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IST, 11 de abril de 2023 Lição de Síntese 1 / 59

Aspectos Geométricos do Electromagnetismo

Provas de Agregação: Lição de SínteseProvas de Agregação: Lição de Síntese

Carlos R. Paiva

Professor Associado do IST


Sumário da lição de síntese

Equações de Maxwell e de Maxwell-Boffi: meios electromagnéticos

Álgebra geométrica do plano euclidiano Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional

Primeira formulação geométrica do electromagnetismo Meios anisotrópicos

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski Segunda formulação geométrica do electromagnetismo Efeito Doppler Meios em movimento


Enquadramento e objectivos

Esta lição insere-se no programa de Fotónica – disciplina do mestrado integrado em engenharia electrotécnica e de computadores do IST.

Os alunos (hipotéticos) a que esta lição se destina são os alunos típicos de Fotónica. No entanto faz-se aqui uma síntese que seria – do ponto de vista pedagógico – demasiado concentrada para uma aula teórica normal dessa unidade curricular.

Esta lição de síntese poderia, no entanto, ser utilizada após as aulas teóricas e práticas de Fotónica correspondentes a estes assuntos enquanto revisão de conjunto. Alternativamente constitui um seminário sinóptico sobre álgebra geométrica e suas aplicações em electromagnetismo, tendo em vista aplicações em óptica e fotónica.

Abarcam-se, de uma forma integrada, dois capítulos de Fotónica: Os meios anisotrópicos; A óptica relativista.

O tema central é a formulação geométrica do electromagnetismo através da linguagem matemática das álgebras geométricas (de Clifford) em duas abordagens: Primeira parte – na álgebra geométrica do espaço tridimensional euclidiano; Segunda parte – na álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski.

Além do objectivo explícito de ensinar as matérias referidas, existe (em paralelo) um objectivo implícito: adopta-se uma formulação que é independente de qualquer sistema particular de coordenadas. Trata-se, portanto, de uma perspectiva sintética, que trata os objectos geométricos de forma abstracta – por oposição a uma perspectiva estritamente algébrica, reduzida à simples manipulação das respectivas componentes.


33

3

31 2

3 0 0

campo eléctrico densidade de correntecampo magnético

densidade de cargaexcitação eléctrica

velocidade da luz (vácuo)excitação magnética

t p m

t p

c

E J J J JB

D

H

ñ ñ ñ

Equações de Maxwelle equações de Maxwell-Boffi (1)

eq. de Maxwell- eq. de Maxwell-0

-Faraday -Ampère

lei de Gauss magnética 0 lei de Gauss

t t

B DE H Jequações

de

Maxwell B D ñ

020

0 0

10

10

p

t

p

t

m

c tt

t

P EBB JE D E Pequações

Pde Maxwell - J

H B M-Boffi B EJ M

ñ

ñ


Equações de Maxwelle equações de Maxwell-Boffi (2)

As equações de Maxwell-Boffi ignoram a existência de meios materiais: o único meio é o vácuo. Os meios materiais são estranhos à ontologia destas equações. Trata-se de uma perspectiva reducionista; corresponde à visão fundamental da física teórica.

As equações de Maxwell admitem a existência de meios materiais. Trata-se de uma perspectiva fenomenológica; corresponde à visão da engenharia electrotécnica e da física aplicada. É esta a perspectiva aqui adoptada.

Nas equações de Maxwell-Boffi apenas aparecem os campos eléctrico e magnético. Ignoram-se os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). Todas as fontes do campo electromagnético (quer as livres quer as ligadas entre si e que constituem os «materiais») são tidas em consideração.

Nas equações de Maxwell aparecem, além dos campos principais (eléctrico e magnético), os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). As únicas fontes do campo electromagnético são as cargas livres (em repouso ou em movimento).


anti-simetriaálgebra

distributividadede Lie

identidade de Jacobi 0

a b b a

a b c a b a c

a b c b c a c a b

Só existe num espaço tridimensional

: e depende da métrica pois

implica a noção de ortogonalidade.

Nota

Álgebra vectorial de Gibbs3espaço linear

álgebra decorpo

Gibbsproduto vectorial produto externo

produto ortogonalidade ,

externo comprimento igual à área sin

(de Gibbs) triedro dextrorso (ou direito) , ,

a b a a b b

a b a b

a b a b

a b

b

a

3 3 3

produto externo (de Gibbs)

: , a b a b regra

fundamental a b c a c b a b c

não é

associativo a b c a b c b c a

Parte I

Álgebra Geométrica

do Plano Euclidiano



Álgebra geométrica do plano euclidiano (1)

2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2

0, 1 ,

1,2 | , 0

s

i i i ii

e e e e e e e e

e e e e

B

21 2 1 2 (de Clifford) x y x y produto geométrico r r rr e e e e

2 22 2 2 axioma fundamental r r a b a b ab ba

2 2 22 2 2 21 2 1 21 2

2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 1

21 x y x y x y

x x x y x y

r e e e ee e

e e r e e e e e e

1 2 2 1 1 2

2 2 212 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

associatividade anti-comutatividade associatividade vectores unitários

212

anti-comutativo

1

1

e e e e e e

e e e e e e e e e e e e e e e

e



12 1 2

novo objecto geométrico:

bivector e e e

12 1 2e e e

1e

2e

2212

12

escalar

bivector

u

u

a b ab a b a b

a b eab e Ù

2 11 1 2 2 2

2 11 1 2 2 2

1 1 2 2

1 212

1 2

produto interno

produto exterior

(de Grassmann)

a a

b b

a b a b

a a

b b

aa e e a a

ab

b e e b bb

a b

a b e

produto geométrico

, u

a b ab a b a b

cos proj, área orientada

sin áreabivector

aa b a b a ba b a b

a b a b



2

2

1

21

2

a b ab ba b aab a b a b

ba a b a ba b ab ba b a

Ù

cosb

sinba b

a

b

a

2

22 2

22 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin 0

a b ab a b a b ba

a b ab a b a b a b ba

a b ab ba a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b

2 2 22 2

2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

reverso de

cos

sinteorema de Pitágoras

u u u

u uu

ab ba

ab ba a b a b ab a b

a b a ba b a b ab

a b a b

1

1

1 1 1

O produto geométrico é um produto

invertível entre dois vectores.

u

u u

u

a b

ab b a

b a



2e1e

1

0

0u

a b a b ab ba

ab a b a ba b a b ab ba

1 2

12

22

1 escalar 1

1 1 vectores ,

1 2 1 bivector

dim 1 2 1 2 4C

e e

e

12e

12e

1

1e

1

2e

2e

1e

12 e 1 e

12e 2 e

2

tabuada

de

C

2e1e

1

2 12 22

222

212 12

parte par

parte ímpar

i CC

i iC

e

a aa

ae e a

Ù



0 1 2 12 0 1 1 2 2 12 12

1 1 2 2 0

12 12 20 1 2

, , , u

u u u C

e e e

a e e a B

B e

0 1 22

0 1 2

0 1 2

ˆinvolução de grau

reversão

conjugação de Clifford

k

k

u u u u

u u u u u

u u u u

Ù

02 2 2

2 2 221 02 2

escalares vectores bivectores

k

kC

ÙÙ Ù

Ù

2 2 2 20 12 12 0 120

u u uu a e a

a12ae

12 12e a ae

1 0 12 122 2 20 12

0u

uu uuu

a e

a

2 2 12 2 1

12 12 12 120 0 0

2 2 2 112

122 10 012 12

12

exp! 2 ! 2 1 !

11 1

2 ! 2 1 !1

cos sin conteúdo geométrico da fórmula de Euler

k k kk k k

k k kkk k k

k k

kkk k

k k k

k k

e e e e

ee

e e

e



12

2

122 2

2 2

cos sin2 2

,rotor cos sin

2 21

1

R

R R

RR

nm m n m n e

m nmn e

n m

nm mn n m

2 212rotação de : , exp

2R R R

a a a a nm eR

2grupo de spin 2 | 1 rotor

grupo de rotação 2 Mat 2, | , det 1

2 2

T

R C RR R

M M M I M

Spin

Spin

SO

SO



, ,OP OQ OP a b a��

O

P

Q

Pa

a

b

m

n

2

a a m m

a a a a a m m

am a m m

a m m

b a a

a m m a m m

m a m m a m

mam

, 2 ,

, , 2 2

R R

a m m n b mam

b n a a a nbn

a a a nm a mnR


2 2 22

2 2 22 2 2

2 2 22

2 2 2

,C C C

u v CC C C

C C CC C C

u v CC C C

2

22

2 2 2

Uma sobre o corpo (no nosso caso ) é um espaço linear sobre onde

se definiu uma função (i.e, linear nos dois argumentos

é

) : , .

uma subálge

A

A A A u v u

CC C

v

C

álgebra

bilinear

Ù

F F F

22

bra

não é uma subálgebraC


22

2

2 2

ˆˆexp cosh sinh paravector

ˆ, 1

1ˆ1

idempotência ,21 divisores de zero 0ˆ12

pp p p p

p p p pp

a aa a

a

a

a

Parte II


do Espaço Tridimensional Euclidiano



0

32 2

0 1 2 3 0 1 2 3

1 2

0 1 2

complexos 1, dim 2

quaterniões 1, , , dim 4

1

, 0,1, 2, 3

z x i y i i

q q j i j k

i j

k i j q q i q q i q j j q q i q j q k q

q z z

q q q q q i q j q k q

q

q

q q

H H H

H H

B

B

2 2 2 23 1 2 3 0q q q q

Os quaterniões de Hamilton

domíniocorposintegral

não é anel anéis

problema de?

Hamilton

anel de não é

divisão associativacorpo

anéis não é anel

solução do

problema

H O

2 2 2

0 1 2 3 0 1 2 3

2 2 2 20 1 2 3 1 2 1 3 2 3

22 2 2 2 2 20 1 2 3 0 0

2 2 2

1

1

i j k q q q i q j q k q q i q j q k qi j ji

q i q j q k q i j ji q q ik ki q q jk k j q qik ki

q q q q q qjk k j

i j k i jk

q

1 1 2 2 3 3 1 2 3

33

1 1 2 2 3 3 1 2 3 123 123 123

1 1 2 2 3 3 1 2 3

volume

orientado

a a a a a a

b b b b b b

c c c c c c

a e e e

b e e e V a b c e a b c e e

c e e e

Ù


Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (1)

2 3

3 3 3 31 2 3 3, ,s C e e e B Ù Ù

1e

2e

3e

123e123 1 2 3trivector unitário e e e e

123 3 2 1 1 3 2 1 2 3 123

2 2 2 2123 123 123 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1

e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e e e

1 2 3 33

3 12 23 31

123

escalar 11

base de vectores , ,1 1dim 1 3 3 1 2 8

bivectores , ,1 2 1

trivector1 3 3 1

CC

e e e

e e e

e


31 1 2 2 3 3

31 1 2 2 3 3

a a a

b b b

a e e e

b e e e


31 3 1e e e23 2 3e e e

12 1 2e e e

3e

1e

2e

23 2 2 2

12 23 31dim 3, 1

e e eÙ

23 31 122

31 2 3

1 2 3

1 2 33

1 2 3

1 2 3

produto exterior

(Grassmann)

é associativo

produto externo

(Gibbs)

não é associativo

a a a

b b b

a a a

b b b

e e e

F a b

e e e

c a b

Ù

123 c a b Fe

123 F a b ce

a

b

Nota:

O produto externo exige uma métrica.

123 123dualidade de Clifford a b a b e a b a b e



0 1 2 33

123 123 3

,

,

u u u u u

C

a be ea b

3

3123 3

centro daZ | ,

álgebra

Z

A c A ac ca a AA

i C

e Ù

3 3 323

3 3 3 3

33 3 3 3 3

3

3

23

3

3 3 23

1

1

subálgebra par

não é uma subálgebra

C C C

C C C C

C C C

C

i

CC C

j

kC

e

e

e

HHÙ

Ù

3 3

3

123 123

operador : :

linear

endomorfismo

em

determinante det

C

a a

a b a b

a b a b

a b c a b c

e e

f

f f f

f f f

f f f f

f f

123 123dete ef f

f1e

2e

3e

2ef 1ef

3ef



30 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3


reversão


u u u u u C

u u u u u

u u u u u

u u u u u

123 123 3

2 2 2 2 2

0

13

u C

u uu

uu C

uu

a be e

a b

3

23

123

grupo de spin:

3 | 1R C RR

R

Spin

F be

Ù

3

3 3

rotação em :

: :

ˆ ˆcos sin exp2 2 2

R R

R

a a a a

nm m n m n

F F

R R

F m n

123b Fe

a a

a

a



2 2 3 2 2

23 2 2 2

123 123 123

2

rotor 3 1, , , 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 1sin 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ

R R RR

R R

R R

R R R

Spin nm nm mn n m m n m n

n mb b b F n m F be F be b e

a a b b a F Fa a aa a a

a F Fa a aa a b b

a a a a a a a

3 regra de, , ,

Cramer0

0

d b c

a b ca b c d d c a

d a b ca b ca b cd a b

a b c

a b c d a b c a b c


1 12

1

1 1 1

1

0

1

b a F a F F a b a b a ba

a F F a a a ba b

a a a a b a b a b

‡

‡ … ‡


1123 123

3 1123 123

contracção à esquerda,

contracção à direita

u v u vu v C

u v u v

e e

e e

‡

…

3, ,

a b c a b c a c ba b c

a b c a c b a b c

‡

2

3

a b c d a d b c a c b d

a b c d a b c d a c b d a d b c

‡

‡ Ù

aa

a

1 F a b

12

a

aa

b a F‡


123

123

carga pontual

distribuição contínua de carga

q q

F E v B e

força de LorentzF E J B eñ

123eq. de Maxwell-Faraday 0

lei de Gauss magnética 0

t

Be Eequações

de Maxwell

homogéneas B

31 2 3

123

1231 2 3

1 2 3

, , ,

rotacional

t x x x

x x x

aa a e

a a ee e e

‡

123eq. de Maxwell-Ampère

lei de Gauss

t

DHe Jequações

de Maxwell

não homogéneas D ñ

‡

Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (1)



0 123

0 1230

0

meios isotrópicos

simples 0ondas TEM

0

k E He

k H EeD E

B H k E

k H

0

, expondas planas

monocromáticas exp

t i t t i

ii

E r E r

kE r E k r

0 0 123

0 0 123

0

0

0

0

k E B e

k H D eequações de

k DMaxwell

k B

Nota: Doravante, para simplificar a escrita das equações, omite-se o índice «0». Trabalha-se, portanto, com amplitudes complexas.



220 123

2 20 123

k E k Hek k E k k E k E k k E

k k H k k H k H k k H k H k Ee

‡‡‡ ‡

123 123 0

123 123 0

k He k H e E

k Ee k E e H

‡‡

2 2 2

2 2 200 02 2 2

0

ˆn kn k nk

n k

k E E

k k kk H H

0 0

00

0

1c

0kc

n


03 3

0

anisotropia função dieléctrica: :

eléctrica operador linear

tensor meio isotrópicovácuo

dieléctrico simplesi j i j

D Ea b a

B H

e e E E E E

εε ε

ε ε ε

Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (1)

3

2 1

s

E E s D D s s D s s D s ss

D D

0

2 2 2

0

0

1

0

D

D

s

r

D E s

D s s r t

D s E s

D r E r

ED DE

ε

ε

F E Dˆ sin s t F

D

D

sε

D

E

s

F̂

s

s

s

t

r


2

ˆ ˆˆ ˆexp

sin 2

cos sin

meios com permitividade0 0

dieléctrica nula 2

RR R

R R R

D

s

s F F ss tF sr s r F

s s

t s s s r

2 2

tan

permitividade dieléctrica

(relativa) na direcção

s r

sr

s r s r

s

s s

s r s s s r

s s r t

s ss

ε

ε ε

ε

ε

‡

s s


meio

anisotrópico:

2 2s s r tεr r

ss


3 3

1 1

2

31 2 31 2 3

operadores

de projecção, ,

i i ii i i i i

i ii i ii

i i

s

e ea a a e ea a e e

a aa a a a a e e e

εε PP

P PP P P I

B

3 3

3

0 valores próprios

reais0 ,

e e e ee e e e

e e e e e

εε : ε ε

ε

0 vectores próprios

ortogonais

i j i j j j i j j i i j

i j i i j i i j i j i j

e e e e e e e e

e e e e e e e e

ε

ε


3

meio recíproco

(operador simétrico) ,

a b a b

a b

ε ε

3

valor próprio

vector próprio

e e

eε

31 2 3

1 1 1

2 2 2 123 1 2 3 123

3 3 3

, ,

det

s

e e e

e e

e e e e

e e

ε

ε ε

ε ε

B



1 2 3

3

1

CASO 1

ii

cristal isotrópico

a a a a

a a

ε P I

ε

1 2 3 3

1 2 3

1 2 3

3 3

3

23

CASO 2

, ,

, 1

cristal uniaxial

c e

a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a c c c

a a a c c

ε P P P

P P P

ε P P

P

P

ε



3 2 1

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 1 2 3

2 3 2 3 2 1 1

2 22 1 3 21 3 1 3

3 1 3 1

1 1 2211 3 3 1 1 1

22 3 3 1 1 2

3 1 23

CASO 3

, , 1

1

2, 1

1, 12

cristal biaxial

a a a a

a a a a

a a a a

e d dd e e d

d e e de d d

ε P P P

P P P

ε P P

1 1 1 1 2 1 221

3 3 3 1 2 1 223

1

4

1

4

a a e e a d a d d d

a a e e a d a d d d

P

P 2 3 2 1 2 2 1

1

2 a a a d d a d dε

3X

1X2X

2d1d

1 1

3

2 21 2

2 2 1 2 33 1

3 1

cos cos sin2 2

2

d d


Propagação de ondas electromagnéticas em cristais não-magnéticos

123

123

equações de Maxwell

para ondas planas

e monocromáticas 0

k E Be

k H De

k D k B

0

0

anisotropia

eléctrica

D E

B H

ε

0

0

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

kc

nkn

k

E E k kE E E

k k k E E k k

2

123 123

k k E k E k E k E k k

k He k H e

‡‡

1

a b

b a

εη ε

η 2

equação de 1ˆ ˆpropagação n k E k Eη

2

2 2

0 0 0 02 2 2

2 2

cristal

uniaxial 1 1 1,

det

tr 3 2

o

e o

o e o

n

n n

n n n

a a a c a

a a a c a

ε

η

ε

ε


Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (1)

2

eq. de propagação das

ondas (anisotropia)

eléctrica)

1ˆ ˆn

k E k Eη

2 20 0

eq. de propagação das ondas

(cristais uniaxiais)

ˆ ˆ1 0n n

k E E c k c

2

22 2

0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ1 0

ondaonda extraordináriaordinária

n n

k c k c k c

k c k E E c

k c E c

‡

‡


Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (2)

2 2 20

2 222 2

0 0 2 2 2

onda0 1 0

ordinária

onda 11 0

extraordinária

o

o e

n n n

n nn n n

E c k E

k c k ck c

ondaordinária

onda extraordinária

0k 0k

1X

1X

c

okek

0

: Num cristal uniaxial existe apenas

um eixo óptico. Num cristal biaxial existem

dois eixos ópticos.

eixo óptico do cristal uniaxial

ˆ ˆ

: Num cristal biaxial as duas

ondas caracterí

o e on k

Nota

c

k c k k k

Nota

sticas isonormais não

podem ser classificadas como

ondas ordinária e extraordinária.

Parte III


do Espaço-Tempo Plano

de Minkowski


grupo de1,3 Mat 4, | det 1

LorentzTL L g L g L O

transformação

0 0de Lorentz

0 0Mat 4,

T T

T

T T T T

X g X X g XX L X L g L g

X L g L X X L g L XL

P1

2 2 2 2 22

1 2 2 2 2 2

1 0 0 00 0matriz da 0 1 0 0

métrica 0 0 1 0 0 00 0 0 1

T

T

c t x y z X g Xg Ig

g g c t x y z X g X

P2

acontecimento em

acontecimento em

T

T

X ct x y z S

X c t x y z S


Postulados de Einstein e métrica de Lorentz (1)

P1: Todos os referenciais de inércia são equivalentes. P2: A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.


4 40 0 1 1 2 2 3 3

4 440 0 1 1 2 2 3 30 1 2 3

0 0 1 1 2 2 3 3

2 2 2 20 1 2 3

, 0

, , ,

,

1, 1 métrica de Lorentz

T

g X x x x x

Y y y y y

g X Y X gY x y x y x y x y

e e e e x e e e e

y e e e ee e e e

x y

e e e e

B

invariância do

1,3 ,produto interno

T T T TX L XL X gY X L g LY X g Y

Y LYg

O

40 1 2 3

0 0 1 1 2 2 3 340 1 2 3

produto,

interno

, diag 1, 1, 1, 1

T

T

T

X x x x xg X Y x y x y x y x y

Y y y y y

g X Y X g Y g

Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (1)

O espaço-tempo de Minkowski é o modelo físico do espaço quadridimensional (plano) onde têm lugar os acontecimentos da teoria da relatividade restrita.

222 2 2 2 2

1,3 2

00,3 2 22 2

0 1 2 3

invariante de Lorentz

,

ginástica de índices

ii

c t r c t rx x

ct r g x x g x xx g x x g xr x x x x x

rr r r r e e

r ee r r ee

41,3 2

1,3

espaço linear

espaço quadráticovector forma-1

métrica identificação entre vectores e formas-1

a a

a e e a

2 2

4

forma quadrática , ,

,métrica (forma bilinear) , 1 2

Q g Q Q

g Q Q Q

x x x x x x x x

x yx y x y x y x y

0

0 1 2 30 base convenção1, 2, 3 , , ,

dual da somaformas-1

ii

i g

e ee e e e e e e e

e e

, 0,1, 2, 3 , diag 1, 1, 1, 1g g g g e e e e


Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (2)

Um espaço linear (ou vectorial) dotado de uma forma quadrática diz-se um espaço quadrático.


1,3 2 2 2 2 20 1 2 3 0123 0 1 2 3 3 3 1 0 0 1 2 3

21,3 1,3

1,3

2 3 41,3 1,3 1,3 1,3

0 1 2 3 4

, , , , , 1

, , , , ,

, , , ,

u C

u u u u u

e e e e I e e e e e I e e e e I I II e e e e

a F bI I a b F

a F bI I

B

Ù

Ù Ù Ù

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (1)

2 3 4

1,3 1,3 1,3 1,31,3

escalares vectores bivectores trivectores quadrivectores

álgebra geométrica

do espaço-tempo

de Minkowski

C Ù Ù Ù

0 1 2 31,3

01 02 03 12 13 23 4

012 013 023 123

1 escalar 1

1 1 vectores , , ,dim 1 4 6 4 1

1 2 1 bivectores , , , , ,2 16

1 3 3 1 trivectores , , ,

1 4 6 4 1 quadrivector

C

e e e e

e e e e e e

e e e e

I



1,30 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4


reversão


u u u u u u C

u u u u u u

u u u u u u

u u u u u u

1,3

1,3

21,3

,

,

,

bI Ib b

bI I I bI b

FI IF F

Ù

2

1,3 2

2

22 02

0 202 2

21 21 2

2

1,3

nulo (tipo luz) 0

hiperbólico (tipo tempo) 0

elíptico (tipo espaço) 0

0 ,1

1 cosh sinh1 1 cos sin

lugares 0 cone d

geométricos

de

ss

ss s s s

a

a a

a

a a ee

a a e

a a

a

a

2

2

e luz

0 hiperbolóide de uma folha

0 hiperbolóide de duas folhas

a

a

42 2 2 1,3

0 4

2 2

4

2

2

2

21,3

01 23

42 1,3

bivector simples 0

nulo 0bivectores

hiperbólico 0simples

elíptico 0

um bivector que

não é simples2

F F F

F F

F

F

F

F e e

F I

Ù

Ù

Ù

2

2 2 2

todos os

trivectores

são simples

bI bI Ib

b I b

1

1

1

ˆ , 1,3transformações

, 1,3 1,3de Lorentz

, 1,3 rotor

u u u

u u u u

u u u

a a Pin

a a Spin Spin

a a Spin



2 41,3 1,3

1,3 1,3

31,3 1,3

1,3 1,3

1,3 1,3

subálgebra par

parte ímpar

1,

2

C u C u

C u C u

u C u u u u u C

F I F I

a bI a bI

a F bI I I I a F bI I I I

Ù Ù

Ù

1,3 1,3

1,3

1,3

1,3 | 1grupos de

1,3 | 1Lorentz

1,3 | 1

u C C u u

u C u u

u C u u

Pin

Spin

Spin

2 ~

1,3 0, , , dual de Cliffordu v C u uu uv vu v u I

grupo de Lorentz preserva a orientação1,3

especial ortócrono do espaço-tempo Spin


21,3 2 2 2

1,30 4

1 2 2 1 2

1 2

exp , exp2

ˆ êxp exp 1 bivector hiperbólico unitário2

ˆˆ ˆ êxp ,

2decomposição invariante

R C

FF F F F I rotor

F I F F I F

FF I F F F IF

ññ 0

ñ ñ

ñ

Ù

2

2

1 bivector hiperbólico

ˆ 1 bivector elíptico

IF


2

2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆbivectores e comutam

ˆ ˆ ˆ êxp exp exp exp exp 1,32 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ1 bivector hiperbólico boost exp cosh sinh2 2 2

ˆ 1 bi

R LU U L

L

F IF IF F IF I F IF

FF IF IF F Spin

F F F

IF ˆ ˆvector elíptico rotação exp cos sin2 2 2

U

IF IF


1,30 1 2

10 1 01,30 1

210 10 10

10 10

210

ˆ ˆ 1

exp exp 12

0

1

1 cosh

1 tanh

a b a

a a a

b b b

a a a a

a b a a

b a

b a

a

R R

ct x

ct x

R R

R

ct ct

x x

boost r r r

r e eF e e e F

r e e

e e e

r r e e r r

r r r e r

r

tantan tanh

tan1 tan tanh

tan

a

a

bb

b

ct

x

ct

x

r

ar


br

boost transformação de Lorentz activa

a b

r r



0 1 0 1 1 0

0 1

ct x c t x

c t x x c t

e e e e e e

e e

210

20 0 0 0 0 0 10 0 0 1

21 1 1 1 1 1 10 1 1 010

exp

, , 1

, , 1cosh sinh

R

R R R

R R R

e

e f f e e f e e e e

e f f e e f e e e ee

0 1 0 1

transformação de Lorentz o mesmo acontecimento

passiva interpretado por dois observadoresct x c t x

S S

r e e f f

1

1

ct c t

x x

10 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10

2 210 10

bivector invariante

num boost1 1

exp exp

R R R R R R R R R R

R R

f f f e e e e e e e e e

e e


1,3 0,30 0 1,3 1 1 2 2 3 3

2 21,3 2 20 1 10 2 20 3 30 0 0

3,00 1,3 1 1 2 2 3 3 3

0 0 0 0 1,3

0 0 0 0 1,3

2 20 0 0 0 0

,a a C a a a a

a a a a a

a C a a a C

a a a C

a a a C

a a a

a e e e e

A e e e e A e

A e a σ σ σ

a e e A

e a e A

a a e e a A A A

Ù

2 invariante


2 33 3 31,3

30 1 2 31,3 33 3,0 2 4

1,3 1,31 2 31,3

base de , , ,

base de , ,

CC C

C

e e e e

σ σ σ

Ù Ù

Ù Ù

1,3C 3C

1 1

10 20 30, ,e e e 1 2 3, ,σ σ σ

12 13 23, ,σ σ σ

123σ

12 13 23, ,e e e

I

†1,3 0 0

21,3 2 †

† †

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 1

ˆ ˆ2 , 2

u C u u

e e

F F F F F IF F F IF

F F F IF F F

Ù


Diagramas de Minkowski (1)

eixo 0 tan

eixo 0 tan

xc t x x ct

x x ct ct

ctc t ct x x c t ct xx


Diagramas de Minkowski (2)

0OB cT e��

0OB cT e��

0 0OA cT f��

ctc t

xO

AB

1OB L f��

0 1OA L e��

0 0AB L e��

ct

x

x

O

B

A

0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0

1 0

0 dilatação do tempo

cT cT vT

cT cT vT

T T

f e e

f e e e e e

1 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 0 1

1 0

0 contracção do espaço

L L L

L L L

L L

f e e

f e e e e e


1 10 2 20 3 30 1 10 2 20 3 30

1 23 2 31 3 12 1 23 2 31 3 12

bivectores hiperbólicos ,

bivectores elípticos ,

E E E D D D

B B B H H H

E e e e D e e e

IB BI e e e I H HI e e e

Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (1)

1,3 0,30 1 2 3

1 2 3

1operador de Dirac , operador nabla

c t x x x

e e e e

21,3

0 †

21,3

0

21,3

0 †

21,3

0

1,30

intensidade bivector de1 1

EM Faraday

excitação bivector de1 1

EM Maxwell

fontes do vec1,

campo EM

E

c cB

D

c cH

J Jc

E eF E IB F E IB

B e

D eG D I H G D I H

H e

J e

Ù

Ù

Ù

Ù

ñ ñtor das

fontes

2 2 2 20 0 1 1 2 2 3 3 0 1 2 3

métrica de Lorentz

, , 1, 1x x x x x x x e e e e e e e e


0 0 0 0 0 0

bivector hiperbólico bivector elíptico

†0 0

1 †0 0

1bivectores 2auxiliares 1

2c

G Ge e G e e G e e

D G e e G G

I H G e e G G

…

…

0 0 0 0 0 0

bivector hiperbólico bivector elíptico

1 †0 0

†0 0

1bivectores 2auxiliares 1

2

c

F Fe e F e e F e e

E F e e F F

IB F e e F F

…

…


Os bivectores de Faraday e de Maxwell são os bivectores fundamentais do campo electromagnético descrito no espaço-tempo de Minkowski.

Os quatro bivectores que entram na composição desses dois bivectores fundamentais são bivectores auxiliares e correspondem aos vectores usuais do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano.

Os dois bivectores fundamentais representam o campo electromagnético de forma independente do observador considerado. Os bivectores auxiliares, porém, dependem do observador considerado.

A descrição baseada nos bivectores fundamentais é, deste modo, superior à descrição do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano.



1,3

eq. homogénea 0as equações de

Maxwell em eq. não-homogéneaC

F

G J ‡

123

0 0

conservação do10

fluxo magnético0

conservação da1 1 1

carga eléctr

BE

tBB E

c tB

DH J

tDD H J

c t c cD

F e I

G e e

J

ñ

ñ

‡ica

0

ondas planas e vector de

monocromáticas onda

0 eqs. de0

0 Maxwell

t ii k

ci k

k k e

k FJ

k G

‡


eq. de 0conservação

da carga

eléctrica Jt

J

ñ

2

22 2 2

2

eq. de prop. das ondas0 0

EM no vácuo

00

0

J F

kk k F

F


0 0 0 00

0000 0

01vácuo

1

D E

B Hc

FG F F F F J

F J

‡

‡

22 2

2 2

2 2 2

2 2 21 2 3

1dalembertiano

laplaciano

c t

x x x

2

0 0 0

0 2

a eq. de Maxwell

no vácuo

F J F J J J

J J

2 222

0

0

JF F

F J

2

2

1,3 2

020,3

10,30

0

2

0

0

vector de onda 0

vector elíptico un

ondas EM

itário 1

verificaç

no vácu

ão

oE c B

E B

scs s

c c aaa a a a a a

c s aa s

a a a

k

F

k kk e

E ek k k k F k k

IB

F k k k

22 0a a k k


2 2 20 40 4

2 22022 1

14

invariante de

Lorentz

2

D c Hc

c D H

G G G I

G D I H

2 2 20 40 4

2 22022 1

14

invariante de

Lorentz

2

c E Bc

c E B

F F F I

F E IB



2 20

2 20

2 2 22

0 0

emisssorobservadores

receptor

0 1

, cos

vector de onda

do fotão

e r

e e

e re r

c c

c c

s s s

s s s s

s sc c

v e v

u f u

k

k e f

Efeito Doppler (1)

20 0 0 0 0 0 0

20 0

2

0 0 0 0

0 0

boost

ˆcosh sinh

ˆexp

ˆ

r

r

r

r r

L

L L L

L

L

s L s L L L L s L s

s s

e f f e e e e

f e F

F

f e e e

F f e

20

2

2

2

20 0

rotação

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆcos sin exp

ˆ ˆ

e e r e e

e e e e e

e e e

r e e e

U

s U U U

s s s s s U s U U s

U s s s s s s

U

U s s s s

F e F F F

F F

F F e e

,e r k v k u

0

0ˆ

e e

e

c

s

v e

B ek v

0

0ˆ

cosr

e

c

ss s

v e

B e

0

0ˆ

r r

r

c

s

u f

B fk u

U L


Efeito Doppler (2)

0 0

0 0

0 cose e

s

s s s

f e

f e

f

0 0 0 0 0 0 1 cos

cos 1 0efeito Doppler

e r re r

e

s sc c

e f f f f f

r

e

0.8

longitudinal 0

transversal 2

10

1

afastamento 0

aproximação 0

r

e

r e

r e


Meio isotrópico simples no espaço-tempo de Minkowski

21,3 1

0

121,3

0

relações constitutivas de um

meio isotrópico simples

c

c

D E F E IB

G D I HB H

Ù

Ù

0 01 0 1

22 0 0 0 0

111

c

c c

G D I H E IB

1

0 0 00

todas as partículas doobservador próprio do 1

meio movem-se commeio: referencial

a mesma velocidade

cS c

vv e F v F v e Fe E IBe

1 2

1 2 1 2 1 20 0

1 1 1 1 1

2 2c

v vF F E IB G F F

2 22 0 0

0 0

00

0

1 11 exp cosh sinh

2 2

lnrelação constitutiva 1exp

no espaço-tempo

n n

n n

n

n

v v v v

v

v v

F F F F F

G FF F

r r r

rr


boost0 0 0 0

0 00 0

0 0 0 0 0 0 0 0

observador do meio : exp

expobservador do laboratório :

, , cosh , tanh

S c c

cS c

v vv c v v vv v u

u c

e v e u V v fv u

v V u ef v f

v uV f e U

u v

1 1

1 1

forma invariante1exp

da relação constitutiva

c c

c c

v

F E IB E IBG F

G D I H D I Hr

01 1

0

01 1

0

referencial meio isotrópico

próprio simples

referencial do meio

laboratório bianiasotrópico

D E

H B

D E B

H E B

ε φ

ψ μ

Meio isotrópico simples em movimento (1)

Um meio isotrópico simples (assim classificado no seu referencial próprio) é, do ponto de vista do laboratório (onde é visto em movimento), como um meio bianisotrópico.



exp2

0 0 ondas planas eexp

0 0 monocromáticas2

exp2

v

v

v

F F

k F k FG G

k G k G

k k

r

r

r

‡ ‡

0 0 20

redução01 1

à forma exp 00

do vácuo

1 21 1 ,

2n n

cn

v

v v

k FG F G F k F

k G

k k k k v k v k

r‡

2 2

22 2022 2

0 0 10 1 0

0 0n

c

k F kk F k v k

k F F


0 2n

2 20

2 2

2 2

2 2

1

1 1 cos cos

1 cos

1 1 cos cos

1

p

p

n

n

cv

n

v

c


22 200 0 0

22 20

0 0

1meio isotrópico

, meio bianisotrópico 1

, 1 cos

ii

b b

b b

c nc n sv

v s c n s c n

v c n s n

kk ev u

k f k

v k f f

Comentários finais

O estudo dos meios anisotrópicos (e bianisotrópicos) ganha uma nova formulação, mais geométrica, através da álgebra linear no âmbito da álgebra geométrica do espaço tridimensional (linear algebra done right).

A óptica relativista e a teoria do electromagnetismo revelam a sua verdadeira estrutura no quadro do espaço quadridimensional de Minkowski através da álgebra geométrica do espaço-tempo (spacetime algebra).

Em ambos os casos a álgebra geométrica conduz a uma formulação independente de qualquer sistema de coordenadas – o que permite: Maior generalidade e maior flexibilidade. Uma libertação da física aplicada em relação à álgebra vectorial de Gibbs, na qual o tempo é

necessariamente tratado de forma separada do espaço (como um add on). Uma linguagem apropriada para a formulação sintética da álgebra linear onde determinantes e

operadores lineares são analisados de forma independente da linguagem matricial que os prende, necessariamente, a sistemas particulares de coordenadas.

Ao contrário do que defende Hestenes, uma formulação pré-métrica da electrodinâmica clássica tem de recorrer às formas diferenciais e não à álgebra geométrica pois esta última tem um métrica built in.


ist, 7 de junho de 2014lição de síntese1 / 59 aspectos geométricos do electromagnetismo provas...

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