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IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 1 / 59
Aspectos Geométricos do Electromagnetismo
Provas de Agregação: Lição de SínteseProvas de Agregação: Lição de Síntese
Carlos R. Paiva
Professor Associado do IST
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 2 / 59
Sumário da lição de síntese
Equações de Maxwell e de Maxwell-Boffi: meios electromagnéticos
Álgebra geométrica do plano euclidiano Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional
Primeira formulação geométrica do electromagnetismo Meios anisotrópicos
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski Segunda formulação geométrica do electromagnetismo Efeito Doppler Meios em movimento
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 3 / 59
Enquadramento e objectivos
Esta lição insere-se no programa de Fotónica – disciplina do mestrado integrado em engenharia electrotécnica e de computadores do IST.
Os alunos (hipotéticos) a que esta lição se destina são os alunos típicos de Fotónica. No entanto faz-se aqui uma síntese que seria – do ponto de vista pedagógico – demasiado concentrada para uma aula teórica normal dessa unidade curricular.
Esta lição de síntese poderia, no entanto, ser utilizada após as aulas teóricas e práticas de Fotónica correspondentes a estes assuntos enquanto revisão de conjunto. Alternativamente constitui um seminário sinóptico sobre álgebra geométrica e suas aplicações em electromagnetismo, tendo em vista aplicações em óptica e fotónica.
Abarcam-se, de uma forma integrada, dois capítulos de Fotónica: Os meios anisotrópicos; A óptica relativista.
O tema central é a formulação geométrica do electromagnetismo através da linguagem matemática das álgebras geométricas (de Clifford) em duas abordagens: Primeira parte – na álgebra geométrica do espaço tridimensional euclidiano; Segunda parte – na álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski.
Além do objectivo explícito de ensinar as matérias referidas, existe (em paralelo) um objectivo implícito: adopta-se uma formulação que é independente de qualquer sistema particular de coordenadas. Trata-se, portanto, de uma perspectiva sintética, que trata os objectos geométricos de forma abstracta – por oposição a uma perspectiva estritamente algébrica, reduzida à simples manipulação das respectivas componentes.
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33
3
31 2
3 0 0
campo eléctrico densidade de correntecampo magnético
densidade de cargaexcitação eléctrica
velocidade da luz (vácuo)excitação magnética
t p m
t p
c
E J J J JB
D
H
ñ ñ ñ
Equações de Maxwelle equações de Maxwell-Boffi (1)
eq. de Maxwell- eq. de Maxwell-0
-Faraday -Ampère
lei de Gauss magnética 0 lei de Gauss
t t
B DE H Jequações
de
Maxwell B D ñ
020
0 0
10
10
p
t
p
t
m
c tt
t
P EBB JE D E Pequações
Pde Maxwell - J
H B M-Boffi B EJ M
ñ
ñ
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Equações de Maxwelle equações de Maxwell-Boffi (2)
As equações de Maxwell-Boffi ignoram a existência de meios materiais: o único meio é o vácuo. Os meios materiais são estranhos à ontologia destas equações. Trata-se de uma perspectiva reducionista; corresponde à visão fundamental da física teórica.
As equações de Maxwell admitem a existência de meios materiais. Trata-se de uma perspectiva fenomenológica; corresponde à visão da engenharia electrotécnica e da física aplicada. É esta a perspectiva aqui adoptada.
Nas equações de Maxwell-Boffi apenas aparecem os campos eléctrico e magnético. Ignoram-se os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). Todas as fontes do campo electromagnético (quer as livres quer as ligadas entre si e que constituem os «materiais») são tidas em consideração.
Nas equações de Maxwell aparecem, além dos campos principais (eléctrico e magnético), os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). As únicas fontes do campo electromagnético são as cargas livres (em repouso ou em movimento).
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 6 / 59
anti-simetriaálgebra
distributividadede Lie
identidade de Jacobi 0
a b b a
a b c a b a c
a b c b c a c a b
Só existe num espaço tridimensional
: e depende da métrica pois
implica a noção de ortogonalidade.
Nota
Álgebra vectorial de Gibbs3espaço linear
álgebra decorpo
Gibbsproduto vectorial produto externo
produto ortogonalidade ,
externo comprimento igual à área sin
(de Gibbs) triedro dextrorso (ou direito) , ,
a b a a b b
a b a b
a b a b
a b
b
a
3 3 3
produto externo (de Gibbs)
: , a b a b regra
fundamental a b c a c b a b c
não é
associativo a b c a b c b c a
Parte I
Álgebra Geométrica
do Plano Euclidiano
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 7 / 59
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 8 / 59
Álgebra geométrica do plano euclidiano (1)
2 21 2 1 2 1 2 1 2
1 2
0, 1 ,
1,2 | , 0
s
i i i ii
e e e e e e e e
e e e e
B
21 2 1 2 (de Clifford) x y x y produto geométrico r r rr e e e e
2 22 2 2 axioma fundamental r r a b a b ab ba
2 2 22 2 2 21 2 1 21 2
2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 1
21 x y x y x y
x x x y x y
r e e e ee e
e e r e e e e e e
1 2 2 1 1 2
2 2 212 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
associatividade anti-comutatividade associatividade vectores unitários
212
anti-comutativo
1
1
e e e e e e
e e e e e e e e e e e e e e e
e
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 9 / 59
Álgebra geométrica do plano euclidiano (2)
12 1 2
novo objecto geométrico:
bivector e e e
12 1 2e e e
1e
2e
2212
12
escalar
bivector
u
u
a b ab a b a b
a b eab e Ù
2 11 1 2 2 2
2 11 1 2 2 2
1 1 2 2
1 212
1 2
produto interno
produto exterior
(de Grassmann)
a a
b b
a b a b
a a
b b
aa e e a a
ab
b e e b bb
a b
a b e
produto geométrico
, u
a b ab a b a b
cos proj, área orientada
sin áreabivector
aa b a b a ba b a b
a b a b
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 10 / 59
Álgebra geométrica do plano euclidiano (3)
2
2
1
21
2
a b ab ba b aab a b a b
ba a b a ba b ab ba b a
Ù
cosb
sinba b
a
b
a
2
22 2
22 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin 0
a b ab a b a b ba
a b ab a b a b a b ba
a b ab ba a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
2 2 22 2
2 2 2 22 2 2
2 2 2 2
reverso de
cos
sinteorema de Pitágoras
u u u
u uu
ab ba
ab ba a b a b ab a b
a b a ba b a b ab
a b a b
1
1
1 1 1
O produto geométrico é um produto
invertível entre dois vectores.
u
u u
u
a b
ab b a
b a
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 11 / 59
Álgebra geométrica do plano euclidiano (4)
2e1e
1
0
0u
a b a b ab ba
ab a b a ba b a b ab ba
1 2
12
22
1 escalar 1
1 1 vectores ,
1 2 1 bivector
dim 1 2 1 2 4C
e e
e
12e
12e
1
1e
1
2e
2e
1e
12 e 1 e
12e 2 e
2
tabuada
de
C
2e1e
1
2 12 22
222
212 12
parte par
parte ímpar
i CC
i iC
e
a aa
ae e a
Ù
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 12 / 59
Álgebra geométrica do plano euclidiano (5)
0 1 2 12 0 1 1 2 2 12 12
1 1 2 2 0
12 12 20 1 2
, , , u
u u u C
e e e
a e e a B
B e
0 1 22
0 1 2
0 1 2
ˆinvolução de grau
reversão
conjugação de Clifford
k
k
u u u u
u u u u u
u u u u
Ù
02 2 2
2 2 221 02 2
escalares vectores bivectores
k
kC
ÙÙ Ù
Ù
2 2 2 20 12 12 0 120
u u uu a e a
a12ae
12 12e a ae
1 0 12 122 2 20 12
0u
uu uuu
a e
a
2 2 12 2 1
12 12 12 120 0 0
2 2 2 112
122 10 012 12
12
exp! 2 ! 2 1 !
11 1
2 ! 2 1 !1
cos sin conteúdo geométrico da fórmula de Euler
k k kk k k
k k kkk k k
k k
kkk k
k k k
k k
e e e e
ee
e e
e
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Álgebra geométrica do plano euclidiano (6)
12
2
122 2
2 2
cos sin2 2
,rotor cos sin
2 21
1
R
R R
RR
nm m n m n e
m nmn e
n m
nm mn n m
2 212rotação de : , exp
2R R R
a a a a nm eR
2grupo de spin 2 | 1 rotor
grupo de rotação 2 Mat 2, | , det 1
2 2
T
R C RR R
M M M I M
Spin
Spin
SO
SO
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Álgebra geométrica do plano euclidiano (7)
, ,OP OQ OP a b a������������������������������������������
O
P
Q
Pa
a
b
m
n
2
a a m m
a a a a a m m
am a m m
a m m
b a a
a m m a m m
m a m m a m
mam
, 2 ,
, , 2 2
R R
a m m n b mam
b n a a a nbn
a a a nm a mnR
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 15 / 59
2 2 22
2 2 22 2 2
2 2 22
2 2 2
,C C C
u v CC C C
C C CC C C
u v CC C C
2
22
2 2 2
Uma sobre o corpo (no nosso caso ) é um espaço linear sobre onde
se definiu uma função (i.e, linear nos dois argumentos
é
) : , .
uma subálge
A
A A A u v u
CC C
v
C
álgebra
bilinear
Ù
F F F
22
bra
não é uma subálgebraC
Álgebra geométrica do plano euclidiano (8)
22
2
2 2
ˆˆexp cosh sinh paravector
ˆ, 1
1ˆ1
idempotência ,21 divisores de zero 0ˆ12
pp p p p
p p p pp
a aa a
a
a
a
Parte II
Álgebra Geométrica
do Espaço Tridimensional Euclidiano
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IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 17 / 59
0
32 2
0 1 2 3 0 1 2 3
1 2
0 1 2
complexos 1, dim 2
quaterniões 1, , , dim 4
1
, 0,1, 2, 3
z x i y i i
q q j i j k
i j
k i j q q i q q i q j j q q i q j q k q
q z z
q q q q q i q j q k q
q
q
q q
H H H
H H
B
B
2 2 2 23 1 2 3 0q q q q
Os quaterniões de Hamilton
domíniocorposintegral
não é anel anéis
problema de?
Hamilton
anel de não é
divisão associativacorpo
anéis não é anel
solução do
problema
H O
2 2 2
0 1 2 3 0 1 2 3
2 2 2 20 1 2 3 1 2 1 3 2 3
22 2 2 2 2 20 1 2 3 0 0
2 2 2
1
1
i j k q q q i q j q k q q i q j q k qi j ji
q i q j q k q i j ji q q ik ki q q jk k j q qik ki
q q q q q qjk k j
i j k i jk
q
1 1 2 2 3 3 1 2 3
33
1 1 2 2 3 3 1 2 3 123 123 123
1 1 2 2 3 3 1 2 3
volume
orientado
a a a a a a
b b b b b b
c c c c c c
a e e e
b e e e V a b c e a b c e e
c e e e
Ù
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Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (1)
2 3
3 3 3 31 2 3 3, ,s C e e e B Ù Ù
1e
2e
3e
123e123 1 2 3trivector unitário e e e e
123 3 2 1 1 3 2 1 2 3 123
2 2 2 2123 123 123 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1
e e e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e e e
1 2 3 33
3 12 23 31
123
escalar 11
base de vectores , ,1 1dim 1 3 3 1 2 8
bivectores , ,1 2 1
trivector1 3 3 1
CC
e e e
e e e
e
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31 1 2 2 3 3
31 1 2 2 3 3
a a a
b b b
a e e e
b e e e
Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (2)
31 3 1e e e23 2 3e e e
12 1 2e e e
3e
1e
2e
23 2 2 2
12 23 31dim 3, 1
e e eÙ
23 31 122
31 2 3
1 2 3
1 2 33
1 2 3
1 2 3
produto exterior
(Grassmann)
é associativo
produto externo
(Gibbs)
não é associativo
a a a
b b b
a a a
b b b
e e e
F a b
e e e
c a b
Ù
123 c a b Fe
123 F a b ce
a
b
Nota:
O produto externo exige uma métrica.
123 123dualidade de Clifford a b a b e a b a b e
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 20 / 59
Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (3)
0 1 2 33
123 123 3
,
,
u u u u u
C
a be ea b
3
3123 3
centro daZ | ,
álgebra
Z
A c A ac ca a AA
i C
e Ù
3 3 323
3 3 3 3
33 3 3 3 3
3
3
23
3
3 3 23
1
1
subálgebra par
não é uma subálgebra
C C C
C C C C
C C C
C
i
CC C
j
kC
e
e
e
HHÙ
Ù
3 3
3
123 123
operador : :
linear
endomorfismo
em
determinante det
C
a a
a b a b
a b a b
a b c a b c
e e
f
f f f
f f f
f f f f
f f
123 123dete ef f
f1e
2e
3e
2ef 1ef
3ef
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Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (4)
30 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
ˆinvolução de grau
reversão
conjugação de Clifford
u u u u u C
u u u u u
u u u u u
u u u u u
123 123 3
2 2 2 2 2
0
13
u C
u uu
uu C
uu
a be e
a b
3
23
123
grupo de spin:
3 | 1R C RR
R
Spin
F be
Ù
3
3 3
rotação em :
: :
ˆ ˆcos sin exp2 2 2
R R
R
a a a a
nm m n m n
F F
R R
F m n
123b Fe
a a
a
a
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 22 / 59
Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (5)
2 2 3 2 2
23 2 2 2
123 123 123
2
rotor 3 1, , , 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 1sin 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
R R RR
R R
R R
R R R
Spin nm nm mn n m m n m n
n mb b b F n m F be F be b e
a a b b a F Fa a aa a a
a F Fa a aa a b b
a a a a a a a
3 regra de, , ,
Cramer0
0
d b c
a b ca b c d d c a
d a b ca b ca b cd a b
a b c
a b c d a b c a b c
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1 12
1
1 1 1
1
0
1
b a F a F F a b a b a ba
a F F a a a ba b
a a a a b a b a b
‡
‡ … ‡
Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (6)
1123 123
3 1123 123
contracção à esquerda,
contracção à direita
u v u vu v C
u v u v
e e
e e
‡
…
3, ,
a b c a b c a c ba b c
a b c a c b a b c
‡
2
3
a b c d a d b c a c b d
a b c d a b c d a c b d a d b c
‡
‡ Ù
aa
a
1 F a b
12
a
aa
b a F‡
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 24 / 59
123
123
carga pontual
distribuição contínua de carga
q q
F E v B e
força de LorentzF E J B eñ
123eq. de Maxwell-Faraday 0
lei de Gauss magnética 0
t
Be Eequações
de Maxwell
homogéneas B
31 2 3
123
1231 2 3
1 2 3
, , ,
rotacional
t x x x
x x x
aa a e
a a ee e e
‡
123eq. de Maxwell-Ampère
lei de Gauss
t
DHe Jequações
de Maxwell
não homogéneas D ñ
‡
Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (1)
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 25 / 59
Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (2)
0 123
0 1230
0
meios isotrópicos
simples 0ondas TEM
0
k E He
k H EeD E
B H k E
k H
0
, expondas planas
monocromáticas exp
t i t t i
ii
E r E r
kE r E k r
0 0 123
0 0 123
0
0
0
0
k E B e
k H D eequações de
k DMaxwell
k B
Nota: Doravante, para simplificar a escrita das equações, omite-se o índice «0». Trabalha-se, portanto, com amplitudes complexas.
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 26 / 59
Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (3)
220 123
2 20 123
k E k Hek k E k k E k E k k E
k k H k k H k H k k H k H k Ee
‡‡‡ ‡
123 123 0
123 123 0
k He k H e E
k Ee k E e H
‡‡
2 2 2
2 2 200 02 2 2
0
ˆn kn k nk
n k
k E E
k k kk H H
0 0
00
0
1c
0kc
n
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 27 / 59
03 3
0
anisotropia função dieléctrica: :
eléctrica operador linear
tensor meio isotrópicovácuo
dieléctrico simplesi j i j
D Ea b a
B H
e e E E E E
εε ε
ε ε ε
Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (1)
3
2 1
s
E E s D D s s D s s D s ss
D D
0
2 2 2
0
0
1
0
D
D
s
r
D E s
D s s r t
D s E s
D r E r
ED DE
ε
ε
F E Dˆ sin s t F
D
D
sε
D
E
s
F̂
s
s
s
t
r
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 28 / 59
2
ˆ ˆˆ ˆexp
sin 2
cos sin
meios com permitividade0 0
dieléctrica nula 2
RR R
R R R
D
s
s F F ss tF sr s r F
s s
t s s s r
2 2
tan
permitividade dieléctrica
(relativa) na direcção
s r
sr
s r s r
s
s s
s r s s s r
s s r t
s ss
ε
ε ε
ε
ε
‡
s s
Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (2)
meio
anisotrópico:
2 2s s r tεr r
ss
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 29 / 59
3 3
1 1
2
31 2 31 2 3
operadores
de projecção, ,
i i ii i i i i
i ii i ii
i i
s
e ea a a e ea a e e
a aa a a a a e e e
εε PP
P PP P P I
B
3 3
3
0 valores próprios
reais0 ,
e e e ee e e e
e e e e e
εε : ε ε
ε
0 vectores próprios
ortogonais
i j i j j j i j j i i j
i j i i j i i j i j i j
e e e e e e e e
e e e e e e e e
ε
ε
Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (3)
3
meio recíproco
(operador simétrico) ,
a b a b
a b
ε ε
3
valor próprio
vector próprio
e e
eε
31 2 3
1 1 1
2 2 2 123 1 2 3 123
3 3 3
, ,
det
s
e e e
e e
e e e e
e e
ε
ε ε
ε ε
B
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 30 / 59
Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (4)
1 2 3
3
1
CASO 1
ii
cristal isotrópico
a a a a
a a
ε P I
ε
1 2 3 3
1 2 3
1 2 3
3 3
3
23
CASO 2
, ,
, 1
cristal uniaxial
c e
a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a c c c
a a a c c
ε P P P
P P P
ε P P
P
P
ε
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 31 / 59
Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (5)
3 2 1
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 1 2 3
2 3 2 3 2 1 1
2 22 1 3 21 3 1 3
3 1 3 1
1 1 2211 3 3 1 1 1
22 3 3 1 1 2
3 1 23
CASO 3
, , 1
1
2, 1
1, 12
cristal biaxial
a a a a
a a a a
a a a a
e d dd e e d
d e e de d d
ε P P P
P P P
ε P P
1 1 1 1 2 1 221
3 3 3 1 2 1 223
1
4
1
4
a a e e a d a d d d
a a e e a d a d d d
P
P 2 3 2 1 2 2 1
1
2 a a a d d a d dε
3X
1X2X
2d1d
1 1
3
2 21 2
2 2 1 2 33 1
3 1
cos cos sin2 2
2
d d
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 32 / 59
Propagação de ondas electromagnéticas em cristais não-magnéticos
123
123
equações de Maxwell
para ondas planas
e monocromáticas 0
k E Be
k H De
k D k B
0
0
anisotropia
eléctrica
D E
B H
ε
0
0
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
kc
nkn
k
E E k kE E E
k k k E E k k
2
123 123
k k E k E k E k E k k
k He k H e
‡‡
1
a b
b a
εη ε
η 2
equação de 1ˆ ˆpropagação n k E k Eη
2
2 2
0 0 0 02 2 2
2 2
cristal
uniaxial 1 1 1,
det
tr 3 2
o
e o
o e o
n
n n
n n n
a a a c a
a a a c a
ε
η
ε
ε
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 33 / 59
Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (1)
2
eq. de propagação das
ondas (anisotropia)
eléctrica)
1ˆ ˆn
k E k Eη
2 20 0
eq. de propagação das ondas
(cristais uniaxiais)
ˆ ˆ1 0n n
k E E c k c
2
22 2
0 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ1 0
ondaonda extraordináriaordinária
n n
k c k c k c
k c k E E c
k c E c
‡
‡
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 34 / 59
Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (2)
2 2 20
2 222 2
0 0 2 2 2
onda0 1 0
ordinária
onda 11 0
extraordinária
o
o e
n n n
n nn n n
E c k E
k c k ck c
ondaordinária
onda extraordinária
0k 0k
1X
1X
c
okek
0
: Num cristal uniaxial existe apenas
um eixo óptico. Num cristal biaxial existem
dois eixos ópticos.
eixo óptico do cristal uniaxial
ˆ ˆ
: Num cristal biaxial as duas
ondas caracterí
o e on k
Nota
c
k c k k k
Nota
sticas isonormais não
podem ser classificadas como
ondas ordinária e extraordinária.
Parte III
Álgebra Geométrica
do Espaço-Tempo Plano
de Minkowski
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 35 / 59
grupo de1,3 Mat 4, | det 1
LorentzTL L g L g L O
transformação
0 0de Lorentz
0 0Mat 4,
T T
T
T T T T
X g X X g XX L X L g L g
X L g L X X L g L XL
P1
2 2 2 2 22
1 2 2 2 2 2
1 0 0 00 0matriz da 0 1 0 0
métrica 0 0 1 0 0 00 0 0 1
T
T
c t x y z X g Xg Ig
g g c t x y z X g X
P2
acontecimento em
acontecimento em
T
T
X ct x y z S
X c t x y z S
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 36 / 59
Postulados de Einstein e métrica de Lorentz (1)
P1: Todos os referenciais de inércia são equivalentes. P2: A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 37 / 59
4 40 0 1 1 2 2 3 3
4 440 0 1 1 2 2 3 30 1 2 3
0 0 1 1 2 2 3 3
2 2 2 20 1 2 3
, 0
, , ,
,
1, 1 métrica de Lorentz
T
g X x x x x
Y y y y y
g X Y X gY x y x y x y x y
e e e e x e e e e
y e e e ee e e e
x y
e e e e
B
invariância do
1,3 ,produto interno
T T T TX L XL X gY X L g LY X g Y
Y LYg
O
40 1 2 3
0 0 1 1 2 2 3 340 1 2 3
produto,
interno
, diag 1, 1, 1, 1
T
T
T
X x x x xg X Y x y x y x y x y
Y y y y y
g X Y X g Y g
Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (1)
O espaço-tempo de Minkowski é o modelo físico do espaço quadridimensional (plano) onde têm lugar os acontecimentos da teoria da relatividade restrita.
222 2 2 2 2
1,3 2
00,3 2 22 2
0 1 2 3
invariante de Lorentz
,
ginástica de índices
ii
c t r c t rx x
ct r g x x g x xx g x x g xr x x x x x
rr r r r e e
r ee r r ee
41,3 2
1,3
espaço linear
espaço quadráticovector forma-1
métrica identificação entre vectores e formas-1
a a
a e e a
2 2
4
forma quadrática , ,
,métrica (forma bilinear) , 1 2
Q g Q Q
g Q Q Q
x x x x x x x x
x yx y x y x y x y
0
0 1 2 30 base convenção1, 2, 3 , , ,
dual da somaformas-1
ii
i g
e ee e e e e e e e
e e
, 0,1, 2, 3 , diag 1, 1, 1, 1g g g g e e e e
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 38 / 59
Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (2)
Um espaço linear (ou vectorial) dotado de uma forma quadrática diz-se um espaço quadrático.
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 39 / 59
1,3 2 2 2 2 20 1 2 3 0123 0 1 2 3 3 3 1 0 0 1 2 3
21,3 1,3
1,3
2 3 41,3 1,3 1,3 1,3
0 1 2 3 4
, , , , , 1
, , , , ,
, , , ,
u C
u u u u u
e e e e I e e e e e I e e e e I I II e e e e
a F bI I a b F
a F bI I
B
Ù
Ù Ù Ù
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (1)
2 3 4
1,3 1,3 1,3 1,31,3
escalares vectores bivectores trivectores quadrivectores
álgebra geométrica
do espaço-tempo
de Minkowski
C Ù Ù Ù
0 1 2 31,3
01 02 03 12 13 23 4
012 013 023 123
1 escalar 1
1 1 vectores , , ,dim 1 4 6 4 1
1 2 1 bivectores , , , , ,2 16
1 3 3 1 trivectores , , ,
1 4 6 4 1 quadrivector
C
e e e e
e e e e e e
e e e e
I
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 40 / 59
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (2)
1,30 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
ˆinvolução de grau
reversão
conjugação de Clifford
u u u u u u C
u u u u u u
u u u u u u
u u u u u u
1,3
1,3
21,3
,
,
,
bI Ib b
bI I I bI b
FI IF F
Ù
2
1,3 2
2
22 02
0 202 2
21 21 2
2
1,3
nulo (tipo luz) 0
hiperbólico (tipo tempo) 0
elíptico (tipo espaço) 0
0 ,1
1 cosh sinh1 1 cos sin
lugares 0 cone d
geométricos
de
ss
ss s s s
a
a a
a
a a ee
a a e
a a
a
a
2
2
e luz
0 hiperbolóide de uma folha
0 hiperbolóide de duas folhas
a
a
42 2 2 1,3
0 4
2 2
4
2
2
2
21,3
01 23
42 1,3
bivector simples 0
nulo 0bivectores
hiperbólico 0simples
elíptico 0
um bivector que
não é simples2
F F F
F F
F
F
F
F e e
F I
Ù
Ù
Ù
2
2 2 2
todos os
trivectores
são simples
bI bI Ib
b I b
1
1
1
ˆ , 1,3transformações
, 1,3 1,3de Lorentz
, 1,3 rotor
u u u
u u u u
u u u
a a Pin
a a Spin Spin
a a Spin
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 41 / 59
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (3)
2 41,3 1,3
1,3 1,3
31,3 1,3
1,3 1,3
1,3 1,3
subálgebra par
parte ímpar
1,
2
C u C u
C u C u
u C u u u u u C
F I F I
a bI a bI
a F bI I I I a F bI I I I
Ù Ù
Ù
1,3 1,3
1,3
1,3
1,3 | 1grupos de
1,3 | 1Lorentz
1,3 | 1
u C C u u
u C u u
u C u u
Pin
Spin
Spin
2 ~
1,3 0, , , dual de Cliffordu v C u uu uv vu v u I
grupo de Lorentz preserva a orientação1,3
especial ortócrono do espaço-tempo Spin
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 42 / 59
21,3 2 2 2
1,30 4
1 2 2 1 2
1 2
exp , exp2
ˆ ˆexp exp 1 bivector hiperbólico unitário2
ˆˆ ˆ ˆexp ,
2decomposição invariante
R C
FF F F F I rotor
F I F F I F
FF I F F F IF
ññ 0
ñ ñ
ñ
Ù
2
2
1 bivector hiperbólico
ˆ 1 bivector elíptico
IF
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (4)
2
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆbivectores e comutam
ˆ ˆ ˆ ˆexp exp exp exp exp 1,32 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ1 bivector hiperbólico boost exp cosh sinh2 2 2
ˆ 1 bi
R LU U L
L
F IF IF F IF I F IF
FF IF IF F Spin
F F F
IF ˆ ˆvector elíptico rotação exp cos sin2 2 2
U
IF IF
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 43 / 59
1,30 1 2
10 1 01,30 1
210 10 10
10 10
210
ˆ ˆ 1
exp exp 12
0
1
1 cosh
1 tanh
a b a
a a a
b b b
a a a a
a b a a
b a
b a
a
R R
ct x
ct x
R R
R
ct ct
x x
boost r r r
r e eF e e e F
r e e
e e e
r r e e r r
r r r e r
r
tantan tanh
tan1 tan tanh
tan
a
a
bb
b
ct
x
ct
x
r
ar
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (5)
br
boost transformação de Lorentz activa
a b
r r
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 44 / 59
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (6)
0 1 0 1 1 0
0 1
ct x c t x
c t x x c t
e e e e e e
e e
210
20 0 0 0 0 0 10 0 0 1
21 1 1 1 1 1 10 1 1 010
exp
, , 1
, , 1cosh sinh
R
R R R
R R R
e
e f f e e f e e e e
e f f e e f e e e ee
0 1 0 1
transformação de Lorentz o mesmo acontecimento
passiva interpretado por dois observadoresct x c t x
S S
r e e f f
1
1
ct c t
x x
10 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10
2 210 10
bivector invariante
num boost1 1
exp exp
R R R R R R R R R R
R R
f f f e e e e e e e e e
e e
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 45 / 59
1,3 0,30 0 1,3 1 1 2 2 3 3
2 21,3 2 20 1 10 2 20 3 30 0 0
3,00 1,3 1 1 2 2 3 3 3
0 0 0 0 1,3
0 0 0 0 1,3
2 20 0 0 0 0
,a a C a a a a
a a a a a
a C a a a C
a a a C
a a a C
a a a
a e e e e
A e e e e A e
A e a σ σ σ
a e e A
e a e A
a a e e a A A A
Ù
2 invariante
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (7)
2 33 3 31,3
30 1 2 31,3 33 3,0 2 4
1,3 1,31 2 31,3
base de , , ,
base de , ,
CC C
C
e e e e
σ σ σ
Ù Ù
Ù Ù
1,3C 3C
1 1
10 20 30, ,e e e 1 2 3, ,σ σ σ
12 13 23, ,σ σ σ
123σ
12 13 23, ,e e e
I
†1,3 0 0
21,3 2 †
† †
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 1
ˆ ˆ2 , 2
u C u u
e e
F F F F F IF F F IF
F F F IF F F
Ù
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 46 / 59
Diagramas de Minkowski (1)
eixo 0 tan
eixo 0 tan
xc t x x ct
x x ct ct
ctc t ct x x c t ct xx
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 47 / 59
Diagramas de Minkowski (2)
0OB cT e��������������
0OB cT e��������������
0 0OA cT f��������������
ctc t
xO
AB
1OB L f��������������
0 1OA L e��������������
0 0AB L e��������������
ct
x
x
O
B
A
0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0
1 0
0 dilatação do tempo
cT cT vT
cT cT vT
T T
f e e
f e e e e e
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0 1
1 0
0 contracção do espaço
L L L
L L L
L L
f e e
f e e e e e
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 48 / 59
1 10 2 20 3 30 1 10 2 20 3 30
1 23 2 31 3 12 1 23 2 31 3 12
bivectores hiperbólicos ,
bivectores elípticos ,
E E E D D D
B B B H H H
E e e e D e e e
IB BI e e e I H HI e e e
Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (1)
1,3 0,30 1 2 3
1 2 3
1operador de Dirac , operador nabla
c t x x x
e e e e
21,3
0 †
21,3
0
21,3
0 †
21,3
0
1,30
intensidade bivector de1 1
EM Faraday
excitação bivector de1 1
EM Maxwell
fontes do vec1,
campo EM
E
c cB
D
c cH
J Jc
E eF E IB F E IB
B e
D eG D I H G D I H
H e
J e
Ù
Ù
Ù
Ù
ñ ñtor das
fontes
2 2 2 20 0 1 1 2 2 3 3 0 1 2 3
métrica de Lorentz
, , 1, 1x x x x x x x e e e e e e e e
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 49 / 59
0 0 0 0 0 0
bivector hiperbólico bivector elíptico
†0 0
1 †0 0
1bivectores 2auxiliares 1
2c
G Ge e G e e G e e
D G e e G G
I H G e e G G
…
…
0 0 0 0 0 0
bivector hiperbólico bivector elíptico
1 †0 0
†0 0
1bivectores 2auxiliares 1
2
c
F Fe e F e e F e e
E F e e F F
IB F e e F F
…
…
Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (2)
Os bivectores de Faraday e de Maxwell são os bivectores fundamentais do campo electromagnético descrito no espaço-tempo de Minkowski.
Os quatro bivectores que entram na composição desses dois bivectores fundamentais são bivectores auxiliares e correspondem aos vectores usuais do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano.
Os dois bivectores fundamentais representam o campo electromagnético de forma independente do observador considerado. Os bivectores auxiliares, porém, dependem do observador considerado.
A descrição baseada nos bivectores fundamentais é, deste modo, superior à descrição do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano.
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 50 / 59
Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (3)
1,3
eq. homogénea 0as equações de
Maxwell em eq. não-homogéneaC
F
G J ‡
123
0 0
conservação do10
fluxo magnético0
conservação da1 1 1
carga eléctr
BE
tBB E
c tB
DH J
tDD H J
c t c cD
F e I
G e e
J
ñ
ñ
‡ica
0
ondas planas e vector de
monocromáticas onda
0 eqs. de0
0 Maxwell
t ii k
ci k
k k e
k FJ
k G
‡
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 51 / 59
eq. de 0conservação
da carga
eléctrica Jt
J
ñ
2
22 2 2
2
eq. de prop. das ondas0 0
EM no vácuo
00
0
J F
kk k F
F
Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (4)
0 0 0 00
0000 0
01vácuo
1
D E
B Hc
FG F F F F J
F J
‡
‡
22 2
2 2
2 2 2
2 2 21 2 3
1dalembertiano
laplaciano
c t
x x x
2
0 0 0
0 2
a eq. de Maxwell
no vácuo
F J F J J J
J J
2 222
0
0
JF F
F J
2
2
1,3 2
020,3
10,30
0
2
0
0
vector de onda 0
vector elíptico un
ondas EM
itário 1
verificaç
no vácu
ão
oE c B
E B
scs s
c c aaa a a a a a
c s aa s
a a a
k
F
k kk e
E ek k k k F k k
IB
F k k k
22 0a a k k
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 52 / 59
2 2 20 40 4
2 22022 1
14
invariante de
Lorentz
2
D c Hc
c D H
G G G I
G D I H
2 2 20 40 4
2 22022 1
14
invariante de
Lorentz
2
c E Bc
c E B
F F F I
F E IB
Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (5)
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 53 / 59
2 20
2 20
2 2 22
0 0
emisssorobservadores
receptor
0 1
, cos
vector de onda
do fotão
e r
e e
e re r
c c
c c
s s s
s s s s
s sc c
v e v
u f u
k
k e f
Efeito Doppler (1)
20 0 0 0 0 0 0
20 0
2
0 0 0 0
0 0
boost
ˆcosh sinh
ˆexp
ˆ
r
r
r
r r
L
L L L
L
L
s L s L L L L s L s
s s
e f f e e e e
f e F
F
f e e e
F f e
20
2
2
2
20 0
rotação
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆcos sin exp
ˆ ˆ
e e r e e
e e e e e
e e e
r e e e
U
s U U U
s s s s s U s U U s
U s s s s s s
U
U s s s s
F e F F F
F F
F F e e
,e r k v k u
0
0ˆ
e e
e
c
s
v e
B ek v
0
0ˆ
cosr
e
c
ss s
v e
B e
0
0ˆ
r r
r
c
s
u f
B fk u
U L
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 54 / 59
Efeito Doppler (2)
0 0
0 0
0 cose e
s
s s s
f e
f e
f
0 0 0 0 0 0 1 cos
cos 1 0efeito Doppler
e r re r
e
s sc c
e f f f f f
r
e
0.8
longitudinal 0
transversal 2
10
1
afastamento 0
aproximação 0
r
e
r e
r e
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 55 / 59
Meio isotrópico simples no espaço-tempo de Minkowski
21,3 1
0
121,3
0
relações constitutivas de um
meio isotrópico simples
c
c
D E F E IB
G D I HB H
Ù
Ù
0 01 0 1
22 0 0 0 0
111
c
c c
G D I H E IB
1
0 0 00
todas as partículas doobservador próprio do 1
meio movem-se commeio: referencial
a mesma velocidade
cS c
vv e F v F v e Fe E IBe
1 2
1 2 1 2 1 20 0
1 1 1 1 1
2 2c
v vF F E IB G F F
2 22 0 0
0 0
00
0
1 11 exp cosh sinh
2 2
lnrelação constitutiva 1exp
no espaço-tempo
n n
n n
n
n
v v v v
v
v v
F F F F F
G FF F
r r r
rr
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 56 / 59
boost0 0 0 0
0 00 0
0 0 0 0 0 0 0 0
observador do meio : exp
expobservador do laboratório :
, , cosh , tanh
S c c
cS c
v vv c v v vv v u
u c
e v e u V v fv u
v V u ef v f
v uV f e U
u v
1 1
1 1
forma invariante1exp
da relação constitutiva
c c
c c
v
F E IB E IBG F
G D I H D I Hr
01 1
0
01 1
0
referencial meio isotrópico
próprio simples
referencial do meio
laboratório bianiasotrópico
D E
H B
D E B
H E B
ε φ
ψ μ
Meio isotrópico simples em movimento (1)
Um meio isotrópico simples (assim classificado no seu referencial próprio) é, do ponto de vista do laboratório (onde é visto em movimento), como um meio bianisotrópico.
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 57 / 59
Meio isotrópico simples em movimento (2)
exp2
0 0 ondas planas eexp
0 0 monocromáticas2
exp2
v
v
v
F F
k F k FG G
k G k G
k k
r
r
r
‡ ‡
0 0 20
redução01 1
à forma exp 00
do vácuo
1 21 1 ,
2n n
cn
v
v v
k FG F G F k F
k G
k k k k v k v k
r‡
2 2
22 2022 2
0 0 10 1 0
0 0n
c
k F kk F k v k
k F F
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 58 / 59
0 2n
2 20
2 2
2 2
2 2
1
1 1 cos cos
1 cos
1 1 cos cos
1
p
p
n
n
cv
n
v
c
Meio isotrópico simples em movimento (3)
22 200 0 0
22 20
0 0
1meio isotrópico
, meio bianisotrópico 1
, 1 cos
ii
b b
b b
c nc n sv
v s c n s c n
v c n s n
kk ev u
k f k
v k f f
Comentários finais
O estudo dos meios anisotrópicos (e bianisotrópicos) ganha uma nova formulação, mais geométrica, através da álgebra linear no âmbito da álgebra geométrica do espaço tridimensional (linear algebra done right).
A óptica relativista e a teoria do electromagnetismo revelam a sua verdadeira estrutura no quadro do espaço quadridimensional de Minkowski através da álgebra geométrica do espaço-tempo (spacetime algebra).
Em ambos os casos a álgebra geométrica conduz a uma formulação independente de qualquer sistema de coordenadas – o que permite: Maior generalidade e maior flexibilidade. Uma libertação da física aplicada em relação à álgebra vectorial de Gibbs, na qual o tempo é
necessariamente tratado de forma separada do espaço (como um add on). Uma linguagem apropriada para a formulação sintética da álgebra linear onde determinantes e
operadores lineares são analisados de forma independente da linguagem matricial que os prende, necessariamente, a sistemas particulares de coordenadas.
Ao contrário do que defende Hestenes, uma formulação pré-métrica da electrodinâmica clássica tem de recorrer às formas diferenciais e não à álgebra geométrica pois esta última tem um métrica built in.
IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 59 / 59
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