margem de fase e margem de ganho. o critério de estabilidade de nyquist leva em conta o ganho e a...

Margem de Fase e Margem de Ganho


O critério de estabilidade de Nyquist leva em conta o ganho e a faseDe G(jw) com relação ao ponto crítico -1.

Considere uma FTMA G estritamente própria e sem pólos ou zeros no SPD fechado, com a possível exceção de um pólo simples na origem.

G(s)C

R

)(sG jKes sR sC

Considere o sistema original estável.Como fica a estabilidade para o sistema perturbado?


-1 Re

Im


.1,0- ponto do tornoem voltasde número

mesmo o mantém deNyquist dediagrama o

qual opara faseda limite valor o é fase de margem A :Definição

G(jw)e j

.1,0- ponto do tornoem voltasde

número mesmo o mantém deNyquist dediagrama o

qual opara ganho do limite valor o é ganho de margem A :Definição

KG(jw)

K


GM

jwG

jwGGM

jwGKjwKG

jwKG

K

c

c

cc

1

mosNyquist te de gráfico noDaí,

1

Assim,

11

)0,1( ponto ocruza não de gráfico o

:s operturbaçãuma Para

)(sG Ks sR sC


00

00

00

00

arg180

Assim,

arg180

180arg

180arg

)0,1( ponto ocruza não de gráfico o

:s operturbaçãuma Para

c

c

c

cj

j

j

jwGMF

jwG

jwG

jwGe

jwGe

e

)(sG jes sR sC

Margens de Ganho e Fase pelo diagrama de Bode

Critério de estabilidade via diagrama de Bode. Considere uma FTMA GMA estritamente própria e sem pólos ou zeros no SPD fechado, com a possível exceção de um pólo simples na origem. Assuma que a resposta em frequencia de MA tenha apenas um único ponto de frequência de cruzamento de fase

e um único ponto de frequencia de cruzamento de ganho

Neste caso, a FTMF é estável se e só se MG>0 dB e MF>0

•Se a frequência de cruzamento de ganho é menor do que a frequência de cruzamento de fase

então a malha fechada é estável.

cπwcow

cπco ww

Análise de estabilidade via diagrama de Bode

Re

Im

h

1

Margem de Ganhopositiva

-1

1

Re

Im

h

1

-1

1

Sistema estável

)( jG

)( jG

Margem de Ganho

negativa

Margem de fase

positiva

Margem de fase

negativa

Sistema instável

Log

Log

Log

Log 90

270

180

0

dB

90

270

180

0

dB

Margem de Ganhopositiva

Margem de Ganho

negativa

Margem de fase positiva Margem de

fase negativa

Sistema estável Sistema instável

K em dB

Margem de fase

Estabilidade via diagrama de BodeEste sistema é estável.

Estabilidade via diagrama de Bode

Neste exemplo, o sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa é instável.

G(s)C

R

Estabilidade via diagrama de Bode

Considere um processo com função de transferência Gp(s). Se for utilizado um controle proporcional, determine a estabilidade em malha fechada para 3 valores de Kc: 1, 4 e 20.

3p )1s5.0(

2)s(G

Observe que o gráfico da fase é o mesmo para os três casos (por que?).

KC MG(dB) Estável?1 +12 Sim4 0 Condicionalm.estável20 -14 Não

A margem de ganho e de fase são relacionadas

Bode mostrou que correçãodecdBwGedeclividad

MF co 00 9020

)/(|)(|180

Válido para sistemas de fase mínima

A margem de fase é largamente determinada pela inclinação da curva de ganho na frequência de crossover

de ganho

exemplo:para inclinação na frequência de cross over do ganho de

–40 dB/década

temos que

MF= 0 - correção

Para ter uma boa margem de fase, é desejável que a inclinação da curva na frequência seja de –20 dB/dec

A margem de ganho e de fase são relacionadas

Margem de Fase e Desempenho Transitório

G(s)C

R

)2()(

2

n

nss

sG

22

2

2)()(

)(nn

n

sssRsC

sT

1)( jG24 241 ncganho

100241

2tan)(180

24

10

cjGMF

A aproximação linear se aplica apenas para valores de no intervalo 0 0,6. Valores aceitáveis para a taxa de amortecimento : 0,3 0,7 Portanto: 30o MF 65o.

Relação entre MF e

Apenas para sistemas de segunda ordem

100241

2tan)(180

24

10

cjGMF

Observações• Para sistemas de ordem maior do que 2, são disponíveis técnicas

matemáticas para a obtenção da correlação exata entre margem de fase e coeficiente de amortecimento, porém são muito trabalhosas e de pequeno valor prático.

Margem de ganho MG e margem de fase MF intervalos aceitáveis (depende do autor):

oo MFdBMGdB 6530,126

•Em geral, valores grandes de MG e MF correspondem a respostas em malha fechada mais lentas, enquanto que valores menores, resultam em respostas mais rápidas mas mais oscilatórias.

• A especificação da MF e da MG requer um compromisso entre desempenho e robustez.

oo MFMG 4530,47.1

Exemplo onde a margem de fase e a margem de ganho fornecem falsa noção de robustez de estabilidade

3 dB

dB

(rad/s)

c

Frequência de Corte e Largura de Banda

A região de frequências , é denominada largura de banda (ou largura de faixa, ou ainda, banda passante),

0 c

A frequência de corte (ou de canto ou de largura de banda) c é definida como sendo

aquela a partir da qual o ganho cai abaixo de 3 dB com relação ao ganho de baixas frequências.

• Freqüência de corte: em geral, definido como especificação de projeto

para sistema de malha fechada

A frequência de corte ωc pode ser definida como a frequência no qual |G (jω)| = 0.707.

(-3dB corresponde a aproximadamente |G(jω)| = 0.707)

• alguns autores usam o ponto de –6dB ao invés do ponto –3dB.

• A largura de banda (bandwidth) indica a faixa de frequencias para qual ocorre acompanhamento (tracking) satisfatório do set-point. Em particular, ωc é a maior frequência para que um set point senoidal não seja atenuado mais do que 70.7%.


•O sistema filtra os componentes do sinal cujas freqüências são

maiores do que a freqüência de corte e transmite aquelas

componentes do sinal com freqüências menores do que a freqüência

de corte.

• A largura de faixa fornece uma indicação da velocidade de resposta de

um sistema de controle.


Para sistemas de segunda ordem, podemos relacionar a frequência de largura de banda (frequência de corte) com coeficiente de amortecimento e tempo de resposta (tempo de acomodação, subida, pico,...)


A velocidade de resposta a uma entrada do tipo degrau será proporcional a B.

Exemplo: considere duas funções de transferência de malha fechada T1 e T2:

1

1

1T s

s

2

1

5 1T s

s

A resposta em freqüência, a resposta ao degrau e a resposta à rampa dos dois sistemas estão mostradas a seguir:

Considere agora os dois sistemas de segunda ordem a seguir, com funções de transferência de malha fechada:

3 2

100

10 100T s

s s

4 2

900

30 900T s

s s

Ambos os sistemas possuem sobre-sinal de 15%, mas T4 possui um tempo de pico de 0.12 segundos, comparado a 0.36 segundos para T3. Observe também que o tempo de acomodação para T4 é de 0.37 segundos, enquanto que é de 0.9 segundos para T3.

•Uma estimativa grosseira que pode ser usada

frequência de corte = frequência natural=k/(tempo de resposta).

Fatores para especificação da largura de banda (da malha fechada) :

i) fidelidade de reprodução dos sinais de entrada pela saída;ii) características de filtragem requeridas para o ruído de alta frequência.


Carta de Nichols [família de curvas dos ganhos (em dB) e ângulos de fase (em graus) de malha fechada]

Outro exemplo de Carta de Nichols [os ganhos não estão em dB]

Curvas de Módulo Constante para Malha Fechada _Círculos-M

222 1·1

GGMMG

G

222222 1 yxyMxM

22

22

2

2

22

11

M

My

M

Mx

1;

1 22

2

M

Mr

M

Mc

Círculos de ganho de malha fechada constante

jyxG

2/111 2222 XyxyxM

Curvas de Fase Constante para Malha Fechada_Círculos-N

0-1 -0.5

r

1+G G

c

Re(G)

Im(G)

G

Gαψ

1arg

Círculos de fase constante

Gα 1arg

Garg

cteψLG Circunferência(centro = -0.5-jc, raio =

r)

0-1 -0.5

r

1+G G

-c

Re(G)

Im(G)

G

Gαψ

1arg

222 5.0cr

ψc cotg5.0

Círculos de fase constante

Gα 1arg

Garg

seccos5.0cot15.0 2gr

Circunferência(centro = -0.5-jc, raio =

r)

A função de transferência de malha fechada pode ser obtida superpondo-se o diagrama polar de G(jw) nos diagramas dos círculos-M e círculos-N.

Observe que o pico de ressonância da função de transferência de malha fechada ocorre em w=w4 , onde o diagrama polar da função de transferência de malha aberta G(jw) é tangente a um círculo-M com M=2.

Exemplo: Carta de NicholsConsidere um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência de malha aberta dada por:

1

1 0.2 1G j

j j j

O diagrama de Nichols para G(jw) superposto à carta de Nichols é mostrado abaixo:

Freq. Ress wr

Freq corte wc

Determinar paraa MF

A magnitude máxima da função de transferência de malha fechada é aproximadamente igual a +2.5dB e ocorre em wr=0.8 rad/s.

A frequência de corte, onde a magnitude de malha fechada é igual a –3dB , é igual a wcMF=1.33rad/s, ponto no qual a fase de malha fechada é –142o.

margem de fase e margem de ganho. o critério de estabilidade de nyquist leva em conta o ganho e a...

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