aula limites

Programa de Cálculo da UFAMwww.calcularepreciso.blogspot.com

Limites Idéias

Uma esfera, como uma bola pode ter sua forma aproximada por uma coleção de pentágonos e hexágonos justapostos

Limites Idéias

Os paradoxos de Zeno:Aquiles, o herói grego famoso pela sua velocidade, nunca alcança a tartaruga

Limites Idéias

Os cegos chineses e o elefanteNa história, seis homens cegos aproximaram o elefante e cada deles agarrou somente uma parte do elefante. Discutiram um com o outro sobre o que o elefante olhou realmente como. Reivindicam o elefante são como uma parede, como a lança, como uma serpente, como uma árvore, como um ventilador, ou como uma corda. Obviamente não poderiam alcançar um acordo.

Limites Idéias

2 3 18

Limites Idéias

2 3 18

1 6 19,5

Limites IdéiasÁrea do trapézio =

2 3 18

1 6 19,5

0,5 12 32

0,25 24

Limites Definição

∈→

reta da intervalo ,

Limites Definição

• Uma circunferência pode ser aproximada por uma seqüência de polígonos regulares inscritos na circunferência.

• Quanto maior o número de lados, mais “próximo” da circunferência o polígono estará. Assim, por exemplo, o octógono (polígono de 8 lados), desenhado em verde ao lado, está “mais próximo” da circunferência do que o quadrado, desenhado em azul, está.

Limites Definição• Poderíamos dizer, em

linguagem informal, que

“o limite dos polígonos regulares de n lados, inscritos na circunferência, é igual à própria circunferência”, quando o número de lados n for muito grande e “tender a infinito”. Isto é,

infinito) a tendelados de número o (quando nciacircunferê lados de polígonos dos limite O

∞→=

Limites Definição• Assim, se soubermos

calcular o perímetros de tais polígonos, poderemos ter uma boa aproximação do comprimento da circunferência.

• Vamos começar com o cálculo do perímetro do quadrado inscrito na circunferência.

Limites Definição• Considere o triângulo cujos

vértices são:

O, o centro do círculo e

P, Q, dois vértices consecutivos do quadrado.

• Os lados deste triângulo são dois raios da circunferência e um lado do quadrado.

Limites Definição• Note que o ângulo do

triângulo formado pelos raios da circunferência mede

radianos em ,24

emente,equivalent ou,

quadrado do lados de número o é 4 onde

ππα

Limites Definição• Trace, agora, o segmento

que une o centro da circunferência ao ponto médio do lado do triângulo dado pelo lado do quadrado.

• Obtém-se assim um triângulo menor ,

OMQ∆

Limites Definição• O triângulo

que mede a metade do triângulo maior

tem o ângulo

que mede 45o

,OMP∆

,OPQ∆

Limites Definição• Assim, o comprimento b do

lado MQ é dado por

4.n onde

nRsenRsen

RsenbMQ

Limites Definição

=⋅=⋅=

nnsenR

nRsennnp

RsenRsen

teremos

lados,n de polígono um para geral, Em

)2(44)4(

por dado é

quadrado, do p(4) perímetro o Assim,

Limites Idéias

∞→∞→ nnsenRnp

π2lim)(lim

se-escreve

acima, dito foi que oresumir Para

cresce. lados dosn número

o que medida à

ncia,circunferê da ocompriment

do aproxima se ladosn de

polígonos dos perímetro o forma, Desta25,133 n p(n)

3 20,785

4 22,627

5 23.511

6 24,000

7 24,297

16 24,972

... ...

100 25,128

Limites Idéias25,133 n p(n)

3 20,785

4 22,627

5 23.511

6 24,000

7 24,297

16 24,972

... ...

100 25,128

Limites Idéias

b n p(n)

3,464 3 20,785

2,828 4 22,627

2,351 5 23.511

2.000 6 24,000

1,736 7 24,297

0,780 16 24,972

... ... ...

0,126 100 25,128 133,25422 c

4R raio de nciacircunferê da ocompriment

=⋅=⋅==

ππ R

Limites IdéiasR = 4 n p(n)

3 20,785

4 22,627

5 23.511

6 24,000

7 24,297

16 24,972

... ...

100 25,128 133,25422 c

4R raio de nciacircunferê da ocompriment

=⋅=⋅==

ππ R

Limites Definição

arcsenn

barcsen

nRsenb

π que temoslados,n de polígono

cada para que, Lembrando

Limites Definição

arcsen

arcsenR

πππ

escrever assim Podemos

Limites Definição

barcsensen

arcsenR

π2lim

é, Isto

Limites Definição

→→

arcsenRbp

π2lim)(lim

é, Isto

Limites Definição

→→

arcsen

π2lim)(lim

é, Isto

Limites Estudo de casos

}{ }{ ... k, 2,..., 1, 0,Nn ,n 1),-(n 2,..., 1, 0,j ,

... k, 2,..., 1, 0,Nm ,m 1),-(m 2,..., 1, 0,i ,

polinômio são q e p onde,

caso do Estudo

=∈∈∈+++++=

−−

xaxbxbxbbxq

xaxaxaxaaxp

( ) ( )( ) ( )

( )0a R,a onde,

limlim

caso do Estudo

3 23 23 23 233 2

3 233 233

≠∈

=++⋅−

−=−−

→→

aaaaxax

axaxax

( ) ( )

axaxax

−=−

=−−−

=++⋅−

3 33 3

3 33 23 2

3 23 23 3

3 233 233

:que observe efeito, Com

( )( )

0Q se,)(

)()(lim

)(lim e )(lim Se

limites dos saritmética esPropriedad

⋅=⋅

→→

QLxgxf

Então

QxgLxf

Convite5. Solicitar aos professores

envolvidos e a todos os alunos que façam seu cadastro on-line

6. Publicar no blog todas as informações úteis: ementa, programa, ensalamento (com mapa de localização), professores e contatos, endereço web para cadastro, apresentação com demais informações

1. Definir horário e data dos encontros no auditório Eulálio Chaves

2. Convidar todos os alunos de todas as turmas para os encontros no auditório Eulálio Chaves

3. Convidar todos os Coordenadores de Curso envolvidos

4. Solicitar aos professores envolvidos que encaminhem as informações: foto; formação, e-mail, celular para contato

Programa

II – Limite e Continuidade

(6 aulas – 5 a 16 de Abril)

2.1. Limite de Funções

2.2. Limites Laterais, Infinitos e no Infinito

2.3. Assíntotas

2.4. Continuidade

1ª. Prova parcial – P1

19 de Abril de 2010

I – Introdução

(6 aulas – 17 a 31 de Março)

1.1. Números Reais

1.2. Funções

1.3. Gráficos

Programa

IV – Aplicação da Derivada

(6 aulas – 14 a 26 de Maio)

4.1. Teorema do Valor Médio

4.2. Pontos Críticos

4.3. Esboço de Gráficos

III – Derivação

(8 aulas – 23 de Abril a

10 de Maio)

3.1. A Derivada

3.2. Propriedades

3.3. Regra da Cadeia

3.4. Derivação Implícita

2ª. Prova parcial - P2

12 de Maio de 2010

Programa

VI – Técnicas de Integração

(8 aulas – de 14 a

30 de Junho)

6.1. Integração por Partes

6.2. Integração por Mudança de Variáveis

6.3. Integração por Frações Parciais

6.4. Outras Técnicas

6.5. Aplicações de Integrais

V – Integração

(6 aulas – 28 de Maio a

9 de Junho)

5.1. Integral Definida

5.2. Propriedades da Integral

5.3. Teorema Fundamental do Cálculo

3ª. Prova parcial – P3

11 de Junho de 2010

Calendário de provas

2ª. Prova parcial - P2

12 de Maio de 20101ª. Prova parcial – P1

19 de Abril de 2010

Calendário de provas

Prova final - PF

16 de Julho de 20103ª. Prova parcial – P3

11 de Junho de 2010

Prova substitutiva – PS

7 de Julho de 2010

Professores

• Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Amazonas em 1982, concluiu o Doutorado em Geometria Diferencial na Università degli Studi di Trento, Itália em 1994. Áreas de interesse: Geometria Diferencial e Educação Matemática.

• Coordena no Amazonas a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - OBMEP.

Doutor Danilo BenarrósTURMAS 1 e 5Interesses:

Geometria Diferencial eEducação MatemáticaE-mail: dbenarrosh@gmail.comCelular: 9996 1882www.obmepam.netwww.obmep.org.br

Cronograma de aulas

•semana assunto pág atividades extras

14 a 21 de abril Definição de limite 74 Lista do blog

Calendário de testes

As avaliações serão no modelo

das listas de exercícios

Listas de exercícios

serão publicadas on-line

no blog do curso para serem

resolvidos com periodicidade

semanal

Turmas

•Turma Horário

4 Estatística 14/16

11 Zootecnia 16/18

2 Matemática 18/20

1 Matemática 8/10

3 Eng. Civil 13/15

5 Eng. Florestal 8/10

10 Eng. Pesca 14/16

9 Ciên. Comp. 10/12

16 Biotecnologia 18/20

14 Física 20/22

Turma Horário

12 Física 8/10

6 Eng. Produção 20/22

21Eng. Gás Petróleo 15/17

15 Agronomia 14/16

13 Física 16/18

17 Eng. Materiais 7/9

8Eng. Computação 9/11

7 Eng. Elétrica 7/9

20 Eng. Química 13/15

10 Geologia 8/10

Sistema de avaliação

final prova da nota

parcial prova terceirada nota 3

parcial prova segunda da nota 2

parcial prova primeira da nota 1

final nota

ondePF

será final nota sua a e vasubstituti prova afazer poderá

,2 parcial prova afizer não vocêse exemplo,Por

período. do final no vasubstituti prova umfazer poderá

parciais, provas dasqualquer uma afaltar vocêSe

PFPPSP

será final nota sua a e vasubstituti prova afazer poderá

,2 parcial prova da nota a substituirdesejar vocêse exemplo,Por

período. do final no vasubstituti prova afazer poderá

final, nota sua a melhorará fazendo assim queachar se

parciais, provas das nenhuma a falte não que Mesmo

PFPPSP

.substituirpor optou vocêque parcial prova da nota a que

final, nota da cálculo o para

va,substituti prova da nota

pela parcial prova uma de nota a substituirpor optar Se

: Mas,

menor sejavasubstituti prova da nota a que mesmo

válidanota aserá vasubstituti prova da nota a

atenção

.2 que mesmo

será final nota sua a ,2 parcial prova da nota a substituir

para vasubstituti prova afazer por optar se Assim,

PFPPSP

Prêmios

Programa de Monitoria

Valor da Bolsa: R$ 350,00

Duração: 1 ano

Vagas: até 5

Certificado

Os alunos que apresentarem o melhor desempenho receberão um certificado e serão convidados para participarem do programa de monitoria em Cálculo.

Cadastro dos alunos

•Todos ao alunos deverão se

cadastrar até o dia 30 de

março de 2010 no endereço

www.surveymonkey.com.br

Livro texto

Curso De Calculo, V.1

Autor:GUIDORIZZI,HAMILTON LUIZ

Editora: LTC

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