prof. daniel orquiza de carvalho eletromagnetismo i · • a densidade de corrente pode ser de...
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Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Densidade de corrente Elétrica
• Equação da Continuidade – Forma Integral
• Equação da Continuidade – Forma Diferencial
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Densidade de Corrente e Eq. da Continuidade (Capítulo 5 – Páginas 109 a 113)
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• A corrente elétrica é uma grandeza escalar definida como
a taxa da quantidade de carga por unidade de tempo que
atravessa a seção de um dado condutor:
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Densidade de Corrente
• Em eletromagnetismo é mais conveniente trabalhar com a
densidade de corrente J.
I = dQdt [A]
I =!J ⋅d!S
S∫x
y
z
I
Qual é o valor de J no condutor cilíndrico?
• J está relacionada com a corrente total I que passar por um
condutor de área S por:
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• A densidade de corrente pode ser de três tipos: de condução, de convecção e de
deslocamento.
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Densidade de Corrente
• A corrente de convecção ocorre mesmo na ausência de um campo elétrico. Ela resulta
do fluxo de cargas através de um meio qualquer (feixe de elétrons em TRC).
• Se um densidade de carga ρv estiver se movendo com velocidade v, a densidade de
corrente de convecção é:
ρv !v
!J = ρv
!v
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• Considere uma superfície fechada ‘S’ numa região do espaço.
• Se em um instante de tempo uma densidade de corrente J atravessa a superfície ‘S’, a corrente que atravessa ‘S’ é:
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Equação da Continuidade (de Cargas)
• Pergunta: Quando a corrente vai ser positiva ou negativa?
I =!J ⋅d!S
S"∫
• Se Qi for a carga contida dentro de ‘S’, a equação da continuidade na forma integral
nos diz que a corrente saindo (entrando) de ‘S’ é igual a taxa de diminuição (aumento)
temporal de Qi, !J ⋅d!S
S"∫ = −∂Qi
∂t
vol.S
Qi
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• Cargas não são criadas nem destruídas.
• Cargas são conservadas: se há uma diminuição da quantidade de carga em algum lugar do espaço, há um aumento da quantidade de carga em outro.
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Equação da Continuidade (de Cargas)
• Se a carga Qi no volume diminui ao longo do tempo:
t
Qi
α
• Pergunta: A corrente I está saindo ou entrando da superfície fechada ‘S’?
• Pergunta: Qual o valor da corrente em um dado instante (t’)?
!J ⋅d!S
S"∫ = −∂Qi
∂t
vol.S
Qi
t '
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• E se no lugar de Qi houver uma densidade de cargas ρv dentro de ‘S’?
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Equação da Continuidade (Forma Diferencial)
• A carga dentro do volume ‘vol.’ envolvido por ‘S’ é:
Qi = ρv dvvol.∫§ Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor
Densidade de corrente (J) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica do divergente de J no volume ‘vol.’ envolvido pela superfície ‘S’.
!J ⋅d!S =
S"∫ ∇ ⋅!J dv
vol.∫
vol.S
Qi
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• Substituindo as duas últimas equações na equação da continuidade na forma integral:
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Equação da Continuidade (Forma Diferencial)
§ Chegamos à equação:
!J ⋅d!S
S"∫ = −∂Qi
∂t
∇⋅!J dv
vol.∫ = −∂∂t
ρv dvvol.∫⎡⎣ ⎤⎦
§ Note que ‘vol.’ pode ser qualquer volume. Assim, chega-se à forma diferencial (ou pontual) da equação da continuidade:
∇⋅!J = −∂ρv
∂tRelaçao com 1a Lei de Kirschhoff (correntes)?
vol.S
Qi
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§ Lembrando que o divergente do vetor J é igual ao fluxo de densidade de corrente saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume.
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∇⋅!J = lim
Δv→0
!J ⋅d!S
S"∫Δv
Equação da Continuidade na Forma Diferencial
§ A interpretação física da Eq. da Continuidade é que um fluxo de corrente saindo de um ponto infinitesimal gera a diminuição da densidade de carga neste ponto.
§ Um fluxo de corrente entrando num ponto infinitesimal gera o aumento da densidade de carga neste ponto.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída.
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Analogia com a Equação de continuidade de massa
§ Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai.
§ Se o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar.
§ Se o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), indicando compressão do ar.
volume fixo
(ρv)
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