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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

Editora da Universidade Estadual de Maringá

Reitor: Prof. Dr. Gilberto Cezar Pavanelli Vice-Reitor: Prof. Dr. Angelo Priori Pró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação: Profa Dra Alice Eiko Murakami Diretora de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof.ª Dr.ª Maria Helena A. Dias Coordenador Editorial: Prof.ª Dr.ª Ruth Izumi Setoguti

CONSELHO EDITORIAL

Profª. Drª. Ruth Izumi Setoguti, Prof. Dr. Benedito Prado Dias Filho, Prof. Dr. Carlos Alberto Scapim, Prof. Dr. Edson Carlos Romualdo, Prof. Dr. Eduardo Augusto Tomanik, Prof. Dr. Edvard Elias de Souza Filho, Profª. Drª. Hilka Pelizza Vier Machado, Prof. Dr. José Carlos de Sousa, Prof. Dr. Luiz Antonio de Souza, Prof. Dr. Lupércio Antonio Pereira. Secretária: Maria José de Melo Vandresen.

Carla Montorfano Doherty Andrade João César Guirado

João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda

Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

Coleção Fundamentum nº 25

Maringá

2005 Divisão de editoração Marcos Kazuyoshi Sassaka

Cristina Akemi Kamikoga Luciano Wilian da Silva Marcos Cipriano da Silva Norberto Pereira da Silva Paulo Bento da Silva Solange Marli Oshima

Capa – arte final Luciano Wilian da Silva Marcos Kazuyoshi Sassaka

Projeto gráfico e editoração eletrônica Luciano Wilian da Silva Marcos Kazuyoshi Sassaka

Normalização Biblioteca Central - UEM Tipologia Garamond Tiragem 100 exemplares

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) (Biblioteca Central - UEM, Maringá – PR., Brasil)

Canonice, Bruhmer Cesar Forone C227n Normas e padrões para elaboração de trab alhos acadêmicos /

Bruhmer Cesar Forone Canonice. – Maringá, PR : EDUE M, 2005. 46 p.--(Coleção Fundamentum ; n.13) ISBN 85-7628-030-2 1. Trabalho acadêmico - Normas de aprese ntação. 2.

Trabalho acadêmico - Padrões. 3. Trabalho científic o - Metodologia. I. Título. II. Série

CDD 21.ed. 001.42 378.160202

Eliane M. S. Jovanovich CRB 9/1250

Copyright 2005 para João Roberto Gerônimo e Valdeni Soliani Franco. Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer

processo mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito. Todos os direitos reservados desta edição 2005 para Eduem.

Endereço para correspondência:

Eduem – Editora da Universidade Estadual de Maringá Av. Colombo, 5790 - Campus Universitário, 87020-900 - Maringá-Paraná Fones: (44) 3261-4527 Fax: (44) 3261-4109 E-mail: [email protected] - Visite http://www.eduem.uem.br Livraria Eduem Av. Colombo, 5790 - Campus Universitário, 87020-900 - Maringá-Paraná Fone/ Fax: (44) 3261-4394 E-mail: [email protected]

Apresentação

Este trabalho tem como objetivo apresentar, de maneira concisa, os conceitos e resultados do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável e está dividido em quatro volumes que tratarão especificamente dos seguintes assuntos:

I. Conjuntos Numéricos e Funções;

II. Limites e Continuidade;

III. Derivadas e Aplicações;

IV. Integrais e Aplicações.

Neste primeiro volume são revistos os Conjuntos dos Números Naturais, dos Números Inteiros, dos Números Racionais, dos Números Irracionais, dos Números Reais e dos Números Complexos, algumas de suas propriedades e as notações mais utilizadas em um curso de Cálculo. Outro tópico abordado é o estudo de algumas famílias de funções: polinomiais, racionais, trigonométricas, logarítmicas e exponenciais.

O texto está escrito em uma linguagem precisa e esclarecedora. Precisa, porque a Matemática não pode ser construída sem o devido rigor na linguagem e na lógica de suas proposições; esclarecedora, porque desejamos evitar o aparecimento de definições e nomenclaturas desnecessárias, que dificultem o caminhar do estudante durante a leitura desta obra.

Visando a complementação dos textos, estará disponível na Internet uma página cujo acesso pode ser feito através do endereço www.dma.uem.br/jrgeronimo/calculo. Nesta página serão apresentados mais exemplos, biografias, fatos históricos e curiosidades inerentes ao Cálculo, bem como serão propostos mais exercícios e referências bibliográficas, para permitir ao estudante aprofundar seus estudos em nível de graduação.

Lembramos que por ser um texto a ser aplicado em disciplinas de cálculo no ano letivo de 2006, a página estará em processo de construção não contendo de imediato todas as informações propostas, mas que no decorrer do ano isso deverá estar concretizado.

Índice CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................................................... 7

O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ................................................................................................... 7 O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .................................................................................................... 8 O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ................................................................................................. 8 O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ......................................................................................................... 9 O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................................. 12 TRABALHANDO COM OS NÚMEROS REAIS .............................................................................................. 13 O PLANO CARTESIANO ........................................................................................................................... 16

FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ................ ................................................................ 18

O CONCEITO DE FUNÇÃO ....................................................................................................................... 18 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM .................................................................................................. 20 IGUALDADE DE FUNÇÕES ....................................................................................................................... 21 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES .................................................................................................................... 21 GRÁFICOS ............................................................................................................................................... 23 SIMETRIAS DE GRÁFICOS ........................................................................................................................ 25 FUNÇÕES PERIÓDICAS, FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES ............................................................... 28 TRANSLAÇÕES DE GRÁFICOS .................................................................................................................. 30 FUNÇÕES LIMITADAS ............................................................................................................................. 31 FUNÇÕES MONÓTONAS .......................................................................................................................... 32 FUNÇÕES BIJETORAS .............................................................................................................................. 34 COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES ..................................................................................................................... 35 FUNÇÕES INVERSAS ............................................................................................................................... 37

ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES ........................................................................................................... 38

FUNÇÕES POLINOMIAIS .......................................................................................................................... 39 FUNÇÕES RACIONAIS ............................................................................................................................. 40 FUNÇÕES ALGÉBRICAS E FUNÇÕES TRANSCENDENTES .......................................................................... 41 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................................ 41 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ................................................................................................ 51 FUNÇÕES EXPONENCIAIS ........................................................................................................................ 52 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ....................................................................................................................... 55

7

Conjuntos Numéricos Vamos supor que o estudante tenha alguma familiaridade com os conjuntos dos números

naturais ( )ℕ , inteiros ( )ℤ , racionais ( )ℚ , reais ( )ℝ e complexos ( )ℂ para estabelecermos alguns

fatos necessários ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

Relembraremos as principais definições e propriedades de cada um deles.

O Conjunto dos Números Naturais

O conjunto dos números naturais =ℕ …{ 0,1,2,3, } com as operações de adição ( )+ e multiplicação ( )⋅ possui as seguintes propriedades:

Propriedades: Sejam , m n� e p números naturais. Então, tem-se:

(a) + ∈ℕm n (fechamento);

(b) m n n m+ = + (comutatividade);

(c) ( ) ( )m n p m n p+ + = + + (associatividade);

(d) 0∃ ∈ℕ tal que 0 m m+ = (existência de elemento neutro);

(e) ⋅ ∈ℕm n (fechamento);

(f) m n n m⋅ = ⋅ (comutatividade);

(g) ( ) ( )m n p m n p⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (associatividade);

(h) 1∃ ∈ℕ tal que 1 m m⋅ = (existência de elemento neutro);

(i) ( )m n p m n m p⋅ + = ⋅ + ⋅ (distributividade).

Definição: Dados os números naturais m e n, dizemos que m é menor do que n ( )m n< , se existe p ∈N , 0p ≠ , tal que n m p= + . Dizemos que m é maior do que n ( )m n> , se n m< .

Propriedades: Sejam , m n� e p números naturais. Então, tem-se:

(a) m n< e n p m p< ⇒ < ;

(b) m n m p n p< ⇔ + < + ;

(c) ou m n= ou m n< ou m n> .

Definição: Dados os números naturais m e n, dizemos que m é menor ou igual a n ( )m n≤ , se m n< ou m n= . Analogamente, dizemos que m é maior ou igual a n ( )m n≥ , se m n> ou m n= .

O conjunto dos naturais é ordenado pela relação " "≤ .

Propriedades: Sejam m, n e p números naturais. Então, tem-se:

(a) m m≤ ;

(b) e m n n m m n≤ ≤ ⇒ = ;

(c) m n≤ e n p≤ m p⇒ ≤ ;

(d) m n m p n p≤ ⇔ + ≤ + ;

(e) m n≤ ou n m≤ .

O Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros, que pode ser considerado como { };n n= ± ∈Z� N , estende o

conjunto dos números naturais com sua ordem e suas operações e, portanto, é também um conjunto ordenado.

Definição: Sejam m e p números inteiros, com 0p ≠ . Dizemos que p é um divisor de m, se existe um número inteiro q, tal que m pq= . Um número inteiro 1m ≠ é primo, se os seus únicos divisores são 1 e m.

Além das propriedades dos números naturais já mencionadas, valem as seguintes propriedades:

Propriedades:

(a) Para cada inteiro m, existe um inteiro n, tal que 0m n+ = (existência de elemento oposto);

(b) Todo inteiro 2m ≥ pode ser escrito como produto de números primos e essa decomposição é única, exceto pela ordem dos fatores primos (Teorema Fundamental da Aritmética).

O inteiro n citado no item a da propriedade anterior é único e denotado por m− .

O Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais, que pode considerado como { }; , e 0a

a b bb

= ∈ ≠ℚ ℤ ,

estende o conjunto dos números inteiros com sua ordem e suas operações e, portanto, é também um conjunto ordenado.

Definição: Os racionais a

b e

c

d são iguais quando a d b c⋅ = ⋅ .

As propriedades citadas anteriormente para os números inteiros permanecem verdadeiras para os números racionais. Além daquelas, valem também as seguintes:

Propriedades:

(a) Para cada racional 0r ≠ , existe um racional s, tal que 1r s⋅ = (existência de elemento inverso);

(b) Sejam p e q racionais com p q< , então existe um racional w tal que p w q< < .

O número s do item a da propriedade acima é único e denotado por 11 ou r

r

− .

Exercício 1: Mostre que 2 não é número racional. Dica: escreva 2 como um possível quociente de números inteiros e use o Teorema Fundamental da Aritmética.

Representação geométrica de ℚ

Podemos identificar o conjunto dos números racionais com pontos de uma reta ordenada. Para conseguirmos isso, devemos tomar uma reta e escolher um ponto P que será identificado com o número 0∈ℚ . Escolhemos uma das semi-retas determinadas pelo ponto P e a identificamos

9

como semi-reta dos números racionais positivos. Escolhemos um ponto S qualquer dessa semi-reta positiva e o identificamos com o número 1∈ℚ .

Fixando o segmento de reta PS como unidade de medida, podemos identificar qualquer número racional com um ponto da reta ordenada.

P S1 20–1–2

Para encontrar o ponto da reta identificado com o número racional a

b, 0b > , dividimos a

unidade de medida PS em b partes iguais e, a partir do ponto P, justapomos a vezes o segmento

obtido nessa divisão. Marcaremos o ponto identificado com a

b na semi-reta positiva, se 0a > e o

marcaremos na semi-reta oposta à semi-reta positiva, se 0a < .

Existe uma pergunta crucial: dado um ponto da reta, sempre existe um racional identificado com ele?

O Conjunto dos Números Reais

Vimos que todos os números racionais estão identificados com pontos da reta ordenada. Será que existem pontos da reta que não estão identificados com números racionais? Será que existe

algum ponto da reta ordenada identificado com 2 ?

Veja a ilustração abaixo, na qual mostramos que existe um ponto da reta identificado com o

número 2 . Nessa figura, construímos um quadrado de lado unitário com um dos lados

exatamente sobre um segmento AB da reta. A diagonal desse quadrado tem medida 2 . Se transportarmos essa medida para a reta, marcaremos um ponto M, cuja distância até o ponto A é

exatamente igual a 2 unidades.

MA

1

B1

2

A partir dessa construção, é possível identificarmos, na reta ordenada, infinitos pontos, como,

por exemplo, −⋯ 5 , 3− , 2− , 2 , 3 , ⋯5, .

Mais ainda, a reta ordenada possui outros números que não são racionais e que não podem ser escritos como resultado de extração de raízes sobre números inteiros ou racionais, chamados números transcendentes, tais como os números " "e e " "π .

Definição: O conjunto dos números reais é o conjunto numérico formado pela união dos conjuntos dos números racionais e dos não racionais, identificados com os pontos da reta ordenada. Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais.

Utilizaremos com certa freqüência alguns subconjuntos de ℝ , tais como:

• Conjunto dos números reais não-negativos: +ℝ ;

• Conjunto dos números reais não-nulos: ∗ℝ ;

• Conjunto dos números reais não-positivos: −ℝ .

Considerando o conjunto dos números reais, mediante a identificação acima, permanecem válidas todas as propriedades advindas da relação de ordem e das operações dos racionais.

Devido à importância do conjunto dos números reais, apresentaremos, a seguir, as propriedades válidas para as operações de adição +( ) e multiplicação ( )⋅ nesse conjunto.

Propriedades:

A1) se , ∈ℝx y , então + ∈ℝx y (fechamento);

A2) se , ∈ℝx y , então x y y x+ = + (comutatividade);

A3) se , , ∈ℝx y z , então ( ) ( )x y z x y z+ + = + + (associatividade);

A4) para todo ∈ ℝx , existe ∈ ℝ0 tal que 0 x x+ = (existência de elemento neutro);

A5) para cada ∈ℝx , existe ∈ℝy tal que 0x y+ = (existência de elemento oposto);

M1) se x y, ∈ℝ , então x y⋅ ∈ℝ (fechamento);

M2) se ∈ℝ,x y , então x y y x⋅ = ⋅ (comutatividade);

M3) se , , ∈ℝ�x y z , então ( ) ( )x y z x y z⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (associatividade);

M4) para todo ∈ ℝx , existe 1∈ℝ tal que 1 x x⋅ = (existência de elemento neutro);

M5) para cada }∗∈ℝx , existe y ∈ℝ tal que 1x y⋅ = (existência de elemento inverso);

D) se , , ∈ℝx y z , então ( )x y z x y x z⋅ + = ⋅ + ⋅ (distributividade).

O número real y citado na propriedade A5 é único e denotado por x− . O número real y

citado na propriedade M5 é único e denotado por 1

x ou 1x − .

Um conjunto munido com duas operações que satisfazem as propriedades acima é denominado corpo. Assim, ℝ munido das operações de adição e multiplicação é um corpo.

O conjunto ℝ é ordenado pela relação de ordem " "≤ e essa ordem é compatível com as operações, isto é, para ,x y e z números reais,

a) se ≤x y , então + ≤ +x z y z ;

b) se ≤x y e ≥ 0z , então ≤ .xz yz

Como conseqüência, obtemos as seguintes propriedades para , ,x y z e w números reais:

c) se ≤x y e ≤ 0z , então ≥ ;xz yz

d) se ≥ ≥ 0x y e ≥ ≥ 0z w , então ≥ .xz yw

11

Existem outras propriedades dos números reais que não são válidas para os racionais. Elas advêm da relação de ordem e serão estudadas em seguida.

Limitantes, Supremos e Ínfimos

Definição: Dizemos que um subconjunto não-vazio X ⊂ ℝ é limitado superiormente, se existe M ∈ℝ tal que x M≤ , para todo x X∈ . Todo número M ∈ℝ , nessas condições, é chamado de limitante superior ou cota superior de X .

Segue da definição que se M for cota superior de um conjunto X, então qualquer número real maior do que M também será cota superior de X.

Exemplo 1: Consideremos o conjunto { }2; 2X x x= ∈ <ℝ� . Vemos, por exemplo, que 3 é

um limitante superior para esse conjunto, 10 também é um limitante superior, 531

121 também, ou

seja, podemos obter uma infinidade de cotas superiores para X.

Mas será que existe um menor limitante superior para X ?

Definição: Dizemos que um subconjunto não-vazio X ⊂ ℝ é limitado inferiormente, se existe m ∈ℝ tal que m x≤ , para todo x X∈ . Todo número m ∈ℝ , nessas condições, é chamado de limitante inferior ou cota inferior de X .

Segue da definição que se m for cota inferior de um conjunto X, então qualquer número real menor do que m também será cota inferior de X.

Exemplo 2: Para o conjunto X do Exemplo 1 vemos que, por exemplo, 2− é um limitante

inferior, que 315

12

− também é um limitante inferior, que 31.793− também.

Perguntamos: existe um maior limitante inferior para esse conjunto X?

Definição: Dizemos que um subconjunto não-vazio X ⊂ ℝ é limitado, se X é limitado superiormente e inferiormente, ou seja, se existe +∈ℝM tal que M x M− ≤ ≤ , para todo ∈x X .

Exercício 2: O conjunto 2 2{ ;( 3) 1 ou x 2}C x x= ∈ + < <ℝ é limitado. Encontre possíveis valores de M que satisfaçam a definição anterior.

Definição: Dado um conjunto não-vazio X ⊂ ℝ , chamamos supremo de X ( supX ) à menor das cotas superiores de X e chamamos ínfimo de X ( inf X ) à maior das cotas inferiores de X. Quando o supremo de X pertencer ao conjunto X, chamamos esse número de máximo de X (maxX ). Do mesmo modo, quando o ínfimo de X pertencer ao conjunto X, o chamaremos de mínimo de X ( minX ).

Para subconjuntos de ℕ , ℤ e ℚ define-se analogamente supremo, ínfimo, máximo e mínimo.

Exemplos

3. Considere novamente o conjunto { }2; 2X x x= ∈ <ℝ� . O menor dos limitantes superiores

de X é 2 e, portanto, supX = 2 . Analisando os limitantes inferiores, vemos que inf X = 2− .

4. Tomando { }2; 2X x x X= ∈ < = ∩ℚ ℚ� , vemos que esse conjunto não possui nem

supremo e nem ínfimo em ℚ . Mas sendo X ⊂ ℝ limitado superiormente e limitado inferiormente, então existe em ℝ o supremo e o ínfimo de X. Como podemos ver, o conjunto dos números reais tem propriedades diferentes do conjunto dos números racionais, e é isso que torna ℝ um conjunto tão especial.

5. Considere o conjunto { }; 1 1X x x= ∈ − < ≤ℝ� . Vemos que sup 1X = e, como 1 X∈ ,

max 1X = . Temos também que inf 1X = − e não existe minX , pois 1 X− ∉ .

Outras propriedades importantes dos números reais são:

Propriedades:

(a) Propriedade do Supremo: Todo subconjunto não-vazio X ⊂ ℝ limitado superiormente tem um supremo;

(b) Propriedade Arquimediana: Se , , 0x y x∈ >ℝ , então existe n natural tal que n x y> ;

(c) ℚ é denso em ℝ , isto é, dado um número real x qualquer, sempre existe um número racional arbitrariamente próximo de x.

O Conjunto dos Números Complexos

Os números complexos surgiram da necessidade de resolver equações, como 2 1 0x + = , que não têm solução em ℝ . Para resolver esse problema, o conjunto dos números reais foi estendido ao conjunto dos números complexos ( )ℂ . Nesse conjunto, foi introduzido um novo número,

1− , denotado por " "i e denominado unidade imaginária. Dessa forma, as soluções da equação 2 1 0x + = são x i= e x i= − .

Definição: O conjunto dos números complexos é o conjunto dos números da forma a bi+ , com a e b reais. Isto é, { ; , }a bi a b= + ∈ℂ ℝ .

Dado um número complexo z a bi= + , chamamos a de a parte real de z e chamamos b de a parte imaginária de z .

Dados os números complexos z a bi= + e w c di= + , as operações de adição e multiplicação em ℂ são definidas por:

Adição: ( ) ( ) ( ) ( )z w a bi c di a c b d i+ = + + + = + + + ;

Multiplicação: ( ) ( ) ( ) ( )z w a bi c di ac bd bc ad i= + + = − + +i i .

O conjunto dos números complexos com essas operações forma um corpo.

Propriedade: ℂ é algebricamente fechado. Isso significa que, em ℂ , toda equação polinomial tem solução.

13

É importante observarmos que a ordem do corpo dos números reais não se estende ao corpo

dos números complexos. De fato, se 0i > , então 2i deveria ser maior do que zero, mas 2 1 0i = − < . Por outro lado, se 0i < , então 2i também deveria ser maior do que zero, mas 2 1 0i = − < .

Exemplo 6: A adição de dois números complexos pode resultar em um número real. De fato,

dado z a bi= + , seja z a bi= − , então 2 0 2z z a i a+ = + = . O número z é denominado conjugado de z .

Exercícios:

3. Determine o inverso do complexo não-nulo z a bi= + .

4. Calcule 2 3 1 2

1 1 2 3

i i

i i

− −⋅+ +

.

Trabalhando com os Números Reais

Desigualdades

A seguir, apresentamos alguns exemplos do uso das propriedades da relação de ordem dos números reais.

Exemplos:

7. Vamos resolver a inequação 1 +2 7 52

x x< + . Para isso, devemos encontrar todos os

números reais que satisfazem a desigualdade. Se x é um número real tal que 1

2 7 52

x x+ < + ,

então, adicionando 1

2− a ambos os membros da desigualdade, temos

1 1 12 7 5

2 2 2x x+ − < + − , ou

seja, 9

2 72

x x< + . Adicionando 7x− a ambos os membros dessa desigualdade, temos 9

52

x− < .

Dividindo ambos os membros dessa desigualdade por 5− , obtemos 9

10x > − . Assim, obtemos o

conjunto solução 9

{ | }10

S x x= ∈ > −ℝ

8. Vamos mostrar que se 1x > , então 3

01

x

x

+ >−

. Por hipótese, 1x > , logo 1 0x − > e,

portanto, 3 0x + > . Desta forma, 3

01

x

x

+ >−

, pois o quociente de números positivos é um número

positivo.

9. Será que a recíproca do Exemplo 8 é verdadeira? Ou seja, se 3

01

x

x

+ >−

, então 1x > ? A

resposta é não. Basta tomar, por exemplo, 4x = − .

Módulo de um Número Real

Definição: O valor absoluto (ou módulo) de um número real x, denotado por x , é

definido como. .

, 0

, 0

x xx

x x

≥= − <

.

Segue da definição que o valor absoluto de um número real x é um número positivo ou nulo, isto é, x é sempre um número não-negativo.

Se x corresponde a um ponto P da reta real, então x é a distância entre P e a origem.

Propriedades: Sejam x, y e a números reais. Então, tem-se:

(a) x x− = ;

(b) 2 2x x= e 2x x= ;

(c) . .x y x y= ;

(d) x y x y x y− ≤ + ≤ + ;

(e) x a< se, e somente se, a x a− < < , onde 0a > ;

(f) x a≤ se, e somente se, a x a− ≤ ≤ , onde 0a > ;

(g) x a> se, e somente se, x a> ou x a< − , onde 0a > ;

(h) x a≥ se, e somente se, x a≥ ou x a≤ − , onde 0a > .

Demonstração: Faremos a demonstração do item d, deixando a demonstração dos demais itens como exercício. Vamos mostrar inicialmente que x y x y+ ≤ + . Para todo x real, temos

que x x≤ e, portanto, . .x y x y≤ . Assim,

2 222 2 2

2 22 2 2

( ) 2 2

2 2 ( )

x y x y x xy y x xy y

x xy y x x y y x y

+ = + = + + = + +

≤ + + = + + = +

e, portanto, x y x y+ ≤ + . Vamos agora mostrar que x y x y− ≤ + . Temos

( ) ( )x x y y x y y x y y x y y= + − = + + − ≤ + + − = + + ,

donde concluímos que x y x y− ≤ + . Por outro lado,

( )y y x x x y x x y x x y x= + − = + + − ≤ + + − = + + ,

donde concluímos que y x x y− ≤ + . Da definição de módulo, temos

,

,

x y x yx y

y x x y

− ≥− = − <.

Então, x y x y− ≤ + . �

Intervalos

15

Definição: Um intervalo é um subconjunto S ⊂ R que satisfaz às seguintes propriedades:

(a) S contém mais do que um ponto;

(b) Se 1 2,x x S∈ e 1 2x x x< < , então x S∈ .

Proposição: Se a e b são números reais e a b< , então existe x ∈ℝ tal que a x b< < .

Demonstração: Basta tomar 2

a bx

+= . Nesse caso, tem-se: 2 2

a b a aa

+ +> = , ou seja, x a>

e 2 2

a b b bb

+ +< = , ou seja, x a> e x b< . Portanto, tem-se a x b< < . �

Como conseqüência desse resultado, dados os números reais a e b, com a b< , qualquer intervalo é descrito por uma das seguintes formas:

[ , ] { ; }a b x a x b= ∈ ≤ ≤ℝ� ; ( , ) { ; }a b x a x b= ∈ < <ℝ� ;

[ , ) { ; }a b x a x b= ∈ ≤ <ℝ ; ( , ] { ; }a b x a x b= ∈ < ≤ℝ ;

( , ) { ; }a x x a−∞ = ∈ <ℝ ; ( , ] { ; }a x x a−∞ = ∈ ≤ℝ ;

( , ) { ; }a x x a+∞ = ∈ >ℝ ; [ , ) { ; }a x x a+∞ = ∈ ≥ℝ ;

( , )−∞ +∞ = ℝ .

É importante observarmos que os símbolos " "+ ∞ (mais infinito) e " "− ∞ (menos infinito) não representam números reais.

Os intervalos ( , )a b , ( , )a−∞ e ( , )a +∞ são chamados intervalos abertos. Os intervalos [ , ]a b , ( , ]a−∞ e [ , )a +∞ são chamados intervalos fechados. Os números reais a e b são chamados extremos do intervalo.

Nem sempre os extremos pertencem ao intervalo. O intervalo [ , ]a b contém ambos os extremos, enquanto que o intervalo ( , )a b não contém nenhum extremo. O intervalo ( , ]a b contém apenas o extremo b e o intervalo [ , )a +∞ contém o seu único extremo a.

Exercícios:

5. Em cada desigualdade, encontre o conjunto solução, expresse-o com a notação de intervalos e represente-o na reta numérica.

a) 5 2 6x x+ > − . b) 2 1

03 2

x − < c) 3 1

3 54 3

xx x

−− < +

d) 2 5 3 11x≤ − < e) 2

11 x

≤−

f) 2 9x >

g) 21 2 0x x− − ≥ h) 1 4

3 7 3 2x x≥

− − i)

1

2 3

x x

x x

+ <− +

j) 4 2

3 7x x

− > −

6. Em cada um dos itens a seguir, resolva a equação em x.

a) 3 2x − = b) 5 3x x= − c) 2 3 5x x− = −

d) 5 3 7x x− = + e) 2

52

x

x

+ =−

7. Em cada desigualdade, encontre o conjunto solução, expresse-o com a notação de intervalos e represente-o na reta numérica.

a) 2 5 1x − < b) 3 5 2x + > c) 2 4 1x x− ≥ +

d) 9 2 7x x− ≥ e) 3 5 2 1x x+ ≤ + f) 3 2

42

x

x

− ≤+

g) 5

32 1x

≥−

h) 5 1

2 1 2x x≥

− − i)

5 3 1

3 1 5

x

x

−≤+

8. Use a desigualdade triangular para mostrar que as desigualdades se verificam sob as condições dadas.

a) 1

22

x − < e 2

23

y − < , então 7

6x y− <

b) 1

22

x + < e 2

23

y + < , então 7

6x y− <

c) 1

2x y− < e

22

3x + < , então

72

6y + <

9. Expresse as desigualdades a b c> + e a b c> − em uma única desigualdade equivalente.

O Plano Cartesiano

Definição: O produto cartesiano de ℝ por ℝ é o conjunto {( , ); , }x y x y× = ∈ℝ ℝ ℝ� , ou seja, é o conjunto dos pares ordenados ( , )x y , no qual cada componente é um número real.

O conjunto 2× =ℝ ℝ ℝ pode ser identificado com um plano cartesiano, que consiste de um plano α munido do sistema de coordenadas cartesianas que descrevemos a seguir.

Fixamos em α um par ordenado de retas perpendiculares e orientadas, chamadas eixos cartesianos (eixos coordenados). A interseção desses eixos é chamada origem do plano α . Identificamos cada ponto P do plano α com um único par ordenado ( , )x y em ×ℝ ℝ . Os números x e y são chamados coordenadas do ponto P. A coordenada x é chamada abscissa de P. Ela é a medida orientada da projeção perpendicular de P sobre o eixo horizontal Ox. A coordenada y é chamada ordenada de P. Ela é a medida orientada da projeção perpendicular de P sobre o eixo vertical Oy. Na figura a seguir, o ponto P tem abscissa a e ordenada b e é denotado por ( , )P a b .

x

y

P(a,b)

O a

b

17

Exemplo 10: O conjunto 2{( , ) ; 2 0}X x y y x= ∈ − =ℝ é identificado com a seguinte reta ilustrada na figura a seguir.

x

y

O k

2k

Exercício 10: Represente no plano cartesiano o conjunto de pontos dados por:

a) 2{( , ) ; 0}X x y y x= ∈ − =ℝ ; b) 2{( , ) ; 0}X x y y x= ∈ + =ℝ ;

c) 2 2 2{( , ) ; 1}X x y x y= ∈ + =ℝ . c) 2{( , ) ; 1}X x y y x= ∈ > −ℝ .

O Plano Complexo

Existe uma correspondência entre os números complexos e os pontos do plano cartesiano. A cada ponto ( , )x y do plano cartesiano, associamos um único número complexo x yi+ e vice-versa. Essa correspondência permite que representemos, no plano cartesiano, todos os números complexos.

Dado um número complexo z x yi= + , definimos o seu módulo por 2 2z x y= + .

Segue do Teorema de Pitágoras que 2 2z x y= + é a distância da origem ao ponto ( , )P x y .

x

y

O x

y P

= +2 2z x y

Exercício 11: Represente no plano complexo os números complexos z tais que:

a) 1z = ; b) 1 1z i− − = .

Funções Reais de Uma Variável Real

O Conceito de Função

Em muitos eventos do dia-a-dia, temos necessidade de associar a alguns números reais outros números reais através de alguma regra. Adotemos como ilustração a situação em que Galileu solta uma pedra do alto da Torre de Pizza e associa a cada instante de tempo a velocidade da pedra. Se adotarmos que o tempo será medido continuamente, podemos entender que essa associação relaciona a um número real pertencente ao intervalo [ , ]a b , representando os segundos, outro número real pertencente ao intervalo [0, )+∞ , representando a velocidade.

Perceba que as regras de associações que nos interessam são aquelas nas quais a cada número real x pertencente a um subconjunto D ⊂ ℝ está associado apenas um único número real y. Considere novamente o movimento de queda livre citado anteriormente e perceba que não há sentido afirmarmos que no tempo 2 segundos a velocidade da pedra é de 2 m/s e também de 4 m/s.

Como a noção de função que estudaremos está intimamente ligada à Mecânica Newtoniana, também chamada Mecânica Clássica, a associação de um único valor y a cada valor x é uma lei imprescindível para nosso estudo, pois os movimentos contínuos observados macroscopicamente têm essa característica.

Vamos adotar aqui a seguinte definição de função real de uma variável real:

Definição: Uma função real de uma variável real é uma regra f que associa a cada número real x pertencente a um subconjunto D de ℝ um único número real y.

Notação: : , ( )f D y f x⊂ → =ℝ ℝ ou :f D

x y

⊂ →ℝ ℝ

֏.

Quando a função é dada por uma regra do tipo ( )y f x= , a letra x é denominada variável independente e a letra y é denominada variável dependente.

Exemplos:

11. (A função raiz quadrada) A tecla de sua calculadora ilustra bem a noção dinâmica de

função. A cada número real que colocamos na calculadora ela associa, mediante a tecla , a raiz quadrada desse número. É claro que o valor obtido é às vezes aproximado, mas esse procedimento de transformação é o que queremos tratar aqui como função. A função real que dá origem aos

cálculos dessa tecla é : , ( )f f x x+ → =ℝ ℝ .

12. (Função afim) Uma função que nos acompanha desde o ensino fundamental é a função afim :f →ℝ ℝ , dada por ( )f x ax b= + , na qual a e b são constantes reais.

13. (Função quadrática) Uma outra função que nos acompanha desde o ensino fundamental

é a função quadrática :f →ℝ ℝ , dada por 2( )f x ax bx c= + + , em que a, b e c são constantes reais e 0a ≠ .

Existem quatro maneiras de representarmos uma função: a representação verbal; a tabular (ou numérica); a analítica (ou algébrica) e a gráfica.

Podemos notar o uso da representação verbal quando consideramos a idéia de Aristóteles acerca do movimento de queda livre: “A velocidade de um corpo em queda livre é proporcional à força determinada pelo peso do corpo e inversamente proporcional à resistência do meio onde o corpo se move”. Essa frase

19

de Aristóteles define a velocidade do corpo em queda livre em função de seu peso e da densidade do meio. Ela expressa essa função sem o uso de elementos gráficos, sem os símbolos algébricos e sem o uso de tabelas numéricas.

A representação tabular (ou numérica) de uma função pode ser vista quando consideramos uma tabela que relaciona duas quantidades. Os babilônicos, por exemplo, faziam grande uso de representações numéricas de funções.

A representação analítica (ou algébrica) é a que mais usaremos durante nosso estudo. Essa representação está associada à existência da “fórmula” que relaciona a variável independente e a variável dependente. Nos Exemplos 11, 12 e 13, utilizamos a representação analítica.

Finalmente, a representação gráfica é aquela que utiliza signos visuais para transmitir o comportamento da variável dependente em função da variável independente. Ela é muito vista em jornais, revistas e televisão, pois é uma representação que transmite a idéia geral do comportamento de um evento. Estudaremos esse tipo de representação mais adiante.

Neste livro daremos ênfase às representações analítica e gráfica de uma função. Uma das vantagens da representação analítica é que podemos definir funções por partes, conforme ilustra o exemplo a seguir.

Exemplo 14: (A função módulo) No estudo dos números reais, definimos o valor absoluto de um número real. Essa definição permite construir uma função :f →ℝ ℝ que associa a cada número

real o valor absoluto (ou o módulo) desse número, ou seja, ( )f x x= . Apesar de podermos escrever

a regra com apenas uma expressão, devemos observar que isto é apenas uma notação para a função

módulo e que, na realidade, a função é definida da seguinte forma: , 0

( ), 0

x xf x

x x

≥= − <

. Temos,

assim, uma função cuja regra se estabelece por duas condições sobre o domínio da função. Muitas funções têm regras formadas desta maneira.

Exercícios:

12. Uma certa companhia de energia elétrica cobra uma taxa mínima de R$20,00 para quem consome até 50KW/h e R$0,50 por KW/h para quem consome mais de 50KW/h. Determine algebricamente a função que relaciona o consumo e o valor da conta de luz.

13. Considere a seguinte tabela de valores que relaciona duas variáveis reais x e y:

x 1 2 3 4 5 6

y 2 4 6 8 10 12

Determine duas funções ( )y f x= , com x no intervalo [0,6], que incluam as associações da tabela acima.

14. A área de um quadrado depende do comprimento do seu lado, isto é, a cada valor do lado de um quadrado corresponde um único valor da área deste. Encontre a função que determina isto.

15. Hipoteticamente, um menino, desejando aumentar sua coleção de selos, foi a uma grande empresa à procura de selos e obteve a seguinte proposta: “Você poderá realizar tarefas nesta firma. Ao término da primeira tarefa eu lhe dou dois selos, e a cada tarefa seguinte concluída eu dou o dobro de selos da tarefa anterior. Caso você aceite a proposta, ganhará de imediato um selo”. Supondo que o menino tenha aceitado a proposta, quantos selos ele recebeu após a execução da quinta tarefa? Para facilitar a resposta, faça uma tabela. Nesta situação, temos uma função? Por quê? Escreva a regra que representa esta situação. A empresa sempre conseguirá cumprir a proposta?

Domínio, Contradomínio e Imagem

Três conjuntos são importantes no estudo de funções, o Domínio, o Contra-domínio e a Imagem. O subconjunto D dos números reais no qual a função f toma valores é chamado Domínio de f e denotado por Dom f .

Quando consideramos um elemento x Dom f∈ , o valor numérico ( )f x é chamado Imagem

de x por f. O subconjunto { }; ( ),y y f x x Dom f∈ = ∀ ∈ℝ é chamado Imagem de f e denotado

por Im f .

Se f é uma função de um conjunto A em um conjunto B, :f A B→ , dizemos que B é o Contradomínio de f.

No nosso estudo, consideraremos apenas funções :f D ⊂ →ℝ ℝ , portanto, o contradomínio será sempre o conjunto dos números reais.

Exemplos:

15. Considere a função : , ( )f D f x x⊂ → =ℝ ℝ . Seu domínio é [0, )D = +∞ e sua imagem é [0, )+∞ .

16. Considere a função 2( ) 2 4f x x x= − . Essa função f foi apresentada sem que seu domínio fosse enunciado. Como a expressão quadrática está definida para todos os números reais, temos

Dom f = ℝ e [ 2, )Im f = − +∞ .

17. Considere a função ( )2( ) 2 1 2f x x= − − . Temos Dom f = ℝ e [ 2, )Im f = − +∞ .

18. Considere a função 1

( )f xx

= . Seu domínio não é apresentado explicitamente, mas a

expressão algébrica 1

x só está definida para números diferentes de zero. Logo, *Dom f = ℝ e

*Im f = ℝ .

Ao trabalharmos com funções, utilizamos freqüentemente apenas a “fórmula” de sua representação analítica, sem explicitarmos o domínio. Nessa situação, compreende-se o domínio como sendo o maior subconjunto de ℝ no qual a regra algébrica está definida.

As funções dadas nos Exemplos 16 e 17 são representadas analiticamente por expressões distintas, mas percebemos que alterações podem ser feitas para que as representações analíticas sejam iguais.

Exercícios:

16. Dada a função ( ) 1f x x= − , encontre:

a) Dom f ; b) Im f ; c) (2)f .

17. Dada a função 1

( )2

f xx

=−

, encontre:

a) Dom f ; b) Im f ; c) (4)f .

21

Igualdade de Funções

Se considerarmos as representações analíticas 2( ) 2 4f x x x= − e ( )2( ) 2 1 2g x x= − − ,

vemos que elas são diferentes. Mas será que os processos de associação entre os números reais x e

as suas imagens pela fórmula 22 4x x− e pela fórmula ( )22 1 2x − − são essencialmente

diferentes? A resposta é não. A primeira função “transforma” números reais da mesma maneira do que a segunda. E mais, seus domínios e suas imagens são iguais. Como estamos considerando funções como uma lei de associação entre números reais, se duas funções possuírem o mesmo domínio e efetivamente fizerem a mesma associação a cada um dos elementos de seus domínios, deverão ser consideradas como funções iguais. Por isso, definimos o seguinte:

Definição: Se duas funções f e g possuem o mesmo domínio D e são tais que , ( ) ( )x D f x g x∀ ∈ = , dizemos que f é igual a g e denotamos essa igualdade com os símbolos

f g≡ .

Exemplos:

19. As funções : [3, ) , ( ) 2f f x x+∞ → = +ℝ e 2 2

: [3, ) , ( )1

x xg g x

x

+ −+∞ → =−

ℝ são

iguais, pois possuem o mesmo domínio e ( ) ( ), [3, )f x g x x= ∀ ∈ +∞ , já que para números x

diferentes de 1 temos 2( 1)( 2) 2

21 1

x x x xx

x x

− + + −+ = =− −

.

20. Considere a função : ( , 1 ]f − ∞ − →ℝ , que a cada número x associa o número 1x − . Considere também a função : [ 1, ) , ( ) 1g g x x− +∞ → = −ℝ . Note que, apesar da regra algébrica das funções f e g serem iguais, as funções não são iguais, pois não possuem o mesmo domínio.

21. As aparências enganam! Considere as funções : , ( ) 3f A f x x→ =ℝ e 2: , ( )g B g x x→ =ℝ , em que A = 2{ | 3 0}x x x∈ − =ℝ e B = {0,3} . Aparentemente, os

domínios são diferentes, porém eles não o são. De fato, {0,3}Dom f Dom g= = . Além disso, veja que as regras são essencialmente distintas, mas ( ) ( )f x g x= , para 0 e 3x x= = . Dessa forma, segue que f g≡ .

Exercícios:

18. Verifique se as funções 2 1

( )1

xf x

x

−=+

e ( ) 1g x x= − são iguais.

19. Verifique se as funções : , ( )f f x x+ → =ℝ ℝ e : , ( )g g x x+ → =ℝ ℝ são iguais.

Operações com Funções

O fato de as funções aqui estudadas possuírem como contradomínio o conjunto ℝ oferece a possibilidade de efetuarmos algumas operações com funções.

Considere, por exemplo, a função : [ 1,5] , ( ) 3f f x x− → =ℝ e a função

: [0,2 ) , ( )g g x xπ → =ℝ . Se tomarmos números reais x pertencentes ao intervalo [0,5] ,

poderemos efetuar as associações 3x x→ e x x→ e, depois disso, poderemos adicionar o

número 3x ao número x .

Criamos, assim, uma nova função : [0,5] , ( ) 3h h x x x→ = +ℝ . A função h tem como

domínio a interseção dos domínios de f e de g, e a cada elemento x desse domínio associa a soma das imagens de x por f e por g. Esse é um exemplo que ilustra a seguinte definição.

Definição: Considere :f A ⊂ →ℝ ℝ e :g B ⊂ →ℝ ℝ duas funções reais tais que A B∩ ≠ ∅ . A função soma de f e g é a função :f g A B+ ∩ →ℝ , que a cada x A B∈ ∩ associa o número ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + . A função diferença de f e g é a função

:f g A B− ∩ →ℝ , que a cada x A B∈ ∩ associa o número ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − . A função produto de f e g é a função :f g A B⋅ ∩ → ℝ , que a cada x A B∈ ∩ associa o número ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x⋅ = ⋅ .

Exemplo 22: Se 9 2( ) 2 2 1f x x x= − + está definida no intervalo (–2, 2) e 2( ) 1g x x= − está definida para 1x ≤ , vamos determinar as funções ,f g f g+ − e f g⋅ indicando seus respectivos domínios. Temos ( 2, 2)Dom f = − e ( ,1]Dom g = −∞ e, portanto, ( 2,1]Dom f Dom g∩ = − . Esse intervalo é o domínio das funções ,f g f g+ − e f g⋅ . A regra algébrica que determina a função

f g+ será: 9 2 2(2 2 1) ( 1)x x x− + + − = 9 22x x− . A regra algébrica que determina a função

f g− será: 9 2 2(2 2 1) ( 1)x x x− + − − = 9 22 3 2x x− + . A regra algébrica que determina a função

f g⋅ será: 9 2 2(2 2 1)( 1)x x x− + − = 11 9 4 22 2 2 3 1x x x x− − + − . Dessa forma, temos:

• 9 2( ) : ( 2,1] , ( )( ) 2f g f g x x x+ − → + = −ℝ ;

• 9 2( ) : ( 2,1] , ( )( ) 2 3 2f g f g x x x− − → − = − +ℝ ;

• 11 9 4 2( ) : ( 2,1] , ( )( ) 2 2 2 3 1f g f g x x x x x⋅ − → ⋅ = − − + −ℝ .

Perceba que nas três definições anteriores, as últimas igualdades relacionam a notação analítica da função com o procedimento a ser efetuado para calcular a imagem dos pontos do domínio. Assim, por exemplo, a expressão ( )( )f g x+ indica a “função soma” aplicada no elemento x e a expressão ( ) ( )f x g x+ indica que devemos calcular o número ( )f x , calcular o número ( )g x e depois disso adicioná-los.

Podemos definir a função quociente de duas outras funções, mas devemos tomar o cuidado com o domínio dessa nova função. Observe atentamente a seguinte definição:

Definição: Considere :f A ⊂ →ℝ ℝ e :g B ⊂ →ℝ ℝ duas funções reais. A função

quociente de f e g é a função / :f g A B∗∩ →ℝ , que a cada x A B∗∈ ∩ associa o número

( )( / )( )

( )

f xf g x

g x= , onde o conjunto B∗ é definido como { ; ( ) 0}B x B g x∗ = ∈ ≠ .

Exemplo 23: Considere as funções ( ) 2 2f x x= − e ( ) 4g x x= − + . Nesse caso, podemos

definir a função quociente de f e g por 2 2

/ : {4} , ( / )( )4

xf g f g x

x

−− → =− +

ℝ ℝ .

Exercícios:

20. Sejam p e h definidas, respectivamente, por ( ) 2 3p x x= − e 2( ) 5 3h x x x= − + . Determine as funções p h+ , h p− , p h⋅ . Qual é o domínio e a expressão algébrica que define a função p p⋅ ?

23

21. Considere as funções 2( ) 3( 1) 1 2m x x x= + + e ( ) ( 1)( 2)n x x x= + − . Determine a função /m n e seu domínio.

22. Considere as funções ( )h x x= e ( )k x x= − . Determine as funções , ,h k h k h k+ − ⋅ e

/h k e seus domínios.

Gráficos

A representação gráfica de funções iniciou-se, como vimos, no século XIV, mas dependeu do aparecimento das notações de Descartes para seu aprimoramento. Essa representação tem suas vantagens e suas desvantagens. Podemos asseverar que a força de uma representação gráfica está na facilidade de informar o comportamento geral (global) da função; seu principal defeito está na impossibilidade de comunicar certas informações sobre o comportamento local da função. De maneira geral, consideramos o seguinte.

Definição: Considere a função ⊂ →ℝ ℝ:f D e o subconjunto de 2ℝ dado por 2{( , ) | ( ), }Graf f x y y f x x D= ∈ = ∈ℝ

denominado gráfico de f . O subconjunto de pontos do plano cartesiano identificados por Graf f é denominado representação cartesiana de f.

A representação cartesiana que consideraremos em nosso estudo sobre funções reais é apenas uma das diferentes maneiras gráficas de representar uma função. No dia-a-dia, temos contato com outras maneiras de representação como o gráfico de “barras”, o gráfico de “pizza” ou ainda os “infográficos”, grandemente utilizados na mídia.

Neste contexto, adotaremos apenas a representação cartesiana e, na maioria das vezes, estaremos chamando esta representação também de gráfico da função f , quando não houver risco de confusão com Graf f .

Exemplos:

24. Considere a função afim dada por ( )f x ax b= + , em que a e b são constantes reais. O

gráfico de uma função afim, caso não haja restrição ao domínio, é uma reta. A constante a é o coeficiente angular dessa reta, e a constante b é o coeficiente linear. Conforme o valor de a, o gráfico de uma função afim assemelha-se a um dos três esboços mostrados ao lado e a seguir.

x

y

O

b

a > 0

x

y

O

b

a = 0

x

y

O

b

a < 0

25. Considere a função

, 3( ) 3

1, 3

xx

h x

x

<= ≥

.

O esboço de seu gráfico é fornecido na figura ao lado. Para traçá-lo, verificamos que em cada parte da expressão algébrica que define a função temos uma expressão afim. Assim, o gráfico de h será composto por partes de gráficos de funções afins.

x

y

O

Gráfico de h

26. O gráfico da função quadrática, dada por 2( )f x ax bx c= + + , caso não haja restrição ao

domínio, é uma parábola. Em particular, a

representação gráfica da função 2( ) 2 5f x x= − pode ser vista no esboço ao lado.

x

y

O

Gráfico de f

27. Dizemos que uma função f é uma função cúbica, quando a regra algébrica que define a

função é dada por 3 2( )f x ax bx cx d= + + + , para constantes a, b, c e d, com 0a ≠ . O gráfico de uma função cúbica assume formas semelhantes aos esboços mostrados a seguir. A exploração do efeito que os valores numéricos atribuídos às constantes a, b, c e d têm sobre o comportamento gráfico da função cúbica serão vistos futuramente, quando estivermos de posse de uma ferramenta matemática chamada “derivada”.

x

y

O

x

y

O

x

y

O

3( )f x x= 3( ) 2g x x x= − 3( ) 3 2h x x x= − + +

28. (Função escada) Considere a função k definida para todos os números reais dada pela seguinte representação verbal: Para todo número real x o valor ( )k x será igual ao maior inteiro menor que x. Em alguns softwares e calculadoras gráficas, essa função pode ser acessada com o uso da palavra “floor”. Um esboço de seu gráfico está a seguir:

25

x

y

O

Gráfico da função escada.

Exercícios:

23. Esboce os gráficos das seguintes funções afins:

a) ( ) 3f x x= − ; b) ( ) 2 4g x x= − + ; c) ( ) 5 10h x x= − − ; d) ( )3

j x xπ= .

24. É possível desenhar um esboço do gráfico de uma função quadrática qualquer dada por 2( )f x ax bx c= + + , 0a ≠ . Para isso, basta saber: o sinal do coeficiente a do termo de segundo

grau; encontrar, se possível, os valores reais x em que ( ) 0,f x = que são dados pela expressão

2 4

2

b b ac

a

− ± − , caso 2 4 0b ac− ≥ ; obter o vértice da parábola, que é dado por , ,

2 4

b

a a

− −∆

no

qual 2 4b ac∆ = − . Esboce os seis tipos de gráficos de funções quadráticas possíveis, a partir da análise dos sinais de a e de ∆ .

25. Nem todas as funções podem ter seu gráfico desenhado. Como seria o esboço do gráfico

da função 0, racional

( )1, irracional

xI x

x

=

?

Simetrias de Gráficos

Ao observarmos os gráficos de certas funções, percebemos que eles podem apresentar

simetrias. Observe que o gráfico da função 2( ) 2 5f x x= − , mostrado na ilustração seguinte, é simétrico em relação ao eixo Oy (a porção à direita do eixo Oy é um reflexo da porção à esquerda).

x

y

O

Gráfico de f

O conceito de simetria é muito importante em matemática e é essencialmente geométrico. Quando estamos lidando com gráficos, esse conceito permite imaginar todo o gráfico de determinadas funções sem que seja necessário traçá-lo em todo o seu domínio. Isso ocorre porque o gráfico possui um determinado padrão que se repete um certo número de vezes (até mesmo um número infinito). Essa repetição de padrão nos leva, entre outras coisas, ao conceito de simetria, diretamente ligado a três tipos básicos de transformação: a translação, a reflexão e a rotação. Para o caso específico de gráfico de funções, esses tipos se resumem em três transformações: translação na direção do eixo Ox; reflexão em torno de uma reta; e rotação de 180o em torno de um ponto.

Simetria Translacional

Definição: Dizemos que o gráfico de uma função :f →ℝ ℝ apresenta simetria translacional, se existe um valor real 0p ≠ , tal que ( ) ( ),f x f x p x= + ∀ ∈ℝ .

Exemplo 29: A ilustração a seguir mostra o esboço do gráfico da “função serra”. Uma

definição analítica dessa função é: *

*

1 , 1 ,( )

, 1,

x n n x n nf x

x n n x n n

+ − − ≤ < ∈= + − ≤ < − + ∈

ℕ

ℕ. Temos

( ) ( 1)f x f x= + , para todo número real x. Logo, o gráfico de f apresenta simetria translacional.

x

y

O

Simetria Axial

Definição: Seja r uma reta no plano. Os pontos P e Q são ditos simétricos em relação à reta r , se a reta PQ é perpendicular a r e P e Q eqüidistam de r . Dizemos que o gráfico de uma

27

função :f D ⊂ →ℝ ℝ apresenta simetria axial em relação a r, se contiver os simétricos em relação a r de cada um de seus pontos.

Observe que cada ponto P do plano possui um único simétrico em relação à reta r .

Exemplo 30: O gráfico da função 2( ) 5f x x= − apresenta simetria axial com relação à reta

0x = e o gráfico da função 1

( )g xx

= apresenta simetria axial com relação às retas y x= e

y x= − .

x

y

O

x

y

O

Gráfico de f Gráfico de g

Simetria Central

Definição: Seja O um ponto no plano. Os pontos P e Q são ditos simétricos em relação ao ponto O, se O é o ponto médio do segmento PQ. Dizemos que o gráfico de uma função :f D ⊂ →ℝ ℝ apresenta simetria central em relação a O, se contiver os simétricos em relação

a O de cada um de seus pontos.

Cada ponto P do plano possui um único simétrico em relação ao ponto O.

Exemplo 31: O gráfico da função ( )f x x= apresenta simetria central em relação à origem e

o gráfico da função 3( )g x x= possui simetria central também em relação à origem.

y

O

x

y

O


Exercícios:

26. O gráfico da função ( )f x x= apresenta simetria central em relação ao ponto ( , )a a , a∀ ∈ℝ ?

27. Dado ( , )P x y um ponto do plano cartesiano:

a) Quais as coordenadas do simétrico 'P do ponto P em relação à reta de equação 0x = ? E em relação à reta x a= ?

b) Quais as coordenadas do simétrico 'P de P em relação ao ponto (0,0)O ? E em relação ao ponto ( , )Q a b ?.

28. Mostre que o gráfico de uma função f apresenta simetria axial em relação à reta de equação x a= se, e somente se, ( ) ( )f a x f a x− = + .

Funções Periódicas, Funções Pares e Funções Ímpares

Definição: Uma função :f D ⊂ →ℝ ℝ é periódica, se existe um valor real 0p > , tal que x D x p D∈ ⇒ + ∈ e ( ) ( ),f x f x p x D= + ∀ ∈ .

Quando o domínio de uma função periódica for ℝ , a função apresenta simetria translacional.

Exemplo 32: A ilustração a seguir mostra o esboço do gráfico de uma função periódica. Uma

definição analítica dessa função é: 1, 2 2 1,

( )0, 2 1 2 2,

n x n nf x

n x n n

≤ < + ∈= + ≤ < + ∈

ℕ

ℕ.

x

y

O

Esboço do gráfico de f

O valor numérico de p, a que se refere a definição anterior, não é único. No Exemplo 32, os valores, 6p = , 20p = , 250p = e infinitos outros valores satisfazem a definição.

Definição: Se a função f é periódica, o menor valor positivo p tal que a sentença ( ) ( ),f x f x p x D= + ∀ ∈ é verdadeira, recebe a denominação período de f. Dizemos então que f

é periódica de período p.

Exercícios:

29. Qual é o período da função f do Exemplo 32?

30. Verifique se as seguintes funções são periódicas:

a) ( )f x x= ; b) ( ) 5f x = ; c) ( ) ( 1) ,nf x = − se [ , 1)x n n∈ + , n ∈ℕ .

Definição: Seja f uma função. Diremos que f é par, se ( ) ( )f x f x− = , para todo x Dom f∈ e f é ímpar, se ( ) ( )f x f x− = − , para a todo x Dom f∈ .

29

Quando o número real 0 pertence ao domínio de uma função ímpar f , o gráfico de f sempre passará pela origem, ou seja, (0) 0f = . Por quê?

Exemplos:

33. A função ( )f x x= é ímpar, pois ( ) ( )f x x f x− = − = − , x∀ ∈ℝ .

34. A função 2( ) 2g x x= − é par, pois 2 2( ) ( ) 2 2 ( )g x x x g x− = − − = − = , x∀ ∈ℝ .

35. A função ( ) nf x x= é par, se n é par, e é ímpar, se n é ímpar, pois ( ) ( 1)n n nx x− = − ⋅ .

36. A função 4 9 2( ) 2 5 8g x x x x= + − + não é nem par nem ímpar, pois 4 9 2 4 9 2( ) 2( ) 5( ) ( ) 8 2 5 8g x x x x x x x− = − + − − − + = − − + que é diferente de ( )g x e diferente de

( )g x− .

Proposição: Sejam f e g funções.

(a) Se f e g são pares, então: (i) f g⋅ é par; (ii) f g+ é par; (iii) f

g é par.

(b) Se f e g são ímpares, então: (i) f g⋅ é par; (ii) f g+ é ímpar; (iii) f

g é par.

(c) Se f é par e g é ímpar, então: (i) f g⋅ é ímpar; (ii) f

g e

g

f são ímpares.

Demonstração:

(a) Se f e g são funções pares, então:

(i) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f g x⋅ − = − ⋅ − = ⋅ = ⋅ , x Dom f Dom g∀ ∈ ∩ , e, portanto, f g⋅ é par;

(ii) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f g x+ − = − + − = + = + , x Dom f Dom g∀ ∈ ∩ , e, portanto, f g+ é par;

(iii)( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

f f x f x fx x

g g x g x g

−− = = = − , { | ( ) 0}x Dom f x Dom g g x∀ ∈ ∩ ∈ ≠ , e, portanto,

f

g é par.

Os demais itens da proposição têm demonstração similar e são deixados como exercício. �

Exemplo 37: Sejam 2( ) ( 1) 2f x x= − − e 3( ) ( 1) 3g x x= − + . A função f não é par, pois (1) 2f = − e ( 1) 2f − = , mas seu gráfico é simétrico em relação à reta 1x = . A função g não é

ímpar, pois =(0) 2,g mas seu gráfico é simétrico em relação ao ponto (1, 3). Veja os esboços a seguir.

xO

y

x

y

O


Exercícios:

31: Mostre que o gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eixo Oy e que o gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação ao ponto (0,0) .

32. Verifique se as funções definidas a seguir são pares, ímpares ou nenhuma delas.

a) 4 2( ) 5 3 2f x x x −= + + b) 4 3( )f x x x= +

c) 3 7( ) 3f x x x−= − d) 5 3( ) 3f x x x= + +

33. Mostre que toda função pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar.

34. Existe alguma função que é par e ímpar simultaneamente?

Translações de Gráficos

Considere a função =( )f x x e o seu gráfico.

xO

y

Gráfico de f

Considere, agora, as funções ( ) 1 ( 1)g x x f x= + = + e ( ) 1 ( ) 1h x x f x= + = + e seus

gráficos.

31

xO

y

xO

y

Gráfico de g Gráfico de h

Observe que os gráficos das funções g e h foram obtidos por meio de deslocamentos do gráfico de f, de uma unidade à esquerda da origem e de uma unidade acima da origem, respectivamente. Tais deslocamentos são importantes, pois muitas propriedades dos gráficos de funções não se alteram quando os deslocamos k unidades à direita, acima, à esquerda ou abaixo da origem, ou ainda uma combinação desses deslocamentos. Quando isso ocorre, dizemos que houve uma translação do gráfico da função original.

Exercícios:

35. Como você esboçaria o gráfico da função ( ) 1 1F x x= + + por meio de deslocamento do

gráfico de f , sendo ( )f x x= ?

36. Mostre que se o gráfico da função f possui simetria axial em relação à reta x a= , então a função g definida por ( ) ( )g x f x a= + é par.

37. Mostre que se o gráfico da função f possui simetria central em relação ao ponto ( , )P a b , então a função g definida por ( ) ( )g x f x a b= + − é ímpar.

38. Esboce o gráfico de cada uma das funções f definidas a seguir e esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das seguintes translações: ( 3)f x + , +( ) 2f x , −( 1)f x , −( ) 2f x e

+ −( 2) 1f x :

a) ( )f x x= ; b) 2( )f x x= ; c) 3( )f x x= ; d) ( ) 3 1f x x= − .

Funções Limitadas

Definição: Uma função f é dita limitada, se existe um número real 0K > , tal que

( )f x K≤ , x Dom f∀ ∈ .

Geometricamente, temos que o gráfico de uma função limitada fica localizada em uma faixa horizontal entre as retas = −y K e =y K .

Exemplos:

38. Seja − < <

= ≤ <

, 1 2( )

3, 2 4

x xf x

x. Observemos que tomando 3K = , temos que ( ) 3f x ≤ ,

( 1,4)x Dom f∀ ∈ = − . O gráfico de f está esboçado na figura a seguir.

xO

y

2

–1

1

2

3

4

Gráfico de f

39. A “função serra” definida por *

*

1 , 1 ,( )

, 1,

x n n x n nf x

x n n x n n

+ − − ≤ < ∈= + − ≤ < − + ∈

ℕ

ℕ no Exemplo

29 é limitada. Basta tomar, por exemplo, 1K = , ou 7K π= ou, ainda, qualquer 1K ≥ .

Exercícios:

39. Seja f uma função limitada. Responda as perguntas a seguir, justificando sua resposta.

a) A função ( ) ( )g x a f x= é limitada para todo a real?

b) A função ( ) ( )g x f x m= + é limitada para todo m real?

c) A função ( ) ( )g x f b x= é limitada para todo b real?

40. Sejam f e g funções limitadas. Responda as perguntas a seguir, justificando sua resposta.

a) A função f g+ é limitada? b) A função f g⋅ é limitada?

Funções Monótonas

Definição: Seja f uma função definida em um intervalo I e 1x e 2x elementos quaisquer em I,

tal que 1 2x x< . Dizemos que a função f é crescente em I se, e somente se, 1 2( ) ( )f x f x< e

dizemos que f é decrescente em I se, e somente se, 1 2( ) ( )f x f x> . Dizemos ainda que a função f

é não-decrescente em I se, e somente se, 1 2( ) ( )f x f x≤ , e dizemos que f é não-crescente em I

se, e somente se, 1 2( ) ( )f x f x≥ . Se uma função for crescente, decrescente, não-decrescente ou não-crescente num intervalo I, diremos que ela é monótona em I.

Exemplos:

40. A função 3( )f x x= é monótona crescente. De fato, se 1 2x x< afirmamos que 3 31 2x x< ,

pois caso ambos sejam negativos, teremos que 31x negativo e 3

2x negativo e como 2 1x x<

33

obtemos o afirmado; caso 1x seja negativo e 2x seja positivo, teremos 31x negativo e 3

2x positivo e o afirmado fica verificado; e, no último caso, se ambos forem positivos, teremos evidentemente como resultado a afirmação. Na figura a seguir, temos um esboço do gráfico da função f. Observe que conforme os valores de x “crescem”, os valores de ( )f x também “crescem”.

x

y

O–2 2 4

–2–4

6

41. Existem funções que não são monótonas em todo o seu domínio. De fato, considere a função 2( )f x x= . Quando x é negativo e “cresce”, o valor absoluto de x “decresce” e, assim, o

valor de 2x também “decresce”. Quando x é positivo e “cresce”, 2x também “cresce”. Assim, essa função é decrescente nos reais negativos e crescente nos reais positivos. Observe na figura a seguir um esboço do gráfico da função f. Podemos obter, a partir da f, duas funções monótonas. Para isso, basta restringir o domínio de f para ( ,0]−∞ ou [0, )+∞ .

x

y

O 2 4–2–4 6

Gráfico de 2( )f x x=

42. Considere a função f definida por 3 se 0

( )3 se 0

x xf x

x

<= ≥

Como vimos anteriormente, para x é negativo a função é crescente. Além disso, para quaisquer

1x e 2x não-negativos, temos que 1 2( ) ( )f x f x= . Logo, f é não-decrescente. Na figura a seguir, temos um esboço do gráfico da função.

xO

y

Exercício 41: Verifique se as funções a seguir são monótonas, classificando-as em crescente, decrescente, não-decrescente ou não-crescente. Caso a função não seja monótona, encontre, caso exista(m), intervalo(s) do seu domínio, de modo a se obter função(ões) monótona(s).

a) ( ) 2 1f x x= − b) = −( ) 3f x x c) 2( ) 1f x x= −

d) 5( )f x x= e) ( )f x x= (f ) <= ≥

1, 0

( )2, 0

xf x x

x

Em alguns textos, a palavra crescente é substituída por estritamente crescente. Nesse caso, as funções não-decrescentes são chamadas crescentes; o mesmo ocorre com as funções decrescentes. Por isso é sempre bom ficar atento para saber qual definição está sendo utilizada.

Funções Bijetoras

Definição: Uma função :f D ⊂ →ℝ ℝ é chamada injetora (ou injetiva) quando, dados

1 2,x x D∈ , se 1 2x x≠ , então 1 2( ) ( )f x f x≠ ou, equivalentemente, se 1 2( ) ( )f x f x= , então

1 2x x= .

Exemplos:

43. A função ( ) 2 3f x x= − + é injetora. De fato, se 1 2( ) ( )f x f x= , temos

1 22 3 2 3x x− + = − + . Assim, 1 22 2x x− = − , isto é, 1 2x x= .

44. A função 2( )f x x= não é injetora. De fato, sejam 1 2x = e 2 2x = − . Temos 1 2x x≠ e,

no entanto, 1 2( ) 4 ( )f x f x= = . Observe que se tivéssemos :f + →ℝ ℝ , 2( )f x x= , a função f seria injetora.

O Exemplo 44 mostra que o domínio da função é importante para determinar se a função é ou não injetora.

35

Definição: Uma função ⊂ →ℝ ℝ:f D é chamada sobrejetora (ou sobre, ou sobrejetiva) se, para todo número real b, existe um elemento ∈ ,a D tal que ( )f a b= .

Exemplo:s

45. A função ( ) 2 3f x x= − + é sobrejetora. De fato, dado y ∈ℝ , tome 3

2

yx

− += . Assim,

temos que

3 3( ) 2 3 ( 3) 3

2 2

y yf x f y y

− + − + = = − + = − + =

.

46. A função :f →ℝ ℝ , tal que 2( )f x x= não é sobrejetora. De fato, dado 2y = − , não

existe x real tal que 2 2x = − .

Definição: Uma função ⊂ →ℝ ℝ:f D é chamada bijetora quando é injetora e sobrejetora.

Exemplos:

47. A função ( ) 2 3f x x= − − é bijetora. Esse resultado segue imediatamente dos Exemplos 43 e 45.

48. A função 2( )f x x= não é bijetora. Esse resultado segue imediatamente do Exemplo 44 ou do Exemplo 46.

Teorema: Toda função crescente ou decrescente em um intervalo I é injetora em I.

Demonstração: Suponha que f seja crescente no intervalo I. Se 1 2,x x I∈ e 1 2x x≠ , então

1 2x x< ou 1 2x x> . Se 1 2x x< , como f é crescente, temos 1 2( ) ( )f x f x< e, portanto,

1 2( ) ( )f x f x≠ . Se 2 1x x< , como f é crescente, temos 2 1( ) ( )f x f x< , e, portanto,

1 2( ) ( )f x f x≠ . Segue da definição, que f é injetora. Para o caso em que f é decrescente a demonstração é análoga. �

Exercício 42: Verifique se as funções a seguir são bijetoras, justificando sua resposta.

a) 3( )f x x= b) ( ) 3 1f x x= − c) 4( )f x x= d) ( )f x x=

Composição de Funções

Vimos anteriormente que para mostrar que a função :f →ℝ ℝ , dada por ( ) 2 3f x x= − + é

sobrejetora, tomamos um número real y qualquer e escolhemos 3

2

yx

− += para calcular ( )f x e

obter y. Na verdade, temos que 3

2

y− + é uma função de y, ou seja, podemos chamar

3( )

2

yg y

− += . Assim, na expressão de ( )f x , substituímos x por ( )g y . Essa substituição, e

outras mais gerais, recebem um nome especial, apresentado a seguir.

Definição: Sejam f e g duas funções tal que ⊂Im g Dom f . A função denotada por f g , e definida por ( )( ) ( ( ))f g x f g x= , é denominada função composta de f com g.

Segue imediatamente da definição que = ∈ ∈ { | ( ) }Dom f g x Dom g g x Dom f . Segue ainda que a ordem em que a composição é efetuada, ou seja, f g ou g f é muito importante, já pela própria imposição que ⊂Im g Dom f , no primeiro caso, ou ⊂Im f Dom g , no segundo caso. Mas mesmo que essas duas condições estejam satisfeitas, em geral, a ordem em que se compõe trará, em geral, novas funções distintas uma da outra.

Exemplos:

49. Sejam ( ) 2 5f x x= − e 2( )g x x= . Nesse caso, temos

2 2( )( ) ( ) 2 5f g x f x x= = − e 2( )( ) (2 5) (2 5)g f x g x x= + = + .

50. Sejam ( ) 4f x x= + e 2( ) 4g x x= − . Nesse caso, temos

2 2 2( )( ) ( 4) 4 4f g x f x x x x= − = − + = = ,

com Dom f g = ℝ . Já a outra composta é dada por

2( )( ) ( 4 ) ( 4 ) 4 4 4g f x g x x x x= + = + − = + − = ,

com [ 4, )Dom g f = − +∞ .

Como vimos, a operação composição não é comutativa, porém ela é associativa, isto é, vale a seguinte proposição.

Proposição: ( ) ( )f g h f g h= .

Demonstração: Por um lado, [ ( )]( ) (( )( )) ( ( ( )))f g h x f g h x f g h x= = , para todo x no domínio dado por

= ∈ ∈ = ( ) { |( )( ) }Dom f g h x Dom g h g h x Dom f

= ∈ ∈ ∈{ | ( ) e ( )( ) }x Domh h x Dom g g h x Dom f .

Por outro lado, temos que [( ) ]( ) ( )( ( )) ( ( ( )))f g h x f g h x f g h x= = , para todo x no domínio dado por

= ∈ ∈ = ( ) { | ( ) }Dom f g h x Domh h x Dom f g

= ∈ ∈ ∈{ | ( ) e ( )( ) }x Domh h x Dom g g h x Dom f .

Assim, as duas funções são iguais, como queríamos demonstrar. �

Exercícios:

43. Nos itens a seguir, encontre ,f g ,f f g f , g g e seus respectivos domínios.

a) ( ) 5f x x= + e 2

( )2 4

g xx

=−

b) 3( ) 3 1f x x= − e ( ) 4g x =

44. Encontre funções f e g distintas da função identidade, tal que ( )( )y f g x= .

a) 2 1y x= − b) 2 1y x= − c) 2

2

3y

x=

+ d) 9y x= −

45. Sejam f e g duas funções. Mostre que:

37

a) se f e g são pares, então f g é par;

b) se f e g são ímpares, então f g é ímpar;

c) se f é par e g é ímpar, então f g e g f são pares.

Funções Inversas

Suponhamos que :f A B→ seja injetora. Como Im f B⊂ , podemos redefinir o seu contra-domínio para torná-la bijetora. Para isso, basta considerar :f A Im f→ . Assim, se f é injetora, por definição, para cada ,y Im f∈ existe um único x Dom f∈ , tal que ( )y f x= .

Definição: Com as condições anteriores, a função g, tal que ( )g y x= é chamada inversa de f

e será denotada por 1f − .

Observemos que:

(a) 1( ) ( )f y x y f x− = ⇔ = ;

(b) 1Dom f Im f −= e 1Im f Dom f −= ;

(c) 1 1f

f

− ≠ , pois 1

f é tal que 1 11 1

( )( ) [ ( )] ( )( )

x f x f xf f x

− −= = ≠ ;

(d) Se ( )y f x= , temos que ( , )x y Graf f∈ , mas se a inversa de f existe, temos que 1( )x f y−= , logo 1( , )y x Graf f −∈ . Assim, os gráficos de f e de 1f − são simétricos em relação à

reta y x= , quando utilizamos a mesma escala nos eixos cartesianos.

Uma maneira informal de descrevermos a relação entre uma função e a sua inversa é dizer que uma desfaz o que a outra faz. Assim, se uma função f possui inversa, então

1( )( )f f x x− = , para todo ∈x Dom f e

1( )( )f f y y− = , para todo 1y Dom f Im f−∈ = .

Exemplos:

51. Vamos determinar a inversa da função ( ) 2 3f x x= − + . Como já vimos anteriormente que

essa função f é injetora e Im f = ℝ , vamos encontrar sua inversa. Fazendo 3

2

yx

− += , obtemos

( )f x y= . Assim, tomemos 1 3( )

2

xf x− − += . Na figura ao lado, temos o gráfico de f e o gráfico

de 1f − . Observe a simetria em relação à reta y x= .

x

y

–1

2

23

1 3

y = x

Graf f – 1

Graf f

–1

1

O

52. Já foi visto que a função 3( )f x x= é monótona crescente. Assim, pelo teorema que afirma “Toda função crescente ou decrescente num intervalo I é injetora em I”, concluímos que f é injetora em ℝ e,

portanto, podemos encontrar sua inversa. Observe que tomando 3( )g x x= , teremos

( )33( ( ))f g x x x= = e 3 3( ( ))g f x x x= = . Logo, por definição, temos que g = 1f − . Na figura a

seguir, temos o gráfico de f e o gráfico de 1f − . Novamente observe a simetria em relação à reta y x= .

x

y

2

2

1

y = x

Graf f

Graf f – 11

–1

–2

3

–1–2–3

3

–3

O

Exercício 46: Dadas as funções f, definidas a seguir, determine 1f − , caso exista.

a) ( ) 2 1f x x= − b) 2( )f x x= , para 0x ≤

c) 2( ) 2f x x= − para 0x ≥ d) 2( ) 1f x x= − para 0 1x≤ ≤

e) 1

( )f xx

= para 0x > f) 2( ) 2 1f x x x= + − para 1x ≤ −

Alguns Tipos de Funções Nesta seção, vamos apresentar alguns tipos especiais de funções: as funções polinomiais, as

funções racionais, as funções algébricas e as funções transcendentes (trigonométricas e suas inversas, exponenciais e logarítmicas).

39

Funções Polinomiais

Muitas das funções que nos deparamos no cálculo são polinomiais, isto é, surgem de um polinômio. Por sua simplicidade e por várias de suas propriedades, as funções polinomiais são bastante utilizadas. Um exemplo disso é que há, inclusive, uma técnica de cálculo para aproximar uma função qualquer por uma função polinomial.

Definição: Um polinômio com coeficientes reais é uma expressão da forma 1

1 1 0( ) n nn np x a x a x a x a−

−= + + + +⋯ ,

na qual os coeficientes = …, 0,1, , ,ia i n são reais e n é natural. Se 0na ≠ , dizemos que o

polinômio tem grau n. Dizemos que 0x é uma raiz ou um zero do polinômio 1

1 1 0( ) n nn np x a x a x a x a−

−= + + + +⋯ , se 0( ) 0p x = , ou seja, 1

0 1 0 1 0 0 0n nn na x a x a x a−

−+ + + + =⋯ .

Um polinômio é construído utilizando apenas somas e produtos de funções potências 2 31, , , , , ,nx x x x… … .

Exemplo 53: As raízes do polinômio 2( ) 2p x x x= + − são 1 e 2− .

Existe um teorema que garante uma propriedade importante dos polinômios. Sua demonstração será omitida.

Teorema Fundamental da Álgebra: Todo polinômio 11 1 0( ) n n

n np x a x a x a x a−−= + + + +⋯

de grau n tem exatamente n raízes complexas.

É fácil ver que a adição e a multiplicação de polinômios resultam em novos polinômios. Quando multiplicamos dois polinômios ( )p x e ( )q x com coeficientes reais, o resultado é sempre um polinômio de grau igual à soma dos graus dos polinômios ( )p x e ( )q x . Mas, na adição, isso

nem sempre isso acontece. Por exemplo, os polinômios 3 2( ) 1p x x x= − + + e 3 2( ) 2 2q x x x x= + + + possuem ambos grau 3, mas quando adicionados, a soma é dada por

2( ) ( ) 3 3p x q x x x+ = + + , que possui grau 2.

Definição: Uma função polinomial é uma função f tal que ( ) ( )f x p x= , para algum polinômio ( )p x .

São exemplos de funções polinomiais:

• =( )f x c ,com c real, denominada função constante;

• =( )f x x , denominada função identidade;

• ( )f x a x= , com a real, denominada função linear;

• A função afim ( )f x ax b= + , com a e b reais;

• A função quadrática 2( )f x ax bx c= + + , com a, b e c reais e ≠ 0a .

Observe que as funções constante, identidade e linear são casos particulares da função afim.

Exemplo 54: Considere as funções polinomiais ( ) nnf x x= , com 1n ≥ . Essas funções

possuem n raízes reais e iguais a zero. Nesse caso, dizemos que 0 é raiz de multiplicidade n. Os gráficos das funções dessa família ( )nf x possuem dois tipos de comportamento. Para n par, assemelham-se aos gráficos da figura à esquerda e, para n ímpar, assemelham-se aos gráficos da figura à direita.

x

y

O 2 4–2–4 6

Graf f2

Graf f8

x

y

O 2 4

–2–4

6

Graf f3

Graf f9

Gráficos de 2f e 8f . Gráficos de 1f , 3f e 9f .

Observe que quanto maior for a multiplicidade da raiz, mais “achatado” é o gráfico da função nas proximidades da raiz.

Exercícios:

47. Esboce em um mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções:

a) 4( )m x x= − ; b) 5( )n x x= − .

48. Determine os zeros das seguintes funções:

a) 4 3 2( ) 4 4p x x x x x= − − + ; b) 3 2( ) 3 2p x x x= − + .

49. Seja ( )p x um polinômio. Prove que a é raiz de ( )p x se, e somente se, ( ) ( ) ( )p x x a q x= − , para algum polinômio ( )q x .

Funções Racionais

As funções racionais estão relacionadas com as funções polinomiais.

Definição: Chamamos de função racional a função que é quociente de duas funções polinomiais:

( )( )

( )

p xf x

q x= ,

na qual ( )p x e ( )q x são polinômios e ( )q x não é identicamente nulo.

41

É preciso fazer uma análise do domínio das funções racionais. Como o denominador pode se anular em algum número real, o domínio de uma função racional é o conjunto dos números reais, exceto as raízes do polinômio do denominador.

Exemplo 55: As funções f e g, dadas por2

2( )

1

xf x

x

−=+

e 2

3

2( )

1

x xg x

x

− −=−

são funções

racionais. A função f tem como domínio o conjunto dos números reais e a função g, tem como domínio {1}−ℝ .

Funções Algébricas e Funções Transcendentes

As operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes são chamadas de operações algébricas. Chamamos de funções algébricas as funções que são construídas utilizando essas operações. As funções polinomiais e as funções racionais são exemplos de funções algébricas.

Utilizando as funções algébricas, podemos fazer muitos cálculos, mas elas são insuficientes para resolver todos os problemas da matemática. As funções que não são algébricas são chamadas de transcendentes. As funções exponenciais, logarítmicas e as funções trigonométricas (estudadas detalhadamente mais adiante) são exemplos de funções transcendentes.

Exemplo 56: A função ( )35( ) 7 5 4f x x x x= + − é algébrica e a função

3( ) cosL x x x x= + não é algébrica.

Exercícios:

50. Determine o domínio das seguintes funções:

a) 2

2( )

1

xf x

x

−=+

; b) 22 1

( )1

xf x

x

−=+

;

c) ( 1)( 2)

( )( 1)( 2)

x x xf x

x x

− +=+ −

; d) ( 1)( 2)

( )( 1)( 2)

x xf x

x x x

− +=+ −

.

51. Use um sistema de computação algébrica para esboçar o gráfico das funções racionais do exercício anterior.

Funções Trigonométricas

Na geometria euclidiana, define-se ângulo como sendo duas semi-retas com a mesma origem. Essa origem é chamada de vértice do ângulo e as duas semi-retas de lados do ângulo. Lá, os ângulos são medidos de 0º a 180º, porém, no nosso contexto, adotaremos outra unidade de medida de ângulo diferente do grau e essa unidade de medida poderá assumir qualquer valor no conjunto dos números reais. Por esse motivo, adotaremos a convenção gráfica a seguir, para que não haja dúvidas sobre a medida do ângulo considerada.

α

β

A trigonometria surgiu no estudo de ângulos e triângulos dentro da geometria euclidiana, e, assim, os conceitos de seno, cosseno e tangente de um ângulo foram introduzidos para ângulos que medem entre 0º e 180º.

No nosso objeto de estudo, o cálculo, estamos interessados em obter funções cujos domínios sejam o conjunto de todos os números reais. Com esse objetivo, o grau como unidade de medida de ângulo não é conveniente. Assim, surge a necessidade de se criar uma nova unidade de medida, uma unidade de medida que seja um número real, mas de tal forma que quando transformada em graus, os conceitos trigonométricos, quando vistos por meio de ângulos variando de 0º a 180º, coincidam com os conceitos trigonométricos desenvolvidos pelos gregos.

Essa unidade de medida é conhecida como radiano. Para defini-lo, usamos uma propriedade fundamental:

Propriedade: Consideremos duas circunferências concêntricas 1C e 2C , de raios 1r e 2r ,

respectivamente, com centros no vértice de um ângulo θ (veja ilustração a seguir). Sejam 1s e 2s ,

respectivamente, os comprimentos dos arcos das circunferências 1C e 2C determinadas pelo

ângulo θ . Assim, temos: 1 2

1 2

s s

r r= .

C2

C1

s1s2

θr1

r2

Em outras palavras, a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em

uma circunferência (cujo centro é o vértice do ângulo) e o raio da circunferência é um número real que só depende do ângulo, isto é, não depende do raio da circunferência. Surge assim o número real

43

π (pi), que é definido a partir dessa propriedade, ou seja, π é a razão entre o comprimento de uma semicircunferência e o raio da circunferência.

Essa propriedade nos permite introduzir o radiano:

Definição: A medida em radianos de um ângulo é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em uma circunferência (cujo centro é o vértice do ângulo) e o raio da circunferência.

Observe que como uma semicircunferência é o arco determinado por um ângulo de 180º, cujo vértice é o centro da circunferência, temos que o número π é a medida em radianos do ângulo de 180º. Portanto, 2π é a medida em radianos de ângulo de 360º o que nos dá, em particular, que o comprimento de uma circunferência de raio r é 2 rπ . Se l é o comprimento do arco de uma circunferência (com centro no vértice do ângulo) determinado por um ângulo de t radianos, então,

por definição, l

tr

= , em que r é o raio da circunferência. Assim, tem-se que l r t= ⋅ .

Quando tomamos o raio da circunferência medindo uma unidade de medida, ela será chamada

circunferência unitária e será denotada por 1S . Então, a medida do ângulo em radianos é o comprimento do arco determinado pelo ângulo. Esse ponto é fundamental, ou seja, a partir de agora, podemos chamar o ângulo de arco.

Exercício 52:

a) Em uma circunferência unitária, construa o ângulo de 1 radiano.

b) Construa o ângulo de 1 radiano em circunferências de raios distintos. O que você pode concluir com esse exercício?

Como foi dito anteriormente, queremos chegar a uma identificação entre ângulos e números reais e, para isso, utilizaremos o recobrimento da circunferência descrito a seguir.

Adotamos, no plano cartesiano, um sistema de coordenadas com a mesma unidade de medida nos dois eixos e começamos por identificar ângulos com arcos da circunferência unitária.

Uma circunferência pode ser percorrida em dois sentidos. Convencionamos o sentido anti-horário como sentido positivo, obtendo assim, uma circunferência orientada.

Dessa forma, associamos a cada número real t um único ponto ( )P t em 1S , conforme descrito a seguir.

Fixada uma origem A(1, 0) em 1S , temos três casos a considerar:

1. 0t > : Neste caso, a partir do ponto A(1, 0), percorremos sobre 1S , no sentido positivo uma

distância t, determinando o ponto ( )P t em 1S . Note que o arco AP tem comprimento t.

2. t < 0: Neste caso, a partir do ponto A(1, 0), percorremos sobre 1S , no sentido negativo uma

distância t , determinando o ponto ( )P t em 1S . Note que o arco AP tem comprimento t .

3. t = 0: Neste caso, o ponto (0)P em 1S coincide com o ponto A(1, 0).

Dizemos que essa construção “enrola” a reta real na circunferência de raio unitário, ou que a

reta real recobre 1S . Nas figuras a seguir, temos exemplos do 1º caso.

x

y

O

P

A(1,0)

y

O

P

x

A(1,0)

Naturalmente, se 2t π≥ , estaremos percorrendo mais do que uma volta completa em 1S no sentido positivo. Analogamente, no sentido negativo para 2t π≤ − . Observe também que um

ponto P em 1S corresponde a uma infinidade de números reais, isto é, se ( )P t P= , para algum

0 2t π≤ < e temos que ( 2 )P t k Pπ+ = , para todo k inteiro.

Quando ( 2 ) ( )P t k P tπ+ = , para todo k inteiro, dizemos que e ( 2 )t t kπ+ são côngruos.

Na trigonometria, alguns ângulos aparecem com

mais freqüência. Para obtê-los, dividimos 1S em 12 partes iguais, sendo A(1, 0) um dos pontos da divisão e, assim, cada arco desta divisão tem comprimento 2

12 6

π π= . Apenas para exemplificar consideremos

alguns valores de t. Para cada valor de t, indicaremos o ponto ( )P t , segundo a construção ao lado.

1A

B

CD

E

F

G

H

IJ

L

M

• Se 6

tπ= , caminhamos sobre 1S , a partir de A, no sentido anti-horário, uma distância

6

π. Isto corresponde ao arco AB, conforme ilustra a figura anterior. Nesse caso,

( )6

P Bπ = .

• Se 3

tπ=− , caminhamos sobre 1S , a partir de A, no sentido horário, uma distância

3

π. Isto corresponde ao arco AL, conforme ilustra a figura anterior. Nesse caso,

( )3

P Lπ− = .

• Se 2( ) 23

tπ π= + , ou seja, se

8

3t

π= , caminhamos sobre 1S , a partir de A, no

sentido anti-horário, obtendo o ponto E, pois ao caminharmos 2

3

π estaremos em E e

se, em seguida, caminharmos 2π estaremos perfazendo uma volta completa.

45

Pelo que vimos anteriormente, 2

23

π π+ e 2

3

π são côngruos.

Exercício 53: Sejam X o ponto em 1S correspondente ao número real t e Y o ponto em 1S correspondente a 2t kπ+ , para todo k inteiro. Qual a relação entre X e Y ?

Definição geométrica do seno e do cosseno Definimos a seguir as funções seno e cosseno, denotadas respectivamente por sen e cos.

Definição: Se t é um número real qualquer e

=( ) ( , )P t x y é o ponto em 1S associado a t, definimos:

cos t x= e sen t y= .

Como para cada t real, o ponto ( )P t em 1S associado a t é único, o seno e o cosseno são

funções de t.

x

y

O

P

(–1, 0)

t

cos t

sen t 1

A(1, 0)

(0, 1)

(0, –1)

Da definição anterior obtemos algumas propriedades:

Propriedades:

(a) O seno e o cosseno são funções periódicas de período 2π , isto é,

sen( 2 ) sent tπ+ = e cos( 2 ) cost tπ+ = .

(b) Identidade trigonométrica fundamental: Qualquer que seja o número real t tem-se: 2 2cos sen 1t t+ = ,

no qual 2cos t e 2sen t denotam, respectivamente, 2(cos )t e 2(sen )t .

(c) Para qualquer número real t tem-se:

1 sen 1t− ≤ ≤ e 1 cos 1t− ≤ ≤ .

(d) A função seno é impar e a função cosseno é par, isto é,

sen( ) sent t− = − e cos( ) cost t− = ,

para qualquer número real t.

(e) Se a e b são números reais quaisquer, então:

cos( ) cos cos sen sena b a b a b± = ∓ e sen( ) sen cos cos sena b a b a b± = ± .

(f) Se t é um número real, então cos sen( )2

t tπ= + .

Demonstração:

(a) De fato, como π+( 2 ) e tt são côngruos eles determinam o mesmo ponto em 1S , isto é, ( 2 ) ( )P t P tπ+ = . Como as coordenadas de ( 2 )P t π+ e de ( )P t são, respectivamente,

(cos( 2 ),sen( 2 ))t tπ π+ + e (cos ,sen )t t , obtemos as igualdades

sen( 2 ) sent tπ+ = e cos( 2 ) cost tπ+ = .

(b) De fato, sabemos que 1S é o conjunto de pontos ( , )x y do plano cujas coordenadas

satisfazem a relação 2 2 1x y+ = . Logo, a identidade acima decorre da propriedade de que qualquer

que seja o número real t, o ponto ( ) (cos ,sen )P t t t= é, por definição, um ponto em 1S .

(c) À medida que o ponto P se move sobre 1S , tanto sua abscissa como sua ordenada variam, mantendo-se sempre entre – 1 e 1. Assim, concluímos que o seno e o cosseno são funções limitadas.

(d) Para verificarmos a validade dessas igualdades, basta observarmos que, por definição, os ângulos t e t− determinam em 1S arcos de mesmo comprimento, t . Daí,

como podemos verificar na figura a seguir, se ( , )x y são as coordenadas do ponto ( )P t , então ( , )x y− são as coordenadas de ( )P t− , ou seja, se ( ) ( , )P t x y= , então ( ) ( , )P t x y− = − . Mas, por definição de seno

e cosseno, temos que ( ) (cos ,sen )P t t t= e e ( ) (cos( ),sen( ))P t t t− = − − . Assim,

x

y

O

P(t)

(0,1)

(1,0)

P(– t)

t

– t

y

– y

x

( , ) (cos ,sen )x y t t= e ( , ) (cos( ),sen( ))x y t t− = − − .

Dessa forma, cos( ) cost t− = e sen( ) sent t− = − .

(e) De fato, a primeira pode ser obtida da seguinte forma: Nas figuras a seguir, à esquerda o ponto B, por definição de seno e cosseno, tem coordenadas (cos( ),sen( ))B a b a b+ + . À direita, os pontos 'A e 'B têm como coordenadas '(cos , sen )A a a− e '(cos , sen )B b b− .

x

y

O

B

a

A(1,0)

b

x

y

O

a

A(1,0)

b

'A

'B

Temos que ' 'AB A B= , mas

2 2[cos( ) 1] sen ( )AB a b a b= + − + + e 2 2' ' (cos cos ) (sen sen )A B b a b a= − + + .

Assim, 2 2cos ( ) 2cos( ) 1 sen ( )a b a b a b+ − + + + + =

2 2 2 2cos 2cos cos cos sen 2sen sen senb a b a b a b a= − + + + + .

Logo,

2 2cos( ) 2 2cos cos 2sen sena b a b a b− + = − +

e, portanto,

47

cos( ) cos cos sen sena b a b a b+ = − .

A segunda identidade pode ser obtida da primeira utilizando a identidade trigonométrica dada na propriedade do item b. Para os sinais negativos, basta utilizar os resultados da propriedade do item d.

(f) Essa propriedade segue da identidade para sen( )a b+ , tomando a = t, b = 2

π e dos valores

cos 02

π = e sen 12

π = . �

Seguem imediatamente desses resultados mais dois importantes resultados: 2 2cos(2 ) cos sena a a= − e sen(2 ) 2sen cosa a a= .

O interessante da identidade do item f é que ela nos diz que o gráfico da função cosseno é uma

translação horizontal do gráfico da função seno de π/2 unidades para a esquerda. Portanto, basta estudarmos a função seno para conhecermos as propriedades das duas funções, seno e cosseno.

Exemplo 57: É possível calcularmos os valores do seno e do cosseno para alguns valores

particulares de t. A seguir, calcularemos sen6

π e cos

6

π. Pela definição da função seno, o

comprimento de y na próxima figura é sen6

π. Por outro lado, todos os ângulos do triângulo OPP’

medem 3

π e, assim, ele é eqüilátero. Logo, 2 1y = e, portanto,

1

2y = . Concluímos, então, que

1sen

6 2

π = . Pela relação fundamental, temos que 2 2cos sen 16 6

π π+ = . Logo,

2 2 1 3cos 1 sen 1

6 6 4 4

π π= − = − = . Como cos 06

π > , temos 3

cos6 2

π = .

x

y

O

P(cos , sen )

y

y1

1

–

(cos , –sen )'P

6

π6

π

6

π6

π6

π6

π

Exercício 54: Utilizando as propriedades anteriores, complete a tabela:

t 0 6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

3

4

π π

cos t

sen t

Quanto ao crescimento da função ( ) senf t t= , segue da definição que à medida que t varia de

0 a 2

π, a função “cresce” de 0 a 1 e, à medida que t varia de

2

π a π, a função “descresce” de 1 a 0.

Dessa forma, temos um esboço do gráfico de ( ) senf t t= , π≤ ≤0 t .

π/2 t

y

0

t1

– 1

y

0 π

t 1

– 1

t2

π

Usando o fato de a função sen t ser ímpar, podemos estender seu gráfico ao intervalo

[ , ]π π− . Além disso, como a função ( ) senf t t= é periódica, de período 2π , através de repetidas translações no eixo Ox, de magnitude 2π , obtemos o gráfico da função ( ) senf t t= em toda reta.

Ao transladarmos o gráfico de ( ) senf t t= , 2

π unidades à esquerda, obtemos o gráfico da

função ( ) cosg t t= .

π/20 π 3π/2 2π– π/2– π

seno

cosseno

1

– 1

y

t

Definição das outras Funções Trigonométricas

A partir das definições das funções seno e cosseno, é possível definir mais quatro funções trigonométricas, a saber, as funções tangente, cotangente, secante e cossecante.

Definição: A função tangente de um ângulo t, denotada por tg t , é definida por sen

tgcos

tt

t= ,

com (2 1)

2

kt

π+≠ , para todo k inteiro. A função cotangente de um ângulo t, denotada por

cotg t , é definida por cos

cotgsen

tt

t= , com t kπ≠ , para todo k inteiro. A função secante de um

49

ângulo t, denotada por sec t , é definida por 1

seccos

tt

= , com (2 1)

2

kt

π+≠ , para todo k inteiro. A

função cossecante de um ângulo t, denotada por cossec t , é definida por 1

cossecsen

tt

= , com

t kπ≠ , para todo k inteiro.

Segue das definições anteriores e das propriedades do seno e do cosseno outros resultados importantes apresentados a seguir.

Propriedades:

(a) As funções tangente e cotangente são funções periódicas de período π, isto é, tg( ) tgt tπ+ = e cotg( ) cotgt tπ+ = .

(b) 2 2tg 1 sect t+ = e 2 2cotg 1 cossect t+ = .

Demonstração:

(a) De fato, como sen( ) sen cos sen cost t tπ π π+ = + e cos( ) cos cos sen sent t tπ π π+ = − ,

temos que sen( ) sent tπ+ = − e cos( ) cost tπ+ = − . Assim, as funções tangente e cotangente

são periódicas de período π.

(b) De fato, basta dividir a identidade trigonométrica fundamental por 2cos t e por 2sen t ,

respectivamente. �

Exercícios:

55. Mostre que as funções secante e cossecante são periódicas de período 2π .

56. Verifique se as funções tangente, cotangente, secante e cossecante são pares ou ímpares.

57. Mostre que tg tg

tg( )1 tg tg

a ba b

a b

±± =

∓ e

cotg cotg 1cotg( )

cotg cotg

a ba b

a b± =

±∓

.

58. Utilizando os resultados anteriores, complete a tabela, quando possível:

t 0 6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

3

4

π π

tg t

cotg t

sec t

cossec t

Considere a reta AP tangente à circunferência unitária 1S , no ponto A(1, 0), conforme figura a seguir.

xO

P

t

M

N

A(1,0)

y

B

Temos, por definição, que cosOM t= e que senON t BM= = . Assim, pela definição de

tangente, sen

tg( )cos

t ONt

t OM= = .

Por outro lado, o triângulo OAP é semelhante ao triângulo OMB e, assim,

sen

1 cos

tAP AP BM

tOA OM= = = . Portanto, tg t AP= .

Concluímos, então, que o valor da tangente de um ângulo t é calculado geometricamente como

o comprimento do segmento de reta tangente à 1S em A(1,0), com extremidades A e P, onde P é o ponto de interseção da reta que passa por O e forma o ângulo t com o eixo Ox e a reta AP.

De maneira análoga, concluímos que o valor da cotangente de um ângulo t é calculado

geometricamente como o comprimento do segmento de reta tangente à 1S em C(0,1), com extremidades C e P, no qual P é o ponto de interseção da reta que passa por O e forma o ângulo t com o eixo Ox e a reta CP.

Com essa caracterização das funções tangente e cotangente, é fácil perceber que quando t varia

de 0 a 2

π, os valores da tangente variam de 0 a +∞ e os da cotangente de +∞ a 0; e quando t varia

de 2

π a π , os valores da tangente variam de −∞ a 0 e os da cotangente de 0 a −∞ .

Utilizando as definições acima, juntamente com os resultados obtidos, é possível esboçar os gráficos das funções tangente, cotangente, secante e cossecante.

y

0π/2

π3π/2

2π5π/2

3π t– π– π/2

y

0π/2

π3π/2

2π5π/2

t– π/2

– π– 3π/2

Gráfico da função tangente Gráfico da função cotangente

51

y

π/2π 3π/2

2π– 3π/2– π/2– π

– 2π 0

1

– 1

t

0 π/2 π3π/2

2π 5π/2

1

– 1

y

t– 3π/2 – π– π/2

Gráfico da função secante Gráfico da função cossecante

Funções Trigonométricas Inversas

Como as funções trigonométricas não são injetoras, elas não possuem inversa. Portanto, para que existam as inversas, devemos restringir seus domínios.

Como a função seno é crescente no intervalo π π − ,

2 2, a função definida por

: ,2 2

Sπ π − →

ℝ , dada por ( ) senS x x= possui inversa.

Definição: Dizemos que a função S é a restrição da função seno ao intervalo ,2 2

π π − e sua

inversa 1S − , chamada de arco seno é denotada por arcsen ou 1sen− . Dessa forma, temos que

arcsen , [ 1,1]y x x= ∈ − se, e somente se, senx y= , em que ,2 2

yπ π ∈ −

.

Assim, sen(arcsen ) , [ 1,1]x x x= ∀ ∈ − e arcsen(sen ) , ,2 2

x x xπ π = ∀ ∈ −

.

Da mesma forma, sabemos que a função cosseno não possui inversa, mas se definirmos uma nova função : [0, ]C π →ℝ , tal que ( ) cosC x x= , ela é decrescente e, portanto, possui inversa.

Definição: Dizemos que a função C é a restrição da função cossseno ao intervalo [0, ]π e sua

inversa 1C − , chamada de arco cosseno é denotada por arccos ou 1cos− . Dessa forma, temos que arccosy x= para [ 1,1]x ∈ − se, e somente se, cosx y= para [0, ]y π∈ .

Assim, cos(arccos ) , [ 1,1]x x x= ∀ ∈ − e arccos(cos ) , [0, ]x x x π= ∀ ∈ .

A seguir, esboçamos os gráficos das funções seno, arco seno, cosseno e arco cosseno.

π/20

– π/2

1

– 1

y

– 1

1

sen t

arcsen t

π/2

– π/2

t

y x=

π/20

π

1

– 1

y

– 1

1

cos t

arccos t

π/2

π

t

y x=

Exercícios:

59. Calcule, se possível:

a) 1

arcsen2; b) arccos1 ; c)

3arcsen

2

− ; d) arccos 3 .

60. Defina:

a) arco tangente de x; b) arco cotangente de x;

c) arco secante de x; d) arco cossecante de x.

61. Mostre que arccos arcsen2

x xπ= − . Sugestão: utilize a identidade cos sen( )

2t t

π= − .

Funções Exponenciais

Em toda esta seção, vamos considerar a um número real positivo. Inicialmente, devemos

relembrar o que entendemos quando nos deparamos com uma expressão do tipo na , em que n é

um número natural. Por exemplo, a expressão 53 é uma notação algébrica que significa 5

5 vezes

3 3 3 3 3 3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� � � . Em geral, entendemos vezes

n

n

a a a a= ⋅ ⋅ ⋅⋯� � � .

Sendo n− um número inteiro negativo, a expressão na− é, por convenção, definida como 1n

na

a

− = . Essa convenção existe para que tenhamos a validade da propriedade b c b ca a a +⋅ = ,

quando b e c forem opostos.

Já a expressão 1

na com n natural não-nulo é definida como 1

nna a= (lembrando que nnx a x a= ⇔ = ). Essa definição existe para que tenhamos a validade da propriedade

( )p q pqa a= , quando p e q forem inversos.

Portanto, sabemos o significado da expressão

p

qa , com 0p > e 0q > , ou seja, ela é definida

como

pqq pa a= . Se 0p < e 0q > , então definimos

1p

q

q pa

a−= .

Podemos utilizar uma calculadora científica e calcularmos, por exemplo, o valor aproximado

das expressões 6

5 83 ,7− ou 1

4π . Repare que a calculadora também é capaz de calcular aproximações

53

das expressões 3 172 , (1,47)− . Mas qual é o significado de uma expressão exponencial xa quando x é um número irracional?

Vamos tomar em particular a expressão 2π . Nesse caso, que cálculo podemos efetuar se π não se escreve como quociente de números inteiros?

Pelo que já relembramos, conseguimos definir a

função exponencial : , ( ) 2xf f x→ =ℚ ℝ , e um esboço de seu gráfico pode ser visto na ilustração ao lado.

Desejamos que as imagens de pontos irracionais

pela função ( ) 2xf x = não se “afastem” do gráfico da função f com domínio ℚ .

Assim, como a função é crescente, podemos

considerar que se 3 4π< < então 3 42 2 2π< < .

Continuando o raciocínio, segue que 3,1 3,22 2 2π< <

ou, ainda, 3,14 3,152 2 2π< < .

x

y

O

Esboço do gráfico de ( ) 2 ,xf x x= ∈ℚ

À medida que consideramos melhores aproximações racionais do número irracional π , podemos escrever as desigualdades que devemos respeitar:

3,141 3,1422 2 2π< < , 3,1415 3,14162 2 2π< < etc.

Essas desigualdades são as que nos fornecerão aproximações da ordenada do ponto ( , 2 )ππ

pertencente ao gráfico da função ( ) 2xf x = , agora considerada com domínio igual ao conjunto dos números reais. Devemos perceber que podemos definir o valor numérico da expressão exponencial

2π , que será um número irracional, mediante aproximações com números racionais com tantas casas decimais quanto desejarmos.

Mas essa maneira de considerar aproximações racionais pode ser considerada mesmo que a

base da expressão exponencial seja um número *a +∈ℝ e que o expoente seja um número x ∈ℝ . Podemos, portanto, admitir a seguinte definição.

Definição: Funções exponenciais são funções descritas algebricamente por expressões da

forma ( ) xf x a= , em que a é uma constante real positiva.

As propriedades conhecidas das potências valem de uma maneira geral para as funções exponenciais, ou seja, para qualquer 0a > e quaisquer números reais x e y tem-se:

x y x ya a a+ = e ( )xy x ya a= .

Por enquanto, as considerações feitas acerca das funções exponenciais são suficientes para o prosseguimento de nosso estudo. Convém, no entanto, observarmos que essa maneira pouco precisa de definirmos uma função exponencial não está distante da maneira com que esse tipo de comportamento era considerado no séc. XVII, quando Newton e Leibniz estavam construindo os fundamentos do Cálculo, pois nem a palavra “função” era utilizada e nem o conjunto dos números reais era bem explicado. As funções exponenciais serão alvo de nossos estudos mais adiante, depois de estudarmos derivadas e integrais.

As funções exponenciais possuem um comportamento que pode ser crescente, decrescente ou constante, dependendo da base da expressão exponencial.

• Se 0 1a< < a função é decrescente,

• se 1a = a função é constante igual a 1 e

• se 1a > a função é crescente.

Os esboços dos gráficos dessas situações podem ser observados ao lado e a seguir.

Uma característica do gráfico da função exponencial é que a interseção com o eixo Oy é sempre igual ao valor 1.

x

y

O

0 1a< <

x

y

O

1a =

x

y

O

1a >

Esboços dos gráficos de ( ) ,xf x a x= ∈ℝ .

Exemplo 58: Em uma lagoa de 10.000 m2 foi colocado 1 m2 de aguapé às 0h do dia 1º. de janeiro. Sabe-se que em condições ideais o aguapé duplica sua área a cada 24 horas. Admitindo que a lagoa apresente condições ideais para o crescimento do aguapé, existirão quantos metros quadrados de aguapé na lagoa nos dias 11 e 14 de janeiro?

Percebe-se que o crescimento do aguapé segue o seguinte padrão:

dia 01 02 03 04 05 06 07 08

m2 1 2 4 8 16 32 64 128

Podemos representar algebricamente a quantidade de metros quadrados de aguapé na lagoa no

dia n mediante a expressão 1( ) 2nq n −= . Então, no dia 11 haverá (11) 1024q = m2 de aguapé e no dia 14 haverá (14) 8192q = m2.

Exercícios:

62. Esboce o gráfico de cada função dada a seguir:

a) ( ) 2 xf x = ; b) ( ) 4 xf x −= ; c) ( ) 5xf x = ; d)

1( )

3

x

f x =

.

55

63. Por que é praticamente impossível dobrar ao meio uma folha de papel mais do que 9 vezes?

Funções Logarítmicas

No Exemplo 58, podemos ver que considerando a função 1( ) 2nq n −= com domínio { ;1 31}D n n= ∈ ≤ ≤ℕ foi possível responder às duas primeiras questões. Mas, e se fizéssemos a

seguinte pergunta: Quando é que toda a superfície da lagoa estará tomada pelo aguapé?

Para respondê-la será necessário considerarmos a função 1: [1,31] , ( ) 2xq q x −→ =ℝ , cujo domínio é o intervalo [1,31] , pois no dia 15 haverá (15) 16.384q = m2 de aguapé, ou seja, em alguma hora do dia 14 a superfície do lago estará tomada pelo aguapé.

Desta forma, devemos procurar o valor de x de maneira que 1( ) 2 10.000xq x −= = . Graficamente, a resposta é encontrada procurando-se a abscissa do ponto de encontro da reta horizontal 10.000y = com o gráfico de q, conforme esboço a seguir.

x

y

10000y =

x = ?

Às vezes é necessário considerar o processo inverso do cálculo de expressões exponenciais.

Nos casos em que a base da exponencial xa é um número real positivo diferente de 1, a função

( ) xf x a= ou é decrescente ou é crescente, possuindo assim uma função inversa que definiremos a seguir:

Definição: Funções logarítmicas são as funções inversas das funções exponenciais e serão denotadas : , ( ) logag g x x+ → =ℝ ℝ . O número a é chamado base do logaritmo.

Quando 10a = escreveremos apenas log x .

A condição que define a função logarítmica como inversa da função exponencial pode ser escrita como

log yay x a x= ⇔ = , > ≠ >0, 1 e 0.a a x

Das propriedades da exponencial, segue as seguintes propriedades:

Propriedades: Para , ,a A B números reais positivos, com ≠ 1a e r um número real.

a) = +log ( ) log loga a aAB A B ;

b) =log ( ) logra aA r A .

Demonstração:

a) Sejam = xA a e = yB a , ∀ ∈ℝ,x y . Por definição, temos que = logax A e = logay B .

Como +⋅ =x y x ya a a , segue que += x yAB a . Dessa forma, temos ainda que += = +log ( ) log ( )x y

a aAB a x y .

Portanto, = +log ( ) log log .a a aAB A B

b) Tomando = xA a , ∀ ∈ℝx , temos que = logax A . Como ( ) =r x rxa a , segue que,

= x rrA a . Daí, = =log ( ) log ( )x rra aA a x r . Assim, log ( ) log .r

a aA r A= �

Das propriedades a) e b), segue que = −

log log loga a a

AA B

B, bastando lembrar que

1AAB

B

−= .

A partir de agora, consideraremos as funções logarítmicas sem nos preocuparmos se existe um raciocínio envolvendo multiplicações e radiciações para encontrarmos o valor numérico da expressão loga x , pois as aproximações por racionais já foram consideradas no estudo das funções exponenciais.

As funções logarítmicas possuem um comportamento que pode ser crescente ou decrescente, dependendo da base do logaritmo. Se 0 1a< < , a função logarítmica é decrescente e se 1a > , a função logarítmica é crescente. Esboços dos gráficos dessas situações podem ser observados a seguir, lembrando que o gráfico da inversa de uma função é a reflexão do gráfico da função em relação à reta y = x.

x

y

O

0 1a< <

y = loga x

y = ax

x

y

O

1a >

y = loga x

y = ax

Gráficos de *( ) log ( ),ag x x x += ∈ℝ e de ( ) xf x a= e =y x , com 0a > e 1a ≠ .

Uma característica do gráfico da função logarítmica é que a interseção com o eixo Ox é sempre igual ao valor 1.

57

Exemplos

59. Agora podemos encontrar a hora do dia 14 em que a superfície do lago do Exemplo 58,

estará tomada pelo aguapé. Devemos encontrar o valor de x de maneira que 1( ) 2 10.000xq x −= = ,

ou seja, devemos calcular 21 log 10.000x − = . Utilizando uma calculadora, encontramos aproximadamente 1 13,28x − ≈ , ou seja, 14,28x ≈ dias. Então o lago estará coberto de aguapé aproximadamente às 6h43min do dia 14 de janeiro.

60. Às 0h do dia 1º de janeiro de 2005 foram depositadas 750 gramas de um material radioativo cuja meia-vida é de 3 anos. Despreze os anos bissextos e calcule qual é a quantidade do material depois de 10 anos. Quando restarão apenas 50 gramas do material radioativo?

Inicialmente, podemos obter alguns valores:

Ano 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 n

Gramas 750 ? ? 375 ? ? 187,5 ?

Observando esse decaimento radioativo, podemos representar algebricamente a quantidade de

material presente no n-ésimo ano como 2005

3( ) 750 2n

Q n

−−= ⋅ gramas. Considerando que o

decaimento se faz continuamente durante todos os dias do ano, dizemos que a função 2005

3: [2005, ) , ( ) 750 2x

Q Q x

−−+∞ → = ⋅ℝ modela a quantidade de material radioativo presente

no tempo x. Assim, para sabermos a quantidade de material depois de 10 anos, calculamos 10

33 10

750(2015) 750 2 74,41

2Q

−= ⋅ = ≈ . Logo, após 10 anos existirão aproximadamente 74,41

gramas. Para respondermos à segunda pergunta, devemos descobrir um valor de x tal que Q(x) = 50. Fazemos

2005

3log50 log 750 2x−−

= ⋅

⇒ 2005

log50 log750 log 23

x − − = −

⇒

⇒

50log

750 ( 3) 2005log 2

x

⋅ − = − ⇒

13log( )

152005 2005 11,72log 2

x = − ≈ + .

Então, restarão 50 gramas de material radioativo aproximadamente no dia 19 de setembro de 2016.

Exercícios:

64. Trace um esboço dos gráficos das funções definidas a seguir:

a) 2( ) logf x x= ; b) 3( ) log ( 1)f x x= − ;

c) 1

2

( ) logf x x= ; d) 5( ) log ( 4)f x x= + .

65. Mostre que se os números positivos 1 2, , , na a a… são termos de uma progressão

geométrica, então 1 2log , log , , logb b b na a a… formam uma progressão aritmética.

Índice Remissivo

A

abscissa, 16 ângulo

radiano, 43

C

circunferência unitária, 43 conjugado, 13 conjunto

denso, 12 limitado, 11

inferiormente, 11 superiormente, 11

coordenadas, 16 corpo, 10 cota

inferior, 11 superior, 11

função, 24

D

desigualdades, 13 divisor, 8

E

elemento inverso, 8, 10 neutro, 7, 10 oposto, 8, 10

extremo de um intervalo, 15

F

fechamento, 7, 10 função

afim, 18, 23 algébrica, 41 arco cosseno, 51 arco seno, 51 bijetora, 35 composta, 36 constante, 39 contradomínio de uma, 20 cossecante, 49 cosseno, 45

propriedades, 45 cotangente, 48

propriedades, 49 crescente, 32

decrescente, 32 diferença, 22 domínio de uma, 20 escada, 24 estritamente crescente, 34 estritamente decrescente, 34 exponencial, 53 gráfico, 23 identidade, 39 imagem de uma, 20 ímpar, 28

propriedades, 29 injetiva, 34 injetora, 34 inversa, 37 limitada, 31 linear, 39 logarítmica, 55 módulo, 19 monótona, 32 não-crescente, 32 não-decrescente, 32 par, 28

propriedades, 29 periódica, 28

período, 28 polinomial, 39 produto, 22 quadrática, 18, 24 quociente, 22 racional, 40 raiz quadrada, 18 real, 18 secante, 48 seno, 45

propriedades, 45 serra, 26 sobre, 35 sobrejetiva, 35 sobrejetora, 35 soma, 22 tangente, 48

propriedades, 49 transcendente, 41

funções iguais, 21 trigonométricas, 41

G

gráfico, 23 função

afim, 23 cossecante, 50 cosseno, 48 cotangente, 50 cúbica, 24

59

escada, 24 exponencial, 54 logarítmica, 56 quadrática, 24 secante, 50 seno, 48 tangente, 50

translação, 31

I

identidade trigonométrica fundamental, 45 imagem, 20 inequações, 13 ínfimo, 11 intervalo, 15

aberto, 15 extremo de um, 15 fechado, 15

L

limitante inferior, 11 superior, 11

M

maior ou igual, 7 maior que, 7 máximo, 11 menor ou igual, 7 menor que, 7 mínimo, 11 módulo, 14

de um número complexo, 17 de um número real, 14 propriedades, 14

N

número primo, 8

números complexos, 12 inteiros, 8 irracionais, 10 naturais, 7 racionais, 8 reais, 10 transcendentes, 9

O

ordenada, 16

P

parte imaginária, 12 real, 12

plano cartesiano, 16 complexo, 17

polinômio, 39 grau de um, 39 raiz de um, 39 zero de um, 39

pontos simétricos em relação à ponto, 27 em relação à reta, 27

produto cartesiano, 16 propriedade

arquimediana, 12 associativa, 7, 10 comutativa, 7, 10 comutativa, 10 distributiva, 7, 10 do supremo, 12

R

representação cartesiana, 23 geométrica

racionais, 9 reais, 9

S

simetria axial, 27 central, 27 translacional, 26

supremo, 11

T

Teorema Fundamental da Álgebra, 39 da Aritmética, 8

translação de gráficos, 31

V

valor absoluto, 14 variável

dependente, 18 independente, 18

cÁlculo diferencial e integral funÇÕes reais de … · cálculo diferencial e integral de uma...

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