limites no infinito; assíntotas horizontais

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2 Limites e Derivadas

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2.6 Limites no Infinito; Assntotas

Horizontais

3

Limites no Infinito; Assntotas

Horizontais

Nesta seo vamos tornar x arbitrariamente grande

(positivo ou negativo) e ver o que acontece com y.

Vamos comear pela anlise do comportamento da funo

f definida por

quando x aumenta.

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Horizontais

A tabela a seguir fornece os valores dessa funo, com

preciso de seis casas decimais, e o grfico de f feito por

um computador est na Figura 1.

Figura 1

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Horizontais

Quanto maior o x, mais prximos de 1 ficam os valores de f

(x). De fato, temos a impresso de que podemos tornar os

valores de f (x) to prximos de 1 quanto quisermos se

tonarmos um x suficientemente grande. Essa situao

expressa simbolicamente escrevendo

.

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Horizontais

Em geral, usamos a notao

para indicar que os valores de f (x) ficam cada vez mais

prximos de L medida que x fica maior.

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Horizontais

Outra notao para f (x) L quando x

As ilustraes geomtricas da Definio 1 esto representadas

na Figura 2.

Exemplos ilustrando

Figura 2

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Horizontais

Observe que existem muitas formas de o grfico de f

aproximar-se da reta y = L (chamada assntota horizontal)

quando olhamos para a extremidade direita de cada

grfico.

Figura 2

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Horizontais

Com relao ainda Figura 1, vemos que para os valores

negativos de x com grande valor absoluto, os valores de f

(x) esto prximos de 1.

Fazendo x decrescer ilimitadamente para valores

negativos, podemos tornar f (x) to prximo de 1 quanto

quisermos.

Isso expresso escrevendo .

Figura 1

10


Horizontais

A definio geral dada a seguir.

11


Horizontais

A Definio 2 est ilustrada na Figura 3. Observe que o

grfico aproxima-se da reta y = L quando olhamos para a

extremidade esquerda de cada grfico.

Exemplos ilustrando

Figura 3

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Horizontais

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Exemplo 2

Encontre e

Soluo: Observe que quando x grande, 1/x pequeno.

Por exemplo,

De fato, tomando x grande o bastante, podemos fazer 1/x

to prximo de 0 quanto quisermos.

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Exemplo 2 Soluo

Portanto, conforme a Definio 1, temos

= 0.

Um raciocnio anlogo mostra que, quando x grande em

valor absoluto (porm negativo), 1/x pequeno em valor

absoluto (mas negativo); logo temos tambm

= 0.

continuao

15

Exemplo 2 Soluo

Segue que a reta y = 0 (o eixo x) uma assntota

horizontal da curva y = 1/x. (Esta uma hiprbole

equiltera; veja a Figura 6.)

Figura 6

continuao

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Horizontais

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Exemplo 3

Calcule e indique quais propriedade de

limites foro usados em cada etapa.

Soluo:Quando x cresce, o numerador e o denominador

tambm crescem, logo, no fica bvio o que ocorre com a

razo entre eles. Para eliminar essa indeterminao,

precisaremos antes manipular algebricamente a expresso.

Para calcular o limite no infinito de uma funo racional,

primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior

potncia de x que ocorre no denominador. (Podemos

assumir x 0, uma vez que estamos interessados apenas

em valores grandes de x.)

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Exemplo 3 Soluo

Nesse caso a maior potncia de x no denominador x2,

logo temos,

continuao

19

Exemplo 3 Soluo continuao

(pela Propriedade Limite 5)

(pelas Propriedades 1, 2 e 3)

(pela Propriedade 7 e

pelo Teorema 5)

20

Exemplo 3 Soluo

Um clculo anlogo mostra que o limite quando x

tambm

A Figura 7 ilustra o resultado

destes clculos mostrando

como o grfico da

funo racional dada aproxima-se

da assntota horizontal y =

continuao

Figura 7

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Exemplo 4

Determine as assntotas horizontais e verticais do grfico

da funo

Soluo:Dividindo o numerador e o denominador por x e

usando as propriedades de limites, temos

(pois = x para x > 0)

22

Exemplo 4 Soluo

continuao

.

23

Exemplo 4 Soluo

Portanto, a reta y = uma assntota horizontal do

grfico de f.

No clculo do limite como x , devemos lembrar que, para x < 0, temos = | x | = x.

continuao

24

Exemplo 4 Soluo

Logo, quando dividimos o numerador por x, para x < 0,

obtemos

continuao

25

Exemplo 4 Soluo

Logo

continuao

.

26

Exemplo 4 Soluo

Assim, a reta y = tambm uma assntota horizontal.

Uma assntota vertical deve ocorre quando o denominador,

3x 5, 0, isto , quando Se x estiver prximo de e x > , ento o denominador est prximo de 0, e 3x 5

positivo. O numerador sempre positivo, logo

f (x) positivo. Assim

continuao

.

27

Exemplo 4 Soluo

Se estiver prximo de , mas x < , ento 3x 5 < 0, logo f (x) muito grande em valor absoluto (porm negativa).

Assim,

A assntota vertical x = .

Todas as trs assntotas esto

mostradas na Figura 8.

continuao

Figura 8

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Limites Infinitos no Infinito

29

Limites Infinitos no Infinito

A notao

usada para indicar que os valores de f (x) tornam-se

grandes quanto x se torna grande. Significados anlogos

so dados aos seguintes smbolos:

30

Exemplo 9

Encontre e

Soluo: Quando x torna-se grande, x3 tambm fica

grande. Por exemplo,

Na realidade, podemos fazer x3 ficar to grande quanto

quisermos tornar x grande o suficiente. Portanto, podemos

escrever

31

Exemplo 9 Soluo

Analogamente, quando x muito grande em mdulo,

porm negativo, x3 tambm o . Assim

Essas afirmaes sobre limites tambm podem ser vistas

no grfico de y = x3 da Figura 11.

continuao

Figura 11

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Definies Precisas

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Definies Precisas

Podemos enunciar mais precisamente a Definio 1 da

seguinte forma.

Em palavras, isso diz que os valores de f (x) podem ficar

arbitrariamente prximos de L (dentro de uma distncia , onde qualquer nmero positivo), bastando apenas tomar x suficientemente grande (maior que N, onde N

depende de ).

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Definies Precisas

Graficamente, isso quer dizer que, escolhendo x

suficientemente grande (maior que algum nmero N),

podemos fazer o grfico de f ficar entre duas retas

horizontais dadas y = L e y = L + , como na Figura 14.

Figura 14

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Definies Precisas

Isso deve ser verdadeiro, no importando quo pequeno

seja . A Figura 15 indica que se for escolhido um valor menor de , ento poder ser necessrio um valor maior para N.

Figura 15

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Definies Precisas

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Exemplo 14

Use a Definio 7 para demonstrar que = 0.

Soluo: Dado > 0, queremos encontrar N tal que

se x > N ento

Ao calcular o limite, podemos assumir que x > 0.

Ento, 1/x < x > 1/.

38

Exemplo 14 Soluo

Escolhemos N = 1/. Ento

Se ento

Logo, pela Definio 7,

= 0

continuao

39

Exemplo 14 Soluo

A Figura 18 ilustra a demonstrao mostrando alguns

valores de e os valores correspondentes de N.

continuao

Figura 18

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Definies Precisas

Finalmente, observamos que pode ser definido um limite

infinito no infinito da forma a seguir. A ilustrao

geomtrica est dada na Figura 19.

Figura 19

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Definies Precisas

Definies anlogas podem ser feitas quando o smbolo

substitudo por

limites no infinito; assíntotas horizontais

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