apostila a engenharia ii - parte i

Faculdade de JaguarinaEngenharia de Controle e Automao Engenharia de Alimentos Engenharia Ambiental

Matemtica para Engenharia II[Parte I Derivadas e Aplicaes]

Apostila de Exerccios e Aplicaes

Professor Miro

Trata-se de uma compilao de exerccios de derivadas. O objetivo desse material mostrar ao futuro engenheiro as possibilidades de aplicao do conceito de derivada no cotidiano desse profissional.

Matemtica para Engenharia II Prof. Miro

Unidade 1 Derivada: conceito e definioInterpretao da derivada como inclinao da reta tangente e como taxa de variao Obtendo a derivada atravs da definioUse a definio f '( x) 5, abaixo: 1) Obtenha a derivada de 2) Obtenha a derivada de 3) Obtenha a derivada de

limh 0

f ( x h) h

f ( x)

ou f '( x )

limx 0

f (x

x) x

f ( x)

para obter a derivada nos exerccios de 1 a

f ( x)

x2 .4) Obtenha a derivada de

f ( x)

x 3 . Lembrete:

f ( x) f ( x)

x 2 10 x . x2 5x 2 .

( a b) 3

a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . f ( x) x3 5 x 2 .

5) Obtenha a derivada de

A derivada como taxa de variaoO valor da derivada num ponto representa a taxa de variao (crescimento ou decrescimento) da funo neste ponto. 6) Qual a taxa de variao da funo 7) Qual a taxa de variao da funo a) b) c)

f ( x)

x 2 no ponto x 5 ?

f ( x)

x 2 10 x no ponto:

x 4? x 5? x 6?

8) Dada a funo a) b) c)

f ( x)

x 2 8 x , calcule a taxa de variao da funo f(x), nos pontos:

x 3; x 4; x 5.f ( x) x3 3x 2 2 x 1 no ponto x 1 .

9) Encontre a taxa de variao da funo

10) O grfico abaixo representa a oscilao da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela funo

f ( x)400 350 300 250 200 150 100 50

0, 25 x 2 20 x 24 , onde f ( x) a temperatura, em 0C, e x o tempo de aquecimento, em minutos.

f(x): temperatura

x: tempo10 20 30 40 50 60 70 80

a) b) c) d)

Fonte: QSRMC Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 20min? Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 60min? Em que instante a temperatura estava aumentando 6 0C por minuto? Em que instante a taxa de variao da temperatura era zero?

2



Unidade 2 Teoremas e regras de derivaoRegra do produto, regra do quociente e regra da cadeiaRegras de Derivao REGRA DO PRODUTO FUNO REGRA DO QUOCIENTE REGRA DA CADEIA

h( x )h '( x)

f ( x).g ( x)f ( x).g '( x)

h( x )h '( x)

f ( x) g ( x)f ( x ).g '( x )2

h( x )h '( x)

f ( g ( x))f '( g ( x)).g '( x)

DERIVADA

f '( x).g ( x)

f '( x).g ( x )

g ( x)

Usando as regras apropriadas de derivao, determine a derivada (derivada primeira) de cada uma das funes abaixo: 1)

h( x) ( x 2 3x)(5 x 10)

10) f (t )

120

10 t2

34

2 5 x)( x 3 2 x) 2) h( x ) ( x

11) h( x) 3)

x2 5x

v(t )

1 t4

12) f ( x)

2x 11

10

4)

f (t ) 120

10 t2

13) 14)

f ( x)f ( x)

x35

5)

h( x )

x2 5x 10 x 43x 4 2x 1 x 1 x 11 2x 4

xx71 3

15) f ( x) 16) v(t ) 17)

3

6)

w( x)

10 6t

7)

v( x)

f ( x)

16 xx2 16

8)

h( x)

18) f ( x) 19) f (t )

9)

v(t )

10 t 1

5t 2 20

20) Determine a derivada da funo f ( x)

2x 8

x2 10 x .

21) Numa indstria frigorfica, um engenheiro colocou uma pea de carne num freezer no instante t = 0 para avaliar o desempenho da mquina. Ele observou que, aps t horas, a temperatura da pea F(t), em graus centgrados, era dada por

F (t ) 30 5t

4 t 1

, 0 t

5 . Qual era a velocidade de reduo da temperatura aps 3 horas?

3



Unidade 3 Classificao de pontos crticos e valores extremos da funoMximos, mnimos e pontos de inflexo Ponto crtico Dizemos que um ponto c ponto crtico de uma funo derivvel f ( x) se f '(c) 0 . Teste da derivada segunda f ''( x) para determinao e classificao de valores extremos da funo Um ponto crtico pode ser um ponto de mximo, mnimo ou um ponto de inflexo. Dado um ponto crtico c , temos as seguintespossibilidades: Se f ''(c) Se

Se Mximos e mnimos absolutos: O maior valor da funo num intervalo chamado de mximo absoluto da funo nesse intervalo. O menor valor da funo num intervalo chamado de mnimo absoluto. 1) A funo

0 , ento c um ponto de mximo relativo (ou local) e f (c) um mximo relativo (ou local); f ''(c) 0 , ento c um ponto de mnimo relativo (ou local) e f (c) um mnimo relativo (ou local); f ''(c) 0 , ento c pode ser um ponto de mnimo, de mximo ou um ponto de inflexo.

f ( x)f(x)

x 3 6 x 2 9 x 10 est representada no grfico abaixo.

x

a) b) c) d) e) f)

f ( x) . Classifique os pontos crticos de f ( x) .Determine os pontos crticos de Classifique os valores extremos que a funo atinge nos pontos crticos. Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0, 4]? Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0.5; 3.5]? Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [-0.5; 4.5]?

2) A funof(x)

f ( x)

2 x3 21x 2 60 x 65 est representada no grfico abaixo.

x

a) b) c) d)

Determine e classifique os pontos crticos de f ( x) . Classifique os valores extremos que a funo atinge nos pontos crticos. Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [1, 6]? Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0, 7]?2

2 x 40 x , faa o que se pede: 3) Dada a funo quadrtica f ( x ) a) Determine os pontos crticos da funo. b) Classifique o valor extremo que a funo atinge no ponto crtico.4 Apostila de Exerccios e Aplicaes

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12t 60 , faa o que se pede: 4) Dada a funo quadrtica f (t ) t a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Classifique o valor extremo que a funo atinge no ponto crtico. 33 x 168 x 5 , faa o que se pede: 5) Dada a funo g ( x) 2 x a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo [3, 8]. c) Determine o valor mximo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. d) Determine o valor mnimo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. e) Faa um esboo do grfico dessa funo a partir das informaes dos itens anteriores. 6,3t 50 , faa o que se pede: 6) Dada a funo F (t ) 0,1t 1,5t a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo [2, 8]. c) Determine o valor mximo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. d) Determine o valor mnimo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. e) Faa um esboo do grfico dessa funo a partir das informaes dos itens anteriores.7) Dada a funo f ( x) a)3 2 3 2

768 6 x 2 , faa o que se pede: x

Determine e classifique os pontos crticos de

b) Considerando que o domnio da funo crtico um extremo absoluto ou relativo? Justifique. c) Qual o valor extremo que a funo assume no intervalo 8) Dada a funo A(r ) a)

f ( x) . x ]0, [ , isto , o intervalo x 0 , o valor que a funo atinge no ponto

x 0?

12000 6r 2 , faa o que se pede: r

Determine e classifique os pontos crticos de

b) Considerando que o domnio da funo crtico um extremo absoluto ou relativo? Justifique. c) Qual o valor extremo que a funo assume no intervalo 9) Determine e classifique os pontos crticos da funof(x)

A(r ) . r ]0, [ , isto , o intervalo r 0 , o valor que a funo atinge no ponto

r 0?x 3 9 x 2 27 x 10 , cujo grfico est representado abaixo.

f ( x)

x

10) Determine e classifique os pontos crticos da funo

f ( x)

x 3 6 x 2 12 x 38 .

5



Unidade 4 Derivadas de funes exponenciais e logartmicas

Tabelas de derivadas de funes exponenciais e logartmicasConsidere que

a um nmero real positivo e diferente de 1; u uma funo de x e e o nmero de Euler.

DERIVADAS DE FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA DERIVADA DA FUNO ELEMENTAR DERIVADA DA FUNO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) Funo Derivada Funo Derivada

f ( x) a xf ( x) e x

f '( x) a x n(a ) f '( x) e x1 f '( x) log a e Ou: x 1 f '( x) x n( a ) f '( x) 1 x

f ( x) a uf ( x ) eu

f '( x) a u ( n a) u ' f '( x) eu u 'u' f '( x) log a e Ou: u u' f '( x) u n(a ) f '( x) u' u

f ( x) log a x

f ( x) log a u

f ( x)

n( x)

f ( x)

n(u)

Determine a derivada primeira de cada uma das funes a seguir. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

f ( x) 2 xf ( x) 2x2

11)3x 2

f ( x)f ( x)

n(3x)n( x 2 3x 10)1 n(7 x 2 4) 2

12)

f ( x) e 2 xf ( x) f ( x) ex2

13) f ( x) 14)2

f ( x ) e3 x n( x 2 )h(t ) et n(t )3

2e3 xx 1 1

6x 7

15) 16) 17)

f ( x) e x

f ( x) log10 xf ( x) log3 (2 x2 7 x)

h( x ) ( x 3 5 x ) e 2 x

h( x) ( x 2 5 x) n( x 2 8)

f (t )

n(t )

h( x) 3 n( x)

6



Unidade 5 Derivada de funes trigonomtricasTabelas de derivadas de funes trigonomtricasDERIVADAS DE FUNES TRIGONOMTRICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA FUNO TRIGONOMTRICA ELEMENTAR FUNO TRIGONOMTRICA COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) Funo Derivada Funo Derivada

f ( x) sen( x) f ( x) cos( x) f ( x) tg ( x)f ( x) cotg(x) f ( x) sec(x) f ( x) cossec(x)

f '( x) cos( x) f '( x) sen( x)f '( x) sec 2 ( x)

f ( x) sen(u) f ( x) cos(u) f ( x) tg (u)f ( x) cotg(u) f ( x) sec(u) f ( x) cossec(u)

f '( x) cos(u) u ' f '( x) sen(u) u 'f '( x) sec 2 (u ) u '

f '( x) cossec 2 ( x) f '( x) sec( x) tg ( x) f '( x) cossec( x) cotg ( x)

f '( x) cossec 2 (u ) u ' f '( x) sec(u) tg (u) u ' f '( x) cossec(u) cotg (u) u '

Nos exerccios a seguir, determina a derivada primeira de cada uma das funes. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

f (t ) sen(t ) f (t ) cos(t )

17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

f ( x) cos(10x) f ( x) 2cos(10x)

f (t ) tg (t )f ( x) 10sen( x) f ( x) sen(10x) f ( x) sen( x)

f ( x)

5cos(2 x)

f ( x) cos(2x 4) f (t ) cos(2t / 2) / 4)

f (t ) 100 40cos(2tf ( x) ecos( x )f ( x) 10cos( x )

f ( x) 3sen(10x)f ( x) 2.sen( 2.x)

f ( x)

sen( x 2 )

f ( x) 5cos( x) ecos(5 x )sen( x) cos( x)

f ( x)

5sen(2x 3)

26) f ( x)

f ( x) 40 15sen(2x)f ( x) ( x 2 2 x) senxx sen( x)27) 28)

f ( x) sen( x) cos( x)f ( x) 4sen(5x) 7cos(3x)f ( x) sen 2 ( x)1 cos(2 x) 2 1 cos(2 x) 2

13) f ( x)

29)

14)

f ( x) e sen ( x )30)

Dica: sen 2 ( x)

sen ( x ) 15) f ( x) 3

f ( x) cos 2 ( x)Dica: cos 2 ( x)

16)

f ( x) 10cos( x)31)

f ( x) tg ( x) sec( x)

7



Unidade 6 Aplicaes de derivadas em engenhariaTaxa de variao, pontos crticos e problemas de otimizao usando derivadas1) O grfico abaixo representa a oscilao da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela funo600

f ( x)

0, 25 x 2 24 x 30 , onde f ( x) a temperatura, em 0C, e x o tempo de aquecimento, em minutos.

f(x): temperatura

500

400

300

200

100

x: tempo10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

a) b) c) d) e) f)

Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 20min? Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 60min? Em que instante a temperatura estava aumentando 40C por minuto? Em que instante a taxa de variao da temperatura era zero? Quantos minutos de aquecimento foram necessrios para se atingir a temperatura mxima? Qual foi a temperatura mxima atingida?

2) A presso num determinado tambor de ar, em funo do tempo de funcionamento do pressurizador, dada pela funo

10t 400t , onde P(t ) a presso, em libras, e t o tempo de pressurizao, em segundos. quadrtica P(t ) a) Qual a taxa de variao da presso aps 10 segundos de funcionamento do pressurizador? b) Quantos segundos de funcionamento so necessrios para a presso atingir o valor mximo? c) Qual a presso mxima atingida nesse tambor?3) Um reservatrio de gua est sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de gua restante no reservatrio,2

2

t horas aps o 60t 900 , cujo grfico est representado abaixo, onde V (t ) indica o escoamento ter comeado, dada por V (t ) t volume de gua, em metros cbicos, restante no reservatrio num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em horas.900 800 700 600 500 400 300 200 100

V(t): Volume Rest.

t: tempo5 10 15 20 25 30

a) Qual o volume de gua restante no reservatrio aps 5 horas de escoamento?

8


Matemtica para Engenharia II Prof. Mirob) Qual a taxa de variao (em metros cbicos por hora: m3/h) do volume de gua no reservatrio no instante t 5 horas? c) Qual a taxa de variao (em metros cbicos por hora: m3/h) do volume de gua no reservatrio no instante t 15 horas? d) Em que instante a taxa de variao do volume de gua era de -40 m3/h? e) Em que instante a taxa de variao do volume ser nula? O que ocorre nesse instante? Justifique. 4) Um reservatrio de gua est sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de gua restante no reservatrio,2

t minutos

96t 576 , onde V (t ) indica o volume de gua, em litros, aps o escoamento ter comeado, dada por V (t ) 4t restante no reservatrio num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em minutos. a) Qual era o volume de gua que o reservatrio continha quando comeou o escoamento? b) Qual ser o volume de gua restante no reservatrio aps 2 minutos de escoamento? c) Qual a taxa de variao do volume de gua no reservatrio no instante t 2 ? d) Em que instante a taxa de variao do volume de gua ser de -16 litros/minuto? e) Em que instante a taxa de variao do volume ser nula? O que ocorre nesse instante? Justifique.5) Numa indstria de alimentos, um determinado produto foi contaminado por um microorganismo, no instante t = 0. Sabendo que a populao

p(t )

desse microorganismo, aps t horas, dada por

p(t ) 2000.30,1t , vlida para

0 t 40 , faa o que se pede: a) Determine a derivada dessa funo. b) Determine a taxa de crescimento desse microorganismo aps 20 horas. [Use6) Se uma populao de microorganismos se multiplica de acordo com a funo horas e P(t) a populao, faa o que se pede: a) Qual a derivada dessa funo? b) Qual a taxa de crescimento dessa populao no instante t = 6 horas? [Use

n(3) 1,1 ]t

P(t ) 1800. 2 6 , onde t o tempo em

n(2) 0,7 ].

7) Na linha de produo de uma indstria, certo alimento precisa submetido a oscilaes de temperatura durante o processo de cozimento. Esta oscilao pode ser modelada pela funo trigonomtrica F (t ) 80 60Sen[( / 24)t ] , onde t o tempo decorrido, em minutos, e F(t) a temperatura, em graus Celsius, no tempo t.F(t): temperatura140

120

100

80

60

40

20

t: tempo (min)12 24 36 48 60 72

a) b) c) d) e)

Determine a derivada da funo F(t). Qual a taxa de variao da temperatura no instante t 8 min? Qual a taxa de variao da temperatura no instante t 24 min? No intervalo 36 t 60 , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura? No intervalo 12 t 36 , em que instante ocorreu a maior taxa (em mdulo) de decaimento da temperatura? Dica: faa um esboo da grfico da derivada de F(t) para responder aos itens d e e.

9


Matemtica para Engenharia II Prof. Miro8) Na linha de produo de uma indstria, certo rob executa uma tarefa repetitiva. Nesse processo, a fora aplicada sobre o brao do rob oscila ao longo de perodos iguais de tempo. Esta oscilao pode ser modelada pela funo trigonomtrica F (t ) 108 36 cos[( / 12)t ] , onde t o tempo decorrido, em segundos, e F(t) a fora, em N, no tempo t.144 F(t): fora (N)

108

72

36

t: tempo (s)6 12 18 24 30 36

a) b) c) d) e)

Determine a derivada da funo F(t). Qual a taxa de variao da fora sobre o brao do rob no instante t 6 s ? Qual a taxa de variao da temperatura no instante t 24 min? No intervalo 0 t 12 , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura? No intervalo 12 t 24 , em que instante ocorreu a maior taxa (em mdulo) de decaimento da temperatura? Dica: faa um esboo do grfico da derivada de F(t) para responder aos itens d e e.

9) A produtividade mdia diria de uma grande indstria, nos ltimos anos, variou conforme a funo F (t ) t 3 15t 2 63t 500 , onde t o tempo dado em anos (com t = 0 correspondendo ao incio do ano 2000, t = 1 correspondendo ao incio do ano 2001 e assim sucessivamente) e F(t) o nmero mdio dirio de unidades produzidas no instante t. Considere que esta aproximao seja vlida no intervalo 0 t 8 . a) Quais so os pontos crticos dessa funo? b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo 0 t 8 . c) Em que momento desse intervalo a produo mdia diria foi mxima? d) Qual foi a produo mdia diria mxima atingida nesse perodo? e) Em que momento desse intervalo a produo mdia diria foi mnima? f) Qual foi a produo mdia diria mnima atingida nesse perodo? 10) Numa indstria, so construdas caixas abertas (sem tampa) a partir de placas quadradas de papelo de 18 cm de lado. O engenheiro de produo desta fbrica planeja retirar quadrados iguais dos quatro cantos da placa, dobrando a seguir os lados, conforme modelo matemtico abaixo. No entanto, o engenheiro quer retirar quadrados de tal forma que o volume da caixa obtida seja mximo. Considerando como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado, temos o seguinte modelo matemtico do problema:x x x x

18 cmx x x x

Caixa sem tampa

18 cm

a) Expresse o volume V(x) da caixa em funo da medida x do lado do quadrado. b) Determine o domnio da funo V(x), isto , o intervalo em que ela vlida. c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja mximo. Justifique usando propriedades de derivadas e de mximos e mnimos. d) Qual o volume mximo que esta caixa atinge?

10


Matemtica para Engenharia II Prof. Miro11) Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer caixas abertas (sem tampa) a partir de pedaos quadrados de papelo de 12 cm de lado. Para isso, ele ir retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a seguir os lados. Considere como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado e faa o que se pede abaixo. a) Faa um modelo matemtico desse problema e expresse o volume V(x) da caixa em funo de x. b) Determine o domnio da funo V(x), isto , o intervalo em que ela vlida. c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja mximo. Justifique usando propriedades de derivadas e de mximos e mnimos. d) Qual o volume mximo que esta caixa atinge? 12) Uma indstria de embalagens precisa construir uma caixa fechada com base quadrada. Sabe-se que o volume da caixa deve ser de 2 litros (2.000 cm3). O material da tampa e da base custa 3 centavos por centmetro quadrado e o material para os lados custa 1,5 centavo por centmetro quadrado. a) Escreva uma funo que represente o custo total C ( x) da caixa (em centavos) em funo do lado x da base quadrada. b) Qual o domnio da funo C ( x) , isto , o intervalo em que ela vlida? c) Se voc fosse o engenheiro responsvel por este projeto, quais dimenses (lado da base e altura) voc definiria para a caixa com o objetivo de tornar o custo total do material mnimo? Explique seu raciocnio usando os conceitos e as propriedades de derivao (diferenciao). d) Qual o custo total mnimo da caixa, em reais? 13) Um engenheiro precisa construir uma caixa fechada de base quadrada com 45 litros de capacidade, isto , 45.000 cm 3. O material a ser utilizado muito caro e precisa ser otimizado. O engenheiro sabe que o material usado na tampa e na base custa 5 centavos por centmetro quadrado e que o material para os lados custa 3 centavos por centmetro quadrado. a) Escreva uma funo que represente o custo total C ( x) da caixa (em centavos) em funo do lado x da base quadrada. b) Qual o domnio da funo C ( x) , isto , o intervalo em que ela vlida? c) Se voc fosse o engenheiro responsvel por este projeto, quais dimenses (lado da base e altura) voc definiria para a caixa com o objetivo de tornar o custo total do material mnimo? Explique seu raciocnio usando os conceitos e as propriedades de derivao (diferenciao). d) Qual o custo total mnimo da caixa, em reais? 14) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilndrico com tampa e com capacidade para 250 mL (250 cm3). Observe que se utilizarmos a aproximao 3 , este volume ser de aproximadamente 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construo do recipiente, o engenheiro ir otimizar as dimenses (dimetro e altura) de tal forma que a rea total seja mnima. a) Sem usar a aproximao 3 , isto , mantendo o nas expresses at ser cancelado (se possvel), escreva a funo que representa a rea total do recipiente em funo do raio r da base; b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima? 15) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilndrico com tampa e com capacidade para 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construo do recipiente, o engenheiro ir otimizar as dimenses (dimetro e altura) de tal forma que a rea total seja mnima. a) Usando a aproximao 3 , escreva a funo que representa a rea total do recipiente em funo do raio r da base; b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima? 16) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir uma embalagem cilndrica de 6 litros (6.000 cm3) de capacidade (volume obtido pela aproximao 3 ). No tendo encontrado uma pea pronta com esse formato, ele decidiu otimizar as dimenses da embalagem a ser construda. a) Usando a aproximao 3 , escreva a funo que representa a rea total da embalagem em funo do raio r da base; b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima da embalagem?

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Matemtica para Engenharia II Prof. Miro17) A curva de torque de um motor (em cv) varia de acordo com o nmero de rotaes deste (em rpm). Suponha que, num certo experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de torque abaixo (veja grfico). No eixo x est o nmero de rotaes por minuto (rpm), em milhares - isto , a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra o torque, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funo exponencialx 2 12 x 36 6

F ( x) 180 e

Onde x o nmero de rotaes (rpm, em milhares), F(x) o torque, em cv, e e o nmero de Euler (base da funo exponencial natural).F(x): Torque(CV)

x: Rotao(rpm)

a) Qual a derivada da funo

F ( x) ?

b) Qual a taxa de variao do torque a 3000 rpm (isto , no ponto x 3 )? [Use e 2,7 ]. c) Qual o nmero de rotaes que faz com que o torque seja mximo? Justifique usando derivada. d) Qual o torque mximo que este motor atinge? 18) A curva de torque de um motor (em cv) varia de acordo com o nmero de rotaes deste (em rpm). Suponha que, num certo experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de torque abaixo (veja grfico). No eixo x est o nmero de rotaes por minuto (rpm), em milhares - isto , a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra o torque, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funo exponencialx 2 8 x 16 4

F ( x) 140 e

Onde x o nmero de rotaes (rpm, em milhares), F(x) o torque, em cv, e e o nmero de Euler (base da funo exponencial natural).F(x): Torque(CV)

x: Rotao(rpm)

a) Qual a derivada da funo

F ( x) ?

b) Qual a taxa de variao do torque a 2000 rpm (isto , no ponto x 2 )? [Use e 2,7 ]. c) Qual o nmero de rotaes que faz com que o torque seja mximo? Justifique usando derivada. d) Qual o torque mximo que este motor atinge?

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GabaritoUnidade 11) 2) 3) 4) 5)

f '( x) 2 x f '( x) 2 x 10 f '( x) 2 x 5

f '( x)

3x 2

6) 7) Respostas: a) f '(4) b) c) 8) Respostas: a) f '(3) b) c) 9)

f '( x) 3 x 2 10 x f '(5) 10 Taxa = 102 0Taxa = 2 Taxa = 0

f '(5) f '(6)

2

Taxa = -2

2 Taxa = 2 f '(4) 0 Taxa = 0 f '(5) 2 Taxa = -211

f '(1) 11

10) Respostas: f '(20) a)

b) f '(60) c) No instante x = 28 min. d) No instante x = 40 min.

10 Taxa = 100C/min. 10 Taxa = -100C/min.

Unidade 21) 2)

h '( x) 15 x 2 50 x 30 h '( x) 5 x 4 20 x3 6 x 2 20 xv '(t ) f '(t ) 4 t5 20 t3 10 x 2 8 x 20

8)

h '( x) v '(t )

2 2x 42

16) v '(t ) 17) f

9)

10 t 12

3) 4) 5)

10) f '(t )

20t t2 32

18) f 19) f 20) f

h '( x)w '( x) v '( x)

11)

h '( x) (8 x 20)( x 2 5 x)320 2 x 11 3x 2/3 1 5 x 4/5 x 4/3 7 39

10 x 46)

2

12) f '( x) 13) f '( x) 14) f '( x) 15) f '( x)

5 2x 12

2 (10 6t )2/3 2 '( x) x x '( x) x 2 16 5t '(t ) 2 5t 20 1 '( x) 2x 8

x 5 x 2 10 x

7)

2 x 12

21)

F '(3)

5, 25 , ou seja, a temperatura estava caindo 5,250C/hora.

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Matemtica para Engenharia II Prof. Miro Unidade 31) Respostas: a) {1, 3}. b) x 1 ponto de mximo relativo e x 3 ponto de mnimo relativo. c) f (1) 14 mximo relativo e f (3) 10 mnimo relativo. d) O mnimo absoluto 10 e o mximo absoluto 14. e) O mnimo absoluto 10 e o mximo absoluto 14. f) O mnimo absoluto 3.875 e o mximo absoluto 20.125. 2) Respostas: a) x 2 ponto de mnimo relativo e x 5 ponto de mximo relativo. b) f (2) 13 mnimo relativo e f (5) 40 mximo relativo. c) O mnimo absoluto 13 e o mximo absoluto 40. d) O mnimo absoluto -12 e o mximo absoluto 65. 3) Respostas: a) x 10 ponto de mximo absoluto. b) f (10) 200 valor mximo absoluto dessa funo. 4) Respostas: a) t 6 ponto de mnimo absoluto. b) f (6) 24 valor mnimo absoluto dessa funo. 5) Respostas: a) x 4 ponto de mximo relativo e x 7 ponto de mnimo relativo. b) O valor mximo absoluto da funo 277 e o mnimo absoluto 250. c) 277. d) 5. e) Grficog(x)

x

6) Respostas: a) x 3 ponto de mximo relativo e x 7 ponto de mnimo relativo. b) O valor mximo absoluto da funo 58,1 e o mnimo absoluto 54,9. c) 58,1. d) 50. e) Grfico

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Matemtica para Engenharia II Prof. MiroF(t)

t

7) Respostas: a) O ponto crtico b) No intervalo x c)

x 4 um ponto de mnimo relativo da funo. 0 , o valor extremo assumido em x 4 um mnimo absoluto, pois f "( x) 0 ou seja, a concavidade do grfico voltada para cima em todo o intervalo x 0 . O mnimo absoluto da funo no intervalo x 0 288.r 10 um ponto de mnimo relativo da funo. 0 , o valor extremo assumido em r 10 um mnimo absoluto, pois A"(r ) 0 ou seja, a concavidade do grfico voltada para cima em todo o intervalo r 0 . O mnimo absoluto da funo no intervalo r 0 1800.

para todo x

0,

8) Respostas: a) O ponto crtico b) No intervalo r c)

para todo r

0,

9) O ponto crtico 10) O ponto crtico

x 3 um ponto de inflexo da funo.x 2 um ponto de inflexo da funo.

Unidade 41) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

f '( x) 2 x n(2)f '( x) f '( x) f '( x) 2x2

3x 2

n(2) (2 x 3)

f '( x) 2.e 2 x2 x.e x2

3 x 1 11) f '( x) x10) h '( x) 12) f '( x) 13) f '( x)

(12 x 12).e

3 x2 6 x 7

f '( x)f '( x) f '( x)

2.

e( x 1)/( x 1) ( x 1) 21 x n(10)ou

2x 3 x 3x 10 7x 7 x2 42

f '( x)9)

f '(t )

1 log10 (e) , ou f '( x) x 4x 7 log3 (e) , 2 x2 7 x 4x 7 2 (2 x 7 x) n(3) 1 t

14) f '( x)

e3 x 3 n( x 2 )

2 x

n(t )15) 16)

h '(t ) et n(t )

1 t2

h '( x) e 2 x

3

(2 x 3 3x 2 10 x 5)2 x3 10 x 2 x2 8

17) h '( x)

(2 x 5) n( x 2 8)

15



Unidade 51) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

f '(t ) f '(t ) f '(t ) f '( x) f '( x) f '( x) f '( x)

cos(t ) sen(t ) sec 2 (t ) 10cos( x) 10cos(10x) cos( x) 30cos(10x)

17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24)

f '( x) 2cos( 2.x)

f f f f f f f f

'( x) 10sen(10x) '( x) 20sen(10x) '( x) 10sen(2x) '( x) 2sen(2x 4) '(t ) 2sen(2t / 2) '(t ) 80sen(2t / 4) cos( x ) '( x) sen( x) e '( x) sen( x) 10cos( x ) n(10)5 sen( x) sen(5 x) ecos(5 x )

'( x) 2 x cos( x 2 ) '( x) 10cos(2x 3) '( x) 30cos(2x) '( x) (2 x 2) sen( x) ( x 2 2 x) cos( x) sen( x) x cos( x) 13) f '( x) sen2 ( x) sen ( x ) 14) f '( x ) cos( x ) e sen ( x ) n(3) 15) f '( x ) cos( x ) 3 16) f '( x) 10sen( x) f 10) f 11) f 12) fUnidade 61) Respostas a) 140C/min b) -60C/min c) Aps 40 min d) Aps 48 min e) 48 min f) 6060C 2) Respostas a) 200 libras/seg b) 20 segundos c) 4000 libras 3) Respostas a) -50m3/h b) -30m3/h c) Aps 10h d) Aps 30h; A gua acaba , pois V(30) = 0. 4) Respostas a) 576 litros b) 400 litros c) -80 litros/min d) Aps 10 min e) Aps 12 min; A gua acaba, pois V(12) = 0. 5) Respostas

25) f '( x) 26) f '( x) 27) 28) 29) 30) 31)

1 cos2 ( x)

f '( x) sec2 ( x)

f f f f f f

'( x) '( x) '( x) '( x) '( x) '( x)

cos( x) sen( x) 20cos(5x) 21sen(3x) sen(2x) sen(2x) sec2 ( x) sec( x) tg ( x) ou sec( x) [sec( x) tg ( x)]

n(2) a) p '(t ) 300 3 b) 420 microorganismos/h7) Respostas

t /6

5 cos[( / 24)t ] 2 b) (5 / 4) 0C/min 3,9 0C/min c) (5 / 2) 0C/min 7,8 0C/mina)

F '(t )

d) No instante t = 48 min e) No instante t = 24 min 8) Respostas a) F '(t )

3 sen[( / 12)t ]

b) 3 N/s 9, 4 N/s c) 0 d) No instante t = 6 seg e) No instante t = 18 seg 9) Respostas a) {3, 7} b) Mx. Abs. = 581 e Mn. Abs. = 500 c) No incio de 2003. d) 581 unidades/dia e) No incio de 2000. f) 500 unidades/dia.

n(3) a) p '(t ) 200 3 b) 1980 microorganismos/h6) Repostas

0,1t

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Matemtica para Engenharia II Prof. Miro10) Respostas a) b) c) d)

V ( x) 4 x 3 72 x 2 324 x 0 x 9 x 3 cm 432 cm33

r 5 cm (raio da base); h 10 cm (altura) c) 150 cm2b) 15) Respostas a) b)

A(r ) 6r 2

1500 r

11) Respostas

V ( x) 4 x b) 0 x 6 c) x 2 cm d) 128 cm3a) 12) Respostas a)

48 x

2

144 x

r 5 cm (raio da base); h 10 cm (altura) c) 450 cm216) Respostas a) b)

A(r ) 6r 2

12000 r

C ( x) 6 x 2

12000 x20 cm (altura)

r 10 cm (raio da base); h 20 cm (altura) c) 1800 cm217) Respostasx2 12 x 36 6

b) x 0 c) x 10 cm (lado da base); y d) 1800 centavos = R$18,00 13) Respostas a)

F '( x) 300 e b) 405.72 cv/1000rpm c) x 6 6000 rpma) d) 180 cv 18) Respostas

( 2 x 12)

C ( x) 10 x 2

540000 x50 cm (altura)

b) x 0 c) x 30 cm (lado da base); y d) 27000 centavos = R$270,00 14) Respostas a)

F '( x) 35 e b) 51.85 cv/1000rpm c) x 4 4000 rpma) d) 140 cv

x2 8 x 16 4

( 2 x 8)

A(r ) 2 r 2

500 r

Leituras Sugeridas e RefernciasPIOVESANA, Celso Ildio; SANTOS, Valdomiro Placido, et al. MATEMTICA BSICA; Itatiba, Berto, 2009. GONALVES, M., FLEMMING, D. M. CLCULO A: FUNES, LIMITE, DERIVAO E INTEGRAO; 5a ed., So Paulo; Makron Books, 1999. LEITHOLD, L. O CLCULO COM GEOMETRIA ANALTICA; v.1, 3a ed., So Paulo; HARBRA, 1994.

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apostila a engenharia ii - parte i

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