espaÇos vetoriais propriedades: seja 1. o vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre...
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ESPAÇOS VETORIAISESPAÇOS VETORIAISPROPRIEDADES: Seja PROPRIEDADES: Seja
1. O vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre único.
2. Para cada vetor , existe um único vetor tal que , em outras palavras, o vetor oposto de u é único.
3. .
4. .
5. .
, , V
uVu V 0u u
, .0 0, 0 R V, 0. 0, 0u u V R
. 0 0 0,u ou u e u R V
ESPAÇOS VETORIAISESPAÇOS VETORIAIS
PROPRIEDADES: Seja PROPRIEDADES: Seja
6. .
7. .
8. .
9. Se u, v, w V e u + v = u + (w) então v = w.
, , V
, u u u u R V -
,vu)vu(Vv,u,R sendo que u – v = u + (-v).
, , u u u u R V
SUBESPAÇO VETORIALSUBESPAÇO VETORIALDefinição: Um subconjunto não vazio é dito
subespaço vetorial real de (espaço vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real considerando as operações restritas a ele.
é um subespaço vetorial real se e somente se:Teorema: Um subconjunto não vazio
, W V WV
, W V W
0W,u v u v W W
,u u W R W
i)
ii)
iii)
Exemplo e Contra-Exemplo Exemplo e Contra-Exemplo de Subespaços Vetoriaisde Subespaços Vetoriais
1. .
2.
3, , 0 ,a b c a b c W V R
20 1 2 1 2 0( ) 1 ,p t a a x a x a a a W
Exercício:Exercício: Verifique se o subconjunto é um subespaço vetorial real.
11 1211 22 12 21
21 22
0 ,a a
a a a aa a
W 2V M R
W é subespaço vetorial
W não é subespaço vetorial