Instituto Politécnico de Setúbal

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

FIABILIDADE

Filipe Didelet

2003

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ÍNDICE

Índice 2 1 – Introdução e definição 4 2 – Fiabilidade e engenharia 6 2.1 – Fiabilidade e risco 6 2.2 – Fiabilidade e manutenção 7 2.3 – Fiabilidade e Qualidade 10 2.4 – Evolução das teorias de Fiabilidade 11 2.4.1 – Estatística e Fiabilidade 12 2.4.2 – A Fiabilidade e a concepção de equipamentos e sistemas 12 2.4.3 – Evolução dos modelos de Fiabilidade 13 2.4.4 – Bancos de dados de Fiabilidade 16 3 – Noções de Estatística 19 3.1 – Probabilidade 19 3.2 – Permutações, arranjos e combinações 19 3.3 – Regras de probabilidade 20 3.4 – Variável aleatória 22 3.5 – Distribuição 23 3.6 – Distribuições mais comuns 24 3.6.1 – Distribuições discretas 24 3.6.1.1 – Distribuição hipergeométrica 25 3.6.1.2 – Distribuição de Poisson 25 3.6.2 – Distribuições contínuas 27 3.7 – Valor esperado 29 4 – Fiabilidade de componentes e fiabilidade de equipamentos 32 4.1 – Fiabilidade de componentes (não reparáveis) 32 4.1.1 – Função de risco para componentes não reparáveis 32 4.1.2 – MTTF 34 4.1.3 – Análise estatística de TTF’s 35 4.2 – Fiabilidade de equipamentos (reparáveis) 38 4.2.1 – Distribuições e processos 38 4.2.2 – Processos pontuais 39 4.2.2.1 – Taxa de avarias 40 4.2.2.2 – MTBF 42 4.2.2.3 – Função de risco para sistemas reparáveis 43 4.2.2.4 – Escalas de tempos 45 4.2.2.5 – Função fiabilidade de um processo pontual 46 4.2.2.6 – Processo de Poisson homogéneo 47

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4.2.2.7 – Processo de Poisson não homogéneo 48 4.2.2.8 – Processo de renovação 49 4.2.2.9 – Escolha do modelo 50 4.3 – Curva da banheira 52 5 – Distribuições mais comuns em fiabilidade 55 5.1 – Distribuição exponencial negativa 55 5.2 – Distribuição de Weibull 57 5.3 – Testes de hipóteses e níveis de significância 60 5.4 – Teste de Laplace 64 5.5 – Teste qui-quadrado 69 6 – Associações de equipamentos 71 6.1 – Associações em série 71 6.2 – Associações em paralelo 71 6.2.1 – Redundância activa total 71 6.2.2 – Redundância activa parcial 72 6.2.3 – Redundância sequencial 72 Bibliografia 75 Anexos 78

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FIABILIDADE

1 – Introdução e definição Estas folhas têm como objectivo suprir uma lacuna nos elementos de estudo recomendados para a disciplina de Fiabilidade do 3º ano do Curso de Engenharia Electromecânica da Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Setúbal. Com efeito, os elementos aqui reunidos encontram-se dispersos por muitas publicações e em diferentes línguas para além de, em alguns casos, conceitos como os de taxa de avarias e de função de risco não serem apresentados de forma coerente. Outra questão, ainda, tem a ver com a disparidade de designações adoptada para aqueles conceitos nas diversas fontes que consultámos. Pensamos, por isso, que, para facilitar o trabalho dos estudantes, estes apontamentos poderão ser úteis. Não substituem as aulas nem a consulta de outros elementos. Mas podem ser um guia de orientação para seguir umas e outros. A actual estrutura curricular do curso de Engenharia Electromecânica não contempla uma disciplina de Estatística durante os três primeiros anos. Por isso, a leccionação da disciplina de Fiabilidade é iniciada sem que os alunos tenham tido um contacto prévio com alguns conceitos estatísticos que consideramos fundamentais e imprescindíveis para uma boa compreensão dos conceitos desenvolvidos à medida que se vai cumprindo o programa que aqui propomos para a Fiabilidade. Para colmatar esta lacuna, depois de definido o conceito essencial de Fiabilidade e de se enunciarem as razões que, em nosso entender, justificam a sua introdução no currículo do curso, apresenta-se um capítulo dedicado apenas ao desenvolvimento de conceitos estatísticos aplicados em Fiabilidade. Uma das questões mais importantes relacionadas com a Fiabilidade é a forma como deve ser encarada a fiabilidade de sistemas não reparáveis e a fiabilidade de sistemas reparáveis. Os conceitos associados e os tipos de problemas que surgem em cada uma destas situações serão abordados no capítulo seguinte.

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Depois de uma abordagem mais geral, passar-se-á à apresentação de algumas das formas mais correntes que a função fiabilidade toma. Terminar-se-á com o cálculo da fiabilidade de associações de equipamentos ou de componentes. Terminamos esta introdução com a definição de Fiabilidade, remetendo o tratamento matemático para o final do capítulo 3. Quando se adquire um bem espera-se, desde o início da sua entrada em funcionamento, que ele corresponda às expectativas. É possível, contudo, que ocorra uma avaria de funcionamento em qualquer momento da sua vida, considerando-se para os equipamentos apenas a vida útil (o período de tempo em que o bem está em condições económicas e tecnológicas de desempenhar a sua função). É por isso necessário um conceito que relacione o estado de funcionamento com o tempo. É esse o papel da Fiabilidade. Define-se, então, Fiabilidade como a capacidade de um bem desempenhar a sua função específica em condições definidas e por um período de tempo determinado. A Fiabilidade pode expressar-se através da probabilidade de que o bem funcione correctamente nas condições e no período de tempo referidos. Repare-se que a noção de tempo poderá ser substituída por outro tipo de unidade de contagem (horas, quilómetros, etc.).

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2 – Fiabilidade e engenharia O ensino da engenharia concentrou-se durante muitos anos apenas nos aspectos relacionados com o funcionamento dos equipamentos, ou seja, com o projecto desses mesmos equipamentos. As formas segundo as quais os equipamentos falham e os efeitos dessas mesmas falhas têm sido muito menos objecto de estudo. Esta situação fica-se a dever ao facto de ser necessário saber como é que um equipamento funciona antes de saber como é que falha. Contudo, nos últimos anos tem havido algum esforço no sentido de dar atenção aos aspectos relacionados com a produção, a utilização e a manutenção dos equipamentos. Por outro lado, a engenharia tem tido uma grande preocupação com o aumento do tempo de funcionamento dos equipamentos sem ocorrência de falha. Isto é, tem havido uma preocupação com o aumento da fiabilidade dos equipamentos. Mas isto tem implicado um estudo sistemático dos aspectos relacionados com a variabilidade dos materiais empregues em engenharia. Ora, o ensino da engenharia é essencialmente determinístico e não se tem debruçado o suficiente com a variabilidade. A fiabilidade, por ser uma função do tempo de funcionamento sem falha, está intimamente relacionada com a variabilidade. A fiabilidade dos componentes e dos equipamentos é de importância vital para a definição de políticas de Manutenção, de Segurança e de Qualidade. Estas funções das organizações são estudadas em disciplinas específicas. Vamos apontar de seguida alguns aspectos que relacionam a fiabilidade com estas disciplinas. 2.1 – Fiabilidade e risco Há parâmetros de funcionamento dos equipamentos (massa, velocidade, pressão, caudal, coeficiente de atrito, tensão...) que nunca são absolutos mas que dependem das condições variáveis de funcionamento e, também, do tempo. Estão, por isso, sujeitos a variabilidade nestes dois aspectos, tempo de funcionamento e condições de serviço.

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Compreender as leis do acaso e as causas e efeitos da variabilidade torna-se, então, necessário para a criação de produtos fiáveis e para a solução dos problemas de infiabilidade. A estatística é uma ferramenta essencial para se tratarem os problemas colocados pela variabilidade. Mas o grau de incerteza com que a engenharia tem de lidar nesta área, principalmente tendo em conta os factores humanos relacionados com a utilização e a manutenção dos equipamentos, é muito grande e acaba por colocar maiores problemas aos métodos estatísticos do que aqueles que enfrenta noutras áreas em que os aspectos práticos não são tão determinantes (sondagens, estudos de acaso e jogos, experimentação, etc.). O custo das avarias, os novos materiais, a redução dos custos de produção e a segurança aumentam os riscos no desenvolvimento dos produtos. Há que ter em conta aspectos tão importantes como a competição, a pressão dos mercados e a garantia no pós-venda, entre outros. Há que controlar os riscos associados a toda esta problemática e a engenharia de fiabilidade tem que dar resposta a esta questão. Outro aspecto, mais específico, tem a ver com a probabilidade de ocorrência de falhas que, pela sua gravidade, ponham em risco a segurança física de pessoas e bens. A fiabilidade também tem de tratar este problema específico. 2.2 – Fiabilidade e manutenção O conceito de Manutenção tem evoluído ao longo dos tempos assim como tem evoluído o que se deve entender, dentro da empresa, como função do serviço de Manutenção. É com o objectivo de definir políticas de Manutenção para os equipamentos e instalações que se aplicam modelos de Fiabilidade a componentes e equipamentos. Um outro aspecto importante relacionado com a manutenção é o que, em cada momento, se deve entender por avaria. Por falha ou avaria entende-se a

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cessação da capacidade de um bem para realizar a sua função específica. Esta definição leva, por arrastamento, a precisar o conceito de função específica. Com efeito, não se deverá entender que o bem ou equipamento estará avariado quando, de todo, o seu funcionamento é interrompido mas quando não é possível que realize a sua função de acordo com as condições específicas segundo as quais se espera que funcione. Assim, o equipamento poderá estar a funcionar em condições consideradas deficientes ou insuficientes o que levará a uma intervenção dos serviços de Manutenção e, como tal, deverá ser considerado que houve uma avaria do equipamento. Pelas razões apontadas, a norma NF X 06-501 apresenta um conjunto de definições relativas à classificação das avarias de acordo com a rapidez de manifestação, com o grau de importância, com ambos os anteriores e ainda com as causas e as consequências da avaria. Surgem assim as definições de avaria progressiva, súbita (rapidez), parcial, completa (grau), catalítica, por degradação (rapidez e grau), má utilização, primária, secundária (causas), crítica, maior, menor (consequências), etc.

A definição dos tipos de avarias está também relacionada com o estudo da fiabilidade pois a fiabilidade dependerá do tipo de avarias ou do que se considere como avaria. A função Manutenção tem grande importância na qualidade dos produtos fabricados influenciando, assim, os custos de Produção. Contudo, não podemos esquecer também o problema da qualidade na própria função Manutenção. Ou seja, a função Manutenção só conseguirá os seus objectivos de minimização dos custos da sua própria função, dos custos de produção de produtos não conformes e dos custos de tempos de indisponibilidade dos equipamentos produtivos, se ela própria for um serviço de qualidade possuindo " o mínimo de atributos para não ser rejeitada pelo cliente". Essa qualidade passará pela garantia de bom funcionamento dos equipamentos após intervenção da Manutenção, pelo cumprimento dos prazos de intervenção estipulados, por intervenções a custos competitivos e por uma capacidade de satisfação global das necessidades do utilizador dos equipamentos intervencionados. A quantificação de determinados

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parâmetros definidores das actividades produtivas e de manutenção constitui uma forma de análise dos desempenhos da função Manutenção. Assim, as flutuações de produção e a cadência produtiva são factores produtivos a analisar e uma classificação das causas de paragem e respectiva pesquisa são formas de visualizar os problemas existentes em termos de manutenção. Note-se, contudo, que a classificação de avarias e respectiva discriminação e análise podem servir para determinar as causas das perdas produtivas mas não servem, por si só, para determinar as causas das perdas de qualidade dos produtos fabricados. Esta perda de qualidade, quando se fica a dever a funcionamento não adequado dos equipamentos, está relacionada com a necessidade de intervenção sobre os mesmos que, entretanto, são mantidos em funcionamento para além do aceitável. Compete aos serviços utilizadores dos equipamentos e ao serviço de Manutenção encontrar o ponto de equilíbrio que permita manter os equipamentos no melhor estado possível sem comprometer os objectivos estabelecidos para a laboração dos mesmos e para os compromissos assumidos com os clientes ou com os beneficiários dos produtos ou bens produzidos. Mas se a fiabilidade está relacionada com a variabilidade e com as situações dos sistemas ao longo do tempo, então, uma das vertentes que relacionam a fiabilidade com a manutenção tem a ver com os períodos durante os quais os sistemas reparáveis não estão em condições de funcionar. Surge, assim, o conceito de disponibilidade. A função disponibilidade, A(t), é a probabilidade de um item ou equipamento se encontrar operacional no instante t, sabendo-se que no instante t=0 ele se encontrava operacional. O aumento de disponibilidade dos equipamentos e componentes é um dos principais objectivos de todos os modelos de Manutenção que qualquer gestor pretenda aplicar. Pretende-se optimizar a relação "custo do modelo"/"período de funcionamento". A fracção de tempo total em que o equipamento se encontra disponível é a disponibilidade estacionária, A:

A = UTUT DT+

(2.1)

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com UT (up-time) - período de tempo em que o equipamento está em condições de ser utilizado DT (down-time) - período de tempo em que o equipamento não está em condições de ser utilizado

Se a variável métrica for o tempo de calendário e se nos referirmos ao tempo entre avarias consecutivas, poderá escrever-se:

A = MTBFMTBF MTTR+

(2.2)

MTBF representa o tempo médio de funcionamento entre avarias, como veremos no capítulo 4. Na expressão anterior, ao tempo médio de reparação, MTTR, poderá ainda juntar-se o tempo médio de espera. Os parâmetros que figuram nas expressões 2.1 e 2.2 devem ser entendidos como funções do tempo. Finalmente, note-se que o conceito de disponibilidade não implica necessariamente que o equipamento esteja em funcionamento mas, tão só, que esteja em condições de funcionar. Nas condições em que a expressão 2.2 é válida, ter-se-á MTBF + MTTR = UT + DT, com UT = MTBF e DT = MTTR. Se tiver lugar uma reparação, se todos os componentes defeituosos forem reparados ou substituídos e se o equipamento for imediatamente intervencionado após ocorrência de avaria num tempo curto, poderá considerar-se MTTR = 0. 2.3 - Fiabilidade e Qualidade As noções de Fiabilidade e Qualidade são indissociáveis. Com efeito, sem qualidade durante a concepção e fabrico dos produtos não se poria sequer a questão de saber se eram fiáveis. Por isso, e segundo AFNOR (1988), na norma X06-501, a Fiabilidade aparece como um prolongamento da qualidade no tempo. O período de tempo durante o qual a noção de Fiabilidade prolonga a noção de qualidade é o tempo de vida útil dos bens utilizados.

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A relação entre a Fiabilidade e a Qualidade pode ser encarada de duas formas diferentes. Inicialmente, a Fiabilidade dos equipamentos vai condicionar a Qualidade dos produtos produzidos e, após a entrada em funcionamento destes últimos, a Qualidade com que forma produzidos vai influenciar a sua própria Fiabilidade. Segundo a norma AFNOR X50-109, a Fiabilidade aparece como uma componente da qualidade juntamente com:

- características e desempenhos - manutenibilidade - disponibilidade - durabilidade - segurança de utilização - características não poluentes - custo global de posse

A Qualidade é uma forma de garantir a fiabilidade dos bens produzidos visto que a não fiabilidade tem custos elevados:

- devolução do produto - perda do mercado com a consequente degradação da imagem de marca - manutenção mais cara

A Qualidade tem que ser garantida durante o fabrico para que o produto seja de utilização segura ao longo do seu tempo de vida útil. Nesta óptica, existem diferentes processos de garantir a qualidade dos produtos fabricados, sendo a qualidade a forma de garantir a fiabilidade. 2.4 - A evolução das teorias de Fiabilidade Neste sub-capítulo traça-se uma panorâmica sobre o aparecimento e desenvolvimento das teorias de Fiabilidade e suas aplicações, referindo-se também a forma como a Fiabilidade recorre aos métodos estatísticos. Faz-se ainda a aproximação da Fiabilidade à Qualidade quer através das analogias inerentes à utilização de ferramentas comuns quer no que concerne à inter-relação por via de parâmetros característicos.

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2.4.1 - Estatística e Fiabilidade Os métodos matemáticos aplicados ao estudo da Fiabilidade dos equipamentos recorrem a ferramentas de tratamento estatístico dos dados disponíveis pelo que existe uma relação profunda entre a Fiabilidade e a Estatística, ou seja, não é possível empreender qualquer estudo fiabilístico sem um suporte estatístico prévio. Isto vem do facto de o conhecimento ou, melhor, a previsão de avaria de um produto ou equipamento durante um determinado intervalo de tempo só poder ser encarada em termos de probabilidade. A previsão, por se realizar estatisticamente, toma por base acontecimentos anteriores, ou seja, parte-se de um conjunto de dados referentes a acontecimentos já ocorridos para se preverem os acontecimentos que virão a ocorrer e os momentos mais prováveis para a sua ocorrência. Tem que se partir de bases de dados que forneçam:

- modos de avaria; - para cada modo, os momentos de ocorrência das avarias.

Um estudo de Fiabilidade necessita, por parte de quem o pretender empreender, de:

- conhecimento do suporte estatístico prévio e formas de utilização; - conhecimento profundo dos equipamentos em estudo no que respeita, principalmente, a modos de avaria; - definição, para cada caso, do que deve ser entendido como avaria.

2.4.2 - A Fiabilidade e a concepção de equipamentos e sistemas Apresentou-se a definição de Fiabilidade. Contudo, a possibilidade de contribuir para a melhoria da Fiabilidade coloca-se a três níveis:

- componentes

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- equipamentos - instalações

A nível dos componentes a questão põe-se, antes de mais, ao nível do projecto. Interessará apenas prever, em termos da sua sobrevivência, os factores de que depende a ocorrência mais ou menos prematura da falha. A nível dos equipamentos as acções a empreender devem ser encaradas

- durante a fase de selecção dos diferentes componentes em separado e do equipamento como um todo - durante o período de funcionamento através das acções de Manutenção e da respectiva política de Manutenção

No primeiro aspecto incluem-se acções como as que são normalmente levadas a cabo nas indústrias de processo:

- selecção de fornecedores - selecção de empanques ou outros acessórios - determinação exaustiva das condições de funcionamento recorrendo às leis da Termodinâmica e da Mecânica dos Fluidos - preparação para o arranque de instalações - política de peças de reserva como condicionante para a escolha do fornecedor

No último aspecto está incluída a aplicação de modelos de Fiabilidade baseados em dados do histórico dos equipamentos. Baseados nas conclusões obtidas com a aplicação desses modelos podemos construir a nossa política de Manutenção. 2.4.3 - Evolução dos modelos de Fiabilidade O campo da Fiabilidade como ciência tem uma origem relativamente recente, tendo sido o desenvolvimento tecnológico dos equipamentos e sistemas a provocar o desenvolvimento dos estudos de Fiabilidade nos últimos 25 anos. A necessidade de estudar a Fiabilidade prende-se com a necessidade de compreensão e de controlo dos riscos com que nos deparamos todos os dias face ao desenvolvimento tecnológico.

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Os trabalhos mais relevantes para o desenvolvimento da Fiabilidade começaram a aparecer a partir do início dos anos 60. Na Europa, o Centre d'Études des Télécommunications (CNET) cria, em 1961, o seu Centro de Fiabilidade CNET. A necessidade de desenvolver métodos estatísticos para o estudo da Fiabilidade aparece-nos no início dos anos 70 não tendo, desde essa época, deixado de se aprofundar essa vertente com a busca dos meios mais adequados para cada tipo de equipamento e/ou sistema. Os anos 60 vêem alargar-se o campo de aplicação da Fiabilidade. Surgem as primeiras análises detalhadas de avarias em componentes e dos seus efeitos no desempenho dos sistemas em que estão integrados e na segurança de pessoas e bens envolventes. Estas técnicas desenvolveram-se rapidamente nas indústrias aeronáuticas e aeroespaciais. Antes dessa época, meados de 60, a grande maioria das análises de Fiabilidade restringia-se ao estudo de distribuições de avaria com o recurso à distribuição exponencial. É o aparecimento da distribuição de Weibull que vem mostrar que a distribuição exponencial não deveria ser aplicada de forma tão generalizada como até aí tinha sucedido. Datam também dos anos 60 os primeiros livros dedicados à divulgação destes problemas, embora as primeiras revistas tivessem surgido na década anterior; a adopção de um conjunto de normas de fiabilidade, a serem adoptadas em todas as fases de desenvolvimento de um produto, pelo Departamento de Defesa dos EUA, é ainda desta época (1966 a 1969). O mais significativo avanço na forma de encarar a aplicação da Fiabilidade à Manutenção tem a ver com o facto de, nos últimos anos, já terem surgido trabalhos a basear a gestão da Manutenção na fiabilidade dos equipamentos. Há diferentes técnicas fiabilísticas como ferramentas para aplicação ao planeamento do sistema de Manutenção. Entre elas avulta a normalmente designada por "Reliability Centered Maintenance" (RCM) cujas actividades estão viradas para o planeamento da Manutenção e para a prevenção de avarias. O RCM representa um processo de decisão lógica destinado a estabelecer programas de

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Manutenção, nomeadamente preventiva, mais eficientes. O autor apresenta uma aplicação das técnicas descritas à segurança de um voo de avião como forma de facilitar a análise de um processo de RCM. É de referir que as técnicas apresentadas levam em conta os defeitos e as possibilidades de avaria que podem ter sido introduzidos ou causados durante a produção, armazenagem e, obviamente, a operação e a manutenção dos equipamentos e componentes. Procedem também a uma normalização dos defeitos potencialmente detectáveis e à construção das árvores de falhas. Paralelamente, é de referir, num outro campo de aplicação da Fiabilidade, os estudos relacionados com os riscos das centrais nucleares e das indústrias petroquímicas. Um modelo é uma representação matemática de um processo. Um modelo de fiabilidade é determinado por um dado número de condições sobre as falhas dos elementos constituintes de um sistema. Quando tomadas em conjunto, aquelas condições formam o modelo no qual se vão basear os cálculos fiabilísticos. Em termos gerais podem-se considerar dois tipos fundamentais de modelos de Fiabilidade, os determinísticos e os estatísticos. São exemplos dos primeiros, o modelo de Arrhenius e o modelo electrolítico. Os modelos estatísticos podem ser paramétricos ou não paramétricos, consoante pretendam ou não, respectivamente, ajustar uma distribuição aos tempos de avaria/falha para uma população homogénea. Há ainda os modelos estatísticos estocásticos que são modelos pontuais que analisam repetidas avarias no mesmo equipamento. Os modelos paramétricos são os mais eficientes mas necessitam, para que possam ser aplicados, que sejam exaustivamente verificadas as condições básicas de funcionamento e que sejam interpretados correctamente todos os factores que possam ter influenciado os dados em análise. São exemplos as distribuições exponencial, Weibull, gamma e lognormal.

Constituem também exemplos os modelos aplicáveis a sistemas:

- catastrófico - tensão-extensão - Markov

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Quando não é possível proceder ao ajustamento de uma dada distribuição aos dados em análise terá que se recorrer a métodos não paramétricos que, se por um lado são menos eficientes, permitem, por outro, trabalhar com um menor conjunto de condições iniciais. Os modelos estocásticos são, essencialmente, modelos pontuais quando aplicados a sistemas reparáveis. Os principais referem-se a:

- processos homogéneos de Poisson (HPP) (taxa de avarias constante) - processos não homogéneos de Poisson (NHPP)

(taxa de avarias variável com o tempo de funcionamento) Veremos mais adiante a diferença entre distribuição e processo. É comum assumir-se, quando se utilizam aqueles modelos, que a avaria ocorre num instante preciso no tempo. Os processos referidos são por isso considerados pontuais. Contudo, isto pode não ser exactamente verdade devendo, por isso, definir-se muito bem o que se entende, para cada caso em estudo, por avaria. É necessário também assumir que os tempos de reparação são curtos quando comparados com os tempos entre avarias, de modo a considerar só os tempos de operação. Quando se entende que um processo pontual não retrata a situação que se pretende estudar, por se considerar que a avaria é fruto de um processo de degradação sucessiva das condições de funcionamento, há que recorrer a modelos caracterizados por processos não pontuais. 2.4.4 - Bancos de dados de Fiabilidade À medida que as técnicas de organização e gestão da Manutenção vão evoluindo, nomeadamente com o recurso à informática, vai havendo um conjunto cada vez maior de dados sobre o histórico dos equipamentos nas empresas. Esse conjunto de dados tem a ver, entre nós e na generalidade das empresas que já vêm realizando essa recolha de informação, com as intervenções realizadas, tipos de tarefas e fases constituintes, mão de obra utilizada, ferramentas, materiais, etc.

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Esses dados podem ser analisados com vista à construção de bancos de dados de Fiabilidade que nos indiquem as avarias sofridas por um equipamento, suas causas, periodicidades, etc. A necessidade da existência de bancos de dados de Fiabilidade obtidos a partir de experiências no campo advem da necessidade de comparar com os valores teóricos as situações práticas nos diferentes campos de actividade a fim de se poder continuar a realização de previsões cada vez mais seguras sobre os estados futuros de diferentes tipos de equipamentos desde a instalação ao termo da sua vida útil e, até, sobre a própria duração dessa vida útil. Contudo, tem havido, por motivos comerciais e técnicos, alguma dificuldade na divulgação desses bancos de dados e no seu acesso, o que tem trazido grandes entraves ao desenvolvimento de diversos estudos nesta área. AFNOR (1988) apresenta, na norma X60-502, Fiabilidade em exploração e pós-venda, as formas pelas quais se deve proceder à recolha, tratamento e análise de dados de Fiabilidade ao longo do tempo de vida do equipamento em função dos diferentes tipos de produtos e/ou equipamentos. Consideram-se os bancos de dados de Fiabilidade como uma ferramenta fundamental para a concepção de futuros equipamentos e para a definição das condições óptimas de exploração dos que já se encontram em serviço em função dos desempenhos e dos custos. Os bancos de dados de Fiabilidade dividem-se em bancos de dados internos e bancos de dados externos. Os bancos de dados internos são os que respeitam aos equipamentos da própria empresa ou a equipamentos análogos em serviço noutras empresas; são obtidos através do histórico dos equipamentos da própria empresa ou, se possível, recorrendo a informações prestadas por empresas que possuam equipamentos semelhantes. Nos casos em que tal faz sentido incluem-se aqui os dados referentes a informações dos clientes sobre o comportamento dos produtos vendidos pela empresa. São dados desta espécie os "TBF" ou o MTBF. Do histórico dos equipamentos deverão constar, para além dos "TBF", o tipo de avaria e os órgãos avariados que justificaram cada intervenção da manutenção.

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Os bancos de dados externos dizem respeito a tabelas referentes, de forma geral, a determinados componentes electrónicos ou mecânicos mais comuns. São editadas por diversos organismos e indicam, entre outros, a designação do componente/material a que respeitam, o MTBF e a taxa de avarias média. Contudo, a utilização destas tabelas deve ser encarada com alguns cuidados porque a sua construção baseia-se em condições padrão de funcionamento que nem sempre se verificam. Há determinados factores que, em condições específicas, servem como amplificadores de condições de risco. Em relação aos bancos de dados internos, note-se que a partir de uma quantidade suficiente de valores de TBF é possível estabelecer leis de Fiabilidade para os diversos equipamentos ou órgãos com todas as vantagens daí decorrentes no que respeita ao estabelecimento de políticas de manutenção preventiva e ao modelo a adoptar. O aparecimento de bases de dados genéricos e de larga utilização na indústria é um dos mais relevantes desenvolvimentos dos últimos anos no campo das ferramentas postas ao dispor da engenharia de fiabilidade. De referir especialmente, e como exemplo, a base de dados OREDA (Offshore Reliability Database).

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3 – Noções de estatística Este capítulo é dedicado à definição de conceitos estatísticos utilizados em fiabilidade. 3.1 - Probabilidade Um evento A pode ocorrer x vezes em n, igualmente possíveis. Então, a probabilidade de ocorrência do evento A é

P(A) = xn

(3.1)

3.2 - Permutações, arranjos e combinações A permutação de itens é o arranjo desses itens, todos tomados em conjunto. Por exemplo, 3 itens, A, B, e C, dão origem a seis diferentes permutações: ABC, BAC, CAB, ACB, BCA e CBA. Para n itens, o número de permutações é igual a n! = n. (n-1). (n-2). ….. 1 = (3.2) Pn

Se dos n itens só forem tomados r para serem arranjados, dir-se-á que temos arranjos de n r a r e será

A n n n rn

n rrn = − − + =

−.( )...( )

!( )

1 1! (3.3)

Note-se que 0!=1. Se a ordem não tem importância, em vez de permutações ou arranjos temos combinações. A combinação de n itens, tomando r de cada vez, é uma selecção de r itens tirados de n sem ter em conta a ordem pela qual foram seleccionados. As combinações de n itens r a r são

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Cn

r n rrn =

−!

!( )! (3.4)

Apresentam-se de seguida dois exemplos do que se expôs. Exemplo 1 Uma sala de aulas é ocupada por uma turma de 15 alunos. Na 1ª fila existem 6 carteiras. Quantas permutações diferentes de alunos nas carteiras são possíveis sem carteiras vazias?

P615 15

6!=

!

Exemplo 2 Um lote é constituído por 100 lâmpadas. Quantas amostras diferentes de 5 lâmpadas são possíveis?

C5100 100!

5 9573287520= =

! !

3.3 - Regras de probabilidade Podem considerar-se as seguintes regras de probabilidade:

- A probabilidade conjunta de ocorrência de A e B escreve-se P(AB)

- A probabilidade de ocorrência de A ou B escreve-se P(A+B)

- A probabilidade condicional de ocorrer A dado que B ocorreu escreve-se P(A⎜B) - A probabilidade de ocorrer o acontecimento complementar,

“não”A escreve-se P(−

A)

P(−

A) + P(A) = 1 (3.5)

- Se (e só se) os eventos A e B forem independentes tem-se

P(A⎜B) = P(A⎜ ) = P(A) (3.6) −

Be

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P(B⎜A) = P(B⎜−

A) = P(B) (3.7) - A probabilidade conjunta de ocorrência de dois acontecimentos A e B independentes é o produto das probabilidades individuais P(AB) = P(A)P(B) (3.8) - Se A e B forem dependentes, então P(AB) = P(A)P(B⎜A) = P(B)P(A⎜B) (3.9) Se P(A)≠0, 3.9 pode rearranjar-se de modo a obter-se

P(B⎜A) = P ABP A(( )

) (3.10)

- A probabilidade de quaisquer 2 acontecimentos, A ou B, ocorrerem é P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) (3.11) - A probabilidade de A ou B ocorrerem, se forem independentes, é P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) (3.12) - Se os acontecimentos A e B forem mutuamente exclusivos, isto é, não puderem ocorrer em simultâneo, então P(AB)=0 e P(A+B) = P(A)+P(B) (3.13) - De 3.9 pode ainda obter-se o chamado teorema de Bayes

P(A⎜B) = P A P B A

P B( ) ( )

( ) (3.14)

Apresentam-se de seguida alguns exemplos de aplicação das regras de probabilidade que acabámos de expôr. Exemplo 1 A probabilidade de um míssil atingir um alvo é de 0.85. Se este falha o alvo, a probabilidade de que o mesmo aconteça com um segundo míssil é de 0.20. Tendo sido disparados dois mísseis, qual a probabilidade de que o primeiro falhe e o segundo atinja o alvo?

P A B P A P B A x( ) ( ). ( / ) . . .− − −

= = 015 08 012=

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Exemplo 2 A produção de um dado item é realizada em duas fábricas. A fábrica 1 produz 70% dos itens e a fábrica 2 produz 30% dos itens. 90% dos itens da fábrica 1 são aceitáveis. 80% dos itens da fábrica 2 são aceitáveis. A produção de ambas as fábricas é encaminhada para um armazém geral. a) Qual a percentagem de itens aceitáveis em armazém? A - item aceitável B1 - item produzido pela fábrica 1 B2 - item produzido pela fábrica 2 P(A/ )=0.9 B1

P(A/ )=0.8 B2

P( )=0.7 B1

P( )=0.3 B2

P(A)= 0.9 . 0.7 + 0.8 . 0.3 = 0.87 b) Qual a probabilidade de um item aceitável ser produzido pela fábrica 2? P(A ) - probabilidade de o tem ser aceitável e provir da fábrica 2 B2

P(A )=P(A/ ).P( )= 0.8 .0.3 = 0.24 B2 B2 B2

P( /A) - probabilidade de o item provir da fábrica 2, dado que é aceitável

B2

P( /A) = B2

P ABP A( )

( )..

.2 0 24087

0 276= =

3.4 – Variável aleatória Um aspecto fundamental quando tratamos estatisticamente um conjunto de acontecimentos é o de variável aleatória. Consideremos, então, uma experiência com um determinado número de resultados possíveis. Se a ocorrência de cada um dos resultados for regulada pelo acaso (resultado aleatório), aos resultados podem ser associados valores numéricos. O processo de associação de um valor numérico a cada resultado é conseguido através da utilização de uma variável aleatória (v.a.).

22

Usa-se uma letra maiúscula (X, Y...) para representar uma v.a. e uma letra minúscula para representar um determinado valor numérico que uma v.a. possa tomar. Por exemplo, se a v.a. X representar o número de avarias de um dado equipamento, então xi representará o número de avarias ocorridas durante o iésimo tempo de observação. Neste exemplo, o espaço de amostragem será S = {x1, x2,...,xk}, representando k o número de intervalos de tempo durante os quais se realizaram as observações. As v.a.’s podem ser discretas ou contínuas. Serão discretas se o espaço de amostragem for finito e contável. Serão contínuas se só puderem tomar valores contínuos, ou seja, tomam valores num determinado intervalo por oposição a um número contável específico. As v.a.’s contínuas resultam de variáveis medidas e não de dados contados. O número de avarias de um dado sistema num determinado período é uma v.a. discreta. Os tempos de funcionamento até à falha de um conjunto de lâmpadas é uma v.a. contínua, T, que toma um valor contínuo, t, para cada lâmpada. Isto pode ser representado pela amostra S = {t|t>0}, que se deve ler “o conjunto de todos os valores de t, tais que t maior que zero”. 3.5 – Distribuição Um modelo de distribuição de probabilidades de uma dada experiência é uma função que associa uma probabilidade a cada possível valor que a v.a. da experiência possa tomar de tal forma que o valor da probabilidade total associada à experiência seja a unidade. Existem distribuições contínuas e distribuições discretas. Para uma v.a. discreta, a distribuição de probabilidades representa-se por Pr(xi), sendo xi um dos valores que a v.a. X pode tomar. Se uma variável aleatória discreta X puder tomar valores x1, x2…xn com probabilidades p1, p2…pn, com p1+p2+…pn = 1 e pi≥0 para qualquer i, diz-se que existe uma distribuição de probabilidades para x. Trata-se, nesse caso, de uma distribuição discreta. A função Pr(xi) é tal que Pr(xi) ≥0, i=1,2,...k

(3.15) ∑=

=k

iix

11)Pr(

23

Diz-se que uma distribuição é contínua quando a variável aleatória pode tomar qualquer valor dentro de determinado intervalo. Uma v.a. contínua X tem uma probabilidade zero de tomar exactamente qualquer dos seus possíveis valores. Nesta situação, deve-se apresentar a probabilidade associada a uma pequena gama de valores que a v.a. possa tomar. Por exemplo, para uma situação em que a v.a. seja um tempo até à falha, T, pode-se determinar Pr(t1<T<t2), ou seja, a probabilidade de o tempo até à falha se situar entre t1 e t2. A distribuição de probabilidades de uma v.a. T, contínua, representa-se por f(t) e designa-se por função densidade de probabilidade (fdp). Como T é contínua, o gráfico de f(t) também é contínuo ao longo da possível gama de valores de t. Uma fdp é construída de tal forma que a área sob a curva que limita todos as possíveis gamas de valores de t tem que ser igual a 1. A probabilidade de T assumir um valor entre t1 e t2 pode ser determinada por

(3.16) ∫t

tF0

f(x)dx = )(

Em geral, f(t) tem que obedecer a f(t) ≥0 para qualquer t

(3.17) ∫t

tF0

f(x)dx = )(

e

∫t

tF0

f(x)dx = )(

3.6 - Distribuições mais comuns 3.6.1 - Distribuições discretas Duas das distribuições discretas mais importantes são a distribuição hipergeométrica e a distribuição de Poisson.

24

3.6.1.1 - Distribuição hipergeométrica

P xC C

Cxr

n xN r

nN( ) = −

−

(3.18)

em que N - nº total de elementos n - nº de elementos de uma dada amostra

r - nº de elementos, de entre o total N, que possuem uma dada propriedade x - nº de elementos com a referida propriedade encontrados na amostra

3.6.1.2 - Distribuição de Poisson Esta distribuição é aplicável quando: a) O número de eventos que ocorrem em intervalos de tempo não sobrepostos é independente; b) A probabilidade de um evento ocorrer num pequeno intervalo de tempo é aproximadamente proporcional à dimensão desse intervalo; c) A probabilidade de mais que um evento ocorrer num pequeno intervalo é muito pequena em comparação com a da ocorrência de um evento nesse mesmo intervalo. Esta distribuição pode também ser aplicada quando os intervalos de tempo são substituídos por espaços, como, por exemplo, o número de defeitos num dado lote ou numa dada quantidade de material. As probabilidades de Poisson são dadas por

P xe m

x

m x

( )!

=−

(3.19)

em que

m=np n - nº total de elementos

25

p - probabilidade de um elemento dos n ter uma dada propriedade

Os exemplos seguintes ilustram a aplicação das distribuições discretas que foram expostas. Exemplo 1 Um lote de 50 artigos contém 3 com defeito. Uma amostra de 5 artigos é colhida aleatoriamente. Calcular a probabilidade de se obter 2 artigos com defeito na amostra. Vai-se aplicar a distribuição hipergeométrica com

N =50 n = 5 r = 3 x = 2

P(2) = C CC23

347

550 = 0.023

Exemplo 2 A percentagem de artigos defeituosos num lote é de 0.2%. Os artigos são embalados em caixas de 200. Qual a proporção de caixas com a) Artigos sem defeito? Aplicando a distribuição de Poisson, tem-se n = 200 p = 0.002 m = np = 0.4

P(x) = ex

x−0 4 0 4. .!

P(0) = e− =0 4 0 67. .

b) 2 ou mais artigos com defeito? P(2 ou mais) = 1 - (P(0)+P(1)) = 1 - (0.67+0.268) = 1 - 0.938 = 0.062

26

3.6.2 – Distribuições contínuas

A distribuição contínua mais comum é a Distribuição Normal ou de Gauss. A função densidade de probabilidade da Normal é dada por:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= 2

21 )(

21exp

)2(

1)(σµ

πσ

xxf (3.20)

µ - média ( parâmetro de localização ) Uma razão para a grande aplicação da Normal é o facto de, quando um valor está sujeito a muitos factores de variação, independentemente de como estes factores são distribuídos, a distribuição composta resultante se aproximar muito da distribuição Normal. A tabela em apêndice dá os valores para Φ (z), função acumulada da distribuição normal estandardizada ( µ = 0 ; σ = 1 ) . z representa o número de desvios padrão de distância em relação ao valor médio. Uma distribuição normal é caracterizada por apresentar uma maior frequência de valores da v.a. em torno de valores médios e uma menor frequência junto aos extremos. A figura 3.1 é uma representação típica de uma função densidade de probabilidade da distribuição normal. Qualquer distribuição normal pode ser calculada a partir da distribuição normal estandardizada, determinando a variável normal estandardizada z e achando o valor de Φ (z).

σµ−

=xz

27

Figura 3.1 Representação da fdp da distribuição Normal

Exemplo: O tempo de vida de uma lâmpada incandescente tem uma distribuição normal de média 1200H e desvio padrão σ = 200H .

a) Qual é a probabilidade desta lâmpada falhar até às 900H? b) Qual é a probabilidade desta lâmpada durar mais de 800H? c) Ao fim de quantas horas deveremos fazer a substituição das

lâmpadas para que não se verifique uma % de falhas superior a 5%?

a)

%68.60668.0)5.1(1)5.1(

5.1200

1200900

⇒=Φ−=−Φ

−=−

=−

=σµxz

b)

0228.0)2(1)2(

2200

1200800

=Φ−=−Φ

−=−

=−

=σµxz

A probabilidade de falhar até às 800 h é de 2.28%. A de durar mais que isso será de 100%-2.28%, ou seja, 97.72%. c)

hxxz 871645.12001200

9495.0)64.1(1)64.1(9505.0)65.1(1)65.1(

=⇒−=−

=

=−Φ−=Φ=−Φ−=Φ

28

As distribuições discretas e contínuas aqui exemplificadas são de utilização geral e comum em estatística. No capítulo 5 serão apresentadas outras distribuições que são muito correntemente aplicadas nas utilizações específicas de fiabilidade e cuja apresentação será feita com as v.a.’s específicas da fiabilidade introduzidas no capítulo 4. 3.7 – Valor esperado O valor esperado ou esperança matemática, E(X), de uma v. a. X, discreta ou contínua, é uma característica de X. Para v.a.’s discretas o valor esperado define-se por

∑=i

ii xxXE )Pr()(

desde que o somatório seja convergente. Para v.a.’s contínuas o somatório deve ser substituído por um integral. Para a v.a. contínua T, com fdp f(t), o valor esperado será

∫+∞

∞−

= dtttfTE )()(

também com a condição de o integral convergir. O valor esperado é um conceito muito utilizado em estatística e pode-se dizer que equivale a uma média por antecipação porque se baseia em valores prováveis e não em valores já previamente registados. Quando representa a média de uma distribuição é representado por µ . Também é considerado como o primeiro momento em relação à origem. De uma forma geral, pode-se obter o valor esperado de qualquer função real de uma v.a.. No caso de uma distribuição discreta, Pr(xi), o valor esperado da função g(X) será definido por

[ ] ∑=

=k

iii xxgXgE

1)Pr()()(

E para uma v.a. contínua T, o valor esperado de g(T) é definido por

29

( )[ ] ∫+∞

∞−

= dttftgTgE )()(

A título de exemplo, vamos calcular o momento em relação à origem para a distribuição de Poisson.

∑ ∑ ∑∞

=

∞

=

∞

=

−−−−

−===

0 1 1

1

)!1(!!)(

x x x

xmxmxm

xmem

xmxe

xmxeXE

Fazendo y=x-1 e tendo em conta as expressões 3.15 e 3.19, obtemos

∑∞

=

−

==0 !

)(y

ym

mymemXE

Mas também se podem considerar momentos de ordem superior à primeira. Por exemplo, para o momento de segunda ordem em relação à origem, representado por E(X2), temos, para a distribuição de Poisson e recorrendo aos resultados anteriores e, novamente, a 3.15 e 3.19:

∑ ∑ ∑∞

=

∞

=

∞

=

−−−−

=−

===0 1 1

1222

)!1(!!)(

x X x

xmxmxm

xmxem

xmex

xmexXE

∑ ∑ ∑∞

=

∞

=

∞

=

−−−

+=+=+0 0 0

2

!!!)1(

y y y

ymymym

mmymem

ymyem

ymeym

Uma medida da dispersão de uma v.a. X em relação à sua média é a chamada variância, representada por v(X) ou σ2. A variância também se designa por segundo momento em relação à média e define-se como

v(X) = σ2 =E(X-µ)2

σ é normalmente designado por desvio padrão e a v(X) costuma chamar-se variância. Os momentos obedecem às seguintes leis:

30

E(aX)=aE(X) E(a)=a E(g(X)±h(X)) =E(g(X))±E(hX)) E(X±Y) = E(X) ± E(Y) E(X.Y) = E(X).E(Y) se X e Y forem independentes

31

4 – Fiabilidade de componentes e fiabilidade de equipamentos Também se deve definir o que se entende por sistema reparável e por sistema não reparável. Sistema reparável é um conjunto de elementos em que a ocorrência de avaria não significa o fim da operacionalidade mas somente uma interrupção dessa mesma operacionalidade. Consideram-se também reparáveis, embora não sejam encarados como sistemas, todos os items cuja avaria não significa o seu fim de vida (ex.: veio reparável através de soldadura de enchimento). Um sistema não reparável é um conjunto de elementos que formam um todo que, por razões económicas ou tecnológicas, não se reparam ou é um item formado por um único elemento (componente) cuja ocorrência de avaria significa o seu fim de vida. O conceito de equipamento é vulgarmente, embora, como se viu, nem sempre seja assim, associado a sistemas reparáveis e o conceito de componente é normalmente associado a itens não reparáveis. Deve ainda considerar-se que, pela utilização, os componentes/peças se desgastam enquanto que os sistemas/equipamentos se degradam. A abordagem da fiabilidade dos componentes não reparáveis é diferente da dos equipamentos reparáveis, conduzindo ao aparecimento de conceitos diferentes. É o que se irá ver neste capítulo. Começa-se pelos componentes não reparáveis por ser a situação mais simples. 4.1 – Fiabilidade de componentes (não reparáveis) 4.1.1 – Função de risco para componentes não reparáveis Se X representar a v.a. tempo até à falha de uma peça ou componente, então a probabilidade de X≤x, função distribuição de X, é

FX(x)=Pr{ X≤x} (4.1)

32

Assumindo que F é absolutamente contínua, podemos definir a função de risco associada a x como

hX(x)=)(1

)(xF

xf

x

x

− (4.2)

fX(x) é uma fdp e é a derivada de FX(x) em ordem a x. A função de risco representará a probabilidade condicional por unidade de tempo de o componente falhar no intervalo de tempo x+dx, sabendo que não falhou até x. Matematicamente expressar-se-á a função fiabilidade através da probabilidade do bem não falhar num dado período - a probabilidade é função do tempo e representa-se por RX(x). A probabilidade de falha nesse período é expressa pela função FX(x), como se viu, com:

FX(x) = 1 – RX(x) (4.3)

Se tivermos a função densidade de falhas, fx(x), com:

fX(x) = dx

xdFx )( (4.4)

teremos

dxxdRx )( = - fX(x) (4.5)

ou

(4.6) ∫x

x xF0

x (y)dyf = )(

e

(4.7) ∫x

0

)(-1 = )( dyyfxR xx

33

A função de risco, tal como definida na expressão 4.2, é uma taxa relativa referida ao tempo x, visto que a derivada de FX(x) é dividida pela probabilidade de sobreviver até ao instante x. Para ser uma taxa absoluta não poderia ser dividida pela fiabilidade. 4.1.2 – MTTF Consideremos um componente não reparável qualquer. Chama-se tempo até à falha (time to failure), TTF, ao tempo que medeia entre a entrada em serviço do componente e a respectiva falha. Se pensarmos no universo de componentes semelhantes ao que considerámos anteriormente, podemos considerar o tempo esperado de funcionamento desses componentes. É o tempo que será legítimo esperar, ao instalar pela primeira vez cada um deles, que se aguentem em serviço. Estaremos então a definir um tempo médio até à falha (MTTF). MTTF (mean time to failure) representa o tempo até à ocorrência de falha em sistemas não reparáveis e pode-se introduzir também MTTFF (mean time to first failure) para significar o tempo que medeia entre a entrada em funcionamento e a ocorrência da primeira avaria em sistemas reparáveis. Será:

MTTF t f t dt=∞

∫ . ( )0

(4.8)

MTTFF será representado da mesma forma se tivermos em atenção que a escala de tempos é contada desde o começo do funcionamento até à ocorrência da primeira avaria. Se considerarmos uma população ou conjunto de componentes iguais, com pdf f e distribuição acumulada de falhas F, poder-se-á escrever

∫∞

==0

(4.9) )(.)( dxxfxXEMTTF x

em que E(X) representa o valor esperado de X.

34

4.1.3 – Análise estatística de TTF’s Se colocarmos n componentes iguais a funcionar em condições idênticas como parte integrante de equipamentos também iguais entre si e de tal modo que o funcionamento de cada componente seja independente dos restantes, vamos obter, após a falha de todos os componentes, n TTF’s que serão amostras independentes da mesma função de distribuição FX(x). Nesta situação diz-se que os TTF’s são independentes e identicamente distribuídos (IID). Para obter estimativas (valores estimados) da função de risco ou da fdp necessitamos de conhecer previamente múltiplos valores de TTF’s. Mas não devemos esquecer que, embora sejam necessários, como base de trabalho, vários valores de TTF’s, o que estamos a estimar são funções associadas com o tempo até à falha de um componente. O que se está a estimar, através da repetição de um dado acontecimento (falha de um componente), é a probabilidade de ocorrência desse acontecimento no tempo x como função de x. Nas condições acima referidas, é indiferente que os componentes entrem em serviço todos ao mesmo tempo ou em instantes distintos. Por vezes confundem-se estas situações ou o seu tratamento mas deverão ser tratadas de igual forma pois o que conta são apenas os diferentes TTF’s. Para a fiabilidade de um componente, poderá ser obtido um estimador através de uma experiência simples. Assim, basta colocar um conjunto de componentes iguais a funcionar em condições semelhantes. A fiabilidade ao fim do tempo x será estimada pelo número de componentes que ao fim desse tempo ainda funcionem dividido pelo número de componentes inicial:

nxnxR X)()(

^= (4.10)

Colocado o problema, vão agora deduzir-se estimadores para a função de risco, hX(x), e a fdp, fX(x). Designa-se por estimador natural uma expressão de tipo numérico que representa uma estatística directa análoga a uma função probabilística. Representa-se colocando um ^ sobre a função probabilística a que diga respeito, tal como se vê na expressão 4.10.

35

Para os casos anteriores, vai-se verificar, também através dos estimadores, que a função de risco e a pdf não se devem confundir entre si. Comecemos por definir um estimador para Fx(x). Quando cada componente em teste funciona até falhar, a função de distribuição empírica, Fn(x), é definida como

Fn(x) n

xsTTF' de nº ≤≡

e é um estimador natural para FX(x)≡ Pr{X≤x}. Para X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n), Fn(x) será

Fn(x)≡ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

<≤

>

+

xXxni

x

i

(n)

)1((i)

(1)

X ,1X ,/

X ,0

A fdp é a derivada em ordem a x de FX(x). Assim, um estimador natural para a fdp é

xxxnxn

nxxFf n

X∆

∆+−≡

∆∆

≡)()(1)((x)^ (4.11)

em que n(x) representa o número de componentes que sobrevivem até x e n(0) = n. Um estimador natural para a função de risco será

xxxnxn

xnnxnxf

xRxfx X

X

XXh ∆

∆+−≡≡≡

)()()(

1/)(

)(^)(^)(^)(

^

(4.12)

36

A função de risco aparece, assim, como o número de falhas por unidade de tempo em x a dividir pelo número de componentes em risco também em x. A função de risco aparece normalizada pelo número de elementos em risco e a fdp aparece normalizada pelo número de elementos inicial. A diferença entre estas duas funções pode ser avaliada com um exemplo mais comum e referente à vida humana. Imagine-se que em 2003 calculamos a probabilidade que um indivíduo, nascido em 1913, tinha de vir a falecer durante 2003, ou seja, de vir a falecer com noventa anos. Estamos a calcular uma densidade de probabilidade e o estimador é dado pela expressão 4.11, dividindo o número de indivíduos falecidos em 2003 com 90 anos pelo número de nascimentos verificados em 1913. Mas se quisermos calcular a probabilidade de um indivíduo com 90 anos vir a falecer ao longo dos 12 meses seguintes devemos usar a expressão 4.12, dividindo o número de indivíduos com 90 anos falecidos nesse período pelos que ainda estavam vivos à data do início da contagem. No primeiro caso vamos obter um valor muito mais pequeno que no segundo. Seja agora um exemplo aplicado à engenharia. Suponhamos que temos um conjunto de 210 ferramentas de corte rápido que vão falhando ao longo do tempo. Vamos contabilizar intervalos de 15 dias e construir uma tabela da qual conste, sucessivamente, o número de falhas a cada intervalo de 15 dias, desde o primeiro até ao último, o número de ferramentas em funcionamento no início de cada intervalo, a fdp multiplicada pelo valor do intervalo de tempo, a função de risco multiplicada pelo mesmo valor e o número de falhas acumuladas no final de cada intervalo. Será tal como se representa, a seguir, na tabela 4.1 Verificamos que a função de risco é tendencialmente crescente à medida que se avança no tempo, o que é normal dado que estamos a exemplificar com ferramentas de corte, e que a densidade de probabilidade tem um pico à volta do 5º intervalo e mostra as falhas centradas entre o 4º e o 9º intervalos.

37

Tabela 4.1

Exemplo de cálculo de fdp e função de risco

Intervalo n(x+1)-n(x) n(x) 15fX(x) 15hX(x) 210FX(x) 1 0 210 0 0 0 2 0 210 0 0 0 3 4 210 4/210 4/210 4 4 28 206 28/210 28/206 32 5 42 178 42/210 42/178 74 6 28 136 28/210 28/136 102 7 30 108 30/210 30/108 132 8 28 78 28/210 28/78 160 9 26 50 26/210 26/50 186 10 12 24 12/210 12/24 198 11 4 12 4/210 4/12 202 12 4 8 4/210 4/8 206 13 4 4 4/210 4/4 210

4.2 – Fiabilidade de equipamentos (reparáveis) O tratamento da fiabilidade de sistemas reparáveis é diferente do que se viu para os não reparáveis, acabando por ser mais complexo. Antes de mais há que distinguir duas escalas de tempos, o tempo entre avarias e o tempo de calendário, ao longo do qual podem ocorrer diversas avarias, após as quais o sistema, por ser reparável, é recolocado em funcionamento. Para o tempo entre avarias, o tratamento é semelhante ao que foi referido para os sistemas não reparáveis, utilizando-se a função de risco como parâmetro de referência para a fiabilidade. Para o tempo de calendário haverá que utilizar outro parâmetro de referência. 4.2.1 – Distribuições e processos Uma distribuição representa a forma como uma dada função, normalmente a função Fiabilidade, varia com o tempo entre avarias ou o tempo até à falha ou, de forma mais geral, com o valor de um intervalo de tempo que não contenha momentos de ocorrência de avarias. Varia ainda

38

com a função de risco que, por sua vez, pode ser constante ou variar também com o tempo atrás referido. Um processo é a forma segundo a qual vão ocorrendo acontecimentos semelhantes. Em Fiabilidade esses acontecimentos semelhantes são as avarias e a forma segundo a qual vão ocorrendo é normalmente representada através de uma função de Fiabilidade que varia com o valor de um intervalo de tempo que contenha momentos em que já ocorreram avarias e com a taxa de avarias (constante ou variável com aquele tempo). Quando se analisam sistemas reparáveis, um processo pontual é aquele em que se considera que as avarias ocorrem em momentos determinados no tempo. Quando se considera que as avarias são o resultado de uma degradação e, portanto, não ocorrem em momentos determinados, diz-se que os processos são não pontuais. Vamos tratar apenas de processos pontuais. 4.2.2 – Processos pontuais Um processo pontual estocástico é um modelo matemático para um fenómeno físico caracterizado por acontecimentos fortemente localizados e distribuídos aleatoriamente ao longo de um contínuo. No caso presente o contínuo é o tempo de calendário e os acontecimentos são as avarias que se assumem que ocorrem em instantes determinados ao longo do tempo. Trataremos os processos de Poisson homogéneos (HPP) e não homogéneos (NHPP) e os processos de renovação (RP). Para começar a discussão em torno destes processos, vamos assumir que os sistemas estarão em funcionamento sempre que possível e que os tempos de reparação são desprezáveis, por muito pequenos, quando comparados com os tempos de funcionamento. As avarias irão ocorrendo ao longo do tempo de calendário. O tempo de calendário, contado desde o momento T=0 em que o equipamento é colocado em funcionamento pela primeira vez, é designado por T. Os tempos entre avarias serão designados por Xi, em

39

que i designa a ordem de ocorrência das avarias. Xi será o tempo que medeia entre a ocorrência da avaria i-1 e a ocorrência da avaria i. A variável que designa qualquer momento no tempo contado desde a ocorrência da avaria i-1 será xi. Por exemplo, quando xi=0 acabou de ocorrer a avaria i-1; quando xi=Xi ocorre a avaria i. Xi, com i=1,2..., é uma v.a. designada por tempo entre avarias. Os momentos de ocorrência das avarias, quando contados desde o início do funcionamento, ou seja, quando contados em tempo de calendário, são representados por Ti, com i=1,2...Ti também é uma v.a. e é designada por tempo global de ocorrência de avarias. Compatibilizando os conceitos e variáveis acima introduzidos, teremos xi = t – Ti-1 | Ti-1 = ti-1 T0 = 0 Tk = X1 + X2 +...+ Xk A v.a N(t) é definida como o máximo valor de k para o qual Tk≤ t, ou seja, N(t) é o número de avarias que ocorrem de 0 até t. 4.2.2.1 – Taxa de avarias A taxa instantânea de avarias define-se como a variação do número esperado de avarias ocorrido com o tempo decorrido. Será aqui designada por λ(t). Se N(t) for a variável que representa o número de avarias acumuladas/sofridas pelo sistema ou conjunto de sistemas entre 0 e t, ter-se-á:

[ ]λ( )t = dE N(t)

dt (4.13)

Com E[N(t)] a representar a esperança matemática de N(t). N(t) é uma variável aleatória discreta mas E[N(t)] é a função contínua e derivável que melhor aproxima N(t).

E N t[ ( )] (t)dt0

t

= ∫ λ (4.14)

As figuras 4.1 e 4.2 ilustram a diferença entre N(t) e E[N(t)].

40

t

N(t)

Número de avarias em função do tempo - N(t)

Figura 4.1

t

E[N(t)]

Número esperado de avarias em função do tempo - E[N(t)]

(exemplo de situação aproximadamente linear) Figura 4.2

Assim, a taxa de avarias aparece-nos como um parâmetro que respeita a sistemas reparáveis aplicando-se a qualquer ocorrência repetitiva observada, por unidade de tempo, num sistema reparável ou num conjunto de sistemas reparáveis. Na prática interessa considerar situações em que a taxa de avarias seja constante ou decrescente. O cálculo da taxa de avarias é feito recorrendo a estimadores. Assim, pode-se utilizar como estimador da taxa de avarias

41

λ( )tt

∧ = N(t + t) - N(t)∆

∆ (4.15)

desde que a taxa de avarias seja constante em ∆t. 4.2.2.2 - MTBF O tempo médio de funcionamento entre duas avarias, MTBF (mean time between failures), é definido como o inverso da taxa de avarias. Se a taxa de avarias for constante, o MTBF não depende do tempo. Caso contrário, também o MTBF será uma função do tempo, ou seja, o valor esperado do tempo entre avarias, E(X). Para que não se confunda o tempo de funcionamento entre avarias, TBF (tempo de bom funcionamento ou time between failures), com a diferença cronológica de tempos entre avarias, a figura 4.3 esquematiza uma situação em que entre a ocorrência da avaria N-1 e a ocorrência da avaria N existe um tempo de reparação, TTR (time to repair), e um tempo de funcionamento. Presume-se que o equipamento não esteve parado por falta de utilização. Esta representação só é válida quando se utiliza como variável métrica o tempo de calendário. Numa variável métrica absoluta, o MTBF coincide com a média da diferença cronológica dos tempos entre avarias se estas ocorrerem de forma constante.

N-1 N

TTR TBF

t TTR e TBF Figura 4.3

Contudo, ao longo deste estudo, não iremos considerar TTR’s não desprezáveis.

42

4.2.2.3 – Função de risco para sistemas reparáveis A função de risco também pode ser aplicada a sistemas reparáveis desde que a variável métrica seja o tempo contado desde a última avaria. Não deve, contudo, confundir-se a função de risco com a taxa de avarias. λ(t)dt é a probabilidade de uma avaria que não necessariamente a primeira ocorra entre t e t+dt. hX(x)dx é a probabilidade condicional de a primeira e única avaria vir a ocorrer entre x e x+dx, sabendo-se que não ocorreu até x. Referiu-se acima que também se poderia definir função de risco para sistemas reparáveis. Como a função de risco pressupõe que não tenha ocorrido previamente qualquer avaria, só se poderá definir função de risco para os tempos entre avarias. E, assim, para cada tempo entre avarias haverá uma função de risco, definida de modo semelhante ao que foi utilizado para os componentes não reparáveis. Será:

)(1)(

)('

iX

iXiX xF

xFxh

i

i

i −= (4.16)

O índice Xi significa que a função de risco referida diz respeito ao tempo entre avarias Xi. Isto ajuda a compreender que, para sistemas reparáveis, cada função de risco é uma propriedade de cada v.a. tempo entre avarias e não de uma dada sequência de tempos entre avarias. Aparecem grandes discrepâncias na literatura e, por vezes, grandes confusões no tratamento dos conceitos de taxa de avarias e função de risco. É importante referir que o conceito de taxa de avaria não se pode aplicar a sistemas/componentes não reparáveis considerados isoladamente. Contudo, ambos os conceitos se poderão aplicar a sistemas reparáveis. A taxa de avarias deve associar-se a acontecimentos repetitivos e o seu tempo de referência conta-se desde a entrada em funcionamento até ao momento presente; pelo contrário, a função de risco deve ser associada a um acontecimento único e toma como base o tempo passado desde a última avaria até ao momento presente.

43

Como

hXi(xi) = )(

1.)(

iXi

iX

xRdxxdR

i

i = iiX

iX

dxxRxdR

i

i 1.)()(

(4.17)

hXi(xi) pode ser encarada como a diminuição relativa de RXi(xi) por unidade de tempo. É possível ainda escrever

hXi(xi) = - [ ]

i

iX

dxxRd

i)( ln

(4.18)

A figura 4.4 ilustra a relação entre a taxa de avarias de um sistema composto por vários componentes e a função de risco de cada componente. Na figura está representado um sistema reparável com N modos de avaria. Para cada modo de avaria representa-se a função de risco do componente que provoca avarias no sistema. Na figura, traça-se, para cada posição de componente, a curva representativa da respectiva função de risco entre avarias. A taxa de avarias do conjunto é dada pela razão entre o número de avarias ocorridas em cada intervalo de tempo e o valor desse mesmo intervalo. A taxa de avarias tende para um valor constante à medida que o tempo de funcionamento do sistema aumenta, ou seja, e recorrendo à figura, a tendência é para que em intervalos de tempo iguais (t1, t2,...) ocorram iguais números de avarias do sistema motivadas por falhas dos seus componentes. Para cada componente, a função de risco, representada, respectivamente, por cada uma das curvas desenhadas, vai aumentando ou mantendo-se constante desde a entrada em serviço até ao momento de falha.

44

t1 = t2 = t3

1

.n

t

componente

2

3

.

• - avaria Taxa de avarias e função de risco

Figura 4.4 4.2.2.4 - Escalas de tempos Feita a distinção entre taxa de avarias e função de risco, é fundamental ter sempre presente que a função de risco aparece sempre associada ao tempo entre avarias ou ao tempo até à falha e a taxa de avarias aparece sempre associada ao tempo de vida útil dos equipamentos reparáveis. A função de risco aparece associada ao tempo entre avarias quando tratamos de avaliar a evolução da função de risco global de um equipamento ao longo do tempo entre avarias. E aparece associada ao tempo até à falha sempre que estejamos a tratar de componentes não reparáveis. Por exemplo, podemos estar interessados em avaliar a fiabilidade de um componente para a qual construímos uma função distribuição que dependerá do tempo de vida do componente e da função de risco. Quando

45

o componente falha, o tempo de vida desse componente atingiu o valor de “tempo até à falha”. Em suma, quando tratamos com a função de risco, os intervalos de tempo nunca contêm momentos em que ocorrem avarias e, pelo contrário, quando tratamos com a taxa de avarias, isso acontece sempre. 4.2.2.5 – Função fiabilidade de um processo pontual A definição da função fiabilidade que se vai apresentar é referida ao tempo de calendário e não ao tempo entre avarias. O cálculo dos valores e grandezas a cuja definição se vai proceder de seguida depende da história do processo desde a sua origem e incluindo o início do intervalo, qualquer que ele seja, que nos interesse estudar. Esta condição é indicada através da notação |Ht. Já vimos que os tempos entre avarias são representados por Xi, com i =1,2,... O tempo médio entre avarias será E(Xi) será, em geral, função de i, tal como os X’s. O tempo até à próxima avaria será W(t)=TN(t)+1-t e é o tempo de calendário que vai desde o momento em que estamos até ao momento da ocorrência da próxima avaria. A distribuição de W(t) será

Kt(w) = Pr{N(t, t+w)≥1|Ht} (4.19)

em que N(t, t+w) é o número de avarias entre t e t+w, ou seja, será igual a N(t+w) – N(t). O valor esperado do tempo até à próxima avaria será

[ ]

{ }tt

t

HwttNwKcom

dwwKtWE

|0),(Pr)(1

)(1()(0

=+=−

−= ∫∞

(4.20)

Ocorrendo uma varia no momento t, o tempo instantâneo entre avarias, ITBF, será W(t). ITBF será diferente de Xi+1 se não se souber quanto vale i no momento t.

46

No que se segue consideraremos que o valor esperado de ITBF será o tempo médio entre avarias, MTBF, que será o inverso da taxa de avarias, já definida e para cujo estimador tomaremos o valor de t/N(t), com N(t)>0. A definição de fiabilidade, a probabilidade de funcionamento sem avarias num dado intervalo de tempo, é mais complicada do que no caso de sistemas não reparáveis/componentes. Já vimos que pode ser importante a história do processo. Assim, a probabilidade de sobrevivência entre dois instantes no tempo, entre t e t+w, será a fiabilidade ao longo desse intervalo de amplitude w e será

{ } )(1|0),(Pr),( wKHwttNwttR tt −==+=+ (4.21)

Nas secções seguintes iremos ver as formas que a função fiabilidade reveste, através da definição 4.21, nos três tipos de processos pontuais que vamos estudar, HPP, NHPP e RP. 4.2.2.6 – Processo de Poisson homogéneo O processo de Poisson homogéneo, HPP, é uma sequência infinita de tempos entre avarias, Xi’s, independentes e distribuídos de forma exponencialmente idêntica. O processo de contagem das avarias, {N(t), t≥0} é um HPP se - N(0)=0 - {N(t), t≥0} tiver incrementos independentes - o número de avarias no intervalo t2-t1 obedecer a uma distribuição de

Poisson com média λ(t2-t1), ou seja

{ } [ ]

0

0

!)(

)((Pr

12

12)(

12

12

≥

≥>

−==−

−−

je

ttcom

jtte

jtNtNjtt λλ

(4.22)

47

Da terceira das condições anteriores e da expressão 4.22 vem que

{ } )()( 1212 ttttNE −=− λ (4.23)

Neste caso, λ constante é a taxa de avarias. A função fiabilidade será dada por

)(21

12),( ttettR −−= λ (4.24)

4.2.2.7 – Processo de Poisson não homogéneo A diferença entre o HPP e o processo de Poisson não homogéneo é que a taxa de avarias não é constante. As duas primeiras condições que vimos em 4.2.2.6 mantêm-se mas a terceira terá a seguinte forma

{ }

0

0

!

)(

)((Pr

12

)(

12

2

1

2

1

≥

≥>

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫

==−∫

−

je

ttcom

j

dtte

jtNtN

jt

t

dttt

t λλ

(4.25)

De forma idêntica à expressão 4.23, teremos

E{N(t2)-N(t1)}= (4.26) ∫2

1

)(t

t

dttλ

A função fiabilidade virá

R(t1, t2)= (4.27) dtt

t

te)(

2

1

λ∫−

Desta forma, os tempos entre avarias não são nem independentes nem identicamente distribuídos. Mas os incrementos continuam a ser independentes, uma vez que o número de avarias num intervalo não depende do número de avarias noutro intervalo qualquer. Por incrementos

48

deve entender-se as variações entre os números de avarias de uns intervalos para os outros. Como a taxa de avarias não é constante, o NHPP pode modelar as situações em que temos degradação ou melhoria dos equipamentos. Haverá degradação se a taxa de avarias for aumentando com o tempo e haverá melhoria no caso contrário. Um sistema deteriora-se se entre 0 e t0

021

0 0 0

0

)()()(1 2 21

tttcom

dyydyydyyt t tt

≤+<

≤+∫ ∫ ∫+

λλλ

e melhora se

021

0 0 0

0

)()()(1 2 21

tttcom

dyydyydyyt t tt

≤+<

≥+∫ ∫ ∫+

λλλ

Para terminar, apresenta-se uma relação entre a taxa de avarias no momento t, contado desde o início do funcionamento do equipamento, e a função de risco no momento x, contado desde a última avaria e pertencente ao intervalo X que é o tempo entre a última avaria que houve até t e a próxima

R(0,t)λ(t)dt = RX(x)hX(x)dx = fX(x)dx (4.28)

O facto de estarmos a considerar a primeira avaria entre t e t+dt é assegurado pela multiplicação de λ(t)dt por R(0,t). 4.2.2.8 – Processo de renovação O processo de renovação (RP) é uma generalização do HPP. Este processo consiste numa sequência infinita de tempos entre avarias independentes e identicamente distribuídos que não são todos nulos. A taxa de renovação será a taxa de avarias e, mesmo que a princípio não seja constante, tenderá para um valor constante igual ao inverso do valor esperado do tempo entre avarias.

49

Neste processo os incrementos não são independentes. Considerando apenas a situação em que sabemos quando ocorreu a última avaria, teremos

R(t,t+w) = Pr{N(t,t+w)=0|t-TN(t)} =

{RX(t-TN(t)+w)}/{RX(t-TN(t))}

(4.29)

4.2.2.9 – Escolha do modelo A figura da página seguinte, 4.5, apresenta o esquema de selecção do modelo que representa o processo que estejamos a estudar. Assim, basicamente, temos que distinguir entre processos com taxa de avarias constante e processos sem taxa de avarias constante. Se a taxa de avarias não for constante, deveremos verificar se o processo é NHPP. Se for constante mas a função de risco não for constante (situação mais comum nos equipamentos sujeitos a desgaste e degradação), deveremos optar por um processo de renovação. Neste caso, o tempo de calendário obedece a uma distribuição exponencial negativa (ver capítulo 5) com parâmetro λ e os tempos entre avarias obedecerão a outra distribuição com parâmetros hX.

50

Figura 4.5 Selecção do modelo

(Adaptado de Ascher e Feingold)

51

4.3 – Curva da banheira Os modelos referentes ao comportamento do material derivam da necessidade de avaliar os modos de degradação dos equipamentos ao longo da sua vida útil. Essa degradação vai influenciar a evolução da taxa de avarias ao longo do tempo que é representada pela conhecida "curva da banheira" (fig. 4.6).

equipamento mecânico

equipamento electrónico

avarias aleatórias

arranque vida útil desgaste t

x

(t)λ

Curva da banheira Figura 4.6

Esta curva retrata os três períodos distintos da vida do equipamento, juventude (arranque), maturidade (vida útil) e velhice (desgaste). No período de maturidade as avarias deverão ocorrer de forma aleatória com taxa de avarias aproximadamente constante. Actualmente tem que se ter em conta que os utilizadores, em muitos casos, já não observam a primeira fase desta curva. Isto relaciona-se com o facto de muitos equipamentos chegarem às mãos dos utilizadores já testados e rodados de forma a eliminar a parte de "mortalidade" inicial. A curva fica, assim, apenas com duas zonas. É importante esclarecer que a curva da banheira, embora possa ser apresentada com a mesma forma para sistemas reparáveis e para sistemas não reparáveis, não representa o mesmo nos dois casos. Assim, nos sistemas reparáveis ela representa efectivamente a taxa de avarias em função do tempo de serviço acumulado mas nos sistemas não reparáveis

52

representará a variação da função de risco com a idade. Em termos gerais, pode-se considerar uma curva da banheira para sistemas reparáveis e outra para sistemas não reparáveis. Através de reconstruções ou de grandes revisões das instalações industriais ou dos veículos podem esses equipamentos encetar novos períodos de vida. Como, então, já os equipamentos não se encontram novos, esses períodos adicionais de vida vão sendo cada vez menores e têm taxa de avarias a estacionar em valores cada vez mais altos. Pode-se fazer a comparação com um processo de amortecimento. As reconstruções deixam de ser rentáveis quando os seus custos somados aos custos de manutenção regular não são suficientemente superiores aos benefícios retirados do funcionamento dos equipamentos. No limite a taxa de avarias será constante. Para efeitos práticos poder-se-á considerar taxa constante logo a partir de um número restrito de "amortecimentos" (até 2 ou 3, por exemplo). A passagem ao limite implica uma ocorrência aleatória de avarias a taxa constante, ou seja, apareceriam como resultado de um processo de Poisson homogéneo. A aplicação de modelos matemáticos em Manutenção, no que respeita ao comportamento dos materiais, baseia-se essencialmente nas diferentes leis de fiabilidade. Cada uma dessas leis origina uma distribuição que teremos que comparar com os resultados observados. No caso de ajustamento de modelos paramétricos (com ajustamento de distribuição) a sistemas reparáveis, a taxa de avarias aparece-nos claramente definida como função do tempo de serviço (ou igual a constante, como caso particular). Há interesse na utilização de modelos aplicados a processos pontuais não homogéneos de Poisson, processos em que a taxa de avarias depende do tempo, quando os equipamentos se encontram em situações em que a taxa de avarias tende a decrescer com o tempo. Repare-se que, em caso contrário, não é rentável investir no equipamento. É o comportamento dos materiais que vai determinar também o cálculo do MTBF e é através deste cálculo que se podem planear as intervenções de manutenção preventiva. Contudo, as substituições preventivas só devem ser feitas sobre componentes com função de risco crescente.

53

54

5 - Distribuições mais comuns em fiabilidade Neste capítulo iremos estudar algumas das distribuições mais importantes nas aplicações fiabilísticas e alguns aspectos relacionados com a respectiva utilização. Há dois tipos característicos de problemas de fiabilidade tratados por modelos estatísticos:

o problemas em que possuímos um conjunto de dados a partir dos quais pretendemos calcular a função fiabilidade e respectivos parâmetros, ajustando ou não uma distribuição;

o problemas em que se pretende calcular a fiabilidade relativa a um dado momento e/ou parâmetros relacionados, conhecendo uma distribuição prévia.

Neste capítulo, para além das distribuições propriamente ditas, irão ser tratados aspectos relativos ao tratamento dos dados. Os dados são, normalmente, tempos entre avarias ou tempos até à falha. Duas distribuições contínuas assumem particular relevância em Fiabilidade, a distribuição exponencial negativa, aplicável quando a função de risco ou a taxa de avarias, conforme os casos, se podem considerar constantes, e a distribuição de Weibull. 5.1 - Distribuição exponencial negativa A distribuição exponencial negativa de fiabilidade é dada por

R(t) = e t (5.1) −λ

em que λ pode representar uma taxa de avarias constante e t um tempo de funcionamento de um equipamento reparável desde, por exemplo, a entrada em funcionamento. Se, na expressão 5.1, substituíssemos λ por h, teríamos uma função de risco constante e t a representar um tempo contado desde a última avaria. Vejamos alguns exemplos de aplicação.

55

Exemplo 1 Uma máquina apresenta uma taxa de avarias constante de uma avaria em cada 10 semanas. a) Qual a probabilidade de ocorrer uma avaria antes de 5 semanas? P(t<5) = 1 - e et− −= − =λ 1 00 1 0 5. * . .39

−1

b) Se houver 10 máquinas a trabalhar, qual a probabilidade de haver um intervalo inferior a uma semana entre duas avarias? λ = 1/10 * 10 = 1 P(t<1) = 1 - e = 0.63 −1 1*

Exemplo 2 Um equipamento apresenta MTBF constante de 1000 horas. Em funcionamento contínuo, qual é a sua fiabilidade ao fim de 1 dia de trabalho? MTBF = 1000 h λ = cte = 1/1000 h −1

t = 24 h R(24) = = 0.98 e−λ .24

Exemplo 3 Pretende fazer uma viagem de 1000 km por carro. a) Supondo que o seu carro tem uma taxa de avarias constante,

, qual é a possibilidade de o seu carro não avariar pelo caminho? λ = −10 4 km

R e e( ) .( ). .1000 0 90510 1000 0 14

= = =− −−

b) Se o carro for à revisão de 10000 em 10000 km e essa revisão durar 1 dia (em que faria, em média, 100 km), qual é a disponibilidade do seu carro?

A = (10000)/(10000+100) = 0.99

56

5.2 - Distribuição de Weibull A distribuição de Weibull possui a importante propriedade de não possuir uma forma característica. De facto, ajustando os parâmetros desta distribuição, ela pode ajustar-se a diversas distribuições do tempo entre avarias. Aplica-se a muitos tipos de equipamentos mecânicos. Pode-se considerar para a distribuição de Weibull a seguinte expressão:

R tt

( ) ) = exp(-( )η

β (5.2)

β é o parâmetro de forma e η o parâmetro de escala ou vida característica, pois corresponde ao tempo ao fim do qual a probabilidade de falha atinge 63.2%. A distribuição de Weibull tem uma grande vantagem quando utilizada em trabalhos de fiabilidade, pois, por modificação dos parâmetros da distribuição, nomeadamente o parâmetro de forma, pode ajustar-se a muitas distribuições de tempos de vida típicos. As mais importantes são a distribuição exponencial negativa (β=1) e a distribuição normal (β=3.5). Exemplo O tempo de vida de um rolamento numa dada instalação é representado de forma satisfatória por uma distribuição de Weibull com β = ½ e η = 5000.

a) Calcule a probabilidade de o rolamento durar pelo menos 6000 horas.

b) Calcule o tempo médio de vida.

a) P(X>6000) = 1- F(6000) = exp(-(6000/5000)1/2) = 0.334 b) F(t) = 0.5 = 1 – exp(-(t/5000)1/2 ⇒ t = 2402 h

O exemplo anterior representa um problema em que pretendemos calcular valores conhecendo de antemão a distribuição a que obedecem. Vamos apresentar de seguida um método gráfico para ajustamento de uma distribuição de Weibull a um conjunto de dados.

57

Vamos, portanto, proceder, através de um método gráfico à estimativa dos parâmetros da distribuição de Weibull. Viu-se que a distribuição de Weibull dos tempos entre avarias ou até à falha poderia tomar várias formas, consoante os parâmetros tomassem uns ou outros valores. Há, por isso, perante um determinado conjunto de tempos aos quais se pretenda ajustar a distribuição de Weibull, que determinar os valores daqueles parâmetros. Os processos de o fazer são essencialmente dois: - através de programa informático, e hoje há muitas versões divulgadas,

seja na literatura ou nos pacotes de “software” da especialidade; - através de método gráfico, usando o chamado papel de Chartwell que

se apresenta em anexo. É esse método que se passa a descrever. O método gráfico permite obter resultados satisfatórios sem necessidade de recorrer a tratamentos estatísticos mais complexos. Para se utilizar o papel de Chartwell, deve-se ordenar a informação em função do tempo de funcionamento e, em seguida, estimar a função infiabilidade (1- função fiabilidade) utilizando uma fórmula do tipo

Fin

^ ..

* (%=−+

0 30 4

100 ) (5.3)

em que i - nº de ordem da falha n - dimensão da amostra (itens em observação) Os pontos (TTF, F

^) marcam-se no papel e, em seguida, traça-se a recta

que melhor se adequa a todos esses pontos. Deve-se proceder como a seguir se indica: 1º - A recta deve passar pelo último ponto marcado 2º - Deve-se procurar que os pontos de um e de outro lado da recta sejam em igual número

58

O valor de é obtido pela intersecção da recta com o “Estimador η”, sendo a leitura efectuada na escala dos tempos.

η^

Para determinar tira-se uma perpendicular a partir do “ponto de Estimação”. O ponto de intersecção desta perpendicular com a escala dos fornece o valor de .

β^

β^

β^

Exemplo

Falha nº Tempo de funcionamento (TTF)

1 331 2 478

3 715 4 779 5 982 6 1040 7 1299 8 1442 9 1466 10 1657 11 2041 12 2283 a) Acrescente à tabela anterior a coluna correspondente a

Fin

^ ..

* (%= )−+

0 30 4

100

i - nº de falha

n - dimensão da amostra

b) Utilizando o papel de Chartwell, estime os parâmetros da distribuição de Weibull para este exemplo. c) Indique também, recorrendo ao papel de Chartwell, a média estimada, indicando esse valor no campo que lhe é destinado no papel de Chartwell. O exemplo anterior encontra-se resolvido em anexo.

59

5.3 - Testes de hipóteses e níveis de significância Seja uma população com distribuição e θ desconhecido. Suponhamos que pretendemos testar uma qualquer hipótese (palpite) sobre θ. Chama-se a essa hipótese a hipótese nula ( ). Por exemplo, se a nossa distribuição for uma função normal com média θ e variância 1, então há duas hipóteses possíveis para θ:

Fθ

H0

Fθ

HH

0

1

11

::θθ=≤

Repare-se que, neste caso, a hipótese nula especifica completamente a distribuição da população enquanto não o faz. H1

Então, para testar é necessário ter uma amostra de uma população; seja X1, X2…Xn a amostra observada com tamanho n. É com base naqueles n valores que temos de decidir sobre a aceitação ou não de . O teste é realizado definindo uma região C fora da qual a nossa amostra deverá estar:

H0

H0

( , ... )( , ... )X X X C aceitarHX X X C rejeitarH

n

n

1 2 0

1 2 0

∉ ⇒∈ ⇒

Por exemplo, pode-se testar a hipótese de a média θ de uma população normal com variância 1 ser 1 com a região crítica C dada por

}C X X XX

n nn

ii

n

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

>=∑

( , ... ):.

1 21 1

196 (5.4)

Se a média diferir de 1 mais que 196.n

rejeita-se . H0

Há dois tipos de erro num teste de hipóteses: - erro Tipo I rejeitar devendo aceitá-la H0

- erro Tipo II aceitar devendo rejeitá-la H0

60

O objectivo do teste não é determinar se é verdadeira mas se é consistente com os nossos dados. Para isso especifica-se um valor de α de tal modo que, sempre que seja verdadeira, a possibilidade de ser rejeitada (Tipo I) nunca seja maior que α. αé o nível de significância do teste (normalmente 0.1, 0.05 ou 0.005).

H0

H0

Como exemplo, seja X1,…Xn uma amostra de uma distribuição normal com média µ desconhecida e variância conhecida. σ 2

HH

0 0

1 0

::µ µµ µ=≠

XX

n

ii

n

−==∑

1 é um estimador de µ e então:

C X X X Cn= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−( ... ):1 0µ > (5.5)

Se quisermos especificar o nível de significância α para o nosso teste, teremos que ter

P X Cµ µ0 0

−

− >⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=α (5.6)

de modo a determinar o valor de C.

Quando µ µ= 0 , X é normal com média µ0 e variância σ 2

n e pode-se

definir Z como

ZX

n=

−−

µσ

0

/ (5.7)

e sabemos que Z é normal unitária. Então pode-se escrever

P ZC n

>⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

σα (5.8)

61

ou

2P ZC n

>⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

σα (5.9)

Mas (5.10) { }P Z Z> =α α/ /2 2

e então

C nZ

CZ

n

σσ

α

α

=

=

/

/

2

2 (5.11 a), b))

Assim, as nossas condições de aceitação serão

aceitar se H0

nX Z

σµ α

−− ≤0 /2 (5.12)

rejeitar se H0

nX Z

σµ α

−

− >0 /2 (5.13)

Exemplo 1 Envia-se um sinal de valor µ de um local A para um local B. Em B esse sinal é recebido de forma normalmente distribuída com média µ e desvio padrão 2. As pessoas pensam que o sinal enviado hoje terá µ=8. Teste essa hipótese se esse sinal for enviado 5 vezes de forma independente com médis do valor recebido em B de 9.5. Use α=0.05. Serão os dados inconsistentes com aquela hipótese? Explique a sua resposta. Como caracterizaria o ruído aleatório adicionado ao sinal? Repita o teste com α=0.1. Que aconteceu? Porquê? α=0.05

nX

σµ

−

− = − =0

52

9 5 8 168( . ) .

62

Z H0 025 0196 168. . .= > ⇒ aceite Os dados não são inconsistentes com a hipótese nula no sentido em que uma média de amostra afastada do valor 8 até 2 era esperada pelo menos até 5% dos envios. Quanto ao ruído segue uma normal N(0.4) com média 0 e desvio 2. Para α=0.1, encontramos um valor para o Z correspondente, consultando mais uma vez as tabelas da normal, de 1.64. Como este valor é inferior a 1.68, tem que se rejeitar a hipótese nula. Isto acontece porque não se espera que a média da amostra se afaste tanto da média do sinal em 10% dos envios (ou do tempo de envio). Exemplo 2 Um rolamento de esferas tem um tempo de vida normalmente distribuído, com uma média de 6000h e um desvio padrão de 450h. Utilizámos um novo lubrificante numa amostra de 9 unidades, tendo obtido um tempo de vida médio de 6400h. Teria o novo lubrificante provocado uma alteração do tempo de vida médio dos rolamentos?

67.29450

|64006000|2/1 =

−= −x

z

Do anexo 1, infere-se que z=2.67 indica uma probabilidade acumulada de 0.996. isto indica que só há uma probabilidade de 0.004 de a alteração se verificar por acaso, ou seja, a alteração é estatisticamente significativa ao nível de 0.4%. Então, rejeitamos a hipótese nula de que os dados da amostra derivem da mesma distribuição normal que a população e deduzimos que a alteração ao lubrificante proporciona de facto um aumento da vida dos rolamentos. 5.4 - Teste de Laplace Este teste será o procedimento utilizado sempre que se pretenda verificar uma das seguintes situações: i ) se um modo de avaria é I I D, procurando-se posteriormente o seu ajustamento a uma determinada

63

distribuição estatística; ii ) se a taxa de avarias de um sistema é constante, sabendo-se que as avarias tem como origem os vários componentes que ompõe o sistema.

e Poisson Homogéneo e tendo, portanto, uma taxa de avarias onstante.

ndência do fenómeno. Este teste baseia-se nos seguintes procedimentos:

a)

se alternativa, H1,

b) , determinando o valor

ET = U em que, quando o teste é limitado pelo tempo teremos:

c O teste de Laplace pretende verificar se numa dada sequência de acontecimentos, fazendo parte de um processo de ocorrências aleatórias, estas são independentes e identicamente distribuídas, constituindo um Processo dc Começaremos por aplicar o teste bilateral, sempre que não se conheça a te

Executar um teste de hipóteses, em que a hipótese nula, Ho, estabelece serem os acontecimentos I I D, Independentes e Identicamente Distribuídos, e em que a hipóteestabelece serem os acontecimentos não I I D. Calcular o valor da estatística do teste, ETequivalente de U em que U ∼> N ( 0, 1 ) .

U NT

NT

ii

N

o= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=∑

12 0 51 . (5.14)

o - tempo de observação

uando o teste é limitado por uma avaria virá :

N - número de ocorrências Ti - tempos das ocorrênciasT Q

( ) ( )U N

T

N T

ii

N

o= −

−−

⎛

⎝⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

−

∑12 1

10 51

1

. (5.15)

o - tempo da última avaria

ância bilateral, α , para o teste que no nosso caso será de α = 5%.

N - número de ocorrências Ti - tempos das ocorrências T

c) Especificar o nível de signific

64

d) Determina o valor da normal padronizada referente ao nível de significância definido, zα/2, e compara-o com o valor de U calculado, procedendo em seguida à tomada de decisão. Se -zα/2 ≤ U ≤ zα/2 o teste é inconclusivo e aceita-se a Hipótese Nula, se a amostra for representativa do fenómeno que está a modelar; caso contrário dever-se-á recolher mais dados. Se U< -zα/2 ou U>zα/2 o teste é conclusivo e rejeita-se a Hipótese Nula. Nota: se considerarmos um nível de significância bilateral de 5% , teremos z=1,96.

Quando, após ter conhecimento de que num processo de pontos aleatórios, estes não são Independentes e Identicamente Distribuídos, constituindo um Processo de Poisson Não Homogéneo e tendo, portanto, uma taxa de avarias que não é constante no tempo e se pretende determinar se a tendência da taxa de avarias é crescente ou decrescente, passar-se-á à utilização de um teste unilateral. O teste de Laplace unilateral tem os seguintes procedimentos:

a) Executar um teste de hipóteses, em que a hipótese nula, Ho, estabelece que os acontecimentos são I I D, tendo uma taxa de ocorrências constante, e em que a hipótese alternativa, H1, estabelece que a taxa de ocorrências é

(i) crescente ou (ii) decrescente.

b) Calcular o valor da estatística do teste, ET , determinando o valor equivalente de U em que U ∼> N ( 0, 1 ) . Sendo ET = U c) Especificar o nível de significância unilateral, α , para o teste que no nosso caso será α = 5%. d) Determinar o valor da normal padronizada referente ao nível de significância definido, zα, e compara-o com o valor de U calculado, procedendo em seguida à tomada de decisão, podendo, neste caso, ocorrer uma de duas situações: i) Se U ≤ zα o teste é inconclusivo e aceita-se a Hipótese Nula, se a amostra for representativa do fenómeno que está a modelar; caso contrário dever-se-á aumentar o número de observações. Se U > zα, o teste é conclusivo e rejeita-se a Hipótese Nula, considerando-se a taxa de ocorrências crescente.

65

ii) Se U ≥ - zα o teste é inconclusivo e aceita-se a Hipótese Nula, se a amostra for representativa do fenómeno que está a modelar; caso contrário dever-se-á aumentar o número de observações. Se U < -zα o teste é conclusivo e rejeita-se a Hipótese Nula, considerando-se a taxa de ocorrências decrescente. Nota: para um nível de significância unilateral de 5% , z = 1,64.

Vamos ver de seguida algumas limitações da aplicação teórica do teste de Laplace. Ao considerarmos que a ocorrência de avarias nos subsistemas é IID, uma vez que estamos perante sistemas reparáveis, existem pressupostos que podem ser questionados, tais como: - O início da nossa análise não coincidir com o início do funcionamento do sistema. - Os modos de avaria mais importantes do sistema serem usualmente causados por partes que têm probabilidade de ocorrência de avarias crescente no tempo, como é o caso das avarias causadas por desgaste de peças. - Por vezes uma avaria ou uma reparação de um subsistema poder causar prejuízos noutros subsistemas, o que indiciará que os tempos de funcionamento não serão obrigatoriamente independentes. - As reparações não restituírem o subsistema ao “estado de novo“ e, não sendo sempre perfeitas, introduzindo, eventualmente, outros defeitos que irão provocar falhas noutros subsistemas. As reparações são feitas ajustando, lubrificando ou recondicionando os elementos de sistemas que se estão desgastando, favorecendo um novo prolongamento de vida, o que não é o mesmo que restituir o elemento ao “estado de novo“. - A substituição de uma parte por outra de diferente origem poder originar variações na taxa de avarias do sistema em que está inserido. - A capacidade de diagnosticar as avarias altera-se com a aquisição de experiência por parte dos trabalhadores do sector de manutenção, cuja eficiência melhora com o tempo, aumentando a probabilidade de uma reparação adequada. Verifica-se, assim, um aumento do número de

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avarias sofridas pelo equipamento sempre que há alterações dos elementos que constituem as equipas de manutenção. - No mecanismo de geração de falhas por fadiga induzida os ciclos de arranque-paragem, diferentes modos de uso, diferentes modos de operação do sistema ou práticas de manutenção diferentes, serem frequentemente mais importantes do que os tempos de operação. - O processo de registo de avarias poderá estar sujeito a erros, se o conceito de avaria aparecer associado a perda de “performance”, sabendo-se que a percepção de avarias está condicionada pela experiência anterior e pela cobertura ou não de uma garantia de funcionamento. Existe sempre alguma subjectividade num registo de dados de avarias. - A probabilidade de ocorrência de avarias ser afectada pelas políticas de manutenção. Os sistemas que sofreram uma reparação geral, por terem sido sujeitos a uma estratégia de melhoria de fiabilidade, frequentemente passam por uma fase de mortalidade infantil, apresentando taxas de avaria superiores logo após a reparação, devido a componentes que noutras circunstâncias não teriam avariado . No caso de haver um período de ensaio logo após uma reparação geral, muitas destas falhas podem ser eliminadas. - As peças de substituição nem sempre serem produzidas para o mesmo tipo de equipamento em que vão ser substituídas, provocando, por vezes, um diferente funcionamento do sistema em que foram aplicadas . - As avarias de um sistema poderem ser causadas por componentes que individualmente cumprem as tolerâncias de funcionamento mas que no seu conjunto apresentam tolerâncias que provocam avarias ao sistema . - Algumas das avarias registadas não serem provocadas por qualquer avaria de componentes mas por outros motivos, como ligações intermitentes e utilização defeituosa. Exemplo Uma rotoválvula motorizada instalada numa cadeia de processo funciona normalmente em “stand-by”, sendo solicitada apenas quando ocorre um sobreaquecimento no referido processo. O único modo de avaria

67

significativo é a “falha à solicitação”. A tabela seguinte mostra, por ordem cronológica de ocorrências, os tempos entre avarias, em meses, o número de solicitações entre avarias e o respectivo número acumulado de solicitações. O número total de solicitações, no período considerado, foi de 5256. Determine se a taxa de avarias é crescente.

Tempo entre avarias Nº de solicitações Idem acumulado 4 104 104 5 131 235

62 1597 1832 2 59 1891 0 4 1895

19 503 2398 6 157 2555 0 6 2561 5 118 2679 7 173 2852 4 113 2966 2 62 3028 4 101 3129 8 216 3345 4 106 3451 5 140 3591 0 1 3592 4 102 3694 0 3 3697

15 393 4090 4 96 4186 9 232 4418 3 89 4507 2 61 4568 1 37 4605

11 293 4898 0 7 4905 6 165 5070 3 86 5157 4 99 5256

Como, neste exemplo, o fim da observação coincide com uma avaria, vamos usar a expressão 5.15. U = 2.41

68

Para testar a hipótese nula de que não há tendência nos dados e de que a taxa de avarias é constante, usa-se a tabela da normal que consta do 1º anexo. Quando U=2.41, Φ(z)=0.992. Rejeita-se então a hipótese nula ao nível de significância de 1%. 5.5 - Teste qui-quadrado Se pretendermos verificar se um determinado conjunto de dados segue uma qualquer distribuição podemos comparar os valores que essa distribuição daria para um conjunto de valores equivalente com os dados que possuímos através de um teste de qui-quadrado. Utiliza-se normalmente com um número de observações maior ou igual a 50. Trata-se de um teste baseado nas diferenças entre os valores observados e os valores fornecidos pelo modelo teórico. Utilizam-se geralmente classes de frequência e, em cada classe, deve-se obter um número de observações maior ou igual a 5. A amplitude das classe de frequência não é necessariamente igual. A aplicação do teste do qui-quadrado faz-se segundo a fórmula

χ22

1

=−

=∑

(o ee

j j

jj

k ) (5.16)

em que o se refere a frequências observadas e e se refere a frequências esperadas. Exemplo Efectuou-se um teste de qui-quadrado comparativo entre frequências reais e frequências esperadas para os valores que uma variável designada por “ampl” tomava ao fim de um certo tempo “t”, medido em dias, e obtiveram-se as seguintes tabelas de frequências para cada caso:

Classes de frequência por tempos de sobrevivência

após observação de .4<ampl<.6 Tabela 5.1

t (dias) até 8 8-9 9-10 10-11 11-12 12-13 >13

69

freq. rel.

.25 .07 .08 .08 .17 .17 .18

freq. 27 7 9 8 18 18 19

Classes de frequência por tempos de sobrevivência esperados

para ampl = 0.5 Tabela 5.2

t (dias) até 8 8-9 9-10 10-11 11-12 12-13 >13 freq. rel.

.20 .06 .08 .05 .21 .19 .21

freq. 21 6 9 5 22 20 22

Da aplicação de 5.16 aos valores apresentados nas tabelas 5.1 e 5.2 resulta para qui-quadrado um valor de 5.03. Tendo sido feita uma aplicação para 7 categorias diferentes, compara-se o valor obtido com o valor crítico de qui-quadrado para 6 graus de liberdade (número de classes de frequência –1). Tem-se:

χ

χ.

.

.

.992

952

16812 6

=

=

Face a estes resultados concluímos que as frequências observadas e as frequências esperadas não diferem de modo significativo pelo que os resultados obtidos devem ser considerados fiáveis para esta aplicação.

70

6 - Associações de equipamentos Por vezes é necessário associar equipamentos em série (para obter um aumento de uma característica) ou em paralelo (para aumento de características ou de fiabilidade da instalação). Neste capítulo apresentam-se as expressões para a fiabilidade de algumas associações de equipamento. 6.1 - Associação em série A expressão para a fiabilidade é dada por

R t R tsi

n

( ) ( )==∏

1i (6.1)

em que o índice s se refere à associação em série e o índice i ao item i. 6.2 - Associação em paralelo Nas associações em paralelo, a falha de um equipamento não implica a falha da instalação que, assim, se torna redundante. Distinguem-se três classes de redundâncias: - Redundância activa total - Redundância activa parcial - Redundância sequencial 6.2.1 - Redundância activa total É um tipo de redundância caracterizado por:

- todos os equipamentos funcionarem simultaneamente, se disponíveis

- a instalação só falhar quando todos os equipamentos falharem A expressão geral da fiabilidade da instalação é dada por

71

[R t R tti

n

( ) ( )= − −=∏1 1

1]i (6.2)

6.2.2 - Redundância activa parcial Esta redundância é caracterizada por: - todos os equipamentos funcionarem em simultâneo, se disponíveis

- a instalação apenas precisa de k<n dos n equipamentos para funcionar

Quando k=1, tem-se redundância activa total e quando k=n, em termos de fiabilidade, tem-se a associação em série. Considerando os equipamentos independentes e com fiabilidades iguais, tem-se

[ ] [ ]∑−

=

−−−=1

0/ )(1)(1)(

k

i

ininink tRtRCtR (6.3)

6.2.3 - Redundância sequencial Neste tipo de redundância, os equipamentos encontram-se ligados em paralelo. Contudo, um ou mais equipamentos estão na situação de “stand-by”, ou seja, só começam a operar quando falha o equipamento que normalmente trabalha. Para a expressão 6.4 abaixo ser válida têm que se ter em conta os seguintes pressupostos: - os equipamentos têm todos taxas de avarias constantes e iguais a λ - o comutador entre equipamentos não falha - enquanto um equipamento estiver em “stand-by” não falha Pode-se, então, escrever, para n equipamentos:

72

R ti

ett

i

n

( )(

!= −

=

−

∑ λ λ t) i

0

1

(6.4)

Exemplo 1 Um sistema electrónico é composto por um transmissor, um receptor e uma fonte de alimentação em série. As fiabilidades destes componentes para uma missão de 1000 h, são as seguintes: �R ( transmissor ) : 0.8521 �R ( receptor ) : 0.9712 �R ( fonte de alimentação ) 0.9357 a)Diga qual é a fiabilidade do sistema assim constituído para as mesmas 1000 h? b)Sabendo que o sistema tem uma taxa de avarias constante calcule a fiabilidade do sistema para uma missão de 3000 h ?

a) R = R(t) x R(r) x R(fa) = 0.8521 x 0.9712 x 0.9357 = 0.7743 b) R(1000) = 0.7743 = exp(-λ1000) ⇒ λ = 0.0002558 h-1

R(3000) = exp(-0.0002558x3000) = 0.4642

Exemplo 2 �Um máquina agrícola tem um sistema de controlo de profundidade de lavoura cujo funcionamento se pode representar por um diagrama de blocos constituídos pelos componentes A, B e F; e pelos subsistemas C e D, como o que se encontra representado na figura. Sabendo que: �O componente A tem uma lei de vida expressa por uma distribuição de Weibull com um factor de forma 2,1 e uma vida característica de 1950 h. �O componente B, tem uma vida normalmente distribuída de média 2400h e desvio padrão 450h. �O componente F, tem uma lei de vida expressa por uma distribuição de Weibull com um factor de forma 2,7 e uma vida característica de 2400 h. �O subsistema C tem uma taxa de avarias constante e igual a 0,000032 avarias/ hora. �O subsistema D tem um tempo médio entre avarias de 2600h. Calcule a fiabilidade do sistema apresentado às 1500h. A – Weibull β = 2.1 η = 1950 R(1500) = exp(-(1500/1950)2.1) = 0.5619 = RA

73

B – Normal µ = 2400 σ = 450 z = (x-µ)/σ = (1500-2400)/450 = -2 Φ(2) = 1-Φ(-2) = 0.9772 = RB F – Weibull β = 2.7 η = 2400 R(1500) = exp(-(1500/2400)2.7) = 0.7549 = RF C – Sub-sistema Exponencial negativa λ = 0.000032 R(1500) = exp(-0.000032 x 1500) = 0.9531 = RC D – Sub-sistema Exponencial negativa MTBF = 2600 R(1500) = exp(-1500/2600) = 0.5616 = RD RABC = 0.5619 x 0.9972 x 0.9531 = 0.5340 RDF = 0.5616 x 0.7549 = 0.4239 R = 1-(1-0.5340)(1-0.4239) = 0.7292

74

Bibliografia

AEM El Mantenimiento en España Asociacion Española de Mantenimiento Barcelona, 1990 AFNOR Maintenance Industrielle Paris, 1988 Anderson, Ronald T. e Neri, Lewis Reliability Centered Maintenance Elsevier Applied Science, 1990 Ascher, Harold e Feingold, Harry Repairable Systems Reliability - Modeling, Inference, Misconceptions and their causes Marcel Dekker, Inc. New York, 1984 Bloch, Heinz P. Improving Machinery Reliability Practical Machinery Management for Process Plants (vol 1) Gulf Publishing Company Houston, 1988 Cannon, A. G. e Bendell, A. Reliability data banks Elsevier Applied Science Londres, 1991 Corder, A. S. Maintenance Management Techniques McGraw-Hill Londres, 1976 Ireson, W. Grant e Coombs, Clyde F. Handbook of Reliability Engineering and Management McGraw-Hill London, 1988

75

Jardine, A. K. S. Maintenance, Replacement and Reliability Pitman Publishing Ontario, 1979 Jardine, A. K. S. Operational research in Maintenance Manchester University Press, 1973 Kelly, A. e Harris, M. J. Management of Industrial Maintenence Newnes-Butterworths Londres, 1977 Klaasen, Klaas B. System Reliability, concepts and applications Edward Arnold London, 1989 Krishnaiah, P. R. e Rao, C. R. Quality Control and Reliability North Holland - Handbook of Statistics, vol. 7 Amsterdam, Oxford, 1988 Lyonnet, Patrick La maintenance - mathématiques et méthodes Technique et Documentation - Lavoisier Paris, 1989 Lyonnet, Patrick Les outils de la qualité totale Technique et Documentation - Lavoisier Paris, 1991 O'Connor, Patrick Practical Reliability Engineering John Wiley and Sons, 1992 Pereira, Filipe José Didelet Modelos de Fiabilidade em Equipamentos Mecânicos Tese de Doutoramento Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

76

Porto, 1996 Villemeur, Alain Reliability, Availability, Maintainability and Safety Assessment (Vol. 1) - Methods and Techniques John Wiley & Sons Chichester, 1992

77

ANEXOS

78

Normal Estandardizada

(retirado de O’Connor)

79

80

Papel de Chartwell

81

82

Resolução do exemplo do sub-capítulo 5.2

Falha nº t ^F=(i-3)/(n+0.4)x100

83

1 331 5.6 2 478 13.7 3 715 21.7 4 779 29.8 5 982 37.9 6 1040 45.9 7 1299 54 8 1442 62.1 9 1466 70.1

10 1657 78.2 11 2041 86.3 12 2283 94.3

Na tabela anterior: i – nº de falhas n – dimensão da amostra Para o nosso exemplo, a dimensão da amostra é de 12 com um tempo médio de 1209.4 h. Utilizando o papel de Chartwell foram estimados os seguintes parâmetros, tal como se pode ver na página seguinte: β (forma) = 2.05 h ή (vida característica) = 1404.3 h µ (média) = 1211.5 h

84

Qui-quadrado

85

(retirado de O’Connor)

86

87