universidade federal do rio de janeiro instituto de ... · ficha catalográﬁca lourêdo, aldo...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO

Instituto de Matemática

Departamento de Métodos Matemáticos

Existência e Decaimento de Soluções para Sistemas Acoplados.

Aldo Trajano Lourêdo

Tese de Doutorado apresentadaao Instituto de Matemática daUniversidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos requisi-tos necessários à obtenção do tí-tulo de Doutor em Matemática

Orientador: Manuel Antolino Milla Miranda

Rio de JaneiroDezembro de 2008

Existência e Decaimento de Soluções para Sistemas Acoplados

Aldo Trajano LourêdoTese submetida ao Programa de Pós-gradução em Matemática da Universidade Federaldo Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de

Doutor em Matemática.

Aprovada por:

Manuel Antolino Milla Miranda (Orientador). ————————————————-D.Sc. - IM/UFRJ.

Wladimir Augusto das Neves. ————————————————-D.Sc. - IM/UFRJ

Osmundo Alves de Lima. —————————————————D.Sc. - DME/UEPB.

Haroldo Rodrigues Clark. —————————————————D.Sc. - IM/UFF.

Ricardo Fuentes Apolaya. —————————————————D.Sc. - IM/UFF.

Helvécio Rubens Crippa. —————————————————–D.Sc. - IM/UFRJ.

Rio de Janeiro

Dezembro de 2008

Ficha Catalográfica

Lourêdo, Aldo Trajano.

Existência e Decaimento de Soluções

para Sistemas Acoplados

Aldo Trajano Lourêdo.

Rio de Janeiro:

UFRJ/ IM,2008

Orientador: Manuel Antolino Milla Miranda

Tese - UFRJ/ IM/ Programa de Pós-graduação em

Matemática, 2008

Referências Bibliográficas: f. 124-127.

1. Introdução.

2. Notações e Resuldados Básicos.

3. Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema

Acoplado de Klein-Gordon.

4. Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema

Acoplado de Equações de Kirchhoff.

Dedicatória

Aos meus pais, à minha esposaMarinalva e minhas filhas

Adrielly e Viviane, com amor.

Não faças do amanhã o sinônimo de nunca,nem o ontem te seja o mesmo que nunca mais.Teus passos ficaram.Olhes para trás... mas vá em frentepois há muitos que precisamque chegues para poderem seguir-te.

Charles Chaplin

Agradecimentos

Ao Professor Manuel Milla Miranda, pelo estímulo constante e principalmente pelasua valiosa orientação acadêmica, pela paciência e amizade que sempre me prestou, noperíodo que estive no IM-UFRJ.

Agradeço ao Professor Luis Adauto da Justa Medeiros pela participação na minhaformação e pelas muitas lições de vida profissional.

Ao Professor Osmundo Alves de Lima, pela grande participação na minha formação.

Aos professores da UFCG, Claudianor Alves e Daniel Cordeiro que fizeram parte daminha formação acadêmica.

A Professora Walcy Santos Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Matemá-tica.

Ao Professor Ademir Fernando Pazoto por contribuir na minha formação.

Aos professores e funcionários do Instituto de Matemática da UFRJ, pelo convívioagradável durante a realização deste curso.

A minha esposa e filhas, assim como a minha mãe e irmãs pelo encentivo contante.

Ao meu pai ”in memorian” Antônio Batista Lourêdo e ao meu irmão ”in memorian ”Aroldo Trajano Lourêdo.

As famílias Rocha Lourêdo e Alves Lourêdo pelo encentivo.Aos amigos de curso: Alexandro Marinho, Ricardo Carvalho, Paulo Pamplona, Clever-

son e Nilza pelo estímulo constante através da amizade.

Aos colegas do DME-UEPB, principalmente Osmundo Alves de Lima, Victor Hugo,Anilton Falção, Orlando Almeida e Otacílio Batista.

Ao DME-UEPB por sua compreensão na minha liberação total do regime de trabalho.

A CAPES pelo suporte financeiro.

Sobretudo agradeço a Deus pela minha existência.

Resumo

Neste trabalho estuda-se a existência e decaimento exponencial de soluções de umproblema misto para os seguintes sistemas acoplados:

∣∣∣∣∣∣∣u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)

e ∣∣∣∣∣∣∣u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞),

onde Ω é um aberto do Rn com fronteira Γ. Em ambos os problemas atua uma dissipaçãonão linear na fronteira.

Abstract

This work is concerned with the study of the existence and exponential decay of so-lutions of a mixed problem for the following two coupled systems:

∣∣∣∣∣∣∣u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)

and ∣∣∣∣∣∣∣u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞),

where Ω is a bounded open of Rn with boundary Γ. In both problems is introduced anonlinear damping on Γ.

Conteúdo

1 Introdução 1

2 Notações e Resultados Básicos. 3

2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema Acoplado de Klein-

Gordon. 9

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Teoremas de Traços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Lema da Aproximação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Existência de Solução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Comportamento Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema Acoplado de Equações

de Kirchhoff. 54

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Problema Associado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Existência de Solução Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Existência de Solução Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6 Decaimento de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Bibliografia 124

Capítulo 1

Introdução

Nesta tese estudaremos os seguintes sistemas:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 em Γ0 × (0,∞)

v = 0 em Γ0 × (0,∞)

∂ν+ h1(., u

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

∂ν+ h2(., v

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

v(0) = v0 v′(0) = v1 em Ω.

(∗∗)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ h1(., u

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

∂ν+ h2(., v

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.

A existência de solução do sistema (∗) é obtida aplicando o método de Galerkin comuma base especial, aproximações de Strauss para funções reais e resultados de traçosobre Γ para funções reais gerais. O decaimento de soluções segue por uma pertubaçãoda energia (funcional de Lyapunov) e método dos multiplicadores.

A existência de solução do sistema (∗∗) é obtida utilizando argumentos de ponto fixoe resultados de traço de funções não regulares. O decaimento de soluções segue por umapertubação da energia (funcional de Lyapunov) e método dos multiplicadores.

Capítulo 2

Notações e Resultados Básicos.

Neste capítulo serão fixadas as notações e terminologia utilizada no trabalho. Asdemonstrações dos resultados se encontram disponíveis na literatura indicada.

2.1 Preliminares

Seja Ω um domínio limitado do Rn com fronteira Γ = ∂Ω de classe C2 a qual consistede duas partes Γ0 e Γ1 de medidas não nulas tais que Γ0 ∩ Γ1 = ∅.

Representa-se por D(Ω) o espaço das funções testes em Ω e D′(Ω) o espaço dasdistribuições sobre Ω.

Por Wm,p(Ω), 1 ≤ p < ∞ representamos o espaço de Sobolev de ordem m, isto é,o espaço das funções reais u ∈ Lp(Ω) tais que Dαu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ m, onde α =

(α1, α2, . . . , αn), αi inteiro não negativo e |α| = α1 + . . .+ αm.

Munido da norma

‖u‖W m,p(Ω) =

∑|α|≤m

|Dαu(x)|pdx

(Wm,p(Ω), ‖u‖W m,p(Ω)) é um espaço de Banach.Quando p = ∞ temos que Wm,∞(Ω) representa o espaço de todas as funções reais

u ∈ L∞(Ω) tais que Dαu ∈ L∞(Ω), ∀|α| ≤ m. Em Wm,∞(Ω) definimos a norma por

‖u‖W m,∞(Ω) =∑|α|≤m

sup essx∈Ω

|Dαu(x)|,

que o torna um espaço de Banach.

Quando p = 2 o espaço Wm,2(Ω) será denotado por Hm(Ω) que munido do produtointerno

(u, v) =∑|α|≤m

Dαu(x)Dαv(x)dx

e da norma induzida

‖u‖Hm(Ω) =

∑|α|≤m

|Dαu(x)|2dx

é um espaço de Hilbert.Por Wm,p

0 (Ω) representamos o fecho de D(Ω) em Wm,p(Ω), 1 ≤ p <∞, e por Hm0 (Ω)

representamos o fecho de D(Ω) em Hm(Ω). O dual topológico de Hm0 (Ω) é representado

por H−m(Ω).

Sejam X um espaço de Banach, X separável, e T > 0 um número real. Denota-sepor Lp (0, T ;X), 1 ≤ p < ∞, o espaço vetorial das (classes de) funções u : (0, T ) −→ X

que são fracamente mensuráveis e tais que a função t 7→ ‖u (t)‖pX é integrável à Lesbegue

em (0, T ) . Com a norma

‖u‖Lp(0,T ;X) =

(∫ T

‖u (t)‖pX dt

resulta que Lp(0, T ;X) é um espaço de Banach.Quando p = 2 e X = H é um espaço de Hilbert, o espaço L2 (0, T ;H) é também um

espaço de Hilbert cujo produto interno é dado por

(u, v)L2(0,T ;H) =

(u (s) , v (s))H ds.

Por L∞ (0, T ;X) representa-se o espaço de Banach das (classes de) funçõesu : (0, T ) ⊂ R −→ X que são fracamente mensuráveis e tais que t 7→ ‖u (t)‖X ∈L∞ (0, T ). A norma em L∞ (0, T ;X) é definida por

‖u‖L∞(0,T ;X) = sup esst∈(0,T )

‖u (t)‖X .

QuandoX é reflexivo e separável e 1 < p <∞, então Lp (0, T ;X) é um espaço reflexivoe separável, cujo dual topológico se identifica ao espaço de Banach Lp′ (0, T ;X ′), onde pe p′ são índices conjugados, isto é, 1

p′= 1. Mais precisamente, mostra-se que para

cada u ∈ [Lp (0, T ;X)]′, existe u ∈ Lp′ (0, T ;X ′) tal que

〈u, ϕ〉(Lp(0,T ;X))′×Lp(0,T ;X) =

〈u (t) , ϕ (t)〉X′×X dt.

O dual topológico do espaço L1 (0, T ;X) se identifica ao espaço L∞ (0, T ;X ′).

O espaço das aplicações lineares e contínuas de D (0, T ) em X é denominado espaçodas distribuições vetoriais sobre (0, T ) com valores em X, o qual será denotado porD′ (0, T ;X).

Seja T ∈ D′ (0, T ;X). A derivada de ordem n é definida como sendo a distribuiçãovetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por⟨

dtn, ϕ

⟩= (−1)n

⟨T,dnϕ

⟩, ∀ϕ ∈ D′ (0, T ) .

Seja u ∈ Lp(0, T ;X), 1 ≤ p < ∞. Definimos a transformação Tu de D(0, T ) em X

dada por:

〈Tu, ϕ〉 =

u(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ),

onde a integral é entendida no sentido de Bochner. A aplicação Tu assim definida é lineare contínua e portanto Tu ∈ D′(0, T ;X). Além disso, como Tu é univocamente definidapor u, podemos identificar Tu com u dizendo simplesmente a distribuição u ao invés deTu. Portanto, u′ designará a derivada de u no sentido de D′(0, T ;X), ou seja,

〈u′, ϕ〉 = −〈u, ϕ′〉 = −∫ T

u(t)ϕ′(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ).

Definimos por

W k,p(0, T ;X) = u ∈ Lp(0, T ;X);u(j) ∈ Lp(0, T ;X), 0 ≤ j ≤ k,

onde u(j) representa a j-ésima derivada de u no sentido das distribuições vetoriais. Oespaço W k,p(0, T ;X) é munido da norma

‖u‖W k,p(0,T ;X) =

‖u(j)‖pLp(0,T ;X)

ou da norma equivalentek∑

‖u(j)‖pLp(0,T ;X).

Quando p = 2 e X é um espaço de Hilbert, X separável, o espaço W k,2(0, T ;X) édenotado por Hk(0, T ;X), que é um espaço de Hilbert munido do produto interno

(u, v)Hk(0,T ;X) =k∑

(u(j), v(j))L2(0,T ;X)

e norma induzida

‖u‖Hk(0,T ;X) =

‖u(j)‖2L2(0,T ;X)

Quando k = 0, Hk(0, T ;X) é o L2(0, T ;X).

Definimos

Hk0 (0, T ;X) = u ∈ Hk(0, T ;X);u(j)(0) = u(j)(T ) = 0, 0 ≤ j ≤ k − 1.

O dual topológico de Hk0 (0, T ;X) é representado por H−k(0, T ;X). Conforme M.Milla

Miranda [37] temos ainda que

Se u ∈ L2(0, T ;X) então u′ ∈ H−1(0, T ;X) (2.1)

Se u ∈ L2(0, T ;Hm(Ω)) com u′ ∈ L2(0, T ;Hm(Ω)), então γu′ = (γu)′. (2.2)

Por C0 ([0, T ] ;X), 0 < T < ∞ representa-se o espaço de Banach das funções con-tínuas u : [0, T ] −→ X munido da norma da convergência uniforme

‖u‖C0([0,T ];X) = maxt∈[0,T ]

‖u (t)‖X .

Por C0w ([0, T ] ;X) denota-se o espaço das funções u : [0, T ] −→ X fracamente con-

tínuas , isto é, a aplicação t 7→ 〈v, u (t)〉X′,X é contínua em [0, T ] ,∀v ∈ X ′.Quando X = H é um espaço de Hilbert, a continuidade fraca de u é equivalente a

continuidade da aplicação t 7−→ (u (t) , v)H , ∀v ∈ H.

2.2 Resultados Auxiliares

Teorema 2.1 (Aubin-Lions) Sejam B0, B, B1 espaços de Banach, B0 e B1 reflexivos,a imersão de B0 em B é compacta, B imerso continuamente em B1, 1 < p0, p1 <∞, e,W o espaço

W = u ∈ Lp0 (0, T ;B0) ; u′ ∈ Lp1 (0, T ;B1)

equipado da norma ‖u‖W = ‖u‖Lp0 (0,T ;B0) + ‖u′‖Lp1 (0,T ;B1). Então W é um espaço deBanach, e a imersão de W em Lp0 (0, T ;B) é compacta.

Demonstração: Ver J.L.Lions [24].

Observação 2.1 (Uma consequência do Teorema de Aubin-Lions 2.1): Se (uk)k∈N éuma sequência limitada em L2 (0, T ;B0) e (u′k)k∈N é uma sequência limitada em L2 (0, T ;B1)

então (uk)k∈N é limitada em W . Daí, segue que existe uma subsequência (uk)k∈N de

(uk)k∈N ainda denotada por (uk) tal que uk→ u forte em L2 (0, T ;B) .

Proposição 2.1 Sejam V e H espaços de Hilbert, com V continuamente imerso em H.

Se u ∈ Lp (0, T ;V ) e u′ ∈ Lp (0, T ;H), com 1 ≤ p <∞, então

u ∈ C0 ([0, T ] ;H) .

Demonstração: Ver L.A.Medeiros [27] e J.L.Lions [24]

Teorema 2.2 Sejam X e Y espaços de Banach, com X reflexivo. Suponha que a imersãode X em Y seja contínua e densa. Então,

L∞(0, T ;X) ∩ Cw([0, T ];Y ) = Cw([0, T ];X).

Demonstração: Ver L.A.Medeiros [27] e J.L.Lions [24]Vamos usar as notações →, e ∗

para representar as convergências forte, fracae fraca ∗ respectivamente. Também, usaremos a notação V → W para indicar que aimersão do espaço V no espaço W é contínua.

Proposição 2.2 (Lema de Lions) Seja Q um aberto limitado do Rn. Seja (gk) umasequência de funções tais que(i) gk → g quase sempre em Q;

(ii) ‖gk‖Lq(Q) ≤ C; ∀k; 1 < q <∞Então gk g em Lq(Q).

Demonstração: Ver J.L.Lions [24].

Proposição 2.3 Sejam g : R → R uma função Lipzchitziana tal que g(0) = 0 ep ∈ [1,∞]. Se u ∈ W 1,p(Ω), então g(u) ∈ W 1,p(Ω) e ∇g(u) = g′(u)∇u q.s sobre Ω.

Demonstração: Ver H.Brezis e T. Cazenave [5]

Teorema 2.3 (Strauss) Seja Ω um aberto limitado do Rn de medida finita e X e Yespaços de Banach. Seja (ul) uma sequência de funções fortemente mensuráveis de Ω emX. Seja (Fl) uma sequência de funções de Ω×X em Y tal que

(a) (Fl) é uniformemente limitada em Y sobre Ω×B, para qualquer subconjunto limitadoB de X;

(b) Fl(x, ul(x)) é fortemente mensurável e∫Ω

‖ul(x)‖X‖Fl(x, ul(x))‖Y dx ≤ C <∞

(c) ‖Fl(x, ul(x))− v(x)‖Y → 0 q.t.p. x ∈ Ω.

Então, v ∈ L1(Ω) e ∫Ω

‖Fl(x, ul(x))− v(x)‖Y dx→ 0.

Demonstração: Ver Strauss, A. W [44].

Seja Ω um aberto limitado do Rn. Em todo o trabalho a fronteira Γ de Ω estará con-stituída de duas partes disjuntas e fechadas Γ0 e Γ1 com medidas de Lebesgue positivas.O vetor ν(x) estará representando o vetor normal unitário em x ∈ Γ1. Também o produtoescalar e norma em L2(Ω) serão denotados por (u, v) e |u|, respectivamente, e V estarárepresentando o espaço de Hilbert

V = v ∈ H1(Ω), v = 0 sobre Γ0

com produto escalar((u, v)) =

∇u(x)∇v(x)dx,

e norma ‖u‖.

Capítulo 3

Dissipação atuando na Fronteira para

um Sistema Acoplado de Klein-Gordon.

3.1 Introdução

Um modelo matemático para descrever a interação de dois campos eletromagnéticosu e v com massas a e b, respectivamente, e com constante de interação α > 0 é dado peloseguinte sistema de Klein-Gordon:

(∗)1

∣∣∣∣∣∣utt(x, t)−4u(x, t) + a2u(x, t) + αv2(x, t)u(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > 0

vtt(x, t)−4v(x, t) + b2v(x, t) + αu2(x, t)v(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > 0,

onde Ω é um aberto limitado do R3 com fronteira Γ. Este modelo foi proposto do I.Segal[42].

Observe que não existe perda de generalidade em supor a = b = 0.

Seja Ω um aberto limitado do Rn com fronteira Γ. A existência e unicidade de soluçõesdo problema misto com condições de Dirichlet nulas em Γ para (∗)1 com termos deacoplamento α|v|σ+2|u|σu e α|u|σ+2|v|σv foram estudadas por L.A.Medeiros e M.MillaMiranda, nos casos α > 0 e α < 0, em [29] e [33], respectivamente. Aqui σ ≥ 0 estárelacionado com a dimensão n do Rn e a imersão dos espaços de Sobolev.

Seja u, v uma solução de (∗)1 anulando-se na fronteira Γ e

(1) E(t) = ‖u′(t)‖2L2(Ω)+‖v′(t)‖2

L2(Ω)+‖∇u(t)‖2(L2(Ω))n +‖∇v(t)‖2

(L2(Ω))n +α‖u(t)v(t)‖2L2(Ω)

a energia associada a problema. Então

E(t) = E(0), ∀t ≥ 0.

Assim, para obter um decaimento da energia E(t), precisa-se introduzir uma dissipaçãono problema, na fronteira, por exemplo. A seguir descreve-se este problema.

Seja Ω um aberto limitado do R3 com fronteira Γ. Supõe-se que Γ está constituidade duas partes disjuntas e fechadas Γ0 e Γ1, ambas com medidas de Lebesgue positivas.Denota-se por ν(x) ao vetor unitário normal exterior em x ∈ Γ1. Considera-se funçõesreais hi(x, s), i = 1, 2 definida em x ∈ Γ1 e s ∈ R. Nestas condições tem-se o seguinteproblema:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 em Γ0 × (0,∞)

v = 0 em Γ0 × (0,∞)

∂ν+ h1(., u

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

∂ν+ h2(., v

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

v(0) = v0 v′(0) = v1 em Ω.

No caso de uma equação (isto é, quando α = 0), Ω um aberto limitado do Rn eh(x, s) = δ(x)s, V.Komornik e E.Zuazua [18], usando a teoria de semigrupos, mostrarama existência de soluções. Nas mesmas hipóteses, aplicando o método de Galerkin comuma base especial, M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtiveram resultado seme-lhante. O segundo método, além de construtivo, tem a vantagem de mostrar o espaço deSobolev onde habita ∂u

∂ν. Aplicando este segundo método porém para uma equação não

linear, F. Araruna e A.Maciel [3] obtiveram resultado análogo.A existência de soluções para a equação da onda com dissipação não linear na fronteira

Γ1 tem sido obtida, entre outros, usando a teoria de operadores máximos monótonos, porE.Zuazua [48], I.Lasiecka e D. Tataru [21], V.Komornik [16], e aplicando o método deGalerkin, por E. Vitillaro [46] e M.M.Cavalcanti, V.N.D. Cavalcanti, P.Martinez [8].

Em F.Alabau-Boussouira [4] e em todos os trabalhos mencionados anteriormente,aplicando desigualdades apropriadas, obtém-se o decaimento exponencial da energia as-sociada à equação da onda respectiva.

É bom ressaltar que os os resultados conhecidos sobre o decaimento exponencial daenergia associada à equação da onda linear com dissipação não linear h(u′) na fronteiraΓ1 foram obtidas supondo que h(s) tem um comportamento linear no infinito, isto é,

(2) d0|s| ≤ |h(s)| ≤ d1|s|, ∀|s| ≥ R,

R suficientemente grande (d0 e d1 constantes positivas).Com relação ao sistema (∗) podemos mencionar o trabalho de A.T.Cousin, C.L. Frota

e N.A.Larkin [9] onde as condições na fronteira são lineares. Mencionaremos também otrabalho de V.Komornik and B.Rao [17] onde os termos de acoplamento são da formaα(u− v) e α(v − u) e as condições de fronteira são semelhantes às de (∗). Supondo

α ∈ L∞(Ω), α ≥ 0;

h contínua, não decrescente, h(s) = 0 se e somente se s = 0,

|h(s)| ≤ 1 + c|s|, ∀s ∈ R (c constante positiva),

e usando a teoria de operadores máximos monótonos, eles mostraram a existência desoluções. Com h satisfazendo (2) para todo s ∈ R e aplicando a técnica dos multipli-cadores, eles obtiveram o decaimento exponencial da energia associada ao problema.

Neste trabalho estamos interassado em obter a existência de soluções do Problema(∗) com condições bem gerais para hi, i = 1, 2. Com efeito, supondo que

hi ∈ C0(R;L∞(Γ1)), hi(x, 0) = 0, q.t.p x ∈ Γ1

e hi é fortemente monótona, isto é,

[hi(x, s)− hi(x, r)](s− r) ≥ di(s− r)2, ∀s, r ∈ R, i = 1, 2 (di constante positiva).

obtém-se a existência de soluções globais para (∗). Para tal, precisa-se obter resultadosde traço sobre Γ1 para funções bem gerais. Estes resultados junto com aproximaçõesespeciais de Strauss [44] para hi e o método de Galerkin com uma base especial permitemobter o resultado. Analisa-se também o decaimento exponencial da energia E(t) definidoem (1) quando hi(x, s) é da forma m(x).ν(x)gi(s), gi(s) ∈ C0(R) e satisfazendo (2) paratodo s ∈ R, i = 1, 2. Aqui m(x) = x− x0, x ∈ Ω, x0 ∈ Rn fixo. Nesta parte usamos umfuncional de Lyapunov (ver V.Komornik e E. Zuazua [18]) e o método dos multiplicadores.

Considere a equação

u′′ −4u+ f(u) = 0, x ∈ Ω, t > 0

f ∈ W 1,∞loc (R), f(s)s ≥ 0, ∀s ∈ R,

(f(s)− f(r)) ≤ a1(1 + |s|p−1 + |r|p−1)(s− r), ∀s, r ∈ R, (a1 > 0 constante),

onde1 < p ≤ n

n− 2para n ≥ 3, p > 1 para n = 1, 2;

e a dissipação não linear de (∗). Então nossos resultados podem ser aplicados para obtera existência e decaimento exponencial de soluções deste problema. Este resultado é umaversão com dissipação não linear do estudo feito por F.Araruna e A.Maciel [3].

3.2 Teoremas de Traços.

O objetivo desta seção é obter resultados de traço para funções gerais que dependemde x e t.

Definimos o espaço de Hilbert V por

V = v ∈ H1(Ω); v = 0 sobre Γ0

equipado com o produto interno e norma dadas por

((u, v)) =n∑

), ‖u‖2 =

n∑i=1

∣∣∣ ∂u∂xi

∣∣∣2.Vamos considerar o operador −4 definido pela terna V, L2(Ω), ((., .)) cujo domínio

éD(−4) =

u ∈ V ∩H2(Ω);

∂ν= 0 sobre Γ1

Teoremas de Traços

Consideremos p ≥ n+ 1. Então W 2,p(Ω) → C0(Ω).

Temos que a aplicação

W 2,p(Ω) → W 2− 1p,p(Γ)×W 1− 1

p,p(Γ)

u 7→ γ0u, γ1u

é liner e contínua.Introduzimos as notações:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

W 1,pΓ0

(Ω) = u ∈ W 1,p(Ω); γ0u = 0 sobre Γ0

‖u‖W 1,p(Ω) =

eX = W 2,p(Ω) ∩W 1,p

Γ0(Ω), Z = W 2− 1

p,p(Γ1).

Notemos que para p = 2 temos V = H1Γ0

Identificando, por meio do isomorfismo de Riesz, o espaço L2(Ω) com o seu dual,resulta

X → L2(Ω) → X ′. (3.1)

Também identificando L2(Γ1) com seu dual, obtém-se

Z → H12 (Γ1) → L2(Γ1) → H− 1

2 (Γ1) → Z ′. (3.2)

Do Teorema do Traço segue que a aplicação

X → Z

u 7→ γ0u(3.3)

é contínua.Seja E o espaço

E = u ∈ V ; ∆u ∈ L2(Ω),

equipado com a norma‖u‖E = ‖u‖+ ‖4u‖X′ . (3.4)

Por meio de (3.1) esta norma está bem definida.Sabe-se que, se u ∈ E então ∂u

∂ν∈ H− 1

2 (Γ1).

Considere E como um subespaço de V ×X ′. Denote por E o fecho de E em V ×X ′.

Seja u ∈ E. Então existe uma sequência (uη) de vetores de E tal que∣∣∣∣∣∣uη → u em V

4uη → g em X ′.(3.5)

Note que este g é único, pois se existir outro g1 teria-se u, g e u, g1 pertenceriamao fecho de E em V ×X ′, e portanto g = g1.

Assim,‖u‖E = ‖u‖+ ‖g‖X′

Pela fórmula de Green temos

(−4uη, ϕ) =n∑

∂uη

dx−⟨∂uη

∂ν, ϕ

⟩, ∀ϕ ∈ X,

onde 〈 , 〉 denota a dualidade entre H− 12 (Γ1)×H

12 (Γ1).

Por (3.2) e (3.4) encontramos

〈−4uη, ϕ〉X′×X =n∑

∂uη

dx−⟨∂uη

∂ν, ϕ

⟩Z′×Z

, ∀ϕ ∈ X. (3.6)

Pelo Teorema do Traço, segue-se que a aplicação

W 2− 1p,p(Γ)×W 1− 1

p,p(Γ) → W 2,p(Ω)

ξ, σ 7→ u

é contínua.Seja ξ ∈ Z. Considere

∣∣∣∣∣ 0 sobre Γ0

ξ sobre Γ1.

Então ξ ∈ W 2− 1p,p(Γ). Seja ϕ ∈ X o correspondente vetor a ξ, 0, dado pelo Teorema

do Traço acima. Por (3.6) obtemos⟨∂uη

∂ν, ξ

⟩Z′×Z

= 〈4uη, ϕ〉X′×X +n∑

∂uη

dx, ∀ξ ∈ Z.

Portanto, ∣∣∣ ⟨∂uη

∂ν, ξ

⟩Z′×Z

∣∣∣ ≤ ‖4uη‖X′‖ϕ‖X + ‖uη‖‖ϕ‖ ≤

≤ C‖4uη‖X′‖ξ‖Z + ‖uη‖‖ξ‖Z .

Pela convergência (3.5) deduzimos que∣∣∣ ⟨∂uη

∂ν, ξ

⟩Z′×Z

∣∣∣ ≤ C‖ξ‖Z , ∀ξ ∈ Z.

Assim, ∥∥∥∂uη

∥∥∥Z′≤ C, ∀η.

Portanto, existe uma subsequência de(

∂uη

), ainda denotada por

(∂uη

), e h ∈ Z ′

tal que∂uη

∂ν h em Z ′. (3.8)

Tomando o limite em (3.6) e usando as convergênciais (3.5) e (3.8) encontramos

〈−g, ϕ〉X′×X =n∑

dx− 〈h, ϕ〉Z′×Z , ∀ϕ ∈ X. (3.9)

Os vetores g ∈ X ′ e h ∈ Z ′ verificando (3.9) são únicos. Assim, provamos que paracada u ∈ E existem únicos g ∈ X ′ e h ∈ Z ′ satisfazendo (3.9). Usaremos a notaçãog = 4u e h = ∂u

∂ν.

Assim, provamos que para cada u ∈ E existe h ∈ Z ′ tal que (3.9) é verificado.Tomando o limite em (3.7) e usando as convergências (3.5) e (3.8) encontramos∣∣∣ ⟨∂u

∂ν, ξ⟩

Z′×Z

∣∣∣ ≤ C‖4u‖X′‖ξ‖Z + ‖u‖‖ξ‖Z , ∀ξ ∈ Z,

isto é, ∥∥∥∂u∂ν

∥∥∥Z′≤ C‖u‖E.

Logo, com as considerações acima estabelecemos o seguinte teorema de traço:

Teorema 3.1 Existe uma aplicação linear e contínua

γ1 : E → Z ′

tal queγ1u =

∂ν, ∀u ∈ E .

Além disso,

〈−4u, ϕ〉X′×X = ((u, ϕ))− 〈γ1u, ϕ〉Z′×Z , ∀u ∈ E e ∀ϕ ∈ X.

Com a finalidade de obter resultados de traço para funções que dependem de x e t,introduzimos alguns resultados prévios.

Lema 3.2.1 Tem-se que as imersões

X = W 2,p(Ω) ∩W 1,pΓ0

(Ω) → V ∩H2(Ω) → V → L2(Ω),

são densas.

Demonstração: Seja u ∈ V ∩H2(Ω). Dado ε > 0 então existem

f1 ∈ Lp(Ω) tal que |f − f1| < ε

eg1 ∈ W 1− 1

p,p(Γ1) tal que ‖g − g1‖H

12 (Γ1)

Consideremos o seguinte problema:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∆u1 = f1 sobre Ω

u1 = 0 sobre Γ0

∂ν= g1 sobre Γ1

Então a solução do problema (P ), u1 ∈ W 2,p(Ω)∩W 1,pΓ0

(Ω). Então (cf em M.Milla Mirandae L.A. Medeiros [36]) tem-se

‖u− u1‖2V ∩H2(Ω) = |f − f1|2 + ‖g − g1‖2

H12 (Γ1)

< 2ε2,

o que prova que X é denso em V ∩H2(Ω).

Para mostrar que V ∩H2(Ω) é denso em V, basta notar que D(−4) ⊂ V ∩H2(Ω) e queD(−4) é denso em V. Como V é denso em L2(Ω), segue-se o lema.

Fixamos um número real arbitrário T > 0. Introduzimos os seguintes espaços :

X = W 2,p0 (0, T ;X), X ′ = W−2,p′(0, T ;X ′)

Y = L2(0, T ;V )

Z = W 2,p0 (0, T ;Z), Z ′ = W−2,p′(0, T ;Z ′).

Pelo Lema 3.2.1 e por (3.3) obtém-se que as aplicações

X → Y e X → Z (3.10)

são contínuas. Também do Lema 3.2.1 e identificando L2(0, T ;L2(Ω)) com seu dualresulta

X → L2(0, T ;L2(Ω)) → X ′ (3.11)

Considere o espaço

E = u ∈ Y ;4u ∈ L2(0, T ;L2(Ω)),

equipado com a norma‖u‖

bE = ‖u‖Y + ‖4u‖X ′ .

Por (3.11) esta norma está bem definida. Considere E como um subespaço de Y × X ′.

Denote por E o fecho de E em Y × X ′.

Seja u ∈ E. Então, existe uma sequência de vetores (uη) de E tal que∣∣∣∣∣ uη → u em Y4uη → g em X ′.

Pelos mesmos argumentos do Teorema 3.1 tem-se que g é único e

‖u‖bE = ‖u‖Y + ‖g‖X ′ . (3.12)

Com estas considerações obtemos o seguinte teorema:

Teorema 3.2 Existe uma aplicação linear e contínua

γ1 : E → Z ′

tal queγ1u =

∂ν, ∀u ∈ E .

Além disso,

〈−4u,w〉X ′×X = (u,w)Y − 〈γ1u,w〉Z′×Z , ∀u ∈ E e ∀w ∈ X .

Demonstração: Note que o conjunto

θ(t)v; θ ∈ D(0, T ), v ∈ X é total em E.

Com efeito, identificando, por meio do Teorema de Riesz, L2(Ω) com seu dual (L2(Ω))′,

resultaX → V → L2(Ω) → V ′ → X ′ (3.13)

e, identificando L2(0, T ;L2(Ω)) com seu dual (L2(0, T ;L2(Ω)))′,

X → Y → L2(0, T ;L2(Ω)) → Y ′ → X ′ (3.14)

Em cada cadeia de imersões um espaço é denso no seguinte.Note que se R ∈ E ′ então R = S + U onde

S ∈ Y ′ = (L2(0, T ;V ))′ = L2(0, T ;V ′)

eU ∈ (W−2,p′(0, T ;X ′))′ = W 2,p

0 (0, T ;X) = X .

Seja R ∈ E ′ tal que〈R, θv〉

bE′× bE = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X.

Então,

〈R, θv〉bE′× bE = 〈S, θv〉Y ′×Y + 〈U, θv〉X ′×X = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X.

Tem-se:〈S, θv〉Y ′×Y =

((S(t), θ(t)v))dt

e pela cadeia (3.14),

〈U, θv〉X ′×X = 〈U, θv〉Y ′×Y =

((U(t), θ(t)v))dt

〈R, θv〉bE′× bE =

((S(t), θ(t)v))dt+

((U(t), θ(t)v))dt =

((S(t) + U(t), v))θ(t)dt = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X

A última integral implica

((S(t) + U(t), v)) = 0, ∀v ∈ X, q.t. t ∈ (0, T ).

Fixando t ∈ (0, T ), segue-se por densidade ( ver cadeia (3.13))

((S(t) + U(t), v)) = 0,∀v ∈ V,

o que implicaS(t) + U(t) = 0, q.t.t ∈ (0, T ).

Assim, R = S + U = 0, o que mostra nossa afirmação.Observe também que D(0, T ;X) é denso em W 2,p

0 (0, T ;X) = X . Pelo Teorema 3.1,

para θ ∈ D(0, T ), v ∈ X e ψ ∈ D(0, T ;X) resulta∫ T

〈−4(θ(t)v), ψ(t)〉X′×X dt =

((θ(t)v, ψ(t)))dt−∫ T

〈γ1(θ(t)v), ψ(t)〉Z′×Z dt,

isto é,〈−4(θv), ψ〉X ′×X = (θv, ψ)Y − 〈γ1(θv), ψ〉Z′×Z .

Por densidade, usando as aplicações contínuas (3.10) e argumentos análogos aos doTeorema 3.1, obtém-se que existe um único h ∈ Z ′ tal que

〈−g, w〉X ′×X = (u,w)Y − 〈h, w〉Z′×Z , ∀ w ∈ X .

Aqui g é dado por (3.12). Usando as notações

g = 4u e∂u

∂ν= h,

concluímos o teorema.

Observação 3.1 Note que:

(i) L1(0, T ;L1(Ω)) → W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′;

(ii) L1(0, T ;L1(Γ1)) → W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′.

Agora, pelo fato de W 2,p0 (0, T ;X) → W 2,p

0 (0, T ;L2(Ω)) e W 2,p0 (0, T ;X) ser denso em

W 2,p0 (0, T ;L2(Ω)) obtemos:

(iii) W−2,p′(0, T ;L2(Ω)) → W−2,p′(0, T ;X ′).

Mostraremos o item (i).

De fato, como 2p ≥ 2(n+ 1), obtemos

W 2,p(0, T ;W 2,p(Ω)) = W 2,p(Ω× [0, T ]) → C0(Ω× [0, T ]).

Portanto,W 2,p

0 (0, T ;X) → C0(Ω× [0, T ]).

Sejam v ∈ L1(0, T ;L1(Ω)) e ϕ ∈ W 2,p0 (0, T ;X). Então,

〈v, ϕ〉 =

v(x, t)ϕ(x, t)dxdt.

Assim,

|〈v, ϕ〉| ≤ C‖v‖L1(0,T ;L1(Ω))‖ϕ‖C0(Ω×[0,T ]) ≤ C‖v‖L1(0,T ;L1(Ω))‖ϕ‖W 2,p0 (0,T ;X),

o que implica v ∈ W−2,p′(0, T ;X ′) e

‖v‖W−2,p′ (0,T ;X′) ≤ c‖v‖L1(0,T ;L1(Ω)).

Analogamente obtemos L1(0, T ;L1(Γ1)) → W−2,p′(0, T ;Z ′).

Ainda do fato de(2− 1

)p = 2p− 1 > n resulta que

Z = W 2,p0 (0, T ;W 2− 1

p,p(Γ1)) → W

2− 1p,p

0 (0, T ;W 2− 1p,p(Γ1)) → C0(Γ1 × [0, T ]). (3.15)

Utilizando (3.15) e seguindo o mesmo raciocínio adotado logo acima, obtemos:

‖v‖W−2,p′ (0,T ;Z′) ≤ C‖v‖L1(0,T ;L1(Γ1)).

3.3 Lema da Aproximação.

Aproximações para a função h.

Seja h ∈ C0(R;L∞(Γ1)) tal que:

(i) h(x, s) é não decrescente em s para quase todo x em Γ1;

(ii) h(x, 0) = 0 para quase todo x em Γ1;

(iii) [h(x, s)− h(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2, ∀ s, r ∈ R e para quase todo x ∈ Γ1,

onde d0 > 0 é uma constante.Considere h ∈ C0(R;L∞(Γ1)). Por conveniência na escrita, usaremos a notação

h(x, r), (x ∈ Γ1, r ∈ R) ao invés de h(r, x).

Exemplos : (1.) A função h(x, s) = β(x)h1(s) onde

h1(s) = C1s+ C2|s|σ, σ > −1, C1 > 0 e C2 ≥ 0,

e β ∈ L∞(Γ1) tem as propriedades (i)-(iii) acima.

(2.) A função h(x, s) = β(x)h1(s), onde h1(s) = sens + 2s e β ∈ L∞(Γ1) com β(x) ≥β0 > 0 tem as propriedades (i)-(iii) acima.

Nesta seção adaptamos a aproximação de Strass [44] para obter aproximações parafunção h satisfazendo as propriedades (i)-(iii) acima.

Para nossos propósitos necessitaremos do seguinte lema.

Lema 3.3.1 Seja h ∈ C0(R;L∞(Γ1)) verificando as condições (i)-(ii) e h(x, s) satisfaza condição

[h(x, s)− h(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2,

para todo s, r ∈ R e para quase todo x ∈ Γ1, onde d0 > 0 é uma constante. Então, existeuma sequência (hl) de vetores de C0(R;L∞(Γ1)) tal que para cada l verifica-se :(i) hl(x, s) é globalmente lipschitiziana em s para quase todo x ∈ Γ1.

(ii) hl(x, s) é não decrescente em s, para q.t.p x em Γ1;

(iii) hl(x, 0) = 0 para q.t.p x em Γ1;

(iv) h′l(x, s) ≥ d0 q.t.p. x ∈ Γ1 e q.t.p. s ∈ R;

(v) [hl(x, s)− hl(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x em Γ1.

(vi) Existe uma função Cl em L∞(Γ1) satisfazendo

|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ Cl|s− r|, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ1.

Além disso, (hl) converge para h uniformemente sobre conjuntos limitados da reta,para quase todo x ∈ Γ1.

Demonstração: Para cada l ∈ N definimos:

hl(x, s) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

C1l(x)s, se 0 ≤ s ≤ 1l

∫ s+ 1l

h(x, τ)dτ, se1

l≤ s ≤ l

C2l(x)s, se s > l

C3l(x)s, se − 1l≤ s ≤ 0

−l∫ s

s− 1l

h(x, τ)dτ, se − l ≤ s ≤ −1

C4l(x)s, se s < −l,

onde ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

C1l(x) = l2∫ 2

h(x, τ)dτ

∫ l+ 1l

h(x, τ)dτ

C3l(x) = −l2∫ − 1

− 2l

h(x, τ)dτ

C4l(x) = −∫ −l

−l− 1l

h(x, τ)dτ.

A sequência (hl) tem as propriedades desejadas. Provaremos os itens (v) e (vi). Osoutros itens são obtidos diretamente. Mostraremos (v). Isto é feito em vários casos:

Note que

[h(x, s)− h(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2,∀s, r ∈ R, q.t.p x ∈ Γ1,

é equivalente a

[h(x, s)− h(x, r)] ≥ d0(s− r),∀s ≥ r, q.t.p x ∈ Γ1.

Analizaremos hl(x, s) com s ∈ Ij, sendo I1 = (−∞,−l], I2 = [−l,−1l], I3 = [−1

l, 0], I4 =

[0, 1l], I5 = [1

l, l] e I6 = [l,∞).

Note inicialmente que se τ < 0, então −h(x, τ) ≥ −d0τ.

10 Caso: s1 < s2 ≤ −l

hl(x, s2)− hl(x, s1) = Cl4(x)(s2 − s1) =

[−∫ −l

−l− 1l

h(x, τ)dτ

](s2 − s1) =[∫ l

−l− 1l

−h(x, τ)dτ

](s2 − s1) ≥

[−d0

∣∣∣−l

−l− 1l

](s2 − s1) =

[(−l)2 −

(−l − 1

= −d0

2(−2− 1

l2)(s2 − s1) ≥ d0(s2 − s1).

Portanto,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.16)

20 Caso: −l ≤ s1 < s2 ≤ −1l

hl(x, s2)− hl(x, s1) =∂hl

∂s(x, s∗)(s2 − s1) = l

[h(x, s∗)− h(x, s∗ − 1

](s2 − s1) ≥

ld0[s∗ − (s∗ − 1

l)](s2 − s1)) = d0(s2 − s1)

Logo,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.17)

30 Caso: −1l≤ s1 < s2 ≤ 0

hl(x, s2)− hl(x, s1) =

[−l2

∫ − 1l

− 2l

h(x, τ)dτ

](s2 − s1) ≥ −

∣∣∣− 1l

− 2l

](s2 − s1) =

−l2d0

(− 3

)(s2 − s1) =

2d0(s2 − s1)

Consequentemente,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.18)

40 Caso: 0 ≤ s1 < s2 ≤ 1l

hl(x, s2)− hl(x, s1) =

[l2∫ 2

h(x, τ)dτ

](s2 − s1) ≥

2τ 2∣∣∣ 2l

(s2 − s1) =3

2d0(s2 − s1)

Sendo assim,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.19)

50 Caso: 1l≤ s1 < s2 ≤ l

hl(x, s2)− hl(x, s1) =∂hl

∂s(x, s∗)(s2 − s1) = l

[h(x, s∗ +

l)− h(x, s∗)

](s2 − s1) ≥

(s∗ +

l− s∗

)(s2 − s1) = d0(s2 − s1)

Portanto,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.20)

60 Caso: l ≤ s1 < s2

hl(x, s2)− hl(x, s1) =

∫ l+ 1l

h(x, τ)dτ(s2 − s1)) ≥

d0τ 2

∣∣∣l+ 1l

l(s2 − s1) = d0(2 +

l2)(s2 − s1) ≥ 2d0(s2 − s1)

Logo,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.21)

Vamos agora supor que r ∈ Ii e s ∈ Ij com i < j. Então, usando (3.16)-(3.21)

obtemos:

hl(x, s)− hl(x, r) = [hl(x, s)− hl(x, aj−1)] + [hl(x, aj−1)− kl(x, aj−2)]+

+ . . .+ [hl(x, ai)− hl(x, r)] ≥ d0(s− aj−1) + d0(aj−1 − aj−2) + . . .+ d0(ai − r) =

= d0(s− r)

Portanto,[hl(x, s)− hl(x, r)] ≥ d0(s− r), ∀s ≥ r, para q.t.p x ∈ Γ1, (3.22)

ou equivalentemente,

[hl(x, s)− hl(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ1.

Mostraremos agora o item (vi).

Note inicialmente que as funções hl são contínuas nos intervalos Ij, onde I1 = (−∞,−l], I2 =

[−l,−1l], I3 = [−1

l, 0], I4 = [0, 1

l], I5 = [1

l, l] e I6 = [l,∞).

Agora vamos provar que para cada l, que (hl) é uma função lipschitziana em Ij paraquase todo x ∈ Γ1. Isto será feito em seis casos:

Temos h ∈ L∞([−l − 1, l + 1];L∞(Γ1)) = L∞(Γ1 × [−l − 1, l + 1]).

Denotamos porCl = sup

x∈Γ1−l−1≤s≤l+1

|h(x, s)| <∞.

10 Caso : Se r < s com s, r ∈ I1 = (−∞,−l], temos:

|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣Cl4(x)

∣∣∣|s− r| ≤

≤∫ −l

−l− 1l

|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ Cl

[−l −

(−l − 1

)]|s− r| = 1

lCl|s− r|.

Portanto,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤

lCl|s− r| ≤ 2lCl|s− r|.

20 Caso : Se r < s com s, r ∈ I2 = [−l,−1l], temos:

|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣∂hl

∂s(x, s∗)

∣∣∣|s− r| = l∣∣∣h(x, s∗)− h(x, s∗ − 1

l)∣∣∣|s− r| ≤

≤ 2lCl|s− r|.

Logo,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.

30 Caso : Se r < s com s, r ∈ I3 = [−1l, 0], temos:

|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣C3l(x)

∣∣∣(s− r) ≤

≤ l2∫ − 1

− 2l

|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ l2Cl

l−(−2

)]|s− r| = 2lCl|s− r|.

Consequentemente,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.

40 Caso : Se r < s com s, r ∈ I4 = [0, 1l], temos:

|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣C1l(x)

∣∣∣s− r| ≤

≤ l2∫ 2

|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ l21

lCl|s− r| = lCl|s− r|.

Sendo assim,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.

50 Caso : Se r < s com s, r ∈ I5 = [1l, l], temos

|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣∂hl

∂s(x, s∗)

∣∣∣|s− r| = l∣∣∣h(x, s∗ +

l)− h(x, s∗)

∣∣∣|s− r| ≤

≤ 2lCl|s− r|.

Portanto,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.

60 Caso : Se r < s com s, r ∈ I6 = [l,∞), temos:

|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣C2l(x)

∣∣∣|s− r| ≤∫ l+ 1l

|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ Cl

l− l

]|s− r| = 1

lCl|s− r|.

Logo,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.

Considere r ∈ Ii, s ∈ Ij com i < j. Então, segue-se dos casos 10 a 60 acima que:

|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ |hl(x, s)− hl(aj−1)|+ |hl(x, aj−1)− hl(x, aj−2)|+

+ . . .+ |hl(x, r)− hl(ai−1)| ≤

≤ 2lCl|s− aj−1|+ 2lCl|aj−1 − aj−2|+ . . .+ 2lCl|r − ai−1| ≤ 2lCl|s− r|.

Portanto,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|r − s|,

o que mostra o item (vi) do lema.Mostraremos que hl → h converge uniformemente sobre conjuntos limitados da reta,

para quase todo x ∈ Γ1.

Seja S um conjunto limitado da reta. Então, existe l0 tal que |s| ≤ l0 para todo s ∈ S.Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, se |s− r| < δ, e s, r ∈ [−l0 − 1, l0 + 1], então

‖h(., s)− h(., r)‖L∞(Γ1) < ε,

isto é,supx∈Γ1

|h(x, s)− h(x, r)| < ε. (3.23)

Considere l12> 1

δ. Seja l ≥ maxl0, l1. Calcula-se

|hl(x, s)− h(x, s)|, |s| ≤ l0.

(i) Seja 1l≤ s ≤ l0. Então, 1

l≤ s ≤ l. Tem-se pelo Teorema do Valor Médio para Integral

hl(x, s)− h(x, s) = l

∫ s+ 1l

h(x, τ)dτ − h(x, s) =

= lh(x, τ ∗)1l− h(x, s) = h(x, τ ∗)− h(x, s),

onde s ≤ τ ∗ ≤ s+ 1l< s+ l. Decorre de (3.23) que

supx∈Γ1

|hl(x, s)− h(x, r)| < ε.

(ii) Seja 0 ≤ s < 1l. Tem-se

hl(x, s)− h(x, s) =

(l2∫ 2

h(x, τ)dτ

)s− h(x, s) = lh(x, τ ∗)s− h(x, s),

onde 1l≤ τ ∗ ≤ 2

l, o que implica

|hl(x, s)− h(x, s)| ≤ |hl(x, s)|+ |h(x, s)| ≤ |h(x, τ ∗)|+ |h(x, s)|.

Sendo 0 ≤ τ ∗ ≤ 2l< 2

l1< δ e 0 ≤ s ≤ 1

l1< δ resulta de (3.23) que

supx∈Γ1

|h(x, τ ∗)| < ε e supx∈Γ1

|h(x, s)| < ε.

Como, 0 ≤ s ≤ l0 concluímos que

supx∈Γ1

|hl(x, s)− h(x, s)| < 2ε, ∀l ≥ maxl0, l1.

Para −l0 ≤ s ≤ 0, e utilizando os mesmos argumentos, obtém-se resultado seme-lhante.

Portanto, hl → h uniformemente sobre conjuntos limitados de R, para quase todox ∈ Γ1.

3.4 Existência de Solução.

Vamos assumir as seguintes hipóteses:

(H1) Ω é um aberto limitado do R3 com fronteira Γ de classe C2.

(H2) Sejam hi ∈ C0(R;L∞(Γ1)), i = 1, 2 com hi(x, s) não decrescente em s para q.t.px em Γ1, hi(x, 0) = 0 para q.t.p. x em Γ1 e hi fortemente monótona em s, para q.t.px em Γ1, isto é,

[hi(x, s)− hi(x, r)](s− r) ≥ di(s− r)2, ∀ s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ1 (di > 0).

(H3) u0, v0 ∈ (D(−∆))2, u1, v1 ∈ (H10 (Ω))2.

Com estas hipóteses garantimos o seguinte teorema:

Teorema 3.3 Assuma as hipóteses (H1)-(H3). Então, existe um par de funções u, vna classe

u, v em (L∞loc(0,∞;V ))2 (3.24)

u′, v′ em (L∞loc(0,∞;V ))2 (3.25)

u′′, v′′ em (L∞loc(0,∞;L2(Ω)))2 (3.26)

satisfazendo as equações

u′′ −∆u+ αuv2 = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (3.27)

v′′ −∆v + αvu2 = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (3.28)

e satisfazendo∂u

∂ν+ h1(., u

′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)) (3.29)

∂ν+ h2(., v

′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)) (3.30)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω (3.31)

v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω. (3.32)

Demonstração: Para a prova, empregaremos o método de Galerkin com uma base es-pecial em V ∩ H2(Ω). Considere a aproximação de Strauss (h1l) e (h2l) de (h1) e (h2),

respectivamente. Então, pelo Lema 3.3.1, temos:

(i) (h1l), (h2l) são funções globalmente lipschitianas;

(ii) [hil(x, s)− hil(x, r)](s− r) ≥ di(s− r)2,∀s, r ∈ R e para q.t.p.x ∈ Γ1, com i = 1, 2;

(iii) hil converge para hi uniformemente sobre conjuntos limitados da reta para quasetodo x ∈ Γ1, i = 1, 2.

Considere (u1l ) e (v1

l ) sequências em D(Ω) tais que∣∣∣∣∣∣u1

l → u1 em H10 (Ω)

v1l → v1 em H1

0 (Ω)(3.33)

Note que ∣∣∣∣∣∣∣∣∂u0

∂ν+ h1l(x, u

1l ) = 0 sobre Γ1, ∀l

∂ν+ h2l(x, v

1l ) = 0 sobre Γ1, ∀l

(3.34)

Fixemos l. Seja wl1, w

l3 e wl

4 uma base do subespaço de V ∩ H2(Ω) gerado poru0, v0, u1

l e v1l . Pelo processo de Gram-Schmidt construímos uma base

wl1, w

l4, . . . , ,

de V ∩H2(Ω). Seja V lm = [w1,

l , . . . , wlm] o subespaço de V ∩H2(Ω) gerado por wl

1, . . . , wlm.

Determinamos as soluções aproximadas ulm(t), vlm(t) ∈ V lm do Problema (3.35), isto

ulm(t) =m∑

gjlm(t)wlj e vlm(t) =

m∑j=1

hjlm(t)wlj,

onde gjlm(t) e hjlm(t) são definidas pelo o sistema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(u′′lm(t), ϕ) + ((ulm(t), ϕ)) + α(ulm(t)v2lm(t), ϕ) +

∫Γ1

h1l(x, u′lm(t))ϕdΓ = 0,

∀ϕ ∈ V lm

(v′′lm(t), ψ) + ((vlm(t), ψ)) + α(vlm(t)u2lm(t), ψ) +

∫Γ1

h2(x, v′lm(t))ψdΓ = 0,

∀ψ ∈ V lm

ulm(0) = u0, u′lm(0) = u1l em Ω

vlm(0) = v0, v′lm(0) = v1l em Ω.

(3.35)

O sistema (3.35) possui uma solução ulm(t), vlm(t) definida sobre [0, tlm), a qualpode ser extendida pela primeira estimativa a seguir sobre o intervalo [0,∞).

Estimativa 3.4.1 Considerando ϕ = u′lm(t) e ψ = v′lm(t) em (3.35)1 e (3.35)2, respecti-vamente, e adicionando ambas as equações resulta:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

dt|u′lm(t)|2 +

dt‖ulm(t)‖2 +

dt|v′lm(t)|2 +

dt‖vlm(t)‖2+

|vlm(t)|2 ddt|ulm(t)|2dx+

|ulm(t)|2 ddt|vlm(t)|2dx+

∫Γ1

h1l(x, u′lm(t))u′lm(t)dΓ +

∫Γ1

h2l(x, v′lm(t))v′lm(t)dΓ = 0.

(3.36)

Notemos que

|vlm(t)|2 ddt|ulm(t)|2dx+

|ulm(t)|2 ddt|vlm(t)|2dx =

dt|ulm(t)vlm(t)|2dx.

Substituindo a última igualdade em (3.36) e integrando sobre [0, t), 0 ≤ t ≤ tlm,

obtemos:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2|u′lm(t)|2 +

2‖ulm(t)‖2 +

2|v′lm(t)|2 +

2‖vlm(t)‖2 +

2|ulm(t)vlm(t)|2+

∫Γ1

h1l(x, u′lm(s))u′lm(s)dΓds+

∫Γ1

h2l(x, v′lm(s))v′lm(s)dΓds =

2|u′lm(0)|2 +

2‖ulm(0)‖2 +

2|v′lm(0)|2 +

2‖vlm(0)‖2 +

2|u0v0|2.

(3.37)

Inicialmente notemos que da desigualdade de Holder e da imersão V → L4(Ω), poisn ≤ 3 obtemos:∫

|ulm(0)vlm(0)|2dx ≤(∫

|ulm(0)|4dx) 1

|vlm(0)|4dx) 1

= ‖ulm(0)‖2L4(Ω)‖vlm(0)‖2

L4(Ω) ≤ ‖ulm(0)‖2‖vlm(0)‖2 ≤ C.

(3.38)

Desta última desigualdade, do fato que as funções hil satifazem as propriedades,hil(x, s)s ≥ dis

2, q.t.p. x ∈ Γ1, ∀s ∈ R e das convergências (3.33)1 e (3.33)2, obtemos:

2|u′lm(t)|2 +

2‖ulm(t)‖2 +

2|v′lm(t)|2 +

2‖vlm(t)‖2 +

2|ulm(t)vlm(t)|2+

∫Γ1

|u′lm(s)|2dΓds+ d2

∫Γ1

|v′lm(s)|2dΓds ≤

2|u′lm(0)|2 +

2‖ulm(0)‖2 +

2|v′lm(0)|2 +

2‖vlm(0)‖2 +

2|ulm(0)vlm(0)|2 <

2|u1|2 +

2‖u0‖2 +

2|v1|2 +

2‖v0‖2 +

2‖u0‖2‖v0‖2 + 1

]= N1, ∀l ≥ l0,

(3.39)

onde N1 é uma constante independente de l,m e t, ∀l ≥ l0.

Portanto,(ulm) é limitada em L∞(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m (3.40)

(vlm) é limitada em L∞(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m (3.41)

(u′lm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.42)

(v′lm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.43)

(ulmvlm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.44)

(u′lm) é limitada em L2(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.45)

(v′lm) é limitada em L2(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0, ∀m. (3.46)

Com as estimativas (3.40) e (3.41) podemos prolongar a solução aproximada ulm(t), vlm(t)ao intervalo [0,∞).

Observação 3.2 Primeiro mostraremos que (u′′lm(0)) e (v′′lm(0)) são limitadas em L2(Ω).

De fato, tomando t = 0 na equação aproximada (3.35)1 e usando a fórmula de Green e a

condição de fronteira∂u0

∂ν+ h1l(u

1l ) = 0 sobre Γ1, obtemos:

(u′′lm(0), ϕ) + (∆ulm(0), ϕ) + α(ulm(0)v2lm(0), ϕ) = 0. (3.47)

Tomando ϕ = u′′lm(0) em (3.47), temos:

|u′′lm(0)| ≤ |∆ulm(0)|+ α|ulm(0)v2lm(0)|. (3.48)

Utilizando a desigualdade de Holder com 13

= 1 e o Teorema de Sobolev paragarantir a imersão de V → L6(Ω), obtemos:

|ulm(0)v2lm(0)|2 =

|ulm(x, 0)v2lm(x, 0)|2dx ≤

≤ ‖ulm(0)‖2L6(Ω)‖vlm(0)‖2

L6(Ω)‖ulm(0)‖2L6(Ω) ≤

≤ C1‖ulm(0)‖2‖vlm(0)‖4 = C1‖u0‖2‖v0‖4 ≤ C,

(3.49)

onde C é uma constante independente de l e m.Desta desigualdade e de (3.48) resulta que

(u′′lm(0)) é limitada em L2(Ω), ∀l,m.

Analogamente obtemos

(v′′lm(0)) é limitada em L2(Ω), ∀l,m.

Usando o mesmo argumento para obter (3.49) e fazendo uso da primeira estimativamostra-se que:

(ulmv2lm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0 (3.50)

(vlmu2lm) é limitada em L2(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0. (3.51)

Considerando a derivada com respeito a t da equação aproximada (3.35)1, (3.35)2 eem seguida, considerando ϕ = u′′lm(t) e ψ = v′′lm(t), obtemos:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

dt|u′′lm(t)|2 +

dt‖u′lm(t)‖2 + (u′lm(t)v2

lm(t), u′′lm(t)) + 2α(ulm(t)vlm(t)v′lm(t), u′′lm(t))+

∫Γ1

(u′′lm(t))2h′1l(x, u′lm(t))dΓ = 0,

dt|v′′lm(t)|2 +

dt‖v′lm(t)‖2 + (v′lm(t)u2

lm(t), v′′lm(t)) + 2α(vlm(t)ulm(t)u′lm(t), v′′lm(t))+

∫Γ1

(v′′lm(t))2h′2l(x, v′lm(t))dΓ = 0.

(3.52)Nosso objetivo é obter limitações a partir de (3.52)1 e (3.52)2.

A seguir analizaremos o termo: (u′lm(t)v2lm(t), u′′lm(t)).

Usando a desigualdade de Holder com 16

= 1, o Teorema de Imersão deSobolev para a imersão V → L6(Ω), e a primeira estimativa, obtemos:

(u′lm(t)v2lm(t), u′′lm(t)) =

u′lm(t)v2lm(t)u′′lm(t)dx ≤

≤∫

|u′lm(t)||vlm(t)|2|u′′lm(t)|dx ≤

≤ ‖u′lm(t)‖L6(Ω)‖vlm(t)‖2L6(Ω)|u′lm(t)| ≤

≤ C‖u′lm(t)‖|u′′lm(t)| ≤ C(‖u′lm(t)‖2 + |u′′lm(t)|2),

(3.53)

onde C representa as várias constantes independentes de l e m.Analogamente obtemos:

|(v′lm(t)u2lm(t), v′′lm(t))| ≤ C(‖v′lm(t)‖2 + |v′′lm(t)|2). (3.54)

Agora analizaremos: (ulm(t)vlm(t)v′lm(t), u′′lm(t)).

Aplicando os mesmos argumentos usados na obtenção de (3.53), obtemos:

|(ulm(t)vlm(t)v′lm(t), u′′lm(t))| ≤

≤ ‖ulm(t)‖L6(Ω)‖vlm(t)‖L6(Ω)‖v′lm(t)‖L6(Ω)|u′′lm(t)| ≤

≤ C(‖v′lm(t)‖|u′lm(t)|) ≤ C(‖v′lm(t)‖2 + |u′lm(t)|2).

(3.55)

De forma análoga, obtém-se:

|(vlm(t)ulm(t)u′lm(t), v′′lm(t))| ≤ C(‖u′lm(t)‖2 + |v′′lm(t)|2). (3.56)

Integrando (3.52)1 e (3.52)2 de 0 a t, adicionado ambas as equações, usando as de-sigualdades (3.53) -(3.56) e o fato que h′1l(x, s) ≥ d1, h

′2l(x, s) ≥ d2 para q.t.p. x ∈ Γ1 e

para q.t.p. s ∈ R, obtemos:

2[|u′′lm(t)|2 + |v′′lm(t)|2 + ‖u′lm(t)‖2 + ‖v′lm(t)‖2]+

∫Γ1

(u′′lm(s))2dΓds+ d2

∫Γ1

(v′′lm(s))2dΓds ≤

2[|u′′lm(0)|2 + |v′′lm(0)|2 + ‖u′lm(0)‖2 + ‖v′lm(0)‖2]+

C[|u′′lm(s)|2 + |v′′lm(s)|2 + ‖u′lm(s)‖2 + ‖v′lm(s)‖2]ds.

(3.57)

Notando que (u′′lm(0)) e (v′′lm(0)) são limitadas em L2(Ω), segue-se das convergências(3.33)1 e (3.33)2, que (u′lm(0)) e (v′lm(0)) são limitadas em V. Portanto, destes fatos, dadesigualdade acima e da desigualdade de Gronwall obtemos:

2[|u′′lm(t)|2 + |u′′lm(t)|2 + ‖u′lm(t)‖2 + ‖v′lm(t)‖2]+

∫Γ1

(u′lm(s))2dΓds+ d2

∫Γ1

(v′lm(s))2dΓds ≤ C,(3.58)

onde C é uma constante independente de l,m, l ≥ l0, ∀t ∈ [0, T ].

Portanto a partir de (3.58), obtemos:

(u′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0,∀m (3.59)

(v′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0,∀m (3.60)

(u′′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0,∀m (3.61)

(v′′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0,∀m (3.62)

(u′′lm) é limitada em L2loc(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0,∀m (3.63)

(v′′lm) é limitada em L2loc(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0,∀m. (3.64)

O índice l está fixado. As estimativas (3.40) - (3.46) e as estimativas (3.59) - (3.64),

permitem pelo processo diagonal obter subsequências de (ulm) e (vlm), as quais ainda

serão denotadas por (ulm), (vlm), e funções ul, vl : Ω× (0,∞) → R satisfazendo:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ulm∗ ul em L∞(0,∞;V )

vlm∗ vl em L∞(0,∞;V )

u′lm∗ u′l em L∞loc(0,∞;V )

v′lm∗ v′l em L∞loc(0,∞;V )

u′′lm∗ u′′l em L∞loc(0,∞;L2(Ω))

v′′lm∗ v′′l em L∞loc(0,∞;L2(Ω))

u′lm u′l em L2(0,∞;L2(Γ1))

v′lm v′l em L2(0,∞;L2(Γ1))

u′′lm u′′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1))

v′′lm v′′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1)).

(3.65)

A partir de (3.65)3, (3.65)4 e do Teorema do Traço de ordem zero, obtemos:

u′lm∗ u′l em L∞loc(0,∞;H

12 (Γ1)) (3.66)

v′lm∗ v′l em L∞loc(0,∞;H

12 (Γ1)). (3.67)

Por (3.63), (3.66) e do Teorema de Aubin-Lions concluímos que existe uma subse-quência de (u′lm), a qual ainda será denota por (u′lm), tal que

u′lm → u′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.68)

Seguindo um raciocínio semelhante a partir de (3.64) e (3.67), obtemos:

v′lm → v′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.69)

Seja T > 0 um número real arbitrário. Pelo Lema 3.3.1 tem-se que (h1l) e (h2l) sãofunções lipschitizianas, e portanto, usando (3.68), obtemos:∫ T

[h1l(u′lm(x, t))− h1l(u

′l(x, t))|2dxdt ≤

≤ c21l

|(u′lm(x, t))− (u′l(x, t))|2dxdt =

= c21l‖u′lm − u′l‖L2(0,T ;L2(Ω)) → 0 quando m→∞.

Logo,h1l(., u

′lm) → h1l(., u

′l) em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.70)

De maneira análoga obtemos:

h2l(., u′lm) → h2l(., u

′l) em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.71)

Novamente usando o fato que a imersão V → L2(Ω) é compacta, segue-se, a partirde (3.40), (3.41), (3.42), (3.43) e do Teorema de Aubin-Lions, que existem subsequênciasde (ulm) e (vlm), respectivamente, as quais ainda serão denotadas por (ulm) e (vlm), taisque

ulm → ul em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (3.72)

evlm → vl em L∞loc(0,∞;L2(Ω)). (3.73)

Seja T > 0 um número real arbitrário. Em particular, das convergências (3.72) e(3.73), obtemos:

ulm → ul q.s em Q = Ω× (0, T ) (3.74)

vlm → vl q.s em Q = Ω× (0, T ) (3.75)

e, portanto,ulmv

2lm → ulv

2l q.s em Q (3.76)

vlmu2lm → vlu

2l q.s em Q. (3.77)

Agora de (3.50), (3.51), (3.76), (3.77), e do Lema de Lions [24] resulta que:

ulmv2lm ulv

2l em L2

loc(0,∞;L2(Ω)) (3.78)

vlmu2lm vlu

2l em L2

loc(0,∞;L2(Ω)). (3.79)

Multiplicando as equações (3.35)1 e (3.35)2 por θ ∈ D(0,∞), integrando de 0 a ∞,

usando as convergências obtidas e a densidade de V lm em V ∩H2(Ω), obtemos:∫ ∞

(u′′l (s), ϕ)θ(s)ds+

∫ ∞

((ul(s), ϕ))θ(s)ds+ α

∫ ∞

(ul(s)v2l (s), ϕ)θ(s)ds+

∫ ∞

∫Γ1

h1l(x, u′l(s))ϕθ(s)dΓds = 0, ∀ϕ ∈ V, ∀θ ∈ D(0,∞),

(3.80)

e ∫ ∞

(v′′l (s), ψ)θ(s)ds+

∫ ∞

((vl(s), ψ))θ(s)ds+ α

∫ ∞

(vl(s)u2l (s), ψ)θ(s)ds+

∫ ∞

∫Γ1

h2l(x, v′l(s))ψθ(s)dΓds = 0, ∀ψ ∈ V, ∀θ ∈ D(0,∞).

(3.81)

Agora considerando ϕ, ψ ∈ D(Ω) e θ ∈ D(0, T ), resulta de (3.80) e (3.81) que:

u′′l −∆ul + αulv2l = 0 em D′(Q) (3.82)

v′′l −∆vl + αvlu2l = 0 em D′(Q). (3.83)

Já vimos que: u′′l , v′′l , ulv2l , vlu

2l pertence a L2(0, T ;L2(Ω)). Assim, segue-se de (3.82)

e (3.83) queu′′l −∆ul + αulv

2l = 0 em L2

loc(0,∞;L2(Ω)) (3.84)

v′′l −∆vl + αvlu2l = 0 em L2

loc(0,∞;L2(Ω)). (3.85)

Destas duas igualdades segue-se que ∆ul, ∆vl ∈ L2(0, T ;L2(Ω)). Como ul, vl ∈L2(0, T ;V ), obtemos (cf em M.Milla Miranda [37]) que ∂ul

∂ν, ∂vl

∂ν∈ L2(0, T ;H− 1

2 (Γ1)).

Multiplicando as equações (3.84) e (3.85) por ϕθ e ψθ com ϕ, ψ ∈ V e θ ∈ D(0,∞),

respectivamente, integrando de 0 a ∞ e usando a fórmula de Green, obtemos:∫ ∞

(u′′l (s), ϕ)θ(s)ds+

∫ ∞

((ul(s), ϕ))θ(s)ds+ α

∫ ∞

(ul(s)v2l (s), ϕ)θ(s)ds+

∫ ∞

⟨∂ul(s)

∂ν, ϕ

⟩θ(s)ds = 0,

(3.86)

onde 〈 ; 〉 representa a dualidade H− 12 (Γ1)×H

12 (Γ1).

Analogamente obtemos:∫ ∞

(v′′l (s), ψ)θ(s)ds+

∫ ∞

((vl(s), ψ))θ(s)ds+ α

∫ ∞

(vl(s)u2l (s), ψ)θ(s)ds+

∫ ∞

⟨∂vl(s)

∂ν, ψ

⟩θ(s)ds = 0.

(3.87)

Comparando (3.80) com (3.86) e (3.81) com (3.87), obtemos:

∂ν+ h1l(., u

′l) = 0 em L2(0, T ;H− 1

2 (Γ1)) (3.88)

∂ν+ h2l(., v

′l) = 0 em L2(0, T ;H− 1

2 (Γ1)). (3.89)

Como h1l(., u′l), h2l(., v

′l) ∈ L2(0, T ;L2(Γ1)), segue-se, de (3.88) e (3.89), que:

∂ν+ h1l(., u

′l) = 0 em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)) (3.90)

∂ν+ h2l(., v

′l) = 0 em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.91)

Observamos que as estimativas (3.40) - (3.46), (3.50) - (3.51) e (3.59)- (3.64) tambémestão asseguradas para todo l. Então, pelo mesmo processo usado na primeira parte da

demonstração de (3.65), obtemos pelo processo diagonal subsequências de (ul) e (vl), asquais ainda serão denotadas por (ul), (vl), e funções u, v : Ω× (0,∞) → R tais que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ul∗ u em L∞loc(0,∞;V )

vl∗ v em L∞loc(0,∞;V )

u′l∗ u′ em L∞loc(0,∞;V )

v′l∗ v′ em L∞loc(0,∞;V )

u′′l∗ u′′ em L∞loc(0,∞;L2(Ω))

v′′l∗ v′′ em L∞loc(0,∞;L2(Ω))

u′l u′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1))

v′l v′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1))

u′′l u′′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1))

v′′l v′′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1)).

(3.92)

Usando o mesmo argumento para encontrar (3.49) e as estimativas (3.92)1 e (3.92)2,

obtemos(ulv

2l ) é limitada em L∞loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0 (3.93)

(vlu2l ) é limitada em L2

loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0. (3.94)

Repetindo o mesmo raciocínio feito para obter (3.78) e (3.79), resulta que:

ulv2l uv2 em L2

loc(0,∞;L2(Ω)) (3.95)

vlu2l vu2 em L2

loc(0,∞;L2(Ω)). (3.96)

Usando as limitações (3.92)3, (3.92)4, e o Teorema do Traço de ordem zero, obtemos:

u′l∗ u em L∞loc(0,∞;H

12 (Γ1)) (3.97)

v′l∗ v em L∞loc(0,∞;H

12 (Γ1)) (3.98)

A partir de (3.92)9 e (3.97) segue-se pelo Teorema de Aubin-Lions que

u′l → u′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.99)

Analogamente de (3.92)10 e (3.98), obtemos:

v′l → v′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.100)

Seja T > 0 um número real arbitrário fixado. A partir de (3.99) e (3.100), obtemosem particular que

u′l(x, t) → u′(x, t) q.s em Σ1 = Γ1 × (0, T )

ev′l(x, t) → v′(x, t) q.s em Σ1 = Γ1 × (0, T ).

Fixe (x, t) ∈ Σ1. Então, (u′l(x, t)) e (v′l(x, t)) são conjuntos limitados na reta. Assim, pelaaproximação de Strauss obtemos:

h1l(x, u′l(x, t)) → h1(x, u

′l(x, t)) q.s em Σ1 = Γ1 × (0, T ), (3.101)

pois, h1l converge uniformemente para h1 sobre conjuntos limitado da reta para quasetodo ponto x ∈ Γ1.

Agora h1 sendo contínua, obtemos:

h1(x, u′l(x, t)) → h1(x, u

′(x, t)) q.s em Σ1. (3.102)

Assim de (3.101) e (3.102), obtemos:

h1l(x, u′l(x, t)) → h1(x, u

′(x, t)) q.s em Σ1. (3.103)

De forma análoga obtemos:

h2l(x, v′l(x, t)) → h2(x, v

′(x, t)) q.s em Σ1. (3.104)

A partir de (3.84) temos:

(u′′l (t), 2u′l(t)) + ((ul(t), 2u

′l(t))) + 2α(ul(t)v

2l (t)), u

′l(t))+

∫Γ1

h1l(x, u′l(t))u

′l(t)dΓ = 0,

ou ainda,∫Γ1

h1l(x, u′l(t))u

′l(t)dΓ = −1

dt|u′l(t)|2 −

dt‖ul(t)‖2 − α(ul(t)v

2l (t), u

′l(t)).

Notemos inicialmente que, como feito em (3.53) tem-se

|α(ul(t)v2l (t)), u

′l(t))| ≤ αC1(‖ul(t)‖2 + |u′l(t)|2).

Assim,∫ T

∫Γ1

h1l(x, u′l(t))u

′l(t)dΓdt ≤ −1

2|u′l(T )|2 +

l |2 −1

2‖ul(T )‖2 +

2‖u0‖2+

[‖ul(t)‖2 + |u′l(t)|2]dt ≤1

2|u′l(T )|2 +

l |2 +1

2‖ul(T )‖2 +

2‖u0‖2+

[‖ul(t)‖2 + |u′l(t)|2]dt.

Usando as convergências (3.92) na desigualdade acima, obtemos:∫ T

∫Γ1

h1l(x, u′l(t))u

′l(t)dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l0.

Note que h1l(x, s)s = |h1l(x, s)||s|.

Portanto, ∫ T

∫Γ1

|h1l(x, u′l(t))||u′l(t)|dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l0, (3.105)

onde C representa várias constantes independente de l e t ∈ [0, T ].

Analogamente obtemos∫ T

∫Γ1

|h2l(x, v′l(t))||v′l(t)|dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l0. (3.106)

Resulta de (3.103)-(3.106) e do Teorema de Strauss [44] que

h1l(., u′l) → h1(., u

′) em L1(Γ1 × (0, T )) (3.107)

eh2l(., v

′l) → h2(., u

′) em L1(Γ1 × (0, T )). (3.108)

Portanto, pela Observação 3.1, resulta que:

h1l(., u′l) → h1(., u

′) em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′ (3.109)

eh2l(., v

′l) → h2(., v

′) em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.110)

Vimos queu′l u′ em L2

loc(0,∞;V ). (3.111)

Como u′′l u′′ em L2loc(0,∞;L2(Ω)) e 1 < p′ < 2 tem-se que

u′′l u′′ em Lp′

loc(0,∞;L2(Ω))

e, portanto,u′′l u′′ em W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′.

Também por (3.92) e análogo raciocínio, obtém-se:

ulv2l uv2 em W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′.

4ul = u′′l + ulv2l 4u = u′′ + uv2 em W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′. (3.112)

Agora por (3.111), (3.112), resulta que

ul u em E. (3.113)

Então, pelo Teorema 3.2, obtemos:

γ1ul γ1u em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.114)

Assim de (3.109) e (3.114), obtemos:

∂ν+ h1l(., u

∂ν+ h1(., u

′) em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.115)

Logo,∂u

∂ν+ h1(., u

′) = 0 em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.116)

Agora usando o fato que L1(0, T ;L1(Γ1)) → W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′, obtemos:

∂ν+ h1(., u

′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)). (3.117)

De maneira análoga, obtemos:

∂ν+ h2(., v

′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)). (3.118)

Usando as convergências (3.92)5 e (3.95), segue-se a partir de (3.112) e do item (iii)

da Observação 3.1 que

u′′ −4u+ αuv2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω)). (3.119)

Analogamente, obtemos:

v′′ −4v + αvu2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω)). (3.120)

Por argumentos habituais mostra-se que: u(0) = u0, u′(0) = u1, v(0) = v0 e v′(0) =

Consideramos as seguintes hipóteses adicionais:

(H4) |h1(x, s)| ≤ d3|s|, q.t.p. x ∈ Γ1 e ∀ s ∈ R;

(H5) |h2(x, s)| ≤ d4|s|, q.t.p. x ∈ Γ1 e ∀ s ∈ R.

Com isso temos:

Corolário 1 Suponhamos as hipóteses do Teorema 3.3 mais (H4) e (H5). Então asolução u, v do sistema (∗) é única e satisfaz∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u ∈ L∞(0,∞;V ) ∩ L2loc(0,∞;H

32 (Ω))

v ∈ L∞(0,∞;V ) ∩ L2loc(0,∞;H

32 (Ω))

u′′ −∆u+ αuv2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω))

v′′ −∆v + αvu2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω))

∂ν+ h1(., u

′) = 0 em L2loc(0,∞;L2(Γ1))

∂ν+ h2(., v

′) = 0 em L2loc(0,∞;L2(Γ1)).

(3.121)

Demonstração: Usando a hipótese |h1(x, s)| ≤ d3|s|, obtemos pelo Lema 3.3.1 que|h1l(x, s)| ≤ 3

2d3|s| para todo s ∈ R e para q.t.p x ∈ Γ1. Logo desse fato e usando (3.92)3,

obtemos: ∫ T

∫Γ1

|h1l(x, u′l(x, s))|2dΓds ≤

∫Γ1

|u′l(x, s)|2dΓds ≤ C.

Logo,(h1l(., u

′l)) é limitada em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.122)

A partir de (3.103) e (3.122), resulta pelo Lema de Lions [24] que

h1l(., u′l)) h(., u′) em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.123)

Portanto de (3.117) e (3.123), obtemos:

∂ν+ h(., u′) = 0 em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.124)

Para completar a prova do Corolário 1 mostraremos que u ∈ L2loc(0,∞;H

32 (Ω)). Temos

que u é solução do seguinte problema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∆u = −u′′ − αuv2 em Q = Ω× (0, T )

u = 0 sobre Γ0 × [0, T ]

∂ν= −h1(., u

′) sobre Γ1 × [0, T ]

(3.125)

para todo número real T > 0. Sendo −∆u = −u′′ − αuv2 ∈ L2loc(0,∞;L2(Ω)) e ∂u

∂ν=

−h1(., u′) ∈ L2

loc(0,∞;L2(Γ1)), obtemos como feito em M.Milla Miranda e L.A. Medeiros[31] que u ∈ L2

loc(0,∞;H32 (Ω)). De forma análoga, mostra-se que v ∈ L2

loc(0,∞;H32 (Ω)).

Para provar a unicidade procede-se como feito na primeira estimativa.

3.5 Comportamento Assintótico

O principal objetivo desta seção é provar o decaimento exponencial da energia E(t)

associada a solução do sistema (∗). Esta energia é dada por

E(t) =1

[‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2 + |u′(t)|2 + |v′(t)|2 + α|u(t)v(t)|2

]. (3.126)

Seja ν a normal unitária exterior em x ∈ Γ1. Suponhamos que existe x0 ∈ Rn tais que

(H6) Γ0 = x ∈ Γ : m(x)ν(x) ≤ 0 e Γ1 = x ∈ Γ : m(x)ν(x) > 0.

Nesta parte consideraremos

h1(x, s) = m(x).ν(x)g1(s), ∀x ∈ Γ1, s ∈ R

h2(x, s) = m(x).ν(x)g2(s), ∀x ∈ Γ1, s ∈ R,

onde g1, g2 são funções contínuas tais que gi(0) = 0 e satisfazendo as propriedades

(H7) [gi(s)− gi(r)](s− r) ≥ di(s− r)2, i = 1, 2, ∀s, r ∈ R,

(H8) |gi(s)| ≤ di|s|, i = 3, 4, ∀s ∈ R.

Introduzimos as notações:

R = maxx∈Ω

‖m(x)‖, ‖w‖L6(Ω) ≤ c∗1‖w‖ ,∫

w2 ≤ K‖w‖2, ∀w ∈ V.

2|u1|2 +

2‖u0‖2 +

2|v1|2 +

2‖v0‖2 +

2‖u0‖2‖v0‖2 + 1

Por λ1 denotamos o primeiro autovalor do problema espectral ((w, v)) = λ(w, v), ∀v ∈V.

Antes de enunciarmos o teorema que estabeleçe o comportamento assintótico da en-ergia E(t), associada a solução do sistema (∗) mostraremos que ul(t) ∈ V ∩H2(Ω). Sendoassim, podemos aplicar o Lema 2.1 como feito em M.Milla Miranda e L.A.Medeiros [35]e a identidade de Rellich cf em V.Komornik e E.Zuazua [18] ou M.Milla Miranda e L.P.S.Gil Jutuca [38].

Vamos justificar que: ul ∈ L∞(0, T ;V ∩H2(Ω)).

Fixe l. Para o comportamento assintótico consideramos as sequências

h1l(x, s) = m(x).ν(x)g1l(s) e h2l(x, s) = m(x).ν(x)g2l(s),

sendo (gll) e (g2l) funções lipschitizianas com gll(0) = g2l(0) = 0, g1l → g1 e g2l → g2

convergindo uniformemente nos limitados da reta, onde

h1(x, s) = m(x).ν(x)g1(s) e h2(x, s) = m(x).ν(x)g2(s),

com g1 e g2 sendo funções contínuas satisfazendo as condições

[g1(s)− g1(r)](s− r) ≥ d1(s− r)2, ∀s, r ∈ R e |g1(s)| ≤ d3|s|, ∀s ∈ R,

e[g2(s)− g2(r)](s− r) ≥ d2(s− r)2, ∀s, r ∈ R e |g2(s)| ≤ d4|s|, ∀s ∈ R,

onde di, i = 1, 2, 3, 4, são constantes positivas.Notemos inicialmente que seguindo a mesma idéia da prova do Lema 3.3.1, tem-se

que|g1l(s)| ≤

2d3|s|, ∀s ∈ R. (3.127)

Analogamente obtém-se

|g2l(s)| ≤3

2d4|s|, ∀s ∈ R. (3.128)

Na segunda estimativa do Teorema 3.3 vimos que :

(u′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m (3.129)

(v′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m. (3.130)

Observação 3.3 A sequência (g1l) é a sequência de Strauss que aproxima g1. Sabemosque as funções (g1l) são lipschitizianas e g1l(0) = 0. Sendo u′lm(t) ∈ V tem-se pelaProposição 2.3, que g1l(u

′ml(t)) ∈ V. Então, pelo Teorema do Traço de ordem zero, obte-

mos g1l(u′ml(t)) ∈ H

12 (Γ1). Logo,

‖g1l(u′ml(t))‖H

12 (Γ1)

≤ Cl‖ulm(t)‖, ∀t ∈ [0, T ].

Como l está fixado, então pela limitação (3.129) obtemos que

(g1l(u′ml)) é limitada em L∞(0, T ;H

12 (Γ1)).

Portanto,

g1l(u′ml)

∗ χ em L∞(0, T ;H

12 (Γ1)) quando m→∞. (3.131)

Seguindo o mesmo raciocínio como feito na prova do Teorema 3.3,( usando (g1l) nolugar de (h1l) ) mostra-se que

g1l(u′ml) g1l(u

′l) em L2(0, T ;L2(Γ1) quando m→∞. (3.132)

Assim a partir de (3.131), (3.132) e pela unicidade do limite fraco, obtemos:

gl(u′ml)

∗ gl(u

′l) em L∞(0, T ;H

12 (Γ1)) quando m→∞. (3.133)

Na demonstração do Teorema 3.3, mostramos que

∂ν+ (m.ν)g1l(u

′l) = 0 em L2(0, T ;L2(Γ1)). (3.134)

Portanto, de (3.133) e (3.134) obtemos:

∂ν+ (m.ν)g1l(u

′l) = 0 em L∞(0, T ;H

12 (Γ1)). (3.135)

Também na prova do Teorema 3.3 mostramos que

−4ul = −u′′l − αulv2l ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)).

Consideremos o seguinte problema:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4ul = −u′′l − αulv

2l em Ω× [0, T ]

ul = 0 sobre Γ0 × [0, T ]

∂ν= −(m.ν)g1l(u

′l) sobre Γ1 × [0, T ],

para todo número real T > 0.

Como∂ul

∂ν+ (m.ν)g1l(ul) = 0, sobre Γ1

e m.ν é classe C1 sobre Γ1 resulta

∂ν∈ L∞loc(0,∞;H

12 (Γ1)).

Disto e notando que4ul ∈ L∞loc(0,∞;L2(Ω)),

tem-se que a solução do problema (P ) é tal que

ul ∈ L∞loc(0,∞;H2(Ω)).

Como ul ∈ L∞loc(0,∞;V ) obtemos que

ul ∈ L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω)), ∀l ≥ l0.

Analogamente encontramos

vl ∈ L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω)), ∀l ≥ l0.

O principal resultado desta seção é:

Teorema 3.4 Sejam u0, v0 ∈ (D(−4))2 e u1, v1 ∈ (H10 (Ω))2. Seja u, v a solução

obtida no Corolário 1 com as hipóteses (H6)-(H8), 0 ≤ α ≤ α0 e

α0 = min

8R(c∗1)3N1

Então, existe uma constante ω > 0 tal que a energia (3.126) satisfaz

E(t) ≤ 4E(0)e−ω2

t, ∀t ≥ 0. (3.136)

Demonstração: Notemos inicialmente que podemos aplicar a identidade de Rellichcf em V.Komornik e E.Zuazua [18] ou M.Milla Miranda e L.P.S. Gil Jutuca [38], poiscomo mostramos acima ul(t) ∈ V ∩ H2(Ω), onde ul é a solução aproximada obtidana demostração do Teorema 3.3. Para a demonstração do comportamento assintóticousaremos o método de Lyapounov (ver V.Komornik e E.Zuazua [18]). Mostraremos oteorema primeiro para energia aproximada

El(t) =1

2[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2 + |u′l(t)|2 + |v′l(t)|2 + α|ul(t)vl(t)|2]. (3.137)

Depois tomando o limite inferior obter-se-á o teorema.Temos:

[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2 + |u′l(t)|2 + |v′l(t)|2 + α|ul(t)vl(t)|2

−∫

(mν)g1l(u′l(t))u

′l(t)dΓ−

∫Γ1

(mν)g2l(v′l(t))v

′l(t)dΓ.

Sendo g1l(s)s ≥ 0, g2l(s)s ≥ 0 e m(x)ν(x) > 0 sobre Γ1, obtemos ddtEl(t) ≤ 0, ∀t ≥ 0.

Logo El(t) é uma função decrescente para todo t ≥ 0.

Seja ε > 0. Introduz-se o funcional

Elε(t) = El(t) + εψl(t), (3.138)

ψl(t) = 2(u′l(t),m.∇ul(t)) + 2(v′l(t),m.∇vl(t)) + (n− 1)(u′l(t), ul(t)) + (n− 1)(v′l(t), vl(t)).

A partir da igualdade acima e usando a desigualdade 2ab ≤ a2 + b2, obtemos:

|ψl(t)| ≤ 2R|u′l(t)||∇ul(t)|+ 2R|v′l(t)||∇vl(t)|+

+(n− 1)|u′l(t)||ul(t)|+ (n− 1)|v′l(t)||vl(t)| ≤

≤ R [|u′l(t)|2 + ‖ul(t)‖2 + |v′l(t)|2 + ‖vl(t)‖2] +

+n− 1

[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2|+ ‖ul(t)|2 + ‖vl(t)|2

≤ C1El(t),

onde C1 = 2(R + n−1

Portanto,|ψl(t)| ≤ C1El(t). (3.139)

Utilizando (3.138) e (3.139), obtemos:

|Elε(t)− El(t)| ≤ ε|ψl(t)| < εC1El(t),

ou(1− εC1)El(t) ≤ Elε(t) ≤ (1 + εC1)El(t).

Tomando 0 < ε < 12C1

, obtemos:

2≤ Elε(t) ≤ 2El(t). (3.140)

Notemos que pela Observação 3.3 tem-se que ul(t), vl(t) ∈ V ∩H2(Ω). Como ul(t), vl(t)

tem a regularidade acima, pode-se aplicar a identidade de Rellich (Ver Komornik-Zuazua[18] e M.Milla Miranda e L.P.S. Gil Jutuca [38]). Assim,

2(4ul(t),m.∇ul(t)) = (n− 2)‖ul(t)‖2−

−∫

(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ + 2

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ.

(3.141)

2(4vl(t),m.∇vl(t)) = (n− 2)‖vl(t)‖2−

−∫

(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ + 2

∂vl(t)

∂νm.∇vl(t)dΓ.

(3.142)

Também notando que

∂ν+ (m.ν)g1l(u

′l) = 0 sobre Γ1,

obtém-se(u′′l (t), ul(t)) = (4ul(t)− αul(t)v

2l (t), ul(t)) =

−‖ul(t)‖2 − α|ul(t)vl(t)|2 +

∂ul(t)

∂νul(t)dΓ =

−‖ul(t)‖2 −∫

(m.ν)g1l(u′l(t))ul(t)dΓ− α|ul(t)vl(t)|2,

(3.143)

pois, ul(t) = 0 sobre Γ0.

De modo semelhante para vl, obtemos:

(v′′l (t), vl(t)) = (4vl(t)− αvl(t)u2l (t), vl(t)) =

−‖vl(t)‖2 − α|vl(t)ul(t)|2 +

∂vl(t)

∂νvl(t)dΓ =

−‖vl(t)‖2 −∫

(m.ν)g2l(v′l(t))vl(t)dΓ− α|ul(t)vl(t)|2.

(3.144)

Derivando ψl(t) e aplicando a Identidade de Rellich junto com as últimas identidadesde ul e vl obtemos, respectivamente:

ψ′l(t) = (n− 2)‖ul(t)‖2 −∫

(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ+

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ− 2α(ul(t)v

2l (t),m.∇ul(t))+

+2(u′l(t),m.∇u′l(t)) + (n− 1)|u′l(t)|2−

−(n− 1)‖ul(t)‖2 − (n− 1)

∫Γ1

(m.ν)g1l(u′l(t))ul(t)dΓ−

−2α(n− 1)|ul(t)vl(t)|2 + (n− 2)‖vl(t)‖2−

−∫

(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ + 2

∂vl(t)

∂νm.∇vl(t)dΓ−

−2α(vl(t)u2l (t),m.∇vl(t)) + 2(v′l(t),m.∇v′l(t))+

+(n− 1)|v′l(t)|2 − (n− 1)‖vl(t)‖2−

−(n− 1)

∫Γ1

(m.ν)g2l(v′l(t))vl(t)dΓ.

(3.145)

A seguir limitaremos o lado esquerdo da expressão acima de forma a obter

ψ′l(t) ≤ −ηE1l(t)− ηE2l(t)− η|ul(t)vl(t)|2 + c

∫Γ1

(m.ν)(u′l(t))2dΓ + c

∫Γ1

(m.ν)(v′l(t))2dΓ,

onde η > 0, c > 0 comE1l(t) =

[|u′l(t)|2 + ‖ul(t)‖2

E2l(t) =1

[|v′l(t)|2 + ‖vl(t)‖2

Como ul(t), vl(t) ∈ V ∩ H2(Ω) resulta pelo Lema 2.1 em M.Milla Miranda e L.A.Medeiros [35] as seguintes igualdades sobre Γ0 :

∂ul(t)

= νi∂ul(t)

∂νe |∇ul(t)|2 =

(∂ul(t)

onde ν = (νi, . . . , νn). Logo

−∫

(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ = −∫

(∂ul(t)

dΓ−

−∫

(mν)n∑

(∂ul(t)

(3.146)

De forma análoga obtemos

−∫

(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ = −∫

(∂vl(t)

dΓ−

−∫

(mν)n∑

(∂vl(t)

(3.147)

• Análise de 2

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ.

Note que sobre Γ0, tem-se∂ul(t)

= νj∂ul(t)

e sobre Γ1, tem-se∂ul(t)

∂ν= −(m.ν)g1l(u

′l(t)).

Assim,

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ = 2

∫Γ0

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ + 2

∫Γ1

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ =

∫Γ0

∂ul(t)

n∑j=1

mj∂ul(t)

dΓ− 2

∫Γ1

(m.ν)g1l(u′l(t))m.∇ul(t)dΓ =

∫Γ0

(m.ν)

(∂ul(t)

dΓ− 2

∫Γ1

(m.ν)g1l(u′l(t))m.∇ul(t)dΓ.

Por outro lado

∫Γ1

(m.ν)g1l(u′l(t))m.∇ul(t)dΓ ≤ 2R

∫Γ1

(mν)|g1l(u′l(t))||∇ul(t)|dΓ ≤

≤ R2

∫Γ1

(mν)|g1l(u′l(t))|2dΓ +

∫Γ1

(mν)|∇ul(t)|2dΓ ≤

≤ R2

)2 ∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ +

∫Γ1

(mν)|∇ul(t)|2dΓ.

(Note que |g1l(s)| ≤ 32d3|s|). Destas duas últimas expressões resulta

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ ≤ 2

∫Γ0

(m.ν)

(∂ul(t)

)2 ∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ +

∫Γ1

(mν)|∇ul(t)|2dΓ.(3.148)

De (3.146) e (3.148), obtém-se:

−∫

(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ + 2

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ ≤

≤∫

|∇ul(t)|2m.νdΓ +R2

)2 ∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ.

Como m.ν ≤ 0 sobre Γ0, resulta desta última desigualdade que

−∫

(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ + 2

∂ul(t)

∂νm.∇ul(t)dΓ ≤

≤ R2

)2 ∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ.(3.149)

Analogamente, obtemos

−∫

(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ + 2

∂vl(t)

∂νm.∇vl(t)dΓ ≤

≤ R2

)2 ∫Γ1

(mν)|v′l(t)|2dΓ.(3.150)

• Análise do termo −2α(ul(t)vl(t),m∇ul(t)).

Note que pela estimativa (3.37) do Teorema 3.3, obtemos:

‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2 < |u1|2 + |v1|2 + ‖u0‖2 + ‖v0‖2 + α|u0v0|2 + 1 = N1, ∀t ≥ 0, ∀l ≥ l0.

Vamos introduzir a notação

‖w‖L6(Ω) ≤ c∗1‖w‖, ∀w ∈ V.

Agora pela desigualdade de Holder e a imersão de V → L6(Ω), tem-se:

−2α(ul(t)v2l (t),m.∇ul(t)) = −2α

ul(t)v2l (t)(m.∇ul(t))dx ≤

≤ 2αR

|ul(t)||vl(t)|2|∇ul(t)|dx ≤ 2αR

(∫Ω

u2l (t)v

4l (t)dx

) 12(∫

|∇ul(t)|2dx) 1

≤ 2αR‖ul(t)‖L6(Ω)‖vl(t)‖2L6(Ω)‖ul(t)‖ ≤ 2αR(c∗1)

3N1‖ul(t)‖2.

Logo,−2α(ul(t)v

2l (t),m.∇ul(t)) ≤ 2αR(c∗1)

3N1‖ul(t)‖2. (3.151)

De forma análoga

−2α(vl(t)u2l (t),m.∇vl(t)) ≤ 2αR(c∗1)

3N1‖vl(t)‖2. (3.152)

• Análise do termo (u′l(t),m.∇u′l(t)).Adota-se a convenção de índices repetidos para indicar a soma de 1 a n destes índices.

Note que u′l(t) = 0 sobre Γ0. Tem-se:

(u′l(t),m.∇u′l(t)) =

u′l(t)mj∂u′l(t)

(u′l(t))2dx =

(u′l(t))2dx+

∫Γ1

mjνj(u′l(t))

2dΓ =

−n2|u′l(t)|2 +

∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ,

isto é,

2(u′l(t),m.∇u′l(t)) = −n|ul(t)|2 +

∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ. (3.153)

Semelhantemente encontramos

2(v′l(t),m.∇v′l(t)) = −n|vl(t)|2 +

∫Γ1

(mν)|v′l(t)|2dΓ. (3.154)

• Análise do termo −(n− 1)

∫Γ1

(m.ν)g1l(u′l(s))ul(s)dΓ.

Note que |g1l(s)| ≤ 32d3|s|, para todo s ∈ R.

Introduz-se a notação ∫Γ1

w2dΓ ≤ K‖w‖, ∀w ∈ V.

Tem-se:

−(n− 1)

∫Γ1

(m.ν)g1l(u′l(s))ul(s)dΓ ≤ (n− 1)

∫Γ1

(mν)|g1l(u′l(s))||ul(s)|dΓ ≤

2(n− 1)d3R

∫Γ1

√2K(mν)

12 |u′l(t)|

1√2K

|ul(t)|dΓ ≤

2(n− 1)2

∫Γ1

(m.ν)(u′l(t))2dΓ +

∫Γ1

(ul(t))2dΓ ≤

2(n− 1)2

∫Γ1

(m.ν)(u′l(t))2dΓ +

4‖ul(t)‖2,

isto é,

−(n− 1)

∫Γ1

(m.ν)g1l(u′l(s))ul(s)dΓ ≤ L1

∫Γ1

(m.ν)(u′l(t))2dΓ +

4‖ul(t)‖2, (3.155)

onde L1 =1

2(n− 1)2

De forma análoga, obtém-se:

−(n− 1)

∫Γ1

(m.ν)g2l(v′l(s))vl(s)dΓ ≤ L2

∫Γ1

(m.ν)(v′l(t))2dΓ +

4‖vl(t)‖2, (3.156)

onde L2 =1

2(n− 1)2

2. Substituindo (3.149)-(3.156) em (3.145) resulta

ψ′l(t) ≤ (n− 2)‖ul(t)‖2 +R2

)2 ∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ + 2αR(c∗1)3N1‖ul(t)‖2−

−n|u′l(t)|2 +

∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ + (n− 1)|u′l(t)|2 − (n− 1)‖ul(t)‖2+

∫Γ1

(mν)|u′l(t)|2dΓ +1

4‖ul(t)‖2 + (n− 2)‖vl(t)‖2 +R2

)2 ∫Γ1

(mν)|v′l(t)|2dΓ+

+2αR(c∗1)3N1‖vl(t)‖2 − n|v′l(t)|2 +

∫Γ1

(mν)|v′l(t)|2dΓ + (n− 1)|v′l(t)|2−

−(n− 1)‖vl(t)‖2 + L2

∫Γ1

(mν)|v′l(t)|2dΓ +1

4‖vl(t)‖2 − 2α(n− 1)|ul(t)vl(t)|2.

Cortando os termos semelhantes, na última expressão obtemos:

ψ′l(t) ≤ −|u′l(t)|2 − ‖ul(t)‖2 + 2αR(c∗1)3N1‖ul(t)‖2+

4‖ul(t)‖2 +

3 + 1 + L1

)]∫Γ1

(m.ν)|u′l(t)|2dΓ−

−|v′l(t)|2 − ‖vl(t)‖2 + 2αR(c∗1)3N1‖vl(t)‖2 +

4‖vl(t)‖2+

4 + 1 + L2

)]∫Γ1

(m.ν)|v′l(t)|2dΓ− 2α(n− 1)|ul(t)vl(t)|2.

(3.157)

Introduz-se a notação

L = max

3 + 1 + L1

4 + 1 + L2

Escolhe-se 0 ≤ α0 ≤ 1 tal que

α0 ≤1

8R(c∗1)3N1

Decorre destas expressões e de (3.157) que

ψ′l(t) ≤ −|u′l(t)|2 −1

2‖ul(t)‖2 + L

∫Γ1

(m.ν)|u′l(t)|2dΓ−

−|v′l(t)|2 −1

2‖vl(t)‖2 + L

∫Γ1

(m.ν)|v′l(t)|2dΓ−α

2|ul(t)vl(t)|2,

(3.158)

onde 0 ≤ α ≤ α0. Assim,

ψ′l(t) ≤ −1

[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2

]− 1

[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2

−α2|ul(t)vl(t)|2 + L

∫Γ1

(m.ν)[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2]dΓ,

onde 0 ≤ α ≤ α0 e α0 = min

1, 18R(c∗1)3N1

Sendo gil(s)s ≥ dis2, i = 1, 2 para todo s ∈ R, obtemos da desigualdade acima que

ψ′l(t) ≤ −1

[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2

]− 1

[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2

]− α

2|ul(t)vl(t)|2+

+L∗∫

(m.ν)[g1l(u′l(t))u

′l(t) + g2l(v

′l(t))v

′l(t)]dΓ,

(3.159)

onde L∗ = max 1d1L, 1

Considerando a derivada da expressão (3.138), obtemos:

E ′lε(t) = E ′

l(t) + εψ′(t). (3.160)

Notemos inicialmente que

E ′l(t) = −

∫Γ1

(mν)g1l(u′l(t))u

′l(t)dΓ−

∫Γ1

(mν)g2l(v′l(t))v

′l(t)dΓ. (3.161)

Multiplicando (3.159) por ε > 0 e substituindo em (3.160), e posteriormente usando(3.161), obtemos:

E ′lε(t) ≤ −ωEl(t)− (1− εL∗)

∫Γ1

(mν)g1l(u′l(s))u

′l(s)dΓ−

−(1− εL∗)

∫Γ1

(mν)g2l(v′l(s))v

′l(s)dΓ,

(3.162)

ondeω

2= ε e 0 < ε < min

2(R + n−1

), (L∗)−1

Agora notando que mν ≥ 0 sobre Γ1, segue-se de (3.162) que:

E ′lε(t) ≤ −ω

2El(t).

Da desigualdade acima e de (3.140), obtemos:

E ′lε(t) ≤ −ω

2Elε(t). (3.163)

Portanto,Elε(t) ≤ Elε(0)e

t, ∀t ≥ 0.

Sendo Elε(0) ≤ 2El(0) e El(t)2≤ Elε(t), obtemos:

El(t) ≤ 4El(0)e−ω

2t, ∀t ≥ 0, (3.164)

o que mostra o teorema para a energia aproximada.Notemos agora que El(0) → E(0) e que usando a estimativas (3.92) mostra-se que

E(t) ≤ lim inf El(t), ∀t ≥ 0. Tomando o limite inferior em (3.164) quando l → ∞ eusando estes dois últimos limites, obtemos:

E(t) ≤ 4E(0)e−ω2

t, ∀t ≥ 0. (3.165)

Capítulo 4

Dissipação atuando na Fronteira para

um Sistema Acoplado de Equações de

Kirchhoff.

4.1 Introdução

As pequenas vibrações transversais de uma corda elástica de comprimento L pressano seus extremos, quando é levado em consideração a variação da tensão, é descrita pelaseguinte equação:

utt(x, t)−(m0 +m1

u2x(x, t)dx

)uxx(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0, (4.1)

onde m0 é a tensão inicial e m1 esta relacionado com o material da corda.O modelo (4.1) foi introduzida por G.Kirchhoff [15].As vibrações acima, quando considerem-se as três componentes u, v, w do desloca-

mento, é descrito pelo seguinte sistema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ux(x, t) +1

x(x, t) + w2x(x, t)

]dx, 0 < x < L, t > 0

vtt(x, t)−(m0 +m1

[v2x(x, t) + w2

x(x, t)]dx

)vxx(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0

wtt(x, t)−(m0 +m1

[v2x(x, t) + w2

x(x, t)]dx

)wxx(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0.

(4.2)Este sistema foi introduzido por A.H. Nayfeh e D.T. Mook [39].

Observe que uma vez conhecidos v e w satisfazendo as equações (4.2)2 e (4.2)3, re-spectivamente, é possível determinar a solução u de (4.2)1.

Seja Ω um aberto limitado do Rn com fronteira regular Γ e M(λ) uma função re-gular satisfazendo M(λ) ≥ m0 > 0. Uma significativa generalização da equação (4.1) é aseguinte:

(K) u′′(x, t) +M

(∫Ω

|∇u(x, t)|2dx)

(−4u(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0;

e das duas últimas equações de (4.2) :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣v′′(x, t) +M

(∫Ω

[|∇v(x, t)|2 + |∇w(x, t)|2]dx)

(−4v(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0,

w′′(x, t) +M

(∫Ω

[|∇v(x, t)|2 + |∇w(x, t)|2]dx)

(−4w(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0.

A equação (K) tem sido extensivamente estudada. Primeiro, comenta-se brevemente,o estudo da existência de soluções do problema misto para (K) com condições de Dirichletnulas em Γ. Com efeito, soluções globais com dados iniciais C∞ e satisfazendo certaspropriedades, tem sido obtidas, entre outros por S.Bernstein [6], S.I. Pohozaev [41],J.L.Lions [25], A.Arosio e S. Spagnolo [2] e H.Clark[7]. Observa-se que soluções globaiscom dados iniciais em H1

0 (Ω) ∩H2(Ω), H10 (Ω) e M(λ) geral é um problema em aberto.

Soluções locais tem sido obtido, entre outros, por Y. Ebihara, L.A. Medeiros e M.MillaMiranda [11], A.Arosio e S.Garavaldi [1] e Y. Yamada [47].

Quando consideramos a formulação abstrata de (K) com u0 ∈ D(A), u1 ∈ D(A12 ),

θ = 12

e A−1 for um operador não compacto de H, a existência de solução local foianalizado por M.P. Matos [26], H. Crippa [10] e S.S. Sousa e M.Milla Miranda [43].

Para a existência de solução local, global e o comportamento assintótico da equaçãode Kirchhoff-Carrier em espaços de Banach podemos citar os recentes trabalhos deR.Izaguirre, R.Fuentes e M.Milla Miranda [13] e [14].

Uma lista extensiva de referências sobre a equação de Kirchhoff pode ser encontradaem L.A. Medeiros, J.Limaco e S.B, Menezes [28].

Para obter soluções globais de (K) com dados em H10 (Ω)∩H2(Ω), H1

0 (Ω), introduz-seuma dissipação na equação ou uma dissipação na fronteira. No primeiro caso tem-se osresultados, entre outros, de L.A.Medeiros e M.Milla Miranda [32], M. Hosoya e Y.Yamada[12], S.Kouémou-Patcheu [19] e J. Limaco, H.R. Clark e L.A. Medeiros [23]. No segundocaso, enumera-se os resultados de K. Ono [40], M.Tucsnak [45] (ambas para n=1), M.Milla

Miranda e L.P.San Gil Jutuca [38] e J.Ong e I.Lasiecka [20]. Neste último trabalho adissipação na fronteira é de classe C1 e globalmente lipschitziana porém M(λ) tem aforma particular M(λ) = m0 +m1λ.

Nossos resultados obtidos melhora o resultado obtido por M.Milla Miranda e L.P.SanGil Jutuca [38] em relação a não linearidade em parte da fronteira e em relação aotrabalho de J.Ong e I.Lasiecka [20] a forma da M.

Observa-se que em todos estes últimos quatro trabalhos a norma dos dados iniciais épequena.

Nosso objetivo é estudar o sistema (N) com uma dissipação globalmente lipschitzianana fronteira.

A seguir descreve-se o problema a estudar. Supõe-se que a fronteira Γ de Ω estáconstituída de duas partes disjuntas e fechadas Γ0 e Γ1. Denota-se por ν(x) à normalunitária exterior em x ∈ Γ1. Introduz-se duas funções regulares M1(t, λ, ξ) e M2(t, λ, ξ)

verificandoMi(t, λ, ξ) ≥ mi > 0 (mi constantes), i = 1, 2,

e funções hi(x, s), i = 1, 2 definida em x ∈ Γ1 e s ∈ R. Nessas condições tem-se o seguinteproblema:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ h1(., u

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

∂ν+ h2(., v

′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.

As condições iniciais devem verificar as condições de compatibilidade∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂u0

∂ν+ h1(., u

1) = 0 sobre Γ1

∂ν+ h2(., v

1) = 0 sobre Γ1.

Quando hi(x, s) verifica hi ∈ C1(R;L∞(Γ1)) e

hi(x, v(x)) ∈ L2(Γ1), h′i(x, s) ≥ di > 0 q.t.p x ∈ Γ1, i = 1, 2

obtém-se uma solução local de (S).

Por questão de comodidade, vamos escrever simplismente h1 = h2 = h.

O decaimento exponencial de (S) é obtido para o caso particular

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ (m.ν)h(u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

∂ν+ (m.ν)h(v′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω,

onde m(x) = x− x0, x ∈ Rn, x0 fixo e h ∈ C0(R) verificando

0 < d0s2 ≤ h(s)s ≤ d1s

2 <∞, ∀s ∈ R.

Na obtenção de soluções locais utiliza-se argumentos de ponto fixo e resultados detraço de funções não regulares. Pela forma particular de (S1) este pode ser escrito numaforma vetorial com duas componentes (

e seu estudo fica reduzido ao de uma equação escalar. A obtenção de soluções globaisdesta equação escalar foi inspirado pelo trabalho de I. Lasiecka e J.Ong [20]. Neste artigoeles obtem solução global para a equação com a função particular M(λ) = m0 + m1λ.

O decaimento exponencial da energia da equação escalar é obtida usando o método depertubação da energia ( funcional de Lyapunov), a técnica dos multiplicadores e umaidentidade de Rellich (ver Komornik, V e E, Zuazua [18] e M.Milla Miranda e L.P.S. GilJutuca [38]).

4.2 Resultados Fundamentais

O objetivo desta seção é obter resultados que permitam construir uma base especialem V ∩H2(Ω). No entanto, a demonstração que daremos permite construir tal base paraqualquer função h contínua, crescente e com a propriedade que h(., ϕ) ∈ L2(Γ1) paratoda ϕ ∈ L2(Γ1).

Seja V o espaço de Hilbert definido por

V = v ∈ H1(Ω); v = 0 sobre Γ0

munido do produto escalar

((u, v)) =

∇v(x)∇u(x)dx

e norma

‖u‖ =

(∫Ω

|∇u(x)|2dx) 1

Seja W o espaço de Hilbert

W = u ∈ V : 4u ∈ L2(Ω),

munido do produto escalar

(u, v)W = ((u, v)) + (4u,4v).

Proposição 4.1 Sejam f ∈ L2(Ω) e g ∈ H− 12 (Γ1). Então a solução u do problema de

valor de fronteira: ∣∣∣∣∣∣∣∣−∆u = f em Ω

u = 0 sobre Γ0

∂ν= g sobre Γ1

pertence a W e‖u‖W ≤ C

[|f |+ ‖g‖

H− 12 (Γ1)

Demonstração: Consideremos o problema:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4w = 0 em Ω

w = 0 sobre Γ0

∂ν= g sobre Γ,

Por L.A.Medeiros e M.Milla Miranda [31], tem-se que a aplicação

0, g ∈ L2(Ω)×H− 12 (Γ1) → w ∈ W = w ∈ V ;4u ∈ L2(Ω),

onde w é a solução do problema (∗) acima, é bijetora e contínua. Assim,

‖w‖W ≤ C‖g‖H− 1

2 (Γ1).

Agora consideremos o seguinte problema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∆v = f em Ω

v = 0 sobre Γ0

∂ν= 0 sobre Γ1.

A solução fraca v do Problema 4.2 pertence a H2(Ω) e por resultados de regularizaçãoelíptica tem-se:

‖v‖H2(Ω) ≤ C|f |

Então, u = v + w ∈ W e u é uma solução do Problema 4.1. Portanto,

‖u‖W ≤ C[|f |+ ‖g‖H− 1

2 (Γ1)]

Observação 4.1 Em W as normas de ‖u‖W e

‖u‖W =

(|4u|2 +

∥∥∥∂u∂ν

∥∥∥H− 1

2 (Γ1)

são equivalentes.( cf. Teorema 3.11, pg. 189 de L.A. Medeiros e M.Milla Miranda [34].)

Introduzimos a hipótese:(H1) h ∈ C0(R, L∞(Γ1)), h(x, s) não decrescente em s para q.t.p x ∈ Γ1 e h(., ϕ) ∈ L2(Γ1)

para toda ϕ ∈ L2(Γ1).

Exemplo 4.2.1 A função h(x, s) = (sens+ 2s)β(x), com β ∈ L∞(Γ1) e β(x) ≥ β0 > 0

satisfaz a hipótese (H1).

Proposição 4.2 Assuma (H1). Então,

h : V → L2(Γ1), z 7→ h(., z)

é contínua.

Demonstração: Seja zl → z em V. Então pela imersão de V → L2(Γ1), tem-se quezl → z em L2(Γ1). Assim existe uma subsequência de (zl), a qual ainda será denotadapor (zl), e uma função f ∈ L2(Γ1) tais que:(a) zl(x) → z(x) q.t.p x ∈ Γ1;

(b) |zl(x)| ≤ f(x) q.t.p x ∈ Γ1.

Por h ser contínua em s, decorre de (a) que

h(x, zl(x)) → h(x, z(x)) q.t.p x ∈ Γ1. (4.3)

Tem-se

(i) |h(x, zl(x))− h(x, z(x))|2 ≤ g(x), g ∈ L1(Γ1).

Com efeito,

(ii) |h(x, zl(x))− h(x, z(x))|2 ≤ 2[h(x, zl(x))]2 + 2[h(x, z(x))]2.

Como h é crescente na segunda variável, obtém-se:

h(x,−f(x)) ≤ h(x, zl(x)) ≤ h(x, f(x)),

onde f(x) foi introduzido em (b). Logo,(iii) [h(x, zl(x))]

2 ≤ [h(x, f(x))]2 + [h(x,−f(x))]2 = g1(x), g1 ∈ L1(Γ1).

Também por hipótese vem que(iv) [h(x, z(x))]2 ∈ L1(Γ1). Combinando (ii)-(iv), obtém-se a afirmação 1.

De (4.3), (i) e do Teorema da Convergência Dominada de Lebesque, resulta que

h(., zl) → h(., z) em L2(Γ1).

Como o raciocínio anterior pode ser feito com qualquer subsucessão de (zl) e sendo olimite sempre h(., z) vem que toda a sucessão (zl) converge para h(., z) em L2(Γ1).

Corolário 2 Sob as mesmas hipóteses da Proposição 4.2 tem-se que

h : L2(Γ1) → L2(Γ1), z 7→ h(., z)

é contínua.

Corolário 3 h ∈ C0(R, L∞(Γ1)), h(x, s) não decrescente em s para q.t.p x ∈ Γ1 tal queh(., ϕ) ∈ L2(Γ1×]0, T [), para toda ϕ ∈ L2(Γ1×]0, T [). Então

h : L2(Γ1×]0, T [) → L2(Γ1×]0, T [)

é contínua.

Proposição 4.3 Assuma a hipótese (H1). Suponhamos u0 ∈ W, u1 ∈ V e

∂ν+ h(., u1) = 0 sobre Γ1.

Então, para cada ε > 0 existem w e z em W tal que

‖w − u0‖W < ε, ‖z − u1‖ < ε,

∂ν+ h(., z) = 0 sobre Γ1.

Demonstração: Fixa-se ε > 0 arbitrário. Como h : V → L2(Γ1) é contínua e W édenso em V, tem-se que existem z ∈ W e δ > 0 com δ < ε tais que

‖z − u1‖ < δ e ‖h(., z)− h(., u1)‖L2(Γ1) < ε.

Consideremos o seguinte problema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4w = −4u0 em Ω

w = 0 sobre Γ0

∂ν= −h(., z) sobre Γ1.

Como 4u0 ∈ L2(Ω) e h(., u1), h(., z) ∈ L2(Γ1) → H− 12 (Γ1), segue-se pela Observação

4.1 que:‖w − u0‖2

W = |∆(w − u0)|2 +∥∥∥∂w

∂ν− ∂u0

∥∥∥H− 1

2 (Γ1)≤

≤ C∥∥∥∂w

∂ν− ∂u0

∥∥∥L2(Γ1)

= C‖h(., z)− h(., u1)‖2L2(Γ1) ≤ Cε2.

Portanto, encontramos z e w nas condições da Proposição 4.3.

Observação 4.2 Como h(., s) é uma função crescente tem-se que o operador

h : L2(Γ1) → L2(Γ1), s 7→ h(., s)

é monótono.

Dizemos que u ∈ Lploc(0, Tmax;X), X sendo um espaço de Hilbert, quando u ∈

Lp(0, T ;X) para cada 0 < T < Tmax.

Introduzimos a seguinte hipótese sobre a função h.

(H2) h ∈ C1(R, L∞(Γ1)), h(x, 0) = 0 q.t.p x ∈ Γ1 e

h′(x, s) ≥ d0 > 0, q.t.p x ∈ Γ1.

Observação 4.3 Note que, para x ∈ Γ1 fixo, resulta que h(x, s) = ∂h∂s

(x, s∗)s. Portanto,

h(x, s)s = h′(x, s∗)s2 ≥ d0s2, ∀s ∈ R, q.t.p x ∈ Γ1.

4.3 Problema Associado.

Associado ao sistema (∗∗) vamos considerar o seguinte problema:

(∗ ∗ ∗)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

θ′′ − µ(t)4θ = 0 em Ω× (0,∞)

θ = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ h(., θ′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

θ(0) = θ0, θ′(0) = θ1, em Ω,

onde µ ∈ W 1,1loc (0,∞) e µ(t) ≥ µ0 > 0, para todo t ∈ [0,∞), µ0 constante.

Resolveremos o problema (∗ ∗ ∗) pelo método de Galekin com uma base especial. Asestimativas a priori obtidas na demonstração do problema (∗ ∗ ∗) serão essenciais paraobter uma solução local do sistema (∗∗) pelo método do ponto fixo de Banach.

Para a existência de solução do sistema linearizado associado ao sistema (∗∗) as-sumiremos as hipóteses (H1) e (H2) sobre a função h.

Teorema 4.1 Sejam µ ∈ W 1,1loc (0,∞) com µ(t) ≥ µ0 > 0, µ0 constante, e h satisfazendo

as hipóteses (H1) e (H2). Sejam θ0 ∈ W e θ1 ∈ V, verificando

∂θ0

∂ν+ h(., θ1) = 0 sobre Γ1.

Então, existe uma única função θ na classe

θ ∈ L∞loc(0,∞;W ), θ′ ∈ L∞loc(0,∞;V )∩ ∈ L2loc(0,∞;L2(Γ1)), θ

′′ ∈ L∞loc(0,∞;L2(Ω))

(4.5)tal que θ é solução da equação

θ′′ − µ4θ = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (4.6)

verificando as condições de fronteira

∂ν+ h(., θ′) = 0 em L2

loc(0,∞;L2(Γ1)) (4.7)

e as condições iniciais

θ(0) = θ0, θ′(0) = θ1. (4.8)

Introduzimos a hipótese.

(H3) h ∈ C1(0,∞;L2(Γ1)), h′(x, s) ≤ d1, ∀s ∈ R, q.t.p x ∈ Γ1 (d1 > 0 constante).

Tem-se o seguinte resultado.

Corolário 4 Se além das hipóteses do Teorema 4.1 verifica-se (H3), então

∂ν+ h(., θ′) = 0 em C0([0,∞);L2(Γ1))

∂θ′

∂ν+ (h(., θ′))′ = 0 em L2

loc([0,∞);L2(Γ1))

Demonstração: A prova do Teorema 4.1 é feita pelo método de Galerkin com uma baseespecial para W. De fato, pela Proposição 4.3, obtemos sequências (θ0

l ), (θ1l ) de vetores

de W satisfazendo: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

liml→∞

θ0l = θ0 emW

liml→∞

θ1l = θ1 emV

∂θ0l

∂ν+ h(., θ1

l ) = 0 sobre Γ1.

Utilizando as sequências acima, para cada l ∈ N, construiremos uma base especialde W da seguinte forma: primeiro, determinamos uma base ortonormal wl

1, wl2 do

subespaço de W gerado pelos vetores θ0l , θ

1l . Pelo processo de ortogonalização de Gram-

Schmidt, completaremos (wlj) até obtermos uma base para W. Esta base especial de W

é representada por

wl1, w

l2, . . . . . . , w

lj, . . . para cada l ∈ N. (4.10)

Fixemos l ∈ N. Para m ∈ N consideremos o subespaço V lm de V ∩H2(Ω) gerado por

[wl1, w

l2, . . . , w

lm]. Com esta base de dimensão finita determinamos soluções aproximadas

ulm(t) do Problema (4.11), isto é,

θlm(t) =m∑

gjlm(t)wlj,

onde gjkm(t) é definida pelo sistema∣∣∣∣∣∣∣∣∣(θ′′lm(t), v) + µ(t)((θlm(t), v)) + µ(t)

∫Γ1

h(., θ′lm(t))vdΓ = 0,

∀v ∈ V lm

θlm(0) = θ0l e θ′lm(0) = θ1

(4.11)

Mostra-se que o sistema (4.11) encontra-se nas condições do Teorema de Caratheodorypara equações diferenciais ordinárias. Deste teorema resulta que existe (gjlm(t))1≤j≤m

definidas num intervalo [0, tlm). As estimativas a seguir permitirão extender a solução aointervalo [0, T ], para qualquer número real T > 0.

Primeira Estimativa: Fazendo v = θ′lm(t) ∈ V lm na equação aproximada (4.11)1,

obtemos

dt|θ′lm(t)|2 +

[µ(t)‖θlm(t)‖2

]+ µ(t)

∫Γ1

h(x, θ′lm(t))θ′lm(t)dΓ ≤ 1

2|µ′(t)|‖θlm(t)‖2.

Integrando a desigualdade acima de 0 a t onde 0 ≤ t ≤ tlm e usando a hipótese queh(x, s)s ≥ d0s

2, ∀s ∈ R e q.t.p x ∈ Γ1, obtemos:

|θ′lm(t)|2 + µ(t)‖θlm(t)‖2 + 2d0µ0

∫Γ1

(θ′lm(s))2dΓds ≤

≤ |θ1l |2 + µ(0)‖θ0

l ‖2 +

|µ′(s)|‖θlm(s)‖2ds.

Notando que µ(t) ≥ µ0 > 0, obtemos da desigualdade de Gronwall que:

|θ′lm(t)|2 + µ‖θlm(t)‖2 + 2d0

∫Γ1

(θ′lm(s))2dΓds ≤

≤ (|θ1l |2 + µ(0)‖θ0

l ‖2)exp

|µ′(s)|µ(s)

Sendo (θ0l ) e (θ1

l ) convergentes obtemos da desigualdade acima que:

|θ′lm(t)|2 + µ(0)‖θlm(t)‖2 + 2d0

∫Γ1

[(θ′lm(s))2]dΓds ≤ C(T ),

onde C uma constante independente de l,m ∈ N, para todo 0 ≤ t ≤ T.

Donde podemos estender a solução ao intervalo [0, T ] e obtermos

(θlm) é limitada em L∞(0, T ;V ) (4.12)

(θ′lm) é limitada em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.13)

(θ′lm) é limitada em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.14)

Segunda Estimativa: Primeiro mostraremos que (θlm(0)) é limitada em L2(Ω).

De fato, considerando t = 0 na equação aproximada temos:

(θ′′lm(0), v) + µ(0)((θlm(0), v)) + µ(0)

∫Γ1

h(x, θ′lm(0))vdΓ = 0,∀v ∈ V lm,

ou seja,

(θ′′lm(0), v) + µ(0)((θ0l , v)) + µ(0)

∫Γ1

h(x, θ1l )vdΓ = 0. (4.15)

Usando a fórmula de Green na segunda parcela em (4.15) e o fato que ∂θ0l

∂ν= −h(x, θ1

sobre Γ1, obtemos:(θ′′lm(0), v)− (µ(0)∆u0

l , v) = 0. (4.16)

Considerando v = θ′′lm(0) em (4.16) e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, o fatoque θ0

l converge para θ0 em W, obtemos que

(θ′′lm(0)) é limitada em L2(Ω).

Observação 4.4 Na limitação de (θ′′lm(0)) vemos a importância da condição de fron-teira da base especial.

Derivando a equação aproximada (4.11)1 com respeito a t e considerando v = θ′′lm(t) ∈V l

m, obtemos:

[|θ′′lm(t)|2 + µ(t)‖θ′lm(t)‖2

]+ µ(t)

∫Γ1

(θ′′lm(t))2h′(x, θ′lm(t))dΓ =

2µ′(t)‖θlm(t)‖2 − µ′(t)((θlm(t), θ′′lm(t)))− µ′(t)

∫Γ1

h(x, θ′lm(t))θ′′lm(t)dΓ.

(4.17)

Considerando v =µ′1(t)

µ1(t)θ′′lm(t) na equação aproximada (4.11)1, obtemos:

µ′(t)

µ(t)|θ′′lm(t)|2 = −µ′(t)((θlm(t), θ′′lm(t)))− µ′(t)

∫Γ1

h(x, θ′lm(t))θ′′lm(t)dΓ.

Substituindo essa igualdade em (4.17) e usando o fato que h′(x, s) ≥ d0 para todos ∈ R, e q.t.p x ∈ Γ1, obtemos:

[|θ′′lm(t)|2 + µ(t)‖θ′lm(t)‖2

]+ d0µ0

∫Γ1

(θ′′lm(t))2dΓ ≤

|µ′(t)|µ(t)

[|θ′′lm(t)|2 + µ(t)‖θ′lm(t)‖2

(4.18)

Integrando de 0 a t com 0 ≤ t ≤ tlm e usando a desigualdade de Gronwall, obtemos

|θ′′lm(t)|2 + µ0‖θ′lm(t)‖2 + d0µ0

∫Γ1

(θ′′lm(s))2dΓds ≤

≤ (|θ′′lm(0)|2 + µ(0)‖θ1l ‖2)exp

|µ′(s)|µ(s)

(4.19)

Usando o fato que (θ′′lm(0)) é limitada em L2(Ω) e ainda que (θ1l ) converge para θ1 em

V, obtemos da desigualdade acima que

|θ′′lm(t)|2 + µ0‖θ′lm(t)‖2 + 2d0µ0

∫Γ1

(θ′′lm(s))2dΓds ≤ C(T ), (4.20)

onde C(T ) é uma constante independente de l,m ∈ N, para todo 0 ≤ t ≤ T.

Donde obtemos:(θ′lm) é limitada em L∞(0, T ;V ) (4.21)

(θ′′lm) é limitada em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.22)

(θ′′lm) é limitada em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.23)

De (4.21) e do teorema do traço de ordem zero, tem-se:

(θ′lm) é limitada em L∞(0, T ;H12 (Γ1)). (4.24)

As estimativas (4.12), (4.21), (4.22), (4.23) e (4.24), permitem obter uma subsequênciade (θlm), a qual ainda vamos denotar por (θlm) e uma função θl : Ω× (0, T ) → R tais que

θlm∗ θl em L∞(0, T ;V ) (4.25)

θ′lm∗ θ′l em L∞(0, T ;V ) (4.26)

θ′′lm∗ θ′′l em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.27)

θ′lm∗ θ′l em L∞(0, T ;H

12 (Γ1)) (4.28)

θ′′lm θ′′l em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.29)

Sendo a imersão de H12 (Γ1) em L2(Γ1) compacta, tem-se a partir de (4.28), (4.29) e

do Teorema de Aubin-Lions que existe uma subsequência de (θ′lm), ainda denotada por(θ′lm), tal que

θ′lm → θ′l em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.30)

Logo pelo Corolário 3, obtemos:

h(., θ′lm) → h(., θ′l) em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.31)

Multiplicando a equação aproximada (4.11)1 por ϕ ∈ D(0, T ), integrando de 0 a T,usando as convergências (4.25), (4.27) e (4.31) e fazendo m→∞, obtemos:

(θ′′l (t), v)ϕ(t)dt+

µ(t)((θl(t), v))ϕ(t)dt+

∫Γ1

h(θ′l(t))vϕ(t)dΓdt = 0,

(4.32)para todo ϕ ∈ D(0, T ) e v ∈ W.

Observe que as estimativas obtidas são válidas para todo l ∈ N. Então pelo mesmoprocesso usado para obter as convergências acima, obtemos uma subsequência de (θl), aqual ainda vamos denotar por (θl), e uma função θ : Ω× (0, T ) → R tais que:

θl∗ θ em L∞(0, T ;V ); (4.33)

θ′l∗ θ′ em L∞(0, T ;V ) (4.34)

θ′′l∗ θ′′ em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.35)

θ′l∗ θ′ em L∞(0, T ;H

12 (Γ1)) (4.36)

θ′′l θ′′ em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.37)

Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar (4.31), obtemos:

h(., θ′l) h(., θ′) em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.38)

Fazendo l→∞ em (4.32) e usando as convergências (4.33), (4.35) e (4.38) obtemos:∫ T

(θ′′(t), v)ϕ(t)dt+

µ(t)((θ(t), v))ϕ(t)dt+

∫Γ1

h(., θ′(t))vϕ(t)dΓdt = 0,

(4.39)para todo ϕ ∈ D(0, T ) e v ∈ W. Considerando θ ∈ D(0, T ) e v ∈ D(Ω) tem-se por (4.39)que:

u′′ − µ∆u = 0 em D′(Q), Q = Ω× (0, T ).

Como θ′′ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)), obtemos:

θ′′ − µ∆θ = 0 em L∞(0, T ;L2(Ω)). (4.40)

Sendo θ ∈ L∞(0, T ;V ) e por (4.40), ∆θ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)), tem-se cf em M.MillaMiranda [37] que ∂θ

∂ν∈ L∞(0, T ;H− 1

2 (Γ1)). Multiplicando ambos os membros de (4.40)por vϕ com v ∈ W e ϕ ∈ D(0, T ) e usando a fórmula de Green, obtemos:∫ T

(θ′′(t), v)ϕ(t)dt+

µ(t)((θ(t), v))ϕ(t)dt−∫ T

⟨∂θ(t)

∂ν, v

⟩ϕ(t)dt = 0, (4.41)

onde 〈 , 〉 denotada a dualidade 〈 , 〉H

12 (Γ1)×H− 1

2 (Γ1).

Comparando (4.39) e (4.41), obtemos:∫ T

⟨∂θ(t)

∂ν+ h(., θ′), v

⟩ϕ(t)dt = 0 (4.42)

o que implica∂θ(t)

∂ν+ h(., θ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T ). (4.43)

Daí e de h(., θ′) ∈ L2(0, T ;L2(Γ1)) tem-se que:

∂ν+ h(., θ′) = 0 em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.44)

A unicidade de soluções é obtida pelo método da energia. Pelo processo de diagonali-zação, obtém-se a regularidade expressada no teorema para θ em [0,∞).

Observação 4.5 Da regularidade (4.5) e da (4.6) segue

θ ∈ C0s ([0, T ];V ) ∩ C1

s ([0, T ];V ),∀ T > 0.

Demonstração: Prova do Corolário 4. Com efeito, do fato que

θ′′ ∈ L2loc(0,∞;L2(Γ1))

e (h(., θ′))′ = h′(., θ′)θ′′ segue-se |(h(., θ′))′| ≤ d1|θ′′| o que implica o resultado.

4.4 Existência de Solução Local

Nosso objetivo nesta seção é provar a existência de solução local do sistema (∗∗)quando u0, v0 e u1, v1 são regulares. Mostraremos a existência de uma solução localpara o sistema (∗∗), usando o Teorema do Ponto Fixo de Banach.

A seguir vamos considerar as seguintes hipóteses sobre as funções Mi, i = 1, 2.

(H4) Mi ∈ W 1,∞loc (]0,∞[×]0,∞[×]0,∞[) com Mi(t, λ, ξ) ≥ mi > 0, com

(mi constantes, i = 1, 2), ∀t, λ, ξ ∈ ([0,∞[)3.

Teorema 4.2 Sejam u0, u1, v0, v1 ∈ W × V tal que as condições de compatibilidade

∂ν+ h(., u1) = 0,

∂ν+ h(., v1) = 0 sobre Γ1,

são satisfeitas. Suponhamos que as funções Mi satisfazem a hipótese (H4) e a função hverificando as hipóteses (H1) e (H2). Então, existe T0 > 0 e um único par de funçõesu, v : Ω× (0, T0) → R na classe∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u, v ∈ (L∞(0, T0;W ))2

u′, v′ ∈ (L∞(0, T0;V )2

u′′, v′′ ∈ (L∞(0, T0;L2(Ω)))2,

(4.45)

tal que u, v é uma solução do sistema acoplado∣∣∣∣∣ u′′ −M1(t, ‖u‖2, ‖v‖2)4u = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω))

v′′ −M2(t, ‖v‖2, ‖u‖2)4v = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω)),

(4.46)

verifica as condições de fronteira∣∣∣∣∣∣∣∂u

∂ν+ h(., u′) = 0 em L2(0, T0;L

2(Γ1))

∂ν+ h(., v′) = 0 em L2(0, T0;L

2(Γ1)),

(4.47)

e satisfaz as condições iniciais ∣∣∣∣∣ u(0) = u0, u′(0) = u1

v(0) = v0, v′(0) = v1.(4.48)

Demonstração: Mostraremos que o sistema (4.46) possui uma solução local usando oTeorema do Ponto Fixo de Banach.

Vamos considerar um número real R > 0 tal que

(R1 +R2), (4.49)

onde 1

= máx 1

m112, 1

m212 e

∣∣∣∣∣∣∣∣∣R2

1 = |u1|2 +M1(0, ‖u0‖2, ‖v0‖2)‖u0‖2 + |v1|2 +M2(0, ‖v0‖2, ‖u0‖2)‖v0‖2 + 1

R22 = M1(0, ‖u0‖2, ‖v0‖2)|4u0|2 +M1(0, ‖u0‖2, ‖v0‖2)‖u1‖2+

+M2(0, ‖v0‖2, ‖u0‖2)|4v0|2 +M2(0, ‖v0‖2, ‖u0‖2)‖v1‖2 + 1,

(4.50)e T0 um número real tal que 0 < T0 < 1 a ser determinado posteriormente.

Definamos BR,T0 como

BR,T0 =

u, v : u, v ∈ (L∞(0, T0;V ))2, u′, v′ ∈ (L∞(0, T0;V ) ∩ C0([0, T0];L

2(Ω)))2 ,

‖u‖L∞(0,T0;V ) + ‖u′‖L∞(0,T0;V ) + ‖v‖L∞(0,T0;V ) + ‖v′‖L∞(0,T0;V ) ≤ R,

u(0) = u0, u′(0) = u1, v(0) = v0, v′(0) = v1

Vamos munir BR,T0 da métrica

d(w1, w2) = ‖u1−u2‖L∞(0,T0;V )+‖v1−v2‖L∞(0,T0;V )+‖u′1−u′2‖C0([0,T0];L2(Ω))+‖v′1−v′2‖C0([0,T0];L2(Ω)),

onde w1 = u1, v1, w2 = u2, v2 ∈ BR,T0 . Mostra-se cf em M.Milla Miranda e L.P.SanGil Jutuca [38] que (BR,T0 , d(u, v)) é um espaço métrico completo.

Consideremos a aplicação S : BR,T0 → H, (z, w) 7→ S(z, w) = (ϕ, ψ) onde H denotao conjunto das soluções (ϕ, ψ) do sistema:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ϕ′′ −M1(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2)4ϕ = 0 em Ω× (0, T0)

ψ′′ −M2(t, ‖w(t)‖2, ‖z(t)‖2)4ψ = 0 em Ω× (0, T0)

ϕ = 0 sobre Γ0 × (0, T0)

ψ = 0 sobre Γ0 × (0, T0)

∂ν+ h(., ϕ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T0)

∂ν+ h(., ψ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T0)

ϕ(0) = u0, ϕ′(0) = u1 em Ω

ψ(0) = v0, ψ′(0) = v1 em Ω.

K = máx

∣∣∣∣∣∂Mi

∂t(t, λ, ξ)

∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∂Mi

∂λ(t, λ, ξ)

∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∂Mi

∂ξ(t, λ, ξ)

∣∣∣∣∣ : 0 ≤ t ≤ T0, λ, ξ ∈ [0, R2]

(4.51)com, i = 1, 2. Considerando µ1(t) = M1(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2), tem-se que µ1 ∈ W 1,1(0, T0).

De fato,

µ′1(t) =∂M1

∂t(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2) +

∂λ(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2)

dt‖z(t)‖2+

+∂M1

∂ξ(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2)

dt‖w(t)‖2.

Como z, w ∈ BR,T0 tem-se que ‖z(t)‖, ‖z′(t)‖, ‖w(t)‖, ‖w′(t)‖ ≤ R e, portanto,‖z(t)‖2, ‖z′(t)‖2, ‖w(t)‖2, ‖w′(t)‖2 ≤ R2.

Logo,|µ′1(t)| ≤ K(1 + 4R3). (4.52)

Assim µ1 ∈ W 1,1(0, T0). Analogamente, obtemos que µ2 ∈ W 1,1(0, T0), onde µ2(t) =

M2(t, ‖w(t)‖2, ‖z(t)‖2).

Logo pelo Teorema 4.1, existe um único par de soluções u, v do sistema (S1) eesta solução tem a regularidade dos vetores de BR,T0 . Portanto a aplicação S está bemdefinida.

Nosso objetivo é mostrar que S(BR,T0) ⊂ BR,T0 e que S é uma contração estrita.Sejam ϕ, ψ a solução do sistema (S1) dada pelo Teorema 4.1 com µ1, µ2 ∈ W 1,1(0, T0),

onde µ1(t) = M2(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2) e µ2(t) = M2(t, ‖w(t)‖2, ‖z(t)‖2). Então pela primeiraestimativa do Teorema 4.1 e (4.50)1, obtemos:

m1‖ϕlm(t)‖2 ≤ R21exp

|µ′1(s)|m1

]m2‖ψlm(t)‖2 ≤ R2

|µ′2(s)|m2

(4.53)

o que implicam

121 ‖ϕlm(t)‖ ≤ R1exp (KT0)

m122 ‖ψlm(t)‖ ≤ R1exp (KT0) ,

(4.54)

para 0 ≤ t ≤ T0, l ≥ l1 e m ≥ 1 com K = m0(1 + 4R3) e 1m0

= máx 1m1, 1

A segunda estimativa do Teorema 4.1, juntamente com (4.50)2 proporciona

m121 ‖ϕ′lm(t)‖ ≤ R2exp (KT0)

m122 ‖ψ′lm(t)‖ ≤ R2exp (KT0) ,

(4.55)

para 0 ≤ t ≤ T0, l ≥ l1 e m ≥ 1.

Tomando o máximo sobre [0, T0] em ambos os membros de (4.54) e (4.55) e depois olimite inferior, primeiro com respeito a m e depois com respeito a l, obtemos:

‖ϕ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ϕ′‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ′‖L∞(0,T0;V ) ≤2

(R1 +R2)exp(KT0).

(4.56)Neste momento calcularemos o valor de T0 para que a expressão acima seja menor ou

igual a R.Seja

f(t) =2

(R1 +R2)eKt.

Então, f é contínua crescente com f(t) →∞ quando t→∞ e

f(0) =2

(R1 +R2) < R.

Do Teorema do Valor Intermediário existe T0 > 0 tal que f(T0) = R, isto é,

(R1 +R2)

. (4.57)

Utilizando (4.56) e (4.57), obtemos T0 > 0 tal que

‖ϕ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ϕ′‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ′‖L∞(0,T0;V ) ≤ R, (4.58)

isto é, ϕ, ψ ∈ BR,T0 , o que prova que S(BR,T0) ⊂ BR,T0 .

Vamos agora mostrar que S é uma contração estrita.Sejam r1, p1, y1, q1 ∈ BR,T0 tais que Sr1, p1 = r, p, Sy1, q1 = y, q e

ϕ, ψ = r − y, p− q. Então,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ϕ′′ −M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)∆r +M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)∆y = 0

ψ′′ −M2(t, ‖p1(t)‖2, ‖r1(t)‖2)∆p+M2(t, ‖q1(t)‖2, ‖y1(t)‖2)∆q = 0

ϕ(0) = 0 sobre Γ0

ψ(0) = 0 sobre Γ0

∂ν+ [h(., r′)− h(., y′)] = 0 sobre Γ1

∂ν+ [h(., p′)− h(., q′)] = 0 sobre Γ1

ϕ(0) = ψ(0) = 0, ϕ′(0) = ψ′(0) = 0 em Ω.

(4.59)

Tomando o produto interno em L2(Ω) com ϕ′(t) em (4.59)1 e com ψ′(t) em (4.59)2,

obtemos: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

d|ϕ′(t)|2 −M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆r(t), ϕ′(t))+

+M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)(∆y(t), ϕ′(t)) = 0

d|ψ′(t)|2 −M2(t, ‖p1(t)‖2, ‖r1(t)‖2)(∆p(t), ψ′(t))+

+M2(t, ‖q1(t)‖2, ‖y1(t)‖2)(∆q(t), ψ′(t)) = 0.

(4.60)

De (4.60)1, obtemos

d|ϕ′(t)|2 −M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t)) =

= [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)).

(4.61)

• Análise de M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t))

Utilizando o Teorema da Green e a condição de fronteira (4.59)5, obtemos:

−M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t)) = M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)1

dt‖ϕ(t)‖2+

+M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)

∫Γ1

[h(., r′(t))− h(., y′(t))]ϕ′(t)dΓ.

Sendo h um operador h : L2(Γ1) → L2(Γ1), z 7→ h(z) monótono tem-se:∫Γ1

[h(., r′(t))− h(., y′(t))]ϕ′(t)dΓ =

∫Γ1

[h(., r′(t))− h(., y′(t))][r′(t)− y′(t)]dΓ ≥ 0.

Destes fatos podemos escrever (4.61) como

d|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2) ≤ 1

dt‖ϕ(t)‖2 ≤

[M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)).

(4.62)

• Notemos que

[M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)) =

= [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)− (M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t))+

+ [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)).

(4.63)

Recordemos que

d(r1, p1, y1, q1) = ‖r1 − p1‖L∞(0,T0;V ) + ‖p1 − q1‖L∞(0,T0;V )+

‖r′1 − p′1‖C0(0,T0;L2(Ω)) + ‖p′1 − y′1‖C0(0,T0;L2(Ω)).

Temos que M1 ∈ W 1,∞loc ([0,∞[)3. Faço uma extensão M1 de M1 a ([−η,∞[)3 de forma

que M1 ∈ W 1,∞loc (]− η,∞[3). Tem-se que

M1 ∈ W 1,∞(]− η, T0[×]− η, 2R2[×]− η, 2R2[).

Assim M1 é uma função lipschitiziana em (]− η, T0[×]− η, 2R2[×]− η, 2R2[), isto é,

|M1(t1, λ1, ξ1)− M1(t1, λ1, ξ2)| ≤ C(T0, R2)‖t1, λ1, ξ1 − t1, λ1, ξ2‖,

onde C(R, T0) é uma constante que depende de R e de T0. Logo

|M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)| ≤ C(T0;R2)∣∣∣‖r1(t)− ‖q1(t)‖∣∣∣.

Portanto,

|M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)(4y(t), ϕ′(t))| ≤≤ C(T0;R

2)|4y(t)||ϕ′(t)|d(r1, p1, y1, q1).

Analogamente obtemos

|M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)(4y(t), ϕ′(t))| ≤≤ C(T0;R

2)|4y(t)||ϕ′(t)|d(r1, p1, y1, q1).

Substituindo as duas últimas desigualdades em (4.63) proporciona:∣∣∣ [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t))∣∣∣ ≤

≤ C|4y(t)||ϕ′(t)|d((r1, p1), (y1, q1)).(4.64)

Como y′′(t)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)4y(t) = 0, da segunda estimativa do Teorema 4.1

e seguindo o mesmo raciocínio utilizado na obtenção de (4.55) e (4.56), obtemos:

|y′′(t)| ≤ R2exp(KT0) para todo 0 ≤ t ≤ T0,

e sendo M1(t, λ, ξ) ≥ m1 > 0, obtemos:

|4y(t)| ≤ m−11 R2exp(KT0) para todo 0 ≤ t ≤ T0.

Daí e da desigualdade elementar 2ab ≤ a2 + b2, tem-se a partir de (4.64) que∣∣∣ [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t))∣∣∣ ≤

≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1

1 R2exp(KT0))2

+ |ϕ′(t)|2.(4.65)

M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)1

dt‖ϕ(t)‖2 =

[M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)‖ϕ(t)‖2

][−∂M1

∂t(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)− ∂M1

∂λ(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)

dt‖r1(t)‖2

]‖ϕ(t)‖2−

−[∂M1

∂ξ(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)

dt‖p1(t)‖2

]‖ϕ(t)‖2.

(4.66)

Substituindo (4.65), (4.66) em (4.62) e usando (4.52), obtemos:

[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)‖ϕ(t)‖2

≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1

1 R2exp(KT0))2

+ |ϕ′(t)|2+

+K(1 + 4R3)‖ϕ(t)‖2.

(4.67)

Integrando (4.67) de 0 a t com t ≤ T0 e usando o fato que ϕ(0) = ϕ′(0) = 0 e queM1(t, λ, ξ) ≥ m1 > 0, obtemos:

|ϕ′(t)|2 +m1‖ϕ(t)‖2 ≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1

1 R2exp(KT0))2T0+

|ϕ′(s)|2ds+K(1 + 4R3)

‖ϕ(s)‖2ds.(4.68)

Trabalhando com (4.60)2 e seguindo o mesmo raciocínio, obtemos como feito acimaque:

|ψ′(t)|2 +m2‖ψ(t)‖2 ≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1

2 R2exp(KT0))2T0+

|ψ′(s)|2ds+K(1 + 4R3)

‖ψ(s)‖2ds.(4.69)

Adicionando (4.68) e (4.69) e considerando

b21 =1

min1,m1,m2máxC(m−1

1 (R2exp(K)T0))2, C(m−1

2 (R2exp(K)T0))2

min1,m1,m2máx1, K(1 + 4R3),

obtemos:

‖ϕ(t)‖2 + ‖ψ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 ≤ b21d2((r1, p1), (y1, q1))T0+

[‖ϕ(s)‖2 + ‖ψ(s)‖2 + |ϕ′(s)|2 + |ψ′(s)|2

(4.70)

De (4.70) e da desigualdade de Gronwall, obtemos:

‖ϕ(t)‖2 + ‖ψ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 ≤ b21d2((r1, p1), (y1, q1))T0exp(2b2T0),

para todo 0 ≤ t ≤ T0.

Portanto,

‖ϕ(t)‖+ ‖ψ(t)‖+ |ϕ′(t)|+ |ψ′(t)| ≤ 4b1d((r1, p1), (y1, q1))T12

0 exp(b2T0), (4.71)

para todo 0 ≤ t ≤ T0.

Logo,d(S(r1, p1), S(y1, q1))) ≤ 4b1d((r1, p1), (y1, q1))T

0 exp(b2T0). (4.72)

Já tinhamos as condições T0 > 0 e T0 = 1K ln

m120 (R1+R2)

], queremos agora encontrar

T0 > 0 tal que4b1T

0 exp(b2T0) ≤ α com 0 < α < 1.

Tem-se que a função g(t) = 4b1t12 exp(b2t) → 0 quando t → 0, logo existe T1 > 0 tal

que4b1T

1 exp(b2T1) < 1. (4.73)

Considerando T0 < min

m120 (R1+R2)

, obtemos que S é uma contração.

Portanto, S é uma contração estrita e consequentemente pelo Teorema do Ponto Fixo deBanach, S tem um único ponto fixo u, v e u, v é a solução procurada. Assim,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u, v ∈ (L∞(0, T0;W )2

u′, v′ ∈ (L∞(0, T0;V )2

u′′, v′′ ∈ (L∞(0, T0;L2(Ω)))2

u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω))

v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω))

∂ν+ h(., u′) = 0 em L2(0, T0;L

2(Γ1))

∂ν+ h(., v′) = 0 em L2(0, T0;L

2(Γ1))

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.

(4.74)

A seguir mostra-se a unicidade de soluções. Sejam então u, v e w, z soluções doProblema (∗∗), u, v, w, z na classe (4.45). Sejam ϕ = u− w e ψ = v − z. Tem-se

dt|ϕ′(t)|2 −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t)) =

= [M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)−M1(t, ‖u(t)‖2, ‖z(t)‖2)] (∆w(t), ϕ′(t)).

(4.75)

Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar (4.64), obtemos:∣∣∣ [M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)−M1(t, ‖u(t)‖2, ‖z(t)‖2)](∆w(t), ϕ′(t))

∣∣∣ ≤≤ C|∆w(t)||ϕ′(t)|‖ψ(t)‖.

(4.76)

Temos:

M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)1

dt‖ϕ(t)‖2 =

[M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2

][−∂M1

∂t(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)− ∂M1

∂λ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)

dt‖u(t)‖2

]‖ϕ(t)‖2−

−[∂M1

∂ξ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)

dt‖v(t)‖2

]‖ϕ(t)‖2.

(4.77)

Usando a fórmula de Green no primeiro membro de (4.75) e substituindo (4.76) e(4.77) em (4.75) e usando a condição de fronteira

∂ϕ(t)

∂ν+ [h(., u′(t))− h(., w′(t))] = 0 sobre Γ1

e o fato que ∫Γ1

[h(., u′(t))− h(., w′(t))](u′(t)− w′(t))dΓ ≥ 0,

obtemos:

[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2

≤[∂M1

∂t(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2) +

∂λ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)

dt‖u(t)‖2

]‖ϕ(t)‖2+

[∂M1

∂ξ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)

dt‖v(t)‖2

]‖ϕ(t)‖2 + C|4w(t)||ϕ′(t)|‖ψ(t)‖.

(4.78)

Usando a hipótese (H4) no primeiro e segundo termo do segundo membro de (4.78), aregularidade da solução u, v e a desigualdade elementar 2ab ≤ a2 + b2 no último termodo segundo membro, obtemos:

[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2

≤ C1‖ϕ(t)‖2 + C(|4w(t)||ϕ′(t)|)2 + ‖ψ(t)‖2 ≤

≤ [C1 + 1 + C|4w(t)|2] [‖ϕ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + ‖ψ(t)‖2] .

Logo,1

[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2

≤ [C1 + 1 + C|4w(t)|2] [‖ϕ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + ‖ψ(t)‖2] .

(4.79)

[|ψ′(t)|2 +M2(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ψ(t)‖2

≤ [C1 + 1 + C|4z(t)|2] [‖ψ(t)‖2 + |ψ′(t)|2 + ‖ϕ(t)‖2] .

(4.80)

Adicionando (4.79) e (4.80), obtemos:

[|ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2 +M2(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ψ(t)‖2

≤ [2C1 + 2 + C|4w(t)|2 + C|4z(t)|2] [|ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 + ‖ψ(t)‖2 + ‖ϕ(t)‖2] .

(4.81)Integrando (4.81) de 0 a t e usando o fato que ϕ(0) = ϕ′(0) = 0 e ψ(0) = ψ′(0) = 0,

obtemos:

|ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2 +M2(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ψ(t)‖2 ≤

≤∫ t

g(s)(|ϕ′(s)|2 + |ψ′(s)|2 + ‖ψ(s)‖2 + ‖ϕ(s)‖2)ds,

(4.82)onde

g(s) =1

min1,m1,m2[2 + 2C1 + C|4w(t)|2 + C|4z(t)|2

Notando que g(s) ∈ L1(0, T0), pois |4w(s)|2, |4z(s)|2 ∈ L1(0, T0) segue-se de (4.82)

e do Lema de Gronwall que: z(t) = w(t) = 0 para todo 0 ≤ t ≤ T0.

Portanto, u = w e v = z, mostrando a unicidade de solução do sistema (∗∗).Suponhamos agora que a hipótese (H3) sobre h é satisfeita.Notemos inicialmente que L∞(0, T0;W ) ∩ Cs([0, T0];V ) = Cs([0, T0];W ), portanto de

(4.74)1 e (4.74)2 conclui-se que faz sentido calcular u(T0), v(T0) e pela observação acimaque u(T0), v(T0) ∈ W e também temos u′(T0), v

′(T0) ∈ V. Também do Corolário 4 resultaque

∂ν+ h(., u) = 0 em C0([0, T0];L

2(Γ1))

portanto∂u(T0)

∂ν+ h(., u(T0)) = 0 em L2(Γ1).

De forma análoga∂v(T0)

∂ν+ h(., v(T0)) = 0 em L2(Γ1).

Com u(T0), v(T0) ∈ W 2, u′(T0), v′(T0) ∈ V 2 verificando as duas últimas igual-

dades, aplicando o Teorema 4.1, determinamos a solução local ϕ, ψ em [0, T1] do Pro-blema.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ϕ′′ − M1(t, ‖ϕ‖2, ‖ψ‖2)4ϕ = 0 em Ω× (0, T1)

ψ′′ − M2(t, ‖ϕ‖2, ‖ψ‖2)4ψ = 0 em Ω× (0, T1)

ϕ = 0 sobre Γ0 × (0, T1)

ψ = 0 sobre Γ0 × (0, T1)

∂ν+ h(., ϕ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T1)

∂ν+ h(., ψ′)) = 0 sobre Γ1 × (0, T1)

ϕ(0) = u(T0), ϕ′(0) = u′(T0) em Ω

ψ(0) = v(T0), ψ′(0) = v′(T0) em Ω,

(4.83)

onde M1(t, λ, ξ) = M1(t+ T0, λ, ξ) e M2(t, λ, ξ) = M2(t+ T0, λ, ξ).

Então, podemos obter uma solução ϕ, ψ sobre [0, T1] com T1 > 0 do sistema (S1).

Tem-se que:

ϕ(t) =

∣∣∣∣∣ u(t), se 0 ≤ t ≤ T0

ϕ(t− T0), se T0 ≤ t ≤ T0 + T1

, ψ(t) =

∣∣∣∣∣ v(t), se 0 ≤ t ≤ T0

ψ(t− T0), se T0 ≤ t ≤ T0 + T1

representa uma solução ϕ, ψ do sistema (∗∗) com dados iniciais u0, v0, u1, v1 sobre ointervalo [0, T0 + T1].

Aplicando o mesmo raciocínio feito na demonstração da unicidade de solução dasolução local do Teorema 4.2, obtemos a unicidade de solução no intervalo [0, T0 + T1].

Consideremos então a família ui(t), vi(t)i∈I de soluções sobre o intervalo [0, Ti] dosistema (∗∗) com dados iniciais u0, v0 ∈ W 2, u1, v1 ∈ V 2 satisfazendo:

∂ν+ h(u1) = 0,

∂ν+ h(v1) = 0 sobre Γ1.

A unicidade de soluções implica que se Ti < Tj então ui(t), vi(t), uj(t), vj(t) coin-cidem sobre o intervalo [0, Ti]. Assim encontramos um intervalo de existência maximal[0, Tmax) dado por [0, Tmax) = ∪i∈I [0, Ti) e este é o intervalo maximal da solução u, vdo sistema (∗∗), quando h satisfaz as hipóteses (H1)-(H3). Aonde u(t) = ∪i∈Iui(t) ev(t) = ∪i∈Ivi(t).

Observação 4.6 Usando a Proposição 2.3 e seguindo as idéias introduzidas em M.MillaMiranda e L.A. Medeiros [36], constroi-se uma base especial em V ∩ H2(Ω) com u0 ∈

V ∩H2(Ω), u1 ∈ V e∂u0

∂ν+ h(u1) = 0 sobre Γ1, sendo h uma função lipschitiziana.

4.5 Existência de Solução Global

Nesta seção obtém-se uma solução u(x, t) para o problema

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ +M(., ‖u‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ h(u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

com ‖u0‖ e |u1| pequenos.Os resultados obtidos foram inspirados pelo Trabalho de I.Lasiecka e J.Ong [20] onde

eles obtém uma solução u do problema (?) acima para o caso particular

M(t, λ) = m0 +m1λ, m0 > 0, m1 ≥ 0

Fixam-se as seguintes hipóteses:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

M ∈ C1([0,∞)2), M(t, λ) ≥ m0 > 0, ∀t, λ ∈ [0,∞)2

∂t(t, λ) ≤ 0,

∂λ(t, λ) ≥ 0, ∀t, λ ∈ [0,∞)2

Existem funções contínuas Q(λ) e R(λ) satisfazendo

Q(0) = 0 e∣∣∣∂M∂t

(t, λ)∣∣∣ ≤ Q(λ),∣∣∣∂M

∂λ(t, λ)

∣∣∣ ≤ R(λ), ∀t, λ ∈ [0,∞)2

(H2) h ∈ C1(R), h(0) = 0, 0 < d0 ≤ h′(s) ≤ d1 <∞, ∀s ∈ R (d0 e d1 constantes)

∣∣∣∣∣∣∣u0 ∈ V ∩H2(Ω), u1 ∈ V

∂ν+ h(u1) = 0 sobre Γ1

Observação 4.7 A função M(t, λ) = m0 + m1

1+tλσ, σ ∈ R, σ ≥ 1, m0 > 0, m1 ≥ 0

constantes satisfaz as condições da hipóteses (H1).

Com relação ao Problema (?) sabe-se da seção anterior que existe uma única u naclasse ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u ∈ L∞loc(0, Tmax;V ∩H2(Ω))

u′ ∈ L∞loc(0, Tmax;V )

u′′ ∈ L∞loc(0, Tmax;L2(Ω))

(4.84)

que verifica

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −M(., ‖u‖2)4u = 0 em L∞loc(0, Tmax;L2(Ω))

∂ν+ h(u′) = 0 em L2

loc(0, Tmax;H12 (Γ1))

∂u′

∂ν+ h′(u′)u′′ = 0 em L2

loc(0, Tmax;L2(Γ1))

u(0) = u0, u′(0) = u1,

ondeTmax = sup T > 0, T e u vefiricam (4.84) e (P1) em [0, T ]

Sejaµ(t) = M(t, ‖u(t)‖2), t ∈ [0, Tmax). (4.85)

Da classe (4.84) resulta que

u ∈ C0([0, Tmax);V ), u′ ∈ C0s ([0, Tmax);V )

Logo((u(t), u′(t))) é contínua em [0, Tmax).

Das duas últimas expressões, da hipótese (H1) e do fato

µ′(t) =∂M

∂t(t, ‖u(t)‖2) + 2

∂λ(t, ‖u(t)‖2)((u(t), u′(t)))

tem-se que ∣∣∣∣∣∣ µ ∈ C1([0, Tmax))

µ(t) ≥ m0 > 0, ∀t ∈ [0, Tmax)(4.86)

Formalmente da equação (P1) tem-se

u′′′ − µ4u′ − µ′

µ(µ4u) = 0.

Notando que u′′ = µ4u resulta que

u′′′ − µ4u′ − µ′

µu′′ = 0.

Usando a notação u′ = w, obtém-se:

w′′ − µ4w − µ′

µw′ = 0.

Com relação a esta equação tem-se o seguinte resultado:

Proposição 4.4 Existe w na classe

w ∈ C0([0, Tmax);V )

w′ ∈ C0([0, Tmax);L2(Ω))

(4.87)

tal que

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

w′′ − µ4w − µ′

µw′ = 0 em C0([0, Tmax);V

∂ν+ h′(u′)w′ = 0 em L2

w(0) = u1, w′(0) = µ(0)4u0,

onde u0 e u1 foram determinados em (H3) e u′ em (4.84).

Observação 4.8 Note que o Problema (P2) com a primeira equação válida em L∞loc(0, Tmax;V′)

tem unicidade de soluções na classe∣∣∣∣∣∣w ∈ L∞loc(0, Tmax;V )

w′ ∈ L∞loc(0, Tmax;L2(Ω))

Este fato é mostrado pelo método de Ladyahenskaya, ver M.Milla Miranda e L.A.Medeiros[36].

Demonstração: Faz-se a demonstração em três etapas.Primeira Etapa (Regularização de Funções)

Fixa-se T com 0 < T < Tmax. Sejam

f(t) =µ′(t)

µ(t), 0 ≤ t ≤ T

e f(t) a função contínua em R :

f(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f(t), t ∈ [0, T ]

linear, t ∈ [−1, 0)

linear, t ∈ (T, T + 1]

0, t /∈ [−1, T + 1]

Considere uma sucessão regularizante (ρl) de R e a sucessão (ρl ∗ f). Então pelaspropriedades de convolução de funções, obtém-se:

Fl = ρl ∗ f → f em C0([0, T ]) (4.88)

Por outro lado, seja g(x, t) = h′(u′(x, t)), x ∈ Γ1, t ∈ [0, T ]. Considere um sistema decartas locais

U1, ϕ1, . . . , UN , ϕN

de Γ1 e θ1, . . . , θN uma partição C∞ subordinada a U1, . . . , UN. Sejam

gj(x, t) = θj(x)g(x, t), x ∈ Γ1, t ∈ (0, T ), j = 1, . . . , N,

vj(y′, t) = gj(ϕ

−1j (y′, t)), y′ ∈ [−1, 1]n−1, t ∈ [0, T ]

vj(y′, t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

vj(y′, t), y′, t ∈ [−1, 1]n−1 × [0, T ]

d0, y′, t ∈ [−1, 1]n−1 × [−1, 0)

d1 , y′, t ∈ [−1, 1]n−1 × (T, T + 1]

0, y′, t /∈ [−1, 1]n−1 × [−1, T + 1]

Considere uma sucessão regularizante (σl) em Rn. Sejam

Glj(x, t) = (σl ∗ vj)(ϕj(x, t)), x ∈ Γ1, t ∈ R

Gl(x, t) =N∑

Glj(x, t)

Então

Gl → g em L∞(Γ1 × (0, T )) (4.89)

2d0 ≤ Gl(x, t) ≤

2d1, ∀x ∈ Γ1, t ∈ [0, T ], e l ≥ l0. (4.90)

Segunda Etapa (Problema Aproximado)

Considere (w0k) e (w1

k) sequências de D(−4) e D(Ω), respectivamente, tais que

w0k → u1 em V e w1

k → µ(0)4u0 em L2(Ω) (4.91)

Observe∂w0

∂ν+Glw

1k = 0 sobre Γ1. (4.92)

Fixe k e considere a base de V ∩H2(Ω)

wk1 , w

k2 , . . . , ,

onde w0k e w1

k pertencem ao subespaço gerado por wk1 e wk

2 . Denote por V km o subespaço

gerado por wk1 , w

k2 , . . . , w

wlkm(t) =n∑

glkmj(t)wj

definido por

∣∣∣∣∣∣∣(w′′lkm(t), v) + µ((wlkm(t), v)) + µ

∫Γ1

Glw′lkm(t)vdΓ− (Flw

′lkm(t), v) = 0, ∀v ∈ V k

wlkm(0) = w0k, w′lkm(0) = w1

Terceira Etapa (Estimativas a Priori)

Primeira Estimativa: Para facilitar a notação deixaremos de escrever os índices l, k,mde wlkm. Substituindo v por 2w′′ em (PA) resulta

dt|w′|2 + µ

dt‖w‖2 + 2µ

∫Γ1

Glw′2dΓ− 2(Flw

′, w′) = 0

donde, por (4.88) e (4.90) tem-se

dt|w′|2 +

[µ|w′|2

]+ µ(0)d0

∫Γ1

w′2dΓ ≤ C|w′|2 +|µ′|µ

[µ‖w‖2

]onde C > 0 é uma constante independente de l, k e m. Aplicando a desigualdade deGronwall resulta então

|w′lkm(t)|2 + µ‖wlkm(t)‖2 + µ(0)d0

∫Γ1

w′2lkm(s)dΓds ≤

≤[|w1

k|2 + µ(0)‖w0k‖2]exp

[|µ′|µ

]ds, ∀t ∈ [0, T ], l ≥ l0

(4.93)

o que implica ∣∣∣∣∣∣∣∣∣‖wlkm‖L∞(0,T ;V ) ≤ Ck, ∀m e l ≥ l0

‖w′lkm‖L∞(0,T ;L2(Ω)) ≤ Ck, ∀m e l ≥ l0

‖w′lkm‖L∞(0,T ;L2(Γ1)) ≤ Ck, ∀m e l ≥ l0

(4.94)

Segunda Estimativa: Derivando com relação a t a equação aproximada (PA) e substi-tuindo v por 2w′′, obtém-se:

∣∣∣∣∣∣∣∣2(w′′′, w′′) + µ((w′, 2w′′)) + 2µ′((w,w′′)) + 2µ

∫Γ1

G′lw

′w′′dΓ+

∫Γ1

Glw′′2dΓ + 2µ′

∫Γ1

Glw′w′′dΓ− 2(F ′

lw′, w′′)− 2(Flw

′′, w′′) = 0

(4.95)

Substituindo v por 2µ′

µw′′ na equação aproximada (PA) resulta

2µ′((w,w′′)) + 2µ′∫

Glw′w′′dΓ = −2

µ|w′′|2 + 2

µ(Flw

′, w′′).

Levando em consideração esta igualdade em (4.95) tem-se

dt|w′′|2 + µ

dt‖w′‖2 − 2

µ|w′′|2 + 2

µ(Flw

′, w′′) + 2µ

∫Γ1

G′lw

′w′′dΓ+

∫Γ1

Glw′′2dΓ− 2(F ′

lw′, w′′)− 2(Flw

′′, w′′) = 0,

o que implica

dt|w′′|2 +

[µ‖w′‖2

]+ µ(0)d0

∫Γ1

w′′2dΓ ≤

≤ |µ′|µ

[µ‖w′‖2

|µ′|µ|w′′|2 + 2

|µ′|µ|(Flw

′, w′′)|+

∫Γ1

|G′l||w′||w′′|dΓ + 2|(F ′

lw′, w′′)|+ 2|(Flw

′, w′′)|

Observe que

∫Γ1

|G′l||w′||w′′|dΓ ≤ Cl

∫Γ1

|w′||w′′|dΓ ≤

≤ C2l

∫Γ1

|w′|2dΓ + ε

∫Γ1

|w′′|2dΓ

Escolhendo ε = µ(0)d0

2e substituindo esta desigualdade na penúltima expressão resulta

dt|w′′|2 +

[µ‖w′‖2

]+µ(0)d0

∫Γ1

w′′2dΓ ≤

≤ |µ′|µ

[µ‖w′‖2

|µ′|µ|w′′|2 + C|w′|2+

µ(0)d0

∫Γ1

|w′|2dΓ + C|w′′|2

Integrando com relação a t e considerando as estimativas (4.94) tem-se

|w′′(t)|2 + µ(t)‖w′(t)‖2 +µ(0)d0

∫Γ1

w′′2dΓds ≤

≤[‖w′′(0)‖2 + µ(0)‖w0

k‖2 + C

|w′|2dt+ C

∫Γ1

w′2dΓdt

[3|µ′|µ

(4.96)

Por outro lado, da equação aproximada (PA) calculada em t = 0, fazendo v = w′′(0)

e usando a relação (4.92), obtém-se:

|w′′(0)|2 − µ(0)(4w0k, w

′′(0))− (Fl(0)w1k, w

′′(0)) = 0

o que implica|w′′lkm(0)| ≤ Ck, ∀l,m.

Considerando esta desigualdade em (4.96) resulta

‖w′lkm‖L∞(0,T ;V ) ≤ Cl,k, ∀m e l ≥ l0

‖w′′lkm‖L∞(0,T ;L2(Ω)) ≤ Cl,k, ∀m e l ≥ l0

‖w′′lkm‖L2(0,T ;L2(Γ1)) ≤ Cl,k, ∀m e l ≥ l0

(4.97)

Das estimativas (4.94) e (4.97) tem-se que existe uma subsequência de (wlkm), aindadenotada por (wlkm), e uma função wlk tal que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

wlkm∗ wlk em L∞(0, T ;V )

w′lkm∗ w′lk em L∞(0, T ;V )

w′′lkm∗ w′′lk em L∞(0, T ;L2(Ω))

w′lkm w′lk em L2(0, T ;L2(Γ1))

w′′lkm w′′lk em L2(0, T ;L2(Γ1))

(4.98)

As convergências acima implicam

wlk ∈ C0([0, T ];V ), w′lk ∈ C0([0, T ];L2(Ω)) e w′lk ∈ C0([0, T ];L2(Γ1)) (4.99)

Levando em consideração as convergências acima e seguindo o raciocínio desenvolvidoem M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtém-se

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣w′′lk − µ∆wlk − Flw

′lk = 0 em L∞(0, T ;L2(Ω))

∂wlk

∂ν+Glwlk = 0 em L2(0, T ;H

12 (Γ1))

wlk(0) = w0k, w′lk(0) = w1

Observação 4.9 Das equações acima e das convergências (4.98) segue-se que∣∣∣∣∣∣∣∣∣wlk ∈ L∞(0, T ;V ∩H2(Ω))

w′lk ∈ L∞(0, T ;V ) ∩ L2(0, T ;H12 (Γ1))

w′′lk ∈ L∞(0, T ;L2(Ω))

Considere duas soluções wlk e wlp do Problema (Plk) e por wlkp = wlk−wlp. Obtém-sede (Plk)

(Plkp)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣w′′lkp − µ∆wlkp − Flw

′lkp = 0 em L∞(0, T ;L2(Ω))

∂wlkp

∂ν+Glwlkp = 0 em L2(0, T ;L2(Γ1))

wlkp(0) = w0k − w0

p, w′lkp(0) = w1k − w1

Para facilitar a escrita deixaremos de escrever os índices l, k, p e wlkp. De (Plkp) resulta

(w′′, 2w′) + µ((w, 2w′)) + 2µ

∫Γ1

Glw′w′dΓ− 2(Flw

′, w′) = 0

o que implica

dt|w′|2 +

[µ‖w‖2

]+ µ(0)d0

∫Γ1

w′2dΓ ≤ |µ′|µ

[µ‖w‖2

]+ C|w′|2

onde C > 0 é uma constante independente de l. Integrando com relação a t resulta

|w′(t)|2 + µ(t)‖w(t)‖2 + µ(0)d0

∫Γ1

w′2dΓds ≤

≤[|w1

k − w1p|2 + µ(0)‖w0

k − w0p‖2]exp

[|µ′|µ

]dt, ∀l ≥ l0

Das convergências (4.91) obtém-se então∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(wlk) é de Cauchy em C0([0, T ];V )

(w′lk) é de Cauchy em C0([0, T ];L2(Ω))

(w′lk) é de Cauchy em L2(0, T ;L2(Γ1))

Notando que o segundo membro da última desigualdade não depende de l, tem-seentão que existe uma função w tal que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

wlk → w em C0([0, T ];V )

w′lk → w′ em C0([0, T ];L2(Ω))

w′lk → w′ em L2(0, T ;L2(Γ1))

(4.100)

Considere v ∈ L∞(0, T ;V ) com v′ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)) e v(0) = v(T ) = 0. Tomando oproduto escalar em L2(Ω) da equação em (Plk) com v resulta:

−∫ T

(w′lk, v′)dt+

µ((wlk, v))dt+

∫Γ1

Glw′lkvdΓdt−

(Flw′lk, v)dt = 0 (4.101)

Das propriedades (4.89) e (4.90) de Gl, implicam

Glv → gv em L2(0, T ;L2(Γ1))

e de (4.88), resultaFlw

′lk → fw′ em L2(0, T ;L2(Ω))

Tomando o limite em (4.101) e usando as duas últimas convergências e as convergên-cias (4.100), obtém-se:

−∫ T

(w′, v′)dt+

µ((w, v))dt+

∫Γ1

gw′vdtdt−∫ T

(fw′, v)dt = 0

Considerando v ∈ D(Ω× (0, T )) nesta última equação obtém-se a primeira equaçãode (P2) em [0, T ]. Procedendo como em M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtém-setambém a segunda equação de (P2) em [0, T ] e as condições iniciais de (P2).

Notando que T com 0 < T < Tmax foi arbitrário, segue a proposição.Note que u′ é solução do Problema (P2) na classe dada na Observação 4.8. Como

nessa classe as soluções de (P2) são únicas tem-se que u′ = w. Assim

u′ ∈ C0([0, Tmax);V )

u′′ ∈ C0([0, Tmax);L2(Ω))

Da equação u′′ − µ4u = 0 tem-se então

4u ∈ C0([0, T ];L2(Ω)).

Também por h ser lipschitiziana resulta

h(u′) ∈ C0([0, T ];H12 (Γ1))

logo∂u

∂ν∈ C0([0, T ];H

12 (Γ1))

As três últimas expressões e a segunda equação de (P1) implicam

u ∈ C0([0, Tmax);V ∩H2(Ω))

Observação 4.10 Seja z ∈ V então γ0h(z) = h(γ0z). De fato, seja (ϕη) uma sucessãode funções, ϕη ∈ C1(Ω), tal que

ϕη → z em V

Tem-se γ0h(ϕη) = h(γ0ϕη). Tomando o limite em ambos os membros desta igualdadesegue-se o resultado.

Do exposto e de (4.84) e (P1), obtém-se:

Teorema 4.3 Sob as hipóteses (H1)-(H3), existe uma única u na classe∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u ∈ C0([0, Tmax);V ∩H2(Ω))

u′ ∈ C0([0, Tmax);V )

u′′ ∈ C0([0, Tmax);L2(Ω)),

(4.102)

que verifica

(P1)′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −M(., ‖u‖2)4u = 0 em C0([0, Tmax);L2(Ω))

∂ν+ h(u′) = 0 em C0([0, Tmax);H

12 (Γ1))

∂u′

∂ν+ h′(u′)u′′ = 0 em L2

u(0) = u0, u′(0) = u1,

onde 0 < Tmax ≤ ∞.

Seja M(t, λ) =∫ λ

0M(t, σ)dσ então

M(t, λ) ≥ m0λ, ∀t, λ ∈ [0,∞)2 (4.103)

Seja u a solução obtida no Teorema 4.3. Então

dtM(t, ‖u(t)‖2) =

∫ ‖u(t)‖2

∂tM(t, σ)dσ +M(t, ‖u(t)‖2)

dt‖u(t)‖2.

Multiplicando ambos os membros da equação (P1)′ e integrando em Ω resulta

dt|u′|2 +M(., ‖u‖2)

dt‖u‖2 − 2M(., ‖u‖2)

∫Γ1

∂νu′dΓ = 0

Levando em consideração a segunda equação de (P1)′ e a última igualdade, obtém-se:

dt|u′|2 +

dtM(., ‖u‖2)−

∫ ‖u(t)‖2

∂tM(., σ)dσ + 2M(., ‖u(t)‖2)

∫Γ1

h(u′)u′dΓ = 0.

Integrando de 0 < s < t < Tmax, segue-se então

|u′(t)|2 + M(t, ‖u‖2)−∫ t

[∫ ‖u(t)‖2

∂tM(t, σ)dσ

[∫Γ1

M(ξ, ‖u(ξ)‖2)h(u′(ξ))u′(ξ)dΓ

]dξ =

= |u′(s)|2 + M(s, ‖u(s)‖2), ∀0 ≤ s < t < Tmax

Eu(t) = |u′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2) (4.104)

Então a última igualdade adota a forma

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Eu(t)−

[∫ ‖u(t)‖2

∂tM(t, σ)dσ

[∫Γ1

M(ξ, ‖u(ξ)‖2)h(u′(ξ))u′(ξ)dΓ

]dξ = Eu(s), ∀0 ≤ s < t < Tmax.

Os fatos ∂M∂t≤ 0, M ≥ m0 > 0 e a identidade (I1) implicam

m0‖u(t)‖2 ≤ Eu(t) ≤ Eu(0)

SejaL = max

0≤λ≤ 1m0

Eu(0)M(0, λ)

Então das duas últimas expressões decorre

m0 ≤ µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2) ≤M(0, ‖u(t)‖2) ≤ L

isto é,m0 ≤ µ(t) ≤ L, ∀0 ≤ t < Tmax. (4.105)

Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então multiplicando ambos os membrosda equação (Plk) e integrando em Ω tem-se

dt|w′lk|2 +

dt[µ‖wlk‖2] + 2µ

∫Γ1

Glw′lkdΓ− 2(Flw

′lk, w

′lk) =

µ[µ‖wlk‖2]

Integrando de 0 ≤ s < t < Tmax e tomando o limite resulta

|w′(t)|2 + µ(t)‖w(t)‖2 + 2

µ(ξ)

[∫Γ1

h′(u′(ξ))w′2(ξ)dΓ

]dξ =

µ′(ξ)

µ(ξ)

[µ(ξ)‖w(ξ)‖2 + 2|w′(ξ)|2

]dξ + |w′(s)|2 + µ(s)‖w(s)‖2

Ew(t) = |w′(t)|2 + µ(t)‖w(t)‖2 (4.106)

Então a última igualdade adota a forma

(I2) Ew(t) + 2

µ(ξ)

[∫Γ1

h′(u′(ξ))w′2(ξ)dΓ

]dξ =

µ′(ξ)

µ(ξ)

[µ(ξ)‖w(ξ)‖2 + 2|w′(ξ)|2

]dξ + Ew(s), ∀0 ≤ s < t < Tmax.

A seguir enuncia-se o principal resultado desta seção.

Teorema 4.4 Suponha satisfeitas as hipóteses (H1)-(H3). Seja

Eu(0) ≤ ρ2

onde ρ > 0 é um número real pequeno e satisfazendo a condição (4.144), a qual dependedas funções M,h,Ω, d0 e d1. Então Tmax = ∞. Além disso verifica-se

|µ(t)∆u(t)|2 + µ(t)‖u′(t)‖2 ≤ C[|µ(0)4u0|2 + µ(0)‖u1‖2

], ∀0 ≤ t < Tmax (4.107)

onde µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2) e C > 0 é uma constante que depende de M,h,Ω, e ρ.

A demonstração do Teorema 4.4 será feita em duas etapas. Na primeira mostra-se oseguinte resultado.

Proposição 4.5 Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então

Ew(t) ≤ CEw(0), ∀0 ≤ t < Tmax (4.108)

onde C > 0 é a mesma constante de (4.107).

Na segunda etapa, utilizando a Proposição 4.5 mostra-se o Teorema 4.4.A Proposição 4.5 seguira depois da demonstração de três lemas. Para enunciar o

primeiro lema, introduz alguns conceitos prévios.Localmente para cada x ∈ Γ1 determina-se uma base ortonormal

ν(x), τ 1(x), τ 2(x), . . . , τn−1(x)

do Rn onde ν(x) é o vetor normal unitário exterior em x ∈ Γ1 e τ 1(x), τ 2(x), . . . , τn−1(x)

são vetores tangentes em x ∈ Γ1.

Seja w a solução do Problema (Plk) e 0 ≤ t < Tmax. Então

∇w(x, t) = ν(x)[∇w(x, t).ν(x)] +n−1∑k=1

τ k(x)[∇w(x, t).τ k(x)]

que implica

|∇w(x, t)|2 = [∇w(x, t).ν(x)]2 +n−1∑k=1

[∇w(x, t).τ k(x)]2

isto é,

|∇w(x, t)|2 =

∂νw(x, t)

+n−1∑k=1

∂τ k(x, t)

Usando a notação [∂w

∂τ(x, t)

=n−1∑k=1

∂τ k(x, t)

tem-se então

|∇w(x, t)|2 =

∂νw(x, t)

∂τ(x, t)

, q.t x ∈ Γ1, ∀ 0 ≤ t < Tmax (4.109)

Seja wlk a solução do Problema (Plk). Introduz-se a notação

Ewlk(t) = |w′lk(t)|2 + µ(t)‖wlk(t)‖2, 0 ≤ t < Tmax.

Tem-se o seguinte resultado.

Lema 4.5.1 Seja wlk a solução do Problema (Plk). Então∫ t

Ewlk(ξ)dξ ≤ CEwlk

(0) + C

∫Γ1

[∂wlk

+ w′2lk +

(∂wlk

)2dΓdξ+

[|Fl(ξ)|+ ε]Ewlk(ξ)dξ,∀ 0 ≤ t < Tmax, l ≥ l0(ε),

onde ε > 0 e C > 0 é uma constante que é independente de t, l, k e ε.

Demonstração: Para facilitar a notação deixaremos de escrever os índices l, k de wlk el de Fl.

Seja m(x) = x− x0, x ∈ Rn. Usaremos o multiplicador m(x).∇w(x), x ∈ Ω.

Seja 0 ≤ t < Tmax. De (Plk) tem-se∫ t

(w′′,m.∇w)dξ +

µ(−4w,m.∇w)dξ −∫ t

F (w′,m.∇w)dξ = 0 (4.110)

Tem-se: ∫ t

(w′′,m.∇w)dξ = (w′,m.∇w)∣∣∣t0−∫ t

(w′,m.∇w′)dξ (4.111)

Também da Observação 4.9, resulta

(−4w,m.∇w) = (∇w,∇[m.∇w])−∫

∂ν(m.∇w)dΓ.

(∇w,∇[m.∇w]) =∑

mj∂w

=∑i,j

dx+∑i,j

mj∂2w

∂xi∂xj

=∑i,j

δij∂w

dx+∑i,j

dx− 1

∑i,j

vjdΓ =

= ‖w‖2 − n

2‖w‖2 +

(m.ν)|∇w|2dΓ,

isto é,

(−4w,m.∇w) = ‖w‖2 − n

2‖w‖2 +

(m.ν)|∇w|2dΓ−∫

∂ν(m.∇w)dΓ (4.112)

Por outro lado,∫ t

(w′,m.∇w′)dξ =∑

w′mj∂w′

dxdξ =

w′2dxdξ =

= −1

w′2dxdξ +1

mjνjw′2dΓdξ =

= −n2

w′2dxdξ +1

(m.ν)w′2dΓdξ

isto é, ∫ t

(w′,m.∇w′)dξ = −n2

w′2dxdξ +1

(m.ν)w′2dΓdξ (4.113)

Então (4.111) toma a forma∫ t

(w′′,m.∇w)dξ = (w′,m.∇w)∣∣∣t0+n

|w′|2dξ − 1

(m.ν)w′2dΓdξ (4.114)

Substituindo (4.112) e (4.114) em (4.110) resulta∫ t

[|w′|2 − µ‖w‖2

]dξ = −

µ‖w‖2dξ − (w′,m.∇w)∣∣∣t0+

(m.ν)[w′2 − µ|∇w|2

]dΓdξ +

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓdξ+

F (w′,m.∇w)dξ

(4.115)

De (Plk) resulta ∫ t

(w′′ − µ4w − Fw′, w)dξ = 0 (4.116)

Tem-se ∫ t

(w′′, w)dξ = (w′, w)∣∣∣t0−∫ t

|w′|2dξ (4.117)

Também ∫Ω

(−4ww)dξ = ‖w‖2 −∫

∂νwdΓ

o que implica ∫ t

µ(−4w,w)dξ =

µ‖w‖2dξ −∫ t

µw∂w

∂νdΓdξ (4.118)

Substituindo (4.117) e (4.118) em (4.116), obtém-se:∫ t

[|w′|2 − µ‖w‖2]dξ = (w′, w)∣∣∣t0−∫ t

µw∂w

∂νdΓdξ−

−∫ t

F (w′, w)dξ

o que implica∫ t

2[|w′|2 − µ‖w‖2]dξ =

2(w′, w)

∣∣∣t0− n

µw∂w

∂νdΓdξ−

F (w′, w)dξ

(4.119)

Igualando os primeiros membros de (4.115) e (4.119) resulta:

−∫ t

µ‖w‖2dξ − (w′,m.∇w)∣∣∣t0+

(m.ν)[w′2 − µ|∇u|2

]dΓdξ+

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓdξ +

F (w′,m.∇w)dξ =

2(w′, w)

∣∣∣t0− n

µw∂w

∂νdΓdξ − n

F (w′, w)dξ

Notando que w e w′ são iguais a zero sobre Γ0 resulta então∫ t

µ‖w‖2dξ +1

µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ = −(w′,m.∇w)∣∣∣t0+

∫Γ1

(m.ν)w′2dΓdξ +

µ∂w

F (w′,m.∇w)dξ−

−n2(w′, w)

∣∣∣t0+n

∫Γ1

µw∂w

∂νdΓdξ +

F (w′, w)dξ

(4.120)

Usando as notações:

• I =1

µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ,

• J1 =1

∫Γ1

(m.ν)w′2dΓdξ,

• J2 =1

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓdξ,

• J3 =n

∫Γ1

µw∂w

∂νdΓdξ,

• J4 = −(w′,m.∇w)∣∣∣t0− n

2(w′, w)

∣∣∣t0,

• J5 =

F (w′,m.∇w)dξ +n

F (w′, w)dξ.

a expressão (4.120) toma a forma∫ t

µ‖w‖2dξ + I =5∑

Jl (4.121)

A seguir modifica-se I e os Jl,s.

• Modificação de I.Por ter-se m.ν > 0 sobre Γ1 obtemos:

∫Γ0

µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ ≤ I

• Modificação de J1.

J1 ≤R

∫Γ1

w′2dΓdξ ≤ R

∫Γ1

µw′2dΓdξ

Tem-seJ2 =

∫Γ0

µ∂w

∫Γ1

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓdξ (4.122)

Note que m.∇w = (m.ν)∂w∂ν

∂w∂ν

)2= |∇w|2 sobre Γ0. (Ver M.Milla Miranda e L.A.

Medeiros [35]). Logo,∫Γ0

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓ =

∫Γ0

µ(m.ν)

∫Γ0

µ(m.ν)|∇w|2dΓ,

isto é, ∫ t

∫Γ0

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓdξ =

∫Γ0

µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ (4.123)

Também, usando (4.109), obtém-se:∣∣∣ ∫Γ1

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓ

∣∣∣ ≤ R

∫Γ1

µ∣∣∣∂w∂ν

∣∣∣|∇w|dΓ ≤≤ R

∫Γ1

dΓ +R

∫Γ1

|∇w|2dΓ ≤

∫Γ1

dΓ +R

∫Γ1

[(∂w

)2]dΓ =

≤ Rµ

∫Γ1

dΓ +R

∫Γ1

isto é,∫ t

∫Γ1

µ∂w

∂ν(m.∇w)dΓdξ ≤ R

∫Γ1

dΓdξ+R

∫Γ1

dΓdξ (4.124)

Combinando (4.123) e (4.124) com (4.122) resulta

J2 ≤∫ t

∫Γ0

µ(m.ν)|∇w|2dξ +R

∫Γ1

dΓdξ +R

∫Γ1

dΓdξ

Para ε > 0 resulta

J3 ≤ ε

∫Γ1

µw2dΓdξ + C(ε)

∫Γ1

dΓdξ,

onde C(ε) > 0 é uma constante independente de 0 ≤ t < Tmax.

Por cálculos simples segue-se que existe uma constante C > 0, independente de 0 ≤t < Tmax, tal que

J4 ≤ C[Ew(0) + Ew(t)]

Também por cálculos simples obtém-se que existe uma constante C > 0, independentede 0 ≤ t < Tmax, tal que

J5 ≤ C

|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.

Levando em consideração as modificações sobre I e sobre as Jl, 1 ≤ l ≤ 5, obtém-se:∫ t

µ‖w‖2dξ − 1

∫Γ0

µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ ≤ C[Ew(0) + Ew(t)]+

∫Γ1

µw2dΓdξ + C(ε)

∫Γ1

[(∂w

+ w′2 +

)2]dΓdξ+

|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.

(4.125)

Do fato ‖w‖2L2(Γ1) ≤ K‖w‖2 segue-se

∫Γ1

µw2dΓdξ ≤ Kε

µ‖w‖2dξ

Somando∫ t

0|w′|2dξ a ambos os membros da desigualdade (4.125), notando que m.ν ≤

0 sobre Γ0 e levando em consideração a última desigualdade, obtém-se:∫ t

Ew(ξ)dξ ≤ C[Ew(0) + Ew(t)] + (K + 1)ε

Ew(ξ)dξ+

+C(ε)

∫Γ1

[(∂w

+ w′2 +

|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.

Escolhendo ε > 0 apropriado e notando que

m0 ≤ µ(t) ≤ L, ∀0 ≤ t < Tmax

(ver (4.105) para a definição de L) resulta da última desigualdade.∫ t

Ew(ξ)dξ ≤ C[Ew(0) + Ew(t)]+

+C(ε)L

∫Γ1

[(∂w

+ w′2 +

|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.

(4.126)

A seguir modifica-se Ew(t). A identidade (I2) para a solução wlk adota a forma:

Ew(t) +

µ(ξ)

[∫Γ1

Gl(ξ)w′2(ξ)dΓ

]dξ =

µ′(ξ)

µ(ξ)

[µ(ξ)‖w(ξ)‖2

]+ 2(F (ξ)w′(ξ), w′(ξ))

dξ + Ew(0)

Esta expressão junto com a desigualdade

µ[µ‖w‖2] + 2(Fw′, w′) ≤ 2(F + ε)

[µ‖w‖2 + |w′|2

]implica

Ew(t) ≤ C

[|F (ξ)|+ ε]Ew(ξ)dξ + Ew(0), 0 ≤ t < Tmax (4.127)

A desigualdade acima e (4.126) proporcionam o lema. A desigualdade acima e (4.126)

proporcionam o lema.

Note que não se tem informações sobre ∂w∂τ, logo para poder utilizar o Lema 4.5.1

é preciso escrever esta derivada em função dos outros termos do membro esquerdo dadesigualdade do Lema 4.5.1. Isto é feito utilizando o seguinte resultado devido a I.Lasieckae R. Triggiane [22]:

Lema 4.5.2 Dado 0 < t < Tmax, seja δ um número real positivo tal que δ < t2. Sejam wlk

a solução do Problema (Plk) e ε, ε0 constantes positivas pequenas e arbitrárias. Então aseguinte estimativa é válida∫ t−δ

∥∥∥∂wlk

∥∥∥L2(Γ1)

dξ ≤ C(δ, ε)

[∥∥∥∂wlk

∥∥∥2

L2(Γ1)+ ‖w′lk‖2

L2(Γ1) + ‖Flw′‖2

H− 12+ε(Ω)

+C(δ, ε0)‖wlk‖2

H12+ε0 (Ω×(0,T ))

O Lema 4.5.2 vai proporcionar o seguinte resultado

Lema 4.5.3 Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então∫ t

Ew(ξ)dξ ≤ CEw(0) + CL

[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2]Ew(ξ)dξ+

∫Γ1

[(∂w

+ w′2

]dΓdξ + C

Eu(ξ)dξ, ∀0 ≤ t < Tmax

onde C > 0 é uma constante independente de 0 ≤ t < Tmax. A constanta L foi definidaem (4.105).

Demonstração: De início mostra-se uma versão do lema para as soluções wlk de (Plk).

Passando ao limite neste resultado e usando as convergências (4.100) e (4.88), obtém-se-áo lema.

Seja então wlk a solução de (Plk). Para facilitar a notação deixaremos de escrever osíndices l e k de wlk e o índice l de Fl. Observe que o Lema 4.5.1 é válido para a integral∫ t

sEw(ξ)dξ, mais precisamente,∫ t

Ew(ξ)dξ ≤ CEw(s) + C

∫Γ1

[(∂w

+ w′2 +

)2]dΓdξ+

[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ, 0 ≤ s < t < Tmax.

Combinando esta desigualdade com o Lema 4.5.2 e fazendo as majorações respectivasnas integrais, resulta∫ t−δ

Ew(ξ)dξ ≤ CEw(δ) + C

[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ+

+C1(δ, ε)

[∥∥∥∂w∂ν

∥∥∥2

L2(Γ1)+ ‖w′‖2

L2(Γ1) + ‖Fw′‖2

H− 12+ε(Γ1)

+C1(δ, ε0)‖w‖2

H12+ε0 (Ω×(0,T ))

(4.128)

Note que para ε > 0 pequeno resulta

H12−ε(Ω) → L2(Ω) → H− 1

2+ε(Ω)

portanto‖Fw′‖2

H− 12+ε(Ω)

≤ K1|Fw′|2 ≤ K1|F |2|w′|2

o que implica∫ t

‖Fw′‖2

H− 12+ε(Ω)

dξ ≤ K1

[|F (ξ)|2 + ε2]|w′(ξ)|2dξ ≤ K1

[|F (ξ)|2 + ε2]Ew(ξ)dξ

Substituindo esta desigualdade em (4.128) resulta∫ t−δ

Ew(ξ)dξ ≤ CEw(δ) + CLC1(δ, ε)

[|F (ξ)|+ |F (ξ)|2 + 2ε2]Ew(ξ)dξ+

+CLC1(δ, ε)

∫Γ1

[(∂w

+ w′2

]dΓdξ + CLC1(δ, ε0)‖w‖2

H12+ε0 (Ω×(0,T ))

(4.129)

A seguir estuda-se o comportamento de Ew(ξ) em [0, δ] e em [t − δ, t]. De fato, de(4.127), segue-se ∫ δ

Ew(ξ)dξ ≤ δEw(0) + 2Cδ

[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ

e ∫ t

t−δ

Ew(ξ)dξ ≤ δEw(t− δ) + 2Cδ

[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ

Se 0 < t ≤ 1, escolho δ < t, o que implica δ < 1 e se t ≥ 1, escolho δ < 1. Com estasconsiderações e combinando as duas últimas desigualdades com (4.129), obtém-se:

Ew(ξ)dξ ≤ (C + 2)[Ew(δ) + Ew(0) + Ew(t− δ)]+

+CLC1(δ, ε)

[|F (ξ)|+ |F (ξ)|2 + 2ε2]Ew(ξ)dξ+

+CLC1(δ, ε)

∫Γ1

[(∂w

+ w′2

]dΓdξ + CLC1(δ, ε0)‖w‖2

H12+ε0 (Ω×(0,T ))

(4.130)

De (4.127) resulta

Ew(δ) + Ew(t− δ) ≤ 2Ew(0) + C

[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ (4.131)

Fixo 0 < ε0 <12. Então

H1(Ω× (0, T )) → H12+ε0(Ω× (0, T )) → L2(Ω× (0, T ))

Logo, usando a desigualdade de interpolação com ε3 > 0, obtém-se:

‖w‖2

H12+ε0 (Ω×(0,T ))

≤ ε3‖w‖2H1(Ω×(0,T )) + C(ε3)‖w‖2

L2(Ω×(0,T )) (4.132)

Limita-se cada um dos termos do segundo membro desta desigualdade por Ew e Eu,

respectivamente. Tem-se:

‖w‖2H1(Ω×(0,T )) =

|w|2dξ +

|w′|2dξ +

‖w‖2dξ ≤

≤ K2

‖w‖2dξ +

|w′|2dξ ≤ K3

Ew(ξ)dξ

portanto,

ε3‖w‖2H1(Ω×(0,T )) ≤ K3ε3

Ew(ξ)dξ

Também, notando que w = u′, resulta

‖w‖2L2(Ω×(0,T )) =

|u′|2dξ ≤∫ t

Eu(ξ)dξ

Substituindo as duas últimas desigualdades em (4.132) segue-se

‖w‖2

H12+ε0 (Ω×(0,T ))

≤ K3ε3

Ew(ξ)dξ + C(ε3)

Eu(ξ)dξ. (4.133)

Levando em consideração (4.131) e (4.133) em (4.130), resulta∫ t

[|F (ξ)|+ |F (ξ)|2 + 2ε2]Ew(ξ)dξ+

∫Γ1

[(∂w

+ w′2

]dΓdξ +K3ε3

Ew(ξ)dξ + C(ε3)

Eu(ξ)dξ.

Escolhendo ε3 > 0 apropriadamente, obtém-se a versão do lema para as soluções wlk

de (Plk). Faxendo l, k →∞, ε2 → 0 e usando as convergências (4.100) e (4.88), obtém-seo lema.

Demonstração: (da Proposição 4.5 ) Tem-se:

∫Γ1

(h′(u′)w′)2dξ ≤ d21

∫Γ1

w′2dξ

Substituindo esta desigualdade na expressão do Lema 4.5.3 resulta∫ t

[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2]Ew(ξ)dξ+

∫Γ1

w′2dΓdξ + C

Eu(ξ)dξ(4.134)

Da identidade (I2) obtém-se:

Ew(t) + 2m0d0

∫Γ1

w′2dΓdξ ≤ Ew(0) +2

|µ′(ξ)|Ew(ξ)dξ

o que implica para N > 0 constante,

NEw(t) + 2m0d0N

∫Γ1

w′2dΓdξ ≤

≤ NEw(0) +2N

|µ′(ξ)|Ew(ξ)dξ

(4.135)

Substituindo (4.134) em (4.135) resulta

NEw(t) +

Ew(ξ)dξ + (2m0d0N − CL)

∫Γ1

w′2dΓdξ ≤

≤ C(1 +N)Ew(0) +

)∫ t

[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2

]Ew(ξ)dξ + C

Eu(ξ)dξ

Escolhe-se N > 0 tal que2m0d0N − CL > 0

Depois multiplica-se a ambos os membros da desigualdade obtida por 1N. Após arrumação

das contantes resulta então

Ew(t) +

Ew(ξ)dξ ≤ C2Ew(0)+

[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2

]Ew(ξ)dξ + C0

Eu(ξ)dξ

Disto e notando que Eu(t) ≤ Eu(0) resulta

Ew(t) +

Ew(ξ)

2− C1

(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2

2Ew(ξ)− C0Eu(0)

dξ ≤ C2Ew(0)

(4.136)onde C0, C1, C2 são constantes positivas independentes de 0 ≤ t < Tmax.

A seguir estabelece-se uma relação entre Eu(0) e Ew(0).

Tem-se:

u′′(0) = µ(0)4u0, w′(0) = u′′(0) (4.137)

Também,

M(t, λ) =

∫ λ

M(t, σ)dσ ≤M(t, λ)λ

M(0, ‖u0‖2) ≤M(0, ‖u0‖2)‖u0‖2 (4.138)

Também‖u0‖2 ≤ C‖u0‖V ∩H2(Ω) ≤ C

[|4u0|2 +

∥∥∥∂u0

∥∥∥2

L2(Γ1)

≤ C[|4u0|2 + ‖h(u1)‖2L2(Γ1)] ≤ C[|4u0|2 + d2

1‖u1‖2L2(Γ1)] ≤

≤ C(Ω, d1) [|4u0|2 + ‖u1‖2]

isto é,

‖u0‖2 ≤ C(Ω, d1)[|4u0|2 + ‖u1‖2

](4.139)

De (4.138) e (4.139) segue-se

M(0, ‖u0‖2) ≤ C(Ω, d1)M(0, ‖u0‖2)[|4u0|2 + ‖u1‖2

](4.140)

Lembre-se queEu(0) = |u1|2 + M(0, ‖u0‖2)

Logo de (4.140) e (4.137) resulta

Eu(0) ≤ C‖u1‖2 + C(Ω, d1)M(0, ‖u0‖2)[|4u0|2 + ‖u1‖2] =

= [C + C(Ω, d1)M(0, ‖u0‖2)]‖u1‖2+

+C(Ω, d1)

[M(0, ‖u0‖2)]2|∆u0|2 ≤

≤ C(Ω, d1)‖u1‖2 + C(Ω, d1)µ2(0)|4u0|2 = C(Ω, d1)Ew(0),

isto é,

Eu(0) ≤ C(Ω, d1)Ew(0) (4.141)

C3 = maxC2, 4C0C2C(Ω, d1), C2 > 1 (4.142)

e ρ > 0 um número real.Introduz-se as notações:

N0(ρ) = max0≤λ≤ ρ2

Q(λ), P0(ρ) = max0≤λ≤ ρ2

R(λ) (4.143)

Considere ρ verificando

[N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0) + 2N2

0 (ρ) + 8P 20 (ρ)

C3Ew(0)

]≤ 1

4. (4.144)

A seguir, com as condições acima e u0, u1 verificando

Eu(0) = |u1|2 + M(0, ‖u0‖2) ≤ ρ2,

mostra-se queEw(t) ≤ C3Ew(0), ∀0 ≤ t < Tmax (4.145)

Note que ‖u(t)‖2 ≤ ρ2

A demonstração de (4.145) será feita considerando os dois casos:

4C0Eu(0) ≤ Ew(0) e 4C0Eu(0) > Ew(0)

PRIMEIRO CASO

Primeira Etapa. De início mostra-se que o integrando de (4.136) calculado em ξ = 0 épositivo. De fato µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2) e

µ′(t) =∂M

∂t(t, ‖u(t)‖2) + 2

∂λ(t, ‖u(t)‖2)((u(t), u′(t)))

|µ′(0)| ≤∣∣∣∂M∂t

(0, ‖u(0)‖2)∣∣∣+ 2

∣∣∣∂M∂λ

(0, ‖u(0)‖2)∣∣∣‖u(0)‖‖u′(t)‖ ≤

≤ Q(‖u0‖2) + 2R(‖u0‖2)‖u0‖‖u1‖ ≤

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

[Ew(0)

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

C123 E

12w(0)

isto é,|µ′(0)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0)

Também, temos:

|µ′(0)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2

0 (ρ)ρ2

C3Ew(0)

Logo, disto e da condição (4.144) resulta

C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2) ≤

≤ C1

[N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0) + 2N2

0 (ρ) + 8P 20 (ρ)

C3Ew(0)

]≤ 1

Portanto,1

2− C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2) ≥ 1

2− 1

4> 0 (4.146)

o que implica

2− C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2)

]≥ 0

Por outro lado, notando que 4C0Eu(0) ≤ Ew(0), segue-se

2Ew(0)− C0Eu(0) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0 (4.147)

Observação 4.11 Supoe-se que Eu(0) > 0. O caso Eu(0) = 0 proporciona a soluçãoglobal u ≡ 0 do Problema (?).

Das duas últimas desigualdades resulta que

2− C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2)

2Ew(0)− C0Eu(0) > 0 (4.148)

Por continuidade segue-se que

2− C1(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2)

2Ew(t)− C0Eu(0) > 0, ∀0 ≤ t < Tmax

ou existe T1 com 0 < T1 < Tmax tal que

2− C1

(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2

2Ew(t)− C0Eu(0) > 0, 0 ≤ t < T1

eEw(T1)

2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)

2Ew(T1)− C0Eu(0) = 0 (4.149)

Na segunda situação, da expressão (4.136), resulta

Ew(t) ≤ C2Ew(0) ≤ C3Ew(0), ∀0 ≤ t < Tmax (4.150)

A primeira situação mostra a proposição. Suponha que acontece a segunda situação.Segunda Etapa. Note que

m0‖u(T1)‖2 ≤ Eu(T1) ≤ Eu(0) ≤ ρ2.

Desta desigualdade e de (4.150) resulta

|µ′(T1)| ≤∣∣∣∂M∂t

(T1, ‖u(T1)‖2)∣∣∣+ 2

∣∣∣∂M∂λ

(T1, ‖u(T1)‖2)((u(T1), u′(T1)))

∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T1)‖2) + 2R(‖u(T1)‖2)‖u(T1)‖‖u′(T1)‖ ≤

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

E12w(Γ1)

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

C123 E

12w(0),

isto é,|µ′(T1)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ) +

C123 E

12w(0)

Também|µ′(t)|2 ≤ 2N2

0 (ρ) + 8P 20 (ρ)

C3Ew(0)

Das duas últimas desigualdades e da restrição (4.144) resulta

C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

12w(0)+

+2N20 (ρ) + 8P 2

0 (ρ)ρ2

C3Ew(0) ≤ 1

2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≥

2− 1

Portanto,

Ew(T1)

2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)

]≥ 0

Esta expressão e a igualdade (4.149) acarreta

2Ew(T1)− C0Eu(0) ≤ 0

o que implicaEw(T1) ≤ 2C0Eu(0) < 4C0Eu(0)

Por continuidade esta última desigualdade nos diz que

Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ C3Ew(0), T1 ≤ t < Tmax

ou existe T2 com T1 < T2 < Tmax tal que

Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ C3Ew(0), T1 ≤ t < T2 (4.151)

eEw(T2) = 4C0Eu(0) (4.152)

Se acontece a primeira situação então a Proposição 4.5 está provada. Suponha queacontece a segunda situação. De (4.136) com T2 no lugar de zero tem-se:

Ew(t) +

Ew(ξ)

2−(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2

2Ew(ξ)− C0Ew(T2)

dξ ≤

≤ C2Ew(T2), t > T2

(4.153)

Por continuidade, de (4.151), resulta

Ew(T2) ≤ C3Ew(0). (4.154)

Terceira Etapa. Com (4.152)- (4.154), aplica-se a Primeira Etapa. De fato

|µ′(T2)| ≤∣∣∣∂M∂t

(T2, ‖u(T2)‖2)∣∣∣+ 2

∣∣∣∂M∂λ

(T2, ‖u(T2)‖2)((u(T2), u′(T2)))

∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T2)‖2) + 2R(‖u(T2)‖2)‖u(T2)‖‖u′(T2)‖ ≤

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

E12w(T2)

portanto,|µ′(T2)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0)

Também,

|µ′(T2)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2

0 (ρ)ρ2

C3Ew(0)

As duas últimas desigualdades e a restrição (4.144) implicam

C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≤

≤ C1

[N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0) + 2N2

0 (ρ) + 8P 20 (ρ)

C3Ew(0)

]≤ 1

assim1

2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≥

2− 1

Ew(T2)

2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)

]≥ 0

Por outro lado, de (4.152) segue-se

2Ew(T2)− C0Eu(T2) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0

Assim,

Ew(T2)

2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)

2Ew(T2)− C0Eu(T2) > 0

que é semehante a (4.148). Portanto, pode-se aplicar a Primeira Etapa em t = T2.

Continua-se o processo se necessário, mostrando em cada etapa que

Ew(t) ≤ C3Ew(0).

SEGUNDO CASO.

Por hipótese4C0Eu(0) > Ew(0)

Quarta Etapa. Por (4.141) segue então

Ew(0) < 4C0C(Ω, d1)Ew(0)

Por continuidade resulta

Ew(t) < 4C0C(Ω, d1)Ew(0), ∀0 ≤ t < Tmax

ou existe 0 < T1 < Tmax tal que

Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) < C3Ew(0), 0 ≤ t < T1 (4.155)

eEw(T1) = 4C0Eu(0). (4.156)

Portanto,Ew(T1) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ C3Ew(0) (4.157)

Na primeira situação, obtém-se a desigualdade (4.145).

Suponha que aconteça a segunda situação. Escreve-se (4.136) com T1 no lugar de zeroe usa-se (4.156), então

Ew(t) +

Ew(ξ)

2−(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2

2Ew(ξ)− C0Eu(T1)

dξ ≤

≤ C2Ew(T1), t > T1

(4.158)

eC2Ew(T1) = 4C2C0Eu(0) ≤ 4C2C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ C3Ew(0) (4.159)

Note que o integrando da penúltima desigualdade calculada em ξ = T1 é positivo. Defato, de (4.157) tem-se

|µ′(T1)| ≤∣∣∣∂M∂t

(T1, ‖u(T1)‖2)∣∣∣+ 2

∣∣∣∂M∂λ

(T1, ‖u(T1)‖2)((u(T1), u′(T1)))

∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T1)‖2) + 2R(‖u(T1)‖2)‖u(T1)‖‖u′(T1)‖ ≤

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

E12w(T1)

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

C123 Ew(0),

isto é,|µ′(T1)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0)

isto implica

|µ′(T1)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2

0 (ρ)ρ2

C3Ew(0)

As duas últimas desigualdades e a restrição (4.144) acarretam

C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≤

≤ C1

[N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0) + 2N2

0 (ρ) + 8P 20 (ρ)

C3Ew(0)

]≤ 1

2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≥

2− 1

PortantoEw(T1)

2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)

]≥ 0

Por outro lado, de (4.156) e observando que Eu(t) ≤ Eu(0), resulta

2Ew(T1)− C0Eu(T1) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0

As duas últimas expressões implicam

Ew(T1)

2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)

2Ew(T1)− C0Eu(T1) > 0

Quinta Etapa. Por continuidade a última desigualdade implica que

2− C1(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2)

2Ew(t)− C0Eu(T1) > 0, ∀T1 ≤ t < Tmax

ou existe T2 com T1 < T2 < Tmax tal que

2− C1(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2)

2Ew(t)− Eu(T1) > 0, ∀T1 ≤ t < T2 (4.160)

eEw(T2)

2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)

2Ew(T2)− Eu(T1) = 0 (4.161)

Se acontece a primeira situação, então a desigualdade (4.145) está provada. Suponha queaconteça a segunda situação. Combinando (4.158), (4.159), (4.160) e (4.157) tem-se

Ew(T2) ≤ C2Ew(T1) ≤ C3Ew(0)

Tem-se, desta última desigualdade

|µ′(T2)| ≤∣∣∣∂M∂t

(T2, ‖u(T2)‖2)∣∣∣+ 2

∣∣∣∂M∂λ

(T2, ‖u(T2)‖2)((u(T2), u′(T2)))

∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T2)‖2) + 2R(‖u(T2)‖2)‖u(T2)‖‖u′(T2)‖ ≤

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

E12w(T2)

≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ

C123 Ew(0),

isto é,|µ′(T2)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0)

Isto implica

|µ′(T2)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2

0 (ρ)ρ2

C3Ew(0)

As duas últimas desigualdades acarretam

C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≤

≤ C1

[N0(ρ) + 2P0(ρ)

C123 E

12w(0) + 2N2

0 (ρ) + 8P 20 (ρ)

C3Ew(0)

]≤ 1

Portanto1

2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≥

2− 1

Ew(T2)

2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)

]≥ 0

Esta desigualdade e (4.145) implicam

2Ew(T2)− C0Eu(T1) ≤ 0

Portanto,

Ew(T2) ≤ 2C0Eu(T1) ≤ 2C0Eu(0) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) (4.162)

Sexta Etapa. Com a desigualdade (4.162) volta-se a implicar a Quinta Etapa. Defato, por continuidade resulta que

Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) < C3Ew(0), ∀T2 ≤ t < Tmax

ou existe T3 com T2 < T3 < Tmax verificando

Ew(t) < 4C0Eu(0) < C3Ew(0), T2 ≤ t < T3

eEw(T3) = 4C0Eu(0)

Esta igualdade implica

Ew(T3) ≤ 4C0C(Ω, d)Ew(0) ≤ C3Ew(0)

A seguir procede-se como na Quinta Etapa. O procedimento prosegue se necessário.Observe que em todas as etapas sempre se tem

Ew(t) ≤ C3Ew(0)

A seguir mostra-se que com o procedimento introduzido no Primeiro Caso ou com odo Segundo Caso pode-se chegar a qualquer t com 0 < t < Tmax, valendo

Ew(t) ≤ C3Ew(0)

De fato, suponha que exista t com 0 < t < Tmax tal que

Ew(t) > C3Ew(0).

Então existe T ∗ com 0 < T ∗ < Tmax tal que

Ew(T ∗) = C3Ew(0) (4.163)

eEw(t) > C3Ew(0), T ∗ < t ≤ T ∗1 , T

∗1 < Tmax (4.164)

Tem-se por (4.136) (trocando 0 por T ∗)

Ew(t) +

Ew(ξ)

2−(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2

2Ew(ξ)− C0Eu(T

dξ ≤

≤ C2Ew(T ∗), t ≥ T ∗(4.165)

Acontece que4C0Eu(0) ≤ Ew(T ∗) (4.166)

ou4C0Eu(0) > Ew(T ∗) (4.167)

Suponha que aconteça (4.166). Então de (4.163) e aplicando raciocínio análogo aofeito na Segunda Etapa do Primeiro Caso, obtém-se

2− C1(|µ′(T ∗)|+ |µ′(T ∗)|2) > 0.

portanto

Ew(T ∗)

2− C1(|µ′(T ∗)|+ |µ′(T ∗)|2)

]≥ 0

Também de (4.166) resulta

2Ew(T ∗)− C0Eu(T

∗) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0

Usando as duas últimas desigualdades em (4.165), obtém-se

Ew(t) ≤ C3Ew(0), T ∗ ≤ t ≤ T ∗2 , T ∗ < T ∗2 < Tmax

o qual está em contradição com (4.164).

Suponha que acontece (4.167). Então por continuidade existe T ∗3 com T ∗ < T ∗3 <

Tmax, T∗3 ≤ T ∗1 , tal que

Ew(t) < 4C0Eu(0), T∗ ≤ t ≤ T ∗3

Tem-se

Ew(T ∗3 ) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ 4C2C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ C3Ew(0)

isto é,Ew(T ∗3 ) < C3Ew(0)

o que contraria (4.164). Assim a afirmação está mostrada. Isto conclui a demonstraçãoda Proposição 4.5.

Demonstração: (do Teorema 4.4.)Suponha que Tmax seja finito. Considere uma sucessão de números reais (tη) com

0 < tη < Tmax tal quetη → Tmax

Da identidade (I1) tem-se

|u′(tη)|2 + M(tη, ‖u(tη‖2)) ≤ |u1|2 + M(0, ‖u0‖2), ∀η (4.168)

e da Proposição 4.5 e do Teorema 4.3, tem-se

|µ(tη)4u(tη)|2 + µ(tη)‖u′(tη)‖2 ≤ C[|µ(0)4u0|2 + µ(0)‖u1‖2

], ∀η (4.169)

De (4.168) obtém-seu(tη) ϕ em V (4.170)

e de (4.169),

∆u(tη) χ em L2(Ω) (4.171)

u′(tη) ψ em V (4.172)

Por ser (u′(tη)) limitado em V resulta que (h(u′(tη))) é limitado em V, o que implica, pelasegunda equação de (P1)′ do Teorema 4.3, que

(∂u(tη)

)é limitado em H

12 (Γ1). Destas

duas limitações resultah(u′(tη)) α em H

12 (Γ1) (4.173)

∂u(tη)

∂ν β em H

12 (Γ1) (4.174)

As convergências (4.170), (4.171) e notando que ∆ é um operador fechado em L2(Ω),

implicam∆u(tη) ∆ϕ em L2(Ω) (4.175)

Esta convergência e (4.170) proporcionam

∂u(tη)

∂νem H− 1

2 (Γ1)

Comparando esta convergência com (4.174), obtém-se

∂u(tη)

∂νem H

12 (Γ1) (4.176)

As convergências (4.170), (4.175) e (4.176) implicam que ϕ ∈ V ∩H2(Ω) e

u(tη) ϕ em V ∩H2(Ω)

Por ser (u′(tη)) limitado em H12 (Γ1) e a imersão de H

12 (Γ1) em L2(Γ1) ser compacta,

resulta que existe uma subsucessão de (u′(tη)), ainda denotada por u′(tη) tal que

u′(tη) → ψ em L2(Γ1)

Da desigualdade∫Γ1

[h(u′(tη))− h(ψ)]2dΓ ≤ d21

∫Γ1

[u′(tη)− ψ]2dΓ

tem-se entãoh(u′(tη)) → h(ψ) em L2(Γ1)

Esta convergência e (4.173) implicam

h(u′(tη)) h(ψ) em H12 (Γ1) (4.177)

Tomando o limite na equação

∂u(tη)

∂ν+ h(u′(tη)) = 0

tem-se das convergências (4.176) e (4.177) que

∂ν+ h(ψ) = 0 em H

12 (Γ1)

com ϕ ∈ V ∩H2(Ω) e ψ ∈ V.A seguir determina-se uma solução v do problema∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

v′′(t)−M(t, ‖v(t)‖2)∆v(t) = 0, 0 < t ≤ T0

v = 0 sobre Γ0 × (0, T0)

∂ν+ h(v′) = 0 sobre Γ1 × (0, T0)

v(0) = ϕ, v′(0) = ψ

Esta solução local v existe (ver Teorema 4.2).A função

z(t) =

∣∣∣∣∣∣ u(t), 0 ≤ t < Tmax

v(t− Tmax), Tmax ≤ t ≤ T0 + Tmax

é solução do Problema (?) em [0, Tmax + T0] o que contraria a definição de Tmax. Assim,Tmax = ∞, o que conclui a demonstração do teorema.

4.6 Decaimento de Soluções

Nesta seção vamos supor que

M1(t, λ, ξ) = M2(t, λ, ξ) = M(t, λ+ ξ).

Pela forma particular de M1 e M2, o caso do sistema (S1) ficará reduzido a umaequação vetorial com duas componentes. Neste caso, será suficiente o estudo do problemaescalar. Para analisar o comportamento assintótico da solução u, v do sistema (S1).

Introduzimos algumas hipóteses para enunciar este problema escalar.Suponha que exista x0 ∈ Rn tal que as partes fechadas, disjuntas e regulares, Γ0 e Γ1,

da fronteira Γ de Ω tenham a forma:

(H1) Γ0 = x ∈ Γ;m(x).ν(x) ≤ 0, Γ1 = x ∈ Γ;m(x).ν(x) > 0,onde m(x) = x− x0, x ∈ Rn.

Sejam dadas as funções

(H2) M ∈ C1([0,∞[2), M(t, σ) ≥ m0 > 0, ∀t ≥ 0, σ ≥ 0 (m0 constante).

O problema escalar em questão é o seguinte:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −M(t, ‖u‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ (m.ν)h(u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω.

A seguir define-se o conceito de solução global de (PG).

Sejam u0 ∈ V ∩H2(Ω) e u1 ∈ V verificando

(H3)∂u0

∂ν+ (m.ν)h(u1) = 0 sobre Γ1.

Diz-se que u é uma solução global de (PG), se satisfeitas as hipóteses (H1)-(H3), afunção u pertence à classe

u ∈ L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω))

u′ ∈ L∞loc(0,∞;V )

u′′ ∈ L∞loc(0,∞;L2(Ω))

e verifica

u′′ −M(t, ‖u‖2)4u = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (4.178)∂u

∂ν+ (m.ν)h(u′) = 0 em L∞loc(0,∞;H

12 (Γ1)) (4.179)

u(0) = u0, u′(0) = u1.

Com as hipóteses suplementares:

• ∂M∂t

(t, σ) ≤ 0, ∀t ∈ [0,∞),

• Existem constantes a > 0 e b > 0 tais que∣∣∣∂M∂λ

(t, λ)∣∣∣ ≤ b, ∀λ ∈ [0, a] e t ≥ 0,

• ‖u0‖V ∩H2(Ω), ‖u1‖ pequeno e h(s) = s,

M.Milla Miranda e L.P. San Gil Jutuca [38] mostraram a existência de uma solução globalde (PG). Também nas condições:

• M(t, σ) = 1 +m1σ, m1 > 0;

• 0 < d0 ≤ h′(s) ≤ d1 <∞

• ‖u0‖V ∩H2(Ω), ‖u1‖ pequenos,

I. Lasiecka e J.Ong [20] mostraram a existência de uma solução global u de (PG).

Introduzimos algumas hipóteses e notações para enunciar o teorema de decaimentode soluções. Suponha que

(H4)∂M

∂σ(t, σ) ≥ 0, ∀t ∈ [0,∞);σ ≥ 0,

(H5) ∣∣∣∣∣∣h ∈ C0(R)

0 < d0s2 ≤ h(s)s ≤ d1s

2, ∀s ∈ R (d0, d1 constantes)

M(t, σ) =

∫ σ

M(t, σ)dσ.

Considere a energiaE(t) = |u′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2, t ≥ 0.

Sendo Γ1 compacto e regular existe τ0 > 0 tal que m(x).ν(x) ≥ τ0, ∀x ∈ Γ1.

Usa-se as notações:

• m(x).ν(x) ≤ τ1, ∀x ∈ Γ1,

• R = maxx∈Ω

‖m(x)‖,

• |v|2 ≤ k0‖v‖2, ∀v ∈ V,

• ‖v‖2L2(Γ1) ≤ k1‖v‖2, ∀v ∈ V

• µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2), t ≥ 0.

Tem-se o seguinte resultado:

Teorema 4.5 Suponha que são satisfeitas as hipóteses (H1)-(H5). Seja u uma soluçãoglobal de (PG). Então, existe η > 0 tal que

E(t) ≤ 3E(0)e−η3t,∀ t ≥ 0,

onde η = min 12k, 2

k∗, sendo

+ 1 +(n− 1)2

2k0 e k∗ =

R2τ1τ0

+ (n− 1)2k1τ1d1.

Demonstração: Introduzimos o funcional

ρ(t) = 2(u′(t),m.∇u(t)) + (n− 1)(u′(t), u(t)), t ≥ 0

e consideramos a energia pertubada

Eε(t) = E(t) + ερ(t), (ε > 0). (4.180)

Note que

M(t, ‖u(t)‖2) =

∫ ‖u(t)‖2

M(t, σ)dσ ≥ m0‖u(t)‖2.

Tem-se:

|ρ(t)| ≤ 2R|u′(t)|‖u(t)‖+ (n− 1)|u′(t)||u(t)| ≤

≤ R2

|u′(t)|2 +m0‖u(t)‖2 +(n− 1)2

|u′(t)|2 +1

2k0m0‖u(t)‖2 ≤

≤ R2

|u′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2) +(n− 1)2

|u′(t)|2 +1

2k0M(t, ‖u(t)‖2),

isto é,|ρ(t)| ≤ kE(t), ∀t ≥ 0,

ondek =

+ 1 +(n− 1)2

2k0. (4.181)

Logo,|Eε(t)− E(t)| ≤ εkE(t).

Seja ε0 > 0 tal queε0k =

2. (4.182)

Então,1

2E(t) ≤ Eε(t) ≤

2E(t), ∀t ≥ 0, 0 < ε ≤ ε0. (4.183)

Tomando o produto escalar em L2(Ω) a ambos os membros da equação (4.178) com2u′(t) resulta

(u′′(t), 2u′(t)) +M(t, ‖u(t)‖2)((u(t), 2u′(t)))+

+2M(t, ‖u(t)‖2)

∫Γ1

(m.ν)h(u′(t))u′(t)dΓ = 0

dt|u′(t)|2 +

dtM(t, ‖u(t)‖2) + 2M(t, ‖u(t)‖2)

∫Γ1

(m.ν)h(u′(t))u′(t)dΓ = 0,

isto é,d

dtE(t) + 2M(t, ‖u(t)‖2)

∫Γ1

(m.ν)h(u′(t))u′(t)dΓ = 0 (4.184)

Vamos calcular a derivada de ρ′(t). Para facilar a escrita deixamos de escrever avariável t. Tem-se:

ρ′ = 2(u′′,m.∇u) + 2(u′,m.∇u′) + (n− 1)(u′′, u) + (n− 1)|u′|2. (4.185)

(i) Cálculo de 2(u′′,m.∇u)

Pelo Teorema de Rellich, ver V. Komornik e E. Zuazua [18] e M.Milla Miranda e L.P.San Gil Jutuca [38], resulta que

2(u′′,m.∇u) = 2(µ4u,m.∇u) = 2µ(4u,m.∇u) =

= (n− 2)µ‖u‖2 − µ

(m.ν)|∇u|2dΓ + 2µ

∂νm.∇udΓ,

isto é,2(u′′,m.∇u) = (n− 2)µ‖u‖2 + µI1 + µI2, (4.186)

ondeI1 = −

(m.ν)|∇u|2dΓ e I2 = 2

∂νm.∇udΓ.

Note que sobre Γ0, verifica-se |∇u|2 =(

∂u∂ν

)2 e m.∇u = m.ν ∂u∂ν, ver M.Milla Miranda

e L.A, Medeiros [35]. Tem-se:

I1 = −∫

(m.ν)|∇u|2dΓ−∫

(m.v)|∇u|2dΓ =

= −∫

(m.ν)

dΓ−∫

(m.v)|∇u|2dΓ.

Também temos

I2 = 2

∫Γ0

∂νm.∇udΓ + 2

∫Γ1

∂νm.∇udΓ ≤

∫Γ0

(m.ν)

dΓ + 2R

∫Γ1

∣∣∣∂u∂ν

∣∣∣|∇u|dΓ ≤≤ 2

∫Γ0

(m.ν)

dΓ +R2

∫Γ1

(m.ν)|∇u|2dΓ,

isto é,

I2 ≤ 2

∫Γ0

(m.ν)

dΓ +R2

∫Γ1

(m.ν)|∇u|2dΓ.

Somando I1 com I2 e notando que m.ν ≤ 0 sobre Γ0, resulta

I1 + I2 ≤R2

∫Γ1

dΓ. (4.187)

Combinando (4.186) e (4.187) obtemos:

2(u′′,m.∇u) ≤ (n− 2)µ‖u‖2 +R2

∫Γ1

dΓ. (4.188)

(ii) Cálculo de 2(u′,m.∇u)Temos

2(u′,m.∇u′) = 2n∑

u′mj∂u′

dx = 2n∑

∂u′2

= −n|u′|2 +

∫Γ1

(m.ν)u′2dΓ,

isto é,

2(u′,m.∇u′) = −n|u′|2 +

∫Γ1

(m.ν)u′2dΓ. (4.189)

(iii) Cálculo de (n− 1)(u′′, u).

Tem-se:(u′′, u) = µ(4u, u) = −µ‖u‖2 − µ

∫Γ1

(m.ν)h(u′)udΓ,

isto é,

(n− 1)(u′′, u) = −(n− 1)µ‖u‖2 − (n− 1)µ

∫Γ1

(m.ν)h(u′)udΓ. (4.190)

Levando em consideração (4.188)-(4.190) em (4.185) e fazendo os respectivos cance-lamentos, resulta que

ρ′ ≤ −|u′|2 − µ‖u‖2 +R2

∫Γ1

(m.ν)u′2dΓ− (n− 1)µ

∫Γ1

(m.ν)h(u′)udΓ.

(4.191)

(iv) Cálculo deR2

∫Γ1

Observe que h2(s) ≤ d1h(s)s, para todo s ∈ R. Logo,∫Γ1

∫Γ1

(m.ν)2h2(u′)dΓ ≤ τ1d1

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ,

isto é,R2

∫Γ1

dΓ ≤[R2

τ0τ1d1

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ. (4.192)

(v) Cálculo de∫

(m.ν)u′2dΓ.

Note que d0s2 ≤ h(s)s, para todo s ∈ R. Portanto∫

(m.ν)u′2dΓ ≤ 1

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ. (4.193)

(vi) Cálculo de −(n− 1)µ

∫Γ1

(m.ν)h(u′)udΓ.

Tem-se: ∣∣∣ ∫Γ1

(m.ν)h(u′)udΓ∣∣∣ ≤ ∫

(m.ν)|h(u′)||u|dΓ ≤

∫Γ1

(m.ν)2h2(u′)dΓ +α0

∫Γ1

u2dΓ ≤

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ +α0

2k1‖u‖2,

onde α0 > 0. Assim,

−(n− 1)µ

∫Γ1

(m.ν)h(u′)udΓ ≤ (n− 1)

τ1d1µ

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ+

[(n− 1)

2α0k1

]µ‖u‖2.

(4.194)

Obtém-se de (4.191)-(4.194):

ρ′ ≤ −|u′|2 −[1− (n− 1)α0k1

]µ‖u‖2+

[R2τ1d1

+(n− 1)τ1d1

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ.

Escolhendo α0 > 0 tal que

1− (n− 1)α0k1

isto é,α0 =

(n− 1)k1

2, n > 1.

Entãoρ′ ≤ −1

2|u′|2 − 1

2µ‖u‖2 + k∗µ

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ, (4.195)

k∗ =R2τ1d1

+(n− 1)2k1τ1d1

2. (4.196)

Note que

M(t, ‖u(t)‖2) =

∫ ‖u(t)‖2

M(t, τ)dτ = M(t, τ ∗)‖u(t)‖2,

onde τ ∗ ∈ [0, ‖u(t)‖2]. Como M(t, σ) é crescente na variável σ resulta

M(t, ‖u(t)‖2) ≤M(t, ‖u(t)‖2)‖u(t)‖2 = µ‖u(t)‖2.

Assim,

ρ′(t) ≤ −1

2E(t) + k∗µ(t)

∫Γ1

(m.ν)h(u′)u′dΓ. (4.197)

Escolha ε1 > 0 tal que

ε1k∗ = 2 (4.198)

Combinando (4.184) com (4.197) resulta

E ′ε(t) ≤ −ε

2E(t), ∀ 0 < ε ≤ ε1. (4.199)

Seja η = minε0, ε1, ε0 definido em (4.182) e ε1 em (4.199). Então de (4.183) e(4.199), obtemos

2E(t) ≤ Eη(t) ≤

2E(t), ∀t ≥ 0

E ′η(t) ≤ −η

2E(t), ∀t ≥ 0.

Portanto,E ′

η(t) ≤ −η3Eη(t), ∀t ≥ 0,

o que implicaE ′

η(t) ≤ Eη(0)e− η

3t, ∀t ≥ 0.

Assim,E(t) ≤ 3E(0)e−

η3t, ∀t ≥ 0.

A seguir descreveremos o sistema que desejamos analizar. O problema a estudar é oseguinte:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)

v′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)

u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ h(., u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

∂ν+ h(., v′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω

v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.

A energia associada a (S) é o funcional

E(t) = |u′(t)|2 + |v′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2), t ≥ 0,

ondeM(t, σ) =

∫ σ

M(t, σ)dσ.

Introduzimos as seguintes notações:

))= h(r)r + h(s)s, ∀r, s ∈ R;

• w =

), w′ =

), ‖w‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2, |w′|2 = |u′|2 + |v′|2;

• H(w′) = H

(h(u′)

h(v′)

• u0 =

), u1 =

), 0 =

Com estas notações o sistema (S) adota a seguinte forma:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

w′′ −M(t, ‖w‖2)4w = 0 em Ω× (0,∞)

w = 0 sobre Γ0 × (0,∞)

∂ν+ (m.ν)H(w′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)

w(0) = w0, w′(0) = w1 em Ω.

A energia associada a (SV ) é o funcional

E(t) = |w′(t)|2 + M(t, ‖w(t)‖2), t ≥ 0.

Sejam u0 ∈ (V ∩H2(Ω))2 e u1 ∈ V 2 verificando

(H6)∂u0

∂ν+ (m.ν)H(u1) = 0 sobre Γ1.

Diz-se que uma função vetorial w =

)é uma solução global de (SV ) se w

pertence à classew ∈ (L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω)))2

w′ ∈ (L∞loc(0,∞;V ))2

w′′ ∈ (L∞loc(0,∞;L2(Ω)))2

e verifica

w′′ −M(t, ‖w‖2)4w = 0 em (L∞loc(0,∞;L2(Ω)))2

∂ν+ (m.ν)H(w′) = 0 em (L2

loc(0,∞;H12 (Γ1)))

w(0) = w0, w′(0) = w1.

A hipótese (H5) na sua versão vetorial tem a forma

∣∣∣∣∣∣∣∣∣H ∈ (C0(R))2,

0 < d0

∥∥∥∥∥(r

)∥∥∥∥∥2

))≤ d1

∥∥∥∥∥(r

)∥∥∥∥∥2

)∈ R2.

Teorema 4.6 Suponha satisfeitas as hipóteses (H1), (H2), (H4), (H6) e (H7). Seja w

uma solução global de (SV ). Então existe η > 0 tal que

E(t) ≤ 3E(0)e−η3t, ∀t ≥ 0,

onde η está definido no Teorema 4.5.Demonstração: Tomando o produto escalar a ambosos membros de (SV ) com 2w′

resulta

(w′′(t), 2w′(t)) +M(t, ‖w(t)‖2)(4w(t), 2w′(t)) = 0

dt|w′(t)|2 +M(t, ‖w(t)‖2)

dt‖w(t)‖2+

+2M(t, ‖w(t)‖2)

∫Γ1

(m.ν)(H(w′(t)),w′(t))dΓ, ∀t ≥ 0,

isto é,d

dtE(t) + 2M(t, ‖w(t)‖2)

∫Γ1

(m.ν)(H(w′(t)),w′(t))dΓ, ∀t ≥ 0,

Considera-se o funcional vetorial

ρ(t) = 2(u′(t),m.∇u(t)) + (n− 1)(u′(t), u(t)) + 2(v′(t),m.∇v(t)) + (n− 1)(v′(t), v(t)),

e a energia pertubadaEε(t) = E(t) + ερ(t), ε > 0.

A seguir prosegue-se como Teorema 4.5 e obtém-se o resultado.

Bibliografia

[1] Arosio, A and Garavaldi, S. On the mildly Kirchhoff string, Math. Appl. Science,14 (1991), 177-195.

[2] Arosio, A and Spagnolo, S. Global solutions to the Cauchy problem for a nonlinearhyperbolic equation, Nonlinear Partial Differential Equations, H. Brezis and J. L.Lions eds., College de France Seminar, Vol. 6, Pitman, London, 1984, 1-26.

[3] Araruna, F.D and A.B. Maciel. Existence and boudary stabilization of the semilinearwave equation. Nonlinear Analysis 67(2007) 1288-1305.

[4] Alabau-Boussouira, F. Convexity and weighted integral inequalities for energy decayrates of nonlinear dissipative hyperbolic system, Appl.Math. Optim. 51(1) (2005)61-105.

[5] Brezis, H and Cazenave, T. Nonlinear evolution equations, Notas de aula, IM-UFRJ,1994.

[6] Bernstein, S. On a class of fuctional partial differential equations, Izv. Acad. NaukSSSR, Ser. Math. 4(1940), 17-26.

[7] Clark, H.R. Global classical solutions to the Cauchy problem for a nonlinear waveequation, Int. J. Math. and Math. Sci. 21(3), 533-548(1998).

[8] Cavalcanti,M.M., V.N.D Cavalcanti and P. Martinez. Existence and decay rate es-timates for the wave equation with nonlinear boundary damping and source term,J.Differential Equations, 203(2004) 119-158.

[9] Cousin, A.T, Frota, C.L e N. A.Larkin. On a system of Klein-Gordon type equationswith acoustic boundary conditions, J.Math. Anal. Appl. 293 (2004) 293-309.

[10] Crippa, H. R. On local solutions of some mildly degenerate hyperbolic equation,Nonlinear Analysis TMA, 21 (1993), 565-574.

[11] Ebihara, Y., Medeiros, L. A. and Milla Miranda, M. Local solutions for a nonlineardegenerate hyperbolic equation, Nonlinear Analysis TMA, 10 (1986), 27-40.

[12] Hosoya, M. and Yamada, Y. On some nonlinear wave equation II: global solutionexistence and energy of solutions, J. Fac. Univ. Tokyo 38(1991), 239-250.

[13] Izaguirre, R., Fuentes, R. and Milla Miranda, M. Existence of local solutions of theKirchhoff-Carrier equation in Banach spaces, Nonlinear Analysis 68 (2008), 3565-3580.

[14] Izaguirre, R, Fuentes, R and Milla Miranda, M. Global and decay of solutions ofa damped Kirchhoff-Carrier equation in Banach spaces, Mat. Contemp. 32 (2007),147-168.

[15] Kirchhoff, G. Vorlesungen über mechanik, Tauber Leipzig (1983)

[16] Komornik,V. Exact controllability and stabilization. John Wiley & Sons, (1994).

[17] Komornik, V and Rao, B. Boundary stabilizations of complactly coupled wave equa-tions, Asymptotic Analysis 14 (1997) 339-359.

[18] Komornik,V and E. Zuazua. A direct method for boundary stabilization of the waveequation, J. Math. Pure Appl. 69(1990) 33-54.

[19] Kouémou-Patcheu, S. Existence globale et décroissance exponentielle de l’érrgied’une équation quasilinéaire, C.R. Acad. Sci. Paris série I 322(1996), 631-634.

[20] Lasiecka, I and J. Ong. Global solvability and uniform decays of solutions to quasi-linear equation with nonlinear boundary dissipation, Com. Partial Differential Equa-tions 24 (1999) 2069-2107.

[21] Lasiecka, I and D. Tataru. Uniform bondary of semilinear wave equation with non-linear boundary damping, Differentila Integral Equations 6 (3) (1993) 507-533.

[22] Lasiecka, I and R. Triggiane. Uniform stabilization of the wave equation with Dirich-let or Neumann feedback control without geometric condition, Applied Math. Opti-miz. 25(1992), 189-224.

[23] Limaco, J, Clark, H.R. and Medeiros, L.A. On damping Kirchhoff equation withvariable coefficients, J. Math.Anal. Appl., 307(2005), 641-655.

[24] Lions, J.L. Quelques Méthodes de Résolutions des Problèms aux Limites Non-Linéaires. Dunod, Paris. 1969.

[25] Lions, J.L. On some equations in boundary value problems of mathematical physics,Contemporaty developments in continuum mechanics and partial differential equa-tions, G.M. De la Penha and L.A. Medeiros eds, North-Holland, London. 1978.

[26] Matos, M.P., Mathematical analysis of the nonlinear model for the vibrations of astring, Nonlinear Analysis TMA, 17(1991), 1125-1137.

[27] Medeiros, L.A. Tópicos em Equações Diferenciais Parciais - Parte 1. Editora UFRJ,Rio de Janeiro - RJ, (2006).

[28] Medeiros, L.A, Limaco, J and Menezes, S.B. Vibrations of Elastic Strings: Mathe-matical Aspects, Part One, Journal of Computational Analysis and Applications,Vol.4, No. 2, April 2002.

[29] Medeiros, L.A, and Milla Miranda, M. Weak solutions for a coupled nonlinear Klein-Gordon equations, Ann.Mat.Pura Appl. (4) 146 (1987) 173-183.

[30] Medeiros, L.A, and Milla Miranda,M. On a nonlinear wave equations damping,Revista Matemática de la Universidad Complutense de Madrid, 3(1990), 613-627.

[31] Medeiros, L.A e Milla Miranda, M. Espaços de Sobolev (Iniciação aos ProblemasEliticos não Homogêneos). Editora, IM-UFRJ, 5a Edição, 2006.

[32] Medeiros, L.A and Milla Miranda, M. Solutions for the equation of nonlinear vi-brations in Sobolev spaces of fractionary order, Comp. Appl. Math. 6(3), 257-276(1987).

[33] Milla Miranda, M and Medeiros, L.A. On the existence of Global solutions of acoupled nonlinear Klein-Gordon equations, Funkcialaj Ekvacioj, vol.30, N0 1, aprilo,1987.

[34] Milla Miranda, M e Medeiros, L.A. Introdução aos Espaços de Sobolev e às EquaçõesDiferenciais Parciais. Texto de Métodos Matemáticos no. 25, IM-UFRJ, 1993.

[35] Milla Miranda, M e Medeiros, L.A. Hidden Regularity for semilinear defferentialequations, Ann. Fac. Sci. Toulouse 9(1)(1988) 103-120 Equation., Commun. in Par-tial Differential Equations, 24(9 & 10), 1759-1880(1999)

[36] Milla Miranda, M and Medeiros, L.A. On a boundary value problem for wave equa-tion:Existence uniqueness-asymptotic behavior. Revista de Matemáticas Aplicadas,Univerdad de Chile, 1996.

[37] Milla Miranda,M. Traço para o Dual dos Espaços de Sobolev, Bol. Soc.Paran.Matemática (2a série) 11(2), (1990), 131-157.

[38] Milla Miranda, M and L.P.San Gil Jutuca. Existence and Boundary Stabilization ofSolutions for the Kirchhoff Equation., Commun. in Partial Differential Equations,24(9 & 10), 1759-1880(1999).

[39] Nayfeh, A.H and Mook, D.T. Nonlinear Oscillations, John Wiley & Sens, New York,1979, pg. 487-490.

[40] Ono, K. A stretched string equation with a boundary dissipation. Kyushu Tournalof Mathematics vol. 48, no. 2, 1994, pp. 265-281.

[41] Pohozaev, S.I. On a class of quasilinear hyperbolic equations, Math. Sbornik96(1975), 97-127.

[42] Segal, I. Nonlinear partial differential equations in quantum field theory, Proc. Symp.Appl. Math. A.M.S. 17(1965), 210-226.

[43] Souza, S. S. and Milla Miranda, M. Existence and decay of solutions of a dampedKirchhoff equation, Int. J. of Pure and Appl. Math., 32 (2006), 483-508.

[44] Strauss,W.A. On weak solutions of semilinear hyperbolic equations, An. Acad.Brasil. Ciênc. 42(4)(1970)645-651.

[45] Tucsnak,M. Boundary stabilization for the stretched string equation. Differentialintegral equations 6 (1993), no. 4, 925-935.

[46] Vitillaro, E. Global existence for the wave equation with nonlinear boundary dam-ping and source terms.

[47] Yamada, Y. Some nonlinear degenerate wave equation, Nonlinear Analysis TMA,11 (1987), 1155-1168.

[48] Zuazua, E. Uniform stabilization of the wave equation by nonlinear boundary feed-back, SIAM J. Control Optim. 28 (1990) 466-478.

universidade federal do rio de janeiro instituto de ... · ficha catalográﬁca lourêdo, aldo...

Documents

aldo antonio schmitz-fontes_de_noticias

trajano carneiro - liberação final

aldo antonio schmitz - criancaeconsumo.org.br€¦ ·...

apostila analise quimica quantitativa - etec trajano camargo

2007-luciana ribeiro trajano manhaes

aldo cavini benedetti

emef padre aldo da tofori

dinucci, aldo lopes (2015)

aldo malavasi

dd aldo moro

apresentação aldo pacheco - vtex

coluna de trajano

bomba solar zm - aldo solar

tradução de a economia argentina, de aldo ferrer orelha...

pdf - aldo césar silva.pdf

aldo rossi -arquitectura y racionalismo

apostila de soldagem aldo

padrÓn de resultados tablets dif...padrÓn de resultados...

unidad educativa “dr. trajano naranjo iturralde” … ·...

lojas do aldo