplo 37 Calcular a inversa da matriz A =

2 1

4 3

por escalonamento.

2 1 1 0

4 3 0 1

L1→12

L1

1 12

12 0

4 3 0 1

L2→ L2−4L1

1 12

12 0

0 1 −2 1

L1→ L1−12

L2

1 0 32 −1

2

0 1 −2 1

Logo

A−1 =

32 −1

2

−2 1

14 1.7. Determinantes

Exemplo 38 Calcular a inversa da matriz B =

1 2 4

0 2 1

3 1 2

por escalonamento.

Exemplo 39 Calcular a inversa da matriz C =

2 1 0

−3 1 4

1 6 5

por escalonamento.

1.7 Determinantes

Definicao 1.3 Determinante de uma matriz A e um numero real associado a matriz A.

Notacao: detA.

Denotamos tambem o determinante da matriz A,

A =

a11 a12 · · · a1n−1 a1n

a21 a22 · · · a2n−1 a2n...

... . . . ......

an−11 an−12 · · ·. . . an−1n

an1 an2 · · · an−1n ann

por

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n−1 a1n

a21 a22 · · · a2n−1 a2n...

... . . . ......

an−11 an−12 · · ·. . . an−1n

an1 an2 · · · an−1n ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Propriedades 1.6

1. detA = detAT ;

2. det(AB) = detAdetB;

3. Se a matriz A possui uma linha ou coluna nula entao detA = 0;

4. Se a matriz A tem duas linhas ou colunas iguais entao detA = 0;

5. Se na matriz A uma linha (ou coluna) e multipla de outra linha (coluna) entao detA = 0;

1.7. Determinantes 15

6. A partir de det(AB) = detAdetB temos

det(AA−1) = det I⇒ detAdetA−1 = 1⇒ detA =1

detA−1

1.7.1 Calculo do determinante por triangulacao

Para se calcular o determinante de uma matriz A usamos as operacoes elementares linha de modo a

obter uma matriz triangular superior (ou inferior). Assim, temos:

1. Trocando a posicao de duas linhas (colunas) o derminante muda de sinal;

2. Quando se multiplica uma linha (coluna) de uma matriz A por um numero k = 0 o determinante

fica multiplicado por esse mesmo numero;

3. O determinante de uma matriz A nao se altera quando se faz a seguinte operacao entre linha:

Li→ Li + kL j;

4. O determinante de uma matriz triangular superior (ou inferior) e igual ao produto do elementos

da diagonal principal;

Exemplo 40 A =

2 −1 1

2 0 −1

3 −1 0

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 1

2 0 −1

3 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣L2←→ L3 (Quando permutamos as linhas o determinante troca de sinal)

(−1)detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 1

3 −1 0

2 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣L1→ 12 L1 (Quando multiplicamos uma linha por um numero o determinante

fica multiplicado pelo mesmo numero)

12(−1)detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1

212

3 −1 0

2 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L2→ L2 +(−3)L1

L3→ L3−2L1

(Esta operacao nao altera o determinante)

12(−1)detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1

212

0 12

−32

0 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3→ L3−2L2

(Esta operacao nao altera o determinante)

16 1.7. Determinantes

12(−1)detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1

212

0 12

−32

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (O determinante de uma matriz triangular superior e o produto dos elemen-

tos da diagonal principal)

12(−1)detA =

12⇒ detA =−1

Exemplo 41 B =

−3 1 4

6 7 −1

1 −2 3

Exemplo 42 C =

2 1 −1 2

−3 1 4 1

1 6 5 −1

3 2 −3 −4

Exemplo 43 D =

3 3 −2 −1

5 2 1 −2

2 −1 1 −1

−1 4 1 5

1.7.2 Calculo do determinante por difrentes metodos

Regra de Chio:

Se a matriz A e de ordem 2×2 entao: det

a11 a12

a21 a22

= a11a22−a21a12

Exemplo 1.1 det

5 1

2 3

= 5∗3−2∗1 = 13

Regra de Sarrus:

Se A e e de ordem 3×3

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⇒a11 a12 a13 a11

↘ ↘↗ ↘↗

a21 a22 a23 a21

↗ ↘↗ ↘↗

a31 a32 a33 a31

a12

↗

a22

↘

a32

detA = (a11a22a33)+(a12a23a31)+(a13a21a32)− (a31a22a13)− (a32a23a11)− (a33a21a12)

1.8. Primeira lista de exercıcios 17

Desenvolvimento de Laplace:

Para uma matriz de ordem n×n usamos o desenvolvimento de Laplace que e dado pela formula:

detAn×n =n

∑j=1

ai j(−1)i+ j detAi j

onde Ai j e a submatriz obtida a partir da matriz A eliminando-se a i− esima linha e a j− esima coluna

da matriz A. Se chamarmos ∆i j = (−1)i+ j detAi j entao

detAn×n =n

∑j=1

ai j∆i j

Exemplo 44

A =

−1 2 3 −4

4 2 0 0

−1 2 −3 0

2 5 3 1

Vamos calcular o determinante da matriz fazendo o desenvolvimento pela primeira linha (note

que seria mais conveniente desenvolver pela segunda linha, pois ela possui dois elementos nulos).

detA =−1(−1)1+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

2 −3 0

5 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ +2(−1)1+2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0

−1 −3 0

2 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+3(−1)1+3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 2 0

−1 2 0

2 5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ +(−4)(−1)1+4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 2 0

−1 2 −3

2 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣detA = (−1)(1)(−6)+2(−1)(−12)+(3)(1)(10)+(−4)(−1)(78)

detA = 372.

1.8 Primeira lista de exercıcios

Exercıcio 1.1 Verifique se as afirmacoes abaixo sao VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem ver-

dadeiras, demonstre. Se forem falsas, de um contra-exemplo.

1. Se uma matriz quadrada A for ortogonal entao detA =±1.

18 1.8. Primeira lista de exercıcios

2. det(I +A) = 1+detA

3. Se A e uma matriz simetrica entao A+AT tambem e simetrica.

4. Se A e B sao inversıveis entao A+B tambem e.

5. Se A e uma matriz quadrada simetrica e B e uma matriz ortogonal entao a matriz A+B−1

nunca sera simetrica.

6. Se A e uma matriz anti-simetrica de ordem 3, entao detA = 0

7. Se A e nao-inversıvel e AB = 0 entao B = 0

8. Se A e anti-simetrica inversıvel, entao A−1 e anti-simetrica.

9. Se A,B e C sao matrizes n×n inversıveis, entao (ABC)−1 =C−1B−1A−1.

10. Se A=

2 3 −1 0 2

1 1 0 5 −2

1 2 −1 4 3

0 0 1 −3 2

2 3 1 0 1

e D=

1 0 1 −1 4

1 3 1 2 1

−1 1 1 1 1

−1 4 1 2 1

2 1 2 1 2

satisfazem a relacao A−1BA=D

entao detB = 24.

Exercıcio 1.2 Seja A=

2 x2

2x−1 0

Determine o valor de x para que A seja uma matriz simetrica.

Exercıcio 1.3 Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz

simetrica com uma matriz anti-simetrica, ou seja, A = S+N onde S e uma matriz simetrica e N e

uma matriz anti-simetrica. Sugestao: Determine S e N em funcao da matriz A.

Exercıcio 1.4 Suponha que A = 0 e AB=AC onde A,B,C sao matrizes tais que a multiplicacao esteja

definida. Pergunta-se:

1. B =C?

2. Se existir uma matriz Y , tal que YA = I, onde I e a matriz identidade, entao B =C?

Exercıcio 1.5 Mostre que a matriz

M =

cosθ −sinθ 0

sinθ cosθ 0

0 0 1


e uma matriz ortogonal.

Exercıcio 1.6 Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem.

1. PQ e uma matriz ortogonal? Justifique sua resposta.

2. Quais os valores que detQ pode ter?

Exercıcio 1.7 Dada uma matriz A de ordem m×n mostre que a matriz AAT e uma matriz simetrica

de ordem m×m. A matriz AT A e simetrica? Qual sua ordem?

Exercıcio 1.8 Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraneo

e colonial. A quantidade empregada em cada tipo de casa e dada pela matriz

Ferro Madeira Vidro Tinta Ti jolo

Moderno

Mediterraneo

Colonial

5

7

6

20

18

25

16

12

8

7

9

5

17

21

13

1. Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraneo e colonial, respectivamente,

quantas unidades de cada material serao empregadas?

2. Suponha agora que os precos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam respecti-

vamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual o preco unitario de cada tipo de casa?

3. Qual o custo total do material empregado?

Exercıcio 1.9 Calcule o determinante de A onde

1. A =

3 −1 5 0

0 2 0 1

2 0 −1 3

1 1 2 0

,

2. A =

3 0 0 0 0

19 18 0 0 0

−6 π −5 0 0

4√

2√

3 0 0

8 3 5 6 −1

20 1.8. Primeira lista de exercıcios

3. A =

9 1 9 9 9

9 0 9 9 2

4 0 0 5 0

9 0 3 9 0

6 0 0 7 0

Exercıcio 1.10 Mostre que det

1 1 1

a b c

a2 b2 c2

= (a−b)(b− c)(c−a)

Exercıcio 1.11 Encontre A−1, onde

1. A =

4 −1 2 −2

3 −1 0 0

2 3 1 0

0 7 1 1

,

2. A =

1 0 x

1 1 x2

2 2 x2

Exercıcio 1.12 Encontre os valores d k para os quais a matriz

A =

k−3 0 3

0 k+2 0

−5 0 k+5

e nao inversıvel.

Exercıcio 1.13 Existe alguma matriz ”inversıvel”X tal que X2 = 0? Justifique sua resposta.

Exercıcio 1.14 Encontre todos os valores de λ para os quais a matriz A−λ I4 tem inversa, em que

A =

2 0 0 0

2 0 0 0

1 2 1 0

3 2 −1 2

Exercıcio 1.15 Para a matriz A = (ai j)de ordem 2 definida por ai j = i+ j, calcular f (t) = det(A−

tI2) e resolver a equacao do segundo grau f (t) = 0.


Exercıcio 1.16 Para a matriz definida por:

M =

a b

c d

calcular f (t) = det(M− tI2) e resolver a equacao do segundo grau f (t) = 0.

1.8.1 Algumas respostas e sugestoes

1.1 - 1 (V); 2 (F); 3 (V); 4 (F); 5 (V); 6 (F); 7 (V); 8 (V); 9 (V); 10 detB = detD?

1.2 - x = 1

1.3 - Partindo de ai j = si j +ni j e a ji = s ji +n ji iguale si j e s ji (Porque voce pode fazer isso?)

1.4 - Pense: o que significa uma matriz possuir uma inversa?

1.5 - Use a definicao de matriz ortogonal. Evite calcular a inversa de M...

1.6 - Qual a transposta do produto de duas matrizes?

1.8 - a)

Ferro Madeira Vidro Tinta Ti jolo

146 526 260 158 388

b)

Moderno 492

Mediterraneo 528

Colonial 465

c) O custo total sera RS11.736,00

1.9 - a) detA = 12

b) detA = 0

c) detA =−12

1.11 - a) A−1 =

−1 −1 24 −2

−3 −4 12 −6

11 14 −43 22

10 14 −41 21

b) A−1 =

1 −2

x1x

−1 −1x (x−2) 1

x (x−1)

0 2x2 − 1

x2

1.12 - k = 0 ou k =−2

22 1.9. Apendice - Calculo da inversa por adjunta

1.13 - Nao. Mas a justificativa fica por sua conta. Dica: o fato de X ser inversıvel e essencial na

resolucao.

1.14 - λ = 2, λ = 0, λ = 1

1.15 - t = 3±√

10

1.16 - t = a+d±√

(a−d)2−bc2

1.9 Apendice - Calculo da inversa por adjunta

Dada uma matriz , lembramos que o cofator di j do elemento ai j da matriz A e o elemento

(−1)i+ j detAi j, onde Ai j e a submatriz de A obtida extraindo-se a i− esima linha e a j− esima coluna.

Com estes cofatores forma-se uma nova matriz A, denomindada matriz dos cofatores denotada por A.

Portanto

A =[di j]

onde di j = (−1)i+ j detAi j

Exemplo 45

A =

2 1 0

−3 1 4

1 6 5

a11 = 2⇒ d11 = (−1)1+1 det

1 4

6 5

= 1∗ (−19) =−19

a12 = 1⇒ d12 = (−1)1+2 det

−3 4

1 5

=−1∗ (−19) = 19

a13 = 0⇒ d13 = (−1)1+3 det

−3 1

1 6

= 1∗ (−19) =−19

a21 =−3⇒ d21 = (−1)2+1 det

1 0

6 5

=−1∗ (5) =−5

a22 = 1⇒ d22 = (−1)2+2 det

2 0

1 5

= 1∗ (10) = 10

a23 = 4⇒ d23 = (−1)2+3 det

2 1

1 6

=−1∗ (11) =−11

a31 = 1⇒ d31 = (−1)3+1 det

1 0

1 4

= 1∗ (4) = 4

1.9. Apendice - Calculo da inversa por adjunta 23

a32 = 6⇒ d32 = (−1)3+2 det

2 0

−3 4

=−1∗ (8) =−8

a33 = 5⇒ d33 = (−1)3+3 det

2 1

−3 1

= 1∗ (5) = 5

A =

−19 19 −19

−5 10 −11

4 −8 5

Definicao 1.4 Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A a transposta da

matriz dos cofatores de A e denotaremos ad j A. Portanto ad jA = AT.

Teorema 1.2 Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se detA = 0. Neste caso

A−1 =1

detA(ad jA)

Assim, para o exemplo anterior temos:

A−1 =− 119

(AT) =

119

19 5 −4

−19 −10 8

19 11 −5

24 1.9. Apendice - Calculo da inversa por adjunta

Capıtulo 2

SISTEMA DE EQUACOES LINEARES

2.1 Introducao

Uma equacao linear e uma equacao da forma

a1x1 +a2x2 +a3x3 + ......+anxn = b

na qual a1,a2,a3, ....,an sao os respectivos coeficientes das variaveis, x1,x2,x3, ....,xn e b e o termo

independente. Os numeros a1,a2,a3, ....,an e o termo independente b geralmente sao numeros con-

hecidos e as varia veis x1,x2,x3, ....,xn sao as incognitas.

Os valores das variaveis que transformam uma equacao linear em uma identidade, isto e, que

satisfazem a equacao, constituem sua solucao. Esses valores sao denominados raızes das equacoes

lineares.

A um conjunto de equacoes lineares se da o nome de sistema de equacoes lineares e tem a seguinte

representacao:

a11x1 +a12x2 +a13x3 + ......+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + ......+a2nxn = b2...

......

......

...

am1x1 +am2x2 +am3x3 + ......+amnxn = bm

Os valores das variaveis que transformam simultaneamente as equacoes de um sistema de

equacoes lineares em uma identidade, isto e, que satisfazem a equacao constituem sua solucao.

Diz-se que dois sistemas de equacoes lineares sao equivalentes quando admitem a mesma

solucao.

26 2.1. Introducao

Exemplo 46 Os sistemas 2x+3y = 11

−x+ y =−3e

10x−2y = 38

−3x+5y =−7

sao equivalentes pois possuem as mesmas solucoes, x = 4 e y = 1

Consideremos a resolucao de duas equacoes a duas incognitas: a1x+b1y = c1

a2x+b2y = c2

onde x e y sao as incognitas e os a,b e c sao numeros conhecidos. Cada uma destas equacoes repre-

sentam uma reta. Assim, a solucao de um sistema de duas equacoes sera representada pela intersecao

de duas retas. Surgem tres casos possıveis na teoria:

Exemplo 47 2x+ y = 1

x−2y = 3

Exemplo 48 2x− y =−1

2x− y =−2

Exemplo 49 x− y = 1

3x−3y = 3

Assim, quanto as solucoes, tres casos podem ocorrer:

1. O sistema possui uma unica solucao. Neste caso, dizemos que o sistema e compatıvel e deter-

minado

2. O sistema possui infinitas solucoes. Neste caso, dizemos que o sistema e compatıvel e indeter-

minado.

3. O sistema nao possui nenhuma solucao. Neste caso, dizemos que o sistema e incompatıvel.

2.2. Sistemas e matrizes. 27

2.2 Sistemas e matrizes.

Dado um sistema linear na forma,

a11x1 +a12x2 +a13x3 + ......+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + ......+a2nxn = b2...

......

......

...

am1x1 +am2x2 +am3x3 + ......+amnxn = bm

(2.1)

com ai j ∈ℜ, 1≤ i≤m, 1≤ j≤ n, bm ∈ℜ. Tambem podemos representa-lo matricialmente utilizando

as notacoes da teoria de matrizes da seguinte maneira:

se

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

............

...

am1 am2 · · · amn

X =

x1

x2...

xn

B =

b1

b2...

bm

podemos escrever o sistema (2.1) na forma matricial:

AX = B

onde A e a matriz dos coeficientes (ai j), B a matriz coluna dos termos independentes (bm) e X e a

matriz coluna das variaveis (xn).

Ao sistema (2.1) associamos a seguinte matriz:

a11 a12 · · · a1n | b1

a21 a22 · · · a2n | b2...

... · · · ... | ...

am1 am2 · · · amn | bm

que chamamos matriz ampliada do sistema.

Teorema 2.1 Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes sao equivalentes.

28 2.2. Sistemas e matrizes.

Dada a matriz ampliada do sistema de equacoes lineares consideramos a matriz linha reduzida a

forma escada obtida a partir da matriz ampliada do sistema

Teorema 2.2

1. Um sistema de m equacoes e n incognitas admite solucao se, e somente se, o posto da matriz

ampliada e igual ao posto da matriz dos coeficientes.

2. Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p= n (numero de colunas da matriz dos coeficientes,

ou numeros de variaveis) a solucao e unica.

3. Se as duas matrizes tem o mesmo posto e p = n podemos escolher n− p incognitas e as outras

incognitas serao dadas em funcao destas. O numero n− p e chamado grau de liberdade do

sistema.

Observacao 5 Dado um sistema de m equacoes e n incognitas seja Aa a matriz ampliada do sistema

e seja Ae a matriz linha equivalente a matriz Aa onde a matriz dos coeficientes estao na forma escada.

Seja pa o posto da matriz ampliada e pc o posto da matriz dos coeficientes obtidos a partir da matriz

Ae.

• Se pa = pc entao o sistema e incompatıvel ( nao possui solucao)

• Se pa = pc entao o sistema e compatıvel (possui solucao). Seja p = pa = pc, se p = n entao o

sistema e compatıvel e determinado (possui uma unica solucao). Se p < n o sistema e com-

patıvel e indeterminado (possui infinitas solucoes). Sempre que um sistema possuir infini-

tas solucoes deveremos atribuir valores a algumas variaveis e determinar o valor das outras

variaveis em funcao destas. O numero de variaveis as quais deveremos atribuir valor e o grau

de liberdade do sistema, dado pelo numero n− p.

Exemplo 2.1 Classificar e resolver o sistema:

2x1 + x2 +3x3 = 8

4x1 +2x2 +2x3 = 4

2x1 +5x2 +3x3 = −12

(2.2)

Matriz Ampliada

Aa =

2 1 3 | 8

4 2 2 | 4

2 5 3 | −12

2.2. Sistemas e matrizes. 29

Matriz linha equivalente a matriz ampliada, onde a parte da matriz dos coeficientes esta na forma

escada

Ae =

1 0 0 | 2

0 1 0 | −5

0 0 1 | 3

De Ae obtemos: pc = 3, pa = 3 e n = 3.

p = pc = pa = 3⇒ sistema compatıvel

p = n⇒ sistema compatıvel e determinado (possui uma unica solucao)

A matriz Ac e a matriz ampliada do seguinte sistema:x1 = 2

x2 =−5

x3 = 3

Como sistemas equivalentes tem a mesma solucao, a solucao do sistema (2.2) e

x1 = 2,x2 =−5,x3 = 3

Exemplo 2.2 Classificar e resolver o sistema:

4y+2x+6z = −6

−4z−2y+3x = −38

x+3z+2y = −3

Reescrevendo o sistema, obtem-se2x+4y+6z = −6

3x−2y−4z = −38

x+2y+3z = −3

(2.3)

Aa =

2 4 6 | −6

3 −2 −4 | −38

1 2 3 | −3

30 2.2. Sistemas e matrizes.

Ae =

1 0 −1

4 | −212

0 1 138 | 29

8

0 0 0 | 0

Neste caso temos:

n = 3

pa = 2

pc = 2⇒ p = 2

p < n⇒sistema compatıvel e indeterminado (infinitas solucoes)

grau de liberdade = n− p = 1

O sistema (2.3) e equivalente ao sistema

x − 14z = −21

2

y + 138 z = 29

8

Para encontrar uma solucao (note que existem infinitas solucoes) devemos atribuir valor a uma

das variaveis (pois o grau de liberdade e 1) e determinar as outras. Note que fica mais facil se

atribuirmos valor a variavel z : Por exemplo fazendo z = 0, temos que: x = −414

e y = 298

(

Poderıamos atribuir outro valor qualquer a z, e para cada valor de z teremos os valores correspondentes de x

e y, daı temos infinitas solucoes)

Exemplo 2.3 Classificar e resolver o sistema:6x−4y−2z = 3

x+ y+ z = 1

3x−2y− z = 1

Aa =

6 −4 −2 | 3

1 1 1 | 1

3 −2 −1 | 1

Ae =

1 0 1

5 | 710

0 1 45 | 3

10

0 0 0 | −12

Neste caso:

n = 3

2.3. Solucao de um sistema por matriz inversa 31

pc = 2

pa = 3⇒ pa = pc⇒sistema incompatıvel (nao possui solucao)

2.3 Solucao de um sistema por matriz inversa

Usando a notacao matricial para sistemas lineares temos que

CX = B (supondo que existe C−1)

C−1CX = C−1B (observe que estamos multiplicando C−1 pela esquerda)

IX = C−1B

X = C−1B

Logo para se determinar a solucao basta multiplicar a matriz inversa dos coeficientes pela matriz

dos termos independentes (pela esquerda, ja que a multiplicacao de matrizes nao e comutativa). Se a

matriz C nao tem inversa entao ou o sistema nao possui solucao ou possui infinitas solucoes.

Exemplo 50 −2x+3y− z = 1

x−3y+ z = 1

−x+2y− z = 1

C =

−2 3 −1

1 −3 1

−1 2 −1

B =

1

1

1

X =

x

y

z

C−1 =

−1 −1 0

0 −1 −1

1 −1 −3

CX = B → X =C−1B

x

y

z

=

−1 −1 0

0 −1 −1

1 −1 −3

1

1

1

=

−2

−2

−3

O proximo teorema apresenta resultados importantes sobre sistemas lineares e matrizes in-

versıveis.

32 2.4. Segunda lista de exercıcios

Teorema 2.3 Se A uma matriz n×n, entao as seguintes afirmacoes sao equi-valentes:

1. A e inversıvel.

2. AX = 0 so tem a solucao trivial.

3. A e equivalentes por linha a matriz In.

4. AX = B tem exatamente uma solucao para cada matriz Bn×1.

2.4 Segunda lista de exercıcios

Exercıcio 2.1 Resolva o sistema de equacoes, escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e

escrevendo o sistema final do qual se obtera a solucao do sistema original:

2x− y+3z = 11

4x−3y+2z = 0

x+ y+ z = 6

3x+ y+ z = 4

Exercıcio 2.2 Considere o sitema linear

x+ y+3z = 2

x+2y+4z = 3

x+3y+az = b

. Para que valores de a e b o sistema

1. tem uma infinidade de solucoes?

2. tem unica solucao?

3. e impossıvel?

Exercıcio 2.3 Seja

a 0 b

... 2

a a 4... 4

0 a 2... b

a matriz ampliada de um sistema linear. Para quais valores de

a e b o sistema tem

1. unica solucao,

2. nenhuma solucao,

3. uma solucao com duas variaveis livres?

2.4. Segunda lista de exercıcios 33

Exercıcio 2.4 Encontre a relacao entre a,b e c para que o sistema linear

x+2y−3z = a

2x+3y+3z = b

5x+9y−6z = c

seja

possıvel para quaisquer valores de a,b e c.

Exercıcio 2.5 Reduza as matrizes a forma escada atraves de operacoes linhas:

1.

1 −2 3 −1

2 −1 2 3

3 1 2 3

2.

0 2 2

1 1 3

3 −4 2

2 −3 1

Exercıcio 2.6 Determine k para que o sistema admita solucao

−4x+3y = 2

5x−4y = 0

2x− y = k

Exercıcio 2.7 Encontre todas as solucoes do sistemax1 +3x2 +2x3 +3x4−7x5 = 14

2x1 +6x2 + x3−2x4 +5x5 = −2

x1 +3x2− x3 +2x5 = −1

Exercıcio 2.8 Apresente todos os possıveis resultados na discussao de um sistema nao-homogeneo

de 6 equacoes lineares com 4 incognitas.

Exercıcio 2.9 Se A e uma matriz 3×5, quais sao os possıveis valores da nulidade de A? E se A for

4×2?

Exercıcio 2.10 Explique por que a nulidade de uma matriz nunca e negativa.

Exercıcio 2.11 Um sistema homogeneo com 3 equacoes e 4 incognitas sempre tem uma solucao nao-

trivial.

Exercıcio 2.12 Chamamos de sistema homogeneo de n equacoes e m incognitas aquele sistema cujos

termos independentes sao todos nulos.


1. Um sistema homogeneo admite pelo menos uma solucao. Qual e ela?

2. Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeneo2x−5y+2z = 0

x+ y+ z = 0

2x+ kz = 0

tenha uma solucao distinta da solucao trivial.

Exercıcio 2.13 Se detA = 0, entao o sistema homogeneo AX = 0 tem infinitas solucoes? Justifique

sua resposta.

Exercıcio 2.14 Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma:

AX = B

A−1AX = A−1B

X = A−1B

Isto e util quando desejamos resolver varios sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos

coeficientes.

Usando a teoria acima resolva os sistema AX = B onde A =

1 2 −2

2 5 −4

3 7 −5

e

a) B =

1

2

3

, b) B =

−1

3

100

, c) B =

1000

10

100

, d) B =

111

311

511

Exercıcio 2.15 Resolva o sistema matricial D−1X = A onde D = diag(1,2,3,4,5,6)

A =

1 0 0 0 1 1

0 1 2 2 2 2

0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 −1 −1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Exercıcio 2.16 Classifique o sistema e exiba uma solucao, caso ela exista:

2x+4y+6z = −6

3x−2y−4z = −38

x+2y+3z = −3

2.4. Segunda lista de exercıcios 35

Exercıcio 2.17 Uma editora publica um best-seller potencial com tres encadernacoes diferentes:

capa mole, capa dura e encardenacao de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo para

costura e cola conforme mostra a tabela abaixo:

Costura Cola

Capa mole 1 min 2 min

Capa Dura 2 min 4 min

Luxo 3 min 5 minSe o local onde sao feitas as costuras fica disponıvel 6 horas por dia e o local onde se cola, 11

horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locais de trabalho

sejam plenamente utilizados?

Exercıcio 2.18 Num grande acampamento militar ha 150 blindados dos tipos BM3, BM4 e BM5, isto

e, equipados com 3, 4 e 5 canhoes do tipo MX9 respectivamente. O total de canhoes disponıveis e

igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 / 3 dos BM3. Se para o inıcio de uma

manobra militar, cada canhao carrega 12 projeteis, quantos projeteis serao necessarios para o grupo

dos BM4 no inıcio da operacao?

Exercıcio 2.19 a) Em cada parte, use a informacao da tabela para determinar se o sistema AX = B

e possıvel. Se for, determine o numero de variaveis livres da solucao geral. Justifique sua resposta.

(a) (b) (c) (d)

Tamanho de A 3×3 9×5 4×4 3×3

Posto de A 2 4 0 3

Posto de [A |B ] 3 4 0 3

b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogeneo AX = 0, e

possıvel. Indique a quantidade de solucoes para cada caso.


2.1 - x =−1, y = 2, z = 5

2.2 - a) a = 5 e b = 4

b) a = 5 e b = 4

c) a = 5 e b = 4

2.3 - a) a = 0 e b = 2

b) a = 0 e b = 2


c) a qualquer e b = 2

2.4 - a, b e c devem satisfazer a equacao c−b−3a = 0.

2.6 - k =−6

2.7 -

X =

x

y

z

t

w

=

−3y−w+1

y

w+2

3+2w

w

X = y

−3

1

0

0

0

+w

−1

0

1

2

1

+

1

0

2

3

0

2.11 - Analise o posto da matriz ampliada (e dos coeficientes)

2.12 - b) k = 2

2.13 - A resposta esta no Teorema 2.3.

2.14 -

a) X =

1

0

0

b) X =

185

5

98

c) X =

3160

−1990

−910

d) X =

111

89

89

2.15 - X =

1 0 0 0 1 1

0 2 4 4 4 4

0 0 3 3 3 3

0 0 0 4 −4 −4

0 0 0 0 5 0

0 0 0 0 0 6

2.16 - X =

x

y

= 14

1 −41292 −13

2

2.5. Apendice - Regra de Cramer 37

2.17 - Uma solucao possıvel e: 180 livros de capa mole, nenhum de capa dura e 60 de luxo. Mas

esta nao e a unica solucao. Voce consegue exibir outras.

2.18 - Serao necessarios 1920 projeteis para o grupo BM4.

2.5 Apendice - Regra de Cramer

Um outro metodo de resolucao de sistemas lineares de ordem n× n e a Regra de Cramer onde as

solucoes do sistema linear sao calculadas usando o determinante. Justamente por usar o determinante

este metodo torna-se inviavel computacionalmente, mas e bastante pratico em certas questoes teoricas.

a11x1 +a12x2 +a13x3 + ......+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + ......+a2nxn = b2...

......

......

...

an1x1 +an2x2 +an3x3 + ......+annxn = bn

Na forma matricial este sistema e escrito da seguinte maneira:a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

............

...

an1 an2 · · · ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bn

Supondo que detC = 0 e portanto que C tenha inversa C−1 obtemos

CX = B

C−1CX = C−1B (observe que estamos multiplicando C−1 pela esquerda)

IX = C−1B

X = C−1B

usando a relacao

C−1 =1

detC(ad jC)

temos

X =1

detC(ad jC)B

38 2.5. Apendice - Regra de Cramerx1

x2...

xn

=1

detCad j

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

............

...


b1

b2...

bn

x1

x2...

xn

=1

detC

Da11 Da12 · · · Da1n

Da21 Da22 · · · Da2n...

............

...

Dan1 Dan2 · · · Dann

b1

b2...

bn

x1

x2...

xn

=1

detC

b1D11+ b2Da12 + · · ·+ bnDa1n

b1Da21+ b2Da22 + · · ·+ bnDa2n...

............

...

b1Dan1 b2Dan2 · · · bnDann

x1 =1

detC(b1D11 +b2Da12 + · · ·+bnDa1n)

x1 =1

detCdet

b1 a12 · · · a1n

b2 a22 · · · a2n...

............

...

bn an2 · · · ann

→ x1 =

det

b1 a12 · · · a1n

b2 a22 · · · a2n...

............

...

bn an2 · · · ann

det

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

............

...


Analogamente

xi =

det

a11 · · · b1 · · · a1n

a21 · · · b2 · · · a2n... · · · ... · · · ...

an1 · · · bn · · · ann

det

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

............

...


2.5. Apendice - Regra de Cramer 39

i = 2,3, .....,n

Podemos escrever esta relacao na forma

xi =Di

D

onde

Di = det

a11 · · · b1 · · · a1n

a21 · · · b2 · · · a2n... · · · ... · · · ...

an1 · · · bn · · · ann

e

D = det

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

............

...


Usando a Regra de Cramer podemos classificar um sistema n×n:

Se D = 0 entao o sistema possui uma unica solucao (compatıvel e determinado)

Se D = 0 e algum dos Di = 0 entao o sistema e incompatıvel

Se D = 0 e todos os Di = 0, para i = 1, ...,n entao o sistema possui infinitas solucoes. Note que

nao podemos determinar o grau de liberdade pela Regra de Cramer.

Exemplo 51 Resolver o sistema x+ y = 2

10x+10y = 20

D = det

1 1

10 10

= 0,

D1 = det

2 1

20 10

= 0, D2 = det

1 2

10 20

= 0.

Logo o sistema possui infinitas solucoes.

Exemplo 52 Resolver o sistema 2x+ y− z = 0

20x+20y−20z = 1

x+ y− z = 0

40 2.5. Apendice - Regra de Cramer

D = det

2 1 −1

20 20 −20

1 1 −1

= 0, D1 = det

0 1 −1

1 20 −20

0 1 −1

= 0,

D2 = det

2 1 −1

20 0 −20

1 1 −1

=−1, D3 = det

2 1 0

20 20 1

1 1 0

=−1.

Como D2 =−1 e D3 =−1 o sistema e incompatıvel.

Exemplo 53 Resolva o sistema x+ y− z = 0

x− y− z = 1

x+ y+ z = 1

D = det

1 1 −1

1 −1 −1

1 1 1

=−4,

logo o sistema tem uma unica solucao

D1 = det

0 1 −1

1 −1 −1

1 1 1

=−4, D2 = det

1 0 −1

1 1 −1

1 1 1

= 2,

D3 = det

1 1 0

1 −1 1

1 1 1

=−2,

assim, a solucao e

x =D1

D=−4−4

= 1

y =D2

D=

2−4

=−12

z =DD3

=−2−4

=12

Exercıcio 2.20 Usando a Regra de Cramer faca a classificacao de um sistema homogeneo AX = 0

Capıtulo 3

ESPACOS VETORIAIS

3.1 Introducao

Algebra linear e uma parte da Algebra que, por sua vez, e um ramo da Matematica na qual sao

estudados matrizes, espacos vetoriais e transformacoes lineares. Todos esses itens servem para um

estudo detalhado de sistemas lineares de equacoes.

Tanto a algebra Linear como a Geometria Analıtica aplicam-se a varias areas, em especial as

Engenharias. Citamos, a seguir, alguma delas. E claro que neste curso nao conseguiremos aborda-las

todas. Contudo, nosso objetivo no momento e que o estudante tome contato com o que representa o

estado da arte neste contexto.

· Jogos de Estrategia: no jogo de roleta o jogador da seu lance com uma aposta e o cassino

responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino e determinado a partir destes

dois movimentos. Esses sao os ingredientes basicos de uma variedade de jogos que contem elemen-

tos tanto de estrategia quanto de acaso. Os metodos matriciais podem ser usados para desenvolver

estrategias otimizadas para os jogadores.

·Administracao de Florestas: o administrador de uma plantacao de arvores de Natal quer plantar

e cortar as arvores de uma maneira tal que a configuracao da floresta permaneca inalterada de um ano

para outro. O administrador tambem procura maximizar os rendimentos, que dependem de numero

e do tamanho das arvores cortadas. Tecnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o

administrador a escolher uma programacao sustentavel de corte.

·Computacao grafica: uma das aplicacoes mais uteis da computacao grafica e a do simulador

de voo. As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme quantidade de da-

dos necessarios para construir e animar os objetos tridimensionais usados por simuladores de voo

42 3.1. Introducao

para representar um cenario em movimento. Outras aplicacoes mais simples em computacao grafica

sao: vetores e matrizes – sao utilizados em espacos de cores(RGB, HSV, etc), em coordenadas

e transformacoes geometricas em duas e tres dimensoes, em combinacoes convexas e lineares de

pontos( curvas e superfıcies spline), em representacao compacta de sessoes conicas, etc.; coorde-

nadas homogeneas e geometria projetiva – utilizando comumente para representar consistentemente

transformacoes afins e processos de projecao( paralela, perspectiva, modelos de camera virtual):

numeros complexos – em rotacao no plano e tambem em processamento de imagens, incluindo trans-

formadas de co-seno, Fourier, etc.; quaternios – rotacao espaciais e implementacao de cinematica

inversa( resolver problemas de posicionamento de juntas articuladas).

·Redes Eletricas: circuitos eletricos que contenham somente resistencias e geradores de energia

podem se analisados usando sistemas lineares derivados das leias basicas da teoria de circuitos.

·Distribuicao de Temperatura de Equilıbrio: uma tarefa basica da ciencia e da engenharias, que

pode se reduzida a resolver um sistema de equacoes lineares atraves de tecnicas matriciais interativas,

e determinar a distribuicao de temperatura de objetos tais como a do aco saindo da fornalha.

·Cadeias de Markov: os registros meteorologicos de uma localidade especıfica podem ser usados

para estimar a probabilidade de que va chover em um certo dia a partir da informacao de que choveu

ou nao no dia anterior. A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, com muita

antecedencia, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.

·Genetica: os mandatarios do Egito recorriam a casamentos entre irmaos para manter a pureza

da linhagem real. Este costume propagou e acentuou certos tracos geneticos atraves de muitas

geracoes. A teoria das matrizes fornece um referencial matematico para examinar o problema geral

da propagacao de tracos geneticos.

·Crescimento Populacional por Faixa Etaria: a configuracao populacional futura pode ser proje-

tada aplicando algebra matricial as taxas, especificas por faixas etarias, de nascimento e mortalidade

da populacao. A evolucao a longo prazo da populacao depende das caracterısticas matematicas de

uma matriz de projecao que contem os parametros demograficos da populacao.

·Colheita de Populacoes Animais: a colheita sustentada de uma criacao de animais requer o con-

hecimento da demografia da populacao animal. Para maximizar o lucro de uma colheita periodica,

podem ser comparadas diversas estrategias de colheita sustentada utilizando tecnicas matriciais que

descrevem a dinamica do crescimento populacional.

·Criptografia: durante a Segunda Guerra Mundial, os decodificadores norte americanos e

britanicos tiveram exito em quebrar o codigo militar inimigo usando tecnicas matematicas e maquinas

3.1. Introducao 43

sofisticadas (por exemplo, a Enigma). Hoje me dia, o principal impulso para o desenvolvimento de

codigos seguros e dado pelas comunicacoes confidencias entre computadores e em telecomunicacoes.

·Construcao de Curvas e Superfıcies po Pontos Especıficos: em seu trabalho “Principia Mathemat-

ica” ( os princıpios matematicos da Filosofia Natural) I. Newton Abordou o problema da construcao

de uma elipse por cinco pontos dados. Isto ilustraria como encontrar a orbita de um cometa ou de um

planeta atraves da analise de cinco observacoes. Ao inves de utilizarmos o procedimento geometrico

de Newton, podemos utilizar os determinantes para resolver o problema analiticamente.

·Programacao Linear Geometrica: um problema usual tratado na area de programacao linear e

o da determinacao de proporcoes dos ingredientes em uma mistura com o objetivo de minimizar seu

custo quando as proporcoes variam dentro de certos limites. Um tempo enorme do uso de computa-

dores na administracao e na industria e dedicado a problemas de programacao linear.

·O problema na Alocacao de Tarefas: um problema importante na industria e o do deslocamento

de pessoal e de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo. Por exemplo, uma construtora

pode querer escolher rotas para movimentar equipamento pesado de seus depositos para os locais de

construcao de maneira a minimizar a distancia total percorrida.

·Modelos Economicos de Leontief : num sistema economico simplificado, uma mina de carvao,

uma ferrovia e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da producao das outras

para sua manutencao e para suprir outros consumidores de seu produto. Os Modelos de producao

de Leontief podem ser usados para determinar o nıvel de producao necessario as tres industrias para

manter o sistema economico.

·Interpolacao Spline Cubica: as fontes tipograficas PostScript e TrueType usadas em telas de

monitores e por impressoras sao definidas por curvas polinomiais por partes denominadas splines.

Os parametros que os determinam estao armazenados na memoria do computador, um conjunto de

parametros para cada um dos caracteres de uma particular fonte.

·Teoria de Grafos: a classificacao social num grupo de animais e uma relacao que pode ser descrita

e analisada com a teoria de grafos, Esta teoria tambem tem aplicacoes a problemas tao distintos como

a determinacao de rotas de companhias aereas e a analise de padroes de votacao.

·Tomografia Computadorizada: um dos principais avancos no diagnostico medico e o desenvolvi-

mento de metodos nao invasivos para obter imagens de secoes transversais do corpo humano, como

a tomografia computadorizada e a ressonancia magnetica. Os metodos da Algebra Linear podem ser

usados para reconstruir imagens a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.

·Conjuntos Fractais: conjuntos que podem ser repartidos em versoes congruentes proporcional-

44 3.1. Introducao

mente reduzidas do conjunto original sao denominadas fractais. Os fractais sao atualmente aplicados

a compactacao de dados computacionais. Os metodos de Algebra Linear podem ser usados para

construir e classificar fractais

·Teoria do Caos: os pixels que constituem ema imagem matricial podem ser embaralhados repeti-

damente de uma mesma maneira, na tentativa de torna-los aleatorios. Contudo, padroes indesejados

podem continuar aparecendo no processo. A aplicacao matricial que descreve o processo de embar-

alhar ilustra tanto a ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos caoticos.

·Um Modelo de Mınimos Quadrados para a Audicao Humana: o ouvido interno contem uma

estrutura com milhares de receptores sensoriais ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibracoes

do tımpano, respondem a frequencias diferentes de acordo com sua localizacao e produzem impul-

sos eletricos que viajam ate o cerebro atraves do nervo auditivo. Desta maneira, o ouvido interno

age como um processador de sinais que decompoe uma onda sonora complexa em um espectro de

frequencias distintas.

·Deformacoes e Morfismos: voce ja deve ter visto em programas de televisao ou clips musi-

cais imagens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo do tempo, ou a

transformacao de um rosto de mulher no de uma pantera, a previsao de como seria hoje o rosto de

uma crianca desaparecida ha 15 anos atras, etc. Estes processos sao feitos a partir de algumas poucas

fotos. A ideia de continuidade, de evolucao do processo, e feita atraves do computador.Este processo

de deformacao e chamado de morfismo, que se caracteriza por misturas de fotografias reais com fo-

tografias modificadas pelo computador. Tais tecnicas de manipulacao de imagens tem encontrado

aplicacoes na industria medica, cientifica e de entretenimento.

Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro onibus espacial dos

EUA (lancado em 1981) foi uma vitoria da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas

areas da engenharia - aeronautica, quımica , eletrica, hidraulica e mecanica. Os sistemas de controle

de onibus espacial sao absolutamente crıticos para voo. Ele requer um constante monitoramento por

computador durante o voo atmosferico. O sistema de voo envia uma sequencia de comandos para a

superfıcie de controle aerodinamico. Matematicamente , os sinais de entrada e saıda de um sistema

de Engenharia sao funcoes. E importante para as aplicacoes que essas funcoes possam ser somadas

e multiplicadas por escalares. Essas duas operacoes em funcoes tem propriedades algebricas que

sao completamente analogas as operacoes de soma de vetor e multiplicacao de vetor por escalar no

Rn. Por esse motivo, o conjunto de todas as entradas possıveis (funcoes) e chamado de um espaco

vetorial. A fundamentacao matematica para a engenharia de sistemas repousa sobre espacos vetoriais

de funcoes, portanto precisamos estender a teoria de vetores do Rn de modo a incluir tais funcoes.

3.1. Introducao 45

Antes de apresentarmos a sua definicao, analisaremos em paralelo dois objetos: o conjunto for-

mado pelas funcoes f : R→ R, denotado por F(R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem n

com coeficientes reais que denotaremos por Mn(R).

A soma de duas funcoes f e g de F(R) e definida como: ( f +g)(x) = f (x)+g(x).

Note tambem que se α ∈ R podemos multiplicar o escalar α pela funcao f , da seguinte forma:

(α f )(x) = α( f (x)) resultando num elemento de F(R).

Com relacao a Mn (R) podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A+B = (ai j +bi j)nxn

que e um elemento de Mn (R).

Com relacao a multiplicacao do escalar α pela matriz A ∈ R, αA = (αai j)nxn o qual tambem

∈Mn(R).

O que estes dois exemplos acima, com a adicao de seus elementos e multiplicacao de seus ele-

mentos por escalares, tem em comum?

Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos numeros reais que, com relacao a quaisquer

funcoes f , g e h em F(R) e para α, β ∈ R, sao validos os seguintes resultados:

1. f +g = g+ f

2. f +(g+h) = ( f +g)+h

3. Se g representa a funcao nula entao f +g = f

4. f +(− f ) = 0

5. (α +β ) f = α f +β f

6. α(β f ) = (αβ ) f

7. α( f +g) = α f +αg

8. 1 f = f

Agora, com relacao a quaisquer matrizes A,B, e C em Mn e para todo α, β ∈ R, tambem sao

validos os seguintes resultados:

1. A+B = B+A

2. A+(B+C) = (A+B)+C

3. Se 0 representa a matriz nula entao A+0 = A

46 3.1. Introducao

4. A+(−A) = 0

5. (α +β )A = αA+βA

6. α(βA) = (αβ )A

7. α(A+B) = αA+αB

8. 1A = A

Observamos que o conjunto das funcoes bem como o das matrizes, quando munidos de soma e

multiplicacao por escalar, apresentam propriedades algebricas comuns. Existem muitos outros ex-

emplos de conjuntos que apresentam as mesmas propriedades acima. Para nao estudarmos separada-

mente cada conjunto, estudaremos um conjunto generico e nao vazio, V , sobre o qual supomos estar

definidas as operacoes de adicao e multiplicacao por escalar.

Definicao 3.1 Um espaco vetorial V e um conjunto, cujos elementos sao chamados vetores, no qual

estao definidas duas operacoes: a adicao, que a cada par de vetores, u e v ∈V faz corresponder um

novo vetor denotado por u+ v ∈ V , chamado a soma de u e v, e a multiplicacao por um numero real,

que a cada α ∈R e a cada vetor v ∈V faz corresponder um vetor denotado por αv, chamado produto

de α por v. Estas operacoes devem satisfazer, para quaisquer α,β ∈ R e u, ve w ∈ V as seguintes

propriedades:

Propriedades 3.1

1. Comutatividade: u+ v = v+u

2. Associatividade: (u+ v)+w = u+(v+w)

3. Vetor nulo: existe um vetor nulo 0 ∈ V tal que v+0 = v para todo v ∈V

4. Inverso aditivo: Para cada v ∈V existe −v ∈V tal que −v+ v = 0

5. Distributividade: (α +β )v = αv+βv

6. (αβ )v = α(βv)

7. α(u+ v) = αu+αv

8. Multiplicacao por 1: 1.u = u

3.1. Introducao 47

Exemplo 54 Para todo numero natural n, o sımbolo Rn representa o espaco vetorial euclid-

iano n-dimensional. Os elementos de Rn sao as listas ordenadas (chamadas n-uplas) u =

(x1,x2,x3,.......,xn),v = (y1,y2,y3, ......yn) de numeros reais. Por definicao a igualdade vetorial u = v

significa as n igualdades numericas

x1 = y1,x2 = y2, .....xn = yn.

Em Rn definimos as operacoes:

u+ v = (x1 + y1,x2 + y2,....xn + yn)

e

αu = (αx1,αx2, .....αxn)

Verifica-se sem dificuldades, que estas definicoes fazem do Rn um E. V. (verifique).

Exemplo 55 O conjunto dos polinomios em x, de grau menor ou igual a n e definido por :

Pn ={

p(x) = ao +a1x+ .....+an−1xn−1 +anxn � ao,a1, ....,an−1,an ∈ R}

com as operacoes de adicao de polinomios e multiplicacao de um polinomio por um escalar e um

espaco vetorial. Note que cada elemento de Pn e uma funcao p : R→ R

Exemplo 56 O conjunto das matrizes definido por

M(m,n) ={[

ai j]

m×n � ai j ∈ R, i = 1, ..,m e j = 1, ..,n}

com a soma usual de matrizes e multiplicacao usual de um escalar por uma matriz e um espaco

vetorial.

No caso particular das matrizes quadradas de ordem n denotaremos M(n,n) por Mn.

Exemplo 57 Seja o conjunto R2 = {(x,y)� x,y ∈ R} com as operacoes assim definidas:

(x1,y1)+(x2,y2) = (x1 + x2,y1 + y2)

α(x,y) = (αx,y)

48 3.1. Introducao

O conjunto R2 com estas operacoes nao e um espaco vetorial.

Vamos mostrar que falha a propriedade 5) do E.V.

(α +β )u = (α +β )(x1,y1) = ((α +β )x1,y1) = (αx1 +βx1,y1)

αu+βu = α(x1,y1)+β (x1,y1) = (αx1,y1)+(βx1,y1) = (αx1 +βx1,2y1)

⇒ (α +β )u = αu+βu

Exemplo 58 Verifique se V = M2 com as operacoes:

(i) Soma:

a1 b1

c1 d1

+

a2 b2

c2 d2

=

a1 +a2 b1 +b2

c1 + c2 d1 +d2

(ii) Multiplicacao por escalar: α

a1 b1

c1 d1

=

a1 αb1

αc1 d1

e um espaco vetorial.

Como a adicao e a usual, entao todas as propriedades da adicao serao satisfeitas. Se alguma

propriedade falhar, sera na multiplicacao por escalar, pois esta nao e a usual.

Sejam A =

a b

c d

e B =

m n

o p

.

Vamos mostrar que falha a propriedade: (α +β )A = αA+βA

(i) (α +β )A = (α +β )

a b

c d

=

a αb+βb

αc+βc d

(ii) αA+βA = α

a b

c d

+β

a b

c d

=

a αb

αc d

+

a βb

βc d

=

2a αb+βb

αc+βc 2d

Por (i) e (ii) concluımos que (α + β )A = αA+ βA. Logo V = M2 com as operacoes definidas

acima nao e um espaco vetorial.

Exemplo 59 No conjunto V = {(x,y)/x,y ∈ R} definamos ”adicao”assim: (x1,y1)+(x2,y2) = (x1+

x2,0) e multiplicacao por escalares como no R2, ou seja, para cada a ∈R, a(x,y) = (ax,ay). Nessas

condicoes V e um espaco vetorial? Porque?

Exemplo 60 Seja V o conjunto dos pares ordenados de numeros reais. Definamos: (x1,y1) +

(x2,y2) = (2x1− 2y1,−x1 + y1) e a(x1,y1) = (3ay1,−ax1), com essas operacoes definidas sobre V ,

este conjunto e um espaco vetorial sobre R?

3.2. Subespacos 49

3.2 Subespacos

Definicao 3.2 Seja V um espaco vetorial. Dizemos que W ⊂V e um subespaco vetorial de V se forem

satisfeitas as seguintes condicoes:

1. se u , v ∈W entao u+ v ∈W

2. se u ∈W entao αu ∈W para todo α ∈ R.

Podemos fazer tres observacoes:

• As condicoes da definicao garantem que ao operarmos em W (soma e multiplicacao por escalar)

nao obteremos um vetor fora de W. Isto e suficiente para afirmar que W e ele proprio um E.V.

• Qualquer subespaco W de V precisa conter o vetor nulo.

• Todo espaco vetorial admite pelo menos dois subespacos: o conjunto formado pelo vetor nulo

e o proprio E.V.

Exemplo 61 Seja V = R5 e W = {0,x2,x3,x4,x5} , W e um subespaco vetorial?

Verifiquemos as condicoes de subespaco: seja u= (0,x2,x3,x4,x5)∈W e v= (0,y2,y3,y4,y5)∈W

1. u+ v = (0,x2 + y2,x3 + y3,x4 + y4,x5 + y5) ∈W

2. αu = α(0,x2,x3,x4,x5) = (0,αx2,αx3,αx4,αx5) ∈W

logo W e um subespaco vetorial.

Exemplo 62 Seja S = {(x,y,z) ∈ R3�x+ y+ z = 0}, S e um subespaco de R3?

Dados u = (x1,y1,z1) ∈ S e v = (x2,y2,z2) ∈ S

1. u+ v = (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2)

Como u = (x1,y1,z1) ∈ S⇒ x1+y1+ z1 = 0. Analogamente x2+y2+ z2 = 0, e podemos concluir

que (x1 + x2)+(y1 + y2)+(z1 + z2) = 0⇒ u+ v ∈ S

2. αu=α(x1,y1,z1) = (αx1,αy1,αz1) para todo α⇒αx1+αy1+αz1 =α(x1+y1+z1) =α0=

0 e dai αu ∈ S

Portanto, S e um subespaco vetorial de R3.

50 3.2. Subespacos

Exemplo 63 V = Mn e W e o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W e subespaco de

V , pois a soma das matrizes triangulares superiores ainda e uma matriz triangular superior, assim

como o produto de uma matriz triangular por um escalar (Verifique).

Teorema 3.1 Se Ax = b e um sistema linear homogeneo de m equacoes em n incognitas, entao o

conjunto dos vetores-solucao e um subespaco de Rn.

Considere o sistema homogeneo AX = 0, onde A e uma matriz m× n e X e uma matriz coluna

n× 1.Se X1 e X2 sao duas solucoes do sistema AX = 0 entao tem-se AX1 = 0 e AX2 = 0. Mas

A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = 0+ 0 = 0, logo X1 +X2 e uma solucao do sistema AX = 0. Tambem,

A(kX1) = kAX1 = k0 = 0, portanto kX1 e uma solucao do sistema AX = 0.

Como o conjuntos das matrizes Xn×1 e uma espaco vetorial temos que o subconjunto de todas as

matrizes de ordem n× 1 que sao solucoes do sistema AX = 0 e um subespaco vetorial do espaco

vetorial formado por todas as matrizes de ordem n×1.

Exemplo 64 Considere os sistemas lineares

1.

1 −2 3

2 −4 6

3 −6 9

x

y

z

=

0

0

0

2.

1 −2 3

−3 7 −8

−2 4 −6

x

y

z

=

0

0

0

3.

1 −2 3

−3 7 −8

4 1 2

x

y

z

=

0

0

0

4.

0 0 0

0 0 0

0 0 0

x

y

z

=

0

0

0

Determine os subespacos do R3 gerado pelas solucoes de cada um destes sistemas de tres

incognitas.

Exemplo 65 Seja V =R2 e W = {(x,x2)∈R2�x ∈R}. Se escolhermos u = (1,1) e v = (2,4)∈W,

temos: u+ v = (3,5) /∈W, portanto W nao e subespaco vetorial de R2.

3.2. Subespacos 51

Exemplo 66 Seja V = R2 e W = {(x,y) ∈ R2�y = 2x}, W e subespaco vetorial de R2, pois temos:

1. Para u = (x1,2x1) e v = (x2,2x2)∈W tem-se u+v = (x1+x2,2(x1+x2))∈W, pois a segunda

componente de u+ v e igual ao dobro da primeira.

2. αu = α(x1,2x1) = (αx1,2(αx1)) ∈W, pois a segunda componente de αu e igual ao dobro da

primeira.

Exemplo 67 Considere o espaco vetorial M2 e a matriz B =

0 −1

1 0

∈ M2.Seja W =

{A ∈M2�AB = BA}. Verifique se W e um espaco vetorial de M2.

1a Solucao: Sejam A1,A2 petencente a M2.

(A1 +A2)B = A1B+A2B = BA1 +BA2 = B(A1 +A2)⇒ (A1 +A2) ∈M2

(kA1)B = k (A1B) = k (BA1) = B(kA1)⇒ (kA1) ∈M2

Logo W e um subespaco vetorial de W.

2a Solucao: Tomando A =

a b

c d

∈W, sabe-se que a matriz A deve satisfazer a relacao AB =

BA.Portanto a b

c d

0 −1

1 0

=

0 −1

1 0

a b

c d

b −a

d −c

=

−c −d

a b

b = −c

−a = −d⇒ a = d

a = d

−c = b⇒ b =−c

Logo A =

a b

−b a

⇒W =

a b

−b a

∈M2�a,b ∈ R

Sejam u =

a b

−b a

e v =

x y

−y x

u+ v =

a b

−b a

+ x y

−y x

=

a+ x b+ y

−b− y a+ x

=

a+ x b+ y

−(b+ y) a+ x

∈W

ku = k

a b

−b a

=

ka kb

−kb ka

∈W

52 3.3. Interseccao de dois Subespacos Vetoriais

Como u+ v ∈W e ku ∈W ⇒W e um subespaco vetorial de M2

Exemplo 68 Verifique se W ={

p(x) ∈ P3 : p′′(2)+ p

′(1) = 0

}e um sub-espaco vetorial de V = P3.

Sejam p(x),q(x) ∈W ⇒ p′′(2)+ p

′(1) = 0 e q

′′(2)+q

′(1) = 0

Assim (p+q)(x) = p(x)+q(x) e tal que

(p+q)′′(2)+(p+q)

′(1) = p

′′(2)+q

′′(2)+ p

′(1)+q

′(1)

= p′′(2)+ p

′(1)+q

′′(2)+q

′(1)

= 0+0 = 0

e entao (p+q)(x) ∈W.

Da mesma forma, (α p)(x) = α p(x) e tal que

(α p)′′(2)+(α p)

′(1) = α p

′′(2)+α p

′(1) = α

(p′′(2)+ p

′(1))= α.0 = 0

e entao (α p)(x) ∈W.

Portanto W e subespaco vetorial de P3.

Exemplo 69 Seja W o conjunto de todas as matrizes 2×2 da forma

a a+1

0 b

. W e um subespaco

de M22?

Exemplo 70 Seja W o conjunto de todas as matrizes 2×2 com determinante 0. W e um subespaco

de M22?

3.3 Interseccao de dois Subespacos Vetoriais

Definicao 3.3 Dados W1 e W2 subespacos de um espaco vetorial V , a interseccao W1 ∩W2 ainda e

um subespaco de V .

Exemplo 71 V = R3. Seja W1 = {(x,y,z) ∈ R3/ y = 0} e W2 = {(x,y,z) ∈ R3/ x = 0}. W1∩W2 e a

reta de interseccao dos planos W1 e W2, ou seja W1∩W2 = {(x,y,z) ∈ R3/x = 0 e y = 0}

Exemplo 72 V =R3. Seja W1 = {(x,y,z)∈R3/ x+y+z = 0} e W2 = {(x,y,z)∈R3/ x+y−z = 0}.

Para encontrarmos a interseccao dos dois subespacos devemos resolver o sistema x+ y+ z = 0

x+ y− z = 0

3.3. Interseccao de dois Subespacos Vetoriais 53

A solucao desse sistema e z = 0, y =−x. Portanto W1∩W2 = {(x,y,z) ∈ R3 : z = 0 e y =−x}

Exemplo 73 V = P3. Seja W1 = {p ∈ P3 : p′(1) = 0} e W2 = {p ∈ P3 : p′′(1) = 0}

Como p ∈ P3 entao p = a+ bx+ cx2 + dx3, com a,b,c,d ∈ R. Se p ∈W1 entao p′(1) = 0⇒

b+2c+3d = 0. Se p ∈W2 entao p′′(1) = 0⇒ 2c+6d = 0. Para que p pertenca a W1∩W2 devemos

resolver o sistema b+2c+3d = 0

2c+6d = 0

assim, c =−3d e b = 3d.

Portanto W1∩W2 = {p ∈ P3 : p = a+3dx−3dx2 +dx3}

Exemplo 74 V = M(n,n),W1 = {matrizes triangulares superiores}; W2 = {matrizes triangulares in-

feriores}. Entao W1∩W2 = {matrizes diagonais}.

Exemplo 75 Seja V = M2 =

a b

c d

e

W1 =

a b

0 0

,a,b ∈ R

W2 =

a 0

c 0

,a,c ∈ R

W =W1∩W2 e um subespaco de V , pois

W =

a 0

0 0

,a ∈ R

Exemplo 76 Sejam W1 e W2 dados por: W1 = {(x,y)∈R2 : x+y= 0} e W2 = {(x,y)∈R2 : x−y= 0}

sera que W1∪W2 e um subespaco vetorial de V ?

Nao. Basta considerar V = R2,

u = (1,1) ∈W2

v = (1,−1) ∈W1

mas u+ v = (1,1)+(1,−1) = (2,0) /∈W1∪W2 (represente graficamente esta soma de vetores)

54 3.4. Combinacao Linear

3.4 Combinacao Linear

Definicao 3.4 Seja V um espaco vetorial real, v1,v2, ......,vn ∈V e a1,a2,.........an ∈ R. Entao, o vetor

v = a1v1 +a2v2 + .....+anvn

e um elemento de V ao que chamamos de combinacao linear de v1,v2, ......,vn.

Exemplo 77 Em R2 o vetor v= (10,16) e uma combinacao linear dos vetores v1 = (1,2) e v2 = (3,4)

pois v = 4v1 +2v2.

Exemplo 78 Verifique se o vetor v = (3,2,1) pode ser escrito como uma combinacao linear dos

vetores v1 = (1,1,1),v2 = (1,−1,1),v3 = (1,1,−1).

Devemos verificar se existem numeros a,b,c tais que v = av1 +bv2 + cv3, ou seja,

(3,2,1) = a(1,1,1)+b(1,−1,1)+ c(1,1,−1).

devemos entao resolver o sistema 1 1 1

1 −1 1

1 1 −1

a

b

c

=

3

2

1

Mas esse sistema tem uma unica solucao a = 3

2 , b = 12 e c = 1. Portanto v pode realmente ser escrito

como combinacao de v1,v2 e v3, da forma v = 32v1 +

12v2 + v3.

Exemplo 79 No espaco vetorial P2 o polinomio p = 7x2 + 11x− 26 e combinacao linear dos

polinomios: q1 = 5x2−3x+2 e q2 =−2x2 +5x−8, de fato p = 3q1 +4q2 (confira).

Exemplo 80 Verifique que em P2 o polinomio p(x)= 1+x2 e uma combinacao dos polinomios q(x)=

1, r(x) = 1+ x e s(x) = 1+ x+ x2.

Precisamos encontrar numeros reais, a1,a2 e a3 tais que:

p(x) = a1q(x)+a2r(x)+a3s(x)

Ou seja, precisamos encontrar a1,a2 e a3 satisfazendo:

1+ x2 = a1 +a2(1+ x)+a3(1+ x+ x2)

1.1+0x+1.x2 = (a1 +a2 +a3) +(a2 +a3)x+a3x3

3.5. Dependencia e Independencia Linear 55

que e equivalente ao sistema:a1 +a2 +a3 = 1

a2 +a3 = 0

a3 = 1

⇔ a1 = 1;a2 =−1 e a3 = 1.

Exemplo 81 Consideremos , no R3, os seguintes vetores: v1 = (1,−3,2) e v2 = (2,4,−1). Escreva

o vetor v = (−4,−18,7) como combinacao linear dos vetores v1 e v2.

Temos:

v = a1v1 +a2v2

(−4,−18,7) = a1(1,−3,2)+a2(2,4,−1) = (1a1,−3a1,2a1)+(2a2,4a2,−1a2) =

= (a1 +2a2,−3a1 +4a2,2a1−a2) que e equivalente ao sistema:

a1 +2a2 =−4

−3a1 +4a2 =−18

2a1−a2 = 7

⇔ a1 = 2, a2 =−3.

Portanto, v = 2v1−3v2. Agora mostre que o vetor v = (4,3,−6) nao e combinacao linear dos vetores

v1 = (1,−3,2) e v2 = (2,4,−1).

3.5 Dependencia e Independencia Linear

Definicao 3.5 Seja V um espaco vetorial e v1,v2, ......,vn ∈ V. Dizemos que o conjunto

{v1,v2, ......,vn} e linearmente independente (LI), se a equacao:

a1v1 +a2v2 + ....+anvn = 0

implica que a1 = a2 = ...= an = 0.

No caso, em que exista algum ai = 0 dizemos que {v1,v2, ......,vn} e linearmente dependente

(LD).

Para determinarmos se um conjunto e L.I. ou L.D. devemos fazer a combinacao linear do conjunto

de vetores e igualar esta combinacao linear ao vetor nulo do espaco. Portanto e muito importante ter

conhecimento do vetor nulo do espaco em que estamos trabalhando.

Exemplo 82 Considere o espaco vetorial R3 e os conjunto de vetores: α =

56 3.5. Dependencia e Independencia Linear

{(1,2,3) ,(1,1,1),(1,0,0)} e β = {(1,2,3) ,(1,1,1),(3,5,7)}. Os conjuntos α e β sao L.I

ou L.D?

Fazendo a combinacao linear de α

a(1,2,3)+b(1,1,1)+ c(1,0,0) = (0,0,0)

temos o sistema homogeneo:

a+b+ c = 0

2a+b = 0

3a+b = 0cuja unica solucao e a = b = c = 0. Portanto o conjunto α e L.I

Fazendo a combinacao linear de β

a(1,2,3)+b(1,1,1)+ c(3,5,7) = (0,0,0)

temos o sistema homogeneo:

a+b+3c = 0

2a+b+5c = 0

3a+b+7c = 0que possui infinitas solucoes (grau de liberdade 1). Portanto alem da solucao nula (que todo sis-

tema homogeneo tem) este sistema possui outras solucoes diferentes da solucao nula, logo o conjunto

β e L.D.

Teorema 3.2 O conjunto {v1,v2, ......,vn} e LD se, e somente se, um dos vetores do conjunto for uma

combinacao linear dos outros.

Exemplo 83 a) Seja V = R3. Sejam v1,v2 ∈ V. O conjunto {v1,v2} e LD se, e somente se, v1 e v2

estiverem na mesma reta que passa pela origem (um vetor e multiplo do outro), v1 = λv2.

b) Em V = R2, e1 = (1,0) e e2 = (0,1) sao LI, pois:

a1e1 +a2e2 = 0 =⇒ a1(1,0)+a2(0,1) = (0,0) =⇒ (a1,a2) = (0,0)

logo a1 = 0 e a2 = 0 portanto, e1e e2 sao LI.

Exemplo 84 No EV M2 o conjunto: A =

−1 2

−3 1

, 2 −3

3 0

, 3 −4

3 1

e LD?

Examinemos a equacao: a1v1 +a2v2 +a3v3 = 0

a1

−1 2

−3 1

+a2

2 −3

3 0

+a3

3 −4

3 1

=

0 0

0 0

3.6. Subespacos Gerados 57

cuja solucao e a1 =−a3 e a2 =−2a3. .Como existem solucoes ai = 0, o conjunto e LD.

Propriedades 3.2 Seja V um espaco vetorial

1. Se A = {v} ⊂V e v =−→0 , entao A e LI.

2. Se um conjunto A⊂V contem o vetor nulo, entao A e LD

3. Se um conjunto A⊂V e LI, qualquer parte A1 de A tambem e LI.

3.6 Subespacos Gerados

Definicao 3.6 Seja V um espaco vetorial. Consideramos um subconjunto A = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂

V,A = ∅.O conjunto W de todos os vetores de V que sao combinacoes lineares dos vetores de A

e um subespaco de V. Simbolicamente, o subespaco W e:

W = {v ∈V � v = a1v1 +a2v2 + . . .+anvn}

O subespaco W diz-se gerado pelos vetores v1,v2, . . . ,vn, ou gerado pelo conjunto A, e representa-se

por:

W = [v1,v2, . . . ,vn] ou W = G(A)

Os vetores v1,v2, . . . ,vn sao chamados geradores do subespaco W, enquanto A e o conjunto gerador

de W.

Para o caso particular de A =∅, define-se [∅] = {−→0 }

A⊂ G(A), ou seja, { v1,v2, . . . ,vn} ⊂ [v1,v2, . . . ,vn]

Todo conjunto A ⊂ V gera um subespaco vetorial de V , podendo ocorrer G(A) = V . Nesse caso,

A e um conjunto gerador de V.

Exemplo 85 Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) geram o espaco vetorial R2, pois, qualquer (x,y)∈R2

e combinacao linear de i e j :

(x,y) = xi+ y j = x(1,0)+ y(0,1) = (x,0)+(0,y) = (x,y)

Entao: [i, j] = R2.

Exemplo 86 Seja V = R3. Determinar o subespaco gerado pelo vetor v1 = (1,2,3).

58 3.6. Subespacos Gerados

Temos:

[v1] = {(x,y,z) ∈ R3/(x,y,z) = a(1,2,3),a ∈ R}

Da igualdade: (x,y,z) = a(1,2,3) vem: x = a; y = 2a; z = 3a donde: y = 2x e z = 3x, logo,

[v1] = {(x,y,z) ∈ R3/y = 2x e z = 3x} ou [v1] = {(x,2x,3x);x ∈ R}.

Exemplo 87 Encontre o subespaco vetorial de P3 gerado por U = {1, t, t2,1+ t3}

Note que t3 = (t3 +1)−1. Assim, dado p(t) = ao +a1t +a2t2 +a3t3 ∈ P3 podemos escrever

p(t) = (a0−a3)+a1t +a2t2 +a3(t3 +1) ∈U

Ou seja, qualquer vetor (polinomio) de P3 pode ser escrito como uma combinacao linear dos vetores

do conjunto U. Logo P3 = [U ].

Exemplo 88 Encontre o subespaco vetorial gerado de M2 gerado por

G =

1 −1

0 1

,

2 1

3 4

Temos que A =

x y

z t

∈ [G] se e somente se existirem a e b ∈ R tais que

A =

x y

z t

= a

1 −1

0 1

+b

2 1

3 4

Daı, tem-se o sistema:

a+2b = x

−a+b = y

3b = z

a+4b = t

que e possıvel se: z = x+ y e t = 5x+2y3

Logo [G] =

x y

x+ y 5x+2y3

: x,y ∈ R

.

3.6. Subespacos Gerados 59

Exemplo 89 Encontre um conjunto de geradores para W = {X ∈M(4,1)� AX = 0} onde

A =

1 1 −1 0

2 0 1 1

3 1 0 1

0 −2 3 1

Seja

X =

a

b

c

d

∈W ⇐⇒

1 1 −1 0

2 0 1 1

3 1 0 1

0 −2 3 1

a

b

c

d

=

0

0

0

0

⇔,

1 1 −1 0

0 −2 3 1

0 0 0 0

0 0 0 0

a

b

c

d

=

0

0

0

0

⇔

1 1 −1 0

0 1 −3/2 −1/2

0 0 0 0

0 0 0 0

a

b

c

d

=

0

0

0

0

⇔ a = −c

2 −d2

b = 3c2 + d

2

,

isto e,

X =

−c2 −

d2

3c2 + d

2

c

d

= c

−1232

1

0

+d

−1212

0

1

portanto, W =

−1232

1

0

,

−1212

0

1

.

60 3.7. Soma de Subespacos

3.7 Soma de Subespacos

Definicao 3.7 Sejam W1 e W2 dois subespacos vetoriais de V. Entao o conjunto

W1 +W2 = {v ∈V�v = w1 +w2,w1 ∈W1 e w2 ∈W2}

e um subespaco de V.

Exemplo 90 W1 =

a b

0 0

e W2 =

0 0

c d

,onde a,b,c,d ∈ R. Entao W1 +W2 = a b

c d

= M2.

Exemplo 91 Sejam os subespacos vetoriais

W1 = {(a,b,0);a,b ∈ R} e W2 = {(0,0,c),c ∈ R}

do espaco vetorial R3. A soma W1 +W2 = {(a,b,c);a,b,c ∈R} e subespaco vetorial, que nesse caso

e o proprio R3.

Proposicao 3.1 Quando W1 ∩W2 = {−→0 }, entao W1 +W2 e chamado soma direta de W1 com W2, e

denotado por W1⊕W2.

Observacao 6 Usando os geradores podemos obter uma caracterizacao da soma de dois subespacos:

Sejam U e W subespacos de V, se U = [u1, . . . ,un] e W = [w1, . . . ,wm] entao U + W =

[u1, . . . ,un,w1, . . . ,wm]

Exemplo 92 Verifique que R3 e a soma direta de

W1 = {(x,y,z) ∈ R3;x+ y+ z = 0} e W2 = {(x,y,z) ∈ R3;x = y = 0}.

Note que W2 e de fato um subespaco vetorial de R3 (Verifique)

Dado v ∈W1, v = (x,y,−x− y) e u ∈W2, u = (0,0,z)

u+ v = (x,y,−x− y+ z) = R3

vamos mostrar que W1∩W2 ={−→

0}

. Seja (x,y,z) ∈W1∩W2 temos:

−x− y+ z = 0

x = 0

y = 0

⇐⇒ (x,y,z) = (0,0,0)

3.8. Base e Dimensao de um Espaco Vetorial 61

Exemplo 93 Encontre os geradores do subespaco U +W onde

U ={(x,y,z) ∈ R3�x+ y+ z = 0

}, e

W ={(x,y,z) ∈ R3�x+ y = 0 e x− z = 0

}Se u ∈U ⇒ u = (x,y,−x− y) = x(1,0,−1)+ y(0,1,−1) logo U = [(1,0,−1),(0,1,−1)]

Se v ∈W ⇒ v = (x,−x,x) = x(1,−1,1) logo W = [(1,−1,1)]

Usando a teoria acima explicada temos que

U +W = [(1,0,−1),(0,1,−1),(1,−1,1)]

3.8 Base e Dimensao de um Espaco Vetorial

3.8.1 Base

Um conjunto β = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂V e uma base do espaco vetorial se:

1. β e LI

2. β gera V

Exemplo 94 β = {(1,1),(−1,0)} e base de R2. De fato:

1. β e LI pois a(1,1)+b(−1,0) = (0,0) =⇒ a = b = 0

2. β gera R2, pois para todo (x,y) ∈ R2, tem-se :

(x,y) = y(1,1)+(y− x)(−1,0)

Realmente, a igualdade (x,y) = a(1,1)+b(−1,0) =⇒ a = y e b = y− x.

Exemplo 95 O conjunto {(0,1),(0,2)} nao e base de R2 pois e um conjunto LD. Se

(0,0) = a(0,1)+b(0,2)

temos a = −2b. Assim para cada valor de b conseguimos um valor para a, ou seja, temos infinitas

solucoes.

Exemplo 96 Seja V = R3 entao α = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} e uma base do R3 (verifique!).

62 3.8. Base e Dimensao de um Espaco Vetorial

Exemplo 97 O conjunto β = {1,x,x2, . . . ,xn} e uma base do espaco vetorial Pn. De fato:

ao +a1x+a2x2 + . . .+anxn = 0

ao +a1x+a2x2 + . . .+anxn = 0+0x+0x2 + . . .+0xn

=⇒ a0 = a1 = . . .= an = 0

portanto, β e LI.

β gera o espaco vetorial Pn, pois qualquer polinomio p ∈ Pn pode ser escrito assim:

p = ao +a1x+a2x2 + . . .+anxn

que e uma combinacao linear de 1,x,x2, . . . ,xn.

Logo, β e uma base de Pn.Essa e a base canonica de Pn e tem n+1 vetores.

Exemplo 98 Encontre uma base para U +W onde U ={(x,y,z) ∈ R3�x+ y+ z = 0

}e W ={

(x,y,z) ∈ R3�x+ y = 0 e x− z = 0}

.

Seja U = [(1,0,−1),(0,1,−1)] e W = [(1,−1,1)] ( Ja vimos este exemplo.)

U +W = [(1,0,−1),(0,1,−1),(1,−1,1)].

Ja temos um conjunto que gera a soma, se este conjunto for L.I. entaele sera uma base.

a(1,0,−1)+b(0,1,−1)+ c(1,−1,1) = (0,0,0)1 0 1

0 1 −1

−1 −1 1

a

b

c

=

0

0

0

A =

1 0 1

0 1 −1

−1 −1 1

⇒ A−1 =

0 −1 −1

1 2 1

1 1 1

a

b

c

=

0 −1 −1

1 2 1

1 1 1

0

0

0

=

0

0

0

logo o conjunto e L.I e portanto. β = {(1,0,−1),(0,1,−1),(1,−1,1)} e uma base de U +W.


Exemplo 99 Encontre uma base para U +W onde U ={(x,y,z) ∈ R3�x− y+ z = 0 e x− y = 0

}e

W ={(x,y,z) ∈ R3�x+ y− z = 0 e x− z = 0

}.

Se v = (x,y,z) ∈U ⇒

x− y+ z = 0

x− y = 0⇒ v = (x,x,0) = x(1,1,0), portanto U = [(1,1,0)] .

Se u = (x,y,z) ∈W ⇒

x+ y− z = 0

x− z = 0⇒ u = (x,0,x) = x(1,0,1),portanto W = [(1,0,1)]

Assim U +W = [(1,1,0,),(1,0,1)] . Como o conjunto β = {(1,1,0,),(1,0,1)} e L.I entao ele e

uma base para U +W.

Exemplo 100 Dados: U = {A ∈ M2(R);A = At} e W =

1 1

0 1

em M2 encontre uma base

para U,W,U ∩W,W +U.

Para U : A =

a b

c d

⇔ c = b portanto, A ∈U se existirem a1,a2,a3 ∈ R tais que

A = a1

1 0

0 0

+a2

0 1

1 0

+a3

0 0

0 1

pode-se verificar facilmente que as matrizes

1 0

0 0

,

0 1

1 0

,

0 0

0 1

sao L.I e portanto, como geram U, formam uma base de U.

Para W: Como a matriz 1 1

0 1

gera W, ela serve para base de W.

Para U ∩W : A ∈U ∩W ⇔ A = At e existe α ∈ R tal que

A =

α α

0 α

,

isto e, se e somente se existir α ∈ R tal que α α

0 α

=

α 0

α α


que e satisfeita quando α = 0, ou seja, A = 0. Desse modo U ∩W = {0}.

Uma base para U ∩W e β = ϕ . Veja a observacao a seguir para elucidar esse fato.

Observacao 7 : Seja V um espaco vetorial e−→0 ∈V o vetor nulo de V. Como o conjunto β =

{−→0}

e LD (mostre isto) temos que este conjunto nao pode ser uma base do conjunto N ={−→

0}. Este e

um caso patologico e para que nao seja contrariada a definicao de base tomamos β = ϕ (conjunto

vazio) como sendo base para o espaco N ={−→

0}

.

Para U +W : Como U ∩W = {0} temos U +W e soma direta e, portanto, uma base e: 1 0

0 0

,

0 1

1 0

,

0 0

0 1

,

1 1

0 1

Proposicao 3.2 Todo conjunto LI de um espaco vetorial V e base do subespaco por ele gerado.

Exemplo 101 O conjunto β = {(1,2,1),(−1,−3,0)} ⊂ R3 e LI e gera o subespaco W = {(x,y,z) ∈

R3/3x− y− z = 0}. Entao, β e base de W, pois β e LI e gera W.

Teorema 3.3 Sejam v1,v2, . . . ,vn, vetores nao nulos que geram um espaco vetorial V . Entao, dentre

estes vetores podemos extrair uma base de V .

Proposicao 3.3 Seja um E.V V gerado por um conjunto finito de vetores v1,v2, . . . ,vn. Entao qual-

quer conjunto com mais de n vetores e necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no

maximo n vetores).

Exemplo 102 Sejam U e W subespacos de V = M2 tal que

U =

a b

c d

∈M2 : b+ c = 0

e W =

0 −1

1 0

,

−1 0

0 −1

,

1 −1

0 1

.a. Determine uma base para U ∩W

Inicialmente, encontremos o subespaco gerado W:

Seja A ∈W ⇒ A =

a b

c d

= α

0 −1

1 0

+β

−1 0

0 −1

+ γ

1 −1

0 1

A matriz ampliada desse sistema e:

0 −1 1 a

−1 0 −1 b

1 0 0 c

0 −1 1 d

, eliminacao Gaussiana:

−1 0 −1 b

0 −1 1 a

0 0 −1 b+ c

0 0 0 d−a


O sistema so e possıvel se d− a = 0, daı observamos que o subespaco gerado W e dado por

W =

a b

c d

∈M2 : a = d

E portanto obtemos U ∩W =

a −c

c a

;a,c ∈ R

. Uma base para U ∩W e β =1 0

0 1

,

0 −1

1 0

. Note que as matrizes geram U ∩W e sao LI, pois nao sao multiplas uma

da outra.

b. Encontre uma base para U +W.

Obtemos os geradores de U +W unindo os geradores de U e W. Vamos obter os geradores de U :

Seja A ∈U ⇒ A =

a b

−b d

= a

1 0

0 0

+b

0 1

−1 0

+d

0 0

0 1

U =

1 0

0 0

,

0 1

−1 0

,

0 0

0 1

U +W =

1 0

0 0

,

0 1

−1 0

,

0 0

0 1

,

0 −1

1 0

,

−1 0

0 −1

,

1 −1

0 1

Uma base para U +W deve ter no maximo 4 matrizes, entao ja sabemos que este conjunto e LD

e que temos que eliminar no mınimo 2 matrizes para este conjunto se tornar LI. Vejamos quantas e

quais matrizes serao eliminadas:

a

1 0

0 0

+b

0 1

−1 0

+c

0 0

0 1

+d

0 −1

1 0

+e

−1 0

0 −1

+f

1 −1

0 1

=

0 0

0 0

1 0 0 0 −1 1

0 1 0 −1 0 −1

0 −1 0 1 0 0

0 0 1 0 −1 1

,eliminacao Gaussiana:

1 0 0 0 −1 1

0 1 0 −1 0 −1

0 0 1 0 −1 1

0 0 0 0 0 −1

a

b

c

d

e

f

=

0

0

0

0

⇒

a− e− f = 0

b−d− f = 0

c− e+ f = 0

f = 0

⇒

a = c = e

b = d

f = 0

Veja que nao podemos excluir a ultima matriz e que existe uma relacao entre a 1a, 3a e 5a, entao

devemos excluir uma dentre estas tres; e ainda a 2a esta relacionada com a 4a, entao temos que


excluir uma das duas. Excluindo a 1a e a 2a tem-se que

β =

0 0

0 1

,

0 −1

1 0

,

−1 0

0 −1

,

1 −1

0 1

e uma base para U +W.

3.8.2 Dimensao

Seja V um Espaco Vetorial.

Se V possui uma base com n vetores, entao V tem dimensao n e denota-se dimV = n.

Se V nao possui uma base, ou seja, a base e β = ϕ entao dimV = 0.

Se V possui uma base com infinitos vetores, entao dimV e infinita e anota-se dimV = ∞.

Exemplo 103 dimR2 = 2 pois toda base de R2 tem 2 vetores

Exemplo 104 dimM(2,2) = 4

Exemplo 105 dimM(m,n) = m.n

Exemplo 106 dimPn = n+1

Proposicao 3.4 Seja V um E. V. tal que dimV = n

Se W e um subespaco de V entao dimW ≤ n. No caso de dimW = n , tem-se W = V . Para

permitir uma interpretacao geometrica, consideremos o espaco tridimensional R3(dimR3 = 3).

A dimensao de qualquer subespaco W do R3 so podera ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os

seguintes casos:

1. dimW = 0, entao W = {0} e a origem;

2. dimW = 1, entao W e uma reta que passa pela origem;

3. dimW = 2, entao W e um plano que passa pela origem;

4. dimW = 3 entao W = R3.

Proposicao 3.5 Seja V um E. V de dimensao n. Entao, qualquer subconjunto de V com mais de n

vetores e Linearmente Dependente (LD).

Proposicao 3.6 Sabemos que o conjunto β e base de um espaco vetorial se β for LI e gera V . No

entanto, se soubermos que dimV = n , para obtermos uma base de V basta que apenas uma das

condicoes de base esteja satisfeita.


Exemplo 107 O conjunto β = {(2,1),(−1,3)} e uma base do R2. De fato, como dimR2 = 2 e os

dois vetores dados sao LI (pois nenhum vetor e multiplo escalar do outro), eles formam uma base do

R2.

Exemplo 108 Seja W ={

p(x) ∈ P3 : p′′(2)+ p

′(1) = 0

}um subespaco vetorial de P3. Encontre

uma base e a dimensao de W.

Vamos entao encontrar uma base, comecemos pelos geradores de W.

Se p(x) = ax3 + bx2 + cx + d ∈ W temos que p′′(2) + p

′(1) = 0.Entao como p

′(1) = 3a+2b+ c

p′′(2) = 12a+2bobtem-se de p

′′(2)+ p

′(1) = 0 que c =−15a−4b.

Portanto p(x) ∈W e da forma p(x) = a(x3−15x)+b(x2−4x)+d.

Logo W =[x3−15x,x2−4x,1

]. Como esse conjunto e LI (facil de verificar), temos que uma base

de W e

α = {x3−15x,x2−4x,1} e dimW = 3.

3.8.3 Dimensao da Soma de Subespacos Vetoriais

Proposicao 3.7 Seja V um espaco vetorial de dimensao finita. Se U e W sao subespacos vetoriais

de V entao

dim(U +W ) = dimU +dimW −dim(U ∩W ).

No exemplo (100) de base, para encontrar a base de U +W podemos usar esta proposicao:

dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ) = 3+ 1− 0 = 4 = dimM2 , portanto, U +W = M2

e uma base pode ser dada por: 1 0

0 0

,

0 1

0 0

,

0 0

1 0

,

1 1

0 1

3.8.4 Coordenadas

Seja V um espaco vetorial gerado e β uma base de V formada pelos vetores u1,u2, . . . ,un.

v ∈V sendo v = x1u1 + x2u2 + . . .+ xnun

Os coeficientes x1,x2, . . . ,xn sao chamados componentes ou coordenadas de v em relacao a base


β e se representa por:

[v]β =

x1

x2

:

xn

Exemplo 109 No R2 consideremos as bases α = {(1,0),(0,1)},β = {(2,0),(1,3)} e γ =

{(1,−3),(2,4)}. Dado o vetor v = (8,6) tem-se:

(8,6) = 8(1,0)+6(0,1)

(8,6) = 3(2,0)+2(1,3)

(8,6) = 2(1,−3)+3(2,4)

temos: [v]α =

8

6

, [v]β =

3

2

e [v]γ =

2

3

.

Exemplo 110 Mostre que os vetores (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1) formam uma base de R3. Encontre

as coordenadas de (1,2,0) ∈ R3 com relacao a base β formada pelos vetores acima.

Ja sabemos que dimR3 = 3.Entao verificamos se os vetores acima sao LI. Os vetores sao LI se

a1v1 +a2v2 +a3v3 = 0⇔ a1 = a2 = a3 = 0. Isto e equivalente ao sistema:a1 = 0

a1 +a2 = 0

a1 +a2 +a3 = 0

cuja solucao e a1 = a2 = a3 = 0 , portanto, os vetores v1,v2 e v3 sao LI.

(1,2,0) = a(1,1,1)+b(0,1,1)+ c(0,0,1) = (a,a+b,a+b+ c)

que e equivalente ao sistema:a = 1

a+b = 2

a+b+ c = 0

⇔ a = 1,b = 1 e c =−2.

Desse modo, as coordenadas de (1,2,0) em relacao a base β e dado por [v]β =

1

1

−2

3.9. Mudanca de Base 69

Exemplo 111 Determinar as coordenadas do vetor u = (2,1,4) do R3 em relacao as bases:

1. Canonica

2. {(1,1,1),(1,0,1),(1,0,−1)}

Exemplo 112 Determinar as coordenadas da matriz

1 −1

2 0

de M2 em relacao a base 1 0

0 1

,

0 1

0 0

,

0 0

2 0

,

0 0

1 2

3.9 Mudanca de Base

Muitos problemas aplicados podem ser simplificados mudando-se de um sistema de coordenadas para

outro. Mudar sistemas de coordenadas em um espaco vetorial e, essencialmente, a mesma coisa que

mudar de base. Por exemplo, num problema em que um corpo se move no plano xy, cuja trajetoria

e uma elipse de equacao x2 + xy+ y2− 3 = 0 (ver figura), a descricao do moviemnto torna-se muito

simplificada se ao inves de trabalharmos com os eixos x e y utilizarmos um referencial que se apoia

nos eixos principais da elipse. Neste novo referencial, a equacao da trajetoria sera mais simples:

3u2 +2v2 = 6.

Figura 3.1: Mudanca de Base - (3.9)

Nesta secao, vamos discutir o problema de mudar de um sistema de coordenadas para outro.

Definicao 3.8 Sejam β = {u1,...,un} e β ′ = {w1,.....,wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaco

vetorial V . Dado um vetor v ∈V , podemos escreve-lo como:

v = x1u1 + ....+ xnun (3.1)

v = y1w1 + ....+ ynwn

Como podemos relacionar as coordenadas de v em relacao a base β .

[v]β =

x1

x2

:

xn

70 3.9. Mudanca de Base

com as coordenadas do mesmo vetor v em relacao a base β ′

[v]β ;′ =

y1

y2

:

yn

.

Ja que {u1, . . . ,un} e base de V, podemos escrever os vetores wi como combinacao linear dos u j, isto

e:

w1 = a11u1 +a21u2 + ....+an1un

w2 = a12u1 +a22u2 + ....+an2un

:

wn = a1nu1 +a2nu2 + ....+annun

(3.2)

Substituindo em (3.1) temos: v = y1w1 + ...+ ynwn = y1(a11u1 + a21u2 + ....+ an1un) + ...+

yn(a1nu1 +a2nu2 + ....+annun) = (a11y1 + ...+a1nyn)u1 + .....+(an1y1 + ...+annyn)un

Mas v = x1u1 + ....+ xnun, e como as coordenadas em relacao a uma base sao unicas, temos:

x1 = a11y1 +a12y2 + ...+a1nyn

x2 = a21y1 +a22y2 + ...+a2nyn

: : :

xn = an1y1 +an2y2 + ...+annyn

Em forma matricial x1

:

xn

=

a11 : a1n

: : :

an1 an2 ann

y1

:

yn

Logo ,se usarmos a notacao

[I]β′

β =

a11 : a1n

: : :

an1 an2 ann

temos a relacao

[v]β = [I]β′

β [v]β ′

3.9. Mudanca de Base 71

A matriz [I]β′

β e chamada matriz mudanca de base β ′ para a base β .

Compare [I]β′

β com (3.2) e observe que esta matriz e obtida, colocando as coordenadas em relacao

a β de wi na i-esima coluna. Note que uma vez obtida [I]β′

β podemos encontrar as coordenadas de

qualquer vetor v em relacao a base β , multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base β ′

(supostamente conhecida).

Exemplo 113 Sejam β = {(2,−1),(3,4)} e β ′ = {(1,0),(0,1)} bases de R2. Procuremos inicial-

mente [I]β′

β

w1 = (1,0) = a11(2,−1)+a21(3,4) = (2a11 +3a21,−a11 +4a21)

Isto implica que a11 =411 e a21 =

111

w2 = (0,1) = a12(2,−1)+a22(3,4)

Resolvendo, a12 =−311 e a22 =

211

Portanto, [I]β′

β =

411

−311

111

211

Podemos usar esta matriz para encontrar por exemplo, [v]β para v = (5,−8)

[(5,−8)]β = [I]β′

β [(5,−8)]β ′ =

411

−311

111

211

5

−8

=

4

−1

Isto e, (5,−8) = 4(2,−1)−1(3,4)

Exemplo 114 Considere as bases em R3 β = {(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e β´ =

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Encontre[I]β′

β .

Seja:

(1,0,0) = a11(1,0,1)+a21(1,1,1)+a31(1,1,2)

(0,1,0) = a12(1,0,1)+a22(1,1,1)+a32(1,1,2)⇔

(0,0,1) = a13(1,0,1)+a23(1,1,1)+a33(1,1,2)

(a11 +a21 +a31,a21 +a31,a11 +a21 +2a31) = (1,0,0)

(a12 +a22 +a32,a22 +a32,a12 +a22 +2a32) = (0,1,0)

(a13 +a23 +a33,a23 +a33,a13 +a23 +2a33) = (0,0,1)

Note que cada linha acima representa um sistema de tres equacoes com tres incognitas e que a

matriz associada a cada um destes sistemas e a mesma e o que muda sao os nomes das variaveis e o

segundo membro. Utilizando como variaveis x,y e z , basta resolvermos o seguinte sistema:

72 3.10. A Inversa da Matriz de Mudanca de Base

1 1 1

0 1 1

1 1 2

x

y

z

=

a

b

c

onde a,b,c ∈ R. O sistema acima e equivalente a

1 1 1

0 1 1

0 0 1

x

y

z

=

a

b

c−a

cuja solucao e dada por x = a−b, y = a+b− c e z = c−a

Tomando (a,b,c) = (1,0,0),obtemos (a11,a21,a31) = (1,1,−1)

Tomando (a,b,c) = (0,1,0),obtemos (a12,a22,a32) = (−1,1,0)

Tomando (a,b,c) = (0,0,1),obtemos (a13,a23,a33) = (0,−1,1). Desta forma obtemos:

[I]β′

β =

1 −1 0

1 1 −1

−1 0 1

3.10 A Inversa da Matriz de Mudanca de Base

Se em (3.1 )comecarmos escrevendo os ui em funcao dos w j, chegaremos a relacao:

[v]β ′ = [I]ββ ′ [v]β

Um fato importante e que as matrizes [I]β′

β e [I]ββ ′ sao inversıveis e

([I]β

′

β

)−1= [I]ββ ′

Exemplo 115 No exemplo (113 ) anterior podemos obter [I]β′

β a partir de [I]ββ ′

Note que [I]ββ ′ e facil de ser calculada , pois β ′ e a base canonica

(2,−1) = 2(1,0)−1(0,1)

(3,4) = 3(1,0)+4(0,1)⇒ [I]ββ ′ =

2 3

−1 4

3.10. A Inversa da Matriz de Mudanca de Base 73

Entao

[I]β′

β =

2 3

−1 4

−1

=

411

−311

111

211

Exemplo 116 Seja V = P3 e α =

{2,x,x2 +1,x3− x

}e β =

{3,x+1,x2,−3x3} bases de P3.

a. Encontre [I]αβ .

Escrevendo os elementos da base α como combinacao dos elementos da base β .

2 = a.3+b(x+1)+ cx2 +d(−3x3)

x = e.3+ f(x+1)+gx2 +h(−3x3)

x2 +1 = i.3+ j(x+1)+ lx2 +m(−3x3)

x3− x = n.3+o(x+1)+px2 +q(−3x3)

Rearranjando os termos a direita de cada igualdade, temos:

2 = (3a+b)+bx+ cx2 +−3dx3

x = (3e+ f)+ fx+gx2 +−3hx3

x2 +1 = (3i+ j)+ jx+ lx2 +−3mx3

x3− x = (3n+o)+ox+px2 +−3qx3

Daı, comparando ambos os lados das igualdades, obtem-se

[I]αβ =

23 −1

313

13

0 1 0 −1

0 0 1 0

0 0 0 −13

b. Encontre [p]α sabendo que [p]β =

1

2

−1

4

.

Devemos usar a relacao [p]α = [I]βα [p]β onde [I]βα =([I]αβ)−1

=

32

12 −1

2 0

0 1 0 −3

0 0 1 0

0 0 0 −3

[p]α =

32

12 −1

2 0

0 1 0 −3

0 0 1 0

0 0 0 −3

1

2

−1

4

=

3

−10

−1

−12

74 3.11. Terceira lista de exercıcios

3.11 Terceira lista de exercıcios

Exercıcio 3.1 Verifique se R2 com as operacoes definidas por:

i. (x,y)+(s, t) = (s,y+ t), onde u = (x,y) e v = (s, t) pertencem a R2

ii. α(x,y) = (αx,y), onde α ∈ R e u = (x,y) ∈ R2.


Exercıcio 3.2 Moste que R2 com as operacoes definidas por:

i. (x,y)+(s, t) = (x+ s,y+ t), onde u = (x,y) e v = (s, t) pertencem a R2

ii. α(x,y) = (αx,αy), onde α ∈ R e u = (x,y) e v = (s, t) pertencem a R2.


Exercıcio 3.3 Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W e um subespaco do espaco

vetorial V .

a) V = R3 e W = {(x,y,z) ∈ R3 : 2x+3y− z = 0}

b) V = R3 e W = {(x1,x2,x3) ∈ R3 : x1 + x2 = 1}

c) V = Pn e W = {p ∈ Pn : p(0) = p(1)}

d) V = M(2,2) e S = {X ∈M2 �det(X) = 0} (S e o conjunto das matrizes singulares)

e) V = M(n,n) e F = {X ∈Mn �AX = XA} (F e o conjunto das matrizes que comutam com a

matriz A)

f) V = P3 e W e o conjunto dos polinomios de grau≤ 3 que passam pelo ponto P(0,0).

g) V = P1 e W ={

p(x) ∈ P1 :∫ 1

0 p(x)dx = 0}

h) V = R3 e W =

(x,y,z) ∈ R3 : det

x y z

1 2 1

0 1 1

= 0

i) V = M2×2 e W =

{A ∈M2×2 : A2 = A

}Exercıcio 3.4 Verifique se o conjunto W = {(1,2,3),(1,3,1),(0,3,1),(1,4,5)} ⊂ R3 e L.I ou L.D.

Exercıcio 3.5 Dado o conjunto W = {(1,1,3),(1,2,1),(0,1,3),(1,4,5)} ⊂ R3, extrair um subcon-

junto de vetores L.I.

Exercıcio 3.6 a) Se o conjunto β = {v1,v2, ...,vn} e um conjunto Linearmente Independente entao o

o conjunto α ={

v1,−→0 ,v2, ...,vn

}e LI ou LD? Justifique sua resposta.

b) Considere o subespaco N ={−→

0}

. Qual e a base e a dimensao de N.

3.11. Terceira lista de exercıcios 75

Exercıcio 3.7 a) Verifique se o conjunto S = {A ∈ M(3,3); A e uma matriz anti-simetrica} e um

subespaco vetorial de M(3,3).

b) Considere o subconjunto de M2, dado por W =

a b

c d

∈M2 � b = a e d =−a

. Veri-

fique se o subconjunto W e um espaco vetorial.

Exercıcio 3.8 Considere o subespaco de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1,0,0), v2 = (0,0,1,1),

v3 = (−2,2,1,1) e v4 = (1,0,0,0).

a) O vetor (2,−3,2,2) ∈ [v1,v2,v3,v4]? Justifique.

b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]. Qual e a dimensao deste espaco?

c) [v1,v2,v3,v4] = R4? Por que?

Exercıcio 3.9 Considere o espaco vetorial P3 e o conjunto W = {p(x) ∈ P3; p′′(1) = 0}.

a) Verifique se W e um subespaco vetorial de P3.

b) Obtenha os geradores de W.

Exercıcio 3.10 a) Encontre as coordenadas do vetor p = 1 + t + t2 + t3 emrelacao base α ={2,1+ t, t + t2, t2 + t3} de P3.

b) O conjunto β ={

2, t2, t + t2} e LI ou LD? Justifique sua resposta.

Exercıcio 3.11 Qual o subespaco gerado pelas matrizes

1 1

1 0

,

0 0

1 1

e

0 2

0 −1

?

Exercıcio 3.12 De um exemplo de um subespaco vetorial de P3 com dimensao 2.

Exercıcio 3.13 Mostre com um exemplo que a uniao de dois subespacos vetoriais de um mesmo

espaco vetorial nao precisa ser um subespaco vetorial desse espaco.

Exercıcio 3.14 Responda se os subconjuntos abaixo sao subespacos de M(2,2).

a) V =

a b

c d

com a,b,c,d ∈ R e b = c e a =−b

b) V =

a b

c d

com a,b,c,d ∈ R e b = d

Em caso afirmativo, determine:

i) uma base para W1∩W2

ii) W1 +W2 e soma direta?

iii) W1 +W2 = M(2,2)?


Exercıcio 3.15 Considere os subespacos de R5, W1 = {(x,y,z, t,w)�x+ z+w = 0,x+w = 0} ,

W2 = {(x,y,z, t,w)�y+ z+ t = 0} e W3 = {(x,y,z, t,w)�2x+ t +2w = 0}.

a) Determine uma base para o subespaco W1∩W2∩W3.

b) Determine uma base e a dimensao de W1 +W3.

c) W1 +W2 e soma direta? Justifique.

d) W1 +W2 = R5?

Exercıcio 3.16 Considere os seguintes subespacos de P3:

U ={

p ∈ P3 : p′′(1) = 0

}e W =

{p ∈ P3 : p

′(1) = 0

}Determine dim(U +W ) e dim(U ∩W ).

Exercıcio 3.17 Considere o subespaco W de P3 que e gerado pelos polinomios p1(x) = 1+2x+ x2,

p2(x) =−1+2x2 +3x3 e p3(x) =−1+4x+8x2 +9x3 e o subespaco de P3, U = {p ∈ P3 : p(0) = 0}

a) Determine uma base e a dimensao de W.

b) Determine uma base para U ∩W.

c) Determine uma base para U +W.

Exercıcio 3.18 Sejam U = [(1,0,0),(1,1,1)] e V = [(0,1,0),(0,0,1)] subespacos gerados do R3.

Determine:

a) uma base e a dimensao de U ∩W.

b) U +W = R3?

Exercıcio 3.19 Considere o seguinte subespaco de M(2,2)

S =

a b

c d

∈M(2,2) : a+b = c+d = 0

a) Determine uma base e indique a dimensao de S.

b) Construa uma base de M(2,2) que contenha a base de S obtida no ıtem a).

Exercıcio 3.20 Determine a dimensao e encontre uma base do espaco-solucao do sistemax−3y+ z = 0

2x−6y+2z = 0

3x−9y+3z = 0


Exercıcio 3.21 Sejam U e W subespacos de R4 de dimensao 2 e 3, respectivamente. Mostre que a

dimensao de U ∩W e pelo menos 1. O que ocorre se a dimensao de U ∩W for 2 ? Pode ser 3?

Justifique sua resposta.

Exercıcio 3.22 O conjunto A = {(1,0,2),(a2,a,0),(1,0,a)} e uma base para um subespaco do R3

de dimensao 2, se e somente se, a = 2.

Exercıcio 3.23 Seja S = {X ∈M3×1 : AX = 0} o espaco solucao do sistema

x+ y+az = 0

x+ay+ z = 0

ax+ y+ z = 0

. De-

termine os valores de a para os quais S seja: a propria origem; uma reta que passa pela origem; e,

um plano que passa pela origem.

Exercıcio 3.24 Sejam β = {(1,0),(0,1)}, β1 = {(−1,1),(1,1)}, β2 = {√

3,1),(√

3,−1)} e β3 =

{(2,0),(0,2)} bases ordenadas de R2.

a) Encontre a matriz mudanca de base:

i. [I]β1β ii. [I]ββ1

iii. [I]ββ2iv. [I]ββ3

b) Quais sao as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relacao a base

i. β ii. β1 iii. β2 iv. β3

c) As coordenadas de um vetor u em relacao a base β1 sao dadas por [u]β1=

4

0

. Quais as

coordenadas do vetor u em relacao a base: i. β ii. β2 iii. β3

Exercıcio 3.25 Sejam P4 ={

p = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 +a4x4�a0,a1,a2,a3,a4 ∈ R},α ={

1,x,x2,x3,x4} e β ={

2,2x,4x2,8x3,16x4}.

a) Determine [I]αβ .

b) Se [p]α =

1

2

3

4

5

, determinar [p]β .

c) Determine o polinomio p cujas coordenadas sao dadas no item b) acima.

Exercıcio 3.26 Considere o seguinte subespaco de M2 : W =

a b

c d

�d = 0

. Sejam


α =

1 1

1 0

, 1 −1

1 0

, 1 1

−11 0

β =

1 0

1 0

, 1 1

0 0

, 1 0

0 0

a) Detemine [I]αβ .

b) Se [v]β =

π

e

0

, determine [v]α .

Exercıcio 3.27 Sejam α e β bases de R3. Determine a base β sabendo que α =

{(1,−1,0),(0,1,0),(0,0,−1)} e a matriz mudanca de base de α para β e

[I]αβ =

1 0 0

0 2 1

−1 1 1

Exercıcio 3.28 Seja α =

1 1

0 0

,

0 1

1 0

,

2 1

−2 0

uma base para um subespaco de M2×2

e [I]αβ =

1 0 −1

1 1 −1

2 −1 2

onde β e tambem uma base para um subespaco de M2×2

a) Determine a base β .

b) Se [v]β =

1

−2

1

, determine [v]α .

Exercıcio 3.29 Seja E um espaco vetorial qualquer e α = {u1,u2,u3} uma base de E. Considere

ainda os vetores v1 = u1 +u2, v2 = 2u1 +u2−u3 e v3 =−u2.

a) Determine a matriz S de mudanca da base β = {v1,v2,v3} para a base α = {u1,u2,u3}.

b) Calcule as coordenadas do vetor w = v1 + v2− v3 na base {u1,u2,u3}.

Exercıcio 3.30 Sejam α e β bases de um espaco vetorial V .

a) Mostre que det([I]αβ [I]βα

)= 1.

b) Determine [I]αα .


Exercıcio 3.31 Verifique se as afirmacoes abaixo sao VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem ver-

dadeiras, demonstre. Se forem falsas, de um contra-exemplo.

a) A intersecao de dois subespacos vetoriais nunca e vazia.

b) A matriz

−1 2

0 3

pertence ao subespaco W =

1 1

1 0

,

0 0

1 1

,

0 2

0 −1

.

b) Se os vetores −→u ,−→v e −→w sao LI entao os vetores −→u −−→v ,−→v −−→w e −→u −−→w sao LI′s.

c) W = [(1,2,0),(2,4,0)] e um plano no R3 que passa pela origem.

d) Se β = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} e uma base de um espaco vetorial V , entao o conjunto A = {−→v 1 +

−→v 3,−→v 1 +

−→v 2,−→v 1 +

−→v 2 +−→v 3} e lineramente independente.

e) O subespaco W = {p ∈ P3 : p′(1) = 0 e p′′(−1) = 0} e gerado pelos polinomios p1 = 1 e

p2 =−9x+3x2 + x3.


3.1 - Nao e espaco vetorial

3.3 - a) Sim. Uma base e α = {(1,0,2),(0,1,3)}.

b) Nao

c) Sim. Uma base e α = {1, t, t2, · · · , tn}.

d) Nao

e) Sim

f) Sim. Uma base e α = {t, t2, t3}.

g) Sim. Uma base e α = {1−2x}.

h) Sim. Uma base e α = {(1,1,0),(0,1,1)}.

i) Nao

3.4 - L.D.

3.5 - Um dos subconjuntos e W1 = {(1,1,3),(1,2,1),(0,1,3)}.

3.7 - a) Sim b) Sim

3.8 - a) Sim

b) Uma base e β = {(1,−1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,0)} e dimW = 3.

c) Nao

3.9 - a) Sim

b) W = [x3−3x2,x,1]


3.10 - a) [p]α =

0

1

0

1

b) L.I.

3.11 - W =

a b

c d

∈M2 : a+b−2c+2d = 0

3.12 - P1

3.14 - a) Sim b) Sim

i) uma base e β =

1 −1

−1 −1

ii) Nao iii) Sim

3.15 - a) β = {(1,0,0,0,−1)}

b) β = {(1,0,0,0,−1),(0,0,0,1,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,−2,1)}

c) Nao

d) Nao

3.16 - dim(U +W ) = 4 e dim(U ∩W ) = 2

3.17 - a) Uma base e α = {p1, p2} e dim(W ) = 2.

b) Uma base e β = {2x+3x2 +3x3}.

c) Uma base e γ = {1,x,x2,x3}.

3.18 - a) Uma base e β = {(0,1,1)} e dim(U ∩W ) = 1.

b) Sim. Porque?

3.19 - a) Uma base e β =

1 −1

0 0

,

0 0

1 −1

e dim(S) = 2.

b) Um exemplo e α =

1 −1

0 0

,

0 0

1 −1

,

0 0

1 0

,

0 1

0 0

3.20 - Uma base e α =

3

1

0

,

−1

0

1

e dim(W ) = 2.

3.23 - Para a = 1, a = −2, S = (0,0,0). Para a = −2, S = [(1,1,1)], uma reta passando pela

origem; e para a = 1, S = [(−1,1,0),(−1,0,1)], um plano passando pela origem.

3.24 - a) i) [I]β1β =

−1 1

1 1

ii) [I]ββ1=

−12

12

12

12

iii) [I]ββ2=

16

12

16 −1

2

iv) [I]ββ3= 1

2 0

0 12


b) i) [v]β =

3

−2

ii) [v]β1=

−52

12

iii) [v]β2=

−12

32

iv) [v]β3=

32

−1

c) i)

−4

4

ii)

43

−83

iii) [v]β2=

−2

2

3.25 - a) [I]αβ =

12 0 0 0 0

0 12 0 0 0

0 0 14 0 0

0 0 0 18 0

0 0 0 0 116

b) [v]β =

12

134125

16

c) p(x) = 1+2x+3x2 +4x3 +5x4

3.26 - a) [I]αβ =

1 1 −11

1 −1 1

−1 1 11

b) [v]α =

π2 +

1112e

π2e

12

3.27 - β = {(1,−2,−2),(0,1,1),(0,−1,−2)}

3.28 - a) β =

−5

4 −32

12 0

, 3

432

12 0

, 3

412

−12 0

b) [v]α =

0

−3

−1

3.29 - a) [I]βα =

1 2 0

1 1 −1

0 −1 0

b) [w]α =

3

3

−1

3.31 - a) V b) V c) F d) F e) V f) V

Capıtulo 4

TRANSFORMACOES LINEARES

Definicao 4.1 Sejam V e W dois espacos vetoriais. Uma Transformacao Linear (aplicacao linear) e

uma funcao de V em W, T : V →W, que satisfaz as seguintes condicoes:

• Qualquer que sejam u e v em V ,

T (u+ v) = T (u)+T (v)

• Qualquer que sejam k ∈ R e v em V ,

T (kv) = kT (v)

Exemplo 117 Um agricultor planta e comercializa tres tipos de verduras: Tomate, Batata, Cenoura.

Sejam x1,x2,x3 as quantidades em quilos de Tomate, Batata, Cenoura respectivamente. Se o agricul-

tor vende o quilo do tomate a R$3,50,da batata a R$2,20 e da cenoura a R$2,90 entao o total de

vendas (TV ) e dado por 3,5x1+2,2x2+2,9x3. A aplicacao que a cada tripla (x1,x2,x3)∈R3 associa

o total de vendas TV (x1,x2,x3) e uma aplicacao linear. Matematicamente temos uma transformacao

linear do EV R3 no EV R :

TV : R3→ R

TV (x1,x2,x3) = 3,5x1 +2,2x2 +2,9x3

Vamos agora mostrar que de fato esta aplicacao e uma transformacao linear.

84 Capıtulo 4. TRANSFORMACOES LINEARES

Chamando u = (x1,x2,x3) ∈ R3, v = (y1,y2,y3) ∈ R3 e k ∈ R temos:

i)

TV (u+ v) = TV ((x1,x2,x3)+(y1,y2,y3))

= TV (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3)

= 2(x1 + y1)+1,5(x2 + y2)+1,9(x3 + y3)

= 2x1 +1,5x2 +1,9x3 +2y1 +1,5y2 +1,9y3

= (2x1 +1,5x2 +1,9x3)+(2y1 +1,5y2 +1,9y3)

TV (u) = T (x1,x2,x3) = 2x1 +1,5x2 +1,9x3

TV (v) = T (y1,y2,y3) = 2y1 +1,5y2 +1,9y3

TV (u)+TV (v) = (2x1 +1,5x2 +1,9x3)+(2y1 +1,5y2 +1,9y3)

Logo TV (u+ v) = TV (u)+TV (v).

ii)

TV (ku) = TV (k(x1,x2,x3))

= TV (kx1,kx2,kx3)

= 2kx1 +1,5kx2 +1,9kx3

= k (2x1 +1,5x2 +1,9x3)

= kT (u)

Logo TV (ku) = kTV (u). De i) e ii) vemos que TV e uma transformacao linear.

Exemplo 118 Sejam V = R, W = R e F : R → R dado F(u) = u2. A aplicacao F nao e uma

transformacao linear pois:

F(u+ v) = (u+ v)2 = u2 +2uv+ v2

F(u)+F(v) = u2 + v2

F(u+ v) = F(u)+F(v)

Exemplo 119 T : R2→ R3, T (x,y) = (2x,0,x+ y). T e uma transformacao linear pois,

i)

T (u+ v) = T ((x1,y1)+(x2,y2))

= T (x1 + x2,y1 + y2)

= (2(x1 + x2),0,(x1 + x2)+(y1 + y2))

= (2x1 +2x2,0+0,(x1 + y1)+(x2 + y2))

= (2x1,0,x1 + y1)+(2x2,0,x2 + y2)

= T (u)+T (v)

Capıtulo 4. TRANSFORMACOES LINEARES 85

ii)

(ii)T (ku) = T (k(x1,y1))

= T (kx1,ky1)

= (2kx1,0,kx1 + ky1)

= k (2x1,0,x1 + y1)

kT (u)

Portanto T e uma transformacao linear.

Exemplo 120 V =W = Pn e

D : Pn→ Pn−1

D( f ) = f ′

a aplicacao derivada que a cada polinomio associa sua derivada, a qual tambem e um polinomio e

uma aplicacao linear. De fato, para quaisquer f ,g ∈ Pn e k ∈ R,

i)

D( f +g) = ( f +g)′

= f ′+g′

= D( f )+D(g)

ii)

D(k f ) = (k f )′

= k f ′

= kD( f )

Exemplo 121 V = Pn,W = Pn+1, p(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+anxn

T : Pn→ Pn+1

T (p(x)) = xp(x) = a0x+a1x2 +a2x3 + . . .+anxn+1

A aplicacao T e uma transformacao linear pois

T (p+q) = x(p+q)(x) = x(p(x)+q(x)) = xp(x)+ xq(x) = T (p)+T (q)

T (kp) = x(kp)(x) = xkp(x) = kxp(x) = kT (p)

86 Capıtulo 4. TRANSFORMACOES LINEARES

Exemplo 122 V =W = Pn, p(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+anxn, a,b ∈ R e

T : Pn→ Pn

T (p(x)) = p(ax+b) = a0 +a1 (ax+b)+a2 (ax+b)2 + . . .+an (ax+b)n

Esta aplicacao tambem e linear pois,

T (p+q) = (p+q)(ax+b) = p(ax+b)+q(ax+b) = T (p)+T (q)

T (kp) = (kp)(ax+b) = kp(ax+b) = kT (p)

Exemplo 123 Uma transformacao linear inportante e aquela que se obtem usando-se o produto es-

calar. Seja Rn com o produto escalar usual ⟨., .⟩e v0 ∈ Rn um vetor qualquer fixado. Seja,

T : Rn→ R

T (v) = ⟨v,v0⟩

T e uma aplicacao linear (mostre isso, use as propriedades do produto escalar)

Exemplo 124 Sejam C(R) = { f : R→ R / f e contınua} . Considere

J : C(R)→ R

J( f ) = f (0)

Por exemplo se f (t) = t2 entao J( f ) = f (0) = 02 = 0. J e uma aplicacao linear pois, se f ,g ∈C(R)

e k ∈ R entao

J( f +g) = ( f +g)(0) = f (0)+g(0) = J( f )+ J(g)

J(k f ) = (k f )(0) = k f (0) = kJ( f )

Exemplo 125 Seja,

T : M2→M2

T

a b

c d

=

a+b b+ c

c+d d +a

Esta aplicacao e uma transformacao linear, pois

Capıtulo 4. TRANSFORMACOES LINEARES 87

T

a1 b1

c1 d1

+ a2 b2

c2 d2

= T

a1 +a2 b1 +b2

c1 + c2 d1 +d2

=

a1 +a2 +b1 +b2 b1 +b2 + c1 + c2

c1 + c2 +d1 +d2 d1 +d2 +a1 +a2

=

a1 +b1 b1 + c1

c1 +d1 d1 +a1

+ a2 +b2 b2 + c2

c2 +d2 d2 +a2

= T

a1 b1

c1 d1

+T

a2 b2

c2 d2

T

k

a b

c d

= T

ka kb

kc kd

=

ka+ kb kb+ kc

kc+ kd kd + ka

= k

a+b b+ c

c+d d +a

= kT

a b

c d

Exemplo 126 Seja,

T : Mn→ R

T (A) = det(A)

Esta aplicacao nao e uma transformacao linear, pois, em geral det(A1 +A2) = det(A1)+det(A2)

Exemplo 127 Verificar se a aplicacao F : R3→ R2 definida por F(x,y,z) = (z,x+ y) e linear.

Exemplo 128 Verificar se a aplicacao F : R2→ R2 definida por F(x,y) = (x2 + y2,x) e linear.

88 4.1. Propriedades das Transformacoes Lineares

4.1 Propriedades das Transformacoes Lineares

Teorema 4.1 Dados dois espacos vetoriais reais V e W e uma base de β = {v1, · · · ,vn} de V. Sejam

w1, · · · ,wn elementos arbitrarios de W. Entao existe uma unica aplicacao linear T : V →W tal que

T (v1) = w1, · · · ,T (vn) = wn. Esta aplicacao e dada por: Se v = a1v1 + · · ·+anvn, entao

T (v) = T (a1v1 + · · ·+anvn), como T e linear

T (v) = a1T (v1)+ · · ·anT (vn)

T (v) = a1w1 + · · ·anwn

a1,a2,...,an devem ser determinados.

Exemplo 129 Qual a transformacao linear T : R2 → R3 tal que T (1,0) = (2,−1,0) e T (1,1) =

(0,0,1)?

Temos neste caso v1 = (1,0) e v2 = (1,1) base de R2 e w1 = (2,−1,0) e w2 = (0,0,1). Dado

v = (x,y) arbitrario,

(x,y) = a(1,0)+b(1,1)

(x,y) = (x− y)(1,0)+ y(1,1)

T (x,y) = T ((x− y)(1,0)+ y(1,1))

T (x,y) = (x− y)T (1,0)+ yT (1,1)

T (x,y) = (x− y)(2,−1,0)+ y(0,0,1)

T (x,y) = (2x−2y,−x+ y,y)

Exemplo 130 Qual a transformacao linear T : M2→ P4 tal que

T

1 0

0 0

= x4 + x

T

0 1

0 0

= x3 + x2

4.1. Propriedades das Transformacoes Lineares 89

T

0 0

1 0

= x2 + x3

T

0 0

0 1

= x+ x4

Uma matriz A ∈M2 e da forma A =

a b

c d

. Podemos escrever:

a b

c d

= a

1 0

0 0

+b

0 1

0 0

+ c

0 0

1 0

+d

0 0

0 1

, portanto

T

a b

c d

= T

a

1 0

0 0

+b

0 1

0 0

+ c

0 0

1 0

+d

0 0

0 1

= aT

1 0

0 0

+bT

0 1

0 0

+ cT

0 0

1 0

+dT

0 0

0 1

T

a b

c d

= a(x4 + x

)+b(x3 + x2)+ c

(x2 + x3)+d

(x+ x4)

T

a b

c d

= (a+d)x+(b+ c)x2 +(b+ c)x3 +(a+d)x4

Definicao 4.2 Seja T : V →W uma transformacao linear. A imagem de T e o conjunto de vetores

w ∈W tais que existe um vetor v ∈V , que satisfaz T (v) = w. Ou seja

Im(T ) = {w ∈W / T (v) = w para algum v ∈V}

Observacao 8 Note que Im(T ) e um subconjunto de W e, alem disso, e um subespaco vetorial de W.

Exemplo 131 Seja T : R2→R2 a transformacao linear dada por T (x,y) = (2x−y,−10x+y). Qual

dos vetores abaixo pertence a imagem de T

a) u = (1,2)

b) w = (−1,2)

a) Para que u ∈ Im(T ) deve existir algum v = (x,y) tal que T (v) = u, ou seja, T (x,y) = (1,2);


temos entao:

T (x,y) = (1,2)

(2x− y,−10x+ y) = (1,2) 2x− y = 1

−10x+ y = 2

Resolvendo o sistema temos x =−38 e y =−7

4 , logo u pertence a imagem de T pois T (−38 ,−

74) = u.

b) Analogamente deve existir algum v = (x,y) tal que T (v) = w, ou seja

T (x,y) = (−1,2)

(2x− y,−10x+ y) = (−1,2) 2x− y =−1

−10x+ y = 2

Resolvendo o sistema temos x =−18 e y = 3

4 logo w pertence a imagem de T pois T (−18 ,

34) = w

Exemplo 132 Determine a imagem da transformacao linear T : R3→R3, T (x,y,z) = (2x−y−z,x−

y− z,x+ y− z).

Se w ∈ Im(T ) entao w = T (x,y,z), ou seja,

w = (2x− y− z,x− y− z,x+ y− z)

= x(2,1,1)+ y(−1,−1,1)+ z(−1,−1,−1)

Logo todo vetor que pertence a imagem de T e gerado pelos vetores w1 = (2,1,1),w2 = (−1,−1,1)

e w3 = (−1,−1,−1). Podemos entao escrever que Im(T ) = [(2,1,1), (−1,−1,1), (−1,−1,−1)] .

Como o conjunto β = {(2,1,1),(−1,−1,1),(−1,−1,−1)} e LI (verifique isto) temos que β e

uma base para a Im(T ), mas β e base para R3, logo concluimos que Im(T ) = R3.

Definicao 4.3 Seja T : V →W, uma transformacao linear. O conjunto de todos os vetores v ∈V tais

que T (v) =−→0 e chamado nucleo de T , sendo denotado por Ker(T ). Isto e,

Ker(T ) ={

v ∈V � T (v) =−→0}

Observacao 9 Observe que Ker(T ) ⊂ V e um subconjunto de V e, ainda mais, e um subespaco


vetorial de V. Alguns autores denotam o nucleo de T por N(T ).

Exemplo 133 Seja T : V →W, dada por T (v) =−→0 . Neste caso todo vetor de V e levado no vetor

nulo pela transformacao T, assim temos que Ker(T ) =V

Exemplo 134 Seja T : R3→R3 a projecao ortogonal sobre o plano xy. Neste caso temos T (x,y,z) =

(x,y,0). Se T (x,y,z) = (0,0,0)⇒ (x,y,z) = (0,0,0)⇒ x = 0 e y = 0. Como nada e dito sobre a

variavel z, temos que z e qualquer, logo Ker(T ) ={(0,0,z) ∈ R3 � z ∈ R

}, ou seja o nucleo de T

sao todos os vetores que estao sobre o eixo z.

Figura 4.1: Projecao Ortogonal - (134)

Exemplo 135 Encontre o nucleo da transformacao linear:

T : R4→ R3

T (x,y,z, t) = (x+ y+ z− t,2x+ z− t,2y− t)

Devemos encontrar os vetores v = (x,y,z, t) ∈ R4 tais que T (v) = T (x,y,z, t) = (0,0,0). Neste

caso temos que resolver o sistema homogeneo:x+ y+ z− t = 0

2x+ z− t = 0

2y− t = 0

A matriz ampliada do sistema e:1 1 1 −1

... 0

2 0 1 −1... 0

0 2 0 −1... 0

⇒

1 1 1 −1... 0

0 −2 −1 1... 0

0 0 −1 0... 0

pa = pc = 3 e p = 3 < n = 4 logo o sistema e compatıvel e indeterminado com grau de liberdade

1.

Logo, x+ y+ z− t = 0

−2y− z+ t = 0

−z = 0

o que nos fornece, x = y, z = 0 e t = 2y.

Portanto Ker(T ) ={(y,y,0,2y) ∈ R4� y ∈ R

}= [(1,1,0,2)]


Exemplo 136 Seja T :R3→R3 a transformacao linear que e a projecao ortogonal sobre a reta cujas

equacoes parametricas sao:

x = 2t

y =−2t

z = t

. Encontre o Nucleo de T.

Projetar um vetor sobre uma reta e o mesmo que encontrar a projecao ortogonal sobre o vetor

diretor dessa mesma reta. No nosso caso, o vetor diretor e u = (2,−2,1), logo

T (v) = pro juv =( v.u

u.u

)u

T (x,y,z) =

((x,y,z).(2,−2,1)

(2,−2,1).(2,−2,1)

)(2,−2,1)

T (x,y,z) =

(2x−2y+ z

9

)(2,−2,1)

T (x,y,z) =

(4x−4y+2z

9,−4x+4y−2z

9,2x−2y+ z

9

)

Para encontrar o nucleo devemos ter,

T (x,y,z) =(

4x−4y+2z9

,−4x+4y−2z

9,2x−2y+ z

9

)= (0,0,0)

4x−4y+2z = 0

−4x+4y−2z = 0

2x−2y+ z = 0

4 −4 2

−4 4 −2

2 −2 1

, fazendo o escalonamento temos

4 −4 2

0 0 0

0 0 0

, assim

4x−4y+2z = 0

0 = 0

0 = 0


2z = −4x+4y

z = −2x+2y

Portanto Ker(T ) ={(x,y,−2x+2y) ∈ R3 � x,y ∈ R

}= [(1,0,−2),(0,1,2)]

Exemplo 137 Seja F : R3→R2 a transformacao linear dada por F(x,y,z) = (x+y,2x−y+ z). Dar

uma base e a dimensao de ker(F).

Definicao 4.4 Dada uma aplicacao T : V →W, diremos que T e injetora se dados u,v ∈ V com

T (u) = T (v) tivermos u = v. Ou equivalentemente, T e injetora se dados u,v ∈ V com u = v, entao

T (u) = T (v).

Definicao 4.5 Uma aplicacao T : V →W sera sobrejetora se a imagem de T coincidir com W, ou

seja, T (V ) =W.

Observacao 10 Da definicao acima vemos que uma funcao sera sobrejetora se dado w ∈W, existir

v ∈V tal que T (v) = w.

Teorema 4.2 Seja T : V →W, uma aplicacao linear. entao ker(T ) = {0} , se e somente se T e

injetora.

Proof. a) Vamos mostrar que se T e injetora, entao ker(T ) = {0}

Seja v ∈ Ker(T ) ⇒ T (v) = 0. Por outro lado, como T e linear tem-se que T (0) = 0. Logo,

T (v) = T (0). Como por hipotese T e injetora entao v = 0. Portanto, o vetor nulo e o unico elemento

do nucleo, isto e, ker(T ) = {0}.

b) Vamos mostrar que se ker(T ) = {0}, entao T e injetora.

Sejam v1,v2 ∈V tais que T (v1) = T (v2). Entao T (v1)−T (v2) = 0 ou T (v1−v2) = 0 e, portanto,

v1− v2 ∈ ker(T ). Mas por hipotese, o unico elemento do nucleo e o vetor nulo, logo v1− v2 = 0 e

portanto v1 = v2. Como T (v1) = T (v2)⇒ v1 = v2, T e injetora. �

Teorema 4.3 Seja T : V →W, uma aplicacao linear. Entao

dimKer(T )+dim Im(T ) = dimV

Corolario 4.1 Se dimV = dimW, entao a transformacao linear T : V →W e injetora se e somente

se T e sobrejetora.

94 4.2. Transformacoes Lineares e Matrizes

Corolario 4.2 Seja T : V →W, uma aplicacao linear injetora. Se dimV = dimW, entao T leva base

em base.

Exemplo 138 Seja T : Pn→ Pn+1, dada por T (p(x)) = xp(x).Verifique se T e bijetora.

Devemos verificar se T e injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Usando o teorema (4.2) deve-

mos apenas calcular o nucleo de T :

T (p(x)) = xp(x)

T (a0 +a1x+ . . .+anxn) = x(a0 +a1x+ . . .+anxn)

T (a0 +a1x+ . . .+anxn) = (a0x+a1x2 + . . .+anxn+1)

Se

T (p(x)) = 0

a0x+a1x2 + . . .+anxn+1 = 0 = 0+0x+0x2 + . . .+0xn+1

logo a0 = a1 = . . .= an = 0⇒ p(x) = 0 (p(x) e o polinomio nulo)⇒ Ker(T ) ={−→

0}

(observe que

neste caso o vetor nulo de Pn e o polinomio nulo de grau n). Portanto T e injetora.

Como dimPn = n+1, dimPn+1 = n+2 e dimKer(T ) = 0, temos que

dimKer(T )+dim Im(T ) = n+1

0+dim Im(T ) = n+1

dim Im(T ) = n+1

Note que dim Im(T ) = n+1 = n+2 = dimPn+1⇒ Im(T ) = Pn+1. Portanto T nao e sobrejetora

e assim T nao e bijetora.

4.2 Transformacoes Lineares e Matrizes

4.2.1 Transformacao linear associada a uma matriz

Seja A uma matriz m×n. Associada a matriz A definimos a transformacao linear:

4.2. Transformacoes Lineares e Matrizes 95

LA : Rn→ Rm

v→ A.v

onde v e tomado como vetor coluna,

v =

x1...

xn

LA(v) = A.v

LA(v) =

a11 · · · a1n

... . . . ...

am1 · · · amn

x1...

xn

LA

x1...

xn

=

a11x1 + · · ·a1nxn

...

am1x1 + · · ·+amnxn

Das propriedades de operacoes de matrizes:

LA(u+ v) = A.(u+ v) = A.u+A.v = LA(u)+LA(v)

LA(ku) = A.(ku) = kA.u = kLA(u)

e portanto LA e uma transformacao linear.

Exemplo 139 Seja A =

1 1 1 −1

2 0 1 −1

0 2 0 −1

Observe que a matriz A tem ordem 3×4 e portanto ela induzira uma transformacao linear de R4


para R3 , definida por:

LA : R4→ R3

LA

x

y

z

t

=

1 1 1 −1

2 0 1 −1

0 2 0 −1

x

y

z

t

=

x+ y+ z− t

2x+ z− t

2y− t

Note que a transformacao acima esta escrita em forma matricial, mas podemos escreve-la tambem

na forma vetorial que estamos acostumados:

LA(x,y,z, t) = (x+ y+ z− t,2x+ z− t,2y− t)

Surpresa!! Esta e a mesma transformacao do exemplo (135)

Exemplo 140 Dada a transformacao linear:

T : R3→ R2

T (x,y,z) = (10x−20y−30z,x−2y−3z)

Encontre a matriz da transformacao T (Isto e, encontre a matriz A cuja transformacao associada a

ela e exatamente a transformacao T )

Passando da forma vetorial para a forma matricial temos:

T

x

y

z

=

10x−20y−30z

x−2y−3z

=

10 −20 −30

1 −2 −3

x

y

z


Portanto a matriz de T, que denotaremos por [T ] e

[T ] =

10 −20 −30

1 −2 −3

Observacao 11 Ao obtermos a transformacao associada a uma matriz A (ou, caso contrario, a

matriz de uma transformacao T ), nao mencionamos as bases dos espacos envolvidos. De fato, ao

obtermos a matriz de uma transformacao estamos levando em conta as bases associadas aos espacos

Rn e Rm mas neste caso em particular estamos considerando as bases canonicas. Isto ficara claro na

exposicao a seguir.

De um modo geral, fixadas as bases β = {v1,v2, · · · ,vn} e β ′ = {w1,w2, · · · ,wm} , a matriz

Am×n =

a11 · · · a1n

... . . . ...

am1 · · · amn

podemos associar

TA : Rn→ Rm

v→ TA(v)

da seguinte maneira: Seja

X = [v]β =

x1...

xn

A.X =

a11 · · · a1n

... . . . ...

am1 · · · amn

x1...

xn

=

y1...

ym

entao

TA(v) = y1w1 + · · ·+ ymwm

onde yi = Ai.X e Ai e a i-esima linha de A.

Em geral, dada uma matriz Am×n, ela e encarada como uma aplicacao linear TA : Rn→ Rm em

relacao as bases canonica de Rn e Rm.


4.2.2 Matriz de uma transformacao linear

Agora iremos encontrar a matriz associada a uma transformacao linear. Seja T : V → W linear,

β = {v1, · · · ,vn} base de V e β ′ = {w1, · · · ,wm} base de W. Entao T (v1), . . . ,T (vn) sao vetores de W

e portanto

T (v1) = a11w1 + · · · + am1wm...

......

T (vn) a1nw1 + · · · + amnwm

A transposta da matriz dos coeficientes deste sistema, denotada por [T ]ββ ′ e chamada matriz de T

em relacao as bases β e β ′ :

[T ]ββ ′ =

a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

Observacao 12 Note que se A = [T ]ββ ′ =

a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

a transformacao linear T passa a ser

a transformacao linear associada a matriz A e bases β e β ′, isto e, T = TA.

Exemplo 141 Seja T : R3→ R2 tal que T (x,y,z) = (2x+ y− z,3x−2y+4z).

Sejam β = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} e β ′ = {(1,3),(1,4)} .

Procuremos [T ]ββ ′

T (x,y,z) = (2x+ y− z,3x−2y+4z)

T (1,1,1) = (2,5) = a(1,3)+b(1,4)

T (1,1,0) = (3,1) = c(1,3)+d(1,4)

T (1,0,0) = (2,3) = e(1,3)+ f (1,4)

Portanto temos os sistemas: a+b = 2

3a+4b = 5,

c+d = 3

3c+4d = 1,

e+ f = 2

3e+4 f = 3

Resolvendo os sistemas temos:

[a = 3 , b =−1 , c = 11 , d =−8 , e = 5 , f =−3

]


[T ]ββ ′ =

3 11 5

−1 −8 −3

Teorema 4.4 Sejam V e W espacos vetoriais, α base de V , β base de W e T : V →W uma aplicacao

linear. Entao, para todo v ∈V vale:

[T (v)]β = [T ]αβ � [v]α

Definicao 4.6 Dada uma base β e tranformacao linear T : V →V denotaremos a matriz [T ]ββ apenas

por [T ]β e ela sera chamada de matriz de T em relacao a base β .

Definicao 4.7 Seja T :Rn→Rn uma transformacao linear e α a base canonica de Rn, entao a matriz

de T em relacao a base canonica α, [T ]αα , sera denotada simplesmente por [T ] .

Exemplo 142 Seja T : P2→P2 definido por T (p(x))= p(3x−5). Determine a matriz de T em relacao

a base β ={

1,x,x2}Devemos calcular [T ]β = [T ]ββ

T (p) = p(3x−5)

T (a0 +a1x+a2x2) = a0 +a1(3x−5)+a2(3x−5)2

T (a0 +a1x+a2x2) = a0 +3a1x−5a1 +a2(9x2−30x+25)

T (a0 +a1x+a2x2) = (a0−5a1 +25a2)+(3a1−30a2)x+9a2x2

T (1) = T (1+0x+0x2) = 1 = 1+0x+0x2

T (x) = T (0+1x+0x2) =−5+3x =−5+3x+0x2

T (x2) = T (0+0x+1x2) = 25−30x+9x2

[T ]β =

1 −5 25

0 3 −30

0 0 9

Exemplo 143 Seja T : R3 → R3 dada por T (x,y,z) = (2x− 3y− 2z,x− y− z,2x− y+ z) e sejam

α = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} e β = {(−1,−1,0),(−1,0,−1),(0,−1,−1)} bases do R3


a) Determine [T ]αβ , [T ]βα

b) Se [v]α =

1

1

1

determine [T (v)]β .

c) Calcule a multiplicacao das matrizes: [T ]αβ � [T ]βα . Que conclusao voce pode tirar em relacao

as duas matrizes, ou que relacao ha entre as duas matrizes?

a) Calculo de [T ]αβ

T (x,y,z) = (2x−3y−2z,x− y− z,2x− y+ z)

T (1,0,0) =(

2, 1, 2)= a1(−1,−1,0)+b1(−1,0,−1)+ c1(0,−1,−1)

T (1,1,0) =(−1, 0, 1

)= a2(−1,−1,0)+b2(−1,0,−1)+ c2(0,−1,−1)

T (1,1,1) =(−3, −1, 2

)= a3(−1,−1,0)+b3(−1,0,−1)+ c3(0,−1,−1)

Devemos resolver os tres sistemas resultantes: Denotando por A a matriz dos coeficientes do

sistema,temos:

A =

−1 −1 0

−1 0 −1

0 −1 −1

⇒ A−1 =

−1

2 −12

12

−12

12 −1

212 −1

2 −12

Vamos resolver os sistemas por matriz inversa:

a1

b1

c1

= A−1

2

1

2

=

−1

2 −12

12

−12

12 −1

212 −1

2 −12

2

1

2

=

−1

2

−32

−12

a2

b2

c2

= A−1

−1

0

1

=

−1

2 −12

12

−12

12 −1

212 −1

2 −12

−1

0

1

=

1

0

−1

a3

b3

c3

= A−1

−3

−1

2

=

−1

2 −12

12

−12

12 −1

212 −1

2 −12

−3

−1

2

=

3

0

−2

Logo

[T ]αβ =

−1

2 1 3

−32 0 0

−12 −1 −2

Agora voce ja esta em condicoes de calcular [T ]βα . Faca esse calculo como exercıcio


b) Vamos usar a relacao [T (v)]β = [T ]αβ � [v]α

[T (v)]β = [T ]αβ � [v]α

[T (v)]β =

−1

2 1 3

−32 0 0

−12 −1 −2

1

1

1

[T (v)]β =

72

−32

−72

c) Faca voce este item.

Teorema 4.5 Seja T : V →W uma transformacao linear e α e β bases de V e W, respectivamente.

Entao

dim Im(T ) = posto de [T ]αβ

dimKer(T ) = nulidade de [T ]αβ = numero de colunas de [T ]αβ − posto [T ]αβ

Exemplo 144 Seja T : P2→M(2,2) definida por T (p(x)) =

p′(0) 2p(1)

0 p′′(3)

onde p′e a derivada de

p. Sejam .α =

1 1

0 0

,0 1

0 0

,0 0

1 1

,1 0

0 1

uma base para M(2,2) e β ={

1,x,x2} base

para P2.

a) Determine [T ]βα .

b) Determine uma base para N(T ).

c) Determine uma base para Im(T ).

d) T e injetora? E sobrejetora? Justifique.


a) Note que

T (a+bx+ cx2) =

b 2a+2b+2c

0 2c

Determinando [T ]βα :

T (1) =

0 2

0 0

= a

1 1

0 0

+b

0 1

0 0

+ c

0 0

1 1

+d

1 0

0 1

T (x) =

1 2

0 0

= e

1 1

0 0

+ f

0 1

0 0

+g

0 0

1 1

+h

1 0

0 1

T (x2) =

0 2

0 2

= i

1 1

0 0

+ j

0 1

0 0

+ l

0 0

1 1

+m

1 0

0 1

Logo, [T ]βα =

0 1 −2

2 1 4

0 0 0

0 0 2

b) Seja

p(x) ∈ N(T )⇒ T (p(x)) =

0 0

0 0

b 2a+2b+2c

0 2c

=

0 0

0 0

⇒ a = b = c = 0

Logo, p(x) = 0+0x+0x2 ∈ N(T )⇒ N(T ) = {0}

c) Seja A ∈ Im(T )⇒ A =

b 2a+2b+2c

0 2c

= a

0 2

0 0

+b

1 2

0 0

+ c

0 2

0 2

Portanto,

Im(T ) =

0 2

0 0

,1 2

0 0

,0 2

0 2

Como os geradores da Im(T ) formam um conjunto L.I. (Verifique!) tem-se que0 2

0 0

,1 2

0 0

,0 2

0 2

e uma base para Im(T ).

d) T e injetora pois N(T ) = {0}, mas nao e sobrejetora pois dim Im(T ) = 3 = dimM(2,2)

4.3. Composicao de transformacoes lineares 103

4.3 Composicao de transformacoes lineares

Definicao 4.8 Se T1 : V →W e T2 : W →U sao duas transformacoes lineares a composta das duas

transformacoes lineares e definida do mesmo modo que a composicao de funcoes ( lembre-se que um

transformacao linear e uma funcao com a propriedade adicional de ser linear) da seguinte forma

T2 ◦T1 : V →U

(T2 ◦T1)(v) = T2(T1(v))

Exemplo 145 Se T1 : R2 → R3, T1(x,y) = (x− y,y− x,y− x) e T2 : R3 → R, T2(x,y,z) = x− y− z

entao T2 ◦T1 : R2→ R e

(T2 ◦T1)(x,y) = T2(T1(x,y))

= T2(x− y,y− x,y− x)

= (x− y)− (y− x)− (y− x)

= x− y− y+ x− y+ x

= 3x−3y

Teorema 4.6 Sejam T1 : V →W e T2 : W →U transformacoes lineares e α, β , γ bases de V,W,U

respectivamente. Entao a composta de T2 com T1,T2 ◦T1 : V →U e linear e

[T2 ◦T1]αγ = [T2]

βγ � [T1]

αβ

Figura 4.2: Composicao de transformacoes lineares - (4.3)

Proposicao 4.1 Seja T : V →W uma transformacao linear . Sejam α e α ′ bases de V e β e β ′ bases

de W. Entao vale a relacao:

[T ]α′

β ′ = [IW ◦T ◦ IV ]α ′β ′ = [IW ]

ββ ′ [T ]

αβ [IV ]

α ′α

onde IW e IV sao as aplicacoes identidades de W e V respectivamente.

Exemplo 146 Sejam T : P2→R3 definida por T(a+bx+ cx2)= (a+b, a+b+ c, c−a) e S :R3→

M2 dada por S(a,b,c) =

a− c a+b

b+ c a+2b− c

. Determine [S◦T ]αβ onde α ={

1, 1− x, 2− x+ x2}

104 4.3. Composicao de transformacoes lineares

e β =

1 0

0 0

, 1 1

0 0

, 0 1

−1 0

, 0 0

1 1

.

Temos:

[S◦T ] = S(T (a+bx+ cx2)) =

2a+b− c 2a+2b+ c

b+2c 4a+3b+ c

T (1) =

2 2

0 4

= e

1 0

0 0

+ f

1 1

0 0

+g

0 1

−1 0

+h

0 0

1 1

assim, obtemos o sistema:

e+ f = 2

f +g = 2

−g+h = 0

h = 4

cuja solucao e: e = 4, f =−2, g = 4 e h = 4.

T (1− x) =

1 0

−1 1

= i

1 0

0 0

+ j

1 1

0 0

+ k

0 1

−1 0

+ l

0 0

1 1


i+ j = 1

j+ k = 0

−k+ l =−1

l = 1

cuja solucao e: i = 3, j =−2, k = 2 e l = 1.

T (2− x+ x2) =

0 3

1 6

= m

1 0

0 0

+n

1 1

0 0

+o

0 1

−1 0

+ p

0 0

1 1


m+n = 2

n+o = 3

−o+ p = 1

p = 6

cuja solucao e: m = 4, n =−2, o = 5 e p = 6.

4.4. A Inversa de uma transformacao linear 105

Assim, encontramos para [S◦T ]αβ

[S◦T ]αβ =

e i m

f j n

g k o

h l p

4 3 4

−2 −2 −2

4 2 5

4 1 6

4.4 A Inversa de uma transformacao linear

Definicao 4.9 Da-se o nome de isomorfismo a uma transformacao linear T : V →W que e injetora

e sobrejetora ao mesmo tempo. Quando ha um isomorfismo entre dois espacos vetoriais dizemos que

estes sao Isomorfos.

Definicao 4.10 Seja T : V →W uma transformacao linear. Se existe uma transformacao linear

S : W → V tal que T ◦ S = IW , onde IW : W →W e a identidade em W, dizemos que S e a inversa

a direita de T. Se existe uma transformacao R : W → V , tal que R ◦ T = IV , onde IV : V → V e a

identidade em V , dizemos que R e a inversa a esquerda de T.

Definicao 4.11 Seja T : V →W uma transformacao linear. Se existe uma aplicacao T−1 : W → V,

tal que T ◦T−1 = IW e T−1 ◦T = IV entao dizemos que T e inversıvel e que T−1 e a inversa de T

Proposicao 4.2 Seja T : V →W uma transformacao linear. Se existe a inversa de T,T−1, entao T−1

e uma transformacao linear

Proposicao 4.3 Se T : V →W e um isomorfismo, entao T e inversıvel e alem disso T−1 tambem e um

isomorfismo.

Proposicao 4.4 Se T : V →W uma transformacao linear invertıvel (T e um isomorfismo) e α e β sao

bases de V e W, entao:

[T−1]β

α =([T ]αβ

)−1

Observacao 13 Quando estamos trabalhando com o espaco Rn e a base canonica de Rn por sim-

plicidade omitimos as bases e a matriz de T : Rn → Rn, em relacao a base canonica, e denotada

simplesmente por [T ] . Neste caso a proposicao acima e escrita na forma mais conveniente: ”Se

T : Rn→ Rn e inversıvel entao[T−1]= [T ]−1 ”

106 4.4. A Inversa de uma transformacao linear

Proposicao 4.5 Seja T : V →W uma transformacao linear, com dimV = dimW, e α e β bases de V

e W respectivamente. Entao T e inversıvel se, e somente se det [T ]αβ = 0.

Observacao 14 Se na proposicao acima tivermos V =W =Rn podemos escrever: Seja T : Rn→Rn

uma transformacao linear, entao T e invertıvel se det [T ] = 0

Exemplo 147 Seja T : R3→R3, dada por T (x,y,z) = (x+2y+2z,x+y+3z,x+2y+ z), determine

a transforma cao inversa T−1.

Facilmente podemos ver que

[T ] =

1 2 2

1 1 3

1 2 1

⇒ [T−1]= [T ]−1 =

−5 2 4

2 −1 −1

1 0 −1

logo T−1(x,y,z) = (−5x + 2y + 4z,2x − y − z,x − z). Como exercıcio verifique que vale(T ◦T−1)(x,y,z) = (x,y,z)

Podemos tambem neste caso calcular a inversa usando diretamente a difinicao de transformacao

inversa da seguinte forma

Sabemos que T−1 : R3 → R3 e uma transformacao linear tal que T−1 ◦ T = I ou T ◦ T−1 = I.

Suponhamos que T−1(x,y,z) = (m,n,s), devemos encontrar m,n e s tais que T ◦T−1 = I (devemos

usar esta igualdade pois com a outra nao funciona, tente e veja o que acontece). Portanto

(T ◦T−1)(x,y,z) = I(x,y,z) = (x,y,z)

T (T−1(x,y,z)) = (x,y,z)

T (m,n,s) = (x,y,z)

(m+2n+2s,m+n+3s,m+2n+ s) = (x,y,z)

m+2n+2s = x

m+n+3s = y

m+2n+ s = z1 2 2 x

1 1 3 y

1 2 1 z

escalonando

=⇒

1 2 2 x

0 1 −1 x− y

0 0 1 x− z

4.4. A Inversa de uma transformacao linear 107

s = x− z

n = x− y+ x− z = 2x− y− z

m = x−2(2x− y− z)−2(x− z) =−5x+2y+4z

Logo

T−1(x,y,z) = (−5x+2y+4z,2x− y− z,x− z)

Exemplo 148 Considere a transformacao linear T : R3→M2T (M2T e o espaco das matrizes trian-

gulares superiores) definida por

T (1,1,0) =

1 1

0 0

T (0,1,−1) =

1 1

0 2

T (1,−1,1) =

0 −1

0 1

Encontre a inversa da transformacao T .

Sabemos que:

T−1

1 1

0 0

= (1,1,0), T−1

1 1

0 2

= (0,1,−1), T−1

0 −1

0 1

= (1,−1,1)

e, seja x y

0 z

= a

1 1

0 0

+b

1 1

0 2

+ c

0 −1

0 1

obtemos o sistema:

a+b = x

a+b− c = y

2b+ c = z

→

1 1 0 | x

1 1 −1 | y

0 2 1 | z

108 4.5. Quarta lista de exercıcios

realizando o escalonamento da matriz, encontramos:1 0 0 | 3x−y−z

2

0 1 0 | −x+y+z2

0 0 1 | x− y

Agora, procedendo as substituicoes, obtemos:

T−1

x y

0 z

=

(3x− y− z

2

)(1,1,0)+

(−x+ y+ z

2

)(0,1,−1)+(x− y)(1,−1,1)

portanto

[T ]−1 =

52 −3

2 −12

0 1 032 −3

2 −12

=

(5x−3y− z

2,y,

3x−3y− z2

)

4.5 Quarta lista de exercıcios

Exercıcio 4.1 Verifique se as funcoes dadas abaixo sao transformacoes lineares. Em cada caso,

justifique sua afirmacao:

a) T : ℜ4→ℜ3 dada por T (x,y,z, t) = (x+ y,0,z+ t)

b) L : ℜ2→ℜ dada por L(x,y) = xy

c) S : M(2,2)→ℜ2, S

a b

c d

= (a+b,0)

d) G : M(5,5)→M(5,5), G(A) = AB+ I5, onde B = diag(d1,d2,d3,d4,d5) e uma matriz diagonal

e I5 e a matriz identidade de ordem 5.

e) F : P2→ P2 tal que F(p) = p+q, p ∈ P2 e q(t) = t2 +1, t ∈ℜ.

f) S : R2→ R2 dada por S(x,y) = (x+ y,x− y)

g) T : M(2,2)→ R dada por

a b

c d

−→ det

a b

c d

h) T : R→ R, T (x) = |x|.

i) T : M2→ P1, T

a b

c d

= a+dt

j) S : R3→ R3 tal que S(x,y,z) = (3x,a,5z), onde a ∈ R e uma constante.

k) T : Pn→ Pn tal que T (p(x)) = p′(x)+ x2 p

′′(x)

Exercıcio 4.2 Seja T : P2 → P2 um operador linear tal que T (p0)(t) = 1 + t, T (p1)(t) = t + t2,

4.5. Quarta lista de exercıcios 109

T (p2)(t) = 1+ t−2t2 onde pi(t) = t i, i = 0,1,2.

a) Encontre T (p)

b) T e injetora? Justifique sua resposta.

c) T e sobrejetora? Justifique sua resposta.

d) T e bijetora? Justifique sua resposta.

Exercıcio 4.3 a) Encontre a transformacao T : ℜ2 → M(2,2) tal que T (−1,0) =

1 −1

−1 1

,T (0,−1) =

−1 1

1 −1

b) Usando a transformacao T encontrada no item a) , calcule T (1000,999)

c) A transformacao e bijetora? Justifique sua resposta.

Exercıcio 4.4 Seja T : ℜ3 → ℜ3 uma transformacao linear definida por T (1,0,0) = (1,1,0),

T (0,1,0) = (1,1,2) e T (0,0,1) = (0,0,2). Determinar uma base de cada um dos seguintes

subespacos:

a) N(T )

b) N(T )∩ Im(T )

c) N(T )+ Im(T )

Exercıcio 4.5 Sejam α = {(1,−1),(0,2)} e β = {(1,0,−1),(0,1,2),(1,2,0)} bases de ℜ2 e ℜ3,

respectivamente e [T ]αβ =

1 0

1 1

0 −1

a) Encontre a transformacao linear T .

b) Enconte uma base para Ker(T ) e uma base para Im(T ).

c) Encontre uma base γ de ℜ3 tal que [T ]αγ =

1 0

0 0

0 1

Exercıcio 4.6 Encontre a transformacao linear T : ℜ2→ℜ2 que e a projecao sobre a reta dada por x = 2t

y = t. Determine dim Im(t) e dim Ker(T ). T e inversıvel? Se for, determine T−1.

Exercıcio 4.7 Considere o operador linear em ℜ3 tal que T (1,0,0) = (1,1,1), T (0,0,1) = (1,0,1),

T (0,1,2) = (0,0,4). T e isomorfismo? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.


Exercıcio 4.8 Considere a transformacao linear T : P2 → R3 tal que T (1) = (1,0,1), T (x+ x2) =

(1,2,−2) e T (1− x) = (0,−1,1). Encontre T−1.

Exercıcio 4.9 Seja T : P2→ P3 a transformacao definida por T (p(x)) = xp(x−3). Encontre [T ]γβ em

relacao as bases β = {1,x,x2,x3} e γ = {1,x,x2}.

Exercıcio 4.10 Encontre uma transformacao linear T : ℜ3→ ℜ3 cujo nucleo e gerado por (1,1,0)

e (0,0,1) e a imagem gerada pelo vetor (1,−1,1).

Exercıcio 4.11 Encontre uma transformacao linear T : ℜ4→ℜ4 cujo nucleo e gerado por (1,1,0,0)

e (0,0,1,0).

Exercıcio 4.12 Mostre que se a matriz transformacao [T ] e inversıvel entao N(T ) = {−→0 }.

Exercıcio 4.13 Se T : V →W e uma transformacao linear tal que T (w) = T (u)+T (v) entao w =

u+ v?

Exercıcio 4.14 Determine explicitamente a expressao de uma transformacao linear T : P2 → M2

satisfazendo simultaneamente as seguintes condicoes:

a) o elemento p(x) = 1+ x2 pertence ao N(T );

b) o elemento q(x) = 1− x+ x2 nao pertence ao N(T );

c) o elemento A =

2 3

−1 1

pertence a Im(T ).

Exercıcio 4.15 Seja T : V →W uma transformacao linear.

a) Mostre que o nucleo de T e um subespaco de V .

b) Mostre que a imagem de T e um subespaco de W.

Exercıcio 4.16 Seja T : P2→ P2 a transformacao linear definida por T (p(x)) = xp′(x)

a) Quais dos seguintes polinomios pertencem ao N(T )?

1. 2

2. x2

3. 1− x

b) Quais dos polinomios do item a) pertencem a Im(T )?

c) Descreva N(T ) e Im(T ).


Exercıcio 4.17 Quando possıvel, de exemplos de transformacoes lineares satisfazendo:

a) T : R3→ R3 tal que dimN(T ) = 1

b) T : R3→ R3 tal que N(T ) = {(0,0,0)}

c) T : R3→ R3 tal que Im(T ) = {(0,0,0)}

d) T : R3→ R3 tal que N(T ) = {(x,y,z) ∈ℜ3 : z =−x}

e) T : R3→ R3 tal que Im(T ) ={(x,y,z) ∈ R3 � y = 2x− z

}.

Exercıcio 4.18 Seja T : P3→ P2 definida por T (p) = p′. Determine a matriz T em relacao as bases

α ={

1, t, t2, t3} e β ={

1,1+ t,−1+ t2} , isto e, [T ]αβ .

Exercıcio 4.19 Mostre que se uma transfomacao linear e injetora entao N(T ) = {−→0 }.

Exercıcio 4.20 Seja β a base canonica de M2. Se T : M2 → P3 e dada por T

a b

c d

=

a+(b+ c)x+(c−d)x2 +dx3.

a) Encontre [T ]βα onde α ={

2,2+ x,2+ x2,2+ x3} e base de P3.

b) Faca o escalonamento da matriz [T ]βα .

c) Detemine dim Ker(T ).

d) Determine dim Im(T ).

Exercıcio 4.21 Se A ∈ Rn×n e inversıvel entao:

a) dimN(A) =

b) dim Im(T ) =

Exercıcio 4.22 Determine dimN(T ) sabendo que:

a) TR6→ R8 com dim(Im(T )) = 3;

b) T : V →W com T sobrejetiva, dimV = 5, dimW = 3;

c) T : V →W com T injetiva;

d) T : R4→ R4 sabendo que existe a inversa de T .

Exercıcio 4.23 Explique em cada caso abaixo porque nao existe uma transformacao linear:

a) T : R4→ R2 cujo nucleo seja a origem;

b) T : R5→ R6 que seja sobrejetiva;

c) T : R3→ R2 que seja injetiva;

d) T : R7→ R6 tal que dimN(T ) = dim Im(T );

e) T : R4→ R3 com N(T ) = [(1,0,0,0),(0,1,0,0)] e Im(T ) = [(1,1,2),(2,2,4)].


Exercıcio 4.24 Responda as seguintes questoes:

a) Se T : R5 → R6 e uma transformacao linear, podemos ter dim Im(T ) > 6? Justifique sua

resposta.

b) Existe alguma transformacao linear T : R2 → R2 tal que T (1,1) = (2,2) e T (2,2) = (3,1)?

Justifique sua resposta.

c) A transformacao T : P1→ P2 definida por T (p(t)) = t p(t)+ p(0)p′(1) e linear?

d) Se T : R3→ R3 e um operador linear e se a imagem de T e um plano que passa pela origem,

que tipo de objeto geometrico e o nucleo de T ?

Exercıcio 4.25 Seja T : R2→ R2 tal que [T ] =

2 1

0 −1

. Encontre os vetores u e v tais que:

a) T (u) = 2u

b) T (v) =−v

Exercıcio 4.26 Sejam F,G : R3→ R3 transformacoes lineares dadas por F(x,y,z) = (x+ y,z+ y,z)

e G(x,y,z) = (x+2y,y− z,x+2z).

a) Determine F ◦G.

b) Determine uma base para N(F ◦G).

c) Determine uma base para Im(F ◦G).

g) F ◦G e isomorfismo? Justifique sua resposta.

Exercıcio 4.27 Seja T : ℜ3→ ℜ3 o operador linear definido por T (x,y,z) = (3x,x− y,2x+ y+ z).

Mostre que (T 2− I)◦ (T 2−9I) = 0.

Exercıcio 4.28 Sejam R,S,T tres transformacoes lineares de R3 em R3. Se

[R] =

1 0 1

2 1 1

0 −1 1

e [S] =

−2 1 −1

3 1 2

1 −2 0

,

encontre T tal que R = S◦T .

Exercıcio 4.29 Sejam as transformacoes lineares S : P1→ P2 e T : P2→ P1 definidas por

S(a+bx) = a+(a+b)x+2bx2

T (a+bx+ cx2) = b+2cx

a) Determine (S◦T )(3+2x− x2).

b) E possıvel calcular (T ◦S)(a+bx)? Em caso afirmativo calcule (T ◦S)(π +πx).


Exercıcio 4.30 Considere o operador T : P2 → P2 definida por T (p(x)) = p′(x) + p(x) e a

transformacao linear S : P2→ R3 definida por S(a+bx+ cx2) = (a+b,c,a−b).

a) Verifique se S e isomorfismo. Se for, determine S−1.

b) Determine uma base para N(S◦T ) e uma base para Im(S◦T ).

c) Seja β = {1+ x,x− x2,1} uma base de P2 e α = {(1,0,0),(0,1,1),(0,0,−1)} base do R3.

Determine [S◦T ]βα .

Exercıcio 4.31 Considere a transformacao linear T : R4 → M2 definida por T (a,b,c,d) = a a+b

b+ c d

e a transformacao linear S : M2→M2 definida por S

a b

c d

=

a− c c−b

b a+d

.

Verifique se S◦T e um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso (S◦T )−1.


4.1 - a) Sim b) Nao c) Sim d) Nao e) Nao f) Sim g) Nao h) Nao i) Sim j) E transformacao

linear se a = 0. k) Sim

4.2 - a) T (p) = (a+ c)+(a+b+ c)t +(b−2c)t2.

b) Sim c) Sim d) Sim

4.3 - a) T (x,y) =

y− x x− y

x− y y− x

b) T (1000,999) =

−1 1

1 −1

c) Nao, pois T nao e injetora (dimN(T ) = 1 = 0) nem sobrejetora (dim Im(T ) = 1 = 4)

4.4 - a) β = {(1,−1,1)}

b) Nao existe base

c) β = {(1,1,0),(0,0,2),(1,−1,1)}

4.5 - a) T (x,y) =( x−y

2 , x−y2 ,2x+ y

)b) Nao existe base para o N(T ) e β =

{(12 ,

12 ,2),(−1

2 ,−12 ,1)}

e uma base para Im(T )

c) γ = {(1,1,1),(0,1,0),(−1,−1,2)}

4.6 - T (x,y) =(

4x+2y5 , 2x+y

5

), dim Im(T ) = 1 e dimN(T ) = 1. T nao e inversıvel pois T nao e

injetora e nem sobrejetora.

4.7 - T−1(x,y,z) =(

y, z−x4 , x−2y+z

2

)4.8 - T−1(a,b,c) = (2a−2b− c)+(−a+2b+ c)x+(a−b− c)x2


4.9 - [T ]γβ =

0 0 0

1 −3 9

0 1 −6

0 0 1

4.10 - T (x,y,z) = (x− y,−x+ y,x− y) e uma possibilidade.

4.11 - T (x,y,z,w) = (x− y,0,0,w) e uma possibilidade.

4.16 - a) Apenas p(x) = 2 ∈ N(T )

b) Apenas p(x) = x2 ∈ Im(T )

c) N(T ) = {p(x) = a;a ∈ R} e Im(T ) = {p(x) = bx+ cx2;b,c ∈ R}.

4.18 - [T ]αβ =

0 1 −2 3

0 0 2 0

0 0 0 3

4.20 - a) [T ]βα =

12 −1 −2 0

0 1 1 0

0 0 1 −1

0 0 0 1

c) dimN(T ) = 0 d) dim Im(T ) = 4

4.21 - a) dimN(A) = 0 b) dim Im(T ) = n

4.22 - a) dimN(T ) = 3 b) dimN(T ) = 2 c) dimN(T ) = 0 d) dimN(T ) = 0

4.23 - Use o teorema da dimensao para provar cada um dos ıtens.

4.24 - a) Nao, pois dim Im(T )≤ 5

b) Nao, pois o conjunto {(1,1),(2,2)} nao forma uma base para o R2.

4.25 - a) u = (x,0) b) v = (x,−3x).

4.26 - a) (F ◦G)(x,y,z) = (x+3y− z,x+ y+ z,x+2z)

b) N(F ◦G) = {(x,y,z) ∈ R3 : y = z e x =−2z} e β = {(−2,1,1)} e base para o nucleo.

c) Uma das bases e α = {(1,1,1),(3,1,0)}

d) Nao, pois F ◦G nao e injetora (dimN(F ◦G) = 1 = 0) e nao e sobrejetora (dim Im(F ◦G) =

2 = 3)

4.27 - Note que [(T 2− I)◦ (T 2−9I)] = [(T 2− I)]× [(T 2−9I)]

4.29 - a) (S◦T )(3+2x− x2) = 2−4x2

b) (T ◦S)(a+bx) = 2π +4πx

4.30 - a) S−1(x,y,z) = x+z2 + x−z

2 t + yt2.

b) ker(S◦T ) = {0}, (S◦T )(P2) = R3


c) [S◦T ]βα =

3 0 1

0 −1 0

−1 −3 −1

4.31 - (S◦T )−1

a b

c d

= (a+b+ c,−a−b,a+2b+ c,−a−b− c+d)

4... - T (x,y,z) = (8x− y+9z,4x+4z,−13x+2y−15z).

4... - T (a+bt + ct2) =

a− c+2b 3b

−b a− c+b

e uma possibilidade.

Capıtulo 5

OPERADORES LINEARES

Definicao 5.1 Uma transformacao linear T : V →V e chamada de operador linear.

Observacao 15 Todas as propriedades ja vistas para transformacoes lineares em geral vale para um

operador linear

5.1 Transformacoes especiais no plano e no espaco

Os operadores lineares que veremos a seguir sao chamados de transformacoes especiais do plano e do

espaco por serem bastantes usados em aplicacoes praticas e tambem em aplicacoes numericas.

5.1.1 Transformacoes no Plano

(a) Dilatacao ou contracao

T : R2→ R2

T (x,y) = α(x,y)(5.1)

Se |α|< 1, T contrai o vetor.

Se |α|> 1, T dilata o vetor.

Se α = 1, T e a identidade.

Se α < 0, T inverte o sentido do vetor.

Se α > 0, T mantem o mesmo sentido do vetor.

Matricialmente x

y

−→ α 0

0 α

x

y

118 5.1. Transformacoes especiais no plano e no espaco

Geometricamente, para α > 0 temos:

Figura 5.1: Dilatacao ou contracao - (5.1)

(b) Cisalhamento na direcao do eixo dos x

E uma transformacao que move cada ponto (x,y) paralelamente ao eixo x por uma quantia αy para a

nova posicao (x+αy,y).

T : R2→ R2

T (x,y) = (x+αy,y)(5.2)

Matricialmente x

y

−→ 1 α

0 1

x

y

Geometricamente:

Figura 5.2: Cisalhamento na direcao do eixo dos x - (5.2)

(c) Cisalhamento na direcao do eixo dos y

E uma transformacao que move cada ponto (x,y) paralelamente ao eixo y por uma quantia αx para a

nova posicao (x,y+αx).

T : R2→ R2

T (x,y) = (x,αx+ y)(5.3)

Matricialmente x

y

−→ 1 0

α 1

x

y

Geometricamente:

Figura 5.3: Cisalhamento na direcao do eixo dos y - (5.3)

5.1. Transformacoes especiais no plano e no espaco 119

(d) Reflexao na origem

T : R2→ R2

T (x,y) = (−x,−y)(5.4)

Matricialmente x

y

−→ −1 0

0 −1

x

y

Geometricamente:

Figura 5.4: Reflexao na origem - (5.4)

Observacao 16 Observe que este e um caso particular da contracao quando α =−1

(e) Projecao sobre uma reta no plano

Definicao 5.2 Definimos como sendo projecao sobre uma reta r, que passa pela origem, no plano o

operador linear T : R2→ R2 definido por

T (v) = pro juv (5.5)

onde u e o vetor diretor da reta r.

Figura 5.5: Projecao sobre uma reta no plano - (5.5)

Exemplo 149 Determinar o operador linear que e a projecao sobre a reta y =−6x

A reta y =−6x pode ser parametrizada por

x = t

y = −6t


logo um vetor diretor da reta e u = (1,−6).

T (v) = pro juv

T (v) =(u.v

u.u

)u

T (x,y) =

((1,−6).(x,y)(1,−6).(1,−6)

)(1,−6)

T (x,y) =

(x−6y

37,−6x+36y

37

)

(f) Reflexao atraves de uma reta no plano

Definicao 5.3 Definimos como sendo reflexao atraves da reta r, que passa pela origem, a

transformacao linear T : R2→ R2 tal que |T (v)|= |v| e

pro juv = pro juT (v) (5.6)


Figura 5.6: Reflexao atraves da reta r- (5.6)

Para obter a expressao data a transformacao T , considere a figura abaixo que representa a reflexao

em torno de uma reta no plano onde estao mostrados o vetor diretor diretor, u , da reta, o vetor p, a

projecao de v na direcao do vetor u,e o vetor T (v).

Figura 5.7: Reflexao em torno de uma reta no plano - (5.6)

Da definicao de reflexao podemos observar que

T (v)+ v = 2p

T (v) = 2p− v

T (v) = 2pro juv− v

Portanto a reflexao em torno de uma reta no plano e dada por


onde pro juv e a projecao do vetor v na direcao do vetor u


Casos Particulares

f.1 - Reflexao em torno do eixo dos x

T : R2→ R2

T (x,y) = (x,−y)(5.7)

Matricialmente x

y

−→ 1 0

0 −1

x

y

Geometricamente:

Figura 5.8: Reflexao em torno do eixo dos x - (5.7)

f.2 - Reflexao em torno do eixo dos y

T : R2→ R2

T (x,y) = (−x,y)(5.8)

Matricialmente x

y

−→ −1 0

0 1

x

y

Geometricamente:

Figura 5.9: Reflexao em torno do eixo dos y - (5.8)

f.3 - Reflexao em torno da reta y = x

T : R2→ R2

T (x,y) = (y,x)(5.9)

Matricialmente x

y

−→ 0 1

1 0

x

y

Geometricamente:

Figura 5.10: Reflexao em torno da reta y = x - (5.9)

f.4 - Reflexao em torno da reta y =−x


T : R2→ R2

T (x,y) = (−y,−x)(5.10)

Matricialmente x

y

−→ 0 −1

−1 0

x

y

Geometricamente:

Figura 5.11: Reflexao em torno da reta y =−x - (5.10)

(g) Rotacao de um angulo θ

Definimos Rotacao no plano de um angulo θ a transformacao T : R2→ R2 tal que

|T (v)|= |v| (5.11)

e o angulo entre os vetores T (v) e v e θ .

Geometricamente

Figura 5.12: Rotacao de um angulo θ - (5.11)

Vamos agora determinar a matriz da transformacao linear rotacao de um angulo θ e a expressao

de Rθ em funcao de x e y. Seja

Rθ : R2→ R2

Rθ (x,y) = (x′,y′)

Quando rotacionamos um vetor, pela propria definicao de rotacao, o comprimento (modulo) do

vetor nao se altera. Seja r = |v| , onde v = (x,y).

Da figura acima e usando relacoes trigonometricas temos;

x′ = r cos(α +θ) = r cosα cosθ − r sinα sinθ


Mas

r cosα = x

r sinα = y

entao

x′ = xcosθ − ysinθ

Analogamente

y′ = r sin(α +θ) = r sinα cosθ + r cosα sinθ

y′ = ycosθ + xsinθ = xsinθ + ycosθ

Assim

Rθ (x,y) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ)

Matricialmente x

y

−→ cosθ −sinθ

sinθ cosθ

x

y

Podemos ver neste caso que matriz de uma rotacao e:

[Rθ ] =

cosθ −sinθ

sinθ cosθ

5.1.2 Transformacoes no Espaco

(a) Reflexao atraves de uma reta no espaco

Definicao 5.4 Definimos como sendo Reflexao atraves da reta r, que passa pela origem, no espaco

a transformacao linear T : R3→ R3 tal que

|T (v)| = |v|

pro juv = pro juT (v)(5.12)


Geometricamente

Figura 5.13: Reflexao atraves da reta r no espaco - (5.12)


Para obter a expressao para a transformacao T , considere a figura abaixo que representa a reflexao

em torno de uma reta no plano onde estao mostrados o vetor diretor diretor, u , da reta, o vetor p, a

projecao de v na direcao do vetor u,e o vetor T (v).

Figura 5.14: Reflexao atraves da reta r no espaco - (5.12)

Da definicao de reflexao podemos observar que

T (v)+ v = 2p

T (v) = 2p− v


Portanto a reflexao em torno de uma reta no espaco e dada por

T (v) = 2p− v

ond p = pro juv e a projecao do vetor v na direcao do vetor u

Casos Particulares: Reflexao em relacao aos eixos coordenados

a.1 - Reflexao atraves do eixo x

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (x,−y,−z)

Matricialmente x

y

z

−→

1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

x

y

z

a.2 - Reflexao atraves do eixo y

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (−x,y,−z)


Matricialmente x

y

z

−→−1 0 0

0 1 0

0 0 −1

x

y

z

a.3 - Reflexao atraves do eixo z

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (−x,−y,z)

Matricialmente x

y

z

−→−1 0 0

0 −1 0

0 0 1

x

y

z

(b) - Reflexao atraves de um plano

Definicao 5.5 Definimos Reflexao atraves de um plano, que passa pela origem, no espaco ao oper-

ador linear T : R3→ R3 tal que

|T (v)| = |v|

pro jnv = −pro jnT (v)(5.13)

onde n o vetor normal do plano.

Figura 5.15: Reflexao atraves de um plano - (5.13)

Para obter a expressao para a transformacao T , considere a figura abaixo que representa a reflexao

em torno de um plano no espaco onde estao mostrados o vetor normal do plano, vetor n, o vetor

projecao de v na direcao do vetor n, vetor p, o vetor projecao sobre o plano, vetor m, e o vetor T (v).

Figura 5.16: Reflexao atraves de um plano - (5.13)

Da definicao de Reflexao atraves de uma plano podemos deduzir que p+m = v

m− p = T (v)


Portanto

T (v) = v−2p

onde p = pro jnv e a projecao de v na direcao do vetor normal n do plano.

Casos particulares: Reflexao atraves dos planos coordenados

b.1 - Reflexao atraves do plano xy

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (x,y,−z)

Matricialmente x

y

z

−→

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

x

y

z

Geometricamente

Figura 5.17: Reflexao atraves do plano xy - (5.13)

b.2 - Reflexao atraves do plano xz

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (x,−y,z)

Matricialmente

x

y

z

−→

1 0 0

0 −1 0

0 0 1

x

y

z

b.3 - Reflexao atraves do plano yz

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (−x,y,z)

Matricialmente x

y

z

−→−1 0 0

0 1 0

0 0 1

x

y

z


(c) Reflexao na origem

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (−x,−y,−z)(5.14)

Matricialmente x

y

z

−→−1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

x

y

z

Geometricamente

Figura 5.18: Reflexao na origem - (5.14)

(d) Rotacao no Espaco

Definicao 5.6 Definimos Rotacao de um angulo θ em torno de um eixo coordenado c ao operador

linear Tθ : R3→ R3 tal que

|Tθ (v)|= |v| (5.15)

e o angulo entre a projecao de v no plano ortogonal a c e a projecao de Tθ (v) no plano ortogonal

a c e o angulo θ medido no sentido anti-horario a partir da projecao de v no plano ortogonal a c.

Figura 5.19: Rotacao no espaco - (5.15)

d.1 - Rotacao em torno do eixo z

Para obter a expressao da transformacao que e uma rotacao em torno do eixo z vamos considerar:

p = projecao de v no plano xy

q = projecao de T (v) no plano xy

Figura 5.20: Rotacao em torno do eixo z - (5.15)

Tθ (x,y,z) = (x′,y′,z′)


Observe que z′ = z

Como |T (v)| = |v| entao |p| = |q| . Alem disso o vetor q e obtido pela rotacao do vetor p no

plano xy por um angulo θ , ou seja, q = Rθ (p). Como ja visto em rotacao no plano ( item g) de

Transformacoes no plano) temos que

x′ = xcosθ − ysinθ

y′ = xsinθ + ycosθ

Portanto

Tθ : R3→ R3

Tθ (x,y,z) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ ,z)

Matricialmente x

y

z

=

cosθ −sinθ 0

sinθ cosθ 0

0 0 1

x

y

z

[Tθ ]Z =

cosθ −sinθ 0

sinθ cosθ 0

0 0 1

d.2 - Rotacao em torno do eixo y

Figura 5.21: Rotacao em torno do eixo y - (5.15)

Tθ (x,y,z) = (x′,y′,z′)

Como a rotacao e em torno do eixo y temos y′ = y. No plano xz vemos que o vetor q e obtido a

partir do vetor p pela rotacao do angulo θ no sentido horario.

Figura 5.22: Rotacao em torno do eixo y - (5.15)

Portanto podemos considerar o vetor p obtido a partir do vetor q por uma rotacao no sentido


anti-horario, ou seja, Rθ (p) = q. Logo,

x

z

=

cosθ −sinθ

sinθ cosθ

x′

z′

x′

z′

=

cosθ −sinθ

sinθ cosθ

−1 x

z

x′

z′

=

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

x

z

x′ = xcosθ + zsinθ

z′ = zcosθ − xsinθ

Tθ (x,y,z) = (x′,y′,z′)

Tθ (x,y,z) = (xcosθ + zsinθ ,y,−xsinθ + zcosθ)

Matricialmente:

[Tθ ]Y =

cosθ 0 sinθ

0 1 0

−sinθ 0 cosθ

d.3 - Rotacao em torno do eixo x

A matriz da Rotacao em torno do eixo x e dada por

[Tθ ]X =

1 0 0

0 cosθ −sinθ

0 sinθ cosθ

Exemplo 150 Determinar o angulo formado entre v e T (v) quando o vetor v = (√

32√

2,√

24 ,√

22 ) gira

130 5.2. Propriedades dos operadores inversıveis

em torno do eixo z de um angulo π2 rad.

[T (v)] =

cos π

2 −sin π2 0

sin π2 cos π

2 0

0 0 1

√

32√

2√2

4√2

2

′

[T (v)] =

0.0 −1.0 0.0

1.0 0.0 0.0

0.0 0.0 1.0

√

32√

2√2

4√2

2

′

[T (v)] =

−√

24√3

2√

2√2

2

′

Como desejamos o angulo entre v e T (v),vamos usar a formula do cosseno do angulo entre dois

vetores:

cosα =v ·T (v)|v| |T (v)|

=12

Portanto o angulo entre v e T (v) e α = arccos 12 = π

3

Exemplo 151 Encontre a matriz canonica do operador linear T : R3 → R3 que primeiro roda um

vetor no sentido anti-horario em torno do eixo z por um angulo θ e depois reflete o vetor resultante

em torno do plano yz e finalmente projeta este vetor ortogonalmente sobre o plano xy.

5.2 Propriedades dos operadores inversıveis

Definicao 5.7 Seja T : V → V um operador linear. Se existir um operador T−1 : V → V tal que

T ◦T−1 = T−1 ◦T = I ( neste caso I : V →V e a identidade em V ) entao dizemos que o operador T

e inversıvel e T−1 e o operador inverso de T.

Observacao 17 Um operador e inversıvel se, e somente se, ele e um isomorfismo

Seja T : V →V um operador linear:

I) Se T e inversıvel e T−1 sua inversa, entao T ◦T−1 = T−1 ◦T = I

II) O operador T e inversıvel se, e somente se, Ker(T ) ={−→

0}.

5.2. Propriedades dos operadores inversıveis 131

III) O operador T e inversıvel se, e somente se, det [T ] = 0

IV) Se T e inversıvel, T transforma base em base, isto e, se α = {v1, . . . ,vn} e base de V entao

β = {T (v1), . . . ,T (vn)} e base de V.

Se T e inversıvel e β uma base de V entao T−1 : V →V e linear[T−1]β

β =([T ]ββ

)−1. Quando β e

a base canonica temos a forma mais simples[T−1]= [T ]−1 e portanto

[T−1] · [T ]−1 =

[T−1 ◦T

]= [I] .

Com isso vemos que T e inversıvel se e somente se det [T ] = 0.

Exemplo 152 Considere o operador Rθ : R2→ R2, dado por

Rθ (x,y) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ)

verifique se T e inversıvel e em caso afirmativo encontre T−1.

Como det [Rθ ] = cos2 θ + sin2 θ = 1 = 0, temos que Rθ e inversıvel.

Como[R−1

θ]= [Rθ ]

−1 , basta calcular a inversa da matriz deRθ

[Rθ ] =

cosθ −sinθ

sinθ cosθ

[Rθ ]−1 =

cosθ

cos2 θ+sin2 θsinθ

cos2 θ+sin2 θ

− sinθcos2 θ+sin2 θ

cosθcos2 θ+sin2 θ

[Rθ ]−1 =

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

Note que [Rθ ]

−1 = [Rθ ]T , ou seja, [Rθ ] e uma matriz ortogonal, logo R−1

θ : R2→ R2

x

y

→ cosθ sinθ

−sinθ cosθ

x

y

=

xcosθ + ysinθ

ycosθ − xsinθ

R−1

θ (x,y) = (xcosθ + ysinθ ,ycosθ − xsinθ)

Exemplo 153 Seja T o operador T : R3 → R3 que e a projecao ortogonal do vetor v = (x,y,z) na

direcao da reta dada pela intersecao dos planos y = x e z = y.Verifique se T e inversıvel e em caso

afirmativo determine T−1.

132 5.2. Propriedades dos operadores inversıveis

Para determinar a projecao na direcao da reta basta determinar a projecao ortogonal sobre o

vetor diretor da reta. Devemos inicialmente determinar o vetor diretor da reta: y = x

z = y

Para obter a equacoes parametricas fazemos x = t, logo

x = t

y = t

z = t

portando o vetor diretor da reta e u = (1,1,1).

T (v) = pro juv =(v ·u

u ·u

)u

T (x,y,z) =

((x,y,z) · (1,1,1)(1,1,1) · (1,1,1)

)(1,1,1)

T (x,y,z) =

(x+ y+ z

3

)(1,1,1)

T (x,y,z) =

(x+ y+ z

3,x+ y+ z

3,x+ y+ z

3

)

[T ] =

13

13

13

13

13

13

13

13

13

det [T ] = 0

Como det [T ] = 0 temos que T nao e inversıvel.

Exemplo 154 Seja a matriz invertıvel A =

3 1

2 1

que leva a reta y = 2x+ 1 numa outra reta.

Encontre sua equacao.

Exemplo 155 Seja T : R2 → R2 a transformacao que e uma rotacao de π4 rad e S : R2 → R2 a

transformacao que e uma reflexao em torno da reta y =−2x. Determine a transformacao R = S◦T.

R = S◦T

[R] = [S] [T ]

5.3. Operadores autoadjuntos e ortogonais 133

[T ] =

cos π4 −sin π

4

sin π4 cos π

4

[T ] =

12

√2 −1

2

√2

12

√2 1

2

√2

S(v) = 2p− v

S(x,y) = 2(

(x,y) · (1,−2)(1,−2) · (1,−2)

)(1,−2)− (x,y)

S(x,y) =

(−3x−4y

5,−4x+3y

5

)

[S] =

−35 −4

5

−45

35

[R] = [S] [T ]

[R] =

−35 −4

5

−45

35

12

√2 −1

2

√2

12

√2 1

2

√2

[R] =

− 710

√2 − 1

10

√2

− 110

√2 7

10

√2

R(x,y) =

(−7√

210

x−√

210

y,−√

210

x+7√

210

y

)

5.3 Operadores autoadjuntos e ortogonais

Definicao 5.8 Seja V um espaco vetorial com produto interno, α uma base ortonormal e T : V →V

um operador linear. Entao:

a) T e chamado um operador auto-adjunto se [T ]αα e uma matriz simetrica.

b) T e chamado um operador ortogonal se [T ]αα e uma matriz ortogonal.

Observacao 18 Consideraremos aqui apenas os operadores T : Rn → Rn, com o produto escalar

usual (que e um produto interno no espaco Rn).

134 5.3. Operadores autoadjuntos e ortogonais

Observacao 19 Uma base β = {v1,v2, · · · ,vn} e ortonormal se vi · v j =

1, i = j

0, i = j.

Portanto podemos dizer que um operador T :Rn→Rn e um operador auto-adjunto se [T ] (a matriz

de T em relacao a base canonica) e uma matriz simetrica. T : Rn→ Rn e um operador ortogonal se

[T ] (a matriz de T em relacao a base canonica) e uma matriz ortogonal.

Exemplo 156 Consideremos a transformacao: R3 → R3, a rotacao de um angulo θ em torno do

eixo z.

T (x,y,z) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ ,z)

A matriz da transformacao T e

[T ] =

cosθ −sinθ 0

sinθ cosθ 0

0 0 1

Como esta e uma matriz ortogonal, T e um operador ortogonal.

Exemplo 157 Seja T : R2→ R2 onde T (x, .y) = (2x−2y,−2x+5y). A matriz de T e

[T ] =

2 −2

−2 5

Como a matriz de T e simetrica, entao T e um operador auto-adjunto.

Teorema 5.1 Seja T : Rn→ Rn linear. Se T e um operador auto-adjunto entao

T (v) ·w = v ·T (w), ∀v,w ∈ Rn

Teorema 5.2 Seja T : Rn→ Rn linear. Entao sao equivalentes as seguintes afirmacoes:

a) T e ortogonal.

b) T preserva o produto escalar, isto e, T (v) ·T (w) = v ·w, ∀v,w ∈ R.

c) T preserva o modulo, isto e, |T (v)|= |v|.

d) T transforma bases ortonornais em bases ortonormais. Isto e, se{

v1,v2, . . . ,vn}

e uma base

ortonornal entao {T (v1),T (v2), . . . ,T (vn)} e uma base ortonornal.

5.4. Quinta lista de exercıcios 135

5.4 Quinta lista de exercıcios

Exercıcio 5.1 Encontre a transformacao linear T : R3 → R3 tal que os vetores u = (1,2,0) e v =

(0,1,−1) pertencam ao nucleo de T e que T (1,0,0) = (1,1,1).

Exercıcio 5.2 Seja T : M2→M2 definida por T (A) = AB−BA, onde B2×2 e uma matriz fixa.

a) Mostre que T e um operador linear.

b) Sabendo que B =

1 1

0 3

, encontre uma base para N(T ) e uma base para Im(T ).

Exercıcio 5.3 Seja T a reflexao no origem dada por

T : R3→ R3

T (x,y,z) = (−x,−y,−z)

Determine a inversa T−1 da transformacao T.

Exercıcio 5.4 Defina operador simetrico e operador ortogonal. De um exemplo para cada um dos

casos, justificando sua escolha.

Exercıcio 5.5 Seja A : R3→ R3, dada por A = G◦L onde G e a rotacao de π3 do em torno do eixo y

e L e a rotacao de π2 em torno do eixo z. Determine a matriz de A em relacao a base canonica, isto

e, determine [A]. O operador A e ortogonal? E auto-adjunto?

Exercıcio 5.6 Determine a transformacao linear de R2 em R2 que representa uma reflexao da reta

y = −x,seguida de uma dilatacao de fator 2 na direcao ox e, um cisalhamento de fator 3 na direcao

vertical.

Exercıcio 5.7 Usando inversao matricial mostre o seguinte:

a) A transformacao inversa de uma reflexao em torno da reta y = x e a reflexao em torno da reta

y = x.

b) A transformacao inversa de uma reflexao em torno de um eixo coordenado e a reflexao em

torno daquele eixo.

Exercıcio 5.8 a) Encontre a transformacao T do plano no plano que e uma reflexao em torno da

reta y = 6x.

b) Escreva-a em forma matricial.

136 5.4. Quinta lista de exercıcios

Exercıcio 5.9 No plano, uma rotacao anti-horaria de 450 e seguida por uma dilatacao de√

3. Ache

a aplicacao A que representa esta transformacao do plano.

Exercıcio 5.10 Analise se a seguinte afirmacao e verdadeira ou falsa: ”Se T : R2 → R2 e uma

rotacao de um angulo θ (em sentido anti-horario) em torno da origem, seguida de uma dilatacao

de fator 3 entao T−1 e uma contracao de fator 13 seguida de uma rotacao de um angulo −θ em torno

da origem”.

Exercıcio 5.11 Encontre a transformacao linear T : R2 → R2 definida pela rotacao de π6 (sentido

anti-horario) seguida de uma reflexao atraves da reta y = 2x. A seguir, faca um esboco da Im(T ) se

a transformacao T for aplicada ao retangulo de vertices (0,0),(1,0),(1,2) e (0,2).

Exercıcio 5.12 Seja T : R3→ R3 e a projecao de vetor v no plano x+ y+ z = 0. Encontre T (x,y,z).

Exercıcio 5.13 Seja L :R3→R3 onde L e a reflexao atraves do plano x+y+z= 0. EncontreL(x,y,z).

Exercıcio 5.14 Seja A : R3→R3 onde L e a rotacao de π2 em torno do eixo z seguida de uma rotacao

de π3 do em torno do eixo y. Encontre A(x,y,z).

Exercıcio 5.15 Seja A e uma matriz de ordem n fixada. Seja T : Mn → Mn definida por T (N) =

AN−NA. Mostre que T nao e inversıvel.

Exercıcio 5.16 Encontre a transformacao linear T : R3 → R3 tal que Ker(T ) ={(x,y,z) ∈ R3�y = 2x− z

}Exercıcio 5.17 Determine se a transformacao T (x,y) = (

√3

2 x− 12y, 1

2x+√

32 y) e uma transformacao

auto-adjunta ou ortogonal. Justifique sua resposta.

Exercıcio 5.18 O operador linear T (x,y,z) = (−12

√2x− 1

2

√2z,y, 1

2

√2x− 1

2

√2z) e a rotacao de um

angulo θ em torno do eixo y. Determine o valor do angulo θ .

Exercıcio 5.19 Considere o triangulo de vertices (1,1), (−3,−3) e (2,−1). Determine a ima-gem

de T aplicada sobre este triangulo segundo uma rotacao anti-horaria de 60◦. Faca um desenho da

Imagem.

Exercıcio 5.20 Seja o operador T : P3→ P3 definido por T (p) = x3 p(1x ):

a) Mostre T e inversıvel.

b) Calcule a inversa T−1 do operador T

Exercıcio 5.21 Seja T : M(2,2)→M(2,2) um operador linear tal que T (A) = A+AT . Verifique se

o operador T e inversıvel.

5.4. Quinta lista de exercıcios 137


5.1 - T (x,y,z) =(x− y+z

2 ,x− y+z2 ,x− y+z

2

)5.2 - b) Uma base para ker(T ) e:

1 0

0 1

,0 1

0 2

, enquanto que para ℑ(T ), uma base e:−1 0

−2 1

,0 1

0 0

.

5.3 - T−1 = T

5.5 - [A] =

0 −12

√3

2

1 0 0

0√

32

12

. Claramente nao e auto-adjunto, mas e ortogonal (verifique!).

5.6 - T (x,y) = (−2y,−x−6y)

5.8 - a) T (x,y) =(−35x+12y

37 , 12x+95y37

)b) T (x,y) = 1

37

−35 12

12 95

x

y

5.9 - T (x,y) =

(√6x−√

6y2 ,

√6x+√

6y2

)5.10 - Verdadeira

5.11 - T (x,y) =((4−3

√3)x+(3+4

√3)y

10 , (3+4√

3)x+(−4+3√

3)y10

)5.12 - T (x,y,z) =

(−y−z3 , −x−z

3 , −y−z3

)5.13 - T (x,y,z) =

(x−2y−2z

3 , −2x+y−2z3 , −2x−2y+z

3

)5.14 - T (x,y,z) =

(−y+√

3z2 ,x,

√3y+z2

)5.15 - Se N = In, entao T (N) =? Olhe entao para o nucleo de T .

5.16 - Existem varias transformacoes lineares que cumprem esta condicao. Uma delas e

T (x,y,z) = (0,0,x− y2 −

z2 .

5.17 - E ortogonal mas nao e auto-adjunta (faca as contas).

5.18 - 5π4

5.20 - T−1 = T

5.21 - O que acontece se a matriz A for antisimetrica? Neste caso, como fica o nucleo de T ?

138 5.4. Quinta lista de exercıcios

Capıtulo 6

AUTOVALORES E AUTOVETORES

Dado um operador linear T : V →V, estamos interessados em saber quais vetores sao levados em um

multiplo de si mesmo; isto e, procuramos um vetor v ∈ V e um escalar λ ∈ R tais que T (v) = λv.

Neste caso T (v) sera um vetor de mesma direcao que v. Por vetor de mesma direcao estaremos en-

tendendo vetores sobre a mesma reta suporte. Como v =−→0 satisfaz a equacao para todo λ , estaremos

interessados em determinar vetores v =−→0 satisfazendo a condicao acima.

Definicao 6.1 Seja T : V → V , um operador linear. Se existirem v ∈ V, v = −→0 , e λ ∈ R tais que

T (v) = λv, λ e um autovalor de T e v e um autovetor de T associado a λ .

Observe que λ pode ser o numero 0, embora v nao possa ser o vetor nulo.

Exemplo 158 T : V →V dado por T (v) = kv, onde k e uma constante

Neste caso todo vetor de V e um autovetor associado ao autovalor λ = k

Exemplo 159

T : R2→ R2 (Reflexao no eixo x)

T (x,y) = (x,−y)

Neste caso observamos que os vetores que serao levados em multiplos dele mesmo serao os vetores

que estao no eixo x, pois v = (x,0)⇒ T (v) = T (x,0) = (x,0) = v. Os vetores que estao no eixo y

tambem sao levados em multiplos de si mesmo pois estes vetores tem a forma w = (0,y)⇒ T (w) =

T (0,y)= (0,−y)=−1(0,y). Podemos concluir entao que os vetores do tipo v=(x,0) sao autovetores

associados ao autovalor λ1 = 1 e os vetores da forma w = (0,y) sao autovetores associados a λ2 =

−1, da tranformacao linear reflexao no eixo x.

140 6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz

Exemplo 160

R π2

: R2→ R2 (Rotacao de um angulo π2 )

R π2(x,y) = (−y,x)

Observe que na rotacao de π2 nenhum vetor e levado em um multiplo de si mesmo, a direcao

de todos vetores de R2 sao alterados pela rotacao. Portanto a rotacao de um angulo π2 nao possui

autovetores e autovalores.

Teorema 6.1 Dada uma transformacao linear T : V → V e um autovetor v associado a um auto-

valor λ , qualquer vetor w = αv (α = 0) tambem e um autovetor de T associado a λ .

Observacao 20 Note que se um vetor v e autovetor de uma transformacao T associado ao autovalor

λ entao todos os multiplos de v tambem serao autovetores associados a λ . O Conjunto formado por

todos os autovetores associados a um mesmo autovalor e um conjunto infinito.

Teorema 6.2 Seja T : Rn→Rn um operador auto-adjunto e λ1,λ2 autovalores distintos de T e v1 e

v2 os autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Entao v1 e perpendicular a v2.

Definicao 6.2 O subespaco Vλ = {v ∈V�T (v) = λv} e chamado o subespaco associado ao auto-

valor λ .

Como vimos na nota acima o conjunto Vλ contem todos os autovetores de T associados ao au-

tovalor λ , contem tambem o vetor nulo−→0 de V ja que o vetor

−→0 satifaz a relacao T (

−→0 ) = λ

−→0 . O

conjunto Vλ pode ser escrito como Vλ = {Todos os autovetores de T associados a λ}∪{−→

0}.

6.1 Autovalores e autovetores de uma matriz

Agora vamos obter uma forma de calcular os autovalores e autovetores de uma transformacao usando

sua matriz em relacao as bases canonicas. Inicialmente definiremos autovalores e autovetores de uma

matriz A.

Dada uma matriz quadrada, A, de ordem n, estaremos entendendo por autovalor e autovetor de A o

autovalor e autovetor da transformacao TA :Rn→Rn, associada a matriz A em relacao a base canonica

de Rn, isto e TA(v) = A ·v (na forma coluna). Assim, um autovalor λ ∈R de A, e um autovetor v∈Rn,

sao solucoes da equacao A · v = λv, v =−→0 .

6.1. Autovalores e autovetores de uma matriz 141

6.1.1 Polinomio Caracterıstico

Seja a matriz

A =

a11 a12 ........ a1n

a21 a22 ........ a2n...

...

am1 am2 ........ amn

e v =

x1

x2...

xn

Para encontrar os autovalores e autovetores de A, devemos resolver a equacao:

Av = λv

Av = λ Iv

Av−λ Iv =−→0

(A−λ I)v =−→0

Escrevendo esta equacao explicitamente,temos

a11−λ a12 ........ a1n

a21 a22−λ ........ a2n...

...

am1 am2 ........ amn−λ

x1

x2...

xn

=

0

0...

0

Fazendo

B =

a11−λ a12 ........ a1n

a21 a22−λ ........ a2n...

...

am1 am2 ........ amn−λ

temos o sistema

B · v =−→0

Este sistema e um sistema homogeneo e possui ao menos a solucao v =−→0 . Mas como estamos

procurando autovetores, queremos encontrar vetores v = −→0 que satisfacam a equacao B · v =−→0 .

Sendo assim queremos que o sistema B · v =−→0 seja compatıvel e indeterminado ( tenha alem da

solucao trivial, outras solucoes nao triviais). Pela regra de Cramer se detB = 0 entao o sistema

homogeneo tera infinitas solucoes. Assim, a unica maneira de encontrarmos autovetores v (solucoes


nao nulas da equacao B · v =−→0 ) e termos detB = 0, ou seja,

det(A−λ I) = 0

Impondo esta condicao determinamos primeiramente os autovalores λ que satisfazem a equacao

e depois os autovetores a eles associados. Observamos que

p(λ ) = det(A−λ I) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11−λ a12 ........ a1n

a21 a22−λ ........ a2n...

...

am1 am2 ........ amn−λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣e um polinomio em λ de grau n.

Definicao 6.3 O polinomio p(λ ) = det(A−λ I) e chamado polinomio caracterıstico da matriz A

Observe que as raızes do polinomio caracterıstico sao os autovalores da matriz A. Note tambem

que o autovalor pode ser o numero zero (quando o polinomio caracterıstico tem raızes zero), embora

o autovetor v associado a λ nao possa ser o vetor nulo.

Exemplo 161 Vamos agora calcular os autovetores e autovalores da matriz A =

−3 4

−1 2

.

Temos que: p(λ ) = det(A−λ I) = det

−3−λ 4

−1 2−λ

= (2−λ )(−3−λ )+4 = λ 2 +λ −2

p(λ ) = 0⇒ λ 2 +λ −2 = 0⇒ λ1 = 1 e λ2 =−2.

Necessitamos calcular os autovetores de A e para isso basta resolvermos o sistema:

Av = λv

onde v =

x

y

e λ e cada um dos autovalores ja encontrados.


Para λ1 = 1 temos −3 4

−1 2

x

y

= 1

x

y

−3−1 4

−1 2−1

x

y

=

0

0

−4 4

−1 1

x

y

=

0

0

Temos um sistema homogeneo cuja matriz ampliada e −4 4

−1 1

|

|

0

0

escalonando

⇒

−4 4

0 0

|

|

0

0

−4x+4y = 0⇒ y = x

Portando os autovalores associados ao autovalor λ1 = 1 sao da forma v = (x,x) = x(1,1) e assim

podemos concluir que o subespaco associado ao autovalor λ1 = 1 e V1 = [(1,1)] .

Para λ1 =−2 temos −3 4

−1 2

x

y

= −2

x

y

−3− (−2) 4

−1 2− (−2)

x

y

=

0

0

−1 4

−1 4

x

y

=

0

0

Temos um sistema homogeneo cuja matriz ampliada e −1 4

−1 4

|

|

0

0

escalonando

⇒

−1 4

0 0

|

|

0

0

−x+4y = 0⇒ y =x4

Portando os autovalores associados ao autovalor λ1 =−2 sao da forma v = (x, x4) = x(1, 1

4) e assim


podemos concluir que o subespaco associado ao autovalor λ2 =−2 e V2 =[(1, 1

4)].

Exemplo 162 Encontre os autovalores e autovetores da transformacao linear que a cada vetor v ∈

R3 associa a sua projecao ortogonal no plano x+ y− z = 0.

Devemos encontrar a transformacao linear T : R3→ R3 tal que T (v) = projecao de v no plano

x+ y− z = 0.

Figura 6.1: Transformacao Linear T - (Exemplo 162)

Da figura acima vemos que para obtermos a projecao sobre o plano devemos inicialmente fazer

a projecao do vetor v na direcao do vetor normal n para obter o vetor p = pro jnv. Com isso temos,

T (v)+ p = v

T (v) = v− p

T (v) = v− pro jnv

Um vetor normal do plano x+ y− z = 0 e n = (1,1,−1), logo, como v = (x,y,z) temos

p = pro jnv

p =(v ·n

n ·n

)n

p =

((x,y,z) · (1,1,−1)

(1,1,−1) · (1,1,−1)

)(1,1,−1)

p =

(x+ y− z

3

)(1,1,−1)

p =

(x+ y− z

3,x+ y− z

3,−x+ y− z

3

)

T (v) = v− p

T (x,y,z) = (x,y,z)−(

x+ y− z3

,x+ y− z

3,−x+ y− z

3

)T (x,y,z) =

(2x− y+ z

3,−x+2y+ z

3,x+ y+2z

3

)

Para calcular os autovalores de T devemos encontrar a matriz de T. Neste caso,

[T ] =

23

−13

13

−13

23

13

13

13

23


p(λ ) = det([T ]−λ I) = 0

det

23 −λ −1

313

−13

23 −λ 1

313

13

23 −λ

= 0

p(λ ) =−λ 3 +2λ 2−λ = 0

As raizes de p(λ ) sao λ1 = 0 e λ2 = λ3 = 1.

Para λ1 = 0 vamos calcular os autovalores associados resolvendo o sistema.23

−13

13

−13

23

13

13

13

23

x

y

z

=

0

0

0

cuja matriz ampliada e,

23

−13

13 | 0

−13

23

13 | 0

13

13

23 | 0

escalonando

=⇒

23 −1

313 | 0

0 12

12 | 0

0 0 0 | 0

23x− 1

3y+ 13z = 0

12y+ 1

2z = 0 2x− y+ z = 0

y+ z = 0

e entao:

y = −z

x = −z

Portanto os autovalores associados ao autovalor λ1 = 0 sao da forma v = (−z,−z,z).

Observacao 21 Note que acima damos a forma geral dos autovetores, no caso acima temos v =

z(−1,−1,1) assim um autovetor e v = (−1,−1,1) como todo autovetor e um multiplo de v =

(−1,−1,1) temos que V1 = [(−1,−1,1)], isto e, o subespaco associado ao autovalor λ1 = 0 e gerado

pelo vetor v = (−1,−1,1). Note que geometricamente o subespaco V0 = [(−1,−1,1)] e formado


pelos vetores que sao multiplos do vetor normal ao plano, ou seja, por todos os vetores ortogonais ao

plano.

Para λ2,3 = 1 vamos calular os autovalores associados resolvendo o sistema.

23 −1 −1

313

−13

23 −1 1

313

13

23 −1

x

y

z

=

0

0

0

−1

3 −13

13

−13 −1

313

13

13 −1

3

x

y

z

=

0

0

0

−1

3 −13

13

−13 −1

313

13

13 −1

3

−1

3 −13

13

−13 −1

313

13

13 −1

3

escalonando

=⇒

−1

3 −13

13

0 0 0

0 0 0

−1

3x− 1

3y+

13

z = 0 → x =−y+ z

Portanto os autovalores associados aos autovalores λ2 = λ3 = 1 sao da forma v = (−y+ z,y,z) =

y(−1,1,0)+ z(1,0,1). Logo V2 = [(−1,1,0)] e V3 = [(1,0,1)].

Exemplo 163 Encontre todos os autovalores e autovetores do operador linear T : P2→ P2 definido

por T (a+bx+ cx2) =−2c+(a+2b+ c)x+(a+3c)x2.

A matriz que representa o operador T e dada por:

[T ] =

0 0 −2

1 2 1

1 0 3


Para encontrar os autovetores resolver ([T ]−λ I)v = 0, isto e,

0−λ 0 −2

1 2−λ 1

1 0 3−λ

a

b

c

=

0

0

0

Para obtermos uma solucao nao nula para este sistema devemos impor:

det([T ]−λ I) =−λ (2−λ )(3−λ )+2(2−λ ) = 0

Obtemos entao os autovalores λ1 = 1 e λ2 = λ3 = 2.

Vamos agora encontrar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 1 e λ2 = λ3 = 2.

Para λ1 = 1:−1 0 −2

1 1 1

1 0 2

a

b

c

=

0

0

0

Escalonando

⇒

−1 0 −2

0 1 −1

0 0 0

a

b

c

=

0

0

0

⇒ −→p = (−2c,c,c)

Portanto, −→p =−2c+ cx+ cx2 e autovetor associado a λ1 = 1

Para λ2 = λ3 = 2:−2 0 −2

1 0 1

1 0 1

a

b

c

=

0

0

0

Escalonando

⇒

−2 0 −2

0 0 0

0 0 0

a

b

c

=

0

0

0

⇒−→p = (−c,b,c)

Portanto −→p =−c+bx+ cx2 e autovetor associado a λ2 = λ3 = 2.

Exemplo 164 Encontre os autovalores e autovetores:

a)

1 4

2 3

b)

2 1 0

0 1 −1

0 2 4

c)

1 1 2

0 5 −1

0 0 7

148 6.2. Matrizes Semelhantes

d)

4 0 1

−2 1 0

−2 0 1

e)

5 6 2

0 −1 −8

1 0 −2

Exemplo 165 Seja T : R2 → R2 o operador dado por T (x,y) = (4x + 4y,x + 4y). Determine os

autovetores e autovalores.

6.2 Matrizes Semelhantes

Seja T : V → V um operador linear. Sejam α e β bases de V e [T ]αα , [T ]ββ matrizes de T em relacao

as bases α e β respectivamente, entao:

[T ]ββ = [I]αβ [T ]αα [I]βα

Lembrando que [I]βα =([I]αβ)−1

temos que

[T ]ββ = [I]αβ [T ]αα([I]αβ)−1

Chamando [I]αβ = A :

[T ]ββ = A [T ]αα A−1

Pelo conceito de matriz de uma transformacao linear podemos escrever:

[T (v)]α = [T ]αα [v]α (I)

e

[T (v)]β = [T ]ββ [v]β (II)

Sendo [I]αβ a matriz mudanca de base de α para β , tem-se:

[v]α = [I]βα [v]β e [T (v)]α = [I]βα [T (v)]β

6.3. Diagonalizacao de Operadores 149

Substituindo [v]α e [T (v)]α em (I), resulta:

[I]βα [T (v)]β = [T ]αα [I]βα [v]β

ou,

[T (v)]β =([I]βα)−1

[T ]αα [I]βα [v]β

Comparando essa igualdade com (II) , tem-se

[T ]ββ =([I]βα)−1

[T ]αα [I]βα

ou, como [I]αβ =([I]βα)−1

, podemos escvrever

[T ]ββ = [I]αβ [T ]αα([I]αβ)−1

As matrizes [T ]αα e [T ]ββ sao chamadas semelhantes.

Definicao 6.4 Dadas as matrizes A e B, se existe uma matriz P inversıvel tal que

A = PBP−1

entao dizemos que as matrizes A e B sao semelhantes.

Observacao 22 Se A e B sao semelhantes entao detA = detB, mas nao vale a recıproca.

6.3 Diagonalizacao de Operadores

Nosso objetivo aqui sera encontrar uma base do espaco vetorial V na qual a matriz de um determinado

operador linear T : V → V seja a mais simples possıvel. Veremos que a melhor situacao possıvel e

aquela em que conseguimos uma matriz diagonal associada a um operador.

Dado um operador linear T : V → V , nosso objetivo e conseguir uma base β , para V , na qual

a matriz do operador nesta base ([T ]ββ ) seja uma matriz diagonal. Esta e a forma mais simples de

se representar um operador e a base β , nesse caso, e uma base cujos vetores sao autovetores de T .

Observemos inicialmente o exemplo que segue.

150 6.3. Diagonalizacao de Operadores

Exemplo 166 Seja T : R2→ R2 o operador linear definido por T (x,y) = (−3x+4y,−x+2y), cuja

matriz, em relacao a base canonica e [T ] =

−3 4

−1 2

.

Seus autovalores sao λ1 = 1 e λ2 =−2 com autovetores associados v1 = (1,1) e v2 = (4,1), res-

pectivamente. Notemos que os autovetores formam uma base de R2. Seja, entao, β = {(1,1),(4,1)}

a base de R2 formada pelos autovetores de T e encontremos [T ]ββ . Para tal, aplicamos T em cada

vetor da base β e escrevemos a imagem obtida como combinacao linear dos vetores da base β :

T (1,1) = (1,1) = a(1,1)+b(4,1) = 1(1,1)+0(4,1)

T (4,1) = (−8,−2) = c(1,1)+d(4,1) = 0(1,1)−2(4,1)

Assim, [T ]ββ =

1 0

0 −2

.

Notemos que [T ]ββ e uma matriz diagonal e representa o operador T na base β de autovetores.

Na verdade, quando a base de autovetores existe, a matriz que representa um operador linear nesta

base sera sempre uma matriz diagonal que, como ja citado, e a forma mais simples de se representar

o operador. O problema, entao, e saber em que condicoes a base de autovetores existe, pois veremos

adiante que em muitos casos tal base nao existe.

Consideremos, para elucidar o problema citado, as propriedades que seguem:

Propriedades 6.1

1. Autovetores associados a autovalores distintos sao linearmente independentes. Proof. Ex-

ercıcio! �

2. Se T : V →V e um operador linear tal que dimV = n e T possui n autovalores distintos, entao

o conjunto β = {v1,v2, . . . ,vn}, formado pelos correspondentes autovetores, e uma base de V .

Em outras palavras, se conseguirmos encontrar tantos autovalores distintos quanto for a dimensao

do espaco, podemos garantir a existencia de uma base de autovetores.

Definicao 6.5 Seja T : V →V um operador linear. Dizemos que T e um operador diagonalizavel se

existe uma base β de V cujos elementos sao autovetores de T .

Neste caso, a matriz que representa T na base β e uma matriz diagonal cujos elementos sao

autovalores de T , ou seja,


[T ]ββ =

λ1 0 . . . 0

0 λ2 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . λn

Aqui supomos que dimV = n.

Exemplo 167 Observemos os autovalores e respectivos autovetores associados a um operador linear

T, representados pela matriz A =

1 −1 4

3 2 −1

2 1 −1

.

Os Autovalores e autovetores de A sao:

λ1 = 1⇒ v1 = (−z,4z,z) = z(−1,4,1)

λ2 =−2⇒ v2 = (−y,y,y) = y(−1,1,1)

λ3 = 3⇒ v3 = (x,2x,x) = x(1,2,1)

Logo o conjunto β = {(−1,4,1),(−1,1,1),(1,2,1)} e uma base do R3, pela propriedade 2 e,

portanto o operador T representado pela matriz A, e diagonalizavel. Entao, como a base β e formada

pelos autovetores de A ou de T, o operador T e representado por uma matriz diagonal D que e a matriz

[T ]ββ . A construcao da matriz D pode ser acompanhada conforme segue:

T (v1) = Av1 = (−1,4,1)

T (v2) = Av2 = (2,−2,−2)

T (v3) = Av3 = (3,6,3)

Entao:

(−1,4,1) = a(−1,4,1)+b(−1,1,1)+ c(1,2,1)

(2,−2,−2) = d(−1,4,1)+ e(−1,1,1)+ f (1,2,1)

(3,6,3) = g(−1,4,1)+h(−1,1,1)+ i(1,2,1)


Dessa forma, temos

D =

1 0 0

0 −2 0

0 0 3

= [T ]ββ

Exemplo 168 Considere agora o operador T :R3→R3, representado pela matriz A=

4 2 0

−1 1 0

0 1 2

.

Autovalores e autovetores de A :

λ1 = λ2 = 2⇒ v1 = (0,0,z) = z(0,0,1)

λ3 = 3⇒ v3 = (−2,1,1)

Observe que A nao pode ser diagonalizada, pois nao e possıvel encontrar uma base de autovetores

para o R3; so e possıvel obter dois autovetores L.I.

6.3.1 Matriz Diagonalizadora

Seja T : V →V um operador linear. Sejam A a matriz canonica do operador T, isto e, [T ] = A e D a

matriz de T na base β de autovetores. As matrizes A e D sao semelhantes, pois representam o mesmo

operador T em bases diferentes. Logo, a relacao de matrizes semelhantes 6.4 permite escrever:

D = P−1AP

onde P e a matriz mudanca da base β para a base canonica α, isto e, P = [I]βα .

Note que, pela definicao da matriz P, podemos concluir que ela e uma matriz cujas colunas sao os

autovetores do operador T. Observamos que a matriz D e obtida pela ”atuacao”da matriz P, quando

ela existe, sobre a matriz A. Dizemos entao que a matriz P diagonaliza A ou que P e a matriz diago-

nalizadora.

Exemplo 169 Sendo possıvel, encontre a matriz que diagonaliza A =

1 3 3

−3 −5 −3

3 3 1

.

Temos que determinar uma matriz inversıvel P e uma matriz diagonal D tal que D = P−1AP.

Vamos seguir os seguintes passos:


Passo1- Determinar aos autovalores de A

det(A−λ I) = 0⇒ det

1−λ 3 3

−3 −5−λ −3

3 3 1−λ

=−λ 3−3λ 2 +4 = 0

Os autovalores sao λ1 = λ2 =−2 e λ3 = 1

Passo 2 - Determinar os autovetores

Serao necessarios tres autovetores porque a matriz e 3× 3, caso contrario a matriz nao podera

ser diagonalizada.

Calculando os autovetores por meio do sistema homogeneo:1−λ 3 3

−3 −5−λ −3

3 3 1−λ

x

y

z

=

0

0

0

obteremos:

- Para λ =−2 uma base para o subespaco associado e v1 = (−1,1,0) e v2 = (−1,0,1).

- Para λ = 1 uma base para o subespaco associado e v3 = (1,−1,1).

Note que {v1,v2,v3} e linearmente independente. (Verifique)

Passo 3 - Monte P a partir dos vetores do passo 2

P =[v1 v2 v3

]=

−1 −1 1

1 0 −1

0 1 1

Passo 4 - Monte D a partir dos autovalores associados

E essencial que a ordem dos autovalores seja igual a ordem escolhida para as colunas de P.

D =

−2 0 0

0 −2 0

0 0 1


Passo 5 - Verifique que D = P−1AP ou que AP = PD

AP =

1 3 3

−3 −5 −3

3 3 1

−1 −1 1

1 0 −1

0 1 1

=

2 2 1

−2 0 −1

0 −2 1

PD =

−1 −1 1

1 0 −1

0 1 1

−2 0 0

0 −2 0

0 0 1

=

2 2 1

−2 0 −1

0 −2 1

Teorema 6.3 Se A e uma matriz n×n com n autovalores distintos entre si, entao A e diagonalizavel.

Proof. Exercıcio. �

Exemplo 170 A matriz A =

2 −3 7

0 5 1

0 0 −1

tem autovalores λ1 = 2,λ2 = 5 e λ3 = −1. Como esses

sao tres autovalores distintos de uma matriz 3×3, A e diagonalizavel.

Definicao 6.6 i) Se λ e autovalor de uma matriz A de tamanho n×n, entao a dimensao do subespaco

associado a λ e chamada multiplicidade geometrica de λ .

ii) O numero de vezes que λ aparece como autovalor de A e chamado de multiplicidade algebrica

de λ .

Teorema 6.4 Se A e uma matriz quadrada, entao:

i) Para cada autovalor de A, a multiplicidade geometrica e menor do que ou igual a multiplicidade

algebrica.

ii) A e diagonalizavel se, e somente se, para cada autovalor, a multiplicidade geometrica e igual

a multiplicidade algebrica.

Exemplo 171 Diagonalize a seguinte matriz, se possıvel.

A =

5 0 0 0

0 5 0 0

1 4 −3 0

−1 −2 0 −3

Vamos calcular det(A−λ I) = 0 para encontrar os autovalores de A.

6.4. Calculando potencias de uma matriz 155

det

5−λ 0 0 0

0 5−λ 0 0

1 4 −3−λ 0

−1 −2 0 −3−λ

= 0⇒

λ1 = λ2 = 5

λ3 = λ4 =−3

λ = 5 e λ =−3, ambos tem multiplicidade 2.

Calculando os autovetores por meio do sistema homogeneo:5−λ 0 0 0

0 5−λ 0 0

1 4 −3−λ 0

−1 −2 0 −3−λ

x

y

z

t

=

0

0

0

0

obtemos:

- Para λ = 5 uma base para o subespaco associado e v1 = (−8,4,1,0) e v2 = (−16,4,0,1).

- Para λ =−3 uma base para o subespaco associado e v3 = (0,0,1,0) e v4 = (0,0,0,1).

Note que para ambos os autovalores a multiplicidade algebrica e igual a multiplicidade

geometrica, logo pelo teorema anterior, concluımos que A e diagonalizavel.

Entao existe P tal que A = P−1DP, onde P =

−8 −16 0 0

4 4 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

e D =

5 0 0 0

0 5 0 0

0 0 −3 0

0 0 0 −3

.

6.4 Calculando potencias de uma matriz

Nesta secao, veremos como a diagonalizacao de matrizes pode ajudar no calculo de potencias de

matrizes.

Teorema 6.5 Seja A e uma matriz quadrada n× n e k um numero inteiro. Se v e autovetor de A

associado ao autovalor λ entao v tambem e autovetor de Ak associado ao autovalor λ k.

Proof. Por definicao, se v e autovetor de A associado ao autovalor λ entao Av = λv.

Multiplicando por A ambos os lados da igualdade, tem-se

A2v = Aλv = λ (Av) = λ 2v

156 6.4. Calculando potencias de uma matriz

Novamente, multiplicando por A ambos os lados

A3v = Aλ 2v = λ 2(Av) = λ 3v

Generalizando esta ideia para k vezes, obtemos

(A ·A · ..... ·A︸︷︷︸k−1 vezes

)Av = (A ·A · ..... ·A︸︷︷︸k−1 vezes

)λv⇒ Akv = λ kv

concluindo assim nossa demonstracao.

�Assim, todo autovetor de A e tambem autovetor de Ak e portanto, se a matriz A e diagonalizavel,

A e Ak possuem a mesma matriz diagonalizadora P. O proximo teorema nos diz como obter a matriz

Ak para todo k inteiro.

Teorema 6.6 Seja A e uma matriz quadrada n×n diagonalizavel entao existe uma matriz invertıvel

P e uma matriz diagonal D tais que Ak = PDkP−1, para todo k inteiro.

Proof. Se A e diagonalizavel, entao existe uma matriz invertıvel P e uma matriz diagonal D tais que

A = PDP−1. Assim,

Ak = A.A.A · · ·A

= (PDP−1).(PDP−1).(PDP−1) · · ·(PDP−1)

= PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDkP−1

�Isso sugere que para calcularmos Ak podemos diagonalizar A, obtendo P e D, depois calcular Dk,

e o resultado sera igual a PDkP−1. Como D e diagonal e sua diagonal e formada pelos autovalores de

A, pelo teorema anterior tem-se

Dk =

λ k

1 0 . . . 0

0 λ k2 . . . 0

...... . . . ...

0 0 . . . λ kn

.

Exemplo 172 Calcule A20 onde A =

1 −2 8

0 −2 0

0 0 −2

6.5. Sexta lista de exercıcios 157

6.5 Sexta lista de exercıcios

Exercıcio 6.1 Construa uma matriz 2x2 nao diagonal com autovalores 1 e −1.

Exercıcio 6.2 Se k e um numero inteiro, λ um autovalor da matriz A e v um autovetor de A associado

ao autovetor λ . Mostre que λ k e um autovalor da matriz Ak associado ao autovetor v.

Exercıcio 6.3 Encontre os autovalores de A9 se A =

1 3 7 11

0 12 3 8

0 0 0 4

0 0 0 2

Exercıcio 6.4 Encontre os autovalores e autovetores das transformacoes lineares dadas:

a) T : R2→ R2 tal que T (x,y) = (2y,x)

b) T : R2→ R2 tal que T (x,y) = (x+ y,2x+ y)

c) T : R3→ R3 tal que T (x,y,z) = (x+ y,x− y+2z,2x+ y− z)

d) T : P2→ P2 tal que T (ax2 +bx+ c) = ax2 + cx+b

e) T : M(2,2)→M(2,2) tal que A→ AT

Exercıcio 6.5 Encontre a transformacao linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores −2 e 3

associados aos autovetores (3y,y) e (−2y,y) respectivamente.

Exercıcio 6.6 Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes

a) A =

1 2 3

0 1 2

0 0 1

b) A =

1 0 2

−1 0 1

1 1 2

c) A =

2 0 1 0

0 2 0 1

12 0 3 0

0 −1 0 0

.

Exercıcio 6.7 Que vetores nao nulos do plano, quando cisalhados por C(x,y) = (y− 3x,y) e em

seguida girados de 45o (no sentido anti-horario) ficam ampliados / reduzidos (na mesma direcao)?

Em quantas vezes?

Exercıcio 6.8 Seja T : V →V linear

a) Se λ = 0 e autovalor de T , mostre que T nao e injetora.

b) A recıproca e verdadeira? Ou seja, se T nao e injetora, λ = 0 e autovalor de T ?

c) Quais sao os autovalores e autovetores do operador derivacao D : P2→ P2, D(p) = p′.

Exercıcio 6.9 Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R3→R3

obtido quando se faz uma rotacao de π rad em torno do eixo x, seguida de uma contracao de 12 .

158 6.5. Sexta lista de exercıcios

Exercıcio 6.10 Seja T : V → V o operador linear que tem autovalores λ1 = 1,λ2 = 2, · · · , λn = n

associados aos autovetores v1,v2, · · · ,vn respectivamente. Sabendo que β = {v1,v2, · · · ,vn} e que

[v]β =

1

2...

n

, determinar [T (v)]β .

Exercıcio 6.11 Seja A uma matriz quadrada e AT sua transposta. As matrizes A e AT possuem os

mesmos autovalores e autovetores? Justifique sua resposta.

Exercıcio 6.12 Encontre os autovalores e autovetores da transformacao linear que a cada vetor v ∈

R3 associa a sua projecao ortogonal no plano x+ y = 0.

Exercıcio 6.13 Sejam A e B matrizes n× n. Se B e semelhante a A, entao as duas matrizes tem o

mesmo polinomio caracterıstico e, portanto, os mesmos autovalores.

Exercıcio 6.14 Seja T : ℜ2→ ℜ2 um operador linear que dobra o comprimento do vetor (1,−3) e

triplica e muda o sentido do vetor (3,−1).

a) Determine T (x,y)

b) Calcule T (0,2)

c) Qual a matriz do operador T na base {(2,1),(1,2)}.

Exercıcio 6.15 Seja T : M(2,2) → M(2,2) com autovetores v1 =

1 0

0 0

, v2 =

0 1

0 0

, v3 =1 0

1 0

e v4 =

0 0

1 1

associados aos autovalores λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2,λ4 = 0, respectiva-

mente. Determine T

a b

c d

.

Exercıcio 6.16 Dada a transformacao linear T : ℜ2 → ℜ2 que e a projecao sobre a reta y = x2 .

Encontre os autovalores e autovetores da transformacao T .

Exercıcio 6.17 Considere P1 = conjunto dos polinomios de grau ≤ 1. Seja o operador linear D :

P1→ P1 dado por D(p) = x.p′+ p′ .Determine os autovalores e autovetores de D.

Exercıcio 6.18 Sejam A,B ∈M(n,n) matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe

alguma relacao entre seus autovalores? Qual?


Exercıcio 6.19 Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V → V

associados a um autovalor λ e um subespaco vetorial de V .

Exercıcio 6.20 Discuta a veracidade da afirmacao: Se λ nao e um autovalor de A, entao o sistema

linear (A−λ I)v = 0 so tem a solucao trivial.

Exercıcio 6.21 A matriz A =

1 2

3 2

e semelhante a matriz B =

4 0

0 −1

. Determine uma ma-

triz P que realiza esta semelhanca.

Exercıcio 6.22 Verifique se as matrizes dadas sao semelhantes

a)

1 1

−1 4

e

2 1

1 3

b)

3 1

−6 −2

e

−1 2

1 0

Exercıcio 6.23 Se B = R−1AR e −→v e um autovetor de B associado a um autovalor λ entao R−→v e

autovetor de A associado a λ .

Exercıcio 6.24 Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que:

a) A− I e B− I sao semelhantes.

b) Ak e Bk sao semelhantes, para cada inteiro positivo k.

c) Se A e B sao inversıveis, entao A−1 e B−1 sao semelhantes.

Exercıcio 6.25 Seja T o operador linear em R3 definido por T (x,y,z) = (2y+ z,x− 4y,3x) e con-

sidere a base usual α do R3 e a base β = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.

a) Mostre que as matrizes [T ]α e [T ]β sao semelhantes.

b) T e inversıvel? Se for determine a lei que define T−1.

Exercıcio 6.26 Sejam T : V → V e um operador linear e α e β bases distintas de V . Mostre que se

[T ]αα e [T ]ββ sao matrizes semelhantes entao det [T ]αα = det [T ]ββ .

Exercıcio 6.27 Seja T : R2→ R2 o operador linear definido por T (x,y) = (7x−4y,−4x+ y)

a) Determinar uma base do R2 em relacao a qual a matriz do operador T e diagonal.

b) Dar a matriz de T nessa base.

Exercıcio 6.28 Considere uma transformacao linear T : V → V abaixo. Se possıvel, encontre uma

base β para V tal que a matriz [T ]ββ de T, em relacao a base β , seja diagonal.

a) T : P2→ P2 definida por T (a+bx) = (4a+2b)+(a+3b)x.

b) T : P2→ P2 definida por T (p(x)) = p(x+1).


Exercıcio 6.29 Verificar se a matriz A e diagonalizavel. Caso seja, determinar uma matriz P que

diagonaliza A e calcular P−1AP.

a) A =

5 −1

1 3

b) A =

1 2 1

−1 3 1

0 2 2

c) A =

2 −1 0 1

0 2 1 −1

0 0 3 2

0 0 0 3

Exercıcio 6.30 Determine o valor de k para que a matriz A =

2 k 0

0 2 1

0 0 3

seja diagona-lizavel.

Exercıcio 6.31 Determine a de modo que a matriz A=

3 −2 4 −1

0 1 a 0

0 0 3 4

0 0 0 2

seja diagonalizavel. Para o

valor de a encontrado, determine uma matriz inversıvel P e uma matriz diagonal D tais que P−1AP =

D.

Exercıcio 6.32 Calcule A10 para A =

0 1

2 1

.

Exercıcio 6.33 Seja T um operador linear que preserva o comprimento do vetor v1 = (1,0,0), du-

plica o comprimento do vetor v2 = (0,2,0) e inverte o sentido do vetor v3 = (0,2,1). Determine o

operador linear T 20.

Exercıcio 6.34 Seja A uma matriz inversıvel. Prove que, se A e diagonalizavel, A−1 tambem e.

Exercıcio 6.35 Seja A uma matriz 4× 4 e seja λ um autovalor de multiplicidade 3. Se A−λ I tem

posto 1, A e diagonalizavel? Explique.

Exercıcio 6.36 Classifique cada afirmacao como verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.

a) Se A e diagonalizavel, entao A tem n autovalores distintos.


b) Se A e inversıvel entao A e diagonalizavel.

c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes e diagonalizavel.

d) Se A e diagonalizavel, entao cada um de seus autovalores tem multiplicidade 1.

e) Se nenhum dos autovalores de A e nulo, entao detA = 0.

f) Se u e v sao autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos λ1 e λ2,

entao u+ v e um autovetor de A associado ao autovalor λ1 +λ2.

g) Se v e autovetor dos operadores T : V →V e S : V →V entao v e autovetor do operador T +S.


6.1 - a)λ1 =

√2 =⇒ v1 = (

√2y,y)

λ2 =−√

2 =⇒ v2 = (−√

2y,y)

b)λ1 = 1+

√2 =⇒ v1 = (x,

√2x)

λ2 = 1−√

2 =⇒ v2 = (x,−√

2x)

c)

λ1 = 2 =⇒ v1 = (y,y,y)

λ2 =−1 =⇒ v2 = (−2z,4z,z)

λ3 =−2 =⇒ v3 = (x,−3x,x)

d)λ1 = λ2 = 1 =⇒ p1(x) = ax2 +bx+b

λ3 =−1 =⇒ p2(x) = bx−b

e)

λ1 = λ2 = 1 =⇒ A1 =

a b

b c

λ3 = λ4 =−1 =⇒ A3 =

0 −c

c 0

6.2 - a) λ1 = λ2 = λ3 = 1 =⇒ v = (x,0,0)

b)

λ1 = 1 =⇒ v1 = (x,−x,0)

λ2 = 3 =⇒ v2 = (x,0,x)

λ3 =−1 =⇒ v3 = (−z,−2z,z)

c)

λ1 = 6 =⇒ v1 = (x,0,4x,0)

λ2 =−1 =⇒ v2 = (x,0,−3x,0)

λ3 = 1 =⇒ v3 = (0,−t,0, t))

6.4 - Por exemplo a matriz [T ] =

1 −11

0 −1

6.5 - T (x,y) = (−6y,y− x)


6.6 - a)λ1 =−3

2

√2 =⇒ v = (x, 3

5x)

λ2 =√

2 =⇒ v = (0,y)

6.7 -λ1 =

12 =⇒ v = (x,0,0)

λ2 = λ3 =−12 =⇒ v = (0,y,z)

6.8 - a) T (x,y) =(−29x−15y

8 , 15x+21y8

)b)T (0,2) =

(−15

4 ,214

)c) [T ]{(2,1),(1,2)} =

130

35 85

−115 −125

6.9 - T

a b

c d

=

a+ c−d −b

2c−2d 0

6.10 -

λ1 = 1 =⇒ v = (2y,y)

λ2 = 0 =⇒ v = (x,−2x)

6.11 -λ1 = 0 =⇒ p1(x) = a

λ2 = 1 =⇒ p2(x) = b+bx

6.13 -λ1 = 0 =⇒ v1 = (x,x,0)

λ2 = λ3 = 1 =⇒ v2 = (−y,y,z)

6.18 - P e da forma P =

a a

−32d d

, entao uma matriz P que realiza a semelhanca pode ser

P =

1 1

−3 2

.

6.23 - b) T−1(x,y,z) =( z

3 ,−y4 +

z12 ,x+

y2 −

z6

)6.25 - a) β = {(1,2),(−2,1)}

b) [T ]β =

−1 0

0 9

6.26 - a) β = {−1+ x,2+ x}

b) Nao e possıvel encontrar uma base tal que [T ]β seja diagonal.

6.27 - a) Nao

b) P =

0 2 1

1 1 0

−2 2 1

c) Nao

6.28 - k = 0


6.29 - a = 4; D =

3 0 0 0

0 3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 2

; P =

1 0 1 9

2

0 2 1 4

0 1 0 1

0 0 0 12

6.30 - Os autovalores sao 1,0, 1

512 ,512

6.31 - A10 =

342 341

682 683

6.32 - T 20(x,y,z) = (x,1.048.576y−1.048.574z,z)

6.36 - F, F, F, F, V, F

Capıtulo 7

PRODUTO INTERNO

Estamos interessados nesta secao em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e de angulo

entre dois vetores. Esses conceitos permitirao uma melhor compreensao do que seja uma base ortog-

onal e uma base ortonormal em um espaco vetorial e, principalmente, nos darao a nocao de ”me-

dida”que nos leva a precisar conceitos como o de area, volume, distancia, etc...

Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos

perpendiculares) e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distancia do ponto P a origem O(0,0).

Figura 7.1: Distancia do ponto P a origem - (6)

Observando a figura e utilizando o teorema de pitagoras, temos que d =√

x2 + y2. Podemos

tambem, interpretar este resultado dizendo que o comprimento (que passaremos a chamar de norma)

do vetor (x,y) e

∥(x,y)∥=√

x2 + y2.

Por outro lado, se tivermos dois vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2), podemos definir um ”pro-

duto”de u por v assim:

⟨u,v⟩= x1x2 + y1y2,

produto este chamado de produto escalar ou produto interno usual e que tem uma relacao importante

com a norma de um vetor v = (x,y) :

∥v∥=√

x2 + y2 =√

x.x+ y.y =√⟨v,v⟩.

Se, ao inves de trabalharmos no R2, estivessemos trabalhando no R3 (munidos de um referencial

166 Capıtulo 7. PRODUTO INTERNO

cartesiano ortogonal), terıamos encontrado uma expressao similar para o produto escalar:

⟨(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)⟩= x1x2 + y1y2 + z1z2

e a mesma relacao com a norma de um vetor v = (x,y,z)

∥v∥=√

x2 + y2 + z2 =√⟨v,v⟩

Voltando ao caso do plano, se tivessemos trabalhando com um referencial nao ortogonal (eixos

nao perpendiculares), e quisessemos calcular a distancia da origem ate um ponto P (cujas coordenadas

em relacao ao referencial fossem (x,y) ), terıamos, usando o teorema de Pitagoras,

d = ∥(x,y)∥=√(x+ ycosα)2 +(ysinα)2 =

√x2 +(2cosα)xy+ y2

Figura 7.2: - (6)

Observe, que se usassemos o produto escalar ⟨(x1,y1),(x2,y2)⟩ = x1x2 + y1y2, neste caso nao

haveria a relacao ∥v∥=√⟨v,v⟩,mas ela passaria a valer se usassemos a seguinte regra para o produto:

⟨(x1,y1),(x2,y2)⟩ = x1x2 +(cosα)x1y2 +(cosα)x2y1 + y1y2, pois

⟨v,v⟩ = ⟨(x,y),(x,y)⟩= x2 +(cosα)xy+(cosα)yx+ y2 = ∥v∥2

Portanto, novamente a nocao de distancia poderia ser dada a partir de um produto interno de

vetores.

Concluımos destes exemplos, que o processo usado para se determinar ”medidas”num espaco

pode variar e, em cada caso, precisamos ser bem claros sobre qual produto interno estamos trabal-

hando.

Definicao 7.1 Seja V um espaco vetorial real. Um produto interno sobre V e uma funcao f : V ×V →

R que a cada par de vetores u e v, associa um numero real, denotado por ⟨u,v⟩, e que satisfaz as

seguintes propriedades:

a. ⟨v,v⟩> 0 e ⟨v,v⟩= 0⇔ v = 0

b. ⟨u,v⟩= ⟨v,u⟩

c. ⟨u+ v,w⟩= ⟨u,w⟩+ ⟨v,w⟩

Capıtulo 7. PRODUTO INTERNO 167

d. ⟨ku,v⟩= k ⟨u,v⟩ , ∀ k ∈ R

Exemplo 173 V = R2; f ((x1,y1),(x2,y2)) = 2x1x2 +5y1y2 e um produto interno sobre o R2.

Para mostrar a veracidade da afirmacao devemos provar as propriedades da definicao de produto

Interno. Sejam, entao, u = (x1,y1), v = (x2,y2) e w = (x3,y3) e k ∈ R:

a. ⟨u,u⟩ = ⟨(x1,y1),(x1,y1)⟩ = 2x21 + 5y2

1 > 0 e ⟨u,u⟩ = 0⇒ 2x21 + 5y2

1 = 0⇔ x1 = 0 ou y1 = 0⇔

u = (0,0).

b. ⟨u,v⟩= ⟨(x1,y1),(x2,y2)⟩= 2x1x2 +5y1y2 = 2x2x1 +5y2y1 = ⟨v,u⟩

c. ⟨u+ v,w⟩= ⟨(x1 + x2,y1 + y2),(x3,y3)⟩= 2(x1 + x2)x3 +5(y1 + y2)y3

= (2x1x3 +5y1y3)+(2x2x3 +5y2y3)

= ⟨u,w⟩+ ⟨v,w⟩

d. ⟨ku,v⟩= ⟨(kx1,ky1),(x2,y2)⟩= 2kx1x2 +5ky1y2 = k(2x1x2 +5y1y2) = k ⟨u,v⟩

Exemplo 174 Verifique que ⟨u,v⟩ = 3x1y1− x1y2− x2y1 + x2y2 onde u = (x1,x2), v = (y1,y2) e um

produto interno em R2.

Para mostrar a veracidade da afirmacao devemos provar as propriedades da definicao de produto

Interno. Sejam, entao, u = (x1,x2), v = (y1,y2) e w = (z1,z2) e k ∈ R :

a. ⟨u,u⟩= ⟨(x1,x2),(x1,x2)⟩= 3x21−2x1x2+x2

2 =(2x2

1)+(x2

1−2x1x2 + x22)=(2x2

1)+(x1− x2)

2 > 0

. Entao ⟨u,u⟩= 0 se e somente se x1 = 0, x2 = 0, isto e, u = (0,0).

b. ⟨u,v⟩= ⟨(x1,x2),(y1,y2)⟩= 3x1y1− x1y2− x2y1 + x2y2 = 3y1x1− y2x1− y1x2 + y2x2 = ⟨v,u⟩

c. ⟨u+ v,w⟩= ⟨(x1 + y1,x2 + y2),(z1,z2)⟩= 3(x1 + y1)z1− (x1 + y1)z2− (x2 + y2)z1 +(x2 + y2)z2

= (3x1z1− x1z2− x2z1 + x2z2)+(3y1z1− y1z2− y2z1 + y2z2)

= ⟨u,w⟩+ ⟨v,w⟩

d. ⟨ku,v⟩= ⟨(kx1,kx2),(y1,y2)⟩= 3kx1y1− kx1y2− kx2y1 + kx2y2

= k(3x1y1− x1y2− x2y1 + x2y2) = k ⟨u,v⟩

Exemplo 175 Verifique que ⟨u,v⟩= x1x2+y21y2

2 onde u=(x1,y1) e v=(x2,y2), nao define um produto

interno no R2.

Observe que a terceira propriedade da definicao de Produto Interno falha, vejamos:

168 Capıtulo 7. PRODUTO INTERNO

Sejam, entao, u = (x1,y1), v = (x2,y2) e w = (x3,y3).

⟨u+ v,w⟩ = (x1 + x2)x3 + (y1 + y2)2y2

3 =(x1x3 + y2

1y23)+(x2x3 + y2

2y23)+ 2y1y2y2

3 = ⟨u,w⟩+

⟨v,w⟩+2y1y2y23

Portanto, ⟨u+ v,w⟩ = ⟨u,w⟩+ ⟨v,w⟩ .

Exemplo 176 Sendo u = (x1,x2) e v = (y1,y2) vetores genericos do R2, definamos ⟨u,v⟩= x1y1a2 + x2y2

b2

com a,b ∈ R fixos e nao nulos. Provar que ⟨u,v⟩ define um produto interno sobre R2.

Definicao 7.2 Em Rn, o produto interno usual (ou escalar) e definido por:

⟨(x1,x2, ...,xn),(y1,y2, ...,yn)⟩= x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn.

Observacao 23 Quando nao ha referencia sobre o produto interno definido num espaco vetorial V ,

entendemos que sobre ele fica definido o produto interno usual.

Exemplo 177 Seja V = P2, p = a0 + a1x+ a2x2 e q = b0 + b1x+ b2x2 vetores quaisquer de P2. A

formula

⟨p,q⟩= a0b0 +a1b1 +a2b2

define um produto interno em P2.

Note que

⟨p,q⟩= a1b1 +a2b2

nao define, sobre V, um produto interno, pois falha a propriedade a) da definicao de produto intermo.

Veja que existem polinomios p∈V tais que ⟨p, p⟩= 0, sem que p = 0. Por exemplo, p = 2+0x+0x2.

Exemplo 178 Seja V o espaco da funcoes contınuas no intervalo [a,b]. Se f e g pertencem a V , entao

⟨ f ,g⟩=∫ b

af (x)g(x)dx

define sobre V um produto interno.

Como exercıcio, mostre que as quatro propriedades do produto interno sao validas para este caso.

Definicao 7.3 Se A e B sao duas matrizes quaisquer de V = M2 entao, definimos

⟨A,B⟩= tr(AT B

)(7.1)

7.1. Normas, Distancias e Angulos em Espacos com Produto Interno 169

onde tr e o traco de uma matriz quadrada definido por

tr(A) =nΣaiii=1

Exemplo 179 Considere as matrizes A =

1 2

3 4

e B =

−1 0

3 2

. Entao, ⟨A,B⟩ = tr(AT B

)=

tr

1 2

3 4

T

×

−1 0

3 2

= tr

8 6

10 8

= 16.

7.1 Normas, Distancias e Angulos em Espacos com Produto In-

terno

Definicao 7.4 Se V e um espaco com produto interno, entao a norma (ou comprimento) de um vetor

v ∈V e dada por

∥v∥=√⟨v,v⟩

A distancia entre dois pontos (vetores) u e v e dada por

d(u,v) = ∥u− v∥

Definicao 7.5 Se ∥v∥ = 1, isto e, ⟨v,v⟩ = 1, dizemos que o vetor v esta normalizado, o que significa

que seu comprimento e igual a 1 unidade.

Definicao 7.6 Todo vetor nao-nulo v ∈V pode ser normalizado, fazendo:

u =v∥v∥

.

Exemplo 180 Considerando v = (1,−2,3) e nao havendo referencia a algum produto interno em

R3, temos:

∥v∥= ∥(1,−2,3)∥=√⟨(1,−2,3),(1,−2,3)⟩=

√1+4+9 =

√14,

ou seja, o comprimento de v, em relacao ao produto interno usual, e√

14 unidades.

Exemplo 181 A norma do vetor v = (3,−1) em relacao ao produto interno definido no exemplo 173,

e:

170 7.1. Normas, Distancias e Angulos em Espacos com Produto Interno

∥(3,−1)∥=√⟨(3,−1),(3,−1)⟩=

√2.3.3+5.(−1).(−1) =

√23,

e, em relacao ao produto interno usual e:

∥(3,−1)∥=√

32 +(−1)2 =√

10

Para normalizar o vetor (3,−1), em relacao ao primeiro produto (exemplo 173), fazemos

u =v∥v∥

= (3,−1)√23

=(

3√

2323 ,−

√23

23

)Verifique que o comprimento de u e 1.

Observacao 24 a) Se v ∈ R2, entao o conjunto dos pontos que satisfazem ∥v∥ = 1 pertencem a um

cırculo de raio 1 centrado na origem.

b) Se v ∈R3, entao o conjunto dos pontos que satisfazem ∥v∥= 1 pertencem a uma esfera de raio

1 centrada na origem.

Exemplo 182 Sejam u e v vetores de um espaco euclidiano tais que ∥v∥= 1, ∥u∥= 1 e ∥u− v∥= 2.

Determinar ⟨u,v⟩.

Teorema 7.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Se u e v sao vetores de um espaco com produto

interno real, entao

|⟨u,v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥

Definicao 7.7 - Angulo entre dois vetores: Da desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se

|⟨u,v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥ .

Elevando ao quadrado ambos os lados

|⟨u,v⟩|2 ≤ ∥u∥2 ∥v∥2

Agora, dividindo ambos os lados por ∥u∥2 ∥v∥2 , obtem-se

(⟨u,v⟩∥u∥∥v∥

)2

≤ 1

ou, equivalentemente,

−1≤ ⟨u,v⟩∥u∥∥v∥

≤ 1.

Como 0≤ θ ≤ π, entao −1≤ cosθ ≤ 1, daı,

cosθ =⟨u,v⟩∥u∥∥v∥

e 0≤ θ ≤ π

7.2. Ortogonalidade 171

Exemplo 183 Achar o angulo entre os seguintes pares de vetores do R3:

a) u = (1,1,1) e v = (1/2,−1,1/2)

b) u = (1,−1,0) e v = (2,−1,2)

7.2 Ortogonalidade

Definicao 7.8 Seja V um espaco com produto interno. Os vetores u, v ∈ V dizem-se mutuamente

ortogonais, e u e ortogonal a v, se ⟨u,v⟩= 0.

Note que u e v sao ortogonais, se e somente se, cosθ = 0, onde θ e o angulo entre u e v, e isto e

verdade se e somente se u e v sao ”perpendiculares”, isto e, θ = 90◦.

Observacao 25 A ortogonalidade depende do produto interno, isto e, dois vetores podem ser ortog-

onais em relacao a um produto interno mas nao em relacao a outro.

Exemplo 184 As matrizes A =

0 1

1 1

e B =

3 0

0 0

sao ortogonais, pois

⟨A,B⟩= tr(AT B) = tr

0 3

0 0

= 0

Exemplo 185 Seja ⟨p,q⟩ =∫ 1−1 p(x)q(x)dx um produto interno em P2. Se p = x2 e q = x3 entao⟨

x2,x3⟩= ∫ 1−1 x5dx = 0. Portanto, os vetores p = x2 e q = x3 sao ortogonais em P2.

Exemplo 186 Seja os vetores vetores u=(1,1,1) e v=(1/2,−1,1/2) com o produto interno definido

abaixo, determine se sao ou nao ortogonais.

a) f ((x1,y1,z1),(x2,y2,z2)) = 2x1x2 +5y1y2 +4z1z2

b) Com relacao ao produto interno usual.

7.2.1 Conjunto Ortogonal de Vetores

Seja V um espaco vetorial com produto interno definido.

Diz-se que um conjunto de vetores {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ V e ortogonal se dois vetores quaisquer,

distintos, sao ortogonais, isto e,⟨vi,v j

⟩= 0 para i = j.

Teorema 7.2 Se A= {v1,v2, . . . ,vn} e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos de um espaco com

produto interno, entao A e linearmente independente.

172 7.2. Ortogonalidade

Proof. Temos que mostrar que a equacao

a1v1 +a2v2 + . . .+anvn = 0

tem apenas a solucao nula.

Para isso, facamos o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi :

⟨a1v1 +a2v2 + . . .+anvn,vi⟩ = ⟨0,vi⟩

a1 ⟨v1,vi⟩+a2 ⟨v2,vi⟩+ . . .+an ⟨vn,vi⟩ = 0

Como A e ortogonal,⟨vi,v j

⟩= 0 para i = j e ⟨vi,vi⟩ = 0, pois vi = 0. Daı, resulta a equacao

ai ⟨vi,vi⟩= 0⇒ ai = 0 para i = 1,2, . . . ,n.

Logo, A = {v1,v2, . . . ,vn} e LI. �

7.2.2 Base ortogonal

Diz-se que uma base {v1,v2, . . . ,vn} de V e ortogonal se os seus vetores sao dois a dois ortogonais.

Observacao 26 Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores nao-nulos e dois a dois ortogonais,

constitui uma base ortogonal para V.

Exercıcio 7.1 Mostre que o conjunto {(2,−1,3),(−3,0,2),(2,13,3)} e uma base ortogonal para o

R3.

7.2.3 Base ortonormal

Uma base β = {v1,v2, . . . ,vn} de um espaco vetorial V e ortonormal se β e ortogonal e todos os seus

vetores tem norma 1, isto e, ⟨vi,v j

⟩=

0, i = j

1, i = j

Exercıcio 7.2 A partir do conjunto {(1,2,−3),(3,0,1),(1,−5,−3)} obtenha uma base ortonormal

para o R3.

7.2. Ortogonalidade 173

7.2.4 Coordenadas em relacao a Bases Ortonormais

Teorema 7.3 Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e uma base ortonormal de um espaco com produto interno V e

v ∈V, entao

v = ⟨v,v1⟩v1 + ⟨v,v2⟩v2 + . . .+ ⟨v,vn⟩vn

Proof. Como β = {v1,v2, . . . ,vn} e uma base, entao ∀ v ∈V podemos escrever

v = a1v1 +a2v2 + . . .+anvn

Temos que mostrar que ⟨v,vi⟩= ai para i = 1,2, . . . ,n.

Na equacao acima , aplicando o produto interno em ambos os lados com vi :

⟨v,vi⟩= a1 ⟨v1,vi⟩+a2 ⟨v2,vi⟩+ . . .+an ⟨vn,vi⟩

Como {v1,v2, . . . ,vn} e base ortonormal,⟨vi,v j

⟩= 0 para i = j e ⟨vi,vi⟩ = 1. Logo ⟨v,vi⟩ = ai e

portanto, [v]β =

⟨v1,v⟩

⟨v2,v⟩...

⟨vn,v⟩

e o vetor de coordenadas de v em relacao a base β . �

Exemplo 187 Encontre as coordenadas do vetor v = (1,1,1) em relacao a base β ={(0,1,0) ,

(−4

5 ,0,35

),(3

5 ,0,45

)}.

Note que β e uma base ortonormal (mostre!), portanto podemos usar o teorema 7.3 para encontrar

[v]β .

(1,1,1) = ⟨(1,1,1),(0,1,0)⟩(0,1,0)+⟨(1,1,1),

(−4

5,0,

35

)⟩(−4

5,0,

35

)+

+

⟨(1,1,1),

(35,0,

45

)⟩(35,0,

45

)(1,1,1) = (0,1,0)− 1

5

(−4

5,0,

35

)+

75

(35,0,

45

)

[v]β =

1

−15

75

174 7.3. Complementos Ortogonais

7.2.5 Coordenadas em relacao a Bases Ortogonais

Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e base ortogonal de um espaco com produto interno V,entao a normalizacao de

cada um desses vetores produz a base ortonormal β ′ ={

v1

∥v1∥,

v2

∥v2∥, . . . ,

vn

∥vn∥

}.

Assim, se v ∈V , segue do teorema 7.3 que

v =⟨

v,v1

∥v1∥

⟩v1

∥v1∥+

⟨v,

v2

∥v2∥

⟩v2

∥v2∥+ . . .+

⟨v,

vn

∥vn∥

⟩vn

∥vn∥

ou,

u =⟨v,v1⟩∥v1∥2 v1 +

⟨v,v2⟩∥v2∥2 v2 + . . .+

⟨v,vn⟩∥vn∥2 vn

Exercıcio 7.3 Expresse o vetor(13, 1

2 ,4,32

)como combinacao linear dos vetores v1 = (1,−2,3,−4) ,

v2 = (2,1,−4,−3) , v3 = (−3,4,1,−2) e v4 = (4,3,2,1).

7.3 Complementos Ortogonais

Seja W um subespaco de um espaco vetorial V com produto interno. Se um vetor v ∈V e ortogonal a

todos os vetores de W entao dizemos que v e ortogonal a W.

O conjunto de todos os vetores de V que sao ortogonais a W e chamado de complemento ortog-

onal de W.

Notacao: O complemento ortogonal de W e denotado por W⊥ .

Exemplo 188 Seja V = R4 e W um subespaco do R4. Seja β = {(1,1,0,1),(0,−1,1,1)} uma base

para W. Encontre uma base para W⊥.

Seja v = (x,y,z, t) ∈W⊥, entao ⟨(x,y,z, t),(1,1,0,1)⟩= 0

⟨(x,y,z, t),(0,−1,1,1)⟩= 0

Daı, x+ y+ t = 0

−y+ z+ t = 0⇒

x =−z−2t

y = z+ t

Logo, v = (−z−2t,z+ t,z, t) = z(−1,1,1,0)+ t(−2,1,0,1).

Como v ∈W⊥, segue que W⊥ = [(−1,1,1,0),(−2,1,0,1)] e como este conjunto e LI (pois os

vetores nao sao multiplos), tem-se que β = {(−1,1,1,0),(−2,1,0,1)} e uma base para W⊥.

7.4. Projecoes Ortogonais 175

Exemplo 189 Seja V = R5 e W um subespaco do R5. Seja β =

{(1,−3,5,0,5),(−1,1,2,−2,3),(0,−1,4,−1,5)} uma base para W. Encontre uma base para

W⊥.

Propriedades 7.1 Se W e um subespaco de um espaco com produto interno V, entao:

a. W⊥ e um subespaco de V.

b. W ∩W⊥ ={−→

0}.

c.(W⊥)⊥

=W.

Exercıcio 7.4 Faca como exercıcio a demonstracao das tres propriedades do complemento ortogo-

nal.

7.4 Projecoes Ortogonais

Vamos agora desenvolver alguns resultados que serao uteis para construir bases ortogonais e ortonor-

mais de espacos com produto interno.

E geometricamente evidente em R2 e R3 que se W e uma reta ou um plano pela origem, entao

cada vetor u do espaco pode ser escrito como uma soma

u = w1 +w2

onde w1 esta em W e w2 e perpendicular a W.

Figura 7.3: - (7.4)

Teorema 7.4 (Teorema da Decomposicao Ortogonal) Se W e um subespaco de um espaco com pro-

duto interno V , entao todo u ∈V pode ser expresso por

u = w1 +w2

tal que w1 ∈W e w2 ∈W⊥.

O vetor w1 do teorema precedente e chamado projecao ortogonal de u em W e e denotado por

pro juW . O vetor w2 e chamado componente de u ortogonal a W e e denotada por pro ju

W⊥. Daı,

podemos escrever

u = pro juW + pro ju

W⊥.

176 7.5. Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais

Teorema 7.5 Seja V um espaco vetorial com produto interno definido e seja W um subespaco de V.

a. Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e uma base ortonormal de W e u ∈V, entao

pro juW = ⟨u,v1⟩v1 + ⟨u,v2⟩v2 + . . .+ ⟨u,vn⟩vn

b. Se β = {v1,v2, . . . ,vn} e uma base ortogonal de W e v ∈V, entao

pro juW =

⟨u,v1⟩∥v1∥2 v1 +

⟨u,v2⟩∥v2∥2 v2 + . . .+

⟨u,vn⟩∥vn∥2 vn

Exemplo 190 Seja V =R3 e W =[(0,1,0),

(−4

5 ,0,35

)]um subespaco de V. Obtenha pro ju

W e pro juW⊥

para u = (1,1,1).

Note que β ={(0,1,0),

(−4

5 ,0,35

)}e base ortonormal para W.Entao:

pro juW = ⟨u,v1⟩v1 + ⟨u,v2⟩v2

= 1(0,1,0)− 15

(−4

5,0,

35

)=

(425

,1,− 325

)

O componente de u que e ortogonal a W e

pro juW⊥ = u− pro ju

W = (1,1,1)−(

425

,1,− 325

)=

(2125

,0,2825

)

Exemplo 191 Seja w um plano em R3 de equacao x− y+ 2z = 0 e seja v =

3

−1

2

. Encontre a

projecao ortogonal de v sobre w e a componente ortognonal de v em relacao a w.

7.5 Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais

7.5.1 Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt

Seja V um espaco vetorial com produto interno definido e β = {u1,u2, . . . ,un} uma base de V . Atraves

do processo que descreveremos abaixo, obteremos uma base ortogonal β ′ = {v1,v2, . . . ,vn} para V.

Passo 1. Fixe v1 = u1.

7.5. Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais 177

Passo 2. Obter v2 de forma que v2 seja ortogonal a v1 tomando a componente de u2 que e ortogonal

a W1 = [v1]

v2 = u2− pro ju2W1

= u2−⟨u2,v1⟩∥v1∥2 v1

Figura 7.4: - (??)

Passo 3. Obter v3 de forma que seja ortogonal a ambos v1 e v2, tomando a componente de u3 que e

ortogonal a W2 = [v1,v2]

v3 = u3− pro ju3W2

= u3−⟨u3,v1⟩∥v1∥2 v1−

⟨u3,v2⟩∥v2∥2 v2

Figura 7.5: - (??)

Procedendo desta forma, iremos obter, depois de n passos, a base ortogonal β ′ = {v1,v2, . . . ,vn}.

Feito isso, para obter uma base ortonormal de vetores para V, α = {q1,q2, . . . ,qn}, basta normalizar

os vetores v1,v2, . . . ,vn.

Exemplo 192 Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar os vetores de base u1 =

(1,0,−1,0), u2 = (0,1,−1,0) e u3 = (0,0,2,1) em uma base ortonormal para um subespaco W

do R4.

Note que:

⟨u1,u2⟩ = 1

⟨u1,u3⟩ = −2

⟨u2,u3⟩ = −2

Logo os vetores acima nao formam uma base ortogonal, portanto temos que usar o processo

de Gram-Schmidt para transformar em uma base ortogonal e em seguida, normalizar estes vetores,

obtendo assim a base ortonormal procurada.

Passo 1. Fixe v1 = u1 = (1,0,−1,0)

Passo 2. v2 = u2− pro ju2W1

= u2−⟨u2,v1⟩∥v1∥2 v1 = (0,1,−1,0)− 1

2(1,0,−1,0) =(−1

2,1,−1

2,0)

178 7.6. Fatoracao QR

Passo 3. v3 = u3− pro ju3W2

= u3−⟨u3,v1⟩∥v1∥2 v1−

⟨u3,v2⟩∥v2∥2 v2 =

= (0,0,2,1)+(1,0,−1,0)+ 23

(−1

2,1,−1

2,0)=

(23,23,23,1)

Logo, β ′ ={(1,0,−1,0),

(−1

2,1,−1

2,0),

(23,23,23,1)}

e base ortogonal para R4. Normalize-

mos estes vetores para obter a base ortonormal α = {q1,q2,q3} :

q1 =v1

∥v1∥=

(1,0,−1,0)√2

=

(1√2,0,− 1√

2,0)

q2 =v2

∥v2∥=

√2√3

(−1

2,1,−1

2,0)=

(−√

66

,

√6

3,−√

66

,0

)

q3 =v3

∥v3∥=

3√21

(23,23,23,1)=

(2√21

,2√21

,2√21

,3√21

)

Exemplo 193 Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar os vetores de base u1 =

(1,−1,−1,1), u2 = (2,1,0,1) e u3 = (2,2,1,2) em uma base ortonormal para um subespaco W

do R4.

7.6 Fatoracao QR

Se A e uma matriz m× n (m > n) com colunas linearmente independentes, aplicar o Processo de

Gram-Schmidt a essas colunas implica uma fatoracao muito util da matriz A em um produto de uma

matriz Q (com vetores coluna ortonormais) por uma matriz triangular superior R. Essa e a fatoracao

QR.

Nos ultimos anos a fatoracao QR tem assumido importancia crescente como fundamento

matematico de uma grande variedade de algoritmos numericos praticos, incluindo algoritmos larga-

mente usados para computar autovalores de matrizes grandes.

Para ver como surge a fatoracao QR, considere u1,u2, . . . ,un como os vetores-coluna de A e

q1,q2, . . . ,qn como os vetores ortonormais obtidos pela aplicacao do Processo de Gram-Schmidt a

matriz A com normalizacoes; assim,

A = [u1| u2| . . . | un] e Q = [q1 | q2| . . . | qn]

7.6. Fatoracao QR 179

Os vetores u1,u2, . . . ,un podem ser escitos em termos dos vetores q1,q2, . . . ,qn como

u1 = ⟨u1,q1⟩q1 + ⟨u1,q2⟩q2 + . . .+ ⟨u1,qn⟩qn

u2 = ⟨u2,q1⟩q1 + ⟨u2,q2⟩q2 + . . .+ ⟨u2,qn⟩qn

...

un = ⟨un,q1⟩q1 + ⟨un,q2⟩q2 + . . .+ ⟨un,qn⟩qn

Na forma matricial, tem-se:

[u1| u2| . . . | un] = [q1 | q2| . . . | qn]

⟨u1,q1⟩ ⟨u2,q1⟩ . . . ⟨un,q1⟩

⟨u1,q2⟩ ⟨u2,q2⟩ . . . ⟨un,q2⟩...

......

...

⟨u1,qn⟩ ⟨u2,qn⟩ . . . ⟨un,qn⟩

ou, mais concisamente, por

A = QR

No entanto, e uma propriedade de processo de Gram-Schmidt que, para j > 2, o vetor q j e ortog-

onal a u1,u2, . . . ,u j−1; assim, todas as entradas abaixo da diagonal principal de R sao nulas,

R =

⟨u1,q1⟩ ⟨u2,q1⟩ . . . ⟨un,q1⟩

0 ⟨u2,q2⟩ . . . ⟨un,q2⟩...

......

...

0 0 . . . ⟨un,qn⟩

Resumindo, temos o seguinte teorema:

Teorema 7.6 Se A e uma matriz m×n (m> n) com colunas linearmente independentes, entao A pode

ser fatorada como

A = QR

onde Q e uma matriz m× n com colunas ortonormais e R e uma matriz n× n triangular superior

invertıvel.

Exemplo 194 Encontre a decomposicao QR de A =

1 2 2

−1 1 2

−1 0 1

1 1 2

.

180 7.6. Fatoracao QR

Os vetores coluna de A sao u1 =

1

−1

−1

1

, u2 =

2

1

0

1

e u3 =

2

2

1

2

.

O processo de Gram-Schmidt com normalizacao subsequente aplicado a estes vetores-coluna

produz os vetores ortonormais q1 =

12

−12

−12

12

, q2 =

3√

510

3√

510√

510√

510

, q3 =

−√

66

0√

66√6

3

de modo que

1 2 2

−1 1 2

−1 0 1

1 1 2

A

=

12

3√

510 −

√6

6

−12

3√

510 0

−12

√5

10

√6

612

√5

10

√6

3

Q

2 1 1

2

0√

5 3√

52

0 0√

62

R

.

7.6.1 Aplicacao da fatoracao QR

Se A e uma matriz m×n de posto n, entao a solucao para o sistema linear AX = B e obtida da seguinte

forma:

A equacao AX = B pode ser escrita na forma

QRX = B

Multiplicando ambos os lados (a esquerda) da equacao por QT , obtemos

QT QRX = QT B

Como Q e ortogonal, QT Q = I, entao

RX = QT B

Como R e inversıvel, tem-se

X = R−1QT B

7.7. Solucao de Mınimos Quadrados de Sistemas Lineares 181

Exemplo 195 Resolva o sistema

1 2 2

−1 1 2

−1 0 1

1 1 2

x

y

z

=

−1

1

1

−2

Como a matriz dos coeficientes e a mesma do exemplo anterior, diretamente temos que:

X = R−1QT B =

12 − 1

10

√5 1

6

√6

0 15

√5 −1

2

√6

0 0 13

√6

12 −1

2 −12

12

3√

510

3√

510

√5

10

√5

10

−√

66 0

√6

6

√6

3

−1

1

1

−2

=

−23

15910

−23

7.7 Solucao de Mınimos Quadrados de Sistemas Lineares

A resolucao de sistemas inconsistentes de equacoes lineares sao importantes em aplicacoes fısicas e

outras. E uma situacao comum que algum problema fısico leve a um sistema Ax = b que deveria ser

consistente em teoria, mas que nao e porque ”erros de medida”nas entradas de A e de b pertubam

o sistema suficientemente a ponto de criar inconsistencia. Em tais situacoes procuramos um valor

de x que chegue ”tao perto quanto possıvel”de ser uma solucao, no sentido que minimiza o valor

de ∥Ax− b∥ em relacao ao produto interno euclidiano. A quantidade ∥Ax− b∥ pode ser vista como

uma medida do ”erro”que resulta por considerar x uma solucao aproximada do sistema Ax = b. Se

o sistema e consistente e x e uma solucao exata, entao o erro e zero, pois ∥Ax− b∥ = 0. Em geral,

quanto maior o valor de ∥Ax−b∥, mais pobre e a aproximacao de x de uma solucao do sistema.

O problema dos Mınimos Quadrados consiste em: Dado um sistema Ax = b de m equacoes em

n variaveis encontre, se possıvel, um vetor x que minimiza ∥Ax− b∥ em relacao ao produto interno

euclidiano de Rm. Um tal vetor e chamado uma solucao de mınimos quadrados de Ax = b.

Teorema 7.7 Para qualquer sistema linear Ax = b, o sistema normal associado

AT Ax = AT b

e consistente e todas solucoes do sistema normal sao solucoes de mınimos quadrados de Ax = b.

Alem disso, se W e o espaco-coluna de A e x e qualquer solucao de mınimos quadrados de Ax = b,

entao a projecao ortogonal de b e, W e

pro jbw = Ax

Teorema 7.8 Se A e uma matriz n×n, entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes.

a) Os vetores-coluna de A sao linearmente independentes.

182 7.7. Solucao de Mınimos Quadrados de Sistemas Lineares

b) AT A e invertıvel.

Teorema 7.9 Se A e uma matriz m× n com vetores-coluna linearmente independentes, entao para

cada matriz b de tamanho n×1, o sistema linear Ax = b tem uma unica solucao de mınimos quadra-

dos. Esta solucao e dada por

x = (AT A)−1AT b

Alem disto, se W e o espaco-coluna de A, entao a projecao ortogonal de b em W e

pro jbw = Ax = A(AT A)−1AT b

Exemplo 196 Encontre a solucao de mınimos quadrados do sistema linar Ax = b dado porx1− x2 = 4

3x1 +2x2 = 1

−2x1 +4x2 = 3

e encontre a projecao ortogonal de b no espaco-coluna de A

Exemplo 197 Encontre a projecao ortogonal do vetor u = (−3,−3,8,9) no subespaco de R4 gerado

pelos vetores u1 = (3,1,0,1), u2 = (1,2,1,1), u3 = (−1,0,2,−1).

Vamos nos ater ao problema de achar uma curva que ”melhor ajuste”a um conjunto de pontos

de dados. Considere (1,2), (2,2) e (3,4) como pontos que surgiram de medidas feitas durante al-

gum experimento. Considere tambem que temos razoes para acreditar que os valores de x e y estao

relacionados por uma funcao linear - isto e, esperamos que os pontos estejam sobre alguma linha

com equacao y = a+bx. Se nossas medidas forem precisas, todos os tres pontos vao satisfazer essa

equacao, e teremos

2 = a+b.1 2 = a+b.2 4 = a+b.3

Esse e um sistema de tres equacoes lineares com duas variaveis:

a+b = 2

a+2b = 2

a+3b = 4

ou

1 1

1 2

1 3

a

b

=

2

2

4

Esse sistema e impossıvel (ja que os tres pontos nao estao sobre uma reta). Entao, vamos buscar uma

reta que esteja o ”mais proximo possıvel”de passar pelos nossos pontos.

Como visto no exemplo acima, podemos expressar esse problema em forma de matriz. Se os

7.7. Solucao de Mınimos Quadrados de Sistemas Lineares 183

pontos dados estivessem de fato na reta y = a+bx, as n equacoes lineares

a+bx1 = y1...

a+bxn = yn

seriam todas verdadeiras (isto e, o sistema seria compatıvel). Nosso interesse esta no casao em que os

pontos nao sao colineares, no qual o sistema e indeterminado. Em forma matricial, temos1 x1

1 x2...

...

1 xn

a

b

=

y1

y2...

yn

que esta na forma Ax = b, onde

A =

1 x1

1 x2...

...

1 xn

, x =

a

b

, b =

y1

y2...

yn

Podemos, assim, reescrever nosso problema em forma de matrizes do seguinte modo:

Definicao 7.9 Se A e uma matriz m× n e b esta em Rm, uma solucao por mınimos quadrados de

Ax = b e um vetor x em Rn tal que

∥b−Ax∥ ≤ ∥b−Ax∥

para todo x em Rn.

Teorema 7.10 Seja A uma matriz m×n e seja b em Rm. Entao Ax = b sempre tem pelo menos uma

solucao por mınimos quadrados x. Alem disso,

a) x e uma solucao por mınimos quadrados de Ax = b se, e somente se, x e uma solcao da equacao

normal AT Ax = AT b.

b) A possui colunas linearmente independentes se, e somente se, AT A e invertıvel. Nesse caso, a

solucao por mınimos quadrados de Ax = b e unica e e dada por

x = (AT A)−1AT b

184 7.8. Setima lista de exercıcios

Exemplo 198 Encontre a reta de mınimos quadrados para os pontos (1,2), (2,2) e (3,4).

7.8 Setima lista de exercıcios

Exercıcio 7.5 Sejam −→u = (x1,x2) e −→v = (y1,y2). Verifique se temos um produto interno em R2 nos

seguintes casos:

a) ⟨−→u ,−→v ⟩= 3x1y1 + x2y2

b) ⟨−→u ,−→v ⟩= 4x1y1 + x2y1 + x1y2 +4x2y2

c) ⟨−→u ,−→v ⟩= x1y1−2x2y1−2x1y2 +5x2y2

Exercıcio 7.6 Sejam−→u =(x1,y1,z1) e−→v =(x2,y2,z2). Identifique os casos em que temos um produto

interno no R3. Nos casos que falham, identifique as propriedades que nao verificam.

a) ⟨−→u ,−→v ⟩= x1x2 + z1z2

b) ⟨−→u ,−→v ⟩= x1x2− y1y2 + z1z2

c) ⟨−→u ,−→v ⟩= x1y2z1 + y1x2z2

Exercıcio 7.7 Sejam −→u = (x1,x2) e −→v = (y1,y2). A expressao ⟨−→u ,−→v ⟩ = x1y1− x1y2− x2y1 +2x2y2

define um produto interno em R2 ?

Exercıcio 7.8 No espaco de todos os polinomios de grau menor ou igual a 2, determine se ⟨p,q⟩ =

p(1)q(1) e um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da definicao de

produto interno sao violados.

Exercıcio 7.9 Utilize os produtos internos do exercıcio 1 para calcular:

a) ∥u∥ com u = (−1,3)

b) d(u,v) com v = (3,5)

Exercıcio 7.10 Considere V = M(2,2), com o produto interno usual. Determine a projecao ortogo-

nal de

1 0

0 0

sobre

1 1

1 1

.

Exercıcio 7.11 Considere V = P2, com o produto interno usual. Qual e o menor angulo entre p(t) =

1− t +√

2t2 e q(t) = 1+√

2t2?

Exercıcio 7.12 Seja V um espaco vetorial com produto interno definido, e sejam u,v vetores ortogo-

nais de V, tais que ∥u∥ = 1 e ∥v∥ = 2. Mostre que d(u,v) =√

5. Interprete este resultado geometri-

camente quando u,v ∈ R2.

7.8. Setima lista de exercıcios 185

Exercıcio 7.13 Seja V o espaco das funcoes contınuas no intervalo [0,1]. Defina em V o seguinte

produto interno: ⟨ f ,g⟩=∫ 1

0 f (x)g(x)dx. Calcule a d( f ,g) se f (x) = 1 e g(x) = x.

Exercıcio 7.14 Seja V = R3. Seja W o subespaco do R3 dado pela equacao x−2y−3z = 0. Deter-

mine W⊥ e a distancia entre v = (1,0,−1) aos subespacos W e W⊥.

Exercıcio 7.15 Seja T : R4→ R3 tal que [T ] =

1 2 −1 2

3 5 0 4

1 1 2 0

.

a) Determine uma base para o complemento ortogonal do N(T ).

b) Determine uma base para o complemento ortogonal da Im(T ).

Exercıcio 7.16 Seja V = R3 e W =

[(0,1,0),

(45,0,−3

5

)]. Exprima w = (1,2,3) na forma w =

w1 +w2, em que w1 ∈W e w2 ∈W⊥.

Exercıcio 7.17 Seja V = R4 e W = [(−1,0,1,2),(0,1,0,1)]. Expresse w = (−1,2,6,0) na forma

w = w1 +w2, em que w1 ∈W ew2 ∈W⊥.

Exercıcio 7.18 Seja V = M(2,2). determine uma base para o complemento ortogonal do:

a) subespaco das matrizes diagonais

b) subespaco das matrizes simetricas.

Exercıcio 7.19 A transformacao T : R2→ R definida por T (−→v ) = ⟨−→u ,−→v ⟩ e linear? Se for, deter-

mine seu nu cleo e sua imagem.

Exercıcio 7.20 Considere a base ortonormal α =

{(1√5,0,

2√5

),

(− 2√

5,0,

1√5

),(0,1,0)

}para

R3. Encontre [−→v ]β para −→v = (2,−3,1). (Nao resolva nenhum sistema linear.)

Exercıcio 7.21 Suponha que S consiste dos seguintes vetores em R4: u1 = (1,1,0,−1), u2 =

(1,2,1,3), u3 = (1,1,−9,2) e u4 = (16,−13,1,3).

a) Mostre que S e ortogonal e e uma base de R4 .

b) Ache as coordenadas do vetor v=(1,0,2,3) em relacao a base S.(Nao resolva nenhum sistema

linear.)

Exercıcio 7.22 Qual e a base ortonormal do R3 obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da

base {(2,6,3),(−5,6,24),(9,−1,−4)}?


Exercıcio 7.23 Use o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal para um

subespaco W de um espaco vetorial V, para cada um dos seguintes casos:

a) V = R4 tal que W = [(1,1,0,0),(2,−1,0,1),(3,−3,0,−2),(1,−2,0,−3)];

b) V = R3 tal que W = {(x,x+ y,y);x,y ∈ R};

c) V = M(3,1) tal que W e o conjunto solucao do sistema homogeneo

x+ y− z = 0

2x+ y+3z = 0

x+2y−6z = 0

.

Exercıcio 7.24 Seja V o espaco das funcoes contınuas no intervalo [0,1]. Defina em V o seguinte

produto interno: ⟨ f ,g⟩=∫ 1

0 f (x)g(x)dx. Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt ao conjunto {1, t, t2}

para obter um conjunto ortonormal { f0, f1, f2}.

Exercıcio 7.25 Seja V = P3, p = a0 + b0x + c0x2 + d0x3 e q = a1 + b1x + c1x2 + d1x3 e ⟨p,q⟩ =

a0a1 +b0b1 + c0c1 +d0d1 um produto interno em P3. Ache uma base ortonormal para o subespaco

W de P3 gerado pelos vetores−→v 1 = 1+x+x2+x3,−→v 2 = 1+x+2x2+4x3 e−→v 3 = 1+2x−4x2−3x3.

Exercıcio 7.26 Seja ⟨u,v⟩ = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 um produto interno em R3. Encontre as co-

ordenadas do vetor v =(2

3 ,1,23

)em relacao a base ortonormal obtida a partir da base β =

{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.

Exercıcio 7.27 Seja U =

a −a

−a a

;a ∈ R

um subespaco vetorial de M2×2. Determine uma

base ortonormal de U⊥, usando o produto interno ⟨A,B⟩= tr(AT B).

Exercıcio 7.28 Seja V = P2, com produto interno usual.

a) Determine uma base ortonormal para o subespaco W de P2 gerado por 4t +3t2 e por 12+ t +

7t2.

b) Determine a projecao ortogonal de p(t) = t2 sobre W.

Exercıcio 7.29 Encontre a projecao ortogonal de v = (1,2,3) sobre o subespaco W gerados pelos

vetores u1 = (2,−2,1) e u2 = (−1,1,4).

Exercıcio 7.30 Encontre a decomposicao ortogonal de v = (4,−2,3) em relacao a W =

[(1,2,1),(1,−1,1)].

Exercıcio 7.31 Ache uma matriz ortogonal P cuja primeira linha e u1 =(1

3 ,23 ,

23

). Obs.: a matriz P

nao e unica.

7.8. Setima lista de exercıcios 187

Exercıcio 7.32 Encontre a fatoracao QR da matriz A =

1 2 1

0 1 1

−1 0 1

1 0 −1

.

Exercıcio 7.33 Utilize a fatoracao QR para resolver o sistema AX =B onde A=

2 1

1 1

2 1

e B=

12

6

18

.

Exercıcio 7.34 Classifique cada afirmacao como verdadeira ou falsa:

a) Todo conjunto linearmente independente em Rn e um conjunto ortogonal.

b) Se A e uma matriz quadrada, cujas colunas sao ortonormais entao A e inversıvel e A−1 = AT .

c) Se W e um subespaco de um espaco com produto interno V entao o vetor nulo pertence a W⊥.

d) Qualque matriz com determinante nao- nulo tem uma decomposicao QR.

e) Se −→x e ortogonal a ambos −→u e −→v , entao x e ortogonal a −→u −−→v .

f) Todo conjunto ortogonal e ortonormal.

g) Todo vetor pode ser normalizado.

Exercıcio 7.35 No assunto Diagonalizacao de Operadores, vimos que: ”Se A e a matriz canonica

de um operador linear T e D a matriz de T na base β de autovetores, temos

D = P−1AP

onde P e a matriz cujas colunas sao os autovetores de T . Dizemos que a matriz P diagonaliza A ou

que P e a matriz diagonalizadora”.

No caso de A ser uma matriz simetrica, e portanto sempre diagonalizavel, podemos obter uma

base ortogonal de autovetores que, apos a normalizacao, sera uma base ortonormal. A matriz, acima

citada, por ter suas colunas formadas por vetores ortonormais, e uma matriz ortogonal, ou seja, e tal

que P−1 = PT . A matriz D, nesse caso, e obtida pela relacao

D = PT AP

e, dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente.

Seja T : R3→ R3 a transformacao linear definida por: T (x,y,z) = (2x+ y+ z,x+2y− z,x− y+

2z).Encontre uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz canonica de T .


Exercıcio 7.36 Encontre a solucao de mınimos quadrados do sistema linear Ax = b e obtenha a

projecao ortogonal de b no espaco-coluna de A.

a) A =

1 1

−1 1

−1 2

, b =

7

0

−7

b) A =

2 −2

1 1

3 1

, b =

2

−1

1

c) A =

1 0 −1

2 1 −2

1 1 0

1 1 −1

, b =

6

0

9

3

d) A =

2 0 −1

1 −2 2

2 −1 0

0 1 −1

, b =

0

6

0

6

Capıtulo 8

APLICACOES

8.1 Aplicacoes da Algebra Linear na Engenharia Cartografica

Esse trabalho tem como um de seus objetivos, dar uma nocao da utilidade pratica dos assuntos vistos

no ciclo basico, alem de permiti-los conhecer um pouco o trabalho em uma das engenharias estu-

dadas no Instituto, visando assim a multidisciplinalidade no curso de Engenharia. Trata-se do estudo

da aplicacao de uma disciplina do curso basico, a Algebra Linear, no ciclo profissional; no caso,

na Engenharia Cartografica, onde ajustes e organizacao de dados, obtidos seha por satelites (GPS),

seja por fotografias ou por qualquer outro meio, se fazem constantes no trabalho de um engenheiro

cartografo.

O engenheiro cartografo dispoe de um metodo, o metodo dos mınimos quadrados, para obter

informacoes relativas a parametros de correcao e ajuste de dados obtidos em observacoes e pesquisas.

Para este metodo os dados obtidos sao organizados matricialmente, de forma que possam ser rela-

cionados com valores pre-estabelecidos, tais como temperatura, latitude, longitude, altitude, entre

outros. Obtem-se, desta forma, um sistema de n equacoes lineares, onde esse n pode assumir valores

realmente grandes, resultando um sistema com milhares de equacoes. Sendo a resolucao de sistemas

de equacoes lineares um dos campos de estudo da Algebra Linear.

Na Geodesia, por exemplo, as coordenadas de um ponto podem ser obtidas na resolucao de um

sistema obtido pela sujeicao de dados obtidos de observacoes angulares ( tais como azimutes, angulos

e/ou direcoes ) a um determinado modelo geometrico.

As coordenadas tambem podem ser obtidas a partir da observacao da diferenca de fase da porta-

dora L1 e/ou L2, frequencias de operacoes do satelite de GPS.

A Algebra Linear tambem tem aplicacoes na Fotogrametria, para a transformacao de coordenadas

( espaco imagem para espaco objeto, que seriam as coordenadas de terreno, obtidas atraves de um sis-

190 8.2. Aplicacoes de espacos vetoriais na computacao grafica

tema deduzido atraves de observacoes nas fotografias e no terreno). Na digitalizacao de documentos,

por exemplo, um mapa em papel, apos ser processado, da origem a um mapa digital armazenado na

forma vetorial ( lista de coordenadas ).

Tambem na area de Sensoreamento Remoto, seja para o processamento digital de imagens, ou

na modificacao ou no controle de imagens ( brilho constante e georeferenciamento ) ou ainda no

armazenamento da imagem na forma matricial; utilzam-se topicos abordados pela Algebra Linear,

como sistemas de equacoes lineares e operacoes com matrizes.

8.2 Aplicacoes de espacos vetoriais na computacao grafica

Autor: Luiz Antonio Pereira

Trabalho publicado na revista MICRO SISTEMAS de Novembro de 1982

Introducao: Uma das aplicacoes interessantes em computadores e com vasta possibilidade de

emprego nas areas de engenharia civil, arquitetura, desenho industrial, mecanica, etc e a representacao

grafica, no plano, de elementos tridimensionais.

Dentre todos os tipos de perspectivas a que apresenta resultados grafico mais interessantess e a

perspectiva conica, posto que que e a que simula com maior perfeicao a visao real do objeto. apre-

sentaremos, a seguir, o desenvolvimento da teoria matematica e veremos que a ferramenta pricipal e

a teoria das tranformacoes lineares.

Caracterizando o Objeto: Inicialmente deve-se informar ao computador as caracterısticas

geometricas do objeto. isto e possıvel referenciado-se o elemento a um sistema cartesiano de coor-

denadas, determinando-se dai as coordenadas x,y e z dos pontos que o formam. Deve-se estabelecer

tambem as ligacoes entre esses pontos com o uso de segmentos de retas. Com isso, obtem-se um

poliedro cujos vertices sao os pontos e cujas arestas sao os segmentos de retas. O efeito de curvatura

pode ser obtido aumentando-se o numero de vertices e arestas (refinamento). Dessa forma todos os

vertices Pi, terao coordenadas xi,yi e zi, e as arestas ak j ligarao dois vertices genericos Pk e Pj.

De um modo geral, desenhar uma perspectiva consiste em ligar, atraves de segmentos de retas

pontos do plano cujas coordenadas x e y sao ”transformacoes”das coordenadas x,y e z dos pontos do

espaco. Mais explicitamente falando para cada ponto Pi(xi,yi,zi) no espaco determina-se um ponto

Pi(xi,yi) no plano tal que suas coordenadas xi e yi sao funcoes de xi,yi e zi e de um conjunto de

parametros, que chamaremos de de parametros de localizacao do observador e do plano projetante e

8.2. Aplicacoes de espacos vetoriais na computacao grafica 191

que indicaremos por U. Matematicamente

(xi,yi) = f (xi,yi,zi,U)

Como se sabe, a perspectiva conica utiliza - alem das nocoes de objeto, plano projetante e linha de

visada - um ponto origem ou observador, de ondem partem as linhas de visada e que se localiza a uma

distancia finita do objeto e do plano projetante. A projecao P do ponto P no plano α e a intersecao

da reta definida pelo observador V e pelo ponto P (visada) com o plano projetante α. A projecao de

uma reta e obtida unindo-se as projecoes de dois de seus pontos (Fig 1) e, de uma maneira geral, a

projecao de um objeto e determinada pelas projecoes de todos os seus pontos.

No noso caso, o plano projetante e a tela do computador. Para chegarmos as expressoes que

fornecem x e y de cada ponto vamos estabelecer as seguintes convencoes:

1. O observador V tem coordenadas (xv,yv,zv)

2. Os n vertices do objeto e suas projecoes sao representadas por P1 a Pn e P1 a Pn, respectiva-

mente.

3. A tela representa a area formada por um retangulo de lados L1 e L2 unidades de comprimento.

O plano desse retangulo e perpendicular a linha que une o observador a origem do sistema

x,y,z de coordenadas.

4. A distancia R do plano projetante a origem do sistema de eixos e considerada positiva se o plano

se encontra do mesmo lado do observador em relaca a origem, e negativa se a origem estiver

entre o plano e o o observador.

5. O lado L1 ( maior lado) do retangulo e paralelo ao plano z = 0.

6. O sistema xyz de coordenadas, bem comom os outros parametros se apresentam como mostra a

Fig 2.

Fazendo A =√

x2v + y2

v + z2v , e se A = 0 podemos obter a equacao do plano projetante (segundo as

convencoes adotadas) da seguinte forma: Da formula da distancia de ponto a plano temos

d(π,P0) =|ax0 +by0 + cz0 +d|√

a2 +b2c2

onde P(x0,y0,z0) e o ponto e −→n = (a,b,c) e o vetor normal ao plano.


No nosso caso temos que P0(0,0,0) e −→n = (xv,yv,zv). Chamando R = d(P0,α) (α e o plano

projetante) temos que R pode ser positivo ou negativo e por isso dispensamos o modulo na fomula da

distancia, logo, tomando −R escrevemos,

−R =xv0+ yv0+ zv0+d√

x2v + y2

v + z2v

d =−R√

x2v + y2

v + z2v =−RA

Portanto a equacao do plano projetante α e:

xvx+ yvy+ zvz−RA = 0 (8.1)

Para cada ponto Pi(xi,yi,zi) a equacao parametrica da reta que o liga ao ponto V (xv,yv,zv) e

x = t(xi− xv)+ xv

y = t(yi− yv)+ yv (8.2)

z = t(zi− zv)+ zv

Para determinarmos a intersecao entre a reta e o plano projetante colocamos os valores de (8.2) na

equacao (8.1) do plano, ou seja:

xv [t(xi− xv)+ xv]+ yv [t(yi− yv)+ yv]+ zv [t(zi− zv)+ zv]−RA = 0 (8.3)

txv(xi− xv)+ xvxv + tyv(yi− yv)+ yvyv + tzv(zi− zv)+ zvzv−RA = 0

t [xv(xi− xv)+ yv(yi− yv)+ zv(zi− zv)]+A2−RA = 0

t [xv(xi− xv)+ yv(yi− yv)+ zv(zi− zv)] = RA−A2

e dai tiramos o valor do parametro t :

t =RA−A2

xv(xi− xv)+ yv(yi− yv)+ zv(zi− zv)(8.4)

Com t,xi,yi,zi,xv,yv e zv conhecidos, e usando novamente as equacoes (8.2) determinamos as

coordenadas x,y e z da projecao do ponto P no plano projetante. Nessa fase estamos exatamente

como a Fig 3.

8.2. Aplicacoes de espacos vetoriais na computacao grafica 193

De (8.4) e (8.2) com xi = yi = zi = 0, vem

x0 =xvRA

y0 =yvRA

(8.5)

z0 =zvRA

que sao as coordenadas da origem do sistema xyz (fig 8.2). Esse sistema nos e particularmente inter-

essante pois o plano xy e o proprio plano projetante.

O que nos resta a fazer e, portanto, uma transformacao de coordenandas, ou seja, determinar as

coordenandas dos pontos projecoes em relacao ao novo sistema xyz. Para isso, devemos determinar

as componentes dos vetores unitarios−→i ,−→j e−→k no sistema xyz.

A intersecao do plano projetante com o plano xy e uma reta cuja equacao e encontrada fazendo-se

z = 0 em (8.1). Isso nos leva a:

y =RA− xvx

yv(8.6)

cujo grafico esta na Fig 4. O vetor diretor dessa reta tem componentes dadas por:

−→w = (0,RAyv,

,0)− (RAxv

,0,0) = (−RAxv

,RAyv,

,0) (8.7)

o vetor−→i e um vetor unitario e portanto

−→i =

1|−→w |−→w

−→i =

1√(RAxv

)2+(

RAyv,

)2(−RA

xv,RAyv,

,0)

−→i =

1√1x2

v+ 1

y2v

(− 1xv,

1yv,

,0)

−→i =

1√x2

v + y2v(−yv,xv,0) (8.8)

O vetor unitario−→k tem sua determinacao imediata pois e o versor do vetor

−→00 (ver Fig 2 e equacao


8.5)

−→k =

−→00∣∣∣−→00∣∣∣ = 1∣∣∣(xvR

A , yvRA , zvR

A

)∣∣∣(

xvRA

,yvRA

,zvRA

)−→k =

1√x2

v + y2v + z2

v(xv,yv,zv)

−→k =

1A(xv,yv,zv) (8.9)

Observe que o vetor−→k e exatamente o versor do vetor

−→V = (xv,yv,zv) .

Como nosso sistema e ortogonal, o vetor unitario−→j e dado por

−→j =−→k ×−→i , ou seja

−→j = det

xvA

yvA

zvA

−yv√x2

v+y2v

xv√x2

v+y2v

0−→i

−→j

−→k

(8.10)

−→j =

1

A√

x2v + y2

v

(−zvxv,−zvyv,x2

v + y2v)

(8.11)

O sistema definido por es vetores unitarios nao e propriamente o nosso sitema xyz e sim ele a

menos de uma translacao (Fig 5). Essa translacao devera apenas anular o vlaor da componente em o

que nao importa para nos ja que estamos interessados nas componentes x e y apenas.

O que temos que fazer agora e determinar a matriz mudanca de base da base α ={−→

i ,−→j ,−→k}

para a base β =

{−→i ,−→j ,−→k}, ou seja, [I]αβ Esta matriz nos permitira

α ={−→

i ,−→j ,−→k}= {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

β =

{−→i ,−→j ,−→k}

β =

{1√

x2v + y2

v(−yv,xv,0) ,

1

A√

x2v + y2

v

(−zvxv,−zvyv,x2

v + y2v),

1A(xv,yv,zv)

}Portanto

[I]αβ =

−yv√x2

v+y2v

xv√x2

v+y2v

0

−zvxv√x2

v+y2v

−zvyv√x2

v+y2v

x2v+y2

v√x2

v+y2v

xvA

xvA

zvA

e as coordenadas do novo sistema sao

8.3. Aplicacoes de autovalores e autovetores na engenharia civil 195

[v]β = [I]αβ [v]αx

y

z

=

−yv√x2

v+y2v

xv√x2

v+y2v

0

−zvxv√x2

v+y2v

−zvyv√x2

v+y2v

x2v+y2

v√x2

v+y2v

xvA

xvA

zvA

x

y

z

Observacao 27 Algumas mudancas de notacoes foram efetuadas em relacao ao trabalho original.

Tambem foram inseridos alguns conceitos matematicos que o artigo original nao fornece mas que

para nossa disciplina mostra bem a utilizacao dos conceitos vistos e sua aplicacao pratica. No

trabalho original tambem e fornecido um programa para a HP-45 onde e aplicada toda a teoria vista

acima, mas nao e dificil fazer um codigo de modo a gerar figuras em 3d utilizando a teoria vista

acima

8.3 Aplicacoes de autovalores e autovetores na engenharia civil

8.3.1 O Problema de autovalor na avaliacao de modelos estruturais de

edificacoes

Trabalho apresenta no COBENGE 2003 por

Jose Guilherme Santos da Silva - [email protected]

Pedro Colmar G. da S. Vellasco - [email protected]

Rita de Kassia D. Lopes - [email protected]

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ, Faculdade de Engenharia, FEN

Rua Sao Francisco Xavier, N0 524, Maracana

CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ

Resumo: O presente trabalho apresenta uma contribuicao inicial acerca de dois aspectos: o

primeiro diz respeito ao ensino de engenharia, com a aplicacao de conceitos referentes ao pro-

blema classico de autovalores e autovetores na avaliacao de sistemas estruturais. O segundo ponto

relevante a ser discutido, diz respeito ao estudo da influencia das ligacoes entre as vigas e colunas,

referentes a estruturas de aco. Na pratica corrente de projeto, grande parte dessas ligacoes e represen-

tada por modelos flexıveis ou rıgidos. Todavia, na maioria dos casos reais, essas ligacoes assumem

um comportamento intermediario, ou seja: semi-rıgido. Assim sendo, este trabalho tem por objetivo

empregar conceitos basicos de algebra linear, a partir do problema classico de autovalores e autove-

tores, de forma a se analisar modelos estruturais de porticos de aco correspondentes a uma edificacao

196 8.3. Aplicacoes de autovalores e autovetores na engenharia civil

residencial existente. Sao investigadas as diferencas, qualitativas e quantitativas, existentes entre as

frequencias naturais e os modos de vibracao dentre os diversos modelos estruturais (flexıvel, semi-

rıgido e rıgido). Resultados ja obtidos indicam que a variacao na rigidez inicial das ligacoes provoca

mudancas sensıveis no comportamento dinamico da estrutura.

Palavras-chave: Ensino de engenharia, Estruturas de aco, Metodo dos Elementos Finitos,

Autovalores, Autovetores.

1. INTRODUCAO

Sabe-se que o deficit habitacional brasileiro cresce a cada ano, concentrando-se o problema, prin-

cipalmente, nas famılias de baixo poder aquisitivo, de forma que existe uma demanda crescente por

estudos sobre as habitacoes populares. Neste sentido, o aco, como material estrutural e adequado para

a construcao industrializada e pode proporcionar a construcao civil, perspectivas mais otimistas para

a habitacao popular no paıs.

Uma das etapas relevantes no projeto de estruturas de aco esta relacionada a uma avaliacao co-

erente acerca dos modelos estruturais que representam o comportamento real das ligacoes existentes

entre as vigas e as colunas de aco. Na pratica corrente de projeto, a grande maioria dessas ligacoes e

representada por modelos flexıveis ou rıgidos. Todavia, na maior parte dos casos, essas ligacoes as-

sumem um comportamento intermediario, ou semi-rıgido, o qual pode ser perfeitamente caracterizado

com base em determinadas grandezas associadas ao projeto de uma ligacao, tais como: resistencia a

flexao e capacidade de rotacao. No que tange ao estudo do comportamento dinamico de estruturas,

assunto que sera abordado com mais detalhe no presente trabalho, mais especificamente no que diz re-

speito a aplicacao do problema classico de autovalores para determinacao e avaliacao das frequencias

naturais (autovalores) e modos de vibracao (autovetores) de edificacoes residenciais, observase, com

clareza, uma absoluta falta de conhecimento por parte dos alunos de graduacao acerca da importancia

do tema e, infelizmente, uma completa indiferenca em relacao ao assunto.

Assim sendo, de forma a contribuir no que tange ao ensino de engenharia, como tambem desmisti-

ficar o emprego corrente dos conceitos teoricos, principalmente aqueles relacionados ao problema de

autovalores, faz-se uma exposicao resumida do referido problema, como tratado no ciclo basico da

engenharia, e de como o mesmo poderia ser mencionado, de forma a que os alunos de graduacao

pudessem ter uma ideia basica da aplicacao pratica desses conceitos.

Em seguida, e selecionado o projeto de uma edificacao residencial de quatro pavimentos, com-

posto por vigas e colunas de aco e lajes lisas de concreto armado, em todos os nıveis da edificacao.

Tem-se como objetivo proceder a uma analise extensa das frequencias naturais (autovalores) e modos

de vibracao (autovetores) dos modelos referentes aos porticos de aco da referida edificacao. Um outro


ponto relevante do trabalho diz respeito ao estudo da influencia das ligacoes entre as vigas e colunas

dos porticos de aco.

Neste sentido, o presente trabalho tem por objetivo apresentar uma aplicacao pratica do problema

classico de autovalores e autovetores, no caso em questao com respeito ao projeto de edificacoes

residenciais, alem de reforcar a importancia dos conceitos basicos da disciplina de Algebra Linear

para a solucao deste tipo de problema.

2. O CICLO BASICO NA ENGENHARIA E O PROBLEMA DE AUTOVALOR

O problema classico de autovalores e autovetores, principalmente no que tange a utilizacao de

operacoes matriciais, esta diretamente relacionado com o ensino da disciplina Algebra Linear, ofer-

ecida correntemente aos alunos de graduacao no ciclo basico da Faculdade de Engenharia da UERJ,

FEN/UERJ.

O ensino da disciplina Algebra Linear nao oferece nenhuma interacao com o ciclo profissional da

engenharia e nenhum tipo de recomendacao no que diz respeito a sua extrema relevancia na aplicacao

pratica desses conceitos sobre os problemas reais de engenharia. Tal fato nao so desestimula o aluno

de graduacao em engenharia, como tambem ocasiona um aprendizado de baixa qualidade, propagando

deficiencias tecnicas que serao sentidas, sem sombra de duvida, no decorrer do curso.

Ainda hoje, a didatica de ensino adotada nas disciplinas do ciclo basico sobre o problema classico

de autovalores e autovetores e baseada em metodos estritamente conceituais e matematicos. Tal

metodologia e apresentada a seguir, respaldada por uma breve revisao sobre as definicoes de auto-

valor e autovetor, como visto tradicionalmente na disciplina de Algebra Linear, LIPSCHUTZ (1977),

NETTO e ADAO (1995).

Senao vejamos: Seja T uma transformacao linear em um espaco vetorial real V aplicada a um

corpo k. Denomina-se autovalor o escalar real pertencente a k (λ ∈ k) se, para esta transformacao

linear T , existe um vetor nao-nulo pertencente a V (ν ∈V ) para o qual:

T (v) = λν (8.12)

Todo vetor nao-nulo ν que satisfaca a “equacao 8.12” e chamado autovetor de T correspondente

ao autovalor λ . Portanto, sendo A uma matriz quadrada de ordem nxnsobre um corpo k, existe um

autovalor λ se, para uma matriz coluna vn×1, denominada autovetor, Aν = λν e verdadeiro.

Observacao 28 Nos cursos de engenharia geralmente utilizamos como corpo k o corpo dos numeros

reais, ou seja, no nosso caso k=R. Para a obtencao dos autovalores, reescreve-se a “equacao 8.12”

de modo que (λ I−A)ν = 0, que admitira v = 0 como solucao se, e somente se, det(A−λ I) = 0. A

expressao det(A−λ I) = 0 e denominada equacao caracterıstica, onde I e a matriz identidade.

198 8.3. Aplicacoes de autovalores e autovetores na engenharia civil

A contribuicao mais relevante deste trabalho de pesquisa e caracterizar que o ensino do problema

de autovalor como feito no ciclo basico da engenharia, de acordo com o exposto acima, e absoluta-

mente contrario ao que se deveria informar a um futuro engenheiro. Nao ha relacao alguma entre

os termos especıficos (tais como, espaco vetorial, corpo, etc.), utilizados no ensino da disciplina de

Algebra Linear e as grandezas empregadas correntemente na engenharia. Ressalta-se que esses ele-

mentos tem o mesmo significado das grandezas conhecidas usualmente pelo engenheiro. Alem disso,

em nenhum momento existe um indicativo de onde e como o aluno de graduacao, deve utilizar esses

conceitos, extremamente relevantes para a vida pratica de um profissional da area, SILVA (2001).

Uma sugestao para uma abordagem mais apropriada ao ensino do problema de autovalor para

os alunos de graduacao em engenharia seria, inicialmente, associar o termo autovalor as frequencias

naturais e o termo autovetor aos modos de vibracao de um elemento ou sistema estrutural qualquer,

dando enfase ao significado fısico dessas grandezas, ROEHL (1981).

Senao vejamos: para um sistema estrutural qualquer sob vibracao livre nao amortecida, com varios

graus de liberdade, pode ser escrita uma equacao matricial de movimento tal que,

M··V +KV = 0 (8.13)

onde, M e a matriz de massa, K e a matriz de rigidez,··V e o vetor das aceleracoes e V e o vetor dos

deslocamentos.

As equacoes que tornam possıvel a resolucao do problema de autovalor, cujo sistema vibra livre-

mente e sem amortecimento, sao as seguintes:

(M−1K−ϖ2

0iI)

ϕi = 0 (8.14)

onde ϕi e o i-esimo modo de vibracao, com i variando de 1 a n. A “equacao 8.14” e verdadeira, para

qualquer ϕi, se

det(M−1K−ϖ2

0iI)= 0 (8.15)

onde I representa a matriz identidade.

A “equacao 8.15” e comumente designada como equacao caracterıstica e suas raızes sao os valores

caracterısticos, ou autovalores, e correspondem ao quadrado das frequencias naturais de um sistema

estrutural, ϖ20i. A cada uma dessas raızes corresponde um vetor caracterıstico, ϕi, ou autovetor, que

representa o modo de vibracao do referido sistema.

Deve-se ressaltar, novamente, que o problema classico de autovalores e absolutamente essencial


para a compreensao e analise de estruturas simples, tais como trelicas, vigas, porticos, placas, etc,

como tambem de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes:

edificacoes residenciais, pontes rodoviarias e ferroviarias, torres de aco de telecomunicacoes e de

transmissao de energia, estadios de futebol, passarelas de pedestres, edifıcios altos, plataformas off-

shore, etc.

Observacao 29 Algumas correcoes e adaptacoes a nossa apostila foram necessarias porem nao foi

alterado o conteudo. Transcrevemos aqui apenas parte do trabalho para ressaltar a aplicacao de

autovalore e autovetores. Creditos sao dados ao autor e o trabalho original pode ser obtido atraves

dos anais do COBENGE 2003 ou me enviando um email solicitando o artigo original que terei a

maior satisfacao de envia-lo.

apostila de algebra linear ii´ - joinville.udesc.br · o tamanho de uma matriz e descrita em...

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