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Ensino Superior

3. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por

Lyxfyxyx

),(),( 00

),(lim

Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso

contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite

O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se

quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais

perto f(x,y) estará de L.

Lyxfou

Lyxf

yxyx

yyxx

o

o

o

),(lim

),(lim

),(),( 0

Limite de f(x,y)

Propriedades dos Limites

Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M 0.

1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L

2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L

3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M

4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M

5º)

6º) De maneira geral,

Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)

Lyxfyxf ),(lim),(lim

Calculando Limites

yzx

yzxxyxyzyzx

zyx

2233

122

275lim )1

106)1(22

)1(2.22.2.2)1(2.2.7)1.(2.2.5

2233

0

0

00

00lim )2

3333

)0,0(),(

yx

yxyx

0))((

lim22

)0,0(),(

yx

yxyxyxyx

Calculando Limites

yx

xyx

yx

yxyx

xyx

yx

yx

yx

2

00

22

43

3210

lim)3

lim)2

5

3lim)1

Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

Calculando Limites

Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

Calculando Limites

Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.

Exemplo da Regra dos Dois Caminhos

Mostrar que não existe.

Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação

22

22

limyx

yx

Regra dos Dois Caminhos

Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”).

(1º caminho)

(2º caminho) 0lim

10

0lim

22

22

0

22

22

00

yy

yy

x

x

xyx

yx Os limites são

diferentes, logo não há o limite.

y

x

z

2°caminho1°caminho

Continuidade de Funções de Várias Variáveis

O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias.

Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se

lim(x,y)(xo,yo)⃗ f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).

EXEMPLO:

Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)24

2

),(yx

yxyxf

Propriedades da Continuidade

• f(x,y) + g(x,y) também é contínua.

• f(x,y) . g(x,y) também é contínua.

• f(x,y) / g(x,y) também é contínua.

• u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.

Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então: