Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 2.4 – Juros Compostos

Amintas Paiva Afonso

Juros Compostos

Amintas Paiva Afonso

Matemática Básica IEngenharia Elétrica

Introdução – relembrando…

Juros Simples: Dado um capital (C), ele deverá render

juros (j) a uma taxa constante (i) por um determinado

tempo (t), gerando um montante (M). O juro produzido em

determinado momento não rende mais juros.

Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são

calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

Juros Compostos - Conceitos

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior, ou seja, os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

Assim sendo, no transcorrer de cada período, o que era “à priori” Montante relativo a um determinado período, passa a ser o Capital no período seguinte.

É o que popularmente chamamos de Juros sobre Juros.

Juros Compostos - Dedução

Lembrando a fórmula de juros simples: M = C * (1 + i * t)

Vamos calcular o montante acumulado a cada período Vamos calcular o montante acumulado a cada período (t = 1) no regime de juros compostos.(t = 1) no regime de juros compostos.

M1 = C (1 + i * t) = C (1 + i * 1) M1 = C (1 + i)

M2 = M1 (1 + i * t) = C (1 + i) * (1 + i * 1) M2 = C (1 + i)2

M3 = M2 (1 + i * t) = C (1 + i)2 * (1 + i * 1) M3 = C (1 + i)3

M4 = M3 (1 + i * t) = C (1 + i)3 * (1 + i * 1) M4 = C (1 + i)4

: :

: :

Mt = Mt (1 + i * t) = C (1 + i)t-1 * (1 + i * 1) Mt = C (1 + i)t

Juros Compostos - Fórmulas

M = C* (1+ i)tFÓRMULA DE

JUROS COMPOSTOS

ATENÇÃO !!!

1 - O período de capitalização deve ser compatibilizado com a taxa.

2 - A taxa é quem define o período da capitalização.

Exemplo : 5% ao mês em três meses (=15,76 %)

é diferente de 15 % ao trimestre

Juros Simples x Juros Compostos

Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros compostos de 4% ao mês durante 4 meses.

M = C * (1 + i )t

M = 25.000 * (1 + 0,04)4

M = 25.000 * 1,1699

M = 29.246,46

• Resposta: No regime de juros compostos, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.246,46

Juros Simples x Juros Compostos

Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros simples de 4% ao mês durante 4 meses.

M = C * (1 + i * t)

M = 25.000 (1 + 0,04 * 4)

M = 25.000 * 1,16

M = 29.000,00

• Resposta: No regime de juros simples, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.000,00

Juros Simples x Juros Compostos

CONCLUSÃO :

• O mesmo capital rendeu R$ 29.246,46 na capitalização composta e R$ 29.000,00 na capitalização simples.

• O mesmo capital tem maior remuneração nos juros compostos do que no juros simples, aplicado à mesma taxa, no mesmo período.

Juros Simples x Juros Compostos

Mês Saldo c/ juros simples Saldo c/ juros compostos Diferença0 25.000,00R$ 25.000,00R$ -R$ 1 25.500,00R$ 25.500,00R$ -R$ 2 26.000,00R$ 26.010,00R$ 10,00R$ 3 26.500,00R$ 26.530,20R$ 30,20R$ 4 27.000,00R$ 27.060,80R$ 60,80R$ 5 27.500,00R$ 27.602,02R$ 102,02R$ 6 28.000,00R$ 28.154,06R$ 154,06R$ 7 28.500,00R$ 28.717,14R$ 217,14R$ 8 29.000,00R$ 29.291,48R$ 291,48R$ 9 29.500,00R$ 29.877,31R$ 377,31R$ 10 30.000,00R$ 30.474,86R$ 474,86R$

Taxa de juros 2%Principal R$ 25.000,00

Juros Simples x Juros Compostos

Mês Saldo c/ juros simples Saldo c/ juros compostos Diferença0 25.000,00R$ 25.000,00R$ -R$ 1 26.250,00R$ 26.250,00R$ -R$ 2 27.500,00R$ 27.562,50R$ 62,50R$ 3 28.750,00R$ 28.940,63R$ 190,63R$ 4 30.000,00R$ 30.387,66R$ 387,66R$ 5 31.250,00R$ 31.907,04R$ 657,04R$ 6 32.500,00R$ 33.502,39R$ 1.002,39R$ 7 33.750,00R$ 35.177,51R$ 1.427,51R$ 8 35.000,00R$ 36.936,39R$ 1.936,39R$ 9 36.250,00R$ 38.783,21R$ 2.533,21R$ 10 37.500,00R$ 40.722,37R$ 3.222,37R$

Taxa de juros 5%Principal R$ 25.000,00

Juros Simples x Juros Compostos

Juros Simples X Juros Compostos

R$ -

R$ 25.000,00

R$ 50.000,00

R$ 75.000,00

R$ 100.000,00

R$ 125.000,00

R$ 150.000,00

R$ 175.000,00

R$ 200.000,00

R$ 225.000,00

R$ 250.000,00

R$ 275.000,00

R$ 300.000,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

meses

R$

Juros Simples Juros Compostos

Exercícios

1o Grupo – Dados C, t, i, achar M

Um capital de R$ 100.000,00 estará aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1 ano e meio. Determinar o valor do montante dessa aplicação.

1 ano e meio = 18 meses M = C * (1 + i)t

M = 100.000 * (1 + 0,05)18

M = 100.000 * 2,4066192M = 240.661,92

• Resposta: O montante é de R$ 240.661,92

Exercícios

2o Grupo – Dados M, t, i, achar C

A partir do montante de R$ 150.000,00, determinar o capital relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e taxa de juros compostos de 5% ao mês.

M = C * (1 + i )t

150.000 = C * (1 + 0,05)12

150.000 = C * 1,7958563C = 150.000 / 1,7958563 = 83.525,61

• Resposta: O valor do empréstimo foi de R$ 83.525,61

Exercícios

3o Grupo – Dados M, t, C, achar i

Conhecendo o montante R$ 172.000,00, o capital de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal composta relativa ao empréstimo.

1 ano = 12 meses

M = C * (1 + i )t

172.000 = 100.000 * (1 + i)12

172.000/100.000 = (1 + i)12

1,72 = (1 + i)12

= (1 + i)

1,0462 = 1 + i

i = 1,0462 - 1 => i = 0,0462

Resposta: A taxa de juros do empréstimo é de 4,62% a.m.