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Sistemas de ControleResumo Espaço dos Estados

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de ControleProf. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Resumo Espaço dos Estados

Cap.3 – Modelagem no Espaço dos Estados

3.1 Introdução

3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados

3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Cap.4 – Análise da Resposta no domínio do tempo

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Cap.5 – Redução de Subsistemas Múltiplos

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

5.5 Regra de Mason

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

3.1 Introdução

• Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação:

– Técnica clássica, ou no domínio da frequência

• Vantagens

• Simplifica os cálculos Substitui equação diferencial por uma equação algébrica

• Simplifica a modelagem modelagem de subsistemas interconectados.

• Desvantagens

• Aplicabilidade limitada Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo

Aproximações para esses sistemas

Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada

– Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo)

• Vantagens

• Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta)

• Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável)

• Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas

• Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas

• Desvantagens

• Não é muito intuitiva

• Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente

* Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada é assunto para cursos de pós-graduação.

3

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia

Variáveis de Estado:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿

Nó 1

Equação no nó 1: Equação na malha externa:

−𝑣 𝑡 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 0

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 4 Obter as equações de estado:equações de estado

Passo 5 Obter a equação de saída:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Representação no espaço dos estados

A B

C D

+ 0

3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

Exemplo de representação geral:

Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t)

Se houver uma única saída:

3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

10

Exemplos:Representação no espaço de estados

Descrição das variáveis

A B

C D

+ 0

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

1) Transformar função de transferência em equação diferencial.

Multiplicar cruzado

Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

2) Selecionar conjunto de variáveis de estado variáveis de fase

Variáveis de faseNas variáveis de fase temos que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior.

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

3) Derivar variáveis de fase para encontrar ഺ𝑐

Variáveis de fase

Derivadas das variáveis de fase

ഺ𝒄

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

4) Organizando o sistema

ഺ𝒄

5) Montando matrizes

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Dadas as equações de estado e de resposta

aplique a transformada de Laplace, supondo condições iniciais nulas:

Explicitando X(s) na primeira equação:

onde I é a matriz identidade.

Substituindo X(s) em:

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Substituindo

Matriz função de transferência: relaciona a saída Y(s) ao vetor de entrada U(s)

Mesmo quando U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s) forem escalares, podemos obter a função de transferência.

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Sabe-se que:

Já temos as matrizes A, B, C e D, falta obter:

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Calculando matriz de função de transferência:

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Logo:

Invertendo :

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Substituindo :

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Obtendo a solução das equações no espaço dos estados:

Sistema:

Aplicando a transformada de Laplace:

Isolando X(s):

Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída:

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Isolando a função de transferência:

Pólos do sistema no espaço dos estados = Autovalores do sistema

Raízes

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 1)

Passo 2)

A=

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 3)

Fornece tanto os pólos do sistema quanto os autovalores

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Representação:- Arcos representam sistemas

Um sistema é representado por uma linha com uma seta mostrando o sentido do fluxo de sinal através do sistema.

- Nós representam sinais

Cada sinal é a soma dos sinais que chegam ao nó respectivo.

Exemplos:

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

a)

b)

c)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

a)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

b)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

c)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Comece desenhando os nós de sinal

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Interconecte os nós, mostrando o sentido do fluxo de sinal e identificando cada função de transferência

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Diagrama simplificado

Simplifique o diagrama de fluxo através da eliminação de sinais com um único fluxo de entrada e um único fluxo de saída.

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Redução do diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência. Requer a aplicação de uma fórmula

Samuel Jefferson Mason(1921–1974)

Definições

Ganho de malha: O produto dos ganhos dos ramos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó e termina no mesmo nó sempassar por nenhum outro nó mais de uma vez e segue o sentido dofluxo de sinal.

Existem 4 ganhos de malha para esse diagrama

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Ganho de percurso avante: O produto dos ganhos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó de entrada e termina no nóde saída no sentido do fluxo de sinal.

Ganhos de percurso avante para este exemplo:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Malhas disjuntas: Malhas que não possuem nós em comum; malhas que não se tocam.

Malha 𝐺2 𝑠 𝐻1(𝑠) não toca as malhas 𝐺4 𝑠 𝐻2(𝑠), 𝐺4 𝑠 𝐺5 𝑠 𝐻3(𝑠) e 𝐺4 𝑠 𝐺6 𝑠 𝐻3(𝑠).

Ganho de malhas disjuntas: O produto dos ganhos de malha de malhas disjuntas consideradas duas a duas, três a três, quatro a quatro, etc

Três ganhos de malhas disjuntas consideradas duas a duas para o exemplo:

No exemplo, não há ganhos de malhas disjuntas consideradas três a três, uma vez que não existem três malhas disjuntas entre elas

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Enunciado da Regra de Mason

A função de transferência, C(s)/R(s), de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é

onde

k = número de percursos avante

𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto

∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...

∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante. Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso à frente.

Observe a alternância de sinais dos componentes de ∆

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Primeiro, identifique os ganhos de percurso avante:

Existe somente um

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Segundo, identifique os ganhos de malha:

Existem quatro

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Terceiro, identifique as malhas disjuntas duas a duas:

Ganhos de malha:

A malha 1 não toca a malha 2, a malha 1 não toca a malha 3 e a malha 2 não toca a malha 3.

As malhas 1, 2 e 3 tocam, todas elas, a malha 4.

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Quarto, as malhas disjuntas três a três são:

Ganhos de malha:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:

∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...

Ganhos de malha:

Ganhos de malha disjuntas 2 a 2:

Ganhos de malha disjuntas 3 a 3:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:

∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante.

Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimopercurso à frente.

∆𝑘 será então:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Sexto, substituindo expressões na Regra de Mason:

k = número de percursos avante

𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Desenho de diagramas de fluxo de sinal a partir das equações de estado.

Considere as seguintes equações de estado e de saída:

Passo 1) Identifique três nós como variáveis de estado, x1, x2 e x3.

Passo 2) Posicione 1 nó representando a derivada do sinal a esquerda de cada nó anterior.

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 3) Identifique também um nó como entrada, r, e um outro nó como saída, y.

Passo 4) Interconecte as variáveis de estado e suas derivadas com a integração, 1/s.

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equação 1 do sistema:

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equações 1 e 2 do sistema:

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equações 1, 2 e 3 do sistema:

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equação da saída:

Diagrama pronto!

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

• Forma em Cascata

• Forma Paralela

• Forma Canônica do Controlador

• Forma Canônica do Observador

Os sistemas podem ser representados no espaço de estados usando variáveis de fase,conforme visto no Cap. 3. Contudo, a modelagem de sistemas no espaço de estados podeassumir muitas formas de representação além da que resulta com as variáveis de fase.

Motivos para representar sistemas de diferentes formas:

- Aplicações específicas: Um conjunto de variáveis de estado, com sua representação exclusiva, pode modelar as variáveis físicas reais de um sistema, como as saídas de amplificadores e de filtros.- A facilidade de solução:Uma escolha particular de variáveis de estado pode desacoplar o sistema de equações diferenciais simultâneas.- A facilidade de modelagem

Formas de representação abordadas:

Laboratório