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TRIGONOM. NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

[email protected] Prof: Deivid G Gimenes

Resumo Exemplos Exercícios

1 – Introdução: Trigonometria significa “medida dos triângulos”. Atualmente é usada não só para calcular os elementos do triângulo, mas também para calcular elementos nos diversos ramos do conhecimento, tais como, engenharia, astronomia, topografia etc. 2 – Definição:

Nomenclatura: De acordo com a figura: P, Q e R são os vértices do triângulo retângulo e também representam os ângulos desse triângulo; p, q e r são os lados do triângulo retângulo; Obs1: É muito importante saber os nomes desses lados, assim, chamamos de Hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto, nesse caso, o lado p e os outros dois lados q e r são chamados de catetos. Obs2: Quando tomamos por base um ângulo agudo do triângulo retângulo, outra nomenclatura se faz importante no estudo das funções trigonométricas. Considere o ângulo Q do triângulo. O lado q oposto a esse ângulo é chamado de cateto oposto (CO) e o lado r é chamado de cateto adjacente (CA). Por outro lado, se considerarmos o ângulo R, teremos como cateto oposto o lado r e como cateto adjacente o lado q. Obs3: Veja que a hipotenusa sempre é o lado oposto ao ângulo reto. Funções trigonométricas: Existem três funções principais (seno, cosseno e tangente) e outras três derivadas das primeiras (secante, cossecante e a cotangente) totalizando as seis funções que regem o estudo da trigonometria, são elas:

a) hip

cosen b)

hip

cacos c)

ca

cotg

d) cos

1sec e)

sen

1seccos f)

tgg

1cot

Obs: Veremos nos exercícios que o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar.

3 – Exemplos e Exercícios:

1) Mostre que ca

hipsec ;

co

hipseccos ;

co

cag cot .

2) Mostre que cos

sentg .

3) Usando a figura do item 2 calcule seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente para os ângulos Q e R. 4 – Ângulos Notáveis: São os ângulos de 30º, 45º e 60º. Esses ângulos são tabelados e devem ser memorizado pelo aluno pois é costume em provas e vestibulares a não divulgação dos mesmos.

30º 45º 60º

sen

2

1

2

2

2

3

cos

2

3

2

2

2

1

tg

3

3

1

3

5 – Exemplos e Exercícios: 01) Seja o triângulo PQR de catetos p = 3cm e q = 4cm e hipotenusa r = 5cm. Calcule o seno de cada um dos ângulos agudos desse triângulo. 02) Calcule o seno de cada um dos ângulos agudos do triângulo retângulo abaixo.

03) Uma escada de pedreiro de 10m está apoiada numa parede e forma com o solo um ângulo de 40º. Qual a altura atingida pelo ponto mais alto da escada? Obs:

sen 40º 0,64. 04) Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6m de altura, no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo, horizontal, um ângulo de 60º. 05) Encontre o valor de x em cada caso:





06) Determine as medidas dos segmentos ____

BC e ____

AC

da figura abaixo. ABC é triângulo Retângulo?

07) Determine a e b, sabendo que a soma deles resulta 90º.

08) Um observador mira, de um ângulo de 60º, o topo de uma torre vertical apoiada num plano horizontal. Afastando-se 40m do ponto em que estava, passa a mirar seu topo de um ângulo de 30º. Determine a altura da torre e a distancia inicial em relação ao pé da torre. 6 – Relação Fundamental 1 da Trigonometria:

1cos22 xxsen

Observe que xxsen 22 cos1 e xsenx 22 1cos

7 – Demonstrações: Com algumas dicas é possível demonstrar os valores encontrados na tabela dos ângulos notáveis e as funções vistas anteriormente, assim: a) Usando um triângulo eqüilátero e sua altura que vale

2

3lh (l = lado) encontre os valores de seno,

cosseno e tangente para 30º e 60º.

b) Usando um quadrado e sua diagonal 2ld (l =

lado) encontre os valores de seno, cosseno e tangente para 45º. c) Usando o teorema de Pitágoras e as funções trigonométricas demonstre a relação fundamental 1 da trigonometria.

8 – Exemplos e Exercícios: 01)

02)

03) 04)





05) 06) 07) 08)

09) 10) 11) 12)





13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)

20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28)





29) 30) 31) 32)

33) 34) 9 – Respostas: Item 8: 1A, 2C, 3C, 4E, 5B, 6D, 7(0,75), 8C, 10(75), 13C, 14A, 15D, 16A, 17B, 18B, 20C, 21A, 22A, 23B, 24B, 25C, 26D, 27B, 28B, 30D, 31E, 33E, 34D

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