apostila cálculo iii - unidade b completa - 2015(1)

7/23/2019 Apostila Clculo III - Unidade B Completa - 2015(1)

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CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

EQUAES LINEARES PGINA 1

AL INGUAGEMMATEMTICA:

EQUAES LINEARES

PROF MARCO A BRASIL

CADERNOSEQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS

UNIDADEB

EQUAESDIFERENCIAIS


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EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS LINEARES

UNIDADE B

CADERNOS

EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS


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SUMRIO

CONTEDOS PGINA

CADERNO 8 EQUAES LINEAES DE 1 ORDEM 5 1 Resolvendo EDOL( 1 ) 6 2 Circuitos Eltricos Simples 8 3 Circuitos Eltricos Simples II 9 4 Modelos de Circuitos Simples 10 5 AULA 9 ATIVIDADES DE ESTUDOS 8 11CADERNO 9 EQUAES LINEARES DE 2 ORDEM 13 1 Soluo Geral de uma EDOLH( 2 ) 1 14 2 Soluo Geral de uma EDOLH( 2 ) 2 173 AULA 10 ATIVIDADES DE ESTUDOS 9 20CADERNO 10 EQUAES NO HOMOGNEAS 241 Soluo Geral de uma EDOLK( 2 ) 252 O Mtodo dos Coeficientes a Determinar 263 AULA 11 ATIVIDADES DE ESTUDOS 10 32

CADERNO 11* O MTODO GERAL 35 1 A Equao de Cauchy Euler 37 2 Equaes Lineares de Ordem n 38 3 Razes Racionais de um Polinmio 40 4 AULA 12 ATIVIDADES DE ESTUDOS 11 42

CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS

UNIDADE B EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS LINEARES

TPICO AUXILIAR DE ESTUDO( )* CONTEDO OPTATIVO


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TodaEDO uma relao entre as variveis ee pelo menos uma funoincgnita ,,,. . . , (), n*, das derivadas de em relao a .

As EDO de Grau 1 so chamadas Lineares se a funo incgnita y e suasderivadas so de grau 1 e no ocorre produto ou composio destas variveis.

Seno, a equao chamada No - Linear.

Entretanto, uma EDO Linear de ordem n, EDOL( n ) se ela se organiza naforma de umpolinmio diferencialde ordem n e grau 1, n *

( ) +( )( ) + . . . + ( )+ ( )y +( ) = ( ),onde as funes , , , ... , , chamadasCOEFICIENTES, e = ( ) sofunes reais contnuas na varivel numintervalo I.Cada termodiferencial(), (), ... , , tambm uma funo dex.Se r 0, isto , , ( ) = 0, a equao se denomina Equao

Diferencial Ordinria Linear Homognea de Ordem n, EDOLH( n ) ou EquaoHomogneaAssociada EDOL( n ).

Se os coeficientes da EDOL( n ) so nmeros reais, isto , se as funes , ,

, ... ,

so funes constantes, ela se denomina Equao Diferencial Ordinria

Linear de Ordem n a Coeficientes Constantes,EDOLK( n ).

Por exemplo, + ( ) = r( x ) ou + ( ) + ( ) = ( ) soEquaes Lineares de Ordem 1 e 2, respectivamente. As Equaes DiferenciaisHomogneas Associadasso + ( ) = 0 e + ( ) + ( ) = .

As respectivas equaes Coeficientes Constantes so + = ( ) ou + + = ( )As EDO, colocadas na forma de um polinmio, se classificam quanto ao grau e

so estudadas em dois grupos: as Equaes Lineares ou No Lineares.

Por exemplo, + 5 + 6 = 2 + ou + 5 + = 3 solineares e + 5 + = 0 ou + ( ) = 1so equaes no lineares.As EDOLcontam com mtodos de resoluo prprios, suscitam interesse, so

mais simples e aplicam-se aos modelos matemticos da Fsica, Engenharia, Qumica,Tecnologia, Cincias Humanas, Biolgicas ou Economia.

As equaes No Lineares detm procedimentos intrnsecos estudados pelaspropriedades comportamentais.

As Equaes Lineares se organizam em dois grupos: as EDOL CoeficientesConstantes e as EDOL Coeficientes Variveis. As Equaes de Coeficientes

Variveis dependem das Sries de Potncias.Esta unidade estuda as EDOL Coeficientes Constantes.

INTRODUO


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QUAES LINEARES DE1 ORDEM

Uma Equao Diferencial Ordinria Linear de 1 Ordem, EDOL( 1 ) umaequao da forma +() =(), onde e so funes contnuas.

No caso geral + () = ()ou, mais simplesmente + = , temos:

8CADERNO 8

Toda EDOLH( 1 ) SEPARVEL, pois

( 1 ) + () = 0 + ( ) = 0 = ( );( 2 )

= ( ) = ( ) = ( ) ;( 3 )

= ( )

= ( ) +

=

( )

( 4 ) Ou seja, = ( ) .( 5 ) A SG de uma EDOLH( 1 ) tem a forma = ( ) , =C.( 1 )

+ =

+ = 0

( ) + = 0;

( 2 ) A equao acima tem a forma de uma Equao Exata, mas nada garante queela seja exata, pois s sabemos que f e r so funes contnuas. Assim, seja

( 3 ) = ( )um Fator Integrante tal que F( ) + = 0 Exata.( 4 ) Ento

F ( ) = F deve ser Exata e da, derivamos ambos osmembros pela regra do produto F

( )+ ( ) F = ;( 5 ) Agora

= 0,

= 0,

= 0, pois so funes de

. Assim,

( 6 ) F = F + = = ;( 6 )Temos a EVS

= () = ( ) ( )= ( )( 7 ) Seja ()= ( ) . Ento( )= ( ) . Ou, =( 8 ) Multiplicando + = pelo Fator = , temos ( + ) = ( 9 ) Como

(

)=

( + ), segue-se que

(

)=

;

( 10 ) Integrando, obtemos a SG = + .


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R

ESOLVENDO EDOL( 1 )DETERMINANDO A SOLUO GERAL DE UMA EDOL( 1 )

=( 1 ) = +( ) = ( ) = 3 ( ) = 5( ) = ( ) = 3 ( 2) Como

=

[

+ ], ento

=

[

+ ]

( 3 ) = [ + C ] = [ + C ] = [ + C ]( 4 ) A SG = [ 33 + C ] y = + C

+ = ( 1 )

+

=

+

=

( ) = 1

( ) = cos ( ) = ( ) = ( 2) Como = [ + ], ento = cos + ( 3 ) = [ cos + C ] = [ cos + C ] = ( + )( 4 ) A SG = +C + 1 = 0( 1 ) =1 = 1 ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) = ( ) = = ( 2 ) =1 ( 2 ) 1 + =1 2 1 + ( 3 ) Seja I = 2 1 . Faa = 1. Da = 2 = 2 eI = 2 (2 ) = = 1=1 ;( 4 ) Assim, y =

1 (

1

+C) =

1 (

1

+C);

( 5 )A SG = 1 +C1 .

EXEMPLO 26

E 26 A

1

E 26 B

E 26 C


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A SOLUO GERAL DA EDOL( 1 ) =1( 1 )

=1

( ) = 2( ) = 1( ) = ( ) = ( 2) Como = [ + ], ento = + ( 3 ) A funo ( )= contnua para todo x, mas sua antiderivada no umafuno Elementar.

( 4 ) Ou seja, no temos como responder em termos das funes elementares

pergunta qual a funo cuja derivada ?( 5 ) A deve ser estudada analiticamente, Isto , pode ser resolvidaatravs de Sries de MacLaurin;( 6 ) No sculo XIX o matemtico francs Joseph Liouville demonstrou que impossvel resolver em termos das funes elementares integrais como

RESOLVENDO A EQUAO DE BERNOULLI + = A EDO( 1 ) +( ) = ( ) , k denominada Equao de

Bernoulli. Se k = 0ou k = 1, a equao de Bernoulli se reduz a uma EDOL ( 1 ).

A substituio = reduz a Equao de Bernoulli a uma EDOL( 1 ).( 1 ) Temos:

( ) = 1 , ( ) = , = 2;

( 2 ) Faamos =

=

=

e

=

( 3 ) Assim + = + = ( )( 4 ) Decorre + = ( 5 ) Dividindo ambos os membros por , segue-se - = , que uma EDOL( 1 ) na incgnita u onde temos .( )= , .( )= , .( )= ( 6 ) Di

=

[ + ]=

(

+ C )

= C

( 7 ) Como = , ento= .

EXEMPLO 27

, , , , , sen cos , , 1 , . . .EXEMPLO 28


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IRCUITOS ELETRICOS SIMPLES I

Amatria conhecida formada portomos.Os tomos so constitudos por um Ncleo, onde esto os Prtons e os

Nutrons, e a Eletrosfera, onde Eltronsdescrevem orbitas em torno do ncleo.

Os prtons e nutrons tm massas praticamente iguais e a massa do eltron cerca de 2000 vezes menor do que a massa do prton.

Imagine prtons, nutrons e eltrons de um tomo nas proximidades de umim: os prtons so atrados numa direo, os eltrons seguem direo oposta direo dos prtons e os nutrons no so afetados.

Esta propriedade da matria chamada Carga Eltrica.

Convencionou-se que os prtonsso partculas de carga eltrica positiva, oseltronstem carga eltrica negativae os nutronstem carga neutra.

A carga de um prton ou eltron chamada Carga Eltrica Elementar ,medida em Coulombs, de smbolo C, e valor aproximado 1,6x 10 .

A carga eltrica de um corpo tem medida = , onde a quantidadeinteira de cargas elementares.

Os eltrons movem-se mais facilmente nos fios metlicos se houver umaaplicao de energia fornecida por uma bateria. Uma bateria uma fonte de

alimentaode energia eltricacom dois polos. Um dos polos tem carga positiva e ooutro, carga eltrica negativa.

Quando um fio metlico conectado a cada um dos

polos, os eltrons no fio so repelidos pelo polo negativo e

atrados para o polo positivo num movimento que gera uma

Corrente Eltrica.

A foraproveniente da bateria que faz os eltrons se movimentar dita ForaEletromotriz, fem, ou Tenso, medida em volts, se smbolo .

O caminho pelo qual a corrente eltrica passa denominado Circuito.

Cada circuito precisa de uma fonte de alimentaopara conduzir a corrente.

A quantidade de tenso gerada pela bateria depende da tenso da bateria.Uma bateria de 6V, por exemplo, tem diferena de potencial de 6 V entre seus polos,pois se refere a uma diferena de tenso eltrica: existe uma diferena de tensoentre os polos de 6 V. No polo positivo a tenso 6 V e no polo negativo, 0 V. estadiferena que gera uma tenso e sem esta diferena a tenso no pode existir.

A tenso tambm chamada Diferena de Potencial, ddp.

Os principais elementos de um Circuito so Resistores, Indutores eCapacitores. Tambm chamados Dipolos, so dispositivos fsicos constitudos de

duas extremidades que se conectam a outros dispositivos.

2


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IRCUITOS ELETRICOS SIMPLES II

( 1 )RESITNCIA E RESISTORES

O modo pelo qual determinadas substncias restringem o fluxo de eltronsreduzindo a fora da corrente eltrica denominado Resistncia.

A resistncia, medida em ohms, de smbolo , o principal meio de controleda corrente num circuito. Todos os componentes tem certo grau de resistncia, masos Resistores so feitos para controlar a corrente e a tenso de outro componente ouimpedir danos num componente por excesso de corrente.Assim o Resistor umdispositivo que emprega a corrente eltrica.

A intensidade de corrente circulando num circuito depende da tenso da

bateria e da resistncia. A corrente eltrica medida emAmperes, de smbolo , numampermetro. A tenso medida num voltmetroe a resistncia num ohmimetro.O Circuito Eltrico mais simples constitudo por uma Fonte de Enegia Eltrica

e um Resistor. Por exemplo, no circuito constitudo por uma bateria e uma lmpada,

quando a chave fechadaou, o circuito fechado, a corrente eltrica circula atravsdo Resistor, produzindo uma queda de tenso.

( 2 ) LEI DE OHM: = A queda de tenso

atravs do Resistor proporcional corrente

instantnea , onde R resistncia do Resistor. medido emVolts, de smboloV, R em ohms e i, emAmperes.( 3 )INDUTNCIA E INDUTORES: =

O Indutor um dispositivo que se ope a variao da corrente.

A queda de tenso atravs do Indutor proporcional taxa de variao dacorrente instantnea

no tempo t, onde Indutncia do Indutor.

e

so medidos emHenrys, de smboloH e o tempot, em segundos.

( 4 )CAPACTNCIA E CAPACITORES: =qO Capacitor um dispositivo que armazena cargas eltricas.

Aqueda de tenso no Capacitor proporcional ao valor da Carga Eltricainstantnea armazenada no capacitor, onde C a Capacitncia do Capacitor.

C medido emFarads, de smboloF e a cargaq, em Coulombs.

( 5 )2 LEI DE KIRCHHOFF

Num circuito fechado, atenso aplicada igual soma das quedas de tensono resto do circuito.

3


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M

ODELOS DE CIRCUITOS SIMPLES

As medidas das quedas de tenso so resumidas:

( 1 ) = ( 2 ) = ( 3 ) =q( t ).A corrente eltrica igual taxa de variao da carga eltrica .Ou seja, = .Portanto, = .Integrando ambos os membros de um dado instante

a instante qualquer

,

( )= ( ) . Assim, =q( t ) = ( ).

R

V( t )

L

( 1 ) Pela 2 Lei de Kirchhoff, ( )= + ( )= + ( 2 ) Decorre

+=, que uma EDOL( 1 ).R

V( t )

C

( 1 ) Pela 2 Lei de Kirchhoff, ( )= + ( )= + ( 2 ) Decorre ( )= + = + ( )( 3 ) Derivando,

= R+ + = , que uma EDOL( 1 ).( 4 ) Se = 0, temos uma EVS.

CIRCUITO RL

4

CIRCUITO RC


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AULA 9 ATIVIDADES DE ESTUDOS 8

301 = /2 + 302 + = ( ) 303 = 2 2 + 304 + = ( + )305 = ( 0,5 + 0,5 + ) 306 = + 307 3 = C 0,5 308 + = (/)+ 309 + 2 = 4 + 310 + 2 = + 311 + 3 = 0 3 + /312

+ 2 =

( 1) = 20,5 + 1,5

313 + = 0, ( 1 ) = 2 ( + 2 )314 + = 2 + , ( 1 ) = 3 2 + 0,5 + 2,5315 ( 2 ) = 0 22 + C 316 ( 1 + ) + = 1+ 317 + 2 = 50 ( 0 ) = 0 v = [ 2010+10]318 +2 = , ( 0 ) = 1 0,5+0,5 319 y= 2 2 + 1 + 320 + = 2 , = + + 2321 + = 0 , ( 0 ) = ( )= ( ) 322

+

= 0,

( 0 ) =

,

= Constante

( )=

+

( )

5

ATIVIDADE : ESTUDANDO A SOLU O DE EQUA ES LINEARES

A SG da EDOL ( 1 ) + ( ) = ( )= [ + ] , onde ( )= ( )


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CIRCUITOS ELTRICOS SIMPLES

UNIDADES DE MEDIDAS E EQUAES RELACIONAIS

TERMO SMBOLO UNIDADE EQUAOTempo s, SegundosCarga Eltrica C, Coulomb = ( )Corrente Eltrica A, Amperes = = ( ) ( ) = ( )

Resistncia , OhmsTenso no Resistor

V, Volts

=

Indutncia H, HenryTenso no Indutor H, Henry = Capacitncia F, FaradTenso no Capacitor F, Farad = Circuito RL ( )= +

()

+ =

Circuito RC

( )= + () + = 322) Em um circuito RL , V = 5 volts, R = 1 ohm, L = 2 Henrys e i( 1 ) = 4. Determinea corrente no instante t = 2 s. 4,393 A

323 ) Um corpo de massa 10 kg deslocado num plano por uma fora F medida emNewtons de acordo com a equao ( ) = 500 . Sobre o corpo atua umafora de atrito dada por =

20 , onde

a velocidade do corpo dada em metros

por segundo,

/ .No instante t = 0 o corpo est parado. Determine a velocidade do

corpo em um instante t qualquer.

RESOLUO

( 1 ) De acordo com a 2 Lei de Newton, = ma 500 sent 20 v = 10 ( 2 ) 500 sent 20 v = 10

10 + 20 = 500 ( 3 ) EDOL( 1 )

+ 2 = 50 ( 4 ) Ver Exerccio 317.

324)Ache a correntenum circuito RL de tenso 3 2volts, resistncia 10 ohms,indutncia de 0,5 henry e corrente inicial de 6 amperes. 3 0 1 0 1 sen2t 3 101 cos2t

ATIVIDADE 8 MODELOS ASSOCIADOS S EDOL 1


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QUAES LINEARES DE 2 ORDEM

Uma Equao Diferencial Ordinria Linear de 2 Ordem, EDOL( 2 ) todaequao + () + ( ) = () , onde as funes , , chamadascoeficientes, e so funes contnuas de num intervalo I.

Se( ) = 0para todo real, a equao + () + ( ) = , denominada Homognea: EDOLH( 2 ).

Se e so funes constantes tais como ( )= e ( ) = , onde e

nmeros reais, a equao

+ + = (), dita Equao Diferencial

Ordinria Linear de Segunda Ordem Coeficientes Constantes, EDOLK( 2 ).O estudo das Equaes Lineares de 2 Ordem depende de um importante

resultado para estruturar o desenvolvimento do raciocnio na pesquisa das solues. uma proposio que simplesmente afirma que se conhecemos duas

solues de uma EDOLH( 2 ), a somaou superposiodestas solues soluo.E mais ainda: toda soluo multiplicada por uma constante tambm soluo.

.TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUAES HOMOGNEAS: TFH

De fato.

( 1 ) Conforme definio de Soluo, devemos mostrar substituindo = + na EDOLH( 2 )queobtemos uma identidade.( 2 ) Portanto + () + ( ) = 0

( + ) + f ( + ) +( + ) = 0 + + f + + + = 0 ( + + ) + ( +f + ) = 0;( 3 ) Como

e

so solues,

+

+

= 0 e

+

+

= 0.

( 4 ) Logo, . 0 + . 0= 0 0 = 0.OTFH chamadoPrincipio da Superposio das Equaes Homogneas.

9CADERNO9

Sejam = ( )e = ( )solues quaisquerda EDOLH( 2 ) + () + ( ) = .Sejam e nmeros reais no simultaneamente nulos.Ento a COMBINAO LINEAR( )= ( ) + ( )tambm soluo da EDOLH( 2 ).


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S

OLUO GERAL DE UMA EDOLH( 2 )

De acordo com o TFH, a frmula

( ) =

( ) +

( ) se

qualifica para representar a Soluo Geral de uma EDOLH( 2 ), pois contem duas

constantes arbitrrias e .Desde que esta expresso no se reduza a uma expresso contendo menos

do que duas constantes arbitrrias, a qualificao est completa.Voc deve estar se perguntando sob que condies tal reduo possvel.

Ora, verifica-se que se as funes = ( ) e = ( ) soLinearmente Dependentes, LD, tal reduo possvel.

De fato.

Pois duas funes e so LD se uma mltipla escalar da outra. Isto ,existe uma constante, no nula, tal que = K . Ou, se 12 = K.Desde que = K , temos,( 1 ) = + = K 2 + ;( 2 ) = K 2 + = ( K + )( 3 ) Fazendo K + = C, segue-se= .Seno, isto , se

12

K, as funes

e

so denominadas Linearmente

Independentes, LI.Portanto, devemos exigir que as funes e sejam LIpara que a frmula( )= ( )+ ( )se considere como SG de uma EDOLH( 2 ).Todo conjunto constitudo por Funes Linearmente Independentes

denominado Conjunto Fundamental de Soluesou BASE de SOLUES.

De modo geral, um conjunto de funes = { , , , . . . , } LD numdado intervalo I se existem constantes , , . . . , ,nem todas nulas, tais que + + . . . + = 0

.

Se as constantes , , . . . , so todas nulas, o conjunto de funes LI.Um procedimento de verificao da linearidade de um conjunto de funes dado pelo Determinante Wronskiano, desenvolvido pelo matemtico francs deorigem polonesa Josef Maria HonWronski.

Considere que , , , . . . , tenham pelo menos 1derivadas.Seja ( , ,. . . , ) =

. . .

.

.

..

..

Se W = 0, conjunto = { , , , . . . , } LD. Se W 0, LI.

1


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S

OLUO GERAL DE UMA EDOLHK( 2 ): 1

Uma Equao Diferencial Ordinria Linear Homognea de 2 Ordem Coeficientes Constantes, EDOLHK( 2 ), toda equao da forma + + = 0.

Por analogia com as EDOLHK ( 1 ) + = 0 ,cuja SG ( ) = C ,seja = uma soluo de + + = 0.

O raciocnio simples: se a EDOLHK( 1 ) tem como soluo uma funo da

forma ( ) = , podemos esperar que as EDOLK( 2 ) herdem estecomportamentonuma funo da forma

=

, para valores adequados de k.

Assim, considerando que = uma soluo da EDOLHK( 2 ), ento:( 1 ) Substituindo = na EDOLHK( 2 )devemos ter uma identidade: + + = 0( ) + a( ) + b = 0;( 2 ) Decorre: ( ) + ak + b = 0

k + ak + b = 0 ( k + ak + b ) = 0( 3 ) Como 0, segue-se que + + = 0.( 4 ) A equao

+ + = 0 denominada EQUAO CARACTERISTICA,

EC, da EDOLHK( 2 );( 5 ) Ou seja, = uma soluo de + + = 0 dependendo daequao + + = 0.( 6 ) Como a e b so nmeros reais, as razes da Equao Caracterstica podem ser

- Razes Reais Distintas, : ;- Razes Reais Iguais= = : = ;- Razes Complexas= + ou = , , e;

Aqui,

=

1ou

= 1.

Por exemplo, 16= (1)16 = 116= 41= 4 = 0 4

( 1 ) Neste caso as solues de + + = 0so= ou= ( 2 ) Como as solues eso LI, pois 1 2 0, elas formam uma BASEde solues;

( 3 ) Como a SG tem a forma

( )=

( ) +

( ), segue-se que

( 4 ) Se a SG da EDOLHK( 2 ) ( )= +

2

CASO 1: RAZES REAIS DISTINTAS, :


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S

OLUO GERAL DE UMA EDOLHK( 2 ) 2

( 1 ) Neste caso, j que = =, s temos a soluo = ;( 2 ) Para encontrar a outra soluo , utilizamos um procedimento devido aomatemtico italiano do sculo XVIII Joseph Louis Lagrange chamado Mtodo daVariao dos Parmetros, MVP;

( 3 ) Suponha ( ) = ( )( )ou, simplesmente = , onde = ( ) uma funo que deve ser obtida substituindo

na EDOLHK( 2);

( 4 ) Assim,

+ + = 0(

) +a(

)+b

= 0;

( 5 ) Temos ( + )+ a( + ) + b = 0( 6 ) + + + + a +a+ b = 0( 7 ) + 2+ +a +a+ b = 0( 8 ) + ( 2 + 1 ) + ( +a+ b ) = 0( 9 ) Como soluo , +a+ b = 0 e da + ( 2+a ) = 0;( 11 ) Agora, na equao caracterstica + + = 0 temos k = 2 , pois = 0;( 12 )

+ ( 2+a

) = 0 u

2 +

( 2

2 + a

2

) = 0

( 13 ) Decorre 2 = 0 ou = 0 = 0, pois 0;( 15 ) A soluo da equao = 0 = + , e reais;( 16 ) Uma das solues de = 0 = ;( 1 7 ) Assim = = ;( 18 ) Como as solues = eso LI, pois 2 1 = 1 0, elas formam umaBASE de solues;

( 19 ) Como a SG tem a forma ( )= ( ) + ( ), segue-se que( 20 ) Se

=

=

a SG da EDOLHK( 2 )

( )=

+

( 21 ) Ou, ( )= ( + ) 3 +2 =0

( 1 ) EC, Equao Caracterstica: 3 + 2 = 0;( 2 ) Razes da EC: = 2 ou =1, Razes Reais e Distintas;( 3 ) Base de Solues:

,

;

( 4 ) SG, Soluo Geral: ( )= 2 +

EXEMPLO 29

3

CASO 2: RAZES REAIS IGUAIS

=

=

E 29 A


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4 +4 =0

( 1 ) EC, Equao Caracterstica: 4 + 4 = 0;( 2 ) Razes da EC: = = 2, Razes Reais e Iguais;( 3 ) Base de Solues: , ;( 4 ) SG, Soluo Geral: ( )= 2 + 2 = 2 ( + ).( 1 ) Neste caso temos as solues

1=

( + )e

2=

( );

( 2 ) ( + ) = e( ) = ( 3 ) Devemos utilizar as identidades = + e = ;( 4 ) = ( + ) e = ( )( 5 ) Pelo TFH, como a soma ou diferena de solues soluo, ento ( + ) + ( ) = 2 , e

( + )

( ) = 2

( 6 ) Pelo TFH, como a multiplicao de uma soluo por uma constante tambm

soluo, seja =. 2 = e = . 2 = ( 7 ) As funes = e = formam uma BASE desolues, pois so LI, j que = 0;( 8 ) Como a SG tem a forma ( )= ( ) + ( ), segue-se que( 9 ) A SG em a forma

( )=

+

( 10 ) Ou, ( )= ( + ) 6 +25 =0( 1 ) EC: 6 + 25 = 0;( 2 ) Razes da EC: = = = = 3 + 4 ou = 3 4 ( 3 )

=

3 + 4 ou

=

3 4

= 3e

= 4

( 3 ) Base de Solues: cos4, 4 ;( 4 ) SG, Soluo Geral: ( )= ( cos4+ 4 ).

EXEMPLO 29

E 29 B

CASO 3: RAZES COMPLEXAS = + ou =

EXEMPLO 30


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PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Resolver um PVI para uma Equao Diferencial Linear de 2 Ordem

encontrar a Soluo Particularque satisfaz: +( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) = 3 +2 =0; (0 ) = 2, (0 ) = 5

PARTE I : Determinando a SG da Equao Diferencial dada,

( 1 ) A SG de 3 +2 =0 ( )= + PARTE II: Determinando a SP da Equao Diferencial dada,

( 1 ) (0 ) = 22 = + + = 2;( 2 ) ( )= 2 + e ( 0 )= 2 + 2 + = 5;( 3 ) Resolvendo o sistema + = 22 + = 5 temos = 3e = 1( 4 ) Substituindo os valores = 3e = 1na SG, temos a( 5 ) SP: ( )=3 .

4 +4 =0;

(0 ) = 3, (0 ) = 1

PARTE I : Determinando a SG da Equao Diferencial dada,( 1 ) A SG de 4 +4 =0 ( )= + PARTE II: Determinando a SP da Equao Diferencial dada,( 1 ) (0 ) = 33 = + . 0 . = 3;( 2 ) ( )= 2 + + ( 3 ) ( 0 )= 2 + 2 + = 1 = 7( 4 ) Substituindo os valores = 3e = 7na SG, temos a( 5 ) SP:

( )=

( 3

7 )

6 +5 =0; (0 ) = 1, (0 ) = 5PARTE I : Determinando a SG da Equao Diferencial dada,( 1 ) A SG de 6 +25 =0 ( )= ( cos4+ 4 )PARTE II: Determinando a SP da Equao Diferencial dada,

( 1 ) (0 ) = 11 = . ( cos0+ 0 ) = 1( 2 ) ( )= 3 ( cos4+ 4 )+ (4 sen4+ 4 4 )( 3 )

(0 ) = 55 = 3

+ 4

5 = 3 + 4

= 0,5

( 4 ) Substituindo os valores = 1e = 0,5na SG, temos a( 5 ) SP: ( )= (cos 4 + 0,5 4 ).

EXEMPLO 31

E 31 A

E 31 B

E 31 C


19/45



PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO

Resolver um PVC para uma Equao Diferencial Linear de 2 Ordem

encontrar a Soluo Particularque satisfaz: +( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) = .Ou seja, um PVC para uma Equao Diferencial de 2 Ordem consiste em

resolver um problema no qual a varivel dependente y e sua derivada so definidas

em pontos diferentes.

+ 3 4 = 0;

(0 ) = 2, (2 ) = 0

PARTE I : Determinando a SG da Equao Diferencial dada,

( 1 ) EC, Equao Caracterstica: + 3 4 = 0;( 2 ) Razes da EC: = 1 ou =4, Razes Reais e Distintas;( 3 ) Base de Solues: , ;( 4 ) SG, Soluo Geral: ( )= + 4PARTE II: Determinando a SP da Equao Diferencial dada,

( 1 ) (0 ) = 2

2 = + + = 2;( 2 ) ( )= 4 e ( 2 )= 2 4 2 4 = 0( 3 ) Resolvendo o sistema + = 22 4 = 0, temos = e = ( 4 ) Substituindo os valores de e na SG, temos a( 5 ) SP: ( )= + .

6 +5 =0; (0 ) = 1, ( /2 ) = 0PARTE I : Determinando a SG da Equao Diferencial dada,( 1 ) A SG de 6 +5 =0 ( )= ( cos3+ 3 )PARTE II: Determinando a SP da Equao Diferencial dada,

( 1 ) (0 ) = 11 = . ( cos0+ 0 ) = 1( 2 ) ( )= 2 ( cos3+ 3 )+ (3 sen3+ 3 3 )( 3 ) ( /2 ) = 0 2 ( ) + ( 3 ) = 0 2 3 ) = 0 = 2 / 3( 4 ) Substituindo os valores

e

na SG, temos a

( 5 ) SP: ( )= cos 3 3 .

EXEMPLO 32

E 32 A

E 32 B


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SGEDOLHK ( 2 ) + + = 0:Razes da EC Base SG

,

y( x ) =

+

= = k , x y( x ) = ( + x ) = + , ou = cos, y( x ) = ( cos+ )PVI: +( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) = . PVC:

+( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) = .

Funo Dada Equao Diferencial Dada

325 = + = 0326

= cos+ + = 0327 = + + 2 = 0328 = cos3+ 3 2 + 10 = 0329 = + 2 4 + 4 = 0 330 = + 3 + 4 = 0 331

=

+

3

2 = 10

4

EDOLHK ( 2 ): + + = 0EC: + + = 0

ATIVIDADE : VERIFIQUE SE A FUNO DADA SOLUO DA EDO DADA.


21/45



332 ) = 5.( 1 ) Fazendo u = y, temos u= 5u.( 2 ) Assim

= 5u = 5 dx ln u = 5x + u = u = . 1 ( 3 ) u = , onde = ;( 4 ) Como u = y, segue-se y= = = y = + ( 5 ) = + , onde A = .333 ) = 0 + 334 )=9 A + B335 ) = 2 A + B 336 ) = 1 + = ( + ) + 337 ) = A + B 338 ) ( 1 + ) = ( + 2 ) +

339 + 2 = 0 + 340 2 15 = 0 + 341 + 2 15 = 0 + 342 3 + 2 5 = 0 + 343

4 = 0

+

344 4 = 0 + 345 4 9 = 0 , + , 346 + 5 6 = 0 + 347 + 5 + 6 =0 + 348

+ 9 = 0 cos 3x + 3

349 + 6 + 9 = 0 ( + x )

ATIVIDADE : REDUO DE UMA EDO( 2 ) UMA EDO( 1 ).

Desde que a varivel dependente y no aparea explicitamente, a mudana

u = y facilita obter uma EDO( 1 ) na varivel u

ATIVIDADE 10: DETERMINE A SOLUO DAS SEGUINTES EDOLHK ( 2 ):


22/45



350 y + 2y 9 y = 0 +351 + = 0 cos a x + a x352

+ 6 + 10 = 0

(

+

)

353 3 6 + 18 = 0 ( + 3 )354 4 + 9 = 0 cos ( 1,5 ) x + (1,5 )355 5 6 + 5 = 0 , ( cos 0,8 x + 0,8 x )356

9

12 + 5 = 0 [ cos ( 4 3 )+ ( 4 3 ) ]

357 = 0,25 , + , 358 + 0,2 + 0,26 = 0 , ( cos 0,5 x + 0,5 x )359 + 2 + ( + 1 ) = 0 ( cos x + x )360 9 = 0, (0 ) = 3 , (0 ) =2 ( 7/ 6 ) 11/ 6 ) 361

+ 16 = 0, ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 4 4

362 8 + 16 = 0, ( 0 ) = 1, ( 0 ) = 2 ( 1 6x )363 4 ` + 3 = 0, (0 ) =1, ( 0 ) = 1 2 364 = 0, ( 0 ) = 3, ( 0 ) = 0 1,5 1,5 365 + 4 = 0, ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 6 3 2366

+ 4 ` + 5 = 0, (0 ) =1, (0 ) =

3 ( )

367 3 ` + 2 = 0, ( 0 ) = 1, ( 0 ) = 0 2 368 6 + 9 = 0, ( 0 ) = 2, ( 0 ) = 8 ( 2 + 2 )369 4 + 4 + = 0 ( 0 ) = 1, ( 0 ) =2 20,5 370 = 0, ( 0 ) = 4, ( 0 ) =3 4 3x371

( 8/ 3 )

= 0, (

3 ) = , ( 3 ) = /


23/45



372 ) = + 5 = 0 373 ) = + 6 = 0 374 ) = ( + ) y 8 y + 16y = 0 375 ) = + 4 = 0 376 )

=

( + ) y + 2 y + 2y = 0

377 ) = ( + ) 2 + = 0 378 ) = ( 2 + 2 ) + 2 + 5 = 0

379 )S = 3 e P = 2, y 3y+ 2y = 0 380 )S = 1 e P = 6, y + y6y = 0

381 )

= 2

2 y 4y+ 2y = 0 382 )

= 3 2i, y + 6y+ 13y = 0

383 )2 + 4 = 0 e uma raiz da Equao Caracterstica EC 3; 2/ 3384 )( + 2 ) y + 5y + 2y = 0 e o produto das razes da E C 2/ 3; 1

385 )(2 1) + ( + 2) ( 7 + 1) = 0 e a soma das razes da E C 4/ 3; 2386 )

2

12 + (

+ 2 ) = 0e a diferena das razes da E C 2; 14

387 )( 2 + 2 ) + ( 4 4 ) ( 2 ) = 0 e + = 2, = 1; 1 e 1388 ) ( 1 + ) + ( 3 + 2 ) = 0 e produto das razes da EC 1; 389 ) + 2 + ( + 3 2 ) = 0 e = ; 2 3

ATIVIDADE 11: Determine a EDOLHK( 2 ) ++ =0tal que a funo = ( )dada a sua Soluo Geral:INFORMAO ADICIONAL:

A equao

+ + = 0 equivalente

+ = 0, onde

S = + , a soma das razes e P = . , o produto das razes e .Assim, se as razes so = 2 ou = 5, segue-sek Sk + P = 0 k ( 2 5 ) k + 2 ( 5 ) = 0k + 3 k 10 = 0.

ATIVIDADE 12 : Determine a EDOLHK( 2 ) ++ =0dado as razesda EC ou a soma e o produto das razes:

ATIVIDADE 13: Determine o valor de de acordo a condio dada:

ATIVIDADE 14: Determine as razes da EC de acordo a condio dada:


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QUAES NO HOMOGNEAS

Uma Equao Diferencial Ordinria Linear de 2 Ordem No Homognea toda equao da forma + ( ) + ( ) = ( ) onde as funes , e so contnuas num intervalo I.

Procurando descrever as solues de, podemos proceder por analogia comas Equaes Lineares de 1 Ordem y + ( ) = ( ) cuja SG y =

[

+ C] = C

+

, h =

( ).

Comeamos revendo o processo de descrio das EDOL( 1 ) atravs do

A SOLUO GERAL DA EDOL( 1) + 2 = ( 1 ) Aqui

( ) = 2,

( ) = e

( )=

( )=

( 2 ) A SG y = [ + C ] = [ + C ] y =C +Agora, atente para as seguintes observaes:( 3 ) A SG soma de dois termos:

- O 1 termo C a SG da Equao Homognea + 2= 0- O 2 termo

uma soluo da Equao No Homognea + 2= ( 4 ) As observaes acima so de fcil verificao:

- A SG de

+ 2= 0 obtida por separao de variveis;

- y = uma soluo de + 2= , pois( ) + 2 = = A SOLUO GERAL DA EDOL( 1) + ( ) = ( )

( 1 ) A SG de + ( ) = ( ) y = C + ,( 2 ) A SG a soma de dois termos:

- O 1 termo, C

, a SG da Equao Homognea

+ ( )= 0

- O 2 termo,

, uma Soluo da Equao

+ ( )=

( )

denominada Soluo Particular Associada, de smbolo

10CADERNO10

EXEMPLO 33

E 33 A

E 33 B


25/45



S

OLUO GERAL DE UMA EDOLK( 2 )

De fato.

PARTE I

Comeamos observando o seguinte LEMA FUNDAMENTAL:

( 1 )Se = ( ) e = ( ) so solues de + ( ) + ( ) = ,ento + + = e + + = ;( 2 )Para mostrar que y =

soluo de

+ ( ) + ( ) = temos:

+ + = + + = + + = 0 + + (+ + ) = 0 = 0 0 = 0;PARTE II

( 1 )Seja = ( )a SG da ED No Homognea + ( ) + ( ) = ( )e seja = ( )uma Soluo Particular Associada Equao No Homognea( 2 )Pelo Lema Fundamental, a diferena

soluo da Equao Homognea

+ ( ) + ( ) = ;( 3 ) Ou seja = e da = + .

1

TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUAES NO HOMOGNEAS:

SEJAM:( 1 ) A Equao No Homognea + ( ) + ( ) = ( ) . . . . . . . . .( 2 ) = ( )e = ( )solues LI da Equao Homognea + ( ) + ( ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( 3 ) = ( )+ ( ) a Soluoda Equao Homognea Associada Equao No Homognea;

( 4 )

= ( ) uma Soluo Particular Associada Equao No Homognea

ENTOA Soluo Geral da Equao No Homognea + ( ) + ( ) = ( )tem a forma ( )= ( ) + ( ).

Se = ( )e = ( )so solues da Equao No Homognea ,ento a diferena soluo da Equao Homognea


26/45



O

MTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR

O problema da determinao da SG de uma Equao No Homognea aCoeficientes Constantesse reduz ao problema deencontrar a soluo da SoluoParticular Associadaj que a SG tem a forma ( ) = ( ) + ( ) e j sabemosdeterminar a Soluo da equao homognea.

Para determinar a Soluo daEDOLK( 2 ) + + = ( ) temosdois mtodos: O Mtodo dos Coeficientes a Determinar, MCD, e o Mtodo Geral.

Embora o MCD no se aplique a todas as equaes lineares, ele conta comduas interessantes vantagens: de aplicao mais simples e tem boa desenvoltura

para as funes que aparecem com maior frequncia em problemas de Engenharia.As classes de funes para as quais o MCD aplicado so as FunesPolinomiais, Exponenciais eSinusoidais.

O MCD consiste em prognosticar para = ( ) uma funo da mesmaclasse da funo = ( )contendo Coeficientes a Determinarsubstituindo esuas derivadas na equao dada. Para exemplificar, o prognstico feito assim:

( 1 ) Se um Polinmio de grau, o prognstico, chamado EscolhaInicial, umpolinmio completo de mesmo graude .

Assim, se

( ) = , ento a escolha inicial

=A

+ B

+ C;

( 2 ) Se = 3 , ento = A;( 3 ) Se = 2 3, ento = A 3+ B 3.Para cada classe funcioanal est associado um nmero que denominaremos

Nmero Chave que altera a Escolha Inicialse o Nmero Chave for raiz da EquaoCaracterstica.Todo o processo est resumido na tabela abaixo:

O MTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR

Termo em

( ) N Chave Raiz da EC Escolha de

, 0 k

0k = 0,k = 0, raiz dupla + . . .+ + ( + . . .+ + ) ( + . . .+ + )

k k = ,

k = , raiz duplaA A A

, ou k k = + ( + )A regra geral para alterar a escolha inicial multiplicar a escolha inicial por

,

onde m a multiplicidade da raiz.

2


27/45



Estudando o MCD

3+2 =6

+ 1

PARTE I: Resoluo da Equao Homognea Associada3+2 =0( 1 ) EC: 3 + 2 = 0;( 2 )Razes da EC: = 2 ou = 1;( 3 )Soluo : =+

PARTE II: Escolha da Equao Particular Associada( 1 ) Termo em( ) ( )= 6 + 1( 2 ) Escolha Inicial = A + B+ C( 3 ) Nmero Chave de

0

( 4 ) Modificao No h, pois 0 no raiz da EC( 5 ) Escolha Final = A + B+ C

PARTE III: Resoluo da Equao Particular( 1 ) Procedimento: Substitua e suas derivadas na equao dada:( 2 )= A + B+ C, = 2A + B e = 2A( 3 ) Substituio:

3

+ 2

=

6

+ 12A 3( 2A

+ B ) + 2 ( A

+ B

+ C ) =

6

+ 1

Agora, 2A 6A

3 B + 2 A

+ 2 B

+ 2C =

6 + 1

( 2A ) + (6A + 2 B ) + (2A 3 B + 2C ) = 6 + 0 + 1 2= 6 6 + 2 = 02 3 + 2 = 1, onde encontramos A = 3, B =- 9 e C = -10

( 4 ) Soluo : =3 - 9-10PARTE IV: Soluo Geral

( 1 ) Como( ) = ( ) + ( ), segue-se( 2 )

( ) =

+

3

-9

-10

O PVI: 3+2 =6 + 1, ( 0 ) = 1e ( 0 ) = 2PARTE IV: Temos( ) = +3 + 9+ 14.PARTE V : Resoluo do PVI

( 1 ) ( 0 ) = 11 = + -10 += 11( 2 ) ( ) = 2+6 + 9 e (0 ) = 22+= 11

( 3 )Temos:

= 0e

= 11

( 4 )A Soluo do PVI ( ) = 113 - 9- 10

EXEMPLO 34

E 34 A

E 34 B


28/45



Estudando o MCD

3 = 2PARTE I: Resoluo da Equao Homognea Associada 3 = 0( 1 ) EC: 3 = 0;( 2 )Razes da EC: = 3 ou = 0;( 3 )Soluo : =+

PARTE II: Escolha da Equao Particular Associada( 1 ) Termo em

( )

( )=

2

( 2 ) Escolha Inicial

= A + B+ C( 3 ) Nmero Chave de 0( 4 ) Modificao Sim, pois 0 raiz da EC( 5 ) Escolha Final = A + B+ C

PARTE III: Resoluo da Equao Particular( 1 ) Procedimento: Substitua e suas derivadas na equao dada:( 2 )= A + B+ C, = 3A + 2B + C e = 6 A + 2B( 3 ) Substituio:

3 = 26 A + 2 B 3 ( 3A + 2B + C ) = 2 6 A + 2 B 9 A 6 B 3 C = 2 (9 A ) + ( 6 A 6 B ) + 2B 3 C= 2 9 = 16 6 = 22 3 = 0, onde encontramos A = 1 9 , B = 2 9 e C = 4 27

( 4 ) Soluo : =(1 9 )+ ( 2 9 ) +(4 27) PARTE IV: Soluo Geral

( 1 ) Como( ) = ( ) + ( ), segue-se( 2 )

( ) =

+

(

1 9 )

(

2 9 ) +

( 4 2 7 )

O PVI: 3 = 2, ( 0 ) = 2e ( 0 ) = 0PARTE IV: Como( ) =+ (1 9 ) +( 2 9 ) +(4 27) , temosPARTE V : Resoluo do PVI( 1 ) (0 ) = 2 += 2( 2 ) ( ) = 3 ( 3 9 ) ( 4 9 ) +(4 2 7 ) e (0 ) = 0 3 =

4 2 7

=4/81

( 3 ) Decorre

=

4/81 e

=

2

( 4 )A Soluo do PVI ( ) =2 4 8 1 3- (1 9 )+ ( 2 9 ) +(4 27)

EXEMPLO 35

E 35 A

E 35 B


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Estudando o MCD

4 + 4 = 6

PARTE I: Resoluo da Equao Homognea Associada 4 + 4 = 0( 1 ) EC: 4 + 4 = 0;( 2 )Razes da EC: = = 2;( 3 )Soluo : = + ;

PARTE II: Escolha da Equao Particular Associada( 1 ) Termo em( ) ( )= 6 ( 2 ) Escolha Inicial

= A

( 3 ) Nmero Chave de 2( 4 ) Modificao Sim, pois 2 raiz dupla da EC( 5 ) Escolha Final = A 2PARTE III: Resoluo da Equao Particular

( 1 ) Procedimento: Substitua e suas derivadas na equao dada:( 2 )= A 2, = 2A 2+ 2 A 2 e

= 2A

2+ 4 A

2+ 4 A

2+4 A

2

= 2A

+ 8 A

2+4 A

2

( 3 ) Substituio:4+ 4 =6 2A + 8 A 2+4 A 24 ( 2A 2+ 2 A 2) + 4 A 2=6 2A + 8 A 2+4 A 28 A 28 A 2 + 4 A 2=6 2A + 8 A 28 A 2=6 2A =6 A = 3.

( 4 ) Soluo : =3 PARTE IV: Soluo Geral

( 1 ) ( ) = ( ) + ( )( ) = + +3 O PVI: 4 + 4 = 6 , y( 0 ) = 3, y( 0 ) = 2

PARTE V : Resoluo do PVI

( 1 ) ( 0 ) = 1 = 3( 2 ) ( ) = 2

+ 2

+ 2

+6

+

6 2 e (0 ) = 2

2+ 2

= 2. Como

= 3, temos

= 2.

( 3 )A Soluo do PVI ( ) = 3 2 +3

E 36 A

EXEMPLO 36

E 36 B


30/45



Estudando o MCD

2 + 5 = 2

PARTE I: Resoluo da Equao Homognea Associada2+5 =0( 1 ) EC: 2 + 5 = 0;( 2 )Razes da EC: = 1 + 2i ou = 1 2i = 1e = 2;( 3 )Soluo : = 2 + 2

PARTE II: Escolha da Equao Particular Associada( 1 ) Termo em( ) ( )= 2( 2 ) Escolha Inicial = A 2+ B 2( 3 ) Nmero Chave de

( 4 ) Modificao No h, pois 2no raiz da EC( 5 ) Escolha Final = A 2+ B 2PARTE III: Resoluo da Equao Particular

( 1 ) Procedimento: Substitua e suas derivadas na equao dada:( 2 ) = A 2+ B 2, = 2A 2+ 2B 2 e= 4A 24B 2( 3 ) Substituio:

2

+ 5

=

2

4A 24B 2 +4A 24B 2+ 5A 2+ 5B 2= 2 2(B +4 A ) + 2( A 4B ) = 2 + 0. 24 + = 1 4 = 0A =4 17 e B = 1 17 .

( 4 ) Soluo : = (4 17 ) 2+ ( 1 17 ) 2PARTE IV: Soluo Geral

( 1 ) Como( ) = ( ) + ( ), segue-se( 2 )( ) = 2 + 2 +(4 17 ) 2+ ( 1 17 ) 2

O PVI: 2 + 5 = 2, ( 0 ) = 0e ( 0 ) = 2PARTE IV: Como( ) = 2 + 2 +(3 17 ) 2+ ( 1 17 ) 2, temosPARTE V : Resoluo do PVI

( 1 ) (0 ) = 0 + 3 17 = 0 = 3 17 ( 2 ) ( ) = 22 2+ 2 + 2 2 6 17

2+

2 17

2. Da

( 0 ) = 2

+ 2

+

2 17 = 2

=

3 5 3 4

( 3 )A Soluo do PVI ( )= 3 1 7 2 +3 5 3 4 2 +3 17 2+ 1 17 2

EXEMPLO 37

E 37 A

E 37 B


31/45



+ 3 = 3 + 4 PARTE I: Resoluo

da Equao Homognea Associada

+3 =0

( 1 ) EC: + 3 = 0;( 2 )Razes da EC: = 0 ou = 3( 3 )Soluo : = +

PARTE II: Escolha da Equao Particular Associada( 1 ) Termo em( ) ( )= 3 + 4 ( 2 ) Escolha Inicial

= A+ B+ C + D

( 3 )Nmero Chave de

Para 3

. . . . . . . . . . .. . .0

Para 4 . . . . . . . . . 3( 4 ) Modificao Sim , pois 0 raiz da EC eSim, pois 3 raiz da EC

( 5 ) Escolha Final = A+ B+ C+ D 3PARTE III: Resoluo da Equao Particular

( 1 ) Procedimento: Substitua

e suas derivadas na equao dada:

( 2 ) = A+ B+ C+ D 3,= 3A+ 2B+ C + D 3 3D 3e= 6A+ 2B 6 D 3+9D 3( 3 ) Substituio:+3 =3 + 4 6A+ 2B 6 D 3+9D 3+9A+ 6B+ 3C

+ 3 D 3 9D 3=3 + 4

( 9 A ) +

( 6A + 6B ) + ( 2B + 3C ) +

(3 D ) =

3 + 0 + 0 + 4

9 = 36 + 6 = 02 + 3 = 0 3 = 4 A = 1 3 , B = 1 3 , C = 2 9 eD = 4 3 ( 4 ) Soluo : = 1 3 1 3 + 2 9 4 3 3

PARTE IV: Soluo Geral

( 1 ) Como( ) = ( ) + ( ), segue-se( 2 )( ) = ++1 3 1 3 + 2 9 4 3 3

EXEMPLO 38


32/45




SOLUO : Soluo de + + = 0:EC: + + = 0

Razes da EC Base SG

,

y( x ) =

+

= = k , x y( x ) = ( + x ) = + , ou = cos, y( x ) = ( cos+ )SOLUO :

O MTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR

Termo em( ) N Chave Raiz da EC Escolha de

, 0 k 0

k = 0,

k = 0, raiz dupla

+ . . .+ + ( + . . .+ + )

( + . . .+ + ) k k = ,k = , raiz dupla

A A A

, ou k k = + ( + )

390 y 3y + 2y = 5x + 1 + + ( 5/2 ) x + (15/2) x + (35/4 )391 y + y 2y = 3 + + ( 1/6 ) 392 y + 2y + y = 5 cos x ( + x ) + ( 5/ 2 )senx393 y + 2y + y = 5 cos 2x ( + x ) ( 3/ 5 ) cos 2x + ( 4/ 5) sen2x394 y 2y = 4x + 2x 3 + + ( 1/ 2 ) + ( 2/ 3) x + x + (5/ 2 )x395 6 = 7 1 + ( 7/ 5 )

3

EDOLK ( 2 ): + + = ( )SG: y( x ) = ( ) + ( )

ATIVIDADE 16 : DETERMINE A SOLUO DA EDOLK ( 2 ) PELO MCD:


33/45



396 + 9 = 6 3 3+ 3 3 397 4 = 8 + 12 + 2 + ( 1/ 4 ) 4 398

y 7 y + 12y= 3

+

+

( 3/ 20 )

399 5 + 6 = 1 + 2 + + ( 1/ 3 ) + ( 5/ 9 ) + (5/ 27 )400 4 = 3 + 1 + + ( 3/ 8 ) ( 1/ 16 ) 401 2 = 3 + 1 + (1/6) +(1/2)402 7 + 10 = 8 + ( 8/ 3 ) 403 4 + 4 = 8 ( + ) + 4 404

+ 4 = 4

2 + 2 + ( 4/ 13)

405 4 + 3 = 2 3 + ( 1/ 15 ) 3 + ( 2/ 15 ) 3406 3 + 2,5 = 2 , ( 0,5 + 0,5 ) + 0,2 + 0,6 407 + 4 = 5 2 2+ 2 + ( 5/ 4 ) 2408 = + 1 + + ( 1/ 20 ) + ( 1/ 2 ) 409 5 + 6 = 2 + 3 + + ( 1/ 3 ) + ( 5/ 18 ) + ( 3/ 2) 410

+ 4 +8 =

( 2+ 2 ) ( 1/ 16 ) + ( 1/ 8 ) ( 1/ 13 ) 411 + 4 + 4 = 22, (+ ) + ( 1/ 4 ) ( 1/ 8 ) 412 3 + 2 = 2 + + + 1 413 + = + 3 + + 0, 5 + 1,5 414 + 4 + 10 = 3 2 2 + + ( 1/ 4 ) ( 1/ 8 ) + ( 1/ 16 ) + ( 1/ 5 ) 2 + ( 1/ 10 ) 2 415 2 8 = 8 2 + ( 1/ 9 ) + ( 3/ 5 ) 2 + ( 1/ 5 ) 2416 + 10 + 29 = + 9 442 cos+ 950221 cos417 6 + 25 =50 36 63 + 18418 +25 = 5+ 5+ [ ( 1/ 8 ) + ( 1/ 16 ) ]

Faa = ( A+ B+ C ) = A + + C 419

+25 = 5+ 5+ [( 1/ 8 ) ( 1/ 8 ) + ( 1/ 32 ) ]


34/45



Faa = ( A+ B+ C ) 420

y+ 25 y = ( x + 1 ) 5+ 5+ [ ( 1/ 8 ) x ( 1/ 8 ) x + ( 5/ 32 ) ]Faa = ( + + )

421y + 9 y = ( x + 2 ) 3 + 3+ [ ( 1/ 18 ) ( 1/ 27 ) + ( 19/ 162 ) ]422 6 + 9 = ( + x ) + [ ( 4/ 25 ) cos x + ( 3/ 25 ) sen x ]

423 4 + 4 = ( + )+ ( 1/ 6 ) 424 2 + = 2 8 + 4 , ( 0 ) = ( 0 ) = 3 3 + 2 425 6 + 11 = 10 + 11 , ( 0 ) = 1, ( 0 ) = 2426

6 = 7

,

(0 ) = ( 0 ) = 1( 8/ 3 )cos 2 + 42 2 + 2 + ( 5 3 ) 427 2 = 16 , ( 0 ) = 0, ( 0 ) =2 4 3 +4 3 + 2x4 3 428 + 4 + 8 = 4 + 7 , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = 1 2 + 2429 + 3 = 3 + 4 3 , y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2( 55/ 27 ) ( 28/ 27 ) + ( 1/ 3 ) ( 1/ 3 ) + ( 2/ 9 ) ( 4/ 3 )

Resolvendo Equaes Lineares de 1 Ordem pelo MCD

430

2 = 3

( 1 )A Equao Homognea Associada 2 = 0, cuja EC k 2 = 0 k = 2( 2 )A soluo = ( ) = , ( 3 ) Como r( x ) = 3 , ento a Escolha Incial deveser= A ( 4 ) Como o nmero chave de 2 e 2 raiz da EC, a Escolha Final = A ,( 5 )Substituindo se sua derivada = +2 na equao dada, temosA = 3;( 6 ) Da = 3 e a SG y( x ) = + 3

431 2 = ( 1 ) + ( + 1 ) ( 1 ) Temos= , ( 2 ) AEscolha Final = ( + ) + ( + ) , pois onmero chave de

1

e 1

no raiz da EC; ( 3 ) Substituindo

e

=

+( + ) + + ( + ) na equao dada, obtemos A= 2 5 , B= 4 5 ,C = 1 5 e D =1, ( 4 ) y = { [(2 5 ) 4 5 )] + [(1 5 ) 1)] 432 2 = 32 + 1 y = (3 4 )+(2 5 ) ( 3 2 5 )433 2 = y = 2+( + 2 + 2 ) 1 3

(1)Temos = ,(2) A Escolha Final = ( + + ) + ( + ) = ( + + ) + (+ ), pois o nmero chave do termo 2 e 2 raiz da EC; ( 3 )Substitua e para obter A=1, B= 2, C = 2, D =0 e E = 1 3


35/45



MTODOGERALdas

EQUAESNOHOMOGNEAS

A SGda equao No Homognea + ( ) + ( ) = ( ) .. . . . . . .tem a forma y( x ) = ( ) + ( ), onde = ( x ) + ( x ).

A soluo da equao no homogneapode ser obtida atravs do MVP,Mtodo da Variao dos Parmetros, desde que se adote o seguinte procedimento:

( 1 ) Substitumos as constantes arbitrrias e da soluo

por funes

= ( )e

= ( ), que devem ser determinadas taisque

( ) = ( )( )+ ( )( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( 2 ) O Prximo passo Substituir = u + v e suas derivadas na equao( 3 )Temos = u + u + v +v ( 4 )HIPTESE SIMPLIFICADORA: u + v = 0 ...................................... ( 5 )Assim= u +v ...............................................................( 6 )Decorre de ( 5 ) que

= u

+ u

+ v

+v

.......................

( 7 )Agora substitua,e( b ), ( d ) e ( e ) em:+ + = + 1+ + + + + + = ( ++ ) + ( ++ ) + + = r( 8 ) Como e so solues da equao homognea associada, ento++ = 0 e ++ = 0 + = ........ ........( 9 )As equaes ( c ) e ( f ) formam o Sistema de Cramer:

+ = 0 + = da forma AX = B, onde A = , X = , B = 0e det A = W = ( 10 )As solues do sistema so u=

= ev= 1 1 =

( 11 ) De u= segue-se= u = e,

v=

segue-se

=

v =

;

( 12 ) Como = u + v , ento = + .

11CADERNO11


36/45



O MTODO GERAL

+ = PARTE I: Resoluo da Equao Homognea Associada + = 0( 1 ) EC: + 1 = 0 = 0 + 1 ou = 0 1 = 0 e = 1

( 2 )Soluo : = x+ PARTE II: Determinao de :

( 1 )A frmula de resoluo = + ( 2 )Temos:

= e

= ,W(

1,

) =

=

cos cos = ( ) = + = 1 e ( ) = ( 3 ) = + = + sec cos1 = + = +

( 5 ) Soluo

:

=

+

PARTE III: Soluo Geral( 1 ) Como( ) = ( ) + ( ), segue-se( 2 )= x + + 4 + 4 =

PARTE I: Resoluo da Equao Homognea Associada + 4 + 4 = 0( 1 ) EC:

+ 4 + 4 = 0

=

= 2

= 0 e

=

(

+

)

PARTE II: Determinao de :( 1 )Temos: = 2 e= 2,W( 1,) = 2 +2

W = + 2 2 W = e ( ) = 2 ( 2 ) = + = +

PARTE III: Soluo Geral

( 1 ) ( ) = (+ ) +

EXEMPLO 39

E 39 A

E 39 B


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AEQUAOdeCAUCHY EULER

Aequao com coeficientes variveis

+ + = , denominada

Equao de Cauchy Euler, pode ser resolvida pela substituio = .PARTE 1: EQUAO AUXILIAR( 1 ) y = y= e y = ( 1 ) ;( 2 ) + + = 0 ( 1 ) + + = 0;( 3 ) Decorre ( + + ) = 0( 4 ) Como 0, ento + + = 0 + ( 1 ) + = 0.( 5 ) A equao m + m ( a 1 ) + b = 0 chamadaEQUAO AUXILIAR.

PARTE 2 ESTUDO DA EQUAO AUXILIAR

( 1 ) Se as razes da Equao Auxiliar no so nulas, as funes reais= e = formam um sistema fundamental de solues cuja SG ( ) = + .

( 2 ) = = = ( a 1 ) 4 b = 0 m = eb = ( 1 )4 .Neste caso temos somente a soluo ( ) = .Para obter a soluo = ( ), aplicamos o MVPcom=u Substituindo

=u

na Equao de Cauchy-Euler, segue-se

= .

Da =u =m

e a SG ( ) = ( + ).A Equao de Cauchy Euler 3 5 = 0

( 1 ) Equao Auxiliar: + ( 1 ) + = 0( 2 )Como= 3 e= 5, segue-se a Equao Auxiliar = ( 3 )Razes da Equao Auxiliar:

= 5 ou

= 1

( 4 )Base: , ( 5 ) SG: ( )=+ + = 0( 1 ) Equao Auxiliar: + ( 1 ) + = 0( 2 )Como= 1 e= , segue-se a Equao Auxiliar + = ( 3 )Razes da Equao Auxiliar: = = 1( 4 )Base: , ln ou, , ( 5 ) SG: ( )= + .

1

EXEMPLO 40

E 40 A

E 40 B


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EQUAESLINEARES DE ORDEM

Uma Equao Diferencial Ordinria Linear de ordem n tem a forma

( )+ ( )()+ ( )() + . . . + ( )+ ( ) = ( ).A funo = ( )e os coeficientes , , . . . , , e so funes navarivel e ( ), (), . . . , ,representam a derivada de em relao x.

Se ( )0, a equao chamada Homognea.Se as funes , , , . . . , so Linearmente Independentes, LI, o TFH,

Teorema Fundamental das Equaes Homogneas garante que a SG de umaEDOLH( n ) tem a forma

( )=

+

+

+. . . +

.

Todo conjunto de n solues Linearmente Independentes de uma EDOLH( n ) chamado uma Baseou Sistema Fundamental de Solues.

O critrio prtico para estabelecer a dependncia ou independncia linear deum conjunto de solues dado pelo DeterminanteWronskiano.

As n solues , , ,. . . , sobre um intervalo I de uma EDOLH( n) soLI e formam uma BASE de Solues se, e s se, o Determinante Wronskiano

W (

,

,

,. . . ,

) =

0. Se W = 0, as funes so LD.

Por exemplo, as funes = , = e = formam uma BASE, poisW (, , ) = 2 4 = 6 0.

Por analogia com as EDOLHK ( 2 ), se = uma soluo da EDOLHK( n )( ) + ( )+. . .+ + = 0, ento substituindo =

naEDOLHK( n ) obtemos a EQUAO CARACTERSTICA

+ +. . .+ + = 0.( 1 ) Se , , . . . , so n razes reais e distintas, as n solues , ,. . . , constituem uma BASE de solues e a SG tem a forma: ( )= + +. . . + .( 2 )Se ocorre uma raiz de multiplicidade como = = ... = , assolues , , , . . . , constituem uma Base de Solues.Por exemplo, uma raiz tripla forma a seguinte base:

,

,

.

( 3 ) Razes Complexas = + ou = , , e 1ocorrem aos pares formando a base cos, sen.

2


39/45



EQUAES DE ORDEM

3

10 + 24 = 0

( 1 ) Equao Caracterstica: 3 10 + 24 = 0;( 2 ) = 1, = 24, div ( 1 ) = { 1 }, div ( 24 ) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24 },PRS = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24 }; ............................................ Veja , ( 3 ) O Dipositivo Briot Rufinimostra que as razes so= 4, = 2 ou = 3;( 4 ) Base:,, , ( 5 ) SG: y( x ) = 4+2+3

2

+ 2 = 0

( 1 ) Equao Caracterstica: 2 + 2 = 0;( 2 ) = 1, = 2, div ( 1 ) = { 1 }, div ( 24 ) = { 1, 2 } e PRS = { 1, 2 };( 3 ) O Dipositivo Briot Rufinimostra que as razes so= 2, = 1 ou = 1;( 4 ) Base:,, , ( 5 ) SG: y( x ) = 2++

( )6 ( )+ 11 2 12 + 8 = 0( 1 ) Equao Caracterstica: 6 + 11 2 12 + 8 = 0;( 2 ) = 1, = 8, div ( 1 ) = { 1 }, div ( 8) = { 1, 2, 3, 4 } = PRS( 3 ) O Dipositivo Briot Rufinimostra as razes= = = 2, = 1 ou= 1;( 4 ) Base:,, ,, , ( 5 ) SG:

( )=

+

+

+

+

8 + 29 52 = 0( 1 ) Equao Caracterstica: 8 + 29 52 = 0;( 2 ) = 1, = 52, div ( 1 ) = { 1 }, div ( 52) = { 1, 2, 4, 13, 26, 52 } =( 3 ) O Dipositivo Briot Rufinie a frmula de resoluo das equaes do 2 grau

mostra que as razes so: = 4, = 2 + 3i ou = 2 3i( 4 ) Base:,

,

3,

3

( 5 ) SG: ( ) = + ( 3+ 3 )

EXEMPLO 41

E 41 A

E 41 B

E 41 C

E 41 D


40/45



Uma equao polinomial de grau n toda equao da forma:( )= + + + . . . + +. ........Osnmeros , ,. . . , , , so chamados Coeficientes, onde oCoeficiente do termo de maior grau e o termo independente.O domnio D = e o valor x = a que anula f dito zero ou raizde . As razes

depodem ser nmeros racionais, irracionais ou complexos.

O Teorema Fundamental da lgebra, demonstrado em 1797 por Carl

Friedrich Gauss, ensina que o nmero de razes de igual ao grau de :

( 1 ) As Possveis Razes Racionais, PRS, so dadas pelo quociente de cadadivisor de pelos divisores de .( 2 )Valem as seguintes relaes entre os coeficientes e razes:

1. A soma S das razes S = 2. A soma dos produtos das razes tomadas duas a duas

= ,

3. A soma dos produtos das razes tomadas trs a trs = , . . .4. O produto P de todas as razes P = (1).Seja o polinmio ( )= 2 5 + 6

PRIMEIROS PASSOS NO ESTUDO DAS RAZES

( 1 )Temos

= 2,

=

= 6 e os seguintes divisores:

div

= { 1, 2, 3, 6 } e div

= { 1, 2 }.

( 2 )As Possveis Razes Racionais so PRS = { 1, , 2, 3, , 6 }.

Toda equao polinomial p( x ) = 0 tem pelo menos uma raiz real ou complexa.

EXEMPLO 42

( 3 ) O Dispositivo BRIOT RUTTINIverifica a existncia de razes racionais, se:

* Os coeficientes do polinmio se dispem no dispositivo em ordem decrescentedas potncias de x, onde a ausncia de termo significa coeficiente nulo;

*Abaixo da linha dos coeficientes,a direita do trao vertical, repita o coeficiente

e a esquerda do trao vertical, coloque x = a, primeiro candidato a raiz;

* = raiz se a ltima operao da sequncia de operaes for igual a zero.* Se = raiz, ento um fator da fatorao.

TPICO : RAZES RACIONAIS DE UM POLINMIO 3

E 42 A


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Seja o polinmio ( )= 2 5 + 6 TESTE DAS RAZES

( 4 )Seja = 1 o primeiro nmero a ser testado da lista PRS:2 5 1 6 2 5 1 6

1 2 1 2 3 4 2

A sequncia das operaes mostradas acima :

1 OPERAO 2 OPERAO 3 OPERAO

2. 1 5 = 3; ( 3 ). 1 1 = 4 ( 4 ). 1 + 6 = 2

Como o polinmio tem grau 3, o quociente q( x )da diviso de f porx 1 temgrau 2 e igual a q( x ) = 23 x 4 e resto R ( x ) = 2.

Como R( x ) 0, x = 1 no raiz, pois f ( 1 ) = R ( x ) = 2 0.( 5 )Continuando o processo, verificamos que = 1 raiz de f, pois R ( x ) = 0:

2 5 1 6 .

1 2 7 6 0

( 6 )Pelo Teorema do Fator, se = uma raiz de , o fator um divisor de.Reciprocamente, se umdivisor de , = uma raiz de .( 7 )Assim se diz que divisvel por + 1e que + 1 um fator da fatoraode .Observe quese =1, ento + 1 = 0.( 8 )Como tem grau 3 e divisvel + 1, o quociente da diviso tem grau 2 e seescreve ( ) = 2 7 + 6. Portanto

2 3 + + 6 = ( + 1 ) ( 2

7 + 6 )( 9 ) Resolvendo a equao q ( x ) = 2x 7x + 6 pela frmula de resoluo dasequaes do 2 grau ou aplicando o dispositivo novamente para q( x ), encontramos = 3 / 2 ou = 2.( 10 )Como = 3 / 2 temos2= 3 2 3 = 0. Como = 2 temos2 = 0.

Portanto os fatores da fatorao de q ( x ) = 2x 7x + 6 so 2 3 e 2. ( 11 ) Em sntese, temos

RAZES: = 1, = 2 ou = 3 2 ;FATORES:

+ 1,

= 2 e 2

3

FATORAO: 2 5 + 6 = ( + 1 ) ( 2 ) ( 2 3 ) .

EXEMPLO 43

E 43 A


42/45




SOLUO : Soluo de + + = 0e EC: + + = 0Razes da EC Base SG , y( x ) = +

=

= k

, x

y( x ) =

(

+ x )

= + , ou = cos, y( x ) = ( cos+ )SOLUO : = +

434

+ = cos+ + 435 + = cos+ 0,5 436 + = cos + + 0,5 437 + =cos cos+ + 0 , 5 1 6 cos2438 = cos+ +0,5 0,25 439

=

cos+ + 0,5 0,25

440 + 6 + 9 = + + ( 0,5 ln ( + 1 ) + )441 + 9 = 3 1 9 c o s 3 l n c o s 3 + 1 3 3 442 2 + = / + (2 7 ) + (2 5 ) 443 + 2 + = + + 444 4 + 4 = ( + 1 ) + + 1 2 + 1 6

ATIVIDADE 18: DETERMINE A SG PELO MTODO GERAL

4

MTODO GERAL DE RESOLUO DA EDOLK ( 2 ) + + = ( )SG: y( x ) = ( ) + ( )


43/45



445 3 5 = 0 + 446 = 0 + 447 3 + 4 = 0 ( + ln )448

+

4 = 0

+

449 3 + 3 = 0 + 450 + 4 = 0 ( 1 ) = ( 1 ) = 1 (1 ln )451 - 3 + 3 = 0, ( 1 ) = 0, ( 1 ) = 2 452 9 = 0, ( 1 ) = 0, ( 1 ) = 1 ( 1 6 ) ( 1 6 ) 3453 + = 4 + =x + +4 454

4 = 3

+

=

x +

+(

1 4 )

( 1 4 )

455 + = x + + 0,5 ( 1 )0,5 ( 2 + 2)456 2 + 2 = + 2 5 + 8 + 6

457 6 + 11 6 = 0 + + 458 2 + 7 6 = 0 + + ( )459 3 + 12 4 = 0 ( ) + + 460 3 + 2 = 0 + + 461 2 3 + 5 = 0 + ( cos 3+ sen3 )

ATIVIDADE 19: DETERMINE A SG DA EQUAO DE CAYCHY EULER

EQUAO DE CAUCHYEULER: + + = 0EQUAO AUXILIAR: m + m ( a 1 ) + b = 0

SG: ( ) = +

=

=

( ) =

(

+

)

ATIVDADE 20 : DETERMNE A SG DA EDOLHK( n )

EC DA EDOLHK ( n ): ( ) + ( )+ . . .+ + = 0

ATIVDADE 21 : DETERMNE A SG DA EDOLHK( n )EC DA EDOLHK ( n ): ( ) + ( )+ . . .+ + = 0


44/45



462 + 7 + 5 = 0 + cos26 + sen26 463

6 = 0

+

cos 2 +

sen 2

464 3 + 3 = 0 + + 465 2 + 2 = 0 + + 466 7 + 12 = 0 + + 467 + 2 + + 2 = 0 + cos + sen 468 + 6 +12 +8 = 0 + + 469

( ) y = 0

+

+

cos +

sen

470 ( ) 5 y + 4y = 0 + + + 471 ( ) 7 + + 6 = 0 + + + 472 3( ) +13+16+4 =0 + + + ( ) 473 ( ) +4310+8 = 0 + + + 474 3( ) + 2() 1510+12 + 8 = 0

+

+

+

+

( )

475 ( )+ 2( ) 3 4 + 4 = 0 ++ + + 476 ( ) y 7y + 3y = 0 + + ( cos 2 + sen 2 )477 ( )+ 2y y 2y = 0 + + + 478 ( ) 12y + 16y = 0 ++ + + 479 2 + 2 = 6 + + + 2 480 ( ) 5 y + 4y = ++ + + +25+187,530481 ( ) 3( )+ 3y y = 0 ++ + + 482 () 5 + 6 + 4 8 = 64 8 + + + + x + ( 3 2 ) x + 6x + 3 2 + 483 () + 2 3 = + 3 + 4 + x + + (1 36 ) (2 27 ) ( 7 27 )

+( 3 20 ) + 25 ( cosx + 2 senx )


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Nome do arquivo: CADERNOS ED EQ LIN BDiretrio: C:\Users\hp\Documents\Documents\UNILESTE-MG

2014\Apostilas-BrasilModelo:

C:\Users\hp\AppData\Roaming\Microsoft\Modelos\Norm

al.dotmTtulo: CADERNOS EQUAES DIFERENCIAISORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

Assunto:Autor: Marco BrasilPalavras-chave:Comentrios:Data de criao: 02/09/2015 18:59:00

Nmero de alteraes:16ltima gravao: 06/09/2015 08:55:00Salvo por: Samira Domingos Costa Marcelino

Tempo total de edio: 265 Minutosltima impresso: 06/09/2015 08:57:00Como a ltima impresso

Nmero de pginas: 44Nmero de palavras: 15.662 (aprox.)Nmero de caracteres: 84.577 (aprox.)