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Técnico de Nível Médio

Subsequente em Geologia

Aula 2Trigonometria no Triângulo Retângulo

Professor Luciano Nóbrega

1

ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

2www.professorlucianonobrega.wordpress.com

A

C

B

a

b

c

a

b

c

ß

Lembre-se: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquertriângulo resulta sempre em 180º.

Razões Trigonométricas

3

4

5

TERNA PITAGÓRICA

Este triângulo merece um destaque ESPECIAL.

Observe que as medidas dos seus lados, atende ao TEOREMA DE PITÁGORAS:

Se multiplicarmos as medidas dos lados deste triângulo por um mesmo número real positivo diferente de 1, obteremos outro triângulo retângulo semelhante a este.

8

10

6

2,5

2

1,5

α

Vamos fazer algumas comparações nesses três triângulos sobrepostos:

_cateto oposto ao ângulo α_

hipotenusa

= 0,6

_cateto adjacente ao ângulo α_

hipotenusa

_cat. op. a α_

cat. Adj. a α



A

C

B

a

b

c

a

seno do ângulo B =

seno de um ângulo =

seno do ângulo C =

sen B = /

sen C = /


EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine sen B e sen C.


A

C

B

b

c

acosseno do ângulo B =

cosseno de um ângulo =

cosseno do ângulo C =

cos B = /

cos C = /


EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine sen B e cos C.

Em seguida, determine sen C e cos B.


A

C

B

b

c

atangente do ângulo B =

tangente do ângulo C =

tangente de um ângulo =

tg B = /

tg C = /


EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine tg B e tg C.

Consequências das definições

A

C

B

a

b

c

a

b

c

sen B =

tg C =

cos B = cos C =

sen C =

tg B =

1ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ângulos complementares,

podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro;

2ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de um

ângulo é igual ao inverso da tangente do outro.


Consequências das definições

A

C

B

a

b

c

a

b

c

3ª CONSEQUÊNCIA

(Relação fundamental da trigonometria)

sen²α + cos²α = 1DEMONSTRAÇÃO:

sen B =

cos B =

Elevando os membros ao quadrado:

Somando as duas equações:

Desenvolvendo o 2º menbro: sen² B + cos² B =

sen² B + cos² B =

sen² B + cos² B = ²Ora, mas b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras), então:

4ª CONSEQUÊNCIA

DEMONSTRAÇÃO:

sen B =

cos B

sen B =

cos B

sen B =

cos B


Ângulos Notáveis

Razões Trigonométricas do ângulo de 45º

A B

CDsen 45º = sen 45º =

Considere o quadrado ABCD, com lado de medida ℓ.

ℓ

ℓ

d =

A diagonal AC desse quadrado mede d = .

Destaquemos do quadrado o triângulo ABC.

Temos:

45º

sen 45º =

cos 45º =

tg 45º = tg 45º =

Observe que os valores das razões trigonométricas

não dependem da medida do lado do quadrado.


Ângulos Notáveis


Considere agora o triângulo eqüilátero ABC, com lado de medida ℓ .

A

B C

ℓ

A altura AH do triângulo mede h = .

H.

h

Destaquemos do ABC o AHC.

Temos:

sen 30º =

30º

ℓ2

sen 30º = sen 30º =

cos 30º = cos 30º = cos 30º =

tg 30º = tg 30º =

tg 30º =


Ângulos Notáveis


Destaquemos novamente o AHC, temos:

cos 60º = cos 60º = cos 60º =

sen 60º = sen 60º = sen 60º =

tg 60º = tg 60º =

tg 60º =

A

B C

ℓ

H.

h

60º

ℓ2


Resumo

Vamos colocar numa tabela os valores encontrados:

Ângulo 30º 45º 60º

seno

cosseno

tangente

Música Dos Ângulos Notáveis

“1, 2, 3... 3, 2, 1...

Coloca o “2” embaixo de todo mundo

E raiz onde não tem “1”3, 1, 3... Coloca raiz no “3”

E divide o primeiro por 3”

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12

10 – (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do

edifício, sabendo que AB mede 25m e cos Θ = 0,6 .

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

GA

BA

RIT

O: 1

0) 2

0 m

11 – (UFCE) Em certa hora do dia, os

raios do Sol incidem sobre um local plano

com uma inclinação de 60º em relação à

horizontal. Nesse momento, o

comprimento da sombra de uma

construção de 6m de altura será,

aproximadamente:

A) 10,2 m B) 8,5 m C) 5,9 m

D) 4,2 m E) 3,4 m


13

12 – (UFPA) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A

em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto

C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a distância

percorrida pelo barco até o ponto C, é:

A) 240 √3 m B) 240 m C) 80 √3 m

D) 80 m E) 40 √3 m


15 – (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em um

pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa

com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.

O comprimento da rampa será igual a:

A) √3/2 m B) √3 m C) 2 m D) 4 m E) 4√3 m


14

13 – No triângulo retângulo abaixo, qual é o valor do cosseno de Â ?

X

10cm8cm

Â

GA

BA

RIT

O: 1

3) 3/5

1

4) 6

m

14 – Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio

fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é a altura do prédio?

15

16 – (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um

prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador

está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m

de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio,

então a altura do prédio, em metros, é:

A) 4(3 + √3). B) √3. C) √3/2.

D) 6(√2 + 2). E) ½.


17 – (UFRS) Uma torre vertical é presa por

cabos de aço fixos no chão, em um terreno

plano horizontal. Se A está a 15m da base B

da torre e C está a 20m de altura,

comprimento do cabo AC é:

A) 15 m B) 20 m C) 25 m

D) 35 m E) 40 m


15

18 – Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60º, o topo de

uma árvore na margem oposta. Quando ela se afasta 40 metros

perpendicularmente à margem do rio, esse ângulo é de 30º.

a) Qual a largura do rio? b) Qual a altura da árvore?

GA

BA

RIT

O: 1

8) a

) 20

m b

) 20

√3

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