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Prof. Roberto Cristóvão [email protected] Aula 11 Sequências

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Prof. Roberto Cristóvã[email protected] 11

Sequências

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Sequências

Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida:

1 2 3 4, , , , , ,na a a a a

1 - primeiro termoa

2 - segundo termoa

- n-ésimo termona

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Notações

A sequência

é também denotada por

1 2 3 4, , , , , ,na a a a a

na 1

ou nna

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Exemplo 1

11

n

n

n

1n

na

n

1 2 3 4

, , , , , ,2 3 4 5 1

n

n

( 1) ( 1)

3

n

n

n

( 1) ( 1)

3

n

n n

na

2 3 4 5 ( 1) ( 1), , , , , ,

3 9 27 81 3

n

n

n

3

3n

n

3, 3na n n 0,1, 2, 3, , 3,n

0

cos6

n

n

cos , 06n

na n

3 11, , ,0, ,cos ,

2 2 6

n

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Exemplo 2

Ache uma fórmula para o termo geral an da sequência

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Exemplo 3

Sequências que não têm uma equação de definição simples

a) {pn}, onde pn é a população mundial no dia

1º de janeiro do ano n.

b)an é o algarismo na n -ésima casa do

número e.

c)A sequência de Fibonacci

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Observação

1n

na

n

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Observação

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Definição 1

Uma sequência tem limite e escrevemos

lim ou quando

se pudermos tomar os termos tão próximos de

quanto quisermos ao fazer suficientemente grande.

n

n nn

n

a L

a L a L n

a

L n

Se lim existir, dizemos que a sequência converge,

(ou que é convergente), caso contrário dizemos que

a sequência diverge (ou que é divergente).

nn

a

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Graficamente

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Definição 2

Uma sequência tem limite e escrevemos

lim ou quando

se, para cada 0, existir um inteiro correspondente

tal que

se então .

n

n nn

n

a L

a L a L n

N

n N a L

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Ilustração

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Teorema

Selim ( ) e ( ) quando é um

número inteiro então lim

nx

nn

f x L f n a n

a L

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Definição

lim significa que para cada número positivo

existe um inteiro tal que

se então .

nn

n

a M

N

n N a M

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Propriedades do limite

Se e forem sequências convergentes e

uma constante, então n na b c

se

se

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Teorema do confronto

0Se para todo e lim lim ,

então lim .

n n n n nn n

nn

a b c n n a c L

b L

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Teorema

Se lim 0,então lim 0.n nn na a

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Exemplo 4

Calcule lim .1n

n

n

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Exemplo 5

lnCalcule lim .

n

n

n

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Exemplo 6

Determine se a sequência é convergente ou divergente.

( 1)nna

Divergente !

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Exemplo 7

( 1)Calcule lim se existir.

n

n n

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Teorema

Se lim e se a função for contínua em ,

então lim ( ) ( ).

nn

nn

a L f L

f a f L

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Exemplo 8

Encontre lim sen .n n

lim sen sen limn

nn n

sen 0 0

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Exemplo 9

Discuta a convergência da seq. , onde

!/ nna n n

! 1 2 3n n

Teorema do confronto

Convergente !

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Exemplo 10

Para que valores de r a sequência {rn} é convergente?

Se 1, divergenr rse

se

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Graficamente

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Resultado

A sequência é convergente se 1 1

e divergente para todos os outros valores de .

nr r

r

0 se 1 1lim

1 se 1n

n

rr

r

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Definição

1

Uma sequência é chamada monótona crescente

se para todo 1.n

n n

a

a a n

1É chamada monótona decrescente se

para todo 1.n na a

n

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Exemplo 11

3A sequência é decrescente pois

5n

1n

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Exemplo 12

2Mostre que a sequência é decrescente.

1n

na

n

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Definição

Uma sequência é limitada superiormente se existir

um número tal que para todo 1.n

n

a

M a M n

É limitada inferiormente se existir

um número tal que para todo 1.nm a m n

Se ela for limitada superior e inferiormente então ela

é uma sequência limitada.

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Teorema

Toda sequência monótona limitada é convergente.

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Exemplo 13

Investigue a sequência definida pela relação de recorrência

lim 6nna

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