ANÁLISE DAS PRÁTICAS DOCENTES EM TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO

Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud

Profa. Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho

A NOÇÃO DE ORGANIZAÇÃO PRAXEOLÓGICA

Porque antropológico?A teoria Antropológica do Didático situa a

atividade matemática dentro do conjunto de atividades humanas e das instituições sociais.

A NOÇÃO DE PRAXEOLOGIA

- Tarefa (t) e Tipos de Tarefas (T) Na noção de praxeologia encontram-se as noções de tarefa

(t), e de tipo de tarefas (T). Na maioria dos casos, uma tarefa (e o tipo de tarefa) é

definida por um verbo. Ex.: varrer a peça, desenvolver a expressão literária dada,

etc. Bater na face, sorrir para alguém são tarefas. Trata-se de

colocar em prática alguma coisa.

Tarefa

A noção de tarefa supõe um objetivo relativamente preciso. Ex.: Subir uma escada é um tipo de tarefa, mas subir

somente, não é. Calcular o valor de uma função em um ponto é um tipo de

tarefa, mas calcular somente é uma tarefa. Enfim, tarefas, tipos de tarefas, gêneros de tarefas não são

dados da natureza: são “artefatos”, “obras”, construções institucionais, cuja reconstrução nessas instituições, e por exemplo, em sala de aula, é um problema a resolver, isto é, uma questão Didática.

Técnicas ()

Seja portanto T um tipo de tarefa dada. Uma praxeologia relativa a T precisa de uma maneira de executar, de realizar as tarefas (t), a essa maneira de fazer dá-se o nome de Técnica.

Uma “maneira de fazer” – resulta sobre uma parte p(t) de tarefas do tipo T à qual ela está relacionada, parte que nomeamos portadora da técnica.

Ex.: A técnica usada para calcular em N pode fracassar em outro conjunto numérico.

Técnicas ()(cont.)

Em uma instituição I dada, a propósito de um tipo de tarefa T, existe em geral uma só técnica, ou ao menos um número limitado de técnicas institucionalmente reconhecidas, excluindo técnicas alternativas possíveis que podem existir efetivamente, mas em outras instituições.

Ao realizar um tipo de tarefa utilizando técnicas alternativas que os sujeitos da instituição ignoram, estas serão a princípio contestadas ou não aceitas.

Técnicas ()(cont.)

As técnicas são institucionalizadas – uma instituição I propõe um tipo de tarefa e para resolvê-la existe uma só técnica (ou um mínimo de técnicas) , excluindo técnicas alternativas possíveis que podem existir em outras instituições. Exemplo: O binômio ax + b pode ser escrito da forma

a

abx , o que permite concluir: 2x – 3 =

32x3 é

negativo se x>32, positivo se x<

32. Esta forma de estudar o

sinal do binômio é incomum no ensino secundário francês hoje, recebendo sem dúvida, muitas críticas. Um outro exemplo é a forma canônica do polinômio do 2º grau, que é pouco utilizada nos Ensino Fundamental e Médio brasileiro.

Tecnologias ()

Entende-se por tecnologia um discurso racional que tem como primeira função justificar a técnica, assegurando que ela permita executar as tarefas do tipo T.

Em uma instituição, qualquer que seja a tarefa, a técnica é sempre acompanhada de no mínimo um vestígio de tecnologia.

Na aritmética elementar, o mesmo discurso tem dupla função, técnica e tecnologia, ele permite ao mesmo tempo achar o resultado pedido (função técnica) e justificar que o resultado pedido está certo (função tecnologia)

Exemplos

Ex.: Se 8 chupetas custam 10 reais, 24 chupetas, ou seja 3 vezes mais chupetas, custarão 3 vezes mais, ou seja 3 vezes 10 reais .

Uma segunda função da tecnologia é explicar, esclarecer a técnica.

Se a primeira função – justificar a técnica – consiste em assegurar que a técnica dá bem o que é pretendido, esta segunda função consiste em expor o porque é assim.

Ex.: Sabe-se que a equação ax²+bx+c=0 (onde a0) tem duas raízes quando b²-4ac0, não tem raízes (em R) se b²-4ac<0 etc. pode-se explicar tal resultado com o auxilio de tecnologia dos números complexos.

A terceira função da tecnologia é a função de produção de técnicas.

Ex.: A tecnologia dos números fracionários permite produzir uma técnica mais sofisticada que a técnica anterior.

Se a chupetas custam b reais então x chupetas custam x.(b/a) ou seja (x/a). b

- Teoria () A teoria está para a tecnologia, o que a tecnologia

está para técnica.

Teoria - Tecnologia

Se a e são números reais estritamente positivos, então existe um número n, tal que

n• > a.

Teoria = tecnologia Tecnologia técnica Ex.: Em , a seqüência do termo

geral n1tende a 0, quando n

tende a ; é um resultado tecnológico muito concreto. Sua justificação teórica está no axioma de Eudoxe-Arquimedes.

Saber-fazer e Saber

Em torno de um tipo de tarefa (T), encontra-se um trio formado de uma técnica (), de uma tecnologia () e uma teoria (). Esse bloco [T, , , ] constitui uma praxeologia. Esta é constituída por dois blocos: tecnológico-teórico [ , ] e é indicado como saber. prático-técnico [T,] que constitui um saber-fazer. Pode-se analisar esta praxeologia em: - praxeologia pontual [T, , , ] - praxeologia local - praxeologia regional - praxeologia global

Exemplo de organização praxeológica

Por exemplo, no Ensino Médio, pode-se falar: de uma organização praxeológica pontual no que diz respeito à

resolução de um dado tipo de problema de proporcionalidade - organização que responderia à seguinte questão “como resolver um problema desse tipo?”;

de uma organização local no que diz respeito à resolução de diferentes tipos de problemas de proporcionalidade;

enfim, de uma organização regional, no que diz respeito, por exemplo, à noção de função numérica (que envolve todo um campo da Matemática ensinada no Ensino Médio).

Saber e saber fazer(cont.)

As passagens de uma a outra fazem a anterior progredir, avançar. À medida que se tem algo mais complexo, o bloco de saberes

aumenta em detrimento daquele do saber-fazer. Por exemplo, no ensino de Matemática, um tema de estudo

(“Pitágoras”, “Tales”, etc) é freqüentemente identificado a uma tecnologia determinada (teorema de Pitágoras, teorema de Tales), ou ainda ao bloco de saber [ /] correspondente, esta tecnologia permite explicar e justificar técnicas relativas à diversos tipos de tarefas.

Nota-se, entretanto que outros temas de estudo (fatoração, resolução de equações, etc) se exprimem, mais classicamente, em termos de tipos de tarefas.

problemática das Praxeologias

As praxeologias envelhecem, seus componentes teóricos e tecnológicos perdem seu crédito.

Constantemente, em uma instituição I dada, novas praxeologias são olhadas.

Essas praxeologias deverão ser produzidas ou reproduzidas na medida em que elas existem em alguma instituição I’.

A passagem da praxeologia de I para I’ é chamada de Transposição .

No que diz respeito à escola, à classe, etc. dá-se o nome de Transposição Didática.

Análise das Práticas de Ensino

Sendo dado um objeto relativo às práticas de ensino, deve-se em primeiro lugar, observar o objeto, depois descrever e analisar o objeto, em seguida avaliar, enfim, desenvolver atividades relativas ao ensino-aprendizagem desse objeto.

Os tipos de objetos a serem considerados são: a realidade matemática(Organização matemática – OM) a maneira que se pode construir essa realidade

(Organização Didática - OD)

Análise de uma Organização Matemática

Para que seja feita uma análise de uma OM é necessário que se conheça a teoria que sustenta o tema a ser estudado.

As praxeologias didáticas ou organizações didáticas são respostas às questões do tipo:

“Como estudar a questão?” ou “Como estudar a atividade A?” A organização didática relativa ao tema de estudo refere-se ao como

estudar a organização matemática deste tema de estudo. A questão que se coloca é saber quais são os tipos de tarefas

relevantes de uma praxeologia didática; ou seja, quais as ações que podem ser olhadas como didáticas.

OS MOMENTOS DIDÁTICOS

Como toda organização praxeológica, uma organização didática se articula em torno de tipos de tarefas (geralmente cooperativas), em técnicas, em tecnologias, em teorias.

Mas como descrever tal organização? Quais são, por exemplo, os principais tipos de tarefas?

A noção de momento só remete, em aparência, à estrutura temporal do processo de estudo.

Os momentos(Cont.)

A palavra “momento” é usada no sentido de chamar a atenção sobre a dimensão multidimensional, um fator no processo multifatorial, do processo ensino-aprendizagem

Os momentos didáticos, são primeiramente uma realidade funcional do estudo, antes de ser uma realidade cronológica.

OS MOMENTOS DIDÁTICOS

O primeiro momento de estudo é aquele do primeiro encontro com a organização. O início do estudo, mais precisamente um encontro com as tarefas T, constitutivas de Organização

O segundo momento é aquele de exploração do tipo de tarefas T e a elaboração de uma técnica relativa a este tipo de tarefa.

O estudo e a resolução de um tipo de problema iniciam-se sempre a partir de, ao menos, um embrião de técnica, a partir da qual uma técnica mais desenvolvida poderá eventualmente emergir:

o estudo de um problema particular, espécie do tipo estudado, aparece assim, não como um fim em si, mas como um meio para que tal técnica de resolução se constitui.

Assim se amarra uma dialética fundamental: estudar os problemas é um meio permanente para criar e colocar em prática uma técnica relativa aos problemas de mesmo tipo.

Terceiro e quarto momentos

O terceiro momento de estudo é o momento da constituição do ambiente tecnológico-teórico, relativo a técnica.

Em geral, esse momento está em estreita inter-relação com cada um dos outros momentos.

Assim, desde o primeiro encontro com um tipo de tarefa, tem-se inter-relações e/ou conexões com um ambiente tecnológico-teórico anteriormente elaborado.

O quarto momento é o de trabalhar a técnica, tornar eficaz a técnica. É o momento em que se coloca em xeque a técnica, em um conjunto de tarefas adequadas qualitativamente e quantitativamente.

O quinto momento

O quinto momento é o momento da institucionalização, que tem por objetivo definir o que é “exatamente” a organização matemática elaborada, distinguindo, notadamente,

de um lado, os elementos, que tendo concorrido para sua construção, não serão por ela integrados,

e por outra lado, os elementos que entrarão de maneira definitiva na organização matemática visada.

Sexto momento

O sexto momento é aquele da avaliação que se articula ao momento da institucionalização.

O que está sendo avaliado é a praxeologia e não as pessoas.

Observação

O modelo dos momentos do estudo tem, para o professor, dois grandes tipos de emprego.

De início, ele constitui uma grade para a análise dos processos didáticos.

Em seguida, ele permite pôr claramente o problema da realização de diferentes momentos do estudo. Como por exemplo realizar concretamente o primeiro encontro com tal organização matemática? Com qual tipo de tarefas? Como conduzir o estudo exploratório de um tipo de tarefas dado? Como conduzir bem a instituição? Como realizar o momento da avaliação?

Avaliar, desenvolver: algumas observações

Avaliar: um esquema universal, um gesto fundamental Em inúmeras situações, somos levados a operar segundo o

esquema de quatro tempos . Começamos em geral por observar e analisar a maneira de

fazer de alguns outros e depois avaliamos o que esta observação e análise terão assim revelado, só para depois desenvolver nossa própria “solução”.

Avaliar os tipos de tarefas

Referimo-nos aqui a uma organização seja ela pontual ou local.

Em todos os casos, o tema de estudo imposto – se identifica com certo tipo de tarefas matemáticas T (organização pontual), ou reenvia ao ‘núcleo gerador” de um bloco tecnológico-teórico (organização local), a avaliação se apoiará sobre critérios explícitos, cujo primeira análise deverá permitir dizer em qual medida eles são satisfatórios para a organização matemática a avaliar.

Critérios

Critério de identificação: verifica se os tipos de tarefas estão postos de forma clara e bem identificados;

Critério das razões de ser: verifica se as razões de ser dos tipos de tarefas estão explicitados ou ao contrário, estes tipos de tarefas aparecem sem motivo;

Critério de pertinência: verifica se os tipos de tarefas considerados fornecem um bom recorte em relação as situações matemáticas mais freqüentemente encontradas e se são pertinentes em relação às necessidades matemáticas dos alunos para hoje ou para amanhã.

Para ilustrar o terceiro critério, consideraremos um tipo de tarefas – verificar um cálculo cujo a pertinência pareça genericamente evidente, mas a concretização sob a forma de tipos de tarefas determinados é em geral mal escolhida.

Exemplo

E x e m p lo 1 : V e r i f i c a r s e e s t á c o r r e to o c á lc u lo d a s e g u in te ig u a ld a d e d e f r a ç õ e s :

913

64

47

783642 9

13.6.964.6.9

97.6.9

913.6.9

64

97.6.9

E x e m p lo 2 : V e r i f i c a r s e r e s u l t a d o d o c á l c u lo a lg é b r ic o

3x52x21x2.3x

A t r ib u i r v a lo r e s s im p le s p a r a x s u b s t i tu in d o n o s d o i s m e m b r o s d a ig u a ld a d e ; E x e m p lo 3 : V e r i f i c a r o r e s u l t a d o d o c á l c u lo c o m r a d ic a l

581853

253

S u b s t i tu i r por x 5 e r e s o lv e r a e q u a ç ã o o b te n d o c o m o r e s u l t a d o p a r a x o s v a lo r e s 5 .

Avaliar técnicas

A avaliação de técnicas supõe os mesmos critérios, dos quais alguns somente serão evocados aqui. Assim, as técnicas propostas são efetivamente elaboradas, ou somente esboçadas? São fáceis de utilizar? Sua importância é satisfatória? Sua confiabilidade é aceitável sendo dadas suas condições de emprego? São suficientemente inteligíveis?

Cont.

N o f u t u r o p o d e r ã o e v o l u i r d e m a n e i r a c o n v e n i e n t e ? U m a t é c n i c a p o d e s e r i n s u f i c i e n t e m e n t e c o n f i á v e l , c o m o p o r e x e m p l o , n o c á l c u l o t r a d i c i o n a l n a F r a n ç a , n ã o s o b r e g r a n d e z a s ( c o m o etc ,312g/dm ,218m/s ,232cm 5km, ) , m a s s o b r e a s m e d i d a s d e s t a s g r a n d e z a s

12 18, 32, 5, , e x c l u i n d o a s u n i d a d e s d e c á l c u l o s

p a r a s ó i n t r o d u z i r n o f i n a l . E x e m p l o : C a l c u l a r a m a s s a M , e m g / c m , d e u m a b a r r a d e a ç o d e s e ç ã o c o n s t a n t e , d e 4 d m d e c o m p r i m e n t o , d e m a s s a 2 , 8 5 k g .

cm/g25,71cm/g4

285cm4

g285cm104

g31085,2

dm4kg85,2M

Avaliar tecnologias

Observações análogas as precedentes podem ser feitas a propósito do bloco tecnológico-teórico.

Assim, sendo dado um enunciado, o problema de sua justificação é somente posto ou este enunciado é considerado tacitamente como altivo de si, evidente, natural ou ainda bem conhecido?

As formas de justificação utilizadas são próximas das formas canônicas em matemática?

Elas são adaptadas a suas condições de utilização? As justificações explicativas são favorecidas?

O resultado tecnológico evocado neste que precede a existência e a unicidade de certa escrita canônica não tem como única função justificar práticas existentes. Pode ser explorado em vista de produzir novas técnicas.

exemplo

P o d e - s e a s s i m c o n s i d e r a r d e t e r m i n a d a e s c r i t a d e u m a e x p r e s s ã o d a f o r m a

edceba

p e l a t é c n i c a c o l o c a d a e m

p r á t i c a

1y e 3x6xy3

14y5x3

5.xy3.y5x35614

y55x5y3x356145yx.532

535yx53

253

Avaliar uma organização didática?

A questão da avaliação de uma organização didática OD constitui um ponto de convergência do conjunto de estudos em didática da matemática, ao mesmo tempo em que é, de maneira explícita ou implícita, um dos motores mais importantes do progresso das pesquisas didáticas