ANÁLISE DE SÉRIES ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICASTEMPORAIS ECONÔMICAS

Prof. Henrique Dantas Neder – Universidade Federal de Uberlândia

Processos EstocásticosProcessos Estocásticos

Definição: Seja T um conjunto arbitrário. Definição: Seja T um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família Um processo estocástico é uma família

{ ( ), },Z Z t t T tal que, para cada , ( )t T Z t é uma variável

aleatória.

Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias.

O processo estocástico { ( ), }Z Z t t T

Está completamente especificado se conhecermos as funções de distribuição

1 1

1 1

( ,...., ; ,...., )

( ) ,...., ( )n n

n n

F z z t t

P Z t z Z t z

n 1para todo

Processos estocásticos Processos estocásticos estacionáriosestacionários

{ ( ), }Z Z t t T Um processo estocástico é

estritamente estacionário se todas as funções de distribuições permanecem as mesmas no decorrer do tempo, ou seja,

1 1

1 1

( ,...., ; ,...., )

( ,...., ; ,...., )n n

n n

F z z t t

F z z t t

para quaisquer t1,...,tn,

Processo estocástico Processo estocástico estacionárioestacionário

Todas as distribuições univariadas são invariantes no tempo:Todas as distribuições univariadas são invariantes no tempo:

µ(t)=µ,V(t)=µ(t)=µ,V(t)=σσ2 2 parapara todotodo

Podemos também supor que Podemos também supor que µ=0 ou, de forma alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ}µ=0 ou, de forma alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ}

Como Como

.t T

1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ,0) ( )t t t t t t t t

Processo estocástico Processo estocástico estacionárioestacionário

Logo, em um processo estritamente Logo, em um processo estritamente estacionário, é uma função de estacionário, é uma função de um único argumento, ou seja, o valor um único argumento, ou seja, o valor da covariância depende apenas da da covariância depende apenas da defasagem temporal.defasagem temporal.

1 2( , )t t

Processo estocástico Processo estocástico fracamente estacionáriofracamente estacionário

Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo):Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo):

1) E{Z(t)}=1) E{Z(t)}=µ(t)=µ, constante, para todo t µ(t)=µ, constante, para todo t ЄЄ T; T;

2) E{Z2) E{Z22(t)} < ∞; para todo t (t)} < ∞; para todo t ЄЄ T; T;

3) é uma função de 3) é uma função de ׀׀tt1 1 –t–t22׀׀

1 2 1 2( , ) cov{ ( ), ( )}t t Z t Z t

AutocorrelaçãoAutocorrelação

É o coeficiente de correlação entre É o coeficiente de correlação entre observações defasadas no tempo:observações defasadas no tempo:

1

1 1 21

1 12 2

1 1 21

( )( )

( ) ( )

n

t tt

n

t tt

x x x xr

x x x x

AutocorrelaçãoAutocorrelação

onde as médias amostrais onde as médias amostrais são: são:

1

11

( 1)n

ti

x x n

22

( 1)n

ti

x x n

e

AutocorrelaçãoAutocorrelaçãoCostuma-se simplificar a expressão anterior Costuma-se simplificar a expressão anterior

da seguinte forma:da seguinte forma:

1

11

1 12

1

( )( )

( 1) ( )

n

t tt

n

tt

x x x xr

n x x n

Já que 1 2x x e assumindo variância constante.

AutocorrelaçãoAutocorrelação

A expressão anterior pode ser generalizada para k A expressão anterior pode ser generalizada para k períodos de tempo (defasagem):períodos de tempo (defasagem):

11

2

1

( )( )

( )

n k

t t kt

k n

tt

x x x xr

x x

Séries aleatóriasSéries aleatórias

Se xSe x11,x,x22,...,x,...,xnn são i.i.d (independentes e são i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) então o identicamente distribuídas) então o coeficiente de autocorrelação coeficiente de autocorrelação amostral ramostral rkk é assintoticamente é assintoticamente normalmente distribuído com média normalmente distribuído com média e variância dados por:e variância dados por:k( ) 1/ e Var(r ) 1/kE r n n

Processo ruído branco - Processo ruído branco - StataStata

* simulação de um processo ruído branco e um * simulação de um processo ruído branco e um passeio aleatóriopasseio aleatório

drawnorm ruido, n(500) seed(500)drawnorm ruido, n(500) seed(500)gene tempo = _n gene tempo = _n tsset tempotsset tempotwoway (tsline ruido)twoway (tsline ruido)wntestq ruidowntestq ruido

-4-2

02

4ru

ido

0 100 200 300 400 500tempo

Simulação de um processo ruído branco – todas as Simulação de um processo ruído branco – todas as variáveis Xvariáveis Xtt tem distribuição normal com média tem distribuição normal com média µ=0 e µ=0 e

σσ=1=1

Processo Passeio Aleatório Processo Passeio Aleatório - Stata- Stata

set obs 500 set obs 500 gen int t = _n gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform()))gen sumz = sum(invnorm(uniform()))tset ttset ttwoway (tsline sumz) twoway (tsline sumz)

O passeio aleatório é não estacionário.O passeio aleatório é não estacionário.A sua especificação econométrica é:A sua especificação econométrica é:

YYtt=Y=Yt-1t-1+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))

Simulação de um processo passeio aleatório (“random Simulação de um processo passeio aleatório (“random walk”)walk”)

-15

-10

-50

5su

mz

0 100 200 300 400 500t

Processo Passeio Aleatório Processo Passeio Aleatório - Stata- Stata

Ou um passeio aleatório com tendência:Ou um passeio aleatório com tendência:

YYtt==ββ00++YYt-1t-1+at, +at, aatt~N(0,~N(0,σσ22))

Se Se ββ00, então em média, , então em média, YYt t aumenta.aumenta.

A melhor previsão da série para t+1 é A melhor previsão da série para t+1 é YYtt++ββ00. No modelo anterior, passeio aleatório . No modelo anterior, passeio aleatório sem tendência, a melhor previsão da série sem tendência, a melhor previsão da série t+1 é Yt+1 é Ytt..

Processo Passeio Processo Passeio AleatórioAleatório

O modelo de passeio aleatório é uma caso especial do O modelo de passeio aleatório é uma caso especial do modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem:modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem:

YYtt==ββ11YYt-1t-1+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))

quando quando ββ11=1, o modelo AR é não estacionário e sua =1, o modelo AR é não estacionário e sua variância aumenta ao longo do tempo.variância aumenta ao longo do tempo.

Na equação Na equação YYtt=Y=Yt-1t-1+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))

Var(YVar(Ytt) = Var(Y) = Var(Yt-1t-1)+Var(a)+Var(att))

Para que YPara que Ytt seja estacionário Var(Y seja estacionário Var(Ytt) = Var(Y) = Var(Yt-1t-1), mas ), mas para isto Var(apara isto Var(att) = 0) = 0

Processo Passeio Processo Passeio AleatórioAleatório

YY00=0 , Y=0 , Y11=a=a11, Y, Y22=a=a11+a+a22,Y,Ytt=a=a11+a+a22+...+a+...+att

Var(YVar(Ytt)=t.)=t.σσ2 2 :: a variância aumenta a medida que t aumenta.a variância aumenta a medida que t aumenta.

No caso de um modelo auto-regressivo de ordem p (AR(p)):No caso de um modelo auto-regressivo de ordem p (AR(p)):

YYtt==ββ11YYt-1t-1++ββ22YYt-2t-2+...++...+ββppYYt-pt-p+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))

Para ser estacionário todas as raízes do polinômio Para ser estacionário todas as raízes do polinômio 1-1-ββ11z-z-ββ11zz22-...-...ββppzzpp

devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.

Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller Dickey-Fuller

Consideremos o modelo AR(1):Consideremos o modelo AR(1):

ZZtt = = θθ11ZZt-1t-1+a+att , a , att~N(0,~N(0,σσ22))

ΔΔZZtt = = θθ’’11ZZt-1t-1+a+at t θθ’’1 1 == θθ11-1-1

HH0 0 {{θθ’’1 1 = 0= 0

HHÁÁ { {θθ’’1 1 < 0< 0

Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado

0 1 1 1 2 2

0 t

A t

...

H { 0 (Z tem uma tendencia estocastica)

H { 0 (Z estacionaria)

t t t t p t p tZ Z Z Z Z u

é

• O número de defasagens p pode ser obtido utilizando os critérios AIC (Akaike) ou Schwarz que veremos adiante.

• A estatística ADF não tem distribuição normal, mesmo para amostras grandes.

Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado

use use http://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dtahttp://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dtatsset qtrtsset qtrtwoway (tsline investment)twoway (tsline investment)dfuller investimentdfuller investimentdfuller D.investmentdfuller D.investmentdfuller D.investment, lags(4)dfuller D.investment, lags(4)fitstatfitstatdfuller D.investment, lags(3)dfuller D.investment, lags(3)fitstatfitstatdfuller D.investment, lags(2)dfuller D.investment, lags(2)fitstatfitstat

200

400

600

800

100

0In

vest

me

nt

1960q1 1965q1 1970q1 1975q1 1980q1 1985q1qtr

Evolução temporal da série investimento – antiga Evolução temporal da série investimento – antiga Alemanha OcidentalAlemanha Ocidental

Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado

Com a seguinte seqüência de comandos Com a seguinte seqüência de comandos Stata, verifique a estacionariedade de um Stata, verifique a estacionariedade de um passeio aleatório:passeio aleatório:

set obs 500 set obs 500 gen int t = _n gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform()))gen sumz = sum(invnorm(uniform()))tset ttset tdfuller sumzdfuller sumzdfuller D.sumzdfuller D.sumztwoway (tsline D.sumz) twoway (tsline D.sumz)

-4-2

02

D.s

um

z

0 100 200 300 400 500t

Evolução temporal da diferença de um passeio aleatórioEvolução temporal da diferença de um passeio aleatório

Existem alguns problemas adicionais com relação a testes deraiz unitária:

1)Eles tem baixo poder para discriminar entre uma raiz unitária e um processo próximo de raiz unitária.2) Eles podem usar um conjunto inapropriado de regressores determinísticos.3) Para os testes deve ser considerada a possibilidade de quebra estrutural.

Os testes ADF devem considerar o seguinte conjunto de equações:

1 12

0 1 12

0 1 2 12

p

t t i t i ti

p

t t i t i ti

p

t t i t i ti

y y y

y a y y

y a y a t y

Operadores para séries Operadores para séries temporaistemporais

Operador translação para o passado Operador translação para o passado

BZBZtt=Z=Zt-1 t-1 BBmmZZtt=Z=Zt-mt-m

Operador diferençaOperador diferença

ΔΔZZtt=Z=Ztt-Z-Zt-1t-1=(1-B)Z=(1-B)Zt t ΔΔ = 1 – B= 1 – B

Operador somaOperador soma

SZSZtt==2

10

-1

... (1 ...)

(1 ) S=

t j t t tj

t

Z Z Z B B Z

B Z

Modelos ARMA (Box-Modelos ARMA (Box-Jenkins)Jenkins)

ARMA(p,q)ARMA(p,q)

1 1 1 1

21 2

21 2

... ...

( ) ( )

( ) 1 ...

( ) 1 ...

t t p t p t t p t p

t t

pp

pp

Z Z Z a a a

ou

B Z B Z

onde

B B B B

B B B B

Modelos ARMA (Box-Modelos ARMA (Box-Jenkins)Jenkins)

Filtro linearFiltro linear

Filtro linearat zt

Ψ(B)

Zt=μ+at+ψ1at-1+ ψ2at-2+...=μ+ ψ(B) at

Onde

ψ(B)=1+ψ1B+ ψ2B2+...

Modelo ARMA(1,1)Modelo ARMA(1,1)

ZZtt=0,8Z=0,8Zt-1t-1+a+att-0,3a-0,3at-1t-1 Simulação no Stata:Simulação no Stata: drawnorm a, n(50) seed(500)drawnorm a, n(50) seed(500) gene tempo = _n gene tempo = _n tsset tempotsset tempo set matsize 800set matsize 800 gene z = 0gene z = 0 mkmat a z,matrix(Z)mkmat a z,matrix(Z) forvalues i = 2(1)50 {forvalues i = 2(1)50 { matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] }} svmat Z, name(serie)svmat Z, name(serie) twoway (tsline serie2)twoway (tsline serie2)

Função de autocorrelação Função de autocorrelação parcial parcial

Seja um modelo autorregressivo AR(k):Seja um modelo autorregressivo AR(k):

1 1 2 2

1 1 2 2

...

... , j = 1,...,kt k t k t kk t k

j k j k j kk j k

Z Z Z Z

Temos assim as equações de Yule-Walker:

Equações de Yule-WalkerEquações de Yule-Walker

1 2 11 1

1 2 22 2

1 2 3

1 ...

1 ...

.......

.

... 1

kk

kk

kkkk k k

Função de autocorrelação Função de autocorrelação parcialparcial

Resolvendo para k =1,2,3...Resolvendo para k =1,2,3...

11 1

1 1

1 21

22 1 31 2 2 1

22 3321 21 1

1 11

2 1

*

kk

1

11

11 1

11

1

e em geral,

k

k

Onde Pk é a matriz de autocorrelações e Pk

* é a matriz Pk com a última coluna substituída pelo vetor de autocorrelações (ver Morettin, 2004).

Modelos ARMAModelos ARMA

1.1. Um processo AR(p) tem fac que decai de Um processo AR(p) tem fac que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas, infinita em extensão;amortecidas, infinita em extensão;

2.2. Um processo MA(q) tem fac finita, com Um processo MA(q) tem fac finita, com um corte após o lag q;um corte após o lag q;

3.3. Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita em extensão, que decai de acordo com em extensão, que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas exponenciais e/ou senoides amortecidas após o lag q-papós o lag q-p

Modelos ARMAModelos ARMA

1.1. Um processo AR(p) tem facp Um processo AR(p) tem facp ØØkkkk≠0, ≠0, para k≤p e Øpara k≤p e Økkkk=0, para k >p;=0, para k >p;

2.2. Um processo MA(q) tem facp que se Um processo MA(q) tem facp que se comporta de maneira similar à fac de comporta de maneira similar à fac de um processo AR(p);um processo AR(p);

3.3. Um processo ARMA(p,q) tem facp Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comporta como a facp de um que se comporta como a facp de um processo MA puro (ver Morettin, processo MA puro (ver Morettin, 2004) 2004)

Modelos ARMAModelos ARMA

Vamos simular no Stata diversos processos ARMA e Vamos simular no Stata diversos processos ARMA e verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o arquivo do-file: arquivo do-file:

http://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAOhttp://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAO%20ARMA.do %20ARMA.do

Modelos ARMAModelos ARMA-4

-20

24

serie2

0 50 100 150 200tempo

Processo AR(1)

-2-1

01

23

serie3

0 50 100 150 200tempo

Processo MA(1)

-4-2

02

4

serie4

0 50 100 150 200tempo

Processo ARMA(1)

Correlograma processo Correlograma processo AR(1)AR(1)

Correlograma processo Correlograma processo MA(1)MA(1)

Correlograma processo Correlograma processo ARMA(1,1)ARMA(1,1)

Identificação de modelos Identificação de modelos ARMAARMA

ARIMA(1,0,0)ARIMA(1,0,0)ρρkk decai exponencialmente decai exponencialmente

Somente Somente ØØ1111≠0≠0

ARIMA(0,0,1)ARIMA(0,0,1)Somente Somente ρρ11 ≠0≠0

ØØkkkk decai exponencialmente decai exponencialmente

ARMA(2,0,0)ARMA(2,0,0)ρρ k k – mistura de exponenciais ou – mistura de exponenciais ou senoides amortecidas senoides amortecidas

ØØ1111≠0 e Ø≠0 e Ø2222≠0 ≠0

ARMA(0,0,2)ARMA(0,0,2)ρρ11 ≠0 e ≠0 e ρρ22 ≠0 ≠0

ØØkkkk – mistura de exponenciais ou – mistura de exponenciais ou senoides amortecidassenoides amortecidas

ARMA(1,0,1)ARMA(1,0,1)ρρ k k decai exponencialmente após o lag decai exponencialmente após o lag 11

ØØkkkk decai decai exponencialmente após o exponencialmente após o lag 1lag 1

Outras alternativas de Outras alternativas de identificação de modelos identificação de modelos

ARMAARMA Critério de informação de Akaike:Critério de informação de Akaike:

2,ˆ( , ) ln 2( 2)k lAIC k l N k l

onde:

2,ˆk l é a estimativa de máxima verossimilhança da

variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.

Outras alternativas de Outras alternativas de identificação de modelos identificação de modelos

ARMAARMA Critério de informação BayesianoCritério de informação Bayesiano

2,

lnˆ( , ) ln ( )k l

NBIC k l k l

N

onde:

2,ˆk l é a estimativa de máxima verossimilhança da

variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.

Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados a Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados a série gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – série gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – Exemplo GujaratiExemplo Gujarati

Aplicação dos critérios AIC e BIC através do StataAplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata

Aplicação dos critérios AIC e BIC através do StataAplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata

ModeloModelo AICAIC SICSIC -2log -2log likelihoodlikelihood

No. de No. de parâmetroparâmetross

AR(1 8 9 12)AR(1 8 9 12)

MA(1 2 8 MA(1 2 8 12)12)

853.78007853.78007 875.97324875.97324 835.78007 835.78007 99

ARMA(1,1)ARMA(1,1) 865.28999865.28999 872.68771872.68771 859.28999859.28999 33

ARMA(2,1)ARMA(2,1) 866.95925866.95925 876.82288876.82288 858.95925858.95925 33

ARMA(1,2)ARMA(1,2) 867.10988867.10988 876.97351 876.97351 859.10988 859.10988 44

Verificação da adequação do Verificação da adequação do modelo - diagnósticomodelo - diagnóstico

Para verificar a adequação do modelo aos dados, Para verificar a adequação do modelo aos dados, um dos procedimentos utilizados é verificar se os um dos procedimentos utilizados é verificar se os resíduos são auto-correlacionados.resíduos são auto-correlacionados. Os resíduos do modelo podem ser obtidos através Os resíduos do modelo podem ser obtidos através do comando predict: do comando predict:

arima d.gdp, ar(1) ma(1)arima d.gdp, ar(1) ma(1)

predict residuo, residualspredict residuo, residuals

corrgram residuocorrgram residuo

ac residuo ac residuo

Verificação da adequação do Verificação da adequação do modelo - diagnósticomodelo - diagnóstico

-0.4

0-0

.20

0.0

00

.20

0.4

0

Au

tocorr

ela

tion

s o

f re

sid

uo

0 10 20 30 40Lag

Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

Aparentemente, os resíduos do modelo ARMA(1,1) não são auto-correlacionados (com exceção do lag 8, as correlações dos resíduos defasados não são significativas).

Introdução a Análise VAR – Vector Autoregressive Regression

Considere o sistema bi-variado simples: 10 12 11 1 12 1

20 21 21 1 22 1

t t t t yt

t t t t zt

y b b z y z

z b b y y z

Assume-se que:

1) yt e zt são séries estacionárias2) εyt e εzt são erros aleatórios ruído branco com desvios-padroes σy e σz respectivamente.3) εyt e εzt são séries não auto-correlacionadas

b12 é o efeito contemporâneo de uma mudança unitária de zt em yt.

Podemos colocar este sistema na forma matricial:

10 112 11 12

21 21 2220 1

0 1 1

0 1 1

1 1 10 0 1 1

1

1

:

, A , A ,

ytt t

t t zt

t t t

t t t

tt t t

t

y b yb

b z b z

ou

Bx x

ou

x A A x e

onde

yx B B e B

z

A Função de Impulso-Resposta

Considere um modelo VAR bi-variado:

1 1

1, 1, 1,1 1,2t t 1

2,1 2,22, 2,

onde:

y

t t t

t t

t t

y y

y

y

Considere os efeitos dos choques correntes e passados na serie yt. Por exemplo, um choque unitário ε1,t tem um efeito de aumentar y1,t em uma unidade e ε2,t tem um efeito similar sobre y2,t. Mas examinemos os efeitos de outros choques e choques passados.

Fazendo repetidas substituições para trás:

1 21 0 1 1 1 2 1 1

1, 1, 11,1 1,21 21 0 1 1 1 2

2,1 2,22, 2, 1

1,1 1, 1 1,2 2, 11 21 0 1 1 1 2

2,1 1, 1 2,2 2, 1

...

...

...

t tt t t t

t tt tt t

t t

t tt tt

t t

y y

yy

y

y

t

Isto torna claro que o efeito de uma unidade no choque ε1,t-1 sobre y1,t é Φ1,1 e que o mesmo choque tem um efeito de Φ2,1 sobre y2,t.

O impulso-resposta de segunda ordem é obtido por:2

1 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,221 2

2,1 1,1 2,2 2,1 2,1 1,2 2,2

21, 1, 21 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,21

1 0 1 1 22, 2,1 1,1 2,2 2,1 2,1 1,2 2,2 2, 2

...

t tt t

t t

yy

y

1 1 t t

Generalizando: o efeito de uma unidade do choque ε1,t-h sobre y1,t é dado pelo elemento superior esquerdo da matriz Φ1

h. Em geral, o efeito sobre yi,t de uma unidade de choque εj,t-h é dado pelo elemento (i,j) da matriz Φ1

h.

Para as aplicações a seguir iremos utilizar o arquivo de dados Stata obtido através do comando:

use http://www.ecn26.ie.ufu.br/DADOS/money.dta

Este comando irá carregar através da web o arquivo de dados para o Stata.

Para obter um modelo VAR o primeiro passo a ser executado é a obtenção de seu número de lags. Isto é conseguido através do comando varsoc:

set matsize 800

varsoc y m inf, maxlag(7)

Determinação do número de lags de um modelo VAR irrestrito

Pelo resultado anterior, de acordo com os critérios de AKAIKE (AIC), Final Predction Error (FPE) e Likelihood Ratio Test (LR) a melhor estrutura de lags corresponde ao modelo de 4 lags.

Rodamos então o modelo VAR com 4 lags através do comando:

var y m inf, lags(1/4)

O resultado em si das estimativas MQO do modelo não tem valor analítico para o tipo de análise que iremos fazer a seguir. Portanto, para suprimir a saída das estimativas do modelo, iremos executar o comando:

quietly var y m inf, lags(1/4)

Teste de normalidade dos resíduos para modelo VAR

Pelos resultados do teste Jarque-Bera, os resíduos para as equações das variáveis y e m são normais ao passo que para a equação da variável inf é rejeitada a hipótese nula de normalidade dos resíduos.

É importante também verificar a condição de não auto-correlação dos resíduos do modelo. Utiliza-se para isto o comando:

varlmar

Pelos resultados da saída Stata a seguir, os resíduos do modelo apresentam auto-correlação de primeira ordem, mas não apresentam auto-correlação de segunda ordem.

Teste de auto-correlação dos resíduos do modelo VAR

Para realizar a análise das funções impulso-resposta e decomposição de variância no Stata temos uma seqüência de comandos:

irf set “arquivo1”

irf create modelo1

irf table irf fevd

Com estes comandos especificamos a saída para as funções impulso-resposta e decomposição de variância, mostradas a seguir.

Funções impulso-resposta e decomposição de variância para modelo VAR

Decomposição de variância

• Diferentemente da análise de impulso-resposta, na decomposição de variância estamos interessados em avaliar a importância relativa (percentual) sobre os erros de previsão para uma determinada variável.

• Na análise de impulso-resposta podemos verificar o sentido dos efeitos de cada variável (impulso) sobre as outras variáveis (resposta). O efeito neste caso pode ser positivo ou negativo.

• No caso da decomposição de variância esta noção de sentido dos efeitos já não existe, mas apenas o valor relativo dos efeitos de cada variável sobre o erro de previsão de uma determinada variável.

-.5

0

.5

1

-.5

0

.5

1

-.5

0

.5

1

0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

modelo1, inf, inf modelo1, inf, m modelo1, inf, y

modelo1, m, inf modelo1, m, m modelo1, m, y

modelo1, y, inf modelo1, y, m modelo1, y, y

95% CI impulse response function (irf)

step

Graphs by irfname, impulse variable, and response variable

Funções Impulso-Resposta para Modelo VAR

• Nos gráficos da primeira coluna do slide anterior vemos as respostas das três variáveis sobre a inflação. No primeiro gráfico desta coluna vemos o efeito resposta de uma variação unitária do choque exógeno na equação da inflação sobre a própria inflação quando transmitido através dos seus efeitos multiplicadores pelo conjunto do sistema. Ele mostra que a inflação tem efeitos sobre seus próprios valores futuros até o terceiro ou quarto lags.

• Observando a segunda linha de gráficos verifica-se que a oferta monetária não produz efeito futuro sobre as variáveis inflação (inf) e Produto Interno Bruto (y). Ela apresenta um impacto significativo sobre a própria oferta monetária até o segundo lag.

• Isto sugere que há uma fraca relação dinâmica entre as variáveis do modelo.

Um comando apropriado para o Stata para gráficos de decomposição de variância é:

irf graph fevd, irf(modelo1)

Isto também pode ser obtido através do menu:

Statistics => Multivariate time series => IRF & FEDV Analysis => Graphs by Impulse or response (e especifique em Statistics to graph: fevd)

0

.5

1

0

.5

1

0

.5

1

0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

modelo1, inf, inf modelo1, inf, m modelo1, inf, y

modelo1, m, inf modelo1, m, m modelo1, m, y

modelo1, y, inf modelo1, y, m modelo1, y, y

95% CI fraction of mse due to impulse

step

Graphs by irfname, impulse variable, and response variable

Decomposição de variância para Modelo VAR