análise e proposta de atividades sobre a trigonometria no triângulo

Análise e proposta de atividades

sobre a trigonometria no triângulo

retângulo

PAULO ROBERTO DOS SANTOS

ANÁLISE E PROPOSTA DE

ATIVIDADES SOBRE A

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

Paulo Roberto dos Santos

Cintia A. Bento dos Santos

ANÁLISE E PROPOSTA DE

ATIVIDADES SOBRE A

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

Universidade Cruzeiro Do Sul

2014

© 2014

Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor – Profa. Dra. Tania Cristina Pithon-Curi

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação – Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato

Banca examinadora

Profa. Dra. Cintia A. Bento dos Santos

Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato

Prof. Dr. Marcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

S237a

Santos, Paulo Roberto dos.

Análise e proposta de atividades sobre a trigonometria no

triângulo retângulo / Paulo Roberto dos Santos. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2014.

32 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e

Matemática). 1. Educação matemática. 2. Trigonometria – Ensino médio 3.

Construção do conhecimento - Matemática 4. Matemática – Ensino e aprendizagem. I. Título II. Série.

CDU: 51:37

Sumário

1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5

2 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS DE VERGNAUD .......................................... 6

3 O PRODUTO ........................................................................................................................... 9

3.1 ATIVIDADE 1 ........................................................................................................................ 9

3.2 ATIVIDADE 2 ...................................................................................................................... 12

3.3 ATIVIDADE 3 ...................................................................................................................... 14

3.4 ATIVIDADE 4 ...................................................................................................................... 15

3.5 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PROPOSTA ................................................................ 16

4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 27

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 29

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 32


5


1 APRESENTAÇÃO

Este produto educacional foi construído a partir da dissertação intitulada

“Um estudo sobre a trigonometria no triângulo retângulo”, defendida em 2014,

cujo objetivo foi verificar as revelações que alunos de um 2º ano de Ensino

Médio de uma escola pública estadual da cidade de São Paulo têm sobre o

conhecimento trigonométrico; como mobilizam tal conhecimento, introduzido no

Ensino Fundamental, para resolverem tarefas e como este pode ser útil para a

construção de novos conhecimentos.

Santos (2014) é mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela

Universidade Cruzeiro do Sul (UNICSUL); licenciado em Matemática pelo

Centro Universitário Sant´Anna (UNISANT´ANNA); especialista em Matemática

para Professores do Ensino Fundamental II e do Ensino Médio pela

Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP); professor de Matemática do

Ensino Fundamental II e Médio da rede pública do Estado de São Paulo desde

1999; e professor de Matemática do Ensino Fundamental II e Médio da

Prefeitura de São Paulo desde 2004.

Com base na prática docente, pode-se observar que uma parcela

significativa de alunos chega ao Ensino Médio sem a devida clareza da

trigonometria no triângulo retângulo; não possui conhecimentos disponíveis

aprendidos em séries anteriores e nem os reconhecem no momento de fazer

conexões no estudo da trigonometria.

Nesse sentido, este material é destinado a professores de Matemática,

alunos de graduação em Matemática, pesquisadores e interessados pela área,

e tem por finalidade apresentar a descrição e análise de atividades realizadas

em sala de aula, constituídas de duas sequências de atividades que tiveram

por objetivos, em um primeiro momento, levantar os conhecimentos

trigonométricos prévios de alunos do 2º ano do Ensino Médio e, em um

segundo momento, construir conceitos de trigonometria no triângulo retângulo.


6


2 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS DE VERGNAUD

Nesta seção apresentaremos resumidamente a Teoria dos Campos

Conceituais do pesquisador francês Gerard Vergnaud (1996, 1998, 2012) que

estruturou nossa pesquisa.

Para Vergnaud (2012), parte de nosso conhecimento é resultante de

habilidades e a utilização da linguagem é especialmente importante para

realizar a simbolização e a conceitualização. Outro ponto que se destaca na

Teoria dos Campos Conceituais é que, para Vergnaud (2012), o

desenvolvimento do conhecimento de Matemática não pode se reduzir ao

desenvolvimento das operações lógicas. Pretende-se, com essa teoria,

entender como alunos constroem conceitos e como fazem as conexões entre

conhecimentos novos e antigos.

Em sua teoria, Vergnaud (1996) refere-se a campos conceituais porque,

para ele, um conceito depende de várias situações e uma situação depende de

um conjunto de conceitos, pois uma situação não se forma a partir de um único

conceito.

Na referência anterior a campos conceituais, Vergnaud (1996) utiliza os

termos conceito e situação.

Segundo Vergnaud (1996), um conceito é a reunião de três conjuntos:

conjunto das situações que dão sentido ao conceito;

conjunto de invariantes operatórios (objetos,

propriedades e relações) de que o indivíduo fará uso para

compreender as situações (o significado);

conjunto das representações simbólicas (linguagem

natural, símbolos, gráficos, diagramas) que o indivíduo utilizará

para representar o conceito, as suas propriedades e as

situações (o significante).

Para estudar o desenvolvimento e o funcionamento de um conceito, é


7


necessário considerar simultaneamente os três conjuntos.

O conceito de situação, conforme Vergnaud (1996), está associado ao

sentido de tarefa, isto é, uma situação complexa pode ser analisada como uma

combinação de tarefas, sendo importante conhecer a sua natureza e as

dificuldades próprias. O desempenho em cada subtarefa é importante para o

desempenho final, ou seja, o fracasso em uma subtarefa implica o fracasso

global, mas a dificuldade de uma tarefa não é constituída pela soma ou

multiplicação das dificuldades de cada subtarefa. Portanto, são as situações

que dão sentido aos conceitos.

Para Vergnaud (2009), pode-se aprender e se desenvolver em qualquer

idade, pois um indivíduo é capaz de adaptar-se às situações por meio de uma

evolução da organização de sua atividade.

Quando se analisa a atividade em situação, ou seja, os procedimentos,

as ações e as representações realizadas pelo aluno, consegue-se verificar em

que etapa se dá sua aprendizagem, e deve-se observar e analisar os erros, os

acertos e também as dificuldades demonstradas. Vergnaud (2009) defende que

o aluno organiza sua atividade por meio de esquemas e um esquema está

sempre associado a uma situação.

Ainda segundo Vergnaud (1996), o funcionamento cognitivo de um

sujeito ou de um grupo de sujeitos em situação apoia-se em um conjunto de

esquemas disponíveis, formados anteriormente por cada um dos sujeitos. O

esquema é, portanto, um conceito fundamental, pois é uma função

temporalizada com argumentos, que permitem gerar várias sequências de

ações e de tomadas de informação, em função dos valores das variáveis da

situação.

O esquema é composto, essencialmente, pelos conhecimentos de

conceito-em-ação e teorema-em-ação, denominados de invariantes

operatórios, e por inferências (indispensáveis à prática do esquema). O

conceito-em-ação não é um conceito, nem um teorema-em-ação é um


8


teorema, pois conceito e teorema devem ser necessariamente explícitos. Um

conceito-em-ação é um conceito implícito válido como pertinente, e um

teorema-em-ação é uma proposição aceita como verdadeira. Ambos

constroem-se em estreita interação. Portanto, o reconhecimento de invariantes

é a chave da generalização de um esquema.

Para Vergnaud (1996), a tese subjacente à Teoria dos Campos

Conceituais é a de que uma boa representação didática, necessariamente,

sustenta-se no conhecimento da dificuldade das tarefas cognitivas, nos

obstáculos com que se depara, do repertório dos procedimentos, e das

possíveis representações.


9


3 O PRODUTO

Este produto consiste, a princípio, em apresentar exemplos de uma

sequência de atividades analisada com base na Teoria dos Campos

Conceituais contida em nossa dissertação (SANTOS, 2014) que foi

desenvolvida com 16 alunos de duas turmas do 2º ano do Ensino Médio,

período noturno. Procurava-se levantar o que os alunos revelavam em relação

aos conhecimentos matemáticos, referentes ao estudo de trigonometria,

verificar como eles demonstravam mobilizar tais conhecimentos aprendidos no

Ensino Fundamental ao resolverem tarefas de trigonometria e, também, como

realizavam a conexão entre conhecimentos novos e antigos.

Por último, propor uma sequência de atividades que em nossa

dissertação teve-se a pretensão de construir conceitos de trigonometria no

triângulo retângulo.

A seguir apresentamos a análise de quatro atividades contidas em nossa

dissertação:

3.1 ATIVIDADE 1

Figura 1

Fonte: Elaborada pelo autor


10


Esse problema permitiu verificar o conhecimento acerca da identificação

dos triângulos retângulos com suas devidas justificativas. Dados 6 triângulos

diferentes sem os valores dos ângulos internos, os alunos deveriam localizar 2

Triângulos Retângulos.

Verificou-se que 11 alunos erraram, 1 aluno não respondeu e 4 alunos

acertaram parcialmente o problema, ou seja, localizaram o triângulo retângulo

visualmente mais fácil; mas o segundo triângulo retângulo, cuja base era a

hipotenusa, não foi reconhecido por nenhum estudante. Nesse caso, teve-se

por hipótese que o aluno não está acostumado com esse tipo de disposição do

triângulo retângulo ou não tem o hábito de confirmar a medida de um ângulo

reto, indicando como reto um ângulo próximo de 90º.

Dentre os alunos que acertaram parcialmente, três apresentaram

justificativas corretas, indicando saberem o que é um triângulo retângulo, e

apenas um não justificou.

Dentre os estudantes que responderam incorretamente, 3 apresentaram

as seguintes justificativas:

“Se você completar o triângulo retângulo com outro igual a ele

mesmo, ele se torna um retângulo”;

“Acho que são esses três, pois começo a seguir a linha do

retângulo”;

“Pela semelhança ao retângulo, e ser a mais aproximada.”.

Nesses casos, os alunos associaram o triângulo retângulo à figura

geométrica de um retângulo. Isso fez refletir que a palavra “retângulo”, usada

para qualificar um tipo de triângulo, poderia ser vista por alguns alunos como

nome, o que caracterizaria um conceito-em-ação em situações em que o

conceito de triângulo retângulo fosse evocado.

Também se observaram, nas respostas incorretas, as seguintes

justificativas:


11


“Todos são triângulos, todos, além de triângulos, têm suas três

pontas”;

“Triângulo retângulo é que todos os lados têm a mesma medida”;

“Por ter lados iguais, o nº 1, 2 e 3”.

No primeiro caso, é possível que o aluno não tenha percebido que se

tratava de um triângulo específico, e, nos demais, os alunos podem ter tomado

o triângulo retângulo pelo equilátero. As outras respostas foram:

“Os dois (triângulos escolhidos pela aluna) são parecidos”;

“Os três últimos são, eles não deixam de ser um triângulo, mas

eles são compridos e, por isso, são triângulos retângulos”;

“São triângulos retângulos porque não são equiláteros e

isósceles”.

Considerando que, para Vergnaud, “os conceitos-em-ação permitem

identificar os objetos, as propriedades e as relações” (VERGNAUD, 2009, p.

22), observou-se que os alunos mobilizaram os seguintes conceitos-em-ação

quanto ao conhecimento do triângulo retângulo:

Ângulo de 90º;

Triângulo;

Retângulo.

Pôde-se, também, reconhecer alguns teoremas-em-ação que foram

evocados:

“Triângulo retângulo possui um ângulo de 90º”;

“Se completar um triângulo retângulo com outro igual, ele se torna

um retângulo”;

“São triângulos retângulos, pois seguem a linha do retângulo”;

“São triângulos retângulos, pela semelhança ao retângulo”.

Sendo assim, pôde-se considerar que apenas uma pequena parte do

grupo sabia corretamente o que é um triângulo retângulo, entretanto, a


12


disposição da figura ou a necessidade de confirmação do ângulo reto poderia

ser um elemento a dificultar o reconhecimento.

3.2 ATIVIDADE 2

Figura 2

Fonte: Centurión, Jakubovic e Lellis, 2003.

Esse problema solicitava localizar 3 triângulos semelhantes dentre 6

triângulos dados. Nesse caso, observou-se que o número de alunos que deixou

a questão em branco aumentou para 3. Dez alunos indicaram incorretamente:

5 justificaram que eram semelhantes por serem triângulos retângulos, e 5

responderam que eram semelhantes devido a ângulos semelhantes, ou seja,

mais da metade dos alunos não escolheu e também não apresentou

justificativas adequadas. Houve 3 escolhas corretas, no entanto justificaram

que os triângulos eram semelhantes por possuírem ângulos semelhantes, ou

seja, os estudantes podem ter associado ângulo semelhante a ângulo

congruente.

Observou-se que os alunos mobilizaram os seguintes conceitos-em-

ação nesse problema de semelhança:

Ângulos;

Triângulos;


13


Triângulos retângulos;

Soma das medidas dos ângulos internos de triângulos.

Nos 3 problemas indicados corretamente, pôde-se reconhecer os

seguintes teoremas-em-ação evocados pelos alunos:

“Os triângulos [...] são semelhantes, pois todos os resultados da

soma de seus ângulos equivalem a 180º, e possuem 50º, 38º, e

92º graus”, ou seja, a soma das medidas dos ângulos internos é

180º e possuem ângulos internos correspondentes congruentes;

“Porque a soma dá 180°”, isto é, porque a soma das medidas dos

ângulos internos é 180º;

“[...] Por ter ângulos semelhantes”, isto é, por ter as medidas dos

ângulos internos correspondentes congruentes.

Nos 5 problemas com indicações parcialmente corretas, observou-se

que, em um dos casos, o aluno justificou “pois parecem ter a mesma forma,

porém invertidos de maneiras diferentes”, e, nos demais, os alunos

apresentaram as justificativas seguintes:

“Pelas dimensões, ângulos são semelhantes”;

“[...] Eles se assemelham em graus”;

“São semelhantes por causa dos ângulos”;

“Porque cada um tem a mesma medida e somando-as dá 180º”

Nesses casos, pôde-se considerar que os alunos evocaram o teorema-

em-ação “os triângulos são semelhantes, então as medidas dos ângulos

internos correspondentes são iguais”, embora também se tenham observado

referências às dimensões dos triângulos e à soma das medidas dos ângulos

internos.

Verificou-se que, em quatro das indicações, um dos três triângulos

escolhidos não indicava a medida dos ângulos internos e, em uma das

indicações, o triângulo escolhido apresentava as medidas de dois ângulos


14


internos de 45º, ou seja, mesmo evocando corretamente o teorema-em-ação,

os alunos indicaram incorretamente um dos triângulos. Esse erro poderia estar

relacionado à determinação da medida de um dos ângulos internos de qualquer

triângulo, dados os outros dois, sabendo que a soma de suas medidas é 180º.

Nos 3 problemas com indicações incorretas, obtiveram-se as seguintes

justificativas:

“[...] pois contém os mesmos ângulos (90º) e é um ângulo reto”;

“Todos são triângulos retângulos.”;

“Porque triângulos retângulos são sempre iguais”

Pode-se dizer que, nesses casos, os alunos evocaram o teorema-em-

ação “os triângulos são semelhantes, porque são triângulos retângulos (ou

possuem um ângulo reto)”.

Descartaram-se 5 problemas, pois, em 2 deles, os alunos não indicaram

os 3 triângulos semelhantes e, nos outros, escreveram que não sabiam

resolver ou não lembravam.

Apesar do fato do problema dar destaque aos ângulos e não aos lados,

verificou-se que nenhum aluno mencionou a propriedade da proporcionalidade.

Tal fato poderia estar relacionado ao seu desconhecimento ou esquecimento.

3.3 ATIVIDADE 3

No problema a seguir, os alunos deveriam determinar a medida da

hipotenusa de um triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, dadas

as medidas dos catetos na malha quadriculada.


15


Figura 3


Nesse problema, 4 alunos não responderam, 11 alunos responderam

incorretamente e apenas 1 aluno pôde-se considerar que acertou a questão,

pois evocou o teorema corretamente, errando apenas no final para determinar

o valor da raiz quadrada.

Dentre os alunos que apresentaram respostas incorretas, duas alunas

tentaram resolver: a primeira aluna não conseguiu explicitar corretamente o

teorema de Pitágoras; e a segunda resolveu o problema fazendo uso da razão

entre os lados do triângulo retângulo, ou seja, não conseguiu fazer a conexão

entre a solução do problema e o teorema de Pitágoras. O restante dos alunos

apresentou as soluções incorretas, sem explicitar os cálculos, o que

impossibilitou qualquer análise dos esquemas desenvolvidos por eles.

Observou-se a mobilização dos seguintes conceitos-em-ação nesse tipo

de problema:

Teorema de Pitágoras;

Medidas em malhas quadriculadas.

3.4 ATIVIDADE 4

O problema 17 pedia para que fossem calculadas as razões

trigonométricas seno, cosseno e tangente em relação a um dos ângulos

agudos em 2 triângulos retângulos em posições diferentes.


16


Figura 4


Nesse caso, foi obtida apenas uma resposta considerada correta, 2

respostas parcialmente corretas, 5 respostas incorretas e 8 atividades ficaram

sem respostas.

Observou-se que os 2 casos parcialmente corretos ocasionaram-se do

fato de que os alunos não haviam respondido a todos os itens, no entanto, os

itens já respondidos estavam corretos. Dentre os 5 casos de respostas

incorretas, em 4 deles, os alunos apresentaram as medidas dos lados dos

triângulos retângulos como se fossem os valores do seno, cosseno e tangente,

ou seja, mobilizaram os conceitos-em-ação de seno, cosseno e tangente como

sendo as medidas dos lados do triângulo retângulo.

Após análise do instrumento I de nossa dissertação, teve-se convicção

de que tais conteúdos precisariam ser priorizados na elaboração do

instrumento de pesquisa II, para que esses alunos pudessem evoluir em seus

conhecimentos. Dessa forma, proporemos a sequência de atividades a seguir,

desenvolvida com os alunos de nossa pesquisa.

3.5 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PROPOSTA

A sequência de atividades desse instrumento teve por objetivo construir

conceitos trigonométricos no triângulo retângulo. As atividades que

compuseram esse instrumento foram constituídas em quatro partes (atividades


17


1, 2, 3 e 4).

Na primeira parte, foi ilustrada a figura de uma rampa com o desenho de

um triângulo retângulo sobreposto, mostrando que, a partir de um percurso,

podem-se associar uma altura e um afastamento. Em seguida, foi definido

índice de subida e pediu-se para os alunos desenharem a representação de

uma rampa e calcularem suas razões, utilizando a nomenclatura proposta. Em

um segundo momento, perguntou-se o tipo de triângulo desenhado em relação

ao ângulo e solicitou-se, também, a verificação da validade da relação de

Pitágoras em relação aos lados medidos. A seguir, é mostrada a atividade

proposta:

Figura 5



18


Nessa parte da sequência, pensou-se na ideia de trazer o elemento

básico da trigonometria para o contexto do aluno, ou seja, possibilitar o

reconhecimento da figura do triângulo retângulo, associando-o a elementos

próximos de seu cotidiano, nesse caso, as rampas de acesso. Nessa situação,

o aluno trabalharia o aspecto experimental, desenhando a representação de

uma rampa e medindo seus lados com instrumentos adequados e, também,

produziria conhecimento de natureza operacional, realizando alguns cálculos

de razões de lados do triângulo retângulo e de verificação do teorema de

Pitágoras, sem necessitar explicá-los.

Esperava-se que o aluno, nessa fase, conseguisse associar a

representação do triângulo retângulo a elementos que estão ao seu redor e

também que retomasse conteúdos já estudados em anos anteriores, como

razões e o teorema de Pitágoras, conseguindo realizar cálculos de natureza

operacional, ou seja, esperava-se que o aluno mobilizasse conceitos-em-ação

fundamentais, como o de triângulo retângulo, de razões e do teorema de

Pitágoras, para a construção dos conceitos de razões trigonométricas no


Na segunda parte, dado um triângulo retângulo maior ABC, dividido em

outros dois triângulos retângulo menores, de vértice B comum a todos os

triângulos retângulos, solicitou-se aos alunos medirem os lados e calcularem

todas as razões entre os lados. Em seguida, pediu-se para que os alunos

calculassem todas as razões dos possíveis triângulos retângulos que

conseguissem perceber. A atividade proposta foi a seguinte:


19


Figura 6 – parte 1



20




O objetivo dessa atividade era fazer o aluno perceber que, nos triângulos

retângulos semelhantes, a razão entre dois lados correspondentes quaisquer

de um dos triângulos é igual e que os ângulos internos correspondentes são

congruentes. Nessa fase, o aluno interagiria com o meio, trocando informações

quanto a razões e a ângulos internos dos triângulos retângulos observados,

sendo estimulado a explicar, de forma escrita, sua conclusão a respeito da

semelhança dos triângulos estudados. Como o conceito de proporcionalidade é

essencial para a constituição dos conceitos de razões trigonométricas no

triângulo retângulo, foi reforçada, ao final, a formação desse conceito,


21


solicitando aos estudantes a construção de um par de triângulos retângulos

semelhantes com as devidas justificativas. Dessa forma, procurou-se sanar

quaisquer dúvidas ainda existentes sobre a semelhança dos triângulos

retângulos estudados.

Esperava-se, nessa fase, ampliar a visão do aluno para a representação

geométrica de um triângulo retângulo, a fim de que percebesse que, nos

triângulos semelhantes, as razões entre dois lados correspondentes quaisquer

seria a mesma, registrando todos os argumentos na forma escrita e, por fim,

desenvolvendo autonomia para percepção de semelhança em triângulos

retângulos quaisquer. Dessa forma, acreditava-se, sobretudo, que o aluno

conseguiria por si mesmo construir o teorema-em-ação “se dois triângulos são

semelhantes, então, os ângulos correspondentes são congruentes e as razões

entre os lados correspondentes são iguais”.

Na terceira parte, foi pedida, inicialmente, a construção de um triângulo

retângulo ABC com os ângulos agudos A , B (com a horizontal) e reto em C ,

indicando o cateto oposto, adjacente e a hipotenusa a partir do ângulo B .

Após, foi proposta uma mudança de nomenclatura, ou seja, solicitou-se que os

alunos trabalhassem com a nomenclatura matemática da trigonometria. A partir

disso, estabeleceram-se os conceitos de seno, cosseno e tangente dos

ângulos agudos A e B . A seguir, apresenta-se a atividade proposta:


22


Figura 7



23


Essa parte da sequência didática teve por objetivo elaborar o conceito

das razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Tinha-se a convicção

de que a incorporação da nomenclatura trigonométrica é importante para

sistematização das fórmulas das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Além disso, na próxima fase, o aluno poderia utilizar a linguagem matemática

para as devidas comprovações, isto é, por meio do seno, cosseno e tangente

de um ângulo agudo, o aluno oportunamente faria as demonstrações e as

provas que permitiriam ampliar seus conhecimentos sobre trigonometria no


A validação desses conhecimentos foi proposta ao aluno por meio de

três situações: Na primeira, percebendo que a soma das medidas dos ângulos

A e B era 90º, o aluno deveria provar que a relação é válida para qualquer

triângulo retângulo, usando a soma das medidas dos ângulos internos; a

segunda pedia para o aluno justificar o que aconteceria com o ângulo agudo B ,

seno, cosseno e tangente de B quando aumentasse o lado AC; e a terceira

situação pedia para escrever as relações de tg B e tg A , a partir das razões sen

B /cos B e sen A /cos A .

Nessa fase da sequência, esperava-se que o aluno fizesse uma prova

simples da soma (igual a 90º) dos ângulos agudos de um triângulo retângulo,

ou seja, espera-se que o mesmo fizesse a demonstração, manipulando

algebricamente os termos da equação da soma das medidas dos ângulos de

um triângulo qualquer, e percebesse o teorema-em-ação envolvido na situação:

“se dois ângulos agudos são complementares, então, o seno de um ângulo

agudo é igual ao cosseno de seu complemento”, generalizando, dessa forma, a

noção de complementaridade para qualquer triângulo retângulo.

Quanto ao estado do seno, cosseno e tangente de B e ao próprio

ângulo agudo, aumentando o lado AC, desejava-se que o aluno, no

desenvolvimento de seu raciocínio, mobilizasse os invariantes operatórios,

demonstrando as mudanças aritmeticamente a partir das razões ou, o mais

esperado, utilizando algum esquema geométrico. E, por último, almeja-se que o


24


aluno demonstrasse que as razões sen B /cos B e sen A /cos A são iguais a tg B

e tg A por meio de manipulação algébrica. Pensava-se, entretanto tratar-se de

uma questão que talvez poucos alunos conseguissem realizar, não por ser uma

questão considerada difícil, mas por envolver uma divisão de frações

algébricas, operação que os alunos geralmente evitam.

Na quarta parte da sequência, pediu-se a construção de vários

triângulos retângulos, dado um como modelo, com o ângulo B aumentando de

10º em 10º. Feitas as medidas dos lados dos triângulos, solicitou-se ao aluno

preencher uma tabela determinando os valores do sen B , cos B e tg B . A

seguir, apresenta-se a atividade desenvolvida:




25





26


Essa atividade teve por objetivo determinar os valores das razões

trigonométricas (seno, cosseno e tangente), variando de 10º em 10º, e analisar

o comportamento dessas razões para B , variando de 0º a 90º. Essa fase seria

ministrada fundamentalmente pelo professor para formalizar coletivamente as

noções de um triângulo retângulo, de sen, cos e tg de um ângulo agudo,

generalizando essas razões para futuras aplicações desses conhecimentos

matemáticos.

A atividade ainda ofereceu oportunidades para o aluno construir

triângulos retângulos, inscritos em ¼ de circunferência de raio 1 dm (10 cm),

medindo seus lados, comparando as medidas, e analisar, também, os valores

do sen B , cos B e tg B da tabela a ser preenchida, possibilitando-o refletir sobre

o comportamento das razões trigonométricas quando B aumenta de 0º a 90º.

Esse modelo de construção de triângulos retângulos ainda permitiria ao aluno

fazer analogias com os modelos já estudados e também possibilitaria os

primeiros contatos do aluno com os comportamentos dos triângulos retângulos

no ciclo trigonométrico.

Conduzida pelo professor, essa atividade possibilitaria ao aluno perceber

que o cálculo das razões (seno e cosseno) tornar-se-ia mais simples se a

medida da hipotenusa fosse igual a um e ainda era possível relacionar o seno e

o cosseno de um ângulo agudo do triângulo retângulo por meio do teorema de

Pitágoras, noção da qual o aluno, naquele momento, já dispunha.

Ao final dessa atividade, esperava-se que o aluno percebesse que,

aumentando B , o valor do sen B tenderia a aumentar e cos B tenderia a

diminuir. Quando B atingisse 90º, o valor do sen B seria máximo e valeria um,

enquanto cos B teria valor mínimo igual a zero. Mas, nessa situação, a figura

do triângulo retângulo deixaria de existir. O professor também poderia explorar

a mesma ideia para o caso de B igual a 0º. Era esperado, ainda, que o aluno

compreendesse que, na Matemática, as representações e fórmulas não

surgem ao acaso, o uso da hipotenusa unitária facilitaria o estudo das razões

seno e cosseno e a relação do seno e cosseno poderia ser explicada a partir

do teorema de Pitágoras.


27


4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Os conhecimentos prévios são fundamentais na Teoria dos Campos

Conceituais de Vergnaud (1996), pois, segundo Pais (2005), “a formação de

um conceito é realizada a partir de componentes anteriores, por meio de uma

síntese coordenada pelo sujeito. Esses componentes podem ser noções

fundamentais ou ainda outros conceitos elaborados anteriormente [...]”, (PAIS,

2005, p. 61), ou seja, para a construção do conceito de razões trigonométricas

no triângulo retângulo, podem-se destacar os conteúdos precedentes de

ângulos, razões, proporções, semelhança e o teorema de Pitágoras que,

normalmente, deveriam ter sido aprendidos até o 9º ano do Ensino

Fundamental.

Por meio do instrumento I de nossa pesquisa, a Teoria dos Campos

Conceituais pôde ajudar na análise das dificuldades, evidenciando alguns dos

invariantes operatórios mobilizados pelos alunos.

Dessa forma, sugerimos que o professor, ao analisar uma determinada

atividade proposta aos alunos, tente evidenciar os teoremas-em-ação

verdadeiros em que se deseja a construção pelos estudantes e, também, os

teoremas-em-ação falsos, passíveis de serem construídos.

A análise dos dados do instrumento II de nossa dissertação evidenciou

que a maioria dos alunos conseguiu construir o conceito de seno, cosseno e

tangente e, ainda, ampliou esses conhecimentos. Alguns teoremas-em-ação

importantes foram construídos ao longo dessa sequência, mas não foram

percebidos por todos os estudantes. Alguns alunos também não conseguiram

chegar sozinhos à solução de alguns problemas.

Sendo assim, a tarefa do professor é essencial no sentido de promover a

explicitação das ideias dos alunos por meio de algum esquema. Em nosso

estudo, realizar a atividade de forma coletiva ajudou a promover conjuntamente

a explicitação das ideias dos estudantes. Alunos que não apresentaram algum

tipo de esquema na resolução de um problema, geralmente, tiveram dificuldade


28


de chegar à sua solução.

Nas situações de aprendizagens do instrumento II de nosso estudo,

foram propostas atividades em que os alunos estabeleceram os conceitos,

principalmente por meio de construções geométricas.

Observou-se, entretanto, que alguns alunos apresentaram dificuldades

em suas construções, decorrentes, geralmente, da falta de habilidade no

manuseio de instrumentos de medidas (régua, esquadro e transferidor), de

erros de medição das figuras desenhadas ou de imprecisão de medidas

obtidas. Essas dificuldades foram amenizadas à medida que eles progrediram

dentro da sequência de atividades.

Considerando tais dificuldades e o foco conceitual desse instrumento,

sugerimos que, em futuras atividades, seja utilizado um software de geometria

dinâmica, como o Geogebra, que permita trabalhar alguns aspectos quanto à

noção de trigonometria no triângulo retângulo e que ajude a revelar as

dificuldades dos alunos. Acreditamos que esse tipo de instrumento poderia dar

mais dinamicidade às atividades; auxiliaria na percepção visual das figuras

construídas pelos alunos; permitiria obter medidas mais precisas, sem os erros

causados pelos próprios alunos ou provocados por manuseio incorreto de

instrumentos de medida; ajudaria a explicitar determinados conhecimentos que

o aluno utiliza quando resolve uma determinada atividade.

.


29


5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Apresentamos neste produto educacional que a Teoria dos Campos

Conceituais permitiu ter uma visão mais clara da natureza da problemática em

nosso estudo sobre a trigonometria no triângulo retângulo.

Nossa pesquisa obteve alguns resultados relevantes, apontados a

seguir:

Constatou-se que a maioria absoluta dos alunos não dispõe dos

invariantes operatórios necessários no que se refere ao triângulo retângulo e à

semelhança de triângulos. Nesse ponto, já se configura uma situação que

possivelmente compromete a construção do conceito das razões

trigonométricas no triângulo retângulo, pois, para a construção do conceito de

razões, são necessárias a disponibilidade e mobilização de conceitos-em-ação

e teoremas-em-ação fundamentais. Verificou-se, também, que a grande

maioria dos alunos não conseguiu sequer mobilizar o teorema de Pitágoras e

que poucos alunos dispunham dos conceitos-em-ação trigonométricos sobre a

relação dos lados do triângulo retângulo e de seus ângulos agudos.

Desse modo, pôde-se constatar que a mobilização dos conceitos-em-

ação de seno, cosseno e tangente exige a utilização de uma diversidade de

variantes operatórios que não foram reconhecidos pela maioria dos alunos

diante de algumas situações, ou seja, a mobilização de conceitos

trigonométricos exige a disponibilidade de conceitos e teoremas-em-ação dos

quais os estudantes não dispunham naquele momento, fato verificado pelos

educandos, com apenas um acerto no problema sobre razões trigonométricas.

O instrumento I de nossa pesquisa serviu de orientação para a etapa

seguinte, fornecendo elementos para elaboração das situações de

aprendizagem próprias.

A segunda etapa refere-se às situações de aprendizagem que buscaram

construir conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Para atingir esse

objetivo, concluiu-se ser necessária a formação dos invariantes operatórios


30


pertinentes aos conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, que são a

base da conceitualização, e uma mudança de postura na relação de ensino-

aprendizagem.

A socialização das resoluções, com o professor mediando o processo de

ensino-aprendizagem, permitiu a percepção de outras dificuldades que outros

alunos ainda detinham e também auxiliou os estudantes a completarem seus

próprios esquemas.

Vergnaud (2009), no entanto, também ressalta que a apropriação dos

conhecimentos por um indivíduo depende de sua própria atividade, construindo

e reconstruindo os conceitos, e também da ajuda e da qualidade das

mediações que ele recebe do meio.

A análise do instrumento II permitiu inferir que as situações propostas

foram relevantes, pois a maior parte dos estudantes conseguiu compreender o

conceito das razões trigonométricas no triângulo retângulo, definido por

Vergnaud (2009) por um conjunto de situações, um conjunto de invariantes

operatórios e um conjunto de representações, e ampliar ainda esses

conhecimentos.

Considerando que os esquemas referem-se a situações, a partir da

resolução das atividades propostas foi possível perceber que os alunos

mobilizaram diferentes esquemas para resolver os mesmos problemas. A partir

da análise desses esquemas, conseguiu-se identificar a natureza das

dificuldades desses alunos.

Nesse contexto, é possível concluir que a tarefa de explicitação dos

esquemas dos alunos necessita ser fundamentalmente enfatizada, ou seja, o

professor precisa promover meios para que o aluno possa externalizar algum

esquema, pois o desenvolvimento cognitivo desse aluno consiste no

desenvolvimento de um vasto repertório de esquemas.

A Teoria dos Campos Conceituais mostrou-se muito eficaz para o estudo

das dificuldades dos alunos. Por meio dela, verificou-se, ainda, que alguns


31


teoremas falsos não foram totalmente desestabilizados, necessitando de um

trabalho mais longo e com mais situações de aprendizagem. Concorda-se com

Vergnaud (2009) em que:

[...] a apropriação de uma cultura por um indivíduo depende necessariamente de sua própria atividade, o que compreende seu próprio trabalho de construção ou reconstrução dos conceitos constitutivos dessa cultura. Ela depende também fortemente da ajuda que ele recebe do meio em que está inserido e, portanto, da qualidade das mediações de que ele se beneficia. (VERGNAUD, 2009, p. 35).

.


32


REFERÊNCIAS

CENTURIÓN, M.; JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Novo matemática na medida

certa, 9ºano. São Paulo: Scipione, 2003.

PAIS, Luiz Carlos. Didática da matemática: uma análise da influência

francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

SANTOS, P. R. Um estudo sobre a trigonometria no triângulo retângulo.

2014. 156 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) -

Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.

VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das

matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155-191.

______. A comprehensive theory of representation for mathematics education.

Journal of Mathematical Behavior, v. 17, n. 2, p. 167-181, 1998.

______. O que é aprender?. In: BITTAR, M.; MUNIZ, C. A. (Org.). A

aprendizagem matemática na perspectiva da teoria dos campos

conceituais. Curitiba: CRV, 2009. p. 13-35.

______. Construção do conhecimento matemático e a teoria dos campos

conceituais (conferência). In: SIPEMAT - SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE

PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2012, Fortaleza. Anais...

Fortaleza/CE: SIPEMAT, 2012.

análise e proposta de atividades sobre a trigonometria no triângulo

Documents