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TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

01. Obter o valor de x na figura:

02. Com base na figura abaixo é correto afirmar:

01) h = 2 m

02) h = 3 m

04) a = (1 + 3 ) m

08) O triângulo ACD é isósceles

16) O lado ____

AC mede 6m

03. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na

outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos BP1P2 = e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância

entre as margens (em metros) é:

04. (MACK SP) Sendo 0 o centro da circunferência de raio 1 então x = BC, vale:

05. (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da

figura. Conhecendo-se o ângulo , o comprimento L do lado AB, em centímetros, é:

Dados: h = 12 cm3 ; y = 21cm; = 30°

A B

CD

E

L

y

x

h

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06. (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos2α)x

2 – (4cosαsen β)x +

2

3sen β= 0, sendo α e β os ângulos

agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

Pode-se afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente:

a) 8

3 e

8

b) 3

e 6

c) 7

e 4

d) 6

e 3

e) 8

e 8

3

07. (UFRGS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120°

com a margem do rio.Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de

a) 40 2

b) 40 3

c) 45 3

d) 50 3

e) 60 2

08. (ENEM 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do

último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando

agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina,

Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento

do tempo previsto de medição.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8 km

b) 1,9 km

c) 3,1 km

d) 3,7 km

e) 5,5 km

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30° 60°

A

B

CD

09. (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento:

a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no

mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob

um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia

percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do

barco até o ponto fixo P será

a) 1 000 m

b) 1 000 3 m.

c) 2 0003

3 m.

d) 2 000m.

e) 2 000 3 m.

10. Na cidade de Pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo.

Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a

pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em

relação ao solo?(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)

11. (UEL – 2011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P1, um barco ancorado no horizonte

norte na posição B. Nesta posição P1, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 90°, como mostrado na

figura ao lado. Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da

posição P2. Neste novo ponto de observação P2, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 45°. Qual a

distância P2B aproximadamente?

a) 1000 metros

b) 1014 metros

c) 1414 metros

d) 1714 metros

e) 2414 metros

12. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x

AD = x

DC= x - 38

BD = y

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13. (UFPR – 2013) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5

cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que

ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar?

a) 75

o.

b) 60o.

c) 45o.

d) 30o.

e) 15o

14. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na

praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica

posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa?

(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)

15. Determine o valor de x e y na figura abaixo:

GABARITO

01. 50 3 02. 14 03. 84 04. 0,5 05. 33

06. d 07. b 08. c 09. b 10. 51m

11. c 12. 57 13. d 14.180 m

15. x = 100 3 y = 100

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TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER

01. (UFRGS – 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do

losango é:

324e)

322d)

324c)

32b)

322a)

02. (UFSM) O grupo de alunos participará de uma trilha em uma reserva ecológica. A equipe deverá sair do ponto A e

chegar até o ponto C, conforme a figura. Como o percurso não poderá ser feito diretamente, os alunos deverão sair de

A e passar por B para, depois, chegar a C. Com isso, a distância, em km, a ser percorrida pelos estudantes é igual a

13

62e)

)622(d)

1)22(c)

262b)

22a)

03. (ACAFE – 2013) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que

AB = 60km e AC = 110km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura a seguir. Assim, a distância

aproximada entre B e C, em km, é:

a) 90 km

b) 100,2 km

c) 95,4 km

d) 48,9 km

04. Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância

entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é:

Dica: Se + = 180°, sen = sen

a) 50 2 m

b) 50 6 /3 m

c) 50 3 m

d) 25 6 m

e) 50 6 m

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05. (UFPEL) A Secretaria de Turismo de Pelotas disponibiliza mapas da cidade nos postos de pedágio. O mapa

abaixo localiza alguns pontos importantes da cidade de Pelotas.

Unindo os pontos correspondentes à Universidade Católica de Pelotas (UCPel), à Prefeitura Municipal e à Santa Casa,

tem-se uma figura geométrica de vértices A, C e H, onde AC, CH e AH medem, respectivamente, 3, 5 e 7 unidades de

comprimento. De acordo com os textos e seus conhecimentos, é correto afirmar que o ângulo oposto ao maior lado

dessa figura mede

Dica: Se + = 180°, cos = - cos

a) 150°

b) 30°.

c) 60°.

d) 135°.

e) 120°.

06. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio

está em A, observa o farol L e mede o ângulo L A C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo L B C = 75°.

Quantas milhas separam o farol do ponto B?

07. (FUVEST) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma P.A Sabendo-se também que o

perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120°, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:

a) 25

b) 45

c) 75

d) 105

e) 125

08. (UFRGS – 2010) As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos

internos são, portanto:

8

7,

2

1,

2

1e)

4

1,

2

1,

2

1d)

8

7,

4

1,

4

1c)

8

1,

4

1,

4

1b)

2

1,

8

1,

8

1a)

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A B

C

09. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um ângulo de 45°.

Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede:

a) 4

b) 11

c) 3

d) 13

e) 4 2

10. (UFSM – 2010) Entre os pontos A e C, localizados na margem de um lago, será estendido um cabo com boias

sinalizadoras que demarcará a parte permitida para o passeio de pedalinhos. Para a compra do material a ser utilizado,

é necessário determinar a distância entre esses pontos. A medição direta da distância entre Ae C não pode ser

realizada, pois fica sobre a superfície do lago. Assim, marcou-se um ponto B intermediário, de modo que as distâncias

entre Ae B e entre B e C pudessem ser feitas sobre terra firme. Sabendo que a distância entre Ae B é 100 metros, que a

distância entre B e C é 60 metros e que o ângulo com vértice em B determinado por A, B e C é 120 graus, a distância

entre A e C, em metros, é

a) 120.

b) 140.

c) 150.

d) 155.

e) 160.

11. (FUVEST) ABC é um triângulo equilátero de lado 4; AM = MC = 2, AP = 3 e PB = 1. O perímetro do triângulo

APM é:

a) 5 + 7

b) 5 + 10

c) 5 + 19

d) 5 + 5613

e) 5 + 5613

12. Num triângulo ABC, tem-se que AB = 5cm, AC = 7cm e BC = 6cm. Calcule o comprimento da mediana relativa

ao lado BC.

13. (FUVEST) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o

ponto onde a bissetriz do ângulo ACB intercepta a semi-circunferência. O comprimento da corda AD é:

14. (MACK) Na figura, o raio da circunferência de centro B é o dobro do raio da circunferência de centro A. Se x é a

medida do ângulo ACB, então:

a) 0 < x 30°

b) 45° < x 60°

c) 30° < x 45°

d) 60° < x 90°

e) x > 90°

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15. (FGV) A figura abaixo mostra a trajetória de Renato com seu barco.

Renato saiu do ponto A e percorreu 10 km em linha reta, até o ponto B, numa trajetória que faz 50º com a direção

norte. No ponto B, virou para o leste e percorreu mais 10 km em linha reta, chegando ao ponto C.

Calcule a distância do ponto A ao ponto C.

Dados: sen 20º = 0,342, cos20º = 0,940 .

GABARITO

01. c 02. c 03. c 04. a 05. e

06. 2 2 07. d 08. c 09. d 10. b

11. a 12. 72 13. 32R 14. d

15. Observando a figura abaixo temos

º50ABD , º140CBA e º20ACBBAC .

Fazendo AC = x temos, pela lei dos senos,

Assim, x = 20cos20º = 200,94 = 18,8.

AC = 18,8 km.

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ESTUDO DE ARCOS

01. Um arco de 200° equivale em radianos a:

a) 3

2

b) 2

5

c) 4

d) 9

10

e) 6

02. (UEPG-PR) O arco de medida de 4

7 rad tem sua extremidade pertencente ao:

a) 4º Quadrante

b) 3º Quadrante

c) 2º Quadrante

d) 1º Quadrante

e) n.d.a.

03. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h 10min.

04. (UFPEL) Nossa época, marcada pela luz elétrica, por estabelecimentos comerciais abertos 24 horas e prazos

apertados de trabalho, que muitas vezes exigem o sacrifício dos períodos de sono, pode muito bem ser considerada a

era do bocejo. Estamos dormindo menos. A ciência mostra que isso contribui para a ocorrência de males como diabete,

depressão e obesidade. Por exemplo, quem não segue a recomendação de dormir, no mínimo, 8 horas por noite tem

73% mais risco de se tornar obeso. Revista Saude n 274, junho 2006 [adapt.]. Uma pessoa que durma a zero hora e

siga a recomendação do texto acima, quanto ao número mínimo de horas diárias de sono,acordará às 8 horas da

manhã. O ponteiro das horas, que mede 6 cm de comprimento, do despertador dessa pessoa, terá descrito, durante seu

período de sono, um arco de circunferência com comprimento igual a

a) 6 cm

b) 32 cm

c) 36 cm

d) 8 cm

e) 18 cm

f) I.R.

05. (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “mineirinho”,

conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo

a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu

próprio corpo, que no caso, corresponde a

a) uma volta completa

b) uma volta e meia

c) duas voltas completas

d) duas voltas e meia

e) cinco voltas completas

06. Obter a medida em graus dos seguintes arcos:

a) 3

2 b)

6

c)

4

7

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07. Converta em radianos:

a) 60o

b) 10o

c) 150o

d) 225o

08. (UDESC – 2013) O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e

tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos deste relógio, desprezando suas

larguras, às 15 horas e 20 minutos é:

a) 12

b)

36

c)

6

d) 18

e)

9

09. O pêndulo de um relógio tem comprimento 20cm e faz o movimento ilustrado na figura.

Qual o comprimento de arco AB?

10. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1000º?

a) 270º

b) 280º

c) 290º

d) 300º

e) 310º

11. Transformando 12º em radianos, obtemos:

a) 15

b)

15

c) 30

d) 15

2

e) 12

12. (ENEM 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua

localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global)

com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich.

Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude na forma decimal é

a) 124,02°.

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b) 124,05°.

c) 124,20°.

d) 124,30°.

e) 124,50°.

13. (UFRGS – 2012) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta coordenada da direção positiva, como representado

na figura abaixo.

Considerando-se que o ponto P está inicialmente na origem, a coordenada de P, após 10 voltas completas, estará entre

a) 60 e 62

b) 62 e 64

c) 64 e 66

d) 66 e 68

e) 68 e 70

14. Calcule e na figura a seguir:

15. (UFPA) Quantos radianos o ponteiro dos minutos de um relógio percorre em 50 minutos?

GABARITO

01. d 02. a 03. 145° 04. d 05. d

06. a) 120° b) 30° c) 315° 07. a) rad3

b) rad

18

c) rad

6

5 d) rad

4

5

08. e 09. 3

20 10. b 11. a 12. b

13. b 14. cm 12L rad 40, 15. 3

5

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SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ARCO

01. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 admite solução.

a) - 1 m 1

b) - 2 m 5

c) 2 m 3

d) 2 < m < 3

e) 1 < m < 2

02. Determine o valor de:

a) sen 150°

b) cos 210°

c) sen 330°

πcos

2

3πsen

3

2πcossen π

d)2

03. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos:

I) sen 1 < sen 3

II) cos 1 < cos 3

III) cos 1 < sen 1

Quais são verdadeiras?

a) apenas I

b) apenas II

c) apenas III

d) apenas I e II

e) I, II e III

04. Determina o valor de:

a) tg 120°

b) tg 210°

c) tg 315°

05. Sabendo que 5

3 xsen e que

x

2, calcule cos x.

06. (F.C.Chagas-BA) As sentenças sen x = a e 1a2. xcos são verdadeiras para todo x real, se e somente se:

a) a = 5 ou a = 1

b) a = -5 ou a = -1

c) a = 5 ou a = 1

d) a = 1

e) n.d.a.

07. (PUC – RS – 2010) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se

funções trigonométricas. A expressão 2sen2x + 2cos

2 x – 5 envolve estas funções e, para

2

3x

, seu valor é:

a) – 7

b) – 3

c) – 1

d) 2 – 5

e) 3 – 5

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08. (ENEM 2010 ) Um satélite de telecomunicações, t minutos apos ter atingido sua orbita, esta a r quilômetros

de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite

atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja

dado por ,06t)0,15.cos(01

5865r(t)

.Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu

afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu,

representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de

a) 12 765 km.

b) 12 000 km.

c) 11 730 km.

d) 10 965 km.

e) 5 865 km.

09. Determine o valor das expressões abaixo:

a) 180 2cos0ºsen

270º180º.sen cos0º 90º.cossen

b)

π2cos

2

πsen 0º.sen

2

3π cossen π

10. Determine o valor de

a) sen120°

b) sen240°

c) sen315°

d) cos120°

e) cos240°

f) cos315°

11. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:

a) 2 m 3

b) 1 m 4

c) -1 m 1

d) 2 < m < 3

e) 0 m 1

12. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01) Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do 2º quadrante

02) A expressão

5xsen

4xcos3xsen para x = 30

o vale 1

04) Sabendo que 6

é raiz da equação sen

2x – m. sen x + 3 = 0, o valor de m é 13/2

08) A expressão sen160o + sen180

o + sen200

o vale 0

16) No intervalo

2x2

3, se

3

1sen x , o valor de cos x é

3

22.

32) Se sen x + cos x = 2

2, então sen x.cos x é igual a

4

1 .

13. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir quando 3

2sen x37y

, é:

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14. (UFCE ) Se

3x2

5, podemos afirmar que:

a) cos x > 0 e sen x > 0

b) cos x > 0 e sen x < 0

c) cos x < 0 e sen x > 0

d) cos x < 0 e sen x < 0

15. (Fuvest-SP) Os valores máximos e mínimo da função xsen2

11xf 2)( são, respectivamente:

a) 2 e 1

b) 1 e 0

c) 1 e 1/2

d) 2 e 0

e) 2 e 1/2

GABARITO

01. c 02. a) 1/2 b) 2

3 c) – 1/2 d) – 3/2 03. a

04. a) 3 b) 3

3y c) 1 05. – 4/5 06. d 07. b

08. b 09. a) 2 b) 1 10. a) 2

3 b)

2

3 c)

2

2 d)

2

1 e)

2

1 f)

2

2

11. a 12. 31 13. 13 14. c 15. c

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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

01. (UNIP) Se um ângulo pertencente ao 2o quadrante e sen =

2

2 . Podemos afirmar que 3α sec é:

a) 2

b) 1/2

c) -

2

2

d) 2

e)

2

3

02. Assinale V ou F

a) O valor numérico de y na expressão 11π sec870ºsen

330º cos240º tgy

é 3 .

b) Se 5 xsec e

2

3 ,x , então xcotg xtg é igual a

2

3.

c) 13

14πsec

4

23πtg

d) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg

2 x) é 41

03. Determine o valor de:

a) sec 60o

b) cossec 150o

c) cotg 315o

04. Sendo 4

1 xcos e

2

π < x < , determinar o valor de:

a) sen x

b) tg x

c) cotg x

d) sec x

e) cossec x

05. (IFSC – 2013) Para incentivar seus alunos a aprender matemática, um professor propõe um jogo, no qual cada

aluno recebe uma carta com uma expressão matemática e cujo resultado é um número natural. Um aluno é sorteado

para iniciar a rodada e esse deve escolher um colega para desafiar. Ambos colocam suas cartas na mesa e o que tiver a

carta de menor valor está fora do jogo. O professor distribui novas cartas entre os alunos que permaneceram no jogo e

uma nova rodada se inicia. O processo se repete até restar um único aluno, que será o vencedor. Suponha que em uma

das rodadas a distribuição das cartas tenha ocorrido conforme abaixo:

3

2π xpara,

x sec

x .cossecx tg ANA : 1

log11 . 411 log :MARIA

3

π xpara,

x cossec . x 2.sec

x 10cotgx 10.tg :BRUNO

log3

3log3log27 CARLA

:

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Sabendo que Bruno foi sorteado para iniciar a rodada, assinale no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões)

CORRETA(S).

01) Bruno continuará no jogo independente de quem desafiar, pois nesta rodada sua carta é a de maior valor.

02) Bruno sairá do jogo independente de quem desafiar, pois nesta rodada sua carta é a de menor valor.

04) Se Maria for desafiada por Bruno, ela continuará no jogo.

08) Se Bruno desafiar Ana, então Ana sairá do jogo.

16) Para prosseguir no jogo, Bruno não deve desafiar Carla.

06. (UEPG) Considerando que rad6

5x

e rad

4

9y

, assinale o que for correto.

01) cotg y < cos x

02) sec x < tg y

04) cos y < tg x

08) sen x < cos y

07. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão x sec . a cotg . a cos

a cossec . a tg. asen ,obtém-se:

a) 0

b) sec2a

c) sen2a

d) 1

e) tg2a

08. (UFSC) O valor numérico da expressão

8xsec xcossec . x cotg

2xsen-2

x 2tg4x cos

, para x=2

π é:

09. (UEPG) Se 5π sec3

5π2.sen

3

5π cosA

e

50º cos . 884ºsen . 72º tg

252º tg. 130º cos . 164ºsen B , assinale o que for correto.

01) A é um número natural

02) A.B > 0

04) B pertence ao intervalo [-1, 3]

08) A + B = 1,5

16) B

A< 0

10. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão:

225º cotg60º tg300º sec

330 cotg150º cossec . 120º cos 30ºsen

11. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão (sec x - tg x)(sec x + tg x) sen2x é igual a:

a) cos2x

b) 1 + sen2x

c) cos x - sen x

d) sec x + cos x

e) n.d.a.

12. (UDESC) A expressão trigonométrica dada por xcos

x tg.sen x xcos é uma identidade trigonométrica com termo:

a) cotg2 x

ALISSON BACICHETI

b) cotg x

c) cosec2 x

d) sec2 x

e) tg2 x

13. (UFSC) Dado 5

3x sen e que

2 0x , , calcule o valor numérico da expressão:

1

2

2

xcossec .6.sen x

x tg. x cossec xcotg .x sec

14. Se x e y são números reais tais que

xsec .x tg xsec

x tg.eey

2

4xx

, então:

a) y = ex

b) y = ex(1 + tg x)

c) xcos

ey

x

d) xsec

ey

x

15. Para todo número real x, tal que 0 < x < 2

π, a expressão

xcotg xcos

x tg xsec

é equivalente a:

a) sen x . cotg x

b) sec x . cotg x

c) cos x . tg x

d) sec x . tg x

e) sen x. tg x

GABARITO

01. d 02. a) V b) F c) F d) V 03. a) 2 b) 2 c) – 1

04. a) 4

15 b) 15y c)

15

15 d) 4 e)

15

154 05. 24 06. 10

07. e 08. 03 09. 59 10. 01 11. a

12. d 13. 12 14. c 15. d

ALISSON BACICHETI

OPERAÇÕES ENTRE ARCOS

01. Determine o valor de sen 75° – cos 15°.

02. (UDESC) A expressão trigonométrica dada por

x2

2

5sen é uma identidade trigonométrica com o termo:

a) cos 2x

b) – cos 2x

c) sen 2x

d) – sen 2x

e) sen2 2x + cos

2 2x

03. O valor de cos 10o cos 50

o – sen 10

o. sen 50

o

04. (FURG – 2010) Ao sair de um quiosque (em A) na praia do Cassino, um turista avista um navio parado (em N),

sob um ângulo de 30º. Ele caminha em linha reta pela praia, em direção aos Molhes da Barra e instala seu guarda-sol

(em B) a 1.500m do quiosque. Nesse ponto, ele avista o mesmo navio sob um ângulo de 45º, conforme a figura abaixo.

A distância do navio ao guarda-sol, em metros, é de:

a) 131500

b) 2750

c) 26750

d) 26375

e) 231500

05. (UDESC – 2011) No dia primeiro de janeiro de 2011, ocorrerá a cerimônia de posse do(a) novo(a) Presidente(a)

da República. Um dos atos solenes desta cerimônia é a subida da rampa do Palácio do Planalto, sede do governo

brasileiro que pode ser vista na Figura 3.

Suponha que essa rampa possua uma elevação de 15º em relação à sua base e uma altura de 3 2 m. Então o(a) novo(a)

Chefe de Estado, ao subir toda a rampa presidencial, percorrerá uma distância de:

a) m 136

b) m 838

ALISSON BACICHETI

c) m 236

d) m 636

e) m 234

06. (UDESC) Seja x um arco tal que 2

x0

. Suponha que 4

3x sen , então

2

πx cos é:

a) 4

7

b) 4

7

c) 0

d) 4

3

e) 16

5

07. O valor de sen 15o. cos 15

o é:

08. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01) Se cos x = 4

1 e

x

2, o valor de cos(2x) é

8

7

02) Sendo 13

12x sen e

5

4y sen , 0 < x, y <

2

, então sen (x y) é igual a

65

16

04) A expressão (sen x + cos x)2 é equivalente a 1 + sen 2x

08) Para x, y R, vale sen (x + y) = sen x + sen y

09. (UFRGS) Se cos x – sen x = 2

1, então sen (2x) é igual a

a) 0,125

b) 0,25

c) 0,5

d) 0,75

e) 1

10. (UEL – 2010) Num triângulo retângulo ABC temos os ângulos internos  = 15° e B = 75°. O valor da razão BC

AC

é:

a) 2 + 3

b) sen 5°

c) 2

3

d) 32

e) 2

1

ALISSON BACICHETI

11. Sabendo que 5 xcossec

xsec

xsec

xcossec , então o valor de (sen x + cos x)

2 é:

a) 5

7

b) 2

7

c) 5

2

d) 1

e) 2

12. (FEI-SP) Se tg x + cotg x = 3, calcule sen (2x).

13. (MACK-SP) Se sen 10o + cos 10

o = a, então o valor de sen 55

o é igual a:

a) 2

2 a

b) 2

1 a

c) 2

3 a

d) 2a

e) 2 a

14. (FUVEST) O valor de (tg 10o + cotg 10

o). sen 20

o é:

15. (FATEC) Sendo a – b = 60o, calcule o valor de:

E = (cos a + cos b)2 + (sen a + sen b)

2

GABARITO

01. 0 02. a 03. 1/2 04. c 05. d

06. d 07. 0,25 08. 07 09. d 10. a

11. a 12. 2/3 13. a 14. 02 15. 03

ALISSON BACICHETI

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

01. Assinale V ou F:

a) ( ) A afirmação está correta?

Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela equação

2

ππ.t5.cosS(t) em que t está em segundos e

s em metros, então essa função tem período de 2 segundos e seu conjunto imagem é Im(s) = [–1, 1].

b) ( ) O período da função 2 xcossen xf(x) é 2

.

02. O gráfico na figura é o da função f: [0, 4] R , definida por:

a) f(x) = sen 2x

b) f(x) = 3 cos x

c) f(x) = 3 sen x

d) f(x) = 3 sen 2x

e) f(x) = 3sen

2

x

03. (IFSC – 2012) Considere a função g de domínio real, definida por g(x) = –5 + 3 sen (2x). Assinale no cartão-

resposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas.

01) O valor máximo da função é igual a –2.

02) A função g tem período igual a 2.

04) A imagem da função g é o intervalo real [-8,-2].

08) g() = g(–)

16) O gráfico de g passa pelo ponto (0,–5).

32) A função g é par.

04. (UFRGS – 2013) A função f é definida por f(x) = sen(2x) e g é uma função cujo gráfico não intercepta o gráfico de

f, quando representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. Entre as alternativas que seguem, a única que

pode representar g(x) é

a) sen x

b) log x

c) | x |

d) 2x + 3

e) 3 + 2x

05. Determine o conjunto imagem das seguintes funções abaixo:

a) f(x) 4 + 3sen (3x)

b) f(x) = 2 – 3sen

2

x

06. (UFRGS – 2010) O período da função definida por

2

π3xsen f(x) é:

a) 2

π b)

3

2π c)

6

5π

d) e) 2

ALISSON BACICHETI

07. (UEPG) A respeito do gráfico, que representa uma função periódica do tipo f(x) = a + b.sen (cx), definida em R,

assinale o que for correto:

01) f(x) = – 1 + 2sen (2x)

02) A imagem de f é [ – 3, 1]

04) O período da função é 2

π

08) 012

πf

08. (UFSM) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos,

em reais, de acordo com a lei

2

tsen120200tC

..)( com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos

máximo e mínimo desse produto são

a)320 e 200

b) 200 e 120

c) 200 e 80

d) 320 e 80

e) 120 e 80

09. (UFPEL) Senóide é o nome que se dá à curva que representa a função y = sen x, cuja imagem é [-1, 1] e o período

é 2 , conforme ilustra o gráfico abaixo.

Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o período (p) e a imagem (Im) da função y = 2

sen (3x) são respectivamente.

a) p = 6 e Im = [ -3 , 3]

b) p = 3

2π e Im = [ - 2, 2]

c) p = 4 e Im = [-3, 3]

d) p = 2 e Im = [-1, 1]

e) p = 2 e Im = [-2, 2]

f) I.R

10. (FEI-SP) O período da função

3

π.4x 5.cosy é dado por:

a) /5

b) 1/2

c) /2

d) /3

ALISSON BACICHETI

11. (IFSC – 2013) Após uma experimento físico, pesquisadores concluíram que determinado tipo de onda propaga-se

segundo a função

6

t sen23tf

..)(

na qual t é o tempo em segundo, t 0. Sobre a função f(t), assinale no cartão resposta o número correspondente à

proposição correta ou à soma das proposições corretas.

01) A imagem da função é o intervalo real [– 1, 1].

02) f(t) < 0 t ≠ 3k, k R.

04) O gráfico da função não intercepta o eixo das abscissas.

08) f(t) é uma função par.

16) f(t) é uma função crescente em todo o seu domínio.

32) O valor máximo da função é igual a 5.

12. (UFPR – 2011) Suponha que a expressão

t2sen20100P ...

descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um

teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e

abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função

tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.

a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa para t = 0 s; t = 0,75 s.

b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

13. (PUC – RS) Em uma animação, um mosquitinho aparece voando, e sua trajetória é representada em um plano onde

está localizado um referencial cartesiano. A curva que fornece o trajeto tem equação y = 3cos(bx + c). O período é 6,

o movimento parte da origem e desenvolve-se no sentido positivo do eixo das abscissas. Nessas condições, podemos

afirmar que o produto 3.b.c é

a) 18

b) 9

c)

d) 2

2

e) 2

14. (UFSC) Assinale a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a 3 m de uma parede plana e vertical.

Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede e esta sombra tem 17 m de altura. Se a altura do poste é de 20

m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é de 45o.

02) Se 3

1asen , então a88sen a25sen é

3

2.

04. Os gráficos das funções f(x) = sen(4x) e

43

2xg(x)

têm exatamente 3 pontos em comum, para x no intervalo (0, /2).

08) Para ser verdadeira a desigualdade tg(x).sec(x) < 0, x deve estar localizado no segundo ou no quarto

quadrante.

15. (UFSC) As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno.

Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, seja dada,

aproximadamente, pela fórmula

t

12

π sen48h(t) .. ,

em que t é o tempo medido em horas. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

ALISSON BACICHETI

01) O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.

02) O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12h.

04) O período de variação da altura da maré é de 24 horas.

08) O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue

livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas.

GABARITO

01. a) F b) F 02. e 03. 29 04. e

05. a) [1, 7] b) [- 1, 5] 06. b 07. 11 08. d

09. b 10. b 11. 36

12. a) 100 mmHg e 80 mmHg b) 0,75 segundos 13. e 14.05

15. 12

ALISSON BACICHETI

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

01. (UFSC) Determine, em graus, o valor real x, que satisfaz a equação: 2sen2x – 5senx + 2 =0 para

2

πx0 .

02. (UFSC – 2013) A Afirmação seguinte está CORRETA?

A equação 2log (cos ) 1x tem exatamente duas soluções no intervalo 0, 2 .

03. Resolver no intervalo 0 x < 2, a equação 2cos2x = – 3sen x

04. Resolver, no intervalo 0 x < 2, as seguintes equações:

a) sen x = 1

b) cos x = 0

c) sen x = 2

1

d) cos x = 2

2

e) sen 2 x 3sen x 4 = 0

05. (ACAFE) Analise as afirmações a seguir.

I) sen 50o = – sen 310

o

II) o valor real de x, em graus, que satisfaz a equação sen2 x + 4sen x + 3 = 0, para 0 < x < é 90

o.

III) Sendo sen x = k – 1, então, 0 k 2.

IV) Sendo A =

π2cos4

πsen .

2

π cos

2

π0º.sen2sen

2

πsen

, então 1A

É (são) correta(s) a(s) afirmações.

a) I – III – IV

b) I – II – IV

c)Apenas III

d) II – III – IV

e) II – III

06. Determinar o número de soluções da equação 2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2.

07. (UDESC) A solução da inequação sen(x) > 2

1 no intervalo 0 x é:

a)

6

11x

6

7ou

6

5x

6RxS /

b)

6

5x

6RxS /

c)

6

11x

6

7ou

6

5x

6RxS /

d)

6

11x

6

7ou

6

5x

6RxS /

e)

6

5x

6RxS /

ALISSON BACICHETI

08. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 2

πx0 na equação: 1 cos

2x + sen x = 0 é:

09. (UECE) Quantas raízes tem a equação cos2 x sen

2 x = 0 no intervalo 0 x 2?

10. (FUVEST) A soma das raízes da equação sen2 x – 2 cos

4x = 0 que estão no intervalo [0, 2], é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 7

11. (UFSC – 2010) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) Sabendo que 5 xtg e que 2

3x

, então

26

26 xcos .

02. Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o valor numérico do cosseno do maior

ângulo agudo é 5

3.

04) Para todo x real,

..k22

x , onde k é um número inteiro qualquer, vale xcosxsenxtg1

xtg1 22

2

2

.

08) No intervalo 2 0, o número de soluções da equação 02xcos é 2.

12. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01) A medida em radianos de um arco de 225º é rad6

11.

02) A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°.

04) Os valores de m, de modo que a expressão sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].

08) sen x > cos x para 4

x4

.

16) Se tg x = 4

3e

2

3x

, então o valor de sen x – cos x é igual a

5

1.

32) Se sen x 0, então cossec x 0.

64) A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para

0 x 2 é 6

x

ou 6

5x

.

13. (UEPG-PR) Seja sen 2x = 1, com x 1ºQ, então, é correto afirmar que:

01) cos x – sen x = 0

02) cos 2x = 0

04) sec x . cotg x = 0

08) sec x = 2

16) tg x = 0

14. (UFPEL) Dada a equação:

2

1x cos1

1x sen1

x sen1 xcos

Se 0 x , é correto afirmar que sec x é igual a:

a) 2

b) 2-

ALISSON BACICHETI

c) 3

32

d) – 1

e) 2

2

15. (UFSC – 2011) A afirmação está correta?

A equação 0 xcos2xsen admite 4 soluções no intervalo 3 0, .

GABARITO

01. 30 02. não 03.

6

11,

6

7

04. a)

2

S b)

2

3

2S . c)

18

33

6

7S . d)

4

7

4S . e)

2

3S

05. a 06. 04 07. b 08. 00 09. 04

10. c 11. 02 12. 86 13. 11 14. b

15. não