geometria analitica equacao da reta

MÁRCIA CONTEMÁRCIA CONTE

BOA BOA AULAAULA

Espírito críticoNão basta olhar para ver, não basta ouvir para

escutar.A compreensão dos assuntos implica uma

permanente atitude crítica sobre aquilo que se ouve ou vê.

Esta atitude crítica exerce-se relacionando aquilo que está a ser estudado com aquilo que já

conhecemos e com as opiniões que temos sobre o assunto.

Usamos este espírito crítico para descobrir aquilo que é (ou parece ser) o essencial dos assuntos

estudados, as idéias principais, o "sumo da questão".

Uma boa forma de espevitar o espírito crítico é, de vez em quando, estudar um assunto antes de ele

ser abordado pelo professor na aula.

Aula de RevisãoGeometria Analítica

1 – Equação da Reta

2 – Área do triângulo

3 – ponto Médio

4 – Distância entre dois pontos

Professora Márcia Conte

PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO

Podemos escrever assimÁrea do triângulo:

EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:

A x + B y + C = 0A x + B y + C = 0

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r

se am + bn + c 0, P não é um ponto da reta r

EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0

Onde o ponto P (1,2) r

Já o ponto P (2, -5) r

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:

y = mx + b onde,

m = coeficiente angular da reta

b = coeficiente linear da reta (ponto de

intersecção com o eixo Oy.

O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.

m = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

Coeficiente angular = 1

Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.

Coeficiente angular = 3

Coeficiente angular =2

ÂNGULO: 71.56º

ÂNGULO: 63.43º

ÂNGULO: 45º

PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima

0 1 1

2 5 1

X Y 1

1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0

–4x +2y –2 = 0 2y = 4x +2

Encontrar os coeficientes angular e linear da reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Ou y = 2x +1

RESOLUÇÃO:

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Veja o gráfico a seguir.

EXEMPLO:

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.

1

5

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).

O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...

Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.                                                                      

Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.

02. Calcule a área da região hachurada:

Sendo A (1, 2) B (3, 4) C (5, 3) e D (4, 1), os vértices tomados no sentido horário ou anti-

horário, temos: A= A1 + A2                              

A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | = 3

A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | = 3

A2 = ½ | 4.3.1 + 1.1.1 +1. 5.2 –1.3.1 – 2.1.4 – 1.5.1 |= 3,5

A = 6,5 u.a

OBS: as duas | | (barras), indica que o valor está em módulo e sempre será positivo

EXERCÍCIO 3

Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?

Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

EXERCÍCIO 04: Vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

SOLUÇÃOSOLUÇÃO DADA QUESTÃOQUESTÃO

EXERCÍCIO 05: Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).

EXERCÍCIO 05: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

EXERCÍCIO 6

As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )

EXERCÍCIO 7

Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é

a) y = 3x – 1 b) y + 2x – 5 = 0c) y = 5 – 4x d) 2x + y + 5 = 0e) y = 5x + 24

X Y 1

1 -7 1

-4 3 1

-7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0

– 10x – 5y – 25 = 0

Dividindo toda a equação por (-5):

2x + y + 5 = 0

= 0

Questão 07 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)?

XA YA 1

1/2 XB YB 1

XC YC 1

-2 -1 1

½ 1 3 1

4 1 1

A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] |

A = |1/2 [ – 18 ] |

A = | – 9 | A = 9 u.a. (unidade de área)

observe que a área é sempre positiva e que as duas barrinhas | | significam módulo

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

Determinar no eixo das ordenadas o ponto P, cuja distância até o ponto A (4; 1) seja igual a 5 unidades.

QUESTÃO 08QUESTÃO 08

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistantes dos pontos A (6,5) e B (-2,3).

QUESTÃO 08QUESTÃO 08

Y = 4

x = 6

y = 2x – 3

y = – 3x + 6

OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos gráficos