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ÁLGEBRA LINEAR

Transformações Lineares Planas e Espaciais

Prof. Susie C. Keller

Transformações Lineares Planas

São as transformações de IR2 em IR2. Algumas delas são:

1. Reflexões:

a. Reflexão em torno do eixo x: leva cada ponto(x,y) para sua imagem (x,-y), simétrica emrelação ao eixo dos x.

Transformações Lineares Planas

Transformações Lineares Planas

b. Reflexão em torno do eixo y: leva cada ponto(x,y) para sua imagem (-x,y), simétrica emrelação ao eixo dos x.

Transformações Lineares Planas

c. Reflexão na origem:

Transformações Lineares Planas

d. Reflexão em torno da reta y = x

Transformações Lineares Planas

e. Reflexão em torno da reta y = -x

Transformações Lineares Planas

2. Dilatações e Contrações:a. Dilatação ou contração na direção do vetor:

Observamos que:

Ex.: A transformação T:IR2→IR2, T(x, y)=1/2(x,y) éum exemplo de contração.

Transformações Lineares Planas

Transformações Lineares Planas

b. Dilatação ou contração na direção do eixo dos x(horizontal):

Transformações Lineares Planas

c. Dilatação ou contração na direção do eixo dos y(vertical):

Transformações Lineares Planas Observação:

Transformações Lineares Planas

3. Cisalhamentos:a. Cisalhamento na direção do eixo dos x

(horizontal):

Transformações Lineares Planas

b. Cisalhamento na direção do eixo dos y(vertical):

Transformações Lineares Planas

3. Rotação:A rotação do plano em torno da origem, que faz cada

ponto descrever um ângulo , determina umatransformação linear T:IR2IR2 cuja matriz canônicaé:

Transformações Lineares Planas

Transformações Lineares Planas

Transformações Lineares Espaciais

São as transformações de IR3 em IR3. Dentre as diversas transformações, examinaremos as

reflexões e rotações:

1. Reflexões:a. Reflexões em relação aos planos coordenados:

A reflexão em relação ao plano xOy é atransformação que leva cada ponto (x,y,z) na suaimagem (x,y,-z), simétrica em relação ao planoxOy. Assim, essa transformação é definida por:

T(x,y,z) = (x,y,-z)

Transformações Lineares Espaciais

e sua matriz canônica:

Transformações Lineares Espaciaisb. Reflexões em relação aos eixos coordenados:

A reflexão em torno do eixo dos x é o operadorlinear T:IR3IR3, T(x,y,z) = (x,-y,-z), cuja matrizcanônica é:

Transformações Lineares Espaciais

De forma análoga T(x,y,z) = (-x,y,-z) e T(x,y,z) = (-x,-y,z)definem as reflexões em relação aos eixos Ox e Oz,respectivamente.

Transformações Lineares Espaciaisc. Reflexão na origem:

Transformações Lineares Espaciais

2. Rotações:Dentre as rotações do espaço ressaltamos a rotação

em torno do eixo z que faz cada ponto descrever umângulo . Esse operador T:IR3→IR3 é definido:

T(x,y,z) = (xcos - ysen , xsen + ycos , z)

e sua matriz canônica é:

Transformações Lineares Espaciais