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DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE

Prof. Airton Nabarrete

Aula 3: Parâmetros dinâmicos e Resposta Forçada

EST - 56

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DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO AMORTECIMENTO

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0 < < 10 < < 1 > 1 > 1

= 1 = 1

Respostas do deslocamento x(t) incluindo amortecimento

Determinação de Amortecimento

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Decremento Logarítmico

x tAetx dtn cos

t0 1 2 3

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5 x1

x2

Td

2

1lnx

x

2

1

2ln

1

2

x

x

dnT

Tt

t

Teee

edn

dnn

n

lnlnd

n

2

ddTt

dt

TtAe

tAedn

n

cos

cosln

224

Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3

4

5

6

7

8

Decremento Logarítmico

21 2 nnd

Se é pequeno 2,00

Então, e21

2

2

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Decremento Logarítmico

ex

x

2

1Do decremento logarítmico:

Para “n” períodos: n

n

eeeeex

x

1

1

nx

x

n

1

1ln

1

1ln1

nx

x

n

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Exercício: “Bungee Jumper”

Dados:

•Plataforma localizada a 40 m de altura

• Cabo elástico de comprimento 7 m

• Propriedades do cabo elástico: k = 130 N/m , c = 18 Ns/m

• Massa do indivíduo de até 120 kg

a) A altura da plataforma é segura se o indivíduo saltar amarrado ao cabo elástico?

b) Quanto tempo se passará até o indivíduo oscilar com amplitudes de 0,5 m?

a) A altura da plataforma é segura se o indivíduo saltar amarrado ao cabo elástico?

b) Quanto tempo se passará até o indivíduo oscilar com amplitudes de 0,5 m?

Perguntas:

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-12,0

-9,0

-6,0

-3,0

0,0

3,0

6,0

9,0

12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

Tempo (s)D

eslo

cam

ento

x(t

) (m

)

Exercício: “Bungee Jumper”

Solução 1: Traçando o gráfico “Deslocamento Vertical x Tempo”

sTa

62

2)(

4

Txt

Tmáx

Resposta item a) e item b)

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Exercício: “Bungee Jumper”

Solução 2: Analítica

0 xxmáx

ddt

dt

n tsenAetAe nn cos0

21cosarctgt

t

tsend

d

n

d

d

máxxxt

dddn tsenAtA cos

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Exercício: “Bungee Jumper”

(cont.)

2,02

5,01

1

mx

xx

n

máx

1

1ln1

2nx

x

n

5,0ln

2

1 maxxn

dTnxtt max

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Exercício: “Bungee Jumper”

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

0 20 40 60 80 100

Tempo

Am

plit

ud

e

Amplitude = 0,5 m( 44 s )

Exponencial Declinante: Redução das amplitudes com o tempo

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EXCITAÇÃO HARMÔNICA

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Caso Real de Resposta Vibratória

Resposta total Transiente(sair da inércia)

Estado Estacionário

+=

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Caso Real de Resposta Vibratória

Resposta permanente Estado Estacionário=

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Excitação Harmônica

Fazendo:

Solução de estado estacionário:

)cos()(0 txktFk

Fx ee

)cos(2 22 txxxx ennn

)cos()( tCtxp

)cos()sin(2)cos( 222 txttC ennn

tFtxktxctxm cos)()()( 0

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Excitação Harmônica

aplicando relações trigonométricas

)sin()cos()cos()sin()sin(

)sin()sin()cos()cos()cos(

ttt

ttt

)cos()sin(2)cos( 222 txttC ennn

)sin(0)sin()cos(2)sin(

)cos()cos()sin(2)cos(22

222

ttC

txtC

nn

ennn

sistema de 2 equações para solução de C e

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Excitação Harmônica

define-se a relação

)cos()( txHtx ep

222 21

1)(

ex

CH

21

2 arctg

n

fator de ganho ângulo de fase

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Excitação Harmônica

define-se a relação

)cos()( txHtx ep

222 21

1)(

ex

CH

21

2 arctg

n

fator de ganho ângulo de fase

H()

222 21

1)(

H

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Excitação Harmônica

define-se a relação

)cos()( txHtx ep

222 21

1)(

ex

CH

21

2 arctg

n

fator de ganho ângulo de fase

H()

222 21

1)(

H

21

2 arctg

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)cos(22 txxx enn

Ressonância Mecânica

22

2 )cos()cos()(

n

nen

ttxtx

22

2 )cos()cos()(

n

nen

ttxtx

caso mais crítico ocorre sem o amortecimento

0

0)cos()cos(lim Caso

22

n

nn

ttn

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)sin(

)cos()cos(lim

22tt

dd

ttdd

n

n

n

)sin(

)cos()cos(lim

22tt

dd

ttdd

n

n

n

)sin(2

)( Caso ttx

tx nen

n )sin(2

)( Caso ttx

tx nen

n

Ressonância Mecânica

solução para o deslocamento Ressonância

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 1 2 3

Tempo [s]

Des

loca

men

to [m

m]

Excitação Resposta

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EXCITAÇÃO CONSTANTE

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Solução transiente: exemplo de sistema amortecido

equação de equilíbrio

solução homogênea

tsinCtCetx ddt

hn

21 cos)(

solução particularAtxp )(

condições iniciais0)0( ;0)0( xx

c

k

mF0

Excitação Constante

0)()()()( FtFtxktxctxm

k

FAtxtxtx nnnn

0222 )()(2)(

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solução geral:

aplicando as condições iniciais:

0 )0( 1 CAx

0)0( 21 CCx dn

tsintAeAtx dd

tn

21cos )(

tsinCtCeAtx ddtn

21 cos)(

ACC

AC

d

n

212

1

1

Excitação Constante

Solução transiente: exemplo de sistema amortecido

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0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00.20.6

exemplo: sistema amortecido com excitação constante

valores de

nt

x(t)A

Excitação Constante

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MOVIMENTO DE BASE

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Transmissão e Controle da Vibração

Base Móvel:

Se a base sofrer uma oscilação harmônica:

A solução para x é:

Resposta de Amplificação:

Resposta em fase:

)cos()( tDtxb

bxmxkxcxm

)cos()( 1 tEtx

2

11 1

2tan

222

22

21

H

D

E

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Excitação por Base Móvel

Fator de Amplificação é multiplicado pelo quadrado da razão de freqüências.

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Excitação por Base Móvel

Resposta de Amplificação para Acelerômetros:

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TRANSMISSÃO DE VIBRAÇÃO

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Transmissão da Vibração

Força transmitida para a base:

Ou ainda,

Transmissibilidade:

xxmxkxctF nnT22)(

222

22

21

2121

H

xk

tFT

e

Tr

22 cossin2)( ttCktFT

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Transmissão da Vibração

Transmissibilidade:

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Pode-se determinar o amortecimento da seguinte forma :

Toma-se as razões de

freqüências que

correspondam ao

valor do pico ( Hmax )

multiplicado por .

Técnicas Experimentais

2/2

212

Hmax

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Exemplo

No modelo matemático de um veículo de massa igual a 1800 kg foi feito um teste de suspensão, adicionando-se 45 kg sobre a carroceria e provocando uma deflexão das molas em 0,203 cm. Para os amortecimento, verificou-se ser 40% do crítico.

O veículo trafega sobre um viaduto com oscilações na pista que se parecem com uma função senoidal com comprimento de onda de 12,2 m e uma amplitude de 3,05 cm.

A partir destes dados, deseja-se obter a resposta em deslocamento para o veículo quando o mesmo tem velocidade de cruzeiro de 72,4 km/h.

Y0

m

ck

y(t)

x(t)Velocidade