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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 4

Joaquim Barros 4.1

4 - PÓRTICOS PLANOS

4.1 - INTRODUÇÃO Os pórticos planos são estruturas reticuladas que podem ser discretizadas por elementos de viga com deformação axial. Assim, a simulação do comportamento de pórticos planos depende da teoria adoptada para modelar o comportamento dos elementos de viga. As teorias correntemente utilizadas são, basicamente, a de Euler-Bernoulli e a de Timoshenko. No elemento de viga de Euler-Bernoulli admite-se que as secções transversais, normais ao eixo da viga antes da deformação, mantêm-se planas e ortogonais ao referido eixo após a deformação. Esta hipótese resulta do facto de nesta teoria se admitir que a rotação de uma secção transversal é igual à inclinação do eixo da viga (ver figura 4.1a). Neste caso a deformação por corte é ignorada, pelo que a aplicação desta teoria deve ser restrita a vigas delgadas. Na teoria de Timoshenko admite-se que as secções planas e normais ao eixo da viga antes da deformação, permanecem planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo da viga (ver figura 4.1b). Desta forma é possível simular o comportamento de vigas em que não é desprezável a deformação por corte.

l1

2l , ul 2

1ll , u1

1ldu1dl

Normal à superfície médiaapós a deformação

Inclinação do eixo da viga (a)

1l

2ll , u2

1l

Inclinação do eixo da viga

Normal à superfície médiaapós a deformação

1l , u

Deformação admitida

Deformação real

(b)

Figura 4.1 - Deformação de um elemento de viga segundo a teoria de Euler-Bernoulli (a) e de Timoshenko (b).


Joaquim Barros 4.2

Na figura (4.1) i é o referencial local da barra. Note-se que no caso dos pórticos as equações de equilíbrio de cada barra são estabelecidas no referencial local da barra. A matriz de rigidez e o vector das forças nodais equivalentes são obtidas no referencial local da barra, sendo em seguida convertidos para o referencial global xi da estrutura e assemblados na matriz de rigidez e no vector das forças nodais equivalentes da estrutura, EK e EQ , respectivamente.

4.2 - ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI COM DEFORMAÇÃO AXIAL A teoria de Euler-Bernoulli admite as seguintes hipóteses:

i) Os deslocamentos verticais 2

u de todos os pontos de uma secção transversal qualquer são pequenos, quando comparados com a altura da viga, e são iguais ao respectivo deslocamento do eixo da viga;

ii) O deslocamento lateral,

3u é nulo ( ver Figura 4.2 );

iii) Secções transversais planas e normais ao eixo da viga antes da deformação mantêm-se

planas e ortogonais ao referido eixo após a deformação.

eixo da barra

L

h

Ml3

2lfF

2l

2u l

l2

1l , u l1

3l

l3θ

2l

l2u

1 1ll , uO ≡

3θ l

h

l2

1ll , u13l , θ l3

B

A

B'

A'1

u l

B''B'''

A''

B para B': deformação axialB' para B'' e B'' para B''': deformação por flexão e corte

Figura 4.2 - Deformação axial de um elemento de viga segundo a teoria de Euler-Bernoulli.


Joaquim Barros 4.3

4.2.1 - Campo de deslocamentos Tendo em conta as hipóteses admitidas na teoria de Euler-Bernoulli, o campo de deslocamentos de um ponto qualquer da viga define-se por intermédio das seguintes relações (ver também Figura 4.2), )0,0,()0,0,(),,( 3212321321 311

==−=== θuu )0,0,(),,( 321321 22

===uu (4.1a) 0),,( 3213

=u , ou, mais simplesmente, )()(),,( 121321 311

θ−=uu )(),,( 1321 22

uu = (4.1b) 0),,( 3213

=u , em que

1u e

2u são os deslocamentos de um ponto do eixo da viga segundo as direcções de

1 e 2 , respectivamente. Devido à hipótese iii), a rotação 3

θ de (4.1) é igual à inclinação da

tangente ao eixo da viga deformada (ver Figura 4.1a), pelo que,

1

2

3 ddu

=θ (4.2)

1

22

11 ddu

uu −= . (4.3)

4.2.2 - Extensões A única componente não nula do tensor das extensões é a devida à variação de comprimento das fibras paralelas ao eixo da viga, pelo que,

1

1

1 ddu

=ε . (4.4)

Substituindo (4.3) em (4.4) resulta,

21

2

21

21

1 dud

dud

−=ε (4.5)

ou


Joaquim Barros 4.4

fa εεε +=1

(4.6a) em que

1

1

dud

a =ε (4.6b)

é a extensão por deformação axial e

21

2

222

dud

ff −=−= εε (4.6c)

é a extensão por flexão.

4.2.3 - Tensões e esforços Se a única componente não nula do tensor das extensões é

1ε , então

1σ será a única

componente não nula do tensor das tensões,

11εσ E= (4.7)

em que E é o módulo de elasticidade do material. Substituindo (4.5) em (4.7) resulta

21

2

21

21

1 dud

Edud

E −=σ (4.8)

ou fa σσσ +=

1 (4.9a)

em que

1

1

dud

Ea =σ (4.9b)

é a tensão devida à variação de comprimento do eixo da viga e,

21

2

22

dud

Ef −=σ (4.9c)

é a tensão devida à flexão da viga. O esforço axial resulta da integração de (4.9b) na área da secção transversal do elemento,


Joaquim Barros 4.5

aA

a EAdud

EAdAN εσ === ∫1

1

1. (4.10a)

Por sua vez o momento flector obtém-se integrando, na secção transversal da viga, o momento em relação à superfície média da viga, provocado pela tensão

1σ ,

3

2

21

13

2

2/

2/

222

1

2

2

2/

2/21

2

21

2

2

IE

dbd

udE

dbd

uddud

E

dAM

h

h

h

h

A

χ

σ

−=

−=

−=

=

∫

∫

∫

−

− (4.10b)

em que

2

2/

2/

223

dbIh

h∫

−

= (4.11)

é a inércia da secção transversal da viga, em relação ao eixo 3 , e b é a largura dessa secção, e

21

22

dud

f == χε (4.12)

é a curvatura do eixo da viga. Na figura 4.3 representa-se a convenção de sinais positivos para as tensões e esforços.

(l )3l1

2l

eixo dabarra 3lM1Nl

σa σf

+=

σfσa

Figura 4.3 – Convenção de sinais positivos para as tensões e esforços.


Joaquim Barros 4.6

4.2.4 - Expressão do princípio dos trabalhos virtuais Considere-se um elemento de viga de volume V solicitado por forças generalizadas proporcionais à sua massa

VQ , forças generalizadas distribuídas por unidade de

comprimento, L

Q , e forças generalizadas aplicadas em pontos do seu domínio p

Q . Sob este

carregamento o corpo sofre extensões e deslocamentos virtuais, εδ e Uδ , respectivamente, pelo que, pela aplicação do princípio dos trabalhos virtuais, o trabalho interno é igual ao trabalho externo realizado durante a deformação virtual do elemento, i.e.:

p

T

LL

T

VV

T

V

T QUdLQUdVQUdVeee

δδδσεδ ++= ∫∫∫)()()(

(4.13)

em que

( )

( )

( ) 1

12222

121

2

21

21

2

21

)(int

)(3

)( )(

21

)( )(

21

)(11

)(

)(

dIEAE

ddAEEEE

ddAd

uddud

Ed

udd

ud

dV

dVW

e

e e

e e

e

e

Lffaa

L Affaffaaa

L A

V

V

Te

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

+=

+−−=

−

−=

=

=

εδεδεδε

εεδεεδεδεεδε

δδ

σεδ

σεδδ

(4.14)

é o trabalho interno de deformação virtual realizado durante as extensões virtuais

1δε . O

termo ( ) 1

)(

dEAeL

aa∫ εδε (4.15a)

representa a rigidez extensional do elemento e o termo, ( ) 1

)(3

dEIeL

ff∫ εεδ (4.15b)

representa a rigidez à flexão do elemento. Os termos da direita da igualdade (4.13),

pT

LL

T

VV

T QUdLQUdVQUee

δ+δ+δ ∫∫)()(

(4.16)

traduzem o trabalho externo realizado durante os deslocamentos virtuais Uδ , em que


Joaquim Barros 4.7

=

02

1

x

x

Vgg

Q ρρ

, (4.17)

sendo ρ a massa por unidade de volume do material que constitui o elemento e

1xg , 2xg a

aceleração da gravidade segundo os eixos x1 e x2 do referencial global (ver Figura 4.4).

2l

x 1g

g2x

32

1

(1) (3)

(2)

3ll1

2l

l 3l 2l1

(x )3

2x

4

3l

l1

x 1

Figura 4.4 – Componentes da aceleração da gravidade em pórticos planos.

Por sua vez

=

3

2

1

mff

QL

(4.18)

é o vector das forças generalizadas distribuídas por unidade de comprimento em barras, sendo

1f e

2f as forças distribuídas por unidade de comprimento segundo os eixos 1 e 2 , e

3m

o momento distribuído por unidade de comprimento em torno do eixo 3 (ver Figura 4.5).

lm3

f l2

1f l

4

32

1

(1) (3)

(2)

3l

2l

l13l

l1

2l

l 3l 2l1

(x )3

x 1

2x

Figura 4.5 – Forças distribuídas por unidade de comprimento.


Joaquim Barros 4.8

O vector

Px

x

x

p

MFF

Q

=

3

2

1

(4.19)

representa as forças generalizadas aplicadas num ponto P, sendo

1xF e 2xF as forças segundo

os eixos x1 e x2, e 3xM é o momento segundo x3 (Figura 4.6).

x 2

3(x )

(2)

(1)

1

2

1x4

(3)

32 xF1

B x1F B

A

2A xF23 xF

33 xM

M C x3C

Figura 4.6 – Forças generalizadas aplicadas em pontos da estrutura.

4.2.5 - Discretização em elementos finitos de dois nós Analisando as parcelas da expressão (4.14) dos trabalhos virtuais verifica-se que o trabalho interno de deformação é a adição do trabalho por deformação axial

( )

( )∫

eL

ddud

EAd

ud1

11

11δ

(4.20)

tratado nos capítulos anteriores, com o trabalho por flexão,

( )

( )∫

eL

dd

udEI

dud

121

2

21

222

δ. (4.21)

O comportamento por deformação axial é simulado pela formulação descrita nos capítulos anteriores, enquanto o comportamento à flexão será apresentado numa próxima secção. Na parcela de trabalho interno por deformação de flexão, (4.21), existem segundas derivadas da flecha

2u . Por este facto, deve-se utilizar elementos de continuidade de classe C1 de forma

a garantir-se quer a continuidade dos deslocamentos quer da sua derivada (ver secções 3.2 e 3.6.3).


Joaquim Barros 4.9

O elemento de viga mais simples de classe C1 é o dois nós representado na figura 4.7

2l

1l1 2 3 4 i j

i j

u i l2 2j lu

3i lθ = 2i ldudl1 1dl

duθ =

3

2j lj l

L(e)

Numeração

Local Global

1, 2 i, j

2l 1u 2l iu

1

l 1

dldu

2 1

l i

dldu

2

2l 2u 2l ju

1

l 2

dldu

2 1

l j

dldu

2

i j

l = 0i 1 l = Lj 1

1l

(e)

-1 +1

1s

1 N 11f (s )1

1(s )f12N

45º

1(s )f21N 1

22 45ºN f (s )

Figura 4.7 - Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dois nós. Graus de liberdade e funções de forma hermitícas na simulação do comportamento à flexão. A continuidade das primeiras derivadas obriga a tomar como grau de liberdade a rotação,

12ddu . Assim, cada nó genérico i tem dois graus de liberdade

2iu e 12ddui , pelo que,

cada elemento tem quatro graus de liberdade. Desta forma, o campo de deslocamentos, 2

u , fica perfeitamente definido pela função cúbica seguinte,


Joaquim Barros 4.10

314

2131211)(

2ssssu α+α+α+α= (4.22a)

ou

[ ]

αααα

=

4

3

2

1

31

2111 1)(

2ssssu (4.22b)

ou ainda α= Ssu )( 12

. (4.22c) Derivando (422a) obtém-se,

214132

1

322 ssds

duααα ++= . (4.23)

Na secção 3.3 verificou-se que no caso de um elemento de dois nós ou de um elemento de três nós, com nó intermédio ao centro,

1

11

2dsLdsJdx

=

=. (4.24)

Além disto, verificou-se ainda que

1

1

1

1

1

1

dsdx

dxdu

dsdu

= . (4.25)

Substituindo (4.24) em (4.25) e passando u1 para

2u e x1 para 1 obtém-se,

1

1

1

11

2

22

2 dduL

dsd

ddu

dsdu

=

=. (4.26)

As constantes αi de (4.22) calculam-se substituindo em (4.22) e (4.23) os valores de

2u e de

12dsdu nos nós do elemento, resultando:


Joaquim Barros 4.11

24322

1

2

11

34

232121

24321

1

1

11

34

232111

)1(3)1(222

)1()1()1()1(

)1(3)1(222

)1()1()1()1(

3

2

1

2

22

3

2

1

2

22

++++===

++++++==+=

−+−+===

−+−+−+==−=

+=

−=

αααθ

αααα

αααθ

αααα

Ld

duLds

du

usu

Ld

duLds

du

usu

s

s (4.27a)

ou

αααα

−

−−

=

θ

θ

4

3

2

1

2

2

1

1

3210111132101111

2

2

3

2

3

2

Lu

Lu

(4.27b)

ou ainda

αCUe

f =)(ˆ (4.27c)

em que )(ˆ e

fU é um vector que inclui os graus de liberdade de flexão do elemento. De (4.27c) resulta,

)(1 ˆ e

fUC −=α (4.28a) em que,

−

−

−−−

−

=−

4/14/14/14/1

4/104/10

4/14/34/14/3

4/12/14/12/1

1C . (4.28b)

Substituindo (4.28a) em (4.22c) obtém-se,


Joaquim Barros 4.12

[ ]

++−−−+

+−−+−=

−

−

−−−

−

=

= −

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

1

1

31

211

311

31

211

311

2

2

1

1

31

211

)(11

41

41

41

41

241

43

21

41

41

41

41

241

43

21

2

2

4/14/14/14/1

4/104/10

4/14/34/14/3

4/12/14/12/1

1

ˆ)(

θ

θ

θ

θ

u

u

sssLsssssLss

Lu

Lu

sss

UCSsue

f

(4.29a)

ou

( )

=

3

2

3

2

2

2

2

1

1

222112111 22θ

θu

u

NLNNLNsuffff (4.29b)

ou ainda [ ]( ) )(

2

ef

ef UNu = (4.29c) em que [ ]( )efN é a matriz das funções de forma do elemento de viga de dois nós, representadas na Figura 4.7, e designadas de funções de forma Hermitianas (ou do elemento de viga Hermítico de dois nós). As componentes de [ ]( )efN definem-se por intermédio das relações seguintes,

++−−==

−+=

+−−==

+−=

)1(41

22

)32(41

1(41

22

)32(41

31

2112222

31121

31

2111212

31111

sssLNLN

ssN

sssLNLN

ssN

ff

f

ff

f

(4.30)

sendo f

ijN a função de forma correspondente ao grau de liberdade j do nó i, relativa ao campo de deformação por flexão. Repare-se que a derivada de f

iN 1 com i=1,2 é nula no nó i, que fiN 1 com i=1,2 tem valor

unitário no nó i e nulo no outro nó, que fiN 2 com i=1,2 tem valor nulo no nó i e que a


Joaquim Barros 4.13

derivada de fiN 2 com i=1,2 tem valor unitário em i e nulo no outro nó (acompanhar esta

exposição analisando a forma as funções representadas na Figura 4.7). A inclinação do eixo da viga obtém-se derivando (4.29),

++−−

+−−+−=

==

12

2

11

1

211

21

211

21

11

1

11

/

/43

21

41

243

43

43

21

41

243

432

2

2

2

2

2

222

dduu

dduu

ssLsssLsL

Ldsdu

dds

dsdu

ddu

.(4.31)

Por sua vez, a curvatura da viga obtém-se derivando (4.31) resultando,

[ ]( )

+−

+−=

=

=

=

+

=

=

=

12

2

11

1

11112

)(21

2

2

21

2

2

2

1

121

2

1

1

1

1

11

1

1

1

1

11

1

1

1121

2

/

/23

21

223

23

21

2234

4

4

0

2

2

2

2

2

2

2

2

22

dduu

dduu

sLssLsL

UdsNd

L

dsud

L

dds

dsud

dds

dds

dsdu

dsd

dds

dds

dsdu

dsd

dds

ddu

dsd

dud

ef

ef

(4.32)

pelo que


Joaquim Barros 4.14

( ) ( )

( )

)(112112

21

222

221

212

221

122

221

112

2

21

2

316316

4444

2

ef

ef

ffff

ef

ef

f

UsLL

sL

sLL

sL

UdsNd

LdsNd

LdsNd

LdsNd

L

UB

dud

+−+−=

=

=

=

= χε

(4.33)

em que ( )e

fB é a matriz de deformação por flexão do elemento. Para se incluir o trabalho por deformação axial verifique-se que, ( ) )(ee

aa UB=ε (4.34) em que

( ) [ ]

−=

=

=

001001

002002

0000

1

2

1

1

21

LL

dsdN

LdsdN

L

BBBaa

aae

a

(4.35)

é a matriz de deformação axial, em que aN1 e aN 2 são as funções de forma nos nós 1 e 2, representadas em (3.10). Por sua vez a extensão por flexão pode ser obtida por intermédio da seguinte relação ( ) )(ee

ff UB=ε (4.36)

( )

+−+−= 112112

31603160 sLL

sL

sLL

sL

B ef (4.37)

é a matriz de deformação por flexão e

=

1

222

1

111

)( 2

21

2

21 ddu

uud

duuuU e (4.38)

são os graus de liberdade do elemento de dois nós. Substituindo (4.34) e (4.36) em (4.14) resulta,

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )∫+

−+=

1

1

)(1

)()(int 23

eef

Tef

ea

Tea

ee UdsLBEIBBEABUWT

δδ (4.39)


Joaquim Barros 4.15

pelo que a matriz de rigidez do elemento fica

( )

( )

)(

22

2323

22

2323

1

1

1

1111211112

112214112

214

22

11121

2

1121

112214112

214

22

1112112

1

12

1

12

1

1

)(

3333

3333

3333

3333

3

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

3131316031313160

316360316360

0000

31316310316310

316360316360

0000

2

231603160

31

60

31

60

001001

00

100

1

e

e

e

e

U

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

Uds

sLL

sLL

sLL

sL

sLL

sLL

sLL

sL

sLL

sL

sL

sLL

sL

sL

LEA

LEA

sLL

sLL

sL

sLL

sLL

sL

sLL

sLL

sL

sL

sLL

sL

sL

LEA

LEA

L

udsLsLL

sL

sLL

sL

EI

sLL

sL

sLL

sL

LLEA

L

L

k

−

−−−

−

−

−

−

=

+

+

+−

+−

+

+

+−

+−−−

−

+−

+

−

+−

+−

+−

+−

+−

−

=

+−+−

+

−

+−+

+

−

−

=

∫

∫

+

−

+

−

.(4.40)

Por sua vez, as parcelas afectas ao trabalho virtual das forças exteriores fica,

( )[ ] ( )[ ]

++=

++=

∫∫

∫∫+

−

+

−PL

Te

V

Tee

P

e

LL

T

LV

Teext

QdsLQNdsLAQNU

QUdQUdAQUW

T

T

ee

1

11

1

11

)(

)(11

)(

22

)()(

δ

δδδδ

(4.41)

em que


Joaquim Barros 4.16

( )[ ]

=

ff

ff

a

ff

ff

a

Te

NNNN

NNNNN

N

N

'2222

'2121

2

'1212

'1111

1

00

0000

00

(4.42)

é a matriz das funções de forma correspondentes à deformação axial e de flexão. Em (4.42)

fN ' são as derivadas de fN , estabelecidas em (4.31) Constata-se que a matriz de rigidez deduzida no passo anterior é igual à determinada na convencional teoria das estruturas. Isto deve-se ao facto da expressão polinomial da flecha no elemento hermítico de dois nós (equação (4.29)) coincidir com a que se obtém integrando a equação diferencial de equilíbrio de uma viga submetida a forças nos nós. O exemplo seguinte pretende esclarecer este ponto. 4.2.6 – Exemplos de aplicação

Exemplo 1 Obter a equação do campo de deslocamentos de um elemento de viga por integração da equação diferencial de equilíbrio. Resolução Na Figura 4.8 representa-se o equilíbrio de um elemento de viga. As equações de equilíbrio no elemento de viga de comprimento 1d são,

2

3

3

2

2

1

1

0

00

Vd

dMM

ddV

F

B −=∴=

=∴=

∑

∑ (4.43)

pelo que

021

23 =

dMd

. (4.44a)

Substituindo (4.10b) em (4.44a) e tendo em atenção (4.12) obtém-se,

041

4

21

2

21

2

21

22

3

2

3

3 ==

=

dud

EId

udEI

dd

dMd

. (4.44b)


Joaquim Barros 4.17

ji

l 2

l 13(l )

(e) 21

1

i

2

j

(e)

21 lu

θ1 l3

u2 l2

2 l3θ

(e)L

d l1

BA

(e)

1ld

Vl2 2V + l

3Ml M +3l+

l 2dVdl1 1dl

3ldM1dl

Figura 4.8 – Elemento de viga.

A solução para esta equação é um polinómio cúbico em 1 . ( ) 3

1421312112

aaaau +++= (4.45) em que as constantes ia são obtidas por intermédio das condições fronteira:

( )

( )

( )3

)(1

2

22

3

1

2

22

21

2)(

1

101

1)(

1

)(

)0(

θ

θ

=

===

=

==

==

=

LL

ee

e

ee

e

ddu

uLLu

ddu

uu

(4.46)

resultando o seguinte sistema de equações:


Joaquim Barros 4.18

=

=

=

4

3

2

1

2

32

1

22

2

1

11

1

32101

00100001

2

3

2

2

3

2

aaaa

LLLLL

ddu

ud

duu

θ

θ. (4.47)

Resolvendo este sistema de equações obtém-se as constantes ia , que substituídas em (4.45) resulta,

1

214213

1

1121111

2

2

2

22)()()()()(

ddu

fufd

dufufu +++= (4.48)

em que

2

31

31

14

31

21

13

2

31

21

112

31

21

11

2)(

23)(

2)(

231)(

LLf

LLf

LLf

LLf

+

−−=

−

=

+

−=

+

−=

. (4.49)

Transformando (4.49) em coordenadas normalizadas verifica-se que estas funções coincidem com as funções de forma do elemento de viga Hermítico de dois nós (equações (4.30)).

Exemplo 2 Calcular os deslocamentos e as reacções da viga da figura 4.9 utilizando um elemento de viga hermítico de dois nós.

L

1l

2l , u l2

3(l , θ )l3

f l2

f Ll2

2

122lf L2

12

2f Ll22lf L

2 Figura 4.9 – Consola submetida a carga uniformemente distribuída.


Joaquim Barros 4.19

Resolução Na figura 4.9 representa-se as forças nodais equivalentes à carga,

2f , uniformemente

distribuída na viga. O sistema de equações de equilíbrio da viga é o seguinte,

−

+−

+−

=

−−−−

−−

12

2

12

2

4626612612

2646612612

2

1

2

1

1

2

2

1

1

1

22

22

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

1

3

Lf

Lf

MLf

VLf

dduud

duu

LLLLLL

LLLLLL

LEI

. (4.50)

Como

01

11

2

2==

ddu

u , (4.51)

da resolução de (4.50) resulta

22

3

22

3

2

2 2;;

6;

8

2

3121

3

1

24

2 fLMLfVEI

Lfd

duEI

Lfu ==−=−= . (4.52)

Substituindo em (4.29b) obtém-se

)274(96

6)1(

41

28)32(

41

2)(

31

211

4

331

211

4311

1

2222211

3

2

3

2

3

2

2

22

sssEILf

EILf

sssLEI

Lfss

ddu

NLuNsu

l

ff

−++−=

−++−−+

−−+=

+=

. (4.53)

Verificar que para s1= -1, 02

=u , e para s1= 1, 3

2

2 8

4

EILf

u −= , pelo que os deslocamentos

nos nós coincidem com os obtidos com a solução exacta. Contudo, no interior do elemento a flecha não é igual à exacta, dado que a flecha exacta traduz-se por um polinómio de quarto grau, enquanto a prevista pelo MEF determina-se por intermédio de um polinómio de terceiro grau. No que se refere aos momentos flectores tem-se


Joaquim Barros 4.20

( )

−=

−

−

+−+−−=

−=−=−=

1

22

3

4

112112

21

2

46

6

8

00

316316

2

3

2

3

2

3

3

2

333

sLLf

EILf

EILf

sLL

sL

sLL

sL

EI

uBEId

udEIEIM e

ffχ

. (4.54)

Verificar que para s1= -1, L f125 2

23=M e para s1= 1, L f

121 2

23−=M . Assim, o

diagrama de momentos representa-se por uma recta enquanto a solução exacta traduz-se por uma equação do segundo grau,

21)(

22

3−= L

fM .

A solução exacta e a prevista pelo MEF são comparadas na Figura 4.10.

1l

2l

f l 2

L

1s = -1/√3 s = +1/√31s1

+

2lf L2

2

12

25f Ll 2

2lf L2

12

solução exacta:

MEF:

Figura 4.10 – Diagramas do momento flector obtido de forma exacta e segundo o MEF.

Verifica-se que ambas as soluções somente são iguais em 311 −=s e 312 =s , que coincidem com os pontos de Gauss correspondentes à quadratura de Gauss-Legendre de um polinómio de segundo ou terceiro grau.


Joaquim Barros 4.21

4.2.7 – Exercícios resolvidos Exercício nº 1 Discretize com dois elementos de dois nós a barra representada na Figura er_4.1. Utilizando a teoria de Euler-Bernoulli calcule: a) A matriz de rigidez da estrutura; b) O vector solicitação da estrutura; c) Os deslocamentos e as reacções; d) Os momentos nos pontos nodais; e) Constate que os momentos são exactos somente nos pontos de Gauss, s1 = 3

1± . Dados: Ec = 30 Gpa, secção com 0.3 m de largura e 0.5 m de altura.

(l , θ )

l , u

3l3

50kN/m2l2

4m

1 l1l , u

S

S

S-S

0.3m

0.5m

Figura er_4.1 – Viga a ser analisada segundo a teoria de Euler-Bernoulli.

Resolução A Figura er_4.2 representa a discretização da viga com dois elementos de dois nós.

1 2 3

(1) (2)

2m 2m

Figura er_4.2 – Viga discretizada com dois elementos de dois nós a) Cálculo da matriz de rigidez da estrutura • Matriz de rigidez de cada elemento

−

−−−

−

−

=

22

22)()(

4626

612612

2646

612612

)( 3

LLLL

LL

LLLL

LL

K eLEIe ( L(e) = 2 m )


Joaquim Barros 4.22

Efectuando o espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos, na matriz de rigidez da estrutura obtém-se,

−−−−

−−−−

−−

=

−−−−

−−−−

−−

=

1612812001212121200812320812

121202412120081216120012121212

11719

462600612121200

26802661202461200264600612612

22

222

22

)(3

LLLLL

LLLLLLL

LLLLLL

KLEIE

Vectores dos deslocamentos dos nós da estrutura: sendo

321u1 l2 u 2 l2 u3 l2

1dldu1 l2

1dldu 2 l2 3 l2

dudl1

Figura er_4.3 – Graus de liberdade.

=

=

3

2

1

21

2

1

11

1θ

uuu

ddu

=

=

3

2

1

22

2

2

22

2θ

uuu

ddu

=

=

3

2

1

23

2

3

33

3θ

uuu

ddu

os graus de liberdade dos nós 1, 2 e 3, respectivamente. b) Cálculo do vector solicitação da estrutura • Vector solicitação de cada elemento

(l )

l

3

50kN/m2

l1

2m

• M= 12

2pl e R= 2pl


Joaquim Barros 4.23

NOTA: O cálculo resulta da aplicação:

1)(

1

1111

)2()1()( )()()(

JdsqsNdqNQQQ eT

L

Te

e∫∫−

====

em que

−=

=

050

3

2)(

mf

q e

é o vector das forças distribuídas no elemento e

=

ff

ff

ff

ff

T

NNNNNNNN

N

'2222

'2121

'1212

'1111

é a matriz das funções de forma do elemento de viga de dois nós de Euler-Bernoulli. Assim,

−−

−

=

67.1650

67.1650

)1(Q

−−

−

=

67.1650

67.1650

)2(Q .

Efectuando o espalhamento dos vectores solicitação do elemento no vector solicitação da estrutura obtém-se,

−

−−

−

=

67.16500100

67.1650

)( EQ

c) Cálculo dos deslocamentos:

RQUK EEE += )()()(


Joaquim Barros 4.24

+−

−

−

+−

=

−

−−−

−

−−−

−

−

67.16

50

0

100

67.16

50

0

0

161281200

1212121200

812320812

12120241212

008121612

0012121212

11719

2

1

3

2

2

1

3

3

2

3

R

R

u

θ

θ

θ

Para simplificar o cálculo,

)()()()( Ef

Ef

EE UKQUK −=

−

−

=

−

−

67.16

0

100

67.16

168120

83208

1202412

081216

11719

33

2

2

1

3

2

3

θ

θ

θ

u.

Resolvendo este sistema de equações de equilíbrio obtém-se,

=

=

−=

−=

rad

rad

mu

rad

0014225.0

0

0017775.0

0014225.0

3

3

2

3

3

2

2

1

θ

θ

θ

d) Cálculo dos momentos nos pontos nodais

21

22

ddu

EIM −=

⇔+++=

32322 2222211121111)1( )( θθ ffff NuNNuNsu

232 2211121)1( )( uNNsu ff += θ

• 221

212

321

122

21

22

21 ud

Ndd

Ndd

du ff

+= θ

• ( ) ( )123

21

123

21

2422

1

122

ssLLd

Nd f

+−=+−=

• ( ) 123

1234

221

212

ssLd

Ndf

−=−=


Joaquim Barros 4.25

( )( ) ( )

−−−+−= 0017775.01230014225.012

321)( 1 ssEIsM

Pontos nodais:

e) Constatar que os momentos são exactos somente nos pontos de Gauss, s1 = 3

1±

=⇒=

=⇒−=

mKNMs

mKNMs

/50.95

/86.37

3

11

3

11

4.2.8 – Exercícios para resolver 1 - Na Figura epr_4.1 representa-se um elemento de viga de Euler-Bernoulli de três nós. Deduza as funções de forma deste elemento, em coordenadas normalizadas, s1 .

==

321

s1-1 +1 Figura epr_4.1

2 – Deduza o vector das forças nodais equivalentes de um elemento de viga de dois nós de Euler-Bernoulli sujeito a momentos uniformemente distribuídos segundo o eixo 3 (ver Figura epr_4.2).

1 2

m [FL-1]

1s1

2

( )3L

Figura epr_4.2

3 - a) Determine as forças nodais no nó 2, equivalentes à acção que actua no elemento finito de dois nós de Euler-Bernoulli representado na Figura epr_4.3. b) Como procederia se a viga fosse de secção variável.

5.00 m

50 kN/m

1 2

Figura epr_4.3

=⇒+==⇒==⇒−=

mKNMsmKNMsmKNMs

/6.1161/68.660/75.161

1

1

1


Joaquim Barros 4.26

4.3 - Elemento de viga de Timoshenko A teoria de Timoshenko considera as duas primeiras hipóteses da teoria de Euler-Bernoulli mais a seguinte:

iii) Secções transversais planas e ortogonais ao eixo da viga indeformada permanecem planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo da viga ( ver Figura 4.11).

Esta hipótese representa uma maior aproximação à deformação real de vigas de altura considerável. À medida que a relação vão/altura da secção diminui as secções transversais deixam de se conservar planas após a deformação.

4.3.1 - Campo de deslocamentos Os deslocamentos de um ponto qualquer da viga obtêm-se por intermédio das seguintes expressões ( ver Figura 4.11)

0),,(

)0,0,(),,(

)0,0,()0,0,(),,(

321

321321

3212321321

3

22

311

=

===

==−===

u

uu

uu θ

(4.55)

em que

1u e

2u são os deslocamentos de um ponto do eixo da viga.

l , u1 l11lu

l , u2l2

(l , θ )3l3

θl 3

φ3l

l θ3l2

2l

Figura 4.11 – Deslocamentos num elemento de Timoshenko.

4.3.2 - Campo de extensões Devido à hipótese iii) desenvolvem-se extensões de corte na secção transversal da viga. Assim, o vector das extensões é constituído por duas componentes,


Joaquim Barros 4.27

+=

γε

=ε

21

1

12

1

21

1

ddu

ddu

ddu

. (4.56)

Derivando o campo de deslocamentos e substituindo em ( 4.56) obtém-se

+

=

−+

−=

0

01

2

1

13

3

2

1

f

c

a

dd

dud

dud

εεε

θ

θε

(4.57)

em que

1

1

dud

a =ε (4.58a)

é a extensão por deformação axial,

χεθ

ε 221

23 −=−=−= ff d

d (4.58b)

é a extensão por deformação de flexão e

3

2

1

θε −=dud

c (4.58c)

é a extensão por deformação de corte. Na figura 4.12 representa-se a deformação de um elemento de viga de Timoshenko. Constata-se que

1

2

33 dud

−= θφ (4.59)

é o angulo médio devido à deformação por corte.


Joaquim Barros 4.28

l , u1lu

l , u2l2

(l , θ )3l3

θl 3

φ3l

1 l1

2ldudl1

12l

dldu

Deformação admitida

Deformação real

Figura 4.12 – Deformação por corte.

4.3.3 - Tensões O vector das tensões é composto por duas componentes, [ ]Tcaf σσσ = (4.60) em que

1σ=σaf (4.61a)

é a tensão devida à deformação axial mais a deformação por flexão e

21τσ =c (4.61b)

é a tensão de corte que actua na secção transversal da viga (plano 32 ).

4.3.4 - Lei constitutiva O vector das tensões ( 4.60) relaciona-se com o vector das extensões (4.57) por intermédio da seguinte lei constitutiva,

εε

=

σσ

=σc

af

c

af

GE0

0 (4.62a)


Joaquim Barros 4.29

ou

γε

=

τσ

=σ21

1

21

1

00G

E. (4.62b)

Se em (4.62b) a tensão

1σ e a extensão

1ε forem decompostas nas componentes devidas a

deformação axial e deformação por flexão obtém-se,

=

=

=

c

f

a

c

f

a

c

f

a

GEE

GE

E

εεε

εεε

σσσ

σ00

0000

'

(4.63)

pelo que

−=

−=−=

=

3

2

1

1

22

1

θσ

χεσ

σ

dud

G

EEdud

E

c

ff

a

. (4.64)

4.3.5 - Esforços Os esforços obtêm-se por integração das tensões na secção transversal da viga,

dbd

dbdVMN

b

h

h

c

f

a

b

h

h

∫ ∫

∫ ∫

−

−

−=

−=

=

2

2/

2/ 2

2

2/

2/ 2'

21

1

1

2

3

1

τσ

σ

τσ

σσ

. (4.65)

Substituindo (4.63) em (4.65) e tendo em conta (4.58b) obtém-se,


Joaquim Barros 4.30

( )

=

=

−=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

−

−

−

c

f

a

cb

h

h

fb

h

h

ab

h

h

b

h

h

c

f

Gbh

EhbEhb

Gdbd

Edbd

Edbd

dbdG

EE

a

ε

ε

ε

ε

ε

ε

εε

εσ

*

3

2/

2/ 2

2

2/

2/

22

2/

2/ 2

2

2/

2/ 2

12

. (4.66)

Assim,

=

=

c

f

a

AGEIEA

VMN

εεε

σ*

2

3

2

3

1

(4.67)

em que ( ) AhbA α== **

2. (4.68)

é a área reduzida de corte e α é um factor correctivo introduzido de forma a que o trabalho por deformação de corte, admitindo tensões e distorções constantes na secção transversal, seja igual ao trabalho real. Note-se que a distribuição real de tensões e extensões de corte numa secção rectangular não é constante, sendo parabólica para materiais isotrópicos. No anexo A1 deduz-se a expressão que determina o factor correctivo de corte. Na Figura 4.13 apresenta-se valores de α para algumas secções.

C=b/a

α=6/(7+20K )

K=C/(1+C )

2a

α =5/6 α =6/7

l 32b h t

2

2

α =0.69α =0.32

t

l2

l3

l 2

Figura 4.13 - Factor correctivo de corte para várias secções transversais.


Joaquim Barros 4.31

Na figura (4.14a) e (4.14b) representam-se as tensões e os esforços que se podem desenvolver num elemento de viga de Timoshenko.

aσ fσ

= +

fσaσ

lN 1 Ml3

l2

1l3(l )

(l )3

l2

l1

τ l l1 2 l l1 2τ

Distribuiçãoaproximada

Distribuiçãoreal

(l )3

l2

l1 3lM1Nl Vl2 2lV

Distribuiçãoaproximada

Distribuiçãoreal

Momentoflector

Esforçoaxial

Esforçode corte

Figura 4.14 -Tensões (a) e esforços (b) num elemento de viga de Timoshenko

4.3.6 - Expressão do princípio dos trabalhos virtuais A expressão do trabalho virtual é igual à estabelecida em (4.13). Substituindo as expressões (4.57) e (4.62) na parcela do trabalho interno de deformação virtual obtém-se,


Joaquim Barros 4.32

[ ]

( )∫

∫

∫

∫

++++=

++=

+

+=

=

)(

)(

)(

)(

00

)(int

e

e

e

e

Vc

Tcf

Tfa

Tff

Taa

Ta

c

fa

V

Tc

Tf

Ta

V c

faT

c

fa

V

Te

dVGEEEE

dVG

EE

dVG

E

dVW

εδεεδεεδεεδεεδε

εεε

δεδεδε

εεε

δεδεδε

σεδδ

. (4.69)

Convertendo o integral de volume em integral de linha, tendo em atenção a relação (4.58b) e resolvendo o integral de área resulta, ( )∫ ++=

)(23 1

*)(int

eLc

Tcf

Tfa

Ta

e dAGIEAEW εδεεεδεδεδ . (4.70a)

Substituindo (4.58) na anterior expressão,

( ) ∫

−

−++=

)(3

2

23

23

3

3111

1

*

11111int

eL

e ddud

GAd

uddd

EId

ddud

EAd

udW θδθ

δθδθδδ . (4.70b)

Note-se que em (4.69) são nulas as parcelas seguintes,

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

=

−=

=

−=

−

−

)( )(

13

)( )(

31

0

0

1

2/

2/ 211

2

1

2/

2/ 211

2

e e

e e

V L

h

haf

V L

h

hfTa

ddbdud

Ed

ddVE

ddbdd

Ed

uddVE

δθεδε

θδεδε

. (4.71)

Em (4.70) a parcela

∫∫ =)()(

1111

11 ee La

Ta

L

dAEddud

EAd

udεδε

δ. (4.72a)

representa o trabalho por deformação axial, a parcela

∫ ∫=

)( )(3

3

3

311

11e eL Lf

Tf dIEd

dd

EId

dεεδ

θδθ. (4.72b)

traduz o trabalho por deformação de flexão e a parcela

∫∫ =

−

−

)(2

)(3

2

23

21

*1

1

*

1 ee Lc

Tc

L

dAGddud

AGd

udεδεθδθ

δ . (4.72c)

representa o trabalho por deformação de corte.


Joaquim Barros 4.33

4.3.7 - Elemento finito de dois nós. 4.3.7.1 - Deslocamentos Contrariamente ao elemento finito de dois nós utilizado na teoria de Euler-Bernoulli, no elemento finito de dois nós da teoria de Timoshenko os campos de deslocamentos associados aos três graus de liberdade

1u ,

2u e

3θ são independentes e de continuidade C0. Assim,

cada grau de liberdade pode ser interpolado com as mesmas funções de forma, pelo que

333

222

111

2121111

2121111

2121111

)()()(

)()()(

)()()(

θθθ sNsNs

usNusNsu

usNusNsu

+=

+=

+=

. (4.73)

em que )( 11 sN e )( 12 sN são as funções de forma do elemento de dois nós (ver Figura 4.15) definidas em (3.10 ) e

jiu é o deslocamento do nó i segundo o eixo j e 3iθ é a rotação do

nó i segundo o eixo 3 .

2 l 3θ θ 1 l 3

u2 l 221 lu

ji

l , u2 2

3(θ , u )3 1l , u1

21

1 l1u

12 lu21

21

N (s ) = 1/2(1-s )1 1 1

1 12N (s ) = 1/2(1+s )

Figura 4.15 - Elemento de viga de Timoshenko.

Em forma matricial (4.73) fica,

( ) )(

32

22

12

31

21

11

21

21

21

1

000000000000

)(

3

2

1

ee UN

uu

uu

NNNN

NNsu

u

=

=

θ

θ

θ (4.74)


Joaquim Barros 4.34

em que ( )eN é a matriz das funções de forma do elemento.

4.3.7.2 - Matrizes de deformação A extensão axial definida em (4.58a) pode ser reescrita da forma seguinte (ver (3.30))

1

11

1

1

1

11

2dsud

L

dsud

dds

dud

a

=

==ε. (4.75)

Tendo em conta (4.74), a extensão axial passa a determinar-se pela seguinte relação,

( )

( ) )(

32

22

12

31

21

11

1

2

1

11 002002

eea

a

UB

uu

uu

dsdN

LdsdN

Ls

=

=

θ

θε

(4.76)

em que (ver (3.21))

( )

−=

=

001001

002002

1

2

1

1

LL

dsdN

LdsdN

LB e

a

(4.77)

é a matriz de deformação axial. Por sua vez, a curvatura do eixo da viga,

1

11

1

1

3

33

2ds

dL

dsd

dds

dd

f

θ

θθεχ

=

===. (4.78)

Tendo em conta (4.74) resulta


Joaquim Barros 4.35

( )

( ) )(

32

22

12

31

21

11

1

2

1

11

200200

eef

f

UB

uu

uu

dsdN

LdsdN

Ls

=

=

θ

θε

(4.79)

em que

( )

−=

=

LL

dsdN

LdsdN

LB e

f

100100

2002001

2

1

1

(4.80)

é a matriz de deformação por flexão. Finalmente, a deformação por corte fica,

3

2

3

2

3

2

1

11

1

1

2 θ

θ

θε

−=

−=

−=

dud

L

dsud

dds

dud

c

. (4.81)

Tendo em conta (4.74) resulta

( )

( ) )(

32

22

12

31

21

11

21

21

1

11

2020

eec

c

UB

uu

uu

NdsdN

LN

dsdN

Ls

=

−−=

θ

θε

(4.82)

em que


Joaquim Barros 4.36

( )

( ) ( )

+−−−−=

−−=

11

21

21

1

1

121101

2110

2020

sL

sL

NdsdN

LN

dsdN

LB e

c

(4.83)

é a matriz de deformação por corte.

4.3.7.3 - Matriz de rigidez Substituindo (4.76), (4.79) e (4.82) em (4.70a) resulta, [ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )∫ ++=

)(23 1

)(*)()(int

eL

eec

Tec

ef

Tef

ea

Tea

Tee dUBAGBBIEBBAEBUW δδ (4.84)

em que ( )[ ] ( )∫=

)(1

)(

eL

ea

Tea

ea dBAEBk , (4.85a)

( )[ ] ( )∫=

)(3 1

)(

eL

ef

Tef

ef dBIEBK , (4.85b)

e ( )[ ] ( )∫=

)(2 1

*)(

eL

ec

Tec

ec dBAGBk (4.85c)

são as matrizes de rigidez relativas à deformação axial, flexão e corte, respectivamente, pelo que, )()()()( e

cef

ee kkkk a ++= . (4.86) Efectuando os produtos matriciais nas expressões (4.85) e resolvendo os integrais obtém-se,

−

−

=

000000000000001001000000000000001001

)()(

ee

a LEAk , (4.87a)


Joaquim Barros 4.37

−

−

=

100100000000000000100100

000000000000

)()( 3

ee

LEI

k f , (4.87b)

e

−

−−−

−

−

=

320

620

210

210

00000062

032

0

210

210

000000

22

22)(*

)( 2

LLLL

LL

LLLL

LL

LGA

ke

ec . (4.87c)

Somando (4.87a) com (4.87b) e com (4.87c) resulta,

+−+−

−−−

−

+−−+

−

−

=

320

620

20

20

000062

032

0

20

20

0000

****

****

****

****

)(

232232

2222

232232

2222

LGAL

EIGALGAL

EIGA

GAL

GAGAL

GAL

EAL

EA

LGAL

EIGALGAL

EIGA

GAL

GAGAL

GAL

EAL

EA

k e . (4.88)

Se a matriz ( )eB agregar as submatrizes ( )e

aB , ( )efB e ( )e

cB , ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Te

cef

ea

e BBBB = (4.89) e a matriz constitutiva incluir as submatrizes associadas à deformação axial ( EADa = ), à deformação de flexão (

3EIDf = ) e à deformação de corte ( *

2GADc = ),


Joaquim Barros 4.38

=

=

*2

3

000000

000000

GAEI

EA

DD

DD

c

f

a

, (4.90)

então a matriz de rigidez de um elemento pode ser obtida por intermédio da seguinte relação,

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )∫

∫+

−=

=

1

1 1

1)(

2

)(

dsLBDB

dBDBk

eTe

L

eTee

e

. (4.91)

4. 3.8 - Efeito de "Locking" Os integrandos de todos os termos da matriz de rigidez associada à deformação axial, aK , são polinómios de grau nulo. Por exemplo, a força necessária para aplicar um deslocamento unitário segundo o primeiro grau de liberdade da barra, quando os restantes são nulos, obtém-se de,

∫

∫+

−

+

−

=

=

1

1 1

1

1 1

2

21111

dsL

EA

dsLBAEBk aaa

(4.92)

em que o valor de

1aB foi retirado de (4.77). O mesmo acontece com a matriz de rigidez associada a deformação de flexão, dado que, por exemplo,

∫

∫+

−

+

−

=

=

1

1 1

1

1 1

2

2

3

33333

dsL

EI

dsLBIEBk fff

. (4.93)

Contudo, no cálculo da matriz de rigidez associada a deformação de corte, ck , surgem coeficientes cujos integrandos são polinómios de segundo grau. É exemplo disto o coeficiente

33ck ,

∫

∫+

−

+

−

−=

=

1

1 12

1

*

1

1 1*

)1(41

2

2

2

32333

dssAGL

dsLBAGBk ccc

. (4.94)

Assim, a aplicação da integração Numérica de Gauss-Legendre no cálculo de ( )ek requer 1 ponto de Gauss (PG) para determinar ( )e

ak e ( )efk e 2 PG para calcular ( )e

ck (ver Quadro 3.1).


Joaquim Barros 4.39

Para se avaliar o efeito da integração numérica no comportamento em termos de rigidez apresentada por um elemento de viga de Timoshenko vai-se estudar a consola representada na Figura 4.16. Esta consola é discretizada com um único elemento de dois nós. Neste estudo vai-se desprezar os termos associados a deformação axial, dado não existir deformação axial para o carregamento actuante.

S

S

h

1

S-S

(1)

31

l 1

L

E, A

l 2

3(l )

F

u21 l

θ 1 l 3

u22 l

2 lθ 3

Figura 4.16 - Consola discretizada com um elemento de viga de Timoshenko.

Desprezando-se a matriz de rigidez afecta à deformação axial, as equações de equilíbrio do elemento são

( ) ( )[ ] )1()1(11 QUkk cf = . (4.95)

Utilizando 1 PG e 2 PG para calcular )1(

fk e )1(ck , respectivamente, (4.95) fica,

−=

+−+−

−−−

+−−+

−

0

3262

22

6232

22

2

1

2

2

1

1

****

****

****

****

3

2

3

2

232232

2222

232232

2222

FRR

u

u

LGAL

EIGALGAL

EIGA

GAL

GAGAL

GA

LGAL

EIGALGAL

EIGA

GAL

GAGAL

GA

θ

θ (4.96)

em que R1 e R2 são a força de reacção segundo 2 e o momento de reacção segundo 3 , no nó 1. Como 0

32 11 =θ=u , resulta

−=

θ

+−

−

032

23

2

232

22

2

2**

**

FuLGA

LEIGA

GAL

GA

(4.97)


Joaquim Barros 4.40

pelo que

QF

F

EIL

EIL

EIL

EIL

GAL

u

=

−

+

+=

0

31

33

332

3

2

2

23

*

2

2

γγ

θ (4.98)

em que F é a matriz de flexibilidade. Da resolução de (4.98) obtém-se

( )FEIL

GALu −

+

+γγ

=32

2 31

3

*2 (4.99)

em que

2

2 33λ

=

=γ

Lh (4.100)

sendo

hL

=λ (4.101)

o parâmetro denominado de esbelteza da viga. No caso de viga de secção rectangular

( ) 121 33

hI ×= e ( )hA ×= 165*2

. Se a consola fosse discretizada com um elemento de viga de Euler-Bernoulli a matriz de flexibilidade da estrutura seria,

=

33

33

2

232

23

EIL

EIL

EIL

EIL

F (4.102)

em que não se considera a efeito do esforço transverso. Utilizando a convencional teoria das estruturas, baseada na teoria de Euler-Bernoulli, e considerando a deformação por corte, a matriz de flexibilidade da estrutura apresenta a configuração seguinte,


Joaquim Barros 4.41

+

=

33

332

2

232

23

*

EIL

EIL

EIL

EIL

GAL

F . (4.103)

Assim, o deslocamento

22u obtido em (4.102) e em (4.103) é

( ) FEILu EBsc

exacto3

2 3

3

2 −= (4.104)

no caso de se utilizar a formulação de Euler-Bernoulli sem inclusão da influência do corte, e

( ) FEIL

GALu EBcc

exacto

+−=

32

2 3

3

*2 (4.105)

no caso em que a deformação por corte foi tida em conta. Efectuando o cociente entre (4.99) e (4.104) obtém-se,

( )

( )( )34

343

3

3

1

22

2

3

3

*

2

2

3

32

2

2

++

=

+

+==

λλλ

γγϕ

EIL

EIL

GAL

uu

exactoE

. (4.106)

O valor de ϕ deveria tender para a unidade com o aumento de λ (esbelteza da viga), dado que com o aumento de λ a influência de deformação de corte diminui, pelo que

22u dever-se-ia

aproximar de ( )EBsc

exactou

22 . Contudo, tal não acontece, como se pode constatar na Figura 4.18.

Verifica-se que para vigas muito esbeltas, isto é, quando λ tende para infinito, ϕ tende para zero, dado que a solução obtida com o MEF, utilizando a integração exacta no cálculo da matriz de rigidez tende para o valor nulo. Isto significa que o elemento de viga de Timoshenko de dois nós é incapaz de reproduzir, no limite (vigas muito esbeltas), a solução que se obtém com a convencional teoria das estruturas (teoria de Euler-Bernoulli sem deformação por corte). À medida que a esbelteza aumenta ocorre um fenómeno de sobrerigidez numérica que vai aumentando com λ, até tornar a estrutura infinitamente rígida. Assim, verifica-se que o elemento de viga de Timoshenko, com integração completa (ou exacta) permite obter resultados aceitáveis apenas para valores reduzidas de λ. Um dos procedimentos para resolver este problema consiste em diminuir a influência da rigidez de corte, por intermédio de uma subintegração dos termos de )(e

cK , utilizando um


Joaquim Barros 4.42

número de pontos de integração inferior ao necessário para o seu cálculo exacto. Ao subintegrar-se determinada matriz de rigidez está-se a aumentar a flexibilidade do elemento.

Figura 4.18 – Influência do nº de PG utilizados na integração da matriz de rigidiz de uma viga discretizada com

um elemento de Timoshenko. Assim, ao subintegrarem-se os termos de )(e

ck está-se a compensar a excessiva rigidez

introduzida em )(eck pelos termos de corte.

Integrando )(e

ck com um ponto de Gauss obtém-se,

( )e

e

ec

LLLL

LL

LLLL

LL

LGA

k

−

−−−

−

−

=

4242

21

21

4242

21

21

22

22)(*

)( 2 . (4.107)

Utilizando (4.107) em vez de (4.87c) no anterior exemplo, as relações (4.97) e (4.98) passam a apresentar a seguinte forma,


Joaquim Barros 4.43

−=

θ

+−

−

042

2

3

2

232

22

2

2**

**

FuLGA

LEIGA

GAL

GA

(4.108a)

ou )()()( eee QUk = (4.108b) e

−

+

=

0

2

24

33

332

3

2

2

23

*

2

2 F

EIL

EIL

EIL

EIL

GAL

uθ

(4.109a)

ou )()()( eee QFU = . (4.109b) Verifique-se que F coincide agora com a expressão (4.103), excepto no coeficiente F11. Calculando

22u por intermédio de (4.109) obtém-se,

( ) FEIL

GALFFu

+−=−=

32

2 4

3

*112 . (4.110)

A relação entre este valor e o exacto, obtido com um elemento de Euler-Bernoulli (sem deformação por corte) fica,

( ) 2

2

2

2

433

2

2

λλϕ +

== EBsc

exactou

u. (4.111)

que se representa na Figura 4.18. Verifica-se que ϕ tende para 0.75 quando λ tende para infinito, pelo que a sobrerigidez devida ao corte desapareceu com a subintegração de )(e

ck . A excessiva rigidez introduzida pela integração exacta dos termos da rigidez de corte denomina-se na nomenclatura Inglesa de "Locking". Por sua vez, ao integrar-se exactamente os termos de )(e

ak e )(efk e subintegrar-se os termos de

)(eck , está-se a aplicar a denominada integração selectiva, dado que é completa nos termos de

)(eak e )(e

fk e reduzida nos termos de )(eck .


Joaquim Barros 4.44

Da análise da Figura 4.18 e da expressão (4.111) verifica-se que, com um elemento a discretizar a consola, o resultado obtido não é exacto. Contudo, se a consola for discretizada com mais elementos a solução converge rapidamente para a exacta, conforme se pode constatar no Quadro 4.1.

Quadro 4.1 - Evolução do erro com a discretização da consola

Valores de λ= /h→∝ Número de elementos 1 2 4 8 16

( )EBsc

exactoEu

u

2

2

2

2=ϕ 0.750 0.938 0.984 0.996 0.996

4.3.9 – Exercícios resolvidos Exercício nº 1 Discretizando a consola representada na Figura er_4.3 em um elemento finito de três nós de Timoshenko: a) Calcule a matriz de rigidez desse elemento utilizando a integração selectiva; b) Considerando os resultados obtidos com a integração selectiva, determine os deslocamentos e os esforços para a acção aplicada na consola. c) Traçar um gráfico que relacione a flecha na consola com o parâmetro ϕ em que,

( )EBscexactou

u)(

2

2

3

3=ϕ

sendo

( )

3

2 3)(

3

3 EIFLu EBsc

exacto −=

Dados: L=10 m; E= 30 GPa; F=100 kN; A= 1×1 m2 2 3 F

1

3, IE

L Figura er_4.3 – Consola sujeita a uma força concentrada F na sua extremidade livre.

Resolução:


Joaquim Barros 4.45

a) Cálculo da matriz de rigidez de um elemento de três nós utilizando a integração selectiva • Graus de liberdade do elemento de Timoshenko de três nós: 2

21u 31θ

22u 32θ

23u 33θ

11u 12u

13u 1 Campo de deslocamentos:

3333

2222

1111

3132121111

3132121111

3132121111

)()()()(

)()()()(

)()()()(

θθθθ sNsNsNs

usNusNusNsu

usNusNusNsu

++=

++=

++=

Sob a forma matricial:

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

321

321

321

1

000000

000000

000000

)(

θ

θ

θ

θ

u

u

u

u

u

u

NNN

NNN

NNN

su

u

Matriz de rigidez correspondente a deformação axial:

= 002002002

1

3

1

2

1

1

dsdN

LdsdN

LdsdN

LB a


Joaquim Barros 4.46

+−−= 00)

21(200)2(200)

21(2

111 sL

sL

sL

B a

1

1

11

)(

2)(

dsLBEABdBEABK aTaa

L

Ta

ea

E∫∫−

==

Calculando os termos não nulos:

LEAdss

LEALdsLBEABK a

Taa 3

7)21(4

22 12

1

1

121

1

1111,1

=−== ∫∫−−

LEAdss

Ls

LEALdsLBEABK a

Taa 3

8)2(2)21(2

22 111

1

11

1

1414,1

−=−−== ∫∫−−

LEAdss

Ls

LEALdsLBEABK a

Taa 3

1)21(2)

21(2

22 111

1

11

1

1717,1

=+−== ∫∫−−

LEAs

LEALdsLBEABK a

Taa 3

164422

21

1

121

1

1444,4

=== ∫∫−−

LEAdss

Ls

LEALdsLBEABK a

Taa 3

8)21(2)2(2

22 111

1

11

1

1747,4

−=+−== ∫∫−−

LEAdsss

LEAdsLBEABK a

Taa 3

7)21)(

21(2

2 111

1

11

1

1777,7

=++== ∫∫−−

Então:

−

−−

−

=

000000000

000000000

007008001

000000000

000000000

0080016008

000000000

000000000

001008007

3LEAK a

Matriz de rigidez correspondente a deformação flexão:


Joaquim Barros 4.47

=

1

3

1

2

1

1 200200200dsdN

LdsdN

LdsdN

LB f

+−−= )

21(200)2(200)

21(200 111 s

Ls

Ls

LB f

1

1

11

)(

233)(

dsLBEIBdBEIBK fTff

L

Tf

ef

e∫∫−

==

Efectuando procedimento similar ao anterior obtém-se a matriz de rigidez relativa à flexão:

−

−−

−

=

700800100

000000000

000000000

8001600800

000000000

000000000

100800700

000000000

000000000

33)(

LEI

K ef

Matriz de rigidez correspondente a deformação corte:

−−−= 3

1

32

1

21

1

1 202020 NdsdN

LN

dsdN

LN

dsdN

LBc

+−+−−−−−−= )1(

21)

21(20)1()2(20)1(

21)

21(20 111

211111 sss

Lss

Lsss

LBc

1

1

1

*1

*)(

22)(

2dsLBGABdBGABK c

Tcc

L

Tc

ec

e∫∫−

==

Elementos não nulos resultantes do produto c

Tc BB :


Joaquim Barros 4.48

9,9

9,88,8

9,68,66,6

9,58,56,55,5

9,38,36,35,33,3

9,28,26,25,23,22,2

LGA

dssL

sL

LGAdsLBGABK c

Tcc

*

111

1

1

*

1*

1

1

22

2222,2 37)

21(2)

21(2

22=−−== ∫∫

−−

Seguindo o mesmo raciocínio obtém-se:

6;

3;

32;

38;

2

***

**2

9,2

2

8,226,2

2

5,2

2

3,2

GAK

LGA

KGAKL

GAK

GAK ccccc −===−==

**

***29,3

2

8,326,325,323,3 301;

6;

151;

32;

152 GAK

GAKLGAKGAKLGAK ccccc −===−==

***

29,5

2

8,56,5

2

5,5 32;

38;0;

316 GAK

LGA

KKL

GAK cccc =−===

***

29,628,626,6 15;

32;

158 GALKGAKLGAK ccc =−==

2;

37 **

2

9,8

2

8,8

GAK

LGA

K cc −==

*

29,9 152 GAK c =

Somando as submatrizes de rigidez associadas a deformação axial, de flexão e corte, obtém-se a matriz de rigidez de um elemento de três nós de Timoshenko:


Joaquim Barros 4.49

+

−

+−−+

−

−

−+−−+

−−

−

*

**

***

***

*****

**

****

2

3

2

2

2

3

22

3

2

22

2

3

22

3

22

3

2

2

2

222

152

37

21

37

37

151

38

32

158

316

32

380

316

38

316

301

31

61

151

38

32

152

37

61

31

32

38

21

37

31

38

37

GAL

EI

GAL

GAL

EA

LGAL

EIGALGA

LEI

GAL

GAL

GAL

EAL

EA

GAL

EIGALGA

LEI

GALGAL

EI

GAL

GAGA

LGA

LGA

LGA

LEA

LEA

LEA

b) Cálculo dos deslocamentos:

)()()()( ec

ef

ea

E KKKK ++=

)()()( EEE QUK =

−=

+−+−

−−−

+−−+

−

0

00

152

37

21

1538

32

21

37

32

38

1538

32

158

3160

32

380

316

3

2

3

2

2

3

22

3

2

2

2

2

2

2

3

22

3

2

22

3

3

2

2

****

**

**

***

***

Fu

u

GAL

EIGAGAL

LEI

GA

GAL

GAGA

LGA

GALL

EIGAGAL

LEI

GAL

GAL

GA

θ

θ

Cálculo das características mecânicas da estrutura:

4

2*

2

08333.0

15)1(2

8333.065

111

3mI

GPaEG

mAA

mA

=

=+

=

==

=×=

ν

Resolvendo o sistema de equações de equilíbrio obtém-se:


Joaquim Barros 4.50

−=

−=

−=

−=

m

mu

m

mu

0020.0

0104.0

0011.0

0027.0

3

2

3

2

3

3

2

2

θ

θ

b) Traçar um gráfico que relacione a flecha com o parâmetro ϕ :

mEIFLu exacto

E 00111.03

)(3

2

3)(

2 −=−=

Calculo do parâmetro ϕ :

4545.20011.00027.0

)( )(2

2

2

2 =−−

==exacto

Eu

uϕ (com L=10 m)

364.00011.00004.0

)( )(2

2

2

2 =−−

==exacto

Eu

uϕ (com L=5 m)

0

10

20

30

40

5 10 15 20 25

L/h

FI


Joaquim Barros 4.51

Exercício nº 2 Discretize o pórtico plano representado na Figura 4.24 por dois elementos de Timoshenko de dois nós. Utilizando a integração selectiva no cálculo da matriz de rigidez dos elementos da estrutura e a integração exacta no cálculo dos esforços, determine: a) A matriz de rigidez da estrutura; b) O vector solicitação da estrutura; c) Os deslocamentos e reacções; d) Os esforços. Dados: • EC = 30 GPa • ν = 0.0 • Km = 500000 KN/m

100kN/m200kN

km

45º0.6m

0.3m

0.005m

4m 6m

3m

Figura 4.24 – Pórtico plano (teoria de Timoshenko).

Resolução: a) Cálculo da matriz de rigidez da estrutura • Cálculo das características mecânicas da estrutura: A = 0.3×0.6 = 0.18 m2 I = 0054.012

6.03.0 3 =× m4

G = 6)1(2 1015 ×=+ν

E KPa

A* = 15.065 =A m2 (área reduzida de corte)

Deslocamentos na estrutura em cada nó: Matriz de rigidez para cada elemento incluindo a rigidez por deformação axial, flexão e corte:


Joaquim Barros 4.52

(2)

g 2

3(g )

(1)

1

2

1g

3

3θ1 g

11 gu21 gu

1u2 g

32 gθ22 gu

3 g

3 g3 g

3θ

1uu 2

Cálculo da matriz de transformação, gT :

2

1

31 g 1 g

u1 g

uu1

(1)

(g )3

2l

1l3l

36.87º

Então:

−

=

3

2

1

3

2

1

100

0cossen

0sencos

αα

αα

g

g

g

−

−

=

−

−

=

100000

08.06.0000

06.08.0000

000100

00008.06.0

00006.08.0

100000

0cossen000

0sencos000

000100

0000cossen

0000sencos

αα

αα

αα

αα

gT

Rigidez da mola no referencial global:


Joaquim Barros 4.53

[ ]Tmgm

mg

gm TKTK =

em que

−=

ββ

ββ

cossen

sencosmgT

−

−=

=

5.05.0

5.05.0

sensencos

sencoscos2

2

mmgm KKK

βββ

βββ ( β = - 45º )

Cálculo da matriz de rigidez do elemento 1, 2 e da mola:

[ ]Tggg TKTK ××= )1()1(

)2()2( KK g = (α=0º)

−−

−−−−

−−

−−

−−

−−−−

=

28449009000006750002780100900000675000

900000676800302400900000676800302400

675000302400853200675000302400853200

27801009000006750002844900900000675000

900000676800302400900000676800302400

675000302400853200675000302400853200

)1(gK


Joaquim Barros 4.54

−

−−−

−

−

−

−

=

340200011250000334800011250000

1125000375000011250003750000

0090000000900000

334800011250000340200011250000

1125000375000011250003750000

0090000000900000

)2(gK

−

−=

250000250000

250000250000mK

Efectuando o espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura obtém-se:

−

−−−−

−−

−−

−−−−

−−−

−−

−−

−−−−

=

340200011250000334800011250000000

112500062500025000011250003750000000

0250000115000000900000000

33480001125000062469002250006750002780100900000675000

112500037500002250001051800302400900000676800302400

009000006750003024001753200675000302400853200

00027801009000006750002844900900000675000

000900000676800302400900000676800302400

000675000302400853200675000302400853200

)( ggK

b) Cálculo do vector solicitação:

2

6m

l

l 3

1l

100kN/m

• M= 12

2pl e R= 2pl


Joaquim Barros 4.55

−

−

−=

300

300

0

300

300

200

0

0

0

)( EgQ

(mal calculado ??????)

c) Cálculo dos deslocamentos e reacções:

RQuK EEE +=× )()()(

−

−

−=

−

−

−−−−

−−

−−

−−−−

−−−

−−

−−

−−−−

300

300

0

300

300

200

0

005.0

0

340200011250000334800011250000000

112500062500025000011250003750000000

0250000115000000900000000

33480001125000062469002250006750002780100900000675000

112500037500002250001051800302400900000676800302400

009000006750003024001753200675000302400853200

00027801009000006750002844900900000675000

000900000676800302400900000676800302400

000675000302400853200675000302400853200

3

2

1

3

3

3

2

2

2

3

2

1

3

2

1

R

R

R

u

u

u

u

u

u

Para simplificar o calculo:

)()()()( Ef

Ef

EE uKQuK ×−=× Resolvendo este sistema de equações de equilíbrio obtém-se:


Joaquim Barros 4.56

=

=

=

−=

−=

=

=

=

=

radu

mu

mu

radu

mu

mu

mKNR

KNR

KNR

01047012.0

00470304.0

006034101.0

00428163.0

013949.0

0064038.0

.3.473

7.266

55.132

3

2

1

3

2

1

3

3

3

2

2

2

3

2

1

d) Cálculo dos esforços

Para um elemento de dois nós só existe 1 ponto de Gauss (s1 = 0): • Momento flector:

mKNuL

EIuL

EIM

udsdNEIEIM

mKNuL

EIuL

EIM

udsdNEIEIM

de

fs

Lf

de

fs

Lf

.3.39801047012.027000)00428163.0(27000)21)(2()

21)(2(

)(

.7.138)00428163.0(32400032400)21)(2()

21)(2(

)(

)2(

01

12)2(

)1(

01

12)1(

1

1

=×+−×−=+−=

⇔==

−=−×+×−=+−=

⇔==

=

=

ε

ε

• Esforço axial:


Joaquim Barros 4.57

KNuL

EAuL

EAN

udsdN

EAEAN

KNuL

EAuL

EAN

udsdN

EAEAN

de

fs

La

de

fs

La

7.332006034101.09000000064038.0900000)21)(2()

21)(2(

)(

2.263)00324376.0(1080000)003.0(1080000)21)(2()

21)(2(

)(

)2(

01

12)2(

)1(

01

12)1(

1

1

−=×+×−=+−=

⇔==

−=−×+−×−=+−=

⇔==

=

=

ε

ε

4.3.10 – Exercícios para resolver 1- A altura da viga biencastrada representada na Figura 1 varia de forma parabólica de 2 metros em x1=0 até 1 metro em x1=10 metros. Na viga actua uma carga distribuída parabolicamente, cujos valores se representam na figura 2. Discretizando a estrutura em dois elementos de 3 nós e utilizando a teoria de Tismoshenko determine: a) a matriz de rigidez de um elemento aplicando a integração reduzida de Gauss-Legendre; b) o vector das forças nodais equivalentes à acção que actua no elemento; Dados: largura da viga=0.5 m; módulo de elasticidade do material=30 GPa.

0.5m

100 kN100 kN

200 kN

10m 10m

1.0m

1x

2x

Figura 1 2 – Admita que as barras 2 e 3 do pórtico plano representado na Figura 2 são discretizadas por um elemento finito de 3 nós e a barra 1 é discretizada por um elemento finito de 3 nós de barra biarticulada. Utilizando a formulação de Timoshenko e adoptando a integração reduzida: a) calcule a submatriz de rigidez relativa ao nó C; b) calcule as forças nodais no nó C, no referencial global, equivalentes às acções que actuam na

estrutura; c) calcule os esforços de flexão nos pontos de Gauss do elemento que discretiza a barra 2, admitindo

que os deslocamentos do nó B, C e E , no referencial global, são os seguintes:

Nó B: mux 0.01

= ; meux 046919.22

−−= ; .041632.23

radex −−=θ

Nó E meux 049258.11

−= ; meux 0623.62

−−= ; .044807.23

radex −=θ

Nó C meux 057424.51

−= ; meux 048049.12

−−= ; .047355.63

radex −−=θ


Joaquim Barros 4.58

d) com base nos momentos flectores obtidos nos pontos de Gauss, determinados na alínea anterior, calcule os momentos no nó B. Comente os resultados obtidos. Dados: barras 2 e 3: b=1.0 m, h=0.3 m; E=30 GPa, 0.0=υ Barra 1: área=0.1 m2, E=200GPa, 0.0=υ

4.00m 3.00m

3.00m

3.00m

30kN/m

30kN/m

A

C D

B

1

3

2

1x

( )3x

2x

E

Figura 2

3 – O eixo da estrutura representada na Figura 1 é descrito pela equação

( ) 12

12 1005 xxx +−=

e a espessura da estrutura determina-se segundo a equação

( ) 5.110025

10025.1

12

1 +−= xxh .

Discretizando a estrutura com um elemento de 3 nós e utilizando a formulação de Timoshenko, calcule o deslocamento vertical do nó 3 devido à actuação do peso próprio da estrutura. Despreze a deformabilidade axial da estrutura e utilize a integração reduzida no

cálculo da matriz de rigidez do elemento.

Dados: Peso específico do material constituinte da estrutura=25 kN/m3; Largura da estrutura = 1.0 m; Módulo de elasticidade longitudinal do material constituinte da estrutura = 30 GPa;

Coeficiente de Poisson=0.0.

5.00 m

0.25m

5.00 m

x 1

2x

1.50 m

3

2

1

5.00 m


Joaquim Barros 4.59

Figura 3 1 – O pórtico plano representado na Figura 1 foi discretizado em 3 elementos de 3 nós. Utilizando a formulação de Timoshenko e a integração reduzida obtiveram-se os deslocamentos nos nós da estrutura apresentados no Quadro 1. a) Calcule o esforço axial num ponto de Gauss do elemento que discretiza a barra 1; b) Calcule o momento flector num ponto de Gauss do elemento que discretiza a barra 2; c) Calcule o esforço de corte num ponto de Gauss do elemento que discretiza a barra 3; d) Com base nos esforços indicados no Quadro 2, extrapole os momentos flectores para o nó 2 e os

esforços de corte para o nó 7. Dados: Módulo de elasticidade longitudinal do material constituinte da estrutura = 30 GPa; Coeficiente de Poisson=0.0; Largura das barras = 0.7 m; A variação da altura das barras é a representada na Figura 2.

100 kN/m

1

2

3

4 5 6 7

3

1

2

5.00

m

8.00 m5.00 m

Variação da altura da secção dos elementos finitos

- Elementos e 1 2

h = 0.50 m h = 0.75 m h = 1.00 m

i i+1 i+2

3- Elemento

h = 0.50 m

i+2

h = 0.75 mh = 1.00 m

i+1i

b = 0.70 m

E = 30 GPa

Figura 1

Quadro 1 *** Nodal displacements: (global coordinate system) Point number (ipoin) X1 displacement (delta-x1) X2 displacement (delta-x2) Theta-x3 rotation (delta-tx3) ipoin delta-x1 delta-x2 delta-tx3 1 0.00000000 0.00000000 0.00149995 2 0.00081408 0.00000000 0.00059338 3 -0.00200657 0.00121595 -0.00028815 4 0.00081408 0.00066868 -0.00030253 5 0.00081408 -0.00216944 -0.00225808 6 0.00047488 -0.02106080 -0.00555692 7 0.00000000 -0.03526722 0.00000000 (unidades: deslocamentos em metros e rotações em radianos)


Joaquim Barros 4.60

Quadro 2 *** Resultant stresses in the Gauss points: (local coordinate system) (same sign convention for any Gauss point) Element number (ielem) Gauss point number for axial forces (igsta) Gauss point number for bending moments (igstb) Gauss point number for shear forces (igsts) Gauss point global coordinates for axial forces (gpcot_a) Gauss point global coordinates for bending moments (gpcot_b) Gauss point global coordinates for shear forces (gpcot_s) L1 axial force (Nl1) L2 shear force (Nl2) L3 bending moment (Ml3) ielem igsta Nl1 gpcot_a igsts Nl2 gpcot_s igstb Ml3 gpcot_b 1 1 -2055.62134239 1.05662433 1.05662433 1 2 -2055.62134239 3.94337567 3.94337567 1 1 127.02127549 1.05662433 1.05662433 1 2 127.02127549 3.94337567 3.94337567 1 1 189.80693341 1.05662433 1.05662433 1 2 708.36911911 3.94337567 3.94337567 2 1 0.00000000 1.05662433 5.00000000 2 2 0.00000000 3.94337567 5.00000000 2 1 169.38861820 1.05662433 5.00000000 2 2 458.06375280 3.94337567 5.00000000 2 1 123.15738629 1.05662433 5.00000000 2 2 1028.80687455 3.94337567 5.00000000 3 1 -1543.36139601 6.69059892 5.00000000 3 2 -1543.36139601 11.30940108 5.00000000 3 1 -630.94010768 6.69059892 5.00000000 3 2 -169.05989232 11.30940108 5.00000000 3 1 1257.23407740 6.69059892 5.00000000 3 2 -590.28678401 11.30940108 5.00000000 (unidades: kN, kN.m, m)

1 – A estrutura representada na Figura 1 está descretizada em 4 elementos de 3 nós de Timoshenko. a) Desprezando a deformabilidade axial das barras e utilizando a integração reduzida, calcule os

coeficientes de rigidez relativos ao nó B. b) Calcule as forças nodais equivalentes no nó B.


Joaquim Barros 4.61

c) Considerando dois pontos de Gauss por elemento, calcule os esforços de flexão e de corte no elemento nº 1, sabendo que os deslocamentos dos nós deste elemento, no referencial global, são os seguintes :

Nó deslocamento segundo x1 deslocamento segundo x2 rotação segundo x3 1 0.00000000 0.00000000 -0.00084618 2 -0.00000000 -0.00091344 -0.00056319 3 -0.00000000 -0.00127759 0.00003270 d) Com base nos esforços do elemento nº 1 , determine o momento no nó A. Se os resultados não lhe

parecem aceitáveis, explique como procederia para melhorar os resultados obtidos. Dados: b=0.3 m, h=0.7 m; E=30 GPa, 0.0=υ Mola: mkNkm /000500=

100 kN

3.00

m

5.00 m 4.00 m

km = 500 000kN/m

x 3

1x

2x

1 2 3 4 5

6

7

8

9

50 kN/m

1 2

3

4

A B

C

Figura 1

1 – Discretizando a consola representada na Figura 1 em dois elementos de 3 nós de Tismoshenko, de igual comprimento, calcule:

a) A matriz de rigidez da estrutura; b) O vector das forças nodais equivalentes, admitindo que a barra está submetida ao seu

peso próprio, a forças distribuídas por unidade de comprimento de valor igual a 50 kN/m e a uma força concentrada de 100 kN aplicada na extremidade livre da consola;

c) O deslocamento vertical da extremidade livre da consola; d) As reacções; e) O momento flector e o esforço transverso no ponto de Gauss mais próximo da secção

de encastramento. Admita que os deslocamentos dos nós 2 e 3, no referencial global, são os seguintes:

Nó Deslocamento segundo x2 (m) Rotação segundo x3 (rad.) 2 -0.00820588 -0.00735665

3 -0.04257247 -0.02090955


Joaquim Barros 4.62

f) Determine os momentos flectores nos pontos nodais do elemento nº 2,. sabendo que os esforços nos pontos de Gauss deste elementos são os apresentados no Quadro seguinte. Comente os resultados obtidos.

Element number (ielem) Gauss point number for axial stresses (igstm) Gauss point number for bending stresses (igstb) Gauss point number for shear stresses (igsts) Gauss point global coordinates (gpcot_m) Gauss point global coordinates (gpcot_b) Gauss point global coordinates (gpcot_s) X axial force (Nx) XY shear force (Nxy) Y bending moment (My) ielem igstm Nx gpcot_m igsts Nxy gpcot_s igstb My gpcot_b 2 1 0.00000000 6.05662433 0.00000000 2 2 0.00000000 8.94337567 0.00000000 2 1 -328.74848110 6.05662433 0.00000000 2 2 -159.58485223 8.94337567 0.00000000 2 1 840.75756015 6.05662433 0.00000000 2 2 135.90910652 8.94337567 0.00000000 NOTA: No cálculo da matriz de rigidez, do vector das forças nodais equivalentes e dos esforços utilize a integração reduzida. Dados: Peso específico do material constituinte da estrutura=25 kN/m3; Largura da estrutura = 0.4 m; Módulo de elasticidade longitudinal do material constituinte da estrutura = 30 GPa;

Coeficiente de Poisson=0.0.

0.40m x 1

2x

1

10.0m

1.2m

50.0 kN/m

100 kN

1 2

2 3 4 5 h

2.116.0008.0 121 +−= xxh

Figura 1


Joaquim Barros 4.63

1 - O elemento de quatro nós representado na Figura 1 pertence a um pórtico plano. Utilizando a teoria de Timoshenko e a formulação isoparamétrica dos elementos finitos: a) determine a matriz de deformação, B , deste elemento, em coordenadas normalizadas, s1 . b) calcule os valores da matriz de deformação relativa ao corte, Bc , em s1 0= .

== =

4321

s1-1 +1x1 8.07.57.0 (m)8.5

Figura 1 - Elemento finito de quatro

nós. 2 - Na folha em anexo apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático femixnd. a) Desenhe a estrutura e as condições de ligação da estrutura ao exterior. b) Represente as acções que actuam na estrutura. c) Calcule o coeficiente de rigidez ( )K E

8 8, da matriz de rigidez da estrutura. d) Admitindo que os deslocamentos dos nós da estrutura em análise, no referencial global, são os seguintes (obtidos por intermédio do femixnd): *** Nodal displacements: (global coordinate system) Point number (ipoin) X displacement (delta-x) Y displacement (delta-y) Theta-Y rotation (delta-ty) ipoin delta-x delta-y delta-ty 1 0.00000000 0.00000000 0.00064587 2 0.00112211 0.00115465 0.00017538 3 -0.00038725 -0.00119933 -0.00290275 4 -0.00019362 -0.01095866 -0.00395138 5 0.00000000 -0.01698954 0.00000000

determine os momentos flectores nos pontos de Gauss do elemento nº 2. 3 - Na Figura 2 representa-se um edifício habitacional de três andares situado em Guimarães e num terreno tipo II. Utilizando o método de Rayleigh, determine as forças máximas ao nível de cada andar devidas às acções sísmicas regulamentares segundo a direcção x1 (no cálculo dos deslocamentos considere as vigas de rigidez infinita).

x1(m)

6.0

(0.45x0.45)(0.45x0.45)

(0.4x0.4) (0.4x0.4)

(0.5x0.5)(0.5x0.5)

6.0

6.0

3.0

3.0

4.0

6.0

6.0 6.0

(0.45x0.45)

(0.4x0.4)

(0.5x0.5)


Joaquim Barros 4.64

Dados: - módulo de elasticidade longitudinal do betão = 30 GPa; coeficiente de amortecimento=5% - vigas de secção 0.3x0.7 m2; - peso próprio das lajes, com 0.3 m de espessura = 3 kN/m2; - peso de revestimentos e paredes de alvenaria = 2.5 kN/m2;

### Main title of the problem ### Elementos de tres nos ### (kN,m) Teste Comp. Est. - Fevereiro 1998 ; ### Main parameters 2 ; # nelem (n. of elements in the mesh) 5 ; # npoin (n. of points in the mesh) 2 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom) 1 ; # ncase (n. of load cases) 1 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime) 1 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime) 10 ; # ntype (problem type) 1 ; # ntyan (type of analysis) 3 ; # nnode (n. of nodes per element) 2 ; # ngaum (n. of Gauss points for axial rigidity) 2 ; # ngaub (n. of Gauss points for bending rigidity) 2 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear rigidity) 2 ; # ngstm (n. of Gauss points for axial forces) 2 ; # ngstb (n. of Gauss points for bending moments) 2 ; # ngsts (n. of Gauss points for shear forces) 2 ; # ndime (n. of geometric dimensions) 3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node) 4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation) 2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation) 0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system) 0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system) 0 ; # npspr (n. of springs) 0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors) ### Material properties index, element nodal properties index and ### list of the nodes of each element # ielem matno ielnp lnods ... 1 1 1 1 2 3 ; 2 1 1 3 4 5 ; ### Coordinates of the points # ipoin coord-g1 coord-g2 1 0.00000000 3.00000000 ; 2 2.00000000 1.50000000 ; 3 4.00000000 0.00000000 ; 4 6.50000000 0.00000000 ; 5 9.00000000 0.00000000 ; ### Points with fixed degrees of freedom and fixity codes (1-fixed;0-free) # ivfix nofix ifpre 1 1 1 1 0 ; 2 5 1 0 1 ; ### Points wiyh specified coordinate system (index, point number and type ### of coordinate system) # ipscs npspe itycs ### Specified coordinate system # isscs ### Transformation matrix from specified to global coordinate system (coscs) ### (Each row of coscs includes the components of a specified ### coordinate system vector in the global coordinate system) # ivect coscs... # isscs ### Transformation matrix from specified to global coordinate system (coscs) ### (Each row of coscs includes the components of a specified ### coordinate system vector in the global coordinate system) # ivect coscs... ### Spring index, point number, type of spring vector, rigidity value, ### and flag to choice between displacement rigidity (d) or ### rotational rigidity (r) (only when npspr > 0) # ipspr nsprp ityvs sprva drrif ### Index set of spring vector. Components in the global coordinate system ### of the sets of spring vectors (only when nsspv > 0) # isspv


Joaquim Barros 4.65

# cgspv... ### Sets of material properties ### (Young modulus, Poisson ratio, mass per unit volume and thermic coeff.) # imats young poiss dense alpha 1 30e+06 0.00 1.0 1e-5 ; ### Sets of element nodal properties ### (Cross section area, tortional and flexural inertia and ### local coordinate system definition angle in degrees) # ispen 1 ; # inode barea bin2l 1 0.15 0.003125 ; 2 0.15 0.003125 ; 3 0.15 0.003125 ; # =================================================================== ### Title of the first load case Accoes ; ### Load parameters 0 ; # nplod (n. of point loads in nodal points) 0 ; # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 2 ; # nedge (n. of edge loads) 0 ; # ntemp (n. of elements with temperature variation) 0 ; # nepoi (n. of element point loads) 0 ; # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom) ### Point loads in nodal points (loaded point and load value) ### (global coordinate system) # iplod lopop pload-g1 pload-g2 pload-g3 ### Gravity load (gravity acceleration) ### (global coordinate system) # gravi-g1 gravi-g2 ### Edge load (loaded element, loaded points and load value) ### (local coordinate system) # iedge loele 1 1 ; # lopoe q_l1 q_l2 q_l3 1 0.0 0.0 0.0 ; 2 0.0 -15.0 0.0 ; 3 0.0 -30.0 0.0 ; # iedge loele 2 2 ; # lopoe q_l1 q_l2 q_l3 3 0.0 -30.0 0.0 ; 4 0.0 -30.0 0.0 ; 5 0.0 -30.0 0.0 ; ### Thermal load (loaded set temperature variation, n. of elements, ### loaded bar, uniform temperature, l2 variation, l3 sectional thick.) # itemp loelt # ilopo teuni tevab_l2 secth_l3 ### Element point load (loaded element, distance to the left ### end and load value) (global coordinate system) # il1le loelp l1lep epoil_g1 epoil_g2 epoil_g3 ### Prescribed variables (point, degree of freedom and prescribed value) ### (global coordinate system) # iprva nnodp ndofp prval END_OF_FILE ; 2 - Na folha em anexo apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático femixnd. a) Desenhe a estrutura, as condições de ligação da estrutura ao exterior e as características geométricas das secções das barras. b) Represente as acções que actuam na estrutura. c) Calcule a submatriz de rigidez associada aos graus de liberdade do nó 3. d) Determine os esforços de corte no(s) ponto(s) de Gauss do elemento nº 3, admitindo que os deslocamentos dos nós da estrutura em análise, no referencial global, são os seguintes (obtidos por intermédio do femixnd):


Joaquim Barros 4.66

Point number (ipoin) X displacement (delta-x) Y displacement (delta-y) Theta-Y rotation (delta-ty) ipoin delta-x delta-y delta-ty 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 0.00236404 -0.00012215 -0.00306316 3 0.00515614 -0.00024431 -0.00057076 4 0.00515614 -0.00111798 -0.00006192 5 0.00515614 0.00000000 0.00091145 6 0.00542503 0.00007585 0.00017789 7 0.00536218 0.00000000 -0.00008697 e) Obtenha os momentos flectores nos pontos nodais dos elementos nº 3 e 4, admitindo que os esforços no(s) ponto(s) de Gauss dos elementos são os seguintes (obtidos por intermédio do femixnd): Element number (ielem) Gauss point number for axial force (igstm) Gauss point number for shear force (igsts) Gauss point number for bending moment (igstb) Gauss point global coordinates (gpcot_m) Gauss point global coordinates (gpcot_b) Gauss point global coordinates (gpcot_s) X axial force (Nx) XY shear force (Nxy) Y bending moment (My) ielem igstm Nx gpcot_m igsts Nxy gpcot_s igstb My gpcot_b 1 1 -219.87798778 4.00000000 0.75000000 1 1 -50.00000000 4.00000000 0.75000000 1 1 41.35264524 4.00000000 0.75000000 2 1 -219.87798778 4.00000000 2.25000000 2 1 -50.00000000 4.00000000 2.25000000 2 1 -33.64735476 4.00000000 2.25000000 3 1 0.00000000 5.25000000 3.00000000 3 1 -74.54051071 5.25000000 3.00000000 3 1 -32.97308485 5.25000000 3.00000000 4 1 0.00000000 7.75000000 3.00000000 4 1 50.45948929 7.75000000 3.00000000 4 1 -63.07436162 7.75000000 3.00000000 5 1 -49.70248624 3.00000000 3.75000000 5 1 66.26998166 3.00000000 3.75000000 5 1 -48.51243122 3.00000000 3.75000000 6 1 10.29751376 1.00000000 5.25000000 6 1 -13.73001834 1.00000000 5.25000000 6 1 17.16252293 1.00000000 5.25000000 Comente os resultados obtidos. ANEXO ### Main title of the problem ### (kN,m) Exame de Complementos de Estruturas - Fevereiro 1998 ; ### Main parameters 6 ; # nelem (n. of elements in the mesh) 7 ; # npoin (n. of points in the mesh) 3 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom) 1 ; # ncase (n. of load cases) 1 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime) 2 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime) 10 ; # ntype (problem type) 1 ; # ntyan (type of analysis)


Joaquim Barros 4.67

2 ; # nnode (n. of nodes per element) 1 ; # ngaum (n. of Gauss points for axial rigidity) 1 ; # ngaub (n. of Gauss points for bending rigidity) 1 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear rigidity) 1 ; # ngstm (n. of Gauss points for axial forces) 1 ; # ngstb (n. of Gauss points for bending moments) 1 ; # ngsts (n. of Gauss points for shear forces) 2 ; # ndime (n. of geometric dimensions) 3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node) 4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation) 2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation) 0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system) 0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system) 0 ; # npspr (n. of springs) 0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors) ### Material properties index, element nodal properties index and ### list of the nodes of each element # ielem matno ielnp lnods ... 1 1 1 1 2 ; 2 1 1 2 3 ; 3 1 2 3 4 ; 4 1 2 4 5 ; 5 1 2 3 6 ; 6 1 2 6 7 ; ### Coordinates of the points # ipoin coord-g1 coord-g2 1 4.00000000 0.00000000 ; 2 4.00000000 1.50000000 ; 3 4.00000000 3.00000000 ; 4 6.50000000 3.00000000 ; 5 9.00000000 3.00000000 ; 6 2.00000000 4.50000000 ; 7 0.00000000 6.00000000 ; ### Points with fixed degrees of freedom and fixity codes (1-fixed;0-free) # ivfix nofix ifpre 1 1 1 1 1 ; 2 5 0 1 0 ; 3 7 0 1 0 ; ### Sets of material properties ### (Young modulus, Poisson ratio, mass per unit volume and thermic coeff.) # imats young poiss dense alpha 1 30e+06 0.00 1.0 1e-5 ; ### Sets of element nodal properties ### (Cross section area, tortional and flexural inertia and ### local coordinate system definition angle in degrees) # ispen 1 ; # inode barea bin2l 1 0.09 0.000675 ; 2 0.09 0.000675 ; # ispen 2 ; # inode barea bin2l 1 0.18 0.0054 ; 2 0.18 0.0054 ; # =================================================================== ### Title of the first load case Accoes ; ### Load parameters 2 ; # nplod (n. of point loads in nodal points) 0 ; # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 2 ; # nedge (n. of edge loads) 0 ; # ntemp (n. of elements with temperature variation) 0 ; # nepoi (n. of element point loads) 0 ; # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom) ### Point loads in nodal points (loaded point and load value) ### (global coordinate system) # iplod lopop pload-g1 pload-g2 pload-g3 1 3 50.0 0.0 0.0 ; 2 6 0.0 -100.0 0.0 ; ### Edge load (loaded element, loaded points and load value) ### (local coordinate system) # iedge loele 1 3 ; # lopoe q_l1 q_l2 q_l3 3 0.0 -50.0 0.0 ; 4 0.0 -50.0 0.0 ; # iedge loele 2 4 ; # lopoe q_l1 q_l2 q_l3


Joaquim Barros 4.68

4 0.0 -50.0 0.0 ; 5 0.0 -50.0 0.0 ; END_OF_FILE ;

4 – A viga representada na Figura 1 está discretizada por um elemento de 3 nós de Timoshenko. Deduza o vector das forças nodais equivalentes à acção actuante.

5.00 m

50 kN/m

Figura 1

1 – No Quadro 1 apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático femixnd. a) Calcule a submatriz de rigidez associada aos graus de liberdade do nó 6. b) Determine os esforços de flexão no(s) ponto(s) de Gauss do elemento nº 1, admitindo que os deslocamentos dos nós deste elemento, no referencial global, são os seguintes (obtidos por intermédio do femixnd): Point number (ipoin) X displacement (delta-x) Y displacement (delta-y) Theta-Y rotation (delta-ty) ipoin delta-x delta-y delta-ty 1 0.00000000 0.00000000 -0.00000000 2 -0.00004607 -0.00010529 0.00005157 6 -0.00003950 -0.00017111 -0.00005264

2 - Na Figura 1 representa-se um edifício habitacional de três andares situado em Lisboa e num terreno do tipo II. a) Calcule as forças de massa que actuam ao nível de cada piso. b) Distribua essas forças pelos pórticos que discretizam a estrutura. c) Utilizando o método de Rayleigh, determine as forças máximas ao nível de cada andar, no pórtico 1

2xP , devidas às acções sísmicas regulamentares (no cálculo dos deslocamentos considere as vigas de rigidez infinita). Dados: - módulo de elasticidade longitudinal do betão = 35 GPa; - coeficiente de amortecimento=5% - vigas de secção 0.3x0.6 m2; - peso próprio das lajes, com 0.25 m de espessura = 3.0 kN/m2; - peso de revestimentos e paredes de alvenaria = 2.0 kN/m2;

x1

(m)

5.0

5.0

5.0

x2Px2

1 Px2

2

Px1

1

Px1

2

Px1

3

Figura 1a


Joaquim Barros 4.69

(m)

(0.40x0.40)(0.40x0.40)

(0.35x0.35)3.0

3.0

4.0

5.0 5.0

(0.40x0.40)

3.0

3.0

4.0

5.0

11xP , 2

1xP , 31xP

(0.35x0.35) (0.35x0.35)

(0.45x0.45) (0.45x0.45) (0.45x0.45)

(0.35x0.35) (0.35x0.35)

(0.40x0.40) (0.40x0.40)

(0.45x0.45) (0.45x0.45)

Px2

1 , Px2

2

Figura 1b

Quadro 1 – Ficheiro de dados do programa femixnd (continua) ### Main title of the problem (kN,m) Exame de Complementos de Estruturas - Setembro de 1998 ; ### Main parameters 5 ; # nelem (n. of elements in the mesh) 10 ; # npoin (n. of points in the mesh) 3 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom) 1 ; # ncase (n. of load cases) 1 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime) 2 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime) 10 ; # ntype (problem type) 1 ; # ntyan (type of analysis) 3 ; # nnode (n. of nodes per element) 2 ; # ngaum (n. of Gauss points for axial rigidity) 2 ; # ngaub (n. of Gauss points for bending rigidity) 2 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear rigidity) 2 ; # ngstm (n. of Gauss points for axial forces) 2 ; # ngstb (n. of Gauss points for bending moments) 2 ; # ngsts (n. of Gauss points for shear forces) 2 ; # ndime (n. of geometric dimensions) 3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node) 4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation) 2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation) 0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system) 0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system) 0 ; # npspr (n. of springs) 0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors) ### Material properties index, element nodal properties index and ### list of the nodes of each element # ielem matno ielnp lnods ... 1 1 1 1 2 6 ; 2 1 1 1 3 8 ; 3 1 2 4 5 6 ; 4 1 2 6 7 8 ; 5 1 2 8 9 10 ; ### Coordinates of the points # ipoin coord-g1 coord-g2 1 7.0 0.0 ; 2 5.5 2.0 ; 3 8.5 2.0 ; 4 0.0 4.0 ; 5 2.0 4.0 ; 6 4.0 4.0 ; 7 7.0 4.0 ; 8 10.0 4.0 ; 9 12.0 4.0 ; 10 14.0 4.0 ; ### Points with fixed degrees of freedom and fixity codes (1-fixed;0-free) # ivfix nofix ifpre 1 1 1 1 0 ; 2 4 0 1 0 ; 3 10 0 1 0 ; ### Sets of material properties ### (Young modulus, Poisson ratio, mass per unit volume and thermic coeff.) # imats young poiss dense alpha 1 30e+06 0.00 1.0 1e-5 ; ### Sets of element nodal properties ### (Cross section area, tortional and flexural inertia and ### local coordinate system definition angle in degrees) # ispen 1 ; # inode barea bin2l 1 0.5 0.01042 ; 2 0.5 0.01042 ; 3 0.5 0.01042 ; # ispen


Joaquim Barros 4.70

2 ; # inode barea bin2l 1 0.5 0.04167 ; 2 0.5 0.04167 ; 3 0.5 0.04167 ; # =================================================================== ### Title of the first load case Accoes ; ### Load parameters 0 ; # nplod (n. of point loads in nodal points) 0 ; # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 3 ; # nedge (n. of edge loads) 0 ; # ntemp (n. of elements with temperature variation) 0 ; # nepoi (n. of element point loads) 0 ; # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom) ### Edge load (loaded element, loaded points and load value) ### (local coordinate system) # iedge loele 1 3 ; # lopoe q_l1 q_l2 q_l3 4 0.0 -50.0 0.0 ; 5 0.0 -50.0 0.0 ; 6 0.0 -50.0 0.0 ; # iedge loele 2 4 ; # lopoe q_l1 q_l2 q_l3 6 0.0 -50.0 0.0 ; 7 0.0 -50.0 0.0 ; 8 0.0 -50.0 0.0 ; # iedge loele 3 5 ; # lopoe q_l1 q_l2 q_l3 8 0.0 -50.0 0.0 ; 9 0.0 -50.0 0.0 ; 10 0.0 -50.0 0.0 ; END_OF_FILE ;

1 – Na Figura 1 representa-se um elemento de viga de Timoshenko de 3 nós. Determine as forças nodais equivalentes à força de 100 kN aplicada ortogonalmente ao eixo da viga, a 0.5 m da sua extremidade esquerda.

1 3

F=100 kN

1s

0.5 m

1.5 m 1.5 m 1

2

( )32

Figura 1 2 – A estrutura representada na Figura 2 está descretizada em 4 elementos de 3 nós de Timoshenko. e) Desprezando a deformabilidade axial das barras e utilizando a integração reduzida, calcule os

coeficientes de rigidez relativos ao nó B. f) Calcule as forças nodais equivalentes no nó B. g) Considerando dois pontos de Gauss por elemento, calcule os esforços de flexão e de corte no

elemento nº 1, sabendo que os deslocamentos dos nós deste elemento, no referencial global, são os seguintes :

Nó deslocamento segundo x1 deslocamento segundo x2 rotação segundo x3 1 0.00000000 0.00000000 -0.00084618 2 -0.00000000 -0.00091344 -0.00056319 3 -0.00000000 -0.00127759 0.00003270 h) Com base nos esforços do elemento nº 1 , determine o momento no nó A. Se os resultados não lhe

parecem aceitáveis, explique como procederia para melhorar os resultados obtidos. Dados: b=0.3 m, h=0.7 m; E=30 GPa, 0.0=υ Mola: mkNkm /000500=


Joaquim Barros 4.71

100 kN

3.00

m

5.00 m 4.00 m

km = 500 000kN/m

x 3

1x

2x

1 2 3 4 5

6

7

8

9

50 kN/m

1 2

3

4

A B

C

Figura 2

1 – No Quadro 1 apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático femixnd. a) Desenhe a estrutura, as condições de ligação da estrutura ao exterior e as características geométricas das secções das barras. b) Represente as acções que actuam na estrutura. c) Calcule a submatriz de rigidez associada aos graus de liberdade do nó 5. d) Calcule as forças nodais equivalentes correspondentes aos graus de liberdade do nó 5. d) Determine o momento flector e o esforço de corte no ponto de Gauss nº 1 do elemento nº 2, admitindo que os deslocamentos dos nós da estrutura em análise, no referencial global, são os seguintes (obtidos por intermédio do femixnd): Point number (ipoin) X displacement (delta-x) Y displacement (delta-y) Theta-Y rotation (delta-ty) ipoin delta-x delta-y delta-ty 1 0.00000000 0.00000000 -0.00016467 2 0.00000000 -0.00030491 -0.00084488 3 0.00017332 -0.00028604 -0.00007005 4 -0.00037563 -0.00079193 0.00019140 5 0.00006277 -0.00019359 0.00021382 6 0.00003138 -0.00015256 -0.00003199 7 0.00000000 0.00000000 0.00033052


Joaquim Barros 4.72

Quadro 1 – Ficheiro de dados ### Main title of the problem ## Linear analysis Complementos de Estruturas: 1a. chamada de Novembro de 1999 ; ### Main parameters 3 ; # nelem (n. of elements in the mesh) 7 ; # npoin (n. of points in the mesh) 3 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom) 1 ; # ncase (n. of load cases) 2 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime) 2 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime) 10 ; # ntype (problem type: 10-2D Timoshenko beam; 11-3D Timoshenko beam) 1 ; # ntyan (type of analysis:1-lin.;2-mat. nlin.;3-dyn. lin.;4-dyn. mat. nlin.) 3 ; # nnode (n. of nodes per element) 2 ; # ngaum (n. of Gauss points for the axial stiffness matrix) 2 ; # ngaub (n. of Gauss points for the bending stiffness matrix) 2 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear stiffness matrix) 2 ; # ngstm (n. of Gauss points for the axial forces) 2 ; # ngstb (n. of Gauss points for the bending moments) 2 ; # ngsts (n. of Gauss points for the shear forces) 2 ; # ndime (n. of geometric dimensions) 3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node) 4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation) 2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation) 0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system) 0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system) 0 ; # npspr (n. of springs) 0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors) ### Material properties index, element nodal properties index and ### list of the nodes of each element # ielem matno ielnp lnods ... 1 2 2 1 3 5 ; 2 1 1 2 4 5 ; 3 1 1 5 6 7 ; ### Coordinates of the points # ipoin coord-g1 coord-g2 1 0.0 0.0 ; 2 0.0 6.0 ; 3 2.0 1.5 ; 4 2.0 4.5 ; 5 4.0 3.0 ; 6 5.5 3.0 ; 7 7.0 3.0 ; ### Points with fixed degrees of freedom and fixity codes (1-fixed;0-free) # ivfix nofix ifpre 1 1 1 1 0 ; 2 2 1 0 0 ; 3 7 1 1 0 ; ### Sets of material properties ### (Young modulus, Poisson ratio, mass per unit volume and thermic coeff.) # imats young poiss dense alpha 1 30e+06 0.0 0.0 0.0 ; 2 200e+06 0.0 0.0 0.0 ; ### Sets of element nodal properties ### (Cross section area, tortional and flexural inertias, ### local coordinate system definition angle in degrees and ### position of the shear center at the section) # ispen 1 ; # inode barea bin2l 1 0.3 2.25e-03 ; 2 0.3 2.25e-03 ; 3 0.3 2.25e-03 ; # ispen 2 ; # inode barea bin2l 1 0.1 1e-09 ; 2 0.1 1e-09 ; 3 0.1 1e-09 ;


Joaquim Barros 4.73

# =================================================================== ### Title of the first load case Load case title (1) ; ### Load parameters 0 ; # nplod (n. of point loads in nodal points) 0 ; # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 2 ; # nedge (n. of edge loads) 0 ; # ntemp (n. of elements with temperature variation) 0 ; # nepoi (n. of element point loads) 0 ; # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom) ### Edge load (loaded element, loaded points and load value) ### (local coordinate system) # iedge loele 1 2 ; # lopoe f_l1 f_l2 m_l3 2 0.0 0.0 0.0 ; 4 0.0 -20.0 0.0 ; 5 0.0 -40.0 0.0 ; # iedge loele 2 3 ; # lopoe f_l1 f_l2 m_l3 5 0.0 -40.0 0.0 ; 6 0.0 -40.0 0.0 ; 7 0.0 -40.0 0.0 ; END_OF_FILE ; 2 – A secção da viga DE da estrutura representada na Figura 2 varia parabolicamente ao longo do seu desenvolvimento longitudinal. Para analisar esta estrutura, as barras biarticuladas foram discretizadas por um elemento finito de 3 nós e a viga DE foi discretizada por 10 elementos de 3 nós de Timoshenko de igual comprimento (2 metros cada). a) Adoptando a integração selectiva no cálculo da matriz de rigidez dos elementos finitos da viga DE,

calcule os coeficientes da matriz de rigidez global da estrutura, correspondentes aos graus de liberdade do nó D.

b) Considerando a ordem de integração que julgue adequada (justifique), calcule as forças no nó D, equivalentes à acção do peso próprio da viga. c) Sabendo que os deslocamentos, no referencial global, dos nós do 1º elemento da viga (ver Figura 2) são os seguintes (unidade de deslocamento em metros e de rotação em radianos):

*** Nodal displacements: (global coordinate system) Point number (ipoin) X displacement (delta-x) Y displacement (delta-y) Theta-Y rotation (delta-ty) ipoin delta-x delta-y delta-ty 7 (1º nó do elemento 1) 0.00036459 -0.00036458 -0.00234074 8 (2º nó do elemento 1) 0.00036459 -0.00268326 -0.00221977 9 (3º nó do elemento 1) 0.00036459 -0.00482145 -0.00199181

calcule os esforços de corte e de flexão, no ponto de Gauss mais próximo da secção D da viga. Comente os resultados obtidos. d) Se a viga DE estivesse submetida a uma de variação diferencial de temperatura ∆td, descreva os procedimentos necessários para calcular as forças nodais equivalente a esta acção, num elemento finito de Timoshenko de 3 nós. Dados: Barras biarticuladas: As = 100.0 cm2; Es = 200.0 GPa Viga DE: largura = 0.5 m; Ec = 30.0 GPa, νc=0.0; α = 1.0×10-5/oC; γc = 25.0 kN/m3


Joaquim Barros 4.74

7.0

10014

1007.0 2 ++−= xxh

20m5m

5m

10m

x

1,4m

0,7m

1

A

D

B

E

C

h Figura 2

1 - a) Admita que a viga simplesmente apoiada, representada na Figura 1 é discretizada por um único elemento finito de quatro nós de Timosenko.

a) Deduza a matriz de rigidez exacta deste elemento, apenas considerando a deformação por flexão e corte;

b) Quantos pontos de integração de Gauss-Legendre serão necessários para calcular exactamente as forças nodais equivalentes à acção actuante no elemento. Justifique.

c) Admitindo para p o valor de 100 kN/m, determine as forças nodais equivalentes à acção actuante;

d) Calcule os deslocamentos dos nós do elemento; e) Utilizando três pontos de Gauss por elemento, determine os esforços de flexão e de

corte nesses pontos de Gauss; f) Extrapole os esforços obtidos na alínea anterior para os nós do elemento finito.

Comente os resultados obtidos. Dados: Secção rectangular com largura de 0.5 m e altura de 0.7 m. Ec = 30.0 GPa, νc=0.0.

3.00 m

p kN/m 1 4

= = =2 3

Figura 1

4 - pórticos planos · pdf filemétodo dos elementos finitos aplicado a...

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