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EXAMES DE ELECTROMAGNETISMO

Jaime E. VillateFaculdade de Engenharia

Universidade do Porto

5 de Fevereiro de 1999

Resumo

Este documento contem os exames da disciplina defısica, dos cursos de engenharia quımica e engenhariainformatica e de computacao, realizados durante osultimos dois anos. A disciplina de fısica e umadisciplina do primeiro semestre do segundo ano, destinada ao ensino do electromagnetismo.

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http://quark.fe.up.pt

http://www.fe.up.pt/deqwww/fisica/

1 Ano lectivo 2000-2001

1.1 Exame do dia 19-1-2001

Docente: Jaime VillateDuracao: 2 horas

1. (4 valores) O circuito do lado esquerdo, com quatro terminais, vai ser substituıdo pelo circuito equiva-lente do lado direito. Calcule os valores que deverao terR1,R2 eR3.

R1 R2

R3

560 Ω

50 Ω 65 Ω

A B

C D

A B

C D

2. (4 valores) Calcule o fluxo (para fora) do campo vectorial

F = 4xy i− y2 j + yz k

atraves da superfıcie do cubo delimitado pelos planosx = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1.Diga (justificando as suas respostas) se este campo poderia ser um campo electrostatico ou um campode inducao magnetica.

3. (3 valores) O potencial electrico a uma certa distancia de uma carga pontuale 600 V (arbitrando poten-cial nulo no infinito) e o campo electricoe 200 N/C. Calcule a distancia e o valor da carga.

4. (4 valores) Uma esfera de raioa, tem carga electrica distribuıda de forma que a carga volumica eρ = Ar, ondeA e uma constante er a distancia ao centro da esfera. Calcule o potencial electrostaticoproduzido pela esfera.

5. (5 valores) Um condutor cilındrico oco, com raio internoa e raio externob transporta uma correnteI,paralela ao eixo do cilindro, distribuıda uniformemente na seccao transversal do condutor. Usando a leide Ampere, calcule o campo de inducao magnetica em funcao da distancia ate o eixo do cilindro (R).

2

1.2 Resolucao do exame do dia 19-1-2001

1. Este problemae bastante semelhante ao problema 6.8 do livro. Neste caso os pontos C e D no cir-cuito sao umunico ponto. Assim, para que os dois circuitos sejam equivalentes, basta garantir que aresistencia equivalente entre os pontos A e B, A e C, e B e C seja a mesma nos dois circuitos. Nocircuito do lado esquerdo temos:

RAB =(

1560

+1

50 + 65

)−1

= 95, 4

RAC =(

150

+1

560 + 65

)−1

= 46, 2

RBC =(

165

+1

50 + 560

)−1

= 58, 7

E no circuito do lado direito:

RAB = R1 +R2

RAC = R1 +R3

RBC = R2 +R3

igualando os resultados obtidos nos dois circuitos, obtemos um sistema linear de 3 equacoes 1 1 01 0 10 1 1

∣∣∣∣∣∣∣95, 446, 258, 7

e a solucao deste sistema da os valores das 3 resistencias:R1 = 41, 45Ω,R2 = 53, 95Ω,R3 = 4, 75Ω.

2. O cubo esta formado por seis planos e, portanto, para calcular o fluxo atraves do cubo sera necessariocalcular os fluxos nas seis faces, como foi feito na alınea c do problema 3.13. Mas no problema 4.9vimos que o problema 3.13 resolve-se muito mais facilmente usando a equacao de Poisson, quee umaconsequencia da lei de Gauss e o teorema da divergencia. Assim, usaremos o teorema da divergenciapara calcular o fluxo (primeira equacao do capıtulo 4 no formulario):

©∫∫

SF · dA =

∫ ∫ ∫R∇ · F dV

a divergencia do campoF e

∇ · F =∂(4xy)∂x

+∂(−y2)∂y

+∂(yz)∂z

= 3y

e o fluxo atraves do cuboe

Ψ =∫ ∫ ∫

R∇ · F dV =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

03y dxdy dz = 1, 5

As condicoes que deverao verificar os camposE e B para serem campos electrostatico e de inducaomagnetica, sao (ver formulario):

∇×E = 0 ∇ ·B = 0

a divergencia deF ja vimos que naoe nula e, portanto,F nao pode ser um campo de inducao magnetica.A coordenadax do rotacional deF e

∂yz

∂y− ∂(−y2)

∂z= z

e por nao ser nula,F nao pode ser um campo electrostatico.

3

3. O modulo do campo electrico de uma carga pontualq na origeme

E =kq

r2

e o potenciale

V =kq

r

dividindo os dois valores obtemosV

E= r

substituindo os valores do problema, obtemos que a distanciae r = 3 m. Para calcular a carga, substi-tuımos na equacao do potencial

600 =9 · 109q

3e assim a cargae de200 nC.

4. Este problema resolve-se usando o metodo do exemplo 3.5, onde o campo electricoe o calculado naalınea b do problema 2.13. Para calcular o campo electrico, observamos que qualquer esfera de raior euma superfıcie gaussiana, e consequentemente o fluxo electrico nessa esferae

Ψ = 4πr2E

comparando com a lei de GaussΨ = 4πkqint

obtemos o valor do campo em funcao da carga interna

E =kqint

r2

A carga internae

qint =∫ ∫ ∫

ρdV = 4πA∫ r

0r3 dr

ser ≤ a a carga interna seraπAr4, e ser ≥ a a carga internaeπAa4. Assim, o modulo do campo nointerior da esfera seraπkAr2 e no exterior da esferaπkAa4/r2; nos dois casos o campo tem direccaoradial. A diferenca de potencial calcula-se com a equacao

VA − VB =∫ B

AE · dr =

∫ B

AE dr

se escolhermos o ponto B no infinito, onde o potenciale nulo, e o ponto A a uma distanciar da origem,obtemos

V (r) =∫ ∞r

E dr

ser ≥ a, integramos o campo no exterior da esfera

V = πkAa4∫ ∞r

drr2

=πkAa4

r

enquanto que ser ≤ a, o integral tera que ser calculado em duas partes

V = πkA

∫ a

rr2 dr + πkAa4

∫ ∞a

drr2

=πkA

3(r3 + 2a3)

4

5. Este problema resolve-se em forma analoga ao exemplo 9.3. A figura mostra a seccao transversal docondutor. O cırculo tracejado, que pode ter qualquer valor do raioR, e uma linha de inducao magnetica

ab

R

A area da seccao transversal do condutoreπ(b2−a2), e como a corrente esta distribuıda uniformemente,a densidade de corrente sera constante e igual a

J =I

π(b2 − a2)

o integral de linha do campo, sobre o cırculo tracejado na figura,e∮C

B · dr = B

∫ds = 2πRB

Usando a lei de Ampere, ∮C

B · dr = 4πkmIC

concluımos que:

B =2kmIC

R

Se o raio do cırculo for menor quea, a corrente internaIC e nula e o campo sera nulo

B = 0 (R < a)

seR > b, a corrente interna sera iguala corrente totalI, e o campo sera

B =2kmI

Reθ

onde o versor transversaleθ define-se num sistema de coordenadas onde o versork aponta na direccaoe sentido da corrente. Finalmente, dentro do condutor (a ≤ R ≤ b) a corrente interna calcula-semultiplicando aarea da parte da seccao do condutor dentro do cırculo,π(R2 − a2), vezes a densidadede corrente. O resultado obtidoe:

B =2kmI

R

(R2 − a2

b2 − a2

)eθ

5

1.3 Exame do dia 2-2-2001

Docente: Jaime VillateDuracao: 2 horas.

1. (4 valores) Na figura esta representado esquematicamente um corte transversal de dois cabos longos eparalelos, perpendiculares ao planoxy, cada um com uma correnteI, em sentidos opostos. (a) Repre-sente os vectores de inducao magnetica de cada cabo e o campo resultante no ponto P. (b) Deduza aexpressao para o modulo do campo de inducao magnetica em qualquer ponto sobre o eixox, em termosda coordenadax do ponto.

xx

y

a

a

P

2. (4 valores) Tres condensadores de 1,5 pF, 2,2 pF e 3,0 pF estao ligados (i) em serie, (ii ) em paralelo eaplica-se-lhes uma diferenca de potencial de 6 V. Calcule, para cada caso, (a) a capacidade do sistema,(b) a carga sobre cada condensador e (c) a diferenca de potencial em cada condensador.

3. (4 valores) Cada uma das resistencias da figura tem uma resistencia de 2,8 kΩ e pode dissipar ummaximo de 0,5 W, sem se danificar. Calcule a potencia maxima que pode dissipar o circuito, e a correnteem cada resistencia.

4. (2 valores) Um sistema de tres cargas pontuais esta em equilıbrio (a forca electrostatica sobre cada cargae zero). Sabendo que duas das cargas sao 3q e 2q, separadas por uma distanciad, calcule o valor e aposicao da terceira carga.

5. (6 valores) Um corpo esferico de raioR tem uma cargaQ distribuıda uniformemente em todo o seuvolume. (a) Usando a lei de Gauss, calcule o campo electrico dentro e fora do corpo. (b) Integrando ocampo electrico, calcule o potencial no interior do corpo. (c) Calcule a energia volumica electrostaticaem qualquer ponto dentro do corpo. (d) integrando a energia volumica, calcule a energia electrostaticatotal do corpo.

6


1. As linhas de inducao magnetica de cada cabo sao ciculares, com centro no cabo e no sentido da maodireita segundo a corrente; assim, os campos de inducao produzidos pelos dois cabos sao como serepresentam na figura:

x

y

a

a

B1

B2

Bθ θ

θ

Como a corrente nos dois cabos tem a mesma intensidade, e os dois cabos estaoa mesma distancia deP, os modulos dos dois campose o mesmo; as componentes segundoy anulam-se e as componentessegundox somam-se para produzir um campo resultante na direccao do versori

B =2kmI

(x2 + a2)1/2cos θ i +

2kmI(x2 + a2)1/2

cos θ i

B =4kmIax2 + a2

2. (a) Em serie a capacidade equivalente sera (em pF)

Cs =(

11, 5

+1

2, 2+

13

)−1

= 0, 6875

e em paralelo,Cp = 1, 5 + 2, 2 + 3 = 6, 7

(b) Nos condensadores em serie a cargae a mesma em todos eles e iguala carga que armazenaria ocondensador equivalente

Q1 = Q2 = Q3 = Ceq∆V = (0, 6875pF)(6V) = 4, 125pC

quando ligados em paralelo, a diferenca de potencial em cada um dos condensadores sera 6 V, eas cargas obtidas sao:

Q1 = (1, 5pF)(6V) = 9pCQ2 = (2, 2pF)(6V) = 13, 2pCQ3 = (3pF)(6V) = 18pC

(c) Em paralelo, ja dissemos na alınea anterior que a diferenca de potenciale de 6 V em cada conden-sador. Quando ligados em serie, a partir da carga obtida na alınea anterior calculamos as diferencasde potencial

∆V1 =4, 125pC1, 5pF

= 2, 75V

∆V2 =4, 125pC2, 2pF

= 1, 875V

∆V3 =4, 125pC

3pF= 1, 375V

pode-se conferir que a soma das tres da 6 V.

7

3. A potencia maxima que cada resistencia pode dissipar implica uma corrente maxima:

I =(P

R

)1/2

= 13, 36mA

A corrente em nenhuma das resistencias podera ultrapassar esse valor. No entanto, a corrente em ca-da uma das resistencias identicas ligadas em paralelo sera sempre metade da corrente na terceira re-sistencia. Consequentemente, a situacao de maxima potencia dissipada atinge-se quando a corrente nasresistencias em paralelo for 6,68 mA, enquanto que a corrente na terceira resistencia tera o seu valormaximo. Uma diminuicao da corrente a metade do seu valor maximo implica a diminuicao da potenciaa 1/4 do seu valor maximo; a potencia total dissipadae

Pt = (0, 125 + 0, 125 + 0, 5)W = 0, 75W

4. A unica possibilidade para que a resultante de dois vectores seja nula,e que os vectores estejam sobrea mesma linha de accao e com sentidos opostos. Como o sinal das duas cargase o mesmo, a terceiracarga tera que estar necessariamente entre as outras duas e sobre o segmento que as une. Sed1 e d2

forem as distancias de cada uma das cargas ate a terceira, a igualdade dos modulos das forcas implica

3kqQd2

1

=2kqQd2

2

=⇒ d1

d2=(

32

)1/2

como as 3 cargas estao sobre a mesma recta,d1 + d2 = d e substituindo obtemos

d1 = (3−√

6)d d2 = (√

6− 2)d

para calcular a terceira carga (Q) primeiro observamos que devera ter sinal oposto aq para que as forcassobre2q se anulem; igualando os modulos das forcas sobre2q, temos:

2kq|Q|d2

2

=6kq2

d2=⇒ Q = −6q(5− 2

√6)

5. (a) Devido a simetria esferica do problema, o campo electrico devera ser radial, e a lei de Gaussconduz a um modulo do campo igual a:

E =kQir2

ondeQi e a carga total dentro de uma esfera gaussiana de raior. Ser ≥ R, Qi = Q; no casor ≤ R, a distribuicao uniforme implica uma carga volumica

ρ =3Q

4πR3

e uma carga interna

Qi =43πr3ρ = Q

(r

R

)3

assim, o modulo do campo electrico sera

E =

kQ

R3r r ≤ R

kQ

r2r ≥ R

(b) Ser ≤ R, o potencial electrico sera

V =∫ ∞r

E dr =∫ R

r

kQ

R3r dr +

∫ ∞R

kQ

r2dr =

kQ

2R

[3−

(r

R

)2]

8

(c) A energia volumica electrostatica num pontoe igual a metade do produto entre a carga volumica eo potencial nesse ponto. Usando os valores deρ (fora da esferae nula) e deV ja calculados dentroda esfera,

u =3kQ2

16πR4

[3−

(r

R

)2]

(d) A energia electrostatica total obtem-se integrandou dentro da esfera. Como existe simetria esferica,o integral de volume na esfera sera

U = 4π∫ R

0ur2 dr =

3kQ2

5R

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Docentes: Jaime Villate e Ines FreitasDuracao: 2 horasCom consulta de formulario. Pode responder a lapis e em qualquer ordem.

1. (3 valores) Represente as linhas de campo dos camposF = r eG = k× r, onder e o vector posicao.Demonstre que em qualquer ponto a divergencia deF e igual a3 e o rotacional deG e igual a2 k.

2. (4 valores) Dois condensadores de10 µF e 20 µF sao ligados em serie a uma fonte de 1200 V. Calculea carga em cada condensador. A fontee logo desligada, ligando entre si os terminais dos condensa-dores que estavam em contacto com a fonte. Calcule a diferenca de potencial e carga final em cadacondensador.

3. (5 valores) No interior do cırculo a tracejado na figura, existe um campo de inducao magnetica apontan-do para dentro do papel e com modulo igual a0,6 e−t/15 (unidades SI,t = tempo). Calcule o moduloe direccao do campo electrico induzido dentro do anel condutor de raior = 9 cm.

r

4. (4 valores) Quando tres resistencias identicas sao ligadas em paralelo a uma fonte de tensao, a potenciatotal dissipadae 7, 8 W. Qual sera a potencia dissipada quando as tres resistencias forem ligadas emseriea mesma fonte?

5. (4 valores) Um fio cilındrico de cobre, de raioa, conduz uma correnteI. A corrente esta distribuıda deforma nao-uniforme, comJ = Ar3, onder e a distancia ate o eixo do fio eA uma constante. Calcule ocampo de inducao magneticaB no interior e no exterior do fio, usando a lei de Ampere.

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1. As linhas de campo deF apontam na direccao radial e, portanto, o desenho das linhas de campoe:

x y

z

Em qualquer ponto, o campoG e perpendicular ao versork e ao versor radial; assim,G tem a mesmadireccao e sentido que o versoreθ e as linhas de campo sao circunferencias paralelas ao planoxy, comcentro no eixo dosz:

x y

z

A divergencia deF e:

∇ · (x i + y j + z k) =∂x

∂x+∂y

∂y+∂z

∂z= 3

Em funcao das coordenadas cartesianas, o campoG e

G = k× (x i + y j + z k) = x j− y i

e o seu rotacionale igual a∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z−y x 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −∂x∂z

i− ∂y

∂zj +

∂x

∂xk +

∂y

∂yk = 2 k

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2. A cargae igual nos dois condensadores, por estarem em serie, ee iguala carga no condensador equiva-lente

Q = Ceq∆V

Ceq =10 · 2010 + 20

µF =203µF =⇒ Q = 8 mC

Apos a fonte ter sido desligada e os condensadores ligados entre si, a diferenca de potencial nos doiscondensadores sera igual e, portanto, a carga em cada um sera directamente proporcionalas suas capa-cidades:

Q2 = 2Q1

ondeQ1 eQ2 sao as cargas nos condensadores de10 µF e20 µF, respectivamente. Por conservacao dacarga, sabemos tambem que

Q1 +Q2 = 3Q1 = 8 mC

assim, as cargas finais saoQ1 = 8/3 mC eQ2 = 16/3 mC.

3. Como o campo de inducao magneticae uniforme e perpendicular ao plano do anel condutor, o fluxoatraves deste sera:

Φ =∫ ∫

B dA = BA = 0,6πr2 e−t/15

e a fem induzidae igual a

E = −dΦdt

=πr2

25e−t/15

esta fem induzidae igual ao integral de linha do campo electrico induzido, ao longo do anel. Como ocampo induzido tem modulo constante e segue a direccao tangente ao anel, o seu integral de linha aolongo do anel sera

E = 2πrEi

comparando as duas equacoes anteriores, obtemos o modulo do campo electrico induzido

Ei =r

50e−t/15 = 0, 0018 e−t/15

A a sua direccao, como ja foi dito, e tangente ao anel. Para encontrar o sentido do campo electricoinduzido, observamos que como o modulo deB diminui, a derivada do campoB aponta para fora dafolha de papel. Segundo a lei de Lenz, o campo magnetico induzido apontara para dentro da folha depapel, o que implica uma corrente e um campo electrico induzido no sentido horario.

4. A resistencia equivalente a tres resistencias iguais, ligadas em paralelo,e igual a um terco de cada umadas resistencias. E a resistencia equivalente quando as tres resistencias sao ligadas em seriee tres vezesmaior que a resistencia de cada uma delas. Assim, a resistencia equivalentee 9 vezes maior no caso dasresistencias estarem ligadas em serie. Como a potencia dissipada numa resistenciae igual a

P =∆V 2

R

e a diferenca de potenciale constante (a fonte de tensaoe a mesma), a potencia dissipadae inversamenteproporcionala resistencia e, portanto, a potencia dissipada nas resistencias ligadas em serie sera 9 vezesmenor que o valor inicial de7, 8 W

P =7, 89

W = 0,8667 W

5. Se escolhermos o eixo dosz sobre o eixo do cilindro (no sentido da corrente), e como a densidadede corrente depende unicamente da distancia ao eixo, existe simetria cilındrica e as linhas de inducaomagnetica serao circunferencias paralelas ao cilindro e com centro no eixo dosz (ver desenho das linhas

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do campoG no problema 1). O integral de linha do campoB, ao longo de uma linha de inducao de raior e ∮

CB · dr = B

∫ds = 2πrB

Usando a lei de Ampere, obtemos ∮C

B · dr = 4πkmIC .

Comparando as duas equacoes concluımos que:

B =2kmIC

r.

Ser for menor que o raio do cilindro, a corrente atraves de C sera:

IC =∫ ∫

J dA = A

∫ 2π

0

∫ r

0r4 dr dθ =

25πAr5

Ser for maior que o raio do cilindro, o integral deJ e no intervalo0 ≤ r ≤ a e a correntee igual a

IC =25πAa5

Assim, o campo sera

B =

4kmπAa

5

5rr ≥ a

4kmπAr4

5r < a

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Docentes: Jaime Villate e Ines FreitasDuracao: 2 horasPode responder a lapis e em qualquer ordem. Com consulta do formulario.

1. (4 valores) O fio da figura transporta uma correnteI = 5 A e encontra-se dentro de um campo deinducao magneticaB = 125 G, uniforme e para dentro da folha de papel. Calcule a forca magneticatotal sobre o arco PQ de raior = 3 cm.

r

IP Q

B

2. (4 valores) Uma esfera metalica isolada, de1 m de raio tem uma carga inicial de5× 10−9 C. A esferae ligada a outra esfera condutora isolada, de30 cm de raio, inicialmente descarregada, por meio de umfio condutor. Calcule a carga em cada esfera, no estado de equilıbrio, desprezando a carga armazenadano fio e admitindo que as esferas estao bastante afastadas entre si.

3. (3 valores) Explique porque os camposE eB de uma onda electromagnetica plana, que se propaga novazio na direccao do eixo dosy, nao podem depender dex ou dez.

4. (5 valores) Uma espira condutora rectangular, paralela ao planoyz, desloca-se com velocidade uniformev = 3 j (m/s) dentro de uma regiao onde existe um campo de inducao magnetica (unidades SI):

Bx = (6− y) By = Bz = 0

Calcule afeminduzida na espira, em funcao do tempot, a partir do instantet = 0 em que a espira seencontra na posicao da figura.

x y

z

20 cm

30 cm

3 m/s

5. (4 valores) Calcule o campo electrico devidoa distribuicao de carga volumica (unidades SI):

ρ(r, θ, z) =

ar , r ≤ b, −∞ < z <∞0 , r > b, −∞ < z <∞

onde(r, θ, z) sao as coordenadas cilındricas, ea e b sao constantes.

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1. A forca totale dada pelo integral

F =∫ Q

PI×B ds

Num ponto qualquer do arco, a correntee tangente ao arco e podemos definir os eixos da seguinteforma:

rx

yI

P Q

assim, a correntee no sentido oposto do versoreθ

I = −IeθB = 6−B k

I×B = IBerds = −rdθ

F = −rIB∫ 0

πerdθ

O versor radial depende doanguloθ:

er = cos θ i + sin θ j

=⇒ F = rIB

(− sin θ i + cos θ j

)0

π= 2rIB j = 0, 0375 j (T)

2. A carga inicialQ0 redistribui-se entre as duas esferas, ficando estas com cargas finaisQ1 eQ2. Porconservacao da carga, sabemos que

Q0 = Q1 +Q2

ligando as duas esferas com o fio condutor, o potencial nelas sera identico (V1 = V2). Como o potencialna superfıcie de uma esferae igual akQ/r, obtemos a seguinte equacao:

kQ1

r1=kQ2

r2=⇒ Q1 =

r1

r2Q2

substituindo na equacao anterior, obtemos

Q2 =r2

r1 + r2Q0 = 1, 15 · 10−9 C

e a carga na outra esferae

Q1 =r1

r1 + r2Q0 = 3, 846 · 10−9 C

3. Os campos de qualquer onda electromagnetica no vazio sao necessariamente perpendiculares entre si eperpendicularesa velocidade de propagacao. Assim, num ponto P podemos definir os eixosx e y nasdireccoes deB e deE, respectivamente

B = B i E = E k

alem disso, sabemos tambem queE = cB. Usando a primeira e terceira equacoes de Maxwell:

∇ ·E = 0 ∇ ·B = 0

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obtemos∂E

∂z= 0

∂B

∂x= 0

e substituindo a relacaoE = cB, obtemos

∂B

∂z= 0

∂E

∂x= 0

Como as derivadas parciais dos campos em ordem ax e z sao nulas, os campos nao dependem dex oudez no ponto P. Se a onda for plana, a velocidade em qualquer outro ponto sera na mesma direccao e oargumento anterior tambem sera valido.

4. Num instantet > 0, a espira estara localizada na posicao (unidades SI):

3t ≤ y ≤ 3t+ 0, 2z0 ≤ z ≤ z0 + 0, 3

O fluxo atraves da espirae igual a

Φ =∫ 3t+0,2

3t

∫ z0+0,3

z0(6− y)dz dy

= 0, 3

(6y − y2

2

)3t+0,2

3t

= 0, 36 + 0, 15[9t2 − (3t+ 0, 2)2]

A feminduzidae:dΦdt

= 2, 7t− 0, 9(3t+ 0, 2) = −0, 18

No instantet = 0, o fluxo magnetico e no sentido do versori e diminui. Assim, o aumento do fluxoe no sentido oposto ai e a lei de Lenz implica que o sentido dafem induzida seja anti-horario, vistodesde o lado esquerdo. Em qualquer instantet > 0, a fem induzidae 0, 18 V, no sentido anti-horariovisto desde a esquerda.

5. Como a carga volumica nao depende deθ nem dez, existe simetria cilındrica e o campo sera na direccaoradial. Qualquer cilindro com eixo sobre o eixo dosz e uma superfıcie gaussiana. Aplicando a lei deGauss obtemos o modulo do campo electrico:

E =4πkqiA

ondeqi e a carga dentro do cilindro gaussiano eA e aarea onde existe fluxo, que neste casoe a superfıciecurva do cilindro de raior e comprimentoL

A = 2πrL

portanto, o modulo do campo electricoe

E =2kqirL

Para calcular a carga internae preciso considerar dois casos:

1. Pontos onder ≤ b (cilindro gaussiano com raio menor queb)

qi =∫ L

0

∫ 2π

0

∫ r

0ar(r dr dθ dz) =

23πaLr3

e o modulo do campoe

E =43πkar2

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2. Pontos onder ≥ b (cilindro gaussiano com raio maior queb) .

qi =∫ L

0

∫ 2π

0

∫ b

0ar(r dr dθ dz) =

23πaLb3

e o modulo do campoe

E =4πkab3

3r

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Docentes: Jaime Villate e Ana Paula BarbosaDuracao: 2 horas.Pode responder em qualquer ordem e a lapis. Com consulta do formulario.

1. (3 valores) Considere uma onda electromagnetica plana, polarizada linearmente na direccao do eixo dosx, que se propaga na direccao positiva do eixo dos y. A sua frequenciae de 12 MHz e a sua amplitudeeEo = 0, 008 V/m; (a) calcule o perıodo e o comprimento de onda (b) escreva uma expressao paraE(t)e paraB(t).

2. (3 valores) A diferenca de potencial entre os terminais de uma bateriae 4, 5 V quando a bateriaepercorrida por uma corrente de 3 A, na direccao do terminal negativo para o positivo. Quando a correntee de 2 A, na direccao oposta, a diferenca de potencial aumenta ate 12 V. (a) Calcule a resistencia internada bateria; (b) quale a f.e.m. da bateria?

3. (4 valores) Calcula-se em geral a capacidade de um condensador plano desprezando os efeitos dasbordas, istoe, supondo o campo interno uniforme e o campo externo nulo. Quando se consideram osefeitos de bordas, o valor exacto da capacidadee superior ou inferior a este valor aproximado? (justifiqueclaramente a sua resposta).

4. (4 valores) Uma barra metalica de comprimentol = 9 cm desloca-se com velocidade uniformev = 18cm/s, dentro de um campo magnetico uniformeB = 3, 5 G, perpendiculara barra (ver figura). Calculea diferenca de potencialVa − Vb.

vB

a

b

5. (6 valores) Calcule o campo electrico produzido pela distribuicao de carga (em unidades SI)

ρ(r) =

0, 05r2

e−3r 0 ≤ r ≤ 0, 1

0 0, 1 < r

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1. 1. O perıodoe o inverso da frequencia:

P =1

12 · 106Hz= 8, 33 · 10−8 s

E o comprimento de onda obtem-se a partir da frequencia e da velocidade da luz

λ =c

f=

3 · 108

12 · 106m = 25 m

2. A ondae harmonica, ja que a sua frequencia esta bem definida. Para uma onda harmonica, propagando-se na direccao positiva do eixo dos y, o campo electrico tem a forma:

E = Eo cos(ky − ωt+ δ)

k =2πλ

= 0, 2513 m−1

ω = 2πf = 75, 40 MHz

ondeδ e uma constante de fase. A direccao do campoe a direccao de polarizacao:

E = 0, 008 cos(0, 2513 y − 75, 40 · 106t+ δ) i

(unidades SI). O campo magnetico tem a direccao do produto vectorial entre a direccao de propagacao( j) e a direccao do campo electrico (i nos pontos onde a funcao co-seno for positiva), ou seja adireccao−k. O seu moduloe igual ao modulo do campo electrico dividido porc:

B = − 0, 0083 · 108

cos(0, 2513 y − 75, 40 · 106t+ δ) k

B = −2, 67 · 10−11 cos(0, 2513 y − 75, 40 · 106t+ δ) k

2. 1. No primeiro caso temos o seguinte diagrama de circuito

r ε

3 A

onder e a resistencia interna eE a f.e.m. A diferenca de potencial entre os terminais da bateriae

∆V = E − 3r = 4, 5 V

2. No segundo caso:

r ε

2 A

a diferenca de potencial entre os terminais da bateriae agora

∆V = E + 2r = 12V

(no circuito repare que o sinal da diferenca de potencial na f.e.m. e na resistencia internae omesmo). Resolvendo as duas equacoes anteriores, encontramos os valores da f.e.m. e da resistenciainterna:

5r = 12− 4, 5 =⇒ r = 1, 5Ω

E = 3r + 4, 5 = 9V

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3. Quando ignoramos os efeitos das bordas, admitimos que o campo electrico no condensadore constante,a densidade superficial de carga (σo) constante, e usando a lei de Gauss obtemos queE = σo/εo. Adiferenca de potencial entre as armadurase iguala area sob a curva do campo electrico:

x

E

σo/∈o

d

∆V

em quex e a distancia ao longo de uma linha de campo. A situacao real, considerando efeitos das bordas,apresenta duas diferencas; por um lado, a medida quex aumenta, o campo diminui atex = d/2 e voltaa aumentar, ja que as linhas de campo afastam-se e voltam a juntarem-se. Por outro lado, a densidadesuperficial de carga ja naoe constante; acumulam-se mais cargas nas bordas e menos no centro. Existeainda uma linha de campo perpendicularas armaduras (no centro) e ao longo dela o campo sera naforma seguinte:

x

E

σo/∈o

d

∆V

Consequentemente, a diferenca de potencial diminui. A capacidadee dada por

C =Q

∆V

a carga obviamentee constante (estamos ao olhar ao mesmo sistema numa forma mais realista) e por-tanto a capacidadee maior quando consideramos os efeitos das bordas.

4. Os electroes de conducao vao sentir uma forca magnetica para baixo (regra da mao direita) de modulo

Fm = evB

Quando a barra atingir o equilıbrio electrostatico, existira um campo electrico para baixo, o qual produzuma forca electrica para cima, sobre os electroes de conducao, igual e opostaa forca magnetica

Fe = eE = evB =⇒ E = vB

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Como a forca magnetica sobre cada electraoe a mesma em qualquer ponto na barra, o campo electricodevera ser constante e a diferenca de potencial sera

Va − Vb = Edab = vBdab = (0, 18)(0, 09)(3, 5 · 10−4) V

Va − Vb = 5.67 · 10−6 V

5. A distribuicao de carga tem simetria esferica ja que so depende da distanciaa origem (r). Assim, pode-mos aplicar a lei de Gauss para calcular o campo electrico, ja que qualquer esfera com centro na origemsera uma superfıcie Gaussiana. O fluxo a traves das esferas Gaussianase

φ = 4πr2E = 4πkqi =⇒ E =kqir2

ondeqi e a carga no interior da esfera de raior, a qual calcula-se por integracao da densidade de cargadentro do volume da esfera. Temos dois casos: quandor e menor que0, 1

qi = 4π∫ r

0ρ r2dr = 4π(0, 05)

∫ r

0e−3rdr = 0, 2094(1− e−3r)

E = 1, 88 · 109 1− e−3r

r2

Quandor e maior ou igual a0, 1 temos

qi = 4π∫ r

0ρr2dr = 4π(0, 05)

∫ 0,1

0e−3rdr = 0, 2094(1− e−0,3)

E =4, 89 · 108

r2

Nos dois casos o campoe na direccao radial.

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Docentes: Jaime Villate e Ana Paula BarbosaDuracao: 2 horas.Pode responder em qualquer ordem e a lapis. O formulario encontra-se no outro lado desta folha.

1. O campo electrico numa regiao do espacoe igual a (unidades SI)

E = 4xy i + (2x2 + 8yz3) j + 12y2z2 k

1. (2 valores) Demonstre que o campoE e conservativo.

2. (3 valores) Calcule o potencial electrostatico (definaV = 0 na origem).

3. (4 valores) Calcule a carga total dentro do cubo:0 ≤ x ≤ 1 cm, 2 cm ≤ y ≤ 3 cm e 2 cm ≤ z ≤3 cm.

2. (4 valores) A figura representa o corte transversal dum cilindro solido, muito comprido, de raioa = 9cm, que tem uma cavidade cilındrica de raiob = 3 cm, como se mostra na figura. No cilindro flui umacorrente de densidade uniforme,J = 21 A/m2. Calcule o campo magneticoB no pontoP .

z

y

P

3. (3 valores) As correntes nos tres fios na figura saoI1 = 3 A, I2 = 3 A e I3 = 7 A. Desenhe as linhasde campo magnetico do sistema.

I3

I1

I2

4. (4 valores) Se duas resistencias forem ligadas em paralelo,

1. a resistencia equivalentee superiora mais forte, intermedia entre a maior e a mais pequena ouinferior a mais fraca?

2. qual delase atravessada pela corrente mais intensa?

3. nos terminais de qual a diferenca de potenciale maior?

4. em quale dissipada maior potencia na forma de calor?

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1. 1. Para demonstrar que o campoe conservativo, basta demonstrar que asderivadas cruzadasdas trescomponentes do campo sao iguais:

∂Ex∂y

= 4x =∂Ey∂x

∂Ex∂z

= 0 =∂Ez∂x

∂Ey∂z

= 24yz2 =∂Ez∂y

2. O potencial no ponto(x, y, z) e igual a menos o integral de linha desde a origem (onde arbitramosV = 0) ate o ponto:

V (x, y, z) = −∫ x

0Ex(x, 0, 0) dx−

∫ y

0Ey(x, y, 0) dy −

∫ z

0Ez(x, y, z) dz

= −∫ x

00 dx− 2x2

∫ y

0dy − 12y2

∫ z

0z2 dz

= −2yx2 − 4y2z3

3. A densidade de carga pode ser calculada a partir do campo electrico usando a forma diferencial dalei de Gauss

ρ = εo∇ ·E = εo

(∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

)= εo

(4y + 8z3 + 24y2z

)e a carga dentro do cubo obtem-se integrando a densidade de carga dentro do cubo

q = ε0

∫ 0,03

0,02

∫ 0,03

0,02

∫ 0,01

0

(4y + 8z3 + 24y2z

)dxdy dz

=1

4πk

[2 · 10−4(0, 032 − 0, 022) + 2 · 10−4(0, 034 − 0, 024)

+4 · 10−2(0, 033 − 0, 023)(0, 032 − 0, 022)]

= 8, 89 · 10−19 C

(carga de aproximadamente 6 protoes!).

2. A corrente no cilindro pode ser obtida por sobreposicao de uma corrente uniforme num cilindro de raioa, comJ = 21A/m2, mais outra corrente uniforme num cilindro de raiob, comJ = −21A/m2. Ocampo magnetico no pontoP calcula-se usando a lei de Ampere (a lei de Biot-Savart nao pode serusada por ser valida unicamente para fios unidimensionais). As linhas de campo produzidas por cadacilindro sao cırculos concentricos com o respectivo cilindro e raio iguala distancia entre o centro e opontoP ; assim para o cilindro de raiob o raio da linha de campo que passa porP e zero, e portantoa corrente internaIc e tambem nula e o campoe zero. O campo total sera so o campo produzido pelocilindro de raioa a uma distanciab desde o centro:∫

CB · dr = 4π kmIc

2π bB = 4πkm(πb2J)

B = 2π bkmJ = 0, 396 · 10−6 T

a direccao do campo obtem-se usando a regra da mao direita e segundo o desenho sera a direccao doversork.

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3. Perto de cada fio, o campo vai ser aproximadamente igual ao campo produzido pelo respectivo fio, eportanto as linhas de campo serao cırculos orientados segundo a regra da mao direita:

a corrente totale (7 - 3 - 3) A = 1 A, para dentro da folha; vistos de longe, os tres fios vao parecer umso fio com corrente de 1 A para dentro, cujas linhas de campo correspondem a cırculos orientados nosentido horario:

finalmente, observamos regioes onde a direccao do campo sofre uma inversao, onde deverao neces-sariamente existir pontos de campo nulo, ou seja pontos onde as linhas de campoaparentementesecruzam:

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4. 1. O inverso da resistencia equivalentee

1R

=1R1

+1R2

como1/R1 e1/R2 sao numeros positivos, temos que

1R>

1R1

1R>

1R2

e como as resistencias sao numeros positivos

R < R1 R < R2

a resistencia equivalentee menor que a resistencia mais fraca (menor que as duas resistencias).

2. A diferenca de potencial de duas resistencias em paraleloe a mesma pela propria definicao deresistencias em paralelo. Usando a lei de Ohm temos que

∆V = I1R1 = I2R2

e concluımos que a resistencia menor devera ser atravessada pela corrente maior, para que o produtoIR seja constante.

3. Como ja foi dito na alınea anterior, a diferenca de potenciale a mesma nas duas resistencias.

4. A potencia dissipada em cada resistenciae

Pi = ∆V Ii =∆V 2

Ri

como a diferenca de potenciale a mesma nas duas resistencias, a resistencia que dissipa maiorpotencia sera a menor das duas.

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Docentes: Jaime Villate e Ana Paula BarbosaDuracao: 2 horas.Pode responder em qualquer ordem e a lapis. O formulario encontra-se no outro lado desta folha.

1. (4 valores) No circuito que aparece na figura, a leitura do amperımetro e a mesma quando os doisinterruptores estao abertos e quando os dois estao fechados. Calcule a resistenciaR.

100 ΩA

R

300 Ω

1,5 V

50 Ω

2. (4 valores) Um condutor esferico oco tem raio internoa e externob. Uma carga pontual positivaqesta no centro da esfera e o condutor esta descarregado. Calcule o potencialV (r) em todos os pontos,admitindo queV = 0 emr =∞, e desenhe o grafico deV (r).

3. (5 valores) Um fio condutor fino tem uma densidade linear de carga uniformeλ e esta encurvado for-mando um arco circular que subtende umangulo2θo, conforme mostra a figura. Mostre que o campoelectrico no pontoO tem moduloE = (2kλ sin θo)/R.

R

O

θo

4. (4 valores) Uma espira quadrada de cobre, com 4 cm de lado encontra-se sobre a superfıcie horizontalde uma mesa. Um electroıman esta colocado por cima da mesa, com o seu polo norte um pouco acimae a esquerda da espira, de maneira que o campo magneticoe aproximadamente uniforme e aponta parabaixo atraves da espira, formando umangulo de 30 com a vertical. Calcule afemmedia induzida naespira a medida que o campo magnetico varia desde zero ate o seu valor final de 0.5 T, em 200 ms. Qualsera a direccao da corrente induzida?

5. (3 valores) Defina: onda plana, onda polarizada e onda harmonica.

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exames de electromagnetismo - quarkquark.fe.up.pt/electromagnetismo/eq202exms_2.1.pdf · exames de...

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