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OPERAÇÕES ELEMENTARES, FRAÇÕES, PORCENTAGEM, REGRA DE TRÊS E TEORIA DOS CONJUNTOS

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO Apostila 1

As operações básicas na engenharia Civil 1 - Adição em R 2 - Subtração em R 3 - Multiplicação em R 4 - Divisão em R 5 - Potenciação e radiciação em R 6 - Porcentagem 7 - Regra de três.

As operações básicas e seus algoritmos são importantes para o desenvolvimento de cálculos mais complexos. Vamos retomar alguns pontos relacionados às operações elementares. Atividade adaptada do site http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=27230

Durante a construção de uma casa, constantemente os profissionais envolvidos precisam fazer cálculos de áreas, volumes, quantidade de materiais para orçar materiais.

Primeira atividade: Um exemplo simples é o cálculo da alvenaria. Quantos tijolos precisarei para

concluir a minha obra externamente?

Considere que a mesma tem as seguintes dimensões:

Dados:

• Dimensões da porta: 2,20 x 0,80 m, duas portas no total; • Dimensões da janela: 2,00 x 1,50 m, quatro janelas no total. • Dimensões dos tijolos:

Finalizado a parte referente aos cálculos do número de tijolos, você deve:

a) Acrescentar 10% do total de tijolos calculado; b) Se cada milheiro de tijolo escolhido para a construção custa R$ 500,00 qual o

custo externo da obra em tijolos. c) Os indicativos de venda para este tijolo informam que são necessários em média

15 tijolos por m², este cálculo está próximo do número encontrado em seus cálculos?

Segunda atividade:

Considere o desenho abaixo e calcule:

a) A área do piso de cerâmica (acrescentar 10% do total); b) A área de grama (acrescentar 10% do total); c) O custo de materiais (grama e cerâmica), considerando R$ 7,00 o m² da grama e

R$ 25,00 o m2 da cerâmica.

Terceira atividade

Vamos abordar um problema relacionado com as operações básicas e a construção de escadas.Consideremos A como o afastamento horizontal e H como a altura. Para um degrau teremos:

Um carpinteiro construirá uma escada de madeira. Considere uma altura a vencer de 3 m, e degraus de 15 cm de altura e 28 cm de afastamento.

1. Quantos degraus serão necessários? 2. Qual será o afastamento horizontal total? 3. Qual será o ângulo de inclinação (em relação ao solo) da escada? (esta resposta

veremos no final do semestre quando abordaremos a trigonometria, mas podem pensar como descobrir este ângulo).

Quarta atividade

A resistência e durabilidade do concreto dependem da proporção e da qualidade dos

materiais utilizados. A mistura desses materiais é chamada dosagem ou traço. Como

você pretende se formar em engenharia civil, também necessita do conhecimento dos

materiais que vai utilizar em seu dia a dia. A tabela abaixo mostra uma tabela de

dosagem de materiais para construção em suas respectivas proporções e valores.

A partir da tabela apresentada a seguir faça os cálculos e responda:

a) Cada sapata da fundação de uma residência tem a forma de um paralelepípedo

retângulo com as seguintes dimensões 2,5m x 1,0m x 1,0m, determine a

quantidade de material utilizada na sua fabricação.

b) Sabendo-se que esta residência terá 4 sapatas iguais a da letra a, calcule a

quantidade de material gasto nesta fundação.

c) Uma empresa que produz concretos recebeu uma encomenda de 12m³ de

concreto para pisos. Utilize o conhecimento de proporcionalidade e determine a

quantidade de cada ingrediente para a sua produção.

d) A tabela a seguir apresenta a proporcionalidade para o cálculo de uma

quantidade de concreto. Calcule a quantidade de material necessário para

produzir 1m³ de cada tipo de concreto.

e) A tabela a seguir mostra o preço médio do produtos utilizados na produção do

concreto. A partir destes dados calcule o valor gasto na produção de cada item

acima desconsiderando o custo da água gasta na mistura.

f) Considerando que 1m³ de areia equivale a 48 latas de 18 litros quantos m³ de

areia serão necessários para construção das sapatas.

MATERIAL BÁSICO R$

Areia média lavada m³ 52,23

Cimento CP II 32 (saco 50 kg) un 13,03

Pedra britada 1 m³ 48,07

Aplicações Traço Rendimento por saco de cimento

Para base de fundações e para contra pisos (concreto magro)

1 saco de cimento 8 latas e meia de areia 11 latas e meia de pedra 2 latas de água

14 latas ou 0,25 metros cúbicos

Concreto para fundações

1 saco de cimento 5 latas de areia 6 latas e meia de pedra 1 lata e meia de água


Concreto para pisos

1 saco de cimento 4 latas de areia 6 latas de pedra 1 lata e meia de água


Concreto para pilares, vigas, vergas, lajes e produção de pré-moldados em geral

1 saco de cimento 4 latas de areia 5 latas e meia de pedra 1 lata e um quatro de água


Atenção: 1) A lata de medida deve ser de 18 litros. 2) As pedras devem ser brita 1 ou 2.

Quinta atividade

O Custo Unitário Básico de Santa Catarina é calculado pelo Sindicato da Indústria da Construção Civil da Grande Florianópolis (Sinduscon-Florianópolis).

Os valores publicados são válidos para todo o Estado de Santa Catarina, conforme a Lei n° 4.591/64 e o disposto na NBR 12.791/92 da ABNT.

A tabela indica os valores do CUB dos últimos 13 meses em SC.

Índices Médios Mensais

Ano Mês Valor (R$)

Determine a Taxa de variação percentual de acréscimos ou decréscimos nos valores de um ano para o outro.

Taxa % Diferença entre meses

2011 Janeiro 1038.16

2010 Dezembro 1038.72

2010 Novembro 1037.67

2010 Outubro 1036

2010 Setembro 1034.48

010 Agosto 1032.1

2010 Julho 1028.15

2010 Junho 1018.26

2010 Maio 990.13

2010 Abril 987.87

2010 Março 985.95

2010 Fevereiro 985.37

2010 Janeiro 983.42

Outras atividades:

a) Preencha a tabela com as taxas percentuais de aumento ou decréscimo de cada mês.

b) Determine a variação percentual comparativo entre os meses de janeiro de 2010 e janeiro de 2011.

c) Observando a tabela identifique a maior variação ocorrida entre cada dois meses subseqüentes.

d) Observando a tabela identifique a menor variação ocorrida entre cada dois meses subseqüentes.

FRAÇÃO Fração é uma palavra que vem do latim "fractus" e significa "partido",

"quebrado", assim podemos dizer que fração é a representação das partes iguais de um todo. Veja o exemplo abaixo e perceba como identificar e utilizar uma fração.

Em uma lanchonete é vendido pedaços de pizza. A pizza inteira tem 6 pedaços iguais e custa R$ 9,00. Para que o dono dessa lanchonete descubra qual o valor que será arrecadado com cada pedaço vendido é preciso que conheça um pouco sobre fração, veja porque:

Se a pizza inteira foi dividida em 6 partes iguais e não foi vendido nenhum

pedaço, podemos fazer a representação dessa divisão em forma de fração:6

6.

Isso significa que dos seis pedaços que a pizza foi dividida ainda há os 6. A partir do momento que for vendida qualquer quantidade, por exemplo 2

pedaços, a representação irá mudar, então a fração que irá representar a parte que foi

vendida é 6

2, ou seja, dos 6 pedaços foram vendidos 2, e a representação das partes que

sobraram da pizza será 4, ou seja de 6 pedaços que a pizza possuía 6

4 ainda não foram

vendidos.

Conforme o que foi dito acima, 6

2 representa o número de pedaços vendidos,

para descobrir por quanto sai cada pedaço vendido o dono da lanchonete deve dividir o valor total da pizza pela quantidade de pedaços que ela foi repartida: Ou seja 5,169 =÷ , agora multiplicamos o valor de cada pedaço (R$1,50) pela quantidade de pedaços vendidos.

Portanto, como foi vendido apenas 6

2 da pizza dizemos que foi arrecadado

apenas R$3,00. Assim Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao

quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por b

a ou a : b.

Exemplos:

1) Na sala do primeiro semestre temos .... alunos destes há .... rapazes e .......moças. Encontre a razão entre:

a) o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) b) O número de rapazes e o total de alunos

2) Observando a tabela relacionada na quarta atividade escreva 5 exemplos de frações entre os componentes de cada traço e faça sua leitura.

GRANDEZAS ESPECIAIS

ESCALA Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

As medidas devem estar na mesma unidade.

Vejamos os exemplos de carrinho em miniatura.

a) Um automóvel em miniatura tem 19 cm e foi construído numa escala de 1cm : 24cm qual o tamanho real do automóvel.

b) Um automóvel em miniatura tem 24 cm e foi construído numa escala de 1cm : 18 cm qual o tamanho real do automóvel.

Podemos definir escala como a razão entre a medida linear do desenho e a medida linear correspondente na realidade. As distâncias expressas nos mapas, plantas e maquetes são consideradas representativas, isto é, indicam uma constante de proporcionalidade usada na transformação para a distância real. Os dados expressos nos mapas são diretamente proporcionais às distâncias na realidade.

Os mapas representam países, estados, municípios, faixas de terras, continentes, entre outras extensões de terras. Essa representação acontece de forma reduzida, mantendo as relações de tamanho, prevalecendo à proporcionalidade.

Todo mapa, maquete, planta possui uma legenda que informa o coeficiente de proporcionalidade. Vamos supor que em um mapa a informação da legenda seja a seguinte 1 cm : 500 km (Lê-se: um centímetro está para quinhentos quilômetros), ela indica que para cada centímetro de distância no mapa, corresponderá a quinhentos quilômetros na realidade. Então, se utilizarmos uma régua e medirmos a distância entre duas cidades no mapa, obtendo 2,5cm, teremos na realidade a seguinte distância:

2,5 X 500 = 1250 km. As escalas estão diretamente ligadas aos estudos da Geografia (na construção de

mapas), na Engenharia e na Arquitetura (maquetes e plantas), Navegação Marítima e Aérea, entre outras situações referentes à localização de coordenadas e cálculo de distâncias através de mapas referenciais.

Outras situações que utilizam os conceitos de razão :

A Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)

Exemplo:

1) Um carro percorre 480km em 6h. determine a velocidade média deste carro.

Velocidade = 480/6 = 80

Densidade demográfica

É a razão entre o número de habitantes e a área.

Exemplos: a) A população de Santa Catarina (senso 2000) é de 6.249.682 e sua

extensão territorial é de 95.985 km², determine a densidade demográfica de Santa Catarina.

b) Pesquise e determine a densidade demográfica do município de

Orleans. PORCENTAGEM:

As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo "%".

O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "25%" lê-se "25 por cento".

O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é uma outra forma de se escrever

0,05, 100

5ou , por exemplo.

Representações da porcentagem:

Veja as seguintes razões:

Podemos representá-las na sua forma decimal por:

E também na sua forma de porcentagens por:

Exemplos: 1) Quanto é 15% de 80?

2) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

3) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

Exercitando seus conhecimentos em geral

1) Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última quando a primeira der 175 voltas.

2) Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças de papel com 80 cm de largura cada. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1m de largura?

3) Numa cidade, 12% da população são estrangeiros . Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros , qual é a população total ?

4) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.

5) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura?

6) Uma pessoa recebe R$ 2.000,00 por 25 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais?

7) Um certo homem percorre uma via de determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 05 Km/h, ele demora 06 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma distância com uma velocidade 03 Km/h.

8) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

CONJUNTOS E SUAS APLICAÇÕES Problematizando:

Em uma pesquisa realizada sobre a preferência de dois produtos as respostas foram:

50 preferem o produto A, 35 preferem o produto B, 20 preferem os produtos A e B.

Pergunta-se:

a) Quantas pessoas responderam a pesquisa?

b) Quantas pessoas preferem apenas o produto A?

A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Em vez de usar

símbolos para representar os números, utilizava-se a comparação de conjuntos. A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem informal: é o mesmo que agrupamento, classe ou coleção. Você pode formar muitos conjuntos. Se você for colecionador de alguma coisa, a sua coleção fará parte de um conjunto.

Exemplos de conjuntos: O conjunto formado pelos estados brasileiros localizados na região Sul:

A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}. Ou ainda, o conjunto dos números pares positivos: B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}. Representação dos conjuntos Dependendo da natureza dos elementos um conjunto pode ser representado da seguinte forma:

a) Extensão: nomeando seus elementos Ex.: A = { ♠, ♣,♥, ♦} b) Compreensão: Por meio de uma propriedade que caracterize os elementos Ex.: B = { x/ x são naipes do jogo do baralho} c) Diagramas: representado os elementos dentro de uma figura fechada.

Outros exemplos: Veja a representação do conjunto das letras da palavra matemática

a) por extensão: I = { m,a,t,e,i,c} b) Compreensão I = { x/x é letra da palavra matemática}

♠. ♣. ♥. ♦.

c) Por diagramas

Vamos pensar em situações que envolvem conjuntos no contexto da engenharia civil.

A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por Cantor como um ramo novo e fundamental da matemática por seu direito.

A formalização da teoria dos conjuntos em um contexto logicamente rigoroso foi

obra dos matemáticos, Cantor, Dedekind, Hilbert, Gödel Cohen, Weierstrass e outros.

Figura mostrando: Cantor, Dedekind e Weierstrass

Na atualidade a teoria dos conjuntos apresenta aplicações no contexto além de

servir de base para o estudo de objetos matemáticos como funções, intervalos, sequências, entre outras. RELAÇÃO ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO

A relação básica entre um elemento e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x ∈ A , se porém, x não é um elemento do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos x ∉ A .

Um conjunto A fica definido ou determinado, quando se dá uma regra que permite decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A. Assim o conjunto { 1,2,3,4} = { x : x é um número inteiro positivo e x < 5}.

RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS As relações entre conjuntos chamam-se relação de inclusão, ⊄, ⊂, ⊃, ⊃. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. para indicar este fato, usa-se a notação A ⊂ B, onde lê-se A está contido em B, tem o mesmo significado afirmar que B contém A ou em símbolos B ⊃ A. Exemplos:

Seja X o conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retângulos. Todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado, logo X está contido em Y. Quando se escreve X está contido em Y não está excluída a possibilidade de X = Y pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto X, com efeito se não fosse ∅ ⊂ X, existiria algum x ∈∅ e que não pertence a X, assim, somos obrigados a admitir que ∅ ⊂ X, seja qual for o conjunto X. Exemplos: A= { x/x é letra do alfabeto} B = { x/ x é vogal} neste caso pode-se dizer que B ⊂ A ou A ⊃ B. Pois todo elemento de B é também elemento de A. Obs. Importante: Não se pode confundir a relação de pertinência inclusão pois ambas atendem situações diferentes dentro da matemática. Exemplos: Dado os conjuntos relacione adequadamente. A= {-1,0,1,2,3,4} B = {1,2,3} C = {-1,3} a) {-1, 0}....A b) 3....B c) 4.....C d) B....C e) C....A f) {2,3}........B g) C.....{1} h) ∅ ....A

Operações entre conjuntos: Um problema: Uma escola ofereceu aos alunos da primeira série cursos de informática, xadrez, e fotografia. As inscrições constam da tabela abaixo: cursos I X F I e X I e F X e F I e F e

X nenhum

inscrições 24 10 22 3 5 4 2 4 Pergunta-se:

a) Quantos alunos cursavam a 1ª série? b) Quantos optam apenas por fotografia? c) Quantos não se inscreveram no curso de xadrez? d) Quantos se inscreveram em informática ou fotografia?

1- UNIÃO ( U)

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de reunião de A e B ou união de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos AUB = {x/x ∈ A ou x ∈ B} Exemplo: 2- INTERSECÇÃO (∩)

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B }. Exemplo 3- DIFERENÇA (-) Dados dois conjuntos a e B denomina-se diferença entre A e B os elementos que são exclusivos de A e diferença entre B e A os elementos que são exclusivos de B. A – B = { x/x ∈ A e x ∉ B} Exemplo

Na disciplina de Matemática fundamental o que irá nos interessar são os conjuntos formados por números ou os conjuntos numéricos. Em especial, o conjunto dos números reais irá fundamentar o estudo dos diferentes tipos de funções que posteriormente serão abordadas nesta disciplina e nas demais disciplinas do curso. OS CONJUNTOS NUMÉRICOS E SUAS REPRESENTAÇÕES

C

1) Conjunto dos números Naturais

= { 1, 2, 3, 4, ..., n, ... } 2) Conjunto dos números inteiros = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} 3) Conjunto dos números Racionais

= {a/b: a pertence a Z, b pertence a Z, b 0}

4) Conjunto dos números irracionais

I = R –

5) Conjunto dos números reais

R = I U

6) Conjunto dos números complexos

C = { z / z = ( a,b) a, b ∈ R } Obs.: sempre que um conjunto apresentar o * significa a exclusão do zero. N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}. NA REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

I R C Obs.: O único conjunto contínuo é o conjunto dos números reais, nele podemos referenciar que na reta real todo ponto representa um número real é todo número real representas um ponto.

Os intervalos numéricos. Qual a importância de se estudar os intervalos numérico? Onde são encontrados os intervalos em nosso contexto? Você observa algum intervalo no gráfico abaixo? Se sim identifique-os.

Os intervalos são subconjuntos dos números reais Considere a reta dos números Reais A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo numérico. Quantos números há entre dois números reais quaisquer? a b

Embora num intervalo limitado é impossível determinar a quantidade de números reais que existem entre dois números reais distintos quaisquer, criando a necessidade de representar na forma de um intervalo.

Representações dos Intervalos Numéricos a) Por compreensão ou descrição: { x ∈ ℜ / -2 ≤ x ≤ 1} b) Por notação de colchetes : [ -2, 1] c) Na reta real: -2 1 No final da reta usa-se ponto fechado ou aberto, de acordo com o tipo de intervalo. Observação: as notações podem ser [a, b] para intervalo fechado e (a, b) ou ]a,b[ para intervalo aberto. Também os intervalos podem ser semi-abertos ou a direita ou a esquerda. ]a,b] semi-aberto a esquerda. [a,b[ semi-aberto a direita.

Há também os intervalos não limitados, por exemplo, A=[-1,+ ∞[

B = { x ∈ℜ/ x ≤ 5}

Operações com intervalos 1) União de Intervalos: Dados os intervalos A = [4, 9] B = [6, 12] encontre: a) A U B = [4, 12] Geometricamente tem-se:

Por compreensão ou descrição tem-se: {x ∈ℜ/ 4 ≤ x ≤ 12} 2) Intersecção de intervalos: a) A I B = [6,9] Geometricamente tem-se:

Por compreensão ou descrição tem-se: {x ∈ℜ/ 6 ≤ x ≤ 9} 3) Diferença de intervalos: a) A – B = [4,6[

Geometricamente tem-se:

Por compreensão ou descrição tem-se: {x ∈ℜ/ 4 ≤ x < 6} Atividades: Dados os intervalos A = ]2,+ ∞[ B = { x ∈ℜ/ 0 < x ≤ 3}, C = [-2, 3] encontre as operações indicadas e represente de todas as formas estudadas a) AUB b) A IC c) A – B d) C – A e) B I C

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