ana matos dmat -...

Regras de Derivação

Ana Matos

DMAT

1 Regras de Derivação

1.1 Nota prévia importante

Estas folhas surgem pelo facto de, nos últimos anos, ter tido alguns alunos emAnálise Matemática I que nunca tinham dado qualquer noção de derivada,ou mesmo de limite de uma função.

De facto, para um estudo minimamente correcto e fundamentado dederivadas, a noção de limite de uma função é absolutamente indispensável.

A partir do momento em que são dadas as regras de derivação em AnáliseMatemática I, usá-las com à-vontade é rigorosamente indispensável para todoo resto da matéria. As regras de derivação são dadas, dentro do capítulo dasderivadas, a um ritmo em que se assume que o aluno já ouviu falar destasnoções. Esse ritmo é excessivo para os alunos que referi.

Estas folhas não pretendem explicar a matéria de derivadas mas apenasexplicar o funcionamento das regras de derivação, sem as justificar. De facto,é possível compreender o funcionamento das regras de derivação, e usá-lascom segurança, mesmo sem ter compreendido a noção de derivada. Comoum jogo de que se conhecem as regras.

É, aliás, muito mais rápido compreender o funcionamento das regras dederivação do que compreender os restantes aspectos das derivadas, em espe-cial para quem ainda não domine a noção de limite.

Em Análise Matemática I, ao capítulo de derivadas segue-se o de primi-tivas e integrais. Quem souber usar as regras de derivação com à-vontade,mesmo sem ter ainda compreendido adequadamente a restante matéria dederivadas, tem a possibilidade de acompanhar uma parte significativa doconteúdo desse capítulo.

O objectivo destas folhas é, portanto, tomar um atalho para dar aos alunos

a possibilidade de usarem as regras de derivação, e assim terem a possibili-

dade de continuar a acompanhar partes da matéria que exigem apenas esse

conhecimento, enquanto ganham tempo para efectuar o estudo correcto e fun-

damentado das derivadas.

O aluno tem que estar consciente, no entanto, que apenas fica a saberusar, mecanicamente, um dos aspectos das derivadas.

Ao longo do texto vão sendo propostos alguns exercícios, cujas soluçõesse encontram no fim da matéria.

No final das folhas são propostas duas pequenas fichas de exercícios, comas respectivas soluções. A primeira avalia a aplicação básica das regras dederivação enquanto a segunda exige um maior domínio destas regras.

1 Ana M atos - R egras de Derivação - 12 N ov. 2010

1.2 Em que consistem as Regras de Derivação

Como foi explicado na nota prévia, vamos apresentar as regras de derivaçãocomo se estivessemos num jogo, em que temos as peças e as regras do jogo:

• as peças são as derivadas de algumas funções, por exemplo:

constantes, x, xn, n√x, ex, ln x, senx, cosx, etc

(ou seja, as derivadas das funções mais elementares, à custa das quaisobtemos as outras funções por meio das operações);

• as regras do jogo vão-nos indicar o comportamento da derivada quandofazemos operações com funções, por exemplo:

conhecendo a derivada de duas funções, f e g, podemos obter as derivadasde 2f, −f, f + g, f − g, f × g, f

g, etc.

Vamos aceitar como válidas as peças e as regras do jogo, ou seja, nãovamos justificar as derivadas que vamos indicar para as funções mais ele-mentares, nem as propriedades relativamente às operações.

Aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para,a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas defunções que delas se obtêm por meio das operações.

1.3 Notação

Como foi referido, não vamos fazer o estudo geral das derivadas, mas apenasdas regras de derivação. Assumimos o conhecimento de que a derivada deuma função f , na variável x , é uma função, que representamos por

f ′ ou pordf

dx,

que está definida nos valores em que f tem derivada.Diz-se que uma função é derivável se existe a sua derivada.

1.4 Funções constantes e potências

Proposição 1 (derivada de uma constante)A derivada de uma função contante é nula, isto é, se c é um número real,

então

c′ = 0.


Exemplos:Quais são as derivadas das funções f (x) = 3, g (x) = −2, h (x) = 0,

l (x) = π e s (x) = e?

Todas estas funções são constantes, pelo que as suas derivadas são nulas.

Proposição 2 (derivada da função f (x) = x)

x′ = 1.

Proposição 3 (derivada da potência)Se n ∈ N,

(xn)′ = nxn−1.

Repare-se que, aplicando esta regra, concluímos também que x′ = 1, masé mais simples pensar neste caso à parte.

Exemplos:Quais são as derivadas das funções f (x) = x2 e g (x) = x5?

• f ′ (x) = (x2)′ = 2x2−1 = 2x;

• g′ (x) = (x5)′ = 5x5−1 = 5x4.

1.5 Soma, subtracção e produto por uma constante

Proposição 4 (derivadas da soma e da subtracção)Se f e g são funções deriváveis, então f + g e f − g são deriváveis e

[f (x) + g (x)]′ = f ′ (x) + g′ (x) ;

[f (x)− g (x)]′ = f ′ (x)− g′ (x) .

Proposição 5 (derivada da multiplicação por uma constante)Se f é uma função derivável e c um número real, então cf é derivável e

[cf (x)]′ = cf ′ (x) .


Exemplos:Quais são as derivadas das funções f (x) = 3 + x, g (x) = x4 + 5x e

h (x) = 3x5 − 8x2 + 1?

• (3 + x)′ = 3′ + x′ = 0 + 1 = 1;

• (x4 + 5x)′ = (x4)′ + (5x)′ = 4x4−1 + 5x′ = 4x3 + 5;

• (3x5 − 8x2 + 1)′ = (3x5)′−(8x2)′+1′ = 3 (5x4)−8 (2x)+0 = 15x4−16x.

Neste momento já sabemos calcular a derivada de qualquer polinómio.

Exercício 1Determine a derivada do polinómio x4 − 12x3 + 2x2 + x− 1.

1.6 Potências de expoente racional

Proposição 6 (derivada da raiz)Se n ∈ N, com n > 1, então

(n√x)′=

1

nn√xn−1

.

Exemplos:Quais são as derivadas das funções f (x) =

√x e g (x) = 3

√x?

• f ′ (x) = 12√x;

• g′ (x) = 1

33√x2.

Exercício 2Determine a derivada da função 3 6

√x+ 2x3 + x+ 1.


Tendo presente quen√x = x

1

n

a derivada da raiz pode também ser obtida como um caso particular da regrade derivação que se segue.

Proposição 7 (derivada da potência de expoente racional)Se α é um número racional, então

(xα)′ = αxα−1.

Temos, assim, a garantia que a regra já dada para a potência é tambémválida quando o expoente é um número racional qualquer.

Pode-se provar que esta regra é ainda válida sendo α um número realqualquer.

Exemplos:Quais são as derivadas das funções f (x) = x

4

3 , g (x) =4√x3, h (x) = 1

x2?

• f ′ (x) =(x4

3

)′= 4

3x4

3−1 = 4

3x1

3 = 433√x;

• g′ (x) =(

4√x3)′=((x3)

1

4

)′=(x3

4

)′= 3

4x3

4−1 = 3

4x−

1

4 = 3414√x;

• h′ (x) =(1x2

)′= (x−2)

′= −2x−2−1 = −2x−3 = − 2

x3.

Voltemos a calcular as derivadas das funções f (x) =√x e g (x) = 3

√x,

agora por esta regra.

• f ′ (x) = (√x)′ =(x1

2

)′= 1

2x1

2−1 = 1

2x−

1

2 = 121√x;

• g′ (x) = ( 3√x)′=(x1

3

)′= 1

3x1

3−1 = 1

3x−

2

3 = 13

13√x2.

Embora este segundo processo possa parecer mais trabalhoso, há toda avantagem em nos habituarmos a ele pois esta forma de pensar será indispen-sável mais à frente, em especial na parte das primitivas.

Exercício 3Determine a derivada da função 4

√x5 − 5

√x.


1.7 Multiplicação e divisão

Proposição 8 (derivada do produto)Se f e g são funções deriváveis, então fg é uma função derivável e

[f (x) g (x)]′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x) .

Exemplos:1. Calculemos a derivada do produto das funções f (x) = x2 + 2x + 1 e

g (x) = 2x− 1.Pela derivada do produto,

(f (x) g (x))′ =(x2 + 2x+ 1

)′(2x− 1) +

(x2 + 2x+ 1

)(2x− 1)′ =

= (2x+ 2) (2x− 1) +(x2 + 2x+ 1

)2 = 6x2 + 6x.

É claro que poderíamos ter seguido outro processo, em que calculamosprimeiro o produto e derivamos o polinómio obtido:

f (x) g (x) =(x2 + 2x+ 1

)(2x− 1) = 2x3 + 4x2 + 2x− x2 − 2x− 1 =

= 2x3 + 3x2 − 1

pelo que(f (x) g (x))′ = 6x2 + 6x.

2. Calculemos a derivada do produto das funções h (x) = −x + 3 el (x) =

√x.

Pela derivada do produto,

(h (x) l (x))′ = (−x+ 3)′√x+ (−x+ 3)

(√x)′=

= (−1)√x+ (−x+ 3) 1

2x−

1

2 = −√x− 1

2x1−

1

2 +3

2x−

1

2 =

= −√x− 1

2

√x+

3

2

1√x= −3

2

√x+

3

2

1√x.

Sugere-se que o aluno calcule a derivada pelo outro processo, efectuandoprimeiro o produto e depois derivando.


Proposição 9 (derivada do quociente)Se f e g são funções deriváveis, então f

gé uma função derivável nos

pontos em que g não se anula e

[f (x)

g (x)

]′=f ′ (x) g (x)− f (x) g′ (x)

[g (x)]2.

Exemplos:Consideremos novamente as funções do exemplo anterior.1. Calculemos a derivada do quociente de f (x) = x2 + 2x + 1 por

g (x) = 2x− 1.

(x2 + 2x+ 1

2x− 1

)′=

(x2 + 2x+ 1)′(2x− 1)− (x2 + 2x+ 1) (2x− 1)′

(2x− 1)2=

=(2x+ 2) (2x− 1)− (x2 + 2x+ 1) 2

(2x− 1)2=2x2 − 2x− 4(2x− 1)2

.

2. Calculemos a derivada do quociente de l (x) =√x por h (x) = −x+3.

( √x

−x+ 3

)′=

(√x)′(−x+ 3)−√x (−x+ 3)′

(−x+ 3)2=

=

121√x(−x+ 3)−√x (−1)(−x+ 3)2

=−12x√x+ 3

21√x+√x

(−x+ 3)2=

=−12x1−

1

2 + 321√x+√x

(−x+ 3)2=

12

√x+ 3

21√x

(−x+ 3)2.

Exercício 4Considerando as funções f (x) = 3x3+x2+x e g (x) = 3x2+1, determine

as derivadas de f (x) g (x) , 1f(x)

e f(x)g(x).


1.8 Simplificação de cálculos

Um aspecto a ter em conta antes de efectuar um cálculo, e em particularantes de calcular uma derivada, é pensarmos no método mais simples de oabordar. O facto de nos habituarmos a pensar em maneiras alternativas deescrever as funções facilitará muito o nosso trabalho.

A aplicação imediata de uma regra de derivação, sem ter em atenção esteaspecto, leva, frequentemente, a contas bem mais complicadas do que serianecessário, com grande perda de tempo e aumento do risco de erro.

Há ainda uma agravante, o facto de não derivarmos de uma forma efi-ciente não nos prepara adequadamente para o estudo, que se segue, das pri-

mitivas.

Dois casos típicos são o uso desnecessário da derivada do produto e daderivada do quociente.

Apresentam-se em seguida alguns exemplos representativos, com indi-cação de maneiras mais simples de efectuar os cálculos.

• Para derivar αf (x), onde α é uma constante, o mais prático é aplicara derivada da multiplicação por um escalar

[αf (x)]′ = αf ′ (x)

em vez da derivada do produto.

Por exemplo,(3√x)′= 3

(√x)′=

3

2√x.

• Consideremos f (x) = x2.

Em vez de aplicar a derivada do quociente, é mais simples pensar que

(x2

)′=

(1

2x

)′=1

2.

• Para f (x) = 3x5

sugere-se o mesmo:

(3x

5

)′=

(3

5x

)′=3

5.


• Derivemos a função f (x) = x3+4x2

2x.

O mais fácil é simplificar a função e depois derivar, em vez de derivarlogo o quociente. Assim,

(x3 + 4x2

2x

)′=

(1

2x2 + 2x

)′= x+ 2.

• Derivemos a função f (x) = x+1√x.

Como no caso anterior, começamos por simplificar a função e depoisderivamos, em vez de derivar logo o quociente:(x+ 1√x

)′=

(x√x+

1√x

)′=(x1−

1

2 + x−1

2

)′=1

2x−

1

2−12x−

3

2 =1

2

1√x−12

1√x3

(já para√x

x+1teria mesmo que ser usada a derivada do quociente).

• Derivemos a função f (x) = (−x+ 3)√x.

Este exemplo foi usado para ilustrar a derivada do produto, mas foilogo sugerido que o aluno fizesse o produto e depois derivasse. Assim,[(−x+ 3)

√x]′=(−x 3

2 + 3x1

2

)′= −3

2x1

2 +3

2x−

1

2 = −32

√x+

3

2

1√x.

• Derivemos a função f (x) = 13√x.

O mais simples é fazer(13√x

)′=(x−

1

3

)′= −1

3x−

4

3 = −13

13√x4

em vez de usar as derivadas do quociente e da raiz.

• Derivemos a função f (x) = x√x+ 4

√x+2

3√x

.

x√x+ 4

√x+ 2

3√x

=x3

2 + x1

4 + 2

x1

3

= x3

2− 1

3+x1

4−1

3+2x−1

3 = x7

6+x−1

12+2x−1

3

portanto(x√x+ 4

√x+ 2

3√x

)′=

(x7

6 + x−1

12 + 2x−1

3

)′=7

6x1

6 − 1

12x−

13

12 − 23x−

4

3 =

=7

66√x− 1

12

112√x13

− 23

13√x4

Exercício 5Derive, simplificando, as funções −2x

3, x

2+5x2, x

4+2x3+x2+12x2

, 15√x2

e x2+x+ 3√x

5√x2

.


1.9 Funções trigonométricas

Proposição 10 (derivadas do seno e do coseno)

(sen x)′ = cosx,

(cosx)′ = − sen x.

Tendo presente que:

tg x =sen x

cosx, cotg x =

cosx

sen x,

secx =1

cosx, cosecx =

1

senx,

das propriedades anteriores conclui-se que

(tg x)′ = sec2 x, (cotg x)′ = − cosec2 x,

(secx)′ = secx tg x, (cosecx)′ = − cosecx cotg x.

Apresentamos os cálculos para as derivadas da tangente e da secante:

(tg x)′ =(sen xcosx

)′=(sen x)′ cosx− sen x (cosx)′

(cos x)2=

=cosx cosx− sen x (− sen x)

(cosx)2=cos2 x+ sen2 x

(cosx)2=

1

(cosx)2= sec2 x;

(secx)′ =

(1

cosx

)′=0− 1 (cosx)′

(cosx)2=− (− senx)(cosx)2

=senx

cosx

1

cosx= tg x secx.

Exercício 6Faça as deduções das derivadas da cotangente e da cosecante.


1.10 Exponencial e logaritmo

Proposição 11 (derivada da exponencial )

(ex)′ = ex.

Proposição 12 (derivada do logaritmo)

(ln x)′ =1

x.

Exemplos:Calculemos a derivada de ex ln x:

(ex lnx)′ = (ex)′ ln x+ ex (ln x)′ = ex ln x+ ex1

x= ex

(ln x+

1

x

).

Exercício 7Determine as derivadas das funções f (x) = x3ex e g (x) = x ln x.

1.11 Função composta

Uma das operações mais frequentes entre funções é a composição.Perceber em que situação estamos a aplicar a regra da derivação da função

composta e o seu funcionamento é talvez o ponto mais importante para odomínio das regras de derivação.

Para a grande maioria dos alunos, a dificuldade das derivadas reside pre-cisamente nesta questão, por tentarem calcular derivadas em que o uso daregra da derivação da função composta é indispensável, sem sequer terem emconta que se encontram perante uma composição de funções.

Pelo contrário, se estivermos atentos a estas questão, identificarmos cor-rectamente as funções envolvidas e o respectivo papel, a aplicação desta regratorna-se muito simples.O primeiro ponto a perceber é em que situações o uso desta regra é

necessário.

Comecemos por recordar que, sendo f e g duas funções, a função com-posta f ◦ g, nos pontos do seu domínio, é definida por

f◦g (x) = f (g (x)) .


Por exemplo, sendo

f (x) = 3x2 e g (x) = 5x− 1

entãof ◦ g (x) = f (g (x)) = f (5x− 1) = 3 (5x− 1)2

eg ◦ f (x) = g (f (x)) = g

(3x2)= 5

(3x2)− 1 = 15x2 − 1.

Consideremos, agora, as seguintes funções:

(2x+ 1)6 ,√x2 + 2, sen (4x) ,

cos (2x3) , e3x2+2x, ln (x2 − 1) .

No cálculo da derivada de qualquer uma destas funções estamos perantea derivação de uma função composta.

• Consideremos h (x) = (2x+ 1)6 .

Trata-se de uma situação de potência, composta com a função 2x+ 1.

De facto,

h (x) = (2x+ 1)6 = f (2x+ 1) = f (g (x)) = f ◦ g (x)

comf (x) = x6 e g (x) = 2x+ 1.

• Consideremos h (x) =√x2 + 2.

Trata-se da função raiz quadrada, composta com a função x2 + 2.

De facto,

h (x) =√x2 + 2 = f

(x2 + 2

)= f (g (x)) = f ◦ g (x)

comf (x) =

√x e g (x) = x2 + 2.


• Consideremos h (x) = sen (4x)

Trata-se da função seno, composta com a função 4x.

Decompondo,

h (x) = sen (4x) = f (4x) = f (g (x)) = f ◦ g (x)com

f (x) = sen (x) e g (x) = 4x.

Exercício 8Decomponha cada uma das funções cos (x2), e3x

2+2x e ln (x2 − 1) comocomposta de duas funções.

Vejamos, agora, o enunciado da regra da derivação da função composta.

Proposição 13 (derivada da função composta)Se g é derivável em x e f é derivável em y = g(x), então f ◦g é derivável

em x e

(f ◦ g)′ (x) = f ′ (g (x)) g′ (x) .

Exemplos:Consideremos novamente as três funções acima decompostas.

• h (x) = (2x+ 1)6 .Vimos que h (x) = (2x+ 1)6 = f◦g (x) , com f (x) = x6 e g (x) = 2x+1.

Pela regra da derivação da função composta

h′ (x) = g′ (x) f ′ (g (x)) .

Comof ′ (x) = 6x5 e g′ (x) = 2,

entãoh′ (x) = 2︸︷︷︸

g′(x)

× 6 (2x+ 1)5︸︷︷︸f ′(2x+1)

= 12 (2x+ 1)5 .


• h (x) =√x2 + 2.

Vimos que h (x) =√x2 + 2 = f◦g (x) , com f (x) =

√x e g (x) = x2+2.


h′ (x) = g′ (x) f ′ (g (x)) .

Comof ′ (x) =

1

2

1√x

e g′ (x) = 2x,

entãoh′ (x) = 2x︸︷︷︸

g′(x)

× 12

1√x2 + 2︸︷︷︸

f ′(x2+2)

=x√x2 + 2

.

• h (x) = sen (4x)Vimos que h (x) = sen (4x) = f◦g (x) , com f (x) = sen (x) e g (x) = 4x.


h′ (x) = g′ (x) f ′ (g (x)) .

Comof ′ (x) = cosx e g′ (x) = 4,

entãoh′ (x) = 4︸︷︷︸

g′(x)

× cos (4x)︸︷︷︸f ′(4x)

.

Exercício 9Determine as derivadas das funções cos (2x3) , e3x

2+2x e ln (x2 − 1) .


1.12 Derivadas genéricas

Conjugando as derivadas já dadas com a regra da derivação da função com-posta obtemos a maneira como mais frequentemente são apresentadas asregras de derivação. Não se trata de novas regras de derivação, mas apenasde uma maneira diferente de apresentar a expressão da derivada da composta

da função em causa com outra função.

Proposição 14 (derivada da potência - caso geral)Se α é um número racional e u é uma função derivável em ordem a x,

então

(uα)′ = αu′uα−1.

Exemplos:

• Seja f (x) = 3√4x2 − 2x.

Escrevendo a função na forma

f (x) =(4x2 − 2x

) 13

verificamos que se trata de uma função da forma uα, com α = 13

eu = 4x2 − 2x (ou seja, a composta da potência de expoente 1

3com a

função u = 4x2 − 2x).

Portanto

f ′ (x) = αu′uα−1 =1

3︸︷︷︸α

(8x− 2)︸︷︷︸u′

(4x2 − 2x

) 13−1

︸︷︷︸uα−1

=

=1

3(8x− 2)

(4x2 − 2x

)− 2

3 =1

3

8x− 23

√(4x2 − 2x)2

.

• Seja f (x) = cos3 (x) .

Escrevendo a função na forma

f (x) = (cos (x))3

verificamos que se trata de uma função da forma uα, com α = 3 eu = cosx (ou seja, a composta da potência de expoente 3 com a funçãou = cosx).


Portanto

f ′ (x) = αu′uα−1 = 3︸︷︷︸α

(− sen (x))︸︷︷︸u′

(cos (x))3−1︸︷︷︸uα−1

= −3 sen (x) cos2 (x) .

Proposição 15 (derivadas das funções trigonométricas - caso geral)

Se u é uma função derivável em ordem a x, então

(sen u)′ = u′ cos u, (cosu)′ = −u′ sen u,

(tg u)′ = u′ sec2 u, (cotg u)′ = −u′ cosec2 u,

(secu)′ = u′ secu tg u, (cosecu)′ = −u′ cosecu cotg u.

Exemplos:

• Seja f (x) = sen (3x) .

Trata de uma função da forma sen u, com u = 3x (ou seja, a compostado seno com a função u = 3x).

Portanto

f ′ (x) = u′ cosu = (3x)′︸︷︷︸u′

cos (3x)︸︷︷︸cosu

= 3 cos (3x) .

• Seja f (x) = cos (x3) .

Trata de uma função da forma cosu, com u = x3 (ou seja, a compostado coseno com a função u = x3).

Portanto

f ′ (x) = −u′ sen u = −(x3)′

︸︷︷︸u′

sen(x3)

︸︷︷︸senu

= −3x2 sen(x3).

• Seja f (x) = sec (πx) .

Trata de uma função da forma secu, com u = πx (ou seja, a compostada secante com a função u = πx).

Portanto

f ′ (x) = u′ secu tg u = (πx)′︸︷︷︸u′

sec (πx)︸︷︷︸secu

tg (πx)︸︷︷︸tg u

= π sec (πx) tg (πx) .


Proposição 16 (derivada da exponencial - caso geral)Se u é uma função derivável em ordem a x, então

(eu)′ = u′eu.

Proposição 17 (derivada do logaritmo - caso geral)Se u é uma função derivável em ordem a x, então

(lnu)′ =u′

u.

Exemplos:

• Seja f (x) = e−x.

Trata de uma função da forma eu, com u = −x (ou seja, a compostada exponencial com a função u = −x).

Portantof ′ (x) = u′eu = (−x)′ e−x = −e−x.

• Seja f (x) = ln (x+ ex) .

Trata de uma função da forma ln u, com u = x+ex (ou seja, a compostado logaritmo com a função u = x+ ex).

Portanto

f ′ (x) =u′

u=(x+ ex)′

x+ ex=1 + ex

x+ ex.

Observação: Como já foi referido, todas estas propriedades apresen-tadas nesta secção não são mais do que uma maneira "encapotada"de apre-sentar a derivada da composta de cada uma das funções indicadas com umafunção u.

No entanto, teremos muito mais segurança ao calcular as derivadas se,para além da mera aplicação da propriedade, tivermos presente que estamosusar a derivada da composta.


1.13 Exponencial e logaritmo de base a

Vamos seguidamente deduzir, a partir das propriedades das funções expo-nencial e logarimo de base a, as expressões das derivadas destas funções.

Proposição 18 Se a é um número real positivo, então:

• (ax)′ = ln (a) ax;

• (loga x)′ =1

ln (a)

1

x, para a �= 1.

Comecemos por recordar que, sendo a um real positivo,

eln a = a.

Entãoax =

(eln a

)x= ex ln a.

É fácil, agora, provar a primeira propriedade:

(ax)′ =(ex ln a

)′= (x ln a)′ ex ln a︸︷︷︸

ax

= ln (a) ax.

Para provar a segunda propriedade, comecemos por recordar que

loga x =1

ln (a)ln x.

Podemos chegar a esta conclusão do seguinte modo:

x = aloga x =(eln a

)logax= eln(a) loga x

pelo queln (a) loga x = ln x

ou seja

loga x =1

ln (a)ln x

(note-se que a �= 1, pelo que ln (a) �= 0).É fácil, agora, provar a segunda propriedade:

(loga x)′ =

(1

ln (a)ln x

)′=

1

ln (a)(lnx)′ =

1

ln (a)

1

x.


1.14 Funções trigonométricas inversas

Terminamos a apresentação das regras de derivação com as derivadas dasfunções trigonométricas inversas.

Proposição 19 (deriv. das funções trigonométricas inversas)

(arcsenx)′ =1√1− x2

, (arccosx)′ = − 1√1− x2

,

(arctg x)′ =1

1 + x2, (arccotg x)′ = − 1

1 + x2.

Exemplos:Calculemos as derivada de x arcsen x, arcsen x+ arccosx e x2 arccotg x:

• (x arcsen x)′ = x′ arcsen x+ x (arcsen x)′ = arcsen x+ x√1−x2

;

• (arcsen x+ arccosx)′ = (arcsen x)′ + (arccosx)′ = 1√1−x2

− 1√1−x2

= 0;

• (x2 arctg x)′ = (x2)′ arctg x+ x2 (arctg x)′ = 2x arctg x+ x2

1+x2.

Exercício 10Determine as derivadas das funções sen (x)+arcsen (x) e arccos (x) arccotg (x) .

Da proposição anterior e da regra da derivação da função composta resultaque:

Proposição 20 (deriv. funções trigonométricas inversas - caso geral)

(arcsen u)′ =u′√1− u2

, (arccosu)′ = − u′√1− u2

,

(arctg u)′ =u′

1 + u2, (arccotg u)′ = − u′

1 + u2.


Exemplos:

• Seja f (x) = arcsen (3x) .

Trata de uma função da forma arcsen u, com u = 3x (ou seja, a com-posta do arcoseno com a função u = 3x).

Portanto

f ′ (x) =u′√1− u2

=(3x)′

√1− (3x)2

=3√

1− 9x2.

• Seja f (x) = arctg (3x2) .

Trata de uma função da forma arctg u, com u = 3x2 (ou seja, a com-posta do arcotangente com a função u = 3x2).

Portanto

f ′ (x) =u′

1 + u2=

(3x2)′

1 + (3x2)2=

6x

1 + 9x4.


1.15 Tabela de Derivadas

Tabela de Derivadas

f f ′

k, c/ k ∈ R 0

u+ v u′ + v′

ku, c/ k ∈ R ku′

uv u′v + uv′

uv

u′v−uv′v2

uα, c/ α ∈ R αu′uα−1

eu u′eu

ln u u′

u

au, c/ a ∈ R+ u′au ln a

loga u, c/ a ∈ R+\ {1} 1lna

u′

u

senu u′ cosu

cosu −u′ sen utg u u′ sec2 u

cotg u −u′ cosec2 usecu u′ secu tg u

cosecu −u′ cosecu cotg uarcsenu u′√

1−u2

arccosu − u′√1−u2

arctg u u′

1+u2

arccotg u − u′

1+u2


1.16 Exercícios resolvidos

Apresentamos agora alguns exercícios resolvidos, envolvendo várias regras dederivação e técnicas de simplificação apresentadas.

1. Calculemos a derivada da função f(x) = x2 sen (5x) .

Trata-se do produto de duas funções, pelo que

f ′(x) =(x2 sen (5x)

)′=(x2)′

︸︷︷︸2x

sen (5x) + x2 (sen (5x))′ .

Reparemos agora que temos uma situação de função composta, do tiposen u, com u = 5x.

Portanto,(sen (5x))′ = (5x)′ cos (5x) = 5 cos (5x) .

Então,

f ′(x) = 2x sen (5x) + x2 (5 cos (5x)) = 2x sen (5x) + 5x2 cos (5x) .

2. Calculemos a derivada da função f(x) =1

(1− x)5.

Podemos aplicar a derivada do quociente ou pensar simplesmente que

f(x) = (1− x)−5

pelo que

f ′(x) =((1− x)−5

)′= −5 (1− x)′ (1− x)−5−1 = 5 (1− x)−6 = 5

(1− x)6,

pois trata-se de situação de função composta, do tipo uα, com α = −5 eu = 1− x.

3. Calculemos a derivada da função f(x) =1√

x4 + x2.

Podemos aplicar as derivadas do quociente e da raiz, mas as contas ficammais simples pensando que

1√x4 + x2

=(x4 + x2

)− 1

2 .


Assim, temos uma situação de função composta do tipo uα, com α = −12

e u = x4 + x2, pelo que

f ′(x) = −12

(x4 + x2

)′ (x4 + x2

)− 1

2−1= −1

2

(4x3 + 2x

) (x4 + x2

)−3

2 =

=(−2x3 − x

) (x4 + x

)− 3

2 =−2x3 − x√(x4 + x)3

.

4. Calculemos a derivada da função f(x) =x+ 3√x+ 2

.

Podemos derivar logo o quociente, fazendo(x+ 3√x+ 2

)′=

(x+ 3)′√x+ 2− (x+ 3)

(√x+ 2

)′(√x+ 2

)2 =

=

√x+ 2− (x+ 3) 1

2√x+2

x+ 2=

1√x+ 2

− 12

x+ 3

(x+ 2)√x+ 2

.

No entanto, podemos também começar por simplificar a função, fazendo

x+ 3√x+ 2

=x+ 2 + 1√x+ 2

=x+ 2√x+ 2

+1√x+ 2

= (x+ 2)1

2 + (x+ 2)−1

2 ;

derivando, resulta((x+ 2)

1

2 + (x+ 2)−1

2

)′=1

2(x+ 2)−

1

2−12(x+ 2)−

3

2 =1

2

1√x+ 2

−12

1√(x+ 2)3

.

Note-se que obtivemos expressões com aspecto diferente, mas que podemosprovar serem a mesma função.

5. Calculemos a derivada da função f(x) = cos4(3x3 + 1

).

Comecemos por recordar que

cos4(3x3 + 1

)=[cos(3x3 + 1

)]4

o que torna mais evidente que se trata de uma situação de função compostado tipo uα, com α = 4 e u = cos (3x3 + 1) .

Portanto

f ′(x) = 4(cos(3x3 + 1

))′ [cos(3x3 + 1

)]4−1.


Para prosseguir, convém reparar que agora temos uma situação do tipocos u, com u = 3x3 + 1, pelo que(cos(3x3 + 1

))′=(3x3 + 1

)′ (− sen(3x3 + 1

))= −9x2 sen

(3x3 + 1

).

Então

f ′(x) = 4(−9x2 sen

(3x3 + 1

)) [cos(3x3 + 1

)]3=

= −36x2 sen(3x3 + 1

)cos3

(3x3 + 1

).

6. Calculemos a derivada da função f(x) =2

ex − e−x .

Aplicando a derivada do quociente e, de seguida, da exponencial (nosegundo caso composta com u = −x) tem-se

f ′(x) =

(2

ex − e−x)′=0− 2 (ex − e−x)′

(ex − e−x)2=−2 (ex)′ + 2 (e−x)′

(ex − e−x)2=

=−2ex + 2 (−1) e−x(ex − e−x)2

=−2ex − 2e−x(ex − e−x)2

.

7. Calculemos a derivada da função f(x) = esen2(3x).

De imediato temos uma situação do tipo eu, com u = sen2 (3x) , pelo que

f ′(x) =(esen

2(3x))′=(sen2 (3x)

)′esen

2(3x).

Para prosseguir, comecemos por recordar que

sen2 (3x) = [sen (3x)]2

tornando bem evidente que se trata de uma situação do tipo uα, com α = 2e u = sen (3x), pelo que

(sen2 (3x)

)′= 2 (sen (3x))′ sen (3x) = 2 (3 cos (3x)) sen (3x)

visto que esta última situação é do tipo sen (u) , com u = 3x.Portanto

(esen

2(3x))′= 6 cos (3x) sen (3x) esen

2(3x).


8. Calculemos a derivada da função f(x) = ln (−x) .

(Note-se que a função está definida para todos os valores de x tais que−x > 0, ou seja, em ]−∞, 0[.)

Trata-se de uma situação do tipo lnu, com u = −x, pelo que

f ′(x) = (ln (−x))′ = (−x)′ 1−x =−1−x =

1

x.

9. Calculemos a derivada da função f(x) = ln(

1√3x+ 4

).

Poderíamos derivar logo o logaritmo, mas é muito mais simples começar-mos por transformar a função, recorrendo às propriedades do logaritmo:

ln

(1√3x+ 4

)= ln

((3x+ 4)−

1

2

)= −1

2ln (3x+ 4) .

Portanto

f ′(x) =

(−12ln (3x+ 4)

)′= −1

2

(3x+ 4)′

3x+ 4=

−32

3x+ 4.

10. Calculemos a derivada da função f(x) = arcsen(e1−x

).

Trata-se de uma situação de função composta do tipo arcsen u, comu = e1−x, pelo que

f ′(x) =(arcsen

(e1−x

))′=

(e1−x)′

√1− (e1−x)2

.

Como (e1−x

)′= −e1−x

então

f ′(x) =−e1−x√1− e2−2x

.


1.17 Soluções dos exercícios propostos

1: 4x3 − 36x2 + 4x+ 1.2: 1

216√x5+ 6x2 + 1.

3: 54x1

4 − 15x−

4

5 .

4: (f (x) g (x))′ = 45x4 + 12x3 + 18x2 + 2x + 1,(

1f(x)

)′= − 9x2+2x+1

(3x3+x2+x)2,

(f(x)g(x)

)′= 9x4+6x2+2x+1

(3x2+1)2.

5: −23, x+ 5

2, x+ 1− 1

x3, −2

5x−

7

5 , 85x3

5 + 35x−

2

5 − 115x−

16

15 .

6: − cosec2 x, − cosecx cotg x.7: 3x2ex + x3ex, ln x+ 1.8: -9: −6x2 sin (2x3) , (6x+ 2) e3x2+2x, 2x

x2−1 .

10: cos x+ 1√1−x2

, − 1√1−x2

arccotg (x)− 11+x2

arccos x.


1.18 Ficha 1 de exercícios

Calcule as derivadas das seguintes funções:

1. x2 + x3− 2; 2. x

x+1; 3. 2x

√x+ 1;

4.√2x2 + 1 5. 1

(x+1)2; 6. 2√

x+1;

7. x2ex; 8. lnxx; 9. cos (ex) ;

10. 13sen (3x) ; 11. tg (3x) + sec (2x) ; 12. arcsen (5x) ;

13. 2x; 14. cosec (x) cotg (x) ; 15. arctg (−x+ 1) .

1.19 Ficha 2 de exercícios

Calcule as derivadas das seguintes funções:

1.√x+

3√x4

x; 2. 1+

√x+1

3√x+1

; 3. 13√(x6+2x)2

;

4. sen3 x; 5. sen x3; 6. cos5 (3x) ;

7. ln (1− x) ; 8. ln x2; 9. ln2 x;

10. ln (ln x) ; 11. ln√

x−1x+1; 12. 22

x

;

13. 14arctg x

2

2; 14. 1

10arctg2 (5x) ; 15. arccos3

(√1− x

).


1.20 Soluções da Ficha 1

1. 2x+ 13; 2. 1

(x+1)2; 3. 3x+2√

x+1;

4. 2x√2x2+1

; 5. − 2(x+1)3

; 6. − (x+ 1)− 3

2 ;

7. (x2 + 2x) ex; 8. 1−lnxx2; 9. −ex sin (ex) ;

10. cos (3x) ; 11. 3 sec2 (3x) + 2 sec (2x) tg (2x) ; 12. 5√1−25x2

;

13. 2x ln 2; 14. − cosec (x) cotg2 (x)− cosec3 (x) ; 15. − 1x2−2x+2 .

1.21 Soluções da Ficha 2

1. −12x−

3

2 + 13x−

2

3 ; 2. −13(x+ 1)−

4

3 + 16(x+ 1)−

5

6 ; 3. −23(6x5 + 2) (x6 + 2x)

− 5

3 ;

4. 3 sin2 x cos x; 5. 3x2 cosx3; 6. −15 cos4 (3x) sin (3x) ;

7. − 11−x ; 8. 2

x; 9. 2

xln x;

10. 1x lnx

; 11. 12

1x−1 − 1

21x+1; 12. 2x+2

x

ln2 2;

13. x4+x4

; 14. arctg(5x)1+25x2

; 15. 32

arccos2(√1−x)

√x√1−x .


ana matos dmat -...

Documents