ADL15

Exemplo3.3

Representação de um sistema mecânico em translação

Problema Obter as equações de estado para o sistema mecânico em translação mostrado na Fig. 3.7.

Solução: Primeiro, escreva as equações diferenciais para o circuito na Fig. 3.7. usando os métodos do Cap. 2 para obter as equações do movimento no domínio da transformada de Laplace. Em seguida, aplique a transformada de Laplace inversa a essas equações, supondo condições iniciais nulas, e obtenha

(3.44)

(3.45)

Faça. agora, d2x1 /dt2 = dv1 /dt, d2x2 /dt2 = dv2/dt e escolha x1, v1 x2 e v2 como variáveis de estado. Em seguida, forme as duas equações de estado resolvendo a Eq. (3.44) para dv1 /dt e a Eq. (3.45) para dv2 /dt. Finalmente, acrescente dx1 /dt = v1 e dx2 /dt = v2 para completar o conjunto de equações de estado. Portanto,

Na forma matricial,

(3.47)

onde o ponto indica derivação em relação ao tempo. Qual a equação da saída se a variável de saída for x2(t) ?

(3.46)

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados.

Considere a equação diferencial

(3.48)

Uma forma conveniente de selecionar variáveis de estado é escolher a saída, y(t) e suas (n — 1) derivadas como variáveis de estado. Esta opção é chamada de escolha de variáveis de fase. Escolhendo as variáveis de estado, xi , obtemos

(3.49a)

(3.49b)

(3.49c)

(3.49d)

e derivando ambos os membros

(3.50a)

(3.50b)

(3.50c)

(3.50d)

onde o ponto sobre o x significa derivada em relação ao tempo. Substituindo as definições das Eqs. (3.49) nas Eqs. (3.50), calculamos as equações de estado como

(3.51a) (3.51b)

(3.51c)

(3.5 ld)

onde a Eq. (3.51d) foi obtida da Eq. (3.48) e (3.49). As Eqs. (3.51) se transformam, sob forma matricial vetorial, em

A Eq. (3.52) é a forma em variáveis de fase das equações de estado. Esta forma é reconhecida facilmente pelo padrão exclusivo de l's e 0's e do negativo dos coeficientes da equação diferencial, escritos na ordem inversa, na última linha da matriz de sistema.

Finalmente, como a solução da equação diferencial é y(t), a equação de saída é

Exemplo 3.4

Convertendo uma função de transferência com termo constante em numerador

Problema: Obter a representação no espaço de estados sob a forma de variáveis de fase da função de transferência mostrada na figura abaixo.

Solução

Passo 1 Obter a equação diferencial associada. Como

multiplicando em cruz resulta

A equação diferencial correspondente é obtida aplicando a transformada de Laplace inversa, supondo condições iniciais zero:

Passo 2 Escolher as variáveis de estado.Escolhendo as variáveis de estado como as derivadas sucessivas, obtemos

(3.57a)

(3.57b)

(3.57c)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Derivando ambos os membros e fazendo uso das Eqs. (3.57) as equações de estado e de saída combinadas são

(3.58a)

(3.58b)

(3.58c)

(3.58d)Em forma matricial vetorial,

(3.59a)

Podemos criar um diagrama de blocos equivalente para o sistema da Fig. 3.10(a), para ajudar a visualização das variáveis de estado. Desenhamos três blocos integradores como mostrado na Figura acima e designamos cada uma das saídas como variável de estado, xi(t), como assinalado.

Exemplo 3.5

Convertendo uma função de transferência com polinômio em numerador

Problema Seja a função de transferência ao lado (a):

Solução Este problema difere do Exemplo 3.4, uma vez que o numerador apresenta um polinômio em s em vez de apenas um termo constante

Passo 1 Separar o sistema em dois blocos em cascata,

Passo 2 Obter as equações de estado para o bloco contendo o denominador. Observamos que o numerador M primeiro bloco é 1/24 do numerador do Exemplo 3.4. Portanto, as equações de estado são as mesmas, execto que a matriz de entrada do sistema ê 1/24 da matriz de entrada do Exemplo 3.4. Portanto, a equação de estado é

Passo 3 Introduzir o efeito do bloco com o numerador.

Aplicando a transformada de Laplace inversa com condições iniciais nulas, obtemos

(3.65)

Portanto,

Assim, a última caixa da Fig. 3.11(b) "reúne" os estados e gera a equação de saída.

(3.67)