Aula 11

Cálculo de Limites. Exercícios

Ano académico 2017

Analise Matemática

Tema 1. Cálculo Diferencial

Cálculo de limites.

Bibliografia Básica

Autor Título Editorial Data

Stewart, James Cálculo, Volume 1

5ta. Edição,

Pioneira

Thompson

Learning

2006

Zuma Medeiros ,

Valéria

Pré-Cálculo

2ª edição revista actualizada

CENGAGE

Learning 2012

Demana,

Franklin... (et al.) Pré-Cálculo

Pearson

Education do

Brasil

2011

Larson, Ron Cálculo Aplicado

1 Edição,

Pioneira

Thomson

Learning

2011

EXERCÍCIO 1

y

x 1 5

2

1

O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?

Lim f(x) não existe x 1

O que ocorre com f(x) quando x = 1?

y

x 1 5

3

2

EXERCÍCIO 2

Lim f(x) = L = 2 x 1

Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1) x 1

x 1

y

5

2

1

EXERCÍCIO 3

O que ocorre com f(x) quando x = 1?

Dado o gráfico de f(x):

3

5

-3

3

-2 x

f(x)

3.5

f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlim

limlim

2x0x

3x3x

Encontre:

EXERCÍCIO 4

Cálculo de Limites

PASSOS A SEGUIR PARA O CÁLCULO DE LIMITES

1. Avaliar para saber se é um límite directo ou se estamos na

presença de uma forma indeterminada.

2. TENTAR desaparecer a indeterminação através de operações

algébricas: factorização, produtos notáveis, racionalização,

sustituição de alguma identidade trigonométrica ... se for o

caso...

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)

2

3

2

3:Rpta;

3x4xx

2xx3)

1:Rpta,x

x1x12)

1/4:Rpta,x

24x1)

2

3x

1/31/3

23

2

1x

0x

0x

lim

lim

lim

lim

3

Determine os seguintes limites:

EXERCÍCIO 5

)(

4

11

(

4(

(

)(

(

(.

)(

2

x1x1

x1x1

x

x1x12)

24x2)4xx

4)

2)4xx

44x

2)4x

2)4x

x

24x

24x

24x

x

24x1)

lim

limlim

limlim

lim

0x

0x0x

0x0x

0x

porndomultiplicaarRacionaliz

x

porndomultiplicaarRacionaliz

• Nas linhas 1 e 2 tem que racionalizar

EXERCÍCIO 5

• Na linha 3 tem que factorizar

• Na linha 4 tem que calcular os limites laterais

Utilize as regras para calcular limites indeterminados:

EXERCÍCIO 6

x2

x4xlim4)

ba,ax

babxlim3)

4x

2xlim2)

1-x

1xlim1)

2

4x

22ax

22x

4

1x

EXERCÍCIO 7

Calcular :

23

2lim)

2

2

1

xx

xxa

x

h

hb

h

8)2(lim)

3

0

t

tc

t

3

9lim)

9

)).(( 2233 babababa

Factorizar

Racionalizar denominador

1

2

1

1lim)

21 xxd

x Factorizar

EXERCÍCIO 7 Calcular :

0

(5 )) lim

2x

sen xe

x

x

x

xf

x

31

lim)

52

4lim)

2

xx

xg

x

npsemou

npsemb

a

npsem

bxbxb

axaxap

p

p

p

n

n

n

n

x

)(

0

...

...lim

0

1.

1

0

1.

1

Leibniz

EXERCÍCIO 8

Calcular :

x

xxf

x

xxxe

x

xxd

xx

xxc

x

xxbxxa

xxx

xxx

46

232 lim)

34

353 lim)

45

332 lim)

43

523 lim)

35

32 lim))574( lim)

2

2

3

23

2

2

1

3

2

2

2

2

3

2

1

xx

xg5

01lim)

EXERCÍCIO 9

Calcular :

EXERCÍCIO 10

Calcular :

253) 2

lim

xxax

1032

74)

2

3

lim xx

xxb

x

12

13)

2

3

lim xx

xxd

x

75

32)lim x

xe

x

124

121)

2

3

lim x

xf

x

84

63)

2

lim x

xxg

x

xxx

xxh

x 533

322)

23

3

lim