escoamento em leitos porosos equação de ergun lei de darcy porosidade, diâmetro equivalente...

Escoamento em leitos porososEscoamento em leitos porosos

• Equação de Ergun

• Lei de Darcy • Porosidade, Diâmetro equivalente

• Leitos fixos e fluidizados

• Equação de Blake-Kozeny• Equação de Burke-Plummer

TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS ITA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I

Aula 20: 01/06/2012

1

1. Lei de Darcy1. Lei de Darcy

Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida.

L

PKv leitof

)(

v = velocidade média do fluido no leito poroso

K = constante que depende das propriedades do fluído e do leito poroso

(-P) = queda de pressão através do leito

L = percurso realizado no leito poroso 2

3

L

PBv

fleitof

)(

A equação de Darcy também pode ser escrita da seguinte maneira:

B = coeficiente de permeabilidade, que depende apenas das propriedades físicas do leito poroso

μf = viscosidade do fluído.

2. Equação de Poiseuille2. Equação de PoiseuilleExplica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo.

2

32

D

v

L

P

L

PDv

)(

32

2 Colocando a equação em termos da

velocidade média do fluido no tubo:

Onde:∆p é a o gradiente de pressão (N/m2)v é a velocidade do fluido no tubo (m/s) D é o diâmetro do tubo (m)L é o comprimento do tubo (m)µ é a viscosidade do fluido (Pa.s)

4

L

PBv

tortuosocanal

)(

Comparando as equações:

L

PDv tubono

)(

32

2

22

D32

DB k

Considerando o “canal tortuoso” como um tubo, relaciona-se as duas equações e obtém-se uma expressão para “B” :

Darcy modificadaPoiseuille

k = f(, Dp, Φp, etc.) Logo, é necessário uma equação “mais robusta”. 5

Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano em um leito de partículas sólidas rígidas?

Precisamos de uma equação para descrever como varia a velocidade do fluido com a pressão aplicada, a distância percorrida (altura do leito), a viscosidade e a densidade do fluido, o diâmetro das partículas e sua esfericidade, a porosidade do leito.

3. Dedução de um modelo para descrever a passagem de um fluido em um leito particulado

6

Primeiro para leitos fixos e depois em leitos móveis(ou fluidizados)

),,,,,)(

( pptortuosocanal D

L

Pfv

Considerações para as equações que serão desenvolvidas a seguir:

• Fluido Newtoniano

• As partículas se distribuem de forma homogênea, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos, uniformes e em paralelo

• Um leito de percurso curto (L pequeno)

7

v0

3.1. Porosidade

Lembrando que em um leito poroso existem espaços vazios (zonas sem partículas).

leitodototalVolume

vazioVolumeε

A porosidade () é definida comoa razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito.

8

v0

No caso do fluxo através do leito de partículas:

Vazio Sólido

Fração

Volume

Massa

ε ε)(1

sb )ρ(SLε)(1

9

)(SLε)(1 b

fb )ρ(SLε

)(SLε b

leitodototalVolume

vazioVolume

s = densidade da partícula sólida

f = densidade do fluido

Vm

v0

Equação pra correlacionar a porosidade com as densidades do leito, das partículas e do fluido:

btotal SLV

total

total

V

mleito

fs )1(leito

fbsb )(SLε)(SLε)1(m total

)(leito sfs sf

s

leito

massa total = massa de sólidos + massa de fluido

Substituindo os termos, tem-se:

(densidade aparente)

[1]

10

3.2. Volumes no leito

leitodototalvolumebSL

sólidasparticulaspelasocupadovolume bSL)1(

vazios) de (volume fluxoo paradisponívelvolumebSL

Volume total do

leito

Leito particulado

Conjunto de partículas

Volume = soma dos volumes unitários

Volume total de vazios

Volume total de sólidos

11

v0

A vazão mássica do fluido fora do leito é igual a vazão dentro do leito:

SvSv

QQ

mm

leitoff

leitofforaf

leitofora

0

Balanço de massa

3.3. Relação entre “velocidade superficial” (fora do leito) do fluido e velocidade média do fluido no leito

0vvleito 5,0

1Quando o leito não tem partículas:

02 vvleito Se a porosidade for 50%:

[2]Área de vazios

12

leitovv 0

v0

3.4. Diâmetro equivalenteComo não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica (pois tem-se um canal tortuoso), devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e de raio hidráulico, cuja definição é:

molhadoperimetro

fluxodeltransversaárea44 Heq RD

sólidas partículas as e fluido o entre atritodeárea

fluido do fluxooparadisponívelvolume4eqD

Multiplicando por (Lb/Lb) tem-se:

13

A área de atrito entre o fluido e as partículas sólida corresponde a área externa das partículas sólidas.

sb

beq aSL

SLD

14

sólidapartícula uma de volume

sólidapartícula uma deexterna área

partículas den

partículas deno

o

sa

s

eq aD

14

sólidas partículas as e fluido o entre atritodeárea

fluido do fluxooparadisponívelvolume4eqD

sólidasparticulaspelasocupadovolume bSL)1( vazios) de (volume fluxoparadisponívelvolumebSL

Sabemos que:

Se as é a área superficial por unidade de volume sólido:

Substituindo essas relações no “Deq” acima tem-se:

14

Área de atrito = volume ocupado pelas partículas sólidas x as

pp

ps DD

Da

6

63

2

Para partículas esféricas tem-se:

peq DD

16

4

s

eq aD

14

[3]

sólidodo volume

sólidodolsuperficia áreasa

15

v0

3.5. Leito particulado fixo

f

fleitocanaleqF vD

f

.

16

Re

16

^22

22

21

11

2

ˆ

2 g

E

g

vz

g

P

g

W

g

vz

g

P f

ff

2

.

^

2 leitocanaleq

Ff

f

vD

LfE

P

A perda de pressão no leito particuladoé obtida com o Balanço de Energia:

fcanaleq

fleito

f D

LvP

2.

32

Substituindo fF para fluido Newtoniano em regime laminar tem-se:

[5]

[4]

16

Substituindo [3] e [6] em [2], obtém-se:

L

PDv

fcanaleqleito

)(

32

1 2.

peq DD

16

4

L

PDv

f

p

)(

)1(72 2

32

0

3

2

2

172

p

of

D

LvP

fcanaleq

fleito

f D

LvP

2.

32

[6]

leitovv 0 [2] [3]

ou

[7]

[8]

Equações [7] e [8] válidas para partículas partículas

esféricas, fluido esféricas, fluido Newtoniano em Newtoniano em regime laminarregime laminar.

17

Regimes de escoamento

f

canaleqleitoff Dv

...

Re Número de Reynolds

Definição do regime do fluxo de fluido:Definição do regime do fluxo de fluido: Laminar quando Re < 10Laminar quando Re < 10

Turbulento quando Re > 100Turbulento quando Re > 100

f

fpvDRe

)1(6

4 0

Substituindo Deq [3] e vleito [2] em Re tem-se:

[9]

18

peq DD

16

4 leitovv 0

Os dados experimentais revelam que o valor da constante (72) em [8] geralmente é maior, como mostra a equação abaixo:

3

2

20 1150

pD

LvP

Equação de Blake-Kozeny; válida para <0,5 e Re<10

3

2

2

172

p

o

D

LvPDe [8]

3.5.1. Regime Laminar

19

2kfF

Re

k1Ff

Fat

or d

e F

anni

ng

Re

Laminar

Turbulento

20

Para o regime turbulento pode propor-se:

3

20 13

p

f

D

LvkP

Equação de Burke-Plummer (k=0,583)

3

20 175,1

p

f

D

LvP

kfF 3.5.2. Regime Turbulento

Agora, substituindo [2] e [3] em [4] tem-se:

peq DD

16

4

leitovv 0 [2][4]

2

.

^

2 leitocanaleq

Ff

f

vD

LfE

P

[3]

[10]

21

Somando os dois regimes (laminar de Blake-Kozeny e turbulento de

Burke-Plummer ), tem-se a equação geral de a equação geral de ErgunErgun que descreve a queda de pressão de um fluido deslocando-se em um leito poroso fixo:

Rearranjando tem-se:

75,1150

1

3

20

ReL

D

v

P p

f

3

20

3

2

2

0 175,11150

p

f

p

f

D

Lv

D

LvP [11]

[12]

22

3.6. Partículas não esféricas

A equação de Ergun [11] inclui a esfericidade quando as partículas não são esféricas. Para isso, o diâmetro da partícula é multiplicado pela esfericidade (phi):

3

20

3

2

22

0 175,11150

pp

f

pp

f

D

Lv

D

LvP [13]

23

4. Resposta ao fluxo superficial (velocidade v0 do fluido)

O fluido não possui uma força de arraste suficiente para se sobrepor a força

da gravidade e fazer com que as partículas se movimentem: Leito fixo.

Se o fluido tem alta força cinética, as forças de arraste e empuxo superam

a da gravidade e o leito se expande e se movimenta: Leito fluidizado.

Baixa velocidade

Alta Velocidade

P e o aumento da velocidade superficial v0

Enquanto se estabelece a fluidização o P cresce, depois se mantém constante.

Comprimento do leito quando aumenta v0

A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer. 24

5. FluidizaçãoA fluidização ocorre quando um fluxo ascendente de fluido escoa através de um leito de partículas e adquire velocidade suficiente para manter as partículas em suspensão, sem que sejam sem que sejam arrastadas junto com o arrastadas junto com o fluido.fluido. Sem fluxo Com fluxo

L1

L2

1

2

25

http://www.youtube.com/watch?v=e5u9oW-PSy0&feature=related

http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&NR=1&v=3_ILu2Ye8gQ

A fluidização é empregada

em:

• Secagem• Mistura • Revestimento de

partículas • Aglomeração de pós • Aquecimento e

resfriamento de sólidos• Congelamento• Torrefação de café• Pirólise

Alta mistura dos sólidos (homogeneização rápida) A área superficial das partículas sólidas fica

completamente disponível para transferência de calor e de massa

Vantagens da Fluidização:

26

OA: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; AB: O leito está iniciando a fluidização; BC: Com o aumento da velocidade, há uma queda leve da pressão

devido à mudança repentina da porosidade do leito;CD: O log(-∆P) varia linearmente com log(v) até o ponto D. D∞: Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo

fluído e perde-se a funcionalidade do sistema.

vmf = velocidade mínima de fluidização

va = velocidade de arraste

Leito fluidizado

Transporte pneumático

5.1. Etapas da fluidização

27

Leito fixo

Exemplo da aplicação de fluidização em resfriamento de sólidos

Entrada de sólidos quentes

Entrada de ar

Entrada de ar

Leito fluidizado

Água fria

Saída de ar

Saída de sólidos frios distribuidor

28http://www.youtube.com/watch?v=CGXr_GKhksE&feature=related

Água quente

5.2. Tipos de fluidização

(A) Fluidização particulada:

Ocorre quando a densidade das partículas é parecida com a do fluido e o diâmetro das partículas é pequeno.

Video sobre fluidização particulada:

http://www.youtube.com/watch?v=waohqAsKCxU&feature=related29

(B) Fluidização agregativa:

Ocorre quando as densidades das partículas e do fluído são muito diferentes ou quando o diâmetro das partículas é grande.

http://www.youtube.com/watch?v=NXJhjhQFBNk&NR=1

Video sobre fluidização agregativa:

30http://www.youtube.com/watch?v=8n78CDI3GoU&feature=related

Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade e da altura do leito. Essa relação é dada pela seguinte expressão:

Sem fluxo Com fluxo

L1

L2

1

2

)1()1( 2211 LSLS

5.3. Altura do leito poroso

volume de sólidos no leito fixo

volume de sólidos no leito

fluidizado

S S

[14]

31

)1(

)1(

2

1

1

2

L

L

5.4. Velocidade mínima de fluidização

Fg

Fp

O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente. Essa velocidade é definida como a velocidade mínima de fluidização (vmf).

Quando atinge-se vmf , a força da

pressão (Fp) e a de empuxo (Fe) se igualam a força do peso das partículas do leito (Fg).

Logo, Fp + Fe = Fg

Fe

http://www.youtube.com/watch?v=nGovDPNvSDI&feature=related32

Fg

Fp

gSLgmFg psólidos )1(

SPFp .Sabe-se que

Fazendo tem-se:

gL

Pfp )1)((

[15]

gSLgmFe fdeslocadofluido )1(

L

Fe

Fp + Fe = Fg

33

5.4.1. vmf para regime laminar

Para esse regime, a parte final da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à primeira, logo temos:

232

.)1(

)(

150

1Dpgv

f

fp

mf

mfpmf

2030232

2 )1(75,1

)1(150 v

Dpv

DpL

P

p

f

p

f

Rearranjando com a equação [15] tem-se:

[16]

34

Para esse regime, a parte inicial da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à segunda, logo temos:

2/1

3)(756,0

Dpgv mfp

f

fpmf

5.4.2. vmf para regime turbulento

[17]

2030232

2 )1(75,1

)1(150 v

Dpv

DpL

P

p

f

p

f

Rearranjando com a equação [15] tem-se:

35

Para determiná-la, usam-se as seguintes relações:

mfleito

sólidaspartículasdetotalmfleito

mfleito

mfvaziosmf V

VV

V

V

14

1. 3 mfp

Experimentalmente:

5.5. Porosidade mínima de fluidização

36

Exercícios de

Fluidização

37

Ex. 1: Um leito fluidizado possui 80 kg de partículas de diâmetro 60 µm ( = 0,8) e densidade 2500 kg/m3. O diâmetro do leito é 40 cm e a altura mínima de fluidização é 50 cm. O fluido ascendente é ar ( = 0,62 kg/m3), que flui em regime turbulento no leito. Calcule:

(a) A porosidade mínima de fluidização.(b) A perda de carga na altura mínima de fluidização.(c) A velocidade mínima de fluidização

(a) Volume de sólidos = 80kg / 2500 kg/m3 = 0,032 m3. Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=Volume/Área=0,032m3/0,1256m2=0,2548 mUsando [14] tem-se:

)1(5,0)01(2548,0)1()1( 22211 mmLSLS

No início da fluidização, o leito possui 49% de seu volume ocupado com ar e os 51% restantes com partículas sólidas

49,02

mfleito

sólidaspartículasdetotalmfleito

mfleito

mfvaziosmf V

VV

V

V

Também poderia ser resolvido por:

38

(b) gL

Pmffp

mf

)1)((

De [15] tem-se:

PaP 62468,9)49,01)(62,02550(50,0 Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito poroso será de 6,3kPa

(c) De [13] tem-se:

smvmf /_______

Quando o fluido atingir Vmf se iniciará a fluidização do leito.

39

3

2

3

2

22

175,11150

mfpp

mfmff

mfpp

mfmff

D

Lv

D

LvP

40

ff

pD

mfv

175,00 mfvv

f

fpvDRe

)1(6

4 0

?Re Tipo de escoamento Consistência?

Exercício 2: Velocidade mínima de fluidizaçãoPartículas sólidas possuindo diâmetro de 0,12mm, esfericidade de 0,88 e densidade de 1000kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,42. Com essas informações encontre:(a)A altura mínima de fluidização considerando a seção transversal do leito vazio de 0,30m2 e que o leito contém 300kg de sólidos.(b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima.(c)Encontre a velocidade mínima de fluidização

(a) Volume de sólidos = 300kg / 1000 kg/m3 = 0,3 m3

Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=0,3m3/0,3m2=1mUsando [14] tem-se:

mm

LLSLS 72,1)42,01(

)01(1)1()1( 22211

No início da

fluidização, o leito terá 1,72m

41

(b)g

L

Pmffp

mf

)1)((

De [15] tem-se:

PaP 97538,9)42,01)(37,21000(72,1

(c)

Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito será 9,7kPa

De [15](condições de mínima fluidização) em [13] (Ergun) tem-se:

3

2

3

2

22

175,111509753

mf

mf

pp

mfmff

mf

mf

pp

mfmff

D

Lv

D

LvPa

3

2

3

2

22

5

42,0

42,01

)00012,0(88,0

)72,1()37,2(75,1

42,0

42,01

)00012,0()88,0(

)72,1()10.84,1(1509753

mfmf vv

Pa

Resolvendo tem-se: vmf = 0,00504 m/s

Quando o fluido atingir 0,00504 m/s, a fluidização do leito será iniciada. 42

Exercício 3: Velocidade mínima de fluidização e expansão do leitoPartículas sólidas possuindo diâmetro de 0,10mm, esfericidade de 0,86 e densidade de 1200kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,43. O diâmetro do leito é de 0,60m e contém 350kg de sólidos. Com essas informações encontre:(a)A altura mínima de fluidização.(b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima.(c)Encontre a velocidade mínima de fluidização.(d)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima, estime a porosidade do leito.

Itens (a), (b) e (c) são resolvidos da mesma maneira que o exercício anterior. Respostas: (a) 1,81m; (b) 12120Pa; (c) 0,004374m/s. 43

(d) De [15] em [13] (Ergun) tem-se:

3

2

3

2

22

175,11150)1)((

pp

f

pp

ffp D

v

D

vg

3

2

3

2

22

5 1

)0001,0(86,0

)004374,0*4)(37,2(75,11

)0001,0()86,0(

)004374,0*4)(10.84,1(150)1)(37,21200(

g

Resolvendo tem-se: = 0,605

Quando o fluido atingir quatro vezes a velocidade mínima de fluidização, a porosidade do leito será de 0,605, ou seja, 60,5% do volume do leito ocupado com fluido e 39,5% do volume do leito ocupado com as partículas sólidas.

44

Exercício 4: Fluidização em um filtro de areiaPara limpar um filtro de areia, ele é fluidizado à condições mínimas utilizando água a 24ºC. As partículas arredondadas de areia possuem densidade de 2550 kg/m3 e um tamanho médio de 0,40mm. A areai possui as seguintes propriedades: esfericidade de 0,86 e porosidade mínima de fluidização de 0,42.(a)O diâmetro do leito é 0,40m e a altura desejada do leito para as condições mínimas de fluidização é 1,75m. Calcule a quantidade de sólidos necessários (massa de areia).(b)Encontre a queda de pressão nessas condições, e a velocidade mínima de fluidização.(c)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima de fluidização, estime a porosidade e altura do leito expandido.

(a) 325,08kg

(b) 15418Pa; 0,00096 m/s

(b) = 0,536; 2,16m

Respostas:

45