ap trigonometria numeros complexo
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Trigonometria e Números Complexos
Disciplina na modalidade a distância
Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa CatarinaUnisulVirtual - Educação Superior a Distância
Campus UnisulVirtualRua João Pereira dos Santos, 303Palhoça - SC - 88130-475Fone/fax: (48) 3279-1541 e3279-1542E-mail: [email protected]: www.virtual.unisul.br
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Capacitação e Apoio Pedagógico à TutoriaAngelita Marçal Flores (Coordenadora)Caroline BatistaEnzo de Oliveira MoreiraPatrícia MeneghelVanessa Francine Corrêa
Design InstrucionalDaniela Erani Monteiro Will (Coordenadora)Carmen Maria Cipriani PandiniCarolina Hoeller da Silva BoeingDênia Falcão de BittencourtFlávia Lumi MatuzawaKarla Leonora Dahse NunesLeandro Kingeski PachecoLigia Maria Soufen TumoloMárcia LochViviane BastosViviani PoyerNúcleo de Avaliação da AprendizagemMárcia Loch (Coordenadora)Cristina Klipp de OliveiraSilvana Denise Guimarães
Pesquisa e DesenvolvimentoDênia Falcão de Bittencourt (Coordenadora)Núcleo de AcessibilidadeVanessa de Andrade Manuel
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e Números Complexos.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância.
Por falar em distância, isso não significa que você estará sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
Rosana Camilo da RosaEliane Darela
Paulo Henrique Rufino
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
2ª edição revista e atualizada
Trigonometria e Números Complexos
Livro didático
Copyright © UnisulVirtual 2007 Nenhum a parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
Edição --- Livro Didático
Professores Conteudistas Rosana Cam ilo da Rosa
Eliane Darela Paulo Henrique Ru.no
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
ISBN 978-85-60694-32-7
Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual
Diagram ação Fernando Roberto Dias Zimmerm ann
Revisão Ortográfica
B2B
516.24 R69 Rosa, Rosana Camilo da Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 326 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-32-7 1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca U niversitária da U nisul
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Sumário
Palavras dos professores
Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos apresentados são de fundamental importância para sua formação profissional e são abordados de forma clara e objetiva, sempre salientando aspectos da História da Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico do Curso de Matemática Licenciatura.
É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar presente na sala de aula, logo a formação de um profissional com competência para desenvolver atividades didáticas num contexto informatizado torna-se necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares matemáticos.
Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento das atividades.
Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados com a utilização de recursos tecnológicos.
Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e conte conosco.
Profª. Eliane Darela, Msc. Prof . Paulo Henrique Rufino. Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento da disciplina. Nele, você encontrará elementos que esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos.
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação.
São elementos deste processo:
o livro didático;
o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
as atividades de avaliação (auto-avaliação, a distância e presenciais).
Carga Horária
60 horas – 4 créditos.
Ementa
Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. Números Complexos. Operações e representações dos números complexos. Trigonometria e os números complexos.
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Objetivo(s)
Geral
A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade.
Específicos
Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.
Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos.
Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.
Introduzir o conceito das funções circulares.
Reduzir arco ao 1º quadrante.
Construir, ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e ferramentas tecnológicas.
Resolver equações e inequações trigonométricas.
Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas.
Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
Compreender o conceito de números complexos.
Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss.
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Trigonometria e Números Complexos
Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.
Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica.
Conteúdo programático/objetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.
Unidades de estudo: 5
Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos
Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a resolução de problemas que envolvem situações reais.
Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria
Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à trigonometria na circunferência. Estes conceitos são fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade.
Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações gráficas.
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Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas
O estudo das relações e transformações trigonométricas será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, abordando equações e inequações trigonométricas.
Unidade 5 - Números Complexos
Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação gráfica desse número.
Agenda de atividades/ Cronograma
Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor.
Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.
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Trigonometria e Números Complexos
Atividades
Avaliação a Distância
Avaliação Presencial
Avaliação Final (caso necessário)
Demais atividades (registro pessoal)
UNIDADE 1
Estudando a Trigonometria nos Triângulos
Objetivos de aprendizagem
Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.
Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução à Trigonometria
Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo
Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
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Para início de conversa
Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra a estrada do início ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de modo indireto.
A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução de problemas que envolvem grandes distâncias como os de engenharia, navegação e astronomia.
Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma importância, será abordada no desenvolvimento das atividades.
SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria
O que é trigonometria?
Tri = três
gonos = ângulos
metria = medição
Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Você sabia...
Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º).
O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos.
Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.), também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo.
A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.
Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música.
Para compreender, acesse o site sugerido na seção ‘saiba mais’ ao final desta unidade.
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SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo
Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo.
Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:
Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 40 metros;
Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 60 metros;
Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 80 metros.
Figura 1.1: Representação da situação problema
Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três momentos considerados.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura
Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU
Logo: BSAS
CTAT
DUAU
= = → = = =3050
4575
60100
0 6, (valor
constante).
Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos por sen α.Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, para os três momentos considerados.
Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal
Temos: ABAS
ACAT
ADAU
= = → = = =4050
6075
80100
0 8, (valor
constante).
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Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e simbolizamos por cos α.Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu deslocamento na horizontal.
Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal
Temos: BSAB
CTAC
DUAD
= = → = = =3040
4560
6080
0 75, (valor
constante).
Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e simbolizamos por tg α.Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo retângulo.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Generalizando, tem-se:
Figura 1.5: Triângulo retângulo
Na figura, 1.5 tem-se:
O triângulo ABC é retângulo em A;
O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa (a);
Os lados b e c denominam-se catetos;
O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α;
O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.
Você lembra do Teorema de Pitágoras?
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:
a2=b2+c2
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Desta forma, tem-se:
sen ba
β
β
= =
=
cateto opostohipotenusa
cateto adjacentehipote
cosnnusa
cateto oposto cateto adjacente
=
= =
ca
tg bc
β
De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α.
Que tal você rever agora alguns aspectos que caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da matemática?
Retrospectiva histórica
Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real.
Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. Rapidamente, os membros desta sociedade passaram a ver números por toda a parte concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior essencialmente matemática.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.6 – PitágorasFonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op-
ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm. Capturado em 09/04/2006
Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter suas origens em outras épocas bem mais remotas.
O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.
Saiba mais
Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.
Ângulos notáveis
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria. Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao final da unidade.
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Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis em uma única tabela:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Considerando as definições das razões trigonométricas e utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos e segmentos, podemos construir uma tabela de valores trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 89º.
Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares matemáticos.
Você sabia...
Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.
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Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até o presente momento.
1) Calcule o valor de x:
Figura 1.7: Triângulo retângulo
Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar será a tangente.
tg
tg
55
553
1 4283
4
º
º
,
,
=
=
=
=
cateto opostocateto adjacentex
x
x 2284cm
2) Determine o valor de x:
Figura 1.8: Triângulo retângulo
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para encontrar a medida x.
sen cateto opostohipotenusa
sen
30
3016
12 162 16
8
º
º
=
=
=
==
x
x
xx cmm
3) Encontre o valor de x:
Figura 1.9: Triângulo retângulo
Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a razão cosseno para descobrir o valor de x.
cos cateto adjacentehipotenusa
cos
60
60 10
12
10
20
º
º
=
=
=
=
x
xx cm
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E então?
Você sentiu dificuldade para compreender os exemplos?
Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. Caso não compreenda, entre em contato com o(a) professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem).
Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, observe os problemas abaixo:
P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do mesmo projetada no solo, mede 2,4 m.
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1
Solução:
A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que corresponde a sombra do poste.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
tg cateto opostocateto adjacente
tg
68º
68º
=
= x2 4
2 475
,
, ==
=
x
x2 4
5 94,
, m
Lembre-se:
A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela trigonométrica.
Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.
P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude esta família estará?
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2
Solução:
Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família se encontra, está representada por x, sendo denotada por cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
sen cateto opostohipotenusa
sen
36º
36º 80
=
=
=
=
x
x
x
0 58880
,
447 04, m
Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.
P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º.
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3
Solução:
A situação apresentada no problema P3 está representada na figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.
tg 20º cateto opostocateto adjacente
tg 50
=
=
=
20
0 364
º
,
x
xx
x50
18 20= , m
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 + 1,50 = 19,70 metros.
Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.
Você sabia...
Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir ângulos horizontais e verticais.
Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões necessárias para uma aplicação prática.
Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...
Retrospectiva Histórica
Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação.
Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela trigonométrica.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes.
No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido um preconceito meramente especulativo: o de que os astros descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo imperfeito e não da eterna impassividade celeste.
Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo campo da matemática, a trigonometria.
Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores.
SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos.
Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade.
Você sabia...
Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.
35
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Lei dos senos
Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem do fio.
Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º.
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado
Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo.
Teorema
Em todo o triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos:
a b c
sen A sen B sen C^ ^ ^= =
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Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14:
Figura 1.14: Lei dos senos
Agora observe a resolução do problema!
10045 120
1002
23
22
2100 3
2100 3
2100 3
222
100
send
send
d
d
d
d
º º
.
=
=
=
=
=
= 664
100 62
50 6122 47
d
dd m
=
== ,
Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 122,47 metros.
Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.
37
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Existem três casos a considerar:
O triângulo ABC é retângulo;
O triângulo ABC é obtusângulo;
O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19 das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.15:
Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração
Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC respectivamente.
No triângulo retângulo AH1C, temos que
sen C sen C^
1^
= ⇒ =hb
h b1 . . [1]
No triângulo retângulo AH1B, temos que
sen B sen B^
1^
= ⇒ =hc
h c1 . . [2]
Comparando [1] e [2], temos:
b.sen C^
= c.sen B^
⇒ = sen B sen C
^ ^b c [A]
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
No triângulo retângulo BH2C, temos que
sen C sen C^
2^
= ⇒ =ha
h a2 . . [3]
No triângulo retângulo AH2B, temos que
sen A sen A^
2^
= ⇒ =hc
h c2 . . [4]
Comparando [3] e [4], temos:
a.sen C^
= c.sen A^
⇒ = sen A sen C
^ ^a c [B]
De [A] e [B] podemos concluir que:a b c
sen A sen B sen C^ ^ ^= =
Lei dos cossenos
Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir qual a extensão da ponte.
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.
39
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo ABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o teorema:
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto àquele lado, ou seja:
a b c b c A
b a c a c B
c a b a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
. . .cos
. . .cos
. . .cos
^
^
CC^
Figura 1.17: lei do cossenos
Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos: AB AC BC AC BCdd
2 2 2
2 2 2
2
2 12030 50 2 30 50 0 5900
= + −= + − −=
. . .cos º. . .( , )
++ +=
==
2500 15004900
490070
2d
dd m
Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.
Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Existem três casos a considerar:
O triângulo ABC é retângulo;
O triângulo ABC é obtusângulo;
O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde,  é reto e  é obtuso respectivamente.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.18:
Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração
Demonstração:
O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB.
Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos de acordo com a figura 1.19.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.
Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos, temos:
b2 = m2 + h2 a2 = h2 +(c-m)2
h2 = b2 - m2 [1] a2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]
Substituindo [1] em [2], temos:
a2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2
a2 = b2 + c2 -2.c.m [3]
Note no triângulo A H C ^
que temos: cos A mb
^=
Logo m = b.cos [4]
Substituindo [4] em [3], temos:
a2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ
De forma análoga, você demonstra que:
b2 = a2 + c2 -2.a.c. cos B^
.
c2 = a2 + b2 -2.a.b. cos C^
.
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Retrospectiva Histórica
Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante para o avanço do estudo da trigonometria. A forma atual da expressão do teorema dos cossenos foi estabelecida por ele.
Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg.Capturado em 16/04/06.
Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria
O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito à visualização de vários conceitos explorados no triângulo retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos o software Thales.
Síntese
Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter observado que os conteúdos abordados são muito úteis para calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os
Você poderá encontrar o software acessando o site:
http://www.unifra.br/cursos/downloads.asp?curs=25&grad=Matem%C3%A1tica&endereco=matematica
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência.
Atividades de auto-avaliação
1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.
2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?
3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)
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b)
4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:
5) Observando a seguinte figura, determine:
a) O valor de a;
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
b) O valor de b;
c) A medida do segmento AD.
6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:
7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC.
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8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.
9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?
10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C?
11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo.
12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; med( )=60º e med( )=75º.
14) Determine o valor de x na figura abaixo:
15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?
16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo?
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17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo.
18) Prove a lei dos cossenos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
19) Prove a lei dos senos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
Desafios na Trigonometria
1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?
Saiba mais
Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia, Mecânica, etc.
Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:
http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua e também a aplicação da trigonometria na construção de um túnel.
UNIDADE 2
Conceitos Básicos da Trigonometria
Objetivos de aprendizagem
Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.
Calcular a primeira determinação positiva de arcos maiores que 360º.
Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 0º a 360º.
Reduzir arco ao 1º quadrante.
Seções de estudo
Seção 1 Arcos e Ângulos
Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica
Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Seção 4 Simetrias
Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante
2
52
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Para início de conversa
Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente, na circunferência trigonométrica, também conhecida como circunferência unitária.
Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir, serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada, trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da Matemática.
SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos
Considere a circunferência na figura 2.1.
Figura 2.1: Arco de circunferência
Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de circunferência.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Temos:
O arco , em que o ponto A é a origem e B é a extremidade do arco;
o arco , em que o ponto B é a origem e A é a extremidade do arco.
Você sabia...
Arco nulo é o ponto;Arco de uma volta é a circunferência.
Ângulo Central
Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.
Observe a figura 2.2:
Figura 2.2: Ângulo Central
A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.
A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α.
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Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco.
Observe a figura 2.3:
Figura 2.3: Arcos de circunferência
Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem comprimentos diferentes, m e n respectivamente.
Unidades de medida de arcos e ângulos
Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.
Grau
Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes iguais. O grau é uma dessas 360 partes:
11360
º = da circunferência.
55
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Você sabia...
Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.11̀60
= do grau.
11̀ `60
= do minuto.
Radiano
Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura 2.4:
Figura 2.4: Radiano
Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtido será igual à do raio.
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Relação entre grau e radiano
Lembre-se que o comprimento de uma circunferência é calculado pela fórmula 2C rπ= , onde r é o raio da circunferência.
Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a seguinte relação:
360º → 2π rad ou 180º → π rad
É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três unidades:
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano π/2 π 3π/2 2π
Observação:
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o radiano:
1) Vamos converter 300º em radianos.
1803001803001830353 5
53
radx
radx
radx
radx
x rad
x rad
π
π
π
π
ππ
→
→
=
=
=
=
=
57
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Note que você deverá usar a simplificação até transformar a fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma de fração e não em forma decimal.
2) Transforme 34
radπ em graus.
Como já se viu que π rad → 180º, tem-se:
3 3.180 540 1354 4 4
radπ= = =
3) Vamos transformar 15º 30 ’ em radianos.
Primeiro, transforma-se 15º 30 ’ em minutos:
1º = 60’
15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’
Agora, transforma-se 180º também em minutos:
180º = 180.60’ = 10800’
Então, tem-se:
1080093010800
9301080
9336031
360 3131360
'
'
'
radx
rad' x
radx
radx
x rad
x rad
π
π
π
π
ππ
→
→
=
=
=
=
=
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Tudo com você!
Vá até a página de auto-avaliação e resolva as atividades referentes a este assunto.
Comprimento de arco de circunferência
Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não representa o seu comprimento, pois este depende do raio da circunferência em que esteja contido.
Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um arco 2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 7cm de raio.
Então, tem-se:
Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco de comprimento
, pode-se estabelecer:
Comprimento do arco Medida do arco
r _________________________ 1 rad
_________________________ α rad
que fornece a relação =α . r
Essa relação permite calcular o comprimento de um arco de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente, medido em radianos.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de arco de circunferência.
1) Considere a circunferência representada na figura 2.5:
Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência
Determine, em cm, o comprimento do arco , sabendo que α =3 rad.
Resolução:
=α.r
=3.6
=18 cm
2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?
34 53
1 5
.r4,5 .
,
, rad
αα
α
α
==
=
=
3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm, executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6. Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade do pêndulo. Use π=3,14.
60
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Figura 2.6: Pêndulo
Resolução:
O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm.
O ângulo α =2.35º = 70º.
Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível utilizar a medida em graus.
1807018070
187
18 7718
º radº xº radº x
radx
x rad
x rad
π
π
π
ππ
→→
=
=
=
=
Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .
=α.r7 2518175
18175 3 14
1830 53
.
. ,
, cm
π
π
=
=
=
=
61
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Verifique se você realmente compreendeu esta seção, resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação. Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu dificuldade em resolver os exercícios, procure sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção novamente.
SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica
Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma circunferência que conhecemos, só que com características específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a figura 2.7:
Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico
O centro da circunferência é O(0,0).
O raio da circunferência é unitário, r = 1.
O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são medidos a partir de A.
O sistema de coordenadas cartesianas divide a circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.
Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra sua extremidade.
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja alguns exemplos:
1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas são:
a) 130º
Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.
b) -120º
Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.
63
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
c) 5)3
c radπ
Neste exemplo, você observa que o arco de 53
radπ partiu
do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.
Arcos Côngruos
Observe as circunferências representadas na figura 2.8:
Figura 2.8: Arcos Côngruos
Você pode observar que o arco permanece com a mesma extremidade, independentemente do número de voltas completas na circunferência.
Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como:
Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, apenas, pelo número de voltas completas na circunferência.
64
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Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º.
Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º
É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta descrevermos voltas completas na circunferência.
Dessa forma, podemos escrever:
60º = 60º + 0.360º
420º = 60º + 1.360º
780º = 60º + 2.360º
Assim:
Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:
α + k. 360º, k ∈ Z
Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:
α +2kπ, k ∈ Z
É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á infinitos arcos côngruos com medidas negativas.
65
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Faça a mesma representação gráfica 2.9 para este caso. É uma boa forma de verificar se você compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.
Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad.
Acompanhe alguns exemplos:
1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 1240º.
Solução:
Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por 360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a sua primeira determinação positiva.
Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o número de voltas completas.
A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será:
β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z
2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a -1352º.
Solução:
Daí, -272º + 360º = 88º.
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º.
A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:
β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z
3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão
geral dos arcos côngruos a 113
radπ .
Solução:
Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado desmembrando-o de forma conveniente:
Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é necessário pensar em um número que seja imediatamente menor que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em um número par.
Logo, 53
radπ é a primeira determinação positiva de 113
radπ .
A expressão geral dos arcos côngruos a 113
radπ será:
β = 53π + 2 ,kπ, k ∈ Z.
67
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante onde está a extremidade dos seguintes arcos:
a) 1720º
Solução:
Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º.
Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois 270º < 280º < 360º.
b) 194π
Solução:
Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação
positiva do arco, que é 34
radπ .
Como você percebe, este arco é côngruo a 194π rad e, portanto,
ambos possuem a mesma extremidade.
Logo, o arco de 194π rad está é no 2º quadrante.
Para entender melhor, note que 34
radπ é equivalente a 135º.
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Você sabia...
Normalmente, as pessoas justificam que o raio da circunferência é r=1, porque nas definições dadas para tangente e secante, bem como nas definições de seno e cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador. Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante.
Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento do raio como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante convencionar r=1.
(Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo, Ática, 2004)
SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0
2πα< < .
Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou
ângulos maiores que 2π rad, algo impensável quando se trabalhava
com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!
Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Considere a figura 2.10:
69
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência
Então:
Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, ou seja: senx=OM”;
Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M, ou seja: cosx=OM’.
Veja por que:
Figura 2.11: Seno e Cosseno
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas na unidade 1.
Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para melhor visualização. Observe a figura 2.12:
Figura 2.12: Triângulo Retângulo
Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:
'
'1
'''
cateto opostosen xhipotenusa
MMsen xOMMMsen x
sen x MMsen x OM
=
=
=
==
cos
'cos
'cos1
cos '
cateto adjacentexhipotenusa
OMxOM
OMx
x OM
=
=
=
=
Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”.
Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a ordenada do ponto que representa a extremidade deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.
Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de ângulos negativos.
71
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas,
são eles: 30º ou 6π rad, 45º ou
4π rad e 60º ou
3π rad. Observe a
representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:
1sen6 2
36 2
cos
π
π
=
=
2sen4 2
2cos4 2
π
π
=
=
3sen3 2
1cos3 2
π
π
=
=
Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou
2π rad, 180º ou π rad,
270º ou 32π rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um
deles, representa o seno e o cosseno. Observe:
73
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e cosseno representados geometricamente.
Tabela 2.1: Valores Notáveis
x 0 (30º)6π (45º)
4π (60º)
3π (90º)
2π (180º)π 3 (270º)
2π 2 (360º)π
senx 012
22
32
1 0 -1 0
cosx 13
22
212
0 -1 0 1
Você sabia...
Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no século XVII como sendo o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.
Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e cossenos de arcos maiores que 360º.
74
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1) Calcule o valor de sen1845º.
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva:
Então, sen1845º = sen45º = 22
.
Logo, 21845º2
sen = .
2) Calcule o valor de cos(-900º).
Solução:
Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º).
Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa-se da primeira determinação positiva.
Assim: -180º + 360º = 180º.
Logo, a primeira determinação positiva é 180º.
Tem-se, então, que:
cos(-900º)=cos180º=-1
Logo, cos(-900º)=-1
3) Calcule o valor de 19sen .3π .
Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.19 18 6
3 3 3 3π π π ππ= + = +
Assim, temos que 3π
é a primeira determinação positiva de 193π .
75
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Dessa forma, 19 3sen sen3 3 2π π
= = .
Logo, 19 3sen3 2π
= .
Que tal conhecer mais sobre a história do seno?
Retrospectiva histórica
Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a “Trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram uma trigonometria que relacionava a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente a esta corda. Uma vez conhecido o valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno da metade do arco correspondente, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o
comprimento da corda subtendida por um ângulo x é x2sen2
.
Observe a figura 2.13:
Figura 2.13: Meia corda
76
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^
22
2 2
OB r
AO B xAB
xsenr
x ABsenr
=
=
=
=
Os hindus chamaram esta meia corda de jiva.
O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente, são reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar de seno. Não é incrível?
Figura 2.14: Aryabhata. Extraído do site: www.freeindia.org/dynamic_includes/images/aryabhata.jpg Acesso em 28/06/06.
Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre o Almagesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário. Surgiu então, o nome da função seno.
77
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.15: Al-Battani www.islamonline.com/cgi-bin/news_service/prof... (acesso em 28/06/06)
A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno.
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje.
SEÇÃO 4 - Simetrias
Considere a circunferência trigonométrica representada na figura 2.16:
Figura 2.16: Simetria
78
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Os pontos M1, M2, M3 e M4, vértices do retângulo M1M2M3M4, estão associados a arcos com origem no ponto A.
Os pontos M2, M3 e M4, são ditos simétricos de M1, no 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente.
Os arcos AM1, A’M2, A’M3 e AM4 são congruentes de medida α, em grau ou radiano.
Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetria existente, calcular a medida dos outros. Observe as figuras 2.17 e 2.18.
Em Grau:
Figura 2.17: Simetria em graus
Em Radiano:
Figura 2.18: Simetria em radianos
79
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Utilizando as unidades indicadas em cada circunferência trigonométrica, determine as medidas dos arcos trigonométricos simétricos na primeira volta positiva:
a)
Solução:
Veja que o arco mede 60º, e que os pontos C, D
e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , , e
são congruentes de medida 60º.
Logo, os arcos , e , serão determinados do seguinte modo:
=180º - 60º
=120º.
= 180º + 60º
= 240º.
= 360º - 60º
= 300º.
80
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b)
Solução:
Veja que o arco é 1712
π rad, e que os pontos B, C
e E são simétricos a D. Portanto, os arcos , e
são congruentes de medida 1712
π rad.
Logo, os arcos , e serão determinados do seguinte modo:
81
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
SEÇÃO 5 - Redução ao primeiro quadrante
Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria estudada, poderá determinar os valores do seno e cosseno de arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiro quadrante.
Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha com os sinais das funções seno e cosseno indicadas nas figuras 2.19 e 2.20:
Figura 2.19: Sinal do cosseno Figura 2.20: Sinal do seno
Observe a tabela 2.2:
Tabela 2.2: Sinal do seno e cosseno
Quadrante cos α sen α1º + +
2º - +
3º - -
4º + -
Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependem do quadrante a que pertence a extremidade do arco.
Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante, estamos determinando um arco do primeiro quadrante cujo seno e o cosseno são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do arco dado.
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe como se faz esta redução:
Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante:
Figura 2.21: 2º Quadrante
Perceba que, na figura 2.21, falta x para 180º. Logo, podemos afirmar que x e (180º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos.
Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante:
Figura 2.22: 3º Quadrante
Agora, perceba que, na figura 2.22, x e (180º+x) têm senos e cossenos simétricos.
83
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante:
Figura 2.23: 4º Quadrante
Veja que, na figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senos simétricos e cossenos iguais.
De modo análogo, estas reduções valem para arcos em radianos.
Acompanhe os exemplos a seguir:
1) Calcule sen150º e cos150º.
Solução:
O arco de 150º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o primeiro caso da redução:
x = 180º - 150º
x = 30º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado.
Como 150º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:1150º 30º2
sen sen= =
3cos150º cos30º2
= − = −
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 1150º2
sen = e 3cos150º2
= −
2) Obtenha sen 240º e cos 240º.
Solução:
O arco de 240º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo caso da redução:
x = 240º - 180º
x = 60º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado.
Como 240º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:3240º 60º
2sen sen= − = −
1cos 240º cos 60º2
= − = −
Logo,3240º
2sen = − e 1cos 240º .
2= − .
3) Determine sen 315º e cos 315º.
Solução:
O arco de 315º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:
x = 360º - 315º
x = 45º.
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado.
85
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Como 315º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:2315º 45º
2sen sen= − = −
2cos315º cos 45º2
= =
Logo, 2315º2
sen = − e 2cos315º .2
= .
4) Determine 7 7sen e cos6 6π π .
Solução:
O arco de 76π pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo
caso da redução:7 6
x π π= −
7 66
x π π−=
.6
x π= .
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nos auxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados.
Como 76π é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, temos:7 16 6 2
sen senπ π= − = −
7 3cos cos6 6 2π π
= − = −
Logo: 7 1 7 3cos6 2 6 2
sen e π π= − = − .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Determine 2460ºsen e cos 2460º..
Solução:
É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º.
O arco de 300º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:
x = 360º - 300º
x = 60º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxilia a obter o seno e cosseno procurado.
Como 300º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, temos:32460º 300º 60º
2sen sen sen= = − = −
1cos 2460º cos300º cos 60º2
= = =
Logo, 32460º2
sen = − e 1cos 2460º2
= .
87
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
6) Calcule o valor de 45 90 135270 2. 315
sen º sen º sen ºMsen º sen º
+ +=
+.
Solução:
Calcula-se, separadamente, cada um dos senos.
245º2
90º 1
2135º 45º2
270º 1
2315º 45º2
sen
sen
sen sen
sen
sen sen
=
=
= =
= −
= − = − .
Substituindo os valores encontrados na expressão M, tem-se:
2 2 2 21 1 2 12 2 21 2 1 221 2.
2
M+ + + +
= = = − − − −
− + −
.
Racionalizando o denominador, tem-se:2 1 1 2 2 2 1 2 1. 1
1 2 11 2 1 2M + − + − + − +
= = = = −− −− − − +
.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
1) Expresse em graus (º):
a) 53π rad
b) 43π rad
c) 76π
rad
d) 9π rad
2) Expresse em radianos (rad):
a) 20º
89
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
b) 315º
c) 120º
d) 67º30´
3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14.
4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido 14,13 km.
90
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é:
6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:
a) 1550º
b) 95
6π
rad
c) –65
6π
rad
7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:
a) -760º
91
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
b) 3120º
c) 15
2π
rad
d) 25
4π
rad
8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa.
9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 15
2π
rad.
10) Identifique quais pares de arcos são côngruos:
a) 3π
rad e 30
3π
rad
b) – 30º e 330º
92
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) 2º e 1082º
11) Determine:
) 390º) cos 1845º
5)3
) 600º) cos 480º
a senb
c sen
d sene
π
==
=
==
12) Determine o valor da expressão:
a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º
b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= 2π
.
c) C =
7sen cos 33
13sen 6
π π
π
−
93
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Desafio na Trigonometria
Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?
Síntese
Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos maiores que 90º. Estes conceitos foram ampliados, pois a trigonometria foi abordada em toda a circunferência e não apenas no triângulo retângulo.
Também conheceu uma nova medida de ângulo - o radiano, que será muito importante nas próximas unidades. Nelas, você estudará as funções trigonométricas onde os arcos trabalhados terão que estar inseridos no radiano.
Saiba mais
Sugerimos que você utilize o software Thales para visualizar, com maior precisão, as projeções do seno e cosseno na circunferência trigonométrica conforme a variação dos arcos.
Você poderá encontrar o software Thales acessando o site:
http://www.unifra.br/cursos/downloads.asp?curs=25&grad=Matem%C3%A1tica&endereco=matematica
UNIDADE 3
Estudando as Funções Trigonométricas
Objetivos de aprendizagem
Definir as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
Aplicar as funções seno e cosseno em diferentes situações problemas.
Construir o gráfico das funções trigonométricas.
Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas.
Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas para a construção dos gráficos das funções trigonométricas.
Desenvolver leituras gráficas envolvendo funções trigonométricas inversas.
Seções de estudo
Seção 1 Estudando as Funções Seno e Cosseno
Seção 2 Estudando as Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante
Seção 3 Estudando as funções trigonométricas inversas
3
96
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que as funções circulares são periódicas e que elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sangüínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficos denominados senóides e cossenóides, que serão abordados na seção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los.
Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demais funções trigonométricas, definidas em termos de seno e cosseno, bem como das funções trigonométricas inversas.
O uso de ferramentas computacionais será de grande utilidade na construção e análise de gráficos desenvolvidos nesta unidade. É importante que você reconheça a tecnologia, tão presente no nosso cotidiano, como uma ferramenta que nos auxilia no desenvolvimento de atividades, tais como construções de gráficos e cálculos sistemáticos.
SEÇÃO 1 - Estudando as Funções Seno e Cosseno
Nesta seção, você estudará as funções seno e cosseno na circunferência trigonométrica. Estas funções são periódicas de variáveis reais, por isso, são adequadas para descreverem fenômenos de natureza periódica oscilatória ou vibratória.
As aplicações destas funções não se restringem apenas aos estudos da matemática. Na Cinemática e na Dinâmica, ramos da Física que analisam os movimentos, são utilizadas na decomposição de vetores com o objetivo de descrever e explicar movimentos como: movimento oblíquo de projéteis, movimento do corpo num plano inclinado, entre outros.
97
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Você sabia...
Na natureza encontra-se uma série de fenômenos ditos periódicos, ou seja, que se repetem sem alteração cada vez que transcorre um intervalo de tempo determinado.
Como exemplo de fenômenos periódicos, é possível citar as ondas do mar, sonoras, ou mesmo ondas eletromagnéticas.
Função Seno
Observe a figura 3.1:
Figura 3.1: Função Seno
A função seno é uma função f: IR → IR que, a todo arco de medida x∈IR, associa a ordenada y do ponto P.
f(x) = senx
O domínio da função seno é D(f)=IR
A imagem da função seno, Im (f), é o intervalo [-1,1].
98
Universidade do Sul de Santa Catarina
Função Cosseno
Observe a figura 3.2:
Figura 3.2: Função Cosseno
A função cosseno é uma função f: IR → IR que a todo arco de medida x∈IR associa a abscissa x do ponto P.
f(x) = cos x
O domínio da função cosseno é D(f)=IR.
A imagem da função cosseno, Im (f), é o intervalo [-1,1].
Gráfico da Função Seno: Senóide
Seja f(x) = sen x
Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.1: Valores do seno
x -2π32π
− -π2π
− 02π
π32π
2π
sen x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0
99
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Observe o gráfico na figura 3.3:
Figura 3.3: f(x) = senx
Observando o gráfico da função f(x)=sen x, no intervalo [-2π ,2π ], tem-se que:
A função é periódica de período 2π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja, toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor.
O estudo da variação nos mostra que f(x)=sen x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1].
O domínio da função f(x)=sen x é D= [-2π ,2π ].
Nos intervalos ] [2 ,π π− − e ] [0; π , a função f(x)=sen x assume valores positivos.
100
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nos intervalos ] [,0π− e ] [; 2π π , a função f(x)=sen x assume valores negativos.
A função f(x)=sen x é crescente nos intervalos
32 ;2ππ − −
, ,2 2π π −
e 3 ;22π π
.
A função f(x)=sen x é decrescente nos intervalos
3 ;2 2π π− −
e 3;
2 2π π
.
A função f(x)=sen x é ímpar pois f(x) = -f(-x).
A função f(x)=sen x possui valor máximo quando
32
x π−= rad e
2x π
= rad.
A função f(x)=sen x possui valor mínimo quando 2
x π−=
rad e 3
2x π
= rad.
Generalizando algumas características da função f(x)= sen x tem-se:
O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a senóide ao longo do eixo x.
O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1].
A função f(x)= sen x possui valor máximo para | 2 ,
2x IR x k k Zπ π ∈ = + ∈
.
A função f(x)= sen x possui valor mínimo para 3| 2 ,2
x IR x k k Zπ π ∈ = + ∈
.
101
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Você lembra?
Você já estudou na disciplina ‘Tópicos da Matemática Elementar I’ cada uma das características das funções y=sen x e y=cos x, citadas. Assim, você deve lembrar das definições formais de função periódica, função par e ímpar. Então:
Função Periódica: Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T diferente de zero, tal que f(x+T)=f(x) para todo
x ∈D(f).
Função Par e Ímpar: Uma função f(x) é par, se para todo x no seu domínio temos f(x)=f(-x).
Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temos f(x)=-f(-x).
Gráfico da Função Cosseno: Cossenóide
Seja f(x) = cos x
Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.2: Valores do cosseno
x -2π32π
− -π2π
− 02π
π32π
2π
cos x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
102
Universidade do Sul de Santa Catarina
Agora observe o gráfico na figura 3.4:
Figura 3.4: f(x) = cos x
Observando o gráfico da função f(x)=cos x, no intervalo [-2π ,2π ], tem-se que:
A função é periódica de período 2π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja, toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x, a função cosseno assume o mesmo valor.
O estudo da variação nos mostra que f(x)=cos x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1].
O domínio da função f(x)=cos x é D= [-2π ,2π ].
Nos intervalos 32 ,2ππ − −
, ,2 2π π −
e 3 ; 22π π
a
função f(x)=cos x assume valores positivos.
Nos intervalos 32 2
,π π − − e 3;
2 2π π
, a função
f(x)=cosx assume valores negativos.
103
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
A função f(x)=cos x é crescente nos intervalos [ ];0π− e [ ], 2π π .
A função f(x)=cos x é decrescente nos intervalos [ ]2 ;π π− − e [ ]0;π .
A função f(x)=cos x é par, pois, f(x) = f(-x).
A função f(x)=cos x possui valor máximo quando 0x = rad .
A função f(x)=cos x possui valor mínimo quando x π= − rad e x π= rad.
Generalizando algumas características da função f(x)= cos x tem-se:
O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a cossenóide ao longo do eixo x.
O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1].
A função f(x)= cos x possui valor máximo para { }| 2 ,x IR x k k Zπ∈ = ∈ .
A função f(x)= cos x possui valor mínimo para { }| 2 ,x IR x k k Zπ π∈ = + ∈ .
1) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período.
) ( ) 2) ( ) 1
a f x sen xb f x sen x
= += −
a) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.3 para a elaboração do gráfico:
104
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 3.3: Valores de f(x)=2+sen x
x sen x y=2+sen x y
0 sen0=0 y=2+0 2
2π sen
2π =1 y=2+1 3
π senπ =0 y=2+0 2
32π sen 3
2π =-1 y=2+(-1) 1
2π sen 2π =0 y=2+0 2
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.5.
Figura 3.5: f(x) = 2 + sen x
D=IR;
Im=[1,3];
P=2π .
b) Solução:
Constrói-se a tabela 3.4 para a elaboração do gráfico:
105
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Tabela 3.4: Valores de f(x)=sen x -1
x senx y=senx - 1 y
0 sen0=0 y=0-1 -1
2π
sen2π
=1 y=1-1 0
π senπ =0 y=0-1 -1
32π sen 3
2π =-1 y=-1-1 -2
2π sen 2π =0 y=0-1 -1
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.6.
Figura 3.6: f(x) = sen x -1
D=IR;
Im=[-2,0];
P=2π .
106
Universidade do Sul de Santa Catarina
Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.3 no intervalo [0, 2π ], você poderá observar que f(x)=2+sen x pode ser obtida transladando-se o gráfico de y=sen x em duas unidades no sentido positivo de Oy.
Quando se compara o gráfico de f(x) = sen x-1, observa-se que ele pode ser obtido fazendo a translação de uma unidade do gráfico f(x)=sen x, no sentido negativo de Oy.
2) Construa o gráfico da função f(x)=sen2x , dê o domínio, a
imagem e o período.
Você sabia...
Multiplicando o valor de x da função y=senx por um número real, vamos observar que o período da função fica 2π dividido por este número. Por exemplo, y=sen(kx) o período
é P= .
Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.5 para a elaboração do gráfico. Para isso, calcula-se o período desta função, pois se nota que o mesmo será diferente de 2π .
Observe: P=
Como k = 12
, temos:
P=
Como o seno é uma função periódica de período 2π , basta variar o argumento x
2 num intervalo de amplitude 2π . Atribuindo
a x
2valores adequados e pertencentes ao intervalo [ ]0, 2π e
calculando x e y, temos:
107
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Tabela 3.5: Valores de ( )2xf x sen=
2x
x y=sen2x y
0 0 y=sen0 0
2π π
y=sen2π 1
π 2π y=senπ 0
32π
3π y=sen32π -1
2π 4π y=sen 2π 0
Note como é calculado o valor de x:
02
2.00
x
xx
=
==
2 22 2.
x
xx
π
ππ
=
==
2
2.2
x
xx
π
ππ
=
==
32 22 2.3
3
x
xx
π
ππ
=
==
22
2.24
x
xx
π
ππ
=
==
Na seqüência, traça-se o gráfico representado na figura 3.7.
Figura 3.7: ( )2xf x sen=
108
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período.
) cos 2) cos 4
a y xb y x
==
a) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.6 para a elaboração do gráfico.
De forma análoga à função seno, calcula-se o período da função
y= cos 2x.
Nesta função k=2, logo:2 2
2P
kπ π π= = =
Tabela 3.6: Valores de f(x)= cos 2x
2x x y=cos 2x y
0 0 y=cos 0 1
2π
4π
y=cos2π 0
π2π
y=cosπ -1
32π 3
4π
y=cos32π
0
2π π y=cos 2π 1
109
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano, representado na figura 3.8.
Figura 3.8: f(x) = cos 2x
D = IR;
Im = [-1,1];
P = π.
b) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.7 para a elaboração do gráfico.
Calculando o período da função y= cos4x, tem-se:
Nesta função k=4, logo:2 24 4 2
P π π π= = = .
110
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 3.7: Valores de f(x) = cos 4x
4x x y=cos4x y
0 0 y=cos0 1
2π
8π
y=cos2π 0
π4π
y=cos π -1
32π 3
8π
y=cos 32π 0
2π2π
y=cos 2π 1
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.9.
Figura 3.9: f(x) = cos 4x
D = IR;
Im = [-1,1];
P = 2π
.
111
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.4, observa-se que as funções ficam mais ou menos expandidas sobre o eixo x. Isto ocorre porque possuem períodos diferentes.
Pode-se concluir também que, quanto maior o valor de k, o coeficiente de x, menor é o período da função.
4) Determine apenas o sinal de cos 345π .
Solução:
cos 345π = cos 4
5π pois, 4
5π é a primeira determinação positiva de
34
5π , que é um arco do segundo quadrante.
Logo, o sinal de cos 345π será negativo.
5) Sendo sen x=5k+1, quais os valores reais de k para que esta igualdade seja verdadeira?
Solução:
Note que, de acordo com a imagem da função y=sen x, deve-se ter
1 1sen x− ≤ ≤ .
Substituindo senx por 5k+1, tem-se a seguinte inequação simultânea:-1 5 +1 1-1-1 5 1-1-2 5 0
2 0-5 52- 05
kk
k
k
k
≤ ≤≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
Logo, a solução desse problema será 2| 05
S k IR k = ∈ − ≤ ≤
.
Fique de olho nas aplicações
As funções trigonométricas, em especial as senóides, são ideais para descrever fenômenos periódicos e, normalmente, utilizam o tempo como variável independente.
112
Universidade do Sul de Santa Catarina
As ondas, de maneira geral, são fenômenos periódicos descritos por senóides.
O movimento harmônico simples é um tipo de movimento periódico muito comum, que se caracteriza pelo movimento de um corpo em trajetória retilínea, com oscilação em torno de um ponto de equilíbrio.
Os exemplos a seguir mostram a aplicação das funções trigonométricas nestes fenômenos.
1) Em um determinado dia e local, a altitude do mar é descrita pela função ( ) 0,9 0,7
6 6h t sen tπ π = + +
, cuja representação
gráfica é mostrada na figura 3.10:
Figura 3.10: Altitude do mar
Pergunta-se:
a) Quais os horários das marés mais altas e mais baixas?
b) Na maré alta, qual a altitude do mar?
c) Na maré baixa, qual a altitude do mar?
Alguns exemplos foram extraídos e adaptados do livro ‘Quanta Matemática em fascículos para o ensino médio’. Fascículo 4. Autores: Scipione di Pierro Netto e Sérgio Orsi Filho. Editora Saraiva. Ano 2000.
113
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
d) Qual é a amplitude da onda?
e) Qual o período dessa senóide?
Solução:
Analisando o gráfico, pode-se concluir que:
a) As marés altas ocorreram às 2:00 horas e às 14:00 horas e as marés baixas ocorreram às 8:00 horas e às 20:00 horas.
b) A altitude do mar, quando ocorreram as marés altas, foi de 1,6 metros.
c) Foi de 0,2 metros a altitude do mar quando ocorreram as marés baixas.
d) A amplitude, isto é, o tamanho da onda é de 0,7 metros.
A amplitude foi calculada da seguinte forma: 1,6 0,2 1,4 0,72 2−
= = .
Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma senóide é
identificar o coeficiente do seno na função ( ) 0,9 0,76 6
h t sen tπ π = + +
.
e) O período é a distância entre as duas cristas da onda (as maiores altitudes da onda). Assim sendo, o período dessa senóide é:
P = 14 - 2
P = 12 horas
2) Imagine uma corda presa a uma parede e, na outra extremidade, um garoto, a fonte harmônica, vibrando essa corda. Uma possível equação para descrever o movimento da corda provocado pelo garoto é dada por:
( ) 80 20.cos .2
y t t ππ = + −
em que y é o deslocamento vertical da onda
em cm e t é o tempo em segundos.
114
Universidade do Sul de Santa Catarina
De posse desses dados, responda:
a) Qual o gráfico da função?
b) Qual é o período da função?
c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo da função?
d) Qual é a amplitude do movimento?
Solução:
a)
Figura 3.11: Movimento da corda
115
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
b) O período é a distância entre as duas cristas da onda. Assim sendo, o período dessa cossenóide é:
P = 2,5 - 0,5
P = 2 horas
c) O ponto de máximo é P(0,5;100) e o ponto de mínimo é P(1,5;60).
d) A amplitude é de 20 centímetros.
A amplitude foi calculada da seguinte forma: 100 60 40 202 2−
= = .
Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma cossenóide é identificar o coeficiente do cosseno na função
( ) 80 20.cos .2
y t t ππ = + −
.
3) O processo rítmico da respiração pulmonar, isto é, a inspiração e a expiração apresentam ciclos periódicos em função do tempo, tal que o volume total de ar, em litros, contidos nos dois pulmões de um adulto, em condições físicas normais e em repouso, pode ser descrito por:
y(t) 2,5 0,5.cos t.3π2 = +
em que y é o volume em litros para um
ciclo expiração e inspiração e t é o tempo em segundos.
A partir dos dados, determine:
a) A representação gráfica desta situação;
b) O volume médio do pulmão desse adulto;
c) O volume do ar inspirado, isto é, a amplitude;
d) O período de um ciclo inspiração/expiração.
116
Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução:
a) A representação gráfica pode ser visualizada na figura 3.12:
Figura 3.12: Respiração pulmonar
b) O volume médio do pulmão é de 2,5 litros, pois, observando o gráfico, o volume mínimo é de 2 litros e, o máximo, de 3 litros. Fazendo a média, tem-se 2,5 litros.
c) O volume de cada inspiração, que á a amplitude, é de 0,5 litros
ou 500 ml, pois, 3 2 1 0 5 500 l2 2
, litros m−= = = .
d) O período para um ciclo é 3s. Este resultado foi encontrado fazendo a diferença entre as duas cristas.
SEÇÃO 4 - Estudando as funções tangente, cotangente, secante e cossecante
Nesta seção, você estudará as funções trigonométricas decorrentes do seno e cosseno. São elas:
117
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Tangente;
Cotangente;
Secante e cossecante.
Concentre-se e acompanhe cada uma das funções a seguir.
Função Tangente
Observe a figura 3.13:
Figura 3.13: Função tangente
Geometricamente, definimos tangente do arco a ordenada do ponto T, ou seja:
tgx=AT.
Conforme o que você estudou em semelhança de triângulos, na disciplina Geometria I, temos que o ∆ OAT é semelhante ao ∆ OM´M.
118
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, existe a proporcionalidade entre os lados correspondentes, o que permite escrever:
1 coscos
cos 0cos
AT OM"OA OM'tgx senx
xtgx. x senx
senxtgx ; ( x )x
=
=
=
= ≠
Na seqüência, você verá os valores da tangente dos ângulos notáveis.
Apresenta-se, primeiramente, a representação gráfica de cada um desses valores.
Observe as figuras 3.14 e 3.15:
Figura 3.14: Tangente dos arcos de , .6 4 3
rad rad e radπ π π
Figura 3.15: Tangente de 30 , , , 2
2 2rad rad rad rad e radπ ππ π .
119
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Observando as representações geométricas, constrói-se a tabela 3.8 com os valores notáveis da tangente.
Tabela 3.8 Valores Notáveis da Tangente
x 0 6π
4π
3π
2π π 3
2π
2 π
tgx 03
31 3 Não
existe 0 Não existe 0
Gráfico da Função Tangente: Tangentóide
Seja f(x) = tg x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.9 com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.9: Valores da tangente
x -2π32π
− -π2π
− 02π
π32π
2π
tg x 0 Não existe 0 Não
existe 0 Não existe 0 Não
existe0
Figura 3.16: f(x)=tg x
120
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observando o gráfico da função f(x)=tg x, no intervalo [-2π ,2π ], representada na figura 3.16, tem-se que:
A função é periódica de período π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [0, π ] e [π ,2π ], ou seja, toda vez que somarmos π a um determinado valor de x, a função tangente assume o mesmo valor.
Quando x tende aos valores em que a tg x não existe, o gráfico da tangente tende ao infinito positivo ou negativo.
O estudo da variação nos mostra que, no intervalo [-2π ,2π ], f(x)=tg x é sempre crescente.
O domínio da função f(x)=tg x é: 3 3 3 3( ) 2 , , , , , 22 2 2 2 2 2 2 2
D f π π π π π π π ππ π = − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪
A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.
Nos intervalos 3 32 , , , , 0, ,2 2 2 2
eπ π π ππ π π − − − − , a
função f(x)=tg x assume valores positivos.
No intervalo 3 3, , ,0 , , , 22 2 2 2
eπ π π ππ π π − − − , a
função f(x)=tg x assume valores negativos.
A função f(x)=tg x é ímpar, pois tg x=-tg (-x.)
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=tgx é D( f ) x IR|x k , k Z
2π π = ∈ ≠ + ∈
.
A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.
121
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Veja alguns exemplos:
1) Determine o valor de 11 .3
tg π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11 .
3π
Então, 11 5 3.3 3 3
tg tg tgπ π π= = − = −
Lembre-se que 5
3radπ é um arco do 4º quadrante. Tem-se,
então, que fazer a redução ao primeiro quadrante.
Logo, 11 3.3
tg π= −
2) Determine o valor de 13 .4
tg π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 13 .4π
Então, 13 5 1.4 4 4
tg tg tgπ π π= = =
Note que, novamente, foi necessário fazer redução ao primeiro quadrante.
Logo, 13 1.4
tg π=
3) Encontre o valor de 11 .tg π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11π.
Então, 11 0.tg tgπ π= =
Logo, 11 0.tg π =
122
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Calcule o valor de 253
tg π .
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 253π rad.
25 243 3 3π π π
= + .
Assim, a primeira determinação positiva é 3π rad.
Temos, então, que tg 253π =tg
3π = 3 .
Logo, tg 25
3π = 3 .
5) Qual é o domínio da função 2 ?3
y tg x π = −
Como o domínio da função y=tgx é
D( f ) x IR|x k , k Z2π π = ∈ ≠ + ∈
, tem-se:
2
22 3526
512 2
x k2
2x- k3
x k
x k
kx
π π
π π π
π π π
π π
π π
≠ +
≠ +
≠ + +
≠ +
≠ +
Logo, o domínio da função 23
y tg x π = −
é
5 kD( f ) x IR|x , k Z12 2π π = ∈ ≠ + ∈
.
123
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Função Cotangente
Observe a figura 3.17:
Figura 3.17: Função Cotangente
Geometricamente, definimos cotangente do arco a abscissa do ponto C, ou seja:
cotg x=BC.
Da semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OM’M é semelhante ao ∆ OBC.
Assim, pode-se escrever:' '
' "
cos1
cos , 0
OM MMBC OB
OM OMBC OB
x sen xBC
xBC sen xsen x
=
=
=
= ≠
Logo, tem-se coscot , ( 0)xg x sen xsen x
= ≠ .
Uma outra relação que representa a cotangente é: 1cot 0gx , (tgx )
tgx= ≠ .
124
Universidade do Sul de Santa Catarina
Gráfico da Função Cotangente
Seja f(x) = cotg x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.10, usando a relaçãocoscot , ( 0)xg x sen xsen x
= ≠ , com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.10: Valores da cotangente
x -2π32π
− -π2π
− 02π
π32π
2π
cotgx Não existe 0 Não
existe 0 Não existe 0 Não
existe 0 Não existe
Figura 3.18: f(x)=cotg x
Observando o gráfico da função f(x)=cotgx, no intervalo [-2π ,2π ], representada na figura 3.18, tem-se que:
125
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
A função é periódica de período π .
Quando x tende aos valores em que a cotg x não existe, o gráfico da cotangente tende ao infinito positivo ou negativo.
O estudo da variação nos mostra que no intervalo [-2π ,2π ], f(x)=cotg x é sempre decrescente.
O domínio da função f(x)=cotg x é ] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .
A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR.
Nos intervalos 32 , , , ,2 2π ππ π − − − −
0; 2π
e 3;
2ππ
,
a função f(x)=cotg x assume valores positivos.
No intervalo 3 , , 0 ,2 2π ππ − − −
; 2π π
e 3 ;2
2π π
a
função f(x)=cotg x assume valores negativos.
A função f(x)=cotg x é ímpar pois cotg x=-cotg (-x).
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=cotg x é { }( ) | , k ZD f x IR x kπ= ∈ ≠ ∈ .
A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR .
Acompanhe, a seguir, alguns exemplos envolvendo a cotangente.
1) Determine o valor de 37cot6
g π .
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 376π :
37 366 6 6π π π
= +
Temos que
6radπ é a primeira determinação positiva de 37 .
6π
Então: 3cos37 3 26 2cot cot 316 6 2 1
6 2
g g .sen
ππ π
π= = = = =
126
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 37cot 36
g π= .
2) Calcule o valor de 13cot4
g π .
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 134π rad.
13 8 54 4 4π π π
= + .
Assim, a primeira determinação positiva é 54π rad.
Tem-se, então, que 2cos13 5 4 2cot cot cot 1
4 4 4 24 2
g g gsen
ππ π π
π= = = = = .
Observe que:
Fizemos a redução ao primeiro quadrante.
O arco 54π rad pertence ao terceiro quadrante e, neste, a
cotangente é positiva.
Logo, 13cot 14
g π= .
3) Determine o valor de 7cot .4
g π
Solução:
Lembre-se que 74π é um arco do 4º quadrante e, neste, a
cotangente é negativa. Reduzindo ao primeiro quadrante, tem-se:
724 4π ππ − =
2cos7 4 2cot cot 14 4 2
4 2
g gsen
ππ π
π= − = − = − = −
127
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Logo, 7cot 1.4
g π= −
4) Qual é o domínio da função cot 24
y g x π = +
?
Como o domínio da função coty gx= é
{ }D( f ) x IR|x k , k Zπ= ∈ ≠ ∈ , tem-se:
Nesta função, o arco é 2 ,logo:4
2 .4
2 .4
.4
2
8 2
x k
x
x k
x k
kx
kx
ππ
π π
π π
π π
π π
≠
+
+ ≠
≠ − +
− +≠
≠ − +
kD x IR|x - , k Z8 2π π = ∈ ≠ + ∈
Conheça a origem da tangente e da cotangente.
128
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva histórica
A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto, modificava o tamanho da sombra.
Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram, inicialmente, associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides por meio da semelhança de triângulos.
As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes, por volta do ano de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi, primeiramente, usado por Edmund Gunter, em 1620, que estabeleceu o equivalente latino “cotangente de A”, que significa “tangente do complementar de A”. Em 1674, Jonas Moore criou a abreviação “cot” para cotangente.
129
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Função Secante e Função Cossecante
Observe a figura 3.19:
Figura 3.19: Secante e Cossecante
Note que, pelo ponto M passa uma reta tangente à circunferência, interceptando o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
Geometricamente, define-se:
secante do arco o segmento OS, ou seja, sec x=OS;
cossecante do arco o segmento OD, ou seja, cosec x=OD.
Utilizando semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OMS é semelhante ao ∆ OM´M.
Dessa forma:
cos 11
. cos 11
cos
'OM OMOM OS
xOS
OS x
OSx
=
=
=
=
130
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo:
1sec , (cos 0)cos
x xx
= ≠
Utilizando semelhança de triângulos, novamente temos que, o ∆OM’M é semelhante ao ∆OMD.
11
11
OD OMOM MM'OD
sen xOD . sen x
ODsen x
=
=
=
=
Logo:
1cos , ( 0)ec x sen xsen x
= ≠
Gráfico da Função Secante
Seja f(x) = sec x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.11, usando a relação
1seccos
xx
= , com x variando [ ]2 ,2π π− .
Tabela 3.11: Valores da secante
x -2π32π
− -π2π
− 02π
π32π
2π
secx 1 Não existe -1 Não
existe 1 Não existe -1 Não
existe 1
131
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Figura 3.20: f(x)=sec x
Observando o gráfico da função f(x)=sec x, representada na figura 3.20, no intervalo [ ]2 ,2π π− , tem-se que:
A função é periódica de período 2π .
O domínio da função f(x)=secx é: 3 3 3 3( ) 2 , , , , , 22 2 2 2 2 2 2 2
D f π π π π π π π ππ π = − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪
A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
A função f(x)=sec x é crescente nos intervalos 3 32 , , , , 0, , .
2 2 2 2eπ π π ππ π π − − − −
A função f(x)=sec x é decrescente nos intervalos
3 3, , ,0 , , , 22 2 2 2
eπ π π ππ π π − − − .
Nos intervalos 32 , , ,2 2 2
eπ π ππ − − −
3 ;22π π
, temos
sec x ≥ 1.
Nos intervalos 3 ,2 2π π − −
e 3; 2 2π π
, sec x ≤ -1.
A função f(x)=sec x é par, pois, sec x = sec (-x).
132
Universidade do Sul de Santa Catarina
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=sec x é D( f ) x IR | x k , k Z
2π π = ∈ ≠ + ∈
.
A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
Gráfico da Função Cossecante
Seja f(x) = cosec x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.12, usando a relação 1cos ecx
senx= , com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.12: Valores da cossecante
x -2π32π
− -π2π
− 02π
π32π
2π
cosecx Não existe 1 Não
existe -1 Não existe 1 Não
existe -1 Não existe
133
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Figura 3.21: f(x)=cosec x
Observando o gráfico da função f(x)=cosec x, no intervalo [-2π ,2π ], representada na figura 3.21’, temos que:
A função é periódica de período 2π .
O domínio da função f(x)=cosec x é:
] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .
A imagem da função f(x)=cosec x é Im (f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
A função f(x)=cosec x é crescente nos intervalos 3 3
2 2 2 2, , , , , e , .π π π ππ π π π − − − −
A função f(x)=cosec x é decrescente nos intervalos 3 32 , , ,0 , 0, , 2
2 2 2 2eπ π π ππ π − − −
.
Nos intervalos ] [ ] [2 , 0,eπ π π− − , temos cosecx ≥ 1.
Nos intervalos ] [;0π− e ] [, 2π π , cosecx ≤ -1.
A função f(x)=cosecx é ímpar, pois, cosec (-x) = -cosec x.
134
Universidade do Sul de Santa Catarina
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=cosec x é { }D(f) x IR | x k , k Zπ= ∈ ≠ ∈ .
A imagem da função f(x)=cosec x é Im(f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
Acompanhe alguns exemplos envolvendo as funções secante e cossecante.
1) Determine o valor de 9sec .2π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 92
radπ .9 82 2 2π π π
= +
A primeira determinação positiva de 92
radπ é 2
radπ .
Então: 9sec sec2 2
não existeπ π= →
Logo, 9sec2
não existeπ→ .
2) Determine o valor de 59cos .4
ec π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 59 .4π
Tem-se que 34
radπ é a primeira determinação positiva de 59 .
4radπ
Assim, 59 3cos cos cos 24 4 4
ec ec ecπ π π= = = .
Logo: 59cos 2
4ec π
= .
135
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
3) Qual é o domínio da função sec2
y x π = −
?
Como o domínio da função secy x= é
( ) x |x , k Z2
D f IR kπ π = ∈ ≠ + ∈
, tem-se:
2
Nesta função, o arco é x ,logo:2
.2 2
.2 222
x k
x k
x k
x k
x k
π π
π
π π π
π π π
π π
π π
≠ +
−
− ≠ +
≠ + +
≠ +
≠ +{ }( ) | ,D f x IR k k Zπ π= ∈ + ∈ .
4) Qual é o domínio da função cos 32
y ec x π = −
?
Nesta função, o arco é 3
2x π −
, logo:
32
32
6 3
x k
x k
x k
π π
π π
π π
− ≠
≠ +
≠ +
Logo, ( ) | ,6 3
D f x IR x k k Zπ π = ∈ ≠ + ∈
.
136
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva Histórica
Acredita-se que, por volta do final do século IX, as seis funções trigonométricas comuns já estavam bem estabelecidas e as identidades que as relacionavam estavam em plena aplicação.
O astrônomo persa Abu al-Wafa’ (al-Buzajani) (940-998), figura 3.22, trabalhou no Observatório de Bagdá, dedicando-se à teoria lunar. Ao elaborar novas tabelas astronômicas, usou as funções trigonométricas: tangente e cotangente, bem como as funções secante e cossecante, estas últimas inventadas por ele próprio.
Figura 3.22 : Abu al-Wafa’ http://astronomieantique.ifrance.com/astronomiean-tique/arabe.htm (acesso em 28/06/06).
SEÇÃO 5 - Estudando as funções trigonométricas inversas
Inicialmente, podemos dizer que é impossível determinar a função inversa para as funções trigonométricas, pois, como são funções periódicas, não são bijetoras e, portanto, não são inversíveis. Contudo, se restringirmos o domínio, podemos gerar uma nova função que possua uma inversa.
Vamos limitar o domínio a fim de tornar as funções trigonométricas bijetoras e, assim, poder definir a função inversa para cada caso.
137
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Função Arco Seno
Redefine-se a função f(x) = sen x para o domínio ,2 2π π −
e,
tem-se a função inversa da função seno como y = arc sen x, se, e somente se, sen y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1−
corresponde ,2 2
y π π ∈ − .
Observe o gráfico da função y = arc sen x, representado na figura 3.23:
Figura 3.23 : Função y = arc sen x
A partir do gráfico, na figura 3.23, tem-se as seguintes características da função
y = arc sen x:
o domínio da função é D = [-1,1];
a imagem da função é , ;2 2π π −
é crescente em todo seu domínio.
138
Universidade do Sul de Santa Catarina
Função Arco Cosseno
Da mesma forma, vamos redefinir a função f(x) = cos x para o domínio [0,π].
A função inversa da função cosseno é definida como y = arc cos x, se, e somente se, cos y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1− corresponde [ ]0,y π∈ .
Observe o gráfico da função y = arc cos x, representado na figura 3.24:
Figura 3.24: Função y = arc cos x
A partir do gráfico, na figura 3.24, tem-se as seguintes características da função
y = arc cos x:
o domínio da função é D = [-1,1];
a imagem da função é [ ]0,π ;
é decrescente em todo seu domínio.
139
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Função Arco Tangente
A função inversa da função tangente é definida como y = arc tg x, se, e somente se, tg y = x, onde, para cada x real, corresponde
,2 2
y π π ∈ − .
Observe o gráfico da função y = arc tg x, representado na figura 3.25:
Figura 3.25: Função y = arc tg x
A partir do gráfico, na figura 3.25, tem-se as seguintes características da função y = arc tg x:
o domínio da função é D = IR;
a imagem da função é ;2 2π π −
;
é crescente em todo seu domínio.
140
Universidade do Sul de Santa Catarina
Função Arco Cotangente
A função inversa da função cotangente é definida como
y = arc cotg x = 2
arc tgxπ− , onde, para cada x real, corresponde
] [0,y π∈ .
Observe o gráfico da função y = arc cotg x, representado na figura 3.26:
Figura 3.26: Função y = arc cotg x
A partir do gráfico, na figura 3.26, tem-se as seguintes características da função y = arc cotg x:
o domínio da função é D = IR;
a imagem da função é ] [0,y π∈ ;
é decrescente em todo seu domínio.
Função Arco Secante
A função inversa da função secante é definida como 1sec cosy arc x arx
= =
, onde, para cada x real, tal que 1x ≥ ,
corresponde [ ]0,y π= com y ≠ 2π .
141
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Observe o gráfico da função y = arc sec x, representado na figura 3.27:
Figura 3.27: Função y = arc sec x
A partir do gráfico, na figura 3.27, tem-se as seguintes características da função y = arc sec x:
o domínio da função é { }| | | 1 ;D x IR x= ∈ ≥
a imagem da função é [ ]0, ;2
e y ππ ≠
é crescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .
Função Arco Cosecante
A função inversa da função cossecante é definida como 1arccosy x arsenx
= =
, onde, para cada x real, tal que, 1x ≥ , corresponde ,
2 2y π π = −
com y ≠ 0.
Observe o gráfico da função y = arc cosec x, representado na figura 3.28:
142
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 3.28: Função y = arc cosec x
A partir do gráfico, na figura 3.28, tem-se as seguintes características da função y = arc cosec x:
o domínio da função é { }| | | 1 ;D x IR x= ∈ ≥
a imagem da função é , 0;2 2
e yπ π − ≠ é decrescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .
Que tal alguns exemplos?
Exemplos:
1) Qual o valor de 1sec 22
y arcsen =
?
Solução:1sec 22
y arcsen =
.
Fazendo 12
x arcsen= , deve-se procurar um arco cujo seno é igual
143
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
a 12
.
Então, o arco procurado deve ser 6
x radπ= , pois, de acordo com
a definição, o arco deve pertencer ao intervalo ,2 2π π −
.
Dessa forma, substituindo x em 1sec 22
y arcsen =
, pode-se escrever:
1 1 1sec 2 sec 2 sec 2.12 6 3 cos3 2
arcsen π ππ
= = = = =
Logo, o valor de 1sec 22
y arcsen =
é 2.
2) Qual o valor de 210. arccos2
E sen −
= ?
Solução:
210. arccos2
E sen −
=
Fazendo 2cos2
x ar −= , deve-se procurar um arco cujo cosseno é
igual a 22
− .
Então, o arco procurado deve ser 34
x radπ= , pois, de acordo com
a definição, o arco deve pertencer ao intervalo [ ]0,π .
Dessa forma, substituindo x em 210. arccos2
E sen −
= , pode-
se escrever:
210. arccos2
310.4
210.2
5 2.
E sen
E sen
E
E
π
−=
=
=
=
144
Universidade do Sul de Santa Catarina
Lembre-se que 34
radπ é um arco do 2º quadrante e foi necessário
fazer redução ao primeiro quadrante.
Logo, o valor de 210. arccos2
E sen −
= é 5 2 .
3) Sabendo que 0,125tgθ = , determine o valor de θ .
Solução:
Para resolver este problema, pode-se usar a calculadora científica. Veja:
Tem-se que:
0,125tgθ = .
Pode-se escrever:
0,125arctgθ = .
Deve-se encontrar qual o arco cuja tangente é 0,125.
Você deverá programar sua calculadora no modo rad.
Agora tecle 0,125 e, usando a segunda função na sua calculadora, tecle tan-1.
Você obtém: 0,124θ =
Logo, o ângulo procurado é 0,124θ = rad.
145
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Pesquise
Utilizando Recursos Tecnológicos na Trigonometria
No ensino da Trigonometria, o uso de softwares matemáticos pode ser muito interessante para auxiliar na construção dos gráficos das funções circulares.
Nesta unidade, os gráficos foram construídos no software GRAPH 4.1, que está disponível para download em http://www.padowan.dk/graph/.
Você conheceu e aprendeu a utilizar esse software na disciplina ‘Informática Aplicada à Educação Matemática’.
Como sugestão, indicamos novamente o software Thales, que possui um ambiente de trabalho bastante interessante, no estudo das funções trigonométricas. Com ele, é possível visualizar simultaneamente o comportamento das funções no ciclo trigonométrico e no plano cartesiano.
Atividades de auto-avaliação
1) Determine:
37)6
a tg π=
7) cot2
b g π=
5)sec4
c π − =
31) cos6
d ec π=
5)3
e tg π=
146
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Qual o sinal da expressão:
3. 03 4
5.3 6
tg tg tgy
tg tg
π π
π π
−=
− −
.
3) Determine o valor da expressão:
a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= 2π
.
b)
7sen cos 33
13tg 6
B
π π
π
−= .
4) Que número é maior: 3 5 ?4 6
tg ou tgπ π
147
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções:
) 2
) 2.cos4
) 3 2
a y sen xxb y
c y sen x
= − +
=
= −
6) Analisando os gráficos:
) 2a y sen x=
149
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Responda os itens a seguir:
a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?
b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?
c) Em que intervalo a função y=sen 2x é negativa?
d) Em que intervalo a função y=2+cos x é positiva?
e) Qual o período da função y= tg(x/2)?
7) Determine o valor de k, sabendo-se que sen x = 3k - 7.
150
Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x?
9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação
horária y(t) 4 3.cos t4π π = + +
, em que t é o tempo transcorrido,
em segundos, e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir:
a) Represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;
b) Qual o ponto de partida do corpo?
c) Qual o seu período de oscilação?
d) Qual a amplitude do movimento?
151
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
10) Determine o domínio de cada uma das funções:
( )
) 54
) cot2
) sec 3
) cos 23
a y tg x
b y g x
c y x
d y ec x
π
π
π
π
= −
= +
= −
= +
11) Qual o valor de 12. arccos2
y tg =
?
12) Encontre o valor de 32. arcsen
2y tg
=
.
152
Universidade do Sul de Santa Catarina
13) Determine o valor de 33 .
3y arctg arctg= +
Desafios na Trigonometria
1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função
315 5
12 2y(t) sen tπ π = + +
, onde t indica o tempo (em horas)
decorrido após o início da observação de y(t), à temperatura (em oC) no instante t. Determine:
a) o gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);
b) a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu, no primeiro dia de observação.
153
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
2) (Mack-SP) O valor de 3 1 353 4 2
tg arctg arcsen
−
pode ser dado por:
a) 0
b) 1
c) 12
d) -1
e) 12
−
3) O valor de 1 12 3 arcsen arccos2 2
arctg + + é:
a) 56π
b) 2π
c) 6π
d) 76π
e) π
154
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você estudou as funções trigonométricas e pôde conhecer suas características, bem como perceber suas várias aplicações nos diversos campos da ciência, principalmente nos fenômenos que envolvem periodicidade.
Você constatou que as funções trigonométricas podem ter seus domínios restringidos, de modo que gerem uma função inversível. Dessa forma, os domínios e as imagens das funções resultantes tornam-se parte de suas definições.
Lembre-se que é fundamental conhecer as funções e conseguir modelar situações práticas que as envolvem.
Na próxima unidade, você vai estudar as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações e inequações trigonométricas, que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática.
Saiba mais
Para que você aprofunde seu conhecimento na história da trigonometria, sugerimos a leitura do livro ‘Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria’. O autor é Edward Kennedy.
Com relação à periodicidade das funções, característica bastante importante das funções circulares, uma boa idéia é acessar um site de busca e analisar textos referentes a esse assunto na Internet.
UNIDADE 4
Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas
Objetivos de aprendizagem
Reconhecer as relações trigonométricas.
Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas.
Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
Resolver equações e inequações trigonométricas.
Seções de estudo
Seção 1 Relações Trigonométricas
Seção 2 Adição e Subtração de Arcos
Seção 3 Arco Duplo
Seção 4 Equações Trigonométricas
Seção 5 Inequações Trigonométricas
4
156
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Nesta unidade, você vai ter oportunidade de conhecer e trabalhar com as relações entre os valores das funções trigonométricas, denominadas relações trigonométricas.
As transformações trigonométricas serão abordadas e você também irá resolver, ainda nesta unidade, as equações e inequações trigonométricas e perceberá que, muitas vezes, torna-se necessário o uso das relações e transformações trigonométricas na resolução dessas equações.
São assuntos que enriquecerão bastante seus conhecimentos dentro da Trigonometria.
SEÇÃO 1 - Relações Trigonométricas
Entre as seis funções trigonométricas estabelecidas para o 1º quadrante, existem algumas relações que são válidas para qualquer arco e que são chamadas relações trigonométricas fundamentais.
Nesta seção, você vai conhecer as relações trigonométricas fundamentais. Seu estudo será realizado a partir das funções trigonométricas de um mesmo arco, que já foram vistas na seção anterior.
É importante saber que as relações trigonométricas fundamentais recebem este nome por serem distintas e completamente independentes umas das outras.
Elas também permitem que, dado o valor de uma das funções circulares de um arco qualquer, encontremos, se existirem, os valores das demais funções circulares do mesmo arco. Vale ressaltar que são extremamente úteis na simplificação de expressões.
As cinco relações trigonométricas fundamentais mais importantes são:
157
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
1ª Relação
Figura 4.1: 1ª Relação Trigonométrica Fundamental
Observando a figura 4.1, tem-se:
1OM =
cosOM' x=
MM' OM" senx= =
Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OM’M, tem-se:
( ) ( ) ( )2 2 2OM OM' OM"= +
( ) ( ) ( )2 2 21 cos x senx= +
2 2cos 1sen x x+ =
2ª Relação
cossenxtgx
x=
Esta relação só será válida para todo x ≠ 2
kπ π+ e k é um número inteiro.
158
Universidade do Sul de Santa Catarina
3ª Relação
coscot xgxsenx
=
Esta relação só será válida para todo x kπ≠ e k é um número inteiro.
4ª Relação
1seccos
xx
=
Esta relação só será válida para todo x ≠ 2
kπ π+ e k é um número inteiro.
5ª Relação
1cossec xsenx
=
Esta relação só será válida para todo x kπ≠ e k é um número inteiro.
Existem outras relações trigonométricas derivadas das relações fundamentais, importantes para simplificar a resolução de alguns problemas. Acompanhe:
1ª relação
Como sencos
xtgxx
= e coscotsen
xgxx
= , pode-se obter a seguinte
relação 1cot gxtgx
= , válida para todo x kπ≠ .
2ª relação
Você já viu que sen2x + cos2x = 1.
Assim, se dividir a equação por cos2x, tem-se: 2 2
2 2 2
sen cos 1cos cos cos
x xx x x
+ = , como sencos
xtgxx
= e 1seccos
xx
= .
159
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Logo, 2 2sec 1x tg x= + , válida para todo x ≠ 2
kπ π+ .
3ª relação
Sabe-se que sen2x + cos2x = 1.
Assim, dividindo a equação por sen2x, tem-se: 2 2
2 2 2
sen cos 1sen sen sen
x xx x x
+ = .
Como coscot xgxsenx
= e 1cossecsen
xx
= .
Logo, 2 21 cot cosg x ec x+ = , válida para todo x kπ≠ .
Veja a aplicação destas relações em alguns exemplos, a seguir.
1) Sabendo que 13
senx = e que 3 22
xπ π< < , determine o valor do cosx.
Solução:
Aplicando-se a relação sen2x+cos2x=1, tem-se:2 2
22
2
2
2
2
cos 1
1 cos 13
1 cos 19
1cos 19
9 1cos9
8cos9
8cos9
2 2cos .3
sen x x
x
x
x
x
x
x
x
+ =
+ =
+ =
= −
−=
=
= ±
= ±
160
Universidade do Sul de Santa Catarina
Como está sendo trabalhado um arco x do quarto quadrante, tem-se que o cosseno é positivo.
Logo, 2 2cos3
x = .
2) Se secx= 4, com 02
x π≤ ≤ , qual o valor da tgx?
Solução:
Sabendo que 1seccos
xx
= , então:sec 4
1 4cos4cos 1
1cos4
x
xx
x
=
=
=
=
Substituindo 1cos4
x = na relação 2 2cos 1sen x x+ = , tem-se:
2 2
22
2
2
2
2
cos 1
1 14
1 116
1116
16 116
1516
1516154
sen x x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
senx
senx
+ =
+ =
+ =
= −
−=
=
= ±
= ±
161
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Como o arco x é do primeiro quadrante, tem-se que o seno é positivo.
Logo, 154
sen x = .
Seguindo ao valor da tangente:
cos1541415 4.4 115.
senxtgxx
tgx
tgx
tgx
=
=
=
=
3) Se k é um número real positivo que satisfaz simultaneamente
as equações 13
ksenx += e cosx=-k, determine o valor de k.
Solução:
Utilizando a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1 tem-se:
( )
2 2
32
22
2 2
2 2
2
cos 1
1 13
2 1 192 1 9 9
9 92 1 9 9
10 2 8 0
sen x x
k k
k k k
k k k
k k kk k
+ =
+ + − =
+ ++ =
+ + +=
+ + + =
+ − =
Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se:
k’ = -1 e k” = 45
162
Universidade do Sul de Santa Catarina
Como k é um número real positivo, a solução do problema será:
k = 45
.
4) Simplifique a expressão 2
22
cot1 cot
g x sen xg x
++
.
Solução:
Fazem-se as seguintes substituições na expressão:
21 cot g x+ por 2cos ec x.
2cot g x por 2
2
cos xsen x
.
22
2
22
2
2
22
2
2 22
2
2 2
cot1 cot
cotcos
cos
1
cos1
cos 1.
g x sen xg x
g x sen xec x
xsen x sen x
sen x
x sen x. sen xsen x
x sen x
++
+
+
+
+ =
A forma simplificada da expressão 2
22
cot1 cot
g x sen xg x
++
é 1.
SEÇÃO 2 - Adição e subtração de arcos
Inicialmente, verifica-se se sen (60º+30º) é o mesmo que sen 60º+sen 30º.
163
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Tem-se que:
(60º 30º ) 90º 1sen sen+ = = e3 1 3 160º 30º
2 2 2sen sen +
+ = + = .
Vê-se então que esses valores são diferentes.
Para calcularmos o seno, o cosseno e a tangente da soma e da diferença entre os arcos, utilizam-se as transformações a seguir:
( ) .cos .cos( ) .cos .cos
cos( ) cos .cos .cos( ) cos .cos .
( )1 .
( )1 .
sen a b sen a b senb asen a b sen a b senb a
a b a b senb sen aa b a b senb sen a
tga tgbtg a btga tgb
tga tgbtg a btga tgb
• + = +• − = −• + = −• − = +
+• + =
−−
• − =+
Deduz-se a fórmula que calcula o cosseno da diferença, ou seja: cos( ) cos .cos .a b a b senb sen a− = + .
Demonstração:
Para a demonstração, deve-se lembrar que a distância entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), do plano, é dada por:
Figura 4.2: Distância entre dois pontos no plano
164
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 2 2( , ) ( ) ( )B A B Ad A B x x y y= − + −
2 2( , ) B A B Ad A B (x x ) (y y )= − + − .
Seja a figura 4.3:
Figura 4.3: Cosseno da diferença de arcos
Na circunferência trigonométrica tem-se:
os arcos a e b;
o arco a-b;
M representa a extremidade do arco a;
N representa a extremidade do arco b;
P representa a extremidade do arco a-b;
A representa a extremidade do arco nulo.
Observando a figura, conclui-se que as distâncias entre os pontos P e A, M e N são iguais.
Escreve-se então: 2 2( , ) ( , )d P A d M N=
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2P A P A M N M NX X Y Y X X Y Y− + − = − + − [1]
165
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Note que:
as coordenadas do ponto P são: P(cos(a-b), sen(a-b));
as coordenadas do ponto M são: M(cosa,sena);
as coordenadas do ponto N são: N(cosb,senb);
as coordenadas do ponto A são: A(1,0).
Assim substituindo em [1] tem-se:
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2cos( ) 1 ( ) 0 cos cosa b sen a b a b sena senb− − + − − = − + −
Desenvolvendo a equação e sabendo que:2 2( ) cos ( ) 1sen a b a b− + − = ;2 2cos 1sen a a+ = ;2 2cos 1sen b b+ = .
Para facilitar o desenvolvimento da equação, vamos nomear seus membros A e B, então:
( ) ( ) [ ] [ ]2 2 2 2cos 1 0 cos cosA a b sen a b e B a b sen a senb = − − + − − = − + − .
Desenvolvendo A, tem-se:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
cos 1 0
cos 2cos 1
2 2cos
A a b sen a b
A a b a b sen a b
A a b
= − − + − − = − − − + + −
= − −
Desenvolvendo B, tem-se:
[ ] [ ]
( )
2 2
2 2 2 2
cos cos
cos 2.cos .cos cos 2. .2 2 cos .cos .
B a b sen a senb
B a a b b sen a sen a senb sen bB a b sen a senb
= − + −
= − + + − +
= − +
Como A=B, tem-se:
( )2 2cos( ) 2 2 cos .cos .a b a b sen a senb− − = − +
166
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para simplificar a equação, divide-se por (-2):1 1cos( ) 1 (cos .cos . )
:cos( ) cos .cos .
a b a b sen a senbLogo
a b a b sen a senb
− + − = − + +
− = +
As outras três fórmulas decorrem facilmente da que foi obtida.
cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = −
Demonstração:
Substituindo b por –b tem-se:
( )cos ( ) cos .cos( ) . ( )a b a b sen a sen b− − = − + − [2]
Você deve lembrar que seno é uma função ímpar e cosseno é par.
Logo, tem-se:
( )sen b senb− = − .
cos( ) cosb b− = .
Substituindo em [2] tem-se:
cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = − .
Na seqüência, acompanhe a fórmula do seno da diferença e do seno da soma:
Seno da diferença: ( ) .cos cos .sen a b sen a b a senb− = − .
Demonstração:
Para esta demonstração, utiliza-se um teorema auxiliar:
Para todo x real, tem-se:
cos2
cos .2
x senx
sen x x
π
π
− = − =
167
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Dessa forma:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) .cos cos .
cos2
cos2
cos .cos .2 2
.cos cos . .
sen a b sen a b a senb
sen a b a b
sen a b a b
sen a b a b sen a senb
sen a b sena b a senb
π
π
π π
− = −
− = − − − = − + − = − − −
− = −
Seno da soma: ( ) .cos cos .sen a b sen a b a senb+ = + .
Demonstração:
Substituindo b por –b, tem-se:
( )( ) ( ) .cos ( ) cos . ( )sen a b sen a b sen a b a sen b+ = − − = − − − [3]
Lembre-se que seno é uma função ímpar e cosseno é par.
Logo:
( )sen b senb− = − .
cos( ) cosb b− = .
Substituindo em [3], tem-se:
( ) .cos cos .sen a b sen a b a senb+ = + .
Finalmente, acompanhe as fórmulas da tangente da soma e da diferença de dois arcos.
( )1 .tga tgbtg a b
tga tgb−
− =+
.
Demonstração:
Você já conhece a relação fundamental cossenxtgx
x= .
Na demonstração a seguir, ela será utilizada.
168
Universidade do Sul de Santa Catarina
Então, tem-se que: ( ) ( ) .cos cos .cos( ) cos .cos .sen a b sena b a senbtg a b
a b a b sena senb− −
− = =− +
.
Dividindo o numerador e o denominador por cos a . cos b, supondo diferente de zero, encontra-se:
( )( )cos( )
.cos cos .cos .cos( ) cos .cos .cos .cos
cos cos( ) .1cos .cos
( ) .1 .
sen a btg a ba b
sena b a senba btg a b a b sena senba b
sena senba btg a b sena senb
a b
tga tgbtg a btga tgb
−− =
−
−
− =+
−− =
+
−− =
+
De forma análoga, demonstra-se que: 1tga tgbtg(a b)
tga.tgb+
+ =−
.
Retrospectiva Histórica
Figura 4.4 : Ptolomeu http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/precursores.htm (acesso em 28/06/06).
169
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Ptolomeu, figura 4.4, embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas sim de cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamental 2 2cos 1sen x x+ = . Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades que, em linguagem atual, são:
( ) .cos .cos( ) .cos .cos
cos( ) cos .cos .cos( ) cos .cos .
sen x y sen x y sen y xsen x y sen x y sen y x
x y x y sen y sen xx y x y sen y sen x
• + = +• − = −• + = −• − = +
Veja alguns exemplos envolvendo a adição e subtração de arcos.
1) Calcule cos75º.
Solução:
Para calcular cos 75º pode-se escrever 75º 30º 45º= + .cos 75º cos(30º 45º )cos 75º cos30º.cos 45º 30º. 45º
3 2 1 2cos 75º . .2 2 2 2
sen sen= += −
= −
6 2cos 75º4 4
= −
6 2cos 75º .4−
=
2) Determine 15ºsen .
Solução:
Faz-se 15º = 45º - 30º.15º (45º 30º )15º 45º.cos30º 30º.cos 45º
2 3 1 215º . .2 2 2 2
sen sensen sen sen
sen
= −= −
= −
6 215º4 4
sen = −
170
Universidade do Sul de Santa Catarina
6 215º .4
sen −=
Observe que cos75º e sen15º resultaram em um mesmo valor. Isso se deve ao fato de serem arcos complementares.
3) Escreva na forma simplificada a expressão
( ) cos2
A sen x xππ = + + −
, para todo x∈IR.
Solução:
( ) cos2
cos cos cos cos2 2
0 cos 1 0 cos 1
0.
A sen x x
A sen . x senx. . x sen .senx
A . x senx.( ) . x .senxA senx senxA
ππ
π ππ π
= + + −
= + + +
= + − + += − +=
4) Qual o valor da tg15º?
Solução:
Pode-se fazer 15º=60º-45º.
171
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
t1
60 4560 451 60 45
3 1151 3 1
3 1 1 3151 3 1 3
3 9 1 3151 9
2 3 4151 34 2 315
215 2 3.
tga tgbg(a b)tga.tgb
tg º tg ºtg( º º )tg º .tg º
tg º.
tg º .
tg º
tg º
tg º
tg º
−− =
+−
− =+
−=
+
− −=
+ −
− − +=
−
−=
−− +
=−
= −
SEÇÃO 3 - Arco duplo
Nesta seção, você conhecerá as fórmulas que calculam as funções trigonométricas de um arco que é o dobro do arco cujas funções já são conhecidas.
Para calcular o seno, cosseno e tangente do arco de 2x, devem ser utilizadas as seguintes identidades:
2 2 .cossen x sen x x=2 2cos 2 cosx x sen x= −
2
221
tgxtg xtg x
=−
Acompanhe a demonstração destas identidades, aplicando as fórmulas de adição de arcos para cada uma das funções estudadas na seção anterior.
2 2 .cossen x sen x x=
172
Universidade do Sul de Santa Catarina
Demonstração:
2 ( )2 .cos .cos2 2. .cos .
sen x sen x xsen x sen x x sen x xsen x sen x x
= += +=
2 2cos 2 cosx x sen x= −
Demonstração:
2 2
cos 2 cos( )cos 2 cos .cos .cos 2 cos .
x x xx x x sen x sen xx x sen x
= += −
= −
2
221
tgxtg xtg x
=−
Demonstração:
2
2
221
2
21
22 .1
tgxtg xtg x
tg x tg(x x)tgx tgxtg x
tgx.tgxtgxtg xtg x
=−
= ++
=−
=−
Retrospectiva Histórica
Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu’l – Wafa, sabia que: 2 2 cossen x sen x . x= , embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu
cos cossen(x y) sen x . y sen y . x+ = + , fazendo x = y.
Acompanhe os exemplos!!!
173
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
1) Sendo senx= 13
e 02
x π< < , calcule:
a) sen 2x
b) cos 2x
Solução:
Inicia-se calculando o valor do cos x, utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1.
2 2
22
2
2
2
2
cos 1
1 cos 13
1 cos 19
1cos 19
9 1cos9
8cos9
8cos9
2 2cos3
2 2cos .3
sen x x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ =
+ =
+ =
= −
−=
=
= ±
= ±
=
Já sabendo o valor do cosx, resolve-se o problema proposto:
2 2 cos
1 2 22 23 3
4 22 .9
a) sen x sen x. x
sen x . .
sen x
=
=
=
174
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 2
2 2
cos 2 cos
2 2 1cos 23 3
4 2 1cos 29 9
7cos 2 .9
b) x x sen x
x
. x
x
= −
= −
= −
=
2) Dado 32
senx = , com 2
xπ π< < , determine a tg 2x.
Solução:
Primeiramente, é preciso encontrar o valor do cos x para descobrir o valor da tg x.
Utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1, tendo então:
2 2
2
2
2
2
2
2
cos 1
3 cos 12
3 cos 14
3cos 14
4 3cos4
1cos4
1cos4
1cos21cos .2
sen x x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ =
+ =
+ =
= −
−=
=
= ±
= ±
= −
175
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Você deve ter observado que o valor do cos x ficou negativo, pois se está trabalhando com um arco do 2º quadrante.
Calculando o valor da tg x, tem-se:
cos3
2123 2.
2 1
3
senxtgxx
tgx
tgx
tgx
=
=−
= −
= −
Já conhecendo a tg x, resolve-se o problema proposto utilizando-se a identidade tg2x.
( )( )2
2. 32
1 3
2 321 32 32
22 3
tg x
tg x
tg x
tg x
−=
− −
−=
−−
=−
=
Na seção a seguir você resolverá equações trigonométricas e, para isso, será necessária a utilização de todas as transformações trigonométricas estudadas nesta unidade.
SEÇÃO 4 - Equações Trigonométricas
Você já conhece os diversos tipos de equações, bem como sua importância na resolução de vários problemas.
176
Universidade do Sul de Santa Catarina
As diferentes equações possuem nomes específicos em função de suas características específicas. Por exemplo: 2 4 9x − = é denominada equação irracional, pois contém a incógnita “x” sob o radical.
Nesta seção, serão trabalhadas as equações trigonométricas que recebem este nome porque são equações em que figuram as funções trigonométricas com um arco desconhecido.
Para resolvermos as equações trigonométricas, devemos utilizar artifícios e transformações que nos permitam chegar a equações básicas do tipo senx=a, cosx=a e tgx=a, com a ∈ IR. Dessa forma, podemos obter a variável “x” conhecendo o valor de a.
Veja agora alguns exemplos de equações trigonométricas:
2
) 0)1 cos 0
) 2 2.cos
a sen xb x sen x
c sen x x
=
− + =
=
Vale ressaltar que a solução de uma equação trigonométrica é o conjunto dos valores da variável x que, caso existam, satisfazem a equação dada.
Observe como encontrar o conjunto solução de algumas equações trigonométricas:
1) Resolver a equação 12
sen x = no intervalo [ ]0,2π .
Solução:
Você já sabe que o seno é positivo no primeiro e segundo quadrante.
O arco cujo seno corresponde a 12
é 6π no primeiro quadrante e,
utilizando a simetria, pode-se encontrar o outro arco do segundo
quadrante: 56 6π ππ − = .
Observe a representação da solução na figura 4.5.
177
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Figura 4.5: 12
sen x = ; [ ]0;2π
Logo, a solução desta equação é 5,6 6
S π π =
.
2) Resolver a equação 12
sen x = , com x ∈ 0, 2π
.
Observe que está sendo resolvida a mesma equação, porém com intervalo de solução diferenciado. A figura 4.6 representa a situação do problema.
Figura 4.6: 12
sen x = ;x ∈ 0, 2π
Logo, como 16 2
sen π= , então a solução é S =
6π
.
178
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Resolver a equação 12
senx = .
Solução:
Note que, novamente, é a mesma equação que está sendo trabalhada, porém sem definir o intervalo de solução. Observe a figura 4.7:
Figura 4.7: 12
sen x =
Veja que, como não há o intervalo definido, devem-se considerar todas as possibilidades de solução, utilizando, para isso, a congruência de arcos.
Logo, a solução geral será: 5S x IR|x 2k ou x 2k , k Z
6 6π ππ π = ∈ = + = + ∈
.
Se você sentir dificuldades, volte à unidade 2 onde estudou a expressão geral dos arcos côngruos ou comunique-se com o seu tutor.
179
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
4) Resolver a equação 2 sen2x – 5 senx + 2 = 0, com x ∈ 0, 2π
.
Solução:
Como você pode observar, esta equação lembra uma equação do 2º grau e, para resolvê-la, utiliza-se sua fórmula resolutiva.
Os coeficientes da equação são:
a = 2
b = - 5
c = 2
O discriminante da equação é:
2
2
4( 5) 4.2.29
Assim:
2( 5) 9
2.25 3
4Obtemos, portanto, que:
21 .2
b ac
bsenxa
senx
senx
senx
senx
∆ = −
∆ = − −∆ =
− ± ∆=
− − ±=
±=
=
=
Como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então se deve desconsiderar sen x=2.
Logo, busca-se a solução para 12
sen x = .
Note que esta equação já foi resolvida no exemplo 2.
Portanto, x = 6π e se escreve a solução S =
6π
.
180
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Dê a solução da equação sen 2x=2cos x no intervalo [ ]0; 2π .
Solução:
Utilizando a identidade do seno do arco duplo, tem-se:2 2cos
2. .cos 2cossen x x
sen x x x=
=
Resolvendo a equação:2. .cos 2.cos 02.cos .( 1) 0.
sen x x xx sen x
− =− =
Você já sabe que o produto entre dois fatores só é nulo quando um dos fatores for zero. Dessa forma:
2.cos 0 1 0.x ou sen x= − =
Assim, tem-se duas equações para resolver:2.cos 0cos 0
xx
==
ou 1 01
sen xsen x
− ==
Encontrando a solução para cos x = 0, no intervalo dado tem-se:
2x π
= ou 32
x π= .
Encontrando a solução para sen x = 1, no intervalo dado tem-se:
2x π
= .
Logo, a solução da equação 2 2cossen x x= no intervalo [ ]0,2π é
S = 3,2 2π π
.
181
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
SEÇÃO 5 - Inequações trigonométricas
Como ocorrem com as equações, as diferentes inequações também possuem nomes específicos em função de suas características.
Nesta seção, você estudará as inequações trigonométricas que recebem este nome por serem desigualdades nas quais figuram funções trigonométricas com arcos desconhecidos.
Para resolver as inequações trigonométricas, da mesma forma que nas equações, deve-se utilizar artifícios e transformações que permitam chegar a inequações básicas do tipo
sen x<a e sen x>a, cos x<a e cos x>a, tg x<a e tg x>a, com a ∈ IR.
É importante observar que as desigualdades > e < podem ser ≥ e ≤, não interferindo no método de resolução.
Por exemplo, são inequações trigonométricas:11)2
32) cos2
3) 1
sen x
x
tg x
>
≤
>
Na resolução de inequações trigonométricas é fundamental a construção da circunferência trigonométrica representando a situação do problema.
Acompanhe alguns exemplos envolvendo inequações trigonométricas:
1) Resolver a inequação 12
sen x ≥ , com 0 < x < 2π.
Solução:
Inicialmente, marca-se sobre o eixo y (eixo dos senos), o ponto
cuja distância do centro é 12
.
Faz-se a análise para valores acima de 12
tendo em vista que 12
sen x ≥ .
182
Universidade do Sul de Santa Catarina
Traça-se uma reta paralela ao eixo x por 12
.
Na figura 4.8, você pode observar que os valores de x que
compõem a solução desta inequação estão entre 5 e 6 6π π (parte
destacada na circunferência).
Figura 4.8: 12
sen x ≥
Logo, a solução será:5|
6 6S x IR xπ π = ∈ ≤ ≤
.
2) Resolver a inequação cos x < - 22
, com 0 < x < 2π.
Solução:
Inicialmente, marca-se sobre o eixo x (eixo dos cossenos), o ponto
cuja distância do centro é - 22
.
Faz-se a análise para valores menores que - 22
tendo em vista
que cos x < - 22
.
Traça-se uma reta vertical, paralela ao eixo y por - 22
.
Na figura 4.9, você pode observar que os valores de x que
compõem a solução desta inequação estão entre 3 5 e 4 4π π
(parte destacada na circunferência).
183
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Figura 4.9: 2cos
2x < −
Logo, a solução será:3 5|4 4
S x IR xπ π = ∈ < <
.
3) Qual é a solução da inequação 3tg x > no intervalo [ ]0,2π ?
Solução:
Figura 4.10: tgx 3>
184
Universidade do Sul de Santa Catarina
Inicialmente, consideram-se os valores de x onde a tg x existe:
Para os valores reais de x tais que 2
x π≠ e 3
2x π
≠ a tg x existe.
Traça-se o eixo das tangentes e marca-se 3 que corresponde a
tg3π .
Observando a figura 4.10 e utilizando a simetria, encontra-se o
arco 43π para o qual a tangente também é 3 .
Tem-se que: 3tg x > .
Logo, a solução será:4 3
3 2 3 2S x IR | x ou xπ π π π = ∈ < < < <
.
Síntese
Nesta unidade você aprendeu a trabalhar com as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações trigonométricas que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática.
Você pôde observar que não existe um modo único de resolver equações trigonométricas, mas que devemos reduzi-las a equações do tipo sen x = a , cos x = b ou tg x.
Com o estudo desta unidade, você pôde perceber que, para encontrar a solução de inequações trigonométricas, precisa-se das equações trigonométricas, bem como selecionar os arcos que satisfazem a desigualdade do problema.
Na próxima unidade, você vai estudar os Números Complexos, mas só siga em frente após conferir todas as suas atividades de auto-avaliação, esclarecendo suas dúvidas com o professor tutor.
185
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Atividades de auto-avaliação
1) Sabendo que 12
sen x = e que 3x2ππ < < , determine o valor de
cos x.
2) Sabe-se que 35
sen x = − e 3 22
xπ π< < . Qual o valor da cotg x?
3) Sabendo que 3
2sen x = e
2xπ π< < , determine o valor da expressão
2 2sec cos .x x+
4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cossen x x= − e que
2
xπ π< < ?
186
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Se 5sec3
x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
( )2 216 cot cosA g x ec x= + .
6) Se 13
sen x = , com 0 ≤ x ≤ 2π , calcule o valor da expressão
cotsec costgx gxy
x x+
=−
.
7) Calcule o valor de 2cos cossec .sec
1ec x x xy
tgx−
=−
, dado 14
sen x = .
8) Se 5sec3
x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
2 225.cos 16.cot .A x g x= −
187
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
9) Determine:
) 105º) 75º)cos15º
a senb tgc
===
10) Sabendo que 35
sen x = e que 2
xπ π< < , calcule o valor de
cos
3xπ +
.
11) Calcule o valor numérico da expressão
cos( 30º ) cos( 30º )cos( 30º ) (30º )
x xyx sen x
+ + −=
+ + −.
12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º )y x x= + + − .
188
Universidade do Sul de Santa Catarina
13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x
14) Sabendo que 1cos3
x = , calcular cos 2 .x
15) Se 1cos2
sen x x− = , calcule o valor de 2 .sen x
16) Sendo 1cot2
g x = , calcule 2 .tg x
17) Sendo 21 cos 2 2.cosE x x= − + , calcular 2 3E E E+ + .
189
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?
19) Se cot 4tg x g x+ = , quanto vale 2sen x ?
20) Sendo 45ºa b+ = e 23
tg a = , calcule tg b .
21) Resolver a equação 2 2 0sen x sen x+ − = para 0 2x π≤ ≤ .
22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .
190
Universidade do Sul de Santa Catarina
23) Determine o conjunto solução da equação 2 0sen x sen x− = sendo 0 x .π≤ ≤
24) Resolva em IR a equação:
2
3 3 2sen x sen xπ π + + − =
.
25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintes inequações:
12
2cos2
1
3cos2
a) sen x
b) x
c) tg x
d) x
< −
≥ −
≤
<
191
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Desafios na Trigonometria
1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 2x π≤ ≤ , tais que ( )2cos 1sen x x+ = é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) maior que 5
2) No intervalo 0 2x π≤ < , a equação 2cos
1x sen x
sen x=
+, apresenta
exatamente:
a) Uma única solução.
b) Duas soluções.
c) Três soluções.
d) Quatro soluções.
e) Cinco soluções.
192
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você ficou interessado em conhecer outras equações trigonométricas, recomenda-se que faça uma busca na Internet. Como sugestão, acesse o site:
http://www.algosobre.com.br/ler.asp?conteudo=401&Titulo=Trigonometria%20%5BEqua%C3%A7%C3%B5es%20Trigonom%C3%A9tricas%5D
UNIDADE 5
Números complexos
Objetivos de aprendizagem
Compreender o conceito de números complexos.
Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss.
Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z, bem como a sua representação geométrica.
Apresentar a forma trigonométrica de z.
Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução
Seção 2 A álgebra dos números complexos
Seção 3 A forma trigonométrica dos números complexos
5
194
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Nesta unidade você conhecerá o conjunto dos números complexos, um novo conjunto numérico que ampliará os seus conhecimentos com relação aos conjuntos numéricos já estudados por você.
Os elementos desse conjunto podem ser somados e multiplicados e também possibilitam a extração da raiz quadrada de um número negativo.
Com esta característica (extração da raiz quadrada de número negativo) é possível resolver equações que não possuem solução dentro do conjunto dos reais.
Os números complexos são da forma a+bi, sendo a e b reais e i a chamada unidade imaginária, para qual i2 =-1.
O papel desses números é de fundamental importância nos diversos ramos da matemática além de ser instrumentos necessários em campos da ciência e da tecnologia.
SEÇÃO 1 - Introdução
Os números complexos se originaram no século XVII, quando Descartes chamou de imaginários as raízes de radicando negativo que o matemático italiano Cardano utilizava na resolução de equações de 3º grau.
Rafael Bombelli passou a refletir a respeito da natureza desses novos conceitos matemáticos e, com seu trabalho, percebeu que equações do tipo x2 + a = 0, só poderiam ser resolvidas com essas raízes.
Dessa forma, surgiu, aos poucos, uma teoria mais sólida com uma notação própria, originando um novo conjunto, o Conjunto dos Números Complexos representado por .
A álgebra dos números complexos, além de ter uma grande história na área de matemática, tem inúmeras aplicações na engenharia e na física. Como exemplo, pode-se citar a
195
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
descrição de circuitos elétricos, os projetos de asas de aviões, a representação de ondas eletromagnéticas. Sua aplicação também se estende em áreas próprias da matemática, da computação gráfica e da topologia.
SEÇÃO 2 - A álgebra dos números complexos
Nesta seção você estudará a álgebra dos números complexos e, para isso, deve conhecer de que forma são expressos esses números.
Conhecendo o “i”
Inicia-se este estudo com a resolução da equação x2+1=0 tendo como universo o conjunto dos reais:
2
2
1 01
1
xx
x
+ =
= −
= ± −
Logo, o conjunto solução é S = ∅.
Você sabia...
Quem utilizou o símbolo i para 1− pela primeira vez foi Leonhard Euler em 1777. Foi impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou absolutamente aceito após seu uso por Gauss em 1801.
Agora veja, se tomar como universo um conjunto no qual se admita a existência da 1− , que será substituída por i, a equação passará a ter solução não vazia.
Veja que a solução da equação será:2
2
1 01
1
xx
xx i
+ =
= −
= ± −= ±
196
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, x’ = -i e x” = i são as raízes da equação.
Dessa forma, o conjunto solução será: { },S i i= − .
Vejamos, agora, outro exemplo: x2 - 6x +13=0.
Inicialmente, calcula-se o discriminante da equação:
x2 - 6x +13=0
( )
2
2
4. .
6 4.1.1316
b a c∆ = −
∆ = − −
∆ = −
Observe que se o conjunto universo for os reais, a solução será vazia novamente.
Então vamos considerar como universo um conjunto no qual se admita a existência 1− , que será substituída por i .
( )
2.6 16
26 16. 1
26 4 1
26 4
2' 3 2" 3 2
bxa
x
x
x
ix
x ix i
− ± ∆=
± −=
± −=
± −=
±=
= −= +
Logo, x’ = 3 - 2i e x” = 3 + 2i são as raízes da equação.
Dessa forma, o conjunto solução será: { }3 2 ;3 2S i i= − + .
Os números i, -i, 3-2i e 3+2i são chamados números complexos.
197
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Você sabia...
A expressão número complexo foi introduzida por Carl Friderich Gauss em 1832.
Figura 5.1: Gauss www.corrosion-doctors.org/.../GaussBio.htm
Capturado em 23/07/06
Definindo o número complexo
Número complexo é todo par ordenado (a,b) que pode ser escrito na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = 1− .
Veja alguns exemplos:
a) z = 2+3i, temos: a = 2 e b = 3
b) z = -3 +i, temos: a =-3 e b = 1
c) z = -2i, temos: a = 0 e b =-2
Definindo o conjunto dos números complexos
O Conjunto dos Números Complexos é todo conjunto cujos elementos são da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = 1− :
= {z = a+bi | a ∈IR, b ∈ IR, i = 1− }.
198
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, tem-se que z = a + bi é chamada forma algébrica de um número complexo, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
Chama-se unidade imaginária ao número i tal que i2=-1 ou i= 1− .
Observe o diagrama representado na figura 5.2:
Figura 5.2: Diagrama dos conjuntos numéricos
Como todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real e, finalmente, todo número real é um número complexo em que b=0 na forma a+bi.
Note que, como um número complexo é dividido em parte real e parte imaginária, então, tomando um número complexo z=a+bi, podemos considerar as seguintes situações:
z é um imaginário puro quando z = bi, onde a = 0 e b ≠ 0;
z é real quando z = a, onde b=0.
Você sabia...
Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637.
199
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Exemplos:
a) z= -5+7i
Note que:
-5 é a parte real de z, que se denota por Re(z)=-5;
7 é a parte imaginária de z, que se denota por Im(z)= 7;
b) 34iz =
Re(z) = 0
Im(z)= 34
Pode-se concluir que z é um imaginário puro.
c) z = -4,6
Re(z) = -4,6
Im(z)= 0
Pode-se concluir que z é um número real.
d) Qual deve ser o valor de k para que z = -1 + (k+4)i seja um número real?
Solução:
Note que para que z seja um número real é necessário que sua parte imaginária seja igual a zero, assim tem-se:
Im(z) = 0
k+4 = 0
k = - 4
Logo, para que z seja real k deve ser igual a - 4.
e) Determine o valor de x de modo que z = (x2 - 25) + (2y - 8)i seja imaginário puro.
200
Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução:
Você já sabe que para que z seja imaginário puro deve ter:
Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0, assim tem-se:
Re(z) = 0
x2 - 25 = 0
x2 = 25
x = ± 5
Im(z) ≠ 0
2y - 8 ≠ 0
2y ≠ 8
y ≠ 4
Igualdade de números complexos
A igualdade entre dois números complexos se estabelece quando apresentam, simultaneamente, partes reais iguais e partes imaginárias iguais.
Dessa forma:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1= z
2 quando a = c e b = d.
Exemplos:
1) Sejam os números complexos z1= -3 + xi e z
2 = 6y- 8i,
determine os valores reais de x e y de modo que z1= z
2.
Solução:
Como z1= z
2 tem-se que:
201
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Re(z1) = Re(z
2) e Im(z
1) = Im(z
2)
-3 = 6y x = -8
y = 36
−
y = 12
−
Logo, os valores de x e y, são respectivamente, -8 e 12
− .
2) Dados os números complexos z1 = (3x + y) + 5i e
z2 = 8 + (x - 2y)i, encontre os valores reais de x e y para que z
1 seja
igual a z2.
Solução:
Como z1= z
2 tem-se que:
Re(z1) = Re(z
2) e Im(z
2)= Im(z
1)
3x + y = 8 e x - 2y = 5
Note que há um sistema de duas equações para resolver:
Multiplica-se por 2 a primeira equação e resolve-se o sistema pelo método da adição.
O sistema equivalente será:6 2 16
2 5x yx y
+ = − =Somando as equações tem-se:7 21
3x
x=
=Substituindo x = 3 em qualquer uma das equações ter-se-á y = -1.
Logo, os valores de x e y, serão respectivamente, 3 e -1.
Você sabia...
No conjunto dos números complexos não existe relação de ordem, isto é, um número complexo não é maior nem menor que outro.
202
Universidade do Sul de Santa Catarina
Operações entre números complexos
Adição
A adição entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di é
estabelecida da seguinte forma:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1+z
2 = (a+c) + (b+d)i
Exemplo:
Sendo z1=3+5i e z
2=-4+10i, determine z
1+z
2.
Solução:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1+z
2 = (a+c) + (b+d)i
z1+z
2=(3+5i)+(-4+10i)
z1+z
2 = 3+5i-4+10i
z1+z
2 = (3-4)+(5+10)i
z1+z
2 = -1+15i
Logo, z1+z
2 = -1+15i.
Subtração
A diferença entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di
é estabelecida da seguinte forma:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1-z
2 = (a-b) + (b-d)i
Exemplo:
Considere 11z 7i2
= − e 22 1z i3 4
= + e calcule z1- z
2.
203
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Solução:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 172 3 4
1 2 172 3 41 2 172 3 43 4 28 1
6 41 296 4
z z i i
z z i i
z z i
z z i
iz z
− = − − +
− = − − −
− = − + − −
− − − − = +
− = − −
Logo, 1 21 296 4
iz z− = − − .
Multiplicação
O produto entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di é
estabelecida da seguinte forma:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1.z
2= (ac-bd) + (ad+bc)i
Note que essa relação ocorre utilizando a regra de multiplicação de binômios no conjunto dos reais e considerando que i2 = -1.
z1.z
2 = (a+bi).(c+di)
z1.z
2 = ac+adi+bci+bdi2
z1.z
2 = ac+adi+bci+bd(-1)
z1.z
2 = ac+adi+bci-bd
z1.z
2 = ac-bd+adi+bci
z1.z2 = (ac-bd)+(ad+bc)i
204
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo:
Sendo z1 = 1+5i e z
2 = 6-3i, determine z
1.z
2.
Solução:
z1.z
2=(1+5i).(6-3i)
z1.z
2 = 6-3i+30i-15i2
z1.z
2 = 6+27i-15.(-1)
z1.z
2 = 21+27i
Logo, z1.z
2 = 21+27i.
Você sabia...
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo.
Conjugado
Sendo z = a+bi , o número z = a - bi representa o conjugado de z.
Note que houve alteração no sinal, apenas, na parte imaginária de z.
Exemplo:
Dê o conjugado dos seguintes números complexos:
205
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Vale ressaltar que, sendo {z, z1, z
2} ⊂ , tem-se as seguintes
propriedades:
1) z ∈ IR ∴ z = z
2) 1 2 1 2z z z z+ = +
3) 1 2 1 2z z z z− = −
4) 1 2 1 2z . z z . z=
5) 1 12
2 2
z , z 0z
zz
= ≠
6) ( ) ( )nnz z ,n Z= ∈
Divisão
A divisão entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di é
estabelecida multiplicando o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor desde que o divisor seja diferente de zero.
Pode-se escrever da seguinte forma:
21 12
22 2
. , 0z z z zz z z
= ≠
Exemplo:
Sendo z1 = 1+i e z
2 = 4-3i, calcule:
1
2
) zaz
Solução:1
22
12
2
1
2
1
2
1
2
(1 ) (4 3 ).(4 3 ) (4 3 )
4 3 4 316 12 12 94 7 3.( 1)
16 9.( 1)4 7 3
16 91 7
25
z i iz i iz i i iz i i iz izz izz iz
+ +=
− +
+ + +=
+ − −+ + −
=− −
+ −=
++
=
206
Universidade do Sul de Santa Catarina
2
1
) zbz
Solução:
2
12
22
1
2
1
2
1
2
1
(4 3 ) (1 ).(1 ) (1 )
4 4 3 31
4 7 3.( 1)1 ( 1)
4 7 31 1
1 72
z i iz i iz i i iz iz izz izz iz
− −=
+ −
− − +=
−− + −
=− −
− −=
+−
=
Potências de i
Para calcular as potências de i, com expoente natural, pode-se obter um critério.
Observe a tabela 5.1:
Tabela 5.1: Potências de iExpoente (n) Potências de i (in)0 i0= 11 i1= i2 i2= -13 i3= i2.i=(-1).i=-i4 i4= i3.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1 5 i5= i4.i=1.i=i6 i6= i5.i=i.i=i2=-17 i7= i6.i=(-1).i=-i8 i8= i7.i=(-i).i=-i2=-(-1)=19 i9= i8.i=1.i=i
Você deve ter percebido que a partir de n=4 os valores das potências começam a se repetir, dessa forma, seja n um número natural n ≥ 4, dividindo n por 4 temos:
207
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Logo, pode-se escrever n = 4.q + r, com r∈ {0,1,2,3}.
Dessa forma, in = i4q+r=(i4)q.ir=1q.ir=ir .
Veja que para calcular as potências de i (in) cujo o expoente é maior ou igual a 4, basta dividir o expoente n por 4 e elevar i ao valor que corresponde ao resto da divisão, ou seja, o valor de r.
Exemplo:
Calcular o valor de:
a) i27
Solução:
Agora se escreve: i27= i3=-i
b) i529
Solução:
Logo: i529= i1=i
Que tal resolver alguns exercícios para reforçar a aprendizagem das operações estudadas até o momento?
208
Universidade do Sul de Santa Catarina
1) Considere os números complexos z1 = 2-2i e z
2 = 1+3i e efetue
as seguintes operações:
a) (z1+z
2)2
Solução:
(z1+z
2)2 = [(2-2i)+(1+3i)]2
(z1+z
2)2 = (3+i)2
(z1+z
2)2 = 32+2.3.i+i2
(z1+z
2)2 = 9+6i+(-1)
(z1+z
2)2 = 8+6i
b) ( )22 1.z z
Solução:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )
2
2 22 1
2 22 1
22 1
22 1
22 1
22 1
22 1
. 1 3 . 2 2
. (1 6i 9 ). 2 2
. (1 6i-9) . 2 2
. 8 6 . 2 2
. 16 16 12 12
. 16 4 12.( 1)
. 28 4
z z i i
z z i i
z z i
z z i i
z z i i i
z z i
z z i
= + +
= + + +
= + +
= − + +
= − − + +
= − − + −
= − −
2) Determine o número complexo z, tal que i.z (z z) 1 2i+ + = + .
Solução:
Sabe-se que z=a+bi e , logo, substituindo na igualdade
i.z (z z) 1 2i+ + = + temos:
209
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
i.(a+bi)+[(a-bi)+(a+bi)]=1+2i
ai+bi2+2a = 1+2i
2a - b +ai = 1+2i
Utilizando-se a igualdade entre dois números complexos obtém-se:
2a b 1a 2− =
= Substituindo, tem-se:
Logo, o número complexo z procurado é z = 2 + 3i.
3) Encontre o valor de x de modo que z = (2x+3i)2 seja um imaginário puro.
Solução:
Desenvolvendo o produto notável na expressão (2x+3i)2 tem-se:
(2x+3i)2 = 4x2 + 12xi +9i2
(2x+3i)2 = 4x2 + 12xi - 9
(2x+3i)2 = (4x2 -9) + 12xi
Você já sabe que para que um número complexo seja imaginário puro deve ter Re(z)=0 e Im(z) ≠ 0.
210
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo:
Re(z)=0 Im(z) ≠ 0
4x2 -9 = 0 12x ≠ 0
4x2 = 9 x ≠ 0
x2 = 94
x =
32
±
Portanto, para que o número complexo z = (2x+3i)2 seja
imaginário puro deve ter 32
x = ± .
4) Determine o valor de 92 45
311
i ii+ .
Solução:92 45 0 1
311 3
i i i i 1 ii i i+ + +
= =−
.
Note que foi feita a divisão de cada expoente de i na expressão.
Agora será feita a divisão de 1 ii
+−
, multiplicando a expressão pelo
conjugado do denominador. Observe:2
2
1 i i i i 1 i. 1 ii i i 1
+ + − += = = − +
− −
Portanto, a expressão 92 45
311
i ii+ corresponde a 1 i− + .
5) Determine o conjugado do complexo 11 i .
1 i
−− +
Solução:
Lembre que, uma potência de expoente negativo equivale ao inverso da base com o expoente positivo, desde que o denominador seja diferente de zero.
211
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Assim, o número complexo 11 i
1 i
−− +
pode ser escrito da seguinte
forma 1 i1 i
+ −
.
Efetuando a divisão do número complexo temos:2
2
1 i 1 i 1 i 1 i i i 1 2i 1 2i. i1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2
+ + + + + + + − = = = = = − − + − +
Logo, z i e z i= = − .
SEÇÃO 3 - A forma trigonométrica dos números complexos
O Plano de Argand-Gauss
Você já estudou que qualquer número real está associado a um ponto numa reta e que cada ponto de uma reta corresponde um número real. Está, agora, conhecendo um novo conjunto numérico que também tem sua representação geométrica.
Você deve lembrar que cada número complexo z=a+bi está associado a um par de números reais (a,b).
Sabe-se que cada par (a,b) está associado a um único ponto do plano, então pode-se associar a cada número complexo z=a+bi um ponto P de coordenadas a e b, isto é, P(a,b).
212
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe a figura 5.3:
Figura 5.3: Representação geométrica de z=a+bi
Como você pode notar, utiliza-se um sistema cartesiano ortogonal para representar o conjunto dos números complexos.
O plano em que são representados os elementos de é chamado plano de Argand-Gauss.
Que tal conhecer um pouco da história do plano de Argand-Gauss?
213
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Retrospectiva Histórica
Na virada do século XVIII para o XIX, os matemáticos Caspar Wessel, Carl Friederich Gauss e Jean Robert Argand, descobriram que os números complexos admitiam uma representação geométrica. Gauss imaginava essa representação por meio dos pontos de um plano enquanto que Wessel e Argand usavam segmentos de reta ou vetores coplanares.
Como Wessel e Argand tinham pouca representatividade seus trabalhos não alcançaram a notoriedade merecida na época.
Em 1831, Gauss apresentou uma detalhada explicação de como os números complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, apoiada na representação desses números no plano cartesiano.
Finalmente, em 1837, Sir Willian Rowan Hamilton chegou ao final dessas descobertas reconhecendo os números complexos como um par ordenado de números reais (a,b) e reescreveu as definições geométricas de Gauss na forma algébrica.
Figura 5.4: Hamiltonwww.at-mix.de/hamilton.htm
Capturado em 23/07/06
214
Universidade do Sul de Santa Catarina
Módulo e Argumento
Agora que você já sabe que um número complexo pode ser representado no plano, estudará a seguir o significado desta representação.
Observe a figura 5.5:
Figura 5.5: Módulo e argumento
A distância entre o ponto P(a,b), também chamado afixo de z, e a origem do plano, representada pelo ponto O, é chamada de módulo do número complexo z=a+bi, que se denota por |z|=ρ.
Essa distância é calculada utilizando-se a seguinte fórmula:2 2a bρ = + .
Demonstração:
No triângulo OAP é possível aplicar o teorema de Pitágoras, pois, trata-se de um triângulo retângulo:
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
2 2
OP OA AP
a b
a b
ρ
ρ
= +
= +
= +
Note que do mesmo triângulo OAP, conclui-se outras relações:acosθρ
= e bsen θρ
= .
215
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
A medida do ângulo θ, indicado na figura 5.5, denomina-se argumento do complexo z=a+bi que é indicado por arg(z).
O argumento θ pertence ao intervalo de [ [0 2; π .
Como exemplo, acompanhe a seguir a resolução de alguns exercícios envolvendo módulo e argumento.
1) Calcule o módulo e o argumento dos seguintes complexos e represente-os geometricamente.
a) z=1+i
Solução:
Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:
Re(z)=a=1 e Im(z)=b=1.
Aplicando a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2
2 21 1
1 1
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
=
Agora, calcula-se o argumento θ:
1 22 22
2
acos
cos .
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
1 22 22
2
bsen
sen .
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno e o seno valem 2
2 é 45
4 rad ou π o .
Logo, θ = 454
rad ou π θ = o .
216
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 5.6: Representação geométrica de z=1+i
Portanto, sendo z=1+i seu módulo ρ = 2 , o argumento é
θ = 4
radπ e a figura 5.6 mostra sua representação geométrica.
b) z=3i
Solução:
Identifica-se o valor de a e b:
Re(z)=a=0 e Im(z)=b=3
Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2
2 20 3
0 9
93
a bρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= +
= +
==
Calcula-se o argumento θ:
030
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
331
bsen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
217
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é 0 e o seno 1 é
902
rad ou π o .
Logo, 902
rad ou πθ θ= = o .
Figura 5.7: Representação geométrica de z=3i
Portanto, sendo z=3i, seu módulo ρ = 3, o argumento é
θ = 2
radπ e a figura 5.7 mostra sua representação geométrica.
c) z=-3
Solução:
Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:
Re(z)=a=-3 e Im(z)=b=0
Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:
( )
2 2
2 23 0
9 0
93
a bρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= − +
= +
==
218
Universidade do Sul de Santa Catarina
Agora, calcula-se o argumento θ:
331
acos
-cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
= −
030
bsen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é -1 e o seno 0 é 180 rad ou π o .
Logo, 180 rad ou θ π θ= = o .
Figura 5.8: Representação geométrica de z=-3
Portanto, sendo z=-3, seu módulo ρ = 3, o argumento é θ = radπ e a figura 5.8 mostra sua representação geométrica.
d) z= 3 i− +
Solução:
Identifica-se o valor de a e b:
Re(z)=a=- 3 e Im(z)=b=1.
219
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:
( )
2 2
2 23 1
3 1
42
a bρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= − +
= +
==
Agora, calcula-se o argumento θ:
32
acos
-cos
θρ
θ
=
=
12
bsen
sen
θρ
θ
=
=
O ângulo cujo cosseno é 32
− e o seno 12
pertence ao 2o
quadrante, cujo arco simétrico no 1º quadrante é x=6
radπ , logo, deve-se fazer uma redução ao primeiro quadrante.
Fazendo a redução tem-se:
656
x
-
rad
θ ππθ π
πθ
= −
=
=
Desta forma 56
radπθ = .
Figura 5.9: Representação geométrica de z= 3 i− +
Você deve lembrar que já estudou esta redução na Unidade 2.
220
Universidade do Sul de Santa Catarina
Portanto, sendo z= 3 i− + , seu módulo ρ = 2, o argumento é 56
radπθ = e a figura 5.9 mostra sua representação geométrica.
2) Dados o módulo ρ = 3 e o argumento 53
radπθ = determine o número complexo na forma a+bi.
Solução:
Inicia-se a resolução deste problema calculando os valores do seno e cosseno do argumento:
5 33 2
5 13 2
sen sen
cos cos
πθ
πθ
= = −
= =
Observe que estes valores foram encontrados reduzindo o arco 53
radπθ = ao primeiro quadrante.
Com estas informações e o módulo, é possível encontrar os valores de a e b do número complexo, da seguinte forma:
12 32 3
32
acos
a
a
a
θρ
=
=
=
=
32 3
2 332
bsen
b
b
b
θρ
=
− =
= −
= −
Logo: 3 32 2
z i= − .
Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
Agora que você já conhece o módulo e o argumento de um número complexo, poderá representá-lo numa forma denominada trigonométrica ou polar.
Considere o número complexo z=a+bi, representado pelo ponto P(a,b).
221
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Você já sabe que acosθρ
= e bsen θρ
= .
Isolando a e b nas respectivas relações tem-se:a cos e b .senρ θ ρ θ= =
Substituindo em z=a+bi:
( )z cos sen .iz . cos isen
ρ θ ρ θρ θ θ
= +
= +
Portanto, ( )z . cos isenρ θ θ= + é a forma trigonométrica ou polar do complexo z.
Exemplos:
1) Escreva na forma trigonométrica o número complexo z=2+2i.
Solução:
Para escrever z na forma trigonométrica deve-se calcular o módulo e o argumento do complexo.
Cálculo do módulo:
2 2
2 22 2
4 4
8
2 2
a bρ
ρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
=
=
Cálculo do argumento:
22 2122
2
acos
cos
cos
cos
θρ
θ
θ
θ
=
=
=
=
22 2122
2
bsen
sen
sen
sen
θρ
θ
θ
θ
=
=
=
=
222
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 454
rad ou πθ θ= = o .
Portanto, a forma trigonométrica de z=2+2i é:( )
2 24 4
z . cos isen
z . cos isen
ρ θ θ
π π
= +
= +
2) Escreva na forma algébrica o número complexo
z=5.(cos270º + i sen270º).
Solução:
Inicialmente calcula-se o valor do cos270º e sen270º.
cos270º = 0 e sen270º = -1
Agora se substitui esses valores no complexo5.(cos 270º . 270º )5.[0 .( 1)]5.(0 )
5
z i senz iz iz i
= += + −= −= −
Portanto, a forma algébrica de 5.(cos 270º 270º )z isen= + é z=-5i.
Operações na forma trigonométrica ou polar
Multiplicação
Sejam os números complexos
z1 = ρ1(cosθ
1 + isenθ
1) e
z2 = ρ2(cosθ
2 + isenθ
2)
Efetuando a multiplicação entre z1 e z
2, tem-se:
z1. z
2 = ρ
1(cosθ
1 + isenθ
1) . ρ
2(cosθ
2 + isenθ
2)
z1. z
2=ρ
1. ρ
2(cosθ
1. cosθ
2 + icosθ
1. senθ
2+ isenθ
1. cosθ
2+ i2senθ
1.senθ
2)
z1. z
2=ρ
1. ρ
2[(cosθ
1.cosθ
2-senθ
1.senθ
2) + i(cosθ
1.senθ
2+ senθ
1.cosθ
2)]
223
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Utilizando as transformações trigonométricas, estudadas na unidade 4, tem-se:
z1. z
2 =ρ
1. ρ
2[cos(θ
1+θ
2)+isen(θ
1+θ
2)]
Note que para efetuar a multiplicação basta multiplicar os módulos e somar os argumentos dos complexos.
Exemplo:
Efetue z1. z2, sendo 1 3z . cos i.sen3 3π π = +
e
22 22.(cos . )3 3
z i senπ π= + .
Solução:
Dos complexos retira-se os seguintes dados:
1 1
2 2
33223
e
e
πρ θ
πρ θ
= = = =
Substituindo-se esses dados em z1. z
2 =ρ1. ρ2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]
tem-se:
( )
1 2
1 2
1 2
2 23 23 3 3 3
3 363 3
6
z .z . . cos isen
z .z . cos isen
z .z . cos isen
π π π π
π π
π π
= + + + = +
= +
Divisão
Sejam os números complexos
z1 = ρ1(cosθ
1 + isenθ
1) e z
2 = ρ
2(cosθ
2 + isenθ
2) com z
2 ≠ 0
224
Universidade do Sul de Santa Catarina
Efetuando a divisão entre z1 e z2, tem-se:( )( )
( )( )
( )( )
1 1 1 2 2 21 1 2
2 2 2 2 2 2 2 22
21 2 1 2 1 2 1 2 1 21
2 2 22 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 21
2
. cos isen cos isenz z z. .z z cos isen cos isenz
. . cos .cos cos .isen isen cos i sen senzz . . cos i .sen
. cos .cos sen sen i sen cos cozz
ρ θ θ ρ θ θρ θ θ ρ θ θ
ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ
ρ ρ θ θ
ρ θ θ θ θ θ θ
+ −= =
+ −
− + −=
−
+ + −=
( )
( ) ( )
1 2
2
1 11 2 1 2
2 2
s .sen
z . cos i.senz
θ θρ
ρ θ θ θ θρ
= − + −
Como você observa, novamente utilizam-se as transformações trigonométricas estudadas na unidade 4 e, dessa forma, tem-se que:
( ) ( )1 11 2 1 2
2 2
z . cos i.senz
ρ θ θ θ θρ
= − + −
Note que para efetuar a divisão basta dividir os módulos e subtrair os argumentos dos complexos.
Exemplo:
Sendo z1 = 12(cos40º+isen40º) e z
2 = 2(cos10º+isen10º), calcule 1
2
zz
.
Solução:
Dos complexos retira-se os seguintes dados:1 1
2 2
12 402 10
e º e º
ρ θρ θ
= = = =
Substituindo esses dados em ( ) ( )1 11 2 1 2
2 2
z . cos i.senz
ρ θ θ θ θρ
= − + − , tem-se:
( ) ( )
( )
1
2
1
2
12 cos 40 10 40 102
6 cos30 30
z . º º i.sen º ºzz º isen ºz
= − + −
= +
225
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Potenciação
Considere o número complexo z = ρ.(cosθ + i.senθ).
Tem-se que:
z2 = z.z
z2 = ρ.(cosθ + i.senθ).ρ.(cosθ + i.senθ)
Lembre-se que na multiplicação de números complexos, na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos.
Então, se escreve:
z2 = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ)
Para z3 pode-se escrever:
z3 = z2 . z = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) .ρ.(cosθ + i.senθ)
z3 = ρ3.(cos3θ + i.sen3θ)
Note que cada resultado apresenta o módulo (ρ) elevado ao expoente de z e o argumento (θ) multiplicado por esse expoente.
É possível generalizar estes resultados por meio do teorema demonstrado pelo matemático francês Abraham de Moivre:
Teorema:
Se z = ρ.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número complexo z e n um inteiro, então: zn = ρn.(cos nθ + i.sen nθ).
226
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva Histórica
Figura 5.10: Moivrewww.swlearning.com/.../bio8.2.html
Acesso em 25/07/06.
Abraham de Moivre nasceu em 26 de maio de 1667 em Vitry-le-François, em Champagne na França. Era um matemático famoso pela fórmula de Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria e pelo seu trabalho na distribuição normal e na teoria das probabilidades. Foi eleito membro da Royal Society em 1697 e era amigo de Isaac Newton e Edmund Halley. Morreu em 27 de novembro de 1754 em Londres.
Retirado de “http://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre”Acesso em 25/07/06.
Exemplos:
1) Determine (1+i)8.
Solução:
Inicialmente devemos escrever o complexo na forma trigonométrica, para isso vamos calcular o módulo e o argumento.
227
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Cálculo do módulo:
2 2
2 21 1
1 1
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
=
Cálculo do argumento:
122
2
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
122
2
bsen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Logo, θ = 45º ou θ = 4
radπ.
Agora, escreve-se o complexo na forma trigonométrica:( )2 cos 45 45z . i sen = +
Logo:
( ) ( )( )( )
88
8 4
8
8
2 cos 8 45 8 45
2 cos 360 360
16 1 0
16
z . . º i sen . º
z . º i sen º
z . i.
z
= +
= +
= +
=
Dessa forma, (1+i)8 = 16.
2) Qual é o valor de ( )103 i− ?
Solução:
Para escrever o complexo na forma trigonométrica, calcula-se o módulo e o argumento.
228
Universidade do Sul de Santa Catarina
Cálculo do módulo:
( ) ( )
2 2
2 23 1
3 1
42
a bρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= + −
= +
==
Cálculo do argumento:
32
acos
cos
θρ
θ
=
=
12
bsen
-sen
θρ
θ
=
=
Logo, θ = 330º ou θ = 116
radπ pois, como você observa, fez-se a
redução ao primeiro quadrante.
Agora, pode-se escrever o complexo na forma trigonométrica:
( )2 cos 330 330z . i sen = + .
Logo:
( )( )( )
10 10
10
10
10
10
2 cos10 330 10 330
1024 cos 3300 3300
1024 cos 60 60
1 310242 2
512 512 3
z . . º i sen . º
z . º i sen º
z . º i sen º
z i
z i
= +
= +
= +
= +
= +
Dessa forma, ( )103 i− =512 512 3 i+ .
229
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Radiciação
Sejam z e zk números complexos e n um número inteiro positivo, tal que: (zk)n = z.
Nessas condições o número zk é uma raiz n-ésima de z.
Veja alguns exemplos:
1) Mostrar que o número zk = 1+i é uma raiz quarta de z=-4.
Solução:
Deve-se mostrar que (zk)4 = z.
Tem-se que:
(zk)4 = (1+i)4
Utiliza-se a fórmula de Moivre para calcular essa potência.
Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.
Cálculo do módulo:2 2
2 21 1
1 1
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
=
Cálculo do argumento:
122
2
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
122
2
bsen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Logo, θ = 45º ou θ = 4
radπ .
230
Universidade do Sul de Santa Catarina
Agora, pode-se escrever o complexo zk na forma trigonométrica:
( )2 cos 45 45kz . i sen = +
Logo:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
44
4 2
4
4
2 cos 4 45 4 45
2 cos180 180
4 1 0
4
k
k
k
k
z . . º i sen . º
z . º i sen º
z . - i.
z -
= +
= +
= +
=
Então, 1+i é a raiz quarta de -4.
2) Encontre as raízes quadradas de z 4 4 3 i= + .
Solução:
Inicialmente, escreve-se z na forma trigonométrica.
Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.
Cálculo do módulo:
( )
2 2
224 4 3
16 16 3
648
a b
.
ρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= +
= +
==
Cálculo do argumento:
4812
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
4 383
2
bsen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
231
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Logo, θ = 60º ou θ = 3
radπ.
Agora, pode-se escrever o complexo z na forma trigonométrica:
83 3
z . cos i sen π π = +
Note que o problema é encontrar zk ∈ tal que (z
k)2 = z.
Escrevendo-se zk=ρ.(cosθ + i senθ).
Logo:
(zk)2 = z
( ) 28
3 3. cos i sen . cos i senπ πρ θ θ + = +
Utilizando a fórmula de Moivre para calcular a potência, vem:
( )2 2 2 83 3
. cos i sen . cos i senπ πρ θ θ + = +
Essa igualdade se estabelece quando:2 8
2 2
ρ
ρ
=
=
e 2 23
6
k. , k Z
k. , k Z
πθ π
πθ π
= + ∈
= + ∈
Para obter zk = ρ.(cosθ + i senθ) deve-se atribuir valores inteiros
para k:
Se k=0, 6πθ = , pois temos 0
6 6. π πθ π= + = .
Logo:
0
0
0
2 26 6
3 12 22 2
6 2
z cos isen
z i.
z i
π π = +
= +
= +
Se k=1, 76πθ = , pois 71
6 6 6.π π πθ π π= + = + = .
232
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo:
1
1
1
7 7z 2 2 cos isen6 6
3 1z 2 2 i.2 2
z 6 2 i
π π = + −
= −
= − −
Lembre-se que para chegar aos valores do cosseno e do seno fez-se redução ao primeiro quadrante.
Se k=2, temos que 1326 6
.π πθ π= + = .
Perceba que 136π é um arco côngruo a
6π e, dessa forma, o
número complexo que seria encontrado coincidiria com o complexo z0, a primeira raiz calculada. Isso torna desnecessário atribuir outros valores para k.
Finalizando, as duas raízes quadradas de 4 4 3z i= + são 0 6 2z i= + e 1 6 2z i= − − .
Para facilitar este cálculo você poderá utilizar a fórmula:.2 .2cos .n
kk kz i senn n
θ π θ πρ + + = +
, onde n é o índice da raiz
procurada.
Essa fórmula é chamada de 2a fórmula de Moivre.
Note que se obtém raízes distintas quando k=0,1,2,3,...,(n-1), ou seja, n raízes, pois após esses valores de k, as raízes se repetirão. Note o exemplo a seguir:
3) Determinar as raízes cúbicas de z=8.
Solução:
Tem-se que a 2ª fórmula de Moivre é:.2 .2cos .n
kk kz i senn n
θ π θ πρ + + = +
233
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Cálculo do módulo:
2 2
2 28 0
648
a bρ
ρ
ρρ
= +
= +
==
Cálculo do argumento:
881
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
080
bsen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Logo 0θ = .
Portanto a forma trigonométrica do complexo é 8(cos 0 0)z isen= + .
Encontram-se as raízes cúbicas de 8 da seguinte forma:
3
.2 .2cos .
0 2 0 28 cos .3 3
2 22. cos .3 3
nk
k
k
k kz i senn nk kz i sen
k kz i sen
θ π θ πρ
π π
π π
+ + = +
+ + = +
= +
O valor de k pode ser 0, 1 e 2, observe:( ) ( )0
1
2
0 2. cos 0 0 2. 1 .0 2
2 2 1 31 2. cos 2. 1 33 3 2 2
4 4 1 32 2. cos 2. 1 33 3 2 2
k z isen i
k z isen i i
k z isen i i
π π
π π
= ⇒ = + = + =
= ⇒ = + = − + = − + = ⇒ = + = − − = − −
234
Universidade do Sul de Santa Catarina
Representação geométrica:
Figura 5.11: Raízes cúbicas de 8
Observe na figura 5.11 que as três raízes estão sobre uma circunferência, pois temos que as imagens das n raízes de um número complexo, para 3,n ≥ são vértices de um polígono regular de n lados, inscritos numa circunferência de centro na origem e raio n ρ . Dessa forma temos, neste problema, que
3 8 2r = = .
A Física com os Números Complexos
Os números complexos são muito úteis para realizar operações geométricas com vetores. Na Física, quando se trabalha com grandezas vetoriais como força, velocidade e aceleração, a correspondência entre as operações com os números complexos e as transformações geométricas são muito úteis.
Representação Vetorial
Na figura 5.12, observa-se o ponto P, que representa o afixo do número complexo z=a+bi. Este ponto individualiza um vetor com origem em z = 0.
235
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Figura 5.12: Representação vetorial de z=a+bi
O número complexo z pode ser concebido como o segmento orientado, vetor, com origem em (0,0) e extremidade em P(a,b). Também, pode ser representado como qualquer vetor obtido pela translação no plano desse vetor. Por exemplo, na figura 5.13 o vetor que vai de A(2,1) a B(5,4) representa o número complexo z = 3 + 3i.
Figura 5.13: Representação do complexo z = 3+3i
236
Universidade do Sul de Santa Catarina
As operações, nessa representação seguem as regras vetoriais. Observe a figura 5.14 que mostra a adição (2,4)+(-1,3) = (1,7).
Figura 5.14: Adição de números complexos
Multiplicar um número complexo por i, corresponde a girar 90º, no sentido positivo ao redor da origem, a imagem desse complexo.
Acompanhe o exemplo:
(5+2i).i = 5i + 2i2 = -2 +5i
Observe a representação vetorial desta operação na figura 5.15:
Figura 5.15: Representação do complexo z = -2+5i
237
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Conheça agora como surgiram os números complexos.
Retrospectiva Histórica
Os números complexos surgiram em meados do século XVI com o matemático italiano Rafael Bombelli, utilizando a fórmula de Gerônimo Cardano para resolver equações do tipo 3 0x ax b+ + = .
A equação resolvida foi 3 15 4 0x x− − = , que aplicando a fórmula de
Cardano 3 2 3 2
3 3
2 27 4 2 27 4b a b b a bx = − + + + − − + ele
obteve o seguinte resultado:3 32 121 2 121x = + − + − − .
A existência de um radicando negativo era um sinal de que o problema que gerou essa equação não teria solução. Porém, Bombelli sabia, por substituição direta na equação
3 15 4 0x x− − = , que x=4 era uma solução.
Embora considerando impossível a existência de 121− , Bombelli teve que admitir a utilidade desse número como ferramenta de cálculo, e observou que era possível escrever
121− de outra forma: ( )121 121. 1 11. 1− = − = − .
Logo, Bombelli tentou encontrar regras para as raízes quadradas de números negativos; fazendo
( )21− =-1. Com suas regras, a fórmula de Cardano
funcionava perfeitamente em qualquer caso, o que o deixava seguro de seus resultados.
Assim, passou a desenvolver regras para operar com esses novos entes matemáticos, chamando-os de “números fictícios”, “números impossíveis”, “números místicos” ou “números imaginários”.
Foi Euler, mais tarde, que substituiu 1− pela letra i, dando assim a idéia para a unidade de um novo conjunto numérico: O conjunto dos números complexos.
238
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Ao término desta unidade você já pode dizer que conhece um novo conjunto numérico: o conjunto dos números complexos.
É importante que você tenha percebido que, no conjunto estudado, os números apresentam duas representações: algébrica e trigonométrica.
Na forma algébrica as operações que podem ser desenvolvidas são adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, enquanto que, na forma trigonométrica, não se desenvolve adição e subtração, mas trabalha-se com a radiciação.
Com a conclusão desta unidade, você encerra esta disciplina. Todo o estudo desenvolvido ao longo das unidades, com certeza, trouxe-lhe conhecimentos que contribuirão para o desenvolvimento de suas atividades como profissional da educação.
É importante que você verifique, no EVA, se suas atividades estão todas prontas e revisadas.
Atividades de auto-avaliação
1) Resolva as equações no universo dos números complexos:
a) x2 + 4 = 0
b) x2 – 4 x + 5 = 0
239
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ .
3) Determine x e y, para que o número complexo
z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja:
a) um número real.
b) Um número imaginário puro.
4) Calcule:
a) (2 + 3i) + (2 – i)
b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i)
c) ( )2 1 4 23 2
i i i + − − + −
240
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Efetue:
a) (2 – i).(1 + 3i)
b) 1 1.2 2
i i + −
c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i)
6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi:
( )2
2)2
4 2)2 21
)2
iai
ibi
ic
i
− +
+−
+−
7) Qual o conjugado do número complexo 3
1 2z
i=
+?
241
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
8) Determine o valor real de x para que o produto
(12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real.
9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.
10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .
11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*.
12) Simplificando 101 50
100 49
(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2)
i ii i
+ −− − −
, obtém-se:
242
Universidade do Sul de Santa Catarina
13) Se 38 3
2
(10 ).(1 )
i i izi
+ −=
−, determine 2ρ .
14) Se k é um número real e o argumento de k 2iz3 2i
+=
− é 45º, então
calcule |z|.
15) Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um número real. Se
o argumento de z é 270º, então calcule 1z
.
16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1.
243
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
17) Sendo z1=
4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º)
determine z1.z
2.
18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z
2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o
valor de 2
1
zz
?
19) Calcule:
a) (1 – i)6
b) 100
1 32 2
i
− +
244
Universidade do Sul de Santa Catarina
20) Calcule:
a) As raízes quadradas de 2 3z i= + .
b) As raízes quartas de z=-4.
Desafios em números complexos
1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:
2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i)200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é:
245
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6=1. Qual a área deste polígono?
Saiba mais
Uma sugestão para você enriquecer seus conhecimentos sobre os conteúdos trabalhados nesta unidade, é fazer uma pesquisa na Internet, buscando a aplicabilidade dos números complexos. Para isso, use um site de busca, utilizando a expressão “Aplicações de Números Complexos”. Você encontrará interessantes aplicações. Compartilhe com seus colegas essas aplicações no EVA por meio da ferramenta Exposição.
Para concluir o estudo
Ao término desta disciplina gostaríamos de deixar uma mensagem para você, futuro professor de Matemática, realçando a importância dos conteúdos aqui trabalhados, no desenvolvimento de suas atividades na sala de aula.
O exercício de sua futura profissão requer o conhecimento de todos os conteúdos de Matemática estudados no seu curso, porém, você deve ir além dos conteúdos, objetivando um ensino que instigue e ofereça ao aluno oportunidades para uma educação de qualidade.
Esperamos que tenha aproveitado bem as estratégias metodológicas, relacionadas com o uso de diferentes mídias e tecnologias, utilizadas no desenvolvimento dessa disciplina, pois, lembre-se, professores de Matemática precisam saber usar, na sua prática, tecnologias de modo geral, em especial softwares educacionais. O uso de softwares reforça a linguagem gráfica e, dessa forma, inova o ensino da Matemática.
Por fim, esperamos que esta disciplina contribua para sua formação.
Sucesso!!!
Sobre os professores conteudistas
Eliane Darela
Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1998, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Administração e Matemática. É, também, professora de Matemática do Ensino Médio na Rede Pública Estadual, desde 1989.
Paulo Henrique Rufino
Especialista em Matemática Superior pela Fundação Educacional Severino Sombra, Vassouras - Rio de Janeiro. É licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC. É professor horista na UNISUL desde 1992, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos da Matemática, Licenciatura em Química, Administração, Tecnologia em Gestão de Agronegócios e Gestão Estratégica das Organizações. É professor Tutor da Unisul Virtual, na disciplina Matemática Financeira. Atua, também, como professor de Ensino Médio no Colégio Energia e na Rede Pública Estadual, desde 1991.
Rosana Camilo da Rosa
Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1993, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Química Industrial, Arquitetura e Urbanismo, Ciência da Computação e Matemática. É professora do Ensino Médio no Colégio Dehon, colégio vinculado a UNISUL e, também, atua como professora de Matemática no Ensino Médio da Rede Pública Estadual, desde 1989.
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação
Unidade 1
1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.
Solução:
Vamos considerar o ∆AHC, onde você pode observar que é
retângulo, tem-se 30o = , , AC a= , 2aHC = e AH h= .
No primeiro momento vamos usar o teorema de Pitágoras para obtermos h em função de a, e, dessa forma, calculamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de 30º e 60º.
22 2
22 2
22
2
434
32
aa h
aa h
a h
ah
= +
− =
=
=
252
Universidade do Sul de Santa Catarina
. 12sen 30º2
3. 32cos30º
2
. 1 1 3 3230º .. 33 3 3 3
2
acat opostohipotenusa a
acat adj
hipotenusa aa
cat opostotgcat adj a
= = =
= = =
= = = = =
3. 32sen 60º
2
. 12cos 60º2
3. 260º 3
.2
acat opostohipotenusa a
acat adj
hipotenusa a
acat opostotg acat adj
= = =
= = =
= = =
2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?
Observe que o triângulo ABC é retângulo em A e, dessa forma, tem-se:
30oB∧
= , . 18cat oposto = , . .cat adj c= e hipotenusa a= .
253
Trigonometria e Números Complexos
Utilizando as razões trigonométricas, pode-se encontrar as medidas solicitadas no problema.
18 1 18sen 30º 362
3cos30º 2 36 3 18 336 2 36
aa ac c c c
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)
Utilizam-se as razões trigonométricas para calcularmos as medidas solicitadas x e y, tem-se:
9cos 60º
1 92
18
x
xx
=
=
=
sen 60º
32 18
9 3
yx
y
y
=
=
=
b)
254
Universidade do Sul de Santa Catarina
Utilizam-se as razões trigonométricas para calcular as medidas solicitadas x e y, dessa forma, tem-se:
2 3sen 60º
3 2 32
4
y
yy
=
=
=
2 360º
2 33
2
tgx
xx
=
=
=
4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:
Reescrevendo o trapézio, tem-se:
Para encontrar o valor de x utiliza-se a razão cosseno, observe:
1345º
2 132
26 2.2 2
13 2
cosx
x
x
x
=
=
=
=
255
Trigonometria e Números Complexos
Agora, para encontrar o valor de y tem-se:
45º13
11313
ytg
y
y
=
=
=
5) Observando a seguinte figura, determine:
a) O valor de a;
b) O valor de b;
c) A medida do segmento AD.
a) O valor de a pode ser encontrado utilizando a razão tangente, veja:
25º100
0,466100
46,6
atg
a
a
=
=
=
b) Para encontrar o valor de b utiliza-se, novamente, a razão tangente:
46,670º
46,62,75
46,62,7517
tgb
b
b
b
=
=
=
=
256
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) A medida desconhecida AD calcula-se da seguinte forma:
AD = AB – DB
AD = 100 - b
AD = 100 – 17
AD = 83
6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:
Inicialmente, calcula-se o valor do segmento DB utilizando a razão cosseno no ∆ADB:
4cos 45º
2 42
2 8
8 2.2 2
4 2
DB
DBDB
DB
DB
=
=
=
=
=
Agora, calcula-se os valores de x e y no ∆DBC.
2 230º
3 2 23
3 6 2
6 2 3.3 3
2 6
tgy
y
y
y
y
=
=
=
=
=
30º4 2
12 4 22 4 2
2 2
xsen
x
x
x
=
=
=
=
257
Trigonometria e Números Complexos
7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC.
Observando a figura, tem-se que:
A DC 120º , logo C 30ºdessa forma o ADC é isósceles.
∧ ∧
= =∆
Assim, pode-se escrever que 40cmAD DC= = .
Logo, o é retânguloBDC∆ é retângulo.
Portanto,
sen 60º40
32 40
20 3
x
x
x
=
=
=
8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.
De acordo com enunciado, temos a seguinte figura, onde d representa a largura do rio:
258
Universidade do Sul de Santa Catarina
O ∆ABC é retângulo em A. Usando a razão tangente, temos:
60 360º
60 33
60
tgd
dd m
=
=
=
Logo, a largura do rio é de 60 metros.
9) Uma árvore projeta uma sombra de 30m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?
Note que, de acordo com a figura para resolver este problema, usaremos a razão tangente:
64º30
2,0530
30.2,0561,50
htg
h
hh m
=
=
==
Logo, a altura da árvore é de 61,50 metros.
10) (VUNESP/99) - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C?
259
Trigonometria e Números Complexos
De acordo com o problema, temos a seguinte figura, onde x representa a distância procurada:
Dessa forma, podemos aplicar razão trigonométrica seno para a resolução do problema:
sen 45º4
22 4
2 4 2
2 2
x
x
x
x km
=
=
=
=
A distância procurada é de 2 2 km .
11) Um estudante de Matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo.
A seguinte figura faz a representação do problema, onde h é a altura do prédio e x a distância do estudante ao prédio:
Note que o triângulo BCD é isósceles, pois tem-se:
^
120º log
30º
B DC o
B
∧
=
=
260
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, 20CD DB m= = .
O ∆ADB é retângulo em A, portanto, podemos utilizar a razão seno para o cálculo da medida h e a razão cosseno para o cálculo da medida x:
60º20
32 20
2 20 3
10 3
hsen
h
h
h
=
=
=
=
cos 60º20
12 20
10
x
x
x
=
=
=
Logo, a altura do prédio é de 10 3m e o estudante está a 10m de distância do prédio.
12) Determine, na figura abaixo, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm .
Para resolver este problema vamos usar a Lei dos Senos, pois o ∆ABC é um triângulo qualquer onde se conhece a medida de dois ângulos e a medida de um de seus lados.
3 3sen 45º sen 60º.sen 60º 3 3.sen 45º
3 3 3. 2.2 23 2
x
x
x
x
=
=
=
=
13) No triângulo RPM, determine o valor de x sabendo que: MP=10 2 cm; med(
^M )=60º e med(
^P )=75º.
261
Trigonometria e Números Complexos
Usando o teorema angular de Tales, temos:
^ ^ ^ ^ ^
180º 60º 75º 180º 45ºR M P R R+ + = ⇒ + + = ⇒ =
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
10 2sen 45º sen 60º.sen 45º 10 2.sen 60º
2 3. 10 2.2 210 3
x
x
x
x
=
=
=
=
14) Determine o valor de x na figura abaixo:
Usando o teorema angular de Tales, temos:
^ ^ ^
^
^
^
180º
105º 30º 180º
180º 135º
45º
A B C
B
B
B
+ + =
+ + =
= −
=
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
5 2sen 45º sen 30º.sen 30º 5 2.sen 45º
1 2. 5 2.2 2
10
x
x
x
x
=
=
=
=
262
Universidade do Sul de Santa Catarina
15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?
No ∆ABD, vamos usar a Lei dos cossenos por ser um triângulo qualquer, onde se conhece a medida de dois lados e um ângulo.
2 2 2
2
2
2
1 2 2.1.2.cos 60º11 4 4.2
5 23
3
x
x
xx
x
= + −
= + −
= −
=
= No segundo momento, vamos usar as razões trigonométricas no ∆DBC,
para podermos calcular o perímetro.
30º3
33 3
3 91
3cos30º
3 32
2
1 2 1 26
atg
a
aa
b
bb
P AD DC CB BAPP
=
=
==
=
=
=
= + + += + + +=
263
Trigonometria e Números Complexos
16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo?
Usando o teorema angular de Tales, temos:
180º
60º 75º 180º
45º
A B C
C
C
∧ ∧ ∧
∧
∧
+ + =
+ + =
=
Aplicando a Lei dos senos, temos:
18 260º 45º
. 45º 18 2. 60º
2 3. 18 2.2 218 3
xsen senx sen sen
x
x
=
=
=
=
17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8cm, e o menor ângulo que eles formam, mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo.
264
Universidade do Sul de Santa Catarina
Aplicando a Lei dos cossenos, para o ∆ABC, temos:
2 2 2
2
2
2
8 8 2.8.8.cos 60º164 64 128.2
64 64 6464
8
x
x
xxx cm
= + −
= + −
= + −
==
18) Prove a lei dos cossenos quando:
a) o ângulo  for reto
Demonstração
b) o ângulo  for obtuso
Demonstração
19) Prove a lei dos senos quando:
a) o ângulo  for reto
Demonstração
b) o ângulo  for obtuso
Demonstração
Desafios na Trigonometria
1) (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?
73 73
83 83
ca c a
cb c b
= ⇒ = = ⇒ =
265
Trigonometria e Números Complexos
Aplicando a Lei dos cossenos para resolver este problema tem-se:
^2 2 2
2 22
2 2 22
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2. . .cos
7 8 82. . .cos3 3 3
49 64 16 .cos9 9 3
49 64 9 48 .cos
49 73 48 .cos
24 48 .cos24cos481cos2
60º
a b c b c A
c c cc c A
c c c Ac
c c c c A
c c c A
c c A
A
A
A
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
= + −
= + −
= + −
= + −
− = −
− = −
=
=
=
2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?
De acordo com o enunciado do problema, temos:
266
Universidade do Sul de Santa Catarina
Aplicando a Lei dos cossenos, temos:
2 2 2
2
2
2
50 80 2.50.80.cos 60º12500 6400 8000.2
8900 40004900
70
x
x
xxx m
= + −
= + −
= −
==
Unidade 2
1) Expresse em graus (º):
a) 53π rad
b) 43π rad
c) 76π rad
d) 9π
rad
Solução:
Para transformar de radiano para graus, basta substituir radπ por 180º .
1.a) 53
5.180º 5.60º 300º3
radπ
= =
1.b) 4 4.180º 4.60º 240º3 3
radπ= = =
1.c) 7 7.180º 7.30º 210º6 6
radπ= = =
1.d) 180º 20º9 9
radπ= =
267
Trigonometria e Números Complexos
2) Expresse em radianos(rad):
a) 20º
b) 315º
c) 120º
d) 67º30´
Solução:
Para transformar de graus para radiano, basta multiplicar por 180º
radπ.
2.a) 20º
20º.
180º 9rad radπ π
=
2.b) 315º
35 7315º.180º 20 4
rad rad radπ π π= =
2.c) 120º
2120º.
180º 3rad radπ π
=
2.d) 67º 30́
1º 60́67º x
→→
´67º .60 40201º
x′
′= =
Logo, 67º 30́ 4020́ 30́ 4050́= + = .
1º 60́180º y
→→
180º.60 108001º
y′
′= =
268
Universidade do Sul de Santa Catarina
Portanto,
10800́4050́
radzπ→
→
4050 .108008121692438
z rad
z rad
z rad
z rad
π
π
π
π
′=
′
=
=
=
3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14.
103,1422.3,14.1062,8
r cm
C rCC cm
ππ
=====
4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta percorre 14,13 km.
Como o diâmetro vale:
d= 100cm
Tem-se que o raio é r = 50cm.= 0,5m
A distância a ser percorrida é de 14,13 14130km m= e o comprimento de uma roda de bicicleta é igual a
2. . 2.3,14.0,5 3,14C r C C mπ= ⇒ = ⇒ = .
Logo, o número de voltas efetuadas será a razão entre a distância e o comprimento da roda.
Número de voltas = 14130 45003,14
= .
269
Trigonometria e Números Complexos
5) O comprimento do arco AB na circunferência abaixo é:
Dados do problema:
360º
?Aplicando a fórmula, temos :
2. . .360º. .
180º3,14.60º .3
180º3,14
r cm
l
rl
rl
l
l cm
α
π α
π α
==
=
=
=
=
=
6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:
a) 1550º
Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo:
Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 1550º é 110º, que é um arco do 2o quadrante, logo, pode-se concluir que a extremidade do arco de 1550º está no 2o quadrante.
b) 956π rad
Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo:
95
6π 84 11 1114
6 6 6π π ππ= + = +
270
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de
95
6radπ
é 11
6radπ
que é um arco do 4o quadrante, logo, pode-se
concluir que a extremidade do arco de 95
6radπ
está no 4o quadrante.
c) -65
6π
rad
Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo:
-65
6π 60 5 410
6 6 6π π ππ= − − = − −
Tem-se que 23
radπ− é a primeira determinação negativa do arco e
devemos achar a primeira determinação positiva:
2 423 3
radπ ππ − =
Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de
65
6radπ
− é 43
radπ que é um arco do 3o quadrante, logo pode-
se concluir que a extremidade do arco de 65
6radπ
− está no 3o quadrante.
7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:
a) -760º
Vamos dividir 760º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva−
Tem-se que -40º é a primeira determinação negativa de -760º. Assim a primeira determinação positiva é 360º-40º=320º.
Logo, a expressão geral será:
EG=320º+k.360º, k∈Z
b) 3120º
Vamos dividir 3120º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva
271
Trigonometria e Números Complexos
Assim, a primeira determinação positiva de 3120º é 240º.
Logo, a expressão geral será:
EG=240º+k.360º, k∈Z
c) 15
2π
rad
15 15 3Vamos representar o número rad por 62 2 2
3 é 1ªdeterminação positiva2
3 2 , .2
EG k k Z
π π ππ
π
π π
= +
= + ∈
d) -25
4π
rad
25 25Vamos representar o número por 64 4 4
Como - rad é a primeira determinação negativa, vamos encontar a1ª determinação positiva:4
8 72 .4 4 47 25rad é 1ªdeterminação positiva de rad 4 4
Assim, a e
Logo
π π ππ
π
π π π ππ
π π
− − = − −
−− = =
−
xpressão geral será:7EG 2k , k Z.4π π= + ∈
8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa.
Se k=1, tem-se a 2a determinação positiva.
Logo, a 2ª determinação positiva é 30º + 360º.1=390º
Se k=-3, tem-se a 3a determinação negativa.
Logo, a 3ª determinação negativa é 30º + 360º.(-3) = -1050º.
272
Universidade do Sul de Santa Catarina
9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 152π rad.
Vamos representar o número por
é a primeira determinação positiva
Logo a expressão geral é3 22
15 15 362 2 2
3 rad .2
:
EG k ,k Z.
π π ππ
π
π π
= +
= + ∈
10) Identifique quais pares de arcos são côngruos?
a) 3π
rad e 30
3π
rad
Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de 30
3π
rad que é 0 rad, pois .
30 10 03
radπ π= + .
Logo, esse par de arcos não é côngruo.
b) – 30º e 330º
Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de-30º, que é 360º-30º=330º.
Logo, esse par de arcos é côngruo.
c) 2º e 1082º
Inicialmente, calcula-se a primeira determinação positiva de 1082º, que é 2º, pois,
Logo, esse par de arcos é côngruo.
11) Determine:
1) sen 390º sen(360º 30º ) sen 30º2
2) cos 1845º cos(1800º 45º ) cos 45º2
5 5 3) 23 3 3 2
3) sen 600º sen(360º 240º ) sen 240º sen(240º 180º ) sen 60º2
) cos 480º cos(360º 120º ) cos120º cos(180
a
b
c sen sen sen
d
e
π π ππ
= + = =
= + = =
= − = − = −
= + = = − = =
= + = =1º 120º ) cos 60º2
− = =
273
Trigonometria e Números Complexos
Obs: Para determinar os valores acima, foram usadas noções de arcos côngruos e a redução ao 1º quadrante.
12) Determine o valor da expressão:
a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º
( )330º 2.cos 0º 60º360º 330º 2.cos 0º 60º30º 2.cos 0º 60º
1 32.12 25 3 .
2
A sen senA sen senA sen sen
A
A
= − +
= − − +
= − − +
= − − +
− +=
b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= 2π
.
Substituindo x por 2π
, tem-se:
3 cos8 cos 22
3. cos8. cos 2.2 2 2
3 cos 4 cos2
3 cos 2 cos2
1 1 ( 1)1
B sen x x x para x
B sen
B sen
B sen
BB
π
π π π
π π π
π π π
= + − =
= + −
= + −
= + −
= − + − −=
c) C = 7sen cos 33
13sen 6
π π
π
−
274
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para encontrarmos o valor de C, vamos usar a definição de arcos côngruos.
( )6sen cos 23 3
12sen6 6
sen cos3
sen6
3 3 2( 1)2 2 3 2.1 1
2 2
C
C
C
π π π π
π π
π π
π
+ − + =
+
−=
+− −
= = = +
Desafios na Trigonometria
Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado, e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?
Dados do problema:
r1=9cm
r2=2cm
Calcula-se o comprimento da circunferência C2:
2
2
2. . r2. .2 4
CC cm
ππ π
== =
Observe a figura:
275
Trigonometria e Números Complexos
1
1
2. .2. .9 18
Agora encontra-se o valor do arco x:18 360º4
360º.4 20º.4 80º18 1
C rC
x
x
ππ π
ππ
ππ
== =
→→
= = =
Logo, o valor do ângulo central é 80º.
Unidade 3
1) Determine:
37 36 3)6 6 6 6 3
a tg tg tgπ π π π = + = =
7 4 3 3) cot cot cot 02 2 2 2
b g g gπ π π π = + = =
5 5 3 3 12 24 4 4 4 4 2
2
c )sec sec sec sec secπ π π π ππ π − = − = = − = − = − = −
31 24 7 7 7 1 216 6 6 6 6 62
d ) cos ec cos ec cos ec cos ec cos ecπ π π π π ππ = + = = − = − = − = −
5 52 33 3 3
e ) tg tg tgπ π ππ = − = − = −
276
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Qual o sinal da expressão:
3. 03 4
5.3 6
tg tg tgy
tg tg
π π
π π
−=
− −
.
( )
3. 03 4
5.3 6
. 03 4
5 7.3 6
3 . 1 01
.3 63
33.3
3
tg tg tgy
tg tg
tg tg tgy
tg tg
ytg tg
y
y
π π
π π
π π
π π
π π
−=
− −
− − =
− −=
−
−=
−
=
3) Determine o valor da expressão:
a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= 2π .
Substituindo x por 2π , temos:
3 8 2sen cos2 2 2
3sen cos 42
1 1 0 0
A tg
A tg
A
π π π
π π π
= + −
= + −
= − + − =
b)
7sen cos 33B 13tg
6
π π
π
−=
277
Trigonometria e Números Complexos
( ) ( )
6sen cos(2 )3 3
126 6
sen cos3
63 3 2( 1) 3 2 3 23 3 3 3 2 32 2 . . .
2 2 23 3 3 3 33 3
Btg
Btg
B
π π π π
π π
π π
π
+ − + =
+
−=
+− − + + +
= = = = =
4) Que número é maior: 3 5 ?4 6
tg ou tgπ π
3 14 4
5 36 6 3
tg tg
tg tg
π π
π π
= − = −
= − = −
Esses valores foram obtidos utilizando redução ao primeiro quadrante.
Logo, 5 3 .6 4
tg tgπ π>
5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções:
) 2 sen
) 2.cos4
) 3 sen 2
a y xxb y
c y x
= − +
=
= −
Neste exercício sugere-se a utilização do software GRAPH 4.1. Observe as análises feitas no exercício 6.
280
Universidade do Sul de Santa Catarina
2xy tg =
Responda os itens a seguir:
a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?
b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?
c) Em que intervalo a função 2y sen x= é negativa?
d) Em que intervalo a função 2 cosy x= + é positiva?
e) Qual o período da função 2xy tg =
?
281
Trigonometria e Números Complexos
[ ]
22
22
2 1 12 1 3
23 2
2 20 2
2
a ) y sen x D Ry cos x D R
xy tg D { x R / x k }
b ) y sen x Im [ , ]y cos x Im [ , ]
xy tg Im ] , [
c ) ; e ,
d ) ;e ) P
π π
π ππ π
ππ
= == + =
= = ∈ ≠ +
= = −= + =
= = − ∞ ∞
=
7) Determine o valor de k sabendo que sen x = 3k - 7.
Sabe-se que 1 sen 1x− ≤ ≤ , tem-se:
( )
1 11 3 7 1
7 1 3 7 7 1 76 3 8 36 3 83 3 3
823
senxk
kkk
k
− ≤ ≤− ≤ − ≤
− ≤ − + ≤ +
≤ ≤ ÷
≤ ≤
≤ ≤
Logo: 8| 23
k R k ∈ ≤ ≤
8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x?
( ) 5 cos51
5 1 45 1 6
Im [4,6]
f x xaba ba b
= +==− = − =+ = + =
=
282
Universidade do Sul de Santa Catarina
9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação
horária y(t) 4 3.cos t4π π = + +
, em que t é o tempo transcorrido,
em segundos e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir:
a) represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;
b) qual o ponto de partida do corpo?
O ponto de partida corresponde ao instante inicial, ou seja, t=0:
(0) 4 3.cos .0
4(0) 4 3.cos(0) 1
y
yy
π π
π
= + +
= +=
A extremidade a estava a 1cm da parede.
283
Trigonometria e Números Complexos
c) qual o seu período de oscilação?
2 2 8 segundos
4
Pmπ π
π= = =
d) Qual a amplitude do movimento?
Calcula-se a amplitude subtraindo o valor máximo atingido pela função do valor mínimo:
7-1 = 6cm.
10) Determine o domínio de cada uma das funções:
( )
) 54
54 2
20 2 44 4
20 3 43 420 20320 5
3{ / }20 5
) cot2
2
2
{ / }2
) sec 3
32
6 2 22 2
6 3 2
{2 3
a y tg x
x k
x k
x kkx
x k
D x IR x k
b y g x
x k
x k
D x IR x k
c y x
x k
x k
x k
x k D x I
π
π π π
π π π
π ππ π
π π
π π
π
π π
π π
π π
πππ π
π π π
π ππ π
= −
− ≠ +
− +≠
≠ +
≠ +
≠ +
= ∈ ≠ +
= +
+ ≠
≠ − +
= ∈ ≠ − +
= −
− ≠ +
− +≠
≠ +
≠ + = ∈ / }2 3
) cos 23
23
6 33 3
6 3
{ / }6 2 6 2
R x k
d y ec x
x k
x k
x k
x k D x IR x k
π π
π
π π
π π
π ππ π π π
≠ +
= +
+ ≠
+≠
≠ − +
≠ − + = ∈ ≠ − +
284
Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Qual o valor de 12. arccos2
y tg =
?
Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar 1arccos e usar a definição.2
x=
Logo, o arco cujo cosseno vale 12
é 3
x radπ= .
Portanto, 22 3
3 3y tg tgπ π = = = −
.
12) Encontre o valor de 32. arcsen2
y tg
=
.
Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar
3 e usar a definição.2
arcsen x=
Logo, o arco cujo seno vale 32
é 3
x radπ= .
Portanto, 2 22 3
3 3 3 3y tg tg tg tgπ π π ππ = = = − = − = −
.
13) Determine o valor de 33 .
3y arctg arctg= +
Para calcular o valor de y, vamos considerar:
333
33 .3
, .3 6
arctg a e arctg b
tg a e tg b
Logo a ebπ π
= =
= =
= =
285
Trigonometria e Números Complexos
Portanto, 3 6 2
y π π π= + = .
Desafios na Trigonometria
1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função
315 5
12 2y(t) sen tπ π = + +
onde t indica o tempo (em horas)
decorrido após o início da observação de y(t) à temperatura (em oC) no instante t. Detemine:
a) O gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);
286
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) a temperatura máxima atingida e o horário em que esta temperatura ocorreu no primeiro dia de observação.
A temperatura máxima atingida foi de 20º C, pois, para t=12 tem-se:
315 512 2
312 15 5 1212 2512 15 52
12 15 5 112 20
y(t) sen t
y( ) sen .
y( ) .sen
y( ) .y( )
π π
π π
π
= + +
= + +
= +
= +=
A temperatura máxima ocorreu às 15 horas, pois a medição iniciou-se às 3 horas da manhã. Logo, 12+3=15.
2) (Mack-SP) O valor de 3 1 35 arcsen
3 4 2tg arctg
−
pode ser dado
por:
a) 0
b) 1
c) 12
d) -1
e) 12
−
3 3Vamos considerar arctg a e arcsen b e aplicando a definição das funções circulares3 23 3inversas teremos tg a e senb .
3 2
Logo, a e b .6 3
1 5 3 3Portanto, tg 5. . tg tg tg - tg 1.6 4 3 6 12 4 4 4
π π
π π π π π π ππ
= =
= =
= =
− = − = = = − = −
3) O valor de 1 12 3 arcsen arccos2 2
arctg + + é:
a) 56π
287
Trigonometria e Números Complexos
b) 2π
c) 6π
d) 76π
e) π
Vamos considerar e e aplicando a definição das funções
circulares inversas, tem -se : e
Logo,3 6 3
Portanto,6 3
1 1arctg 3 a,arcsen b arccos c2 2
1 1tg a 3 ,senb cosc .2 2
a ,b e c .
72. rad3 6
π π π
π π π π
= = =
= = =
= = =
+ + =
Unidade 4
1) Sabendo que 1sen2
x = − e que 32
x ππ < < , então determine o valor de cos x.
Para determinarmos o valor do cos x, vamos usar a 1ª relação fundamental da trigonometria.
22 2 2 2 2 2
2
1 3 cos ?2 2
1 1cos 1 cos 1 cos 1 cos 12 4
3 3cos cos4 4
Como x é um arco do 3º quadrante, onde o cosseno é negativo, temos:
3cos .2
senx com x x
sen x x x sen x x x
x x
x
ππ= − < < =
+ = ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ = − ⇒
= ⇒ = ±
= −
288
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Sabe-se que 35
sen x = − e 3 x 22π π< < . Qual o valor da cotg x?
Inicialmente calcularemos o valor do cos x, utilizando a 1ª relação fundamental da trigonometria:
2 2
22
2
3 3 25 21
315
9125
1625
1625
45
44 55
3 5 35
x
senx com x cot gx ?
cos x sen x
cos x
cos x
cos x
cos x
cos x
cos xUsaremos, agora, a relação cot gx para encontrar o valor da cotg x : senx
cos xcot gx .senx
π π= − < < =
= −
= − −
= −
=
= ±
=
=
= = = −−
43
. = −
3) Sabendo que 3
2sen x = e x
2π π< < , determine o valor da expressão
2 2sec cos .x x+
289
Trigonometria e Números Complexos
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
3 sec cos ?2 2
Calcularemos, primeiramente, o cos :cos 1cos 1
3cos 12
3cos 14
1cos4
1cos4
Como x é um arco do 2º quadrante tem-se que:1cos2
Na seqüênci
senx com x x x
xx sen xx sen x
x
x
x
x
x
π π= < < + =
+ =
= −
= −
= −
=
= ±
= −
22 2 2
1a, utilizando sec , tem se:cos
1seccos1sec 12
sec 2Substituindo os valores encontrados na expressão:
1 1 16 1 17sec cos ( 2) 4 .2 4 4 4
xx
xx
x
x
x x
= −
=
=−
= −
+ + = − + − = + = =
290
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cossen x x= − e que
2
xπ π< < ?
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
?cos ?
2cos2
Substituindo -2cos na relação trigonométrica fundamental tem-se:cos 1
2cos cos 1
4cos cos 15cos 1
1cos5
1cos5
Observando o quadrante do arco tem
senxx
senx x com x
xsen x x
x x
x xx
x
x
x
π π
==
= − < <
+ =
− + =
+ =
=
=
= ±
-se:
5cos5
52.cos 2.5
2 5 .5
x
senx x senx
senx
= −
= − ⇒ = − −
=
5) Se 5sec3
x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
( )2 216 cot cosA g x ec x= + .
2 2
2 2
2 2
5sec 1º 16.(cot cos ) ?3
1Inicilamente calcula-se o valor do cos utilizando a relação sec :cos
5sec3
1 5cos 35cos 3
3cos5
Agora, calcularemos o sen :sen cos 1sen 1 cos
x x quadrante A g x ec x
x xx
x
xx
x
xx xx x
sen
= ∈ = + =
=
=
=
=
=
+ =
= −2
2
2
2
3159125
1625
1625
45
Conhecendo-se o valor do sen e cos , pode-se calcular a cotg e a cossec :coscot
33 5 35cot .4 5 4 4
51cos
1 5cos 4 45
Substituindo os
x
sen x
sen x
senx
senx
x x x xxgx
senx
gx
ecxsenx
ecx
= −
= −
=
= ±
=
=
= = =
=
= =
valores encontrados na expressão tem-se:
291
Trigonometria e Números Complexos
2 2
2 2
2 2
5sec 1º 16.(cot cos ) ?3
1Inicilamente calcula-se o valor do cos utilizando a relação sec :cos
5sec3
1 5cos 35cos 3
3cos5
Agora, calcularemos o sen :sen cos 1sen 1 cos
x x quadrante A g x ec x
x xx
x
xx
x
xx xx x
sen
= ∈ = + =
=
=
=
=
=
+ =
= −2
2
2
2
3159125
1625
1625
45
Conhecendo-se o valor do sen e cos , pode-se calcular a cotg e a cossec :coscot
33 5 35cot .4 5 4 4
51cos
1 5cos 4 45
Substituindo os
x
sen x
sen x
senx
senx
x x x xxgx
senx
gx
ecxsenx
ecx
= −
= −
=
= ±
=
=
= = =
=
= =
valores encontrados na expressão tem-se:
2 2
2 2
16.(cot cos )
3 516.4 4
9 2516.16 16
4116.16
41.
A g x ec x
A
A
A
A
= +
= +
= +
=
=
292
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) Se 13
sen x = , com 0 ≤ x ≤ 2π , calcule o valor da expressão
cotsec costgx gxy
x x+
=−
.
Inicialmente, simplifica-se a expressão cot
sec costgx gxy
x x+
=−
utilizando as relações trigonométricas estudadas:
2 2
2
sen coscos sen
1 coscossen cos
sen .cos1 cos
cos
x xx xy
xxx xx xy
xx
+=
−
+
=−
Como 2 2sen cos 1x x+ = e 2 21 cos senx x− = , tem-se:
2
2
3
3
1.cos
cos1 cos..cos
1
Substituindo o valor do sen , tem-se:1 1 27.11
273
senx xysen x
xxy
senx x sen x
ysen x
x
y
=
=
=
= = =
7) Calcule o valor de 2cos cossec .sec
1ec x x xy
tgx−
=−
, dado 14
sen x = .
Inicialmente, simplifica-se a expressão 2cos cos .sec
1ec x ecx xy
tgx−
=−
utilizando as relações trigonométricas estudadas:
293
Trigonometria e Números Complexos
2
2
2
2
22
11 1 1
1
1 1 111
164
cos ec x cos ecx.sec xytgx
.sen x senx cos xy senx
cos xcos x senxsen x.cos xy cos x senx
cos xcos x senx cos xy .sen x.cos x cos x senx
Substituindo o valor do sen x, tem-se:
ysen x
−=
−
−=
−
−
=−
− = −
= = = =
16.
8) Se 5sec3
x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
2 225.cos 16.cot .A x g x= −
2 2
2 2
2 2
5sec 1º 25.cos 16.cot3
1Utilizando a relação secx calcula-se o cosx:cosx
5sec3
1 5cos 35cos 3
3cos5
Agora pode-se calcular o senx utilizando a relação sen cos 1: sen cos 1
x x quadrante A x g x
x
xx
x
x xx x
= ∈ = −
=
=
=
=
=
+ =
+ =2
2
2
2 2
2 2
3 sen 15
1625
1625
45
Obtêm-se o valor da cotgx:coscot
33 5 35cot .4 5 4 4
5Substituindo os valores na expressão tem-se:
25.cos 16.cot
3 325. 16.5 4
25.
x
sen x
senx
senx
xgxsenx
gx
A x g x
A
A
+ =
=
= ±
=
=
= = =
= −
= −
=9 916.25 16
9 90.
AA
−
= −=
294
Universidade do Sul de Santa Catarina
9) Determine:
) 105º
3 2 2 1 6 2105º (60º 45º ) 60º .cos 45º 45º.cos 60º . . .2 2 2 2 4
) 75º
3 3 3145º 30º 3 3 3 3 12 6 33 375º (45º 30º ) . 2 3.1 45º. 30º 63 3 3 3 3 3 31 1.
3 3)cos15º
cos15º cos (45º 30º ) co
a sen
sen sen sen sen
b tg
tg tgtg tgtg tg
c
+= + = + = + =
+++ + + +
= + = = = = = = +− − − +
−
= − =2 3 2 1 6 2s 45º.cos30º 45º. 30º . . .
2 2 2 2 4sen sen +
+ = + =
295
Trigonometria e Números Complexos
10) Sabendo que 35
sen x = e que 2
xπ π< < , calcule o valor de
3cos xπ +
.
2 2
2 2
22
2
2
3 cos ?5 2 3
Inicialmente calcula-se o valor do cosx:sen cos 1cos 1
3cos 159cos 125
16cos25
16cos25
4cos5
Utilizando a fórmula da adição cos cos co
senx com x x
x xx sen x
x
x
x
x
x
(a b) a.
π ππ = < < + =
+ =
= −
= −
= −
=
= ±
= −
+ = s :
cos cos .cos .3 3 3
1 4 3 3cos . .3 2 5 2 5
4 3 3cos .3 10
b - sen a.senb
x x sen senx
x
x
π π π
π
π
+ = −
+ = − −
− − + =
296
Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Calcule o valor numérico da expressão
cos( 30º ) cos( 30º )cos( 60º ) sen(30º )
x xyx x+ + −
=− + −
.
cos( 30º ) cos( 30º )cos( 60º ) (30º )cos .cos30º . 30º cos .cos30º . 30ºcos .cos 60º . 60º 30º.cos .cos30º
2cos .cos30ºcos . 30º cos . 30º2cos .cos30º2cos .
x xyx sen xx senx sen x senx senyx senx sen sen x senx
xyx sen x sen
xyx sen
+ + −=
− + −− + +
=+ + −
=+
=30º
32123.
y
y
=
=
12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º )y x x= + + − .
Utilizando as trnasformações da soma e subtração dos cossenos dos arcos,tem-se:cos(120º ) cos(120º )cos120º.cos 120º cos120º.cos 120º.2cos120º.cos
Reduzindo 120º ao primeiro qu
y x xy x sen senx x sen senxy x
= + + −= − + +=
( )adrante tem-se:
2. cos 60º .cos12. .cos2
cos
y x
y x
y x
= −
= −
= −
13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x
2
2
5 2 ?22
12.5 10 102
1 5 1 25 2452
12
tgx tg xtgxtg xtg x
tg x
tg x
= =
=−
= = =− − −
= −
297
Trigonometria e Números Complexos
14) Sabendo que 1cos3
x = , calcular cos 2 .x
2
2 2
22
2
2
2 2
Calcula - se o valor do utilizando relação trigonométrica :1
1
113
119
89
89
83
Utilizando a fórmula do arco duplo tem -se :2
2
2
sen x sen x cos xsen x cos x
sen x
sen x
sen x
senx
senx
cos x cos x sen x
cos
+ =
= −
= −
= −
=
= ±
=
= −221 8
3 3
1 829 9
729
x
cos x
cos x .
= −
= −
= −
298
Universidade do Sul de Santa Catarina
15) Se 1cos2
sen x x− = , calcule o valor de 2 .sen x
( )2
2
2 2
2 2
1 22
Pode - se resolver este exercício elevando ambos os lados ao quadrado, observe :
12
124124
Pela relação fundamental tem -se :
senx cos x sen x ?
senx cos x
sen x senx.cos x cos x
sen x cos x senx.cos x
s
− = =
− =
− + =
+ − =
2 2 1 epela transformação do arco duplo tem -se logo pode - se escrever :
11 24
11 24
324
en x cos x 2senx.cosx sen2x,
sen x
sen x
sen x
+ ==
− =
− =
=
16) Sendo 1cot2
g x = , calcule 2 .tg x
2
2
1cot 2 ?21cot2
1 122
221
2.221 2
421 4
423
gx tg x
gx
tgxtgx
tgxtg xtg x
tg x
tg x
tg x
= =
=
=
=
=−
=−
=−
= −
299
Trigonometria e Números Complexos
17) Sendo 21 cos 2 2.cosE x x= − + calcular 2 3E E E+ + .
( )
2 2 3
2 2 2
2 2 2
2 2
2 3 2 3
1 cos 2 2cos ?Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:
1 cos 2cos
1 cos 2cos1 cos
Pela relação fundamental, tem-se:1 1 2
2 2 2 2 4 8 14.
E x x E E E
E x sen x x
E x sen x xE sen x x
EE E E
= − + + + =
= − − +
= − + +
= + +
= + =
+ + = + + = + + =
18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?
Para calcular esta expressão, vamos usar as relações trigonométricas:
( )
( ) ( )
( )2 2
10º cot 10º . 20º
10º cos10º10º cot 10º . 20º . 2.10ºcos10º 10º
Pela relação trigonométrica e transformação do arco duplo, tem-se:
10º cos 10º10º cot 10º . 20º10º.cos10º
tg g sen
sentg g sen sensen
sentg g sensen
+ =
+ = +
++ =
( )
( )( )
.2 10º .cos10
110º cot 10º . 20º .2. 10º .cos10º10º.cos10º
10º cot 10º . 20º 1.2
10º cot 10º . 20º 2.
sen
tg g sen sensen
tg g sen
tg g sen
°
+ =
+ =
+ =
300
Universidade do Sul de Santa Catarina
19) Se cot 4tg x g x+ = , então quanto vale 2sen x ?
Utilizando as relações trigonométricas tem-se:
2 2
2 2
cot 4 2 ?cos 4
coscos 4. .cos
.cos .coscos 4. .cos
Pela relação trigonométrica tem-se:1 4. .cos
1.cos4
Sabendo que 2 2. .cos , pode-se
tgx gx sen xsenx x
x senxsen x x senx x
senx x senx xsen x x senx x
senx x
senx x
sen x senx x
+ = =
+ =
+=
+ =
=
=
= substituir o resultado obtido acima:12 2.4
12 .2
sen x
sen x
=
=
20) Sendo 45ºa b+ = e 23
tg a = , calcule tg b .
( )
Utilizando a fórmula tg(a b), tem-se:
1 .2345º 21 .
3231 21 .
32 21 .3 3
3 2 2 33 3
3 2 2 33 2 3 25 1
1 .5
tga tgbtg a btga tgb
tgbtg
tgb
tgb
tgb
tgb tgb
tgb tgb
tgb tgbtgb tgb
tgb
tgb
++
+ =−
+=
−
+=
−
− = +
− +=
− = +− = +
=
=
301
Trigonometria e Números Complexos
21) Resolver a equação 2 2 0sen x sen x+ − = para 0 2x π≤ ≤ .
( )
2
o
2
2 0 0 2Observe que esta equação representa uma equação do 2 grau cuja a incógnita é portanto pode - se utilizar a fórmula resolutiva deste tipo de equação :
1 4 1 21 8 9
1
sen x senx xsen x,
. .
senx
π+ − = ≤ ≤
∆ = − −
∆ = + =
− ±=
92 1
1 324 22 12 2
Como 1 1 então 1
Portanto,2
2
.
senx
sen x e sen x
senx senx
x
S
π
π
− ±=
= − = − = =
− ≤ ≤ =
=
=
22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .
302
Universidade do Sul de Santa Catarina
23) Determine o conjunto solução da equação 2 0sen x sen x− = sendo 0 x .π≤ ≤
( )
2 0 02 0
Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:2 .cos 0Colocando-se senx em evidência, tem-se:
. 2cos 1 0Aplicando a lei do anulamento,tem se:
0
2cos 1 0 cos
sen x senx xsen x senx
senx x senx
senx x
senx
x x
π− = ≤ ≤− =
− =
− =
−
=
− = ⇒ =12
Observando o intervalo de definição, tem-se:0 0 ou1cos2 3
0, , .3
senx x x
x x
S
ππ
π π
= ⇒ = =
= ⇒ =
=
24) Resolva em IR a equação:
23 3 2
sen x sen xπ π + + − =
303
Trigonometria e Números Complexos
25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintes inequações:
12
a) sen x < −
7 11{ / }6 6
S x IR xπ π= ∈ < <
2cos2
b) x ≥ −
3 5{ / 0 2 }4 4
S x IR x ou xπ π π= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
304
Universidade do Sul de Santa Catarina
1c) tg x ≤
5 3{ / 0 2 }4 2 4 2
S x IR x ou x ou xπ π π π π= ∈ ≤ ≤ < ≤ < <
3cos2
d) x <
11{ / }6 6
S x IR xπ π= ∈ < <
305
Trigonometria e Números Complexos
Desafios na Trigonometria
1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 2x π≤ ≤ , tais que ( )2cos 1sen x x+ = é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) Maior que 5
( )
( )
2
2 2
2 2
0 2 cos 1Desenvolvendo o quadrado da soma, temos:
2 .cos cos 1
cos 2. .cos 1
1 2 .cos 12 .cos 02 0 cos 0
0onde tem-se 0, 2cos 0
3tem-se 2 2
Logo
x senx x
sen x senx x x
sen x x senx x
senx xsenx xsenx ou x
senxx x e x
x
x e x
π
π π
π π
≤ ≤ + =
+ + =
+ + =
+ ==
= ==
= = ==
= =
3 a solução é 0, , , , 2 .2 2
Portanto o número de soluções é 5.
S π ππ π =
2) No intervalo 0 2x π≤ < , a equação 2cos
1x sen x
sen x=
+, apresenta
exatamente:
a) uma única solução.
b) duas soluções.
c) três soluções.
d) quatro soluções.
e) cinco soluções.
306
Universidade do Sul de Santa Catarina
( ) ( )( ) ( )
2
2
2
cos1Utilizando a relação trigonométrica fundamental, tem-se:11Como1 sen x é uma diferença de dois quadrados, temos: 1 senx . 1 senx
1 . 11
simplificando o fator comum tem
x sen xsen x
sen x senxsenx
senx senxsenx
senx
=+
−=
+− − +
− +=
+os :
11 2
12
5Logo, os valores que satisfazem a igualdade são e .6 6
Portanto, são duas soluções.
senx senxsenx
senx
π π
− ==
=
Unidade 5
1) Resolva as equações no universo dos números complexos:
a) x2 + 4 = 0
a = 1, b = 0, c = 4
( )
2
2
1
2
4. .0 4.1.40 16 16
2.0 16
2.10 16. 1
216. 1
24.222
{2 , 2 }
b a c
bxa
x
x
x
ix
x ix iS i i
∆ = −
∆ = −∆ = − = −
− ± ∆=
− ± −=
± −=
± −=
±=
= += −
= −
307
Trigonometria e Números Complexos
( )
2
2
1
2
4. .0 4.1.40 16 16
2.0 16
2.10 16. 1
216. 1
24.222
{2 , 2 }
b a c
bxa
x
x
x
ix
x ix iS i i
∆ = −
∆ = −∆ = − = −
− ± ∆=
− ± −=
± −=
± −=
±=
= += −
= −
b) x2 – 4 x + 5 = 0
( )2
1, 4, 5
4 4.1.516 20
4
( 4) 42.1
4 4.( 1)2
4 4. 12
4 2.2
2{2 , 2 }
a b c
x
x
x
ix
x iS i i
= = − =
∆ = − −
∆ = −∆ = −
− − ± −=
± −=
± −=
±=
= ±= + −
2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ .
2z - 3iz 0( 3 ) 0
Ultizando a Lei do Anulamento, tem se :0
3 03{0, 3 }
z z i
zouz iz iS i
=− =
−=
− ===
308
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Determine x e y, para que o número complexo
z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja:
a) Um número real.
2
2
Im( ) 04 04
42
zyy
yy
=
− =
=
= ±= ±
b) Um número imaginário puro.
2
2
Re( ) 0 Im( ) 04 2 04 2
24124 04
42
z e zxx
x
x
yy
yy
= ≠− ==
=
=
− ≠
≠
≠ ±≠ ±
4) Calcule:
a) (2 + 3i) + (2 – i)
(2 3i) (2- i) 2 3 2 4 2i i i+ + = + + − = + .
b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i)
(6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) = 6 5 2 4 2 7 5i i i i− + − − − = − .
c) ( )2 1 4 23 2
i i i + − − + −
( )2 1 4 2
3 2i i i + − − + −
=
2 1 2 1 4 3 24 254 2 43 2 3 2 6 6
i i i − ++ − + + − = − + = = .
309
Trigonometria e Números Complexos
5) Efetue:
a) (2 – i).(1 + 3i)
2(2 ).(1 3 ) 2 6 3 2 6 3 5 5i i i i i i i i− + = + − − = + − + = + .
b) 1 1.2 2
i i + −
21 1 1 1 1 1 1 4 5. 12 2 4 2 2 4 4 4
i i i i i + − + = − + − = + = =
.
c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i)
( ) [ ] ( )2
2
1 .(2 ) .(1 2 ) 2 2 .(1 2 ) 2 2 1 .(1 2 ) 3 .(1 2 )
3 6 2 3 6 2 1 7 .
i i i i i i i i i i i i
i i i i i i
+ − + = − + − + = − + + + = + + = + + + = + + − = +
6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi:
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
2
2
2 2
2
2 2 2
2
22 2 4 2 4 2 1 2) . .2 2 2 4 4 2
4 2 2 2 8 4 2 2 2 24 2 8 6 2 2 6 6 2) . 1 2 .4 2 62 2 2 2 2 2 4 2
1 1 2 1 2 1 2 (2 ) 4 2 4 2 2 4) . .2 2 2 (2 ) (2 ) 4 4 1 5 5
ii i i i i iai i i i
i i i i ii i ib ii i i i
i i i i i i i i ic ii i i i i i
− +− + − − + += = = =
− −
+ + + + ++ + − += = = = = +
+− − + −
+ + + + − + + −= = = = = = − +
− − − − + − +
7) Qual o conjugado do número complexo 3
1 2z
i=
+?
( )( ) 2
Inicialmente coloca-se z na forma a bi:1 23 3 6 3 6 3 6.
(1 2 ) 1 2 1 4 1 4 5 53 6 3 6Como .5 5 5 5
i i iz ii i i
z i z i
+
− − −= = = = −
+ − − +
= − ⇒ = +
310
Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Determine o valor real de x para que o produto
(12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real.
Inicialmente escreve-se o número complexo dado na forma a + bi:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
212 2 . 18 2 216 12 .( 2) 36 2 . 2
12 2 . 18 2 216 12 24 36 2 4
12 2 . 18 2 212 (12 60)
i x i i x i i x
i x i xi i i x
i x i x i
− + − = + − − − − − + − = + − − + − − + − = + −
Dessa forma tem-se:
Im( ) 0 12 60 012 60
60125
z xx
x
x
= ⇒ − ==
=
=
9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.
Expressando estas informações na linguagem matemática, tem-se:
( )22
2 2 2
2
2
2
18
. 145
Se , tem se que z .Substituindo no sistema, tem-se:
1818
2 189
. 145( ).( ) 145
145
9 14581 145
145 8164
648
Portanto, o módulo d
z z
z z
z a bi a bi
z za bi a bi
aa
z za bi a bi
a bi
b ib
bb
bb
+ =
== + − = −
+ =+ + − =
==
=+ − =
− =
− =
+ =
= −
=
= ±= ±
e a.b 9.( 8) 72.= ± =
311
Trigonometria e Números Complexos
10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .
( ) ( )
250 104 37
125 522 2 1
2
125 52
2Aplicando propriedade de potência, tem-se:
2
Sabe-se que i 1, logo:( 1) ( 1) 2
1 1 22Utilizando a igualdade entre números complexos, tem-se:
i i i a bi
i i i a bi
i a bii a bi
i a bi
a
+ + = +
+ + = +
= −
− + − + = +− + + = +
= +
0 2e b= =
11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*.
Aplicando as propriedades de potência, tem-se:
( )
( )
8 3
42 3
4
Sabe - se que 1 e tem -se
1
Observe que sempre será positivo, pois representa um número par1
8n 3 n
n8n 3
2 3
n8n 3
4n
8n 3
8n 3
i i .i
i i .i
i i i, :
i .( i )
(-1) 4n .i .( i )i i.
+
+
+
+
+
=
= = − = −
= − −
= −
= −
312
Universidade do Sul de Santa Catarina
12) Simplificando 101 50
100 49
(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2)
i ii i
+ −− − −
, obtém-se:
Coloca-se em evidência (-1), para poder utilizar divisão de potência de mesma base:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )
101 50101 50
100 100 49 49100 49
101 50101 50
100 49100 49
101 100 50 49101 50
100 49
101 50
2 . 2(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2) 1 . 2 . 1 . 2
2 2(2 ) .(2 ) .( 2 ) .( 2) 2 1. 2
2 . 2(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2) 1(2 ) .(2 )
i ii ii i i i
i ii ii i i i
i ii ii ii i
− −
+ −+ −=
− − − − + − −
+ −+ −=
− − − + − −
+ −+ −=
− − − −
+ − ( ) ( )100 49
101 502
100 49
101 50
100 49
101 50
100 49
2 . 2( 2 ) .( 2)(2 ) .(2 ) (4 2 2 )
( 2 ) .( 2)(2 ) .(2 ) (4 1)
( 2 ) .( 2)(2 ) .(2 ) 5.
( 2 ) .( 2)
i ii ii i i i ii ii ii ii ii i
= − + −− − −
+ −= − − + −
− − −
+ −= − +
− − −
+ −= −
− − −
13) Se 38 3
2
(10 ).(1 )
i i izi
+ −=
−, determine 2ρ .
Lembre-se que ρ é o módulo do número complexo, dessa forma deve-se escrevê-lo na forma algébrica: z =a + bi:
( )
( )
38 3
2
2 3 4
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
(10 ).1
101 2
1 10.( ) 11 2 1
( 2 10 ) 2.2 2
4 204
4 204
55 1, logo:
z 5 - i
5 ( 1)25 1 26
Portanto, 26.
i i izi
i i izi i
izii iz
i ii iz
iiz
z ia e b
a bρρρ
ρ
+ −=
−
+ −=
− +
− + − −=
− −− −
=−
− −=
−− +
=
= −= = −=
= +
= + −
= + =
=
313
Trigonometria e Números Complexos
( )
( )
38 3
2
2 3 4
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
(10 ).1
101 2
1 10.( ) 11 2 1
( 2 10 ) 2.2 2
4 204
4 204
55 1, logo:
z 5 - i
5 ( 1)25 1 26
Portanto, 26.
i i izi
i i izi i
izii iz
i ii iz
iiz
z ia e b
a bρρρ
ρ
+ −=
−
+ −=
− +
− + − −=
− −− −
=−
− −=
−− +
=
= −= = −=
= +
= + −
= + =
=
14) Se k é um número real e o argumento de k 2iz3 2i
+=
− é 45º, então
calcule |z|.
Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:
( )( )
( )( )
2
2
2 3 2 3 2 6 4 (3 4) (2 6).3 2 3 2 9 4 9 4
3 4 2 613 13
Como o argumento principal é 45 , tem se : Re( ) Im( )3 4 2 6
13 133 4 2 63 2 6 4
10Substituindo o valor de k em z, tem-se: z
k i i k ki i i k k izi i i
k kz i
z zk k
k kk k
k
°
+ + + + + − + += = =
− + − +
− += +
− =− +
=
− = +− = +
=
=2 2
2 2
2 2i
z
2 2
8 2 2
Portanto, z 2 2
a b
z
z
+
= +
= +
= =
=
314
Universidade do Sul de Santa Catarina
15) Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um número real. Se o
argumento de z é 270º, então calcule 1z
.
Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:
2
2 2
2
2
24 44 4
Como o argumento principal é tem -se que é um número imaginário puro e negativoLogo e
4 04
42
Para tem -se4 4 2 4 4
2
2
z ( x i )z x xi iz ( x ) xi
270 , z ., Re(z) 0 Im(z) 0
xx
xx
, x 2, :z (2 ) . i ( )
= −
= − +
= − −
= ≠
− =
=
= ±= ±
=
= − − = − −
o
2
8 8Para tem -se
4 4 2 4 4 8 8Portanto 8Logo1 1 8 8 8
8 8 64 64 8
2
i i, x -2, :
z ((-2) ) .( )i ( ) i i, z i.
i i i i. .z i i i
= −=
= − − − = − + == −
= = = =− −
16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1.
2
2
2
( ) 2 4 5( 1) 2( 1) 4( 1) 5( 1) 2( 2 1) 4 4 5( 1) 2( 1 2 1) 4 1( 1) 2.( 2 ) 4 1( 1) 4 4 1( 1) 1.
f z z zf i i if i i i if i i if i i if i i if i
= + +
− = − + − +
− = − + + − +− = − − + + +− = − + +− = − + +− =
315
Trigonometria e Números Complexos
17) Sendo z1=4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º) determine z1.z2.
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
4 10
2 20
. . cos .
. 4.2 cos(10 20 ) . (10 20 )
. 8. cos30 . 30
3 1. 8. .2 2
8 3 8.2 2
. 4 3 4 .
z ez e
z z i sen
z z i sen
z z i sen
z z i
z z i
z z i
ρ θ
ρ θ
ρ ρ θ θ θ θ
⇒ = =
⇒ = =
= + + + = + + +
= +
= +
= +
= +
18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o valor
de 2
1
zz
?
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
2 22 1 2 1
1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 30
4 60
4 60 30 60 302
2 30 30
3 122 2
2 3 22 2
3
z ez ez . cos i.senzz . cos( ) i.sen( )zz . cos i.senz
z . i.z
z izz i.z
ρ θ
ρ θρ θ θ θ θρ
⇒ = =
⇒ = =
= − + −
= − + −
= +
= +
= +
= +
o
o
o o o o
o o
316
Universidade do Sul de Santa Catarina
19) Calcule:
a) (1 – i)6
( ) ( ) [ ] ( )3 36 2 3 32 31 1 1 2 1 2 1 2 8 8.( ) 8i i i i i i i i i − = − = − + = − − = − = − = − − =
b) 1001 32 2
i
− +
[ ]( )
2 2
22
100 100
100
1 32 2
1 31002 2
1 3 1 3 12 2 4 4
112
1 2
332
1 2120
1 100 120 100 120
12000 12000
n n
z i
n , a ,b
a b
acos cos
bsen sen
z . cos( n ) i.sen( n )
z . cos . i.sen( . )
z cos i.sen
ρ
ρ
θ θρ
θ θρ
θρ θ θ
= − +
= = − =
= +
= − + = + =
−= ⇒ = = −
= ⇒ = =
=
= +
= + = +
o
o o
o o
100
100
100
120 120
60 60
1 32 2
o
o
Calcula-se a primeira determinação positiva de 12000 :z cos i.senFaz-se a redução ao primeiro quadrante para o arco de 120z cos i.sen
z i.
= +
= − +
= − +
o o
o o
317
Trigonometria e Números Complexos
20) Calcule:
a) As raízes quadradas de 1 3z i= + .
( )
2 2
22
1 3
1 3
1 3
1 3 4 212
32
3
23 3
2 23 32
2 2k
z i
a e b
a b
acos cos
bsen sen
Logo, 60 rad
z .(cos i.sen )
As raízes quadradas de z são dadas pela fórmula:
k kz . cos i.sen com k {0,
ρ
ρ
ρ
θ θρ
θ θρ
πθ
π π
π ππ π
= +
= =
= +
= +
= + = =
= ⇒ =
= ⇒ =
= =
= +
+ + = + ∈
o
0
1
3 1 6 20 2 26 6 2 2 2 2
7 7 3 1 6 21 2 26 6 2 2 2 2
1}
k z . cos i.sen . i. i.
k z . cos i.sen . i. i.
π π
π π
= ⇒ = + = + = + = ⇒ = + = − − = − −
318
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) As raízes quartas de z=-4.
( )
2 2
2 2
4k
0
44 0
4 0
16 0 44cos cos 1
40 04
Logo, 4.(cos . )
As raízes quartas de z são dadas pela fórmula:2 2z 4. cos . com k {0,1, 2, 3}4 4
k 0 z 2
za e b
a b
a
bsen sen
z i sen
k ki sen
ρ
ρ
ρ
θ θρ
θ θρ
θ ππ π
π π π π
= −= − =
= +
= − +
= + =−
= ⇒ = = −
= ⇒ = =
== +
+ + = + ∈
= ⇒ =
1
2
3
2 2. cos . 2. 14 4 2 2
3 3 2 21 2. cos . 2. 14 4 2 2
5 5 2 22 2. cos . 2. 14 4 2 2
7 7 2 23 2. cos . 2. 14 4 2 2
i sen i i
k z i sen i i
k z i sen i i
k z i sen i i
π π
π π
π π
π π
+ = + = + = ⇒ = + = − + = − + = ⇒ = + = − − = − − = ⇒ = + = − = −
319
Trigonometria e Números Complexos
Desafios em números complexos
1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:
Aplicando as propriedades de potência:
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )
2
2
2
3
3
3 3
3
2 (1 ) 16
2 1 16
2 1 2 16
2 1 2 1 16
2 2 16
2. 2 16
2 8
2 2 .( )
Lembrando que -i i , tem-se:
2 2 .
2 (2 ) 3
n n
nn
nn
n n
n n
n
n
n
n
n
i i i
i i i
i i i i
i i i
i i i
i i
i i
i i
i i
i i n
+ = −
+ + = −
+ + + = −
+ + − = −
+ = −
= −
= −
= −
=
=
= ⇒ =
2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i)200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é:
( )
( )
1002 2
1002
100
4 2 2
4 1
1 5
1 5
200 3
200 3
200 3
200 3
200
(-i) (2 i).(2 - i) i i ( i i i ) ( i )
(-i) (2 i).(2 - i) i i i
(-i) (2 i).(2 - i) i i
(-i) (2 i).(2 - i) i i(-i) (2 i)
+ + + = − + + − − + −
+ + + = + + −
+ + + = − + −
+ + + = + −
+ + 63.(2 - i) i i.+ = −
320
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6=1. Qual a área deste polígono?
6
6
0
1
2
1
11
Calcula-se o módulo e o argumento de z:1 0
Aplicando a fórmula de Moivre, tem-se:
cos .3 3
Então:k 0 z cos 0 . 0 1
1 31 cos .3 3 2 22 2 1 32 cos .3 3 2 2
3
k
z
zz
k kz i sen
i sen
k z i sen i
k z i sen i
k
ρ θ
π π
π π
π π
=
==
= ⇒ =
= +
= ⇒ = + =
= ⇒ = + = +
= ⇒ = + = − +
=
3
4
5
cos . 1
4 4 1 34 cos .3 3 2 2
5 5 1 35 cos .3 3 2 2
Para cada valor de k obtem-se um par ordenado que representa z no plano de Argand Gaus:
1 3 1 3(1,0); , ; , ;2 2 2 2
z i sen
k z i sen i
k z i sen i
π π
π π
π π
⇒ = + = −
= ⇒ = + = − −
= ⇒ = + = −
−
( ) 1 3 1 31,0 ; , ,
2 2 2 2e
− − − −
Observe a figura:
321
Trigonometria e Números Complexos
Para calcularmos a área do hexágono, vamos inicialmente, calcular o lado da figura, utilizando o cálculo da distância entre dois pontos no plano.
Vamos escolher dois vértices consecutivos:
(1,0) e 1 3,2 2
( ) ( )2 22 1 2 1
22
22
1 31 02 2
1 32 2
1 34 4
1.
d x x y y
d
d
d
d
= − + −
= − + −
= +
= +
=
Cálculo da Área do hexágono:
2
2
3 32
Tem-se que d , onde é a medida do lado do hexágono, logo:
3.1 32
3 3 . .2
A
A
A u a
=
=
=
=
Referências
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FLEMMING, Diva Marília, LUZ, Elisa Flemming e WAGNER, Christian – Tópicos de Matemática Elementar. Palhoça: Unisul Virtual, 2005, 246p.
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IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: Complexos, polinômios e equações. Vol 6. São Paulo: Atual, 1993.
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KENNEDY, Edward S. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria. São Paulo: Atual, 1994.
NETTO, Scipione Di Pierro e ORSI, Sérgio Filho. Quanta Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. Fascículo 4. São Paulo: Saraiva, 2000.
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NETTO, Scipione Di Pierro e ORSI, Sérgio Filho. Quanta Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. Fascículo 9. São Paulo: Saraiva, 2000.
PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2004, vol 2 e 3.
ZAPIROLLO, Maria Jose Couto de Vasconcelos. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha. CANDIDO, Suzana Laino. Matemática – Projeto escola e cidadania para todos. São Paulo: Editora do Brasil, 2004.