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GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA Professor: Robério Bacelar
EXERCÍCIOS DE SALA
1. Sejam a ≤ b ≤ c as notas das demais provas de Benedito. Para que a mediana das notas dele seja a maior possível, é necessário que as seis notas dadas sejam as menores possíveis. Portanto, as notas a, b e c são maiores ou iguais a 9. Assim, colocando em ordem crescente todas as notas, obtemos 3 – 5 – 5 – 7 – 8 – 9 – a – b – c. A mediana das notas é 8, independente dos valores de a, b e c. Desse modo, Benedito foi aprovado com mediana 8.
Resposta correta: E 2. Deve-se demitir 10 funcionários que ganham R$ 3 600,00, pois, assim, a mediana será a média do 10º termo com o 11º termo, ou seja,
10 11x + x 2 000 + 3 600 5 600Md = = = = 2 800.
2 2 2
Resposta correta: C 3. O equilíbrio hidrostático dos cinco primeiros reservatórios ocorrerá na altura média entre eles. Portanto:
m8 7 6 5 4
h 6 dm5
+ + + += =
Como o equilíbrio dos cinco primeiros tubos ocorre a 6 dm da superfície plana e a válvula de ligação entre o tubo E e o tubo F também está a 6 dm, não ocorrerá passagem de água entre estes dois tubos. Logo, o nível de água nos reservatórios de A a E é de 6 dm e o nível no reservatório F é de 3 dm. Segue a ilustração da situação final.
Resposta correta: A
4. Temos:
I. Média: 7 6 2 7 1 9x = = 6,5
7 2 1⋅ + ⋅ + ⋅
+ +
II. Variância:
2 2 27 (6 6,5) 2 (7 6,5) 1 (9 6,5)V =
7 2 17 (0,25) 2 (0,25) 1 (6,25)
V =7 2 1
1,75 0,5 6,25V = = 0,85
10
⋅ − + ⋅ − + ⋅ −+ +
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
+ +
Resposta correta: E
5. Idades em P.A. de razão 2: x, (x + 2), (x + 4), (x + 6) e (x +8)
Média: x x 2 x 4 x 6 x 8x x 4
5+ + + + + + + +
= = + .
Variância: 2 2 2 2 2[(x 4) x] [(x 4) (x 2)] [(x 4) (x 4)] [(x 4) (x 6)] [(x 4) (x 8)]
5+ − + + − + + + − − + + − + + + − +
V = 16 4 0 4 165
+ + + +
V = 8 Desvio-padrão: DP = V 8= = 2 2
Resposta correta: C
2
GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA
6. ( )( )
m 2n 1m 2n m 2n m2 2
2 2n
1 1 a3 3 3 3 3 a
bb3
−− −= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Resposta correta: D
7.
( )3x x
3x x
2 7 2 6 0
2 7 2 6 0
− ⋅ + =
− ⋅ + =
Fazendo x2 t,=
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
3
3
2
2
t 7t 6 0
t t 6t 6 0
t t 1 6 t 1 0
t t 1 t 1 6 t 1 0
t 1 t t 1 6 0
t 1 t t 6 0
− + =
− − + =
⋅ − − ⋅ − =
⋅ − ⋅ + − ⋅ − =
− ⋅ ⋅ + − =
− ⋅ + − =
De t 1 0,− = t 1=
De 2t t 6 0,+ − = t = 2 ou t = –3 Como 2x = t e t = 1 ou t = 2 ou t = –3,
x x 02 1 2 2 x 0= ⇒ = ⇒ =
Ou x2 2 x 1= ⇒ =
Ou x2 3= − (não há solução real)
Assim, as raízes inteiras da equação 3x x2 7 2 6 0− ⋅ + = são x 0= e x 1.=
Resposta correta: A
8. Para 0,0625 (0)t 0 V(0) 1 000 2 1 000⋅= ⇒ = ⋅ = . Logo, para t ? V(t) 2 000= ⇒ =
0,0625 (t)
0,0625 (t)
2 000 1 000 2
2 20,0625 (t) 1t 16
⋅
⋅
⇒ = ⋅
⇒ =⇒ ⋅ =⇒ =
Resposta correta: C
9. Determinando m0 = c ⋅ a-k.0 ⇔ m0 = c. Como em 10 anos m0 foi reduzido para 0,2 m0 , temos: 10k
0 0
10k
0,2 m m a1
a5
−
−
⋅ = ⋅
=
Em 10 anos: M(20) = ( )2220.k 10k
0 0 0 01
m a m a m 0,04 m .5
− − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
Correspondendo a 4% de m0.
Resposta correta: C
10. Há dois pontos marcados no gráfico. Identificando-os com os valores assumidos na função, temos:
( ) ( )0
77 7 7 7 17
I. (0) 960 960 a b a 1 960 a 96075 75 1 1
II. (7) 7,5 7,5 960 b 960 b b b 2 b10 10 960 22
−
= ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =
= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = = ⇒ = ⇒ =⋅
f
f
Calculando f(4), temos: 41 1
(4) 960 960 602 16
= ⋅ = ⋅ =
f .
Resposta correta: D
GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA
3
11.
( )
( )
b b b b b b
b b b
nlog m n log log m log n log n log m
mn
log m n log 2log nm
⋅ + = + + − ⋅ + =
Como blog n y,= ( )b bn
log m n log 2y.m
⋅ + =
Resposta correta: B
12. ( )4 41
n 4n n n n nn n n n n n n n4
1x log log n log log n log log n log log n x 4
n−
= = = = = ⇒ = −
Resposta correta: B 13. Do enunciado, temos:
24,1 24
logE 11,8 1,5 8,2logE 24,1
E 10 10
= + ⋅=
= ≅
Resposta correta: D
14. Tem-se que
R
0 0R
0
A AR log 10
A A
A A 10 .
= ⇔ =
⇔ = ⋅
Logo, se AJ e AA são, respectivamente, as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina, então
9
J 07
A 0
A A 10100.
A A 10⋅
= =⋅
Resposta correta: D 15. Desde que x é um número inteiro positivo, temos:
2 2
22
log ( x 32) 4 x 32 16
x 16.x 4.
− + = ⇔ − + =
⇔ =⇒ =
Resposta correta: B
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. + + + ⋅ + + + ⋅= = = =
23 19 16 13 3 12 10 9 2Média 13,7; Moda 13; Mediana 13.
10
Resposta correta: A 2. Inicialmente, colocaremos todas as alturas na ordem crescente (ROL)
1,48/1,52/1,60/1,61/1,62/1,64/1,66/1,66/1,66/1,68/1,69 Altura modal (Mo) ⇒ a altura que “mais aparece” é 1,66. Logo, Mo = 1,66
Altura mediana (Me) ⇒ a altura que “aparece no centro do ROL” é 1,64. Logo, Me = 1,64
Altura média (Md) ⇒ Md = alturas11
⇒
4
GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA
4020
2=
d1,48 1,52 1,60 1,61 1,62 1,64 3 1,66 1,68 1,69
M11
+ + + + + + ⋅ + +=
d d17,82
M M 1,62 *11
= ⇒ =
(*) Obs.: Uma simples observação das opções após o cálculo da altura modal (1,66) e da altura mediana (1,64) desobriga o candidato ao cálculo da altura média (1,62) por exclusão.
Resposta correta: E
3.
Jogador Número mínimo de pontos por partida
Número máximo de pontos por partida Variação
A 9 31 22 B 15 25 10 C 18 23 5 D 16 24 8 E 17 24 7
O jogador de maior regularidade é o C.
Resposta correta: C
4. A média de gols por jogo de cada jogador é mostrada na tabela.
Atacante 1º Jogo Teste 2º Jogo Teste 3º Jogo Teste 4º Jogo Teste 5º Jogo Teste Média de gols/Jogo A 2 2 0 3 2 1,8 B 3 2 3 1 2 2,2 C 4 3 2 1 1 2,2 D 0 3 0 4 3 2 E 3 3 3 2 1 2,4
O desvio médio absoluto de cada jogador é
( )
( )
( )
( )
( )
2 1,8 2 1,8 0 1,8 3 1,8 2 1,8DMA A 0,72
53 2,2 2 2,2 3 2,2 1 2,2 2 2,2
DMA B 0,645
4 2,2 3 2,2 2 2,2 1 2,2 1 2,2DMA C 1,04
50 2 3 2 0 2 4 2 3 2
DMA D 1,65
3 2,4 3 2,4 3 2,4 2 2,4 1 2,4DMA E 0,72
5
− + − + − + − + −= =
− + − + − + − + −= =
− + − + − + − + −= =
− + − + − + − + −= =
− + − + − + − + −= =
Os três jogadores com mais gols foram B, com 11 gols, C, com 11 gols, e E, com 12 gols. Porém, os três que apresentam menor desvio médio absoluto em relação à sua média são A, B e E. De acordo com o exposto no enunciado, esses devem ser os convocados para a Copa.
Resposta correta: C
5.
I. Mediana = 2,5 = (20º termo) + (21º termo)
2
II. ROL:
y6 34 x z0 ; ... ; 0 ; 1 ; ... ; 1 ; 2 ; ... ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; ... ; 4 ; 5 ; ... ; 5
Mediana = 2,5 = 2 3
2+
III. 4 + 6 + x = 20 ⇒ x = 10 IV. 4 + 6 + 10 + 3 + y + z = 40 ⇒ y + z = 17
20º termo
GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA
5
V. Média = 4 0 6 1 10 2 3 3 y 4 z 5
2,640
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=
6 + 20 + 9 + 4y + 5z = 104 4y + 5z = 69 Daí,
4y 5z 69
z 1 e y 16y z 17
+ == =⇒ + =
Logo, a moda é 4 (aparece 16 vezes).
Resposta correta: D
6. Completando o quadrado, vem x 2 x x 2
x
x 2
x 0
(5 ) 26 5 25 0 (5 13) 144
5 13 12
5 5 ou
5 5
x 2 ou x 0
− ⋅ + = ⇔ − =
⇔ − = ±
=⇔
=
⇔ = = ⋅
Portanto, a resposta é 0 + 2 = 2.
Resposta correta: C
7. Pode-se reescrever a equação abaixo, utilizando as propriedades da potenciação:
x x xx
3 4
x x x x
x x x x
3 3 33 56
3 3 381 3 27 3 3 3 3 4 536
81 8181 3 27 3 3 3 3 4 536
− + − =
⋅ − ⋅ + ⋅ −=
⋅ − ⋅ + ⋅ − =
Fazendo x3 y,= pode-se escrever: 81y 27y 3y y 4 53656y 4 536y 81
− + − ==
=
Como x3 y,= tem-se:
xy 3 81
x 4= ==
Resposta correta: D
8. De acordo com as informações, temos:
0,2 (10)
2 000 0
vv(10) v 2 v 2 12 000 12 000 v (4) (12 000) 48 000.4v(10) 12 000
− ⋅− = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =
=
Resposta correta: A
9. A referida função seria uma exponencial decrescente do tipo f(x) = k ⋅ x1 .
2
Resposta correta: E
10. O número de unidades produzidas cresce segundo uma progressão geométrica de razão q = 1 + 0,5 = 1,5 e primeiro termo igual a 8 000. Portanto, a equação que determina o número de unidades produzidas, P em função de t, para t ≥ 1, é P(t) = 8 000 ⋅ (1,5)t–1.
Resposta correta: E
11. A população inicial é ( ) 3 0p 0 40 2 40.⋅= ⋅ = A população após 20 minutos 1h
3
será 1331p 40 2 80
3
⋅ = ⋅ =
. Portanto, a população duplicará.
Resposta correta: D 12. Como crescem 7,5 m após o plantio e a altura inicial é de 0,5 m, a altura no momento do corte será de 8 m.
6
GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA
I. ( ) ( )t 1 0 1 1y t a y 0 a 0,5 a a 2.− − −= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
II. t 1 3 t 18 2 2 2 t 4.− −= ⇒ = ⇒ = Resposta correta: B
13.
( )
0 00
tt t t
10
0,5
10
20 000N N 1 000
1 19 (0,5)20 000 4 3
N 5 1 000 1 (0,5)191 19 (0,5) 1 19 (0,5)
3log3 log3 log19 log19 log319t log t
519 log 5 1 1 log 5log10
= ⇒ =+ ⋅
= = ⋅ ⇒ = ⇒ =+ ⋅ + ⋅
− − = = = ⇒ = − −
Resposta correta: E
14.
t100
t100
t100
t100
40 36 10
4010
36
1010
9
10log10 log
9t
log10 log10 log9100
t1 1 0,95
100t 100 0,05t 5horas
= ⋅
=
=
=
⋅ = −
⋅ = −
= ⋅=
Resposta correta: A
15. Número inicial no visor = x
( )
( )( ) ( )10
210 10
TeclaB 5x
Tecla A log 5x
100TeclaB 5 log 5x 10 log 5x 2 5x 10 x 20
5
=
=
= ⋅ = → = → = → = =
Resposta correta: A
16. Lembrando que ca alog b c log b,= ⋅ com 1 a 0≠ > e b 0,> temos
2t2t
2t
1 QQ 15 10
10 15Q
log10 log15
Q2t log
151 Q
t log2 15
15t log .
Q
−
−
= ⋅ ⇔ =
⇔ =
⇔ − =
⇔ = − ⋅
⇔ =
Resposta correta: A
GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA
7
17. Seja a função p : R+ → R, dada por p(t) = p0 ⋅ (1,02)t, com p(t) sendo a população do país após t anos. Logo, como queremos calcular t para o qual se tem p(t) = 2 ⋅ p0, vem
t t0 02 p p (1,02) log(1,02) log2
t log(1,02) log2log2
tlog1,020,301
t0,0086
t 35.
⋅ = ⋅ ⇔ =⇔ ⋅ =
⇔ =
⇒ ≅
⇔ =
Resposta correta: E
18. A temperatura, T, da liga após t horas é dada por 2tT 3 000 (0,99) .= ⋅ Por conseguinte, o tempo necessário para que a temperatura da liga atinja 30 °C é tal que
2t22t
2
2t22
2
3 11 13 000 (0,99) 30
10010
3 11log log10
102t (2 log3 log11 2 log10) 2t (2 0,477 1,041 2) 1
1t
0,005t 200.
−
⋅⋅ = ⇔ =
⋅⇔ =
⇔ ⋅ ⋅ + − ⋅ = −⇒ ⋅ ⋅ + − ≅ −
⇒ ≅
⇒ ≅
Resposta correta: D
19. Tem-se que
0 03M2
03M2
0
2 E E 3MM log log
3 E E 2
E10
E
E E 10 .
= ⇔ =
⇔ =
⇔ = ⋅
Daí, como M1 = 9 e M2 = 7, vem 272
1 0E E 10= ⋅ e 212
2 0E E 10 .= ⋅ Portanto, segue que 272
1 021 62 2
1 03
1 2
E E 10
E E 10 10
E 10 E .
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
Resposta correta: C 20.
00 0 0
3 3
11,19
2 E 2 E ER log 8,9 log log 13,35 logE logE 13,35
3 E 3 E E
logE 13,35 log(7 10 ) logE 13,35 log7 log10 logE 13,35 0,84 3log10
logE 13,35 0,84 3 logE 11,19 E 10 .
− −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔
⇔ = + ⋅ ⇔ = + + ⇔ = + − ⇔
⇔ = + − ⇔ = ⇔ =
Resposta correta: B
OSG 4585/19 - FAB-Rev.: EVE
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