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Argumentos Teleológicos em Electromagnetismo e

Óptica: Métodos Analíticos e Semi-analíticos

Inês Isabel Ferreira Pacheco

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientador: Prof. Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva

Júri

Presidente: Prof. Doutor José Eduardo Charters Ribeiro da Cunha Sanguino

Orientador: Prof. Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva

Vogal: Prof. Doutor Paulo Sérgio de Brito André

Novembro de 2015

iii

Agradecimentos

Um especial obrigado a ti Pai pela ajuda durante todos estes anos, sem ti não tinha sido

possível.

Ao Professor Carlos Paiva, por todo o conhecimento e orientação

A ti, mana, que sempre acreditaste em mim e me ajudaste a chegar onde cheguei hoje.

A ti Tiago, por toda a força e apoio. Sempre.

A toda a equipa da Alcatel-Lucent, obrigada pela compreensão, ajuda e orientação.

E claro, aos meus companheiros de “guerra”, que tornaram todos estes anos de IST numa

viagem que nunca esquecerei.

A todos um grande obrigada!

v

Resumo

Nesta dissertação abordam-se diversos problemas de electromagnetismo, incluindo aplicações

no domínio da óptica geométrica, das microondas e das fibras ópticas sob a perspectiva

unificadora dos métodos variacionais.

Em primeiro lugar aborda-se o caso mais simples: o comprimento de onda é muito inferior à

dimensão física do problema. Estamos no domínio da óptica geométrica. Introduz-se a lei de

Snell para a refracção da luz na interface de dois meios e apresentam-se dois problemas de

aplicação: dispersão da luz num prisma rectangular e acoplamento de raios numa fibra óptica

utilizando uma lente uniforme.

Posteriormente, consideram-se os meios não-homogéneos em que necessitamos de recorrer à

equação de Euler-Lagrange. Considera-se como aplicação a determinação da trajectória de um

raio de luz num meio cujo índice de refracção varia continuamente com a altura.

No domínio da teoria electromagnética, começa-se por aplicar os métodos variacionais à

propagação guiada, nomeadamente no estudo e dimensionamento de descontinuidades em

guias de onda de secção rectangular e também a fibras ópticas onde se utiliza a aproximação

gaussiana. Ainda neste domínio, deduz-se a força de Lorentz utilizando a equação de Euler-

Lagrange e incluem-se aplicações na determinação da trajectória de uma carga em dois tipos

de campos.

Finalmente, estuda-se a propagação de um impulso gaussiano ao longo de uma fibra óptica

monomodal operada em regime não-linear. Aqui utiliza-se um método semi-analítico, i.e. faz-se

uma resolução analítica até determinado ponto (via método variacional) e, posteriormente,

resolvem-se numericamente as equações diferenciais da primeira parte. Compara-se este

método com o método numérico split-step Fourier method.

Palavras-Chave

Métodos Variacionais, Óptica Geométrica, Electromagnetismo, Microondas, Fibras Ópticas,

Métodos Semi-analíticos.

vii

Abstract

In this dissertation several electromagnetic problems are addressed, including applications in

geometrical optics field, microwave and fiber optics, under the unifying perspective of variational

methods.

To begin with, the simplest case is addressed: the wavelength is much smaller than the physical

dimension of the problem. Therefore we are in geometrical optics field. Snell's law for refraction

of light at the interface of two media is introduced and two problems are presented: the spread

of light in a rectangular prism and the ray coupling in an optical fiber using a uniform lens.

Subsequently, non-homogeneous medium is considered and so we need to resort to Euler-

Lagrange equation. As an application one determinates of a light ray trajectory in a medium

whose refractive index varies continuously with height.

In electromagnetic theory domain, one starts by applying the variational methods to guided

propagation: in the study and design of rectangular wave guide discontinuities and also in

optical fiber dimensioning where the Gaussian approximation is used. Still in the

electromagnetic field, Lorentz force is deduced using Euler-Lagrange equation and

determination of a load trajectory in two types of fields are shown as application.

Finally, the propagation of a Gaussian pulse along a single mode fiber operated in non-linear

regime is studied. Here, one uses a semi-analytical method, i.e. makes an analytical resolution

until a certain extent (via variational method) and then numerically solves the differential

equations obtained with the first method. This method is compared with the numerical one split-

step Fourier method.

Keywords

Variational Methods, Geometrical Optics, Electromagnetism, Microwave, Optical Fibers, Semi-

analytical Methods.

ix

Índice

Agradecimentos............................................................................................................................. iii

Resumo ......................................................................................................................................... v

Abstract ........................................................................................................................................ vii

Lista de Figuras ............................................................................................................................. xi

Lista de Tabelas .......................................................................................................................... xiii

Lista de Símbolos ......................................................................................................................... xv

Lista de Acrónimos ...................................................................................................................... xix

Capítulo 1 - Introdução .............................................................................................................. 1

1.1. Enquadramento ............................................................................................................. 1

1.2. Motivações e Objectivos ............................................................................................... 3

1.3. Estrutura da Dissertação ............................................................................................... 4

1.4. Contribuições Originais ................................................................................................. 6

Capítulo 2 - Aplicações Directas do Princípio de Fermat ......................................................... 7

2.1. Introdução........................................................................................................................... 7

2.2. Lei de Snell ......................................................................................................................... 8

2.3. O Prisma Rectangular ...................................................................................................... 13

2.4. Esfera Para Acoplamento com Fibra ............................................................................... 16

Capítulo 3 - Métodos Variacionais Aplicados à Óptica Geométrica ....................................... 21

3.1. Equação de Euler-Lagrange ............................................................................................ 21

3.2. Lei de Snell Generalizada ................................................................................................ 24

Capítulo 4 - Guias de Ondas ................................................................................................... 31

4.1 Descontinuidades: Íris Indutivo e Capacitivo .............................................................. 34

4.1.1 Íris Indutivo ................................................................................................................. 34

4.1.2 Íris Indutivo – Exemplo de Aplicação ......................................................................... 36

4.1.3 Íris Capacitivos ........................................................................................................... 43

4.2 Aproximação Gaussiana ............................................................................................. 45

Capítulo 5 - Força de Lorentz e Aplicações ............................................................................ 51

5.1 A Força de Lorentz ...................................................................................................... 51

5.2 Movimento de uma Carga num Campo Electromagnético ......................................... 53

5.3. Movimento de uma Carga num Campo de Coulomb .................................................. 57

x

Capítulo 6 - Métodos Semi-analíticos ..................................................................................... 64

6.1 A Solução Semi-analítica .................................................................................................. 65

6.2 A Solução Numérica .......................................................................................................... 70

Capítulo 7 - Conclusões .......................................................................................................... 74

7.1 Conclusões Principais ....................................................................................................... 74

7.2 Perspectivas de Trabalho futuro ................................................................................. 77

Anexo A ....................................................................................................................................... 78

Dedução da lei de Snell para a refracção no espaço .......................................................... 78

Cálculos intermédios da dedução da Lei de Snell para a refracção no tempo ................... 80

Esfera para acoplamento de vidro ....................................................................................... 81

Anexo B ....................................................................................................................................... 82

Dedução da equação de Euler-Lagrange ............................................................................ 82

Anexo C ....................................................................................................................................... 84

Referências ................................................................................................................................. 88

xi

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Lei da Reflexão ......................................................................................................... 2

Figura 1.2 - Representação do problema da braquistócrona [5] .................................................. 3

Figura 2.1 - Raio a propagar-se entre dois meios de índice de refracção diferentes .................. 8

Figura 2.2 - Estrutura da fibra óptica .......................................................................................... 10

Figura 2.3 - Refracção Temporal (na interface entre dois meios cujo o tempo varia) ............... 13

Figura 2.4 - Deflexão de um raio de luz num prisma rectangular .............................................. 14

Figura 2.5 - Desvio do ângulo incidente do raio de luz, ao passar por um prisma rectangular

com índice de refracção 2 1,45n , 4 , e

0 ] 0, 2[ .................................................. 15

Figura 2.6 - Esfera uniforme de vidro para acoplamento com fibra ........................................... 16

Figura 2.7 - Passagem de um raio de luz no interior de uma esfera de índice de refracção

constante ..................................................................................................................................... 17

Figura 2.8 - Distância entre a fibra óptica e a esfera de raio 1a mm e índice de refracção

1.8n ......................................................................................................................................... 19

Figura 3.1 - Representação das possíveis trajectórias que o integral (3.1) pode tomar ........... 22

Figura 3.2 - Miragem .................................................................................................................. 25

Figura 3.3 - Distância entre dois pontos num meio com índice de refracção variável ............... 26

Figura 3.4 - Representação de df dx ...................................................................................... 27

Figura 3.5 - Cicloide ................................................................................................................... 29

Figura 3.6 - Cicloide originada por uma circunferência de raio 2b .......................................... 29

Figura 4.1 - (a) Diafragma Indutivo Simétrico; (b) Diafragma Indutivo Assimétrico ................... 34

Figura 4.2 - Susceptância normalizada do diafragma indutivo simétrico (a vermelho) e

assimétrico (a azul) ..................................................................................................................... 36

Figura 4.3 - Íris Indutivo: abertura circular numa cavidade rectangular ..................................... 36

Figura 4.4 - Circuito LC paralelo................................................................................................. 37

Figura 4.5 - Guia metálico de secção rectangular com um íris indutivo .................................... 38

Figura 4.6 - Circuito equivalente do guia metálico de secção rectangular com um íris indutivo 39

Figura 4.7 - Representação da intersecção das funções A e tan para 25A .......... 40

Figura 4.8 - (a) Diafragma Capacitivo Simétrico; (b) Diafragma Capacitivo Assimétrico .......... 43

Figura 4.9 - Susceptância normalizada do diafragma capacitivo simétrico (a vermelho) e

assimétrico (a azul) ..................................................................................................................... 45

Figura 4.10 - Índice de refracção duma fibra óptica com índice gradual ................................... 46

Figura 4.11 – Parâmetro 0R para fibra com índice de perfil gradual .......................................... 48

Figura 4.12 - Factor de confinamento de potência para fibra com índice gradual ..................... 49

Figura 5.1 - Representação da força de Lorentz........................................................................ 51

Figura 5.2 - Trajectória de uma partícula num campo electromagnético para 1 - Trocoide 55

xii

Figura 5.3 - Trajectória de uma partícula num campo electromagnético para 1 - Cicloide . 56

Figura 5.4 - Trajectória de uma partícula num campo electromagnético para 1 - Trocoide 56

Figura 5.5 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para 1.9 e 0 , 7 2

..................................................................................................................................................... 59

Figura 5.6 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para e 0 , 8 ...... 60

Figura 5.7 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para 1.6 e .. 60

Figura 5.8 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para 2 e 0 , 8 .... 61

Figura 5.9 - Representação da precessão do periélio de Mercúrio ........................................... 62

Figura 5.10 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para 1.9 e 0 , 40

..................................................................................................................................................... 62

Figura 6.1 - Evolução da largura normalizada com a distância normalizada para vários valores

de 2N .......................................................................................................................................... 69

Figura 6.2 - Evolução do Chirp com a distância normalizada para vários valores de 2N ........ 70

Figura 6.3 - Representação do impulso gaussiano ao longo do tempo à entrada e à saída de

uma FO em RL e RNL, para (a) 2 0N (RL) (b)

2 0.5N (c) 2 1N (d)

2 1.5N ................ 71

0 , 8

xiii

Lista de Tabelas

Tabela 6.1 – Comparação da largura normalizada do impulso gaussiano para diferentes

métodos ....................................................................................................................................... 72

xv

Lista de Símbolos

v Velocidade da luz num dado meio

c Velocidade da luz no vácuo

in Índice de refracção do meio i

1 Ângulo de incidência do raio de luz no meio 1

2 Ângulo de refracção do raio de luz no meio 2

Comprimento de onda da luz

E Intensidade do campo eléctrico

k Vector de onda

gv Velocidade de grupo

Frequência

0E Envolvente do campo eléctrico

Fase do campo eléctrico

r Vector que define o espaço

Desvio da fase ao atravessar um prisma rectangular

I Funcional

D Constante

pv Velocidade de fase

ds Elemento diferencial do comprimento ao longo do percurso

T Tempo de propagação

Y Susceptância

G Condutância

B Susceptância

X Reactância

Z Impedância

TEZ Impedância do modo TE

TEY Admitância do modo TE

0 Impedância intrínseca no vácuo

0 Permeabilidade magnética no vácuo

B Susceptância normalizada

Constante de propagação longitudinal

0k Constante de propagação no vácuo

g Comprimento de onda medido no guia

c Comprimento de onda de corte medido no vácuo

ck Número de onda de corte

xk Constante de propagação segundo x

xvi

yk Constante de propagação segundo y

n Constante de propagação

c Capacitância normalizada

l Indutância normalizada

b Susceptância normalizada

x Reactância normalizada

0 Frequência de ressonância

0r Raio da abertura do íris indutivo

eb Susceptância equivalente do íris indutivo (normalizada)

ty Admitância total do circuito equivalente (normalizada)

tb Susceptância total do circuito equivalente (normalizada)

tx Reactância total do circuito equivalente (normalizada)

ly Admitância da linha de transmissão (normalizada)

ey Admitância equivalente do íris indutivo (normalizada)

Contraste dieléctrico

a Raio da fibra

0w Spot-size

Frequência normalizada

u Índice de refracção normalizado do núcleo

1P Potência que flui no núcleo

2P Potência que flui na bainha

TP Potência total

Factor de confinamento

B Intensidade do campo magnético

m Massa de uma partícula

q Carga de uma partícula

v Vector velocidade de uma partícula

A Potencial vector

Potencial escalar

v Factor de Lorentz

p Momento linear

f Força de lorentz

,U z t Amplitude do impulso à distância z

pa Amplitude do impulso gaussiano

pT Largura do impulso gaussiano

pC Chirp do impulso gaussiano

0C Chirp inicial do impulso gaussiano

0T Largura inicial do impulso gaussiano

p Fase do impulso gaussiano

xvii

DL Largura de dispersão

2 Dispersão da velocidade de grupo

T Largura do impulso a uma distância z

Coeficiente de não-linearidade

NLL Comprimento de não-linearidade

N Relação entre o comprimento de dispersão e o de não-linearidade

Perdas na FO

L Densidade média lagrangeana

dL Densidade lagrangeana

S Acção

p Largura normalizada do impulso

Distância normalizada

xix

Lista de Acrónimos

AMF Auto-Modulação de Fase

DVG Dispersão da Velocidade de Grupo

FFT Fast Fourier Transform

FO Fibra Óptica

MMF Multi Mode Fibers

NLS Não-linear de Schrodinger

SMF Single Mode Fibers

SSFM Split-Step Fourier Method

RL Regime Linear

RNL Regime Não-Linear

XPM Cross Phase Modulation

1

Capítulo 1 - Introdução

1.1. Enquadramento

Em física muitos dos fenómenos (ou resultados) podem ser expressos recorrendo a

princípios variacionais, o que faz com que em o seu significado físico possa ser mais

claramente assimilado [1]. A partir do momento em que o fenómeno é descrito como um

problema variacional, pode-se lidar com o mesmo e investigar o seu comportamento com um

esforço consideravelmente inferior. Num problema variacional o que se pretende é encontrar

funções que minimizem ou maximizem uma certa quantidade (ou, de forma geral, que

conduzam a um ponto de estacionariedade). Por exemplo, se pendurarmos uma corda (de

comprimento fixo) em dois pontos fixos, podemos determinar qual a forma que esta vai adquirir

(ao ficar suspensa) tendo em conta que se pretende minimizar a sua energia potencial. Isto é

um problema físico descrito através de um princípio variacional. Assim sendo, uma função

y x para a qual o valor do seu integral é um mínimo, irá descrever a forma como a corda irá

ficar suspensa (a título de curiosidade, a forma adquirida pela corda suspensa, que conduz à

minimização da sua energia potencial, é a de uma catenária).

Neste sentido, pode-se dizer que o cálculo variacional se baseia em argumentos

teleológicos, ou seja, que se baseia em causas finais, em vez de causa iniciais. O objectivo

aqui é encontrar uma solução através de um argumento teleológico (por exemplo, o de

minimizar uma certa quantidade). A título de exemplo, uma situação cujo argumento se

fundamenta em causas iniciais é, por exemplo, o da segunda lei de Newton, em que, para um

sistema de referencial inercial, a força resultante aplicada a um corpo vai produzir uma certa

aceleração (proporcional à resultante da força aplicada).

Um dos primeiros problemas (já resolvido na Grécia antiga) de óptica geométrica e que

também recorre a princípios variacionais, é o da lei da reflexão, representado na figura 1.1.

Considere-se um raio a incidir sobre uma superfície, num meio com índice de refração

constante, e o objectivo é descobrir o ponto de reflexão (Q) que minimiza tempo que o raio

demora a percorrer, desde o emissor (E) até chegar ao receptor (R). Mas, uma vez que o

índice de refracção do meio se mantém constante, é equivalente considerarmos, em vez do

tempo, a distância mínima percorrida desde E até R.

2

Assim, se a superfície se comportar como um espelho e E for a imagem de E , por inspecção

da figura 1.1, concluímos que o ponto que minimiza a distância percorrida (ou o tempo) é o

ponto P , já que o segmento E PR é menor que E QR . E, por isso, o ponto P é o ponto de

reflexão que minimiza a distância percorrida pelo raio incidente. Este ponto de reflexão ( P ),

conduz a um ângulo incidente igual ao ângulo reflectido.

Neste caso, o problema era muito simples pois o índice de refracção do meio não

variava, e, portanto falar de minimização da distância ou do tempo é a mesma coisa, já que a

velocidade de fase se mantém constante. No entanto, para meios em que o índice de refracção

tem um perfil variável, esta equivalência já não se aplica, e é aqui que entra o conceito de

Método Variacional.

Um método variacional tem como objectivo determinar uma função que corresponda a

um extremo (mínimo, máximo ou ponto de estacionariedade) de um funcional [2]. Enquanto

uma função faz corresponder a cada número de um determinado conjunto, um outro número;

um funcional é uma aplicação que faz corresponder a cada número real, um elemento do

espaço funcional (um exemplo comum é o integral). Por exemplo, se considerarmos a

trajectória de um raio entre dois pontos (1X e

2X ), cada um com uma velocidade v , pode

definir-se funcional associando a cada trajectória o tempo mínimo que o raio demora a

percorrê-la (associa-se o tempo à trajectória, ou seja um número real a um elemento do espaço

funcional).

De notar que o termo funcional não significa, exactamente, uma classe de funções,

sendo que o conceito de funcional se pode definir tecnicamente da seguinte forma:

E R

Q P

E’

Espelho

Figura 1.1 - Lei da Reflexão

3

“ Seja V um espaço vectorial definido sobre um corpo . Então, um funcional F

é uma qualquer aplicação do tipo : F V ”

Trata-se, basicamente, de eleger o elemento v V a que, segundo um certo critério, de causa

final, corresponde um determinado valor v [2].

Um dos primeiros (e mais famosos) problemas do cálculo variacional, é o problema da

Braquistócrona, que foi inicialmente formulado por Galileu (em 1638), mas foi Johann Bernoulli

quem o resolveu, em 1696. O problema proposto por Bernoulli à comunidade científica foi,

então, o de determinar a trajectória de uma partícula que, partindo do repouso e sujeita a uma

força de atracção gravítica constante (sobre a sua massa), desliza sem atrito entre dois pontos,

no menor intervalo de tempo possível. Na sua solução, Bernoulli fundamentou-se em princípios

de óptica geométrica (a passagem de um raio de luz de um meio menos denso para um mais

denso, considerando que o número de meios tende para o infinito) e de conservação da

energia. No final, Bernoulli verificou que a curva encontrada (e que minimizava o tempo de

descida da partícula) era, afinal, um arco de cicloide. Posteriormente, Leonhard Euler e

Joseph-Louis de Lagrange, basearam-se na solução de Bernoulli (e semelhantes) para

formular a equação Euler-Lagrange, que não é mais que uma forma sistemática de lidar com

problemas variacionais, ou seja, um Método Variacional [3], [4].

Figura 1.2 - Representação do problema da braquistócrona [5]

1.2. Motivações e Objectivos

O objectivo desta dissertação é, portanto, mostrar que os métodos variacionais são

ferramentas muito úteis na resolução de muitos dos problemas em vários domínios da óptica,

mais concretamente de óptica geométrica e electromagnetismo. Até aqui falei, a título de

exemplo, de alguns problemas simples como a lei da Reflexão, ou a trajectória que uma

partícula segue entre dois pontos no menor intervalo de tempo possível, ou até mesmo a forma

Braquistócrona

4

que uma corda adquire ao ficar suspensa (por dois pontos) por forma a minimizar a sua energia

potencial, que provam a utilidade dos métodos variacionais em vários domínios da física. Por

isso, a ideia é abordar uma selecção de problemas no domínio do electromagnetismo que

tenham como fio de Ariadne os métodos de variacionais, ou seja, o fio condutor que une todos

estes problemas.

1.3. Estrutura da Dissertação

Em óptica existem vários domínios:

Óptica geométrica

Óptica ondulatória

Óptica electromagnética

Óptica quântica

e em todos eles é possível distinguir alguns problemas em que o recurso ao cálculo variacional

se torna, também, muito útil. As diferenças entre todos eles serão discutidas mais à frente no

capítulo 2, capítulo onde se aplicam princípios variacionais em problemas simples no domínio

da óptica geométrica (e sem recurso à equação de Euler-Lagrange). Nomeadamente, faz-se

uso do princípio de Fermat, um bom exemplo de um princípio variacional aplicado à óptica

geométrica e que pode ser utilizado para determinar a trajectória que um raio de luz segue no

menor intervalo de tempo possível (argumento de causa final). E, portanto, há que selecionar a

trajectória que pertence ao subconjunto das curvas (ou linhas) de 3 que unem dois pontos

determinados 3P,Q . Além disso, é necessário atribuir a cada uma dessas curvas um

determinado tempo 0t de percurso. A trajectória efectiva corresponde, então, a selecionar a

curva (desse subconjunto de 3) associada ao valor mínimo do tempo

mint . Note-se que este

princípio tem interesse prático quando se está numa situação em que há uma transição entre

dois meios distintos (consegue-se determinar a lei de Snell para refracção de um raio de luz

numa interface planar entre dois meios homogéneos, como se irá ver mais à frente). Outro

exemplo, indirecto, deste princípio é o da Lei de da Reflexão, já apresentado em cima (caso em

que não há transição entre dois meios de índice refracção diferente e, portanto, trata-se apenas

de um problema de geometria).

No capítulo 3, introduz-se a equação de Euler-Lagrange e aplica-se este método a um

problema de óptica geométrica: a determinação da trajectória que um raio de luz segue ao

atravessar um meio em que o índice de refracção é variável, com a altura.

No capítulo 4, entramos no domínio da óptica electromagnética. Como será discutido no

capítulo 2, a óptica geométrica dá-nos uma descrição aproximada da propagação da luz para

regiões em que o índice de refracção varia muito levemente ao longo de uma distância de

5

dimensão comparável ao comprimento de onda da luz (ou seja, quando a frequência

normalizada do guia satisfaz 1v ), e por isso mesmo para fibras MMF, podemos caracterizar

a propagação usando apenas ray tracing [6]. No entanto, a propagação ao longo de um guia de

ondas é exactamente descrita pela teoria electromagnética, mais concretamente fazendo uso

das equações de Maxwell. Por isso, neste capítulo faz-se uso das equações de Maxwell e dos

métodos variacionais que serão aplicados a exemplos reais como no estudo de

descontinuidades em guias de ondas. Posteriormente, usa-se a aproximação da Gaussiana

(onde também se usa o cálculo variacional) para o estudo da propagação em Single-Mode

Fibers, SMF, uma vez que esta é uma forma mais simples (e ao mesmo tempo precisa) de

quantificar todos os aspectos da propagação em fibras, para qualquer perfil.

No capítulo 5, continuamos no domínio da óptica elecromagnética e aplicam-se os

métodos variacionais (equação de Euler-Lagrange) para mostrar que o movimento de uma

partícula num campo electromagnético obedece à força de Lorentz. A partir desta concepção, é

possível determinar as trajectórias que essa partícula descreve ao movimentar-se num campo

electromagnético, sendo que as trajectórias encontradas são do tipo circular e trocoidais. Por

fim, aplica-se a força de Lorentz ao movimento de uma partícula que se desloca num campo de

Coulomb, determina-se a sua trajectória e faz-se uma analogia com a órbita de mercúrio em

torno do sol (demonstrando a precessão do seu periélio).

No capítulo 6, vai estudar-se a propagação de um impulso gaussiano numa fibra óptica,

SMF, operada em regime não-linear, propagação essa definida pela equação não-linear de

Schrodinger (nonlinear Schrodinger, NLS) [7]. Assim sendo, irão aplicar-se técnicas semi-

analíticas para resolver a equação NLS aproximadamente, e assim demonstrar que recorrendo

ao uso de métodos variacionais se pode obter também uma solução, apesar de aproximada.

(sendo que a obtida através do método numérico split-step Fourier method, será mais precisa).

Mas qual a diferença entre o método semi-analítico e numérico? Na resolução de um

problema físico podem seguir-se várias abordagens diferentes: fazendo uma análise numérica,

analítica ou, por fim, semi-analítica. Um método numérico é utilizado quando não sabemos,

nem temos noção, do tipo de solução que poderíamos obter e a resolução puramente analítica

é demasiado complicada. Assim sendo, através de um modelo matemático pode-se descrever

um sistema físico e assim obter uma solução aproximada para o sistema (utilizando uma

sequência finita de operações aritméticas básicas), sendo que estas aproximações podem ser

melhoradas à custa do esforço computacional (e, portanto, não se pode ignorar a presença de

erros). No entanto, é importante ressalvar que os métodos numéricos antecedem a invenção

do computador e exemplo disso mesmo são os seguintes algoritmos: método de Euler (dado

um valor inicial, resolvem-se equações diferenciais ordinárias), método de iterativo de Newton-

Rhapson (para estimar raízes de uma função), método da Eliminação de Gauss, etc.

Geralmente, os resultados representam uma boa aproximação à realidade, pois ao contrário

dos métodos analíticos, têm em conta os aspectos da vida real . Mas o que fazer quando tenho

uma ideia qualitativa da solução e o que se pretendo é um resultado exacto, mas a resolução

6

analítica não é exequível? Usa-se o método semi-analítico, que não é mais que uma junção

dos métodos numéricos com os analíticos. Inicialmente começa-se por uma abordagem

analítica (utilizando, por exemplo, métodos variacionais) e posteriormente, usam-se algoritmos

numéricos (por exemplo, no caso de equações diferenciais não-lineares, é comum usar-se o

método “split-step Fourier”) para confirmar a solução. O facto de uma solução analítica ser mais

exacta não significa que seja a mais correcta, uma vez que se ignoram efeitos da “vida real” e

por isso as soluções analíticas não passam, muitas vezes, de uma previsão que precisa de ser

confirmada através de métodos numéricos directos [7].

1.4. Contribuições Originais

Na mitologia grega, Ariadne deu um novelo de linha (o chamado fio de Ariadne) ao seu

amado Teseu para que este se conseguisse guiar e escapar do labirinto de Dédalo onde

habitava o Minotauro. Aqui pretende-se unir por um fio condutor – pela utilização dos métodos

variacionais - vários problemas de electromagnetismo teórico e aplicado (neste segundo caso,

aos domínios da óptica geométrica, das microondas e das fibras ópticas).

Assim, nesta dissertação apresenta-se uma colectânea de problemas que, apesar de já

serem do conhecimento geral, são apresentados através de uma nova perspectiva. Deste

modo, a originalidade desta dissertação reside mais numa forma alternativa de se abordarem

todos estes problemas, do que um estudo de problemas novos.

Portanto, na sequência da linguagem alegórica, o fio de Ariadne percorre problemas

que vão da teoria electromagnética (tal como entendida pelos físicos) a aplicações que

pertencem mais claramente ao domínio da engenharia. Assim, e.g., no domínio da física (mais

teórica) considera-se o problema do movimento de uma carga eléctrica submetida a um campo

electromagnético em duas situações (uniforme e de Coulomb). Por sua vez, e.g., no domínio

dos sistemas de comunicação óptica considera-se o efeito da não-linearidade (de Kerr) sobre a

propagação de impulsos numa fibra óptica

7

Capítulo 2 - Aplicações Directas do Princípio

de Fermat

2.1. Introdução

Existem vários ramos da óptica: geométrica, ondulatória, electromagnética e quântica.

A óptica geométrica é, destes ramos, o mais elementar e estuda a propagação da luz apenas

quando a escala da situação em estudo é muito superior ao comprimento de onda considerado

(ou seja, ao nível macroscópico) [8]. Isto implica que, quando o comprimento de onda é

suficientemente pequeno, as leis da óptica podem ser deduzidas apenas com recurso a

considerações geométricas. Assim, considera-se que a luz se propaga sob a forma de raios,

podendo estes ser emitidos por diferentes fontes de luz, ou seja, com diferentes frequências.

Então, a óptica geométrica é o ramo da óptica que pode ser usado, essencialmente, no

estudo de fenómenos de reflexão e refracção, em que se considera que a luz segue uma

trajectória rectilínea, como dita a Teoria Corpuscular da luz, por Isaac Newton.

Entramos no segundo ramo da óptica (ondulatória) quando a escala em estudo é da

ordem do λ, e por isso já não se pode estudar o problema recorrendo apenas a formalismos

geométricos. Em 1678, surge a Teoria Ondulatória da Luz, por Christian Huygens, através da

qual se pode explicar também os fenómenos de reflexão e refracção (em termos de ondas).

Mais importante, permite-nos estudar fenómenos de difracção e interferência de ondas de luz

(a difracção da luz visível é, no entanto, praticamente imperceptível, no nosso dia-a-dia) [8].

E quando a luz já não pode ser definida por uma função escalar, mas sim por um

vector, estamos no domínio da óptica electromagnética. James Clerk Maxwell, mostrou que o

estudo da luz é um ramo do electromagnetismo, admitindo que um feixe de luz é uma

configuração vectorial dos campos eléctrico e magnético, o que define a luz como radiação

electromagnética. As ondas electromagnéticas oscilam em planos perpendiculares à direcção

de propagação, são portanto ondas transversais, sendo a polarização uma propriedade destas

mesmas [8].

Por fim, como Albert Einstein descobriu, a radiação eletromagnética tem a sua energia

quantizada em fotões, cuja energia é proporcional à frequência ( E h ). Nesse sentido,

quando um feixe de luz passa a ser descrito por fotões, estamos no domínio da óptica

quântica.

Neste capítulo, irão considerar-se problemas em que o λ é muito inferior à escala em

estudo e por isso estamos no domínio de validade da óptica geométrica. Irá, também,

8

apresentar-se um problema em que já entramos no domínio da óptica electromagnética. No

entanto, os problemas em estudo têm sempre como fim o estudo das trajectórias de raios de

luz, em meios com índice de refração constante (ou seja, em meios homogéneos, onde a

velocidade da luz é constante). Assim sendo, vamos começar pelo início e introduzir a lei

fundamental na propagação de raios que incidem sobre uma interface que separa dois meios

com índice de refracção diferente: a Lei de Snell.

Sabe-se que um feixe de luz ao incidir sobre uma superfície transparente lisa, que

separa dois meios diferentes, vê parte de si voltar o meio de origem (reflexão), outra atravessar

a interface de separação dos dois meios (refracção) e, claro, outra parte é absorvida. Mas o

que está por trás do fenómeno da refracção? Quando um raio de luz atravessa a interface de

separação e entra num outro meio com índice de refracção diferente significa que há, também,

uma mudança da sua velocidade de propagação e, por sua vez, uma mudança de direcção

(como iremos ver mais à frente).

2.2. Lei de Snell

Consideremos, então, um raio de luz a propagar-se no plano z = 0, unindo os pontos A

e B, como indicado na figura 2.1, que atravesse dois meios homogéneos com índice de

refracção diferentes.

Figura 2.1 - Raio a propagar-se entre dois meios de índice de refracção diferentes

Uma vez que se tratam de meios homogéneos, a velocidade de fase nos meios 1 e 2 toma

valores constantes embora diferentes, pois a velocidade varia com o índice de refracção do

meio:

Y

1 1,A x y

2 2,B x y

0,P y

Meio 1, 1n

Meio 2, 2n

θ1

θ2

X

9

cv

n

O facto de o meio 2 ser menos denso que o meio 1, ou seja 2 1n n , faz com que o raio de luz

viaje a velocidades diferentes em cada um dos meios e, consequentemente, a sua trajectória

se altere. Sabemos que a Lei de Snell, para a refracção da luz na interface de dois meios

homogéneos, é dada por:

1 1 2 2sin sinn n (2.1)

cuja dedução se encontra no anexo A. Note-se que a Lei de Snell para a refracção na interface

entre dois meios homogéneos se baseia no princípio de Fermat, e portanto a trajectória que o

raio de luz segue é a que conduz ao tempo mínimo de percurso. Daqui podemos concluir que

um raio de luz ao passar de meio opticamente mais denso para um meio opticamente menos

denso, vê a sua trajectória alterar-se no sentido de se afastar da normal à superfície de

reflexão [2], [8]. Ou seja, quando 2 1n n iremos ter:

1

2

1n

n

o que significa que só se irá obter um valor real para o ângulo de refracção (2 ) se o ângulo de

incidência verificar o seguinte:

1

11

2

sinn

n

E se, por outro lado, o ângulo de incidência ultrapassar este valor, iremos estar na presença de

um fenómeno de reflexão total. É baseado neste fenómeno que se dá a propagação de

impulsos no interior da fibra óptica.

Uma fibra óptica é um guia de ondas dieléctrico, constituído por dois materiais

dieléctricos transparentes, cada um com um índice de refracção diferente, e revestida

geralmente por plástico, como ilustra a figura 2.2 [9]. Geralmente, para multimode fibers, MMF,

o raio do núcleo é muito superior ao da luz e por isso, para caracterizar a transmissão de

sinais no interior da fibra, podemos usar apenas os formalismos da óptica geométrica sem

recorrer à teoria de propagação de impulsos [7].

10

Figura 2.2 - Estrutura da fibra óptica

Assim, uma vez que o índice de refracção do núcleo, 1n , é superior ao da bainha,

2n ,

consegue-se assegurar a propagação de impulsos no interior da fibra óptica tendo apenas por

base o fenómeno da reflexão interna total [10].

■

No caso anterior utilizámos o Príncipio de Fermat, para encontrar a Lei de Snell para a

refracção espacial, ou seja, para quando o índice de refracção varia com a posição

(considerámos a situação em que um raio de luz passa de meio caracterizado por 1n para

outro caracterizado por 2n ). Mas, em certos casos, o índice de refracção pode variar com o

tempo, e nesse caso podemos definir a Lei de Snell da refracção temporal.

Para tal, vamos considerar o caso de um campo eléctrico definido da seguinte forma:

Envolvente Fase

, , exp ,t t i t

0E r E r r

sendo que a envolvente não varia, significativamente, no espaço e no tempo. Assim, pode-se

definir o vector de onda k e a frequência [11]:

n2

n1

n1 > n2

n1

n2

a

b

Revestimento

Bainha

Núcleo

11

kr

(2.2)

t

(2.3)

Para o caso particular de uma onda plana monocromática (o mais comum), a envolvente e a

fase são definidas, respectivamente, por:

0 ,

,

t

t t

0E r E

r k r (2.4)

sendo que podemos resumir estes resultados (os cálculos intermédios estão no anexo A)

segundo as Equações de Hamilton da óptica geométrica [11]:

d

dt

d

dt

r

k

k

r

(2.5)

A partir deste momento, irá considerar-se que a frequência é definida por:

, , t( , t)

k c

n r k

r (2.6)

então, de acordo com as Equações de Hamilton da óptica geométrica, definidas em (2.5), e

nestas condições, pode-se escrever:

2

d n

dt n t

n

t n

d

dt k

k

r

rk

(2.7)

Finalmente, vamos considerar um meio não estacionário (embora uniforme, ou seja,

cujas características não dependem da posição) em que se tem um índice de refracção

definido por:

1 2 1

1(t) n n n 1 tanh

2n t (2.8)

sendo que esta variação representa uma versão mais suave do caso limite:

1 2 1(t) (t)n n n n H (2.9)

12

em que (t)H é a função de Heaviside:

1, 0(t)

0 , 0

tH

t

Das equações (2.7), e tendo em conta as Equações de Hamilton (2.5), pode-se concluir que

que:

2k

k

k (2.10)

Ou seja, de acordo com (2.6), podemos escrever a equação (2.10) da seguinte forma:

2

2

(t) (t) (t)(t)

(t)

k c k nn

n k c k c k

k kk k

de onde vem, finalmente:

0

0 0 0

(t) ˆ ˆ(t)nc

k k

k k k (2.11)

Então, quando se considera o caso limite da variação brusca (2.9), a constante impõe a Lei

de Snell da refracção temporal, uma vez que:

1 1

1 1 2 2

2 2

,

,

nt

cn n

nt

c

Definindo 1

tan (t)(t)n

, vem, finalmente, a expressão para a Lei de Snell da refracção

temporal, cuja ilustração se encontra na figura 2.3:

1 1 2 2cot cot (2.12)

13

Figura 2.3 - Refracção Temporal (na interface entre dois meios cujo o tempo varia)

2.3. O Prisma Rectangular

Um feixe de luz, ao incidir sobre uma superfície (ou meio) de diferente densidade sofre

dispersão, ou seja, há uma separação do feixe num conjunto de raios, cada um associado a

um diferente [8], pois o índice de refracção de um meio é inversamente proporcional ao

comprimento de onda, (ou seja, tende a aumentar com a frequência da luz incidente). Então,

ao atravessar um sistema óptico, os diferentes raios de diferentes , irão seguir caminhos

ligeiramente diferentes. Em consequência, a imagem não será nítida e pode-se dizer que o

sistema sofre de dispersão cromática.

Um dos exemplos mais conhecidos deste efeito é a decomposição da luz branca no

espectro de luz por um prisma, uma vez que este provoca duas dispersões (uma em cada

superfície de separação do ar). Sendo a luz branca (de acordo com a teoria corpuscular) uma

composição de vários raios de luz de diferentes frequências, se um feixe deste tipo incidir no

prisma (que é mais denso que o ar), para cada uma dessas frequências irá haver um ângulo de

refracção diferente. Ou seja um raio de luz azul vai ser mais inclinado que um de luz vermelha,

por exemplo, (já que 1 [ ] [ ] [ ]vermelho amarelo azuln n n ) e é daqui que resulta o efeito arco-

íris [12].

Podemos determinar qual a trajectória que um raio de luz segue ao atravessar um

prisma, ou seja, determinar o desvio do ângulo incidente (dispersão) ao longo do prisma,

apenas por aplicação da Lei de Snell para a refracção na interface entre dois meios

X

𝜔1𝑐

c T

ϕ1

ϕ2

2

k1

k2 α

α

𝜔2𝑐

n1

n2

14

homogéneos. Para tal, considere-se o seguinte problema, em que temos um raio de luz a

incidir sobre um prisma rectangular (Figura 2.4) suspenso no ar. Uma vez que o prisma se

encontra no ar, pode-se fazer a seguinte aproximação para o meio 1 (ar): 1 1n .

Figura 2.4 - Deflexão de um raio de luz num prisma rectangular

Fazendo uso da Lei de Snell, deduzida posteriormente, sabemos que os ângulos indicados na

Figura 2.3 são dados por:

10 0 0

2 2

1 0

21 1

2 1

1arcsin sin arcsin sin

arcsin sin1

n

n n

n

(2.13)

E, atribuindo a letra δ ao desvio angular que o raio incidente sofre ao atravessar o prisma, este

é dado por:

0 2 0 2 1

0 2 0

2

arcsin sin

1arcsin sin arcsin sin

n

nn

(2.14)

Sabendo que:

0 1 2

1

n2 n1

0

n1

15

2 2

2 00

2

2 2

sinsinarcsin arccos

sin sin cos cos sen

n

n n

podemos substituir em (2.14) e tem-se, finalmente, para o desvio angular, :

2 2

0 2 0 0arcsin sin sin sin cosn (2.15)

Simulando a equação (2.15) em Matlab, para 4 e 2 1,45n , obtém-se o gráfico,

presente na figura 2.5, para o desvio do ângulo incidente, . No gráfico podemos ver também

assinalado o valor mínimo do desvio: 0.39 rad . De notar que o desvio do ângulo incidente

decresce até aproximadamente e depois começa a aumentar até 2 .

Figura 2.5 - Desvio do ângulo incidente do raio de luz, ao passar por um prisma rectangular

com índice de refracção 2 1,45n , 4 , e 0 ] 0, 2[

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0 [rad]

[

rad]

16

2.4. Esfera Para Acoplamento com Fibra

Um outro problema de óptica geométrica, similar ao discutido na secção anterior, é o

do uso de uma esfera uniforme de vidro, i.e. índice de refracção constante, para acoplamento

com fibra, tal como ilustrado na figura 2.6. A esfera uniforme de vidro, sendo constituída por um

material mais denso que o ar, faz com que um raio de luz ao incidir na sua superfície altere a

sua trajectória no sentido de se afastar da normal à superfície o que confere, portanto, a

propriedade de focagem a esta esfera. Esta propriedade pode ser utilizada para acoplar dois

raios paralelos no interior de uma fibra óptica, sendo esse o problema que irá ser discutido

nesta secção.

Considere o acoplamento introduzido por uma lente esférica (de raio a e índice de

refracção n ) de forma a focar os raios paralelos, incidentes na esfera a uma distância y do

eixo do sistema, no centro da secção transversal da entrada de uma fibra óptica, como

representado na figura 2.6. Pretende-se determinar a distância f (a que a lente se encontra da

fibra) em função de n , y e a [12].

Figura 2.6 - Esfera uniforme de vidro para acoplamento com fibra

Para tal, começa-se por considerar a figura 2.7, que representa a passagem de um raio de luz

no interior da esfera de índice de refracção constante e as respectivas relações trignométricas.

Note que, tendo em conta a Lei de Snell para a refracção no espaço definida na equação (2.1)

e que o índice de refracção do ar é aproximadamente um, o ângulo incidente se relaciona das

seguintes formas com 2 , com a distância ao eixo do sistema y e o raio a :

1 2 1 1sin sin , sin siny

na

(2.16)

2a f

y

n

17

ou seja,

22

1 2cos 1 , cos 1y y

a na

.

Figura 2.7 - Passagem de um raio de luz no interior de uma esfera de índice de refracção

constante

Verifica-se, ainda, que se tem para os restantes ângulos:

2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 22 , , , 2 , , 22 2 2

Note-se, por fim, que as distâncias x e y se relacionam com o raio da esfera:

2 22 2

2

cos

sin

x ax y a

y a

(2.17)

e que a distância f , representada na figura 2.7, é dada por:

x x f

1

1 2

2

1 2

1

2

y

a

y

18

1 2 2 1 2tan cot 2 sin cot 2f y y a (2.18)

o que nos permite encontrar a expressão que caracteriza a distância (normalizada) entre a

esfera e a fibra, f f x a , (os cálculos intermédios encontram-se no anexo A):

1

1 2

sin1

sin 2

f

a

(2.19)

Podemos, ainda, escrever:

2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

11

2 2 2

f n a

a n a y a y a y n a y

(2.20).

Note-se que, quando 0y , se tem 1 2 0 e f pode ser qualquer valor (uma

indeterminação). O máximo valor possível para y , quando o par ,a n é conhecido,

corresponde a ter-se:

2

12

1 1 2 2 1 2 2

1

1 2 sinsin sin 2 1 2 1 2 sin cos 2 sin cos

sin

2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22

n an a y a y a y n a y (2.21)

Para o par de valores 1 mm, 1.8a n esta última equação tem como solução:

max

1 mm0.7846 mm

1.8

ay

n

.

Assim, em particular:

1

2

1

1 2

2

2

2

sin 0.7

cos 1 0.71411 mm

1.8 sin 2 0.6831

sin 0.38890.7 mm

cos 1 0.9213

y

a

ya

an

yy

na

y

n a

19

o que nos permite, finalmente, obter a distância f a que a fibra tem de ser colocada da esfera

de raio 1a mm e índice de refracção 1.8n (e considerando que o raio incide na mesma a

uma altura de 0.7 mmy ) para que haja acoplamento, dos dois raios incidentes na esfera, no

interior da fibra óptica:

0.0248 mm 24.80 μmf

Figura 2.8 - Distância entre a fibra óptica e a esfera de raio 1a mm e índice de refracção

1.8n

A figura 2.8 representa a distância entre a lente esférica e a fibra óptica, f , em função

da altura, em relação ao centro da esfera, a que o raio incide na superfície esférica, y . Visto

que estamos a considerar os seguintes valores para o raio e índice de refracção:

1 mm

1.8

a

n

sabemos que o valor máximo que y pode tomar é max 0.7846 mmy . Tal pode ser

comprovado na figura 2.7, uma vez que a partir deste valor máximo de y , a distância f passa

a ser negativa, o que não corresponde à realidade. Note-se ainda, que a distância f toma o

seu valor máximo para quando 0 mmy , sendo esta a situação para a qual não há refracção,

pois o raio incidente segue uma trajectória horizontal ao atravessar a lente esférica.

21

Capítulo 3 - Métodos Variacionais Aplicados à

Óptica Geométrica

Na secção anterior, considerou-se o caso em que os raios de luz se propagam com

uma trajectória rectilínea, estudando problemas que se enquadravam no domínio da óptica

geométrica. Maioritariamente estes problemas resolvem-se recorrendo a técnicas simples

como a Lei de Snell (que se baseia no princípio de minimização do tempo de percurso), a Lei

da Reflexão e princípios trigonométricos. Mas e quando não sabemos qual o tipo de trajetória

que o raio pode tomar? Aqui a situação é diferente, pois queremos fazer corresponder uma

condição (geralmente, a de minimização) a uma dada expressão (da qual não sabemos a

forma que pode adquirir), e por isso necessitamos de recorrer ao cálculo variacional. Desta

forma, temos uma forma sistemática de encontrar a função que irá minimizar (ou maximizar)

uma certa quantidade. Como já foi mencionado anteriormente, para usar o método variacional

escolhe-se uma função pertencente a um funcional, através de um critério que estabeleça a

finalidade (por exemplo, a minimização do tempo, da distância, ou de uma outra quantidade),

ou seja através de um argumento teleológico.

Neste capítulo faz-se, então, uma pequena introdução aos métodos variacionais e,

posteriormente a aplicação destes métodos em problemas de óptica geométrica, mais

concretamente no cálculo da trajectória que um raio de luz segue em meios com índice de

refracção variável. Sendo que o meio a considerar é um meio que vê o seu índice de refracção

variar com a altura, é de esperar que, ao propagar-se nesse meio, o raio de luz sofra de

refracção ao longo do mesmo. Por isso mesmo, primeiro irá começar-se por se definir a Lei de

Snell Generalizada, que traduz a forma como um raio se irá refractar ao propagar-se num meio

com índice de refracção variável.

3.1. Equação de Euler-Lagrange

O método variacional é muito conhecido pela sua aplicabilidade no domínio da

mecânica, por exemplo, no âmbito da mecânica newtoniana, o cálculo da trajectória de uma

partícula de massa m ao longo de um plano. No entanto, este método pode ser aplicado

também no domínio da óptica, e prova disso foi a sua aplicação, em 1983, no cálculo da

propagação de impulsos no interior de fibras ópticas [13]. No capítulo 6, iremos discutir a

aplicabilidade deste método analítico no estudo da propagação de um impulso gaussiano ao

longo de uma FO em comparação com métodos puramente numéricos.

22

O conceito de funcional é um dos primeiros no que diz respeito ao cálculo variacional,

sendo por isso necessário defini-lo. Uma das aplicações do cálculo variacional é, por exemplo,

no cálculo da trajectória de um raio de luz ao longo de um plano, entre dois pontos, em que

cada um dos pontos se encontra em zonas com índice de refracção diferente e por isso cada

um deles tem também uma velocidade, v , diferente. Assim sendo, pode definir-se o conceito

de funcional associando a cada trajectória, o tempo que o raio demora a percorrê-la (ou seja,

faz-se corresponder um número real a uma função) [2]. Assim, se tivermos:

2

1

( , y, y )x

xI f x dx (3.1)

a correspondência f I é um funcional. Onde y dy dx e f pertencem à classe de

funções contínuas que unem os pontos 1 1,x y e 2 2,x y , e que têm segunda derivada

contínua (no intervalo 1 2,x x x ). Sendo que existe uma função y y x que satisfaz as

condições:

1 1

2 2

y x y

y x y

e que torna o integral I estacionário, qual será a equação diferenciável satisfeita por y x ?

Graficamente, o problema é o representado na figura 3.1.

Figura 3.1 - Representação das possíveis trajectórias que o integral (3.1) pode tomar

y (x)

Y (x)

X

Y

ε η(x0)

x0 x1 x2

y1

y2

23

Então, a equação que satisfaz o integral (3.1), e de acordo com o problema ilustrado na figura

3.1, é:

0f d f

y dx y

(3.2)

Esta é a equação de Euler-Lagrange, a solução do primeiro problema do cálculo variacional [2].

Pode-se então dizer que a função y x , que transforma o integral I num valor estacionário

(no intervalo 1 2,x x ), é tal que obedece à equação de Euler-Lagrange (3.2).

A equação de Euler-Lagrange é uma boa forma de resolver problemas variacionais,

mas quando, nestes problemas, a função (no funcional) não tem dependência explícita da

variável independente x , podemos reduzir esta solução a uma solução mais simples, a

Identidade de Beltrami [2]:

f

f y Dy

(3.3)

sendo D uma constante. Sabendo que:

df f dy f dy f f f fy y

dx y dx y dx x y y x

f df f fy y

y dx y x

(3.4)

se multiplicarmos os termos da equação (3.2) por y , podemos usar a igualdade definida em

(3.4) e obtemos:

0

0

df f f d fy y

dx y x dx y

d f ff y

dx y x

(3.5)

Relembrando que estamos a considerar os casos em que f não depende explicitamente de x ,

obtém-se, assim, a Identidade de Beltrami, como queríamos demonstrar:

( ) 0d f f

f y f y Ddx y y

(3.6)

24

3.2. Lei de Snell Generalizada

Uma das possíveis aplicações dos métodos variacionais, é a determinação das

trajectórias de feixes ópticos em meios com índice de refracção variável. Quando um raio de

luz se propaga num meio não-homogéneo, ou seja, cujo índice de refracção varia ao longo

desse mesmo meio, não podemos aplicar a Lei de Snell introduzida no capítulo 2 para a prever

a trajectória deste raio, uma vez que agora a velocidade não se mantém constante ao longo do

meio. Então, é aqui que podemos aplicar o método variacional introduzido na secção 3.1, para

prever qual a trajectória que o raio de luz irá seguir ao longo deste mesmo meio, tendo em

conta uma finalidade (neste caso, a trajectória que corresponde ao tempo mínimo de percurso).

Existem vários exemplos deste tipo de meios com índice de refracção variável, os

maios comuns são as lentes (de Lunneberg, Fish Eye, ou até mesmo as designadas lupas),

mas existe um outro, do qual não nos lembramos muitas vezes, que, quando sujeito a

condições térmicas específicas, é um meio não-homogéneo: o ar. Sabe-se que o ar frio é mais

denso que o ar quente, o que significa que o ar frio tem um índice de refracção superior (essa

também é razão pela qual o ar quente sobe e o frio desce). E, como vimos anteriormente, um

raio de luz ao atravessar meios com diferentes índices de refracção vai alterar a sua trajectória

[12]. Vejamos, à medida que o raio de luz viaja num meio cujo ar é constituído por diferentes

camadas, com índices de refracção diferentes (i.e. está a diferentes temperaturas), este vai

inclinar-se, sucessivamente, sempre na direcção da camada de ar frio, dando origem a um

fenómeno muito conhecido: as miragens.

Sabe-se que para que ocorra uma miragem, é necessário que a temperatura do ar

sofra grandes diferenças em termos de amplitude (cerca de 2ºC por cada metro), e por isso

este fenómeno só ocorre em condições climatéricas muito específicas, como por exemplo:

em zonas polares, onde o ar é mais frio junto à superfície da terra

num deserto ou numa estrada de asfalto, em que o sol incide e produz uma

grande quantidade de calor, tornando o ar mais quente junto à superfície da

terra.

A título de exemplo, considere-se o segundo caso que se encontra qualitativamente ilustrado

na figura 3.2. O raio de luz, ao passar do meio mais denso (ar mais frio), 1n , para um meio

menos denso (menos frio), 2n , de acordo com a Lei de Snell, vai sofrer uma refracção, e

inclina-se no sentido de se afastar da normal, ou seja, no sentido do ar mais frio (como

ilustrado na figura). Isto acontece sucessivamente até atingir o ar mais quente perto do chão,

onde é totalmente reflectido. Ao atingir o olho do observador, este irá interpretar que o raio

viajou em linha recta, na sua linha de vista. Para o observador, o raio de luz é a linha tangente

ao caminho que o raio de luz seguiu na realidade. Em consequência, o observador vê uma

imagem deslocada do objecto no chão provocando a sensação de que este se encontra noutro

sítio, ou seja, uma miragem. Esta imagem produzida (no chão) é instável (aparenta-se com

25

água), pois como o ar quente sobe e o frio desce, estas camadas acabam por se misturar o

que origina zonas de oscilação.

Figura 3.2 - Miragem

Assim sendo, vamos começar por considerar o seguinte problema: um raio de luz propagando-

se num meio com índice de refracção que varia com a altura y , ( )n n y . A figura 3.3 ilustra a

propagação desse mesmo raio entre dois pontos P1 e P2 de coordenadas 1 1,x y e 2 2,x y ,

respectivamente. Sabe-se que a velocidade de fase (para um meio não dispersivo) é dada por:

p

cv

n

sendo c a velocidade da luz no vácuo. Sabemos, também, pela definição de velocidade que:

p

p

ds dsv dt

dt v

OBJECTO

MIRAGEM

2n

3n

1 2 3 4n n n n

1n

4n

26

Figura 3.3 - Distância entre dois pontos num meio com índice de refracção variável

tendo em conta que ds é o elemento diferencial do comprimento ao longo do percurso [12].

Então, o tempo de propagação T define-se da seguinte forma:

2 2 2

1 1 1

1.

t P P

t P Pp

dsT dt n ds

v c (3.7)

O problema simplifica-se se se assumir que ds é um segmento de recta, pois

podemos aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo, representado na Fig.3.3 e

obter:

2

2 2 2 1dy

ds dx dy ds dxdx

(3.8)

com y dy dx . O que nos leva, finalmente, a um problema variacional da forma:

2 2

11

x

xI cT n y y dx (3.9)

em que a função integranda será:

2

(y,y ) 1f n y y (3.10)

Repare-se que o que se quer é escolher uma função, de entre um conjunto de funções, de

acordo com uma causalidade, a minimização do tempo. Para resolver este problema, pode

aplicar-se a Identidade de Beltrami (esta é uma forma simplificada das equações de Euler-

Lagrange, sendo que a sua demonstração já foi feita anteriormente), uma vez que f não

depende explicitamente de x :

X 1x 2x

1y

Y

2y n n y

1P

2P

dy

dx

ds

27

f

f y Dy

(3.11)

Sabendo a expressão da função integranda (3.10), posso obter a sua derivada parcial em

ordem a y :

21

f yn y

y y

Substituindo em (3.11), ficamos então com:

2

1

n yD

y

(3.12)

A figura 3.4, é uma representação de df dx , sendo que é o ângulo definido na figura:

Y

df dx

dx

dy

2

X

Figura 3.4 - Representação de df dx

Daqui pode concluir-se que:

2

1cos

1

tan

dx

ds y

dy

dx

Substituindo em (3.12), vem:

28

cosn y D

Mas como e são ângulos complementares, cos( ) sin( ) , obtém-se assim a

Lei de Snell Generalizada, para um meio com índice de refracção variável [11]:

sinn y D (3.13)

Considere-se, agora, que o índice de refracção do meio é descrito da seguinte forma:

n y y

com , . Então, fazendo 1/ 2 , é possível demonstrar que a curva obtida para a

trajectória seguida por um raio de luz será a de um cicloide. Para simplificar, vamos admitir que

D b que, substituindo em (3.13), conduz à seguinte relação:

ln ln ln secy b (3.14)

Derivando a equação (3.14) em ordem a y (e de acordo com a figura 3.4):

1sec tan

sec

dydy d d

y y dx

(3.15)

Substituindo agora o valor de 1/ 2 na equação (3.13):

21 1sec cos 1 cos 2

2

by b

y b (3.16)

e, por sua vez, utilizando este resultado na equação (3.15):

1

1 cos 2 2 sin 22 2 2

b bdx d x a

chegamos, finalmente, ao seguinte conjunto de equações que definem uma curva do tipo

cicloide:

2 sin 22

1 cos 22

bx a

by

(3.17)

Estas expressões podem ser, ainda, escritas de uma forma mais simples que facilite a

simulação (e leitura) das mesmas. Sabendo que:

29

2

2a b

o conjunto de equações (3.17) escreve-se, então, da seguinte forma:

sin2

1 cos2

bx

by

Figura 3.5 - Cicloide

Ao simular este conjunto de equações, o resultado obtido é o representado na figura 3.5. A

título de curiosidade, a cicloide tem origem numa circunferência que gira (sem deslizar) ao

longo de um plano, como ilustrado na figura 3.6. Uma cicloide invertida é a solução do

problema da braquistócrona, já mencionado no capítulo 1.

Figura 3.6 - Cicloide originada por uma circunferência de raio 2b

31

Capítulo 4 - Guias de Ondas

Outra das possíveis aplicações dos métodos variacionais é no estudo de

descontinuidades em guias de ondas. Na prática, quando os guias de ondas são utilizados é

necessário que se introduzam descontinuidades como diafragmas ou íris, com o intuito de, por

exemplo, adaptar um guia (ou uma linha de transmissão) a uma dada impedância de carga. É

de notar que, na prática, apenas o modo dominante se propaga no guia, sendo que, se a

descontinuidade não tiver perdas, são apenas necessários três parâmetros, no máximo, para

descrever o efeito da mesma no modo de propagação [14].

Então, por forma a estimar os parâmetros do circuito-equivalente para a junção entre

um guia de ondas vazio e um preenchido com uma placa dielétrica assimétrica

(descontinuidade), será necessário recorrer aos métodos variacionais (extensamente descritos

em Field Theory of guided waves de Robert E. Collin). O intuito, da aplicação destes métodos,

é encontrar as expressões para as susceptâncias normalizadas, que serão apresentadas mais

à frente. O cálculo destas susceptâncias é de extrema complexidade e, por isso, está fora do

âmbito desta dissertação.

Considerando que se segue a convenção temporal do tipo exp (j t) , a expressão

para a admitância é a seguinte:

2 2

1 1 R j XY G j B

Z R j X R X

ou seja, para a condutância e susceptância ficamos com as seguintes expressões:

2 2

2 2

RG

R X

XB

R X

sendo que, de acordo com as descontinuidades que aqui irão ser estudadas se tem:

para o caso indutivo: 0

0

X

B

e para o caso capacitivo: 0

0

X

B

Considere-se, então, um guia metálico de secção rectangular onde apenas se pode

propagar o modo fundamental TE10 (modo dominante) [14]. Para um modo TE, a impedância

modal define-se da seguinte forma:

32

0

TE 0 TE

0 0

1kZ Y

k

(4.1)

sendo que 0 0c . Uma vez que a expressão para a susceptância normalizada se define da

seguinte forma:

TE

BB

Y (4.2)

e substituindo nesta definição o resultado da admitância modal (4.1) , sabendo que a constante

de propagação no vácuo é dada por 0

2k

c

, ficamos com a seguinte expressão para a

susceptância:

0B B

(4.3)

Sabe-se ainda que a constante de propagação longitudinal (i.e., segundo z) se define da

seguinte forma (para o modo fundamental):

2 2

2 2

0

2 2c

g

k ka

(4.4)

pois ck a , no modo fundamental. De notar que é o comprimento de onda medido no

vácuo e que g é o comprimento de onda medido no guia para o modo de propagação em

causa (neste caso, para o modo fundamental, TE10). Para um guia de secção rectangular, tem-

se:

2 2 2

c x yk k k

em que, para os modos TEmn, se pode escrever :

2 2

2 22x

c

cy

k ma

k m na b

k nb

Relembra-se que só existe propagação caso se te tenha c , em que

c é o comprimento

de onda de corte medido no vácuo, definido por [14]:

33

2 2

2c

m n

a b

(4.5)

e, para o modo fundamental TE10, em que apenas se tem uma variação segundo x ( 1m ) e

nenhuma segundo y ( 0n ), vem:

2c a (4.6)

De acordo com a expressão (4.4), pode-se estabelecer a seguinte relação:

2 22

2 1

2 11

2

g

a a

Assim, para um certo valor numérico:

a

pode-se escrever:

2

1

11

2

g

(4.7)

Se substituirmos a o valor do comprimento de onda do guia, definido em (4.7), na expressão da

constante de propagação longitudinal (4.4), obtém-se finalmente para a expressão da

susceptância normalizada:

0

2

11

2

cB B

(4.8)

sendo que este valor, é um valor adimensional da susceptância.

Seleccionaram-se então dois tipos de diafragmas indutivos, ambos para guias de onda

de secção rectangular, que irão ser apresentados naa secção 4.1.

34

4.1 Descontinuidades: Íris Indutivo e Capacitivo

4.1.1 Íris Indutivo

Estes consistem em finas janelas metálicas que se estendem ao longo da dimensão

mais estreita do guia, como está representado nas figuras 4.1 (a) e (b). Quando o modo

fundamental TE10 incide sobre uma destas descontinuidades, são excitados modos TE

evanescentes com o intuito de assegurar um campo total que satisfaça as condições fronteira

requeridas pelo campo eléctrico tangencial ao obstáculo [15]. Os modos evanescentes

armazenam, principalmente, energia magnética, o que dá ao obstáculo as suas características

indutivas.

Os modos evanescentes são modos não-propagantes que representam o campo na

vizinhança dos obstáculos. A combinação dos modos evanescentes com as componentes

incidente, reflectida e transmitida do modo dominante, dá origem a um campo total sem

componente tangencial do campo eléctrico na superfície do obstáculo.

Figura 4.1 - (a) Diafragma Indutivo Simétrico; (b) Diafragma Indutivo Assimétrico

Então, para os valores aproximados das susceptâncias normalizadas das

descontinuidades representadas na figura 4.1 tem-se, no caso simétrico [15]:

2 23 32

cot 1 sin2 4

ad dB

a a a

(4.9)

e no caso assimétrico [15]:

d d

b b

a a

d

(a) (b)

35

2 22

cot 1 csc2 2

d dB

a a a

(4.10)

tendo em conta que:

2

2

1g

g

aa

(4.11)

No caso indutivo, tem-se para as constantes de propagação n [15]:

2 2

2 2

0

2n n

n ak a n

a

(4.12)

sendo que, neste caso, apenas se usa o termo

2

3 9 4a .

Para que um onda electromagnética se propague no interior do guia é condição

necessária que o comprimento de onda seja inferior ao comprimento de onda de corte:

c

ou seja, significa também dizer que

0.5

pois só desta forma se pode ter um valor real de g e, consequentemente, de a . Então,

simulando as equações (4.9) e (4.19) para 0.6 , obtém-se o resultado representado na

figura 4.2, para as susceptâncias normalizadas, em função de d a . A curva a vermelho diz

respeito ao íris indutivo simétrico, e a azul corresponde ao assimétrico. Desta representação,

pode-se concluir que a partir de 0,7d a o diafragma se comporta quase como um curto-

circuito ideal. Note-se que, tratando-se de um íris indutivo deveríamos estar na presença de

uma susceptância negativa, contudo Robert E. Collin em Field Theory of guided waves, opta

por apresentar o módulo da susceptância.

36

Figura 4.2 - Susceptância normalizada do diafragma indutivo simétrico (a vermelho) e

assimétrico (a azul)

4.1.2 Íris Indutivo – Exemplo de Aplicação

Um outro exemplo de um íris indutivo é o representado na figura 4.3, que não é mais

que uma pequena lâmina que permite à cavidade comunicar com exterior através de uma

pequena abertura circular.

Figura 4.3 - Íris Indutivo: abertura circular numa cavidade rectangular

Este tipo de descontinuidade, é uma lâmina que se coloca num guia de ondas de

secção rectangular por forma a tornar a cavidade, numa cavidade ressonante. Assim sendo e

sabendo que o circuito equivalente deste tipo de cavidade é o circuito LC paralelo:

a

b 20r

37

c l v

i

Figura 4.4 - Circuito LC paralelo

podemos encontrar qual o valor da frequência para o qual circuito é ressonante e, portanto, a

frequência para a qual a cavidade passa a confinar energia electromagnética no seu interior (tal

acontece devido às sucessivas reflexões nas paredes do guia, que, para aquela frequência de

ressonância, estão associadas a uma interferência construtiva).

Considere-se o circuito LC paralelo representado na figura 4.4, em que as grandezas l

e c são valores normalizados (ou seja, adimensionais). Segundo a definição de admitância

(normalizada) de entrada, tem-se:

iy

v

e, de acordo com o circuito LC vem:

1y j c j

l

(4.13)

com i j . Uma vez que neste caso y jb (pois a admitância só tem parte imaginária, i.e. o

circuito é reactivo), daqui vem para a susceptância (normalizada):

2 1l cb

l

(4.14)

e, como estamos na presença de um circuito meramente reactivo:

1y

j x

o que conduz ao seguinte resultado para a reactância (normalizada):

2

1

1

lx

b l c

(4.15)

38

Note-se que, a frequência de ressonância é por definição igual a:

0

1

l c (4.16)

conclusão essa que também pode ser inferida da equação (4.15), uma vez que é a frequência

que conduz a 0b , ou seja x (ou seja, a frequência para a qual encontramos um zero

na admitância, ou um pólo na impedância). Se reescrevermos a equação (4.15), para ficar em

função da frequência de ressonância:

0

2 2

0

lx x

(4.17)

sendo que desta forma o pólo da equação (4.17) é: 0 . Calculando o resíduo da

reactância (4.17) no seu respectivo pólo:

00

0Res limx x

(4.18)

obtém-se:

0

3

0

0

Res2

lx

(4.19)

e de acordo com a definição de 0 , (4.16), chegamos à seguinte expressão do resíduo de

x no seu pólo:

0

1Res

2x

c

(4.20)

Considere-se agora o guia metálico de secção rectangular (figura 4.5), curto-circuitado

numa das extremidades e ligado a um guia similar através de uma descontinuidade, o íris

indutivo tal como representado na figura 4.3 (a descontinuidade encontra-se a uma distância d

do curto-circuito).

Figura 4.5 - Guia metálico de secção rectangular com um íris indutivo

d

02 r

Ar

39

Do íris indutivo sabemos que se tem para a susceptância equivalente (e normalizada) [11]:

e

Ab

(4.21)

em que:

3

0

3

8

a b dA

r

d

sendo que é a constante de propagação longitudinal no guia, para o modo TE10 [11]:

2

g

Considere-se agora o circuito equivalente (com linhas de transmissão) do guia representado na

figura 4.6:

Figura 4.6 - Circuito equivalente do guia metálico de secção rectangular com um íris indutivo

em que ty é a admitância total do circuito,

ly é a admitância da linha de transmissão e

e ey j b é a admitância equivalente do íris (mais uma vez, tratam-se de admitâncias

normalizadas). Uma vez que o guia é terminado em curto-circuito, a impedância de carga é

zero, o que significa que se tem para a admitância da linha de transmissão:

tan cotl lz j y j

e, por sua vez, para a admitância total do circuito vem:

cott e l

Ay y y j j

(4.22)

ey

ly ty

1 c.c.

40

Daqui, e como estamos na presença de um circuito reactivo, podemos encontrar o valor da

reactância total do circuito, tx :

1t t

t

y j b jx

1 1

cott

t

xAb

(4.23)

o que nos conduz ao seguinte pólo de tx :

cot 0A

(4.24)

Estamos então na presença de uma equação transcendente, o que aumenta

consideravelmente a complexidade deste problema. Podemos, porém, obter uma solução

aproximada, recorrendo apenas ao gráfico (figura 4.7) que representa a intersecção das duas

funções: A e tan . Olhando para a figura 4.7, podemos dizer que a intersecção das

duas funções se dá para o seguinte valor de :

0 , 0

Figura 4.7 - Representação da intersecção das funções A e tan para 25A

41

sendo que tal acontece para A . Então, substituindo este valor em (4.24):

0tan tan

pois é muito pequeno (aproximadamente zero). Assim, (4.24) pode reescrever-se da

seguinte forma:

1A A

(4.25)

e, mais uma vez, quando A , 0 . A solução aproximada deste problema, i.e., o ponto

de intersecção das duas funções dá-se para:

01

A

A

(4.26)

sendo que, quando 0A , o que se pode confirmar pela figura 4.7. Note-se

que, através da aproximação (4.25) e considerando o caso em que 25A , podemos

determinar o valor aproximado de 0 :

0, 3.020762226

aprox

Quando comparado com o seu valor exacto, obtido em Matlab® com a função fzero para a

equação (4.24):

0, 3.0213230exacto

conclui-se que a solução aproximada (proveninente da análise da figura 4.7) é bastante

precisa.

Para um guia de secção rectangular, no modo fundamental TE10 e de acordo com a

equação (4.4), podemos escrever:

2 2 2 2 22

0 0c cd k d k d k d k d (4.27)

o que conduz à seguinte expressão de :

2 2

2 d d

c a

(4.28)

Voltando agora à expressão da reactância total do circuito, vamos calcular o resíduo do

circuito equivalente representado na figura 4.6, para que depois possamos fazer a analogia

com o circuito LC paralelo (cujo resíduo da reactância do circuito já foi calculado em cima):

42

00

0

1Res lim

cottx

A

(4.29)

O cálculo deste limite é uma indeterminação do tipo 0 0 , pelo que é necessário recorrer à

Regra de Cauchy para resolver esta indeterminação:

0 0

0

0

1lim lim

cotcot

AA

o que nos conduz finalmente a:

002

0

2 2 2 2 2

1 1Res lim

1 1

sin sin

txdA d A

d c

(4.30)

Este resultado pode ainda ser escrito de outra forma se considerarmos a solução aproximada

da equação (4.24), 0 :

0

02

0

2 2 2

0 0 0

1Res

1

sin

tx adA

c

(4.31)

sendo 0a o resíduo da reactância

tx na ressonância. É com base neste resultado que

podemos, então, calcular os elementos do circuito LC paralelo equivalente da cavidade em

questão, quando se desprezam as perdas e na vizinhança da frequência de ressonância.

Relembrando os resultados obtidos no circuito LC paralelo para o resíduo e, ainda, a definição

de frequência de ressonância, estamos em condições de obter os parâmetros 0l e

0c (que

correspondem à solução aproximada 0 ). Das equações (4.20) e (4.31) sabemos que:

0

0

1

2a

c (4.32)

e por isso se considerarmos a solução aproximada da equação (4.24), 0 , chegamos às

expressões dos parâmetros do circuito LC :

0

0

00 2 2

0 0 0

1

2

21

ca

al

c

(4.33)

43

em que o valor de 0 é obtido da equação (4.28):

2 2 2 2

2

0 0 0 0

d d c c

c a d a

(4.34)

Note-se que, para o primeiro modo de oscilação, quando 0A , e por isso temos

que:

2

2

g

g

d d

(4.35)

E se considerarmos a solução (4.26) na qual não é desprezável:

2

12

g

g

d d

(4.36)

4.1.3 Íris Capacitivos

Tipicamente, um íris capacitivo consiste num septo metálico fino que se estende ao

longo do lado mais largo do guia de secção rectangular, formando os diafragmas

representados nas Figuras 4.8 (a) e (b) [15] .

Como as propriedades indutivas ou capacitivas das descontinuidades aqui descritas

dependem da quantidade de energia eléctrica ou magnética presente nos modos

evanescentes, no caso do diafragma capacitivo os modos evanescentes armazenam uma

maior quantidade de energia eléctrica do que magnética (contrariamente aos diafragmas

indutivos) e, por isso mesmo, adquirem propriedades capacitivas.

Figura 4.8 - (a) Diafragma Capacitivo Simétrico; (b) Diafragma Capacitivo Assimétrico

a

b

d

b

a

d

(a) (b)

44

As expressões aproximadas para as susceptâncias normalizadas das descontinuidades

representadas nas figuras 4.8 são, para o diafragma simétrico [15]:

4

1

4ln csc 1 cos

2 2

b d dB

b b b

(4.37)

e para o diafragma assimétrico [15]:

4

2

2 2ln csc 1 cos

2 2

b d dB

b b b

(4.38)

em que:

2

2

1g

g

bb

a

b

(4.39)

No caso capacitivo, tem-se ainda para as constantes de propagação n [15]:

2 2

2 2

n n

n bb n

b

(4.40)

que, de acordo com a equação (4.4), se pode escrever da seguinte forma:

2

22

1

1

n

g

b n

a

b

sendo que, nos casos considerados, só se usam os termos 1 e 2 . Mais uma vez, as

equações (4.37) e (4.38) foram simuladas para 0.6 e para 2a b . Na figura 4.9

representa-se a azul a susceptância normalizada do diafragma capacitivo assimétrico,

enquanto a vermelha diz respeito ao simétrico. Quando 0.7d b o diafragma capacitivo

passa a comportar-se quase como um curto-circuito ideal.

45

Figura 4.9 - Susceptância normalizada do diafragma capacitivo simétrico (a vermelho) e

assimétrico (a azul)

4.2 Aproximação Gaussiana

Para além dos guias de secção rectangular, também podemos aplicar os métodos

variacionais ao estudo de fibras ópticas. Em geral, quando se consideram fibras ópticas de

perfil em degrau o problema é simples, tratando-se de um exemplo de aplicação de óptica

geométrica (como foi mencionado no capítulo 2 para as MMF). No entanto, no caso em que a

variação do índice de refracção é gradual, estamos na presença de um problema de maior

complexidade e por isso o uso dos métodos variacionais torna-se bastante útil.

Mas então qual é a vantagem das fibras de perfil gradual em relação às de perfil em

degrau? Na presença de dispersão inter-modal as fibras cujo índice de refracção varia de uma

forma gradual são uma melhor opção pois atenuam estes efeitos, o que faz com que tenham

uma maior capacidade de transmissão, ou seja, maior largura de banda que as fibras de perfil

em degrau.

Considere-se uma fibra com índice de variação gradual (triangular) em que [10], [11]:

, 0 R 1

1, 1

Rf R

R

(4.41)

Cujo o quadrado do índice de refracção genérico se encontra representado qualitativamente na

figura 4.10 e é dado pela seguinte expressão [10], [11]:

2 2

1 1 2n R n f R

46

e em que:

rR

a

Figura 4.10 - Índice de refracção duma fibra óptica com índice gradual

Como a análise deste perfil é bastante complexa, recorre-se aqui à aproximação gaussiana,

que não é mais que um método aproximado para o estudo de outros tipos de perfil de índice de

refracção (um método variacional). Esta aproximação é referente ao modo LP01, uma vez que

apenas queremos as fibras monomodais de pequeno contraste dieléctrico. Considerando que

temos para a função modal [10]:

2

2

0

exp2

rF r

w

(4.42)

conseguimos chegar às equações (4.43) e (4.44), equações fundamentais da aproximação

gaussiana, sendo que esta dedução se encontra extensamente documentada no documento

Fibras Ópticas, do Prof. Carlos Paiva [9]:

2

2 2

2 2

0 00

10 exp

df Ru v f dR

R dR R

(4.43)

22

2 2

00

1exp

df RR dR

v dR R

(4.44)

sendo que R r a e 0 0R w a .

A potência transportada pela fibra óptica está distribuída entre o núcleo e a bainha. O

factor de confinamento de potência no núcleo, permite-nos determinar a fracção de potência

que está distribuída ao longo do núcleo de raio a. Considerando que 1P é a potência que flui no

n

r a

47

núcleo e que a potência total é dada por 1 2TP P P , então define-se o factor de

confinamento, , como [10]:

1

1 2

P

P P

(4.45)

sendo que:

2

1

0

2

a

P F r r dr (4.46)

2

0

2TP F r r dr

(4.47)

pelo que, de acordo com a definição (4.42):

2

2

00

2

2

00

exp

exp

ar

r drw

rr dr

w

(4.48)

e sabendo que [10]:

22 2

0

2 2

0 00

exp 1 exp2

awr a

r drw w

(4.49)

Assim podemos concluir das equações (4.42) e (4.49) que, na aproximação gaussiana, o factor

de confinamento se define por:

2

0

11 exp

R

.(4.50)

e, portanto, podemos saber de que forma se encontra a energia do modo propagante

distribuída:

quando 0 0R a energia encontra-se mais próxima do núcleo (eixo)

quando 0R a energia distribui-se, maioritariamente, ao longo da bainha.

Considerando agora a fibra de índice gradual cuja função f R foi introduzida em

(4.41) e de acordo com a definição (4.44), em que:

1, 0 1

0, 1

Rdf

RdR

48

obtém-se:

1 22

2 2

00

11 exp

RR dR

v R

(4.51)

Aplicando a seguinte mudança de variável 0

Rx

R à equação (4.51):

0

1

3 2 2

02

0

1exp

R

R x x dxv

(4.52)

De acordo com a seguinte definição:

2 2 2exp exp2 4

xx x dx x erf x

Chegamos então à seguinte expressão que relaciona a frequência normalizada da fibra com o

parâmetro 0R :

230

02 2

0 0

1 1 1exp

2 4

RR erf

v R R

(4.53)

Simulando as equações (4.50) e (4.53) em Matlab, obtiveram-se os seguintes gráficos

para o parâmetro 0R e para o factor de confinamento de potência, em função da frequência

normalizada da fibra, respectivamente:

Figura 4.11 – Parâmetro 0R para fibra com índice de perfil gradual

Uma vez que o factor de confinamento de potência só varia entre 0 e 1 ( 0 1 ), excluíram-

se os valores de v que conduziam a valores de sem significado físico. Assim sendo, das

49

figuras 4.11 e 4.12, podemos de facto concluir que quando 0R vai para infinito (e a frequência

normalizada é quase nula), o factor de confinamento é aproximadamente zero o que significa

que a potência se encontra distribuída ao longo da bainha. Analogamente quando 0R tende

para zero, e à medida que a frequência aumenta, tende para um, o que significa que a

potência se encontra confinada no núcleo.

Vamos considerar, por exemplo, uma fibra óptica com índice de perfil gradual, em que

60% da energia se encontra distribuída ao longo do núcleo, ou seja:

0,6

podemos determinar o valor do raio a , para os seguintes valores de:

1

1.55 μm

1.46

0.25%

n

Com o valor do factor de confinamento sabemos também que:

0 0.937R

de notar que este valor também está de acordo com as figuras 6.11 e 6.12. Com este valor

podemos encontrar o valor da frequência:

0 0.937 2.382v R

sendo que de acordo com:

1 0 2v n k a (4.54)

se pode finalmente dizer que 5.7 μma .

Figura 4.12 - Factor de confinamento de potência para fibra com índice gradual

51

Capítulo 5 - Força de Lorentz e Aplicações

No domínio da óptica electromagnética, a força de Lorentz é uma combinação das

forças eléctrica e magnética que actuam sobre uma partícula (como um electrão), devido à

acção dos campos electromagnéticos. Então, por forma a determinarmos a trajectória de

partículas, cujo movimento está sujeito à acção da força de Lorentz, vai primeiro determinar-se

esta mesma força utilizando para tal os métodos variacionais.

5.1 A Força de Lorentz

Considere-se o movimento de uma partícula de massa m e carga q num campo

electromagnético constante e uniforme. Sendo A o potencial vetor e o potencial escalar

(que exprimem as características do campo), temos então para as expressões dos campos

elétrico e magnético:

t

AE

B A

(5.1)

Neste caso, a figura em baixo representa a força de Lorentz como uma combinação das forças

eléctrica e magnética que actuam sob uma partícula:

Figura 5.1 - Representação da força de Lorentz

Sabe-se que o movimento da partícula é tal que a sua acção S é estacionária:

52

2

1

22

21 , , t

t

tL mc q q S L dt

c

vA v r r (5.2)

considerando o caso relativista, em que v r . Repare-se que a acção é formada por duas

partes: um termo que corresponde à acção da partícula livre e um termo que descreve a

interação da partícula com o campo [16].

Então, olhando para a equação (5.2), conclui-se que este é um problema variacional e

por isso podemos dizer que a função r que transforma o integral S num valor estacionário no

intervalo 1 2,t t é tal que satisfaz a equação de Euler-Lagrange (3.2):

0L d L d L

Ldt dt

r v v

Da equação (5.2) sabemos também que:

2

21

L mq

c

vA

v v

ou seja, como o Factor de Lorentz é definido por

2

21 1v

c

v

pode-se reescrever o problema de outra forma:

L d

m q L qdt

v A p Av

(5.3)

uma vez que o momento linear p da partícula é definido por mp v . Sabe-se também que:

L q q A v

e, para dois vetores arbitrários a e b tem-se a seguinte identidade vetorial:

a b a b b a b a a b

então, podemos concluir que para o caso deste problema se tem:

A v v A v A

uma vez que a velocidade é uniforme e, portanto, não varia com x , y e z . Substituindo na

equação (5.3) estas últimas conclusões, obtém-se:

53

d

q qdt

v A v A p A (5.4)

Sabendo que:

d dx dy dz

dt t dt x dt y dt z t

v

vem, finalmente, para a equação (5.4):

d

q q qdt t

p Av A (5.5)

Como, de acordo com a segunda lei de Newton, a força é a derivada em ordem ao tempo do

momento linear da partícula ( d dtf p ) e tendo em conta as expressões para os campos

elétrico e magnético definidas em (5.1), chegamos finalmente à seguinte expressão:

q f E v B (5.6)

ou seja, podemos concluir que o movimento da partícula obedece à força f , a chamada força

de Lorentz, como se queria demostrar. Esta é a forma não-relativista da Força de Lorentz, em

que todos os vectores são expressos num referencial inercial. Um referencial inercial

caracteriza-se por ser um referencial que descreve o sistema de forma homogénea, isotrópica

e independente do tempo (existe apenas um tempo para todos os referenciais de referência).

Em geral, o intervalo de tempo entre dois acontecimentos deve ser idêntico para todos os

referenciais [16]. É ainda importante notar que todos os referenciais inerciais estão num

movimento constante e rectilíneo uns em relação aos outros.

5.2 Movimento de uma Carga num Campo

Electromagnético

Uma das possíveis aplicações da força de Lorentz é o cálculo da trajectória de uma

partícula (uma carga eléctrica) num campo electromagnético. Para tal, vamos considerar o

caso em que a velocidade da carga é muito inferior à velocidade da luz no vácuo ( cv ) e,

consequentemente, de acordo com a expressão que define o factor de Lorentz, o momento

linear da carga fica apenas definido por mp v [16]. Então, nestas condições, e de acordo

com a equação (5.6) podemos dizer que a equação do movimento da partícula é a seguinte:

m q q v E v B (5.7)

54

Admite-se ainda que B está polarizado segundo a direção do eixo dos z e que o plano yz

passa por B e E . Assim sendo, pode-se escrever a equação (5.7) da seguinte forma:

0

0y

z

m x q y B

m y q E q x B

m z q E

(5.8)

Da última equação, podemos concluir que a carga se move com aceleração constante segundo

o eixo dos z , de acordo com:

2

02

zz

qEz v t t

m

multiplicando a segunda equação (do sistema de equações (5.8)) por i e combinando-a com a

primeira, tem-se:

yqEdx iy i x iy i

dt m (5.9)

com 0qB

m . Ao integrar a equação (5.9), obtém-se:

0

yi tE

x iy aeB

(5.10)

sendo a uma constante da forma ixa be , em que b é também uma constante. Separando a

equação (5.10) nas suas partes real e imaginária, temos:

0

cos

sin

yEx a t

B

y a t

(5.11)

e para 0t , verifica-se que a velocidade apenas tem componente segundo x . Finalmente,

integrando as equações (5.11) e escolhendo as constantes de integração para que em 0t se

tenha 0x y :

sin

cos 1

ax t Vt

ay t

(5.12)

sendo que 0yV E B e tanto V como a têm dimensões de velocidade. A projecção deste

conjunto de equações no plano XY define uma trocoide. Contudo, para a V a trajectória

definida é a de uma cicloide [16]. Se fizermos a (que tem a dimensão de um

comprimento) e introduzindo as variáveis adimensionais:

55

xX

yY

as equações (5.12) passam a escrever-se da seguinte forma:

sin

1 cos

V tX t

Y t

(5.13)

e, por último, se introduzirmos os seguintes parâmetros (também adimensionais):

t

V

m

e substituirmos nas equações (5.13), temos:

sin

1 cos

X

Y

(5.14)

Destas equações, pode-se então concluir que a carga pode se pode mover segundo três

trajectórias diferentes, dependendo do valor de , sendo que estas se encontram

representadas nas figuras 5.1 (a) - (c):

1 trocoide "alongada"

1 cicloide

1 trocoide "encurtada"

Figura 5.2 - Trajectória de uma partícula num campo electromagnético para 1 - Trocoide

56

Figura 5.3 - Trajectória de uma partícula num campo electromagnético para 1 - Cicloide

Figura 5.4 - Trajectória de uma partícula num campo electromagnético para 1 - Trocoide

Note-se que a trocoide é uma curva descrita por um ponto fixo de um disco que gira

(sem deslizar) com velocidade constante ao longo de uma linha recta. Assim sendo, a cicloide

(já discutida no capítulo 3) é nada mais que um caso notável de uma trocoide. Como as figuras

5.1 (a), (b) e (c) sugerem.

Para 0 , situação em que não existe componente do campo eléctrico, tem-se outro

caso particular, pois o conjunto de equação (5.14) passa a definir uma trajectória circular, uma

vez que se tem:

22sin

1 11 cos

XX Y

Y

57

5.3. Movimento de uma Carga num Campo de Coulomb

Uma outra aplicação da força de Lorentz é, novamente, a do cálculo da trajectória de uma

partícula (uma carga eléctrica pontual) de massa m e carga q , mas desta vez, uma partícula

imersa num campo de Coulomb. Um campo de Coulomb é um campo electromagnético

produzido por uma partícula (outra) de carga Q . Por simplicidade, assume-se que a massa da

partícula que gera o campo é suficientemente grande para se poder considerar como estática

relativamente à partícula de carga q .

Se ignorarmos os efeitos relativistas o problema reduz-se à lei do inverso do quadrado

da distância [17]. Esta lei pode ser aplicada em vários domínios da física, uma vez que apenas

nos diz que uma certa quantidade física (ou intensidade) é inversamente proporcional ao

quadrado da distância, a que se encontra da fonte.

Então, se considerarmos a descrição relativista, a resolução do problema em questão

pode ser bastante complexa sendo que o intuito não é deduzir a equação do movimento da

partícula, uma vez que tal já foi vastamente estudado. Assim sendo e de acordo com a secção

5.5.5 do Geometric Algebra for Physicists (de Doran & Lansenby) e depois de alguma

manipulação algébrica, sabe-se que a trajectória de uma partícula imersa num campo de

Coulomb é definida, em coordenadas polares, por:

1 cos

2

r

(5.15)

que, claramente, define um elipse e em que:

2l

E

A

22 2m

E

E

A

22 2 1 A

tendo em conta que

0

1 0

58

pois o sistema em questão representa um estado ligado (como é o caso de um electrão que

orbita em torno de um núcleo positivo, ou da órbita de um planeta em torno do sol). Então, o

termo cos 2 cos A da equação da trajectória da partícula (5.15) mostra que esta

equação descreve uma elipse em precessão [17], ou seja cujo seu eixo está em constante

mudança ao longo do tempo. Para vários valores de verifica-se que:

01

21 cos

4

1 cos2

3

321 cos

4

21 cos

r

r

r

r

r

o que nos permite inferir que a elipse não se completa (e por isso, está em precessão), excepto

se se considerar 2 . E, para melhor demonstrar este facto, para 2 , note-se que se

tivermos:

32

2

implica que tenhamos também:

0 cos 1

de onde se pode concluir que:

2 01 cos 1

r r

ou seja, quando o ângulo se altera 2 , a distância ao centro, r , não volta ao seu valor

inicial e por isso pode-se concluir que a elipse não fecha [16]. Assim, enquanto que na

mecânica não-relativista o movimento num campo de Coulomb leva a uma órbita fechada, na

mecânica relativista o campo de Coulomb perde esta propriedade.

59

Para demonstrar estas conclusões, apresentam-se de seguida algumas simulações

(em Matlab) da equação (5.15) para vários valores de , em que se considera que 1 e

0.8 . Para o caso em que 0,95A , ou seja 1.9 e fazendo variar no intervalo

0, 7 2 , obtém-se a trajectória representada na figura 5.5, que, como se esperava, não é

uma trajectória fechada:

Figura 5.5 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para 1.9 e 0 , 7 2

Para os casos em que 0,5A e 0,8A ou seja e 1.6 , respectivamente,

fez-se variar no intervalo 0 , 8 , e obtiveram-se as trajectórias representadas nas figuras

5.5 e 5.6. Nestes casos as elipses são claramente menos estreitas, do que as representadas

na figura 5.5, o que se deve ao facto de serem valores mais distantes do caso limite 2

(caso em que se tem uma eplise fechada e, portanto, deixa de existir a precessão da elipse).

Este último caso, encontra-se representado na figura 5.8.

60

Figura 5.6 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para e 0 , 8


61

Figura 5.8 - Trajectória de uma carga num campo de coulomb para 2 e 0 , 8

A lei da gravitação universal, de Newton, diz-nos que os planetas são atraídos para o

sol com uma força (centrípeta) que varia com o inverso do quadrado da distância, de onde se

conclui que as suas órbitas são elípticas (está, portanto, de acordo com a lei do inverso do

quadrado da distância). No entanto, sabe-se que a órbita dos planetas, em especial a de

Mercúrio, não se comportam exactamente como as equações de Newton previam, devido aos

efeitos relativistas (facto que foi posteriormente provado por Einstein).

Então, ao orbitar em torno do sol, Mercúrio segue de facto uma trajectória elíptica, mas

apenas aproximadamente, uma vez que o ponto da sua órbita mais próximo do sol (o periélio),

se desloca ao longo do tempo: existe uma espécie de rotação da órbita, ou seja uma

precessão do periélio (uma variação no tempo do periélio de Mercúrio). Este fenómeno dá-se

para todos os planetas do sistema solar (embora seja menos notável), sendo que tal se explica

pelo facto dos planetas perturbarem as órbitas uns dos outros. No caso de Mercúrio, a situação

é diferente (a deslocação do periélio é de, aproximadamente, 43 segundos de arco por século,

sendo que a da Terra é de apenas 4 segundos) e, portanto, apenas se consegue explicar

recorrendo aos efeitos relativistas.

62

Figura 5.9 - Representação da precessão do periélio de Mercúrio

Assim sendo, a resolução do problema desta secção pode ser aplicado ao problema da

Precessão do Periélio de Mercúrio. A figura 5.10 é uma possível representação, em 2D, da

precessão do periélio de Mercúrio vista de cima, aplicando esta resolução de Doran & Lasenby

para o movimento de uma partícula num campo de coulomb.


64

Capítulo 6 - Métodos Semi-analíticos

Na propagação de impulsos no interior de uma fibra óptica, para além da dispersão e

da atenuação, os efeitos não-lineares são, também, grandes responsáveis pela degradação do

sinal. A dispersão espacial causa o alargamento do impulso gaussiano bem como diminuição

da sua amplitude, enquanto os efeitos não-lineares (como a auto-modulação de fase) tendem a

aumentar a amplitude do impulso, tornando-o mais estreito. Estes efeitos têm mais significado

para níveis elevados de potência, como em sistemas WDM, por exemplo, e resultam da

dependência do índice de refracção do material com a potência óptica do sinal. Apesar de na

prática os sistemas serem dimensionados para operarem em regime linear, ou seja para

valores de N muito baixos e em que se pode desprezar os efeitos não-lineares (como o SPM e

XPM), estes, ainda que desprezáveis, encontram-se presentes no sistema. Estes efeitos têm a

característica de serem cumulativos e, por isso, se ao longo da sua propagação o sinal se

mantiver sempre no domínio óptico, para tal utilizando vários amplificadores ópticos em

cascata, os efeitos não-lineares irão acumular-se ao longo de grandes distâncias e acabar por

limitar a performance do sistema [7]. É por isso de grande interesse para o dimensionamento

de sistemas, perceber quais são os valores limite de N (relação entre o comprimento de

dispersão e o não-linear, definido mais à frente), para o qual o sinal mantém a sua forma ao

longo da fibra sem sofrer muito com a degradação introduzida pelos efeitos não-lineares.

Para tal, neste capítulo iremos considerar a propagação de um impulso gaussiano

numa fibra óptica, SMF, operada em regime não-linear, sendo que esta propagação é definida

pela equação não-linear de Schrodinger (Nonlinear Schrodinger, NLS) (6.1) [7], [13]:

2

2202

exp 02

U Ui P z U U

z T

(6.1)

sendo o parâmetro que mede a não linearidade (efeitos da auto-modulação de fase, SPM).

O impulso gaussiano tem a seguinte forma:

2

1, exp

2

p

p p

p

iC TU z T a i

T

(6.2)

em que pa é a amplitude, pT a largura, pC o chirp e p a fase, todos do impulso. Sabendo

que o comprimento de dispersão é dado por:

2

0

2

D

TL

(6.3)

65

em que 0T é o valor inicial da largura do impulso, e introduzindo a nova variável que

caracteriza os efeitos não-lineares:

0

1NLL

P (6.4)

podemos definir, finalmente o parâmetro N:

2 D

NL

LN

L (6.5)

No regime não-linear, a resolução puramente analítica da equação (6.1) é uma tarefa

muito complexa, ou talvez quase impossível, uma vez que neste caso não podemos

simplesmente obter uma função de transferência para definir o sistema. O que se deve ao facto

de a reposta (final) impulsiva do sistema depender da entrada (mais concretamente, da

potência de entrada) e do próprio sistema (ou por outra, do caminho). Por isso, para a resolver

e assim encontrar as expressões que definem a largura do impulso, pT , e o chirp, pC , ao longo

de uma distância z temos de recorrer a técnicas semi-analíticas. Então, a ideia é começarmos

por fazer uma análise analítica utilizando métodos variacionais e depois recorrer a um método

numérico para determinar o andamento dos parâmetros desejados ao longo da propagação na

fibra óptica.

Um dos métodos numéricos mais conhecidos é o Split-Step Fourier Method, SSFM, em

que o objectivo é dividir o problema (neste caso a NLS) em duas partes:

uma que representa os efeitos da dispersão

e a outra sujeita aos efeitos da não-linearidade

ao longo da propagação do feixe óptico segundo o eixo z , em pequenos intervalos de

propagação, h . O erro desta aproximação depende do valor de h , sendo que é tanto menor

quanto menor for o valor de h . Então, o intuito é comparar a solução encontrada por este

método numérico, do início ao fim, com a encontrada pelo método semi analítico: em se usam

primeiro métodos variacionais e depois o método numérico de Runge-Kutta, para a resolução

das equações diferenciais (6.11).

6.1 A Solução Semi-analítica

Ao utilizarmos os métodos variacionais na resolução da NLS, temos de definir a função

de densidade lagrangeana, sendo que para isso de admite que a NLS (6.1) deriva de:

2

*4* 2

0

1exp

2 2 2d

i U U UL U U P z U

z z T

(6.6)

66

que é, ela própria, a densidade lagrangeana. Assim sendo, podemos definir densidade média

langrangeana do sistema como:

dL L dT

(6.7)

e, por sua vez, de acordo com a abordagem variacional o intuito é minimizar a acção que se

define como:

S L dz

(6.8)

Ou seja, de acordo com o discutido no capítulo 3, sabemos que a minimização da

acção (6.8), corresponde à solução da equação de Euler-Lagrange (3.2), ou seja:

0z

L d l

q dz q

(6.9)

e em que zq representa a derivada em z de cada um dos parâmetros do impulso. E, de acordo

com a expressão que define o impulso gaussiano (6.2), a expressão da densidade média

langrangeana escreve-se da seguinte forma (para mais detalhes, consulte os cálculos no

Anexo C):

2

2 2

2

21

4 48

z

p p p p p p p

p p

p pp

E e E E dC C dT dL C E

T dz T dz dzT

(6.10)

em que pE se define como a energia do impulso, 2

p p pE a T . Considerando que não

existem perdas ao longo da propagação na FO e por isso 0 , podemos finalmente

encontrar as expressões da largura normalizada do im

pulso e do chirp que satisfazem a equação de Euler-Lagrange:

2

2 22

2

sgn

sgn 1

2

p p

p

pp

p p

d C

d

Cd C N

d

(6.11)

em que se mostra que ambos variam com Dz L , ou seja, ao longo da distância de

propagação z . Note-se que nestas expressões, as variáveis interveniente são adimensionais,

e por isso o objectivo é avaliar a evolução destes parâmetros ao longo da distância

normalizada .

Mas antes de mais, vamos primeiro avaliar o comportamento do impulso gaussiano em

regime linear. Das expressões (6.4) e (6.5) podemos concluir que para NL DL L os efeitos

67

não-lineares são muito fracos e por isso podem-se desprezar e, assim, considerar que estamos

em regime linear, ou seja:

2 0N

Ora, no regime linear, a resolução da equação de propagação é trivial e pode fazer-se

utilizando uma resolução puramente analítica. Considerando que nos encontramos na zona de

dispersão anómala, em que 2sgn 1 e que se tem para os valores iniciais da largura e do

chirp:

0

0

0

0

p

p

T T

C C

o que, obviamente, conduz a 0 1p . Para facilitar, considera-se ainda que inicialmente

não existe chirp e por isso 0 0C . Pelo que, substituindo estas considerações no conjunto de

equações (6.11), estas podem escrever-se da seguinte forma:

2

2

1

p p

p

p p

p

d C

d

d C C

d

(6.12)

Integrando a primeira equação, para a largura normalizada do impulso, vem:

2

01 2p pC u du

(6.13)

e para o chirp, relembrando que um impulso gaussiano, em regime linear, mantém a sua forma

bem como a largura espectral (i.e. os valores finais do chirp e da largura são os mesmo que os

iniciais), podemos escrever

2 2

2 2

0 02 2

1 1 01 1

0

p p p

p p

C C d CC C

d

(6.14)

o que conduz finalmente ao conjunto de equações (6.9):

21

p

p

C

(6.15)

No entanto, para regime não-linear, i.e. 2 0N , a resolução totalmente analítica torna-

se muito complexa, ou mesmo impossível, sendo que por isso iremos recorrer a um método

numérico para resolver o conjunto de equações (6.11). È por isso que dizemos que em regime

68

não-linear se utiliza um método semi-analítico em vez do meramente analítico, uma vez que

utilizámos um método analítico, o variacional, para obter o conjunto de equações (6.11), e

agora vamos utilizar um método numérico para encontrar determinar a evolução dos

parâmetros de chirp e largura espectral do impulso, ao longo da sua propagação segundo uma

distância z .

Ao utilizarmos o método semi-analítico vamos admitir que sabemos qual a forma inicial

do impulso e pressupor que o impulso óptico, neste caso gaussiano com chirp, mantém a sua

forma durante a sua propagação ao longo de uma distância z . O que não acontece em regime

não-linear. No entanto, para a gama de valores em que os efeitos não-lineares são fracos

quando comparados com os dispersivos, existe uma forte probabilidade de que o impulso

mantenha a sua forma. Assim, o sistema de equações (6.11), pode ser resolvido em Matlab

utilizando o método numérico de Runge-Kutta. A vantagem de utilizarmos este método semi-

analítico, em vez de um puramente numérico como o SSFM, é que iremos obter uma solução

mais exacta e uma boa previsão do que iríamos obter na realidade, sem um grande esforço

computacional.

As figuras 6.1 e 6.2 representam o resultado da simulação em Matlab do sistema de

equações (6.11), utilizando o método Runge-Kutta e considerando, mais uma vez, que nos

encontramos na zona de dispersão anómala e que se tem para os valores iniciais:

0

0

0

0

p

p

T T

C C

Escolheram-se os seguintes valores de 2N :

2 0, 0.5, 1, 1.5N

Para o regime linear, em que 2 0N , considerando as figuras 6.1 e 6.2 podemos concluir que

este resultado está em conformidade com a resolução analítica (6.9). Por exemplo, no caso do

chirp, sabíamos que teríamos uma recta com declive negativo e que para 2 teríamos:

2 2pC

o que facilmente se verifica pela figura 6.2. O mesmo se pode dizer para a largura normalizada:

22 1 2 2,236p

No entanto, segundo Govin P. Agrawal, em Non-Linear Fiber Optics, apesar dos gráficos que

representam pC e p estarem qualitativamente de acordo com esta solução, não estão

matematicamente correctos. Nas figuras que representam o andamento de pC e p com a

69

distância normalizada , apesar de qualitativamente correctas, encontramos algumas

discrepâncias nos resultados para o regime linear:

no caso do chip, em vez de uma linha recta com declive negativo temos uma curva e,

por isso, temos para o chirp 1,5 1,5pC

para a largura normalizada, mais uma vez, há discrepâncias no resultado esperado

pois 2 2,236p

Figura 6.1 - Evolução da largura normalizada com a distância normalizada para vários valores

de 2N

Para o regime não-linear, notamos que à medida que N aumenta, ou seja, à medida

que os efeitos não-lineares adquirem maior significado, a largura do impulso tende a aumentar

menos com , sendo que para 2 1.5N , esta quase que mantém-se constante. Ora, isto

acontece pois a largura do impulso também varia com o parâmetro chirp, e este também tende

a manter-se constante à medida que N aumenta. Note-se que, que considerámos a zona de

dispersão anómala e, por isso, das equações (6.11) notamos que na expressão do chirp temos

dois termos com sinais contrários. Ou seja, o termo correspondente ao efeito da não-

linearidade tende a cancelar o efeito da dispersão reduzindo assim o alargamento do impulso,

pelo menos até a um certo valor de N [13]. Então, podemos dizer que até a um dado N , o

efeito do alargamento do impulso e diminuição da sua amplitude se tornam menos visíveis em

RNL.

A figura 6.3 demonstra isto mesmo, pois à medida que o valor de N aumenta, i.e. os

efeitos não lineares se tornam mais significativos que os dispersivos, os efeitos da AMF

70

tendem a cancelar os da DGV. Assim, da figura 6.3 (a) à (d) notamos que devido aos efeitos da

AMF o impulso vai estreitando cada vez mais e a sua amplitude vai aumentando, o que

contraria o alargamento e diminuição de amplitude causados pela DGV.

Figura 6.2 - Evolução do Chirp com a distância normalizada para vários valores de 2N

6.2 A Solução Numérica

O conjunto de figuras 6.3 resulta da resolução exclusivamente numérica da equação de

propagação em RNL (6.1), utilizando o SSFM, em Matlab®. Através deste método, foi possível

ver a diferença entre a largura do impulso de entrada, ou seja em 0 , e a forma do impulso

na saída, neste caso considerou-se uma distância de 2 , pois desta forma podemos

comparar os resultados obtidos no método semi-analítico com os obtidos através do SSFM.

Mais uma vez, considerou-se que não existem perdas, 0 , que estamos na zona de

dispersão anómala, em que 2sgn 1 , que 1pa e por isso o módulo da amplitude

máxima ao quadrado do impulso é um, 2

1U .

Sendo a largura do impulso de entrada, ou seja para 0 , a meia largura definida a

1 e do valor máximo de 2

U , podemos facilmente encontrar a largura do impulso à entrada 0T :

como 2

max 1U , então 0T corresponde à largura em 2

1 0,3678U e

71

ou seja, de acordo com a simulação feita usando o SSFM e com o conjunto de figuras

6.3:

0 1,422T

para a largura do impulso na saída, segue-se o mesmo processo, sendo que PT é a

largura no ponto: 2

saída, maxU e

Figura 6.3 - Representação do impulso gaussiano ao longo do tempo à entrada e à saída de

uma FO em RL e RNL, para (a) 2 0N (RL) (b)

2 0.5N (c) 2 1N (d)

2 1.5N

Note-se que, no entanto, para o regime linear, não foi usado o SSFM exactamente porque o

impulso não é afectado pelos efeitos não-lineares, mas sim o FFT e por isso a figura 6.3(a) e

os respectivos resultados são provenientes do uso do método numérico FFT. Posteriormente,

calculou-se também a largura do impulso à saída, i.e. após ter percorrido uma distância de

2 , para cada um dos valores de 2N considerados anteriormente. E por forma a podermos

fazer uma comparação com os resultados representados na figura 6.1, dividiu-se o valor da

largura do impulso à saída pelo seu valor à entrada.

Dos resultados apresentados na tabela 6.1, podemos concluir que o método semi-

analítico apresenta de facto uma boa aproximação, pois os valores são muito semelhantes aos

obtidos com SSFM. Note-se que a diferença entre os métodos semi-analíticos

comparativamente aos resultados numéricos começa por ser relativamente pequena, porém

72

esta vai aumentando à medida que N aumenta. È também de notar que, como esperado, para

2 0N , o valor obtido pelo método numérico FFT é muito idêntico ao valor obtido

analiticamente através da equação (6.15) para a largura do impulso.

Tabela 6.1 – Comparação da largura normalizada do impulso gaussiano para diferentes

métodos

Este fenómeno deve-se ao facto dos métodos semi-analíticos se tornarem numa abordagem

menos precisa à medida que os efeitos não-lineares se tornam mais significativos. Portanto, os

métodos semi-analíticos são uma boa abordagem sim, mas principalmente no regime linear ou

para valores pequenos de N . No entanto, relembra-se que os sistemas utilizados na prática

são dimensionados para operar em RL e, por isso, os métodos variacionais continuam a ser

uma boa ferramenta, com aplicação a problemas da vida real.

É também de notar que através da figura 6.3 (d) podemos, mais uma vez, comprovar

que, para 2 1.5N , os efeitos da AMF e os da DGV praticamente se cancelam e o que se

obtém é um impulso praticamente com a mesma largura à entrada e à saída, mas com uma

amplitude ligeiramente maior na entrada (predominância da AMF). Esta característica aponta

para uma possível formação de um solitão fundamental [13]. Note-se que um solitão é uma

onda solitária (um impulso) que ao longo da sua propagação mantém a sua forma, pois

apresenta um equilíbrio entre os efeitos dispersivos (alargamento do impulso e diminuição do

impulso) e os não-lineares (compressão do impulso e aumento da amplitude).

02pT T Método Analítico FFT

2 0N 2.236 2.237

02pT T Mét. Semi-Analítico SSFM

2 0.5N 1.844 1.784

2 1N 1.404 1.309

2 1.5N 0.914 0.855

74

Capítulo 7 - Conclusões

7.1 Conclusões Principais

Ao longo desta dissertação procurou-se demonstrar o uso e a utilidade dos métodos

variacionais na resolução de problemas de diversos domínios do electromagnetismo (teórico e

aplicado). Para esse efeito, começa-se por apresentar uma das leis mais importantes no

domínio da óptica geométrica: a lei de Snell para a refraccção. No capítulo 2, estamos no

domínio da óptica geométrica e, por isso, na presença de problemas cuja dimensão física

característica é muito superior ao comprimento de onda. Assim sendo, pode-se considerar que

os raios de luz seguem uma trajectória rectilínea ao atravessar meios homogéneos, o que nos

permite demonstrar que muitas vezes podemos ter uma boa solução (apesar de aproximada)

apenas recorrendo à lei de Snell e a alguns cálculos trigonométricos simples. Na secção 2.3,

considera-se um problema de dispersão cromática: a dispersão a que um raio de luz está

sujeito ao atravessar um prisma rectangular, onde se resolve o problema analiticamente com a

lei de Snell e posteriormente simula-se em Matlab®. Assim, conseguimos saber qual o ângulo

de saída do prisma e encontrar o desvio relativamente ao ângulo incidente. Por fim, na última

secção, apresenta-se o acoplamento de raios no interior de uma FO utilizando para tal uma

esfera uniforme (i.e., índice de refracção constante). Mais uma vez, conseguimos determinar a

distância a que a esfera tem de ser colocada da fibra, de acordo com a distância a que o raio

incide (altura) em relação ao centro da esfera. Tudo isto recorrendo ao princípio de Fermat

como manifestação mais elementar dos métodos variacionais no domínio da óptica.

No capítulo 3, consideram-se os meios não-homogéneos. Como o índice de refracção

varia ao longo do mesmo meio, já não podemos dizer que um raio de luz ao atravessar esse

meio segue uma trajectória rectilínea, uma vez que vai sofrer continuamente refracções. Então,

recorrendo à equação de Euler-Lagrange – a equação fundamental dos métodos variacionais -

foi possível determinar a trajectória que um raio de luz segue ao atravessar um meio cujo

índice de refracção varia com a altura. Prova-se que a trajectória deste mesmo raio obedece à

lei de Snell generalizada e é através desta lei que podemos determinar a forma da trajectória.

Neste caso, escolheu-se um meio definido por ( )n y y com 1/ 2 , o que dá origem a

uma trajectória do tipo cicloide (à semelhança do problema clássico da braquistócrona).

No quarto capítulo saímos do domínio da óptica geométrica e entramos na teoria

electromagnética clássica (i.e. governada pelas equações de Maxwel). Começa-se por se

considerar o uso de descontinuidades em guias de secção rectangular, em que o objectivo é

determinar os parâmetros que caracterizam a descontinuidade (e que, posteriormente,

permitem dimensionar os parâmetros do circuito equivalente) utilizando os métodos

variacionais. Sendo esta uma tarefa de extrema complexidade, mais apropriada até para uma

tese de doutoramento, sai fora do âmbito desta dissertação de mestrado fazer esta mesma

75

demonstração. No entanto, apresentam-se as expressões das susceptâncias normalizadas de

R. E. Collin em Field Theory of Guided Waves, que posteriormente são simuladas em Matlab

para 0.6 . Tanto para o íris capacitivo como para o indutivo, é possível dimensionar a

descontinuidade de acordo com os valores representados nas figuras 4.9 e 4.2 da

susceptância normalizada. Destas representações, conclui-se ainda que a partir de 0,7d a

e 0.7d b os diafragmas (indutivo e capacitivo, respectivamente) se comportam quase como

um curto-circuito ideal. Faz-se ainda um dimensionamento de uma cavidade utilizando um

outro íris indutivo, mais simples, o representado na figura 6.3. Sabendo a expressão da

susceptância do íris foi possível simulá-la e determinar a reactância total do circuito equivalente

da figura 4.6 e, posteriormente, dimensionar os parâmetros do circuito equivalente LC paralelo.

Por fim, ainda neste capítulo, aplicam-se os métodos variacionais ao estudo da análise

modal em FO. Considera-se o caso em que o perfil do índice de refracção varia gradualmente

(neste caso escolheu-se o índice de refracção cujo quadrado tem perfil triangular), sendo este

um problema de maior complexidade e por isso é necessário recorrer aos métodos

variacionais. Através destes métodos, foi possível encontrar as expressões fundamentais da

aproximação gaussiana (4.43) e (4.44) e posteriormente dimensionar uma FO, utilizando para

tal as expressões (4.50), (4.53) e (4.54). Para além destas expressões, os gráficos 4.11 e 4.12

dão-nos uma ideia qualitativa de como a energia se distribui ao longo da fibra dependendo do

parâmetro 0R :

quando 0R tende para infinito, o factor de confinamento é aproximadamente zero e por

isso a potência encontra-se distribuída ao longo da bainha.

analogamente quando 0R tende para zero, e à medida que a frequência aumenta,

tende para um, o que significa que a potência se encontra confinada no núcleo.

No capítulo 5, considera-se a força de Lorentz e respectivas aplicações. Começa-se

por considerar o movimento de uma partícula de massa m e carga q num campo

electromagnético constante e uniforme. Então, sendo que o movimento da partícula é tal que a

sua acção é estacionária, conclui-se que este é um problema variacional e por isso aplica-se

novamente a equação de Euler-Lagrange nesta resolução. É através dos métodos variacionais

que concluímos mais uma vez que o movimento da partícula obedece à força f , a chamada

força de Lorentz. De seguida, aplica-se esta força no cálculo da trajectória de uma partícula

(uma carga eléctrica) num campo electromagnético, onde se conclui que o conjuntos de

equações que definem o movimento da carga (5.14) ditam que esta se pode mover segundo

três trajectórias diferentes, dependendo do valor de :

1 corresponde a uma trocoide “alongada”,

1 a um cicloide

1 a um outro tipo de trocoide, a “encurtada”.

76

Por fim considera-se, novamente, o cálculo da trajectória de uma partícula (uma carga eléctrica

pontual) de massa m e carga q, mas desta vez, uma partícula imersa num campo de Coulomb.

Esta trajectória é definida, em coordenadas polares, pela equação (5.15) que claramente define

uma curva do tipo elipse. No entanto, do termo cos 2 cos 2A , concluímos que

esta equação descreve uma elipse em precessão, ou seja cujo seu eixo está em constante

mudança ao longo do tempo, e por isso a elipse nunca se completa (fecha), excepto para o

caso limite em que 2 . Então, para de um electrão que orbita em torno de um núcleo

positivo, ou para a órbita de um planeta em torno do sol, podemos concluir que estes se

movem de acordo com uma elipse em precessão. São apresentados vários resultados para

vários valores de .

Por fim, aborda-se a propagação de impulsos gaussianos no interior de uma FO em

RNL, utilizando métodos semi-analíticos. Mais uma vez, a ferramenta utilizada na resolução da

equação NLS é a equação de Euler-Lagrange, e posteriormente usa-se um método numérico,

o de Runge-Kutta, na resolução das derivadas parciais (6.11). A conjugação destes dois

métodos, permite-nos assim obter o andamento da largura normalizada dum impulso

gaussiano, bem como a evolução do seu chirp (ou, se se preferir, trinado), ao longo duma

distância normalizada de 2 . Daqui concluiu-se que, à medida que N aumenta, os efeitos

não-lineares adquirem maior significado, a largura do impulso aumenta menos com a distância

. Para 2 1.5N a largura do impulso praticamente mantém-se constante. Tal deve-se ao

facto de a largura do impulso também variar com o parâmetro pC , sendo que este último

também tende a manter-se constante à medida que N aumenta. De facto, de acordo com as

equações (6.11), a expressão do chirp tem dois termos com sinais contrários: o termo

correspondente ao efeito da não-linearidade e o correspondente ao efeito da dispersão. Assim

sendo, à medida que N aumenta, os efeitos da AMF tendem a cancelar os da DVG reduzindo

assim o alargamento do impulso, pelo menos até a um certo valor de N . Posteriormente,

compara-se esta solução semi-analítica com a obtida numericamente através do SSFM.

Observa-se que, de facto, os resultados semi-analíticos nos permitem obter uma solução

menos exacta, pois apenas nos permitem obter uma ideia qualitativa do que vamos ter na

saída. Nesse sentido, essa é a vantagem do SSFM, é um método que nos permite obter uma

solução bastante exacta do impulso ao longo da propagação.

Por fim, apesar dos métodos semi-analíticos se tornarem numa abordagem menos

precisa à medida que os efeitos não-lineares se tornam mais significativos, são ainda uma boa

abordagem em RL (ou para valores pequenos de N ). E relembra-se que os sistemas utilizados

na prática são dimensionados para operar em RL, o que faz dos métodos variacionais uma boa

ferramenta, com aplicação a problemas da vida real.

77

7.2 Perspectivas de Trabalho futuro

Na presente dissertação ficou trabalho por desenvolver um pouco em todos os

capítulos. No capítulo 3, em que se encontraram soluções analíticas com a equação de Euler-

Lagrange nomeadamente na trajectória de um raio de luz que se propaga ao longo de um meio

com índice de refracção variável, poderiam ter sido testadas outro tipo de trajectórias ou

mesmo meios outro tipo de perfis. Era também de grande interesse comparar as soluções

analíticas com soluções numéricas. Já no domínio do electromagnetismo, na secção 4.2.1, no

dimensionamento de um íris indutivo, poderá introduzir-se as perdas, para uma solução mais

realista, sendo que neste caso, o circuito equivalente passaria a ser um GLC paralelo, em vez

de um LC paralelo. Ainda neste capítulo 4, a aproximação gaussiana poderá ser aplicada a

outros perfis de FO.

Relativamente à força de Lorentz e suas aplicações, a ideia seria mais uma vez

comparar as soluções obtidas com recurso aos métodos variacionais com soluções obtidas por

métodos numéricos, por forma a introduzir uma perspectiva mais realista. Já no domínio da

propagação de impulsos no interior de uma FO em RNL, poderão testar-se outros impulsos e

até mesmo outros métodos numéricos em vez do SSFM. Uma vez que os métodos variacionais

só se aplicam a um sistema conservativo, poderá também testar-se o uso do método dos

momentos pois este último é válido para sistemas conservativos e não-conservativos.

78

Anexo A

Dedução da lei de Snell para a refracção no espaço

Considere-se, um raio de luz a propagar-se no plano z = 0, unindo os pontos A e B, como

indicado na figura 2.1, que atravessa dois meios homogéneos com índice de refracção

diferentes. Uma vez que se tratam de meios homogéneos, a velocidade de fase nos Meios 1 e

2 toma valores constantes e é dada, respectivamente, por:

1

1

2

2

cv

n

cv

n

(1)

Com objectivo de determinar o ponto 0,P y , onde ocorre a refracção, aplica-se o

Teorema de Pitágoras aos segmentos AP e PB , e obtêm-se as seguintes equações:

2 2

1 1

2 2

2 2

( )

( )

AP x y y

PB x y y

(2)

Sabendo que o tempo de propagação do raio de luz ao longo do caminho é dado por [2]:

1 2

1 2

AP PB AP PBT n n

v v c c (3)

podemos usar o Princípio de Fermat para mostrar que a localização deste ponto y, obedece à

Lei de Snell (para a refracção da luz na interface entre dois meios homogéneos):

1 1 2 2sin( ) sin( )n n (4)

O Princípio de Fermat, formulado em 1657 por Pierre Fermat, com o intuito de

determinar a trajectória dos raios de luz, diz-nos que, de todos os caminhos possíveis para ir

79

de um ponto ao outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor tempo (comparando com

o tempo para outras trajectórias). Assim, para este caso e de acordo com o Princípio de

Fermat, o raio de luz vai atravessar a interface no ponto (0,y)P de modo a que o tempo de

propagação seja mínimo. Ou seja, o ponto y que minimiza o tempo de percurso é tal que

satisfaz[2]:

0dT

dy

De acordo com as equações (2) e (3), pode-se escrever:

1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

2( ) 2( )1 10

2 2( ) ( )

n y y n y ydT

dy c cx y y x y y

(5)

1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

n y y n y y

c cx y y x y y

(6)

Sendo que da Fig.2.1, sabemos também que:

1 2

1 2sin( ) , sin( )y y y y

AP PB

(7)

Finalmente, substituindo em (6), obtemos a Lei de Snell (para a refracção da luz na interface de

dois meios homogéneos), como se queria demonstrar:

1 21 2

1 1 2 2

sin( ) sin( )

sin( ) sin( )

n n

c c

n n

(8)

80

Cálculos intermédios da dedução da Lei de Snell para a refracção

no tempo

Das equações (2.2) e (2.3), sabe-se que:

2 2 d

t t t d

k

r r r (9)

de onde se pode concluir que:

d

d t

g

k k kv

r r k r r r (10)

em que

d

dt

g

rv

k (11)

é a velocidade de grupo. Então, substituído na equação (10):

t

gv k

r r (12)

e, considerando que:

d d d

dt t t dt dt

g

k r kv k

r r r (13)

conseguimos chegar às equações de Hamilton (2.5). De acordo com a expressão da

frequência (2.6) e considerando um meio não uniforme e não estacionário, temos para as suas

derivadas parciais:

2

2

2

ˆc c

n n k k

k c n n

t n t n t

k c n n

n n

kk k

k

r r r

81

Esfera para acoplamento de vidro

A partir das equações (2.16), (2.17) e (2.18) e recorrendo às propriedades da função seno,

chegamos à expressão que caracteriza a distância a que a fibra óptica se encontra da esfera

uniforme:

1 2

2 1 2 1

1 2

2 1 1 2 2 1 1 2

1 2

2 1 1 2

1 2

cos 2sin 2 cos 2 1

sin 2

sin 2 cos 2 cos 2 sin 21

sin 2

sin 2 21,

sin 2

f

a

f f x a

A expressão (2.19) pode ainda ser escrita de outra forma se considerarmos que:

1 2 1 2 1 2

2 2

2 1 1 1 2 2

sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2

2 1 2 sin sin cos 2 1 2 sin sin cos ,

o que conduz a:

1

2 2

2 1 1 1 2 2

sin11

2 1 2 sin sin cos 1 2 sin sin cos

f

a

que, de acordo com as equações (2.16), nos permite escrever esta expressão na forma da

equação (2.20).

82

Anexo B

Dedução da equação de Euler-Lagrange

Para resolver o problema definido em (3.1) pode substituir-se y x pela função de teste ( )Y x ,

definida por:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y x y x x

Y x y x x

(14)

onde é um número real e ( )x é uma função (arbitrária) contínua, com segunda derivada

contínua para a qual se tem [10][3]:

1

2

( ) 0

( ) 0

x

x

Estas condições asseguram que se tem:

1 1

2 2

Y x y x

Y x y x

ou seja, todas as funções de teste assumem os valores dos pontos finais pretendidos. Ao

substituir y x pela função ( )Y x , qualquer que seja a família de funções a que ( )Y x pertença

(dependendo da escolha de ( )x ), a função minimizante y x é um membro dessa família se

se escolher 0 . Assim, o problema a resolver será determinar ( )Y x y x que torna o

integral I estacionário. Considere-se a figura 3.1, ( )x é o desvio vertical que a função

( )y Y x toma em relação à função minimizante ( )y y x . Note-se que a linha recta (sólida),

é a curva para o qual o integral (3.1) é estacionário, e as curvas a tracejado representam

pequenas variações de primeira ordem [3]. Então, o problema é muito simples, e o que

queremos determinar é ( )y x tal que:

0

0dI

d

. (15)

onde se sabe que

2

1

I( ) ( , ( ) ( ), ( ) ( ))x

xf x y x x y x x dx (16)

.

De acordo com a condição (15), pode-se escrever a equação (16) da seguinte forma:

83

2

1

2

1

( ) ( )

x

x

x

x

dI f Y f Ydx

d Y Y

f fx x dx

Y Y

(17)

Integrando por partes a segunda parte da equação (17), obtém-se:

2

2 2

1 1

1

( ) ( ) ( )

xx x

x xx

f f d fx dx x x dx

Y Y dx Y

que se pode simplificar recorrendo, mais uma vez, à condição (15):

2 2

1 1

( ) ( )x x

x x

f d fx dx x dx

Y dx Y

(18)

Substituindo na equação (17):

2

1

( )x

x

dI f d fx dx

d Y dx Y

Se se considerar o caso particular em que 0 , fica-se com ( )Y x y x e, por isso, de

acordo com a condição (15), pode-se escrever:

2

10

( ) 0 x

x

dI f d fx dx

d y dx y

(19)

Então, a única forma de satisfazer a equação (19), é se tivermos:

0f d f

y dx y

(20)

84

Anexo C

A partir da equação da densidade lagrangeana (6.6), podemos determinar a densidade média

lagrangeana, para tal de acordo com a equação (6.2) que define o impulso gaussiano,

podemos determinar a sua derivada em ordem a z :

2

2

3 2

2

1exp 1

2

2

p p

p p p

p p p

p p

p

iC TU T T T Ta i iC

z T T z T z

Ci Ti

z T z

(21)

O produto do conjugado do impulso gaussiano com a derivada parcial (21):

2 2

2* 2

3 2exp 1

2

p p p

p p

p p p p

T CU T T T T i TU a iC i

z T T z T z z T z

(22)

e o produto do impulso gaussiano com a derivada parcial do conjugado do impulso:

2 2

* 22

3 2exp 1

2

p p p

p p

p p p p

T CU T T T T i TU a iC i

z T T z T z z T z

(23)

Assim sendo, de acordo com as equações (22) e (23), a diferença entre ambas é:

2 2* 2

* 2

3 2

22

3 2

1exp

2 2 4

1 1 1

2 2 4

p p p

p

p p p p

pp p p

p p p

i C T Ci U U T T T T TU U a

z z T T z T z z T

i C T CT T T T

z T z T z z T

2

p

z

(24)

o que nos conduz ao primeiro termo da equação (6.6) da densidade lagrangeana:

2* 2

* 2

3 2

2

exp2

1

2

p

p p

p p p

p p

p

Ti U U T T T TU U a C

z z T T z T z

C T

z T z

(25)

85

A derivada do impulso gaussiano em ordem ao tempo é:

2

2

1exp 1

2

p

p p p

p p

iCU T Ta i iC

t T T

(26)

e o módulo da derivada parcial (26) ao quadrado é dada por:

2

2 22 2

4exp 1p p

p p

U T Ta C

t T T

(27)

Então, pode-se escrever para a densidade lagrangeana:

2 22

2

2 3

2 22 2 4

22 2 2

2 04 8

1exp

2

exp 1 1 exp2

p p p

d p p p

p p p p

p

p p p

p p p p

C TT T T T TL a C C

T z T z z T T z

a T T T TC P a C

T T T T

(28)

Estamos agora em condições de encontrar a densidade média lagrangena (6.7), que de acordo

com a tabela de integrais D.1:

f x 1 x 2x 2exp x

2expf x x dx

0 2 2

Tabela D.1 – Integrais em ordem a x de a

é dada por:

2

22

2

11

4 2 4 8

p p p p

p

p p p

C C T E EL E C

z z T z T T

(29)

em que E é a energia do impulso e é dada por:

2

2 2exp p p

p

TE a dt a T

T

(30)

Resta-nos agora minimizar a acção (6.8) que como sabemos obedece à equação de Euler-

Lagrange (6.9). Assim, recorrendo aos métodos variacionais podemos encontrar então as

expressões para os parâmetros do impulso pC e pT . Comecemos pelo chirp do impulso:

86

0p p

L d L

C dz C

(31)

com p pC C z . Em que as derivadas parciais são dadas por:

2

22

2 4

4

p

p

p p p

p

T EL EC

C T z T

L E

C

(32)

em que:

10

4p

d L dE

dz dzC

pois como para o parâmetro p :

0p

p

L

d L dE

dz dz

(33)

de acordo com a equação de Euler-Lagrange (6.9):

0dE

dz

Então, de acordo com a equação de Euler-Lagrnge (6.9), a equação (32) escreve-se da

seguinte forma:

2p p

p

T C

z T

(34)

que é a expressão para a variação da largura do impulso segundo z . Pode-se ainda escrever

esta expressão de outra forma (de acordo com as variáveis normalizadas):

2sgnp p

p

d C

d

(35)

Vamos agora aplicar a equação de Euler-Lagrange ao parâmetro da largura do impulso:

87

2

22

2 3 21

2 2 8

2

p p

p

p p p p

p

pp

EC T EL EC

T T z T T

ECL

TT

(36)

em que se tem:

2

1

2 2

p p p

p pp

C EC Td L E

dz T z T zT

(37)

Aplicando mais uma vez à equação de Euler-Lagrange:

22

2

11 0

2 28

p

p

p p

CEC

T zT

(38)

que se pode reorganizar e escrever da seguinte forma:

2 22

2

sgn 1

2

pp

p p

Cd C N

d

(39)

88

Referências

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[2] C. R. Paiva, Introdução aos métodos variacionais. Lisboa: IST, 2010.

[3] M. L. Boas, Mathematical methods in physical sciences, 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc., 2006.

[4] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, 2nd ed. London: Imperial College Press, 2004.

[5] H. Khelif, “Image des mathématiques,” 2010. [Online]. Available: http://images.math.cnrs.fr/Courbe-brachistochrone.html.

[6] A. W. Snyder and J. Love, Optical Wavequide Theory. Springer Science & Business Media, 1983.

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[8] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation Interference and Diffraction of Light, 6th ed. Oxford, 1980.

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[10] C. R. Paiva, Fibras Ópticas. IST, 2010.

[11] C. R. Paiva, Aulas Práticas de Fotónica. Lisboa: IST, 2008.

[12] B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, 2nd ed. John Wiley & Sons, Inc., 2007.

[13] G. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 4th ed. Academic Press, 2007.

[14] R. E. Collin, Field Theory of Guided Waves, 2nd ed. John Wiley & Sons, Inc., 1991.

[15] R. E. Collin, Foundations for Microwave Engineering, 2nd ed. John Wiley & Sons, Inc., 2001.

[16] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, 4th ed., vol. 2. Butterworth-Heinemann, 1975.

[17] C. Doran and A. Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press, 2003.

argumentos teleológicos em electromagnetismo e Óptica ... · v resumo nesta dissertação...

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