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Antiderivadas e Integrais Indefinidas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Antiderivadas e Integrais Indefinidas

1.Antiderivadas

2.Notação para antiderivadas e integrais indefinidas

3.Cálculo de antiderivadas

4.Soluções particulares

5.Aplicação

1. Antiderivadas

Até aqui, tem-nos preocupado essencial-mente o problema: dada uma função, achar a suaderivada. Muitas aplicações importantes do cálculoenvolvem o problema inverso: dada a derivada deuma função, achar a função. Suponha, por exemplo,dadas

′ ′ ′= = =2( ) 2, ( ) 3 , e ( ) 4f x g x x s t t

1. Antiderivadas

Nosso objetivo é determinar as funções f, ge s. Formulando hipóteses adequadas, poderemoschegar ao seguinte:

[ ]= =( ) 2 porque 2 2d

f x x xdx

= = 3 3 2( ) porque 3

dg x x x x

dx

= = 2 2 ( ) 2 porque 2 4

ds t t t t

dx

1. Antiderivadas

Esta operação, que consiste em determinara função original a partir de sua derivada, é aoperação inversa da diferenciação. É chamadaantidiferenciação.

OBS: Neste texto utilizamos a expressão “F (x) éuma antiderivada de f (x)” como sinônima de “F éuma antiderivada de f ”.

1. Antiderivadas

Definição de Antiderivada

Uma função F é uma antiderivada de uma funçãof se, para todo x no domínio de f, temos F’ (x) = f (x).

1. Antiderivadas

Se F (x) é uma antiderivada de f (x), entãotambém o é F (x) + C, onde C é uma constantearbitrária. Por exemplo,

= = − = +3 3 3( ) , ( ) 5, e ( ) 0,3F x x G x x H x x

são antiderivadas de 3x2 porque a derivada decada uma delas é 3x2. Acontece que todas asantiderivadas de 3x2 são da forma x3 + C. Assim, oprocesso de antidiferenciação não define umafunção única, e sim uma família de funções, quediferem entre si por uma constante.

2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas

O processo de antidiferenciação é tambémchamado integração e é indicado pelo símbolo

∫ Sinal de Integral

chamado sinal de integral.

2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas

O símbolo

∫ ( ) Integral Indefinidaf x dx

é a integral indefinida de f (x), e representa a fa-mília de antiderivadas de f (x); isto é, se F ’(x) =f (x) para todo x, então podemos escrever

= +∫�����

( ) ( )f x dx F x C

Sinal de integral Integrando Diferencial

Antiderivada

2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas

Onde f (x) é o integrando e C é a constantede integração. A diferencial dx na integralindefinida identifica a variável de integração. Ouseja, o símbolo

= +∫ ( ) ( )f x dx F x C

denota a “antiderivada de f em relação a x”, damesma forma que o símbolo dy/dx a “derivada de yem relação a x”.

2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas

Notação de Integral para Antiderivadas

A notação

onde C é uma constante arbitrária, significa que F éuma antiderivada de f. Isto é, F’ (x) = f (x) para todo xno domínio de f.

= +∫ ( ) ( )f x dx F x C

2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas

Exemplo 1: Utilizando a notação de integral,podemos escrever como se segue as trêsantiderivadas dadas no início desta aula.

= +∫a. 2 2dx x C

= +∫2 3b. 3x dx x C

= +∫2c. 4 2t dt t C

O relacionamento inverso entre asoperações de integração e diferenciação pode serapresentado simbolicamente a seguir.

= ∫ A diferenciação é o inverso da integração( ) ( ) d

f x dx f xdx

′ = +∫ A integração é o inverso da diferenciação( ) ( ) f x dx f x C

3. Cálculo de antiderivadas

Este relacionamento entre integração ediferenciação permite obtermos fórmulas deintegração diretamente a partir de fórmulas dediferenciação. A seguir são apresentadas asfórmulas de integração que correspondem aalgumas fórmulas de diferenciação já estudadas.

3. Cálculo de antiderivadas

3. Cálculo de antiderivadas

Regras Básicas de Integração

1. Regra da Constante

2. Regra do Múltiplo Constante

3. Regra da Soma

= +∫ , k é uma constantek dx kx C

=∫ ∫( ) ( ) , k é uma constantek f x dx k f x dx

[ ]+ = +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx

3. Cálculo de antiderivadas

4. Regra da Diferença

5. Regra Simples da Potência+

= + ≠ −+∫

1

, 11

nn x

x dx C nn

[ ]− = −∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx

3. Cálculo de antiderivadas

OBS 1: A Regra Geral da Potência será estudadana Aula 37, e as Regras Exponencial e Log serãoabordadas na Aula 38.

OBS 2: Não esqueça que a Regra Simples daPotência tem a restrição de que n não pode serigual a -1; não podemos aplicá-la para calcular aintegral

∫1

dxx

Para calcular esta integral, devemos aplicar aRegra Log (Aula 38).

3. Cálculo de antiderivadas

Exemplo 2: Calcule as integrais indefinidas

= +∫a. 2 2dx x C

= +∫b. 1dx x C

− = − +∫c. 5 5dt t C

No Exemplo 2b, costuma-se escrever a

integral simplesmente .∫1dx ∫dx

3. Cálculo de antiderivadas

Exemplo 3: Calcule a integral indefinida

∫3x dx

3. Cálculo de antiderivadas

Solução:

=∫ ∫3 3x dx x dx Regra do Múltiplo Constante

= ∫13 x dx Escrever x como x1

= +

2

32x

C Regra da Potência com n = 1

= +232

x C Simplificar

3. Cálculo de antiderivadas

No cálculo de integrais indefinidas, aaplicação estrita das regras básicas de integraçãotende a gerar constantes de integração poucocômodas. Por exemplo, no Exemplo 3, poderíamoster escrito

= = + = +

∫ ∫

223

3 3 3 32 2x

x dx x dx C x C

3. Cálculo de antiderivadas

Todavia, como C representa uma constantearbitrária, é desnecessário escrever a constantede integração como 3C. Basta escrevermos

+232

x C

3. Cálculo de antiderivadas

No Exemplo 3, note que o padrão geral deintegração é análogo ao da diferenciação.

∫

Dado:

3x dx→

∫

Escrever como:

13 x dx→

+

Integrar:

2

32x

C→ +

Simplificar:

232

x C

3. Cálculo de antiderivadas

Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar

∫ 3

1a. dx

x

∫b. x dx

3. Cálculo de antiderivadas

Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar

∫

Integral dada

3

1a. dx

x−

∫

Escrever como

3x dx−

+−

Integrar

2

2x

C − +

Simplificar

2

12

Cx

3. Cálculo de antiderivadas

Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar

∫

Integral dada

b. x dx ∫

Escrever como

12x dx +

Integrar

32

32

xC +

Simplificar

322

3x C

3. Cálculo de antiderivadas

Nota: Recorde que podemos verificar pordiferenciação a resposta de um problema deantidiferenciação. Assim é que, no Exemplo 4b,podemos constatar, diferenciando, que

322

3x

é a antiderivada correta; obtemos

= =

3 12 22 2 3

3 3 2d

x x xdx

3. Cálculo de antiderivadas

Com as cinco regras básicas de integração,podemos integrar qualquer função polinomial,conforme demonstramos no próximo exemplo.

3. Cálculo de antiderivadas

Exemplo 5: Determine as seguintes integraisindefinidas

( )+∫a. 2x dx

( )− +∫4 2b. 3 5x x x dx

3. Cálculo de antiderivadas

a. Aplique a Regra da Soma para integrar cadaparte separadamente

( )+ = + = + +∫ ∫ ∫2

2 2 22x

x dx x dx dx x C

3. Cálculo de antiderivadas

b. Procure identificar cada regra básica deintegração utilizada para o cálculo desta integral

( ) − + = − + +

∫

5 3 24 23 5 3 5

5 3 2x x x

x x x dx C

= − + +5 3 23 5 15 3 2

x x x C

3. Cálculo de antiderivadas

Exemplo 6: Determine a integral indefinida

+∫

1xdx

x

3. Cálculo de antiderivadas

Inicialmente, escreva o quociente nointegrando como uma soma. Em seguida, escrevacada termo com expoentes racionais.

+ = +

∫ ∫1 1x x

dx dxx x x

Escrever como uma soma

( )−= +∫

1 12 2x x dx Usar expoentes racionais

3. Cálculo de antiderivadas

= + +3 1

2 2

3 122

x xC

= + +3 1

2 222

3x x C

Aplicar a Regra da Potência

Simplificar

3. Cálculo de antiderivadas

Nota: Ao integrar quocientes, não cometa o errode integrar numerador e denominadorseparadamente. Assim é que, no Exemplo 6,

( )++ ≠ ∫∫∫

11 x dxxdx

x x dx

4. Soluções particulares

Já vimos que a equação

= ∫ ( )y f x dx

tem infinitas soluções, cada uma das quais diferedas outras por uma constante. Isto significa que osgráficos de duas antiderivadas quaisquer de f sãotranslações verticais uma da outra. A figura aseguir mostra os gráficos de várias antiderivadasda forma

( )= = − = − +∫2 3( ) 3 1y F x x dx x x C

4. Soluções particulares

4. Soluções particulares

Cada uma dessas antiderivadas é umasolução de

= −23 1dy

xdx

Em muitas aplicações da integração,dispomos de informação suficiente paradeterminar uma solução particular. Para tanto,basta conhecermos o valor de F (x) para um valorde x.

4. Soluções particulares

Por exemplo, na figura anterior há apenasuma curva que passa pelo ponto (2, 4). Paradeterminar esta curva, lançamos mão dainformação abaixo

Solução geral= − +3( )F x x x C

=(2) 4F Condição inicial

4. Soluções particulares

Levando esta condição inicial na soluçãogeral, verificamos que

( )= − + = ⇒ = −3(2) 2 2 4 2F C C

Assim, a solução particular é

= − −3( ) 2F x x x

4. Soluções particulares

Exemplo 7: Determine a solução geral de

′ = −( ) 2 2F x x

e a solução particular que satisfaz a condiçãoinicial

=(1) 2F

4. Soluções particulares

Inicialmente, integremos para determinar asolução geral.

( )= −∫( ) 2 2F x x dx

= − +2 2x x C

Integrar F ’(x) para obter F (x)

Solução geral

4. Soluções particulares

Com a condição inicial F (1) = 2, podemosescrever

( )= − + = ⇒ =2(1) 1 2 1 2 3F C C

Assim, a solução particular é

= − +2( ) 2 3F x x x Solução particular

4. Soluções particulares

A figura a seguir exibe graficamente estasolução. Note que cada uma das curvas representauma solução da equação

′ = −( ) 2 2F x x

A curva em destaque, entretanto, é a únicasolução que passa pelo ponto (1, 2), o que significaque

= − +2( ) 2 3F x x x

é a única solução que satisfaz a condição inicial.

4. Soluções particulares

5. Aplicação

Exemplo 8: Joga-se uma bola para cima, de umaaltura inicial de 80 pés, com uma velocidade inicialde 64 pés por segundo, conforme a figura a seguir.Deduza a função posição que dê a altura s (em pés)como função do tempo t (em segundos). Em queinstante a bola atinge o solo?

5. Aplicação

5. Aplicação

Representemos por t = 0 o tempo inicial.Então, as duas condições dadas podem ser escritascomo a seguir:

=(0) 80s

′ =(0) 64s

A altura inicial é de 80 pés

A velocidade inicial é de 64 pés por segundo

5. Aplicação

Como a aceleração devida à gravidade é de32 pés por segundo por segundo, temos:

′′ = −( ) 32s t

′ = −∫( ) 32s t dt

Aceleração devida à gravidade

Integrar s ”(t) para obter s ’(t)

1( ) 32s t t C′ = − + Função velocidade

5. Aplicação

Levando em conta a velocidade inicial,concluímos que C1 = 64

′ = − +( ) 32 64s t t

( )= − +∫( ) 32 64s t t dt

Função velocidade

Integrar s ’(t) para obter s(t)

= − + +22( ) 16 64s t t t C Função posição

5. Aplicação

Utilizando a altura inicial, temos que C2 = 80.Assim, a função posição é

Função posição= − + +2( ) 16 64 80s t t t

5. Aplicação

Para determinar o instante em que a bolaatinge o solo, igualemos a zero a função posição eresolvamo-la em relação a t.

− + + =216 64 80 0t t

( )( )− + − =16 1 5 0t t

= − =1, 5t t

Igualar s (t) = 0

Fatorar

Resolver em relação a t

Como o tempo deve ser positivo, concluímosque a bola atinge o solo 5 segundos após ter sidolançada.