Curso: Licenciatura em Matemtica Perodo: Diurno Disciplinas: EL684 Segundo Semestre de 2010 Professor Responsvel: Antonio Miguel FE/DEPRAC/CEMPEM/HIFEM/PHALA LISTA NICA DE UNIDADES BSICAS DE PROBLEMATIZAO INDISCIPLINAR UBP 1 (T) - No sexto sculo a.C., Eupalinos de Megara coordenou e assessorou o processo de construo de um aqueduto subterrneo, em Samos, a pedido de Polcrates. Para constru-lo, escravos provindos, sobretudo, da ilha grega de Lesbos tiveram de cavar atravs do Monte Kastro. O tnel que levou cerca de 20 anos para ser concludo - ainda existe e tem, aproximadamente, 1036 m de extenso por 2m de largura. Foi simultaneamente escavado pelas duas extremidades do aqueduto, isto , por dois pontos da montanha, com altitudes diferentes. O erro no encontro das duas escavaes foi de quase 10m, horizontalmente, e 2,5m na vertical. De fato, esse erro pequeno, menor do que 1%. Com base no livro Sobre a Dioptra, escrito muito mais tarde por Heron de Alexandria, inferimos que, supostamente, a prtica sociocultural acionada por Eupalinos para se determinar a direo a ser seguida, em ambos os lados, a fim de que as duas equipes de escavadores se encontrassem no interior do monte, teria sido a seguinte: 1. fixou dois pontos E e M a partir dos quais se podia avistar, respectivamente, as duas extremidades B e D do aqueduto, escolhidas como pontos de partida das escavaes; 2. Utilizando balizas e cordas, construiu a linha poligonal EFGHKM sempre quebrada em ngulos retos - ao redor do monte; 3. mediu diretamente as distncias BE, EF, FG, GH, HK, KM e MD e, com base nessas medidas, determinou as medidas das linhas imaginarias DN e BN e, com base nelas, determinou a direo alfa a ser seguida pelas duas equipes de escavadores. a. A prtica sociocultural acionada por Eupalinos para a construo do aqueduto de Samos se mostrou adequada para cumprir esse propsito? Discuta a adequao dessa prtica, seus fundamentos, bem como as possveis maneiras como teriam sido enfrentados os problemas tcnicos que se manifestaram durante o processo da construo do aqueduto, com os recursos tecnolgicos disponveis naquela poca. b. Atualmente, dispomos de prticas, artefatos tecnolgicos e conhecimentos mais elaborados - tais como o teodolito, raios laser, GPS, etc., -, bem como uma trigonometria constituda. Descreva outras prticas que poderiam ser realizadas para se atingir o propsito de construo do aqueduto e, com base nelas, resolva o problema do aqueduto de Samos. c. Faz sentido propor uma soluo genrica para o problema do aqueduto de Samos? Por qu? Os mtodos genricos seriam sempre melhores do que os mtodos situados ou locais? d. Suponha agora que voc conhecesse apenas o ponto B para iniciar a escavao do aqueduto, em um dos lados do monte, e que no fosse preciso definir a priori o ponto D. Resolva o problema considerando essas novas condies. e. No h consenso entre os historiadores acerca do fato de se a dioptra teria estado disponvel na poca em que Eupalinos construiu o seu aqueduto. Heron de Alexandria dedicou todo um livro chamado Sobre a Dioptra sobre a construo e o uso da dioptra no campo de atividade da agrimensura, no qual tambm explica como usar a Dioptra para construir um tunel ligando dois pontos opostos de um monte. Consultando essa e outras fontes, descreva a dioptra e fornea informaes sobre como ela poderia ter sido utilizada como um artefato tecnolgico nos campos de atividade da topografia e da agrimensura. Explique tambm como ela poderia ter sido utilizada por Eupalinos na construo do aqueduto de Samos. Estabelea comparaes entre uma dioptra e outros artefatos tecnolgicos semelhantes da Antiguidade. Estabelea comparaes entre uma dioptra e um teodolito.

f. Quem foi Heron de Alexandria e em que campos de atividade humana a sua obra trouxe contribuies? g. Quem foi Polcrates e por que teria querido construir um aqueduto? Quem foi Eupalinos e por que teria sido chamado para construir o aqueduto? Qual a relevncia poltica e cultural da ilha de Samos no contexto geopoltico da Grcia do sculo sexto antes de Cristo. h. No livro 3 de suas Histrias, Herdoto de Helicarnasso (485-430 a.C.) se refere da seguinte maneira ao aqueduto de Eupalinos: Eu tenho falado muito a respeito dos habitantes de Samos, porque, de todos os gregos, eles construram as trs maiores obras de construo civil. Uma delas, foi um canal de dupla entrada, de 900 ps de altura, cavado atravs de uma montanha. A segunda, uma plataforma no mar em torno do porto, de 120 ps de profundidade. O comprimento da plataforma de um quarto de milha. O terceiro trabalho dos habitantes de Samos o maior templo que eu j vi. Esta passagem sugere que, por volta do sculo VI a. C, prticas sociais que vinham sendo realizadas nos campos de atividade da construo civil e arquitetnica, bem como prticas topogrficas e agrimensrias a elas relacionadas, j estavam bastante desenvolvidas entre os gregos antigos. Com base em uma mini-investigao histrica e, sobretudo em sua imaginao, produza uma narrativa na qual a figura de Eupalinos aparea como um membro destacado da comunidade de prtica do campo de atividade da construo civil e arquitetnica. Nessa narrativa, procure caracterizar essa comunidade de prtica no que diz respeito: s prticas socioculturais por ela realizadas; aos objetos culturais que essas prticas mobilizavam, dentre eles, os artefatos tecnolgicos; ao modo como era feita a diviso do trabalho entre os integrantes dessa comunidade; s regras subjacentes s relaes interpessoais que asseguravam a manuteno desse tipo de diviso do trabalho; s relaes de poder no seio dessa comunidade. Quais poderiam ter sido os objetos culturais mobilizados por essa prtica e os artefatos tecnolgicos requeridos em sua realizao? i. Em 1921, sob encomenda para a revista Architectures, foi publicado o livro Eupalinos ou o Arquiteto, que contribuiu para a definitiva consagrao do escritor e poeta francs Paul Valry. Faa uma resenha comentada dessa obra e compartilhe-a com os demais colegas de classe, ilustrando sua narrativa com encenaes de trechos dessa obra. j. Se voc decidisse utilizar uma Unidade Bsica de Problematizao semelhante a esta junto a estudantes do Ensino Mdio, com que propsitos voc o faria, e como conduziria a sua aula para atingir tais propsitos? k. Voc acha que esta UBP poderia contribuir para fazer com que prticas escolares mobilizassem, de modo orgnico, cultura matemtica, cientfica, tecnolgica, educativa, artstico-literria e histrica? UBP 2 (T) Ao longo da histria, prticas socioculturais realizadas nos campos de atividade da agrimensura, da topografia e da geodsia contriburam para a constituio de um campo da cultura matemtica que, a partir de um certo momento, seria denominado trigonometria. A fim de que certos propsitos de determinados grupos sociais fossem atingidos, tais campos de atividade humana colocavam reiteradamente problemas que requeriam a realizao, dentre outras, de prticas de: diviso e demarcao de terrenos; medies diretas, no espao fsico, de distncias lineares e angulares acessveis; medies indiretas de distncias lineares e angulares inacessveis; medies de reas de superfcies. Por sua vez, no aperfeioamento dos processos de realizao de tais prticas, artefatos tecnolgicos ou instrumentos de medida foram projetados e produzidos. Duas prticas intimamente conectadas que se mostraram viveis para se lidar com esses problemas foram a prtica da triangulao e a prtica da resoluo de tringulos. a. Um topgrafo precisa determinar a distncia entre uma rvore situada em um ponto A, relativamente a uma outra rvore situada em um ponto B, sabendo que entre

A e B corre um rio, sem que haja a possibilidade de atravess-lo. Descreva e discuta como a prtica da triangulao se mostra adequada para resolver esse problema nos casos em que esse topgrafo disponha apenas de: 1. uma fita mtrica, balizas, um rolo de barbante e um esquadro de carpinteiro; 2. uma fita mtrica, balizas e rolo de barbante. b. Descreva e discuta como a prtica da triangulao se mostra adequada para resolver o problema de estimao da altura de um morro: 1. recorrendo a um espelho, a uma fita mtrica e sem tbuas trigonomtricas; 2) recorrendo a uma baliza de comprimento conhecido, a uma fita mtrica e sem tbuas trigonomtricas; 3) recorrendo a um teodolito, a uma fita mtrica e a tbuas trigonomtricas. c. Descreva e discuta como a prtica da triangulao se mostra adequada para resolver o problema da estimao da distncia entre duas rvores situadas numa mesma margem de um rio, para um observador situado na outra margem e que dispe apenas de um bculo e de uma fita mtrica. d. Para estimar a distncia entre duas ilhas P e Q, um topgrafo, situado na praia, estaciona seu teodolito em A e, depois, em B, medindo os ngulos: alfa (ngulo formado entre as ilhas P e Q, visadas a partir do ponto A); beta (ngulo formado pela direo de visada da ilha Q a partir do ponto A e a direo de visada, a partir do ponto A, de um ponto B, prximo a A, na orla da praia); gama (ngulo formado entre a direo AB e a direo de visada da ilha P a partir do ponto B); delta ((ngulo formado entre as ilhas P e Q, visadas a partir do ponto B). Descreva e discuta como a prtica da triangulao se mostra adequada para resolver esse problema. e. Proponha e resolva, por meio da aplicao de uma prtica adequada de triangulao topogrfica, um problema de estimao da rea de um terreno. f. Apresente e analise imagens veiculadas em livros impressos ou outros tipos de suporte, que circularam em quaisquer pocas ou contextos geopolticos, que atestem que nossos antepassados realizaram prticas de triangulao, subsidiadas por instrumentos ou artefatos tecnolgicos para lidarem com problema de se medir distncias e ngulos inacessveis. Com base nessas imagens, explore a conjectura de que conceitos precursores aos de tangente e de co-tangente, bem como tbuas de tangentes e co-tangentes de ngulos poderiam ter surgido no processo de desenvolvimento dessas prticas topogrficas, parcialmente inspiradas em prticas de construo de tbuas de sombras produzidas por gnmons (antigos relgios de sol) pelas antigas civilizaes egpcia e babilnica. g. Caracterize o desenvolvimento das atividades da agrimensura e da topografia na histria, no que se refere: aos seus objetivos; a seus campos de investigao; aos tipos de problemas sociais que buscam resolver; aos instrumentos e prticas produzidos para o enfrentamento desses problemas; ao tipo de cultura matemtica que se constituiu nessas prticas e/ou foi por elas mobilizado. h. Descreva instrumentos antigos e atuais construdos para a medio de distncias e ngulos no espao tridimensional; explique os modos de utiliz-los e a base matemtica em que tais usos se assentam. i. Levante conjecturas que possam explicar a produo histrica de teorias relativas a tringulos semelhantes, a tringulos congruentes, bem como produo de proposies tais como as denominadas "lei dos senos" e "lei dos co-senos". j. Em seu artigo denominado "Gauss e a tbua de logaritmos", o historiador Gert Schubring afirma que "(...) a Revoluo Francesa destruiu, por um lado, as estruturas da sociedade feudal e eliminou, por outro lado, as particularidades e fechamentos locais pelo estabelecimento de um sistema geral e homogneo de medidas e pesos: pela unificao das medidas ela tencionou uma universalizao da comunicao. Para tais tarefas, os matemticos e astrnomos nos pases europeus, contanto que tivessem sido atingidos pela Revoluo Francesa ou, mais tarde, pela expanso napolenica, ganharam um papel decisivo. Um deles, foi o complexo projeto de medio do meridiano terrestre, nos anos 1790, (...) com o propsito de determinao do metro como unidade universal de comprimento. O sucesso da medio do

meridiano significava praticamente o arranque inicial para um nvel superior de agrimensura, a geodsia. Apoiando-se em ferramentas cientficas da geodsia, uma grande parte dos estados europeus comeou, desde aproximadamente o comeo do sculo XIX, a organizar levantamentos cartogrficos exatos do prprio territrio forando a determinao exata das altitudes e amplitudes geogrficas de todas as cidades e lugares de maior importncia, cartografar os rios, as estradas e as fronteiras. E se deve saber que o mtodo bsico da geodsia, para a cartografia, foi a triangulao". Antes, porm, desse projeto de medio do meridiano terrestre, no sculo XVII, W. Snell, que mais conhecido pela lei da refrao, praticou a triangulao com o propsito obter as coordenadas de pontos de uma determinada regio na superfcie da Terra. Descreva e fundamente a prtica de triangulao realizada por Snell, no contexto de atividade geodsica. Descreva e fundamente a prtica de triangulao empregada no projeto de medio do meridiano terrestre. k. O problema da partilha de terras e do estabelecimento de fronteiras entre territrios de diferentes povos esteve na raiz de muitos conflitos na histria. No Brasil, um exemplo desse tipo de conflito foi a Querela dos 7 Povos das Misses, no sculo XVIII. Situado no atual estado do Rio Grande do Sul, esse era um territrio constantemente disputado por Portugal e pela Espanha, por estar nas fronteiras entre Brasil e o Vice-Reino do Rio da Prata. Houve inclusive um conflito armado, a guerra guarantica, entre 1754 e 1756, em que os ndios guaranis missioneiros resistiram demarcao de terras em favor do Brasil, para defender o seu direito de permanecer nas suas terras. Nesse caso, assim como em outros casos de divises territoriais, as fronteiras foram determinadas por marcos naturais visveis: rios, lagoas, montanhas, vales. Atualmente esse territrio continua um alvo de contestao entre Brasil e Paraguai, depois que a Usina de Itaipu foi construda. Mas podemos numerar vrios conflitos por territrios, por razes religiosas, geopolticas, econmicas, tnicas. Explore mais detalhadamente esse e outros episdios do passado ou do presente nos quais prticas de demarcao territorial e de estabelecimento de fronteiras terrestres para quaisquer fins instauram relaes assimtricas de poder e produzem conflitos e confrontos entre grupos sociais com interesses distintos relativos posse e explorao da terra. l. Problematize coletivamente textos literrios, imagticos e flmicos que mobilizem, de algum modo, prticas de demarcao de fronteiras terrestres e de diviso de terras. m. Na atualidade, dispomos de novas prticas de medio de distncias, mediadas por artefatos tecnolgicos distintos daqueles produzidos na Antiguidade. Uma delas a prtica de medio de distncia por triangulao a laser. Descreva tal prtica, explicitando os recursos materiais e os objetos culturais que ela mobiliza, os conhecimentos em que se fundamenta, os seus campos de aplicao, bem como as suas limitaes. n. Caracterize, re-signifique e problematize os usos da prtica de triangulao em outros contextos de atividade tais como: a atividade arqueolgica, a atividade militar ou blica, a atividade de pesquisa em cincias sociais. o. Com base na leitura de alguns livros didticos de matemtica da atualidade, caracterize e compare o modo como prticas escolares mobilizam tpicos tais como congruncia de tringulos, semelhana de tringulos e trigonometria do tringulo retngulo e os modos como tais "objetos culturais" teriam se constitudo nos processos de realizao de prticas socioculturais no escolares. Com base nessa comparao, discuta a relevncia e pertinncia educativa do estabelecimento de conexes entre esses tpicos do currculo escolar e as prticas topogrficas, agrimensrias e geodsicas do passado e do presente. UBP-3 (T) A constituio, na histria, do que costumamos denominar culturas geomtrica e trigonomtrica parece tambm ter sido motivada pela realizao de prticas socioculturais de orientao espacial, de controle e medio do tempo e de

medies astronmicas, requeridas nos campos de atividade astrolgico-astronmica e nutica. Desde a Antigidade, esses campos de atividade humana mostraram-se estreitamente conectados, dado que tanto a orientao terrestre quanto a martima mostraram-se dependentes da observao de certos corpos e fenmenos celestes. Conseqentemente, mostrou-se de fundamental importncia produzir e realizar tanto prticas de localizao espacial um corpo celeste, isto , de determinao de suas coordenadas celestes, quanto de localizao espacial de pontos ou corpos na superfcie da Terra, isto , as suas coordenadas terrestres. Tais prticas foram tambm mediadas pela produo e uso de instrumentos ou artefatos tecnolgicos especificamente construdos para esses propsitos. a. Descreva e analise algumas prticas de orientao espacial nos contextos topogrfico e nutico e explore suas possveis conexes com a produo de cultura geomtrica e trigonomtrica. b. Explique por que e de que modo, no mundo antigo, as prticas de orientao espacial se constituram em funo de prticas de controle e medio do tempo, e estas ltimas, por sua vez, em funo de prticas de construo de tbuas de sombras. c. Descreva e analise algumas prticas de controle e medio do tempo, no contexto do mundo antigo. d. Que so coordenadas celestes de um astro? Com base em que prticas e artefatos tecnolgicos seria possvel determin-las? Que tipo de cultura geomtrica e trigonomtrica poderia ter sido mobilizada na realizao de tais prticas? e. O que so coordenadas terrestres de um ponto? Com base em que prticas e artefatos tecnolgicos seria possvel determin-las? Que tipo de cultura geomtrica e trigonomtrica poderia ter sido mobilizada na realizao de tais prticas? f. Analise esta UBP sob o ponto de vista educativo escolar. Um professor que decidisse utiliz-la, que propsitos poderia ter em mente e como poderia conduzir sua aula para atingir tais propsitos? Esta UBP acessvel para alunos que cursam o ensino mdio? Justifique. Voc acha que a problematizao dessa UBP poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de mobilizao de cultura matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre cultura matemtica e outros campos culturais? Justifique. UBP-4 (T) - Eratstenes (276-196 a.C.), um dos grandes astrnomos gregos que viveram e trabalharam na cidade de Alexandria, desenvolveu uma prtica para a determinao do comprimento da circunferncia mxima da Terra e do raio da Terra. a. Investigue e comente sobre a vida e a obra de Eratstenes, bem como sobre contexto poltico e sociocultural da cidade de Alexandria na poca em que ele l viveu e trabalhou. Por que razes o museu-biblioteca de Alexandria, a partir do terceiro sculo antes de Cristo, possibilitou o desenvolvimento de investigaes matemticoastronmicas de carter quantitativo, tais como, dentre outras, as desenvolvidas por Eratstenes, Aristaco e Ptolomeu? b. Seguindo os passos abaixo, voc vai conhecer a prtica realizada por Eratstenes para a determinao do comprimento da circunferncia mxima da Terra e do raio da Terra. Comente e avalie a adequao e o grau de preciso de tal prtica, em funo das suas finalidades, bem como os pressupostos nos quais cada uma de suas etapas se baseia. 1o Passo: Escolheu as cidades de Alexandria e Syena como pontos de referncia. Qual teria sido a razo para a escolha dessas cidades? Poderiam ter sido outras? 2o Passo: Em um dia de solstcio de vero na cidade de Syena, ele cravou, na cidade de Alexandria, uma estaca perpendicularmente ao solo. Ele sabia que a cidade de Alexandria distava aproximadamente 5000 stadium (aproximadamente

792 Km) da cidade de Syena. Por que ele escolheu um dia de solstcio de vero? Poderia ter sido outro dia qualquer? 3o Passo: Determinou a medida do ngulo formado pela reta imaginria que contm a estaca e pela reta imaginria determinada pela extremidade superior da estaca e pela extremidade de sua sombra, achando, para o mesmo, o valor de 712. Como poderia ter medido tal ngulo, com tal grau de preciso? 4o Passo: Como o ngulo de 712 determinava a distncia de 792 Km na circunferncia mxima da Terra, concluiu ser de 250 000 stadium (aproximadamente 39 600 Km) o comprimento da circunferncia mxima da Terra. Como chegou a essa concluso? Trata-se de um bom resultado, quando comparado com o valor atual? 5o Passo: Do resultado anterior, calculou o raio da Terra, chegando ao valor aproximado de 39809 stadium (aproximadamente 6305,7 Km). Como teria realizado tal clculo? Trata-se de um bom resultado, quando comparado com o atual? c) Descreva e fundamente outras prticas para a determinao do comprimento da circunferncia mxima da Terra que possam ser reallizadas em qualquer dia do ano, com ou sem sol. Comente acerca da possibilidade e viabilidade de problematizao de tais prticas no ensino mdio da atualidade. d) Analise, agora, a UBP-4 sob o ponto de vista didtico. Um professor que decidisse utiliz-la, que propsitos poderia ter ele em mente e como poderia ele conduzir sua aula para atingir tais propsitos? Essa UBP acessvel para alunos que cursam o ensino mdio? Justifique. Voc acha que, do modo como est proposta, a problematizao dessa UBP poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de mobilizao de cultura matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre cultura matemtica e outros campos culturais? Justifique. UBP-5 (T) - Aristarco (cerca de 310-230 a.C.), ao lado de Eratstenes ( 276 - 196 a. C.) e Ptolomeu (cerca de 150 d.C.), foi um dos maiores astrnomos da Antigidade e, como os demais, trabalhou no museu de Alexandria. Dentre outras realizaes, notabilizou-se por ter produzido prticas para se estimar a relao quantitativa entre as distncias da Terra Lua e da Terra ao Sol e para se estimar as medidas dos raios do Sol e da Lua em funo do raio da Terra. a. Investigue e comente sobre a vida e a obra de Aristarco. b. eguindo os passos abaixo, voc vai conhecer a prtica proposta por Aristarco para a primeira dessas realizaes. Avalie a adequao e o grau de preciso de tal prtica, em funo das suas finalidades, bem como os pressupostos nos quais cada uma de suas etapas se baseia. Passo 1 - Observou que a visibilidade da meia-lua exata ocorria pouco antes da lua entrar na fase de quarto crescente, isto , pouco antes da Lua comear a percorrer a quarta parte de sua rbita, e que quando esta atingia a posio exata de quarto crescente, um pouco mais da metade da superfcie lunar tornava-se visvel. Concluiu que, quando a meia-lua exata era visvel, o tringulo cujos vrtices fossem a Terra (T), o Sol (S) e a Lua (L) seria retngulo em L. Passo 2 - Com base nessas observaes e em determinadas hipteses prvias, concluiu que se o ngulo que a lua percorre em sua rbita, ao passar da posio de meia-lua de quarto crescente, medisse , ento, o ngulo entre a Lua, a Terra e o Sol, isto , o ngulo LTS, mediria 90o - . Por qu? Passo 3 - Concluiu, por outro lado, que esse ngulo LTS tambm deveria ser igual ao complemento do ngulo TSL. Por qu?

Passo 4 - Mediu o intervalo de tempo que decorria entre a passagem da Lua da posio de meia-lua exata de quarto crescente, chegando ao valor de 6 horas. Como teria feito essa medio do tempo? Passo 5 - A partir do resultado anterior, concluiu ser de aproximadamente 3 a medida do ngulo TSL. Por qu? Passo 6 Construiu um tringulo semelhante ao TSL e, medindo os lados TL e TS concluiu que TS era aproximadamente igual a 20 TL, isto , que TS era aproximadamente igual a 20 TL. Teria sido, de fato, um procedimento emprico dessa natureza, o utilizado por Aristarco para chegar a essa concluso? Avalie o resultado obtido por Aristarco em relao ao atual. c. Descreva e discuta as prticas propostas por Aristarco para se estimar as medidas dos raios do Sol e da Lua em funo do raio da Terra. d. Analise a atividade UBP-5 sob o ponto de vista educativo escolar. Um professor que decidisse utiliz-la, que propsitos poderia ter ele em mente e como poderia ele conduzir sua aula para atingir tais propsitos? Ela seria acessvel para alunos que cursam o ensino mdio? Justifique. Voc acha que a atividade, do modo como est proposta, poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de mobilizao de cultura matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre cultura matemtica e outros campos culturais? Justifique. UBP-6 (T) - Ptolomeu viveu e trabalhou em Alexandria em torno de 150 d.C. Embora as datas e detalhes precisos de sua vida nos sejam desconhecidos, sua obra principal, hoje geralmente chamada Almagesto, fornece testemunhos que permitem dat-la como uma obra escrita por volta da metade do sculo II. J os babilnios, nos campos de atividade astrolgico-astronmica e agrcola, realizaram observaes e desenvolveram prticas que forneciam boas predies quantitativas de fenmenos astronmicos; mas tais prticas eram de natureza estritamente aritmtica. No mundo grego, no entanto, todas as prticas especializadas realizadas com o propsito de se resolver problemas astronmicos eram baseadas em modelos geomtricos: desde daqueles de natureza qualitativa, devidos a Eudoxo, para os movimentos do sol, da lua e dos planetas, at os de natureza quantitativa, para esses mesmos movimentos, devidos, dentre outros, a Ptolomeu. Essas prticas geomtricas de modelagem dos movimentos dos corpos celestes impuseram, aos matemticos-astrnomos alexandrinos, a necessidade de um estudo mais aprofundado da circunferncia e de seus elementos (dimetros, cordas, arcos, ngulos centrais e inscritos), bem como das relaes mtricas que envolviam esses elementos. Ptolomeu percebeu que, para se lidar satisfatoriamente com os problemas astronmicos de natureza quantitativa postos em sua poca, seria suficiente recorrer - investigando-as, porm, mais a fundo s prticas de triangulao, que j vinham sendo realizadas no contexto de atividade topogrfica, bem como prtica a ela associada de resoluo de tringulos, levandoas e "elevando-as", porm, da terra ao cu, isto , do contexto topogrfico para o contexto astronmico. Essa sua investigao levou-o necessidade de se construir uma tbua de cordas que fornecia as medidas dos comprimentos das cordas de uma circunferncia para arcos variando de em grau at 180, que foi a precursora de nossa atual tbua de senos. a. Explique a origem do nome Almagesto para o ttulo da obra de Ptolomeu que, em grego, se denominava A coleo matemtica. b. Ptolomeu construiu uma tbua de cordas para atender a que propsitos? c. Utilizando um modelo da tbua de cordas original de Ptolomeu, explique como utiliz-la. d. Explique, exemplificando, cada passo do mtodo utilizado por Ptolomeu para construir sua tbua de cordas, justificando-os do modo como ele o teria feito.

e. Qual a relao que pode ser estabelecida entre a tbua de cordas de Ptolomeu e uma tbua de senos da atualidade? f. Voc acha que, atualmente, cumpriria algum propsito educativo construir, junto a alunos do Ensino Mdio, uma tbua de senos, com base em um mtodo anlogo ao de Ptolomeu? Haveria outros mtodos mais interessantes? Discuta-os. g. Explique os significados das palavras seno, co-seno, tangente, co-tangente e trigonometria. UBP-7 (L) - No livro Matemtica Aplicada (volume 1, pp. 222-223), IMENES, TROTTA e JAKUBOVIC afirmam que, no sculo XVI, alm de algumas prticas sociais realizadas no contexto da atividade astronmica, prticas realizadas no contexto da atividade financeira tambm teriam contribudo para a produo do objeto cultural logaritmos. Nessa poca, antes de surgirem os logaritmos, j era difundida a prtica de se fazer emprstimos a juros. Considere uma pessoa que, naquela poca, tivesse emprestado a outra uma quantia equivalente a R$ 1257,00, a ser paga a juros compostos a 12% ao ano. a. Quanto deveria receber a pessoa que emprestou o dinheiro, se o emprstimo tivesse sido feito para ser pago aps 3 anos? b. Quanto receberia essa pessoa caso a durao do emprstimo fosse de 2 anos e 197 dias? c. Que tipos de prticas teriam sido desenvolvidas e realizadas no contexto da atividade financeira do sculo XVI para se resolver um tal tipo de problema, quando no se dispunha nem de calculadoras, nem da teoria dos logaritmos e, nem mesmo, de acesso a algoritmos para a realizao das quatro operaes, tal como hoje os conhecemos? d. Caracterize os contextos poltico-econmico e cultural europeu no momento histrico da produo dos logaritmos. UBP-8 (L) - No livro Matemtica Aplicada (volume 1, pp. 222-223), IMENES, TROTTA e JAKUBOVIC, afirmam que as operaes aritmticas chegaram a ser classificadas, at uma determinada poca, segundo seu grau de dificuldade, em trs espcies: As de primeira espcie: adio e subtrao; As de segunda espcie: multiplicao e diviso; As de terceira espcie: potenciao e radiciao. Antes da inveno dos logaritmos, para se resolver problemas semelhantes ao da atividade anterior, no contexto da atividade econmico-financeira, realizava-se uma prtica que permitia reduzir cada operao de segunda ou terceira espcie a uma de espcie inferior e, portanto, mais simples. Algumas prticas que eram realizadas para se obter o produto de dois nmeros baseavam-se em conhecimentos algbricos ou trigonomtricos, acompanhados do uso de tbuas trigonomtricas ou outros tipos de tbuas tais como tbuas que tabulavam o quadrado da metade de um nmero. Recorria-se, por exemplo, a identidades algbricas ou trigonomtricas tais como: 1) cos x. cos y = 1/2. [cos ( x + y ) + cos ( x - y )] 2) x . y = [( x + y) : 2]2 - (( x - y) : 2]2 3) 10m . 10n = 10 m + n a. Utilizando a primeira identidade, mostre como, naquela poca, podia ser efetuada a seguinte multiplicao: 0,8988 X 0,9455. b. Com auxlio da Tabela 1, e utilizando a segunda identidade, mostre como, naquela poca, podia ser efetuada a seguinte multiplicao: 1525 X 321. c. Com o auxlio da Tabela 2, e utilizando a terceira identidade, mostre como se efetuaria o clculo de raiz stima de ( 60,8 . 126,15 . 7691 ): 105,3. Tabela 1

N 1200 1201 1202 1203 1204 N = 10m 60,8 60,9 61,0 61,1 61,2 ... 105,0 105,1 105,2 105,3

(N/2)2 360000 360600,25 361201 361802,25 362404 M 1,78390 1,78462 1,78533 1,78604 1,78675 ... 2,02119 2,02160 2,02202 2,02243

N 1845 1846 1847 1848 1849 Tabela 2

(N/2)2 851006,25 851929 852852,25 853776 854700,25

N = 10m M 125,7 2,09934 125,8 2,09968 125,9 2,10003 126,0 2,10037 126,1 2,10072 ... ... 7691 3,88598 7692 3,88598 7693 3,88610 7694 3,88615

a) D um exemplo de um problema que se manifestava no contexto da atividade nutico-astronmica europia dos sculos que antecederam a inveno dos logaritmos, cuja soluo envolvia a realizao de operaes aritmticas na poca consideradas de segunda espcie. Caracterize uma das operaes envolvidas e resolva-a atravs da prtica de prostafrese. Explique o significado da palavra prostafrese e diga que tipo de conexo poderia ser estabelecido entre uma tal prtica e a teoria de logaritmos. b) Faa uma busca em programas curriculares oficiais e livros didticos antigos a fim de verificar se e como a prtica de prostafrese teria sido mobilizada pelos autores desses textos e, em caso afirmativo, com que objetivos. Essa prtica circula nos programas e livros didticos de matemtica da atualidade? Voc acha que essa prtica teria se tornado obsoleta em todas as atividades humanas da atualidade? Justifique sua resposta. c) Analise, agora, as atividades 7 e 8 acima propostas, sob o ponto de vista didtico. Um professor que decidisse utiliz-las, no como um problema de aplicao de idias j trabalhadas, mas como mobilizadora de novos objetos matemticos, que propsitos poderia ter ele em mente e como poderia ele conduzir sua aula para atingir tais propsitos? A atividade estaria bem elaborada para que tais propsitos pudessem ser atingidos ou precisaria ser re-elaborada? Como? A atividade contm imprecises matemticas ou de outra natureza na sua redao? Quais? Ela seria acessvel para alunos que cursam o ensino mdio? Justifique. Voc acha que a atividade, do modo como est proposta, poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de mobilizao de cultura matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre cultura matemtica e outros campos culturais? Justifique. Voc acha que a atividade, do modo como est proposta, artificial? Voc acha que os mtodos de que voc utilizou para resolver os problemas propostos pela atividade so artificiais? Comente e justifique suas respostas. UBP-9 (L) - No livro Aritmtica Progressiva de Antnio Trajano, de1944, 75 Edio, pgina 237, encontra-se a seguinte definio de logaritmo: "Logaritmos so os termos de uma progresso por diferena (PA), cujo primeiro termo zero, correspondentes aos de outra progresso por quociente (PG), cujo primeiro termo a unidade".

a. Construa uma PA e uma PG que satisfaam as condies da definio acima. b. De acordo com a definio dada, diga qual o logaritmo do quinto termo da PG criada. c. Diga em que base esto sendo calculados os logaritmos de cada um dos termos da PG que voc criou e explique por que. d. Seria correto afirmar que, de acordo com a definio acima, a base dos logaritmos dos nmeros que se quer determinar sempre igual razo da PG? Em caso contrrio, diga como se pode determinar essa base. e. Decida e justifique se a definio dada uma definio correta de logaritmo e, caso no o seja, tente ajust-la de modo a torn-la correta. f. Suponha que voc queira obter os logaritmos decimais de certos nmeros naturais, utilizando a definio acima. Construa uma PA e uma PG que permita fazer isso. g. A definio acima seria correta caso o primeiro termo da PG fosse diferente de 1? Justifique. UBP-10 (L) - Foi a seguinte a primeira definio de logaritmo dada pelo proprietrio escocs John Napier (1550-1617): "Seja AB um segmento de reta de comprimento fixo igual a 107 e A'B' uma semi-reta. Suponhamos que um ponto P, partindo de A, se desloque ao longo de AB com velocidade numericamente igual distncia PB. No mesmo instante em que P parte de A, um outro ponto P' parte de A' e se desloca ao longo da semi-reta A'B' com velocidade constante igual velocidade inicial de P. Fazendo P'1, P'2 , .... corresponder a P1, P2, .... respectivamente, ento, o logaritmo de PB igual ao comprimento de A'P', isto , o logaritmo de P1B = A'P'1, o logaritmo de P2B = A'P'2 e assim por diante. a. Que relao poderia ser estabelecida entre a definio de logaritmo dada por Napier e a definio dada por Trajano na atividade anterior? Justifique. b. De acordo com a definio de Napier, qual o logaritmo de 107? c. Na construo dos logaritmos feita por Napier, a razo da PG era tomada como 1 - 1/107. Nessas condies, determine: 1. o logaritmo neperiano de 107 . (1 - 1/107)3; 2. o nmero cujo logaritmo neperiano 100. d. Qual a base do sistema de logaritmos de Napier? e. Voc acha que verdadeira a afirmao usualmente feita de que os logaritmos neperianos so os logaritmos naturais (base e)? Justifique. f. Voc acha que a palavra 'logaritmo' foi escolhida adequadamente por Napier para qualificar a sua inveno? Justifique. a) Suponha que voc tivesse encontrado um pedao de uma pgina de uma tbua de logaritmos que no especificasse a base na qual eles teriam sido calculados. Como voc poderia descobri-la? b) Compare a definio de logaritmos dada por Napier com a definio usualmente dada nos livros didticos da atualidade. Em que elas se assemelham e em que se diferenciam? c) Analise, agora, as atividades 9 e 10 acima propostas, sob o ponto de vista didtico. Um professor que decidisse utiliz-las, no como um problema de aplicao de idias j trabalhadas, mas como mobilizadora de novos objetos matemticos, que propsitos poderia ter ele em mente e como poderia ele conduzir sua aula para atingir tais propsitos? A atividade estaria bem elaborada para que tais propsitos pudessem ser atingidos ou precisaria ser re-elaborada? Como? A atividade contm imprecises matemticas ou de outra natureza na sua redao? Quais? Ela seria acessvel para alunos que cursam o ensino mdio? Justifique. Voc acha que a atividade, do modo como est proposta, poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de mobilizao de cultura matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre cultura matemtica e outros campos culturais? Justifique. Voc acha que a

atividade, do modo como est proposta, artificial? Voc acha que os mtodos de que voc utilizou para resolver os problemas propostos pela atividade so artificiais? Comente e justifique suas respostas. UBP-11 (L) - O ingls Henry Briggs (1561-1632), professor de geometria em Oxford, foi uma outra pessoa que contribuiu para o desenvolvimento da teoria dos logaritmos. Em 1615, ele visitou Napier na Esccia, onde discutiram possveis modificaes no mtodo dos logaritmos. Briggs props o uso de potncias de 10 e Napier disse que j tinha pensado nisso e concordou. A fim de evitar o uso de fraes, ficou estabelecido entre eles que log 1 = 0 e log 1010 = 10, o que implicava que o logaritmo de 10 deveria ser 1. Como Napier veio a falecer em 1617, coube a Briggs a tarefa de construir a primeira tabela de logaritmos comuns ou briggsianos dos nmeros naturais de 1 a 1000, calculados com preciso at a 14 casa decimal. Para isso, Briggs produziu e acionou um trabalhoso mtodo algortmico que permitia obter aproximaes sucessivas do logaritmo de um nmero, e que estava baseado na mobilizao do objeto mdia geomtrica. a. Explique como Briggs teria construdo sua tbua e mostre como se poderia obter o logaritmo de 2 pelo mtodo por ele utilizado. b. Do ponto de vista didtico, voc julga ser pertinente realizar, junto a estudantes do ensino mdio, prticas escolares que visassem construo de uma tbua de logaritmos segundo o mtodo de Briggs. Voc acredita que a problematizao de tais prticas junto aos estudantes poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de mobilizao de cultura matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre tpicos aparentemente desconectados do currculo escolar de matemtica? UBP-12 (L) - As tbuas de Napier e Briggs, bem como outras que as sucederam, revolucionaram a arte da computao numrica. Contudo, a importncia dos logaritmos no desenvolvimento histrico do Clculo Diferencial e Integral provm de uma inveno publicada em 1647, pelo jesuta belga Gregory St. Vicent (1584-1667), a qual mostrou uma surpreendente conexo entre a funo logaritmo natural e a hiprbole retangular xy = 1. Em seu tratado Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (Obra geomtrica sobre a quadratura do crculo e de seces cnicas), Gregory mostrou que se ao longo do eixo-x se marcasse, a partir de x = a, pontos tais que os intervalos entre eles crescessem em PG, e se nesses pontos se levantassem ordenadas da hiprbole xy = 1, ento, as reas sob a curva interceptadas entre ordenadas sucessivas seriam iguais. Isto , enquanto as abscissas cresciam geometricamente, a rea sob a curva crescia aritmeticamente, ou, em termos atuais, a integral de a at b de x -1 seria igual ln b - ln a. a. Qual a rea da figura delimitada pelo segmento AB, compreendido entre os pontos de abscissa 5 e 7 no eixo-x, pela faixa da hiprbole xy = 1 compreendida nesse segmento e pelos segmentos parelelos ao eixo-y, compreendidos entre a faixa da hiprbole e o segmento AB, levantados nos pontos de abscissa 5 e 7? b. Calcule o valor da integral de 10 a 100 de x -1. c. Utilizando uma calculadora, verifique a descoberta de Gregory quando consideramos, no eixo-x, a PG: 1, 2, 4, 8, 16, ... Tendo em vista os resultados anteriores, utilize uma calculadora e diga qual a razo de crescimento das reas sob a faixa da hiprbole xy = 10, quando se tomam, no eixo-x, os seguintes valores em PG: 1, 2, 4, 8, 16... d. Explique por que razo a base do sistema de logaritmos associada descoberta de Gregory o nmero e. e. Explique o surgimento do nmero e como base de um sistema de logaritmos.

f. Diga se, do ponto de vista didtico, voc acredita ser pertinente discutir, com estudantes do ensino mdio, os logaritmos sob uma perspectiva geomtrica, isto , concebendo-os como reas sob uma faixa de hiprbole. Investigue se um tal tipo de abordagem dos logaritmos j teria chegado a ser proposta em livros didticos para o ensino mdio em nosso pas. Diga, ainda, se voc acredita que tal discusso poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de mobilizao de cultura matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre tpicos aparentemente desconectados do currculo escolar de matemtica. UBP-13 (L) a. Elabore um problema que envolva uma relao funcional entre duas variveis, de modo que o grfico dessa variao seja melhor visualizado em um papel na escala log-log. b. Explique como se pode construir o grfico da funo relativa ao problema elaborado e interprete o resultado obtido. c. Qual a vantagem de se usar a escala log-log em vez da escala linear usual? d. O que aconteceria se voc tivesse construdo o grfico dessa mesma funo num sistema de coordenadas em que o eixo das ordenadas estivesse subdividido segundo uma escala logartmica e o das abscissas segundo a escala linear usual? e. Se lhe fosse permitido apenas o uso de uma rgua sem escala e de um compasso, seria possvel construir, numa folha de papel em branco, um sistema de coordenadas em escala logartmica? Justifique sua resposta. E se a rgua fosse milimetrada? f. Diga se, sob o ponto de vista da educao matemtica escolar, voc acredita ser pertinente discutir, com estudantes do ensino mdio, tpicos tais como Construo geomtrica de escalas logartmicas e Construo de grficos em escalas logartmicas. Justifique. UBP-14 (T) - Desde os tempos antigos, a atividade nutica foi uma das que motivaram a produo do que se veio a denominar, posteriormente, de trigonometria esfrica. Isso porque, tendo a Terra a forma aproximada de uma esfera, a linha que une dois pontos quaisquer da superfcie terrestre , a rigor, um arco de circunferncia mxima de uma esfera, e no um segmento de reta, e o ngulo entre duas linhas concorrentes quaisquer um ngulo formado por dois arcos de circunferncia mxima de uma esfera, e no o ngulo entre dois segmentos de reta. Hoje em dia, os teoremas da trigonometria esfrica so mobilizados no s por prticas nuticas, mas tambm, por exemplo, por prticas aeronuticas e blicas. a. Caracterize um tringulo esfrico e demonstre a lei dos co-senos para tringulos esfricos. b. Aplicando a lei dos co-senos deduzida no item a, resolva o seguinte problema blico: O comandante de um submarino armado com msseis de ogivas nucleares, posicionado em um ponto da superfcie terrestre de 42o 10 de latitude norte e 61o 20 de longitude oeste, recebe ordem para disparar um mssil de longo alcance contra uma instalao inimiga de coordenadas 68o 40 de latitude norte e 13o 40 de longitude leste. Com que direo deve ser lanado o mssil e qual a distncia geodsica d a ser vencida pelo mesmo? (Observao: 1o na superfcie terrestre equivale a 60 milhas martimas). c. Com base na problematizao dos textos A matemtica e o fim do mundo, de Philip J. Davis e Reuben Hersh e Pesquisa em educao matemtica e mentalidade blica de Miguel, A., discuta a dimenso tica da educao matemtica escolar.

UBP-15 (G) A partir do Renascimento, tambm o campo da geometria passou por mudanas qualitativas significativas. As necessidades postas por prticas sociais que vinham sendo realizadas nos contextos das atividades nuticas e astronmicas levaram, cada vez mais, tematizao do estudo do movimento. Particularmente, no terreno da geometria, a esttica geometria euclidiana mostrava-se, cada vez mais, insuficiente e mesmo inadequada para o enfrentamento de novos problemas, tais como os da localizao espacial no globo terrestre, o da representao plana de objetos tridimensionais e o da visualizao de objetos tridimensionais representados no plano. Ao problematizar os itens seguintes voc estar produzindo elementos para entender a natureza das transformaes pelas quais passou a geometria, desde o Renascimento at o incio do sculo 19. a. Demonstre - analiticamente e sinteticamente - que as medianas de um tringulo se interceptam em um ponto que trissecta cada uma delas. Com base na comparao desses dois tipos de demonstrao, avalie a natureza, as caractersticas e as potencialidades do mtodo sinttico e do analtico no enfrentamento de problemas geomtricos. Demonstre tambm o mesmo teorema utilizando um software como o Cabri-Geomtre e discuta-a, em relao s anteriores, sob os pontos de vista metodolgico e pedaggico. Contextualize a geometria analtica em relao ao momento histrico inicial de sua produo. b. Construa um slido formado pela justaposio de vrios cubos. Faa a representao plana desse slido em perspectiva. De quantas formas seria possvel represent-lo em perspectiva em um plano? c. Faa o menor nmero possvel de representaes planas do slido do item anterior a partir das quais se pudesse reproduzi-lo tridimensionalmente, sem distores. Discuta os problemas da visualizao e da representao plana de objetos tridimensionais em seus aspectos tcnicos, histricos, psicolgicos e pedaggicos, mostrando a sua ligao, na poca do renascimento, com as prticas de pintura. d. Verifique, atravs de um desenho, o denominado TEOREMA DE DESARGUES (1591-1661): Sejam os tringulos ABC e A'B'C' tais que AA', BB' e CC' interceptam-se em O (ou seja, esses tringulos esto em perspectiva a partir do ponto O). Se BC e B'C' interceptam-se em L, CA e C'A' interceptam-se em M e AB e A'B' interceptam-se em N, ento, L, M e N so colineares, isto , os tringulos ABC e ABC esto em perspectiva a partir da reta LN. Em seguida, enuncie e verifique, atravs de um desenho, o teorema dual do teorema de Desargues. e. Verifique, atravs de um desenho, o denominado TEOREMA DE PASCAL (16231662): Se um hexgono est inscrito numa cnica, ento, os pontos de interseo dos trs pares de lados opostos so colineares. Em seguida, enuncie e verifique, atravs de um desenho, o teorema dual do teorema de Pascal. f. Determine um procedimento - e fundamente-o com base nos teoremas de configurao da geometria projetiva - para resolver os seguintes problemas: 1. Dados um ponto Q ordinrio e um ponto P inacessvel, traar a reta PQ; 2. Dados dois pontos inacessveis R e Q, traar a reta RQ; 3. Duas retas, no mar, esto demarcadas por balizas. Permanecendo nos limites da ilha, de onde se pode observar as balizas, como se poderia determinar com estacas a reta que passa por um ponto A dado, na ilha, e pelo ponto de interseo das duas retas determinadas pelas balizas no mar? Como determinar o ponto de interseo das retas demarcadas pelas balizas, no mar, se no caminho de ambas se encontram obstculos, como, por exemplo, uma colina? 3. Entre dois postes de eletrificao deve ser colocado um terceiro, colinearmente aos dois outros. Como determinar o lugar do terceiro poste se entre os postes j existentes se encontram dois edifcios? g. Com base nos problemas propostos nesta atividade, discuta algumas das semelhanas e diferenas entre as geometrias euclidiana, analtica e projetiva no que se refere: natureza de seus conceitos e teoremas; natureza de suas aplicaes prticas.

UBP-16 (T) Nos sculos 17 e 18, em diferentes campos de atividade humana como os da construo de relgios e instrumentos musicais, da acstica e da navegao martima, investigaes relativas aos movimentos peridicos produzidos por artefatos mecnicos de natureza dinmica, tais como o movimento de um pndulo, de uma mola pulsando, de uma corda em vibrao e outros, tiveram grande impacto sobre a transformao qualitativa das prticas trigonomtricas na histria. Mostraram, particularmente, a necessidade de serem ampliadas as concepes de seno, cosseno e tangente de um ngulo, estendendo-as tanto para ngulos maiores do que 360 como para ngulos negativos. A fim de se entender como foram ampliadas as concepes desses objetos trigonomtricos, considere o problema seguinte, extrado da referncia (IMENES, L. M. P.; TROTTA, F. e JAKUBOVIC, J. Matemtica Aplicada, v. 2, p.232-235): "O motor de uma mquina gira a manivela OP em torno do ponto O. A extremidade P desta manivela, ao girar, desloca-se dentro do vo de uma pea c, empurrando-a para cima ou para baixo. Esse movimento de vaivm vertical o nico que a pea c pode efetuar, pois ela passa pelo interior da pea d que, funcionando como guia, lhe impede os movimentos laterais. Para estudarmos o movimento vertical do ponto Q (extremidade inferior da pea c) em funo do tempo, vamos supor que a manivela OP tenha 40 cm de comprimento e gire no sentido anti-horrio a uma velocidade constante de 5 r.p.m. e que, no instante t = 0, a ordenada do ponto Q seja y = 0. a. Realize uma investigao aprofundada, e discuta-a com seus colegas, acerca da natureza das motivaes que teriam levado alguns pases europeus tais como a Itlia, a Inglaterra, a Holanda e a Frana, ao estudo quantitativo do movimento, sobretudo dos movimentos peridicos. Que pessoas destacaram-se nesses estudos? Quais foram suas contribuies? b. Quais sero as ordenadas do ponto Q nos instantes t = 1s; t = 4s e t = 7,5s? c. Qual a lei que fornece a ordenada y do ponto Q em funo de t ? (com y em cm, t em segundos e para 0 t 12. d. O que deve ocorrer para que a lei da pergunta anterior seja vlida para t = 12,1 s? e. Supondo que a mquina j estivesse funcionando, qual seria a ordenada do ponto Q 0,2 s antes de termos iniciado nossas observaes, no instante t = 0? f. Como se pode incluir o caso anterior na lei geral desse movimento? g. Faa o grfico cartesiano da funo que representa esse movimento. h. Discuta se, do ponto de vista educativo escolar, a explorao de UBPs anlogas a esta, poderia mostrar-se pertinente para se produzir, dentre outros propsitos, significados ao trabalho com ngulos maiores que 360 e ngulos negativos na trigonometria escolar de ensino mdio. Essa forma de produo de significados poderia contribuir para se fazer a histria da matemtica participar de forma orgnica dos processos escolares de mobilizao de cultura trigonomtrica? Essa forma de produo de significados poderia contribuir para se estabelecer dilogos oportunos entre prticas escolares e no-escolares? i. A professora Renate Watanabe, no artigo (CENP, 1980), aconselha-nos a fazer uma distino entre trs tipos de funes seno. Caracterize essa distino proposta pela professora e discuta os argumentos que ela apresenta para se proceder a essa distino. Manifeste o seu ponto de vista acerca da pertinncia matemtica e pedaggica dessa distino. UBP-17 (F) O desenvolvimento do objeto cultural funo na histria pode ser considerado em dois momentos qualitativos distintos: 1. quando, com o advento da cincia moderna no Ocidente, ele foi informalmente mobilizado por cientistas em suas prticas de modelao quantitativa de fenmenos naturais dinmicos, manifestandose atravs de enunciaes retricas ou de expresses analticas de leis naturais; 2. o momento a partir do qual esse objeto passou a ser explcita e independentemente

tematizado, isto , desligado dos contextos originais de atividade nos quais foi de algum modo mobilizado, passando a ser investigado sob o ponto de vista do matemticos especialistas, com o propsito de faz-lo participar de uma teoria geral, abstrata e internamente consistente. a. Explique, detalhadamente, por que razes, segundo Bento de Jesus Caraa, os gregos antigos no teriam chegado a mobilizar o objeto cultural funo. b. Por que alguns historiadores consideram que povos da Antigidade como, por exemplo, babilnios e gregos, teriam usado implicitamente o objeto matemtico funo? Voc concorda com esse ponto de vista? Apresente argumentos contrrios ou favorveis a ele. c. Explique por que e como, segundo Bento de Jesus Caraa, o objeto cultural funo surge e se desenvolve somente a partir do advento da cincia moderna, conectado noo de lei natural. d. Explore e discuta comparativamente os quatro contextos seguintes nos quais o objeto cultural funo mobilizado com o propsito de se praticar as modelaes quantitativas de fenmenos dinmicos diversos e de se express-las, retrica e analiticamente, atravs de leis naturais ou proposies matemticas. Voc acha que teria sido a percepo de que leis naturais diversas poderiam ser expressas por uma mesma expresso analtica que teria motivado a investigao terica de constituio de uma teoria geral e abstrata relativa ao objeto cultural funo? Contexto 1 - Qual expresso analtica que permite determinar a distncia percorrida por um corpo em queda livre em relao ao tempo, quando a velocidade inicial e o espao inicial por ele percorrido so nulos? Contexto 2 - Qual expresso analtica que permite determinar a energia cintica de um corpo em relao sua velocidade ? Contexto 3 - Qual expresso analtica que permite determinar a quantidade de calor gerada em um condutor, na unidade de tempo, em relao intensidade de corrente que por ele passa? Contexto 4 - Qual expresso analtica que permite determinar a rea de um tringulo retngulo em funo de um ngulo agudo e do cateto adjacente a esse ngulo? UBP-18 (F) bastante freqente, em textos didticos e em aulas de matemtica, o aluno deparar-se com palavras ou expresses lingusticas que lhe parecem ser empregadas como sinnimas, tais como: frmula, equao, expresso analtica de uma funo, identidade, expresso algbrica. A esse conjunto de termos mal ou no esclarecidos, associam-se outros igualmente mal ou no esclarecidos, tais como: incgnita, varivel, parmetro, nmero qualquer, constante. a. Voc acha que esses usos no esclarecidos de termos como os acima discriminados podem se constituir num problema pedaggico? Por qu? Voc acha que seria possvel estabelecer uma distino clara e transparente entre esses termos? Tais palavras poderiam ser encaradas como meras variaes verbais para se referir a um mesmo objeto matemtico? Justifique. b. Quais expresses verbais, dentre as acima listadas, voc associaria a cada uma das expresses a seguir? I) 3x + 2 = 5 ; II) 3 + 2 = 5 III) x + y = 5 IV) An,p = n!/(n-p)! V) (x - y)2 = x2 2xy + y2 VI) y + x = 64 VII) Ax2 + Bx + C = 0 VIII) y = Ax2 + Bx + C2 2

IX) (x+1)2 = -1 X) i = -1 XI) sen2x + cos2x = 1 XII) a2 + b2 = c22

XIII) 0x = 5 VIII) x0 = 1 XII) log xn = n log x XVI) y = ax2

UBP-19 (F) - Considere agora uma segunda forma em que o objeto funo foi mobilizado na histria, isto , aquela em que ele passa a ser mobilizado atravs de prticas definitrias, no contexto de atividade da matemtica especializada. Para isso, apresentamos, a seguir, algumas definies de funo produzidas a partir do sculo XVIII: John Bernoulli (1748): Chama-se funo de uma varivel uma quantidade composta, de qualquer maneira, dessa varivel e de constantes. Leonhard Euler (1748): Uma funo de uma quantidade varivel uma expresso analtica composta, de qualquer maneira, dessa quantidade varivel e nmeros ou quantidades constantes. Leonhard Euler (1755): Se, contudo, algumas quantidades dependem de outras de modo tal que se estas outras forem mudadas e isso implicar uma mudana tambm nas primeiras, ento, essas primeiras quantidades so chamadas funes das outras. J. L. Lagrange (1797): Chama-se funo de uma ou vrias quantidades qualquer expresso de clculo na qual essas quantidades entram, de qualquer maneira, associadas ou no com outras quantidades consideradas dadas e com valores invariveis, ao passo que as quantidades da funo podem tomar todos os valores possveis. Portanto, nas funes, consideram-se apenas as quantidades que se supem variveis, sem considerar as constantes s quais elas podem estar associadas. J. B. Fourier (1822): Em geral, a funo f(x) representa uma sucesso de valores ou ordenadas, todos arbitrrios. Sendo dada uma infinidade de valores para a abscissa x, h igual nmero de ordenadas f(x). Todas elas assumem valores numricos positivos, negativos ou nulos. No estamos supondo que essas ordenadas estejam submetidas a uma lei comum; elas sucedem umas s outras de modo arbitrrio, correspondendo cada uma delas a uma nica abscissa. A. Cauchy (1823): Chama-se quantidade varivel aquela que pode assumir sucessivamente muitos valores diferentes uns dos outros (...). Se quantidades variveis estiverem ligadas entre si de um modo determinado, ento, sendo dado o valor de uma delas, pode-se determinar os valores de todas as outras. Geralmente, essas diversas quantidades so expressas por meio de uma dentre as demais, a qual recebe, ento, o nome de varivel independente; e as outras quantidades, que so expressas por meio da varivel independente, so chamadas de funes desta varivel. G. L. Dirichlet (1837): Suponhamos que a e b assumam dois valores definidos e que x seja uma quantidade varivel que assume, gradualmente, todos os valores entre a e b. Se para cada x corresponder um valor finito e nico de y, de modo que, enquanto x passa continuamente por todos os valores do intervalo que vai de a a b, y = f(x) tambm varia gradualmente, ento, y chamado uma funo contnua de x neste intervalo. No , entretanto, de nenhum modo necessrio que y dependa de x de acordo com a mesma lei, em todo o intervalo; na verdade, no necessrio nem mesmo pensar unicamente em relaes que possam ser expressas atravs de operaes matemticas. Quando geometricamente representada, isto , quando os valores de x e y so pensados como abscissas e ordenadas, uma funo contnua aparece como curva associada, para a qual somente um ponto corresponde a cada abscissa do intervalo que vai de a a b.

G. G. Stokes (1847): Pelo termo funo eu entendo uma quantidade cujo valor depende, de qualquer modo, do valor de uma varivel, ou dos valores de vrias variveis das quais ela composta. Assim, as funes consideradas no necessitam, como se costuma admitir, ser expressas por uma combinao algbrica de smbolos (...). B. Riemann (1851): Suponhamos que z seja uma quantidade varivel que pode assumir, gradualmente, todos os possveis valores reais. Ento, se para cada um desses valores corresponder um nico valor da quantidade indeterminada w, w chamada uma funo de z (...). Obviamente, esta definio no estabelece qualquer lei a que devessem estar submetidos os valores de w, uma vez que, se a funo foi definida para um certo intervalo, a maneira como ela continua fora desse intervalo completamente arbitrria. No faz diferena se a dependncia da quantidade w da quantidade z definida de modo arbitrrio ou se definida por meio de certas operaes entre quantidades. G. Boole (1854): Qualquer expresso algbrica envolvendo um smbolo x chamada funo de x e pode ser representada atravs da forma genrica f(x). (...) Se em qualquer funo f(x), substituirmos x por 1, o resultado ser expresso por f(1); se na mesma funo, substituirmos x por 0, o resultado ser expresso por f(0). H. Henkel (1870): Uma funo de x chamada f(x) se cada valor de x dentro de um certo intervalo estiver associado a um nico valor determinado de f(x). Ressalte-se que no relevante a partir de onde e o modo como f(x) pode ser determinado, se atravs de uma operao analtica entre quantidades ou se de outros modos. O que importa que o valor de f(x) possa ser univocamente determinado. R. Dedekind (1887): Para se fazer o mapeamento de um sistema S, uma lei definida, de acordo com a qual para cada elemento determinado s de S associa-se um objeto determinado, o qual chamado imagem de s e denotado por f(s); dizemos tambm que f(s) corresponde ao elemento s, que f(s) gerado pelo mapeamento f e que s foi transformado em f(s) pelo mapeamento f. J. Tannery (1904): Seja um conjunto X de nmeros distintos e consideremos tais nmeros como valores que podem ser atribudos letra x, a qual , portanto, designada como uma varivel. Suponhamos que cada valor de x, isto , cada elemento do conjunto X corresponde a um nmero que o valor atribudo a uma letra y; diz-se que y uma funo de x determinada por este conjunto X: uma funo definida neste conjunto se uma correspondncia for definida. O conjunto Y dos distintos valores que y assume determinado por esta mesma correspondncia: dizer que b um elemento de Y dizer um elemento a de X corresponde a um nmero b. Cada elemento de X corresponde a um elemento de Y e inversamente; mas esta definio no impede que vrios elementos diferentes de X correspondam ao mesmo elemento de Y; em outras palavras, esta definio no implica que a correspondncia entre X e Y seja perfeita. G. Peano (1911): Uma funo uma relao u tal que, se dois pares y;x e z;x , que possuem os segundos elementos iguais, satisfazem a relao u, segue-se, necessariamente, que y = x , quaisquer que sejam x, y e z. F. S. Carey (1917): Em geral, uma correspondncia entre duas classes de nmeros em que para cada nmero da primeira classe corresponde um nmero da segunda, chamada uma relao funcional. A varivel que corresponde a nmeros na primeira classe chamada varivel independente e aquela correspondente aos nmeros associados na segunda classe a varivel dependente. Neste caso, podemos dizer que

h uma relao funcional entre as variveis independente e dependente ou, como mais usual, que a varivel dependente uma funo da varivel independente. A palavra funo freqentemente usada para casos em que nenhum processo matemtico pode ser obtido para o estabelecimento de uma correspondncia entre os nmeros dados por observao ou experimento. E. Gousart (1923): A moderna definio da palavra funo devida a Cauchy e Riemann. Diz-se que y uma funo de x se um valor de x corresponde a um valor de y. Indica-se esta dependncia pela equao y = f(x). A maior parte das funes que examinaremos so definidas analiticamente, isto , mediante a indicao das operaes que deveriam ser realizadas a fim de se deduzir o valor de y a partir do valor de x, mas, freqentemente, esta condio no constitui um argumento. N. Bourbaki (1939): Sejam E e F dois conjuntos distintos ou no. A relao entre um elemento varivel x de E e um elemento varivel y de F chamada uma relao funcional em y se, para todo x E, existe um nico y F que est em relao com x. a) Analise e compare as definies de funo apresentadas e, tendo como referncia a sua definio de funo, classifique-as em corretas ou incorretas, justificando tal opo em cada caso. Para as incorretas levante contra-exemplos. b) Dentre as definies acima, que voc julga aceitveis, faa uma gradao quanto ao rigor. c) Discuta as vrias formas de representao de uma funo. Voc acha que seria possvel e matematicamente adequado separar e distinguir o conceito de funo de suas diferentes formas de representao? Justifique. Voc v alguma importncia pedaggica em defender e justificar essa distino? Justifique. d) Dentre as definies dadas, selecione uma ou mais que voc utilizaria na mobilizao escolar desse objeto cultural junto a alunos do Ensino Mdio. Justifique sua escolha. UBP-20 (F) As mudanas qualitativas pelas quais passaram as prticas de mobilizao do objeto funo na histria nos mostram que tal objeto foi concebido dentro de pelo menos trs campos semnticos diferentes: 1. o campo semntico da relao unvoca entre variveis; 2. o campo semntico da relao entre elementos de dois conjuntos; 3. o campo semntico das transformaes geomtricas. a. Explique como o objeto funo concebido em cada um desses campos semnticos apresentando definies e exemplos de prticas situadas mobilizadoras desse objeto em cada um desses campos. b. Explique, com base em resultados de pesquisa, como estudantes universitrios brasileiros da atualidade lidam com o objeto funo nesses trs campos semnticos. UBP-21 (F) - Algumas prticas sociais realizadas no contexto da atividade cartogrfica chegaram a motivar, historicamente, a produo do objeto funo concebido no interior do campo semntico das transformaes geomtricas. Desde a Antigidade, era conhecido o fato de que no era possvel planificar, sem distoro, uma superfcie esfrica. Mas no foi seno por volta da metade do sculo XVIII que este fato foi provado matematicamente por Euler. Entretanto, as necessidades da navegao martima e de localizao de um ponto na superfcie terrestre colocaram aos cartgrafos o problema de construo de mapas cada vez mais precisos da superfcie da Terra. Para enfrentar esse problema, os cartgrafos desenvolveram vrios tipos de mapas planos da superfcie terrestre, cada um baseado na escolha de um tipo particular de projeo dos pontos de uma superfcie esfrica em um plano e de determinao das imagens desses pontos no mapa. Desse modo, tais projees podem ser vistas como funes matemticas que levam cada ponto de uma superfcie

esfrica para um ponto-imagem de um mapa plano. Algumas dessas projees foram: a projeo cilndrica, a projeo estereogrfica, a projeo azimutal eqidistante e a projeo de Mercator. a. Caracterize cada uma dessas projees explicitando as leis ou regras de transformao a elas subjacentes e verificando se ou no possvel determinar, para cada uma delas, uma expresso analtica que as defina. Mostre como a trigonometria e os logaritmos constituram ferramentas teis para o enfrentamento desse tipo de problema. b. Explique, detalhadamente, como se pode construir cada um desses tipos de mapa, caracterize-os e comente acerca das vantagens e desvantagens de cada um em relao prtica da navegao. c. Explique, em linhas gerais, o desenvolvimento histrico dos sistemas de navegao at o sistema atual GPS de radionavegao baseado em satlites. d. Discuta se, do ponto de vista didtico, atividades anlogas s atividades 20 e 21 poderiam mostrar-se pertinentes para se produzir significados ao trabalho com funes no ensino mdio. Essa forma de produo de significados se mostraria artificial e/ou inacessvel aos estudantes? Essa forma de produo de significados poderia contribuir para se fazer a histria da matemtica participar de forma orgnica dos processos escolares de mobilizao do objeto funo? Essa forma de produo de significados poderia contribuir para se estabelecer conexes entre prticas escolares de mobilizao de cultura matemtica dentro e fora da escolar, bem como entre tpicos aparentemente incomunicveis do prprio currculo de matemtica do ensino mdio? UBP-22 (F) - No sculo XVII e XVIII, matemticos tais como James Gregory (16381675), Isaac Newton (1642-1727), Gottfried W. Leibniz (1646-1716), Jacques Bernoulli (1654-1705), Brook Taylor (1685-1731) e Colin Mc Laurin (1698-1746) estiveram associados produo de pesquisas em torno do desenvolvimento de uma funo racional ou irracional, algbrica ou transcendente - numa srie ou soma de potncias, pesquisa esta cujos resultados demonstraram grande utilidade prtica em outros campos da cincia, bem como na construo de tbuas trigonomtricas e logartmicas. a. Utilizando-se uma abordagem, o mais elementar, intuitiva e didtica possvel, seria possvel mostrar a estudantes do ensino mdio como se desenvolver uma funo qualquer numa srie de potncias? b. Com base no resultado anterior, mostre como se poderia construir uma tbua de logaritmos e uma tbua de senos. Calcule, por esse novo mtodo, ln 2; log 2 e sen 30o. UBP-23 (F) - Jules Antoine Lissajous (1822-1880) um nome bem conhecido entre os estudantes de Fsica em conexo a padres formados pela superposio de ondas senoidais de comprimentos de onda e amplitudes especficos. Em 1855, ele desenvolveu um mtodo ptico simples para o estudo das vibraes compostas. Ele anexou um pequeno espelho a cada um de dois objetos vibrantes (dois diapases, por exemplo) e projetou um raio de luz em um dos espelhos. O raio foi refletido, primeiro, no outro espelho e, em seguida, em uma grande tela, na qual ele formou um padro bidimensional que representava o resultado visual da superposio de duas vibraes. Essa idia simples, precursora dos atuais osciloscpios, era uma novidade na poca de Lissajous, uma vez que, at ento, o estudo do som dependia unicamente de processos auditivos, isto , dependia unicamente do ouvido humano. Lissajous tornou literalmente possvel ver o som. Considerando as equaes genricas representativas de duas vibraes A e B, que descrevem movimentos harmnicos simples, faa uma leitura trigonomtrico-funcional do mtodo de Lissajous, isto , mostre como uma abordagem funcional da trigonometria possibilita-nos ver algebricamente o som.

Procure abordar esse problema sob um ponto de vista acessvel a estudantes do ensino mdio. UBP-24 (F) - O chamado teorema de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fornece a base matemtica para analisar qualquer forma de onda como uma superposio de ondas senoidais de comprimentos de onda e amplitudes especficos e constitui um marco no desenvolvimento tanto do campo da trigonometria quanto do campo das funes, por ter revelado no apenas conexes entre esses dois campos, mas tambm por ter possibilitado o desenvolvimento de vrias aplicaes em outros domnios do conhecimento e da tecnologia tais como: o estudo das ondas cerebrais; a anlise da voz humana, fato este importante para as investigaes policiais; anlises de eletrocardiogramas; processamento de imagens radiolgicas, etc. Sendo ainda a msica o domnio das vibraes peridicas, o teorema de Fourier, associado ao mtodo de Lissajous descrito na atividade anterior, mostra-nos como a trigonometria nos abre a perspectiva no apenas de, por exemplo, ver com nossos prprios olhos uma sinfonia de Mozart, como tambm de algebrizar, isto , de ver com os olhos da lgebra, esta mesma sinfonia. Procure explicar, fornecendo exemplos concretos, algumas dessas aplicaes da trigonometria possibilitadas pelas descobertas associadas de Fourier & Lissajous. Procure abordar esse problema sob um ponto de vista acessvel a estudantes do ensino mdio. UBP-25 (L) a. Explique como e com que propsitos o objeto cultural logaritmos poderia ser mobilizado no contexto da acstica. b. Explique como e com que propsitos o objeto cultural logaritmos poderia ser mobilizado no contexto da atividade musical. c. Explique como e com que propsitos o objeto cultural logaritmos poderia ser mobilizado no contexto de atividade sismogrfica; d. Explique como e com que propsitos o objeto cultural logaritmos poderia ser mobilizado no contexto de atividades que investigam processos de desintegrao radioativa. UBP-26 (G) Ao investigar e discutir os itens seguintes, que pem em evidncia a investigao em torno de prticas de fundamentao de sistemas dedutivos nos campos de atividade da lgica e da matemtica especializadas, voc estar produzindo elementos para estabelecer comparaes entre dois modos distintos de se praticar geometria: euclidianamente ou no-euclidianamente. a. Pesquise e discuta os seguintes problemas: o modo como foi organizado o conhecimento matemtico nos Elementos de Euclides; as caractersticas do mtodo axiomtico de validao de uma proposio matemtica; o que um sistema dedutivo; o papel desempenhado pelas definies, axiomas, postulados, regras de inferncia e teoremas em um sistema dedutivo; as desconfianas geradas pelo 5 o postulado de Euclides; como foi possvel o surgimento histrico de geometrias noeuclidianas; as diferenas e as semelhanas entre a geometria euclidiana e as noeuclidianas; os impactos da inveno de geometrias no-euclidianas nos campos de atividade religiosa, cientfica e filosfica. b. Utilizando os modelos visuais euclidianos de Felix Klein e de Poincar para a geometria de Lobatchevski, mostre que: 1. duas retas distintas intersectam-se, no mximo, em um ponto; 2. por um ponto fora de uma reta podemos traar exatamente duas paralelas a essa reta; 3. por um ponto P, fora de uma reta r, podemos traar infinitas retas que no intersectam r; 3. a soma dos ngulos internos de um tringulo menor do que 180.

c. Verifique se as propriedades acima continuam vlidas para a Geometria de Riemann. Caso no o sejam, reescreva-as de modo a satisfazerem essa geometria. UBP-27 (G) Explique o que e quais so algumas das caractersticas da chamada geometria do motorista de taxi. Fornea exemplos e discuta em que aspectos essa geometria difere da euclidiana. Ela poderia ser considerada uma geometria noeuclidiana? Por qu? UBP-28 (G) Explique o que e quais so algumas das caractersticas da Topologia. Fornea exemplos de algumas propriedades topolgicas das figuras, de alguns teoremas topolgicos e discuta em que aspectos essa geometria difere da euclidiana. UBP-29 (G) - Ao discutir e resolver o item seguinte voc estar produzindo elementos para estabelecer comparaes entre as diferentes geometrias historicamente produzidas, segundo o ponto de vista de Felix Klein. a. Desenhe um retngulo, numa folha de papel, e submeta-o aos cinco seguintes tipos de transformaes: por translao, uma transformao por homotetia, uma transformao afim, uma transformao projetiva e uma transformao topolgica. Em seguida, complete o quadro seguinte a fim de perceber que propriedades da figura original permaneceram invariantes aps cada uma das transformaes sucessivas a que a figura foi submetida. TRANSLA O (Geometria Euclidiana ) Interiores e exteriores Ordem dos pontos sobre uma reta Linhas Retas Convexidad e Paralelismo Razo entre distncias Sobre retas paralelas Razo entre distncias Sobre retas quaisquer ngulos Distncias Posies UBP-30 (G) HOMOTETI A (Geometria das Semelhana s) AFIM (Geometr ia Afim) PROJETI VA (Geometr ia Projetiva) TOPOLGIC A (Topologia )

a. Investigue e caracterize a geometria fractal. Fornea exemplos de problemas que esse tipo de geometria procura resolver e discuta em que aspectos essa geometria difere da euclidiana. b. Discuta a possibilidade e pertinncia de realizao de prticas escolares mobilizadoras de cultura geomtrica no ensino mdio, bem como de realizao de prticas mobilizadoras de outras geometrias diferentes da euclidiana e da analtica. c. Discuta a relao entre matemtica, pensamento visual e esttica, a fim de se mostrar a importncia de se valorizar a dimenso esttica da matemtica na educao matemtica escolar.