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Aula Teórica 6: Estabilidade – Critério de Routh

. Critério de estabilidade de Routh

Erro de estado estacionário (Desempenho em Regime Permanente)

Critério de Estabilidade de Routh

É um método fácil que permite saber se o sistema é ou não estável

Estabilidade absoluta

Também permite limitar a fila em que devem estar alguns parâmetros para que o sistema seja estável

Considere a seguinte função de transferência de malha fechada:

)()(1 sHsG

elimina-se qualquer raiz zero0na

Primeiro passo Escreva a equação polinomial

onde

Nota: Se algum dos coeficientes é zero ou negativo em presenca de pelo menos um coeficiente positivo há uma raiz ou raízes imaginárias ou que tem partes reais positivas.

O sistema não é estável e se interrompe o método aqui

Montar a seguinte tabela:

Se todos os coeficientes forem positivosSegundo passo

Terceiro passo Aplicar o critério do Routh que diz

“O número de raízes da equação característica com partes

reais positivas é igual ao número de mudanças de sinal dos

coeficientes da 1a coluna da tabela”.

EXEMPLO:

Duas raízes com parte real positiva

Duas mudanças

Sistema Instável

Casos Especiais

a) Primeiro termo de uma linha é nulo:

-Substituir o termo nulo por um número positivo muito pequeno e continuar a completar a tabela ou - Multiplicar o polinômio por (s+1) e construir a tabela

EXEMPLO:

Duas mudanças

Duas raízes com parte real positiva

Sistema Instável

b) Todos os coeficientes em uma linha são nulos:

- O resto da tabela pode ser continuado formando um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha e usando os coeficientes da derivada deste polinômio na linha seguinte.

EXEMPLO:

derivando

Uma mudança

Uma raíz com parte real positiva

Sistema Instável

Determinar os valores de K para os quais o sistema de controle de malha fechada abaixo seja estável

A análise do desempenho em regime permanente de um sistema consiste no estudo do comportamento da resposta do sistema quando o tempo tende a infinito.

Desempenho em Regime Permanente

Este comportamento tem muita relação com uma classificação para os sistemas de controle que até agora vocês não conhecem

Podemos classificar um sistema de controle acordo com a sua habilidade para seguir entradas em degrau, rampa, parábola, etc...

OUTRA CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS

Considerando um sistema em malha fechada da forma:

O número de integradores é freqüentemente chamado de TIPO do sistema (N).

EXEMPLOS

43

5)(

2

SSsGH

)4(

5)(

SSsGH

2

5)(S

sGH

)43(

5)(

2

SSSsGH

)43(

5)(

22

SSSsGH

segunda ordem tipo zero

segunda ordem tipo um

segunda ordem tipo dois

terceira ordem tipo um

terceira ordem tipo dois

A especificação que denota o comportamento em estado estacionário ou de regime é

ERRO EM ESTADO ESTACIONÁRIO

ssE

Dá-se uma ordem para que um motor troque sua velocidade de

EXEMPLO

começa a mudança e ao estabilizar-se de novo a velocidade é

X rpm Y rpm

rpm 5.2Y Qual é Ess?

Voltando para laço fechado

o erro atuante Ea(s) é dado por:

Muito importanteEstá aqui não em outro lugar do laço

Aplicando o teorema do valor final, temos que o erro atuante estacionário ou de regime é dado por:

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

A entrada está na expressão do engano por isso este último dependerá entre outras coisas dela

1ro

O erro de regime para uma entrada degrau de magnitude A é:

Entrada Rampa2do

O erro de regime para uma entrada rampa de inclinação A é:

Definindo a constante de erro de velocidade estático (Kv) como:

2do

3ro

Resumindo até aqui

Que relação guarda isto com o tipo de sistema?

)1)........(1)(1(

)1...().........1)(1()(

2321

BSASSTSTS

STSTSTKsGH

baN

Suponha esta função de transferência de um sistema

O valor de N definirá o tipo de sistema

0N

1N

2N

3N

Vejamos como é que o erro ante cada entrada segundo o tipo do sistema

Tipo zero

0N

Um sistema tipo zero segue a uma entrada degrau com um erroe nunca seguirá a uma rampa ou uma parábola

Tipo um

1N

Um sistema tipo um segue com total exatidão a entrada degrau, pode seguir uma entrada rampa com um erro e nunca seguirá uma parábola

Tipo dois

2N

Um sistema tipo dois pode seguir com exatidão uma entrada degrau e uma entrada rampa mas a uma parábola a segue com um erro

Resumo