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Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear

Bernardo Corrêa Henriques Frère

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil

Júri Presidente: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara Orientador: Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso Vogais: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Novembro 2012

i

Agradecimentos

Agradeço ao Prof. Francisco Virtuoso a sua orientação na elaboração desta

dissertação, a disponibilidade que demonstrou nas minhas vindas a Lisboa durante o

meu programa Erasmus e o acompanhamento ao longo dos últimos meses de realização

deste trabalho.

Deixo, também, uma palavra de apreço às pessoas que me ajudaram durante a

minha estadia em Lausanne. Em particular ao Prof. Pierino Lestuzzi por toda a

bibliografia fornecida e ao Eng. Francisco Natário pela imensa ajuda na realização do

programa de cálculo de secções. Agradeço, também, à Dra. Ema Coelho por toda a

bibliografia fornecida e pelos conselhos para a realização deste trabalho.

Por fim, queria agradecer à minha família e a todos os meus amigos. Foram

muito importantes pois muito me ajudaram na elaboração desta dissertação, quer no

incentivo e apoio quer na revisão do trabalho.

ii

Resumo

Este trabalho insere-se no domínio da análise sísmica de pontes e pretende

avaliar a utilização de análises estáticas não lineares, também designadas por

metodologias pushover. Neste trabalho, só é estudada a aplicação de análises pushover

para pontes correntes na sua direcção longitudinal.

Desenvolve-se um modelo para o comportamento não linear de estruturas de

forma a obter a curva de capacidade – relação entre a força aplicada e o deslocamento –

dos pilares de pontes. O modelo desenvolvido concentra a plasticidade numa

determinada zona do elemento estrutural, introduzindo o conceito de rótula plástica. A

rigidez elástica do pilar é determinada considerando a secção fendilhada e as

características médias dos materiais. Na determinação do momento resistente, utilizam-

se as relações constitutivas apresentadas no Eurocódigo 2 para a determinação do

momento máximo permitido.

São apresentadas as principais metodologias para a análise estática não linear de

estruturas correntes de pontes. Das metodologias apresentadas, utilizam-se nesta

dissertação o Método do Espectro de Capacidade e a metodologia proposta no EC8-2.

Por fim, aplicam-se ambas as metodologias e são comparados os resultados com

os obtidos por uma análise dinâmica não linear. Mais precisamente, analisam-se os

resultados para pilares isolados e para pórticos planos. Neste ponto estuda-se a

influência do período de vibração e da regularidade da estrutura. Por último, analisaram-

se duas estruturas de pontes na direcção longitudinal.

Palavras-chave: pushover, deslocamento, rótula plástica, capacidade, estática

iii

Abstract

This thesis belongs to the field of seismic analysis of bridge structures and

intends to evaluate the use of static non linear analysis, also known as pushover. This

work only deals with pushover analysis in the longitudinal direction of regular bridges.

A plastic hinge model is developed to represent the non-linear behavior of

structures and, therefore, obtain the capacity curve of bridge piers. The elastic stiffness

of each pier is obtained thru the mean values of its material properties. However, the

resistant moment is computed using the design values to limit the moment to its

maximum allowed by Eurocode 2.

The major methodologies for non linear static analysis of bridges are then

presented. Of those, the Capacity Spectrum Method and the methodology suggested in

EC8-2 are used.

Finally, the results obtained with the above pushover methodologies are

compared with those obtained with a non linear dynamic analysis. Both isolated piers

and two pier frames results’ are analyzed. The influence of the structure’s dynamic

period as well as the influence of the structure’s irregularity is evaluated. To close, the

pushover analysis of two bridges is carried in their longitudinal direction.

Keywords: pushover, displacement, plastic hinge, capacity, static


iv

Índice

Agradecimentos ............................................................................................................. i

Resumo ......................................................................................................................... ii

Abstract ....................................................................................................................... iii

Índice ........................................................................................................................... iv

Lista de Figuras........................................................................................................... vii

Notação ........................................................................................................................ x

1. Introdução ............................................................................................................. 1

1.1 Enquadramento e objectivo da dissertação ...................................................... 1

1.2 Estrutura da dissertação .................................................................................. 2

2. Análise Sísmica de Estruturas ................................................................................ 5

2.1 Conceitos de Dinâmica de Estruturas .............................................................. 5

2.1.1 Equação de Equilíbrio Dinâmico .............................................................. 5

2.1.2 Sistemas com Vários Graus de Liberdade – Análise Modal ...................... 6

2.1.3 Consideração do Amortecimento para a Análise Modal ........................... 9

2.2 Análise Sísmica ............................................................................................ 10

2.2.1 Modelação da Acção Sísmica: Aceleração da Base ................................ 10

2.2.2 Conceitos de Modelação da Acção Sísmica em Pontes ........................... 11

2.2.3 Diferentes Abordagens para a Análise Sísmica de Estruturas. ................ 13

2.3 Métodos de Análise Sísmica ......................................................................... 16

2.3.1 Coeficiente de comportamento ............................................................... 16

2.3.2 Espectros de Resposta ............................................................................ 18

2.3.3 Método das Forças Laterais Equivalentes ............................................... 21

2.3.4 Análise Modal por Espectro de Resposta ............................................... 22

2.3.5 Análise Estática não Linear .................................................................... 24

2.3.6 Análise Dinâmica não Linear – Time-History Analysis ........................... 26

Índice

v

3. Análise Fisicamente Não-Linear .......................................................................... 27

3.1 Relações Constitutivas dos Materiais ................................................................. 28

3.1.1 Relação Constitutiva para o Aço ................................................................. 28

3.1.2 Características do aço para armaduras ......................................................... 29

3.1.3 Relações Constitutivas para o Betão ........................................................... 30

3.1.4 Características do betão .............................................................................. 32

3.2 Relação Momento-Curvatura ............................................................................. 33

3.3 Diagrama Momento-Curvatura Simplificado ..................................................... 35

3.4 Relação Momentos-Rotações............................................................................. 39

3.4.1 Determinação da rotação na cedência.......................................................... 40

3.4.2 Determinação da rotação na rotura .............................................................. 41

3.4.3 Relação Momento-Rotação ......................................................................... 44

3.5 Curva de Capacidade de Pilares ......................................................................... 44

4. Análise Pushover de Estruturas de Pontes ........................................................... 47

4.1 Metodologias para a análise pushover de pontes............................................ 47

4.1.1 Metodologia aconselhada no EC8-2 ....................................................... 47

4.1.2 Método N2, proposto para edifícios no EC8-1 ........................................ 51

4.1.3 Método do Espectro de Capacidade ....................................................... 57

4.2 Determinação da curva de capacidade de um pórtico plano ........................... 62

5. Análise Pushover – Aplicações ........................................................................... 65

5.1 Preparação da análise .................................................................................... 66

5.1.1 Definição da acção sísmica .................................................................... 66

5.1.2 Programas de cálculo para a análise pushover ........................................ 69

5.1.3 Programa de cálculo para a análise dinâmica não linear ......................... 69

5.2 Análise de um pilar isolado ........................................................................... 72

5.2.1 Apresentação da análise .............................................................................. 72

5.2.2 Análise de resultados .................................................................................. 73


vi

5.3 Análise de um pórtico plano .......................................................................... 77

5.3.1 Apresentação da análise ......................................................................... 77

5.3.2 Análise de resultados ............................................................................. 80

5.4 Análise de uma ponte real ............................................................................. 83

5.4.1 Análise de resultados para o Modelo 1 ( ) .............................. 84

5.4.2 Análise de resultados para o Modelo 2 ( ) .............................. 86

5.5 Análise da influência da rigidez pós-cedência ............................................... 87

5.5.1 Apresentação da análise ......................................................................... 88

5.5.2 Análise de resultados ............................................................................. 90

6. Conclusões e Desenvolvimentos Futuros ............................................................. 95

Referências ............................................................................................................... 100

Bibliografia ............................................................................................................... 101

Anexos........................................................................................................................... I

Anexo 1: Características dos pilares analisados em 5.2 ............................................. II

Anexo 2: Resultados da análise a pilares isolados .................................................... III

Anexo 3: Valores da curva de capacidade de cada pórtico plano ............................... V

Anexo 4: Resultados da análise a pórticos planos .................................................... VI

Anexo 5: Características dos pilares das pontes analisadas em 5.4 .......................... IX

Anexo 6: Resultados da análise sobre influência da rigidez pós-cedência ................. X

Lista de Figuras

vii

Lista de Figuras

Figura 2.1 Decomposição do deslocamento absoluto ................................................... 10

Figura 2.2 Princípio da igualdade de deslocamentos .................................................... 15

Figura 2.3 Princípio da igualdade de energias.............................................................. 17

Figura 2.4 Coeficientes de comportamento e ductilidade ............................................. 18

Figura 2.5 Espectro elástico de acelerações pelo EC8-1............................................... 20

Figura 2.6 Espectros de dimensionamento para diferentes coeficientes de

comportamento ........................................................................................................... 21

Figura 3.1 Procedimento para modelar o comportamento da estrutura ......................... 27

Figura 3.2 Relação constitutiva elásto-plástica para o aço............................................ 28

Figura 3.3 Relação constitutiva com endurecimento para o aço ................................... 29

Figura 3.4 Relação constitutiva linear para o betão ...................................................... 30

Figura 3.5 Relação constitutiva k-η para o betão ......................................................... 31

Figura 3.6 Relação parábola-rectângulo para o betão ................................................... 32

Figura 3.7 Simplificação do diagrama .............................................................. 36

Figura 3.8 Simplificação do diagrama com áreas iguais (recomendação do EC8-2) ..... 36

Figura 3.9 Método utilizado para obter o digrama simplificado ........................ 38

Figura 3.10 Fluxograma do procedimento utilizado para obter a relação Momentos-

Curvaturas simplificada .............................................................................................. 38

Figura 3.11 Deslocamento obtido por soma do deslocamento devido à flexão elástica da

barra e do deslocamento devido à rotação da rótula plástica ........................................ 39

Figura 3.12 Rotação da corda ...................................................................................... 40

Figura 3.13 Cedência da secção de encastramento ....................................................... 41

Figura 3.14 Modelo de rótula plástica ......................................................................... 42

Figura 3.15 Rotação da rótula plástica ......................................................................... 43

Figura 3.16 Exemplo de uma relação Momento-Rotação ............................................. 44

Figura 3.17 Exemplo de uma curva de capacidade ...................................................... 45

Figura 3.18 para um pilar perfeitamente encastrado no tabuleiro ............................ 46

Figura 4.1 Ponte irregular onde não é possível aplicar a metodologia do EC8-2 na

direcção transversal ..................................................................................................... 50

Figura 4.2 Espectro de resposta no formato ADRS ....................................................... 54


viii

Figura 4.3 Oscilador que permanece em regime elástico ............................................. 55

Figura 4.4 Determinação de quando é válido o principio de igualdade de

deslocamentos ............................................................................................................. 55

Figura 4.5 Determinação de quando não é válido o principio de igualdade de

deslocamentos ............................................................................................................. 56

Figura 4.6 Espectro de Capacidade e simplificação bilinear de acordo com o ATC-40 58

Figura 4.7 Definição de e para a determinação do amortecimento viscoso

equivalente .................................................................................................................. 60

Figura 4.8 Processo iterativo para determinação do ponto de desempenho sísmico ...... 62

Figura 4.9 Pórtico plano .............................................................................................. 63

Figura 4.10 Curva de capacidade de um pórtico e dos seus pilares .............................. 64

Figura 5.1 Secção em caixão utilizada ......................................................................... 66

Figura 5.2 Diferenças entre coeficiente de comportamento e coeficiente de ductilidade

em força ................................................................................................................... 67

Figura 5.3 Processo para utilização dos programas de cálculo para as análises estáticas

não lineares ................................................................................................................. 69

Figura 5.4 Modelo de pórtico para a análise dinâmica não linear em SAP2000 ............ 70

Figura 5.5 Amortecimento de Rayleigh ....................................................................... 71

Figura 5.6 Modelo para a análise de um pilar isolado .................................................. 72

Figura 5.7 Variação do no cálculo do deslocamento. Pilar isolado. ........... 74

Figura 5.8 Método do Espectro de Capacidade (CSM) para ............................... 74

Figura 5.9 Variação do no cálculo do deslocamento. Pilar isolado. ........... 75

Figura 5.10 Variação do no cálculo do deslocamento. Pilar isolado. ......... 75



Figura 5.13 Comparação do valor do para o CSM para diferentes valores de -

pilar isolado ................................................................................................................ 77

Figura 5.14 Modelo de pórtico plano ........................................................................... 78

Figura 5.15 Curva de capacidade de um pórtico de dois pilares ................................... 79

Figura 5.16 Variação do no cálculo do deslocamento. Pórtico plano. ........ 80

Figura 5.17 Variação do no cálculo do deslocamento. Pórtico plano. ........ 81

Figura 5.18 Variação do no cálculo do deslocamento pelo CSM. Diferentes valores

de . Pórtico plano 1,2 .......................................................................................... 82

Lista de Figuras

ix

Figura 5.19 Variação do no cálculo do deslocamento pela metodologia do EC8-2.

Diferentes valores de . Pórtico plano 1,2 ............................................................. 83

Figura 5.20 Representação do modelo das pontes estudadas ........................................ 83

Figura 5.21 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados.

Modelo 1 ( ). ................................................................................................ 86

Figura 5.22 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados.

Modelo 2 ( ) ................................................................................................... 87

Figura 5.23 Influência da rigidez pós-cedência ............................................................ 90

Figura 5.24 Análise da influência da rigidez pós-cedência de um pórtico nos

deslocamentos obtidos por uma análise dinâmica e pela metodologia do EC8-2 .......... 91

Figura 5.25 Erros da metodologia do EC8-2 relativamente à análise dinâmica para

diferentes valores de .............................................................................................. 92

Figura 5.26 Deslocamentos do CSM e comparação com o deslocamento obtido por uma

análise dinâmica com ................................................................................ 93

Figura 5.27 Diferença relativa dos deslocamentos do CSM para várias rigidezes pós-

cedência ...................................................................................................................... 93

Figura 5.28 Erros da metodologia CSM relativamente à análise dinâmica com

............................................................................................................................ 94

Figura 6.1 Evolução do com o período de vibração. Pórtico plano .

................................................................................................................................... 97


x

Notação

Lista de abreviaturas

ADNL Análise Dinâmica Não Linear

CQC Combinação Quadrática Completa

CSM Método do Espectro de Capacidade (Capacity Spectrum Method)

EC2 EN 1992

EC8-1 EN 1998-1

EC8-2 EN 1998-2

SRSS Square Root of the Sum of the Squares

Lista de variáveis

Capítulo 2

Secção 2.1

coeficiente de amortecimento

rigidez o sistema

massa do oscilador

força aplicada

deslocamento

velocidade

aceleração d

coeficiente de amortecimento relativo

frequência angular

matriz de amortecimento

matriz de rigidez

Notação

xi

matriz de massa

matriz modal

vector de deslocamentos

vector de acelerações

vector de deslocamentos modais

Secção 2.2

deslocamento absoluto

deslocamento da base

deslocamento relativo

Secção 2.3

aceleração do solo para um terreno do tipo A

massa modal efectiva do modo

coeficiente de comportamento

S coeficiente de solo

espectro elástico de acelerações

espectro de dimensionamento

espectro de deslocamentos

espectro elástico de acelerações

período de vibração

limite inferior do patamar com aceleração constante

limite superior do patamar com aceleração constante

limite inferior do patamar com deslocamento constante

coeficiente de correcção de amortecimento

factor de participação do modo

vector unitário


xii

Capítulo 3

Secção 3.1

módulo de elasticidade do betão

valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão

valor médio do módulo de elasticidade do betão

tensão máxima no betão

valor de cálculo da tensão máxima no betão

valor médio da tensão máxima no betão

tensão de cedência para o aço

valor de cálculo para a tensão de cedência do aço

extensão axial

extensão no betão

extensão quando o betão atinge a sua tensão máxima (relação k-η)

extensão quando o betão atinge a sua tensão máxima (diagrama parábola-

rectangulo)

extensão última (diagrama parábola- rectangulo)

valor da extensão última do aço

factor parcial de segurança para o betão

tensão axial

tensão no betão

Secção 3.2

área da secção de betão

área de uma fibra de aço

momento

momento flector resultante das tensões aplicadas no betão

momento flector calculado na iteração

Notação

xiii

momento flector resultante das tensões aplicadas nas armaduras

esforço normal

esforço normal aplicado na secção

esforço normal resultante das tensões aplicadas no betão

esforço normal calculado na iteração

esforço normal resultante das tensões aplicadas nas armaduras

distância entre a fibra de betão e o centro de gravidade ao longo do eixo z

distância entre o varão e o centro de gravidade ao longo do eixo z

extensão na j-ésima armadura

extensão na i-ésima fatia de betão

extensão no centro de gravidade da secção

curvatura

curvatura na iteração

Secção 3.3

rigidez elástica fendilhada da secção

rigidez pós-cedência da secção

momento de cedência

momento que se obtém a partir do ponto ( ) considerando que a

rigidez pós-cedência, , é igual a 1% da rigidez

momento flector quando a primeira fibra de betão atinge o valor característico

da sua resistência

momento de rotura

curvatura de cedência

curvatura de rotura


xiv

Secção 3.4

deslocamento na cedência

deslocamento devido à rotação plástica

comprimento da barra

comprimento da rótula plástica

distância entre a secção de encastramento e a secção de momento flector nulo

factor parcial de segurança para a rotação plástica

rotação

rotação na cedência

rotação plástica na rotura

valor de cálculo da rotação plástica na rotura

rotação na rotura

Secção 3.5

deslocamento


deslocamento na rotura

força na cedência

força na rotura

Capítulo 4

Secção 4.1

aceleração na intercepção entre o espectro de resposta e o espectro de

capacidade

deslocamento

deslocamento do oscilador de um grau de liberdade equivalente

deslocamento elástico do oscilador de um grau de liberdade equivalente

Notação

xv

deslocamento na intercepção entre o espectro de resposta e o espectro de

capacidade

deslocamento obtido na iteração

deslocamento objectivo na direção longitudinal

deslocamento objectivo na direção transversal

deslocamento na cedência do oscilador de um grau liberdade equivalente

energia dissipada no ciclo histerético

energia de deformação elástica linear para o deslocamento

acção sísmica na direcção longitudinal

acção sísmica na direcção transversal

força aplicada

força aplicada

força aplicada no sistema de um grau de liberdade equivalente

força na cedência do oscilador de um grau liberdade equivalente

rigidez

massa

massa do sistema de um grau de liberdade equivalente

factor de ductilidade em força para o sistema de um grau de liberdade

equivalente

aceleração espectral elástica

aceleração espectral corrigida

espectro de deslocamentos

deslocamento espectral corrigido


período do oscilador de um grau de liberdade equivalente

limite inferior das acelerações decrescentes de acordo com o espectro do EC8-1

amortecimento viscoso efectivo


xvi

amortecimento viscoso

factor de correcção do amortecimento

factor de transformação

amortecimento viscoso equivalente ao amortecimento histerético

frequência própria do sistema

Capítulo 5

Secção 5.1

aceleração do solo para um terreno do tipo A segundo o EC8-1

aceleração de pico no solo

area total de armadura

força que provoca a primeira cedência

força devida à acção sísmica para um oscilador elástico

massa do sistema

S coeficiente de solo segundo o EC8-1

aceleração espectral


limite inferior do patamar com aceleração constante

limite superior do patamar com aceleração constante

limite inferior do patamar com deslocamento constante

coeficiente de ductilidade em força

matriz de amortecimento

matriz de rigidez

matriz de massa

Notação

xvii

Secção 5.2

deslocamento objectivo


rigidez da secção

altura do pilar

Secção 5.3

altura do pilar mais curto

altura do pilar mais comprido

relação entre e

Secção 5.5

rigidez elástica fendilhada de uma secção

rigidez pós-cedência de uma secção

força exercida no topo do pilar numa análise elástica

força obtida no topo do pilar tendo em conta o comportamento não linear do

elemento

rigidez elástica fendilhada do pilar

rigidez pós-cedência do pilar

relação entre a rigidez pós-cedência e a rigidez elástica do pilar

relação entre a rigidez pós-cedência e a rigidez elástica de uma secção

coeficiente de comportamento


1

1. Introdução

1.1 Enquadramento e objectivo da dissertação

Este trabalho surge no âmbito do Mestrado Integrado em Engenharia Civil e

insere-se no domínio da análise sísmica de pontes. Em países com sismicidade elevada,

como é o caso de Portugal, é de grande importância o dimensionamento sísmico de

estruturas, em particular das estruturas de pontes pois, para além de estarem em causa

elevados custos financeiros, estas podem ser elementos chave no sistema de vias de

comunicação.

A regulamentação actual, em particular o Eurocódigo 8-2, propõe vários

métodos para a análise sísmica de pontes. No entanto, na prática corrente de projecto em

Portugal, a análise da estrutura à acção sísmica é efectuada através de uma análise

modal, assumindo um comportamento linear, recorrendo a espectros de resposta. No

entanto, em casos de maior complexidade recorre-se a uma análise dinâmica não linear.

Este método é computacionalmente muito exigente quando comparado com uma análise

linear, mas tem em conta o comportamento não linear da estrutura ao longo do tempo,

pelo que é considerado o que melhor representa o comportamento real da estrutura. Em

determinadas condições é possível utilizar um método que se pode assumir como de

nível intermédio – computacionalmente menos exigente do que uma análise ao longo do

tempo e que tenha em conta o comportamento não linear – baseado numa análise

estática não linear também designada por análise pushover, cuja utilização é também

admitida no Eurocódigo.

Neste sentido surge a presente dissertação cujos principais objectivos são:

apresentar um procedimento para efectuar a análise pushover de pontes correntes na

direcção longitudinal; e de comparar os seus resultados com os obtidos por uma análise

linear por espectros de resposta e com os obtidos por uma análise dinâmica não linear.

Desta forma, o principal objectivo deste trabalho é avaliar a análise pushover, em

termos de facilidade de implementação e de precisão nos resultados, face aos métodos

mais utilizados na prática corrente de projecto.

Capítulo 1 - Introdução

2

1.2 Estrutura da dissertação

A presente dissertação está organizada em seis capítulos, incluindo os capítulos

de introdução e de conclusão. Nos parágrafos seguintes, descreve-se de forma sucinta o

conteúdo de cada um deles, com excepção deste primeiro.

No capítulo 2 apresentam-se os conceitos gerais da dinâmica de estruturas e a

sua aplicação para análise sísmica. Abordam-se os conceitos de base para os estudos

realizados e apresentados no âmbito desta dissertação, nomeadamente os conceitos

relativos a métodos baseados em forças e de ductilidade em força e métodos baseados

em deslocamentos, o conceito de coeficiente de comportamento e o de espectro de

resposta. Por fim, apresentam-se os diferentes métodos de análise sísmica dando

particular relevo ao método alvo deste trabalho, a análise estática não linear, ou

pushover.

O capítulo 3 trata o comportamento fisicamente não linear das estruturas. Uma

vez que o pushover tem em conta o comportamento não linear este capítulo revela-se

essencial, pois apresenta uma forma para modelar o comportamento não elástico: o

modelo de rótula plástica. Apresenta-se, em particular, o processo de cálculo para

modelar o comportamento fisicamente não linear de secções de betão armado.

No capítulo 4 apresentam-se diferentes metodologias para efectuar uma análise

estática não linear de uma ponte no sentido longitudinal. São explicadas as

metodologias previstas na norma europeia – uma preconizada no EC8-1 para estruturas

de edifícios e outra proposta no EC8-2 para pontes – e o Método do Espectro de

Capacidade, ou CSM (Capacity Spectrum Method). É dada particular enfâse à

metodologia proposta pelo EC8-2 e ao CSM pois são utilizadas nos capítulos seguintes.

No capítulo 5 apresentam-se os aspectos principais desta dissertação tendo em

conta os seus objectivos. Apresentam-se os resultados das análises estáticas não lineares

efectuadas pela metodologia do EC8-2 e pelo CSM para vários tipos de estruturas e

comparam-se os resultados com os obtidos por uma análise dinâmica não linear.

Começa-se por estudar o caso mais simples de um pilar isolado com diferentes alturas,

de forma a analisar a influência do período de vibração. Numa segunda fase analisam-se

estruturas de pórtico plano, variando o período de vibração e a regularidade da estrutura

– medida através da relação entre a altura dos pilares. Numa terceira fase, efectuam-se

análises estáticas não lineares a duas estruturas de pontes baseadas em casos reais para,

por fim, se estudar a influência da rigidez pós-cedência.


3

No sexto e último capítulo apresentam-se as principais conclusões do trabalho

desenvolvido. Referem-se, também, algumas propostas de desenvolvimento ou de

outros possíveis estudos no âmbito do tema desta dissertação.


5

2. Análise Sísmica de Estruturas

Neste capítulo abordam-se os conceitos gerais da dinâmica de estruturas e a sua

aplicação para a análise sísmica. De seguida, é tratada a questão da resposta não linear

das estruturas submetidas à acção sísmica e, por fim, apresentam-se os principais

métodos de análise e são discutidas as diferenças entre cada um deles.

2.1 Conceitos de Dinâmica de Estruturas

A acção sísmica é uma acção dinâmica que se traduz por uma aceleração do

solo. Por esta razão, são primeiro apresentados os conceitos básicos de dinâmica que,

posteriormente, são adaptados para a análise sísmica de estruturas. Começa-se por

apresentar as equações que regem a dinâmica de um oscilador de um grau de liberdade,

sendo depois explicados os conceitos relativos a osciladores com vários graus de

liberdade, nomeadamente através da análise modal.

2.1.1 Equação de Equilíbrio Dinâmico

Qualquer problema de equilíbrio dinâmico é regido pela equação fundamental da

dinâmica que, no caso de um oscilador de um grau de liberdade pode ser escrita da

seguinte forma:

em que:

é o deslocamento do oscilador no instante , e são,

respectivamente, a primeira e segunda derivada de em ordem ao tempo, ou

seja, a velocidade e a aceleração no instante . Trata-se, portanto, de uma

equação diferencial.

é a massa do oscilador

é o coeficiente de amortecimento

é a rigidez do sistema para o deslocamento correspondente ao grau de

liberdade

(2.1)

Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas

6

é a força aplicada ao sistema no instante

A solução geral da equação diferencial é composta pela soma da solução da

equação homogénea, , com a solução da equação particular, . A solução da

equação homogénea é designada por regime transitório uma vez que o efeito do

amortecimento a leva a atenuar-se ao longo do tempo. Já a solução da equação

particular é designada por regime permanente.

A equação fundamental da dinâmica pode, também, ser escrita na seguinte

forma:

em que:

é a frequência angular do oscilador

quantifica o amortecimento definindo-se o coeficiente de

amortecimento relativo como

.

Quando , o amortecimento é designado por amortecimento crítico e a

resposta em regime livre do sistema deixa de ter carácter oscilatório. Na maioria dos

casos da dinâmica estrutural o amortecimento é pequeno ( ) pelo que a resposta

em regime livre é sempre oscilatória e, de acordo com [CLOUGH & PENZIEN, 2003],

a frequência amortecida pode ser considerada igual à frequência não amortecida, .

2.1.2 Sistemas com Vários Graus de Liberdade – Análise Modal

A equação 2.1 pode ser escrita de forma análoga no caso de se tratar de um

sistema com graus de liberdade:

em que:

é o vector deslocamento. Cada elemento do vector corresponde ao

deslocamento de um determinado grau de liberdade

é o vector de forças aplicadas em cada grau de liberdade

(2.2)

(2.3)


7

é a matriz de massa do sistema

é a matriz de amortecimento

é a matriz de rigidez

Desta forma, a resposta do sistema é obtida através da resolução de um sistema

de equações diferenciais. Enquanto a matriz de massa, , é geralmente diagonal, a

matriz de rigidez, , raramente o é. Ao considerar diagonal supõe-se que uma

aceleração num dado grau de liberdade apenas provoca forças de inércia nesse mesmo

grau de liberdade – desprezando, assim, os termos cruzados – o que só é válido se a

massa se concentrar nos nós, o que pressupõe uma discretização finita da estrutura.

Consequentemente, a equação 2.3 é um sistema de equações diferenciais dependentes,

sendo a sua resolução bastante complexa.

No caso de um sistema com uma relação constitutiva elástica linear, em que é

válido o princípio de sobreposição, o problema pode ser resolvido recorrendo à análise

modal. A análise modal permite transformar a equação 2.3 num sistema de equações

independentes através de uma mudança de variáveis. O sistema de equações é resolvido

não em função dos deslocamentos de cada grau de liberdade mas em função dos

deslocamentos modais, como se explicará de seguida. Uma vez que se obtém um

sistema de equações independentes, o problema transforma-se, passando a ser

necessário resolver apenas cada equação uma a uma, como foi abordado em 2.1.1.

Considere-se a equação da dinâmica para um sistema com graus de liberdade,

desprezando o amortecimento e não considerando forças exteriores:

A partir dos resultados obtido para a análise de um sistema com um grau de

liberdade, a solução da equação 2.4 é da forma:

Pelo que pode ser escrita na seguinte forma:

Este sistema de equações só tem solução não trivial no caso do determinante da

matriz ser nulo. Desta forma, a resolução de um problema dinâmico

(2.4)

(2.5)

(2.6)


8

passa pela resolução de um problema de valores e vectores próprios. Cada vector

próprio corresponde a uma dada configuração deformada da estrutura, ou seja, a um

modo próprio de vibração. Existem tantos modos de vibração como graus de liberdade.

Cada valor próprio corresponde à frequência de vibração, , do modo de vibração

correspondente. É de notar que a amplitude dos modos de vibração é indeterminada: a

resolução do problema de vectores e valores próprios só permite obter a configuração da

deformada em cada modo mas não a sua amplitude. Consequentemente, cada vector

modal poderá ser normalizado, sendo livre o critério de normalização a utilizar.

Um aspecto fundamental da análise modal, que lhe confere toda a sua utilidade,

é a ortogonalidade dos modos de vibração em relação à matriz de massa e à matriz de

rigidez. Os vectores modais são uma base possível do espaço de deformadas do sistema

com graus de liberdade. Como consequência da ortogonalidade, ao efectuar a

mudança de variáveis para coordenadas modais, obtêm-se a matriz de massa modal,

, e a matriz de rigidez modal, , ambas diagonais:

em que é a matriz modal, matriz cujas colunas são os vectores próprios da matriz

, ou seja, os modos de vibração.

Como foi referido anteriormente, a análise modal permite transformar um

sistema de equações dependentes num sistema de equações independentes, como se

demonstra de seguida.

Não considerando o amortecimento, tem-se a equação inicial:

O vector de deslocamentos, (para esta demonstração, será omitida a variação

temporal dos deslocamentos), pode ser escrito a partir do vector deslocamento em

coordenadas modais através da seguinte mudança de variáveis:

Desta forma, a equação 2.9 pode ser escrita na forma:

Multiplicando os dois lados da equação por obtém-se:

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)


9

Ou seja,

Uma vez que as matrizes e são diagonais, a equação 2.13 corresponde

a um sistema de equações independentes pelo que cada equação pode ser resolvida

separadamente, como se de um sistema de um grau de liberdade se tratasse. Obtém-se,

assim, a solução do sistema em coordenadas modais, , pelo que a solução do

problema em coordenadas iniciais pode ser obtida pela seguinte mudança de

coordenadas:

2.1.3 Consideração do Amortecimento para a Análise Modal

Na secção anterior, em que se apresentaram os fundamentos da análise modal,

não foi considerado o amortecimento. Tal como a massa e a rigidez, o efeito do

amortecimento é representado por uma matriz, a matriz de amortecimento .

De um ponto de vista formal, existem dois tipos de amortecimento: o

amortecimento clássico e o amortecimento não clássico. O primeiro acontece quando a

matriz de amortecimento modal, , é diagonal. Nessas condições, tal

como para o sistema não amortecido, obtém-se um sistema de equações independentes.

Porém, no caso do amortecimento não clássico, a matriz não é diagonal, pelo que o

sistema obtido tem termos cruzados e a sua resolução é complexa.

De um ponto de vista prático, pode definir-se a matriz de amortecimento, ,

como uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez:

Uma vez que as matrizes e são ambas diagonais após a mudança de

coordenadas, também o será e, consequentemente, a análise modal permite obter um

sistema de equações de um grau de liberdade. Este tipo de amortecimento é designado

de amortecimento de Rayleigh e corresponde a impor que os modos de vibração dos

sistema amortecido sejam os mesmos que os do sistema não amortecido.

(2.13)

(2.14)

(2.15)


10

2.2 Análise Sísmica

Nesta secção são aplicados os conceitos gerais da dinâmica estrutural para a

análise sísmica de pontes. Numa primeira fase introduz-se a acção sísmica em termos

conceptuais para a resolução da equação diferencial da dinâmica (equação 2.1), e a

correspondente aplicação para estruturas de pontes. Por fim, apresentam-se as diferentes

abordagens para a análise sísmica de estruturas, nomeadamente a consideração do

comportamento não linear e a distinção entre métodos baseados em forças e métodos

baseados em deslocamentos.

2.2.1 Modelação da Acção Sísmica: Aceleração da Base

A acção sísmica corresponde a uma aceleração da fundação da estrutura, que

varia ao longo do tempo. É esta solicitação que irá fazer oscilar a estrutura, deformando-

a, criando forças internas devido à sua rigidez e provocando forças de inércia sobre os

diversos graus de liberdade.

Para introduzir a aceleração do solo na equação diferencial da dinâmica, é

necessário separar o deslocamento nas suas duas componentes: o deslocamento da base,

, e o deslocamento relativo da estrutura em relação ao solo, , como

apresentado na Figura 2.1. Tem-se, então:

Figura 2.1 Decomposição do deslocamento absoluto

Consequentemente, têm-se as relações análogas para a velocidade e a

aceleração:

(2.16)


11

As forças internas devidas ao amortecimento e à rigidez só dependem dos

valores relativos da velocidade e do deslocamento. Já as forças de inércia dependem da

aceleração total do oscilador. Consequentemente, para uma aceleração na base ,

a equação fundamental da dinâmica pode ser escrita na forma:

pelo que se tem, analogamente à equação 2.1:

Esta equação considera que a estrutura está submetida a um

carregamento , pelo que se trata de um problema análogo ao

apresentado na secção 2.1.1. Por simplicidade, será omitido o índice para o resto

do estudo.

A equação 2.20 pode ser generalizada para um sistema com múltiplos graus de

liberdade:

em que cada componente do vector toma o valor unitário apenas quando o grau de

liberdade correspondente tem a direcção da aceleração do solo considerada, uma vez

que alguns graus de liberdade podem não ser excitados.

2.2.2 Conceitos de Modelação da Acção Sísmica em Pontes

Nesta secção são apresentados os conceitos básicos da análise sísmica de

estruturas de pontes e apresentadas as hipóteses efectuadas nesta dissertação.

Conceptualmente, o modelo da ponte e a escolha dos graus de liberdade deverá

representar a distribuição da rigidez e da massa de tal forma que os principais modos de

deformação e as principais forças de inércia sejam representados. O comportamento

dinâmico de pontes aproximadamente rectas deve ser estudado em duas direcções

ortogonais: a direcção longitudinal e a direcção transversal. A direcção longitudinal é

definida como a linha que une as duas secções extremas da ponte; a direcção transversal

é definida como sendo ortogonal à direcção longitudinal. O comportamento dinâmico

de pontes na direcção vertical, devido a acelerações verticais da base, é geralmente

desprezado.

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)


12

Para pontes rectilíneas, ou de curvatura desprezável, o comportamento em cada

uma das direcções pode ser estudado separadamente. Isso significa que, para efeitos de

modelação, quando a ponte é solicitada numa dessas direcções a resposta só se dá nessa

mesma direcção.

Um aspecto particular das pontes é que, pela sua extensão, os diferentes pilares

podem ser submetidos a acelerações do solo diferentes. Porém, de forma simplificada, é

costume desprezar este efeito e considerar uma única acção sísmica.

Nas pontes correntes, e dado o seu comprimento limitado, o tabuleiro apresenta

uma grande rigidez axial face à rigidez de flexão dos pilares. Isto tem por consequência

que quaisquer dois pontos do tabuleiro tenham aproximadamente o mesmo

deslocamento na direcção axial. Considera-se, então, que uma estrutura de ponte

rectilínea sem apoio fixo tenha um só grau de liberdade na direcção longitudinal.

Nessas condições, a rigidez da estrutura é-lhe conferida pela rigidez de flexão

dos pilares no caso da ligação destes ao tabuleiro não ser com apoio deslizante. Tem-se,

então:

O comportamento da ponte, nomeadamente ao nível da distribuição de esforços,

pode também ser influenciado por uma eventual força de atrito devida aos aparelhos de

apoio nos pilares e nos encontros ([ARRIAGA E CUNHA. 2011]). Porém, na prática,

esta componente é desprezada.

Na direcção transversal, o comportamento dinâmico da ponte é mais complexo e

dependente de várias características da estrutura, nomeadamente do número e

localização dos pilares, do comprimento da ponte e da rigidez do tabuleiro à flexão

transversal e, eventualmente, à torção.

No modelo mais simplificado, é desprezada a rigidez de flexão transversal do

tabuleiro pelo que o deslocamento no topo de cada pilar é independente do

deslocamento no topo dos outros pilares. Desta forma, a modelação na direcção

transversal de uma ponte com pilares consiste em analisar estruturas de um só grau

(2.22)


13

de liberdade, sendo o modelo da estrutura um pilar com uma massa concentrada no

topo.

Uma modelação mais precisa do comportamento da ponte na direcção

transversal tem em conta a rigidez do tabuleiro e poderá ser uma estrutura com vários

gaus de liberdade. Porém, a escolha dos graus de liberdade depende do número de

pilares e do comprimento da ponte.

No caso desta dissertação só se estuda o desempenho sísmico da ponte na

direcção longitudinal. A ponte em causa é rectilinea pelo que a resposta a uma

solicitação longitudinal só se dá nessa direcção. Sendo assim, o modelo estrutural da

ponte é um modelo de pórtico plano em que o tabuleiro é rígido.

2.2.3 Diferentes Abordagens para a Análise Sísmica de Estruturas.

Existem duas abordagens nas quais se baseiam os diferentes métodos de análise

sísmica de estruturas: considerar a acção sísmica através de forças ou considerá-la

através de deslocamentos. Na primeira, a estrutura é actuada por forças de inércia e a

análise é efectuada como se de um carregamento tradicional se tratasse, como por

exemplo, acções gravíticas ou o vento. A segurança à acção sísmica é satisfeita no caso

de se verificar a resistência das secções:

Em que:

são os esforços provenientes da combinação de acções devida à acção

sísmica1

é a resistência da secção.

No caso da abordagem por deslocamentos a verificação da segurança à acção

sísmica é efectuada ao nível dos deslocamentos. A acção sísmica faz com que a

estrutura se deforme sendo que a estrutura terá que ter capacidade de deformação

suficiente. A segurança será então verificada no caso da capacidade de deformação da

1De acordo com o EN 1998-1, o valor de cálculo dos esforços para situações de projecto sísmico deve ser

determinado através da combinação dos valores característicos das cargas permanentes com o valor

quase-permanente das acções livres e com o valor de cálculo da acção sísmica.

(2.23)


14

estrutura ser superior à deformação provocada pela aceleração do solo. É de notar que,

conceptualmente, o deslocamento devido ao sismo tem de ser inferior a um dado

deslocamento máximo aceitável, consoante o desempenho pretendido. Desta forma, os

métodos de análise baseados em deslocamentos são também métodos de avaliação do

desempenho. Estes consistem na avaliação da resposta da estrutura face a uma

determinada acção sísmica. O desempenho pretendido pode ser escolhido em função da

exigência do Dono de Obra e em função da importância da estrutura. Estes níveis de

desempenho são, por exemplo, um deslocamento máximo de um pilar, uma abertura

limite de fendas ou a permanência da estrutura em regime elástico.

Estas duas abordagens seriam equivalentes no caso das estruturas terem um

comportamento elástico quando solicitadas por um sismo, pois estariam directamente

relacionadas através da rigidez. Acontece, porém, que quando solicitada por um sismo,

a estrutura tenha uma resposta com comportamento não linear. Em regime inelástico, a

relação entre a carga e o deslocamento é mais complexa, dependendo da história do

carregamento.

A abordagem por deslocamentos baseia-se no facto de, quando solicitada à

acção sísmica, certas secções plastificarem mas a estrutura continuar a deformar-se até

atingir aproximadamente o mesmo deslocamento que teria em regime elástico. Esta

premissa é designada por princípio dos deslocamentos iguais e apresenta-se na Figura

2.2. Desta forma, a um mesmo deslocamento devido à acção sísmica podem

corresponder diferentes forças, em função da ductilidade. Este assunto é abordado em

2.3.1.

De forma a ter em conta a redução das forças que se mobilizam na resposta da

estrutura os métodos baseados em forças têm em conta um factor de redução. Este

factor é designado por coeficiente de comportamento e será apresentado com maior

detalhe na secção 2.3.1.

A comparação conceptual da abordagem por forças e da abordagem por

deslocamentos sai do âmbito desta dissertação, pelo que foram somente apresentados os

conceitos gerais de cada uma delas. De acordo com [PRIESTLEY et al, 2007], os

métodos de análise sísmica eram inicialmente baseados em forças mas, com a evolução


15

do conhecimento em engenharia sísmica, os métodos baseados em deslocamentos foram

ganhando importância. Hoje em dia considera-se que o comportamento real da estrutura

se relaciona mais directamente com os deslocamentos do que com a distribuição de

esforços.

Figura 2.2 Princípio da igualdade de deslocamentos

Apesar desta mudança de paradigma, os regulamentos, nomeadamente o

Eurocódigo 8-11, preconizam principalmente métodos baseados em forças, mas

prevêem também métodos baseados em deslocamentos. De um ponto de vista

conceptual, existem 4 tipos de métodos para a análise sísmica de estruturas, consoante

se esteja a analisar a estrutura de forma estática ou dinâmica e consoante se esteja ou

não a modelar o comportamento não linear, como se apresenta na Tabela 2.1.

Acção

Estática Dinâmica

Comportamento Linear

Forças Laterais equivalentes

Análise Modal

Comportamento não Linear

Análise Pushover Análise

Dinâmica não Linear

Tabela 2.1Tipos de análise sísmica de estruturas

Destes quatro tipos de análise, a utilização do método das forças laterais

equivalentes e da análise modal é geralmente baseada em forças: a verificação da

1 [EN 1998-1, 2004]. Poderá também ser designado por EC8-1


16

segurança faz-se ao nível dos esforços aplicados. Já a análise pushover, tema principal

desta dissertação, é um método baseado em deslocamentos. A análise dinâmica não

linear, também designada por análise ao longo do tempo ou time-history analysis,

corresponde a um método teoricamente “exacto” pois pretende ter em conta o

comportamento real da estrutura e a resolução das equações da dinâmica para cada

instante.

2.3 Métodos de Análise Sísmica

Nesta secção são apresentados os métodos de análise citados anteriormente.

Com excepção do método das forças laterais, que é apresentado em menor detalhe, os

restantes são aplicados nesta dissertação para a análise de uma ponte real e os seus

resultados são comparados.

Porém, antes de se apresentarem os métodos de análise, explicam-se os

conceitos de coeficiente de comportamento e de espectro de resposta.

2.3.1 Coeficiente de comportamento

O coeficiente de comportamento, , permite ter em conta o comportamento não

linear da estrutura para os métodos de análise elástica (método das forças laterais

equivalentes e análise modal). As forças de inércia aplicadas à estrutura são

determinadas utilizando as características elásticas da estrutura e são depois corrigidas

através do coeficiente de comportamento.

Antes de explicar mais profundamente a utilização do coeficiente de

comportamento, é necessário abordar o conceito de ductilidade. A ductilidade é a

capacidade de um material, um elemento ou uma estrutura se deformar plasticamente - é

a relação entre a deformação última e a deformação de cedência. A ductilidade de um

material é expressa pela ductilidade de extensões - a relação entre a extensão última e a

extensão de cedência. A ductilidade de uma secção é expressa pela razão entre a

curvatura última e a curvatura de cedência, a de um elemento estrutural pode ser

expressa pela ductilidade de rotação e a da estrutura pela ductilidade de deslocamentos.

Uma estrutura dúctil tem, assim, uma certa capacidade de se deformar

plasticamente. Pode, então, atingir o mesmo deslocamento do que uma estrutura

idêntica que permanece em comportamento elástico, tal como se observa na Figura 2.2.


17

Desta forma, para um mesmo deslocamento, diferentes forças podem estar

aplicadas na estrutura em função da ductilidade da mesma, pelo que no caso da rigidez

se manter constante, quanto maior for a ductilidade da estrutura menor tem que ser a

força aplicada para atingir esse deslocamento. No caso da acção sísmica, é costume

considerar a hipótese da igualdade de deslocamentos. No entanto, para períodos mais

curtos este princípio é considerado inválido e utiliza-se, então, o princípio de igualdade

de energias, que se representa na Figura 2.3.

Figura 2.3 Princípio da igualdade de energias

Estes são os fundamentos teóricos do coeficiente de comportamento, , que é

definido como uma aproximação da razão entre as forças sísmicas a que a estrutura

ficaria sujeita se a sua resposta fosse elástica e as forças sísmicas que poderão ser

adoptadas no projecto. O valor de pode ser tanto maior quanto maior for a ductilidade

da estrutura, como se pode observar na Figura 2.4, dependendo do material estrutural

utilizado, do sistema estrutural, mas também no cumprimento de certas disposições

construtivas, nomeadamente as medidas de Capacity Design. O Capacity Design

consiste num conjunto de regras de dimensionamento que se baseiam na adopção de

certas medidas construtivas de forma a permitir uma rotura dúctil da estrutura,

controlando a formação de zonas com comportamento inelástico e a respectiva

capacidade de deformação.


18

Figura 2.4 Coeficientes de comportamento e ductilidade

2.3.2 Espectros de Resposta

Geralmente, a acção sísmica é caracterizada pelo valor máximo da aceleração no

solo e a resposta a essa acção sísmica é caracterizada pela máxima aceleração,

velocidade ou deslocamento da estrutura. Para tal é utilizado o conceito de espectro de

resposta: valor máximo da resposta de um oscilador de um grau de liberdade com

comportamento elástico em função das suas características dinâmicas. Desta forma, a

partir do período e do amortecimento pode obter-se não só a aceleração máxima, e

consequentemente o espectro de acelerações, , mas também o deslocamento

máximo, ou seja, o espectro de deslocamentos .

Os quatro métodos de análise apresentados na Tabela 2.1, com excepção da

análise dinâmica não linear, recorrem a espectros de resposta. A utilização de espectros

de resposta apresenta, porém, certas limitações: perde-se informação sobre a duração da

resposta da estrutura, o número de ciclos e o instante da resposta máxima. O método da

análise dinâmica não linear requer a utilização de acelerogramas.


19

Na Europa, o espectro de acelerações utilizado é o definido no EC8-2. Este é

apresentado na Figura 2.5 e é parametrizado pelos seguintes factores:

Tipo de Sismo: estão definidos dois tipos de sismos para o território português:

o Tipo 1 designado por sismo afastado e o Tipo 2 designado por sismo

próximo;

Zona Sísmica: o Anexo Nacional do EC8-1 faz um zonamento sísmico do

território português onde define a aceleração máxima de referência para um

solo em rocha, . Este valor de aceleração corresponde à aceleração máxima

no solo para um sismo com período de retorno de 475 anos;

Classe de importância da estrutura. Em função da importância da estrutura, o

EC8 define um coeficiente de importância, . Pode, então, obter-se a

aceleração máxima de projecto para um solo em rocha:

Note-se que o objectivo do coeficiente de importância é alterar a aceleração de

forma a ter em conta o período de retorno da aceleração a considerar no

projecto;

Terreno de fundação. A qualidade do terreno, nomeadamente a velocidade de

propagação das ondas de corte, influi fortemente na resposta da estrutura a uma

dada aceleração no solo. Desta forma, o regulamento define o parâmetro S e os

tempos característicos e em função do terreno;

Amortecimento. O aumento do amortecimento diminui o valor da resposta e os

espectros definidos no EC8-1 têm-no em conta através do coeficiente de

correcção η que depende do coeficiente de amortecimento , definido em %:

Na Figura 2.5 é representado qualitativamente o espectro de acelerações e

apresenta-se de seguida a sua definição analítica em função do período do oscilador de

um grau de liberdade.

(2.24)

(2.25)


20

Figura 2.5 Espectro elástico de acelerações pelo EC8-1

Em que:

é o espectro elástico de acelerações

é o valor de cálculo da aceleração de um terreno do tipo A (rocha)

S é o coeficiente de solo

T é o período de um sistema elástico com um grau de liberdade

é o coeficiente de correcção de amortecimento

é o limite inferior do patamar com aceleração constante

é o limite superior do patamar com aceleração constante

é o limite inferior do patamar com deslocamento constante

É de notar que quando se geram acelerogramas artificialmente, a média das

acelerações máximas deve ser igual ao espectro de resposta definido no regulamento

europeu. A aceleração do sistema elástico obtida pelos espectros do EC8-1 corresponde

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)


21

a uma média das acelerações máximas e não a um valor característico – valor com uma

certa probabilidade de ser excedido, sendo esta normalmente de 5% para os valores

característicos dos materiais estruturais.

No caso de análises lineares, o comportamento não linear da estrutura é tido em

conta com uma redução do espectro elástico através do coeficiente de comportamento,

(definido em 2.3.1), obtendo-se assim o espectro de dimensionamento.

Figura 2.6 Espectros de dimensionamento para diferentes coeficientes de comportamento

O espectro de dimensionamento é definido analiticamente da seguinte forma:

2.3.3 Método das Forças Laterais Equivalentes

O método das forças laterais equivalentes, ou método do modo fundamental, é

um método estático que considera que a resposta dinâmica da estrutura se faz só no seu

primeiro modo de vibração, desprezando a resposta nos modos de ordem superior. A

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)


22

acção sísmica é modelada através de uma distribuição de forças de inércia a actuar na

estrutura de acordo com o modo fundamental.

Esta análise é feita tendo em conta as características elásticas da estrutura. O

eventual comportamento não linear é tido em conta com a utilização do espectro de

dimensionamento, para um dado coeficiente de comportamento e com um dado

amortecimento. Uma vez calculado ou estimado o período fundamental e,

consequentemente, obtido o valor da aceleração espectral, o valor da força de corte

basal é igual a:

Em que é a aceleração espectral obtida pelo espectro de dimensionamento e

a massa do sistema. A força de corte basal, , é então distribuída pela estrutura e a

análise da estrutura é efectuada com base em forças, ou nos esforços actuantes face aos

esforços resistente. Trata-se, portanto, de uma metodologia baseada em forças.

2.3.4 Análise Modal por Espectro de Resposta

A análise modal por espectro de resposta é um método de análise dinâmica que

só pode ser utilizado para osciladores com comportamento linear. Tal como para o

método das forças laterais equivalentes, o comportamento não linear é tido em conta

pela utilização de espectros de dimensionamento e de coeficientes de comportamento.

Conceptualmente, a análise modal por espectro de resposta consiste em determinar a

resposta máxima para cada modo de vibração e em combinar as respostas dos diferentes

modos de forma a obter a resposta global do sistema. Porém, nem todos os modos

contribuem da mesma forma para a resposta da estrutura a uma dada solicitação, pelo

que se introduzem os conceitos de factor de participação e de massa modal efectiva.

Reescrevendo a equação 2.21 em coordenadas modais tem-se:

Pelo que multiplicando dos dois lados da equação por e de acordo com 2.1.2 e

2.1.3, o sistema de equações se torna um sistema de n equações independentes:

Escrevendo a equação anterior para um modo de vibração :

(2.34)

(2.35)

(2.36)


23

Em que é designado por factor de participação do modo . Este factor depende da

normalização dos vectores próprios e traduz a maior ou menor excitação que o modo

correspondente sofre para uma dada aceleração na base. Desta forma, recorrendo a

espectros de resposta, a aceleração máxima num dado modo vem dada por:

De forma a poder determinar as forças de inércia para cada modo de vibração é

introduzido o conceito de massa modal efectiva, que indica a massa do sistema que

participa em cada modo de vibração. A massa modal efectiva é independente da

normalização sendo a soma das massas modais igual à massa total do sistema. Tem-se,

assim:

É de notar que, apesar do factor de participação depender da normalização, a

resposta da estrutura não depende, uma vez que é obtida pelo produto da resposta em

cada modo pelo respectivo vector modal. Por exemplo, a aceleração máxima em cada

grau de liberdade devida ao modo é dada por:

É, assim, possível determinar a resposta máxima devida a cada modo de

vibração, pelo que é necessário combinar essas respostas para obter a resposta global do

sistema. Porém, os máximos de cada modo podem não ocorrer simultaneamente pelo

que a sua soma seria demasiado conservadora. Assim, no caso das frequências de cada

modo de vibração serem suficientemente afastadas entre si, combinam-se as respostas

pelo método SRSS (Square Root of the Sum of the Squares):

Em que é a resposta que se pretende combinar e a resposta em cada modo.

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)


24

No caso dos períodos de vibração de cada modo serem próximos, as respostas

modais máximas já não podem ser consideradas independentes entre si e deve ser

utilizada a CQC (Combinação Quadrática Completa):

com

É de notar que no caso de e serem afastados, o coeficiente tende para

1, pelo que se pode constatar que a combinação SRSS é um caso particular da

combinação CQC. É, também, importante realçar que se deve combinar unicamente a

grandeza que se pretende obter, ou seja, a combinação é o ultimo passo da análise

modal por espectro de resposta.

2.3.5 Análise Estática não Linear

A análise estática não linear, ou pushover, é um método de análise sísmica que

tem directamente em conta o comportamento não linear da estrutura. Sob cargas

verticais constantes, a estrutura é sujeita de forma monotónica a sucessivos incrementos

de cargas horizontais, que correspondem ao efeito da acção sísmica, até se atingir o

colapso. A cada passo de cálculo, é efectuada a análise da estrutura tendo em conta o

seu comportamento fisicamente não linear e, eventualmente, geometricamente não

linear. Obtém-se, assim, a curva de capacidade da estrutura que relaciona a força de

corte basal, , e o deslocamento de um dado ponto de controlo.

Comparativamente aos métodos lineares em que o comportamento inelástico é

tido em conta através de coeficientes de comportamento, a análise pushover tenta

modelar o comportamento real da estrutura para um dado estado de carregamento. Este

método permite, então:

Obter a capacidade da estrutura, ou seja, a sua capacidade de se deformar e a sua

ductilidade;

(2.42)

(2.43)


25

Estimar a sequência de formação de rótulas plásticas, a redistribuição de

esforços e a progressiva deterioração da estrutura;

Estimar, para uma dada acção sísmica, a capacidade de rotação necessária das

rótulas plásticas e o estado de deterioração da estrutura;

Estimar a solicitação em elementos que podem provocar uma rotura frágil.

A análise estática não linear é efectuada em duas etapas: na primeira etapa,

obtém-se a curva de capacidade da estrutura, pelo que é preciso escolher um

determinado ponto de controlo e o padrão de carregamento; a segunda etapa

corresponde à determinação do deslocamento objectivo, ou seja, o deslocamento do

ponto de controlo para uma dada acção sísmica. Esse deslocamento objectivo é então

comparado com a capacidade da estrutura podendo, assim, determinar-se quais os

efeitos de um dado sismo sobre a estrutura em análise. Desta forma, a análise pushover

é um método baseado em deslocamentos e permite avaliar o desempenho sísmico da

estrutura. De facto, o deslocamento objectivo pode ser comparado com o deslocamento

para um dado desempenho exigido pelo Dono de Obra, como foi brevemente explicado

em 2.2.3.

A escolha do ponto de controlo e da configuração do carregamento, assim como

a determinação do deslocamento objectivo, dependem da metodologia utilizada.

Existem diferentes metodologias que diferem no seu grau de complexidade e na

quantidade de aspectos que pretendem cobrir. Nas análises mais convencionais, tais

como Capacity Spectrum Method (CSM) - proposto no ATC-40 ([APPLIED

TECHNOLOGY COUNCIL, 1996]) - e o método N2 - proposto pelo Eurocódigo 8-1 -

é dada predominância ao primeiro modo de vibração, pelo que a validade da análise

pushover para estruturas irregulares é posta em causa. Já nos métodos propostos mais

recentemente, como o Modal Pushover Analysis e o Adaptive Capacity Spectrum

Method, a influência dos modos de ordem superior é tida em conta ([PINHO et al ,

2009]). No entanto, estes métodos ainda são alvo de investigação.

Contrariamente aos métodos de análise linear, que são baseados em forças, a

análise estática não linear só pode ser efectuada após o dimensionamento da estrutura,

pois só com o dimensionamento completo é possivel verificar a segurança ou um


26

determinado desempenho. Uma vez que para a análise pushover é necessário determinar

a curva de capacidade da estrutura – que depende das características dos seus elementos,

nomeadamente a sua resistência e ductilidade – esta não pode ser utilizada para efeitos

de dimensionamento.

2.3.6 Análise Dinâmica não Linear – Time-History Analysis

A análise dinâmica não linear, ou time-history analysis, é o método de análise

sísmica que permite recolher mais informação sobre o comportamento e a resposta da

estrutura a uma história de acelerações do solo. Para um dado acelerograma,

representativo da acção sísmica, a equação da dinâmica é resolvida numericamente

tendo em conta o comportamento fisicamente não linear da estrutura.

Consequentemente, o princípio da sobreposição não é válido, o que inviabiliza a

resolução do sistema de equações (no caso de um sistema com vários graus de

liberdade) através da análise modal. Nesse caso, o problema pode ser resolvido através

de uma integração passo-a-passo. A equação de equilíbrio dinâmico é resolvida para

vários intervalos de tempo, devendo o incremento de tempo, , ser definido em função

do erro aceitável na resposta e as condições do sistema actualizadas no final de cada

passo. Esta actualização permite ter em conta o comportamento histerético sendo que,

nesse caso, a rigidez pode depender da história do carregamento.

Uma vez que a acção sísmica é modelada através de acelerogramas é possível

obter certos resultados que a utilização de espectros de resposta não permitia. É o caso,

por exemplo, do número de ciclos, da duração da resposta ou do instante onde ocorrem

os picos de deformação.


27

3. Análise Fisicamente Não-Linear

Apresentam-se neste capítulo os aspectos relativos ao comportamento

fisicamente não-linear dos materiais e o consequente comportamento não-linear da

estrutura. Numa primeira parte são apresentadas as relações constitutivas do betão e do

aço, uma vez que são elas que condicionam o comportamento das secções e,

consequentemente, de cada elemento estrutural e da estrutura. Estuda-se, então, o

comportamento de secções através da sua relação Momentos-Curvaturas, ( ), para,

de seguida, se tratar o comportamento dos pilares através da relação Momentos-

Rotações, ( ), obtendo a partir daí a relação Cargas-Deslocamentos, ( ),

também designada por curva de capacidade. Apresenta-se na Figura 3.1 um esquema

do procedimento utilizado para modelar o comportamento da estrutura. É de realçar que,

na presente dissertação, é utilizado um modelo simplificado bilinear para a não-

linearidade, considerando um primeiro comportamento elástico ou pré-cedência e um

comportamento pós-cedência até à rotura.

Figura 3.1 Procedimento para modelar o comportamento da estrutura

Neste trabalho é utilizado um modelo de plasticidade concentrada, introduzindo

o conceito de rótula plástica: toda a plasticidade do elemento estrutural encontra-se

concentrada numa zona designada por rótula plástica e as restantes partes do elemento

permanecem em comportamento elástico. Estes assuntos são apresentados na secção

3.4.

Ao longo do capítulo é discutida qual a relação constitutiva a utilizar para os

materiais, em particular se devem ser utilizadas as propriedades médias dos materiais ou

as suas propriedades de cálculo. A importância desta questão resulta do facto de, por um

lado, se dever tentar modelar o comportamento das secções que mais se aproxima do

comportamento real - utilizando assim as propriedades médias dos materiais - mas por

Comportamento

dos materiais –

relações

constitutivas

Comportamento

das secções –

relação

Comportamento

do elemento –

relação

Comportamento

do pilar – curva

de capacidade

Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear

28

outro, não se poder exceder o momento resistente da secção - determinado com valores

de cálculo. Este assunto é abordado na secção 3.3.

3.1 Relações Constitutivas dos Materiais

A relação constitutiva de um dado material é a relação entre o estado de

deformação desse material e a tensão que lhe está associada. Geralmente, o estado de

deformação é quantificado através da extensão axial, , e a tensão pela tensão axial, .

3.1.1 Relação Constitutiva para o Aço

Utilizou-se uma relação constitutiva elástica-perfeitamente plástica para o aço,

como a apresentada na Figura 3.2. O aço apresenta o mesmo comportamento à

compressão que à tracção, pelo que só se apresenta este último, uma vez que o

comportamento à compressão pode ser obtido por simetria em relação à origem.

Figura 3.2 Relação constitutiva elásto-plástica para o aço

Considerou-se que se tratava de um aço de classe de ductilidade C, pelo que se

adoptou um valor de extensão última, , de 7.5% de acordo com o Eurocódigo 21. No

caso de se efectuar uma análise com valores de cálculo utiliza-se o valor de para

.

É de notar que o EC8-22 prevê que se utilize para análises estáticas não-lineares

uma relação constitutiva para o aço que tenha em conta o endurecimento das armaduras,

tal como se apresenta na Figura 3.3. Neste trabalho esse efeito será desprezado pelas

seguintes razões:

1 [EN 1992]. Poderá também ser utilizada a abreviação EC2. 2 [EN 1998-2, 2004]. Poderá também ser designado por Eurocódigo 8-2.


29

- Não tem influência na determinação do ponto de cedência e na curvatura de

cedência, que são os principais parâmetros que caracterizam o comportamento

fisicamente não linear;

- Para a determinação do momento resistente da secção, o EC2 não obriga a

considerar o endurecimento do aço das armaduras.

Figura 3.3 Relação constitutiva com endurecimento para o aço

A referida norma indica, também, que se deve ter em conta o efeito local de

encurvadura dos varões comprimidos. Este efeito será, também, desprezado uma vez

que se considera que os seus efeitos não são relevantes para os objectivos desta

dissertação.

3.1.2 Características do aço para armaduras

Apresentam-se nas tabelas seguintes os valores que caracterizam o aço de classe

C, definidos no EC2.

A400 A500

400 500

347,8 434,8

200 Tabela 3.1 Propriedades do aço

Classe A Classe B Classe C

.0

Tabela 3.2 Ductilidade do aço em função da sua classe


30

3.1.3 Relações Constitutivas para o Betão

O EC2 indica diferentes relações constitutivas para o betão em função do

objectivo pretendido. As principais relações tensões-deformações aconselhadas pela

norma são apresentadas de seguida. Nota-se que as extensões nela indicadas são

negativas, não sendo considerada qualquer resistência à tracção.

Relação Linear:

A relação constitutiva linear é utilizada para a análise do comportamento em

serviço em que o betão, geralmente pouco solicitado, permanece em comportamento

aproximadamente elástico.

Figura 3.4 Relação constitutiva linear para o betão

O valor de é o valor médio do módulo de elasticidade do betão aos 28 dias.

Corresponde ao módulo de elasticidade secante entre e e está

indicado na Tabela 3.3.

Relação k-η

Para a análise estrutural não-linear, o EC2 preconiza a utilização da relação k-η

apresentada na Figura 3.5, pois é a que melhor representa o comportamento real do

betão.

(3.1)


31

Figura 3.5 Relação constitutiva k-η para o betão

em que:

é a tensão máxima no betão

à extensão onde se atinge a tensão máxima

é o módulo de elasticidade do betão

Os valores destes parâmetros dependem do facto da análise ser feita com valores

médios ou com valores de cálculo. Quando se utilizam valores médios tem-se:

e quando se utilizam valores de cálculo tem-se:

em que o factor parcial de segurança, , toma o valor de 1.5.

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)


32

Para as análises estáticas não-lineares o EC8-2 indica que se deve ter em conta o

efeito do confinamento do betão. Mais precisamente, o anexo E.3 preconiza que, para

extensões superiores à extensão de rotura do betão não confinado ( ), só a parte da

secção que está confinada deve ser considerada na análise.

Diagrama parábola-rectângulo

A norma europeia recomenda a adopção de um diagrama parábola-rectângulo

para o cálculo de secções transversais. No entanto, podem ser utilizadas outras relações

tensões-deformações desde que estas sejam equivalentes ou mais conservativas.

Acontece que este modelo de comportamento apresenta bons resultados para o cálculo

do momento resistente, mas não é adequado no que diz respeito às deformações.

Figura 3.6 Relação parábola-rectângulo para o betão

em que:

é a extensão em que se atinge a tensão máxima

é a extensão última.

3.1.4 Características do betão

Apresentam-se na Tabela 3.3 os valores preconizados pelo EC2 para a diferentes

relações constitutivas para o betão.

(3.10)

(3.11)


33

C20/25 C25/30 C30/37

[MPa] 20 25 30

[MPa] 13,3 16,7 20

[MPa] 28 33 38

[GPa] 30 31 33

[%] 0.2 0.21 0.22

[%] 0.35

[%] 0.2

[%] 0.35

Tabela 3.3 Propriedades para o betão

3.2 Relação Momento-Curvatura

Tendo abordado, na secção anterior, o comportamento dos materiais que

compõem as secções, está-se em condições de tratar o seu comportamento fisicamente

não linear, através da sua relação Momentos-Curvaturas ( ). é o momento

flector aplicado na secção e a correspondente curvatura. Esta relação é dependente do

nível de esforço normal, .

Na análise de secções admitem-se as seguintes hipóteses simplificativas:

Hipótese de Bernoulli: as secções planas perpendiculares ao eixo do elemento

barra permanecem planas e perpendiculares a esse eixo após a deformação. Para

além de conservar a secção de betão plana, esta hipótese tem como consequência

directa estar a assumir-se a aderência perfeita entre as armaduras e o betão.

A secção é solicitada num plano de simetria que contém o eixo .

Como qualquer problema de análise estrutural trata-se agora de um problema de

equilíbrio estático e de compatibilidade. De facto, os esforços e são grandezas

estáticas enquanto a deformação axial e a curvatura são grandezas cinemáticas. Uma

vez que a secção é heterogénea os esforços totais na secção são iguais à soma das

contribuições de cada material, como se indica nas equações seguintes:

em que:

o índice diz respeito aos elementos de betão e o índice aos varões de aço

(3.12)

(3.13)


34

é a distância entre a fibra de betão e o centro de gravidade,

é a distância entre o varão e o centro de gravidade

ambas as distâncias são medidas ao longo do eixo z

A extensão num dado ponto da secção pode ser também relacionada com a

deformação axial, , e a curvatura, :

Tendo sido anteriormente definidas as relações constitutivas do aço e do betão,

ou, por outras palavras, o valor da tensão para uma dada extensão, está-se agora em

condições de determinar a relação ( ) de qualquer secção de betão armado. Para a

determinação da relação Momentos-Curvaturas utilizou-se a metodologia baseada em

[VIRTUOSO et al, 1998]. Essa metodologia baseia-se no processo incremental e

iterativo que a seguir se descreve, tendo sido implementado num programa de cálculo

em MATLAB. Trata-se de um processo incremental de curvaturas e iterativo dentro de

cada incremento:

1- Definição das relações constitutivas para o betão e para o aço;

2- Discretização da secção em fatias de betão e em camadas de

armadura. As grandezas anteriores escrevem-se então:

3- Determinação da deformação inicial, só devida ao esforço normal aplicado,

. Uma vez que não existe momento flector, a curvatura é nula;

4- Incremento de curvatura, , atribuindo-se um estado de deformação, para a

secção;

5- Calcula-se a extensão para cada camada de betão e aço pelas equações 3.17 e

3.18. Através das relações constitutivas determinam-se as respectivas tensões;

6- Utilizando as equações 3.15 e 3.16 calculam-se os esforços e ;

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)


35

7- Calcula-se a diferença ;

8- Caso o módulo da diferença seja inferior a uma dada tolerância, tem-se então o

par de valores em que . No caso de se exceder a

tolerância, inicia-se um processo iterativo até se verificar a condição. Cada

iteração consiste em alterar o valor de e voltar ao passo 5;

9- Regresso ao passo 4 até que se atinja a rotura da secção. Obtém-se, assim, o

diagrama Momentos-Curvaturas da secção para o esforço normal aplicado.

3.3 Diagrama Momento-Curvatura Simplificado

Como se indicou na introdução deste capítulo, é utilizado um modelo

simplificado para a análise não-linear da estrutura. Este modelo é bilinear: o primeiro

troço tem comportamento elástico com rigidez ; o segundo troço é designado por

pós-cedência e tem uma rigidez . Ambos os troços estão representados na Figura

3.7 sendo esta simplificação válida no caso de uma rotura dúctil da secção de betão

armado – que acontece no caso de um dimensionamento correcto. O troço inicial é

praticamente linear porque, antes da cedência das armaduras, toda a não linearidade

vem da relação constitutiva do betão que é pouco significativa. O segundo troço é,

também, praticamente linear porque a armadura já plastificou pelo que a variação do

momento com a curvatura só acontece devido à variação da posição da linha neutra,

efeito que também é pouco significativo.

Um modelo bilinear permite que a análise da estrutura se faça de forma mais

simples sem deixar de ter em conta as características de ductilidade das secções

determinantes. Permite, também, determinar exactamente o ponto de cedência –

( ) – para poder concentrar os efeitos não lineares numa rótula plástica, tema

que será abordado na secção 3.4.

Uma vez que o diagrama Momentos-Curvaturas simplificado é bilinear, bastam

3 pontos para a sua completa determinação. Esses pontos são:

- a origem;

- o instante de cedência da secção, ( );

- a rotura, ( ).


36

Figura 3.7 Simplificação do diagrama

Apesar de aparentemente ser simples determinar o diagrama simplificado, os

Eurocódigos são pouco claros e levam a certas incoerências quanto a esta questão. No

ponto 4.2.4.4(2a), o EC8-2 especifica que se devem utilizar os valores prováveis para as

tensões de cedência e as extensões dos materiais, pelo que se utilizariam as

características médias. Para a simplificação do diagrama, o EC8-2 (anexo E.3.2 (3))

indica que, após a primeira cedência, o diagrama simplificado tem a mesma área do que

o diagrama real, como se visualiza na Figura 3.8.

Figura 3.8 Simplificação do diagrama com áreas iguais (recomendação do EC8-2)

Acontece, porém, que o momento resistente de cálculo da secção não pode ser

excedido. É neste aspecto que as normas europeias são pouco claras. Por um lado deve

modelar-se o comportamento mais provável da secção utilizando as características

médias dos materiais; por outro lado, não se podem exceder os valores da resistência

das secções, utilizando, nessas condições, as relações constitutivas com valores de

cálculo. Neste trabalho, esta questão foi resolvida ao calcular o ponto de cedência e o


37

ponto de rotura com relações constitutivas distintas. Utilizando a relação constitutiva

com as propriedades médias dos materiais, começou-se por determinar o ponto

( ) e a correspondente rigidez que une esse ponto e a origem. Para

determinar o par de valores utilizou-se a relação com valores de

cálculo. Não foi utilizada a relação preconizada pela norma, a relação parábola

rectângulo, pois esta é uma simplificação que dá valores próximos dos que se obtêm

com a relação . É de notar que a norma não obriga à utilização do diagrama

parábola-rectângulo para obter o valor do momento resistente, podendo recorrer-se a

outras relações mais conservativas.

Uma vez que os pontos ( ) e ( ) são calculados com

relações tensões-deformações distintas, podem acontecer as seguintes situações não

admissíveis pois não correspondem a uma solução coerente em termos de valores dos

momentos e dos valores das tensões:

- ;

- As tensões no betão serem superiores ao valor característico da sua resistência.

Desta forma, uma vez que os valores são calculados directamente, o

problema consiste em determinar o ponto que se assume corresponder à cedência no

diagrama simplificado, sendo que a rigidez já é conhecida. O procedimento

adoptado passa por calcular os seguintes valores:

- , que representa o momento flector que está aplicado na secção

quando, para o esforço normal aplicado, a primeira fibra de betão atinge o valor

característico da sua resistência;

- , que se obtém a partir do ponto ( ) considerando que a

rigidez pós-cedência, , é igual a 1% da rigidez . Em termos teóricos pode ser

adoptada uma rigidez pós-cedência nula. Opta-se, no entanto, por impor um valor de 1%

da rigidez de forma a garantir um valor mínimo de rigidez pós-cedência evitando

assim o aparecimento de problemas numéricos nas análises subsequentes.

O ponto ( ) do diagrama simplificado é, então, determinado como

pertencendo à recta de declive e tendo um valor de momento igual ao menor entre


38

, e , sendo este último calculado com as propriedades médias

dos materiais. Representam-se estes valores de momento na Figura 3.9.

Figura 3.9 Método utilizado para obter o digrama simplificado

Apresenta-se, agora, um fluxograma de como foi obtida a relação Momentos-

Curvaturas simplificada para a secção.

Figura 3.10 Fluxograma do procedimento utilizado para obter a relação Momentos-Curvaturas simplificada

Início do cálculo

Calcula a relação

com valores médios

Determina o par de valores

Determina Calcula e

Calcula a relação

com valores de cálculo Determina o par de valores

Determina

Determina

Desenha relação

simplificada

Desenha recta de declive


39

3.4 Relação Momentos-Rotações

Tendo determinado a relação Momentos-Curvaturas das secções está-se em

condições de obter o comportamento dos elementos estruturais. A relação Momentos-

Rotações ( ) relaciona o momento e a rotação de uma rótula plástica. O conceito

de rótula plástica consiste em concentrar todo o comportamento plástico numa

determinada zona, permanecendo o resto do elemento estrutural em comportamento

elástico. Desta forma, a deformação da barra pode ser decomposta em duas parcelas: a

devida à deformação elástica da barra e a devida à rotação da rótula plástica, como se

apresenta na Figura 3.11.

Figura 3.11 Deslocamento obtido por soma do deslocamento devido à flexão elástica da barra e do deslocamento devido à rotação da rótula plástica

Neste trabalho utilizou-se o modelo de rótula plástica apresentado no EC8-2.

Neste modelo a rótula plástica tem em conta todas as deformações do elemento, pelo

que a rotação representa a rotação da corda – rotação entre a barra na posição

indeformada e a linha que une as duas extremidades na sua posição deformada – e não

unicamente a rotação da rótula. Ilustra-se na Figura 3.12 a rotação da corda.

A rótula plástica baseia-se na análise Momentos-Curvaturas da secção e num

comprimento de rótula plástica. Uma vez que uma rotação resulta do integral de

curvaturas ao longo de uma dada distância, ou seja,

, ao considerar-se a

curvatura constante ao longo de um dado comprimento obtém-se a respectiva rotação. O

comprimento em causa corresponde ao comprimento da rótula plástica.

Como anteriormente para o comportamento de secções, o comportamento do

elemento estrutural terá um andamento simplificado bilinear. Basta assim determinar


40

dois pontos para obter a totalidade do diagrama: a rotação na cedência, , e a rotação

na rotura, .

Figura 3.12 Rotação da corda

É de salientar que o modelo de rótula plástica só tem em conta as deformações

por flexão sendo desprezadas as deformações por corte.

3.4.1 Determinação da rotação na cedência

Considere-se uma consola de comprimento L representada na Figura 3.13,

sujeita a uma carga horizontal na sua extremidade. A carga na extremidade é análoga a

um esforço transverso nesse ponto.

Ao ocorrer a cedência da secção de encastramento têm-se os diagramas de

momentos flectores e de curvaturas representados na mesma figura. Note-se que o

diagrama de curvatura é linear, uma vez que se adoptou um diagrama Momentos-

Curvaturas simplificado com andamento bilinear, como explicado na secção 3.3.


41

Figura 3.13 Cedência da secção de encastramento

O deslocamento no topo pode, então, escrever-se na forma:

Pela equação de compatibilidade,

, tem-se, então:

o que corresponde a ter uma rotação na cedência

.

O EC8-2 preconiza esse mesmo valor para a rotação da corda na cedência ou, mais

precisamente,

, em que é a distância entre a secção de encastramento

e a secção de momento flector nulo, por vezes designada de shear span.

3.4.2 Determinação da rotação na rotura

Na rotura, o modelo concentra numa rótula plástica, com comprimento , todo

o comportamento plástico da estrutura como se ilustra na Figura 3.14. É de realçar que o

comprimento da rótula plástica é um conceito fictício que só tem utilidade para o

cálculo, não se observando na realidade a existência de uma zona onde se concentram as

deformações inelásticas.

(3.19)

(3.20)


42

Figura 3.14 Modelo de rótula plástica

De acordo com o EC8-2, a rotação última pode ser considerada como a soma da

rotação na cedência, , determinada no ponto anterior, e a rotação plástica, . Tem-

se então:

Note-se que é um valor de cálculo, sendo obtido pela seguinte relação:

em que é um factor parcial de segurança que, de acordo com o anexo E.3 do EC8-2

toma o valor de 1.40.

A utilização do factor parcial garante que não se exceda o valor da rotação

plástica de cálculo. Acontece que, no caso da presente dissertação, os valores de e

foram obtidos com relações constitutivas de cálculo, contrariamente ao previsto no

EC8-2, segundo o qual deveriam ser utilizadas as características médias dos materiais.

Assim sendo não é necessário reduzir a rotação .

O Eurocódigo considera que as rotações plásticas se fazem em torno de um

ponto situado a meio da rótula plástica, como se observa na Figura 3.15. Tem-se

consequentemente o valor de :

(3.21)

(3.22)

(3.23)


43

Figura 3.15 Rotação da rótula plástica

Esta expressão de pode ser facilmente demonstrada considerando as Figuras

3.14 e 3.15 para calcular a parcela pós-cedência do deslocamento na extremidade da

consola e considerando que a rotação plástica, ou pós-cedência, é igual ao deslocamento

pós-cedência dividido pelo comprimento da barra:

De acordo com EC8-2, o comprimento da rótula plástica, , é

aproximadamente igual a , sendo ligeiramente maior devido ao efeito strain

penetration. A deformação plástica das armaduras penetra parcialmente na fundação,

aumentado assim o comprimento da rótula plástica. O efeito de strain penetration é

tanto maior quanto maior for a tensão de cedência característica do aço, , e o

diâmetro dos varões longitudinais, . O Eurocódigo indica a seguinte expressão para o

comprimento da rótula plástica:

É de realçar que esta fórmula só é válida no caso de se verificar que ,

em que é o comprimento da barra e a altura útil da secção. Esta condição serve para

(3.24)

(3.25)


44

garantir que não ocorre uma rotura frágil por esforço transverso, o que impediria a

formação da rótula plástica.

Refira-se que considerar que é uma aproximação da rotação na

rotura. De facto, como se pode ver na Figura 3.15, as rotações e são medidas em

relação a pontos diferentes. Acontece, porém, que o objectivo da definição de é

determinar a curva de capacidade do pilar, pelo que o modelo é automaticamente

corrigido ao obter o deslocamento no topo.

3.4.3 Relação Momento-Rotação

Em 3.4.1 e em 3.4.2 determinaram-se as rotações da corda na cedência e na

rotura da barra. Ou seja, tendo sido previamente calculados os momentos de cedência e

último da secção, obtiveram-se os pares de valores ( ) e ( ) pelo

que se tem, então, o diagrama Momentos-Rotações para o elemento estrutural.

Figura 3.16 Exemplo de uma relação Momento-Rotação

3.5 Curva de Capacidade de Pilares

Para realizar uma análise estática não linear é necessário definir a curva Carga-

Deslocamento, ou curva de capacidade, da estrutura. Para obter essa curva é necessário,

numa primeira fase, determinar a curva de capacidade de cada pilar da ponte. Uma vez

que se obteve a rotação da corda em função do momento aplicado - através da relação

Momentos-Rotações - deriva-se sem dificuldade a curva carga-deslocamento. É de notar

que a relação calculada anteriormente diz respeito à rotação da corda entre a


45

secção de encastramento e a secção de momento flector nulo, a uma distância . Sendo

assim, o deslocamento do ponto de momento nulo obtém-se pela seguinte equação:

Da mesma forma, considera-se para a curva uma simplificação bilinear do

comportamento estrutural. Têm-se então as seguintes equações:

Na cedência:

Na rotura:

Figura 3.17 Exemplo de uma curva de capacidade

No caso da ligação ao tabuleiro ser articulada o comprimento corresponde à

altura do pilar. No caso da ligação do pilar ao tabuleiro ser monolítica é necessário ter

em consideração a rigidez relativa entre o pilar e o tabuleiro. Na situação limite, que

corresponde em admitir que a rigidez de flexão do tabuleiro é muito superior à do pilar,

este comporta-se como biencastrado conforme representado na Figura 3.18.

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)


46

Figura 3.18 para um pilar perfeitamente encastrado no tabuleiro


47

4. Análise Pushover de Estruturas de Pontes

Neste capítulo apresentam-se os procedimentos para realizar uma análise estática

não linear. Numa primeira parte são apresentadas diferentes metodologias,

nomeadamente o método previsto no EC8-2 e o Método do Espectro de Capacidade,

que são utilizados neste trabalho. Numa segunda parte, explica-se a forma de obter a

curva de capacidade de um pórtico plano, elemento essencial de uma análise pushover.

4.1 Metodologias para a análise pushover de pontes

Na utilização mais corrente da análise estática não linear para a análise sísmica

de pontes salientam-se as metodologias propostas pelo Eurocódigo 8 e pelo documento

ATC 40. O Eurocódigo recomenda metodologias ligeiramente diferentes para a

obtenção do deslocamento objectivo conforme se queira aplicar a análise pushover a

edifícios, no EC8-1, ou a pontes, no EC8-2. São apresentas estas duas metodologias,

assim como o Método do Espectro de Capacidade proposto no documento ATC 40.

4.1.1 Metodologia aconselhada no EC8-2

No anexo H, o EC8-2 apresenta a metodologia aconselhada para a análise estática

não linear de estruturas de pontes. O documento apresenta o pushover como um

aumento progressivo de cargas horizontais até que um determinado ponto de controlo

atinja o seu deslocamento objectivo. A segurança à acção sísmica da ponte é verificada

se o deslocamento correspondente ao colapso da ponte for superior àquele

deslocamento.

Referem-se de seguida os elementos necessários para a utilização da análise

pushover como aconselhada no anexo H do EC8-2, assim como as condições para se

poder recorrer a essa metodologia


48

Direcções de análise e ponto de controlo

O ponto de controlo deve ser definido como o centro de massa do tabuleiro e

devem ser efectuadas análises nas seguintes duas direcções horizontais:

-direcção longitudinal , definida pela linha que une o centro das duas secções extremas

da ponte;

-direcção transversal , definida como ortogonal à direcção longitudinal.

Definição do deslocamento objectivo

Deve ser determinado o deslocamento objectivo para cada direcção em análise,

e respectivamente para a direcção longitudinal e transversal. Para cada

direcção, é obtido através de uma análise modal por espectro resposta, com

coeficiente de comportamento para as seguintes solicitações:

- é calculado para a solicitação

- é calculado para a solicitação

Desta forma, no caso da ponte ser perfeitamente rectilínea, a resposta à acção

sísmica só terá que ser estudada na direcção em análise.

A rigidez efectiva a considerar na análise é a rigidez secante determinada na

análise Momentos-Curvaturas conforme foi apresentado no capítulo 3.

Para a análise dos pilares o tabuleiro pode ser considerado axialmente rígido,

pelo que o comportamento dinâmico da ponte ao longo do seu eixo pode ser analisado

através de um sistema de um só grau de liberdade. Desta forma, o deslocamento no topo

de cada pilar é considerado igual ao deslocamento axial do ponto de controlo. A

determinação do deslocamento objectivo para um sistema de rigidez e de massa

total é assim dado por:

em que:

o valor da aceleração espectral elástica

o período

(4.1)


49

a frequência própria do sistema.

Obtém-se, então, o valor do deslocamento objectivo:

Para a análise na direcção transversal a determinação do deslocamento objectivo

depende da modelação do comportamento da ponte no que diz respeito ao número de

graus de liberdade escolhidos. É obtido com base na resposta combinada para os vários

modos. A consideração de um só modo é tida como uma boa aproximação desde que

esse modo seja dominante na resposta da estrutura.

É de notar que esta forma de determinar o deslocamento objectivo pressupõe que

o deslocamento do sistema elástico seja igual ao do sistema com comportamento

inelástico.

Distribuição da carga

Para cada direcção os incrementos de carga horizontal, , que actuam a massa

concentrada Mi a cada incremento j são iguais a:

em que:

é o incremento j de força horizontal, normalizado ao peso

é o factor de forma que define a distribuição de força ao longo da estrutura

O Eurocódigo 8-2 prevê que sejam analisadas duas distribuições:

1- distribuição uniforme no tabuleiro, ou seja ;

2- distribuição proporcional ao primeiro modo de vibração. é proporcional ao

deslocamento modal no ponto i na direcção em causa, devendo o modo de

vibração com maior factor de participação na direcção em análise ser

considerado.

Sem, no entanto, exigir outras justificações, a norma permite a utilização de

qualquer outra distribuição, desde que esta seja considerada melhor do que as propostas.

(4.2)

(4.3)


50

Ao efectuar a análise estática não linear na direcção longitudinal de uma ponte a

distribuição de carga torna-se irrelevante. Isto deve-se ao facto de que o tabuleiro é

considerado axialmente rígido e que, como consequência, o comportamento da ponte na

direcção longitudinal corresponde a um sistema de um só grau de liberdade. Admite-se,

então, que a totalidade da carga horizontal é aplicada no centro de massa do tabuleiro.

Outras verificações

Para garantir a existência de deformação plástica de acordo com o modelo

adoptado deverá ser verificada a segurança relativamente à rotura por esforço transverso

e à rotura do solo de fundação.

Condições de aplicabilidade da metodologia

Esta metodologia só deverá ser utilizada quando a resposta na direcção em

análise pode ser aproximada a um grau de liberdade generalizado. Esta condição é

sempre verificada na direcção longitudinal quando, para pontes aproximadamente

rectilíneas, a influência da massa dos pilares é desprezável. Já na direcção transversal, a

condição é verificada quando a distribuição das rigidezes dos pilares ao longo da ponte

provoca um apoio lateral uniforme para um tabuleiro relativamente rígido. Isto é o que

acontece quando a altura dos pilares decresce em direcção aos encontros ou não varia

muito, pelo que a rigidez dos pilares aumenta em direcção aos extremos da ponte. Já no

caso em que a ponte tem um ou vários pilares mais rígidos situados no meio de outros

pilares mais flexíveis – como se ilustra na Figura 4.1 – ou quando a massa dos pilares

tem influência no comportamento dinâmico da estrutura, o sistema não pode ser

aproximado por um grau de liberdade. Nessas condições, o EC8-2 declara que não se

poderá utilizar a análise pushover, sendo necessário recorrer a uma análise dinâmica não

linear.

Figura 4.1 Ponte irregular onde não é possível aplicar a metodologia do EC8-2 na direcção transversal


51

Requisitos para a análise

Os requisitos que dizem respeito à modelação do comportamento não linear da

estrutura já foram abordados no capítulo 3. No entanto o Eurocódigo refere os seguintes

aspectos:

1 - a utilização das características médias dos materiais de forma a identificar as zonas

que permanecem em regime elástico e a aproximar o comportamento mais provável da

estrutura;

2 - nas zonas das rótulas plásticas, devem ser tidos em conta os efeitos do confinamento,

do endurecimento das armaduras e da encurvadura dos varões longitudinais;

3 - a relação Momentos-Curvaturas deverá ser aproximada por uma relação bilinear ao

considerar rigidez pós-cedência nula e a área deverá ser igual à do diagrama real;

4 - a rotação da rótula plástica devido à acção sísmica, , deve ser inferior à

capacidade de rotação de cálculo :

em que é o valor último da rotação da rótula plástica obtido com os seus valores

das propriedades médias dos materiais. O factor de segurança reflecte o efeito de

eventuais defeitos locais da estrutura assim como as incertezas relativamente ao modelo

e sobre as características dos materiais. De acordo com o Eurocódigo deverá tomar-se o

valor de 1.4 para .

4.1.2 Método N2, proposto para edifícios no EC8-1

O EC8-1 apresenta o método N2, desenvolvido por Fajfar, para a determinação

do deslocamento objectivo. Apesar desta metodologia ser preconizada para edifícios,

pode também ser utilizada para a avaliação de estruturas de pontes.

O procedimento consiste em transformar a estrutura num sistema de um grau de

liberdade equivalente e em seguida calcular o deslocamento objectivo através de um

espectro de resposta elástico. A metodologia consiste nos seguintes passos:

(4.4)


52

1º passo: Cálculo da curva de capacidade da estrutura (curva ):

O ponto de controlo deverá ser o centro de massa do último piso do edifício e

deverão ser utilizadas duas distribuições de carga: uma primeira designada por

uniforme, em que as forças aplicadas são proporcionais à massa; e uma segunda

designada por distribuição modal, que deve ser consistente com o primeiro modo de

vibração. Os passos seguintes devem ser efectuados para cada uma das curvas de

capacidade obtidas.

2º passo: Transformação do sistema num sistema de um grau de liberdade equivalente:

A partir dos resultados da análise modal, calcula-se a massa equivalente do

sistema, , e o factor de transformação, , de forma a poder transformar a curva de

capacidade calculada no passo anterior, tendo-se as seguintes relações:

em que é o vector correspondente à configuração deformada no 1º modo de vibração.

3º passo: Determinação da curva de capacidade do sistema equivalente e respectivo

espectro de capacidade:

Calcula-se a força e o deslocamento do sistema equivalente:

obtendo, assim, a curva de capacidade do sistema equivalente. Está-se agora em

condições de calcular a força de cedência, , e o deslocamento de cedência,

, para o

sistema equivalente de um grau de liberdade. Isto é efectuado adaptando a curva de

capacidade a uma curva bilinear mantendo constante o valor da área sob a curva.

O espectro de capacidade do sistema equivalente é obtido dividindo as

ordenadas da curva pela massa equivalente, . Desta forma obtém-se a curva

que relaciona a aceleração espectral, , com o deslocamento espectral, .

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)


53

4º passo: Determinar o período do sistema equivalente:

O período é determinado através da relação:

5º passo: Definição do espectro de resposta elástico no formato ADRS:

O espectro de resposta no formato ADRS (Acceleration Displacement Response

Spectrum) relaciona o deslocamento espectral, , com a aceleração espectral, , ou

seja, relaciona o deslocamento e a aceleração máximos para uma dada acção sísmica.

Para obter este espectro começa-se por definir o espectro de resposta elástico de

acelerações, para um dado amortecimento (que corresponde ao amortecimento viscoso,

geralmente 5%) e para uma dada aceleração de pico de solo – tem-se, assim, a

aceleração espectral, , em função do período da estrutura, . De seguida obtém-se, o

valor do deslocamento espectral, , em função da aceleração espectral e do período

correspondente:

Representa-se na Figura 4.2 o andamento qualitativo de um espectro de resposta

no formato ADRS. Observa-se que as rectas a partir da origem representam períodos

constantes pelo que a cada par de valores da curva corresponde um período de

vibração.

(4.9)

(4.10)


54

Figura 4.2 Espectro de resposta no formato ADRS

6º passo: Determinar o deslocamento objectivo do sistema equivalente:

Numa primeira fase calcula-se o deslocamento do sistema equivalente através do

espectro de resposta elástico, . O deslocamento elástico, , é calculado da seguinte

forma:

Um sistema submetido a uma aceleração espectral permanece em regime

elástico no caso de não ser excedida a sua força de cedência, , ou seja, o sistema

equivalente permanece em regime elástico caso

. Neste caso, o

deslocamento objectivo do sistema equivalente, , é igual ao deslocamento elástico,

, ou seja, o espectro de capacidade intercepta o espectro ADRS no seu troço elástico,

como se pode visualizar na Figura 4.3.

(4.11)


55

Figura 4.3 Oscilador que permanece em regime elástico

No caso do oscilador entrar em regime plástico – ou seja, quando

– é necessário distinguir duas situações. Para períodos de vibração longos – para

os quais a aceleração espectral se encontra no troço descendente – é válido o princípio

da igualdade de deslocamentos: um oscilar com comportamento elástico e um oscilador

com comportamento inelástico têm o mesmo deslocamento, ou seja,

. Esta

igualdade é ilustrada na Figura 4.4. Note-se que, seguindo o espectro de resposta

definido no EC8-1, o princípio da igualdade de deslocamentos é válido para períodos

superiores a .

Figura 4.4 Determinação de quando é válido o principio de igualdade de deslocamentos

Para períodos curtos – em que, seguindo o EC8-1, – não se considera

válida a hipótese dos deslocamentos iguais. O EC8-1 define, então, a seguinte expressão

para o deslocamento objectivo, :

(4.12)


56

onde o coeficiente é o coeficiente de ductilidade em força para o sistema equivalente

de um grau de liberdade. Este coeficiente é definido como a relação entre a força devida

à acção sísmica para um oscilador elástico e a força de cedência do sistema:

Esta correcção é ilustrada na Figura 4.5.

Figura 4.5 Determinação de quando não é válido o principio de igualdade de deslocamentos

7º passo: Determinar o deslocamento objectivo do sistema real:

Tendo determinado no passo anterior o deslocamento objectivo do sistema

equivalente, determina-se o deslocamento objectivo para o sistema real, , ao aplicar o

factor de transformação.

Comparando ambos os métodos propostos no Eurocódigo – para edifícios e para

pontes – observa-se que são idênticos no caso da estrutura ser analisada como um

oscilador de um grau de liberdade e no caso de se admitir o principio da igualdade de

deslocamentos.

(4.13)

(4.14)


57

4.1.3 Método do Espectro de Capacidade

O Método do Espectro de Capacidade (CSM – Capacity Spectrum Method) é a

metodologia para análise estática não linear prevista no ATC-40. O método baseia-se,

fundamentalmente, em duas fases distintas:

A primeira em que se define a curva de capacidade da estrutura e esta é

convertida no espectro de capacidade resistente;

A segunda em que se determina a acção sísmica no formato ADRS e sua

correcção1 através de um coeficiente de amortecimento efectivo, que considere o

amortecimento viscoso mas, também, o amortecimento histerético.

Estas duas curvas estão assim no mesmo referencial e o deslocamento objectivo

corresponde à sua intercepção, também designado por ponto por desempenho sísmico.

Contrariamente aos métodos previstos no Eurocódigo, a sua determinação não é directa

sendo necessário recorrer a um processo iterativo.

De forma a tornar mais clara a apresentação do Método do Espectro de

Capacidade, descrevem-se os passos necessários para a sua utilização:

1º Passo: determinação da curva de capacidade da estrutura:

Este passo é idêntico aos necessários nos outros métodos apresentados.

Corresponde à obtenção da curva que mede o deslocamento de um dado ponto de

controlo em função da força de corte basal aplicada à estrutura.

2º Passo: transformação do sistema com vários graus de liberdade num sistema de um

grau de liberdade equivalente:

O ATC-40 prevê que a transformação para um sistema com um grau de

liberdade equivalente seja efectuada de forma análoga ao apresentado no método N2 do

EC8-1 mas com uma formalização distinta. Esta transformação é apresentada no

capítulo 8.2 do ATC-40 mas, por simplicidade, esta formalização não será apresentada

neste texto.

1 Na literatura é, por vezes, utilizado o termo “redução”.


58

3º Passo: Obtenção do espectro de capacidade resistente:

O espectro de capacidade resistente é obtido do mesmo modo que foi

apresentado em 4.1.2. O ATC-40 prevê que nesta fase se simplifique o espectro de

capacidade numa curva bilinear para que se possa, posteriormente, estimar o

amortecimento efectivo. A transformação do espectro de capacidade num diagrama

bilinear deve assegurar que as áreas e identificadas na Figura 4.6 sejam iguais,

para que a energia de deformação seja a mesma.

Figura 4.6 Espectro de Capacidade e simplificação bilinear de acordo com o ATC-40

É de referir que a definição do espectro de capacidade bilinear não é directa pois

depende do ponto de desempenho (ponto da Figura 4.6) que é obtido pelo

processo que se descreve no passo 5.

4º Passo: Definição do espectro de resposta elástico no formato ADRS

Este passo é idêntico ao apresentado em 4.1.2.

5º Passo: Determinação do ponto de desempenho sísmico

Como foi anteriormente referido, o ponto de desempenho corresponde à

intercepção entre o espectro de capacidade e a curva do espectro de resposta inelástico

no formato ADRS. Este último é obtido através do espectro de resposta elástico com um

coeficiente de amortecimento viscoso que é, então, corrigido de forma a ter em conta os


59

efeitos fisicamente não lineares do comportamento da estrutura, nomeadamente o

amortecimento histerético.

Para a determinação do ponto de desempenho adopta-se o seguinte

processo iterativo:

i) Estimativa do ponto de desempenho para início do processo iterativo

A primeira estimativa corresponde, geralmente, à utilização da hipótese da

igualdade de deslocamentos - o deslocamento inelástico é igual ao deslocamento

espectral elástico.

ii) Estimativa do amortecimento

Quando uma estrutura sujeita à acção sísmica entra em regime não linear o

amortecimento total pode ser considerado como uma combinação do amortecimento

viscoso e do amortecimento histerético. O ATC-40 propõe a utilização do

amortecimento viscoso efectivo, . Este amortecimento é definido como a soma do

amortecimento viscoso, , e de um amortecimento viscoso equivalente, ,

equivalente ao amortecimento histerético:

Nesta equação, o termo está associado ao deslocamento plástico máximo

e o ATC-40 define esse termo da seguinte forma:

e são representados graficamente na Figura 4.7, sendo:

a energia dissipada no ciclo histerético

a energia de deformação elástica linear para o deslocamento , com uma

rigidez secante

(4.15)

(4.16)


60

Figura 4.7 Definição de e para a determinação do amortecimento viscoso equivalente

O coeficiente da expressão 4.15 é utilizado como factor correctivo da

aproximação bilinear dos ciclos histeréticos. O valor de é definido no ATC-40;

depende do tipo de comportamento estrutural e do nível de amortecimento, sendo os

seus valores apresentados na Tabela 4.1. No caso do presente trabalho, para todas as

análises pushover efectuadas pelo Método do Espectro de Capacidade, considerou-se

que se tratavam de estruturas do tipo A.

Tipo de Comportamento Estrutural

Tipo A: Comportamento histerético estável e

completo

1.0

Tipo B: Redução Moderada da área do ciclo

histerético

0.67

Tipo C: Mau comportamento histerético

Qualquer 0.33

Tabela 4.1 Valores do coeficiente de correcção

iii) Correcção do espectro

Uma vez estimado o amortecimento viscoso efectivo o espectro no formato

ADRS é corrigido para ter em conta o comportamento fisicamente não linear da

estrutura. Esta correcção pode ser efectuada de acordo com a proposta do Eurocódigo


61

para a correcção do espectro elástico em função da variação do coeficiente de

amortecimento, sendo o coeficiente de correcção dado por:

A aceleração espectral é então corrigida obtendo-se, também, o deslocamento

espectral corrigido:

Obtêm-se, assim, os pares de valores que constituem o espectro ADRS

corrigido.

iv) Verificação

Uma vez obtido o espectro de resposta corrigido o ponto de desempenho

corresponde à intercepção do espectro de resposta com o espectro de capacidade.

No caso do deslocamento obtido, , coincidir com o deslocamento adoptado

no passo i), o ponto obtido corresponde ao ponto de desempenho sísmico. No presente

trabalho adoptou-se uma tolerância de 1%, ou seja:

No caso de não se verificar a condição anterior é necessário recomeçar o

processo no passo i), adoptando uma nova estimativa para . Esta nova estimativa pode

ser obtida através da média entre o valor anteriormente admitido e o ponto de

intercepção obtido.

Na Figura 4.8 apresenta-se um esquema gráfico com o processo iterativo para a

determinação do ponto de desempenho sísmico.

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)


62

Figura 4.8 Processo iterativo para determinação do ponto de desempenho sísmico

A abcissa do ponto de desempenho, , corresponde ao deslocamento objectivo

obtido pela análise pushover.

4.2 Determinação da curva de capacidade de um pórtico plano

A análise sísmica de uma ponte corrente e de eixo rectilíneo pode ser efectuada

de forma equivalente através da análise de um pórtico plano em que a travessa pode ser

considerada axialmente rígida. As secções condicionantes para a acção sísmica são as

secções extremas dos pilares: a sua base e, no caso da ligação ao tabuleiro ser rígida, o

topo do pilar. No caso deste trabalho considera-se unicamente o caso em que a ligação

do pilar ao tabuleiro é articulada, uma vez que no caso da ligação entre os pilares e

travessa ser monolítica os problemas e as metodologias serão semelhantes.


63

Figura 4.9 Pórtico plano

Apresenta-se a metodologia para obter a curva de capacidade de um pórtico

plano, ou, de forma equivalente, de uma ponte na sua direcção longitudinal:

1º Passo: determinação da curva de capacidade de cada pilar:

Este primeiro passo não é menos do que aplicar o processo descrito em

pormenor no capítulo 3. A partir das características da secção determina-se a relação

Momentos-Curvaturas da secção de encastramento. De seguida, sabendo a altura do

pilar, recorre-se ao modelo da rótula plástica para obter a relação Momentos-Rotações e

determina-se a curva de capacidade do pilar.

2º Passo: soma das curvas de capacidade dos pilares:

A curva de capacidade da estrutura é obtida somando as curvas de capacidade de

cada pilar: para um mesmo deslocamento, a força total é igual à soma das forças em

cada pilar. Ao efectuar este procedimento, a curva terá então vários troços lineares, em

função da cedência progressiva dos elementos da estrutura, uma vez que, em geral, os

pilares não plastificam de forma simultânea.


64

Figura 4.10 Curva de capacidade de um pórtico e dos seus pilares

A curva de capacidade obtida pode ser bilinearizada. O Método do Espectro de

Capacidade prevê uma forma de efectuar esta simplificação pois esta tem impacto nos

resultados obtidos. Pelo contrário, o método do EC8-2 não dá qualquer indicação uma

vez que a determinação do deslocamento objectivo depende unicamente das

características elásticas da estrutura.

A rigidez elástica da estrutura é igual à soma das rigidezes elásticas de cada

pilar:

pelo que se pode calcular o período de vibração correspondente à resposta elástica da

estrutura:

ou, equivalentemente, a sua frequência angular:

(4.21)

(4.22)

(4.23)


65

5. Análise Pushover – Aplicações

Neste capítulo efectuam-se diversas análises estáticas não lineares e comparam-

se os resultados com os de uma análise passo-a-passo. As análises pushover são

efectuadas pela metodologia proposta no EC8-2 e pelo Método do Espectro de

Capacidade. São analisados diferentes tipos de estruturas:

Pilares isolados com alturas diferentes de forma a efectuar a análise para

diferentes gamas de períodos;

Pórticos de dois pilares, em que se faz variar a altura dos pilares de forma a

permitir a análise para diferentes gamas de períodos. Analisa-se, também, os

efeitos da variação da relação entre a altura dos dois pilares

Estruturas reais de pontes baseadas no modelo estudado em [ARRIAGA E

CUNHA. 2011]

Numa primeira fase explica-se o procedimento utilizado para realizar as análises

pushover e as análises ao longo do tempo, nomeadamente na definição da acção

sísmica. Nas secções subsequentes apresentam-se as diversas análises.

A secção dos pilares foi mantida constante para todas as análises efectuadas,

quer na sua geometria quer na quantidade de armadura. Utilizou-se uma secção em

caixão como a apresentada na Figura 5.1, com uma quantidade total de armadura, ,

de 1% da secção total e com um recobrimento de 5 centímetros. Considera-se apenas a

flexão do pilar em torno do eixo da secção.

Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros

66

Figura 5.1 Secção em caixão utilizada

5.1 Preparação da análise

5.1.1 Definição da acção sísmica

Para cada elemento estrutural analisado faz-se variar a intensidade da acção

sísmica de forma a controlar o coeficiente de ductilidade em força, , que se define

como:

em que:

é a força devida à acção sísmica, tendo em conta uma resposta da estrutura

em regime linear. É definida como o produto da massa pela aceleração espectral

elástica .

é a força que provoca a cedência do pilar ou, no caso de uma estrutura com

vários pilares, a força que provoca a primeira cedência. A força é calculada

multiplicando a rigidez elástica da estrutura pelo deslocamento do tabuleiro que

provoca a primeira cedência.

O conceito de coeficiente de ductilidade em força difere do de coeficiente de

comportamento, que foi anteriormente apresentado em 2.3.1. Na Figura 5.2 ilustra-se a

diferença entre aqueles dois coeficientes. O coeficiente de comportamento, , é definido

como:

(5.1)


67

em que representa o valor máximo da força correspondente à resposta não linear da

estrutura.

Uma consequência directa de definir a acção sísmica de forma a obter o

coeficiente de ductilidade em força pretendido é o facto de que o deslocamento elástico,

, fica automaticamente definido:

em que é deslocamento na cedência.

Figura 5.2 Diferenças entre coeficiente de comportamento e coeficiente de ductilidade em força

Neste trabalho a definição da acção sísmica baseia-se exclusivamente em sismos

do Tipo 1 e na definição da acção sísmica proposta pelo EC8-1. Uma vez que se utiliza

sempre a mesma secção é necessário, para cada estrutura, escalar a acção sísmica para

obter o coeficiente pretendido, efectuando-se as análises para valores de

. Para as análises estáticas não lineares esse escalonamento faz-se ao

calibrar o espectro de resposta; para as análises ao longo do tempo foi necessário escalar

os acelerogramas utilizados, de forma a obter o coeficiente escolhido.

Para as análises pushover, onde se recorre a espectros de resposta, o valor da

aceleração espectral é função da zona sísmica, do tipo de terreno mas, também, do

período de vibração da estrutura. De acordo com o Eurocódigo 8-1, o valor da

aceleração espectral pode, então, ser escrito na seguinte forma:

(5.2)

(5.3)


68

em que:

e são parâmetros que definem a amplitude do espectro de resposta.

Dependem da zona sísmica e do tipo de terreno, como explicado anteriormente

em 2.3.4;

é uma função que depende do período de oscilação, tal como foi

apresentado na secção 2.3.2.

A partir das equações 5.1 e 5.4 o coeficiente de ductilidade em força pode ser

escrito na seguinte forma:

pelo que se pode utilizar o produto para escalar a acção sísmica de forma a obter

o coeficiente de ductilidade em força, , pretendido. Apresentam-se na Tabela 5.1 as

expressões que permitem determinar o valor de a adoptar para as diferentes

gamas de períodos de forma a assegurar o valor de pretendido. Não se apresenta a

expressão para períodos inferiores a , uma vez que estes períodos de vibração não são

correntes em estruturas de pontes cuja resistência sísmica é assegurada apenas pelos

pilares.

Tabela 5.1 Expressões para o cálculo de em função do valor do coeficiente pretendido

Para a análise dinâmica não linear, o EC8-1 indica que devem ser utilizados um

mínimo de 7 acelerogramas1. No entanto, neste trabalho considera-se neste trabalho que

o resultado da análise ao longo do tempo é a média das máximas respostas de cinco

acelerogramas obtidos de acordo com [GUERREIRO, 2002]. Estes acelerogramas

foram gerados de forma a que o seu espectro seja aproximado ao espectro de resposta

proposto no EC8-1 (apresentado na secção 2.3.2), para uma aceleração máxima no solo

1 EN 1998-1 4.3.3.4.3

(5.5)

(5.4)


69

unitária, para uma acção do Tipo 1 e em solos do tipo A, B, C e E. Para escalar os

acelerogramas utilizados de forma a obter o coeficiente de ductilidade em força, ,

pretendido, utilizou-se também o valor obtido para .

5.1.2 Programas de cálculo para a análise pushover

As análises estáticas não lineares efectuadas foram feitas de forma automática

através de um programa de cálculo implementado em MATLAB. Foram elaborados

dois programas, um para análise pushover pelo método previsto no EC8-2, outro para a

análise pelo Método do Espectro de Capacidade.

Figura 5.3 Processo para utilização dos programas de cálculo para as análises estáticas não lineares

5.1.3 Programa de cálculo para a análise dinâmica não linear

As análises dinâmicas não lineares foram efectuadas recorrendo ao programa

SAP2000. A não linearidade do comportamento estrutural é modelada através de

elementos Links: toda a plasticidade é concentrada na secção da base dos pilares e é

introduzida no formato . Esta relação foi obtida de acordo com a secção 3.4,

correspondendo, então, à rotação da corda. Consequentemente, os pilares são modelados

como rígidos e toda a deformação – elástica e elasto-plástica – é, como foi referido,

concentrada na secção de encastramento. Os elementos Links correspondem, desta

Dados fornecidos:

Número de pilares

Curva de capacidade de cada pilar

Aceleração máxima no solo

Programa de Cálculo

Dados obtidos:

Deslocamento objectivo

Momento na base de cada pilar


70

forma, a molas helicoidais, tal como se apresenta na Figura 5.4 para o caso de um

pórtico de dois pilares.

Figura 5.4 Modelo de pórtico para a análise dinâmica não linear em SAP2000

Outro aspecto a salientar sobre o modelo para a análise ao longo do tempo é a

introdução do amortecimento: o programa SAP2000 permite a introdução do

amortecimento de Rayleigh.

Recordando o apresentado na secção 2.1.3, o amortecimento de Rayleigh

consiste em definir a matriz de amortecimento como uma combinação linear das

matrizes de massa e de rigidez:

Existindo apenas dois parâmetros, e , só é possível calibrar o coeficiente de

amortecimento para dois períodos de oscilação da estrutura ou, de forma análoga, duas

frequências próprias da estrutura. Para uma dada frequência própria , tem-se o

seguinte amortecimento:

Apresenta-se na Figura 5.5, o andamento qualitativo do coeficiente de

amortecimento. Neste gráfico, fixou-se um amortecimento de 5% para as frequências

e .

(5.6)

(5.7)


71

Figura 5.5 Amortecimento de Rayleigh

Para as análises na direcção longitudinal em que o sistema tem um só grau de

liberdade, atribui-se um amortecimento de 5% para os períodos e ,

sendo o período de oscilação em regime elástico, definido anteriormente em

4.2, e o período definido através da rigidez pós-cedência da estrutura:

em que:

sendo a rigidez pós-cedência do pilar.

Ao efectuar a seguinte calibração garante-se que o amortecimento nunca é

superior a 5%, como se pode observar na Figura 5.5. Isto acontece uma vez que o

amortecimento foi calibrado para a máxima e mínima rigidez, respectivamente,

e - em que todos os pilares estão plastificados. Qualquer estado intermédio,

em que só alguns pilares já ultrapassaram a cedência, encontra-se obrigatoriamente

entre estes dois limites e tem, por consequência, menos amortecimento. Dada a forma

da curva apresentada na Figura 5.5, os erros no valor do amortecimento são pouco

significativos e são sempre do lado da segurança.

(5.8)

(5.9)


72

5.2 Análise de um pilar isolado

5.2.1 Apresentação da análise

Nesta secção apresentam-se os resultados da análise de pilares isolados com

diferentes períodos de vibração . As características da secção de encastramento

e a massa do sistema são mantidas constantes, variando unicamente a altura do pilar.

Considera-se que cada oscilador tem uma massa e desprezou-se o peso

do pilar. Desta forma, o esforço axial nos pilares é constante pelo que o diagrama

de cada pilar é o mesmo, permanecendo constante a rigidez, .

Figura 5.6 Modelo para a análise de um pilar isolado

Uma vez que permanece constante, obtém-se directamente a altura do pilar

correspondente a um dado período de vibração do sistema:

Apesar das características das secções serem idênticas para cada um dos pilares

analisados, o digrama varia em função da altura do pilar, como foi explicado em

3.4. Apresenta-se, na tabela na Tabela 5.2, a altura de cada pilar e, no Anexo 1, os

valores que definem os respectivos diagramas e , assim como o valor de

pico da aceleração do solo, , ao qual corresponde um coeficiente de ductilidade em

força .

(5.10)


73

0,6 7,34

0,8 8,90

1,2 11,66

1,6 14,12

2 16,39

2,4 18,51

2,8 20,51 Tabela 5.2 Osciladores de modelos de pilar isolado

O resultado obtido de cada análise é o deslocamento máximo, designado por

deslocamento objectivo para as análises estáticas não lineares. No caso das análises

efectuadas através do método do EC8-2 e pelo Método do Espectro da Capacidade, a

relação entre o deslocamento no topo do pilar e o momento na sua base é definida pela

curva de capacidade, apresentada anteriormente. Já no caso das análises dinâmicas não

lineares, a relação entre a carga e o deslocamento é mais complexa pois é necessário ter

em conta a variação da aceleração ao longo do tempo e o comportamento histerético do

sistema.

Uma vez que a análise estática não linear é um método baseado em

deslocamentos a comparação será efectuada ao nível dos deslocamento do topo de cada

pilar, calculados para diferentes coeficientes de ductilidade em força.

5.2.2 Análise de resultados

A análise é efectuada comparando os deslocamentos obtidos através das

metodologias pushover e o obtido através de uma análise dinâmica. Calcula-se então o

erro relativo, que será designado por erro, é expresso em percentagem e define-se da

seguinte forma:

Os resultados são apresentados graficamente. Para cada metodologia pushover e

para um dado valor de , apresenta-se a variação do em função do período. Os

valores dos deslocamentos obtidos pelos diferentes métodos são apresentados no Anexo

2.

Quando o coeficiente de ductilidade em força é unitário o deslocamento

objectivo calculado pelo Método do Espectro de Capacidade (CSM) é idêntico ao obtido

(5.11)


74

pelo método do EC8-2, como se pode verificar na Figura 5.7, onde se apresentam os

valores do das metodologias pushover para . Este resultado é expectável

pois a estrutura permanece em regime elástico, o que, para a metodologia CSM, pode

ser visualizado graficamente na Figura 5.8 – a intersecção entre o espectro de resposta

no formato ADRS e o espectro de capacidade faz-se no troço elástico. A não existência

de plasticidade faz com que o amortecimento viscoso efectivo seja apenas o próprio

amortecimento viscoso, sem nenhuma contribuição do amortecimento histerético, não

sendo necessário corrigir o espectro de resposta.

Figura 5.7 Variação do no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.

Figura 5.8 Método do Espectro de Capacidade (CSM) para

Para coeficientes de ductilidade em força superiores a 1 obtêm-se deslocamentos

diferentes para cada uma das metodologias. Para uma gama de períodos mais baixa

obtêm-se maiores deslocamentos pelo CSM do que pela metodologia prevista no EC8-2.

Porém, para períodos mais elevados, a situação inverte-se, como é possível observar nas

figuras 5.8 a 5.11, onde se apresentam os valores do das metodologias pushover

-30%

-10%

10%

30%

50%

70%

90%

0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Erro

T [s]

x=1 EC8-2 e CSM


75

para valores de superiores a 1. O valor de para o qual o deslocamento obtido pela

metodologia CSM se torna menor que o da metodologia prevista no EC8-2 é pouco

influenciado pelo valor de . Como se observa nas mesmas figuras, para , o ponto

de mudança corresponde aproximadamente a ; para , essa mudança

faz-se para .



-30%

-10%

10%

30%

50%

70%

90%

0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Erro

T [s]

x=2 EC8-2

x=2 CSM

-30%

-10%

10%

30%

50%

70%

90%

0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Erro

T [s]

x=3 EC8-2

x=3 CSM


76



Observa-se, também, que a metodologia do EC8-2 conduz sempre a valores dos

deslocamentos superiores aos obtidos pela análise dinâmica não linear, estando sempre

do lado da segurança. Pelo contrário, para o CSM, para períodos mais elevados os

valores do erro tornam-se negativos, como se pode verificar na Figura 5.13.

-30%

-10%

10%

30%

50%

70%

90%

0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Erro

T [s]

x=4 EC8-2

x=4 CSM

-30%

-10%

10%

30%

50%

70%

90%

0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Erro

T [s]

x=5 EC8-2

x=5 CSM


77

Figura 5.13 Comparação do valor do para o CSM para diferentes valores de - pilar isolado

O valor de para o qual o erro da metodologia CSM se torna negativo varia

com o valor de e, conforme se verifica na Figura 5.13, este valor de diminui quando

aumenta. Para , esse ponto corresponde a ; para , a mudança de

sinal dá-se aproximadamente para .

Observe-se, também, a tendência para que o valor absoluto do aumente

para os valores pequenos de e que esse aumento seja tanto maior quanto maior for o

valor de .

5.3 Análise de um pórtico plano


Nesta secção apresentam-se os resultados das análises efectuadas a diversos

pórticos planos. Cada pórtico tem dois pilares, um mais curto – de altura – e outro de

altura , como apresentado na Figura 5.14. Obtiveram-se resultados para

e metros, e, para cada valor de , analisaram-se os casos

e .

-30%

-10%

10%

30%

50%

70%

90%

0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

Erro

T [s]

CSM x=1

CSM x=2

CSM x=3

CSM x=4

CSM x=5


78

Figura 5.14 Modelo de pórtico plano

A massa do oscilador foi mantida constante para cada um dos pórticos,

adoptando-se , o que corresponde ao dobro da massa que foi utilizada

para o modelo de pilar isolado, estudado em 5.2. Para obter a relação Momentos –

Curvaturas das secções de encastramento considerou-se que o peso do tabuleiro se

distribuía de forma igual pelos dois pilares mas, contrariamente ao efectuado para a

análise do pilar isolado, foi tido em conta o peso do pilar. Desta forma, o esforço de

compressão na secção de encastramento depende directamente da altura do pilar.

Os objectivos dos estudos efectuados foram analisar os resultados obtidos para

pórticos em função do período de oscilação - cuja gama de valores fica essencialmente

definida ao fixar o valor para - e analisar o efeito da não regularidade da estrutura,

parametrizada pelo coeficiente . Procurou-se analisar pórticos com períodos de

vibração definidos de tal forma que fosse possível comparar a influência do período

numa estrutura pórtico com a influência do período num pilar isolado. Adoptaram-se

valores de para os quais para um pilar isolado um deslocamento obtido pelo CSM

fosse superior e inferior ao obtido pela metodologia EC8-2, e o da metodologia

CSM fosse positivo e negativo. Apresentam-se na Tabela 5.3 os períodos de vibração

dos pórticos analisados.


79

8

1,2 9,6 0,77

1,5 12 0,85

2 16 0,91

12

1,2 14,4 1,43

1,5 18 1,58

2 24 1,69

15

1,2 18 1,95

1,5 22,5 2,15

2 30 2,31

20

1,2 24 2,97

1,5 30 3,28

2 40 3,52

25

1,2 30 4,13

1,5 37,5 4,55

2 50 4,88 Tabela 5.3 Períodos de vibração dos diferentes pórticos analisados

Apresentam-se no Anexo 3 as características dos pórticos analisados, ou seja, os

valores característicos da curva de capacidade de cada pórtico, cujo significado é

apresentado na Figura 5.15. Uma vez que os pilares têm secções idênticas, será o pilar

mais curto, , o condicionante - será este o primeiro pilar a atingir a cedência e será a

sua rotura que leva ao colapso da estrutura.

Figura 5.15 Curva de capacidade de um pórtico de dois pilares


80


Como para o caso de um pilar isolado o deslocamento obtido pela metodologia

CSM é superior ao obtido pela metodologia do EC8-2 para uma gama de períodos mais

baixa. Este resultado pode ser verificado nas figuras 5.16 e 5.17 nas quais se apresenta o

das duas metodologias de análise estática não linear, em função do período da

estrutura e para diferentes valores do parâmetro . Nas figuras 5.16 e 5.17 representam-

se os resultados para um coeficiente de ductilidade em força e ,

respectivamente. Observa-se, também, que, como para um pilar isolado, o do

deslocamento obtido pelo CSM é negativo para períodos mais elevados, ou seja, esse

deslocamento é inferior ao obtido pela análise dinâmica não linear. Este aspecto será

discutido posteriormente nesta secção, em particular a influência do coeficiente .

Numa primeira fase analisa-se a influência da irregularidade da estrutura, medida pelo

coeficiente .

No que diz respeito à metodologia proposta pelo Eurocódigo é de notar que, para

os mesmos valores de e da altura do pilar condicionante, , o deslocamento obtido é

sempre o mesmo, independentemente da altura (desde que ). Com efeito,

uma vez que o deslocamento objectivo corresponde ao deslocamento admitindo uma

resposta elástica da estrutura, como apresentado em 5.1.1 o deslocamento objectivo é

dado por . Acontece que o deslocamento na cedência, ,

corresponde sempre ao deslocamento que provoca a cedência do pilar condicionante

pelo que é independedente da altura .

Figura 5.16 Variação do no cálculo do deslocamento. Pórtico plano.

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

T [s]

β=1,2 EC8-2

β=1,5 EC8-2

β=2,0 EC8-2

β=1,2 CSM

β=1,5 CSM

β=2,0 CSM


81

Para o efeito da não regularidade da estrutura é menor do que para ,

como se observa comparando as Figuras 5.16 e 5.17. Independentemente da

metodologia, as diferenças dos são maiores para coeficientes de ductilidade em

força maiores - na ordem de para e aproximadamente para .

Importa, ainda, referir que:

- as três curvas de cada conjunto – mesma metodologia e mesmo valor de – têm

andamentos semelhantes, sendo aplicáveis as conclusões anteriores relativamente à

evolução com o período da estrutura;

- o valor numérico do para cada metodologia é menor para estruturas mais

regulares - as curvas para conduzem a menores que para e

.

As consequências desta segunda observação diferem consoante a metodologia da

análise estática não linear. Uma vez que o da metodologia proposta pelo EC8-2 é,

geralmente, positivo, a não regularidade da estrutura aumenta o valor absoluto do ,

pelo que os resultados da análise se afastam do resultado “exacto” da análise dinâmica

não linear. Porém, o deslocamento obtido situa-se do lado da segurança uma vez que se

obtêm deslocamentos maiores do que os obtidos pela análise ao longo do tempo. Para o

CSM, como para períodos mais elevados, o deslocamento obtido é inferior ao da análise

ao longo do tempo - o módulo do torna-se menor para estruturas mais irregulares.

Figura 5.17 Variação do no cálculo do deslocamento. Pórtico plano.

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

T [s]

β=1,2 EC8-2

β=1,5 EC8-2

β=2,0 EC8-2

β=1,2 CSM

β=1,5 CSM

β=2,0 CSM


82

Com base nos resultados apresentados nas figuras 5.18 e 5.19 analisa-se em

maior detalhe a influência do período e do coeficiente de ductilidade em força, , no

dos deslocamentos obtidos pelas metodologias da análise estática não linear. Nas

figuras 5.18 e 5.19 apresenta-se a variação do valor do dos deslocamentos obtidos

pela metodologia CSM e pela metodologia proposta pelo EC8-2, respectivamente, para

diferentes coeficientes de ductilidade em força e com 1,2.

Figura 5.18 Variação do no cálculo do deslocamento pelo CSM. Diferentes valores de . Pórtico plano 1,2

Com base nos resultados apresentados na Figura 5.18 é possível verificar que o

deslocamento obtido pelo CSM tende a diminuir com o período da estrutura. O período

para o qual o do deslocamento se torna negativo tende a diminuir com o aumento

do coeficiente - a mudança de sinal ocorre para quando e para

quando .

Da análise dos resultados apresentados na Figura 5.19 saliente-se o aumento do

do deslocamento obtido pela metodologia do EC8-2 para períodos na ordem de

e a sua forte diminuição para períodos mais elevados.

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

T [s]

x=1 CSM

x=2 CSM

x=3 CSM

x=4 CSM

x=5 CSM


83

Figura 5.19 Variação do no cálculo do deslocamento pela metodologia do EC8-2. Diferentes valores de .

Pórtico plano 1,2

5.4 Análise de uma ponte real

Nesta secção analisam-se dois modelos baseados numa ponte real, representada

esquematicamente na Figura 5.20. A ligação ao tabuleiro dos dois pilares que se situam

mais perto dos encontros é efectuada através de aparelhos de apoio deslizantes que são

modelados como apoios móveis. O tabuleiro da ponte e a disposição dos pilares são

mantidos constantes nos dois modelos. A única distinção é a altura dos pilares os quais

foram definidos de forma a obter períodos de vibração diferentes: e

. Designa-se por Modelo 1 a estrutura de ponte com e por

Modelo 2 a estrutura com Considerou-se para o tabuleiro uma massa por

unidade de comprimento de .

Figura 5.20 Representação do modelo das pontes estudadas

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

T [s]

x=1 EC8-2

X=2 EC8-2

x=3 EC8-2

x=4 EC8-2

x=5 EC8-2


84

Apresentam-se, na Tabela 5.4, as alturas dos pilares para ambos os modelos. Os

valores característicos da curva de capacidade e da relação Momentos-Rotações de cada

pilar são apresentados no Anexo 5.

Pilares

Modelo 1 Modelo 2

e 10 20

e 15 25 e 20 30

25 35

Tabela 5.4 Alturas dos pilares dos modelos analisados

Tal como para as análises efectuadas anteriormente, relativamente a um pilar

isolado e a um pórtico plano, os modelos de ponte são analisados para a acção sísmica

com várias intensidades, correspondendo a coeficientes de ductilidade em força de 1 a

5. Como foi referido analisa-se apenas o comportamento na direcção longitudinal.

5.4.1 Análise de resultados para o Modelo 1 ( )

Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 5.5 e estão de acordo com os

recolhidos anteriormente para um pórtico plano para um período de vibração na ordem

dos 2 segundos:

- os deslocamentos obtidos pelo método proposto no Eurocódigo 8-2 são superiores aos

obtidos pelo CSM e pela análise ao longo do tempo;

- o da metodologia do EC8-2 aumenta com o valor de ;

- o módulo do é menor para a metodologia CSM .

Da análise dos resultados conclui-se que o Método do Espectro de Capacidade

apresenta melhores resultados do que a metodologia proposta na norma europeia. É de

notar, também, que ambas as metodologias apresentam resultados do lado da segurança,

uma vez que o deslocamento obtido é superior ao determinado através de uma análise

dinâmica não linear.


85

ADNL [cm] EC8-2 [cm] CSM [cm]

0,668 4,58 4,91 4,91

7% 7%

1,336 7,89 9,82 8,40

25% 7%

2,004 9,71 14,73 12,55

52% 29%

2,672 12,33 19,64 15,24

59% 24%

3,34 15,05 24,56 17,90

63% 19% Tabela 5.5 Resultado das análises efectuadas para o Modelo 1 ( )

Outra observação relevante é o facto de na rotura - em que se atinge o

deslocamento que provoca o colapso dos pilares e - os pilares , e

permanecem sempre em regime elástico. Este facto pode ser verificado na Figura 5.21,

onde se apresentam os deslocamentos obtidos pelos diferentes métodos utilizados para

e . Aqueles deslocamentos podem ser comparados com os deslocamentos

de cedência de rotura e de cada pilar. No entanto, de forma a facilitar a sua leitura, não

se apresenta na Figura 5.21 os valores dos deslocamentos de rotura dos pilares a

uma vez que estes são muito superiores ao deslocamento de rotura do pilar . Para

verifica-se que para os deslocamentos obtidos através da análise ao longo do

tempo e através do CSM a estrutura ainda não atingiu o colapso, mas que tal não

acontece para a metodologia do EC8-2, onde o colapso já ocorreu para (Tabela

5.5).


86

Figura 5.21 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados. Modelo 1 ( ).

5.4.2 Análise de resultados para o Modelo 2 ( )

Os resultados das análises pushover e da análise dinâmica não linear efectuadas

com o modelo de ponte com um período apresentam-se na Tabela 5.6 e são

coerentes com os obtidos em 5.3. Como seria expectável para períodos mais longos, os

deslocamentos obtidos pela metodologia proposta no ATC-40 são inferiores aos obtidos

pelo método do EC8-2 e por uma análise ao longo do tempo. Verifica-se, também, que

o método proposto no Eurocódigo apresenta resultados bastante precisos para estruturas

com períodos elevados: o valor absoluto do é pequeno – inferior a 10%. Porém, os

deslocamentos obtidos são inferiores aos de uma análise passo-a-passo, pelo que os

resultados obtidos não estão do lado da segurança.

ADNL [cm] EC8-2 [cm] CSM [cm]

2,613 22,12 19,86 19,86

-10% -10%

5,226 44,13 39,72 31,88

-10% -28%

7,839 65,79 59,58 48,37

-9% -26%

10,452 87,49 79,44 58,95

-9% -33%

13,065 100,59 99,30 69,20

-1% -31% Tabela 5.6 Resultados das análises efectuadas para o Modelo 2 ( )

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7

De

slo

cam

en

to [c

m]

Pilar

Deslocamentos de cedência

Deslocamentos de rotura

x=3 ADNL

x=3 EC8-2

x=3 CSM

x=5 ADNL

x=5 EC8-2

x=5 CSM


87

Apresentam-se na Figura 5.22 os deslocamentos obtidos para coeficientes de

ductilidade em força e , assim como os deslocamentos de cedência e de

rotura. Tal como para a Figura 5.21 não se apresentam na Figura 5.22 os deslocamentos

de rotura de todos os pilares de forma a facilitar a sua leitura.

Note-se na Figura 5.22 que, contrariamente ao Modelo 1 cuja relação entre o

comprimento dos pilares é maior, a rotura da estrutura só ocorre depois de todos os

pilares plastificarem. Observe-se, também, na Tabela 5.6, que, para a análise passo-a-

passo e pela metodologia do Eurocódigo, o colapso da estrutura se atinge para ,

enquanto que, para o Método do Espectro de Capacidade, só ocorre para .

Figura 5.22 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados. Modelo 2 ( )

5.5 Análise da influência da rigidez pós-cedência

Nesta secção estuda-se a influência da rigidez pós-cedência nos resultados das

análises estáticas não lineares. Como foi explicado no capitulo 3, onde se abordou o

comportamento fisicamente não linear, adoptou-se uma rigidez pós-cedência no

diagrama Momentos - Curvaturas, , igual a 1% da rigidez elástica fendilhada1, .

Define-se como a relação entre a rigidez pós-cedência e a rigidez elástica no

comportamento da secção :

1 De forma a facilitar a leitura deste texto, assume-se que, a menos de indicação em contrário, a rigidez

elástica corresponde sempre ao seu valor fendilhado.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

1 2 3 4 5 6 7

Des

loca

men

to [c

m]

Pilar

Deslocamento de cedência

Deslocamento de rotura

x=3 ADNL

x=3 EC8-2

x=3 CSM

x=5 ADNL

x=5 EC8-2

x=5 CSM

(5.12)


88

Os resultados anteriores foram obtidos para . Apresentam-se agora os

resultados da análise dos efeitos de aumentar o valor de , analisando os casos

e .

Os objectivos desta análise foram os seguintes:

1) Verificar se as conclusões anteriores são validas quando se adopta uma maior

rigidez pós-cedência em todos os métodos de análise;

2) Avaliar a influência da rigidez pós-cedência, tomando como referência a análise

dinâmica não linear com .


As análises foram efectuadas para 5 dos 15 pórticos estudados em 5.3:

considera-se apenas um dos valores de relação entre o comprimento dos pilares, , e

analisaram-se os casos e de forma a variar o período de vibração

da estrutura. Adoptou-se

por ser o caso em que a relação entre dos pilares

tem menos influência nos resultados.

Nos casos anteriores o coeficiente de ductilidade em força, , era um dos

parâmetros da análise. Nesta secção, estuda-se o efeito da rigidez pós-cedência quando

o coeficiente de comportamento, , é mantido constante, tendo-se adoptado um valor

constante . O significado de foi explicado em 5.1.1 e ilustrado na Figura 5.2,

sendo o seu valor dado por:

em que:

é a força exercida no topo do pilar numa análise elástica linear

é a força obtida no topo do pilar tendo em conta o comportamento não

linear do elemento

Desta forma, o coeficiente de comportamento é definido localmente para cada

elemento estrutural. Uma vez que no caso deste trabalho o pilar – mais curto – é

(5.13)


89

condicionante, o valor utilizado para corresponde ao valor do coeficiente de

comportamento do pilar de cada um dos pórticos.

Da Figura 5.2 é, também, possível retirar a seguinte relação entre o coeficiente

de comportamento, , e o coeficiente de ductilidade em força, :

em que:

é a relação entre a rigidez pós-cedência, , e a rigidez elástica, , na

curva de capacidade do pilar:

Uma vez relacionados os valores de e e com base numa análise por espectro

de resposta a um dado pórtico é, então, possível determinar o valor da aceleração

máxima no solo – – à qual corresponde um coeficiente de comportamento .

Analisaram-se os casos e sendo de notar que o valor de

é diferente do de . O processo consiste em determinar, através da metodologia

apresentada no capítulo 3, os valores de correspondentes, respectivamente, a

e . De seguida, determinam-se as respectivas curvas de capacidade,

em que se mantém constante o coeficiente de comportamento, como ilustrado na Figura

5.23.

(5.14)

(5.15)


90

Figura 5.23 Influência da rigidez pós-cedência


Numa primeira fase foi-se verificar se as conclusões anteriores, relativas à

influência do período na comparação entre os métodos pushover e a análise passo-a-

passo, se mantêm no caso de se alterar a rigidez pós-cedência.

Uma vez que a metodologia prevista no EC8-2 se baseia no princípio da

igualdade de deslocamento, o deslocamento obtido por esta metodologia depende

apenas das características elásticas da estrutura pelo que o deslocamento obtido se

mantém constante apesar de se alterar a rigidez pós-cedência. No entanto, os

deslocamentos obtidos por uma análise dinâmica dependem do valor de , como se

pode verificar na Figura 5.24, onde se apresentam os valores dos deslocamentos obtidos

por análises ao longo do tempo para diferentes valores de e os deslocamentos

obtidos pela metodologia do EC8-2.


91

Figura 5.24 Análise da influência da rigidez pós-cedência de um pórtico nos deslocamentos obtidos por uma análise dinâmica e pela metodologia do EC8-2

Da Figura 5.24 é possível observar que os deslocamentos são menores para

maiores valores de e que a metodologia do Eurocódigo se aproxima mais dos

resultados da análise dinâmica para . Este resultado é evidenciado na Figura

5.25, onde se apresenta o da metodologia do EC8-2 – cujo deslocamento é

independente de – e do Método do Espectro de Capacidade relativamente às análises

dinâmicas realizadas para e . Note-se que o do deslocamento

do CSM para um dado valor foi calculado relativamente ao deslocamento da análise

dinâmica para o mesmo valor .

Observa-se que o valor do do EC8-2 aumenta para maiores. Este

resultado é coerente com o facto do Eurocódigo 8 propor que as análises estáticas não

lineares sejam efectuadas sem ter em consideração a rigidez pós-cedência. De uma

forma aproximada, pode dizer-se que as curvas dos para maiores valores de

são obtidas por translação vertical da curva do para , ou seja,

aumentando o valor do . Desta forma, a variação do em função do período de

vibração mantém-se para diferentes valores de ; no entanto, o valor do é

fortemente influenciado pelo valor de . Relativamente à comparação directa entre a

metodologia do EC8-2 e o CSM, a variação do valor de tem uma influência

semelhante nas curvas em função do período de vibração, , independentemente do

método adoptado para a análise pushover. Note-se que o período para o qual o

deslocamento obtido pelo CSM torna-se inferior ao da metodologia do EC8-2 mantém-

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

De

slo

cam

en

to [m

]

T [s]

Análise dinâmica k=0.01

EC8-2




92

se aproximadamente constante para os diferentes valores de ; na Figura 5.27, este

período corresponde aproximadamente a , abcissa onde se cruzam as curvas

da mesma cor.

Figura 5.25 Erros da metodologia do EC8-2 relativamente à análise dinâmica para diferentes valores de

Avalia-se agora o efeito de se escolher uma rigidez pós-cedência maior. Esta

avaliação é feita ao comparar os resultados obtidos para e com os

obtidos por uma análise dinâmica não linear com .

O deslocamento máximo obtido pela análise dinâmica diminui para maiores

valores de , como pode ser observado na Figura 5.24. A influência do valor de nos

resultados da análise dinâmica é grande quando comparada com a influência de na

metodologia CSM, como pode ser observado nas Figuras 5.26 onde se apresentam os

valores dos deslocamentos obtidos pelo CSM com diferentes valores de e os

deslocamentos obtidos por uma análise passo-a-passo com .

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

T [s]

EC8-2 k=0.01

CSM k=0.01

EC8-2 k=0.05

CSM k=0.05

EC8-2 k=0.1

CSM k=0.1


93

Figura 5.26 Deslocamentos do CSM e comparação com o deslocamento obtido por uma análise dinâmica com

Pode assim concluir-se que o valor da rigidez pós-cedência não tem grande

influência nos resultados obtidos pelo CSM, ou seja, o deslocamento obtido é pouco

afectado pelo valor de . Esta conclusão pode ser observada em termos absolutos –

comparando o valor dos deslocamentos – na Figura 5.26, ou em termos relativos como

se apresenta na Figura 5.27. Nesta figura apresenta-se a diferença relativa entre os

deslocamentos obtidos pelo CSM com e com os obtidos com

. Observa-se na Figura 5.27 que, com excepção dos períodos mais curtos e

para , essa diferença é inferior a 10%.

Figura 5.27 Diferença relativa dos deslocamentos do CSM para várias rigidezes pós-cedência

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

De

slo

cam

en

to [m

]

T [s]

CSM k=0.01

CSM k=0.05

CSM k=0.1


-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

re

lati

co a

CSM

co

m k

=0,0

1

T [s]

CSM k=0.05

CSM k=0.1


94

A Figura 5.28 apresenta o variação do valor do relativamente à análise

dinâmica com para o CSM efectuado com diferentes valores de . Verifica-

se na Figura 5.28 que o valor do não é muito afectado pelo valor , variando na

ordem dos 5 pontos percentuais, excepto para períodos mais pequenos onde a diferença

é maior.

Figura 5.28 Erros da metodologia CSM relativamente à análise dinâmica com

Assim, admitindo os resultados da análise ao longo do tempo com

como os valores exactos, considerando então que esta análise é a que melhor representa

o comportamento real da estrutura, pode, concluir-se o seguinte:

os resultados da metodologia do EC8-2 não são afectados pelo valor da rigidez

pós-cedência – os deslocamentos obtidos mantêm-se para qualquer valor de .

Desta forma, todas as conclusões das secções anteriores – relativamente à

comparação entre esta metodologia e o método mais “exacto” – mantêm-se;

os resultados do Método do Espectro de Capacidade são pouco afectados pela

rigidez pós-cedência – o valor do deslocamento varia pouco com o valor de

(diferenças geralmente inferiores a 10%). Consequentemente, tal como para a

metodologia do EC8-2, as conclusões anteriores são válidas no caso de se

utilizar o CSM com uma maior rigidez pós-cedência.

Os resultados numéricos de todos os deslocamentos obtidos nesta secção são

apresentados em forma de tabela no Anexo 6.

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

re

latr

ivo

a k

=0,0

1

T [s]

CSM k=0.01

CSM k=0.05

CSM k=0.1


95

6. Conclusões e Desenvolvimentos Futuros

Apresentam-se neste capítulo as principais conclusões desta dissertação, assim

como eventuais desenvolvimentos futuros que poderão ser realizados no seguimento

deste trabalho.

Contrariamente ao método mais utilizado na prática do projecto em Portugal – a

análise modal por espectro de resposta – a análise estática não linear é um método

baseado em deslocamentos. A verificação da segurança, ou de um determinado nível de

desempenho, é efectuada ao nível dos deslocamentos e não ao nível dos esforços

actuantes nas secções estruturais. Para realizar análises pushover é necessário

determinar a curva de capacidade da estrutura – curva que relaciona a força de corte

basal e o deslocamento de um dado ponto de controlo – cujo andamento depende do

padrão de carregamento e do ponto de controlo escolhido. No caso deste trabalho e uma

vez que só se abordou o comportamento de pontes correntes na direcção longitudinal,

estes dois factores não são relevantes uma vez que este tipo de estrutura pode ser

considerado como um oscilador de um grau de liberdade quando se atende apenas ao

seu comportamento na direcção longitudinal. A curva de capacidade de cada pilar foi

obtida recorrendo a um programa de cálculo automático implementado em MATLAB.

Partindo das relações constitutivas dos materiais determinou-se a relação Momentos-

Curvaturas da secção de encastramento para, em seguida e recorrendo a um modelo de

plasticidade concentrada – o modelo de rótula plástica – se obter a relação entre a carga

aplicada no topo do pilar e o deslocamento nesse ponto.

Uma vez obtida a curva de capacidade dos pilares, determina-se a mesma curva

para a totalidade da estrutura, tendo em consideração a contribuição de todos os pilares,

e pode, então, determinar-se o deslocamento objectivo. Na presente dissertação, o

deslocamento objectivo foi determinado por duas metodologias distintas: a primeira

aconselhada no EC8-2 e a segunda proposta no ATC-40 – o Método do Espectro de

Capacidade. Ambas as metodologias recorrem à utilização de espectros de resposta

diferindo, no entanto, na forma como a plasticidade é tida em conta.

O método proposto na norma europeia baseia-se no princípio da igualdade de

deslocamentos: o deslocamento objectivo é igual ao deslocamento que teria o oscilador

elástico. A metodologia do EC8-2 para as análises pushover corresponde, então, a uma


96

análise elástica para a determinação do deslocamento devido à acção sísmica. A

principal vantagem, quando comparado com a análise elástica corrente, reside no facto

de que permite comparar esse deslocamento com a capacidade da estrutura, sendo

possível estimar o nível de dano da estrutura ou comparar o comportamento com um

determinado nível de desempenho.

O Método do Espectro de Capacidade, ou CSM (Capacity Spectrum Method),

requer a utilização do espectro de resposta no formato ADRS (Acceleration

Displacement Response Spectrum) que relaciona a aceleração do oscilador com o seu

deslocamento. Esta metodologia tem em conta uma correcção do espectro de resposta

ADRS através de um amortecimento viscoso efectivo, que tem em consideração o

amortecimento histerético, sendo necessário recorrer a um processo iterativo para

determinar o deslocamento objectivo.

Os resultados de ambas as metodologias foram comparados entre si e com os

obtidos por uma análise dinâmica não linear, tomada como valor de referência por este

ser considerado o método de análise mais exacto. Numa primeira fase, estas

comparações foram efectuadas para pilares isolados; numa segunda fase analisaram-se

diferentes pórticos planos constituídos por dois pilares; e, por fim, analisaram-se

exemplos baseados em pontes reais. Destas análises é possível tirar as seguintes

conclusões:

a) Influência do período de vibração

Existe uma forte influência do período de vibração, quer na comparação dos

resultados obtidos através das entre as duas metodologias de análise estática não linear,

quer na comparação daqueles resultados com os obtidos através de uma análise ao longo

do tempo.

Para períodos mais curtos – geralmente inferiores a , o deslocamento

obtido pelo CSM é superior ao obtido pela metodologia proposta pelo EC8-2,

invertendo-se esta relação para períodos superiores.

O do deslocamento relativamente à análise ao longo do tempo (definido

em 5.2.2) tende a decrescer com para a metodologia CSM. O valor do é positivo

para períodos inferiores a aproximadamente tornando-se negativo para períodos


97

superiores àquele valor. O valor do erro tende a decrescer de forma aproximadamente

linear, de aproximadamente para a para .

Para o método proposto pelo EC8-2 o valor do tem uma tendência

crescente para períodos aproximadamente inferiores a onde atinge um pico de

cerca de , para depois decrescer quando o período de vibração aumenta. O valor

do torna-se ligeiramente negativo – na ordem de – para períodos superiores

a . A precisão para essa gama de períodos é muito maior do que para o Método

do Espectro de Capacidade.

Estas conclusões poder ser observadas na Figura 6.1 onde se apresenta a

variação do valor do em função do período de vibração da estrutura, para um

pórtico plano com uma relação entre a altura dos pilares e um coeficiente de

comportamento .

Figura 6.1 Evolução do com o período de vibração. Pórtico plano .

b) Influência da irregularidade da estrutura

Constatou-se que a irregularidade da estrutura, que neste trabalho foi controlada

pela relação entre os dois pilares de um pórtico plano, tem consequências distintas para

os dois métodos analisados. Para a metodologia proposta no EC8-2, o obtido para

as estruturas mais irregulares foi maior, mas manteve-se do lado da segurança,

afastando-se do valor do deslocamento obtido por uma análise dinâmica. Para a

metodologia CSM o valor numérico do também foi superior para estruturas

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Erro

T [s]

EC8-2

CSM


98

irregulares. No entanto, uma vez que o valor do se torna negativo para períodos

mais elevados, o deslocamento obtido para estruturas mais irregulares é mais preciso

para uma dada gama de períodos de vibração.

c) Influência da rigidez pós-cedência

A influência da rigidez pós-cedência foi analisada comparando os resultados das

análises estáticas não lineares, efectuadas com diferentes rigidezes pós-cedência, com os

obtidos por uma análise dinâmica com uma rigidez pós-cedência . Constatou-

se que o deslocamento obtido pela metodologia do EC8-2 não é afectado e que, para a

metodologia CSM, o deslocamento obtido é ligeiramente afectado pela rigidez pós-

cedência – a diferença relativa é geralmente inferior a 10%. Desta forma, assumindo

que a análise dinâmica com representa o comportamento de referência da

estrutura, conclui-se que a influência da rigidez pós-cedência nos resultados de análises

pushover é desprezável.

d) Facilidade de implementação

Ambos os métodos de análise não linear – a análise pushover e a análise ao

longo do tempo – requerem a determinação do comportamento não linear de secções

estruturais. No caso da presente dissertação, para ambos os métodos, utilizou-se o

mesmo programa de cálculo implementado em MATLAB, como apresentado no

capítulo 3. A principal diferença ao nível da implementação aparece na determinação do

deslocamento. As análises pushover revelaram-se de muito mais rápida execução do que

as análises ao longo do tempo. Isto deve-se ao facto de serem computacionalmente

muito mais simples e de recorrerem directamente a espectros de resposta,

contrariamente à análise dinâmica cujo deslocamento é a média dos obtidos por um

dado número de acelerogramas.

A utilização das metodologias da análise estática não linear permite conhecer

melhor o comportamento da estrutura do que recorrendo a uma análise modal com base

em espectros de resposta. A análise pushover permite determinar a sequência de

formação de rótulas plásticas e determinar as exigências de ductilidade dos diversos

elementos estruturais. No entanto, se o objectivo da análise for apenas determinar o


99

deslocamento devido à acção sísmica, então a modelação da não linearidade pode não

valer a pena. Para determinados períodos de vibração, a metodologia proposta no EC8-2

apresenta melhores resultados que a metodologia CSM, não sendo então necessário

recorrer a uma análise pushover para o cálculo do deslocamento. Isto acontece porque a

metodologia proposta no Eurocódigo admite a hipótese da igualdade de deslocamentos,

pelo que o deslocamento é calculado assumindo uma resposta da estrutura em regime

elástico.

Relativamente aos desenvolvimentos futuros no âmbito desta dissertação sugere-

se, por exemplo, a aplicação de análises estáticas não lineares a estruturas de pontes na

sua direcção transversal. Uma vez que na direcção transversal a ponte será geralmente

analisada através de um modelo com vários graus de liberdade, a escolha dos modos de

vibração assim como do ponto de controlo e padrão de carregamento tornam-se aspectos

fundamentais. Propõe-se também avaliar a influência da deformabilidade da fundação e

dos efeitos geometricamente não lineares, como os efeitos , às conclusões

apresentadas neste trabalho.


100

Referências

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SIMÕES, J. (2010). Avaliação do Comportamento Sísmico de um viaduto – Introdução

ao EC8 – Análises lineares e não lineares. Tese de Mestrado, IST


I

Anexos

Anexos

II

Anexo 1: Características dos pilares analisados em 5.2


III

Anexo 2: Resultados da análise a pilares isolados

Valores dos deslocamentos (em centímetros) e respectivos erros.

Anexos

IV

T=2,4 T=2,8

ADNL EC8-2 CSM ADNL EC8-2 CSM ADNL EC8-2 CSM

11,26 12,53 12,53 13,17 15,98 15,98 20,40 19,63 19,63 11% 11% 21% 21% -4% -4%

18,78 25,07 20,69 25,11 31,97 26,39 34,80 36,26 32,11 34% 10% 27% 5% 4% -8%

27,74 37,60 27,36 42,97 47,95 34,90 48,51 58,89 42,51 36% -1% 12% -19% 21% -12%

38,46 50,14 33,99 52,14 63,93 43,37 64,90 78,52 52,90 30% -12% 23% -17% 21% -18%

49,79 62,67 40,61 58.73 79,92 51,80 81,92 98,15 63,24

26% -18% 36% -12% 20% -23%


V

Anexo 3: Valores da curva de capacidade de cada pórtico plano

[cm]

8

9,6 0,77

3,11

4249,97 4,48 4974,07

12,8

5316,52

12 0,85 3490,51 7,05 4610,80 4805,69

16 0,91 3030,45 12,57 4320,86 4327,61

12

14,4 1,43

6,9

2718,46 9,94 3181,32

28,83

3416,49

18 1,58 2232,16 15,53 2937,90 3074,10

24 1,69 1937,20 27,62 2745,88 2756,61

15

18 1,95

11,04

2341,00 15,93 2744,66

41,3

2918,09

22,5 2,15 1924,34 25,09 2553,87 2645,09

30 2,31 1669,80 - - 2327,96

20

24 1,95

19,7

1792,72 28,57 2107,11

70,61

2232,99

30 2,15 1475,51 45,02 1965,27 2028,39

40 2,31 1281,04 - - 1837,47

25

30 4,13

30,98

1465,01 45,02 1724,06

107,1

1821,87

37,5 4,55 1206,73 70,98 1611,27 1658,19

50 4,88 1047,77 - - 1427,03

Anexos

VI

Anexo 4: Resultados da análise a pórticos planos

Valores dos deslocamentos (em centímetros) e respectivos .


VII

Anexos

VIII


IX

Anexo 5: Características dos pilares das pontes analisadas em 5.4

Anexos

X

Anexo 6: Resultados da análise sobre influência da rigidez pós-

cedência

Valores dos deslocamentos (em centímetros).

ADNL EC82 CSM ADNL EC82 CSM ADNL EC82 CSM

8 0,85 7,66 9,96 10,87 6,87 9,95 13,56 3,66 9,96 10,87

12 1,43 17,59 22,15 21,00 14,63 22,15 23,71 12,92 22,15 22,05 15 2,15 23,60 35,50 26,79 22,55 35,49 28,49 18,96 35,49 24,96

20 2,97 57,48 63,43 47,03 49,99 63,43 49,84 42,20 63,43 44,46 25 4,55 105,74 99,76 74,00 88,78 99,76 78,54 73,07 99,76 71,12

análise sísmica de estruturas de pontes através de uma ... · resultados para pilares isolados e...

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