otimizaÇÃo de pÓrticos planos de concreto armado utilizando ajuste de … · 2019. 10. 25. ·...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

GABRIELLA AUTRAN GURGEL COÊLHO

OTIMIZAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO

ARMADO UTILIZANDO AJUSTE DE PARÂMETROS E

OPERADORES DO ALGORITMO GÉNETICO

Recife

2017

0

GABRIELLA AUTRAN GURGEL COÊLHO

OTIMIZAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO

ARMADO UTILIZANDO AJUSTE DE PARÂMETROS E

OPERADORES DO ALGORITMO GÉNETICO

Dissertação apresentada à Universidade Federal de

Pernambuco como parte dos requisitos para

obtenção do Título de Mestre em Engenharia Civil.

Área de concentração: Estruturas

Orientador: Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos

Afonso da Silva

Coorientador: Prof. Dr. Bernardo Horowitz

Recife

2017

Catalogação na fonte Bibliotecária Rosineide Mesquita G. Luz, CRB-4 / 1163

C672o Coêlho, Gabriella Autran Gurgel.

Otimização de pórticos planos de concreto armado utilizando ajuste de parâmetros e operadores do algoritmo génetico / Gabriella Autran Gurgel Coêlho. – 2017.

131 folhas, il., gráfs., tabs.

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva. Coorientador: Prof. Dr. Bernardo Horowitz. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2017. Inclui Referências e Apêndice. 1. Engenharia Civil. 2. Otimização. 3. Algoritmo genético. 4.

Parâmetros. 5. Pórticos planos. I. Silva, Silvana Maria Bastos Afonso da (Orientadora). II. Horowitz, Bernardo (Coorientador). III. Título.

UFPE 624 CDD (22. ed.) BCTG/2017-176

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

A comissão examinadora da Defesa de Dissertação de Mestrado

OTIMIZAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO

UTILIZANDO AJUSTE DE PARÂMETROS E OPERADORES DO

ALGORITMO GÉNETICO

defendida por

Gabriella Autran Gurgel Coêlho

Considera a candidata APROVADA

Recife, 23 de fevereiro de 2017

Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva – Orientadora – UFPE

Prof. Dr. Bernardo Horowitz – Coorientador – UFPE

Banca Examinadora:

___________________________________________

Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva – UFPE

(orientadora)

___________________________________________

Prof. Dr. Leonardo Correira de Oliveira – UFPE

(examinador externo)

___________________________________________

Prof. Dr. Renato de Siqueira Motta – UFPE

(examinador interno)

A Deus, que me deu forças para persistir

e conseguir chegar ao fim, e a minha

família, pelo apoio incondicional durante

toda minha vida.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos que contribuíram de forma direta e indireta para realização desse

trabalho.

RESUMO

Muitas das aplicações da Engenharia requerem a solução de problemas de otimização na

obtenção do projeto ótimo. Esses podem ser computacionalmente resolvidos por diversas

estratégias de otimização, dentre as quais estão os Algoritmos Genéticos (GA). Devido à

facilidade de programação, por não necessitar do cálculo de gradientes das funções e nem

que estas sejam contínuas, além do bom desempenho para encontrar o ótimo global, essa

técnica apresenta-se como uma potencial ferramenta para resolução de problemas de

otimização. Esta será abordada neste trabalho através da análise dos seus parâmetros e

operadores visto que a escolha adequada destes é fundamental para o uso eficiente do GA

como otimizador e consiste em um dos obstáculos no emprego de tal método. Nesse

trabalho, é apresentado um procedimento para ajuste off-line de parâmetros e operadores

do GA utilizando a técnica meta-evolucionária, que consiste em aplicá-lo no nível da

otimização de parâmetros do GA e do problema em si. Para validação da metodologia

proposta e sua implementação computacional, realizada no MATLAB, testes foram

conduzidos selecionando exemplos numéricos de diferentes complexidades e exemplos

associados à análise estrutural de pórticos planos de concreto armado, todos disponíveis

na literatura. No caso dos exemplos de pórticos planos, a função objetivo do problema é

o custo total da estrutura, que inclui o custo do concreto, forma e aço. As variáveis de

projeto são as seções transversais das vigas e pilares, diâmetros padrões para as barras da

armação e número de barras. Os pórticos são dimensionados de forma a atender as

especificações da NBR 6118:2014 e requisitos para obtenção de projetos exequíveis. Eles

são submetidos à análise não-linear pelo Método dos Elementos Finitos (MEF),

conduzida a cada iteração da otimização para atualização dos esforços na estrutura. Como

o problema de pórticos envolve restrições diversas, é conduzido ainda o estudo de

aplicação do Método de Penalização (APM) para lidar com estas no GA. Com aplicação

do APM, o problema é interpretado como irrestrito, o que permite configurar outros

parâmetros que não são possíveis quando as restrições são tratadas internamente pelo GA

do MATLAB. Os resultados obtidos são satisfatórios e permitiram a obtenção de

melhores respostas com o GA devidamente configurado pela ferramenta implementada,

o que evidencia e ratifica a importância da configuração dos parâmetros e operadores do

GA além de permitir o direcionamento de futuros trabalhos nessa linha de pesquisa.

Palavras-Chave: Otimização. Algoritmo genético. Parâmetros. Pórticos planos.

ABSTRACT

Optimization techniques have been successfully employed to solve many practical

engineering problems. Since such applications commonly present responses with

multimodal characteristics, the selection of a global optimization technique as the strategy

of choice in the solution process is often required. Genetic Algorithms (GAs) are a well-

established, extensively used option with certain advantages: they are able to handle

discontinuous functions, discrete and continuous variables, and can be conducted without

gradient information. On the other hand, a significant obstacle to their employment is the

time-consuming process to define the problem-dependent control parameters. The current

work presents a procedure for configuring GA parameters and operators using a meta-

level technique, thus GAs are shown to be suitable for both levels of the system

optimization problem. To validate the studied approach and all necessary computational

implementations using MATLAB benchmark side constraint problems with different

complexities and reinforced concrete planes frames examples are the applications

addressed by the study, all cases are available in literature. For the plane frames, the

objective function involves the material and placement costs of concrete, reinforcement

and formwork. The design variables are the dimensions of cross section of beams and

columns which compose the frame, the standard reinforcement bar diameters and the

numbers of bars. The frames are designed considering practical requirements in addition

to relevant provisions and the requirements of NBR 6118:2014 to obtain allowable

designs. These structural response quantities are computed for each frame design using

the Finite Element Method (FEM). A non-linear analysis is performed via FEM each

iteration of the optimization for obtaining the current load effects in the frame during the

iterative process. Since such applications present many constraints, the adaptive penalty

method (APM) is also employed here in order to form an ‘‘unconstrained problem’’ and

allow the study of configuring other parameters since MATLAB restricts the change of

some parameters configuration for situations of constrained problems in which the

constraints are internally dealt by MATLAB´s GA. The results obtained from the design

examples optimized are satisfactory and better than those achieved with the non-

configured MATLAB GA. It clearly indicates the importance of configuring the GA

parameters and can be used as a basis of studies for future works in this research line.

Keywords: Optimization. Genetic algorithm. Parameters. Plane frames.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Fluxograma do processo geral de otimização. ............................................... 19

Figura 2 – Função unimodal x função multimodal......................................................... 21

Figura 3 – Espaço de representação gráfica de problema de otimização bidimensional.22

Figura 4 – Otimização topológica de uma estrutura discreta. ........................................ 27

Figura 5 - Otimização topológica de uma estrutura contínua. ........................................ 27

Figura 6 - Exemplo de otimização da geometria, que envolve achar a função 𝜼(𝒙) que descreve a forma de uma viga genérica. ......................................................................... 28

Figura 7 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto em compressão. ................... 32

Figura 8 - Diagrama tensão-deformação dos aços.......................................................... 32

Figura 9 - Representação dos efeitos em estruturas de edifícios altos: 1) perspectiva; 2)

estrutura indeformada; 3) edificação sujeita a instabilidade global; 4) instabilidade local

de pilares centrais inferiores. .......................................................................................... 35

Figura 10 – Forças atuantes no elemento de viga com 3 graus de liberdade por nó. ..... 36

Figura 11- Fluxograma do MEF com análise não-linear (implementado neste trabalho).

........................................................................................................................................ 38

Figura 12 - Esquema de forças verticais (a) e horizontais fictícias (b). ......................... 39

Figura 13 - Deslocamentos horizontais entre os pavimentos. ........................................ 39

Figura 14 - Domínios de dimensionamento. .................................................................. 41

Figura 15 - Posição da solicitação normal nos eixos de simetria. .................................. 43

Figura 16 - Diagrama de interação para taxa mecânica de armadura ω. ....................... 44

Figura 17 - Elementos que compõem a estrutura de um edifício. .................................. 47

Figura 18 - Viga de concreto armado simplesmente apoiada. ........................................ 49

Figura 19 - Análise gráfica do problema da viga de concreto armado simplesmente

apoiada. ........................................................................................................................... 50

Figura 20 - Pórtico plano testado. ................................................................................... 51

Figura 21 - Correspondência entre termos da Biologia e Algoritmo Genético na

linguagem de programação. ............................................................................................ 55

Figura 22 - Esquema para representação de um problema com 5 dimensões (5 variáveis

de projeto) e com 3 indivíduos (possíveis soluções). ..................................................... 55

Figura 23 - Exemplos de cromossomo codificados nas representações mais comuns. .. 58

Figura 24 - Tipos de mutação por tipo de codificação. (a) Inversão de bit (codificação

binária); (b) Mudança de ordem e (c) Inserção (codificação por permutação); (d) Adição

(ou subtração) de número pequeno a determinadas posições do gene. .......................... 60

Figura 25 - Taxonomia para ajuste de parâmetros. ........................................................ 62

Figura 26 - Fluxo de informações e controle de qualidade no ajuste de parâmetros. .... 63

Figura 27 - Resumo de pesquisas recentes desenvolvidas sobre ajuste de parâmetros,

divididas por tipo de técnica utilizada. ........................................................................... 64

Figura 28 - Resumo de pesquisas recentes desenvolvidas sobre ajuste de parâmetros,

divididas por parâmetro ajustado. ................................................................................... 65

Figura 29 - Representação Gráfica da Função Schwefel. ............................................... 66

Figura 30 - População inicial. ......................................................................................... 66

Figura 31 - População final e resultados obtidos para as taxas de cruzamento de 0,2, 0,5

e 0,8. ............................................................................................................................... 67

Figura 32 - Descrição ilustrativa da função f(x). ............................................................ 71

Figura 33 - Representação esquemática do exemplo ny =1. .......................................... 74

Figura 34 - Código esquemático de GA1 para ny =1 ..................................................... 75

Figura 35 - Comunicação entre GA1 e GA2 .................................................................. 76

Figura 36 - Código esquemático de GA2 para ny=1. ..................................................... 77

Figura 37 - Roteiros para GA1 e GA2. ........................................................................... 78

Figura 38 - Típica ftarget para uma função analítica...................................................... 78

Figura 39 - Metodologia dos experimentos conduzidos. ................................................ 80

Figura 40 - Etapas problema de otimização. .................................................................. 89

Figura 41 - Pórtico PF1 (αL). ......................................................................................... 90

Figura 42 - Pórtico PF2 (3B3S): Organização das variáveis. ......................................... 92

Figura 43 - Pórtico PF2: Representação da estrutura e nós utilizando o SAP................ 93

Figura 44 - Problema PF2_01: Gráfico de evolução resultado obtido para os testes 1,2 e

3 (valores normalizados), respectivamente (a), (b) e (c). ............................................. 100

Figura 45 - Pórtico PF3 (2B6S): Organização das variáveis. ....................................... 106

Figura 46 - Pórtico PF3: Representação da estrutura e nós no SAP............................. 107

Figura 47 - Pórtico PF3: Casos de carga estudados...................................................... 108

Figura 48 - Pórtico PF3: Configuração da armação das vigas para o i-ésimo grupo (viga

com 2 vãos) ................................................................................................................... 111

Figura 49 - Pórtico PF3: Configuração das variáveis de projeto referente à armação dos

pilares ........................................................................................................................... 112

Figura 50 - Gráfico normalizado desempenho dos testes 2 e 3 em relação ao resultado

obtido com o teste 1. ..................................................................................................... 117

Figura 51 - Gráfico comparativo da constituição de cada geração do GA em função da

frequência de aplicação do crossover/mutação e elitismo. ........................................... 118

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Resumo dos domínios em função das condições de solicitação da seção

transversal. ...................................................................................................................... 40

Tabela 2 - Valores para esforço normal reduzido ν e parâmetro β. ................................ 44

Tabela 3 – Resultados viga de concreto armado simplesmente apoiada. ....................... 51

Tabela 4 – Resultados pórtico plano, =1 .................................................................... 52 Tabela 5 – Resultados pórtico plano, =0,4 ................................................................. 52 Tabela 6 – Parâmetros do GA estudados ........................................................................ 72

Tabela 7 - Tipos de crossover e mutação estudados ....................................................... 72

Tabela 8 – Problemas numéricos estudados ................................................................... 81

Tabela 9 - Equações dos problemas numéricos estudados ............................................. 81

Tabela 10 - Problemas numéricos: Parâmetros estudados pelo M_GA ......................... 82

Tabela 11 - Problemas numéricos: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3

........................................................................................................................................ 82

Tabela 12 – Problemas numéricos: Comparação entre resultados obtidos .................... 83

Tabela 13 - Dados dos testes aplicados a exemplos associados à analise estrutural. ..... 85

Tabela 14 – Aços utilizados nos reforços das seções de concreto.................................. 88

Tabela 15 - Problema PF1: Parâmetros estudados M_GA ............................................. 90

Tabela 16 – Problema PF1: Rodadas do M_GA ............................................................ 90

Tabela 17 – Problema PF1: Comparação entre resultados obtidos. ............................... 91

Tabela 18 – Problema PF1: Verificação das restrições do problema no ponto ótimo

obtido. ............................................................................................................................. 91

Tabela 19 – Pórtico PF2: Variáveis de projeto das vigas (por grupo de viga) ............... 94

Tabela 20 - Pórtico PF2: Variáveis de projeto dos pilares (por grupo de pilar) ............. 94

Tabela 21 - Problema PF2_01: teste 01 .......................................................................... 97

Tabela 22 – Problema PF2_01: Parâmetros estudados M_GA ...................................... 98

Tabela 23 – Problema PF2_01: Rodadas do M_GA ...................................................... 98

Tabela 24 – Problema PF2_01: teste 02 ......................................................................... 99

Tabela 25 – Problema PF2_01: teste 03 ......................................................................... 99

Tabela 26 – Problema PF2_01: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3 . 99

Tabela 27 - Problema PF2_01: Comparação entre resultados obtidos ........................... 99

Tabela 28 – Problema PF2_02: teste 01 ....................................................................... 102

Tabela 29 – Problema PF2_02: Parâmetros estudados M_GA .................................... 102

Tabela 30 – Problema PF2_02: Rodadas do M_GA .................................................... 102



Tabela 33 – Problema PF2_02: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3 104

Tabela 34 - Problema PF2_02: Comparação entre resultados obtidos ......................... 104

Tabela 35 – Comparação dos resultados da análise linear via o MEF implementado x

SAP 2000 (pórtico PF3). .............................................................................................. 109

Tabela 36 – Comparação resultados da análise não-linear via o MEF implementado x

SAP 2000 (pórtico PF3). .............................................................................................. 109

Tabela 37 – Pórtico PF3: Variáveis de projeto das vigas (por grupo de viga) ............. 110

Tabela 38 - Pórtico PF3: Variáveis de projeto dos pilares (por grupo de pilar) ........... 112

Tabela 39 – Problema PF3: teste 01 ............................................................................. 113

Tabela 40 – Problema PF3: Rodadas do M_GA .......................................................... 113

Tabela 41 - Problema PF3: teste 02 .............................................................................. 114

Tabela 42 - Problema PF3: teste 03 .............................................................................. 114

Tabela 43 – Problema PF3: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3 ..... 115

Tabela 44 - Problema PF3: Comparação entre resultados obtidos ............................... 115

Tabela 45 – Resumo dos resultados obtidos ................................................................. 116

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 14 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ......................................................................... 14 1.2 MOTIVAÇÃO ................................................................................................. 15 1.3 OBJETIVO ...................................................................................................... 15

1.4 METODOLOGIA ............................................................................................ 15 1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ......................................................... 16

2 OTIMIZAÇÃO 18 2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 18

2.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ... 19 2.3 ELEMENTOS QUE CONSTITUEM UM PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO 20

2.3.1 Variáveis de projeto ....................................................................................... 20

2.3.2 Função objetivo .............................................................................................. 21 2.3.3 Restrições ........................................................................................................ 22 2.4 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO ..................................................................... 23

3 ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL 26 3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 26

3.2 REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................ 29 3.3 DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 31

3.3.1 Hipóteses de cálculo ....................................................................................... 31

3.3.2 Análise estrutural ........................................................................................... 33 3.3.3 Estabilidade de uma estrutura ...................................................................... 34 3.3.4 Procedimento empregado para análise estrutural ...................................... 35

3.3.5 Critério de ruptura das seções de concreto armado ................................... 39 3.3.6 Considerações sobre o cálculo de pilares ..................................................... 41

3.3.7 Considerações sobre o cálculo de vigas ........................................................ 44 3.3.8 Introdução ao cálculo de pórticos planos..................................................... 46 3.3.9 Formulação do dimensionamento ótimo em problemas estruturais ......... 48

3.3.10 Exemplos para validação ............................................................................... 48 3.3.10.1 Viga simplesmente apoiada ............................................................................. 48

3.3.10.2 Pórtico plano .................................................................................................... 51

3.3.10.3 Conclusão ......................................................................................................... 53

4 ALGORITMO GENÉTICO 54 4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 54 4.2 OPÇÕES DO ALGORITMO GENÉTICO E OPERADORES GENÉTICOS 56

4.2.1 Representação dos indivíduos ....................................................................... 57 4.2.2 Geração da população inicial ........................................................................ 58

4.2.3 Escalonamento e seleção dos indivíduos ...................................................... 58 4.2.4 Crossover ........................................................................................................ 59 4.2.5 Mutação .......................................................................................................... 59 4.2.6 Elitismo ........................................................................................................... 61 4.2.7 Critérios de parada ........................................................................................ 61 4.3 AJUSTE DE PARÂMETROS ......................................................................... 61

4.3.1 Impacto dos operadores do GA no processo de otimização ....................... 65 4.3.2 Parâmetros mais comumente ajustados....................................................... 67 4.3.2.1 Mutação ........................................................................................................... 67

4.3.2.2 Crossover ......................................................................................................... 68 4.3.2.3 Tamanho da população .................................................................................... 68 4.4 FERRAMENTA PROPOSTA ......................................................................... 69

4.4.1 Algoritmo genético utilizado ......................................................................... 69 4.4.2 Método de penalização adaptativa (APM) .................................................. 70 4.4.3 Objetivo principal da ferramenta proposta ................................................ 71 4.4.4 Implementação ............................................................................................... 73 4.4.5 Descrição do algoritmo .................................................................................. 74

5 CASOS ESTUDADOS 79 5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 79 5.2 APLICAÇÃO 1: EXEMPLOS NUMÉRICOS (FUNÇÕES ANALÍTICAS) . 80

5.3 APLICAÇÃO 2: PÓRTICOS PLANOS .......................................................... 83

5.3.1 Problema PF1 ................................................................................................. 89 5.3.1.1 Apresentação .................................................................................................... 89 5.3.1.2 Resultados ........................................................................................................ 90

5.3.2 Problema PF2 ................................................................................................. 92 5.3.2.1 Apresentação .................................................................................................... 92 5.3.2.2 Otimização ....................................................................................................... 93 5.3.2.3 Resultados ........................................................................................................ 97

5.3.3 Problema PF3 ............................................................................................... 104 5.3.3.1 Apresentação .................................................................................................. 104 5.3.3.2 Otimização ..................................................................................................... 110

5.3.3.3 Resultados ...................................................................................................... 112

5.4 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................. 115

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 119 6.1 DESENVOLVIMENTOS .............................................................................. 119

6.2 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................. 120 6.3 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ......................................... 121

REFERÊNCIAS.............................................................................................122

APÊNDICE A – PARÂMETROS E OPERADORES DO GA DO

MATLAB....................................................................................................... 127

14

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

Ao projetar uma estrutura, o engenheiro pode optar pelo procedimento tradicional

que consiste em adotar, de maneira intuitiva, uma configuração inicial para geometria e

materiais e então, a partir do carregamento definido, calcular as capacidades resistentes e

deslocamentos para verificação do atendimento aos critérios de segurança e utilização.

Esse processo é repetido a partir de alterações nessas configurações pré-estabelecidas até

que os critérios sejam devidamente satisfeitos. Ainda assim, a solução pode não ser a mais

econômica, visto que se parte de uma seleção intuitiva.

Entretanto, devido à crescente necessidade de obtenção de projetos que envolvam

soluções econômicas e viáveis em tempo hábil, os procedimentos tradicionais vêm dando

espaço a metodologias de otimização que se tornaram ao longo das últimas décadas

fundamentais no uso de métodos computacionais para aplicações na Engenharia prática.

Com tais procedimentos, o projetista pode avaliar mais alternativas, e, portanto, obter de

maneira automática um projeto melhor e economicamente mais efetivo.

Neste trabalho são projetados pórticos de concreto armado de baixo custo que

satisfaçam as especificações e limites da NBR 6118 (ABNT, 2014) utilizando o

Algoritmo Genético (GA). A classe dos GAs se distingue das demais técnicas de

otimização pelo uso de conceitos da genética em populações para guiar a busca. Ele

simula a seleção natural que conduz a evolução biológica ao fim e são usados para

solucionar problemas restritos e irrestritos que não podem ser resolvidos por algoritmos

de programação matemática quando estes envolvem funções objetivo descontínuas, não-

diferenciáveis ou multimodais. Também apresentam habilidade de lidar com variáveis

contínuas e inteiras e não requerem informação de gradientes.

A escolha de parâmetros e operadores de um GA pode resultar em respostas bem

distintas. Uma boa configuração pode acarretar em uma boa convergência do algoritmo

para melhores resultados em um tempo menor de processamento, enquanto que fazendo

uso de uma configuração inadequada pode inclusive resultar na não obtenção de uma

solução viável.

Neste estudo foi desenvolvida e aplicada uma ferramenta de ajuste off-line de

parâmetros e operadores do GA utilizando técnica meta-evolucionária. Essa técnica foi

introduzida em Grefenstette (1986) e apresenta o problema de controle dinâmico dos

parâmetros do algoritmo primário como um problema de otimização secundário. Dessa

15

forma, o GA é aplicado tanto no nível de otimização de parâmetros/operadores como no

nível de otimização do problema em si.

O objetivo principal deste trabalho consiste em determinar parâmetros que

originam uma configuração ótima para procedimentos de otimização utilizando o GA

aplicado a exemplos numéricos e a exemplos associados à análise estrutural (pórticos

planos em concreto armado).

1.2 MOTIVAÇÃO

O desafio de utilizar o Algoritmo Genético devidamente configurado de forma a

obter resultados ótimos que essa técnica tem capacidade de encontrar ainda se constitui

um desafio para os pesquisadores. Esta pesquisa se insere nesse contexto, em que uma

das motivações é atingir esses resultados melhores a partir do uso de ferramenta para

seleção de parâmetros e configuração do GA aplicado a problemas estruturais. Além

disso, essa pesquisa também permite a aplicação dos conceitos e implementação do

método dos elementos finitos com análise não-linear e o estudo de técnicas de penalização

para lidar com restrições.

1.3 OBJETIVO

O objetivo principal desta dissertação consiste em encontrar configurações

adequadas para o GA que propiciem a obtenção de resultados ótimos e melhores do que

um GA não configurado de forma a mostrar os ganhos que podem ser conseguidos com

o investimento nessa etapa de ajuste de parâmetros.

Além disso, o conhecimento adquirido nesse trabalho de pesquisa servirá de base

para serem aplicados a problemas mais complexos no futuro e no uso de técnicas de ajuste

de parâmetros complementando a abordagem aqui empregada.

1.4 METODOLOGIA

A linguagem de programação MATLAB foi escolhida para o desenvolvimento

das rotinas e para análise estrutural devido à simplicidade e grande capacidade numérica

proveniente da vasta biblioteca matemática acoplada ao mesmo. A metodologia

empregada para elaboração deste trabalho pode ser resumida pelas etapas a seguir.

a) Implementação do código M_GA para ajuste de parâmetros, fazendo uso da

ferramenta de computação paralela do MATLAB com distribuição de tarefas

entre 2 laboratórios que se comunicam e que trabalham de maneira

independente (um laboratório aguarda a resposta do outro);

16

b) Implementação dos exemplos numéricos para primeira aplicação do M_GA;

c) Aplicação do M_GA a funções analíticas e verificação dos resultados obtidos;

d) Seleção dos problemas estruturais para estudo;

e) Implementação das funções objetivo, restrições, configurações de cada

estrutura estudada;

f) Verificação das rotinas implementadas para otimização e da configuração de

cada problema estudado;

g) Implementação da rotina mef_pf.m para análise linear e não-linear de pórticos

planos via método dos elementos finitos. Inicialmente a análise iria ser

totalmente conduzida no SAP 2000, entretanto, devido ao tempo de

processamento e visando reduzir o esforço computacional, optou-se pela

implementação e uso do MEF no MATLAB;

h) Verificação dos resultados obtidos pela rotina mef_pf.m e comparação com os

resultados obtidos utilizando o software comercial (SAP 2000), com o

objetivo de verificar o código implementado;

i) Execução de 4 etapas de testes para cada exemplo estudado:

A. Teste 1: Otimização usando GA do MATLAB;

B. Aplicação do M_GA, ferramenta proposta pelo presente trabalho para

investigação da configuração de parâmetros do GA;

C. Teste 2: Otimização usando GA com parâmetros/operadores que foram

melhor solução obtida dentre as rodadas de aplicação do M_GA;

D. Teste 3: Otimização usando GA com os parâmetros/operadores médios das

soluções das rodadas de aplicação do M_GA.

j) Compilação e análise dos resultados obtidos.

1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

Esta dissertação consiste de seis capítulos organizados de maneira a facilitar o

entendimento dos estudos realizados. Uma breve descrição do conteúdo de cada capítulo

é dada a seguir.

O presente capítulo mostra uma visão geral do estudo.

O Capítulo 2 apresenta a definição e aspectos gerais sobre o procedimento de

otimização, como formulação matemática padrão, elementos que constituem um

problema dessa natureza e as diversas técnicas de otimização disponíveis.

17

O Capítulo 3 faz a conexão entre otimização e sua aplicação a problemas

estruturais, descrevendo a formulação matemática para otimização de pórticos de

concreto armado e apresentando revisão de literatura sobre o tema. Neste capítulo, faz-se

uma descrição detalhada sobre análise e estabilidade de estruturas, com ênfase no

procedimento empregado para análise das estruturas modeladas neste trabalho. Também

são ilustrados exemplos introdutórios sobre otimização de estruturas.

O Capítulo 4 discorre sobre o Algoritmo Genético e sobre as técnicas de ajuste

de parâmetros. Neste capítulo é descrito com detalhes o procedimento para elaboração do

código do M_GA, ferramenta para configuração de parâmetros do GA proposta neste

trabalho.

O Capítulo 5 trata dos exemplos considerados. Os mesmos são divididos em

Aplicação 1 referente aos 6 exemplos numéricos estudados e Aplicação 2, referentes aos

3 pórticos planos estudados. Para cada exemplo é feita a apresentação da função

analítica/estrutura, formulação matemática do problema de otimização, considerações

utilizadas nos testes e resultados obtidos. Ao fim do capítulo são tecidos comentários

acerca dos resultados e feito um resumo de todos.

No último capítulo deste trabalho, Capítulo 6, será resumido às realizações feitas

nesta dissertação. As conclusões obtidas através dos diversos resultados serão também

descritas e discutidas neste capítulo, que se encerra com sugestões para trabalhos futuros.

A bibliografia consultada é apresentada no final desta dissertação.

18

2 OTIMIZAÇÃO

2.1 INTRODUÇÃO

De acordo com Silva (2009), a otimização pode ser definida como o estudo de um

conjunto de técnicas que têm como objetivo obter melhor resultado para uma função e

parâmetros (variáveis de projeto) pré-especificados dentro de um conjunto permitido

(espaço de projeto viável). Os problemas de engenharia geralmente envolvem um grande

número de variáveis, então cabe ao projetista encontrar uma combinação para que estas

resultem em um projeto mais eficiente e econômico possível.

O interesse pelos processos de otimização tem aumentado com o avanço dos

recursos computacionais. As técnicas têm avançado rapidamente e progresso

considerável tem sido obtido, e agora problemas complexos de otimização são passiveis

de serem solucionados utilizando as técnicas e recursos disponíveis.

Não existe uma única técnica de otimização que possa ser aplicada de maneira

eficiente em todos os problemas e a escolha depende das características da função

objetivo, da dimensão do problema, da natureza das restrições e tipo das variáveis.

As principais etapas do projeto de otimização de um produto podem ser resumidas

no fluxograma apresentado na Figura 1. No caso do sistema estrutural de uma ponte, por

exemplo, as etapas consistem em:

• Concepção do projeto:

Definição do uso do produto que será otimizado, que implica na definição do

comprimento e largura do vão, quantidade de pistas e cargas que são esperadas para atuar

na estrutura, etc.;

Definição de concepção da estrutura (treliçada, estaiada, em arco) e do material

(concreto, aço, mista);

• Elaboração do problema de otimização:

Definição da função objetivo (minimização do custo, peso da estrutura) e das

Variáveis de projeto (seções transversais, por exemplo);

Definição das restrições (relacionadas às tensões máximas, deslocamentos

máximos, condições de apoio, etc.);

• Detalhes e desenvolvimento do modelo para o processo:

Definição do tipo de análise e da forma de condução da análise estrutura;

Definição de estratégias para simplificação do problema e de metodologias para

lidar com restrições, etc.;

19

• Análise crítica:

Análise da solução obtida e da sensibilidade frente a variações em parâmetros dos

modelos e as hipóteses adotadas.

Figura 1 - Fluxograma do processo geral de otimização.

Fonte: Elaborado pelo autor.

2.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Matematicamente, em um problema de otimização genérico (Kirsch, 1993)

definido na Eq.(1) se deseja encontrar um conjunto de n variáveis de projeto contido em

um vetor x, que:

Minimize ( )

(ou maximize)

Sujeito a: ( ) ( 1,2,3,..., )

( ) ( 1,2,3,..., )

i i

i i

l u

f = f

g g i m

h h j l

x

x

x

x x x

(1)

Os componentes x são as variáveis de projeto. A função f (x) é a meta do problema.

As funções gi(x) e hj(x) representam, respectivamente, as restrições de desigualdade e de

igualdade. As restrições geométricas são os limites inferiores xl e os limites superiores xu.

20

Quando o problema é de maximização, o problema é resolvido através da minimização

da função objetivo em sua forma negativa (-f (x)). Operações matemáticas também são

aplicadas no caso das desigualdades.

A discrepância entre a magnitude das variáveis de projeto e/ou das funções

objetivo e de restrições pode levar a dificuldades numéricas na solução dos problemas de

otimização. Diante disso, é importante que as funções e variáveis envolvidas nos

problemas sejam normalizadas. Como nos casos reais da Engenharia é comum começar

o projeto como uma configuração pré-estabelecida, pode-se utilizar esse valor inicial para

efetuar a normalização. Sendo assim, a magnitude das variáveis e das funções será

conforme Eq.(2) a Eq.(4) (Silva, 2009).

0

ii

i

x

xx

(2)

em que ix e 0ix são, respectivamente, o valor da variável i (corrente) no ponto x

e o valor da variável i (inicial) do ponto x0 .

0

( )( )

( )

ff

f

xx

x (3)

em que f (x) e f (x0) são, respectivamente, a função objetivo avaliada no ponto x

(corrente) e a função objetivo avaliada no ponto x0 (inicial). A normalização das restrições

de igualdade pode ser feita da mesma forma apresentada nessa equação.

( )( ) 0

u

j j

j u

j

g gg

g

xx (4)

em que gj(x) e u

jg são, respectivamente, o valor da restrição j correspondente a

variável x (corrente) e valor limite superior da mesma. Da mesma forma pode ser obtida

a normalização para restrições com limite inferior.

2.3 ELEMENTOS QUE CONSTITUEM UM PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

2.3.1 Variáveis de projeto

As variáveis de projeto são parâmetros numéricos responsáveis pela modificação

do projeto. Por meio de limites, é definido o espaço viável das mesmas. O potencial de

mudanças para obter o melhor desempenho do projeto através da otimização é expresso

em termo das variações permitidas nesse grupo de parâmetros (Silva, 2009).

As variáveis de projeto podem assumir valores contínuos ou discretos. Problemas

com variáveis discretas, em geral, são mais complicados de serem resolvidos

21

(dependendo do algoritmo utilizado). No geral envolvem o ajuste da solução continua da

solução ótima para o valor discreto mais próximo (Silva, 2009).

2.3.2 Função objetivo

É uma função que mede a eficiência ou qualidade do projeto, e pode ser

unidimensional ou multidimensional de acordo com o número de variáveis utilizadas para

compô-la. Um problema de otimização também pode ser formulado com uma ou mais

funções objetivo (problema uniobjetivo e multiobjetivo, respectivamente), que por sua

vez podem ser caracterizadas ainda segundo o comportamento entre as variáveis (linear

ou não-linear) e a presença ou não de pontos de mínimo local (multimodal ou unimodal,

respectivamente). Esse último conceito é exemplificado na Figura 2 partir dos gráficos

das funções extraídas de Molga et al. (2005).

Figura 2 – Função unimodal x função multimodal.

(a) Função De Jong´s (unimodal)

(b) Função Griewangk (multimodal)


22

2.3.3 Restrições

São funções ou parâmetros que fornecem limitações ao projeto (em algumas ou

em todas as variáveis de projeto). É comum distinguir as restrições em:

1) Geométricas: determinadas através da imposição de limites

inferiores/superiores das variáveis de projeto e são funções de desigualdade

por natureza L U x x x ;

2) De comportamento: determinadas através de especificações de funções que

dependem das variáveis de projeto, impondo a limitação das mesmas a um

semi-espaço, através de funções de desigualdade, ou em superfície, através de

funções de igualdade.

O espaço de projeto é delimitado pelas restrições geométricas, e a viabilidade do

projeto é determinada pela intersecção entre o espaço delimitado pelas restrições

geométricas e as restrições de comportamento. Uma restrição de desigualdade gi (x) ≤ 0

é dita ativa para um ponto x* quando gi (x*) = 0, é dita inativa ou passiva se gi (x*) < 0 e

dita violada se gi (x*) > 0. Uma restrição de igualdade hi (x) = 0 é dita violada para um

ponto x* de um dado projeto se hi (x*) é diferente de zero, e ativa caso contrário (Torres,

2001). Na Figura 3 é ilustrado um exemplo de representação gráfica de um problema de

otimização bidimensional envolvendo restrições de desigualdade. No ponto ótimo,

indicado na figura, todas as restrições estão ativas (gi (x*) = 0).

Figura 3 – Espaço de representação gráfica de problema de otimização bidimensional.


É importante ressaltar que o número de restrições de igualdade deve ser menor ou

igual ao número de variáveis para que não se tenha um sistema superdeterminado,

23

enquanto que para as restrições de desigualdade não há limitação do número de funções

(Silva, 2009).

A resolução de problemas restritos geralmente é mais difícil do que de problemas

irrestritos (Antoniou & Lu, 2007). Diante disso, ao longo do tempo vem sendo estudadas

e desenvolvidas técnicas para reformulação de problemas com restrições em problemas

irrestritos através, por exemplo, da incorporação das restrições na função objetivo.

2.4 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO

Conforme mencionado anteriormente, não existe um único otimizador que possa

ser aplicado de maneira eficiente em todos os problemas e a escolha depende das

características do problema a ser resolvido. Existem na literatura várias formas de

classificar as técnicas de otimização. Adaptando a classificação proposta por Antoniou &

Lu (2007), as abordagens disponíveis podem ser classificadas em:

(a) Métodos analíticos

(b) Métodos gráficos

(c) Métodos experimentais

(d) Métodos numéricos

(e) Métodos de busca heurística

Os métodos analíticos são baseados em técnicas de cálculo diferencial, em que o

critério de minimização/maximização é definido em termos da derivada de f(x1, x2,..,xn) e

dos valores dos parâmetros x1, x2,..,xn que levam a derivada a se anular. Essa técnica não

pode ser aplicada a problemas como muitas variáveis nem com alto grau de não-

linearidade.

Métodos gráficos podem ser utilizados para plotar a função objetivo, porém o

problema só pode envolver até 2 variáveis. Podem ser plotados gráficos x1 versus f(x1) no

caso de 1 variável de projeto, ou ainda curvas de contorno, ou seja, gráficos em que os

ambos os eixos são as variáveis de projeto (caso de problemas bidimensionais). Como a

maioria dos problemas da engenharia envolve um grande número de variáveis, a aplicação

dessa metodologia fica restrita a poucas situações.

No método experimental o sistema é configurado a partir do ajuste “manual” das

variáveis e o critério de eficiência é medido a cada ajuste de configuração. A aplicação

desse método pode não garantir a obtenção de resultados ótimos globais devido à

interação entre variáveis dos problemas.

24

A abordagem mais comum é baseada em métodos numéricos, que a partir de uma

estimativa inicial para solução. Procedimentos iterativos são usados para gerar uma série

de soluções ao longo do processo de otimização. O processo termina quando algum

critério de parada é satisfeito (como por exemplo, critério de convergência e número de

iterações). Essas técnicas são usadas para resolver problemas complexos de otimização,

e ainda podem ser subdivididas em técnicas de programação linear, inteira, quadrática,

não-linear e dinâmica (Antoniou & Lu, 2007). Cada uma delas é adequada a um tipo de

problema de otimização bem como da natureza da função objetivo e das restrições. A

programação não-linear é a mais geral, podendo a linear e quadrática serem consideradas

casos particulares desta. Dentre os métodos de programação não-linear podem ser citados

o método das penalidades, método das funções de barreiras e métodos das direções

viáveis, dentre outros.

Os métodos de busca heurística se baseiam em análises probabilísticas das

possíveis soluções para um determinado problema. Dentro desse grupo tem-se os

Algoritmos Evolucionários (EAs), que usam a seleção natural como instrumento de busca

para resolver problemas (Oliveira, 2013).

Na década de 60, foram desenvolvidos os algoritmos genéticos (Genetic

Algorithms – GAs) (Oliveira, 2013). Nos anos 80 e 90 também ocorreu grande avanço

nas pesquisas utilizando algoritmos meta-heurísticos, com o surgimento de diversas

metodologias inspiradas em fenômenos da natureza, como o resfriamento simulado

(Simulated Annealing – SA); a busca tabu (Tabu Search); o algoritmo de otimização da

colônia de formigas (Ant Colony Optimization – ACO); e o algoritmo do enxame de

partículas (Particle Swarm Optimization – PSO), bastante utilizado na atualidade

(Oliveira, 2013).

Devido à disponibilidade de várias versões do GA em programas computacionais,

além do desenvolvimento de técnicas que já foram implementadas para tornar este

algoritmo mais robusto, ele é um dos EAs mais populares nos dias atuais.

Por fim, a escolha do algoritmo de otimização depende do comportamento

matemático do problema e da função objetivo. Os problemas da Engenharia geralmente

envolvem funções não-lineares e requerem, portanto, algoritmos robustos e eficientes.

No presente trabalho foi utilizado o GA como método de otimização. Ele simula

a seleção natural que conduz a evolução biológica ao fim e são usados para solucionar

problemas restritos e irrestritos apesar de geralmente requererem grande número de

avaliações de função. Muitos destes problemas não podem ser resolvidos por algoritmos

25

de programação matemática quando envolvem funções objetivo descontínuas, não-


contínuas e discreta e não requerem informação de gradientes. Podem ser citados os

trabalhos de Camp et al. (2003) e Lee et al. (2003) como exemplos de pesquisas

envolvendo o GA na otimização discreta. Mais detalhes sobre o GA serão apresentados

nas seções subsequentes deste trabalho.

26

3 ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

3.1 INTRODUÇÃO

A prática comum do projeto de estruturas de concreto armado inclui a escolha das

dimensões das seções transversais e das armaduras de reforço que atendam aos requisitos

de rigidez, ductilidade, condições de serviço e outras restrições associadas às

especificações de dimensionamento das peças segundo a norma corrente adotada no

projeto. Os procedimentos de otimização vêm sendo cada vez mais utilizados e capazes,

a depender da ferramenta utilizada, de determinar de maneira eficiente e confiável

soluções ótimas e adequadas em comparação com a abordagem tradicional de tentativa e

erro.

Em geral, vários objetivos são considerados no projeto estrutural (Liang, 2005).

São eles:

A. Funcionalidade

B. Condições de Serviço

C. Resistência

D. Economia

Códigos e normas impõem restrições para as condições de serviço e resistência,

que são objetivos relacionados à segurança a fim de garantir que a estrutura projetada se

comporte conforme a função esperada para ela. A funcionalidade e economia não tem

relação com a função estrutural do sistema, mas podem ser usadas para classificar os

projetos que satisfazem o desempenho estrutural exigido. É importante destacar que a

escolha de uma configuração global adequada para a estrutura pode ser mais eficiente do

que modificar as dimensões das peças estruturais que a compõem. O problema de

otimização com múltiplos objetivos de desempenho em geral é resolvido selecionando

apenas uma das funções (A-D) e considerando as demais como restrições.

Muitos livros e artigos a respeito do desenvolvimento teórico e prático da

otimização estrutural foram sido publicados desde 1960 (Liang, 2005). A maioria das

publicações se refere a aspectos matemáticos, ao invés de práticos devido à complexidade

matemática que, em geral, esses métodos apresentam.

Os problemas de otimização estrutural podem ser classificados de acordo com a

classe de suas variáveis de projeto (Torres, 2001). São elas:

a) Propriedades dos materiais/ dimensões: os materiais convencionais possuem

variáveis que são representadas por valores discretos, como módulo de

27

elasticidade, resistência característica e peso específico. O objetivo nesse tipo

de otimização é maximizar o desempenho da estrutura em termos de seu peso

e rigidez global ou resistência. O espaço de projeto é mantido fixo durante o

processo de otimização; A variável pode ser também alguma medida, como

área da seção transversal e momento de inércia de um pilar.

b) Topologia: consiste na definição ótima do leiaute estrutural. O projeto tem

condições de contorno e domínio pré-estabelecido. No caso discreto, como é

de uma treliça (vide Figura 4), as variáveis de projeto são as áreas das barras

que a compõem. Permitindo que essas variáveis assumam valor zero admite-

se que elas possam ser removidas da estrutura e, portanto, a conectividade dos

nós é variável e a topologia da treliça é alterada. Caso seja uma estrutura

contínua (vide Figura 5), a mudança na topologia por ser feita ao permitir

valores nulos para espessura do elemento.

Figura 4 – Otimização topológica de uma estrutura discreta.

(a) Situação inicial (b) Projeto otimizado

Fonte: Christensen & Klarbring (2009, p.06).

Figura 5 - Otimização topológica de uma estrutura contínua.


c) Geometria (forma): a geometria de pórticos e treliças, por exemplo, é descrita

pelas coordenadas dos nós ou pelo comprimento e inclinação das barras. Em

28

um corpo sólido genérico, a variável de projeto representa a forma ou o

contorno de alguma parte da fronteira do domínio da estrutura. A otimização

consiste em escolher um domínio de integração para as equações diferenciais

de maneira ótima. A otimização de geometria (ou forma) é ilustrada na Figura

6. Nesse tipo de otimização, o espaço de projeto não é fixo.

Figura 6 - Exemplo de otimização da geometria, que envolve achar a função 𝜼(𝒙) que descreve a forma de uma viga genérica.


De acordo com Liang (2005), a otimização integrada da topologia, geometria e

dimensões também é conhecida como otimização de “layout”. Na otimização topológica

de estruturas contínuas, em geral, não se considera a possibilidade de diminuir o tamanho

da estrutura, que tem impacto direto no comportamento do projeto. Esse autor ainda

observa que a otimização topológica pode diminuir significativamente os custos de uma

estrutura quando comparando a otimização de geometria e de dimensões.

De acordo com Christensen & Klarbring (2009), o ideal seria a otimização de

geometria ser considerada uma subclasse da otimização topológica.

Outros autores, como Torres (2001) ainda trazem outras classes, como a

otimização de apoios e carregamentos, em que as condições de contorno ou distribuição

de carga na estrutura são as variáveis de projeto. As localizações do apoio da estrutura e

forças externas são exemplos dessa classe e podem apresentar valores discretos ou

contínuos.

De acordo com Nina (2006), as técnicas de otimização utilizadas no projeto de

estruturas podem ser classificadas em três grandes grupos:

1) Programação matemática: pode ser dividida em programação linear e não-

linear, de acordo com maneira de combinação das variáveis de projeto e

distinguem-se entre algoritmos de ordem zero, primeira e segunda ordem

dependendo do número de derivadas que a função exige. Métodos de ordem

29

zero são Busca Aleatória, Busca em Grelha e Método Simplex. Como

exemplos de primeira ordem têm-se: Método do Gradiente (Steepest Descent)

e o Método dos Gradientes Conjugados. O Método de Newton é um exemplo

de programação matemática de segunda ordem.

2) Método dos critérios de otimização: foi criado para ser aplicado indiretamente,

combinado com multiplicadores de Lagrange. De acordo com Nina (2006),

esse método vem sendo aplicado principalmente em problemas que envolvem

grandes estruturas, dividindo o problema em subproblemas de forma a garantir

a convergência dos resultados.

3) Algoritmos evolucionários (EAs): os EAs clássicos são os algoritmos

genéticos, estratégias de evolução, computação evolutiva, dentre outros. São

algoritmos inspirados na natureza e é o enfoque desse trabalho.

3.2 REVISÃO DE LITERATURA

A otimização aplicada a estruturas de concreto armado obteve um considerável

avanço nas últimas décadas. Com o levantamento dos trabalhos realizados nessa área

observa-se que o principal problema ao comparar a eficiência e aplicabilidade das

diferentes abordagens relaciona-se ao fato delas se basearem em diferentes códigos

normativos, que implica em diferentes regras para posicionamento e cálculo de armaduras

bem como restrições e outras premissas de cálculo, como diâmetros de barras e

espaçamentos.

De acordo com Sias & Alves (2014), a utilização da programação matemática

como técnica para resolução de problemas de otimização em estruturas é muitas vezes

impraticável, visto que ela envolve derivação para encontrar a solução ótima e a maioria

dos problemas estruturais são definidos por funções não-lineares.

No trabalho de Sias & Alves (2014), os autores ainda destacam que os GAs tem

sido bastante utilizados, pois eles se adaptam bem aos problemas estruturais, já que essa

técnica não possui restrições quanto ao tipo, à continuidade da função, se é derivável, etc.

Este trabalho ainda cita um estudo realizado por Medeiros e Kripka (2012) que comparou

o uso de métodos heurísticos, como colônia de formigas (Ant Colony Optimization –

ACO (Sucupira, 2004)), enxame de partículas (Particle Swarm Optimization – PSO

(Silva,2011)), resfriamento simulado (Simulated Annealing – AS (Ferreira,2008)) e GAs

(Oliveira, 2013), dentre outros, e concluíram que os mais consolidados são estes dois

30

últimos embora os pesquisadores alertem que a eficiência do método é dependente da

calibração dos parâmetros utilizados.

Argolo (2000) resolveu problemas de dimensionamento ótimo de seções

retangulares de concreto armado submetidas à flexo-compressão reta. Utilizando

parâmetros de penalização na implementação do algoritmo, este autor verificou que o GA

é mais eficaz e robusto ao ser comparado com outros métodos de otimização.

Cohn e Dinovitzer (1994), a partir do levantamento de cerca de 2.500 exemplos

estruturais apresentados em livros e artigos, chegaram às seguintes conclusões:

• 25% desta literatura refere-se a estudos sobre vigas, treliças planas e espaciais e

pórticos. Os demais exemplos da literatura referem-se a grelhas, chapas, placas,

arcos, cabos dentre outros;

• 88% dos casos considera o carregamento estático;

• 12% considera carregamentos dinâmicos (este número tem crescido nas últimas

décadas);

• Mais de 90% dos casos considera estruturas de aço.

Rath et al. (1999) utilizou como função objetivo o custo total da estrutural,

levando em consideração o material, fabricação, montagem e custo da forma proporcional

ao volume de concreto. Foi conseguida uma redução de material e custo de 40% e 56%,

respectivamente. Interfere diretamente, por exemplo, na economia de uma fábrica de pré-

moldados.

Progressos foram feitos na área de otimização de pórticos em concreto armado via

programação matemática. No trabalho de Hoit et al. (1991) foram projetados pórticos

planos usando o método do Lagrangeano Aumentado e técnica de programação não-

linear. Em Torres (2001) a otimização de pórticos planos é contínua e obedece às

normativas do ACI (American Concrete Institute).

Vianna (2003) pesquisou a otimização de pórticos planos, otimizando

separadamente vigas e pilares (considerando apenas a compressão excêntrica no domínio

5 e trabalhando somente à flexão normal em um eixo), recalculando os esforços e

novamente modelando a estrutura a partir da nova condição ótima. Este procedimento foi

realizado iterativamente até que a solução fosse julgada ótima. Foi utilizada a técnica

determinística de Lagrange.

No trabalho de Kwak & Kim (2008) foi sugerida uma técnica de otimização

discreta através do desenvolvimento de um algoritmo simplificado em que as seções de

31

concreto armado disponíveis em um banco de dados pré-estabelecido são pesquisadas

utilizando regressão a partir da relação delas com sua capacidade resistente.

A otimização discreta de estruturas de concreto armado tem sido conduzida

utilizando algoritmos evolucionários, dentre os quais o GA (Lee et al, 2003). Ele simula

a seleção natural que conduz a evolução biológica ao fim e são usados para solucionar

problemas restritos e irrestritos que não podem ser resolvidos por algoritmos de

programação matemática quando estes envolvem funções objetivo descontínuas, não-


contínuas e discretas e não requerem informação de gradientes. Podem ser citados os

trabalhos de Camp et al. (2003) e Lee et al. (2003) como exemplos de pesquisas

envolvendo o GA na otimização discreta.

3.3 DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO

3.3.1 Hipóteses de cálculo

A NBR 6118 (ABNT, 2014) define no item 17.2.2 as seguintes hipóteses para

análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar no Estado Limite Último

(ELU)1:

a) A seção transversal do elemento permanece plana e normal ao eixo do

elemento estrutural após a deformação. Dessa hipótese resulta uma

distribuição linear das deformações normais ao longo da altura das seções

transversais;

b) Aderência perfeita entre concreto e aço (não escorregamento entre esses

materiais);

c) É desprezada a resistência à tração do concreto, sendo esta resistido apenas

pelas armaduras.

d) Para o concreto em compressão, é empregado o diagrama parábola-retângulo

mostrado na Figura 7, em que 𝜀𝑐 é a deformação e 𝜎𝑐 a tensão de compressão

no concreto e fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto, dada pela

razão entre o fck (resistência característica do concreto) e 𝛾𝑐 (coeficiente parcial

de segurança), mostrada na Eq.(5). As deformações 𝜀0 e 𝜀𝑢 são em geral

adotadas como 2‰ e 3.5‰, respectivamente.

1 ELU é o estado limite relacionado ao colapso, ou qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine

a paralisação do uso da estrutura.

32

ckcd

c

ff

(5)

Figura 7 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto em compressão.

Fonte: Araujo (2009, p.02)

e) Para os aços para concreto armado, admite-se comportamento idêntico em

tração e compressão. É adotado o diagrama tensão-deformação mostrado na

Figura 8, em que 𝜀𝑠 é a deformação do aço, 𝜎𝑠 a tensão nas barras de aço, fyk

a tensão de escoamento característica e 𝛾𝑠 o coeficiente parcial de segurança.

A tensão de escoamento de cálculo, fyd, é dada pela Eq.(6). A deformação de

escoamento de cálculo, 𝜀𝑦𝑑, é dada pela razão entre fyd e o módulo de

elasticidade longitudinal do aço (𝐸𝑠).

yk

yd

s

ff

(6)

Figura 8 - Diagrama tensão-deformação dos aços.

Fonte: Araujo (2009, p.02)

33

3.3.2 Análise estrutural

A NBR 6118/2014 define, nos itens 14.2.1 e 14.2.2, a análise estrutural a partir de

seus objetivos e princípios da seguinte forma: “O objetivo da análise estrutural é

determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar

verificações dos estados-limites últimos e de serviço”. A análise estrutural permite

estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos,

em uma parte ou em toda a estrutura.

A análise estrutural deve ser feita a partir de um modelo estrutural adequado ao

objetivo da análise. Em um projeto pode ser necessário mais de um modelo para realizar

as verificações previstas nesta Norma. O modelo deve representar a geometria dos

elementos estruturais, os carregamentos atuantes, as condições de contorno, as

características e respostas dos materiais, sempre em função do objetivo específico da

análise. A resposta dos materiais pode ser representada por um dos tipos de análise

estrutural apresentados nos itens 14.5.1 a 14.5.5 da referida norma (NBR 6118/2014). Os

tipos de análise estrutural que a norma aborda são:

a) Análise Linear: admite-se comportamento elástico-linear para os materiais. Na

análise global, as características podem ser determinadas pela seção bruta de

concreto e na eventualidade da fissuração, deve ser considerada para análise

local de deslocamentos. Geralmente são empregados para verificação de

Estados Limites de Serviço (ELS)2 e podem servir de base para o

dimensionamento de elementos estruturais no ELU desde que se garanta uma

ductilidade mínima às peças.

b) Análise Linear com Redistribuição: “os efeitos das ações, determinadas em

uma análise linear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de

carregamento do ELU.” Não se recomenda utilizar esse tipo de análise nas

verificações de serviço e, quando utilizadas para verificar ELU, as condições

de equilíbrio e ductilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas e esforços

internos devem ser recalculados.

c) Análise Plástica (item 14.5.4): A análise estrutural é denominada plástica

quando as não linearidades puderem ser consideradas, admitindo-se materiais

de comportamento rígido-plástico perfeito ou elastoplástico perfeito. Este tipo

2 Item 10.4 NBR 6118 (2014): Estados-limites de serviço são aqueles relacionados ao conforto do usuário

e à durabilidade, aparência e boa utilização das estruturas, seja em relação aos usuários, seja em relação às

máquinas e aos equipamentos suportados pelas estruturas.

34

de análise deve ser usado apenas para verificações de ELU. A análise plástica

de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando: a) se consideram os

efeitos de segunda ordem global; b) não houver suficiente ductilidade para que

as configurações adotadas sejam atingidas.

d) Análise não-linear: admite-se comportamento não-linear para os materiais e

pode ser usada tanto para verificações no ELU como no ELS. Neste caso, toda

a geometria da estrutura bem como suas armaduras precisam ser conhecidas

para que esse tipo de análise possa ser conduzido visto que a resposta da

estrutura depende de como ela foi armada. Devem ser satisfeitas as condições

de equilíbrio, compatibilidade e ductilidade.

e) Análise através de modelos físicos: o comportamento estrutural é

determinado a partir de ensaios realizados com modelos físicos de concreto.

Esse tipo de análise é recomendado quando os modelos de cálculo são

insuficientes.

3.3.3 Estabilidade de uma estrutura

A estabilidade de pórticos está ligada a diversos fatores, como rigidez das

ligações, deformações por cortante, efeitos de 2ª ordem e imperfeições geométricas e dos

materiais empregados (Schuwartz et al, 2016).

A obtenção dos esforços e deslocamentos pode ser realizada por análise de

primeira ordem, na qual é pressuposto o equilíbrio da estrutura na sua posição inicial

indeformada, ou análise de segunda ordem, na qual o equilíbrio da estrutura se dá a partir

de sua posição deformada, o que gera esforços adicionais denominados efeitos de 2ª

ordem.

Estes efeitos podem ser classificados em:

A. Globais: surgem em decorrência dos deslocamentos dos nós da estrutura quando

esta é submetida à ação de cargas horizontais e verticais;

B. Locais: os eixos das barras da estrutura não se mantêm retilíneos, surgindo os

efeitos locais que afetam os esforços solicitantes ao longo das barras da estrutura.

A consideração dos efeitos de 2ª ordem conduzem a não-linearidade entre as ações

e deformações (não-linearidade geométrica) e a consideração da fissuração e fluência do

concreto conduzem a não-linearidade física. A análise estrutural com efeitos de 2ª ordem

deve assegurar que, para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo, não

35

ocorra perda de estabilidade nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo (NBR

6118 (2014)).

Nos pilares-parede ainda existem os efeitos de 2ª ordem localizados, que possuem

maior magnitude e aumentam os esforços de flexão longitudinal e transversal em

determinadas regiões da estrutura. Na Figura 9 são representadas as possibilidades de

instabilidade devido aos efeitos globais e locais de 2ª ordem.

Figura 9 - Representação dos efeitos em estruturas de edifícios altos: 1) perspectiva; 2) estrutura

indeformada; 3) edificação sujeita a instabilidade global; 4) instabilidade local de pilares centrais

inferiores.

Fonte: Carvalho & Filho (2002, p.02)

Para conduzir a análise de estabilidade global de um pórtico primeiramente é

necessário classificá-lo como estrutura de nós fixos ou como de nós móveis. As estruturas

de deslocamentos horizontais pequenos (efeito global de 2ª ordem menor do que 10% dos

esforços de 1ª ordem) são classificadas como de nós fixos (contraventado) e, portanto, os

efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis.

As estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes (efeito global de

2ª ordem maior do que 10% dos esforços de 1ª ordem) são classificadas como de nós

móveis (não-contraventadas). A análise desse tipo de estrutura implica em considerar,

obrigatoriamente, os efeitos locais e globais de 2ª ordem.

3.3.4 Procedimento empregado para análise estrutural

Neste trabalho foi utilizado o Método dos Elementos Finitos (MEF) para a análise

estrutural. Essa técnica numérica tem sido muito empregada por projetistas e

pesquisadores nos campos da Engenharia por ser versátil e poder ser aplicada a problemas

que envolvem diferentes tipos de seções transversais, carregamentos, condições de apoio,

36

materiais etc. (Liang, 2005). Para aplicação do MEF foi feita a implementação no

ambiente do MATLAB (rotina principal mef_pf.m) e aferição dos resultados por meio da

comparação com os deslocamentos e esforços obtidos para o pórtico modelado no SAP

2000 (um exemplo de comparação dos resultados é apresentado no Capítulo 5). Vale

ressaltar que todas as análises foram conduzidas considerando estrutura de pórtico não

contraventado. No MEF o pórtico é definido como uma série de elementos lineares

rigidamente conectados, em que as vigas e pilares são representados pelos seus eixos

baricêntricos. Cada elemento, representado na Figura 10, possui 2 nós, cada nó com 3

graus de liberdade (duas translações dx, dy e uma rotação ϕz).

Figura 10 – Forças atuantes no elemento de viga com 3 graus de liberdade por nó.

Fonte: Logan (2007, p.216)

O vetor de deslocamentos d é obtido pela resolução do sistema de equação dado

pela Eq. (7), em que K é a matriz de rigidez do elemento em coordenadas globais dada

na Eq. (8). A matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais é representada por k̂

e T a matriz de rotação dos eixos (vide Logan (2007)).

F K d (7)

ˆTK T kT (8)

Na rotina mef_pf.m para análise de segunda ordem foi implementado o

procedimento iterativo em que a matriz de rigidez e os esforços tem seus valores

corrigidos até que seja atingida a convergência. Esta matriz de rigidez local das barras de

rigidez EI submetidas a flexo-compressão considera as funções de estabilidade C e S

dadas na Eq. (9) e Eq. (10) (Schuwartz et al, 2016).

37

2 34 2 44

15 25000

L EI PL P LC

EI L EI

(9)

2 32 26

30 25000

L EI PL P LS

EI L EI

(10)

em que L é o comprimento do elemento, P é a força axial na barra (sinal positivo

para compressão e negativo para tração). A matriz de rigidez para consideração da análise

não-linear ˆnlk é dada na Eq. (11) e considera efeitos axiais, cortante e flexão (quando

P=0, C=2 e S = 2 esta corresponde à matriz para análise de 1º ordem).

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

2 20 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

0 ( ) 0 ( )ˆ

0 0 0 0

2 20 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

0 ( ) 0 ( )

nl

EA EA

L L

EI P EI EI P EIC S C S C S C S

L LL L L L

EI EI EI EIC S C C S S

L LL Lk

EA EA

L L

EI P EI EI P EIC S C S C S C S

L LL L L L

EI EI EI EIC S S C S C

L LL L

(11)

Na Figura 11 é ilustrado o fluxograma com as etapas principais implementadas

para análise de pórticos planos via MEF com análise de 2º ordem.

Para a comparação dos resultados da análise não-linear implementada no

MATLAB, o SAP 2000 foi configurado para calcular os efeitos de segunda ordem por

meio do processo P-Delta disponível nesse programa (Computers and Structures, 2009).

38

Figura 11- Fluxograma do MEF com análise não-linear (implementado neste trabalho).


O processo P-Delta, também denominado Método da Carga Lateral Fictícia,

consiste em um processo aproximado de análise não-linear geométrica feito através de

cálculo iterativo em que o efeito dos deslocamentos sucessivos são transformados em

forças horizontais equivalentes (Moncayo, 2011).

A aplicação do carregamento vertical origina os esforços horizontais fictícios

(cortante fictício V’ e carga lateral fictícia H’) mostrados na Figura 12. Esses esforços

podem ser obtidos pelas seguintes expressões dadas na Eq.(12) e Eq.(13), em que i

representa o pavimento, Pi a carga aplicada, hi altura entre os pavimentos e Δi os

deslocamentos. O deslocamento entre os pavimentos (Figura 13) dão origem a momentos.

39

Para obtenção do momento final de segunda ordem global, são realizadas algumas

iterações até que a posição de equilíbrio seja atingida (Moncayo, 2011).

1' ( )i

i i

i

PV

h

(12)

1' ' 'i iH V V (13)

Figura 12 - Esquema de forças verticais (a) e horizontais fictícias (b).

(a) (b)

Fonte: Moncayo (2001, p.54)

Figura 13 - Deslocamentos horizontais entre os pavimentos.

(a) (b) (c)

Fonte: Moncayo (2001, p.53)

3.3.5 Critério de ruptura das seções de concreto armado

A ruína de uma seção transversal pode ocorrer por ruptura do concreto ou por

deformação excessiva da armadura. Na Figura 14 são mostrados os estados (domínios de

40

dimensionamento) em que a condição da deformada plana do elemento pode ser

enquadrada. O enquadramento da distribuição das deformações ao longo da altura da

seção transversal em um dos domínios reflete o modo de ocorrência da ruína, que

caracteriza o ELU.

Nos domínios 1 e 2 há deformação excessiva da armadura, se distinguindo pelo

fato de no domínio 1 não haver tensões de compressão. No domínio 2 não há ruptura por

compressão do concreto e há o máximo alongamento permitido para as armaduras,

portanto caracteriza-se uma ruptura dúctil (com aviso prévio) em função da intensa

fissuração que precede a ruptura. As peças subarmadas (com taxa de armadura muito

pequena) rompem no domínio 2.

Nos domínios 3, 4 e 4a ocorre esmagamento do concreto em seções parcialmente

comprimidas. Tanto o domínio 3 como 4 são em flexão simples ou compostas com ruptura

à compressão do concreto, com e sem o escoamento do aço, respectivamente. No domínio

4a ocorre compressão das armaduras em flexão composta. As peças normalmente

armadas rompem no domínio 3 e o tipo de ruptura é semelhante ao 2, ou seja, dúctil. As

peças superarmadas (taxa de aço alta) tem ruptura frágil e brusca, no domínio 4. O

domínio 5 caracteriza compressão não-uniforme (flexo-compressão), sem tensões de

tração. Na Tabela 1 são mostrados os possíveis domínios para enquadramento das

estruturas em função das condições de solicitação da seção transversal.

Tabela 1 - Resumo dos domínios em função das condições de solicitação da seção transversal.

Condições de solicitação Possíveis domínios

Flexão Simples 2,3,4

Flexo-Tração 1,2,3,4

Flexo-Compressão 2,3,4,5 Fonte: Elaborado pelo autor.

Tradicionalmente, o dimensionamento à flexão simples era realizado

considerando todo o domínio 3 (Araujo, 2010). Entretanto, devido ao uso de concretos

cada vez mais resistentes, é necessário impor restrições mais severas para a profundidade

da linha neutra para obtenção de uma ruptura dúctil e com aviso prévio, portanto, o ideal

é que o dimensionamento seja considerado entre os domínios 2 e 3.

41

Figura 14 - Domínios de dimensionamento.

Fonte: Torres (2001, p.43)

3.3.6 Considerações sobre o cálculo de pilares

De acordo com Torres (2001), no projeto ótimo de pilares a armadura é controlada

pela resistência da coluna ou pela taxa de armadura mínima.

Projetados para suportar cargas axiais e momentos fletores gerados a partir de

solicitações normais, nessas estruturas existem efeitos de 1º ordem devido ao ponto

teórico de aplicação da força normal não estar localizado no centro de gravidade da seção

transversal (Bastos, 2015). Reiterando o introduzido na seção 3.3.3, podem existir

também os efeitos de 2ª ordem decorrentes dos deslocamentos horizontais da estrutura

quando submetida à ação de cargas horizontais e verticais. Nessa situação os eixos do

pilar não mais se mantêm retilíneos, surgindo efeitos locais de 2ª ordem que, a princípio,

afetam os esforços solicitantes ao longo do elemento.

Quando a estrutura tem nós que se deslocam mais do que o aceitável para permitir

uma análise apenas de efeitos locais, é necessário considerar os efeitos de 2ª ordem

globais (vide considerações feitas sobre estabilidade de estruturas na seção 3.3.3).

Quanto à esbeltez (l), dada na Eq.(14), os pilares podem ser classificados em

algumas categorias segundo Araujo (2010):

a) Curtos: nesses casos podem ser desprezados os efeitos de 2º ordem;

b) Moderadamente esbeltos: os efeitos de 2ª ordem têm que ser considerados, mas

permite-se o emprego de processo simplificado;

c) Esbeltos: os efeitos de 2ª ordem têm que ser considerados, levando em conta as

não-linearidades física e geométrica de forma rigorosa.

42

el

i

(14)

sendo

Ii

A

(15)

em que:

le = comprimento de flambagem do pilar e é em função do comprimento real (L) do

mesmo e das vinculações na base e no topo;

i = raio de giração da seção geométrica da peça (sem consideração de armadura na seção);

I = momento de inércia;

A = área de seção.

O limite que define cada categoria acima apresentada depende do índice de

esbeltez, da excentricidade relativa de primeira ordem e da forma do diagrama de

momentos de primeira ordem (Araujo, 2010).

Os pilares ainda podem ser classificados, de acordo com a posição na estrutura,

como:

a) Intermediários: correspondem aos apoios intermediários das vigas. Considerando

apenas o carregamento vertical atuante nelas, os momentos transmitidos a esses

pilares são pequenos e, em geral, podem ser desprezados. Quando as vigas

adjacentes possuem carregamento ou vão muito diferentes (não simetria), pode

ser necessário considerar os momentos transmitidos pelas vigas. Dessa forma, um

pilar intermediário contraventado (Araujo, 2010), em geral e excluindo erros de

execução ou excentricidade na posição das vigas em relação ao seu eixo, está em

uma situação de compressão centrada (também conhecida como compressão

simples ou uniforme).

b) De extremidade: nesse caso os momentos transmitidos devem ser considerados e

a situação de projeto é de flexo-compressão normal (ou seja, a força normal e o

momento fletor atuam em uma direção). Este é o tipo estudado neste trabalho e é

ilustrado na Figura 15.

c) De canto: a situação de projeto é flexo-compressão oblíqua (ou seja, força

normal e momentos fletores que atuam nas duas direções principais do pilar), já

que devem ser considerados os momentos de ambas as vigas que nele terminam.

43

No caso de pórticos planos, ocorrem apenas os dois primeiros casos descritos, de

pilares intermediários e de extremidade.

Figura 15 - Posição da solicitação normal nos eixos de simetria.

Fonte: Nina (2006, p.29)

O dimensionamento de pilares pode ser feito a partir do diagrama de interação,

que é um conjunto de curvas representadas no sistema de eixos do esforço normal e fletor

reduzidos ( , respectivamente). Cada curva corresponde a uma dada taxa mecânica

de armadura , e representa o lugar geométrico dos pares de esforço normal e fletor

reduzidos que levam a seção ao estado limite último. A geometria da seção, bem como a

disposição e quantidade de armaduras são pré-estabelecidas.

Para uma seção genérica de concreto armado submetida a um momento fletor Md

e esforço normal Nd, a obtenção do diagrama de interação é feita através da definição

otimizaÇÃo de pÓrticos planos de concreto armado utilizando ajuste de … · 2019. 10. 25. ·...

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