ADL13 CAPITULO 3

Modelagem no Domínio do Tempo

Espaço de Estados

Introdução

técnica clássica, ou no domínio de freqüência.Vantagens:• substituição de uma equação diferencial por uma equação algébrica simplifica a representação de subsistemas individuais e também a modelagem de subsistemas interconectados.•fornecem rapidamente informação sobre a estabilidade c sobre a resposta transitória.Desvantagem:•aplicabilidade limitada: só pode ser usada em sistemas lineares e invariantes no tempo ou em sistemas que possam ser aproximados como tal.

espaço de estados ou abordagem moderna ou domínio do tempo• análise e projeto de uma gama ampla de sistemas: P. exemplo, sistemas não-lineares dotados de folga, saturação e zona morta. •sistemas com condições iniciais não-nulas.• Os sistemas variantes no tempo•Sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas •Sistemas com um computador digital na malha ou para modelar sistemas para simulação digital.Desvantagem:• Não é tão intuitiva quanto a abordagem clássica. O projetista deve se envolver com muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente.

Representação em espaço de Estados1. Selecionamos um subconjunto particular de todas as variáveis do sistema e

chamamos as variáveis deste subconjunto de variáveis de estado.2. Para um sistema de ordem n, escrevemos n equações diferenciais de primeira ordem,

simultâneas em termos das variáveis de estado.3. Se conhecermos a condição inicial de todas as variáveis de estado em t0 bem como a

entrada do sistema para t � t0, poderemos resolver as equações diferenciais simultâneas em função das variáveis de estado para t � t0.

4. Combinamos algebricamente as variáveis de estado com a entrada e obtemos todas as outras variáveis do sistema para t � t0. Chamamos esta equação algébrica de equação de saída.

5. Consideramos as equações de estado e as equações de saída uma representação viável do sistema. Chama esta representação de representação do sistema no espaço de estados.

Exemplo:

Fig.3.1 Circuito RL, com corrente inicial i(0)

1. Selecionamos a corrente, i(t),

2. Escrevemos a equação de malha,

3. Transformada de Laplace com condições iniciais nulas,

Admitindo que a entrada. v(t), seja um degrau unitário u(t), cuja transformada de Laplace éV(s) = l/s, calculamos I(s) e obtemos

de onde resulta

A função i(t) é um subconjunto de todas as variáveis possíveis do circuito que somos capazes de calcular com base na Eq. (3.4) se soubermos a condição inicial, i(0), e a entrada, v(t). Assim. i(t) éuma variável de estado : a equação diferencial (3.1) é uma equação de estado.

(3.1)

(3.4)

(3.2)

(3.3)

4. Podemos agora resolver algebricamente todas as outras variáveis do circuito em termos de i(t) e da tensão aplicada, v(t). Por exemplo, a tensão sobre o resistor é:

A tensão sobre o indutor é

A derivada da corrente é

Assim, conhecendo-se a variável de estado, i(t), e a entrada, v(t), pode-se obter o valor ou estado de qualquer variável do circuito em qualquer instante de tempo, t � t0.

A Eq. (3.1), que descreve a dinâmica do circuito, não é única. Esta equação poderia ter sido escrita em termos de qualquer outra variável do circuito. Por exemplo, substituindo i = VR/R na Eq. (3.1), resulta

(3.8)

que pode ser resolvida conhecendo-se a condição inicial vR(0) = Ri(0)e conhecendo-se v(t). Neste caso, a variável de estado é vR(t).

Sistema de segunda ordem,

1. Duas variáveis de estado: i(t) e q(t), a carga do capacitor, como as duas variáveis de estado.2. Escrevendo a equação de malha, resulta

3. Ou, expressando em função da carga:

Mas uma equação diferencial de ordem n pode ser convertida em n equações diferenciais de primeira ordem, cada uma delas com a seguinte forma

(3.11)

onde cada xi é uma variável de estado e os coeficientes aij e bi são constantes nos sistemas lineares e invariantes no tempo. Podemos converter a Eq. (3.10) em duas equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas:

(3.12a)

(3.12b)

3. Estas são as equações de estado e podem ser resolvidas simultaneamente para obter as variáveis de estado, q(t) e i(t) se conhecermos as condições iniciais para q{t) e i(t) e a entrada, v(t).

4. Com base nessas duas equações, podemos calcular todas as outras variáveis do circuito. Por exemplo, a tensão sobre o indutor pode ser escrita em termos das variáveis de estado e da entrada como

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.9)

(3.10)

(3.13)

AEq. (3.13)é uma equação de saída; dizemos que vL(t)é uma combinação linear das variáveis de estado, q(t) e i(t), e da entrada, v(t).

5. As equações de estado (3.12) combinadas e a equação de saída (3.13} constituem uma representação viável circuito, à qual chamamos de uma representação no espaço de estados.

Uma outra escolha de duas variáveis do estado pode ser feita, por exemplo, com vR(t) e vC(t),

O sistema de equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, será:

(3.14)

Novamente, estas equações diferenciais podem ser resolvidas para se obter as variáveis de estado se forem conhecidas as condições iniciais juntamente com a entrada v(t). Além disso, todas as outras variáveis do circuito pc ser calculadas como combinação linear dessas variáveis de estado.

Há alguma restrição na escolha das variáveis de estado? Sim! A restrição é que nenhuma das variáveis de estado possa ser escrita como uma combinação linear das outras variáveis de estado. Por exemplo, se vR(t) for escolhida como variável de estado, então i(t) não pode ser escolhida, porque a primeira pode ser escrita como uma combinação linear de i(t), ou seja, vR(t) = Ri(t).

As variáveis de estado devem ser linearmente independentes; As equações de estado e de saída podem ser escritas na forma matricial se o sistema for linear.

Assim, as equações de estado,

onde

A equação de saída, Eq. (3.13), pode ser escrita como

y = vL(t); C = [-l/C -R]; x = [q i]t; D = 1; u = v(t)Chamamos a combinação das Eqs. (3.15) e (3.16) de uma representação no espaço de estados do circuito

(3.15)

(3.16)