espaÇos vetoriais propriedades: seja 1. o vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre...

ESPAÇOS VETORIAISESPAÇOS VETORIAISPROPRIEDADES: Seja PROPRIEDADES: Seja

1. O vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre único.

2. Para cada vetor , existe um único vetor tal que , em outras palavras, o vetor oposto de u é único.

3. .

4. .

5. .

, , V

uVu V 0u u

, .0 0, 0 R V, 0. 0, 0u u V R

. 0 0 0,u ou u e u R V

ESPAÇOS VETORIAISESPAÇOS VETORIAIS

PROPRIEDADES: Seja PROPRIEDADES: Seja

6. .

7. .

8. .

9. Se u, v, w V e u + v = u + (w) então v = w.

, , V

, u u u u R V -

,vu)vu(Vv,u,R sendo que u – v = u + (-v).

, , u u u u R V

SUBESPAÇO VETORIALSUBESPAÇO VETORIALDefinição: Um subconjunto não vazio é dito

subespaço vetorial real de (espaço vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real considerando as operações restritas a ele.

é um subespaço vetorial real se e somente se:Teorema: Um subconjunto não vazio

, W V WV

, W V W

0W,u v u v W W

,u u W R W

i)

ii)

iii)

Exemplo e Contra-Exemplo Exemplo e Contra-Exemplo de Subespaços Vetoriaisde Subespaços Vetoriais

1. .

2.

3, , 0 ,a b c a b c W V R

20 1 2 1 2 0( ) 1 ,p t a a x a x a a a W

Exercício:Exercício: Verifique se o subconjunto é um subespaço vetorial real.

11 1211 22 12 21

21 22

0 ,a a

a a a aa a

W 2V M R

W é subespaço vetorial

W não é subespaço vetorial