prof. roberto cristóvão [email protected] aula 14 os testes da comparação
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O Teste de Comparação
Suponha que e sejam séries com termos positivos.
(i)Se for convergente e para todo então também será convergente.
(i) Se for divergente e para todo
então também será divergente.
Observação
Ao usar o Teste de Comparação, devemos,
claro, ter algumas séries conhecidas
para o propósito de comparação.
Exemplo 1
Determine se a série converge ou diverge.
Solução: Note que é uma série geométrica Com e e é, portanto
convergente. Note ainda que
Logo pelo Teste de Comparação a série dada converge.
Exemplo 2
Determine se a série
converge ou diverge.
Solução
Para grande, o termo dominante no denominador é ; assim, comparamos a série dada com a série
Note que
pois o lado esquerdo tem um denominador maior.
Solução
Sabemos que
é convergente porque é uma constante vezes uma p-série com p=2>1.
Portanto
é convergente pelo Teste de Comparação.
Exemplo 3
Teste a série quanto a convergência ou divergência.Solução:Note que para e assim
Sabemos que (série harmônica) é divergente. Então a série dada é divergente.
Observação
Considere a série
A desigualdade não é útil para
ser usada com o Teste de Comparação,
porque é convergente e
Teste de Comparação no Limite
.
Teste de Comparação no Limite
Suponha que e sejam séries com termos positivos. Se
onde é um número finito e então ambas as séries convergem ou ambas asséries divergem.
Exemplo 4
Teste a série quanto a
convergência ou divergência. Solução:Usamos o Teste de Comparação no Limite
com
e obtemos
Exemplo 4
Como esse limite existe e é uma
série geométrica convergente, a série dada
converge.
Exemplo 5
Determine se a série converge ou diverge.
Solução: A parte dominante do numerador é e a parte dominante do denominador é Isto sugere tomarmos
Exemplo 5
Como é divergente (p-série com p=1/2<1), a série dada diverge.
Estimando Somas
Para a série de comparação consideremos o resto correspondente
Como para todo temos
Exemplo 6
Use a soma dos 100 primeiros termos para aproximar a soma da sérieEstime o erro envolvido nessa aproximação.Solução: Como a série dada é
convergente pelo Teste de Comparação. Já vimos a estimativa do resto
Exemplo 6
Portanto, o resto para a série dada satisfaz
Com , temos
Usando uma calculadora programável ou um computador, encontraremos que
