capítulo ii. introdução ao cálculo integral
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J. SEBASTIÃO E SILVA
2. 0 volume
Curso Complementar do Ensino Secundário
Edicão G EP o
LI SBOA
CAPrTULO 11
INTRODUÇAO AO CALCULO INTEGRAL
1 . O problema da primitivaçio. Como é sabido, o conceito
matemático de 'derivada' traduz, em abstracto, o conceito trsico de
'velocidade'. Quando se ·conhece a equação do movimento de um
ponto,
S=f(t),
que dá o espaço, s, percorrido pelo móvel, em função do tempo t,
contado a partir do instante inicial, a velocidade é obtida como
derivada do espaço em ordem ao tempo:
ds V= -= f'(t)
dt
Por exemplo, se a equação dos espaços é
s = 5t- 4,9 t2
203
J . BEBABTIAO E S l l.iVA
(com sem metros e tem segundos), a equação das velocidades será:
v = 5- 9,8 t
Se a equação dos espaços é da forma
s =a cose t (movimento vibratório simples)
a equação das velocidades será:
v = - a c.u sen c.u t , etc.
Consideremos, agora, o problema inverso:
Dada a equação das velocidades, v = f(t) , achar a equação do
movimento, s = F(t) .
Em abstracto, o problema põe-se nestes termos:
Dada uma função f, determinar uma função F, cuja derivada seja f,
isto é, tal que
DF= f
Uma tal função F chama-se primitiva de f (atendendo a que
se chama a derivada de F).
Ora, o problema assim posto (chamado 'problema da primitivsção)
nem sempre é possfvel e, quando possrvel, é sempre indeterminado.
Por exemplo, se for f(x) = cos x, uma primitiva de f será a
funçAo F0 tal que F0 (x) = sen x. Mas há outras primitivas de f; por
204
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
exemplo F 3(x) = sen x + 3 e, de um modo geral, toda a função F
tal que
F(x) = sen x + C
em que C é uma constante arbitrária, visto que a derivada de uma
constante é sempre zero e, portanto:
Dx(sen x +C)= cosx
Existe, pois, uma infinidade de primitivas de cos x. Mas estarão
todas inclurdas ·na expressão sen x+ C? Vamos ver que sim.
Com efeito, já se viu intuitivamente o seguinte ( Comp§ndío ds
Algebra, Cap. VIl I, p. 242, 111):
TEOREMA. Se uma função tem derivada nula em todos os
pontos de um intervalo, a função é constante nesse intervalo.
Daqui resulta o seguinte
COROLÁRIO. Se duas funções F e G têm derivadas finitas
num dado intervalo, então F-G é constante nesse intervalo.
Com efeito, se F e G admitem derivadas finitas iguais num dado
intervalo, teremos nesse intervalo DF-DG=O e, portanto, D(F-G)=O,
donde se deduz, aplicando o teorema, que F-G é constante no
referido intervalo.
Daqui se conclui a seguinte regra ·fundamental:
Se uma função f tem uma primitiva F 0 num dado intervalo,
205
J. ·8EBA8TIAO E B'ILV A
então f tem ai uma infinidade de primitivas, que são todas dadas
pela fórmula,
F= F0 +C
em que C é uma constante arbitrária.
Com efeito, seja F 0 uma primitiva de f . Então, se C é uma
constante, tem-se:
D(F0 +C) = DF0 + DC = DF0 =f
Reciprocamente, se F é também uma primitiva de f, a diferença
F- F 0 é uma constante C, segundo o corolário anterior, e portanto
F= F0 +C.
Assim, por exemplo, as primitivas da função cos x são todas
as funções dadas pela expressão sen x +C, onde C é uma cons
tante arbitrária.
Dum modo geral, se f tem primitiva, designaremos por Pf uma
primitiva de f escolhida arbitrariamente.
Ter-se-á, pois, por definição:
(1) DPf =f,
isto é:
A derivada de uma primitiva de f é f.
Mas podemos escrever apenas:
(2) PDf =f+ C,
206
OOMP!bNDIO DE MATEMATIOA
isto é:
Uma primitiva qualquer da derivada de f é igual a f mais uma constante (num intervalo em que f tenha derivada finita).
A fórmula ( 1 ) mostra que a operaç~o de primitivação (operação
plurfvoca) é inversa da operação de derivação à direita. Mas
não é inversa à esquerda, como indica a fórmula (2).
2. Primitivações imediatas. Para primitivar certas funções,
basta inverter algumas das regras de derivação que foram dadas
anteriormente. Por exemplo:
D sen x = cos x donde P cos x = sen x + C
D cos x = - sen x )) P sen x = - cos x + C
D x« + 1 = (ex:+ 1 ) xcx: xcx:+,
)) p xcx: = +C(«#= -1) «+1
1 1 O log x =- )) P - = log x + C (x > O)
X X
D ex= ex )) Pex=ex+C
ax D ax = ax log a )) Pax = +C
Ioga
1 1 O arcsen x =
Y1-x2 » p
Y1-x 2 =are sen x +C
1 1 O arctg x = )) p =are tg x +C
1 +x 2 1 +x 2
207
.: : .J:. · .8EBA:STIAO E 81LV'A -· .. ·
Note-se que o teorema das funções compostas permite reconhe
cer que ( 1)
1 D log lxl =
X
Portanto, uma .primitiva de 1/x será log lxl para x >O ou x <O.
Mais geralmente, se, em vez de x,· tivermos u = cp(x), sendo cp
uma função com derivada finita, podemos associar o teorema das
funções compostas às regras anteriores e organizar, assim, uma
lista de primitivas, chamadas primitivas imediatas:
( 1 ) Com efeito, se x > O tem-se I xl = x e recai -se na regra anterior. Se . . . 1 1 1
x <O tem-se lxl =- x e assim O log lxl =- • O x =-- • (-1) =-. ' X jxl X X X
208
OOMP11JND10 DE MATEMÁTICA
Em muitos casos, consegue-se dar à função f uma destas for
mas, por transformação simples:
EXEMPLOS:
1 1 (fórmula 2) P sen 3x = - P (3 sen 3x) = - - cos 3x + C
3 3
sen x (cos x)' (fórmula 4) P tg x = P = - P = - log lcos xl +C
COS X COS X
1 1 (fórmula 5) Pe 2x- 1 =- P(2e 2x- 1 ) =-e2x- 1 +C
2 2
1 (fórmula 3) P x2V1-x3=P (x 2 (1-x3)1 12)=-- P[ -3x2(1-x3)112)=
3
=-1
3
(1-x3) 3/2
3/2 =-
2 V (1-x 3 ) 3
9
1 4x 1 (3+2x 2)' (fórmula 4) P = - P = - P
X
3 + 2x 2 4 3 + 2x 2 4 3 + 2x 2
1 = 4 log (3+2x2) + C
OBSERVAÇ0ES:
I. Nestes exemplos aplicámos a fórmula
P(kf) = k(Pf) + C,
209 C M· 14 ·
J. 8EBASTIAO E SILVA
sendo k uma constante e f uma função que admite primitiva. Para
ver que a fórmula é verdadeira, basta derivar o 2. o membro.
11. Na primitivação imediata de radicais é sempre conveniente
escrever estes sob a forma de potência de expoente fraccionário,
como se fez no 3.0 exemplo anterior. Vejamos outro exemplo:
X 1 p = p [x{1- 3x2)-112) =- _ p [-6x(1- 3x2)-112)
Y1-3x 2 6
1 =-
(1-3x2)1'2 1 ----=- Y1-3x2 +C
6 1/2 3
Mas, repare-se que
1 1 1 v3 p = p = - p -----:;=:::::::::;::~===:.::
Y1-3x2 V1-(v3 • x) 2 V3 v1- (v'3 • x) 2
1 - V
3 are sen V3x + C
1 1 1 -P = P = ---=-- are tg V-ª- x +C
2 + 3x 2 [1 + (Y f x) 2] Y6 2
x2 x3 x3 Por sua vez, as funções V , etc.
1-x 2 ' V 2 + 3x 2 ' 2 + 3x 2
não têm primitiva imediata.
210
OOMPBNDI:O DE MATEMATJOA
EXERCfCIOS- I. Primitivar:
sen x X
V 4 - X 4 , V 1 + 3eX , 1 + 2 .COS X , 2 + 3X 4
(Comece por perguntar a si mesmo em cada caso: 'Será uma
potência? Será um arco-seno? Será um logaritmo? Será um arco
-tangente?')
11. Primitivar em ordem a x:
1 1 k (a i= 0), (a :#= 0), (k :#= O, ab >O)
a+ bx 2
X X kx (a '# 0), v=a 2===x2:;:- (a '# 0), (k '# O, ab #: O)
a+ bx 2
3. Regras elementares de primitivação. Das regras de
derivação da soma, do produto e da função composta, deduzem-se
regras correspondentes de primitivação:
a) Método de decomposição. Sejam f 1
, f 2, ••• , f0 , funções que
admitem primitiva num dado intervalo. Então a soma das funções
também admite primitiva no mesmo intervalo e tem-se:
Para o reconhecer, basta derivar o 2. o membro, aplicando a
211
J.- 8EBAB'PIAO 1i1 SILVA
regra de derivação de uma soma. Por outro lado, tem-se, como já
foi indicado atrás:
(2) P(kf) = k( Pf) + C
sendo k uma constante e f uma função com primitiva.
As fórmulas (1) e (2) habilitam, desde já, a primitivar qual
quer função inteira:
x2 xn P ( a0 + a 1 x + ... + a
0x0 ) = C + a0 x + a 1 - + .. . + a0 --2 n
Assim:
P (3- 2x) = C + 3x- x2
3 1 P {1 + 3x- x 4 ) =C+ x + - x 2 - - x 5 , etc.
2 5
Suponhamos, por exemplo, que se trata do seguinte pro
blema:
Determinar a equação do movimento rectillneo de um ponto, sabendo que a aceleração ·é constante ( 1 ).
( 1) ~ este o caso de um ponto material que cai verticalmente no vazio
de altura nlo muito grande.
112
OOMPSNDIO DB MATIDMATIOA
Como é sabido, a aceleração, que se representa por j, é a deri
vada da velocidade, v, em relação ao tempo, t; isto é:
dv -=J dt
· Daqui se deduz, portanto, primitivando em ordem 8 t e· lem
brando que j é constante( 1 ):
v= jt +c
A constante arbitrária C é, evidentemente, a velocidade no
instante t =O (velocidade inicial); representando-a por v0 , vem:
v= v0 + jt (equação das velocidades)
Como v= ds/dt, daqui se deduz novamente, primitivando em
ordem 8 t:
t2 s=vt+j-+C
o 2
A constante arbitrária C é, agora, o espaço no instante t = O
(espaço inicial) . Representando este por s0
, vem finalmente a conhe
cida equação geral do movimento uniformemente variado:
1 s = s +v t + -jt 2
o o 2
(1
) A variável independente agora é t em vez de x; por isso, dizemos
'prlmltlvar em ordem a t'. . . . .
213
· .T. BEBAB'I'IAO 1iJ 81LVA
As.sim, em conclusão:
O movimento de um ponto material sobre uma recta é unifor
memente variado, se e só se a a'ce/eração é constante (ou, o que
é equivalente: sse a força que solicita o ponto material é constante).
Acontece, por vezes, que conseguimos primitivar uma função,
decompondo-a numa soma de funções que já sabemos primitivar
(daf o nome 'método de decomposição'). Por exemplo, tem-se:
Portanto:
1 - cos 2x 1 1 sen 2x = = - - - cos 2x
2 2 2
1 1 P sen 2 x = P - -- P cos 2x
2 2 .
X 1 X 1 = - - - P(2 cos 2x) = - - - sen 2x
2 4 2 4
EXERCICIO. Primitivar as funções de x:
cos2x , (1 - Yx) s
b) Método de primitivação por partes( 1 ). Consideremos duas
funções u = rp(x), v = ~(x), que admitem derivada finita num dado
( 1 ) Convir6 tratar deste método e do seguinte só depois do n.o 12 (aplica-se
porlm no exercfclo I, 14, desse mlmero).
214
COMPSNDIO DE MATEMATICA
interii(!Jo. Então já sabemos que se tem, nesse intervalo, .derivando em ordem a x:
(uv)' = uv' + u'v,
donde:
uv' = (uv)' - u'v
DaQui se deduz, por primitivação em ordem a x, notando que uma primitiva de (uv)' é uv:
P(uv') = uv- P(u'v)
Para aplicar este método à primitivação do produto de duas
funções, designa-se por u uma das funções (em geral a que mais se
simplifica por derivação) e por v' a outra função (em geral, a que
mais facilmente se sabe primitiva r) .
EXEMPLO. Primitivar a função
x sen x
Pondo
{
U =X
v'= sen x vem
{
u' = 1
v = - cos x ( p. ex.)
Portanto:
P (x sen x) = uv - P(u'v) = - x cos x - P ( - cos x)
== - x cos x + sen x = sen x - x cos x
215
J. SEBABTIAO E SILVA
EXERC[CIOS. Primitivar as funções:
x ex I x log lxl I log lxl , tg x
c) Método de substituição. Por vezes, consegue-se primitiva r
uma função f(x), substituindo x por uma nova função cp(t) com deri
vada finita, isto é, pondo
X = cp(t) 1
e atendendo à regra de derivação das funções compostas. Com
efeito, se for F uma primitiva da função dada, f, tem-se, pela dita
regra:
DtF(x) = F'(x) • Dtx = f(x)cp'(t)
ou seja:
Primitivando ambos os membros em ordem a t, vem:
(3) F(cp(t)) = Pt[f(cp(t))cp'(t)] + C
Portanto, uma vez que se saiba efectuar a primitivação imediata no
segundo membro, poderemos achar uma primitiva F ·de f, substituindo
em F((cp(t)) a variável t pela sua expressão em função de x. Mas
isto só é posslvel se cp for uma aplicação biunlvoca sobre o domlnio
de f. Nesta hipótese, sendo 6 a inversa de cp, tem-se:
x = cp(t) <=> t = 6(x)
216
OOMPBNDIO DE MATEMA'l'IOA
ou seja:
cp(6(x)) = x
donde:
F(cp(6(x))] = F(x) = Pxf(x)
A fórmula (3) pode pois escrever-se, neste caso:
{4)
EXEMPLO: Primitivar V1-x2.
Vamos experimentar a substituição x = sen t . O domfnio da
função V1-x2 é o intervalo [-1,1]. A função x=sent, restringida
ao intervalo [- TC/2, 1t/2], é uma aplicação biunrvoca deste intervalo
sobre [- 1,1 ], e tem por inversa a função t = are sen x. Então,
aplicando a fórmula (4), vem:
(5)
Px Y1-x2 = Pt [V1-sen 2t.cost] +C= Ptcos2t +C
1 1 = p t (- + - cos 2t) + c
2 2
t 1 =-+-sen2t+C
2 4
Resta, agora, desfazer a ·mudança de variável, isto é, subs
tituir t por are sen x. Para isso, notemos que
sen 2t = 2 sen t cos t = 2 sen t V 1 - sen 2t 7t 7t
(--~ t~ -) 2 2
= 2xY1-x2
217
J . 8EBA8TIAO E 8</LVA
Então de (5) vem finalmente :
1 1 Px Y1- x2 = - are sen x + - x V1- x2 + C
2 2
4. Alguns exemplos de apUcação 6s ciências da natureza.
Para se ter uma ideia da importância e do interesse do problema da
primitivação, vamos estudar alguns exemplos concretos que conduzem
a esse tipo de problema.
EXEMPLO I (Transformação de energia eléctrica em calor).
A quantidade de calor, q, produzida por uma corrente eléctrica num
fio condutor é função do tempo. Seja
q = f(t)
Segundo a LEI DE JOULE, a quantidade de calor, dq, produzida
durante um intervalo de tempo infinitésimo [t,t + dt] é proporcional
à resistência R do condutor, ao quadrado da intensidade I da
corrente no instante t e ao tempo dt; isto é, tem-se( 1):
dq = k R 12 dt
( 1) ~ claro que estamos a empregar, por comodidade, a linguagem abreviada
dos infinitiJsimos (cf. Cap. I, n.o 43). Nesta linguagem pouco rigorosa, d~ carácter
intuitivo, a palavra 'infinitésimo' deve ser interpretada no sentido de 'muito
pequeno·. Note-se que estamos a considerar a intensidade I constsnte no inter
valo (t,t + dt), o que, em geral, só é aproximadamente verdadeiro, quando dt é
muito pequeno. Mas as fórmulas a que chegamos deste modo têm significado
rigoroso.
218
ou seja:
OOMPtbNDIO DE MATEMATICA
dq - =kRI 2 , dt
onde k é uma constante de proporcionalidade cujo valor se conhece,
no sistema usual de unidades.
Suponhamos, agora, que a intensidade I é dada em função do
tempo. Seja, por exemplo:
I = 10 sen w t (corrente sinusoidal),
em que 10 é a intensidade positiva máxima e w a frequêncía angular
( w = 21t/T, sendo T o período da corrente) . Então
(1) dq
- = k R I 2 sen 2 w t dt o
Esta fórmula dá-nos, como se vê, a derivada de q em ordem a t.
Portanto, para obter q como função de t, o que temos a fa1er é primitivar a função de t definida por esta fórmula. Ora
1 1 P sen 2 w t = P(- - - cos 2 w t)
2 2
t 1 = - - - - sen 2 w t + C
2 4w
Virá portanto de (1 ), atendendo a que k R I~ é constante:
t 1 q = k R I~(- - - sen 2 w t) + q0
2 4w
219
J. SEBA·BTIAO 1D Bl'LVA
em que q0 é o valor de q para t = O. Em particular, · para
t = 21t/w = T (perrodo), vem q = ~ k R I~ T + q0 , donde:
1 2 q - q0 = - k R I 0 T
2
Esta fórmula dá-nos, pois, a quantidade de calor produzida
durante um período (metade da que seria produzida por uma corrente
constante de intensidade 10 ) .
EXEMPLO 11 (Desintegração radioactiva). A massa m de um
elemento radioactivo é função do tempo. Seja:
(2) m = f(t)
Mostra a experiência que, em cada intervalo de tempo infir:-titésimo
[t,t + dt], a substância sofre uma perda de massa, que é proporcio~al
à massa m no instante t e ao tempo dt. Quer dizer: se representarmos
por dm a variação da massa naquele intervalo, tem-se:
(3} dm =- k m dt,
em que k é uma constante positiva (chamada 'constante de desin
tegração'), cujo valor depende da substância radioactiva em questão.
A lei flsica (3) pode também traduzir-se por
220
dm --=-km
dt
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
Esta fórmula, como se vê, dá a derivada de m em ordem a t como
função de m. Mas dela se deduz
dt 1 1 1 - - = - - =- - · -dm km k m
o que nos dá a derivada de t em ordem a m como função de m. Para obter tem função de m, teremos pois de primitivar o 2.0 membro
em ordem a m. Virá então, lembrando que 1 /k é constante:
1 t =- - log m +c
k
Daqui se deduz:
(c, constante arbitrária)
log m = - k (t- c) = kc- kt
donde:
m = ekc e·kt
ou ainda, pondo C = ekc:
(4) m = Ce·kt
Será pois, esta, a expressão analltica da função (2). Note-se que,
fazendo t =O em (4), vem m = C. Portanto, C é a massa inicial,
que podemos designar por m0 .
Como se vê, a função do 2.0 membro de (4) tende rapidamente
para zero quando t ~ + oo . Deste modo, chegará um instante em
que m é praticamente igual a zero; mas esse instante não pode ser
definido exactamente. Chama-se vida média do elemento radioactivo
221
J . . 8EBA8TIAO ~ BiJl.IVA
o tempo T necessário para a sua massa m se reduzir a metade da
massa inicial, m0 = C. Será pois, por definição, aplicando {4):
1
2 m - m e·kT o - o f
donde -log 2 =- kT e, portanto:
log 2 T =-
k
Esta fórmula, como se vê, relaciona a vida média T do elemento radio
activo, com a sua constante de desintegração, k.
Como exercício, pode resolve·r-se o seguinte problema { 1 ) :
Sabendo que a vida média do rádio é aproximadamente 1600 anos, determine a percentagem de uma dada quantidade de rádio que se desintegra em 100 anos {utilize a régua de cálculo) .
EXEMPLO 111. (Crescimento populacional). Seja x o número
de indivíduos de uma dada população (seres humanos, animais ou
bactérias) num instante t. ~ claro que x é função de t; seja
x = ~(t). Por outro lado, os valores de x são números naturais: trata-se
pois de uma variável discreta { 2 ) . Mas, como esses números são
geralmente muito grandes, torna-se cómodo, para certos fins, con
siderar x como variável continua. ~ o que faremos neste caso.
( 1 ) Este e outros problemas a seguir foram extrafdos da obra de T. M .. APOS
TOL, Cs/culus I (Biaisdell, New York).
( 2 ) Aliás, muitas das variáveis que consideramos continuas sAo na realidade
discretas, como por exemplo a mssss, a quantidsde de electricidsde, etc. (porquê?).
222
OOMPRNDIO DE MATEMATIOA
Quando as condições do meio se· mantêm normais, praticamente
inalteradas, é natural admitir que o acréscimo dx da população num
intervalo de tempo infinitésimo [t,t + dt] é proporcional à população x
no instante t e ao tempo dt. Obtemos, assim, a lei de crescimento:
(5) dx = k x dt ou seja dx - = kx, dt
em que dx/dt é a taxa de crescimento (aumento populacional por
unidade de tempo no instante t) e k uma constante positiva que
depende da espécie de população considerada.
Note-se que a fórmula (5) difere formalmente da fórmula (3)
anterior apenas por ter coeficiente positivo k em vez do coeficiente
negativo - k. Isso, desde já, mostra que deve ser
onde x0 é a população existente no instante O. A população cresce pois
exponencialmente (ou, como também se diz, em progressão geométrica). E assim acontece, efectivamente, em certas condições. Mas
se, por alguma razão, a população não pode exceder um certo
máximo M (p. exemplo, porque os recursos alimentares se podem
esgotar), é mais razoável admitir que a taxa de crescimento é pro
porcional a x e a M-x. Assim, obtemos uma segunda lei de cres
cimento:
Neste caso, vem:
dt 1
dx k
dx - = kx (M-x) dt
1 1 1 1 --= - (-+ ) . x(M-x) M k x M-x
223
·J. BEB.ABTIAO E BILVA
donde, primitivando em ordem a x:
1 X t = - - log +c . (c, constante arbitrária)
· Mk M- x
Daqui, por sua vez, deduz-se:
X -- =C eMkt , com C= e-~kc, M-x
donde:
MCeMkt MC (6) x= - ----
1 + c eMkt c + e- Mkt
Em particular, tem-se, para t = 0:
MC Xo=--
1+C donde C =
A fórmula (6) mostra que x ~ M quando t ~ + oo.
Esta lei aproxima-se mais da realidade em certos casos~ No
entanto, para obter melhor aproximação, torna-se necessário consi
derar k como determinada função do tempo, o que, evidentemente,
torna o problema bastante mais complicado.
EXEMPLO IV (Descida em pára-quedas). Já sabemos ·qú'e,
quando um corpo cai no vazio, de altura não muito grande, o seu
movimento é uniformemente acelerado, com aceleração g (aceleração
da gravidade).
224
COMP'SNDIO DE MATEMATIOA
Consideremos, agora, o caso de um corpo que cai verticalmente
na atmosfera de grande altura, mas não tão grande que se torne
sensrvel a variação de g (caso de um corpo deixado cair de um
avião). Neste caso, à força da gravidade que faz cair o corpo, opõe-se
uma outra força, devida à resistência do ar. A primeira é o peso mg
(sendo m a massa do corpo). A segunda é aproximadamente pro
porcional à velocidade v, portanto igual a -kv, em que k é a constante
de proporcionalidade (positiva) ( 1 ), considerando como positivo o
sentido de cima para baixo. Portanto, a força que solicita o corpo
em cada instante t é:
mg- kv,
sendo v a velocidade do corpo nesse instante. O que se procura
precisamente é determinar v como função de t. Ora a segunda
lei de Newton diz-nos que a força mg- kv deve ser igual, em cada
instante, ao produto de m pela aceleração do movimento, que é,
por definição, a derivada de v em ordem a t. Ter-se-á, pois:
dv m- =mg-kv
dt
Daqui se deduz a derivada da função inversa:
dt m - ----dv mg- kv
( 1) Estamos a seguir aqui a referida obra de APOSTO L.
225
J. 8EBA8TIAO E SILVA
donde, atendendo a que m, g, k são constantes:
m m -k t=P --- =- - P
v mg- kv k v mg- kv
ou seja:
m t =- - log (m - kv) +c , (c, constante arbitrária)
k
Daqui podemos, finalmente, tirar v como função de t:
mg v = -- + C e-kt/m , com C = - ekc/m
k
Para t = O, obtém-se:
mg V0 = -- + C donde
k
mg C = v -
o k
e, portanto:
(1) mg
v = __ (1 _ 8 -kt/m) + v0
e·kt/m k
Esta, que é a fórmula procurada, dá uma boa aproximação da
realidade no caso concreto considerado. Note-se que, quando
t ~ -r oo , v ~ mg/k. Assim, a velocidade tende a tornar-se constante,
em virtude da resistência do ar.
216
OOMP1hNDIO DE MATEMATIOA
Pode ainda deduzir-se de (1) o seguinte:
Quando k ~ O, então v ~ v0 + gt.
Quer dizer: quando a resist§ncia do ar é desprezável, o corpo segue
aproximadamente a lei do movimento uniformemente acelerado, de
acordo com a experiência.
Como exercfcio, pode resolver-se o seguinte problema:
Um homem munido de pára-quedas salta de grande altura. O peso total do homem e do pára-quedas é de 92 kg. A velocidade
v durante a queda (em metros por segundo) é uma função de
tempo contado em segundos após o salto. Seja v= <p(t). Durante os
primeiros 1 O segundos, antes de se abrir o pára-quedas, a resistência
do ar é de 0,75 v (quilogramas-força). Depois, com o pára-quedas
aberto, a resistência é de 12 v (quilogramas-força). Obter uma expres
são analítica para <p(t), tomando g = 9,8 m/s 2 e supondo nula a
velocidade inicial. (Usar a régua de cálculo.)
NOTA. No caso anterior, considerou-se a resistência do ar pro
porcional à velocidade. Para velocidades maiores (por exemplo em
questões de baHstica), é necessário adaptar expressões mais compli
cadas para a resistência do ar em função da velocidade. E, quando
se trata de projécteis que se afastam muito da terra, seguindo
trajectórias não rectilfneas, ,á não é licito considerar constante a
aceleração da gravidade, o que vem complicar ainda mais o pro
blema. Trata-se então de resolver equações diferenciais (ver-se-á
mais tarde o que isso é), que exigem o emprego de técnicas de
cálculo numérico bastante complexas, cuja execução se tornou possfvel e relativamente fácil com o aparecimento dos computadores
electrónicos. Na verdade, estes foram inventados no fim da 2.• Guerra
221
J. ·BEBABTIAO E 81L V A
Mundial com a finalidade precisa de efectuar rapidamente cál
culos balísticos complicados, como os que se põem na artilharia
antiaérea.
Aliás, a necessidade de cálculo numérico automático põe-se
já np problema da primitivação de funções em geral, como vamos
v~r ~111 segt.~ida ao introduzir o conceito de integral.
5. Noção intuitiva de integral. As regras de primitivação
anteriormente indicadas aplicam-se apenas a uma classe muito parti
cular de funções. Na verdade, a maior parte das funções que se
apresentam na prática têm primitivas que não se podem obter pelas
regras anteriores. E a razão é a seguinte: as primitivas, nesses casos,
são novas funções, isto é, funções distintas de todas as que já conhe
cemos (funções algébricas ~acionais ou irracionais, funções expo
nenciais, funções logarítmicas, funções circulares directas ou inver
sas) e de todas as que se possam obter por composição destas em
número finito.
Chamam-se funções elementares essas funções já conhecidas
e todas as que se obtêm por composição delas em número finito.
Por exemplo, as funções definidas pelas expressões
sen x 1
X logx I esenvx
I I etc. X
são funções elementares. Mas prova-se que têm por primitivas
funções não elementares. Portanto, as regras anteriores não permitem
obter as. primitivas destas funções.
Como determinar então as primitivas de tais funções l
228
OOMPSNDIO DE MATEMA.TIOA
Consideremos, novamente, o exemplo concreto de · um movi•
menta. Suponhamos que é conhecida a velocidade como função do
tempo, v= f{t), e que se procura o espaço como função do
tempo, s = F(t).
Para tornar as nossas considerações mais intuitivas, suponhamos
que se trata do movimento de um automóvel, do qual se conhece em
cada instante a velocidade, indicada pelo veloclmetro. Como deduzir
dai a equação do movimento, s = F(t}, isto é, o espaço percorrido
pelo móvel, como função do tempo 7
No caso do automóvel, o problema é resolvido automaticamente
pelo conta-quilómetros. Mas suponhamos que não se dispõe de
tal recurso.
Quando a velocidade é constante, a resposta é simples: o espaço é igual ao produto da velocidade pelo tempo gasto em percorrer esse espaço. Ter-se-á, então:
s = vt
Mas, em geral, a velocidade varia de instante para instante. Note-se, porém, o seguinte:
Num intervalo de tempo bastante pequeno a velocidade é
aproximadamente· constante (por exemplo, no intervaio de um
segundo, a agulha do veloclmetro de um automóvel não se desloctJ
sensivelmente).
Portanto, o que haverá a fazer? (Pense, antes de ver a resposta que vem a seguir.)
Suponhamos que se pretende calcular o espaço percorrido num
certo intervalo de tempo [ a,b]. O que nos ocorre fazer, na prática,
229
J. ·BEBABTIAO 1iJ 8/LVA.
é começar por dividir esse interval,o em intervalos bastante pequenos,
considerando sucessivos instantes muito próximos:
t0 =a , t, , t2 I ... , tn-1 , t = b n ,
-I I i I ,--t0 =a t, t2 t3 tn _, b= tn
Então, a velocidade em cada um desses intervalos parciais será
aproximadamente constante. Como a velocidade em cada instante t
é dada pela fórmula v= f(t), as velocidades nos sucessivo.s inter
valos parciais serão aproximadamente iguais a:
Designemos, respectivamente, por âs0 , âs 1, •• . , âsn _1 os espa
ços percorridos pelo móvel nesses intervalos, e por ât0 , Ãt 1, ... , ~tn _ 1
os tempos gastos em percorrê-los. Será, pois:
(porquê})
Designemos, agora, por S o espaço percorrido no intervalo de
tempo [ a,b ]. Tem-se, manifestamente:
S = âs0 + .âs 1
+ .. . + .âs0 _ 1
e, portanto:
230
n-1 (2) S ~ v0 ât0 + v
1dt 1 ... + v0 _ 1 dt0 _ 1 = l: vk ~tk
k=O
OOMPBNDIO DE MATEMATIOA
ou seja, visto que vk = f(tk), segundo ( 1 ) :
(3) n-1
s ~ :E f(tk) ~ tk k=O
Esta soma fornece, pois, um valor aproximado do espaço S pro
curado. E diz-nos a intuição que o erro desse valor aproximado
será tanto menor quanto menores forem os intrevalos considerados.
Por outros termos, o que a intuição nos diz é o seguinte:
A soma indicada em (2) [ou (3)] tende para S quando o número
dos inte1valos parciais tende para infinito e as medidas dos inter
valos tendem conjuntamente para zero.
Exprime-se este facto, dizendo: ·o espaço S percorrido no
intervalo [ a,b] é o integral da velocidade v nesse intervalo'; e escrevendo:
(4) s = s: v dt
ou
(5) s = s: f(t)dt,
o que se lê: 'integral de f entre a e b'.
Como se justifica esta notação?
O sinal f de integral é, como se vê, um S alongado, inicial
de 'soma'. Quando se adoptava o método dos infinitésimos, ainda
hoje usado em ffsica como método abreviado (cf. Cap. I, n.0 43),
231
.J. BEBABTIAO E SILVA
admitia-se que o intervalo [ a,b] era a soma de uma infinidade de
intervalos infinitésimos, e que, em cada intervalo infinitésimo [ t,t + dt ],
a velocidade v= f(t) era constante. Deste modo, o espaço percorrido
nesse intervalo seria:
v dt = f{t)dt
e, portanto, o espaço total (ou integral) percorrido no inter
valo [ a,b] seria a soma de todos esses intervalos infinitésimos,
ou seja:
s: v dt = s: f(t)dt
Portanto o sinal J, em substituição do sinal ~ (S grego), pre
tendia indicar a soma de um número infinito de parcelas infinita
mente pequenas.
EXEMPL0( 1 ). Suponhamos que a equação das velocidades é:
(6) v= jt , com j constante (aceleração),
e procuremos o espaço s percorrido no intervalo de tempo [O,t].
Portanto, neste caso, temos a = O, b = t. Podemos dividir o intervalo
[O,t] em n intervalos iguais. Será, pois, agora:
( 1) Para leitura em casa, a fim de esclarecer o conceito de integral.
232
OOMPSNDIO DE MA.TEMATI OA
e, como a soma destes acréscimos deve ser igual a t, o valor · de
cada um deles será t/n. Designaremos esse valor por h, isto é:
t (7) ti= h= - , para i= O, 1, .. . , n- 1
n
Portanto:
t0 = O , t 1
= h, t 2 = 2h , ... , tn _ 1 = ( n - 1 ) h , tn = n h = t
--1--- 1---1- - - 1--------1 1--0 h 2h 3h (n-1)h nh=t
Atendendo a (6), virá agora:
v0 = O , v 1
= jh , v 2 = 2jh , ... , Vn _ 1 = (n - 1 )jh
Multiplicando cada uma destas velocidades pelo tempo h, virá:
s0 = 0, s1
=jh 2 , s2 =2jh 2 , ... , sn_ 1 =(n-1)jh2
Portanto, a soma destes espaços dá-nos um valor aproximado
do espaço s procurado. Representando essa soma por Sn, vem:
(8) sn = jh 2 + 2jh 2 + ... + (n-1)jh2
= jh2 [1 + 2 + ... + (n-2) + (n-1)]
Designando a soma entre parêntesis por crn, temos:
an= 1 + 2 + .. . +(n-2) + (n-1)
<rn=(n-1)+(n-2)+ ... + 2 + 1
2crn = n + n + ... + n + n = n(n -1·)
233
donde:
J. BEBABTIAO E BILVA
(1 -n-n(n-1)
2
Entrando em (8) com este resultado e com o valor de h dado
por (7), vem:
t 2 n(n-1) Sn =j -
n2 2
1 n 2 -n = - jt2 - - -
2 n 2
Passando ao limite quando n ~ oo, obtém~se o espaços pedido:
1 s = f~ v dt = - jt 2 ,
2
o que condiz com as equações dos espaços já conhecidas
jt
Na figura junta, indica-se o gráfico das velocidades e uma decom
posição do intervalo [O,t] em 1 O partes iguais. Como se vê, os
234
OOMP:8ND10 DE MATEMATIOA
produtos das velocidades pelos tempos h são representados geometri
camente pelas áreas dos rectângulos a tracejado. Então Sn é a soma
dessas áreas, e vê-se intuitivamente que sn tende para a área de
um triângulo, cuja base mede t e cuja altura mede jt. Ora essa área
é, exactamente:
1 1 - t. jt = jt 2
2 2
6. Definição de integral. Passemos, agora, do concreto para
o abstracto, da intuição para a lógica. Seja f uma função real
definida num intervalo [a,b) e consideremos uma sequência de n + 1
pontos xk tais que:
X0 = a < X 1 < X 2 < ... < Xn _ 1 < Xn = b
- - - - - ----- - --------- ---1--x, Xn _ 1 b = Xn
Ponhamos
e designemos por X a sequência de intervalos [x0 ,x1
] , [x 1,x2
] , .. . ,
[ Xn _ 1 ,xn] assim determinados.
235
J .. BEBABTIAO E 8ILVA· . .
· Chamaremos soma da função f relativa à sequência X de
intervalos o número Sx obtido do seguinte modo:
n-1 :I: f( xk} ~xk { 1 )
k=O
Posto isto, chamemos módulos da sequência X, e representemos
por lXI, o maior dos acréscimos ~x0, ~x 1
, ... , Llxn _1 (comprimentos
dos intervalos) ( 2 ) . É claro que, quando [XI ~O, o número n de
acréscimos considerados tende para infinito e cada um deles tende
para zero. Pois bem:
Diz-se que Sx converge para um número S quando IX f~ O,
sse, para todo o número 8 > O, existe um número e> O, tal que
lXI < e ~ ISx- Sl<ô
Diz-se que a função f é integrável no intervalo [a,b ], sse existe
um número S nestas condições. Então esse limite S (que é único),
(1) Em vez do valor f(xk) da função f no extremo inferior de cada intervalo
(xk, xk+1 ), poderiam os mais geralmente tomar o valor f(uk) de f num ponto
qualquer uk E (xk, xk+ 1 ). Mas, desse modo, chegarfamos a uma definição
equiválente à que vamos dar.
(2) Em fisica é habitual chamar 'intervalos', tanto aos conjuntos (xk, xk+1)
como aos niJmeros Llxk = xk+1 - xk (que são, em rigor, os comprimentos daque
les intervalos). Trata-se manifestamente de um abuso cômodo de linguagem, que
pode, no entanto, admitir-se, desde que não haja perigo de confusão.
236
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
chama-se integral da função f no intervalo [ a,b] (ou integral de .f
entre a e b) e escreve-se:
S =f: f(x)dx
Tern-se pois, por definição:
s: f(x)dx = lim Sx IXI-+0
Integrar a função f entre a e b é achar o integral de f entre a
e b (se a função é integrável neste intervalo). Na expressão J!f(x)dx,
a função f chama-se função integranda, a variável x chama-se
variável de integração e os nómeros a,b, extremos do integral;· por
sua vez, o intervalo [a,b ], chama-se intervalo de integração.
É craro que_ o integral depende da função integranda f e dos
extremos a,b de integração, mas. não da variável x de integração;
esta é, pois, uma variável aparente, comparável aos rndices mudos
dos somatórios. Pode, pois, ser substiturda por qualquer outra letra
ou srmbolo diferente dos qu~ designam a· função e os extremos de
integração:
Jbf(x)dx = J f(u)du = Jbf(6)d6 = ·· · a b a .
O integral de f entre a e b pode também ser designad9 si(Ylples
mente pela notação:
Convém, desde já, notar que há funções que não são integráveis
237
J . •BEBABTIAO E 81-LVA
em dados intervalos. Demonstra-se, em matemática superior, o
seguinte teorema:
To da a função continua num intervalo fechado é integrável nesse
intervalo.
Mas importa, desde já, notar que há funções descontrnuas que
também são integráveis.
7. O integral como limite de uma sucesslo ( 1 ). Quando
uma função f é integrável num intervalo [ a,b ], podemos calcular o
integral de f em [ a,b], dividindo o intervalo em n intervalos iguais,
·calculando a soma de f relativa a essa sequência de intervalos e
fazendo tender n para infinito (foi assim que procedemos no
exemplo do n.0 4). L: claro que, neste caso, o comprimento dos
intervalos parciais será igual ao comprimento de [ a,b] dividido por n:
b-a ôx0 = ôx
1 = ... = ÔXn _ 1 = -
n
Se representarmos este valor por h, temos então x0 = a,
x, = a+h, x 2 = a+2h, ... , xn = a+nh = b.
Ponhamos, para simplificar:
y0 = f(x0 ), y 1 = f(x 1), ... , Yn- 1 = f(x0 _ 1 )
( 1) Sobre este assunto é muito importante ler o Guis.
238
COMPSNDIO DE MATEMATIOA
Então a soma correspondente será:
n -1 n-1 b-a Sn = :E f(xk) ~xk = :E Yk --
k= O k=O n
ou seja:
b-a s = -n n (Yo+Y 1 + .. · + Yn- , ) ( 1 )
e tem-se:
lim sn = r: f(x)dx
Em geral, não é posslvel calcular este limite exactamente, como
aconteceu no exemplo do n.o 4. Na prática, a sucessão Sn fornece
valores aproximados de integral, com o grau de aproximaçlo que
se queira. Quando a função f admite derivada e se conhece um
majorante M dos valores de f' (x) no intervalo [a,b ], tem-se a
seguinte FÓRMULA DE MAJORAÇÃO DO ERRO, que damos a
titulo de curiosidade:
(b-a) 2 M IS-Snl ~ --- -
n
Como o 2.0 membro tende para ze~o quando n ~ oo , podemos
fazer o cálculo do integral com erro inferior a qualquer número posi
tivo dado.
Porém, na prática, prescinde-se muitas vezes da majoração do
erro, aplicando a seguinte
REGRA EMPIRICA DE ESTABILIDADE. Suponhamos que se
calculam os sucessivos valores aproximados com um determinado
( 1) Nlo esquecer que cada um dos valores y 2, y 3
, ... , y n depende de n. S I ti . t I ta .. __ (n) (n) (n) ar em en o ma11 exac &8, por exemp o, a8 no ÇUGG Y 2 , Y 3 , •• • , Yn •
239
J . SEBASTIÃO E SILVA
número de algarismos exactos. Se, em dois ou três valores conse
cutivos se observa estabilidade, isto é, constância dos algarismos,
há grande probabilidade de que esses valores aproximados dêem o
valor do limite, com o mesmo número de algarismos exactos. Os programas para computadores el·ectrónicos incluem normal
mente uma ordem para terminarem os cálculos quando se verifica a
referida estabilidade.
Mas note-se bem: não há então a certeza absoluta de que
todos os algarismos sejam exactos; há apenas uma grande probabi
lidade de que o sejam ( 1).
Há ainda outros métodos para o cálculo numérico de integrais, mas, dum modo geral, são todos muito laboriosos, exigindo o
emprego de um bom computador. O primeíro computador electrónico
utilizado chamava-se ENIAC («Eiectronic Numerical lntegrator and
Catculator>>).
EXEMPLO. Calcular, se possível, com 5 algarismos exactos:
Este cálculo foi efectuado, segundo o referido processo, por
meio do computador digital do L.N.E.C. O programa ordenava que
se dividisse o primeiro intervalo em 40 par~ 3~8280264 0 + 1 O
tes iguais e se fosse duplicando sucessiva
mente esse número, até se obter a estabili
dade nos 5 algarismos iniciais. Em cada
aproximação, o cálculo dos valores da fun
ção ex /x nos extremos dos intervalos parciais
3.8287682 0 + 1 o 3;8289550 0 + 1 o 3.8290012 0 + 1 o 3.829007 4 0 + 1 o 3.8290115 0 + 10
( 1) Se os algarismos são todos 9 a partir de certa casa decimal, substi
tuem-se por O e aumenta-se uma unidade ao primeiro q.ue não é 9 (ou ao
algarismo inicial se todos forem 9).
240
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
foi efectuado por desenvolvimentos em série, segundo uma sub-rotina
inclufda no programa. Os valores que se indicam (tais como foram
escritos pela tele impressora) são os das somas 5 0 , para n = 40,
80, 160, ... , 1280.
Observa-se estabilidade dos 5 primeiros algarismos a partir do
4. 0 valor aproximado. Mas é preciso não esquecer que, no cálculo
das somas 50 , se cometem erros de arredondamento, cada vez maio
res, de acordo com a teoria exposta no caprtulo I, § 1. Todavia,
atendendo a essa teoria e ao número de parcelas, é de admitir que
se perdem por esse motivo, quando muito, três algarismos exactos.
Podemos, pois, aceitar como válido o seguinte resultado, com 5 algarismos exsctos:
ex f~ - dx = 38,290
X
Aliás, este resultado será conferido mais adiante por outra via.
O tempo total de cálculo na máquina foi de cerca de 1/4 de
hora, o que não admira: basta lembrar que se teve de calcular, por meio de séries, o valor de eXjx com 8 algarismos, em 2520 ponto·s
diferentes/
Neste cálculo a máquina deu o máximo que podia. Este simples
exemplo faz sentir, desde já, a necessidade de métodos de integração numérica mais expeditos - processos que, pelo menos, requeiram
menor número de intervalos parciais. De tais métodos faremos breve
referência mais adiante.
Mas também se pode, desde já, prever o aparecimento de pro
blemas que, mesmo com os melhores métodos conhecidos, exijam
computadores cada vez mais potentes. O certo é que se começa já
a desenhar entre nós a necessidade de um GRANDE CENTRO
NACIONAL DE CÁLCULO, munido de um computador de alta potên
cia. Este não eliminaria a necessidade de computadores de pequena ou
241
c M·IO
J . 8EBABTIAO E 81LVA
média potência, que poderiam ficar ligados telefonicamente ao
primeiro, a fim de transferirem para este a resolução de problemas que
não tivessem capacidade para resolver.
8. Interpretação geométrica do conceito de integral.
Seja f uma função contrnua num intervalo [ a,b]. Já sabemos que,
neste caso, f é integrável em [ a,b]. Suponhamos que se tem
f{x) ~ O , Vx E [ a,b]
Como vimos, o integral de f em [a,b] pode ser dado como
limite da sucessão
em que
b-a
n-1 Sn = ~ f{Xp)h
P= O
h= -- , Xp =a + ph , com p = O, 1, ... , n-1 n
t claro que f(xp)h dá a área de um rectângulo de base h e
altura f{xp}.
242
COMP8NDIO DE MATEMATIOA
Na figura considerou-se n = 8 e indicam-se a tracejado os
rectângulos cujas áreas são dadas pelos produtos f(xp)h. Torna-se
então intuitivo que, quando n ~ oo , Sn tende para a área da figura
limitada pelo gráfico da função, pelo eixo dos x e pelas rectas x = a
e x = b. Essa figura é chamada o trapezóide definido pela função f
no intervalo [ a,b]. Assim, chegamos intuitivamente à seguinte conclusão:
Quando f é uma função continua não negativa no intervalo
[ a,b ], o integral de f entre a e b dá a área do trapezóide definido
por f em [a,b].
9. Valor médio duma funçio; teorema da média ( 1).
Consideremos n números reais
Seja fi o maior e o À o menor deles. Então:
À~ a 1 ~ fi , À ~ a 2 ~ fi , . . . , À ~ an ~ ~
donde, somando ordenadamente:
n À ~ a 1 +a 2 + ··· + an ~ n fi
a1 + a2 + ... + an À ~ - --- ----- ~ ~
n
( 1) Este assunto pode ser dispensado numa primeira leitura.
243
J. BEBA·STIAO E SILVA
Em conclusão:
A média aritmética de vários números é sempre inferior ou
igual ao maior desses números e superior ou igual ao menor deles.
Vamos ver que esta propriedade se estende aos integrais.
Seja f uma função continua em [ a,b ] . Designemos por M o
valor máximo de f e por L o valor mlnimo de f, no intervalo
[ a,b]- valores esses que existem, segundo o TEOREMA DE WEI
ERSTRASS (p. 176). O integral de f em [ a,b] é o limite da sucessão
(1) b-a
Sn = - - ( Yo + Y 1 + .. · + Y n. 1)' n
em que Yp é o valor de função f no ponto xP = a+ ph, sendo
b-a h = , p = O, 1, . .. , n - 1
n
Tem-se portanto, qualquer que seja n:
donde:
(2)
L ~ Yp ~ M , para p = O, 1 , .. . , n
Yo + Y 1 + ... + Y n- 1
n
Ora, de (1) vem:
(3)
244
Sn
b-a
Yo + Y 1 + ... + Yn- 1
n
OOM:PSNDIO DE MATiiJMATIOA
Como Sn ~ J: f(x)dx, conclui-se de (3), passando ao limite
e pondo y em vez de f(x), para simplificar:
(4) J: Y dx r • Yo + Y 1 + · · · + Yn- 1 ---= ihm b- a n~oo n
donde, atendendo a (2) :
(5) s:vdx
L ~ ~ M b-a
O número
(6) __ f! ydx y= I
b-a
que se obtém dividindo o integral por b-a, é chamado valor médio
da função y = f(x) em [ a,b].
A fórmula (6) diz-nos, precisamente, o seguinte:
TEOREMA DA MÉDIA. O valor médio de uma função continua
num intervalo é inferior ou igual ao máximo da função, e superior
ou igual ao mlnimo da função no dito intervalo.
Segundo o TEOREMA DE CAUCHY (p. 177) existe pelo menos
um ponto de [ a,b] em que a função f toma o valor médio y, o que
aliás é intuitivo (,).
( 1 ) As considerações que vão seguir-se tornam dispensável a leitura do
n.0 48 do Cap. I.
245
J . SEBASTIÃO E SILVA .
M
y ~------~~~~~~------~~--
L ---
a c
Na figura junta considera-se o gráfico de uma função f no intervalo
( a,b ]. Estão indicados o máximo M, o mfnimo L e o valor médio y. Como o gráfico da função é uma linha contrnua, a recta y = y há-de encontrar essa linha, pelo menos, num ponto c (no caso da
figura encontra em ,três pontos).
Ora, de (6) vem:
s: y dx = (b- a)y
Então, do teorema da média deduz-se:
COROLÁRIO. Se f é contínua em [ a,b ], existe pelo menos um
ponto c de [ a,b] tal que
s: f(x)dx = (b- a)f(c)
No caso em que f é não negativa, isto traduz-se geometrica:
mente do seguinte modo:
Existe um ponto c de [ a,b] tal que a área do trapezóide definido
por f em [a,b] á igual à área do rectângulo de base b-a e altura f( c).
246
OOMP:BNDIO DE MATEMATIO.A
A noção de valor médio duma função tem muita importância,
não só em cálculo das probabilidades e em estat(stica, como ainda
em f(sica e outras ciências experimentais.
Por exemplo, conhecida a velocidade de um móvel em função
do tempo, v = cp(t}, o valor médio da velocidade num intervalo
[ a,b] será ( 1 } :
J!vdt v= - - -
b-a
Analogamente, dada a intensidade de uma corrente em função
do tempo, I = ~(t}, o valor médio da intensidade (ou intensidade
média} num intervalo [ a,b] será:
J: I dt I = , etc.
b-a
1 O. Teorema da decomposic;iio do intervalo. Sejam a,b,c
três números reais tais que
(1} a < b < c
e seja f uma função contínua em [ a,c ]. Consideremos, agora, uma
sequência de números reais x 1, x 2, . .. , Xm tais que
X0 = a < X 1 < · .. < Xn = b < Xn + 1 < · · · < Xm- 1 < Xm = C
( 1 ) Prova-se, depois, que o vslor médio da velocidade em (a,b) coincide
com a vs/ocldede mldis em (a,b), tal como esta é habitualmente definida.
247
J . •BEBAB'I'IAO E 8/LV A
e ponhamos:
~xp = Xp + 1 - Xp , para p = O, 1, ... , m
Então virá, pela propriedade associativa da adição:
m - 1 n-1 m-1
~ f(xp) ~P = ~ f(xp) ~xP + ~ f(xp) ~xP P= O p - 0 p - n
Ora, quando m tende para infinito, de modo que o maior dos
acréscimos ~xp tenda para zero, o primeiro dos somatórios tende
para fa f, o segundo para J!f e o terceiro para f~ f. Ter-se-á, portanto,
em notação abreviada:
É este o teorema da decomposição do intervalo, que se traduz
geometricamente nos seguintes termos, quando a função integranda
não é negativa: A área do trapezóide definido por f em [ a,c] é igual
à soma das áreas dos trapezóides definidos por f em [ a,b] e [b,c].
248
OOMP~NDIO DE MATEMATIOA
Note-se que o integral J: f foi definido, na hipótese em que
a < b. O teorema anterior sugere uma generalização do conceito de
integral. Põe-se, por definição,
(2) , se a > b
, se a= b
quaisquer que sejam os números reais a, b .
Depois disto, o teorema da decomposição do intervalo passa
a ser válido, quaisquer que sejam as relações de grandeza entre
a, b, c. Por exemplo, tem-se ainda:
(3) f~ f = s: f + f~ f , quando a < b < c,
visto que então, segundo o resultado anterior:
ou seja, atendendo a (2):
s: f = s: f, - f~ f , donde (3)
(Esclareça com uma figura).
11. Teorema fundamental do cálculo integral. Recorde
mos que o conceito de integra1 nos apareceu intuitivamente no
n.o 5, quando procurávamos um método geral para determinar
249
J. ·'BEBAST I AO E 81LV A
primitivas de funções dadas e, concretamente, no seguinte pro
blema:
Dada a equação das velocidades, v== f(t), pede-se a equação
dos espaços; isto é, procura-se uma função s == F(t), tal que
ds - = f(t) dt
Fomos, então, levados a substituir os diferenciais ds e dt pelos
acréscimos ~s e ~t (também chamados diferenças finitas), atendendo
a que:
~s ~ f(t) ~t , se ~t é bastante pequeno( 1).
Assim, o espaço percorrido desde um instante inicial t0 até um
instante t qualquer deverá ser aproximadamente igual a
n-1 f(t0 ) ~t0 + f(t 1 ) ~t 1 + · .. + f(tn- 1) Lltn-, == ~ f(xp) ô.xp
P=O
onde t0 < t 1 < t 2 < .. . < tn- 1 < tn == t e ~t0 = t 1 - t0 , ~t 1 = t 2 - t 1, .• •
~tn _ 1 = tn - tn _1 . Isto levou-nos a admitir que o espaço percorrido
seria exactamente igual ao limite para que tendesse a referida soma
quando o número n dos acréscimos considerados tende para infinito
e o valor máximo dos acréscimos tende para zero. Esse limite (se existe)
chama-se integral de f entre t0
e t e representa-se por f~0 f(u)du
( 1} Estamos a seguir o mfltodo de discrstizsção do problsms a que já atrás
se aludiu.
250
COMPSNDIO DE MATEMATICA
(a variável de integração tem de ser, agora, diferente dos srmbolos
t0 e t). Assim, a função s = F(t) pedida deve ser dada pela fórmula
(1) s = s0 + f~0 f(u)dt
onde s0 é o valor de s para t = t0 (espaço inicial) .
Ora, já sabemos que este integral existe, se a função f é con
tínua. Resta-nos saber se, nesse caso, o referido integral define efecti
vamente uma primitiva de t, como nos diz a intuição. ~ o que vamos
fazer em abstracto, isto é, independentemente do significado con
creto das funções.
Seja J um intervalo qualquer de I R (fechado ou não, limitado
ou não; em particular, pode ser IR). Consideremos uma função f
contínua em J e seja a um ponto qualquer de J. Então, para cada
número real x e J , existe um e um só número real y tal que
y = J: f (porquê 7). Logo, a correspondência
é uma aplicação de J em IR, ou seja uma função real definida em J .
Designemos essa função por $, isto é, ponhamos:
(2) <l>(x) = s: f , Vx E J
Queremos provar que <I> é uma primitiva de f em J, isto é,
queremos provar que ( 1 )
<!»' (x) = f(x) , 'Vx E J
( 1 ) A demonstração é dispensável numa primeira fase. O que mais importa,
primeiro, é conhecer bem o enunciado do teorema, que vem a seguir, e saber
aplicá-lo.
251
J . BEBABTIAO E SILVA
Equivale isto a provar o seguinte:
. ct>(x +h) - <f)(x) hm · - f(x) , Vx E J h~ h
Ora, segundo (2), tem-se:
Vx, x +h E J
a X t X+ h
Por outro lado, em virtude do teorema da decomposição do
intervalo, tem-se:
~+h f = fx f + s x+h f ·a a a
donde:
fx+h f _ Jx f = Jx+h f a a x '
ou seja, atendendo a (2) :
<f)(x + h) - <l»(x) = J:+h f
252
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
Portanto:
(3) <b(x +h) - ~(x) J~+h f
= h h
Suponhamos h > O. Então h é o comprimento do intervalo
[ x,x+h] e a fórmula (3) diz-nos que a razão incrementai considerada
é igual ao valor médio de f nesse intervalo. Portanto, segundo o
estabelecido no número anterior, existe pelo menos um ponto t
em [x,x+h] tal que ( 1 )
4>(x + h) - ~(x) -~---- = f(t)
h
O que acontece no 2. o membro quando h -+ O? Recorde que
x ~ t ~ x + h e que f é contínua por hipóteses.
Então t ~O e f(t) -+ f(x) , quando h ~O, e portanto:
«<>(x +h) - «<>(h) lim ------- = f(x) h~o+ h
Analogamente se p.rova que a razão incrementai tende para
f(x) quando h ~O- ( 2 ) . Logo
(J)' (x) =f(x) , 'Vx EJ , q . e. d .
( 1 ) Precisamos de escolher um e um s6 mJmero nestas condições, o que nos
obriga a aplicar o axioma de Zermelo. Este no entanto pode ser evitado, mas
nlo interessa aqui indicar como.
(2) Se x 6 um dos extremos do intervalo J (caso este pertença a J), só
h é a considerar limite lateral e portanto derivada lateral (à direita ou à esquerda,
conforme o limite for inferior ou superior).
253
J. 8EBA8TI'AO li} 81~VA
Assim, ficou demonstrado o seguinte teorema que, pela sua
importância, é chamado o 'TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁL
CULO INTEGRAL':
TEOREMA. Se f é· uma função continua num intervalo J de IR
e a um ponto de J, a função <I> definida por
<l>(x) = f: f(u)du , 'Vx E J
é uma primitiva de f em J, isto é, tem-se:
<I>' (x) = f(x) ,· 'Vx E J
A tese deste teorema pode exprimir-se directamente pela
fórmula:
Dxf: f(u)du = f(x) 'Vx EJ
Assim, em particular, ficamos -a saber o se.guinte: Toda a função
contínua num intervalo admite primitiva nesse intervalo.
EXEMPLOS:
I. Como se disse no n.0 4, a função ex/x não pode ser primiti
vada elementarmente. Mas, segundo o que acabamos de expor,
essa função admite primitiva em todo o seu domínio de existência
(o conjunto dos pontos x =F O) por ser aí contínua. Por exemplo,
uma sua primitiva no intervalo J = ] O,+ oo [ é a função ~ definida
pela fórmula:
eu <l>(x) = f~ - du
u
254
OOMP~ND10 DE MATEMATIOA
Utilizando um bom computador, não seria difícil tabelar esta
função. Assim como se calculou o seu valor para x = 5 (n.0 6),
assim também seria possível construir uma tabela dos valores desta
função para sucessivos valores de x bastante próximos, tal como
nas tábuas de logaritmos. Mas veremos adiante que existe uma
primitiva de ex/ x, chamada 'exponencial integral', que já está
tabelada.
11. A função f assim definida:
I sen x para x =ft O f(x) =
1 x '
, para x = O
é contínua em IR (porquê?) , mas não tem primitiva elementar (cf.
n.o 5) . Uma sua primitiva é a função transcendente chamada seno
integral (em abreviatura, Si), assim definida em IR:
sen t Si(>;e) = f~ -
t dt ( 1)
Esta função encontra-se já tabelada, p. ex. nas «Tables numéri
ques universelles», de MARCEL BOLL (Dunod, Paris).
111. A função f assim definida:
, para 0 < x < 1
, para x =O
( 1 ) Supõe-se que a função integrada toma o valor 1 para x = O, de acordo
com a definição anterior.
255
J . ·BEBABTIAO E SILVA
é contínua no intervalo J = [0, 1 [, mas também não pode ser primi
tivada elementarmente. Uma sua primitiva é a função transcendente
chamada logaritmo integral (em abreviatura Li), definida em J pela
fórmula:
1 Li(x) = f ' du
0 log u
Note-se que, a partir desta, é possível primitivar a função ex /x, no intervalo ]- oo, 0[. Com efeito tem-se, utilizando a mudança de
variável x = log t para t E [0, 1 [:
ex t Px - = Pt(--
x log t
1 1 - )= pt t log t
= Li(t) +c
donde, visto que x = log t<:> t = ex:
ex p X - = Li (eX) + C
X
Portanto, Li(ex) é uma primitiva de ex/x no intervalo ]- oo, 0[. Esta nova função transcendente é chamada ·exponencial integral' e
designada pelo sfmbolo Ei, isto é:
Ei(x) = Li (ex) f \fx E ]- oo f O[
A função Ei(x) é prolongada, como primitiva de ex/x, ao inter
valo ]0, + oo [, por um processo que indicaremos mais adiante.
Há tabelas que dão directamente os valores da exponencial inte
gral (p. ex., as de Mareei Boll já citadas) e outras que dão os
valores do logaritmo integral.
256
OOMP:aNDIO DE MATEMA'I'IOA
12. Fórmula de Barrow. Seja ·ainda J um intervalo qual
quer de I R, f uma função continua em J e a um ponto arbitrário
de J. Então, como vimos, a função
«<>(x) = J: f( u)du
é uma primitiva de f em J . Portanto, se F é outra primitiva de f em J ,
tem-se:
F(x) = ~(x) + C (com C constante)
ou seja:
F(x) =C+ f: f(u)du (Vx EJ)
Or~, para x =a, o integral do 2.0 membro é igual a O. Logo,
substituindo x por a em ambos os membros, vem:
F(a) =C
e, portanto:
F(x) = F(a) + J: f(u)du , Vx E J
Sendo b um dado ponto de J , virá, em particular:
F(b) = F(a) + s: f(u)du,
donde:
f: f(x)dx = F(b) - F(a)
2$7 .,
J . •BEB.ABTIA·O E 8ILV.A
Esta importante fórmula, chamada 'FORMULA DE BARROW'
(do nome do célebre professor de NEWTON), permite, como se vê,
achar o integral de f entre a e b, quando se conhece uma primitiva qualquer F de f nesse inteNalo; isto é:
O integral de f entre a e b é igual ao valor da primitiva em b
menos o valor da primitiva em a.
Esta diferença também se costuma designar pela notação
[F(x) J~- a , ou simplesmente por F(x) I: e, ·assim, a fórmula de
Barrow toma o aspecto:
f~ f(x)dx = F(x) I: EXEMPLOS:
I. Calcular o integral de sen x entre O e 1t. Como uma das pri
mitivas de sen x é -cos x, virá:
s: sen x dx = - cos x I : = - cos 1t - ( - cos O)
=-1-(-1) = 2
Note-se que, por ser sen x ~ O em [0, 1t ] , este integral dá-nos
a área do trapezóide definido pela função seno neste intervalo.
o 1t
258
OOMP:RNDIO DE MATEMATIOA
11. Calcular o integral de sen x/x entre 0,5 e 3. Como vimos
no número anterior, uma primitiva desta função é Si(x). Logo
3 sen x f05 dx = Si(3)- Si(0,5)
' X
As referidas tábuas de Marcell Boll dão:
Si(0,5) = 0,4931 , Si(3) = 1,8487
Daqui o valor aproximado do integral, a menos de 0,0002:
1 ,8487 - 0,4931 = 1 ,3556
111. Calcular o integral de ex /x entre 1 e 5.
Como vimos no número anterior, uma primitiva desta função é Ei(x) (exponencial integral de x). Tem-se, pois:
ex J5
- dx = Ei(6) - Ei(1) 1 X
Ora, as referidas tábuas dão, até às décimas milésimas:
Ei (5) = 40,1863 I Ei(1) = 1,8961'
donde, o valor aproximado:
40,1853 - 1 ,8951 = 38,2902
para o referido integral. Este valor tem, pelo menos, 5 algarismos
exactos, que coincidem com os determinados no n.0 7, por cálculo
numérico directo. O algarismo exacto das décimas milésimas será
259
. J. 8EBA:B'l'IAO 8 SILVA
O ou 1 ou 2 ou 3; o integral está, pois, calculado a menos de 2 déci
mas milésimas.
EXERCICIOS- I. Calcular:
1) f!1t (x + sen x) dx 7) 2 f: ( t 2 + 1 ) 2dt
2) f~1t sen 2x dx 8) 2 f: (t 2 + sen 3t)dt
3) 3 {x + 1) dx 9) f~ sen2t dt f 2 Yx2 + 2x+3
4) f~ (1 + t + t 2)dt 10) f~ sen 3 t dt
5) f~~ (1 + t + t2)dt OBS.: Usar as fórmulas de
6) n-x (1-2t + 3t 2)dt Euler neste último exerclcío.
11. Calcular com auxílio de tábuas ou da régua de cálculo:
1 dx 12) f
0 1 + 4x2
111 . · Na decomposição da sacarose em dextrose e levulose, a
quantidade dx de açúcar convertido num intervalo de tempo
[ t,t + dt] é proporcional à quantidade de açúcar não convertido e
a dt. Será pois dx = k(a-x)dt, em que a é a quantidade inicial de
açúcar, x a quantidade de açúcar já convertido no instante t e k
o coeficiente de proporcionalidade. Calcular o tempo necessário
para converter uma quantidade de açúcar m < a.
260
OOMPBNDIO DE MATEMATIOA
IV. Numa reacção bimolecular, em que são postos em presença
dois compostos para formar dois novos compostos, a fórmula de
transformação é:
dx = k(a-x) (b-x) dt,
em que a e b são as quantidades iniciais das moléculas de cada
um dos compostos, x a quantidade de uma das substâncias trans
formada até ao instante t, e k uma constante dependente da concen
tração. Calcular o tempo necessário para transformar uma quanti
dade m de uma das substâncias. Para a primitivação, note que
1 1 1 1 ---- = - ( - --) (a-x) (b-x) b-a a-x b-x
Respostas: I. 1) 27t 2 2) 7t 3) v1a- viT;
4) x + ~ + x 3
; 5) .ª- x 3 + 2x 2 + 2x + -ª. 6) - 2x + 2x 2 - x 3 ; 2 3 3 6
1 2 1 2 . 7) - x,o+ - xs __ xs __ x3+x2-x 5 3 5 3 ,
8) ~ (x 6 -x3 + cos 3x- cos 3x2); 9) ~ - se~ 2x;
10) ; - ~ (2 + sen2x)cos x.
1 111. t = - log --·;
k
a 1 a(b-m) IV. t = - - - log ---
k(b-a) b(a-m) a-m
NOTAÇÃO DE LEIBNIZ PARA AS PRIMITIVAS. Como vimos, se f
é uma função continua num intervalo J e a um ponto qualquer de
J, a expressão J: f(t)dt representa uma primitiva de f. Daqui a ideia
de representar pela notação
Jf(x)dx
261
J . ·BEBABTIAO 1iJ 81liVA
uma primitiva qualquer de f e de lhe chamar integral indefinido
de f (por não estarem definidos os extremos de integração). Por
exemplo, tem-se:
f exdx =ex+ C
f cos x dx = sen x + C , etc.
Esta notação para as primitivas é devida a Leibniz e é usada
correntemente. Convém, por isso, que o aluno se habitue também
a usá-la. Também se diz muitas vezes 'integrar' no sentido de 'primitivar'.
13. C61culo de 6reas. Uma das aplicações da teoria exposta
encontra-se no cálculo de áreas de figuras planas. Vamos ver dois
exemplos:
I. Calcular a área da figura limitada pela parábola y 2 = 2px e
pela recta x = a, sendo a e p números positivos dados (em refe
rencial ortonormal).
o
Como neste caso o eixo dos x é eixo de simetria da parábola,
bastará calcular a área da metade superior e multiplicar o resultado
262
COMPENDIO DE MATEMA.TIOA
por 2. Mas a metade superior é o trapezóide definido pela funçAo
v'2ilx. no intervalo [O,a]. Logo a sua área é o integral dessa função
entre O e a. Ora
x3f2 2 - -Px V2px = V2p Px v'x = V2p Px x1/2 = v'2p = - v'2px3
3/2 3
Logo
,,- 2 v'- 2 v'-sa v2px dx = - 2px3 la= - 2pa 3 o 3 o 3
e a área pedida será:
4 v'A::;; - 2pa 3 3
No~e~se que a área do rectângulo [ ABCD] é:
a.2 v'2pa = 2 V2pa 3
Logo, a área segmento da parábola é igual a 2/3 da área
deste rectângulo.
11. Calcular a área limitada por uma elipse de semi~eixos a e b
(em referencial ortonormal).
y
b
o X
263
J. •BEBAB'l'IAO li} 81-L V A
Já sabemos que a equação da elipse reduzida aos eixos é:
(2) x2 y2
- + - = 1 a2 b2
e, visto que, neste caso, os eixos coordenados são eixos de simetria
da figura, basta calcular a área da parte situada no 1. o quadrante
e multiplicar o resultado por 4. Ora, resolvendo (2) em ordem a y,
para y > O, obtém-se:
e a parte da figura situada no 1.0 quadrante é o trapezóide definido
por esta função em [O,a ] . Temos, pois, de procurar uma primitiva
desta função. Para isso, usaremos a substituição:
264
x = a sen t , com t e [ - 7t/2, 7t/2]
dx Como - = a cost, vem:
dt
P x V a 2 - x 2 = Pt (V a 2-a 2 sem 2t • a cos t)
= P t (V 1 - sen 2t • a 2 cos t) = a 2 P t cos 2t
cos 2t
2
a2 ) = - (t+
2
sen 2t
2 )
x x. I x 2
Mas t = are sen - , sen 2t = 2 sen t cos t = 2 - V 1 - -a a a2
OOMPSNDIO DliJ MATEMATIOA
Logo
a 2
( ><- x . I x2
) PxYa2-x2= - arcsen - + -· V1- -2 a a a2
Portanto, vem:
- --4
visto que
7t - se x=a X
are sen- = a
·2 x . I x2
, - V 1 - - = O para x = a , x = O . a a 2
O se x =O
Logo, a área pedida é:
A=1tab
Em particular, se a-: b {círculo), tem-se A= 1t a 2 .
14. C61culo de volumes. A teoria do integral aplica-se
também ao cálculo de volumes. Começaremos pelo caso de sólidos
de revolução.
265
J . BEBABTIAO E BILVA
y
a b
X
Consideremos o trapezóide definido por uma função contfnua f
num intervalo [ a,b ], supondo f não negativa nesse intervalo. Quando
roda em torno do eixo dos x, este trapezóide gera um sólido de revolução. Para ver como se pode calcular o volume deste, vamos
seguir o método heurlstico dos infinitésimos. Consideremos um
ponto x qualquer de [ a,b ]. Sendo dx um acrêscimo infinitésimo (, ),
f(x) pode considerar-se constante no intervalo [x,x + dx]. Deste modo,
a porção do trapezóide compreendida entre as rectas verticais de
abcissas x e x + dx pode considerar-se um rectângulo. Por sua vez,
este gera por rotação em torno do eixo dos x um cilindro de revolução, cujo raio da base é y = f(x) e cuja altura é dx. O volume
deste cilindro infinitésimo será, portanto:
1t y 2 dx = 1t [f(x)] 2 dx
Ora, o volume do sólido de revolução, de que estamos a tratar,
deve ser a soma de todos estes infinitésimos desde x = a · até x = b;
isto é, o volume procurado será:
( 1 ) Por 'infinitésimo·, deve entender-se aqui 'bastante pequeno'.
266
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
NOTA. É claro que estivemos a usar deliberadamente a linguagem
abreviada dos infinitésimos, para habituar o aluno a este método
heurístico, correntemente usado em ciências da natureza. Mas não
é difrcil imaginar um método mais rigoroso que consiste no seguinte:
considerar o sólido decomposto em fatias por planos perpendiculares
ao eixo em número finito; substituir depois essas fatias por cilindros
que delas se aproximam, somar os volumes dos cilindros e passar
ao limite, quando o número dos cilindros tende para infinito, de modo
que as alturas tendam conjuntamente para zero.
EXEMPLOS:
I. Consideremos o trapezóide definido pela função V2Px no
intervalo [O,a]. Este trapezóide gera, por rotação em torno do
eixo dos x, um segmento de parabolóide de revolução.
y
o X
O volume deste sólido será:
11. Achar o volume do elipsóide de revolução cuja superffcie
é gerada pela rotação da elipse em torno do eixo dos x de
equação:
267
J. 8EBABTIAO If} BILV A
v
X
(É, agora, indiferente que se tenha a ~ b ou a ~ b; se a > b o
elipsóide é alongado; se a < b, é achatado; se a = b reduz·se a uma
esfera.)
Basta achar o volume gerado pelo trapezóide que a função
b y = - V a 2 - x 2 def ine no intervalo [O,a]
a
e multiplicar o resultado por 2. O volume pedido será, pois:
ou seja:
4 V = - 1t ab 2
3
4 Se a = b (esfera de raio a), tem·se V= - TC a 3.
3
268
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
NOTA. Quando o sólido não é de revolução, o volume pode
achar-se de modo inteiramente análogo pela fórmula
V = f~ A(x)dx I
em que A(x) designa a área da secção feita pelo plano de abcissa x, perpendicular ao eixo dos x. Por exemplo, no caso do elipsóide,
x2 y 2 z2 ·- + - +-=1 a2 b2 c2
a secção feita pelo plano de abcissa x é limitada pela elipse
y2 z2 x2 - +-=1--b2 c2 a2
cujos semi-eixos são:
b . - Va 2 -x 2 e a
c - Va 2 -x 2
a
A área da secção será portanto (cf. n.o 12, exemplo 11) :
donde:
bc A(x) =7t - (a 2 -x 2 ) I
a2
2 1t bc 1
2 1t bc x 3 V= J (a2-x2)dx=--(a2x--) 18
a2 o a2 3 o
269
ou seja:
J. ,SEBABTIAO E 81LVA
4 V= - 1tabc
3
1 5. C61culo do comprimento de curvas. Consideremos
uma linha plana C definida por um sistema de equações paramétricas:
(1) X = cp(t) , y = ~(t),
em que cp e ~ são funções contrnuas num intervalo [<X,~]. Nos casos concretos, o parâmetro t é a variável tempo; neste caso, as equa
ções (1) definem o movimento de um ponto no plano, durante o
intervalo de tempo [ oc,~ ], e a linha C é a trajectória do movimento, cuja
equação cartesiana pode ser obtida eliminando t entre as duas
equações ( 1 ) .
Para ver como pode ser calculado o comprimento de C, vamos supor que as funções cp, ~ admitem a derivada continua no intervalo [<X, ~].
B
y
Q X x+dx
270
OOMPPJNDIO DE MATEMATIOA
Seja então t um número qualquer do intervalo [ r.t., ~] e seja P
o ponto de coordenadas x = cp(t), y = ~(t} . Adaptemos, agora, o
método heurlstico dos infinitésimos. A um acréscimo infinitésimo dt
de t correspondem acréscimos infinitésimos de x e de y, equiva
lentes aos diferenciais:
(2) dx = cp' (t)dt , dy = ~· (t)dt
Seja Q o ponto de coordenadas x + dx, y + dy. Então Q é infi--nitamente próximo de P; deste modo, o arco PQ da linha C con-
funde-se com a respectiva corda PQ e, portanto, o seu compri
mento equivale ao infinitésimo ds, dado pela hipotenusa de um
triângulo rectângulo, cujos catetos são ldxl e ldyl. Assim:
ds2 = dx2 + dy2
ou seja, para dt > O( 1):
ds = Y dx2 + dy2
donde, atendendo a (2):
ds = Ycp'(t) 2 + 4'(t} 2 dt
ou, mais simplesmente, pondo x = cp' (t} , y = 4' (t) ( 2):
( 1 ) Convenciona-se que o comprimento s cresce com o parA metro t.
( 2) As notações tais como x, y, devidas a Newton, são ainda hoje muito
uaadas para designar derivadas, e convém que o aluno também se habitue a
tele notaç6ee.
271
J. 8EBA8TIAO E SILVA
Este infinitésimo ds é chamado elemento de comprimento da linha. O comprimento integral, s, da linha será, pois, a soma de todos estes elementos desde t = ~ até t = ~. ou seja:
Tratando-se de uma linha C do espaço definida por um sistema
de três equações paramétricas:
(2) X = cp(t) ' y = ~(t) I z = X (t) I
sendo cp, \jJ, X definidas num intervalo [ ~. ~ ], as considerações são
perfeitamente análogas. Supondo que <p, ~. X admitem derivada con
tinua em [ ~. ~], o elemento de comprimento ds, em referencial
ortonormal, é dado pela fórmula:
ds2 = dx 2 + dy2 + dz 2
e o comprimento total será:
NOTA: -I. A demonstração rigorosa dos resultados assim obti
dos heuristicamente é mais ditrcil que no caso das áreas e dos volu
mes. Por isso, nos abstemos de a esboçar aqui.
11. No caso em que as equações (1) definem um movimento,
272
OOMP1!1NDIO DE MATEMA.TIOA
sendo t a variável tempo e ex = O, o espaço s percorrido desde o instante ex até ao instante t será:
(3) s= J~ds= foYcp'(u)2+~'(u)2du(1),
o que nos dá o espaço s, como função de tempo, t:
s = f(t) ( 2)
Neste caso, a velocidade v em cada instante t será:
ds v = - = v~· (t) 2 + ~· (t) 2
dt
Analogamente para movimentos no espaço.
111. Em alguns casos de linhas no plano, o parâmetro t pode
ser uma das coordenadas, por exemplo x. Então, as equações
paramétricas são da forma x = t, y = f(t) = f(x), as derivadas em
ordem a t são .X = 1, y = f' (x) e o comprimento total será, pois:
S = f~ V 1 + f' (x) 2 dx
EXEMPLOS:
I. Calcular o comprimento da linha de equações paramétricas x = r cos t, y = r sen t (sendo r uma constante positiva), num inter· valo [O, 6].
( 1 ) A variável de integração, u, tem de ser diferente do fndice superior t.
(2) Se o espaço Inicial s0, é diferente de zero, convém pOr s-s0 em
vez de a no 1.0 membro de (3)
273 C M-18 .
J. 8EBAB'l'I~O E 81-LV A
y
A
Eliminando t entre as duas equações, obtém-se:
A linha será, pois, uma circunferência, se 6 = 2Tt. No caso geral, -será um arco de circulo AB, cuja medida em radianos é 6. Deri-
vando x e y em ordem a t, vem:
x = - r sen t , y = r sen t
donde:
e, portanto:
s = rt ~~ = r 6
isto é: o comprimento do arco é igual ao produto do raio pela
medida do arco em radianos, o que está de acordo com o que já era
conhecido.
214
OOMPBNDIO DE MATEMA'l'IOA
lt. Calcular o comprimento da linha de equações paramétricas x =a sen t, y = b cos t (sendo a e b constantes positivas), num intervalo [0, 6].
Eliminando t entre as equações, obtém-se:
x2 y2 - + - = 1 a2 b2
A linha será uma elipse, se 6 = 27t, e reduz-se a uma circunferência,
se além disso a = b (caso anterior). No caso gerar, a linha é um arco
de elipse. Temos, agora:
x = a cos t , y = - b sen t
donde:
Ora, se pusermos:
- = = k (excentricidade da elipse) a a
tem-se: o ~ k < 1 ,
e, portanto:
ds2 = [a2 cos2t + a2 (1- k2) sen2t] dt2
= a 2 (1 - k 2 sen 2 t) dt 2
Logo, o comprimento pedido será dado pelo integral:
275
J. BEBABTIAO E BILV.A
Mas, prova-se que a função integranda não pode ser primitivada
elementarmente, sendo necessário, portanto, recorrer a métodos
numéricos de aproximação para o cálculo do integral (neste caso
pode aplicar-se o método de integração por séries, a que faremos
referência mais adiante).
O integral considerado define uma função de duas variáveis,
6 e k:
E ( 6,k) = ~ v' 1 - k 2 sen 2 t dt
chamada integral el/ptico de 2. a espécie. Para dar uma ideia da sua
importância, bastará lembrar que intervém no cálcu~o de percursos
em trajectórias elípticas, de que são bem conhecidos exemplos con
cretos, relativos a planetas e satélites artificiais.
Dada a frequência e variedade das suas aplicações, esta função
encontra-se extensamente tabelada. Habitualmente põe-se k sob a
forma k = sen <p (tem-se O< k < 1 ) . Das «Tabelas Numéricas» de
A. César de Freitas (I. A. C.), extrafmos a seguir uma pequena
parte da tabela desta função, para dar uma ideia de como está
organizada:
32
33
6=0
0,54105
0,55851
0,57596
0,54086
55830
57573
e= 10°
0,54030
55768
57506
Nesta tabela os valores da função são dados a menos de 1 O- 5 ,
para valores de cp de grau em grau, desde 1 até 90°, e valores de
6 de 5 em 5 graus, desde O até 90°.
276
OOMPSNDIO DE MATEMA'riOA
NOTAS ---1. Interpretando t como a variável tempo, as equações
x = a sen t, y = cos t definem separadamente, movimentos vibrató
rios simples, de amplitudes a,b e pulsação 1, segundo o eixo dos x
e o eixo dos y, respectivamente. O sistema das duas equações define
o movimento resultante dos dois primeiros. A trajectória, como se
viu, é elfptica, e a equação dos espaços é:
s = a E(t,k) , supondo s0 = O.
11. Chama-se integral e/lptico de 1.8 espécie a função F de duas
variáveis definida pela fórmula:
1 F ( 6, k) = fo V dt (O ~ k < 1 )
1 - k2 sen 2 t
Tal como o integral elfptico de 2.8 espécie, esta função tem
numerosas aplicações e encontra-se extensamente tabelada, com
k na forma sen q>. Estas duas funções estão relacionadas com uma
classe muito importante de funções transcendentes, de variável
complexa, duplamente periódicas, chamadas funções el/pticas.
16. Novos exemplos da flsica*. O conceito de integral
intervém a cada passo em questões concretas de ffsica, qufmica,
biometria, econometria, etc. Vamos estudar mais dois exemplos da
ffsica.
EXEMPLO I (Trabalho produzido pela expansão de um gás:
por exemplo, num motor de explosão). Calculemos o trabalho pro
duzido pelas forças de expansão de um gás, cujo volume aumenta
de v 1 para v 2, supondo que se mantém constante a sua temperatura.
277
J. '8EBASTIAO E Efl LV A
Já sabemos que, em primeira aproximação, se pode adaptar a
EQUAÇÃO DOS GASES PERFEITOS:
(1) pv = KT,
sendo p a pressão, v o volume, T a temperatura absoluta e K uma
constante dependente do gás.
Seja M um ponto genérico da superficie que, num dado ins
tante t, limita o gás; e seja p a pressão em M, dO" um elemento de área em torno de M (área de uma superfície infinitésima a que per
tença M) e ds o deslocamento elementar de M, quando o gás passa
do volume v ao volume infinitamente próximo v + dv.
Então a força exercida pelo gás em dO" será pda (produto da
pressão pela área) e o trabalho efectuado pela referida força será o
produto desta pelo deslocamento, ou seja:
p d a ds = p d (t)
em que dc.> é o volume do cilindro de base da e altura ds.
218
OOMPSNDIO Dl!l MATEMÁTICA
Admitindo, agora, que a pressão p é a mesma em todos os pontos
da superfrcie em cada instante t, o trabalho efectuado quando o gás passa do volume v ao volume v + dv, será:
(2) dW=pdv
vis· o que dv é a soma de todos os volumes elementares d w. Por
conseguinte, o trabalho efectuado na passagem de v a v + dv será,
atendendo a (2) e a (1):
isto é :
v v KT IV W = f 2 p dv = f 2 - dv = K T In v 2
Vt Vt V V1
v2 W= KTln
v,
Vemos, aqui, mais um exemplo típico de aplicação daquilo a
que chamámos métodos abreviados de cálculo e racioclnio.
Numa segunda aproximação, pode usar-se, em vez da equação
dos gases perfeitos, a EQUAÇÃO DE VAN DER WAALS:
a (p +-)(v- b) = RT
v2
Deixa-se ao cuidado do leitor a resolução do problema com esta
fórmula, começando por exprimir p como função de v (com a,
b, R e T constantes).
279
J'. BEBABTIAO E SILVA
EXEMPLO 11 (Dedução da fórmula do pêndulo simples). Como
é sabido, uma das ideias centrais que têm norteado, com êxito,
todo o desenvolvimento da física, é o PRINCfPIO DA CONSERVAÇÃO
DA ENERGIA ( 1).
Por exemplo, quando se deixa cair uma pedra de massa m do
alto de uma torre de altura h, a energia potencial da pedra em
relação ao nlvel do solo é, por definição, igual ao trabalho necessário
para elevar a pedra desde o solo até ao cimo da terra, ou seja o
produto do peso, p, da pedra por h. Como p = mg (em que g é
a aceleração da gravidade), a energia potencial da pedra ao ser
largada será:
U0 = p h= mg h
Num instante t em que a pedra se encontre à distância x do solo,
a energia potencial será U = mg x. A energia potencial perdida,
( 1) Alargado com o PRINCIPIO DE EQUIVAli:NCIA ENTRE A MASSA
E A ENERGIA. de Einstein.
280
OOMP:SNDIO DE MATEMATIOA.
U- U0 , foi então transformada em energia cinética, T = ~ mv2,
admitindo que a resistência do ar é desprezável. Tem-se, pois,
U0 - U = T, ou seja:
1 mg(h-x)=-mv2
2
Quando a pedra chega ao solo, toda a sua energia cinética
acaba por ser transformada em calor ( 1). Porém, no caso ideal de
um choque elástico (caso que se verifica parcialmente quando, por
exemplo, uma bola de bilhar cai sobre um chão de mármore), o
corpo salta até ao nrvel inicial, para tornar a cair, e assim sucessiva
mente, conservando-se constante a energia mecânica total, E= U + T.
----------} c( cos ~ - cos ex)
v
( 1 ) Recordemos que, nas centrais hidroeléctricas, a energia cinética da
égua é, em grande parte, convertida em energia e/éctrica. Por sua vez, nas
centrais nucleares, em que se dá a cisão do nllcleo do urânio, uma parte da
masss deste é convertida, segundo a fórmula E "" me 2 de Einstein, numa quanti
dade proporcionalmente enorme de energia calorifica, que vai aquecer a água
do reactor e é depois transformada em energia eléctrica.
281
J. BEBABTIAO E SI'L V A
Ora, é esse também o caso ideal de um pêndulo simples, em
que se despreza o atrito. Suponham.os que um pêndulo OP é desviado
para a posição OA, em que faz o ângulo ~ com a vertical, e largado
depois (sem impulso). Seja cp o ângulo de OP com a vertical num
dado instante t. Então, na passagem de A para P, a diminuição
de altura (em relação ao solo, por exemplo), será c ( cos cp - cos ~>,
designando por c o comprimento do pêndulo. Portanto, a diminuição
de energia potencial do pêndulo será:
{ 1) m g c (c os cp - c os ~) ,
sendo m a massa do ponto material P. Por outro lado, designando -por s o comprimento do arco VP, tem-se s = c cp. Portanto, no
instante t, a velocidade de P será ~~ = c ~i e a sua energia cinética :
1 1 dcp mv2 == - mc 2 ( - ) 2
2 2 dt
Como esta deve ser igual a (1 ), segundo o PRINC(PIO DA
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA, virá:
1 dcp - c 2 (- ) 2 = g c(cos cp - cos ~) , 2 dt
donde se deduz a derivada detem ordem a cp:
dt . /-c-- =V -dcp 2g
1
y' cos cp - cos (X
282
OOMPSNDIO DE MA'l'EJJIATIOA
Daqui podemos ago1ra deduzir, por integração, o tempo de uma
oscilação simples, isto é, o tempo T necessário para o pêndulo ir
da posição OA até à posição simétrica, OA'. Tem-se, com efeito:
{2) _ . I c cx dcp
T-V f - -2g ·ex V cos cp - COS (X
visto que, nesta passagem, t varia de -a a a (tomando para positivo
o sentido indicado na figura).
Vamos, agora, ver como a fórmula (2) se pode reduzir a um
integral el/ptico de 1.a espécie (cf. n.o 14, exemplo 11). Come
cemos por notar que
(3) q> rJ.
cos cp - c os oc = ( 1 - 2 sen 2 - ) - ( 1 - 2 sen 2 - ) 2 2
<X cp == 2 (sen 2 - - sen2 -)
2 2
<X Ponhamos agora sen - == k e façamos a mudança de variável :
2
(4) cp
sen - = k sen e 2
Daqui, diferenciando, vem:
(5) 1 cp 2 k cos 6
cos - dcp = k cos 6 d 6 :. dcp = <p d 6 2 2 c~T
283
J. BEBABTIA'O E SILVA
e, atendendo a (3):
(6) V cos <p - cos ~ = V2(k 2 - k 2 sen 2 6) = k V 2 cos 6
Entrando com (5) e (6} em (2) e notando que, em virtude de (4), 6 varia de -rt/2 a rt/2 quando <p varia de -ex a ex, vem:
- /c /2 d 6 . rc rr/2 d 6 T =V g F.rr/2 cos---; =V g f-rr/2 V1-k 2 sen 2 6
Finalmente, decompondo o intervalo de integração em [- 7t/2,0] e
[0, 7t/2], e notando que os integrais nestes intervalos são iguais
(mudando e em -0), vem, finalmente:
(7)
ou seja:
T=2V c F(~, k) g 2
Em particular, se ~ for suficientemente pequeno, pode des
prezar-se k, e de (7) resulta a conhecida FÓRMULA DE
GALILEU:
(8}
284
OOMP'JhNDIO DE MAT.EMATIOA
17. Propriedades em que se baseia o cálculo num6rico
de integrais*. Agora que já se tem, com os exemplos anteriores,
uma ideia da extraordinária importância do cálculo integral, inte
ressa ver em que consistem, nas suas linhas gerais, as técnicas de
cálculo numérico de integrais.
Sendo os integrais limites de somas, várias propriedades da adição
se transmitem aos integrais, por passagem ao limite. Por exemplo,
vimos que, se f é uma função integrável num intervalo [a,b], o
integral de f neste intervalo pode ser obtido como limite das somas
n-1 Sn = ~ f(xp) h,
p aO
onde h= (b - a)/n e Xp = a+ph , para p=O , 1 , ... , n-1 .
Ora
n-1 JSn! ~ }; Jf(xp) I h (propriedade do módulo da soma)
p ... Q
donde, passando ao limite, quando n ---* oo :
I s: f(x)dx I~ s: I f(x) I dx ..
ou ainda, em notação abreviada:
(1)
Por palavras: O módulo do integral de uma função é inferior
ou igual so integral do módulo da função.
28$
J. 8l!JBABTIAO l!l SILVA
De modo análogo se reconhece o seguinte:
Se f e g são integr!Jveis em [ a,b] e se f~ g neste intervalo, entlo
(2)
Em particular, se lf(x) I~ M em [ a,b ], sendo M uma constante
finita, deduz-se de (1) e (2) a seguinte FORMULA DE MAJORA
ÇÃO DO INTEGRAL:
(3) I J: f I ~ M (b- a),
visto que o integral da constante M em [ a,b] é M (b- a).
Por outro lado, da definição de integral deduz-se facilmente a
seguinte propriedade:
Se f e g são funções integráveis em [ a,b ], e se k é uma constante, também f + g e kf são integráveis em [ a,b] e tem-se:
Daqui resulta, em particular:
(4)
Seja agora e: um majorante de lf- gl em [a,b], isto é:
lf(x) - g(x) I~ e: , Vx E [ a,b]
286
OOMP1JJNDIO DE MATiiJM.ATIOA
Então, de (3) e da fórmula de majoração (3) deduz-se:
(5)
A ideia fundamental do cálculo numérico de integrais consiste
em substituir a função integranda f por uma função g mais fácil de
integrar e bastante próxima de f . Então (6) é uma FORMULA DE
MAJORAÇÃO DO ERRO DO INTEGRAL, desde que se adapte a
seguinte
DEFINIÇÃO 1. Sendo e um número positivo, diz-se que a fun
ção g é aproximada de f a menos de e em [ a,b ], sse
I f(x) - g(x) I < e , \fx E [ a,b]
Na mesma hipótese, chama-se vizinhança (e) de f em [ a,b] ao
conjunto de todas as funções cp aproximadas de f a menos de e
nesse intervalo.
------ _.,..,1 e-----r- ,,,''''~,,,, --~,,/·-·.-:', ,~ -----r~· '·., .· ,. ·,,
,' ,,.,. " e L.-: __ - _ _ _ - • -----~-- ____ _. I
f(a)
I I I I I I I I I I
a b
117
J. 8EBABTIAO E SILVA
Designaremos por V e (f) este conjunto (ler: 'vizinhança (e) de f').
Geometricamente, V e (f) é constituída por todas as funções cujos
gráficos estão compreendidos entre os gráficos de f(x) + e e de
f(x) - e ( 1 ). Posto isto, é fácil resolver o seguinte
PROBLEMA: Dado um número 8 > O, determinar um número
e > O, tal que, se a função g é aproximada de f a menos de e,
então s: g é aproximado de s: f a menos de 8 (supondo que f
e g são integráveis em [ a,b ]).
Aplicando a fórmula (5) e pondo e (b-a) ~ 8, vê-se que
basta tomar
8
b-a I
para que o problema esteja resolvido.
Assim, em conclusão, fica provado o seguinte TEOREMA:
DEFINIÇÃO 2. Diz-se que uma sucessão q>0 de funções con
verge uniformemente para f em [ a,b ] , sse, para todo o ~ > O,
existe um p tal que todas as funções cp 0 para n > p são aproxi
madas de f a menos de e em [ a,b].
( 1) Simbolicamente, v, (f) - {cp: jf(x) - <p(x) j < c , vx E [a,b]}
288
OOMP:tbNDIO DE MATEMATIOA
Do teorema (6) resulta imediatamente o seguinte
COROLÁRIO. Se uma sucessão cp0
de funções converge uni
formemente para f em [ a,b ], então
(supondo as funções f e cp0 integráveis em [a,b ]).
18. Métodos de integraçã1o numérica*. Passemos, agora,
em revista alguns métodos directos de integração num~rica:
1) Método dos rectângulos. O caso mais simples das fun
ções integráveis é o das funções constantes. Se cp(x) = k em [ a,b ],
tem-se, evidentemente, J: cp = k(b- a).
a b
Seguidamente, aparecem-nos as funções em escada. Diz-se
que cp é uma fu.nção em esc{Jda em [~,b ), quando este intervalo se
decompõe ·num.· n.úmero finito ~e intervalos disjuntos, e~ que cp é
constante. Neste caso cp é integrável em [ a,b ). Se forem (x0,x 1 [,
C M-19 .
J. 8EBABTIAO E1 8l'L VA
[x 1,x2
[, ... , [xn-1' xn], com x0 =a e xn =b, os intervalos em
que <p é constante, tem-se:
n-1 f! <p = L Yp(Xp+ 1-xp) , onde Yp = <p(Xp)
P=O
Ora, segundo a própria defini~ção de integral, torna-se evidente
que o integral de uma função f em [ a,b] pode ser sempre calculado
como limite de integrais de funções em escada, <p, tendo-se neste caso Yp = <p(Xp) = f(xp), para p =O, 1, ... , n-1 (1).
No caso em que f(x) > O em [ a,b ], cada termo Yp ÂXp que
intervém no integral da função em escada dá a área do rectângulo
de base Ãxp e altura Yp· Daí a designação 'Mt:TODO DOS
RECTANGULOS' atribuida a este método.
Quando a função f é monótona no intervalo [ a,b ], torna-se
aconselhável uma ligeira modificação, que aumenta consideravelmente
a convergência do processo: em vez de tomar os valores de f nos
extremos inferiores dos intervalos parciais, devem-se tomar os
valores de f nos pontos médios desses intervalos (nos casos usuais
[ a,b] decompõe-se num número finito de intervalos em que f é
monótona) .
Mesmo assim, o método dos rectângulos é demasiado moroso,
como se viu no n.o 7. Interessa, pois, substitui-lo por métodos mais
expeditos.
Uma primeira ideia que surge agora, naturalmente, é a de recorrer
aos métodos de interpolação por diferenças finitas, considerando o
intervalo [a,b] dividido em intervalos de comprimento Âxp todos iguais.
( 1 ) Se a função f á contfnua em [a,b], prova-se que, para todo o e> O,
existe uma função em escada <p tal que <p E V e; (f), isto é, tal que lcp(x)- f{x) 1 < 8~ vx e [a,b). Aliás, no fundo, é a partir deste facto que se demonstra que toda a função continua em [a, b] é integrável neste intervalo.
290
OOMPSNDIO DE MA.'l'EMATIOA
2) Método dos trapézios. Este método corresponde a fazer
interpolações por primeiras diferenças em ·cada um dos intervalos
parciais. Então f é substitufda nesses intervalos por funções lineares,
cujos gráficos são as cordas correspondentes do gráfico de f.
v,
x, -X 3
Em particular, se f(x) ~ O em [ a,b], isto corresponde a substituir os
rectângulos do método anterior por trapézios (donde o nome
'Mi:TODO DOS TRAPI:ZIOS' dado a este processo). Então, pondo
Yp = f(xp), o integral de f em [ a,b] é dado como limite da seguinte
sucessão de somas:
S = b-a (Yo+Y, + Y1 +Y 2 + ... + Yn-~+Yn) n n 2 2
= b-a ( Yo+Yn ) + Y1+y2 + ... +Yn-1 n 2
A majoração do erro pode ser feita por meio da fórmula
291
J. BEBABTIAQ E BILV A
onde M é um majorante finito de lf"l em (a,b ], supondo que f"
existe e é limitada neste intervalo ( 1 ).
3) Método de Simpson. Neste método, o intervalo [a,b] é
dividido num número par, 2n, de intervalos iguais e a função f é
substitufda, em cada intervalo [xp,Xp+ 2 ], com p = O, 2, 4, ... , ... , 2n-2,
pela função polinomial de grau n ~ 2:
onde h = b2na , fJ.yP = Yp+ 1 -Yp , â 2yp = Yp+ 2 -2yP+ 1 +Yp· Um
cálculo simples mostra que o integral desta função em [xP,xP+ 2 ] é:
Então um valor aproximado de f: f será Sn = A1 +A 3 + ... +A 2n- 2
ou seja:
Esta é a FORMULA DE SIMPSON. Prova-se que a majoração do
erro, neste caso, pode ser feita por meio da fórmula
(b-a) 5
I Sn - J: f I ~ M, 4151 n 4
( 1 ) Nos intervalos em que f" tem sinal constante, pode fazer-se outro tipo
de majoraçio, recorrendo às tsngentes nos pontos de abcissas x 0, x 1, •• • , Xn·
292
OOMPSNDIO DE MATEM.ATIOA
onde M é um majorante de 11<4> I em [ a,b ], supondo que f admite
4.• derivada, limitada em [a,b ] . Comparando-a com a anterior, para o método dos trapézios, vê-se que este método converge muito mais rapidamente, visto que no denomina dor figura n 4 em vez de n 2.
19. Fórmula de Taylor*. Entre os métodos de integração
numérica mais usados figuram os métodos de integração por séries.
Para dar exemplos destes convém previamente deduzir a chamada
'fórmula de Taylor'.
Seja J um intervalo qualquer da recta e a um ponto arbitrário
de J. Sendo cp uma função contrnua em J, convencionemos escrever:
d. cp (x) = J: cp (u)du , \fx E J
Assim, segundo o TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
INTEGRAL, d. é o operador que transforma cp na primitiva de cp
que é nula em a (visto que o integral se anula para x =a). Em
particular, se cp se reduz a uma constante k em J, tem-se:
(x-a) 2 d. k = k(x-a) , ~2k = k ---
2
Dum modo geral:
(1) (x-a)"
~"k=k---nl
(x-a) 3
, ;;].3k-- -2 x 3
, \fn E IN
, .. '
193
J. ·BEBAB'l'IAO E BILVA
Seja, agora, f uma função que admite derivada de ordem n
continua em J. Esta pode representar-se por f(n) ou por D"f.
Como f(n) = ot<n- 1) , f(n- 1) é uma primitiva de f(n) e, portanto:
~ f{n) (x) = f(n- 1) (x) - f(n- 1) (a)
Por sua vez, e atendendo a (1 ), resulta daqui:
;} 2f(n) (x) = f(n- 2 ) (x)- f(n- 2 ) (a) - f(n- 1 ) (a) (x-a)
;}3f(n) (x) = f(n- 3) (x) -f( A- 3) (a) - f(n- 2) (a) (x-a) -
(x-a) 2 -t<n-1) (a) - - -
21
e assim sucessivamente. Conclui-se por este processo que:
(x-a) 2 (x-a) 3
~"f(n) (x) = f(x)-f(a)-f'(a) (x-a)-f"(a) - f'"(a) - ... 2' 3!
Daqui, se pusermos
virá:
(x-a)n-1 ---- f(n-1) (a)
(n-1)1
;] "f(n) (x) = Rn(X),
(x-a) 2 (x-a)n-1 f(x) = f(a) +(x-a) f'(a) + f"(a)+ .. ·+ f(n- 1 ) (a)
2! (n-1)1
+ Rn(X)
294
J. BBBA-B'I'IAO E 81LV A
Esta é a importante FóRMULA DE TAYLOR, que se pode
escrever abreviadamente:
n -1 (x-a)P (2) f(x) = I: --- f{P) (a) + Rn(x) , Vx E J
P=O pl
considerando f {o) = D0f = f.
O termo Rn(x) é chamado o resto da fórmula de Taylor para f
no ponto a. São conhecidas várias expressões para este termo,
como por exemplo a seguinte:
(x-t)" - 1
Rn{X) = f: f{n) (t) dt , Vx E J (n-1) I
Esta expressão, que indicamos a tftulo de curiosidade, pode ser
deduzida por meio de sucessivas primitivações por partes, a partir de f(n)_
O que nos interessa agora, propriamente, é uma fórmula de
majoração para Rn(x):
Seja Mn um majorante de lf{n) (x) I em J , isto é:
lf(n) (~)I ~ Mn , Vx E J .
Então virá, supondo x > a [ cf. n.0 17, (1) e (3) ):
I d. f(n) (x) I = I J: f(n) (u) du I~ (x-a) Mn
(x-a) 2
1 d- 2 f{n) (x) I ~ J: (u-a) Mndu = Mn 2
(u-a) 2 {x- a) 3
I ;}.3 f .<x) (x) I~ f: 2
Mndu = Mn 2 x 3
29.5
,J. BEBABTIJIO E SILVA
e assim sucessivamente até d.":
lx-ai" I d." f(n) (x) I ~ Mn
nl
Pusemos agora x-a entre sinais de módulo, porque, como é
fácil ver, a fórmula também é válida assim para x ~ a. · Será, pois,
esta uma FÓRMULA DE MAJORAÇÃO DO RESTO.
20. S6rie de Taylor•. Suponhamos que f admite derivadas
continuas de todas as ordens em J. A fórmula de Taylor pode então
escrever-se, para todo o n e IN:
(1) n (x-a)P
f(x) = ~ --- f(n) (a) + Rn+ 1 (x) , Vx e J p=O pl
Suponhamos, além disso, que o resto tende para zero em J
quando n -+ O, isto é, que
{2) lim n-+ oo
Rn(x) =O , Vx eJ
O mesmo acontece, é claro, com Rn+ 1 • Passemos, agora, ao
limite em {1) quando n -+ oo . ~orno x se m_antém fixo (isto é,
não depende de n), o primeiro membro de (1) é constante e,
portanto, virá:
f(x) = lim n-+oo
n (x-a)P ~ ---f(P)(a) , VxeJ
p=O pl
296
COMPSNDIO DIG MATEMATIOA
Esta fórmula escreve-se mais simplesmente como segue:
oo (x-a)P f(x) = I: --- f(P)(a) , 'Vx e J ,
p=O p!
ou ainda, desenvolvendo
(x-a) 2 (x-a)" (3) f(x) = f(a) + (x- a)f'(a) + f"(a)+·· ·+ f(n)(a)+ ···
21 nl
Como se vê, enquanto a fórmula de Taylor tem um número
finito de termos, esta tem um número infinito de termos: o 2.0 mem
bro é uma série (cf. Cap. I, n.o 32), chamada precisamente a
série de Taylor de f relativa ao ponto a. Em conclusão:
TEOREMA 1. A função f é representllvel pela série de Taylor (3)
no intervalo J, sse a condição (2) se verifica.
Vamos, agora, ver o seguinte
TEOREMA 2. Uma condição suficiente para que se verifique
(2) é que todas as derivadas f(n) admitam um mesmo majorante
finito em J, isto é, que exista um. número M tal que:
lf(n) (x) I ~ M , 'Vx E J , n E IN
Com efeito, se esta condição se verifica, tem-se:
lx-ai" IRn(x) l ~ M , Vx E J , n E IN
nl
297
J. BEJBABTIAO E SILVA
Ora, quando n ~ oo, o primeiro factor do 2.0 membro tende
para zero (cf. Cap. I, n.0 31, exerdcio V) e, como M é constante,
vem lim Rn(x) =O , Vx E J . n~O
21. Desenvolvimentos em série de potências*. Quando
a = O, a fórmula de Taylor e a série de Taylor simplificam-se:
x2 xn-1 f(x) = f( O) + xf' (O) + f" (O) .. · +
2! f(n- 1 ) (0) + Rn(X)
(n-1)
f(x) = oo x" ~
n=O nl f(n)(O) = f(O) + xf'(O) + ... +
x" f(n) (O) + · ·· ,
nl
passando a chamar-se fórmula de Mac-Laurin e série de Mac-Laurin,
respectivamente. Vamos, agora, aplicar os resultados anteriores a
algumas funções usuais:
1) Seja f(x) = ex e J = [- fX, fX), sendo fX qualquer número
positivo. Então já sabemos que
f(n) (x) = ex , Vx E J , n E IN,
e, como ex é crescente em J, tem-se ex~ efX ou seja:
lf(n) (x) I~ efX , Vx E J , n E IN
Portanto, segundo os teoremas 1 e 2 do número anterior, esta
298
OOMPBNDIO DE MATEMATIOA
função é representável pela sua série de Mac-Laurin em J . Ora
f(n) (O) = e O = 1, Vn E IN. Portanto:
oo x" x 2 x3 x" ex= l: - =1+x + - +- + .. · + - + .. .
n=O nl 21 31 nl
para todo o x E [-IX, IX]. E, como IX é um número positivo qual
quer, segue-se que esta fórmula é válida para todo o x E I R. Em
particular, obtém-se uma expressão para o número e:
00 1 1 1 1 1 e = ~ - =1 + - + - + - +· .. + - + ...
n=O nJ 1! 21 31 n!
2) Seja f{x) = cos x e J = [- IX ,IX ], com or. positivo qualquer.
Então:
7t f'{x) = - sen x = cos (x + - ) , f" {x) = - cos x = cos{x + rt},
2
3 f'" (x) = sen x = cos(x + -rt) , f 1v{x) = cos x = cos(x + 2rt)
2
Dum modo geral:
donde:
1t f(n) {x) = cos {x + n - ), Vx E J , n E IN,
2
lf(n) (x) I~ 1 , Vx E J , n E IN
A função cos x é, pois, representável pela sua série de Mac-
299
J .. BEBA.BTIAO E BILVA
-Laurin em [-cx,cx], Vcxe iR, e portanto em IR. Agora f(0)=1 ,
f" (O) = - 1, f" (O) = O, . . . Portanto:
x 2 x4 x6 x2n COSX=1- - + - - - + ···+(-1)" + : ..
2! 41 61 (2n)l
oo x2n - :E (-1)"--
n= O (2n) I I Vx e iR
3) De modo análogo se vê que:
x3 xs x7 x 2n+, senx=x- - + - - - + .. · +(- 1)" + ···
31 51 7 I ( 2n + 1 ) I
00 x2n+ 1
- :E (-1)"- - -n=O (2n+1)1
Vx E IR
EXEMPLO NUM!:RICO. Calcular sen 36° com 7 algarismos exactos. !: preciso primeiro passar de graus a radianos:
36° = rr:/ 5 rad ~ 0,62831853 rad
Calculando sucessivamente as somas
parciais 50
da série dos senos, para
x = 0,62831853 e n = 1, 2, ... , por meio
do computador do L. N. E. C., obtive-
0,62831853
0,58697683
0,58779288
0,58778521
ram-se os resultados indicados à margem. 0,58778525
Os algarismos estabilizaram-se até à 7. a ordem decimal a partir da
4.8 soma e podem considerar-se exactos, porquanto o termo seguinte
da série é bastante menor que 1 O- 7 e os erros de arredondamento
300
OOMPSNDIO DE MATEMATIOA
afectam só o último algarismo, visto o número de termos ser inferior
a 6. Tem-se, pois, com 7 algarismos exactos:
sen 36° = 0,5877852
Note-se que os valores são alternadamente superiores e infe
riores ao limite, como era de esperar.
22. Integração de s6ries termo a termo•. Comecemos por
um exemplo simples. Sabemos que se tem ( 1 ):
(1) 1 r"
- - = 1 + r + · .. + r"- 1 + -- , 'r/r :F 1 , n e IN 1-r 1-r
Seja, agora, x um ponto qualquer de ]-1, 1 [. Integrando ambos
os membros de (1) em ordem a r, entre O ex, vem:
(2) 1 x2 x" r" r - -dr = X + - + .. · + - + t -- dr 0 1- r 2 n ° 1-r
Ora tem-se, por um lado:
(3) x dr f - = -log(1-x) 0 1-r
( 1 ) Basta multiplicar ambos os membros por 1 - x para reconhecer que a
fórmula 6 válida.
301
J. BErBASTIAO E BILVA
Por outro lado, . como
r" I x" I I - I ~ , para lrl < lxl, 1-r 1-r
vem (cf. n.o 16):
r" lxl" I f~ - dr I~ I f~ - dr I = I x I " l log(1-x) I
1-r 1-r
Isto mostra que o último termo de (2) tende para O quando
n -+ oo . Logo, atendendo a (3), virá de (2), por passagem ao
limite quando n -+ oo:
x2 x" oo x" (4) -log (1 - x) = x + - + .. . + - + .. . = ~ -
2 n n= 1 n
donde, mudando x em -x e multiplicando por - 1:
x2 x3 x" (5) log(1 +x)=x- - + - - .. ·+ (- 1)"- 1 - + ·· ·
2 3 n
Assim, como se vê, o desenvolvimento de log (1 +x) em série
de Ma c-Laurin pode obter-se, integrando termo a termo a série
correspondente de (1 +x)- 1.
Mas a convergência da série (5) é demasiado lenta·. Somando
(5) e (4) membro a membro, obtém-se o seguinte desenvorvimento,
que se aplica, na prática, ao cálculo numérico de logaritmos:
1 +x x3 x 5 x2n+ 1 (6) log - - = 2 (x+ - + - + ··· + + ···)
1-x 3 5 2n+1
302
OOMPRNDIO DE MATEMATIO'A
Vejamos um segundo exemplo. Substituindo r por -t2 em (1 ),
vem:
1 (-t2) 0 =1-t 2 +t4 - .. · +
1 + t 2 1 + t 2
Discorrendo como no caso anterior, vê-se que esta série pode
ser integrada termo a termo entre O e x, para todo o x E]- 1,1 [
e que, portanto:
x3 x 5 x 2n+ 1 (7) are tg x = x-- + - - ··· + (-1 )" + ···
3 5 2n+1
Em particular, para x = 1, deduz-se daqui:
(8) 7t 1 1 1
- =1- - +-+ ... +(-1) 0 + ··· 4 3 5 2n+1
Poderíamos tentar utilizar esta série para o cálculo numérico de n.
Mas a convergência é extremamente lenta: para obtermos 1t a menos
de 0,0001 , teríamos de somar mais de 1 000 termos da série I
No entanto, MACHIN notou que, se pusermos
1 ex = arctg -
5
1 (3 =are tg -- ,
239
se tem, como é fácil verificar, calculando a tangente dos dois mem
bros (é um exercício simples):
7t - =4cx- (3 4
303
J. BEBAB'I'IAO E BILV A
Daqui e de (7) deduz-se:
1 1 1 1 1t=16(-- + +· .. )-
5 3x53 5 x 56 7x57
1 1 1 - 4 ( 239 - 3 X 239 3 + 5 X 239 S - •• • )
Esta fórmula já permite um cálculo rápido de n. Tem-se, por . .
exemplo:
1 1 1 1 16 (- - + ) - - = 3,1415 ...
5 3 X 53 5 X 5 5 239
Vejamos, agora, um terceiro exemplo. Do desenvolvimento de ex
em série de Mac-Laurin, deduz-se, para todo o x ~ 0:
ex 1 x x2 x"- 1
(7) - =-+1+-+-+···+ +··· X X 2 31 nl
Utilizando a majoração do termo do resto, pode ver-se, como
nos casos anteriores, que esta série, exclurdo o primeiro termo, é
integrável termo a termo em qualquer intervalo limitado. Daqui se
conclui que uma primitiva de ex/x será dada pela fórmula:
ex x 2 x" P - = C + log lxl + x + + .. · + + · ..
x 2 x2 nxnl
em que C é uma constante arbitrária. Em particular, quando o valor
de C é a chamada 'constante de Euler', esta primitiva (definida para
todo o x i: O) será precisamente a função Ei(x) (exponencial
integral de x).
COMPPJNDIO DE MATEMATICA
Dum modo geral:
DEFINIÇÃO. Diz~se que uma série de funções
00
Cf>o (x) + cp, (x) + ... + cpn (x) + ... = I; Cf>n (x) n=O
é uniformemente convergente num intervalo [ a,b ], sse a soma
Cflo (x) + cp 1 (x) + .. · + ~n (x) converge uniformemente para uma
função f(x) em [ a,b ].
Por outro lado, do corolário do teorema do n.0 17 deduz~se o
seguinte
00 TEOREMA. Se uma série ~, Cf>n{x) é uniformemente conver
n=O gente num intervalo [a,b ], definindo ai uma função f(x), então a
série pode ser integrada termo a termo em [ a,b], isto é, tem-se:
00
Jb f = Jb rn + fb rn + . .. + Jb rn + .. . = ~ fb b rn a a TO 8 T 1 a Tn 0
8 Tn n=
Este teorema é de grande utilidade na prática e podia ter sido
utilizado para justificar as anteriores integrações termo a termo.
Um outro exemplo, entre inúmeros que podem ser citados, é-nos
fornecido pelos integrais elfpticos (cf. n.0 14). O cálculo numérico
destes é efectuado, habitualmente, desenvolvendo as funções
em séries binomiais de potências de sen 2 t e integrando depois
essas séries termo a termo entre O e e, para cada e e [ -rr:/2, rr:/2],
pois prova-se que tais séries são uniformemente convergentes
neste intervalo, se lkl < 1.
c M·IO ·
J . SEBASTIÃO E SILVA
EXEMPLO NUM~RICO. Calcular f~ ~x dx com 6 algarismos
exactos, a partir da série (7), atrás obtida para ex/x.
Prova-se que esta série é uniformemente convergente em qual
quer intervalo limitado e fechado a que não pertença a origem.
Podemos, pois, integrá-la termo a termo no intervalo [1, . 5], o
que dá:
x 2 3 n 5 e 15 15 X 15 X 15 X 15 f - dx = Jog x + x + - + -- + · · · + - - + .. · 1 x 1 1 4 1 3.3 I 1 n.n I 1
Ora, tem-se:
15 ls x2 1s log x 1 = log 5 - log 1 = 1 ,6094379 , x 1 = 5 - 1 = 4 , 4 1 = 6, · · ·
Calculando e somando sucessivamente os dois primeiros termos,
os três primeiros, etc., o computador do L.N.E.C. forneceu os seguin
tes valores aproximados de integral:
5,6094379; 11,609438;
30,204994; 33,821660; 38,114217; 38,225422;
38,287976; 38,289532; 38,290147; 38,290155.
18,498327;
36,036059; 38,267896;
38,289988;
24,998327; 37,247896;
38,282975; 38,290114;
Podem considerar-·se estabilizados os 6 primeiros algarismos.
Além disso, como o número de parcelas para obter o último
é 18, os erros de arredondamento produzem na soma um erro não
superior a 18 x 1 O - 6 < 0,00002. Tem-se, pois, até à ordem decimal
indicada:
ex f~ - dx = 38,2901
X
306
COMPSNDIO DE MATEM.ATIOA
NOTAS IMPORTANTES
I. O cálculo do exemplo anterior foi executado pela máquina
em breves segundos, e muito mais rápido teria sido, se o pro
grama tivesse pedido apenas o último valor aproximado. Esta bre
vidade contrasta singularmente com o quarto de hora despendido no
cálculo numérico directo, como se indicou no n.o 7, o que não
admira, visto que, nesse caso, foi necessário calcular, por meio da
série (7), o valor de ex /x em 2520 pontos.
11. O computador permite calcular facilmente o referido integral,
pelo método anterior, com a aproximação que se queira. Com efeito,
o resto da série, depois dos 19 primeiros termos é, como se viu, infe
rior a 1 O- 4, o que permite fazer o seu cálculo, de modo análogo,
com cerca de 6 algarismos exactos, e assim sucessivamente.
111. Como se vê, o método de integração, por séries, pode ser
extremamente vantajoso na prática. Mas nem sempre á aplicável,
ou porque a função integranda não é desenvolvfvel em série de
funções simples, uniformemente convergente no intervalo consi
derado, ou porque tal desenvolvimento existe, mas é complicado ou
converge muito lentamente. Nestes casos, é inevitável recorrer a
integrações numéricas por decomposição do intervalo, que podem
no entanto ser associadas, em certos casos, à utilização de alguns
termos iniciais de desenvolvimentos em série.
23. Exemplos de equações diferenciais*. Quase todos os
problemas de análise infinitesimal relativos às ciências da natureza
se traduzem sob a forma de equações diferenciais. Vejamos alguns
exemplos.
30'1
J. BEBABTIAO E SILVA
EXEMPLO I. Achar uma função que coincida com a sua deri
vada. Considerando a função sob a forma y = f(x) , o problema tra
duz-se pela equação diferencial:
(1) y' = y; mais explicitamente: f'(x) = f(x).
O leitor já conhece uma solução desta equação: a função y · = ex.
Mas há outras soluções: qualquer função da forma y = Cex é também
solução da equação (1 ), como se pode verificar. Pergunta-se, agora:
Estão aqui todas as soluções de (1) 7 Vamos ver que sim. Tem-se,
com efeito ( 1 ) :
f'(x) f' (x) = f(x) <> = 1 <> Dxlog lf(x} I = 1
f(x)
Ora, já sabemos (n.0 1) que todas as soluções desta última são
da forma
log I f(x) I = x + c (c, constante arbitrária),
o que equivale a escrever:
f(X) = CeX , pondo C = ± eC
Mais geralmente, se considera1rmos uma equação
y' = ky , sendo k uma constante =F O,
vê-se que a solução geral {também chamada integral geral) da equa
ção é dada pela expressão
y = cekx (k, constante arbitrária)
( 1 ) Excluindo a solução nula.
308
COMP'SNDIO DE MATEMATIOA
O problema assim posto é, como se vê, indeterminado: tem
uma infinidade de soluções. Para obter um problema determinado
(isto é, com uma única solução), é preciso juntar-lhe uma outra
condição, que pode ser, por exemplo, o valor da função incógnita
para x = 0:
f(O) = Y0
(chamada 'condição inicial')
Neste caso, tem-se, como é fácil ver:
f(x) = y0
ekx
No n.0 4, estudámos dois exemplos concretos que conduzem
a equações diferenciais deste tipo: desintegração radioactiva e cres
cimento populacional.
EXEMPLO 2. Achar uma função y = f(x) tal que
(2) y" =- y
Pensando um momento, o leitor encontra logo duas soluções
desta equação: as funções sen x e cos x. Depois, atendendo aos
teoremas sobre derivadas, verá que são soluções de (2) todas as
funções da forma:
(3) y = A sen x + B cos x,
onde A e B são constantes arbitrárias. Ora, demonstra-se que estão
aqui todas as soluções de (2), isto é: a fórmula (3) dá-nos a
solução geral (ou o integral geral) da equação diferencial (2).
Mais geralmente, dada uma equação do tipo
(4) y" =- h2y (h, constante não nula),
309
J. 81JJBA8TIA.O E SILVA
prova-se que o seu integral geral é:
(5) y = A sen hx + B cos hx
Neste caso, para tornar o problema determinado, é necessário
dar, por exemplo, os valores da função incógnita e da sua derivada
no ponto 0:
f(O) = y0
, f'(O) = y'0 (condições iniciais)
e é fácil deduzir de {5) que y0 = 8 , y' 0 = hA, donde:
(6) y'o
Y = Yo cos hx + - sen hx h
Um problema concreto que se traduz por uma equação do tipo (4)
é o das vibrações simples.·
Determinar a equação do movimento de, um ponto material P,
que se desloca sem atrito sobre uma recta, atraldo para um ponto
fixo O dessa recta, por uma força proporcional à distância de P a O { 1 ) •
Suponhamos a recta orientada e seja s a abcissa de P em cada
ins,tante t, tomando O para origem. O que se pretende é determinar s
em função de t, isto é, achar a equação dos espaços, s = f(t). Designando por m a massa do ponto material e por k a constante de
proporcionalidade, o problema traduz-se pela equação diferencial:
ms" = - ks (supondo k > O)
{ 1 ) i: este, aproximadamente, o caso da ponta da lâmina, considerado no
Cap. I, n.0 37, ou o caso de um diapasão, ou ainda o de um péndulo simples,
quando o ângulo de afastamento é pequeno.
310
COMPSNDIO DE MATEMATIOA
Com efeito, s" [ou seja f" (t)] é a aceleração em cada instante t e
portanto ms" é a força que solicita P, força esta proporcional a lsl, mas de sinal contrário ao de s, por ser atractiva. ~ claro que
k , k 11 m S = - S<=> S = - - S, m
donde, por comparação com (3) e (6), pondo Yk/m = 6>:
V o s = s0 cos t + - sen 6> t
(J)
Esta é a equação do movimento vibratório simples, em que s0 é o
espaço inicial e v 0 a velocidade inicial.
Suponhamos agora que, à força atractiva, se opõe a resistência
do ar, sendo esta proporcional à velocidade s' e sendo k o coeficiente
de proporcionalidade. Neste caso, o problema é traduzido pela equação
diferencial
11 h I k ms = s - s (h > O, k > O)
Prova-se que a solução geral desta é :
s = e-Àt(A sen w t + B cos Cõ t),
em que À = h/m, w = Y k/m- À 2 , e A e B são constantes arbitrárias
que podem ser determinadas a partir de s0 e v0 •
Trata-se, agora, do movimento vibratório harmónico amortecido
(cf. Cap. I, n.o 37).
Consideremos finalmente o caso em que, à força elástica atrac ..
tiva, se adiciona uma força periódica f que excita a vibração. Seja
por exemplo f = q sen (&) 1 t, com q e (I) 1 constantes. Para maior
311
J. BEBABTIAO E SILVA
simplicidade vamos supor m = 1 e h = O (no caso geral as conclusões
são análogas). Então, a equação diferencial de movimento pode
escrever-se:
s" = - ks + q sen w 1 t
Se pusermos agora yk = w, é fácil verificar que uma solução par
ticular da equação será:
s = p sen w 1 t,
em que
q (amplitude da vibração)
Como se vê, quando a pulsação w 1 se aproxima de (t), a ampli
tude p tende para oo (fenómeno chamado 'ressonância').
A solução geral (ou integral geral) da equação é, neste caso:
s = p sen w 1 t + A sen w t + B cos w t,
sendo A e B constantes arbitrárias.
24. lntegrac;io numérica de equações diferenciais*. Como
vimos pelos exemplos anteriores, as soluções das equações diferen
ciais são funções e não números. Por exemplo, na equação
f" (x) = - f(x), a variável numérica x é uma variável aparente, visto
que a igualdade deve ser verificada qualquer que seja x. Trata-se,
pois, de uma condição na variável f (variável funcional). Esta con
dição pode escrever-se mais simplesmente f" = - f, ou ainda y" = - y,
312
COMPt!lNDlO DE MATEMATICA
com y = f(x); mas esta última forma da equação, embora usual e
cómoda, é na realidade um abuso de escrita, em que se confunde
função com variável dependente.
Dum modo geral, chamam-se equações funcionais as equações
(isto é, as igualdades condicionais), cujas soluções devem ser
funções. Por sua vez, chamam-se equações diferenciais as equações
funcionais, em que a função incógnita aparece relacionada com a sua
derivada ou com as suas derivadas, até certa ordem, por meio de
expressões analíticas que incidem sobre os valores dessas funções
e ainda, eventualmente, sobre os valores da variável independente.
A mais elevada ordem das derivadas que figuram na equação chama
-se a ordem da equação diferencial. Por exemplo, a equação dife
rencial y' + y = O é de 1. a ordem, enquanto a equação diferencial
y"- y' = (1 - x2)y é de 2.8 ordem.
Apresentam-se também, na prática, sistemas de equações dife
renciais. São exemplos tipicos de tais sistemas os que descrevem o
movimento de um ponto no espaço; neste caso, as incógnitas são as
coordenadas x, y, z do ponto, num dado referencial, consideradas
como funções do tempo t.
Temos estado até aqui a subentender que as funções incógnitas
são funções reais de uma variável real. Mas podem ainda apresen
tar-se equações diferenciais em que a incógnita é uma função de
duas ou mais variváveis reais e, como, neste caso, intervêm, na equa
ção derivadas parciais (cf. n.o 42) a equação diferencial chama-se
equação em derivadas parciais, enquanto as primeiras se chamam
equações diferenciais ordinárias. São exemplos muito importantes
de equações em derivadas parciais: a equação das ondas (sonoras,
electromagnéticas, etc.), a equação da difusão (do calor, de substân
cias dissolvidas, etc.), a equação de Laplace (relativa a potenciais
eléctricos, etc.) e muitas outras.
~ claro que o problema da primitivação corresponde já a resolver
uma equação diferencial do tipo y' = f(x), em que f é a função
313
J . BEBABTIAO BJ. SILVA
dada. t:, portanto, de esperar que, na resolução das equações dife
renciais, surjam dificuldades semelhantes às que verificámos a pro
pósito da primitivação: em geral não é possrvel resolver uma equação
diferencial por métodos elementares, que conduzam a expressões
anaUticas conhecidas; torna-se, então, necessário recorrer a métodos
de resolução (ou integração) numérica.
Para dar uma ideia destes métodos, limitar-nos-amos ao caso
simples de uma equação da forma:
(1) y' = f(x,y),
em que f(x,y) é uma função dada, de duas variáveis. O que se pre
tende é achar uma função y = cp(x) que verifique (1 ), isto é, que
transforme (1) numa identidade:
cp'(x) = f(x, cp(x))
O problema, quando possfvel, é geralmente indeterminado. Mas,
na prática, junta-se normalmente a (1) uma condição inicial, isto é,
dá-se o valor da função incógnita num ponto x0 :
(2)
Ora, a equação (1) pode escrever-se sob a forma
dy - = f(x,y) dx
que nos conduz a considerar a igualdade aproximada
(3) ô.y ~ f(x,y) ô.x
em que os diferenciais foram substitu/dos pelas diferenças finitas.
314
OOMPBNDIO DE MATEMATICA
Consideremos, então, um intervalo [ x0 ,x ], com x variável, e uma
sequência de pontos
X0 < X 1 < X 2 < .. · < Xn = X,
tais que Llxp = xP+ 1 - Xp =h, para p =O, 1, ... , n-1. Supondo que
existe uma e uma só solução y = cp {x) de {1) que verifique {8) e
pondo Yp = cp {xp), para p = 1, 2, ... , n-1, virá então de (3) :
Por sua vez:
e assim sucessivamente, até Yn ~ y = cp(x) , supondo que os pontos
(Xp.Yp) pertencem todos a Dt, para p = 1, 2, .. . , n - 1.
A intuição diz-nos que se obtêm assim valores aproximados de
cp(x) com um grau de aproximação tanto maior quanto menor for h.
E esta intuição é confirmada pela lógica, quando a função f{x,y)
verifica certas condições que, normalmente, são satisfeitas na prática.
O método de integração numérica que acabamos de expor é
o mais elementar, entre os chamados 'métodos de integração passo a
passo'. Este, que corresponde ao método dos rectângulos no caso
da primitivação de funções (quando f(x,y) se reduz a uma função
só de x), é na prática demasiado moroso, devendo então ser substi
tu(do por outros métodos de integração passo a passo mais expe
ditos. Em certos casos, são aplicáveis métodos de integração por meio
de séries e, noutros ainda, métodos mistos, em que se faz uso ao mesmo
tempo de séries e de integrações passo a passo, aplicando fórmulas
de interpolação.
Seja como for, a integração numérica de equações diferenciais
é geralmente um problema que exige técnicas muito delicadas de
315
J. BEBABTIA.O E BILVA
cálculo numérico, que podem variar de caso para caso, conduzindo
com frequência a cálculos laboriosíssimos, que seriam impraticáveis
antes da era dos computadores electrónicos. Cálculos deste tipo
são, por exemplo, os que se referem a voas espaciais e a mfsseis
teleguiados.
Quando não se exige uma grande aproximação, são muito úteis
os computadores electrónicos analógicos, que resolvem rapida
mente equações de tipos mais ou menos complicados, fornecendo
as soluções com aproximação que pode ir até 0,05 %, e ainda
gráficos das soluções. Pode resolver-se por este meio, por exemplo,
a importante equação de Van der Pol:
d 2x dx - - - Ã(1-x 2) - + x =O, dt 2 dt
para diferentes valores do parâmetro À, uma vez conhecidos os
valores de x e x' para t =O (condições iniciais). Tais computadores
são de grande utilidade, sobretudo em questões de engenharia.
Tornando aos métodos de integração numérica, importa notar
que, no que se refere a equações em derivadas parciais, se conhece
ainda muito pouco sobre critérios matemáticos relativos à convergência
dos processos e à validade dos resultados como soluções, o que
obriga, por vezes, à construção de modelos para verificação experi
menta/dos resultados (cf. Cap.l, n.0 43, pp. 163-164).
Encontra-se pois, aqui, um imenso campo aberto aos jovens, que
estejam interessados em investigação matemática ligada ·a aplicações
concretas.
OBSERVAÇÃO FINAL. Este capituro, tal como o anterior, foi
muito mais longe do que se pode exigir, entre nós, num programa
liceal. O objectivo foi o de apresentar um panorama tanto quanto
316
OOMP:SNDIO DE MATEMATJ.OA
possível largo e actuarizado da análise infinitesimal, tendo em vista
fornecer ao leitor mais interessado ou mais necessitado (estão neste
caso os alunos que irão frequentar cadeiras de Matemáticas Gerais
e de Física em Escolas Superiores} uma preparação complementar,
que o ajude a vencer, pelos seus próprios meios, as dificuldades
que terá de enfrent~r.
317
, Indice
NOTA PR~VIA 7
ADVERT~NCIA 9
Capitulo I. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
§ 1. Cllcu/o numiJrico aproximado
1. Considerações prévias intuitivas . • 11
2. Erro de um valor ap1oximado . . 14
3. Algarismos exactos dum valor aproximado. 20
4. Majoração do erro de uma soma . . . . 21
5. Cálculo aproximado de uma soma com erro inferior a um nllmero dado • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6. Erro do valor simétrico e erro do valor absoluto . 25
7. Majoração do erro de uma diferença. 27
8. Majoração do erro de um produto. . . 28
9. Cálculo aproximado de um produto com erro inferior a um número dado • . • . . . . . . . • . . • • 33
1 O. Majoração do erro de um quociente • 37
11. Cálculo aproximado de um quociente com erro inferior a um número dado. . • • . . . . . . • • . 40
425
J . BEBASTIAO E SILVA
12. Majoração do erro de uma potência . 44
13. Majoração do erro de uma raiz . . 46
14. Desvio relativo e erro relativo . 49
15. Erro relativo de um produto 50
16. Erro relativo do quociente . 51
17. Erros relativos da potência e da raiz . 52
§ 2. Teoria dos limites de sucessões
18. Métodos de aproximações sucessivas . 54
19. Convergência de uma sucessão . 61
20. Pormenores de terminologia. . . 68
21 . Primeiros teoremas sobre limites . . . 72
22. Álgebra dos limites . 75
23. Métodos de iteração 81
24. Critérios particulares de convergência . 84
25. Simbolos de impossibilidade e srmbolos de indeterminação 86
26. Limites inf initos. . 88
27. Operações com limites infinitos 90
28. Regras de cálculo com o símbolo oo 94
29. Novos símbolos de indeterminação. 96
30. Limite da exponencial . . . . . 99
31 . Soma de todos os termos duma progressão geométrica 102
32. Aproximações por meio de sér.ies. Série binomial 111
33. Um método geral de resolução de equações algébricas de qual-quer grau . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 1 17
426
OOMPBNDIO DE MATEMATIOA
§ 3. Limites de funções de variável real
34. Conceitos e propriedades elementares 129
35. Definição de 'limite de uma função segundo Cauchy'. 132
36. Axioma de Zermelo . . • . 135
37. Exemplos de limites de funções circulares e das funções expo-nencial e logaritmica . . . . 140
38. Indeterminações . 146
39. Funções contínuas 147
§ 4. Derivadas
40. Conceitos fundamentais e regras de derivação . 149
41. Conceito de diferencial 153
42. Regras de diferenciação 158
43. O conceito de diferencial nas ciências da natureza . . 160
44. Derivação das funções exponencial e logarltmica . 164
45. Derivada da função logarítmica . 171
46. Derivadas das funções circulares. 173
47. Máximos e mini mos, concavidades e inflexões. 175
48. Teorema de Cauchy. . . . 177
49. Método da tangente (ou de Newton) . 183
50. Método da corda (ou regra da falsa posição) . 189
51. Interpolação por diferenças finitas 191
Capitulo 11. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO INTEGRAL
1. O problema da primitivação 203
2. PrlmitivaçOes imediatas. . . . 207
427
J. 8EBABTIA.O E 81LVA .
3. Regras elementares de primitivação . . . . 211
4. Alguns exemplos de aplicação às ciências da natureza 218
5. Noção intuitiva de integral • . . . . • 228
6. Definição de integral . . . 235
7. O integral como limite de uma sucessão . 238
8. Interpretação geométrica do conceito de integral . 242
9. Valor médio duma função; teorema da média . 243
1 O. Teorema da decomposição do intervalo. 247
11 . Teorema fundamental do cálculo integral 249
12. Fórmula de Barrow . 257
13. Cálculo de áreas • . 262
14. Cálculo de volumes • • 265
15. Cálculo do comprimento de curvas 270
16. Novos exemplos da física • . . . 277
17. Propriedades em que se baseia o cálculo numérico de integrais 286
18. Métodos de integração numérica 289
19. Fórmula de Taylor 293
20. Série de Taylor. . 296
21. Desenvolvimentos em série de potências . 298
22. Integração de séries termo a termo 301
23. Exemplos de equações diferenciais. . 307
24. Integração numérica de equações diferenciais . 312
Capitulo 111- TEORIA DEDUTIVA DOS NÚMEROS NATURAIS
1. Caracterização da estrutura do grupóide ( IN,+) . • . 319
428
OOMPJ~NDIO DE. 1MATEMA'tiOA
· 2. Prindpio de indução em IN. Sucessões; definições por recor·
rência. . . . . • . . . . . . . . . . . . . 325
3. O princrpio de indução matemática em termos de compreensão. Demonstrações por indução • • . • • . • • . . 333
, ·.-- 4. Nova forma do raciocínio de indução matemática 342
5. Regresso ao problema inicial: caracterização da estrutura de (IN,+) • • . . . • . . • • • . • . . . . .344
6. Axiomática da teoria dos números naturais. Primeiras definições e teoremas • • • • . . • • • . • • . . . . • • • • . 346
7. Caracterização da estrutura aditiva dos números naturais (con-clusão) . • 353
8. Axiomática de Peano •
9. Axiomáticas compatlveis •
1 O. Axiomáticas categóricas • .
11. Axiomáticas independentes • .
12. Existem afinal conjuntos infinitos? • • . . . '
13. O problema da não contradição da aritmética . .
Aditamento I. Câlcolo de valores aproximados .
Advertência prévia. . . • • • . . . . . . .
1. O sistema da vírgula flutuante no cálculo elementar, no cálculo
359
362
363
365
366
375
383
383
logarítmico e no cálculo electrónico . . . . . . 385
2. Algarismos significativos e algarismos exactos • . 390
3. Arredondamento de valores numéricos . . . . . 394
4. Erro relativo e m1mero de algarismos exactos. • 395
6. Avaliação do erro do resultado de mtaltiplicações e divisões sucessivas • • • • 401
6. Caso da potência • 407
429
J. SEBABTIAO E SiliV'A
7. Caso da raiz 408
8. Caso da adição e da subtracção 409
Aditamento 11. Nova orientação no estudo do cálculo de valores apro-ximados . 411
NOTA FINAL . .. . .. . ........ . 423
430
Composto e impr.esso na Tipografw Guerra- Vt8eu
e concluiu-se em Março de 1976
GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO
MINISrtRIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTIFICA
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