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Prof. Roberto Cristóvãorobertocristovao@gmail.comAula 16

Convergência Absoluta, Testes da Razão e da Raiz

Convergência Absoluta

Dada qualquer série , podemos considerar a série correspondente

cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original.

Definição

Uma série é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente.

Obs.: Se for uma série com termos positivos, então e assim a convergência absoluta é a mesma coisa que a convergência nesse caso.

Exemplo 1

A série

é absolutamente convergente porque

é uma p-série convergente (p=2).

Exemplo 2

Sabemos que a série harmônica alternada

é convergente mas não é absolutamente convergente, porque a série de valores absolutos correspondente é

Exemplo 2

que é a série harmônica (p-série com p=1). e é portanto, divergente.

Definição

Uma série é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.

O Exemplo 2 mostra que a série harmônica alternada é condicionalmente convergente.

Teorema

Se uma série for absolutamente

convergente, então ela é convergente.

Exemplo 3

Determine se a série

é convergente ou divergente.

Solução:Podemos aplicar o Teste da Comparação à série de valores absolutos

Teste de Comparação no Limite

Exemplo 3

Como temos

Sabemos que é convergente (p-série com p=2) e, assim, é convergente. Então a série dada é convergente.

,n

O Teste da Razão

(i) Se então a série é absolutamente convergente (e portanto convergente .(ii) Se ou então a série é divergente.(iii) Se o Teste da Razão não é conclusivo; isto é, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou divergência de

Exemplo 4

Teste a série quanto a

convergência absoluta. Solução:

Usamos o Teste da Razão com

Exemplo 4

Então, pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente e, portanto, convergente.

Exemplo 5

Teste a convergência da série

Solução:

Como os termos são positivos, não precisamos dos símbolos de valor absoluto.

Exemplo 5

quando

Com a série dada é divergente pelo Teste da Razão.

Observação

Embora o Teste da Razão funcione no Exemplo 5, um método mais simples é usar o Teste para Divergência.

Segue que não tende a 0 quando

Portanto a série dada é divergente.

Observação

O teste a seguir é conveniente para ser

aplicado quando ocorrem potências de .

O Teste da Raiz

(i) Se então a sérieé absolutamente convergente (e portanto convergente).(ii) Se ou

então é divergente. (iii)Se o Teste da Raiz não é conclusivo.

Observação

Se então a parte (iii) do

teste da Raiz não dá informação. A série

pode convergir ou divergir.

Se no Teste da Razão, não tente o

teste da Raiz, porque será novamente 1.

Exemplo

Teste a convergência da sérieSolução:

Então, a série dada converge pelo Teste da Raiz.